მათემატიკის ცნობარი - ნაწყვეტი
35
aleqsandre wereTeli maTematikis c n o b a r i abiturientebisa da skolis moswavleTaTvis
-
Upload
zaza-shengelia -
Category
Documents
-
view
13.646 -
download
12
description
ცნობარი სასარგებლო იქნება არა მარტო მათთვის ვინც მათემატიკას აბარებს, არამედ ზოგადი უნარების მათემატიკური ნაწილის მოსამაზადებლადაც.რამდენადაც ჩვენთვის ცნობილია, ცნობარის სახით მიწოდებული მათემატიკის სასკოლო მასალა ქართულ ბაზარზე ჯერჯერობით ერთადერთია. ფორმატი ჯიბით სატარებლადაც მოსახერხებელია. ცნობარი ეყრდნობა ეროვნულ სასწავლო გეგმას და გამოადგება არა მხოლოდ აბიტურიენტებს, არამედ სკოლის მოსწავლეებს, მათემატიკის მასწავლებლებსა და ზოგადად, ყველა მათემატიკის მოყვარულს. ის მოიცავს როგორც თეორიულ მასალას, ისე ამოცანებსა და და სავარჯიშოებსაც, რომელთა ამოხსნა აბიტურიენტსა თუ მოსწავლეს საკუთარი ცოდნის შესწორებაში დაეხმარება. ცნობარის შემდგენელია მათემატიკის აკადემიური დოქტორი ალექსანდრე წერეთელი, რომელსაც მრავალწლიანი პედაგოგიური გამოცდილება აქვს, მათ შორის თბილისის სახელმწიფო უნივერსიტეტში.
Transcript of მათემატიკის ცნობარი - ნაწყვეტი
1
aleqsandre wereTeli
maTematikisc n o b a r i
abiturientebisa daskolis moswavleTaTvis
3
ûâòîôïìë èåãëþîåþë!
àáâåíàâòì îëè øîëèï ãïåïæâòäåþòíï, ãïèëè-úåèäëþï „æòëãåíåè“ ãïèëìúï æïèõèïîå ìïõåäèûé-âïíåäë — èïàåèïüòêòì úíëþïîò. úíëþïîò åñîæíë-þï åîëâíóä ìïìùïâäë ãåãèïì æï ãïèëïæãåþï ïþò-üóîòåíüåþì, ìêëäòì èëìùïâäååþì, èïàåèïüòêòìèïìùïâäåþäåþìï æï èïàåèïüòêòà æïòíüåîåìåþóäìõâï ðòîåþì.
ïþòüóîòåíüåþì åì úíëþïîò úëæíòì èëþòäòçå-þïìï æï ìîóäñëôïøò æïåõèïîåþï, îïú èïàåèïüòêï-øò åîëâíóäò ãïèëúæòì ÷ïìïþïîåþäïæ ïîòì ïóúò-äåþåäò.úíëþïîò ìïìïîãåþäë òáíåþï èïààâòìïú,âòíú çëãïæ óíïîåþì ïþïîåþì.
ìêëäòì èëìùïâäåþò øåûäåþåí, úíëþïîøò ìùîï-ôïæ èëòûòëí èïààâòì ïóúòäåþåäò àåëîòóäò èï-ìïäï, ïãîåàâå ïèëõìíïí èëúåèóäò ìïêòàõòì øåìï-þïèòìò üòðóîò ïèëúïíåþò.
èïìùïâäåþäåþì ìïøóïäåþï åáíåþïà, ïè êëèðïá-üóîò úíëþïîòì æïõèïîåþòà èëêäå æîëøò ãïïèåë-îåþòíëí èëìùïâäååþì ãïíâäòäò èïìïäï. úíëþïîòãïíìïêóàîåþòà ãïèëïæãåþï æïèïèàïâîåþåäò êäï-
4
ìòì íåþòìèòåî èëìùïâäåì: ûäòåîåþì òì æïåõèïîåþïìïãíòì ãïèåëîåþïøò, ìóìüåþì êò — èòíòèïäóîò êëè-ðåüåíúòòì çéâîòì ãïæïäïõâïøò.
èëêäåæ, àáâåí ùòíïøåï èïàåèïüòêòì úíëþïîò,îëèåäòú öòþòà øåòûäåþï ïüïîëà.
ïõäï êò îïèæåíòèå ìòüñâï úíëþïîòì øåèæãåíåä-çå: èïàåèïüòêòì æëáüëîì, ïäåáìïíæîå ùåîåàåäìèîïâïäùäòïíò ðåæïãëãòóîò ãïèëúæòäåþï ïáâì. èò-ìò ìïõåäò êïîãïæïï úíëþòäò ñâåäïìàâòì, âòìïúàþòäòìòì òâïíå öïâïõòøâòäòì ìïõåäèùòôë óíòâåî-ìòüåüòì èåáïíòêï-èïàåèïüòêòì ôïêóäüåüçå óì-ùïâäòï, èëìùïâäååþò êò ïè ïâüëîì òúíëþåí èïàåèï-üòêòì üåìüóîò ïèëúïíåþòà („æòëãåíå”, 2012). âôòá-îëþà, ãïèëúæòäò ðåæïãëãòì èòåî øåæãåíòäò åìúíëþïîò ïþòüóîòåíüåþìï àó èëìùïâäååþì èíòøâíå-äëâïí æïõèïîåþïì ãïóùåâì èïàåèïüòêòì ìïìêëäëðîëãîïèòì ïàâòìåþï-ãïèåëîåþïøò.
ãòìóîâåþà ùïîèïüåþåþì!
5
Sinaarsi
algebra ................................................................................... 7
zogierTi sawyisi cneba da debuleba ............................... 9
wiladebi ................................................................................ 14
procentebi da proporciebi ............................................ 21
axarisxeba da amofesva ....................................................... 24
namdvili ricxvis absoluturi sidide.
saSualo ariTmetikuli. saSualo geometriuli ........ 27
erTwevri da mravalwevri ................................................. 29
Semoklebuli gamravlebis formulebi ......................... 31
iracionalobis mospoba wiladis mniSvnelSi .............. 32
funqcia. funqciis grafiki .............................................. 33
gantolebebi ......................................................................... 38
kvadratuli funqciis grafiki ....................................... 48
iracionaluri gantolebebi ............................................ 51
utolobebi ............................................................................ 53
pirveli xarisxis utoloba da utolobaTa sistema . 55
erTucnobiani maRali xarisxis utolobebi ................ 57
mimdevrobebi ........................................................................ 60
ariTmetikuli progresia ................................................. 62
6
geometriuli progresia ................................................... 64
maCvenebliani funqciis Tvisebebi da grafiki ............ 66
logariTmebi ......................................................................... 68
maCvenebliani da logariTmuli gantolebebi da
utolobebi ............................................................................ 72
kombinatorikis elementebi ............................................. 75
albaTobaTa Teoriis elementebi ................................... 79
geometria. I. planimetria ............................................... 87
sawyisi cnebebi da zogierTi damxmare debuleba ....... 89
wrewiri ................................................................................... 99
mravalkuTxedebi .............................................................. 108
samkuTxedebi ...................................................................... 117
II. stereometria ................................................................ 135
sawyisi cnebebi da damxmare debulebebi .................... 137
prizma ................................................................................... 142
piramida ............................................................................... 148
cilindri, konusi, birTvi .............................................. 152
veqtorebi ............................................................................ 158
trigonometria ................................................................ 165
21
§3. procentebi da proporciebi
ricxvis meased nawils procenti ewodeba.
raime ricxvis ramdenime procentis mosa-Zebnad saWiroa mocemuli ricxvi gavyoT 100-ze da miRebuli Sedegi gavamravloT procen-tTa ricxvze.
im ricxvis mosaZebnad, romlis procentu-li sidide cnobilia, saWiroa es sidide gavyoTprocentebis ricxvze da gavamravloT 100-ze.
ori ricxvis procentuli fardoba ewode-ba maT fardobas, gamravlebuls 100-ze.
ori fardobis tolobas proporcia ewode-
ba: = .
b-s da c-s proporciis Sua wevrebi ewodeba,
xolo a-sa da d-s _ kiduri wevrebi.
yovel proporciaSi kiduri wevrebis nam-ravli Sua wevrebis namravlis tolia. e. i. Tu
= , maSin ad = bc.
22
Tu mocemulia proporcia = , maSin:
; ; ;
; .
Tu ,
maSin = .
x da y sidideebs ewodebaT pirdapirpro-
porciuli sidideebi, Tu isini erTmaneT-Tan dakavSirebuli arian damokidebulebiT
y = k . x, sadac k garkveuli ricxvia da mas
proporciulobis koeficienti ewodeba.
x da y ukuproporciuli sidideebia, Tu
isini dakavSirebulia erTmaneTTan damoki-
debulebiT: y = , sadac k nulisagan gan-
sxvavebuli ricxvia.
23
raime ricxvi rom davyoT mocemuli ricxve-bis proporciul nawilebad, saWiroa igi gav-yoT mocemuli ricxvebis jamze da ganayofigavamravloT TiToeulze am ricxvebidan.
raime ricxvi rom davyoT mocemuli ricxve-bis ukuproporciul nawilebad, saWiroa esricxvi davyoT mocemuli ricxvebis Sebrune-bul ricxvTa proporciul nawilebad.
24
§4. axarisxeba da amofesva
tol TanamamravlTa namravls xarisxi ewo-
deba: a . a ... a = an , sadac n _ xarisxis maC-
venebelia, a _ xarisxis fuZe.
samarTliania tolobebi:
1. (a . b)n = an . bn;
2. = (b ≠ 0);
3. an . am = an+m;
4. (an)m = an.m;
5. an : am = an_m Tu n > m, a ≠ 0 ;
6. Tu a ≠ 0, ao = 1.
n-uri xarisxis fesvi a ricxvidan ewodeba
iseT ricxvs, romlis n-uri xarisxi udris
a-s: = a
n_ jer
25
Tu a > 0, maSin marTebulia toloba:
= a
Tu a > 0 da b > 0, maSin samarTliania tolo-
bebi:
1. ;
2. ;
3. ;
4. ;
5. ;
6. ;
7. .
sxvadasxva xarisxismaCvenebliani fesvebiSegviZlia daviyvanoT erTnair maCveneblamde.amisaTvis unda movZebnoT mocemuli fesvebisxarisxis maCveneblebis umciresi jeradi da igiaviRoT fesvis xarisxis maCveneblad. Semdeg
26
fesqveSa gamosaxulebebi unda avaxarisxoT sa-Tanado xarisxSi.
mag., SevadaroT da ;
= = ; = = ;
e. i. < .
msgavsi radikalebi ewodeba iseT radika-lebs, romlebic SegviZlia daviyvanoT er-Ti da imave radikalis namravlamde raci-onalur ricxvze an racionalur gamosaxu-lebaze.
mag., da msgavsi radikalebia, vina-
idan = = 3 ;
= = 4 .
imisaTvis, rom SevkriboT (gamovakloT)msgavsi radikalebi, saWiroa winaswar gavita-noT fesvis niSnidan mamravlebi, ise rom fes-qveSa gamosaxulebebi toli aRmoCndes da amisSemdeg frCxilebs gareT gavitanoT radikali.
Tu gadasamravlebelia (gasayofia) radika-lebi sxvadasxva maCvenebliT, isini winaswarunda daviyvanoT saerTo maCveneblamde.
117
§4. samkuTxedebi
sami monakveTiT SemosazRvrul sibrtyisnawils samkuTxedi ewodeba; am monakveTebssamkuTxedis gverdebi ewodeba, gverdebisboloebs ki _ samkuTxedis wveroebi. monak-veTs, romelic samkuTxedis romelime wve-ros misi mopirdapire gverdis Sua wertil-Tan aerTebs, am gverdis mediana ewodeba.samkuTxedis wverodan mopirdapire gver-dze daSvebuli marTobi simaRlea. samkuT-xedis Siga kuTxis biseqtrisa ewodeba amkuTxis biseqtrisis monakveTs wverodan mo-pirdapire gverdamde.
BK _ simaRlea; BD _ mediana. BN _ biseqtrisa.
A CDK
B B
A CN
118
samkuTxedi SeiZleba iyos maxvilkuTxa,marTxkuTxa an blagvkuTxa. gverdebis mixed-viT ki _ sxvadasxvagverda, tolferda an tol-gverda.
marTkuTxa samkuTxedSi marTi kuTxis gver-debs kaTetebi ewodeba, xolo marTxi kuT-xis mopirdapire gverds _ hipotenuza.
tolferda samkuTxedSi toli gverdebiferdebia, xolo maTi saerTo wvero _ samkuT-xedis wvero. mesame gverdi samkuTxedis fuZea.
tolferda samkuTxedSi wveros kuTxis bi-seqtrisa, fuZis mediana da simaRle erTi daigive monakveTia, xolo fuZesTan mdebare kuT-xeebi tolia.
or samkuTxeds toli samkuTxedebi ewode-ba, Tu erTi samkuTxedis meoreze dafarviTSeiZleba am samkuTxedebis SeTavseba.
119
samkuTxedebis tolobis niSnebi:I. Tu erTi samkuTxedis ori gverdi da maT
Soris kuTxe, Sesabamisad, tolia meore sam-kuTxedis ori gverdisa da maT Soris kuTxisa,aseTi samkuTxedebi tolia.
II. Tu erTi samkuTxedis gverdi da misi mim-debare kuTxeebi, Sesabamisad, etoleba meoresamkuTxedis gverds da mis mimdebare kuTxeebs,aseTi samkuTxedebi tolia.
III. Tu erTi samkuTxedis sami gverdi, Sesa-bamisad, tolia meore samkuTxedis sami gver-disa, aseTi samkuTxedebi tolia.
marTkuTxa samkuTxedebi tolia, Tu:
I. erTi samkuTxedis kaTetebi tolia meoresamkuTxedis kaTetebisa;
II. Tu erTi samkuTxedis kaTeti da mimdeba-re maxvili kuTxe, Sesabamisad, tolia meoresamkuTxedis kaTetisa da mimdebare maxvilikuTxisa;
III. erTi samkuTxedis hipotenuza da maxvilikuTxe etoleba meore samkuTxedis hipotenu-zasa da maxvil kuTxes;
IV. erTi samkuTxedis hipotenuza da kaTeti,Sesabamisad, etoleba meore samkuTxedis hipo-tenuzasa da kaTets.
120
marTkuTxa samkuTxedis maxvili kuTxeebisjamia 90o.
∠ A + ∠ B = 90o
marTkuTxa samkuTxedSi 30o-iani kuTxis mo-pirdapire kaTeti hipotenuzis naxevaria.
AB = 2 . AC
samkuTxedis gare kuTxe ewodeba am samkuT-xedis Siga kuTxis mosazRvre kuTxes. samkuT-xedis gare kuTxe misi Siga aramosazRvre orikuTxis jamis tolia.
∠ 1 = ∠2 + ∠ 3
samkuTxedis Siga kuTxeebis jami 180o-istolia.
AC
B
AC
B
30o
1
2
3
121
∠1 + ∠2 + ∠3 = 180o
yovel samkuTxedSi ori kuTxidan udidesispirdapir udidesi gverdi Zevs. samkuTxedSi oritoli kuTxis pirdapir toli gverdebi Zevs.
yovel samkuTxedSi erTi gverdi naklebiadanarCeni ori gverdis jamze da metia maT sxva-obaze.
a < b + c
a > b _ c
samkuTxedis Suawrfe ewodeba samkuTxedisori gverdis Sua wertilebis SemaerTebel mo-nakveTs. samkuTxedis Suawrfe mesame gverdisparaleluria da mis naxevars udris.
DK || AC
DK = AC
1
2
3
a b
c
A C
B
D K
122
samkuTxedis samive mediana erT wertilSiikveTeba da erTmaneTs erT mesameds CamoWrian.medianebis gadakveTis wertils samkuTxedissimZimis centri ewodeba.
medianis sigrZe gamoiTvleba formuliT:
BD = 2 . AB2 + 2 . BC2 _ AC2
samkuTxedze yovelTvis SeiZleba wrewirisSemoxazva da masSi wrewiris Caxazva.
samkuTxedze Semoxazuli wris centri gver-debis SuamarTobebis gadakveTis wertilSia.marTkuTxa samkuTxedSi es wertili hipote-nuzis Sua wertilia.
samkuTxedis samive Siga kuTxis biseqtrise-bi erT wertilSi ikveTeba da es wertili sam-kuTxedSi Caxazuli wris centria.
a b
c 2a2b
2c
A C
B
M N
D
123
samkuTxedis erT-erTi gverdis paralelu-ri da ori danarCeni gverdis gadamkveTi wrfeam gverdebs proporciul nawilebad yofs.
or samkuTxeds, romelTa wveroebis Sesabami-soba ise SeiZleba damyardes, rom Sesabamisi kuT-xeebi Tanatoli iyos, Sesabamisi gverdebi ki _proporciuli, msgavsi samkuTxedebi ewodeba.
samkuTxedis ori gverdis gadamkveTi da me-samis paraleluri wrfe mocemuli samkuTxe-didan msgavs samkuTxeds CamoWris.
DK || AC
ΔABC ~ ΔDBK
samkuTxedebis msgavsebis niSnebi:
I. Tu erTi samkuTxedis ori kuTxe, Sesaba-misad, tolia meore samkuTxedis ori kuTxisa,aseTi samkuTxedebi msgavsia;
II. Tu erTi samkuTxedis ori gverdi pro-porciulia meore samkuTxedis ori gverdisa,xolo am gverdebs Soris kuTxeebi tolia, ase-Ti samkuTxedebi msgavsia;
A C
B
D K
124
III. Tu erTi samkuTxedis sami gverdi, Sesa-bamisad, proporciulia meore samkuTxedis sa-mi gverdisa, aseTi samkuTxedebi msgavsia;
marTkuTxa samkuTxedebi msgavsia, Tu:
I. samkuTxedebs TiTo maxvili kuTxe Tana-toli aqvs;
II. samkuTxedebs kaTetebi, Sesabamisad, pro-porciuli aqvs;
III. samkuTxedebs, Sesabamisad, proporciu-li aqvs hipotenuza da kaTeti.
samkuTxedis Siga kuTxis biseqtrisa mopir-dapire gverds danarCeni gverdebis proporci-ul nawilebad yofs.
samkuTxedis Siga kuTxis biseqtrisa gamo-iTvleba formuliT
AD 2 = AB . AC – BD . DC
B
A C
D
125
marTkuTxa samkuTxedSi marTi kuTxis wve-rodan hipotenuzaze daSvebuli marTobi saSu-alo geometriulia hipotenuzis monakveTebi-sa, xolo TiToeuli kaTeti saSualo geomet-riulia hipotenuzisa da masze am kaTetis geg-milisa.
h 2 = c1 . c2
b 2 = c . c1
a 2 = c . c2
piTagoras Teorema: marTkuTxa samkuT-xedSi kaTetebis kvadratebis jami hipotenu-zis kvadratis tolia.
a 2 + b 2 = c 2
wesieri ewodeba samkuTxeds, romelsac ro-gorc yvela gverdi, ise yvela kuTxe Tana-toli aqvs.
C
A BD
h
c1 c2
c
b a
A C
B
c
b
a
126
wesieri samkuTxedis TiToeuli Siga kuTxe60o-ia. wesier samkuTxedze Semoxazul da masSiCaxazul wrewirebs saerTo centri aqvT da maswesieri samkuTxedis centri ewodeba. rogorcukve viciT, wesieri samkuTxedis gverdi Caxa-zuli da Semoxazuli wris radiusebiT ase ga-moisaxeba:
a3 = 2 r = R .samkuTxedis farTobi fuZisa da simaRlis
namravlis naxevris tolia.
S = AC . BD
marTkuTxa samkuTxedis farTobi kaTete-bis namravlis naxevris tolia.
S = AC . BC
wesieri samkuTxedis farTobia S = ,
sadac a wesieri samkuTxedis gverdia.
B
A CD
AC
B
127
samkuTxedis farTobis gamoTvla sami gver-diT (heronis formula):
S = p(p _ a)(p _ b)(p _ c) , sadac p = .
Tu or samkuTxeds TiTo kuTxe toli aqvs, ma-Sin samkuTxedebis farTobebis fardoba am kuT-xeTa gverdebis namravlTa fardobis tolia.
msgavsi samkuTxedebis farTobebi ise See-fardeba erTmaneTs, rogorc Sesabamisi gver-debis kvadratebi:
= = = .
B
A Cb
c a
a + b + c2
AB . ACA1B1
. A1C1
=SABC
SA1B1C1
A
B C
A1
B1 C1
128
msgavsi samkuTxedebis perimetrebi ise See-fardeba erTmaneTs, rogorc Sesabamisi gver-
debi: = = = .
marTkuTxa samkuTxedebis amoxsna:
∠ A + ∠ B = 90o
sin A = ,
cos A = ,
aqedan gvaqvs a = c sin A, b = c cos A.
sin B = , cos B = .
aqedan gvaqvs b = c sin B, a = c cos B.
kaTeti udris hipotenuzas, gamravlebulsam kaTetis mopirdapire kuTxis sinusze an amkaTetis mimdebare kuTxis kosinusze.
B
A Cb
c aB1
A1 C1b1
c1 a1
C A
B
ca
b
129
tg A = , ctg A = .
aqedan gvaqvs a = b tg A, b = a ctg A.
tg B = , ctg B = .
aqedan gvaqvs b = a tg B, a = b ctg B.
kaTeti udris meoTxe kaTets, gamravle-buls pirveli kaTetis mopirdapire kuTxistangensze an am kaTetis mimdebare kuTxis ko-tangensze.
sinusebis Teorema: yovel samkuTxedSigverdebi mopirdapire kuTxeebis sinusebisproporciulia.
= = = 2R.
aqedan gvaqvs:
a = 2R sin A; b = 2R sin B; c = 2R sin C, sadac RsamkuTxedze Semoxazuli wris radiusia.
B
A Cb
c a
130
samkuTxedis gverdi udris Semoxazuliwris diametrisa da mopirdapire kuTxis sinu-sis namravls.
kosinusebis Teorema: samkuTxedis gver-dis kvadrati udris danarCeni ori gverdiskvadratebis jams, minus gaorkecebuli namrav-li am gverdebisa maT Soris mdebare kuTxis ko-sinusze.
a2 = b2 + c2 _ 2bc cOsA
b2 = a2 + c2 _ 2ac cOsB
c2 = a2 + b2 _ 2ab cOsC
samkuTxedis farTobi udris misi ori gver-disa da maT Soris kuTxis sinusis namravlis na-xevars.
S = ab . sinC
B
A Cb
c a
B
A Cb
c a
131
samkuTxedze Semoxazuli wris radiusi ud-ris sami gverdis namravls, gayofils samkuT-xedis gaoTxkecebul farTobze.
R = .
marTkuTxa samkuTxedze Semoxazuli wrisradiusi hipotenuzis naxevaria.
R = , e. i. hipote-
nuzis mediana misnaxevars udris.
samkuTxedSi Caxazuli wris radiusi udrissamkuTxedis farTobisa da naxevarperimetrisfardobas.
B
A Cb
c a
A C
B
O
B
A Cb
c aO
a + b + c2
p =
Sp
r =
132
marTkuTxa samkuTxedSi Caxazuli wris ra-diusi gamoiTvleba formuliT
samkuTxedis farTobis gamosaTvleladgvaqvs Semdegi formulebi:
1. S = b . h; 2. S = b c . sin A;
3. S = p(p _ a)(p _ b)(p _ c) , sadac p = ;
4. R = , sadac R samkuTxedze Semoxazu-
li wris radiusia;
A C
B
Oa + b _ c
2r =
B
A Cb
c ah
a + b + c2
133
5. S = p . r, sadac p = , xolo r Caxazu-
li wris radiusia;
6. marTkuTxa samkuTxedis S = a . b, sadac a
da b kaTetebia;
7. S = , sadac a wesieri samkuTxedis gver-
dia.
savarjiSo:
1. tolferda samkuTxedis erTi gverdia 20 sm,meore ki _ 5 sm. amaTgan romelia ferdi?
pasuxi: 20 sm.
2. marTkuTxa samkuTxedis maxvili kuTxeebia:
A = 60o, B = 30o. ipoveT A kuTxis biseqtrisa,
Tu BC = 18 sm.
pasuxi: 12 sm.
3. marTi kuTxis wverodan gavlebulia am kuT-xis biseqtrisa da simaRle, romelTa Soris
a + b + c2
134
kuTxe 20o-ia. ipoveT samkuTxedis maxvilikuTxeebi.
pasuxi: 25o; 65o.
4. tolferda marTkuTxa samkuTxedSi, rom-lis kaTetia 10 sm, Caxazulia kvadrati ise,rom mas samkuTxedTan erTi saerTo kuTxeaqvs. ipoveT kvadratis gverdi.
pasuxi: 5 sm.
5. marTkuTxa samkuTxedis maxvili kuTxea 200.ra kuTxiT Cans am samkuTxedis gverdebi Se-moxazuli wris centridan?
pasuxi: 40o; 140o; 180o.
6. samkuTxedis ferdebis gegmilebi fuZeze 18sm da 30 sm-ia. udidesi ferdi 50 sm-ia. ra na-wilebad iyofa es ferdi fuZis SuamarTobiT?
pasuxi: 10 sm da 40 sm.
7. tolferda samkuTxedis ferdia 5 sm, xolofuZe _ 6 sm. ipoveT samkuTxedSi Caxazuliwris radiusi.
pasuxi: 3/2 sm.
8. wesier samkuTxedze Semoxazuli da Caxazu-li wrewirebis radiusebis sxvaobaa 4 sm.ipoveT samkuTxedis gverdi.
pasuxi: 8 sm.
152
§4. cilindri, konusi, birTvi
Tu marTkuTxeds davabrunebT romelimegverdis garSemo, miviRebT zedapirs, ro-melsac marTi wriuli cilindruli zeda-piri ewodeba, xolo am zedapiriT Semosaz-Rvrul sivrcis nawils _ marTi cilindri.Cven mxolod marT cilindrebs ganvixi-lavT. marTkuTxedis gverds, romlis gar-Semoc xdeba brunva, cilindris RerZi ewo-deba, mis mopirdapire gverds _ cilindrismsaxveli, danarCeni ori gverdiT Semoxa-zul wreebs _ cilindris fuZeebi.
cilindris gverdiTi zedapiris farTobifuZis wrewiris sigrZisa da cilindris simaR-
lis namravlis tolia: Sgv = 2πRH, sadac R fu-
Zis radiusia, xolo H cilindris simaRle.
B
A
C
D
H
R
153
cilindris RerZze gamaval ABCD kveTas
RerZuli kveTa ewodeba.
cilindris moculoba fuZis farTobisa da
simaRlis namravlis tolia: V = πR2H.
Tu marTkuTxa samkuTxeds davabrunebTromelime kaTetis garSemo, miviRebT zeda-pirs, romelsac konusuri zedapiri ewode-ba, am zedapiriT SemosazRvrul sivrcis na-wils ki _ konusi. hipotenuzas am SemTxve-vaSi msaxveli ewodeba. kaTeti, romlis gar-Semoc brunva xdeba, konusis simaRlea. ko-nusis wverodan daSvebuli simaRle fuZiswris centrSi gadis, amitom aseT konusebsmarTi wriuli konusi ewodeba. Cven mxo-lod aseT konusebs ganvixilavT. cxadia,marTi wriuli konusis kveTa fuZis parale-luri sibrtyiT wres warmoadgens.
ASB kveTas RerZuli kveTa ewodeba.
BA
S
H
R
154
konusis gverdiTi zedapiris farTobi fu-Zis wrewiris sigrZisa da msaxvelis namravlis
naxevris tolia: Sgv
= πRl.konusis moculoba misi fuZis farTobisa
da simaRlis namravlis mesamedis tolia:
V = πR 2H.
Tu wrewirs davabrunebT diametris garSe-mo, miviRebT zedapirs, romelsac sferulizedapiri ewodeba. wrewiris centrs sferu-li zedapiris centri ewodeba, xolo wre-wiris radiuss _ sferuli zedapiris radi-usi. sferuli zedapiriT SemosazRvrulsivrcis nawils birTvi ewodeba.
birTvis yoveli kveTa sibrtyiT wrea.
OM _ birTvis radiusia;
O1 M _ kveTis radiusi;
OO1 _ manZili centridan mkveT sibrtyemde.
O
M
123456789012345678901234567890O1
155
kveTis wre udidesia, rodesac gadamkveTisibrtye birTvis centrze gadis. aseT wres di-di wre ewodeba, xolo Sesabamis wrewirs _ didiwrewiri.
centridan tolad daSorebuli kveTebi to-lia, xolo ori kveTidan udidesi centrTanuaxloesia.
ori didi wrewiri urTierTgadakveTisaserTmaneTs Suaze yofs.
sibrtyes, romelsac sferos zedapirTanmxolod erTi saerTo wertili aqvs, mxebi sib-rtye ewodeba, xolo am wertils _ Sexebis wer-tili.
Sexebis wertilSi gavlebuli radiusi mxebisibrtyis marTobia.
sferuli zedapiris farTobia: S = 4πR2, sa-
dac R sferuli zedapiris radiusia.
birTvis moculoba sferos zedapiris far-Tobisa da radiusis mesamedis namravlis to-
lia: V = πR 3.
156
savarjiSo:
1. cilindris gverdiTi zedapiri Slili mar-TkuTxedia, romlis diagonalebi ikveTeba60o kuTxiT. diagonalis sigrZe 10 sm-ia. ipo-veT cilindris gverdiTi zedapiri.
pasuxi: 25 sm2.
2. konusis fuZis centridan mis msaxvelamdemanZili udris 5 sm, xolo kuTxe msaxvelsada simaRles Soris 30o-ia. ipoveT konusisgverdiTi zedapiris farTobi.
pasuxi: π.
3. konusis simaRlesa da msaxvels Soris 60o-ia.or urTierTmarTobul msaxvelze gamavalikveTis farTobia 18 sm2. ipoveT konusis mo-culoba.
pasuxi: 27π.
4. birTvis zedapirze mocemulia sami werti-li, romelTa Soris manZilebia 12 sm; 16 sm;20 sm. birTvis radiusia 30 sm. ipoveT manZi-li centridan am sam wertilze gamaval sib-rtyemde.
miTiTeba: aRniSnuli wertilebi arianmarTkuTxa samkuTxedis wveroebi, radgan
122+ 162= 202.
157
birTvis centridan am wertilebamde manZi-li aris birTvis radiusi. gvaqvs samkuTxa pi-ramida, romlis wiboebia 30 sm da fuZis gver-debi 12 sm; 16 sm; 20 sm. radgan wiboebi tolia,piramidis wvero gegmildeba Semoxazuli wriscentrSi, e. i. Cvens SemTxvevaSi hipotenuzisSua wertilSi.
x2 = 302 _ 102 = 800;
x = 20 .
pasuxi: 20 sm.16 12
10 1020
3030
30x
