Στην διάταξη του σχήµατος (1) οι τροχαλίες τ1 και τ2 έχουν την ίδια µάζα Μ που θεωρείται συγκεντρωµένη στην περι φέρειά τους και την ίδια ακτίνα R. Στο αυλάκι της σταθερής τροχα λίας τ2 έχει περιτυλιχθεί αβαρές και µη εκτατό νήµα, του οποίου το ελεύθερο άκρο έχει δεθεί στο κέντρο της ελεύθερης τροχαλίας τ1, από το αυλάκι της οποίας διέρχεται αβαρές και µη εκτατό νήµα. Στα άκρα του νήµατος αυτού είναι στερεωµένα τα σώµατα Σ1 και Σ2, που έχουν τη ίδια µάζα m. To σύστηµα κρατείται ακίνητο και κάποια στιγµή αφήνεται ελευθερο. i) Nα βρείτε την επιτάχυνση του κέντρου της τροχαλίας τ1. ii) Nα βρείτε σε συνάρτηση µε τον χρόνο την κινητική ενέργεια του συστήµατος και την στροφορµή του περί το κέντρο της τροχαλίας τ2. Δίνεται η επιτάχυνση

�

! g της βαρύτητας και ότι τα νήµατα δεν ολισθαί

νουν στα αυλάκια των τροχαλιών. ΛΥΣΗ: i) Η τροχαλία τ2 εκτελεί περιστροφική κίνηση που επηρεάζεται από την ροπή της τάσεως

�

! T του νήµατος που είναι περιτυλιγµένο στο αυλάκι της.

Εάν

�

! ! '

2 είναι η γωνιακή επιτάχυνση της τροχαλίας αυτής θα ισχύει, συµφωνα

µε τον θεµελιώδη νόµο της στροφικής κίνησης, η σχέση:

�

TR = MR2!'

2

�

!

�

T = MR! '2 (1)

Η τροχαλία τ1 ενδέχεται να εκτελεί περιστροφική και µεταφορική κίνηση, υπό την επίδραση του βάρους της

�

M! g , των τάσεων

�

! T '

1,

�

! T '

2 του νήµατος που περι

βάλλει το αυλάκι της και της τάσεως

�

! T ' του νήµατος που είναι στερεωµένο στο

κέντρο της, η οποία είναι αντίθετη της

�

! T . Εάν

�

! ! '

1 είναι η γωνιακή επιτάχυνση

της τροχαλίας τ1, θα ισχύει σύµφωνα µε τον θεµελιώδη νόµο της στροφικής κί νησης, η σχέση:

�

T'1R - T'

2R = MR

2!'

1

�

!

�

T'1-T'

2= MR! '

1 (2)

Eξάλλου εάν

�

! a

C είναι η επιτάχυνση του κέντρου της τροχαλίας τ1, θα ισχύει

σύµφωνα µε τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα η σχέση:

�

Mg + T'1 +T'2 -T'= MaC

�

!

�

Mg + T'1 +T'2 -T = MaC (3) Όµως η επιτάχυνση

�

! a

C είναι κάθε στιγµή ίση µε την επιτρόχια επιτάχυνση του

σηµείου επαφής του νήµατος µε την τροχαλία τ2, µε αποτέλεσµα η σχέση (1) να γράφεται Τ=ΜaC, οπότε η (3) παίρνει την µορφή:

�

Mg + T'1 +T'2 -MaC = MaC

�

!

�

Mg + T'1 +T'2 = 2MaC (4) Aκόµη, εάν

�

! a

1,

�

! a

2 είναι οι επιταχύνσεις των σωµάτων Σ1 και Σ2 αντιστοίχως,

θα έχουµε για τις αλγεβρικές τους τιµές, συµφωνα µε τον δεύτερο νόµο κίνη σης του Νεύτωνα, τις σχέσεις:

�

mg - T1 = ma1

mg - T2 = ma2

!

"

#

�

!

�

mg - T'1 = ma1

mg - T'2 = ma2

!

"

#

�

!

�

T'1 = m(g - a1)

T'2 = m(g - a2)

!

"

#

(5)

Σχήµα 1 διότι οι τάσεις

�

! T

1,

�

! T

2 των νηµάτων που δέχονται τα σώµατα Σ1 και Σ2 αντιστοί

χως είναι αντίθετες των τάσεων

�

! T '

1,

�

! T '

2. Aκόµη ισχύουν οι σχέσεις a1=aC+ω’1R

και a2=aC-ω’1R, οπότε οι (5) γράφονται:

�

T'1 = m(g - aC -!'1 R)

T'2 = m(g - aC +!'1 R)

"

#

$

(6)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (2) και (6) παίρνουµε:

�

m(g - aC -! '1 R) - m(g - aC +!'1 R) = MR! '1

�

!

�

-2m! '1R = MR! '

1

�

!

�

(2m + M)R! '1 = 0

�

!

�

!'1= 0

δηλαδή η τροχαλία τ1 δεν περιστρέφεται. Συνδυάζοντας εξάλλου τις σχέσεις (4) και (6) παίρνουµε:

�

Mg + m(g - aC -! '1 R) + m(g - aC +!'1 R) = 2MaC

�

!

�

Mg + 2mg - 2maC - m!'1 R + m! '1 R = 2MaC

�

!

�

(M + 2m)g = 2(M + m)aC

�

!

�

aC =(M + 2m)g

2(M + m) (7)

δηλαδή η τροχαλία τ1 εκτελεί οµαλά επιταχυνόµενη µεταφορική κίνηση κατά την εξέλιξη της οποίας το κέντρο της µετατοπίζεται κατακόρυφα προς τα κάτω. Οι παραπάνω υπολογισµοί οδηγούν στα εξής συµπεράσµατα για την κινητική κατάσταση του συστήµατος: a. H τροχαλία τ2 εκτελεί οµαλά επιταχυνοµενη περιστροφική κίνηση µε γωνιακή επιτάχυνση

�

! ! '

2, της οποίας το µέτρο είναι:

�

!'2=

aC

R

�

!

(7)

�

!'2 =(M + 2m)g

2(M + m)R

b. H τροχαλία τ1 και τα σώµατα Σ1, Σ2 εκτελούν κατακόρυφη προς τα κάτω µεταφορική κίνηση µε την ίδια σταθερή επιτάχυνση

�

! a

C, δηλαδή

αποτελούν ένα σώµα µάζας 2m+M που κινείται µεταφορικά µε επιτά χυνση

�

! a

C.

ii) H κινητική ενέργεια Κ του συστήµατος είναι κάθε στιγµή t ίση µε το αλγεβ ρικό άθροισµα των κινητικών ενεργειών των σωµάτων που το αποτελούν, δηλα δή ισχύει η σχέση:

�

K = K! 2

+ K! 1

+ K" 2

+ K" 1

=MR

2#

2

2

2+

MvC

2

2+

mv2

2

2+

mv1

2

2

�

!

�

K =MR

2!'

2

2t2

2+

MaC

2t2

2+

maC

2t2

2+

maC

2t2

2

�

!

�

K =2MaC

2t2

2+

2maC

2t2

2= (M + m)aC

2t2

�

!

(7)

�

K = (M + m)(M + 2m)2g2

4(M + m)2t2 =

(M + 2m)2g2

4(M + m)t2 (8)

H στροφορµή

�

! L του συστήµατος περί το κέντρο της τροχαλίας τ2 είναι κάθε

στιγµή t ίση µε το διανυσµατικό άθροισµα των αντιστοίχων στροφορµών των σωµάτων που το αποτελούν, δηλαδή ισχύει:

�

! L =

! L

! 2+! L

! 1+! L

" 2+! L

" 1= MR

2# 2

! k + MvCR

! k +! 0 + mv1(2R)

! k

�

!

�

! L = 2MvCR

! k + 2mv1R

! k = 2R(MaCt + maCt)

! k

�

!

�

! L = 2(M + m)RaCt

! k

�

!

(7)

�

! L = 2(M + m)R

! k

(M + 2m)g

2(M + m)t! k

�

!

�

! L = (M + 2m)Rgt

! k (9)

όπου

�

! k το µοναδιαίο κάθετο διάνυσµα στο επίπεδο των τροχαλιών, του οποίου

η φορά θεωρήθηκε αυθαίρετα ίδια µε την φορά του

�

! ! '

2.

P.M. fysikos

Στην διάταξη του σχήµατος (2) η ράβδος ΑΒ είναι οµογενής, έχει µήκος L και µάζα 3m µπορεί δε να στρέφεται περί οριζόντιο άξονα, που διέρχεται από το µέσον της Ο. Το σφαιρίδιο που είναι στερεωµένο στο άκρο Α της ράβδου έχει µάζα m, η τροχαλία επίσης έχει µάζα m το δε νήµα που περιβάλλει το αυλάκι της είναι µη εκτατό και δεν ολισθαίνει πάνω σ’ αυτό, ενώ στις άκρες του είναι στερεωµένα τα σώµατα Σ1 και Σ2 µε αντίστοιχες µάζες 2m και m. Το συστηµα κρατείται ακίνητο µε την ράβδο στην οριζόντια θέση και το νήµα ΒC κατακόρυφο, κάποια δε στιγµή που λαµβάνεται ως αρχή µέτρησης του χρόνου αφήνεται ελεύθερο. Nα βρεθούν οι γωνιακές επιταχύνσεις της ράβδου και της τροχαλίας κατά την εκκίνηση του συστήµατος. Δίνεται η επιτάχυνση

�

! g της βαρύτητας, η ροπή αδράνει

ας ΙΡ=3mL2/12 της ράβδου ως προς άξονα που διέρχεται από το µέσον της και είναι κάθετος σ’ αυτήν και η ροπή αδράνειας ΙΤ=mR2/2 της τροχαλίας ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο της και είναι κάθετος στο επίπεδό της. ΛΥΣΗ: Αµέσως µετά την στιγµή t=0 η ράβδος ΑΒ είναι οριζόντια και το νήµα ΒC κατακόρυφο το δε σύστηµα ράβδος-σφαιρίδιο δέχεται το βάρος

�

3m! g της

ράβδου, το βάρος

�

m! g του σφαιριδίου την τάση

�

! T του νήµατος ΒC και την αντί

δραση

�

! Q του άξονα περιστροφής της ράβδου. Εάν

�

! ! '" είναι η γωνιακή επιτά

χυνση περιστροφής του συστήµατος περί το Ο, θα ισχύει σύµφωνα µε τον θεµε λιώδη νόµο της στροφικής κίνησης η σχέση:

�

TL

2- mg

L

2=

3mL2

12+ m

L2

4

!

" #

$

% & ''(

�

!

�

T = mg + mL! '" (1)

όπου

�

! ! '" η γωνιακή επιτάχυνση της ράβδου. Την ίδια στιγµή η τροχαλία δέχε

ται το βάρος της

�

m! g , την τάση

�

! T ' του κατακόρυφου νήµατος ΒC που είναι

αντίθετη της

�

! T και τις τάσεις

�

! T '

1,

�

! T '

2 των δύο κλάδων του νήµατος που περι

βάλλει το αυλάκι της. Εάν

�

! a

C είναι η επιτάχυνση του κέντρου µάζας της τροχα

λίας, τότε σύµφωνα µε τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα θα ισχύει:

�

T'1+T'2 +mg - T'= maC

�

!

�

T'1+T'2 +mg - T = maC

�

!

(1)

�

T'1+T'2 +mg - mg - mL!'" = maC

�

!

�

T'1+T'

2- mL! '" = ma

C (2)

Όµως ισχύει και η σχέση aC =ω’Ρ L/2, οπότε η (2) γράφεται:

�

T'1+T'

2- mL! '" = mL!'" /2

�

!

�

T'1+T'

2= 3mL!'" /2 (3)

Εξάλλου ο θεµελιώδης νόµος της στροφικής κίνησης δίνει για την τροχαλία την σχέση:

Σχήµα 2

�

T'1R -T'

2R =

mR2

2!'

"

�

!

�

T'1-T'

2=

mR

2!'

" (4)

Eξετάζοντας την ίδια στιγµή τα σώµατα Σ1 και Σ2, µπορούµε, συµφωνα µε τον δεύτερο νόµο του Νεύτωνα, να γράψουµε τις σχέσεις:

�

2mg - T1 = 2ma1

mg - T2 = ma2

!

"

#

�

!

�

2mg - T'1 = 2ma1

mg - T'2 = ma2

!

"

#

�

!

�

T'1 = 2m(g - a1)

T'2 = m(g - a2)

!

"

#

(5)

όπου

�

! T

1,

�

! T

2 οι τάσεις των νηµάτων εξάρτησης των σωµάτων, αντίθετες των

�

! T '

1,

�

! T '

2 και

�

! a

1,

�

! a

2 οι επιταχύνσεις τους. Όµως για τις αλγεβρικές τιµές των

επιταχύνσεων

�

! a

1 και

�

! a

2 έχουµε a1=aC+ωτ’R και a1=aC-ωτ’R, οπότε οι σχέσεις (5)

γράφονται:

�

T'1 = 2m(g - aC -! '" R)

T'2 = m(g - aC +! '" R)

#

$

%

�

!

�

T'1 = 2m(g -! '" R/2 -!'" R)

T'2 = m(g -! '" R/2 +!'" R)

#

$

%

�

!

�

T'1 = 2m(g - 3! '" R/2)

T'2 = m(g +!'" R/2)

#

$

%

(6)

H σχέση (4) λόγω των (6) γράφεται:

�

2m(g - 3!'"R/2)-m(g +! '

"R/2) = mR! '

"/2

�

!

�

2g - 3!'"R-g -! '

"R/2 = R! '

"/2

�

!

�

!'"= g/2R (7)

H σχέση (3) λόγω των (6) γράφεται:

�

2m(g - 3!'" R/2)+m(g +! '" R/2) = 3mL! '# /2

�

!

�

2g - 3!'" R+g +! '" R/2 = 3L!'# /2

�

!

(7)

�

3g - 3g/2+ g/4 = 3L! '" /2

�

!

�

7g = 6L! '"

�

!

�

!'" = 7g /6L

P.M. fysikos

To σώµα Σ του σχήµατος (3) έχει µάζα Μ και ισορ ροπεί πάνω σε λείο οριζόντιο έδαφος. Κάποια στιγµή αφήνουµε στην κεκλιµένη επιφάνεια του σώµατος µια οµογενή σφαίρα µάζας m, η οποία αρχίζει να κυλίεται χωρίς ολίσθηση. Να µελετήσετε την κίνηση του σώµατος Σ στο σύστηµα αναφοράς του εδάφους και να εκφράσετε την µετατόπισή του σε συνάρτηση µε τον χρόνο. Δίνεται η γωνία κλί σεως φ της κεκλιµένης επιφάνειας του σώµατος ως προς το οριζόντιο επίπεδο η ροπή αδράνειας ΙC=2mR2/5 της σφαίρας ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο µάζας της C και η επιτάχυνση

�

! g της βαρύ

τητας. ΛΥΣΗ: Το σώµα Σ υπό την επίδραση της δύναµης επαφής που δέχεται από την σφαίρα τίθεται σε κίνηση πάνω στο λείο οριζόντιο έδαφος. Οι εξωτερικές δυνάµεις που δέχεται το σύστηµα σφαίρα-σώµα Σ (βάρος της σφαίρας, βάρος σώµατος, αντίδραση οριζόντιου εδάφους), είναι κατακόρυφες που σηµαίνει ότι η ορµή του συστήµατος κατά την οριζόνια διεύθυνση δεν µεταβάλλεται στην διάρκεια της κίνησής του. Έτσι εάν

�

! V είναι η ταχύτητα του σώµατος Σ στο

σύστηµα αναφοράς του εδάφους κατά µια τυχαία στιγµή t και

�

! v

x η οριζόντια

συνιστώσα της αντίστοιχης ταχύτητας

�

! v του κέντρου µάζας C της σφαίρας, θα

ισχύει η σχέση:

�

M! V + m

! v

x=! 0

�

!

�

! V = -

m

M

! v

x (1)

Παραγωγίζοντας την (1) ως προς τον χρόνο t παίρνουµε:

�

d! V

dt= -

m

M

d! v

x

dt

�

!

�

! a

!= -

m

M

! a

x (2)

όπου

�

! a ! η επιτάχυνση του Σ και

�

! a

x η οριζόντια συνιστώσα της επιτάχυνσης

του κέντρου µάζας της σφαίρας στο σύστηµα αναφοράς του εδάφους. Εξάλλου στο σύστηµα αναφοράς του σώµατος Σ η σφαίρα κυλίεται χωρίς ολίσθηση υπό την επίδραση του βάρους της

�

! w , της δύναµης επαφής από την κεκλιµένη

επιφάνεια του σώµατος, η οποία αναλύεται στην στατική τριβή

�

! T και την κάθε

τη αντίδραση

�

! N και τέλος της αδρανειακής ψευδοδύναµης

�

! ! = -m

! a ", η οποία

είναι οριζόντια και αντίρροπη προς την φορά κίνησης του σώµατος Σ. Η

�

! T

παρουσιάζει ροπή περι το κέντρο της σφαίρας, που της προσδίδει γωνιακή επι τάχυνση

�

! ! ' για την οποία ισχύει ο θεµελιώδης νόµος της στροφικής κίνησης,

δηλαδή έχουµε την σχέση:

�

TR = IC!'

�

!

�

TR = 2mR2! '/5

�

!

�

T = 2mR!'/5 (3)

Σχήµα 3 Εάν

�

! v !x

είναι η σχετική ταχύτητα της σφαίρας ως προς το σώµα Σ και

�

! ! η

γωνιακή της ταχύτητα, θα ισχύει λόγω της κυλίσεώς της η σχέση:

�

v!x

= "R

�

!

�

dv!x

dt=

d"

dtR

�

!

�

a!x

= " 'R (4)

όπου

�

! a !x

η σχετική επιτάχυνση του κέντρου της σφαίρας ως προς το σώµα Σ. Έτσι η σχέση (3) γράφεται:

�

T = 2ma!x/5 (5)

Eφαρµόζοντας για την σχετική κίνηση του κέντρου µάζας της σφαίρας ως προς το σώµα Σ τον δέυτερο νόµο κίνησης του Νευτωνα, παίρνουµε την σχέση:

�

!x'

+ wx'

- T = ma"x

�

!

(5)

�

!"#$% + w&µ% - 2ma"x/5 = ma"x

�

!

�

ma!"#$% + mg&µ% = 7ma"x /5

�

!

�

a!" = 5(a#!$%& + g'µ&)/7 (6)

Όµως η αλγεβρική τιµή της επιτάχυνσης

�

! a

x ικανοποιεί την σχέση:

�

ax = (a!" )x - a# = a!"!$%& - a#

�

!

(2)

�

(m/M +1)a! = a"#"$%&

�

!

(6)

�

7(m + M) - 5M!"#2$[ ]a% = 5Mg&µ$!"#$

�

!

�

a! =5Mg"µ#$%&#

7(m + M) - 5M$%&2# (7)

Aπό την (7) προκύπτει ότι η επιτάχυνση του σώµατος Σ στο σύστηµα αναφοράς

του εδάφους είναι σταθερή, δηλαδή το σώµα εκτελεί ως προς το έδαφος οµαλά επιταχυνόµενη µεταφορική κίνηση καθώς η σφαίρα κυλίεται στην κεκλιµένη επιφάνειά του. Έτσι η µετατόπισή του SΣ ως προς το έδαφος σε χρόνο t, δίνεται από την σχέση:

�

S!=

a!t2

2

�

!

(7)

�

S! =5

14

Mg"µ#$%&#m + M - 5M$%&2# /7

'

( )

*

+ , t

2

P.M. fysikos

Mία οµογενής αλυσίδα µήκους L, κινείται πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο µε σταθερή ταχύτητα και κάποια στιγµή αρχί ζει να ανέρχεται σε λείο κεκλιµένο επίπεδο, γωνίας κλίσεως φ ως πρός τον ορίζοντα. H ταχύτητα της αλυσίδας µηδενίζεται στιγµιαία, όταν βρίσκεται η µισή πάνω στο κεκλιµένο επίπεδο. i) Eάν x είναι το µήκος της αλυσίδας που βρίσκεται κάποια στιγµή σε επαφή µε το κεκλιµένο επίπεδο, να βρεθεί το µήκος αυτό σε συνάρτη ση µε τον χρόνο t. ii) Nα βρείτε τον χρόνο ανόδου της αλυσίδας στο κεκλιµένο επίπεδο. iii) Eάν v είναι το µέτρο της ταχύτητας της αλυσίδας, όταν το µήκος της πάνω στό κεκλιµένο επίπεδο είναι x, µε 0≤x≤L/2, να δείξετε την σχέση:

�

v2 =g!µ"

L

L2

4- x2

#

$ %

&

' (

Δίνεται η επιτάχυνση

�

! g της βαρύτητας.

ΛYΣH: i) Eστω x το τµήµα της αλυσίδας που βρίσκεται πάνω στο κεκλιµένο επίπεδο, ύστερα από χρόνο t αφότου αυτή άρχισε να ανέρχεται στο επίπεδο. Eάν

�

! w

x είναι το βάρος του τµήµατος αυτού, τότε η συνολική δύναµη που αντι

στέκεται στην ανοδική κίνηση της αλυσίδας είναι η συνιστώσα

�

! w

x

'' της

�

! w

x η

παράλληλη πρός το κεκλιµένο επίπεδο. Έτσι, σύµφωνα µε τον δευτερο νόµο κίνησης του Nεύτωνα, θα ισχύει η σχέση:

�

ma = -wx

'' !

�

md2x

dt2= -mxg!µ"

�

!

�

m*Ld2x

dt2= -m*xg!µ"

�

!

�

d2x

dt2+

g!µ"

Lx = 0

�

!

�

d2x

dt2

+!2x = 0 µε

�

!2 = g"µ# /L (1)

όπου m* η µάζα που παρουσιάζει η µονάδα µήκους της αλυσίδας και a η αλγεβ ρική τιµή της επιτάχυνσης της αλυσίδας κατά την θεωρούµενη χρονική στιγµή t. H σχέση (1) είναι µια οµογενής διαφορική εξίσωση δεύτερης τάξεως µε σταθερούς συντελεστές, η οποία δέχεται λύση της µορφής:

�

x = C1!µ"t + C

2#$%"t (2)

όπου C1, C2 σταθερές ποσότητες, που οι τιµές τους θα βρεθούν από τις αρχικές συνθήκες κίνησης της αλυσίδας. Για t=0 έχουµε x=0, οπότε η σχέση (2) δίνει: 0 = C10 + C2

�

! C2 = 0 οπότε x = C1ηµωt (3)

Σχήµα 4

Eξάλλου η αλγεβρική τιµή της ταχύτητας της αλυσίδας κατά την χρονική στιγ µή t είναι:

�

v = dx/dt

�

!

(3)

�

v = C1!"#$!t (4)

Oι σχέσεις (3) καί (4) εφαρµοζόµενες τη χρονική στιγµή t* που µηδενίζεται η ταχύτητα της αλυσίδας δίνουν αντιστοίχως:

L/2 = C1!µ"t*

0 = C1#$%"t*

! " #

�

!

L/2 = C1!µ"t*

0 = #$%"t*

!

" #

$ #

�

!

L/2 = C1!µ"t*

"t* =#/2

!

" #

$ #

�

! C1 = L/2

Έτσι η σχέση (3) παίρνει την µορφή:

�

x =L

2!µ

g!µ"L

t#

$

% %

&

'

( ( (5)

ii) Aπό την σχέση (3) έχουµε:

�

!µ"t =x

C1

=x

L/2

�

!

�

!µ2"t =

4x2

L2 (6)

Από την σχέση (4) έχουµε:

�

!"#$t =v

C1!

=v

!L/2

�

!

�

!"#2$t =

4v2

!2L

2 (7)

Προσθέτοντας κατά µέλη τις σχέσεις (6) και (7) παίρνουµε την σχέση:

�

1 =4v

2

!2L

2+

4x2

L2

�

!

�

!2L

2= 4x

2!

2+ 4v

2

�

!

�

v2

= ! 2 L2

4+! 2

x2

= ! 2 L2

4+ x

2"

#

$

%

&

'

�

!

�

v2 =g!µ"

L

L2

4- x2

#

$ %

&

' (

P.M. fysikos

Mια εύκαµπτη λεπτή αλυσίδα διέρχεται από το αυλάκι µικρής τροχαλίας, η οποία είναι στερεωµένη µε το επίπεδό της κατακόρυφο, χωρίς να µπορεί να περιστρέφεται. Η αλυσίδα κρα τείται ακίνητη και τα εκατέρωθεν της τροχαλίας τµήµατά της είναι κατακόρυφα µε µήκη α και β, όπου β<α. Κάποια στιγµή η αλυσίδα αφήνεται ελεύθερη και αρχίζει να κινείται ολισθαίνουσα χωρίς τριβή στο αυλάκι της τροχαλίας. i) Nα δείξετε ότι η µετατόπιση x του κατερχόµενου τµήµατος της αλυ σίδας ικανοποιεί την διαφορική εξίσωση:

�

d2x

dt2-

2gx

! +"=

g(! -")

! +"

όπου

�

! g η επιτάχυνση της βαρύτητας.

ii) Να δείξετε ότι ο χρόνος t* που χρείάζεται η αλυσίδα για να εγκα ταλείψει την τροχαλία, δίνεται από την σχέση:

�

t* =! +"2g

ln! + "

! - "

#

$ %

&

' (

ΛΥΣΗ: i) Eξετάζουµε την αλυσίδα την τυχαία χρονική στιγµή t που η µετα τόπιση του κατερχόµενου τµήµατός της είναι x. Eφαρµόζοντας για την αλυσίδα το θεώρηµα διατήρησης της µηχανικής ενέργειας, θεωρώντας ως επίπεδο µηδε νικής βαρυτικής δυναµικής ενέργειας το οριζόντιο επίπεδο που διέρχεται από το κέντρο της τροχαλίας, παίρνουµε την σχέση:

�

-!

2!gm*-

"

2"gm*+0=-

(!-x)

2(!-x)gm*-

("+x)

2("+x)gm*+

("+!)m*

2v2

�

!

�

-!2g-" 2g = - (! -x)2gm*- (" +x)2g+ (" +!)v2 (1)

όπου

�

! v η ταχύτητα του κατερχόµενου τµήµατος της αλυσίδας την χρονική

στιγµή t (η αντίστοιχη ταχύτητα του ανερχόµενου τµήµατος είναι

�

-

! v ) και m* η

ανά µονάδα µήκους µάζα της αλυσίδας. Διαφορίζοντας την σχέση (1) παίρνου µε:

Σχήµα 5

�

0=2(! -x)gdx- 2(" +x)gdx + 2(" +!)vdv

�

!

�

(! +")vdv

dt=-(" -x)g

dx

dt+(! +x)g

dx

dt

�

!

�

(! +")vd2x

dt2=-(" -x)gv+(! +x)gv

�

!

�

(! +")d2x

dt2=-(" -x)g+(! +x)g

�

!

�

(! +")d2x

dt2=2gx+(! -")g

�

!

�

d2x

dt2-

2gx

! +"=

! -"! +"

#

$ %

&

' ( g (2)

ii) H (2) αποτελεί µια µη οµογενή γραµµική διαφορική εξίσωση µε σταθερούς συντελεστες, η οποία δέχεται ως µερική λύση την x1(t)=-(α-β)/2. Η αντίστοιχη οµογενής της (2) έχει ως χαρακτηριστική εξίσωση την:

�

!2 -2g

" +#= 0

�

!

�

!2= " 2 µε

�

! 2 =2g

" +#

της οποίας οι ρίζες είναι ρ1=ω και ρ2=-ω. Άρα η οµογενής της (2) έχει λύση της µορφής:

�

x2(t) = C1e!t

+ C2e-!t (3)

όπου C1, C2 σταθερές των οποίων οι τιµές καθορίζονται από τις αρχικές συνθή κες κίνησης της αλυσίδας. H γενική λύση της (2) είναι:

�

x(t) = x1(t) + x2(t)

�

!

(2)

�

x(t) = -(! -")

2+ C1e

#t+ C2e

-#t (4)

Παραγωγίζοντας την (4) ως προς τον χρόνο t παίρνουµε την αλγεβρική τιµή της ταχύτητας

�

! v , δήλαδη θα έχουµε την σχέση:

�

v(t) = C1!e!t

- C2!e-!t (5)

Oι σχέσεις (4) και (5) για t=0 δίνουν:

�

0 = -(! -")/2 + C1 + C2

0 = #C1 -#C2

$

%

&

�

!

�

C1 + C2 = (! -")/2

C1=C2

#

$

%

�

!

�

C1=C

2=! -"

4

Έτσι η (4) παίρνει την µορφή:

�

x(t) = -(! -")

2+! -"

4e#t

+ e-#t( )

�

!

�

x(t) =! -"

4-2 + e

#t+ e

-#t( ) (6)

Tην χρονική στιγµή t* που η αλυσίδα εγκαταλείπει την τροχαλία είναι x(t*)=β, οπότε η (6) δίνει:

�

! =" -!

4-2 + e

#t* + e-#t*( )

�

!

�

4!

" -!+ 2 = e

#t* + e-#t*

Θέτοντας

�

e!t* = y η προηγούµενη σχέση γράφεται:

�

4!

" -!+ 2 = y +

1

y

�

!

�

2(! -")y

! -"= y2 +1

�

!

�

y2 - 2ky +1 = 0 (7)

µε k=(α-β)/(α+β). Οι ρίζες της (7) είναι:

�

y1 = k + k2 - 1 και

�

y2 = k - k2 - 1 οπότε θα έχουµε:

�

e!t* = k ± k

2- 1

�

!

�

!t*= ln k ± k

2- 1( ) (8)

Από τις σχέσεις (8) δεκτή είναι η:

�

!t*= ln k + k

2- 1( )

�

!

�

t*=

1

!ln k + k

2- 1( )

�

!

�

t*=! +"

2gln k + k2 - 1( ) (9)

Εξάλλου θα έχουµε:

�

k + k2- 1 =

! +"! -"

+! +"! -"

#

$ %

&

' (

2

- 1 =! +"! -"

+1

! -"! +"( )

2

- (! -")2

�

!

�

k + k2- 1 =

! +"

! -"+

4!"

! -"=! +" + 2 !"

! -"=

! + "( )2

!( )2

- "( )2

�

!

�

k + k2- 1 =

! + "

! - "

οπότε η (9) γράφεται:

�

t*=! +"2g

ln! + "

! - "

#

$ %

&

' (

P.M. fysikos

Oµογενής ράβδος AΓ µήκους 2L, δένεται στο κέντρο µάζας της C µε µή εκτατό νήµα µήκους L, το άλλο άκρο του οποίου στερεώνεται σε κατακόρυφο τοίχο όπως φαίνεται στο σχήµα (6). Tο άκρο A της ράβδου µπορεί να ολισθαίνει χωρίς τριβή πάνω στον τοίχο, ώστε η ράβδος να µένει συνεχώς στο ίδιο κατακόρυφο επίπεδο. Eάν την χρονική στιγµή t=0 η ράβδος αφήνεται ελεύθερη στην θέση φ=φ0, να εκφράσετε την γωνιακή ταχύτητα περιστροφής της ράβδου περί το κέντρο µάζας της, σε συνάρτηση µε την γωνία φ. Δίνεται η επιτάχυνση

�

! g της βαρύτητας.

ΛΥΣΗ: Εξετάζουµε τη ράβδο ΑΓ τη στιγµή που σχηµατίζει µε τον κατα κόρυφο τοίχο γωνία φ. Επί της ράβδου ενεργεί το βάρος της

�

! w , η τάση

�

! T του

νήµατος, που αναλύεται στην οριζόντια συνιστώσα

�

! T

x και στην κατακόρυφη

συνιστώσα

�

! T y και η αντίδραση

�

! K του τοίχου, της οποίας ο φορέας είναι κάθε

τος στον τοίχο, δηλαδή οριζόντιος. Σύµφωνα µε τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα οι διαφορικές εξισώσεις που καθορίζουν την κίνηση του κέντρου µάζας C της ράβδου έχουν την µορφή:

�

md2x /dt2 = K - Tx

md2y /dt2 = mg - Ty

!

"

#

�

!

�

md2x /dt2 = K - T!µ"

md2y /dt2 = mg - T#$%"

& ' ( (1)

όπου x, y οι συντεταγµένες του κέντρου C κατά την θεωρούµενη χρονική στιγµή. Όµως για τις συντεταγµένες αυτές ισχύουν οι σχέσεις:

�

x = L!µ"

y = L#$%"

& ' (

�

!

�

dx/dt = L!"#$ (d$/dt)

dy/dt = -L%µ$(d$/dt)

& ' (

�

!

�

d2x/dt2 = -L!µ" (d"/dt)2 + L#$%" (d2"/dt2

d2y/dt2 = -L#$%"(d"/dt)2 - L!µ" (d2"/dt2)

& ' (

�

!

�

d2x/dt2 = L -!µ" (d"/dt)2 +#$%" (d2"/dt2)[ ]

d2y/dt2 = -L #$%"(d"/dt)2 + !µ" (d2"/dt2)[ ]

(2)

Σχήµα 6

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) και (2) παίρνουµε:

�

mL -!µ" (d"/dt)2 +#$%" (d2"/dt2)[ ] =K - T!µ"

-mL #$%"(d"/dt)2 + !µ" (d2"/dt2)[ ] = mg - T#$%"

&

' (

) ( (3)

Εξάλλου για την κίνηση της ράβδου περί άξονα διερχόµενο από το C και κάθε το στην ράβδο ισχύει, συµφωνα µε τον θεµελιώδη νόµο της στροφικής κίνησης, η σχέση:

�

IC

d2!

dt2

= -LK"#$!

�

!

�

m(2L)2

12

d2!

dt2

= -LK"#$!

�

!

�

mL

3

d2!

dt2

= -K"#$! (4)

όπου ως θετική φορά περιστροφής εληφθη η φορά κατά την οποία η γωνία φ αυξάνεται. Πολλαπλασιάζουµε τα δύο µέλη της πρώτης εκ των σχέσεων (1) µε –συνφ και της δεύτερης µε ηµφ και τις προσθέτουµε κατά µέλη, οπότε θα έχου µε:

�

mL !µ"#$%"d"dt

&

' (

)

* +

2

- #$%2"d

2"dt

2

&

' (

)

* + - !µ"#$%"

d"dt

&

' (

)

* +

2

- !µ2"

d2"

dt2

&

' (

)

* +

,

-

.

.

/

0

1 1 =

�

= -K!"#$ + T%µ$!"#$ + mg%µ$ - T!"#$%µ$

�

!

�

mLd2!

dt2= K"#$! - mg%µ!

�

!

�

mLd2!

dt2= -

mL

3

d2!

dt2- mg"µ!

�

!

�

4mL

3

d2!

dt2= -mg"µ!

�

!

�

d2!

dt2= -

3g

4L"µ! (5)

Όµως ισχύει:

�

d2!

dt2

=d"

dt=

d"

d!

d!

dt= "

d"

d!

οπότε η (5) γράφεται:

�

!d! = -3g

4L"µ#d#

�

!

�

(!d!)0

!

" = -3g

4L(#µ$d$)

$ 0

$

"

�

!

�

!2

2= -

3g

4L-"#$% +"#$%0( )

�

!

�

! =3g

2L"#$% 0 - "#$%( )

P.M. fysikos