Φυσική Α' Λυκείου (βοήθημα)

Ä . Ð Á Ð Á Ô Ó Á Ê Ù Í Á Ó Á . Ó Õ Í Í Å Ö Á

ÖÕÓÉÊÇ

Á ´ Ë Õ Ê Å É Ï Õ

• ÁÍÁËÕÔÉÊÇ ÈÅÙÑÉÁ

• ÅÑÙÔÇÓÅÉÓ

• ËÕÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ

• ÁÍÁËÕÔÉÊÅÓ ÁÐÁÍÔÇÓÅÉÓ ÔÙÍ ÅÑÙÔÇÓÅÙÍ

ôïõ ó÷ïëéêïý âéâëßïõ

• ÁÍÁËÕÔÉÊÅÓ ËÕÓÅÉÓ ÔÙÍ ÁÓÊÇÓÅÙÍ

ôïõ ó÷ïëéêïý âéâëßïõ

Å Ê Ä Ï Ó Å É Ó Â Ï Ë Ï Í Á Ê Ç

protosel.qxd 10/15/08 12:07 PM Óåëßäá 1

ÊÜèå ãíÞóéï áíôßôõðï öÝñåé ôçí óöñáãßäá ôùí åêäüóåùí ÂÏËÏÍÁÊÇ

© Copyright

ÅÊÄÏÓÅÉÓ ÂÏËÏÍÁÊÇ

Ìáõñïìé÷Üëç 41 êáé Âáëôåôóßïõ

ÔÇË. 3608065 - 3608197

FAX 3608197

ÁÈÇÍÁ

Óôïé÷åéïèåóßá - Óåëéäïðïßçóç:

ÄÉÇÍÅÊÅÓ ôçë.: 3606826 - 3606760

ÉSBN: 978-960-381-392-7

Å Ê Ä Ï Ó Å É Ó

ÂÏËÏÍÁÊÇ


ΠΕΡ Ι ΕΧΟΜΕΝΑ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ .........................................................................................................7

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ1.1 Κίνηση ....................................................................................................171.2 Περιγραφή της κίνησης ........................................................................171.3 Ευθύγραµµη οµαλή κίνηση ...................................................................281.4 Ευθύγραµµη οµαλά µεταβαλλόµενη κίνηση ........................................61

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ – ΛΥΣΕΙΣ του 1ου κεφαλαίου ................................................123

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ∆ΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ∆ΙΑΣΤΑΣΗ2.1 Η έννοια της δύναµης .........................................................................1352.2 Σύνθεση συγγραµµικών δυνάµεων .....................................................1372.3 Ο 1ος νόµος του Νεύτωνα ..................................................................1472.4 Ο 2ος νόµος του Νεύτωνα ..................................................................1572.5 Η ελεύθερη πτώση των σωµάτων .......................................................186


ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ∆ΥΝΑΜΙΚΗ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ∆Ο ...................................................2133.1 Τρίτος νόµος του Νεύτωνα – Νόµος δράσης-αντίδρασης ................2153.2 Σύνθεση δυνάµεων στο επίπεδο .........................................................2433.3 ∆υνάµεις τριβής ..................................................................................2683.4 Οριζόντια βολή ....................................................................................2933.5 Οµαλή κυκλική κίνηση .........................................................................3193.6 Κίνηση σε κεκλιµένο επίπεδο ..............................................................355


ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΒΑΡΥΤΗΤΑ ...........................................................................3814.1 Νόµος της παγκόσµιας έλξης .............................................................3834.2 Ένταση στο βαρυτικό πεδίο της Γης .................................................3844.3 Η κίνηση των δορυφόρων ...................................................................3864.4 Φαινοµενική έλλειψη βάρους ..............................................................388


Φ Υ Σ Ι Κ Η Α ΄ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5ο: ∆ΙΑΤΗΡΗΣΗ ΤΗΣ ΟΡΜΗΣ ...................................................397 5.1 Η έννοια του συστήµατος – εσωτερικές και εξωτερικές δυνάµεις ...3995.2 Η έννοια της ορµής .............................................................................4025.3 ∆ύναµη και µεταβολή της ορµής ........................................................4025.4 Αρχή διατήρησης της ορµής ..............................................................4035.5 Μεγέθη που δε διατηρούνται στην κρούση .......................................404

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6ο: ∆ΙΑΤΗΡΗΣΗ ΤΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ .......................4076.1 Η έννοια του έργου .............................................................................4096.2 Έργο βάρους και µεταβολή κινητικής ενέργειας ..............................4336.3 ∆υναµική ενέργεια ...............................................................................4346.4 Μηχανική ενέργεια ..............................................................................4356.5 Συντηρητικές ή διατηρητικές δυνάµεις ..............................................4366.6 Η ισχύς .................................................................................................437


ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ – ΛΥΣΕΙΣ ΤΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ ......................................443

4

Ð Ñ Ï Ë Ï Ã Ï Ó

Ôï âéâëßï áõôü áðåõèýíåôáé óôïõò ìáèçôÝò ôçò Á´ Ëõêåßïõ áëëÜ êáé óôïõò

óõíáäÝëöïõò êáèçãçôÝò ðïõ äéäÜóêïõí ôï ìÜèçìá. Ç èåùñßá åßíáé äïóìÝí-

ìç ìå óáöÞ êáé åðïðôéêü ôñüðï êáé ðëáéóéþíåôáé áðü ðáñáäåßãìáôá êáé áóêÞ-

óåéò ðïõ ëýíïíôáé õðïäåéãìáôéêÜ. Óôï âéâëßï ðåñéÝ÷åôáé åðßóçò ìåèïäïëïãßá

ãéá ôçí åðßëõóç ôùí áóêÞóåùí, êáèþò êáé ìåãÜëïò áñéèìüò åñùôÞóåùí êáé

Üëõôùí áóêÞóåùí. ÔÝëïò, äßíïíôáé óõíïðôéêÜ ïé áðáíôÞóåéò ôùí åñùôÞóåùí

êáé ïé ëýóåéò ôùí áóêÞóåùí, åíþ õðÜñ÷ïõí áíáëõôéêÝò áðáíôÞóåéò êáé ëýóåéò

ôïõ ó÷ïëéêïý âéâëßïõ.

Ðéóôåýïõìå ðùò ôï âéâëßï áõôü áðïôåëåß Ýíá ÷ñÞóéìï âïÞèçìá ãéá ôï ìáèç-

ôÞ ôçò Á´ Ëõêåßïõ.

Åõ÷áñéóôïýìå èåñìÜ ôç öéëüëïãï Á. ×áôæüãëïõ ãéá ôçí ðïëýôéìç âïÞèåéÜ

ôçò.

ÄÄ.. ÐÐááððááôôóóÜÜêêùùííááòò ––ÁÁ.. ÓÓõõííííÝÝööáá

ÖÖõõóóééêêïïßß

ÁÁööééååññþþííååôôááéé óóôôïïõõòò ääááóóêêÜÜëëïïõõòò ììááòò


ÅÉÓÁÃÙÃÇ

1 . Ö õ ó é ê Ü ì å ã Ý è ç

Ç ÖõóéêÞ åßíáé ç èåìåëéþäçò åðéóôÞìç ðïõ åîåôÜæåé ôá öõóéêÜ öáéíüìåíá ðïõ

óõíôåëïýíôáé óôï óýìðáí. Ðáñáäåßãìáôá öõóéêþí öáéíïìÝíùí åßíáé ïé êéíÞóåéò ôùí

ðëáíçôþí, ïé óåéóìïß, ê.ëð.

Ãéá ôç ìåëÝôç ôùí öõóéêþí öáéíïìÝíùí ïñßæïõìå ôá öõóéêÜ ìåãÝèç. Ôá öõóéêÜ

ìåãÝèç åßíáé ðïóüôçôåò ðïõ ìåôáâÜëëïíôáé êáé ÷ñçóéìïðïéïýíôáé ãéá ôçí ðåñéãñá´öç

ôùí öõóéêþí öáéíïìÝíùí. Ãéá ðáñÜäåéãìá áí èÝëïõìå íá âñïýìå ðüóï èá äéáñêÝóåé

Ýíáò áãþíáò ðïäïóöáßñïõ ÷ñçóéìïðïéïýìå ôï öõóéêü ìÝãèåïò ÷ñïíïò.

2 . Ì Ý ô ñ ç ó ç ö õ ó é ê þ í ì å ã å è þ í

ÌÝôñçóç åíüò öõóéêïý ìåãÝèïõò Ýéíáé ç óýãêñéóç ôïõ ìå Üëëï ïìïåéäÝò ìÝ-

ãåèïò ðïõ ëáìâÜíïõìå áõèáßñåôá ùò ìïíÜäá ìÝôñçóçò.

� Ôï áðïôÝëåóìá ôçò ìÝôñçóçò ïíïìÜæåôéá áñéèìçôéêÞ ôéìÞ êáé åßíáé Ýíáò êá-

èáñüò áñéèìüò.

� Ç áñéèìçôéêÞ ôéìÞ ìáæß ìå ôç ìïíÜäá ìÝôñçóçò áðïôåëïýí ôï ìÝôñï ôïõ ìåãÝ-

èïõò.

• Ð.÷.: Ãéá íá ìåôñÞóïõìå ôï ýøïò ìáò, èåùñþíôáò üôé ìïíÜäá ìÝôñçóçò åßíáé

ôï åêáôïóôü, èá äïýìå ðüóåò öïñÝò «÷ùñÜåé» óôï ýøïò ìáò êáé èá âñïý-

ìå üôé ÷ùñÜåé 170 öïñÝò ðåñßðïõ (áñéèìçôéêÞ ôéìÞ). ¢ñá ôï ýøïò ìáò åß-

íáé 170cm (ìÝôñï).

• Ð.÷.: Áí èåùñÞóïõìå ùò ìïíÜäá ìÝôñçóçò ôï ìÞêïò ôçò ðáëÜìçò ìáò èá

âñïýìå üôé ôï ýøïò ìáò åßíáé ðåñßðïõ 10 ìÞêç ðáëÜìçò.

3 . È å ì å ë é þ ä ç ê á é ð á ñ Ü ã ù ã á ì å ã Ý è ç

Ôá èåìåëéþäç ìåãÝèç åßíáé åðôÜ:

1. Ç ìÜæá (m)

2. Ôï ìÞêïò (�, d, s...)

3. Ï ÷ñüíïò (t)

4. Ç Ýíôáóç ôïõ çëåêôñéêïý ñåýìáôïò (É)

Èåìåëéþäç ïíïìÜæïíôáé ôá ìåãÝèç ôá ïðïßá äåí åêöñ´æïíôáé ìå ôç âïÞ-

èåéá Üëëùí áðëïýóôåñùí ìåãåèþí åßíáé äçëáäÞ áíåîÜñôçôá ìåôáîý

ôïõòêáé ôá Ý÷ïõå åðéëÝîåé áõèáßñåôá.

eisagosi.qxd 9/18/08 12:01 PM Óåëßäá 7

5. Ç èåñìïêñáóßá (Ô)

7. ¸íôáóç öùôåéíÞò ðçãÞò (Éí)

Óôç ìç÷áíéêÞ ÷ñçóéìïðïéïýíôáé ôá ôñßá ðñþôá.

Ðáñáäåßãìáôá ðáñÜãùãùí ìåãåèþí åßíáé ç ôá÷ýôçôá, ç åðéôÜ÷õíóç, ç ïñìÞ, ç

äýíáìç êëð.

• Ïé ìïíÜäåò ôùí èåìåëéùäþí öõóéêþí ìåãåèþí ïíïìÜæïíôáé èåìåëéþäåéò ìï-

íÜäåò åíþ ïé ìïíÜäåò ôùí ðáñÜãùãùí ìåãåèþí ïíïìÜæïíôáé ðáñÜãùãåò ìï-

íÜäåò.

3 . Ì ï í ü ì å ô ñ á ê á é ä é á í õ ó ì á ô é ê Ü ì å ã Ý è ç .

Ðáñáäåßãìáôá ìïíüìåôñùí ìåãåèþí åßíáé ç ìÜæá, ï ÷ñüíïò, ôï ìÞêïò, ç ðõêíü-

ôçôá, ç èåñìïêñáóßá êëð.

Ðáñáäåßãìáôá äéáíõóìáôéêþí ìåãåèþí åßíáé ç ìåôáôüðéóç, ç ôá÷ýôçôá, ç åðéôÜ-

÷õíóç, ç äýíáìç, ç ïñìÞ ê.ëð.

4 . Ä é á í ý ó ì á ô á

Ôá äéáíõóìáôéêÜ ìåãÝèç ðáñéóôÜíïíôáé ìå äéá-

íýóìáôá.

¸íá äéÜíõóìá ÷áñáêôçñßæåôáé áðü:

á) Tï ìÝôñï ôïõ, ðïõ åêöñÜæåé ôï ìÞêïò ôïõ

åõèõãñÜììïõ ôìÞìáôïò ðïõ ðáñéóôÜíåé ôï

äéÜíõóìá.

â) Tç äéåýèõíóÞ ôïõ, ðïõ åßíáé ç åõèåßá ðÜíù

óôçí ïðïßá âñßóêåôáé ôï äéÜíõóìá.äéåýèõíóç

ìÝôñï

áñ÷Þ ðÝñáò

ÄéáíõóìáôéêÜ ïíïìÜæïíôáé ôá ìåãÝèç ôá ïðïßá ãéá íá ïñéóôïýí ðëÞñùò

áðáéôåßôáé åêôüò áðü ôï ìÝôñï ôïõò, ç äéåýèõíóç êáé ç öïñÜ ôïõò. Äé-

åýèõíóç êáé öïñÜ áðïôåëïýí ôçí êáôåýèõíóç.

Ìïíüìåôñá ïíïìÜæïíôáé ôá ìåãÝèç ôá ïðïßá ãéá íá ïñéóôïýí ðëÞñùò á-

ðáéôåßôáé ìüíï ôï ìÝôñï ôïõò.

ÐáñÜãùãá ïíïìÜæïíôáé ôá ìåãÝèç ðïõ åêöñÜæïíôáé ìå ôç âïÞèåéá ôùí

èåìåëéùäþí ìåãåèþí.

8 Ö Õ Ó É Ê Ç Á ´ Ë Õ Ê Å É Ï Õ


ã) Tç öïñÜ ôïõ, ðïõ äåß÷íåé ôïí ðñïóáíáôïëé-

óìü ôïõ äéáíýóìáôïò.

Äýï äéáíýóìáôá åßíáé:

� óõããñáìéêÜ, üôáí Ý÷ïõí ôçí ßäéá äéåýèõíóç.

� ïìüññïðá, üôáí åßíáé óõããñáìéêÜ êáé Ý÷ïõí ôçí ßäéá öïñÜ.

� áíôßññïðá, üôáí åßíáé óõããñáìéêÜ êáé Ý÷ïõí áíôßèåôç öïñÜ.

� ßóá, üôáí åßíáé ïìüññïðá êáé Ý÷ïõí ôï ßäéï ìÝôñï.

� áíôßèåôá, üôáí åßíáé áíôßññïðá êáé Ý÷ïõí ôï ßäéï ìÝôñï.

5 . Ð ñ Ü î å é ò ì å ä é á í ý ó ì á ô á

É) Ðñüóèåóç äéáíõóìÜôùí

¸óôù üôé èÝëïõìå íá ðñïóèÝóïõìå äýï äéáíýóìáôá á→

êáé â→

:

• Êáèéóôïýìå ôá äéáíýóìáôá äéáäï÷éêÜ, äçëáäÞ «ìåôáöÝñïõìå» ôï Ýíá äéÜíõóìá

Ýôóé þóôå ç áñ÷Þ ôïõ íá óõìðßðôåé ìå ôï ðÝñáò ôïõ Üëëïõ äéáíýóìáôïò, ÷ùñßò

íá áëëÜîïõìå ôçí êáôåýèõíóÞ ôïõ:

• Ôï Üèñïéóìá á→

+ â→

ðñïêýðôåé áí åíþóïõìå ôçí áñ÷Þ ôïõ ðñþôïõ äéáíýóìá-

ôïò ìå ôï ðÝñáò ôïõ äåýôåñïõ:

ÉÉ) Áöáßñåóç äéáíõóìÜôùí

¸óôù üôé èÝëïõìå íá áöáéñÝóïõìå äýï äéáíýóìáôá á→

êáé â→

, äçëáäÞ íá êá´íïõìå

ðñÜîç á→

– â→

:

áâ

á

â

â

á+

á

â

â

á

â

öïñÜ

Å É Ó Á Ã Ù Ã Ç 9


• Ãéá íá âñïýìå ôç äéáöïñÜ á→

– â→

, áñêåß íá ðñïóèÝóïõìå óôï äéÜíõóìá á→

ôï á-

íôßèåôï äéÜíõóìá ôïõ â→

, äçëáäÞ íá êá´íïõìå ôçí ðñÜîç (á→

êáé â→

):

• Êáèéóôïýìå ôá äéáíýóìáôá á→

êáé –â→

äéáäï÷éêÜ êáé óôç óõíÝ÷åéá ôá ðñïóèÝ-

ôïõìå ìå ôïí ôñüðï ðïõ ðñïáíáöÝñáìå:

6 . Ä é å è í Ý ò Ó ý ó ô ç ì á Ì ï í Ü ä ù í ( S . I . )

Ç áíÜãêç ïñéóìïý êïéíþí ðñïôýðùí ìÝôñçóçò ïäÞãçóå óôç äçìéïõñãßá ôùí Óõ-

óôçìÜôùí ìïíÜäùí. Ãéá êÜèå Óýóôçìá ÌïíÜäùí, óå Ýíá öõóéêü ìÝãåèïò áíôéóôïé÷åß

Ýíá óýìâïëï êáé ìéá ìïíÜäá ìÝôñçóçò.

ÓõíÞèùò, ãéá ôç ìÝôñçóç ôùí öõóéêþí ìåãåèþí ÷ñçóéìïðïéüõìå ôï ÄéåèíÝò Óý-

óôçìá ÌïíÜäùí Þ S.I. (Système International).

Ïé ìïíÜäåò ìÝôñçóçò ôùí êõñéïôÝñùí öõóéêþí ìåãåèþí ðïõ èá óõíáíôÞóïõìå

öÝôïò, åßíáé:

áâ

– â

á –

á

– â â


ÌÝãåèïò Óýìâïëï ÌïíÜäá ìÝôñçóçò

ìÞêïò L ìÝôñï (m)

ìÜæá m ÷éëéüãñáììï (Kg)

÷ñüíïò t äåõôåñüëåðôï (s)

ôá÷ýôçôá õ (m/s)

åðéôÜ÷õíóç á (m/s2)

äýíáìç F Newton (N)

ïñìÞ P (Kg � m/s)

åíÝñãåéá Å Joule (J)


7 . Ð ï ë ë á ð ë Ü ó é á ê á é õ ð ï ð ï ë ë á ð ë Ü ó é á ì ï í Ü ä ù í

Ãéá ôá ðïëëáðëÜóéá êáé ôá õðïðïëëáðëÜóéá ôùí äéáöüñùí ìïíÜäùí ÷ñçóéìïðïé-

ïýíôáé ïñéóìÝíá ðñïèÝìáôá.

Óôïí áêüëïõèï ðßíáêá öáßíïíôáé ôá êõñéüôåñá ðñïèÝìáôá ìå ôá óýìâïëÜ ôïõò.

8 . Ì å ô á â ï ë Þ ê á é ñ õ è ì ü ò ì å ô á â ï ë Þ ò å í ü ò ì å ã Ý è ï õ ò

Ôá öõóéêÜ ìåãÝèç ìåôáâÜëëïíôáé. Ç ìåôáâïëÞ ôùí öõóéêþí ìåãåèþí ðáñéóôÜíå-

ôáé ìå ôï ãñÜììá Ä.

� Ç ìåôáâïëÞ äåß÷íåé ðüóï áëëÜæåé ôï ìÝãåèïò.

� Áí ç ôéìÞ ôçò ìåôáâïëÞò åíüò ìåãÝèïõò ðñïêýøåé èåôéêÞ, ôüôå Ý÷ïõìå áýîç-

óç ôçò ôéìÞò ôïõ ìåãÝèïõò, åíþ áí ðñïêýøåé áñíçôéêÞ, ç ôéìÞ ôïõ ìåãÝèïõò

ìåéþíåôáé.

� ÄÌ > 0 ⇒⇒ Ç ôéìÞ ôïõ ìåãÝèïõò áõîÜíåôáé.

� ÄÌ < 0 ⇒⇒ Ç ôéìÞ ôïõ ìåãÝèïõò ìåéþíåôáé.

ÌåôáâïëÞ åíüò öõóéêïý ìåãÝèïõò ÄÌ ïíïìÜæåôáé ç äéáöïñÜ ôçò ôåëé-

êÞò ôéìÞò ôïõ ìåãÝèïõò (Ìôåë) ìåßïí ôçí áñ÷éêÞ ôéìÞ ôïõ (Ìáñ÷):

ÄÌ = Ìôåë – Ìáñ÷

ÌåôáâïëÞ = ÔåëéêÞ ôéìÞ – Áñ÷éêÞ ôéìÞ


ÕðïðïëëáðëÜóéá ÐïëëáðëÜóéá

deci d 10-1

centi c 10-2

mili m 10-3 Kilo K 103

micro ì 10-6 Mega M 106

nano n 10-9 Giga G 109

pico p 10-12 Tera T 1012


� Ï ñõèìüò ìåôáâïëÞò äåß÷íåé ðüóï ãñÞãïñá áëëÜæåé ôï ìÝãåèïò.

� Áí ï ñõèìüò ìåôáâïëÞò ðñïêýøåé èåôéêüò, ôüôå ôï ìÝãåèïò áõîÜíåôáé, åíþ áí

ï ñõèìüò ìåôáâïëÞò ðñïêýøåé áñíçôéêüò, ôï ìÝãåèïò ìåéþíåôáé.

� ��Ä

Ä

Ì

t�� > 0 ⇔⇔ ÄÌ > 0 ⇔⇔ Áýîçóç ôçò ôéìÞò ôïõ ìåãÝèïõò.

� ��Ä

Ä

Ì

t�� < 0 ⇔⇔ ÄÌ < 0 ⇔⇔ Ìåßùóç ôçò ôéìÞò ôïõ ìåãÝèïõò.

Ð á ñ Ü ä å é ã ì á

Ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t1 = 5s ìåôñÜìå ôç èåñìïêñáóßá åíüò óþìáôïò êáé âñßóêïõìå

È1 = 20°C, åíþ ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t2 =15s âñßóêïõìå üôé ç èåñìïêñáóßá ôïõ åßíáé

È2 = 40°C.

� Ç ìåôáâïëÞ ôçò èåñìïêñáóßáò ôïõ óþìáôïò åßíáé:

ÄÈ = Èôåë – Èáñ÷ = È2 – È1 = (40 – 20)°C ⇒ ÄÈ = 20°C

Ðáñáôçñïýìå üôé ÄÈ > 0 äçëáäÞ ç èåñìïêñáóßá áõîÞèçêå.

� Ï ñõèìüò ìåôáâïëÞò ôçò èåñìïêñáóßáò åßíáé:

�Ä

Ä

È

t� = �

È

tô

ô

å

å

ë

ë

–

–

È

táñ

á

÷

ñ÷� = �È

t2

2

–

–

È

t1

1� = ��410

5

–

–

2

5

0��

°

s

C� ⇒ �

2

1

0

0� �

°

s

C� ⇒ ��

Ä

Ä

È

t�� = 2 ��

°

s

C��

Ðáñáôçñïýìå üôé �Ä

Ä

È

t� > 0 äçëáäÞ ç èåñìïêñáóßá áõîÞèçêå êáé óõãêåêñéìÝíá óå

1s ç èåñìïêñáóßá áõîÞèçêå êáôÜ 2°C.

9 . Ã ñ á ö é ê Ý ò ð á ñ á ó ô Ü ó å é ò

Ãéá íá ðáñáóôÞóïõìå ãñáöéêÜ Ýíá ìÝãåèïò óå óõíÜñôçóç ìå êÜðïéï Üëëï ìÝãå-

èïò åßíáé ÷ñÞóéìï íá ãíùñßæïõìå ðùò ðáñéóôÜíïíôáé ãñáöéêÜ ïñéóìÝíåò âáóéêÝò óõ-

íáñôÞóåéò.

Ñõèìüò ìåôáâïëÞò åíüò ìåãÝèïõò ïíïìÜæåôáé ôï ðçëßêï ôçò ìåôáâïëÞò

ÄÌ ôïõ ìåãÝèïõò áõôïý ðñïò ôïí áíôßóôïé÷ï ÷ñüíï Ät ìÝóá óôïí ïðïßï

ðñáãìáôïðïéåßôáé ç ìåôáâïëÞ áõôÞ.

Ñõèìüò ÌåôáâïëÞò = ��Ä

Ä

Ì

t�� = �

M

tô

ô

å

å

ë

ë

–

–

Ì

tá

á

ñ

ñ

÷

÷�



É. ÓÔÁÈÅÑÇ ÓÕÍÁÑÔÇÓÇ

ê = óôáèåñü

ÃñáöéêÞ ðáñÜóôáóç: åõèåßá ðáñÜëëçëç óôïí Ü-

îïíá x~x

II. ÓÕÍÁÑÔÇÓÇ ÐÑÙÔÏÕ ÂÁÈÌÏÕ

á �0, â � 0

� ÃñáöéêÞ ðáñÜóôáóç: åõèåßá ðïõ äåí äéÝñ÷å-

ôáé áð’ ôçí áñ÷Þ ôùí áîüíùí. ×ñåéÜæïíôáé

äýï óçìåßá ãéá ôïí ðñïóäéïñéóìü ôçò.

� Áí â = 0 ôüôå ç åîßóùóç ãßíåôáé y = áx ç ãñá-

öéêÞ ðáñÜóôáóç ôçò ïðïßáò åßíáé åõèåßá ðïõ

äéÝñ÷åôáé áð’ ôçí áñ÷Þ ôùí áîüíùí.

ÉÉÉ. ÓÕÍÁÑÔÇÓÇ ÄÅÕÔÅÑÏÕ ÂÁÈÌÏÕ

á � 0

� ÃñáöéêÞ ðáñÜóôáóç: êáìðýëç ðïõ ïíïìÜæå-

ôáé ðáñáâïëÞ.

y = áx2

y

x

y

x

â

y

x

y = áx + â

y = êê

y

x



1 0 . Ô ñ é ã ù í ï ì å ô ñ é ê ï ß á ñ é è ì ï ß ã ù í ß á ò

Óå Ýíá ïñèïãþíéï ôñßãùíï éó÷ýïõí:

çìßôïíï =

óõíçìßôïíï =

åöáðôïìÝíç =

óõíåöáðôïìÝíç =

¸ôóé ãéá ôç ãùíéÜ ù∧

Ý÷ïõìå:

çìù = �Ã

Á

Â

Ã�, óõíù = �

Á

ÃÂ

Â�, åöù = �

Á

Á

Â

Ã�, óöù = �

Á

Á

Â

Ã�

� Åðßóçò éó÷ýïõí ïé ó÷Ýóåéò:

çì2ù + óõí2ù = 1, åöù = �ó

ç

õ

ì

í

ù

ù�, åöù � óöù = 1

� Óôïí ðáñáêÜôù ðßíáêá äßíïíôáé ïé ôñéãùíïìåôñéêïß áñéèìïß ïñéóìÝíùí ÷ñÞóé-

ìùí ãùíéþí.

ðñïóêåßìåíç êÜèåôç��

áðÝíáíôé êÜèåôç

áðÝíáíôé êÜèåôç��ðñïóêåßìåíç êÜèåôç

ðñïóêåßìåíç êÜèåôç��

õðïôåßíïõóá

áðÝíáíôé êÜèåôç��

õðïôåßíïõóá

Á Â

Ã

ù


Ãùíßá ù0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180°

0 ð/6 ð/4 ð/3 ð/2 2ð/3 3ð/4 5ð/6 ð

çìù 0 �1

2� �

�2

2��

�2

3�� 1 �

�2

3��

�2

2��

1

2� 0

óõíù 1 ��2

3��

�2

2��

1

2� 0 – �

1

2� – �

�2

2�� – �

�2

3�� 0

åöù 0 ��3

3�� 1 �3� — –�3� –1 – �

�3

3�� 0

óöù — �3� 1 ��3

3�� 0 – �

�3

3�� –1 –�3� —


ÊÅÖÁËÁÉÏ ÊÅÖÁËÁÉÏ 11

ÅÕÈÕÃÑÁÌÌÇ ÊÉÍÇÓÇ

01.qxd 10/15/08 2:12 PM Óåëßäá 15

01.qxd 10/15/08 2:12 PM Óåëßäá 16

1.1 . Ê ÉÍÇÓÇ

Ç ìç÷áíéêÞ åßíáé ç ìåëÝôç ôçò êßíçóçò ôùí áíôéêåéìÝíùí. ¼ôáí ðåñéãñÜöïõìå ôçí

êßíçóç áó÷ïëïýìáóôå ìå ôï êïììÜôé ôçò ìç÷áíéêÞò ðïõ ëÝãåôáé êéíçìáôéêÞ.

Ç êßíçóç áðïôåëåß ìéá ÷áñáêôçñéóôéêÞ éäéüôçôá ôçò ýëçò, åßôå áíáöåñüìáóôå

óôïí ìéêñüêïóìï (óùìÜôéá ìå ìéêñïóêïðéêÝò äéáóôÜóåéò) åßôå óôïí ìáêñüêïóìï

(óþìáôá ìåãÜëùí äéáóôÜóåùí) êáé ðåñéãñÜöåé ôç óõíå÷Þ áëëáãÞ ôçò èÝóçò åíüò

óþìáôïò. Ç êßíçóç åíüò óþìáôïò óôï ÷þñï ìðïñåß íá óõíïäåýåôáé áðü ðåñéóôñï-

öÝò Þ ôáëáíôþóåéò ôïõ óþìáôïò.

ÊÜèå ìïñöÞ ýëçò âñßóêåôáé óå ìéá óõíå÷Þ êßíçóç· óôï Óýìðáí äåí õðÜñ÷åé áðü-

ëõôç çñåìßá. ÔÝôïéá ðáñáäåßãìáôá åßíáé ïé êéíÞóåéò ôùí ðëáíçôþí óôï çëéáêü ìáò

óýóôçìá, ç êßíçóç ôùí çëåêôñïíßùí ãýñù áðü ôïí ðõñÞíá ôïõ áôüìïõ ê.ô.ë.

1.2 . ÐÅÑÉÃÑÁÖÇ ÔÇÓ ÊÉÍÇÓÇÓ

Á ) Ó ý ó ô ç ì á á í á ö ï ñ Ü ò

Ç êßíçóç åßíáé Ýííïéá ó÷åôéêÞ. ÅîáñôÜôáé áðü ôïí ðáñáôçñçôÞ ðïõ ôçí ðåñéãñÜ-

öåé. Äýï ðáñáôçñçôÝò, êéíïýìåíïé ï Ýíáò óå ó÷Ýóç ìå ôïí Üëëï, ðåñéãñÜöïõí ìå

äéáöïñåôéêü ôñüðï ôçí ßäéá êßíçóç. Ãéá ðáñÜäåéãìá, Ýíáò ðáñáôçñçôÞò Á ðïõ âñß-

óêåôáé óôç óôÜóç âëÝðåé ôïí ïäçãü ôïõ ëåùöïñåßïõ íá êéíåßôáé ìáæß ìå áõôü ðñïò

ôç óôÜóç, åíþ Ýíáò ðáñáôçñçôÞò Â áðü ôï êÜèéóìÜ ôïõ ìÝóá óôï ëåùöïñåßï, âëÝ-

ðåé ôïí ïäçãü áêßíçôï.

Ãéá ôçí ðåñéãñáöÞ ìéáò êßíçóçò åßíáé áíáãêáßá ç åéóáãùãÞ åíüò «óõóôÞìáôïò ðá-

ñáêïëïýèçóçò», ôï ïðïßï ïíïìÜæåôáé óýóôçìá áíáöïñÜò. ÏõóéáóôéêÜ, ìå ôï óý-

óôçìá áíáöïñÜò ãßíåôáé ï ðñïóäéïñéóìüò ôçò èÝóçò åíüò óþìáôïò óôï ÷þñï.

ÓÔÁÓÇÁ

Â

01.qxd 10/15/08 2:12 PM Óåëßäá 17

á) ðñïóäéïñéóìüò ôçò èÝóçò óôçí åõèåßá:

iii) åðéëÝãïõìå Ýíá óçìåßï Ï ùò áñ÷Þ ðÜíù óôçí åõèåßá x´x.

iii) âáèìïëïãïýìå ôïí Üîïíá ìå ôéò èåôéêÝò ôéìÝò äåîéÜ ôïõ óçìåßïõ Ï êáé ìå ôéò

áñíçôéêÝò ôéìÝò áñéóôåñÜ.

iii) ç èÝóç ôïõ óþìáôïò óôçí åõèåßá ðñïóäéïñßæåôáé áðü Ýíáí áñéèìü, ç áðüëõôç

ôéìÞ ôïõ ïðïßïõ åêöñÜæåé ôçí áðüóôáóç ôïõ óþìáôïò áðü ôçí áñ÷Þ ôïõ Üîï-

íá (óçìåßï Ï) êáé ôï ðñüóçìü ôïõ, ôï áí âñßóêåôáé äåîéÜ (èåôéêüò çìéÜîïíáò)

Þ áñéóôåñÜ (áñíçôéêüò çìéÜîïíáò) áðü ôçí áñ÷Þ ôùí áîüíùí. Ï áñéèìüò áõ-

ôüò ïíïìÜæåôáé óõíôåôáãìÝíç ôïõ óçìåßïõ ôïõ Üîïíá üðïõ âñßóêåôáé ôï óþ-

ìá.

iii) Ð.÷. óôïí ðáñáðÜíù Üîïíá, ôï óþìá óôï óçìåßï Á Ý÷åé óõíôåôáãìÝíç xÁ= +2,

åíþ ôï óþìá óôï óçìåßï Â Ý÷åé óõíôåôáãìÝíç xÂ = – 3.

â) ðñïóäéïñéóìüò ôçò èÝóçò óôï åðßðåäï:

iii) åðéëÝãïõìå Ýíá ïñèïêáíïíéêü óýóôçìá áîüíùí x´x êáé y´y êáé èåùñïýìå üôé ôï

óçìåßï ôïìÞò ôïõò åßíáé ç áñ÷Þ êáé ôùí äýï áîüíùí (óçìåßï Ï).

iiii) âáèìïëïãïýìå ôïõò äýï Üîïíåò üðùò êÜíáìå êáé ðñéí, óôïí ðñïóäéïñéóìü

ôçò èÝóçò óôçí åõèåßá.

iii) ç èÝóç ôïõ óþìáôïò óôï åðßðåäï, ðñïóäéïñßæåôáé áðü äýï óõíôåôáãìÝíåò

(x,y), ôçí ôåôìçìÝíç (x) ðïõ åßíáé ç ðñïâïëÞ ôïõ óçìåßïõ ðïõ âñßóêåôáé ôï óþ-

ìá ðÜíù óôïí Üîïíá x´x êáé ôçí ôåôáãìÝíç (y) ðïõ åßíáé ç ðñïâïëÞ ôïõ óçìåß-

y

xx´

y´

5

4

3

2

1

1 2 3 4 5–5 –4 –3 –2 –1–1

0

–2

–3

–4

–5

A(2,3)

B(–4,–2)

x ´ –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 x

B

O

A


01.qxd 10/15/08 2:12 PM Óåëßäá 18

ïõ ðïõ âñßóêåôáé ôï óþìá ðÜíù óôïí Üîïíá y´y.

Ð.÷., óôï ðáñáðÜíù óýóôçìá áîüíùí, ôï óþìá óôï óçìåßï Á Ý÷åé ôåôìçìÝíç

xÁ =+2 êáé ôåôáãìÝíç yÁ=–3. äçëáäÞ ç èÝóç ôïõ ðñïóäéïñßæåôáé áðü ôï óç-

ìåßï Á(2, 3). Áíôßóôïé÷á, ôï óþìá óôï óçìåßï Â Ý÷åé ôåôìçìÝíç xÂ=–4 êáé ôå-

ôáãìÝíç yÂ =–2, äçëáäÞ ç èÝóç ôïõ ðñïóäéïñßæåôáé áðü ôï óçìåßï Â(–4, –2)

Ð.÷. á)

Ð.÷. â)

Â ) × ñ ü í ï ò ( t )

Ç Ýííïéá ôïõ ÷ñüíïõ åßíáé ìéá áðü ôéò óðïõäáéüôåñåò Ýííïéåò óôç öõóéêÞ. Åäþ

èá ìåëåôÞóïõìå ôéò Ýííïéåò: ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ êáé ÷ñïíéêü äéÜóôçìá.

• Ç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ ðñïóäéïñßæåé ôï ðüôå óõíÝâç Ýíá ãåãïíüò, áíôéóôïé÷ßæïíôÜò

ôï ìå ìéá óõãêåêñéìÝíç Ýíäåéîç åíüò ïñãÜíïõ ìÝôñçóçò ôïõ ÷ñüíïõ (ñïëïãé-

ïý Þ ÷ñïíïìÝôñïõ).

• Ôï ÷ñïíéêü äéÜóôçìá ðñïóäéïñßæåé ôç ÷ñïíéêÞ äéÜñêåéá åíüò ãåãïíüôïò, äç-

ëáäÞ áðïôåëåßôáé áðü Ýíá ðëÞèïò ÷ñïíéêþí óôéãìþí.

Ð.÷. Ð.÷. Ï êýñéïò Ãéþñãïò öåýãåé êÜèå ðñùß ãéá ôç äïõëåéÜ ôïõ óôéò 7.30 êáé

y

xx´

y´

4

3

2

1

1 2 3 4–4 –3 –2 –1–1

0

–2

–3

–4

r

x ´ –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 x

r

ÄéÜíõóìá èÝóçò åíüò óþìáôïò (r→→

): åßíáé ôï äéÜíõóìá ðïõ ãéá êÜèå óý-

óôçìá áíáöïñÜò, Ý÷åé ùò áñ÷Þ ôçí áñ÷Þ ôïõ óõóôÞìáôïò êáé ùò ðÝñáò

ôç èÝóç ôïõ óþìáôïò.

Ê Å Ö Á Ë Á É Ï 1 ï : Å Õ È Õ Ã Ñ Á Ì Ì Ç Ê É Í Ç Ó Ç 19

01.qxd 10/15/08 2:12 PM Óåëßäá 19

öôÜíåé óôï ãñáöåßï ôïõ óôéò 8.00. Ïé äýï ðñïçãïýìåíåò ÷ñïíéêÝò åíäåßîåéò

áðïôåëïýí ÷ñïíéêÝò óôéãìÝò, åíþ ÷ñïíéêü äéÜóôçìá åßíáé ç ìéóÞ þñá (30´)

ðïõ ìåóïëÜâçóå ãéá íá ðÜåé áðü ôï óðßôé ôïõ óôç äïõëåéÜ ôïõ.

Ó÷üëéá:

1) ç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ óõìâïëßæåôáé ìå ôï ãñÜììá t êáé äåí Ý÷åé äéÜñêåéá.

2) ôï ÷ñïíéêü äéÜóôçìá åßíáé ç ìåôáâïëÞ ôïõ ÷ñüíïõ Ät, ðïõ ïñßæåôáé ùò ç äéá-

öïñÜ ìåôáîý ôåëéêÞò êáé áñ÷éêÞò ÷ñïíéêÞò óôéãìÞò, Ät = tôåë – táñ÷.

3) åðåéäÞ ï ÷ñüíïò êõëÜåé ðÜíôá ðñïò ôá ìðñïò (tôåë > táñ÷), ôï ÷ñïíéêü äéÜ-

óôçìá åßíáé ðÜíôá èåôéêü (Ät > 0).

Ã ) Ä é Ü ó ô ç ì á ( S ) - Ì å ô á ô ü ð é ó ç ( Ä x→→

)

Êáèþò êéíåßôáé Ýíá óþìá äéÝñ÷åôáé áðü Ýíá ðëÞèïò óçìåßùí, ôá ïðïßá áí åíù-

èïýí ó÷çìáôßæïõí ôçí ôñï÷éÜ ôïõ.

Ìå âÜóç ôçí Ýííïéá ôçò ôñï÷éÜò, ìðïñïýìå íá ïñßóïõìå ôï äéÜóôçìá S ùò ôï óõ-

íïëéêü ìÞêïò ôçò ôñï÷éÜò ðïõ äéáãñÜöåé Ýíá óþìá êáôÜ ôç äéÜñêåéá ôçò êßíçóçò ðïõ

ðñáãìáôïðïéåß.

Ôá äéáíýóìáôá →

xôåë, →

xáñ÷ åßíáé ôá äéáíýóìáôá áñ÷éêÞò êáé ôåëéêÞò èÝóçò ôïõ óþ-

ìáôïò áíôßóôïé÷á.

Ìåôáôüðéóç Äx→→

: åßíáé ôï äéÜíõóìá ðïõ Ý÷åé ùò áñ÷Þ ôçí áñ÷éêÞ èÝóç

ôïõ óþìáôïò êáé ùò ðÝñáò ôçí ôåëéêÞ ôïõ èÝóç, äçëáäÞ åêöñÜæåé ôç ìå-

ôáâïëÞ ôçò èÝóçò ôïõ óþìáôïò êáé ïñßæåôáé ùò Äx→→

= →→

xôåë – →→

xáñ÷

ÄéÜóôçìá S: åßíáé ôï ìïíüìåôñï öõóéêü ìÝãåèïò ðïõ åêöñÜæåé ôçí óõ-

íïëéêÞ áðüóôáóç ðïõ äéáíýåé Ýíá óþìá, êáôÜ ôç äéÜñêåéá ôçò êßíçóçò

ðïõ ðñáãìáôïðïéåß.


01.qxd 10/15/08 2:12 PM Óåëßäá 20

Ç ìåôáôüðéóç ùò äéáíõóìáôéêü öõóéêü ìÝãåèïò Ý÷åé:

á) ìÝôñï, ðïõ éóïýôáé ìå ⏐⏐Äx→→

⏐⏐ = ⏐⏐

→→

xôåë – →→

xáñ÷⏐⏐. Óôçí åõèýãñáììç êßíçóç, éó÷ýåé

⏐⏐Äx⏐⏐ = ⏐⏐xôåë – xáñ÷⏐⏐, áöïý ôá äéáíýóìáôá x→

áñ÷ , x→

ôåë åßíáé óõãñáììéêÜ.

Ð.÷. óôï ðáñáðÜíù ó÷Þìá ôï ìÝôñï ôçò ìåôáôüðéóçò èá åßíáé

⏐Äx→

⏐ = ⏐5 – 2⏐ = ⏐3⏐ = 3.

â) äéåýèõíóç, ôç äéåýèõíóç ôïõ Üîïíá ôçò êßíçóçò.

ã) öïñÜ, ôçí öïñÜ ôçò êßíçóçò ôïõ óþìáôïò.

Ó÷üëéá:

1) ôï äéÜóôçìá S åðåéäÞ åêöñÜæåé ôçí óõíïëéêÞ áðüóôáóç ðïõ äéáíýåé Ýíá óþìá,

Ý÷åé ðÜíôá èåôéêÞ ôéìÞ.

2) ôï ìÝôñï ôçò ìåôáôüðéóçò ⏐Äx⏐, åêöñÜæåé ïõóéáóôéêÜ ôçí áðüóôáóç ìåôáîý

áñ÷éêÞò êáé ôåëéêÞò èÝóçò ôïõ óþìáôïò.

3) áëãåâñéêÞ ôéìÞ ìåôáôüðéóçò Äx: åßíáé ç äéáöïñÜ ìåôáîý ôùí óõíôåôáãìÝíùí

áñ÷éêÞò êáé ôåëéêÞò èÝóçò ôïõ óþìáôïò, Äx = xôåë – xáñ÷ êáé äåí Ý÷åé óôáèåñü ðñü-

óçìï. Äéáêñßíïõìå ôéò åîÞò ðåñéðôþóåéò:

• èåôéêÞ áëãåâñéêÞ ôéìÞ ìåôáôüðéóçò (Äx > 0), äçëáäÞ xôåë > xáñ÷, ðïõ óçìáßíåé

üôé ôï óþìá êéíåßôáé:

á) ðñïò ôéò èåôéêÝò ôéìÝò ôïõ Üîïíá, üôáí ç êßíçóç ãßíåôáé ðÜíù óå Üîïíá.

â) ðñïò ôçí öïñÜ ðïõ åìåßò Ý÷ïõìå åðéëÝîåé ùò èåôéêÞ öïñÜ êßíçóçò, üôáí ç êß-

íçóç äå ãßíåôáé ðÜíù óå Üîïíá.

• áñíçôéêÞ áëãåâñéêÞ ôéìÞ ìåôáôüðéóçò (Äx < 0) äçëáäÞ xôåë < xáñ÷, ðïõ óç-

ìáßíåé üôé ôï óþìá êéíåßôáé:

á) ðñïò ôéò áñíçôéêÝò ôéìÝò ôïõ Üîïíá, üôáí ç êßíçóç ãßíåôáé ðÜíù óå Üîïíá.

â) ðñïò ôçí áíôßèåôç öïñÜ áðü áõôÞí ðïõ Ý÷ïõìå åðéëÝîåé ùò èåôéêÞ öïñÜ êßíç-

óçò, üôáí ç êßíçóç äå ãßíåôáé ðÜíù óå Üîïíá.

4) ç ìåôáôüðéóç Äx→

äåí åîáñôÜôáé áðü ôï óçìåßï 0, ðïõ Ý÷ïõìå åðéëÝîåé ùò áñ-

÷Þ ôïõ Üîïíá áëëÜ ìüíï áðü ôçí áñ÷éêÞ êáé ôçí ôåëéêÞ èÝóç ôïõ óþìáôïò.

5) ìåôáôüðéóç êáé äéÜóôçìá Ý÷ïõí ôçí ßäéá ìïíÜäá ìÝôñçóçò ðïõ óôï S.I åßíáé ôï

1m (ìÝôñï).

0 1 2 3 4 5 6 x

xáñ÷

x ´

xôåë

Äx


01.qxd 10/15/08 2:12 PM Óåëßäá 21

� Ç ôéìÞ ôïõ äéáóôÞìáôïò S êáé ôçò ìåôáôüðéóçò Äx→

óõìðßðôïõí, üôáí Ý÷ïõìå

åõèýãñáììç êßíçóç óôáèåñÞò (èåôéêÞò) öïñÜò.

ÐáñÜäåéãìá 1ï:

Ôï áíèñùðÜêé óôï ðáñáðÜíù ó÷Þìá ðñáãìáôïðïéåß ôç äéáäñïìÞ Á → Â → Ã. Ôï

óõíïëéêü äéÜóôçìá S ðïõ äéáíýåé åßíáé:

S = (AB) + (ÂÃ) = 6 + 3 = 9

¼ìùò ç ìåôáôüðéóç ôïõ Äx→

ãéá ôçí ßäéá äéáäñïìÞ èá Ý÷åé áëãåâñéêÞ ôéìÞ:

Äx = xôåë – xáñ÷ = xÃ – xÁ = 1 – (– 2) = 3,

äéåýèõíóç ôç äéåýèõíóç ôïõ Üîïíá x ´x êáé

öïñÜ ðñïò ôéò ôéìÝò ôïõ èåôéêïý çìéÜîïíá Ïx.

x ´ –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 x

A ÂÃ

Äx


ÄéáöïñÝò äéáóôÞìáôïò (S) - ìåôáôüðéóçò (Äx→→

)

ÄéÜóôçìá (S) Ìåôáôüðéóç (Äx→

)

åßíáé ìïíüìåôñï

öõóéêü ìÝãåèïò

åßíáé äéáíõóìáôéêü

öõóéêü ìÝãåèïò

Ý÷åé ðÜíôá èåôéêÞ ôéìÞìðïñåß íá Ý÷åé èåôéêÞ Þ

áñíçôéêÞ ôéìÞ

åîáñôÜôáé áðü ôç äéáäñïìÞ

ðïõ áêïëïõèåß ôï óþìá

åßíáé áíåîÜñôçôç áðü ôç äéá-

äñïìÞ ðïõ áêïëïõèåß ôï óþìá

êáé åîáñôÜôáé ìüíï áðü ôçí áñ-

÷éêÞ êáé ôçí ôåëéêÞ ôïõ èÝóç

01.qxd 10/15/08 2:12 PM Óåëßäá 22


(ÁÂ) = 50 m.

(ÂÃ) = 80 m.

ÅðéëÝãïõìå ùò èåôéêÞ öïñÜ êßíçóçò ôçí ðñïò ôá äåîéÜ. Ôï áíèñùðÜêé ðñáãìá-

ôïðïéåß ôç äéáäñïìÞ Á → Â → Ã. Ôï óõíïëéêü äéÜóôçìá S ðïõ äéáíýåé åßíáé:

S = (AB) + (ÂÃ) = (50 + 80)m = 130 m.

Óôçí ðåñßðôùóç ðïõ äåí Ý÷ïõìå êßíçóç ðÜíù óå Üîïíá, ç áëãåâñéêÞ ôéìÞ ôçò

ìåôáôüðéóçò õðïëïãßæåôáé ùò åîÞò:

á) âñßóêïõìå ôçí áðüóôáóç ìåôáîý áñ÷éêÞò êáé ôåëéêÞò èÝóçò ôïõ óþìáôïò, äç-

ëáäÞ ôï ìÝôñï ôçò ìåôáôüðéóçò.

â) ôï ðñüóçìï ôçò áëãåâñéêÞò ôéìÞò åßíáé èåôéêü (+), áí ç óõíïëéêÞ êßíçóç ãß-

íåôáé ðñïò ôç èåôéêÞ öïñÜ êßíçóçò êáé áñíçôéêü (–), áí ç óõíïëéêÞ êßíçóç ãßíåôáé

ðñïò ôçí áíôßèåôç öïñÜ.

Óôï óõãêåêñéìÝíï ðáñÜäåéãìá, ç áëãåâñéêÞ ôéìÞ ôç ìåôáôüðéóçò èá åßíáé:

Äx = – [(ÂÃ) – (ÁÂ)] = – (80 – 50)m = – 30 m.

� Ôï ìåßïí ðñéí áðü ôçí ðáñÝíèåóç åêöñÜæåé ôï üôé ç óõíïëéêÞ êßíçóç ãßíåôáé á-

íôßèåôá ôçò èåôéêÞò öïñÜò êßíçóçò.

ÅÑÙÔÇÓÅÉÓ

Óõìðëçñþóôå ìå Ó (óùóôü) Þ Ë (ëÜèïò) äßðëá áðü ôéò áêüëïõèåò ðñïôÜóåéò:

á) ç êßíçóç åßíáé éäéüôçôá ìüíï ôùí óôåñåþí óùìÜôùí.�

â) äåí õðÜñ÷åé áðüëõôç çñåìßá óôï Óýìðáí.�

ã) ç êßíçóç åßíáé Ýííïéá ó÷åôéêÞ.�

ä) ç ðåñéãñáöÞ ôçò êßíçóçò äåí åîáñôÜôáé áðü ôï óýóôçìá áíáöïñÜò.�

å) ç èÝóç óôï åðßðåäï ðñïóäéïñßæåôáé áðü ìßá óõíôåôáãìÝíç.�

1.1

A ÂÃ

Äx80m

50m (+)


01.qxd 10/15/08 2:12 PM Óåëßäá 23

Ìå ðïéåò áðü ôéò ðáñáêÜôù ðñïôÜóåéò óõìöùíåßôå;

á) ï ÷ñüíïò åßíáé äéáíõóìáôéêü öõóéêü ìÝãåèïò.

â) ìïíÜäá ìÝôñçóçò ôïõ ÷ñüíïõ óôï S.I. åßíáé ôï 1 second.

ã) ôï ÷ñïíéêü äéÜóôçìá áðïôåëåßôáé áðü Ýíá ðëÞèïò ÷ñïíéêþí óôéãìþí.

ä) ôï ÷ñïíéêü äéÜóôçìá ìðïñåß íá ðÜñåé èåôéêÝò êáé áñíçôéêÝò ôéìÝò.

Óõìðëçñþóôå ôá êåíÜ ôïõ ðáñáêÜôù êåéìÝíïõ ìå ôéò êáôÜëëçëåò ëÝîåéò:

Ç êßíçóç åßíáé Ýííïéá ............. Ç ðåñéãñáöÞ ôçò êßíçóçò åíüò óþìáôïò ãßíåôáé ìå

ôç ÷ñÞóç åíüò óõóôÞìáôïò ............, ìå ôç âïÞèåéá ôïõ ïðïßïõ ãßíåôáé ï ðñïóäéïñé-

óìüò ôçò .............. ôïõ óþìáôïò óôï ÷þñï.

Ãéá ôïí ðñïóäéïñéóìü ôçò èÝóçò åíüò óþìáôïò óôçí åõèåßá ÷ñçóéìïðïéïýìå Ý-

íáí .................. . Ï áñéèìüò ðïõ äßíåé ôç èÝóç ôïõ óþìáôïò ðÜíù óôïí Üîïíá, ïíï-

ìÜæåôáé ....................

Ôï äéÜíõóìá èÝóçò r→→

åíüò óþìáôïò ðïõ êéíåßôáé ðÜíù óå Üîïíá Ý÷åé:

á) ùò áñ÷Þ ôï óçìåßï Ï ôïõ Üîïíá.

â) ùò áñ÷Þ ôçí áñ÷éêÞ èÝóç ôïõ óþìáôïò.

ã) ìÝôñï ðïõ åêöñÜæåé ôçí áðüóôáóç ôïõ óþìáôïò áðü ôçí áñ÷Þ ôïõ Üîïíá.

ä) ùò ðÝñáò ôç èÝóç ôïõ óþìáôïò.

Ìå ðïéá áðü ôéò ðáñáðÜíù ðñïôÜóåéò äéáöùíåßôå;

Óõìðëçñþóôå ôá êåíÜ ôïõ ðáñáêÜôù êåéìÝíïõ:

Ç ìåôáôüðéóç åßíáé ìÝãåèïò ............... êáé åêöñÜæåé ôç .................. ôçò èÝóçò åíüò

óþìáôïò. Ôï äéÜíõóìá ôçò ìåôáôüðéóçò Ý÷åé ùò áñ÷Þ ôçí ............... èÝóç ôïõ óþìá-

ôïò êáé ùò ðÝñáò ôçí .................... ôïõ èÝóç êáé ïñßæåôáé áðü ôç ó÷Ýóç ..................

Ôï äéÜóôçìá åßíáé ìÝãåèïò .................. êáé åêöñÜæåé ôç óõíïëéêÞ ............. ðïõ äéá-

íýåé Ýíá óþìá.

ÁíáöÝñáôå ôéò äéáöïñÝò äéáóôÞìáôïò (S) - ìåôáôüðéóçò (Äx→→

). Ðüôå óõìðß-

ðôïõí ïé ôéìÝò ôùí äýï öõóéêþí ìåãåèþí;

Áíôéóôïé÷åßóôå ôá óôïé÷åßá ôçò óôÞëçò Á, ìå ôá êáôÜëëçëá óôïé÷åßá ôçò óôÞ-

ëçò Â.

óôÞëç Á óôÞëç Â

1) äåí åîáñôÜôáé áðü ôç äéáäñïìÞ.

á) ÄéÜóôçìá 2) Ý÷åé ðÜíôá èåôéêÞ ôéìÞ.

â) Ìåôáôüðéóç 3) éóïýôáé ìå ôï óõíïëéêü ìÞêïò ôçò ôñï÷éÜò.

4) ìðïñåß íá Ý÷åé áñíçôéêÞ ôéìÞ.

1.7

1.6

1.5

1.4

1.3

1.2


01.qxd 10/15/08 2:12 PM Óåëßäá 24

á) Âñåßôå ôéò óõíôåôáãìÝíåò èÝóçò ôùí óùìÜôùí Á êáé Â ðÜíù óôïí Üîïíá x´x.

â) Ðïéï åßíáé ôï äéÜóôçìá S ðïõ ðñÝðåé íá äéáíýóåé ôï óþìá Â, ãéá íá öôÜóåé

óôï áêßíçôï óþìá Á;

Áíôéóôïé÷åßóôå ôá óôïé÷åßá ôçò óôÞëçò Á, ìå ôá êáôÜëëçëá óôïé÷åßá ôçò óôÞ-

ëçò Â:

óôÞëç Á óôÞëç Â

1) ôï ìÜèçìá ôùí éóðáíéêþí îåêéíÜ óôéò 17.30.

á) ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ 2) ôï óöýñéãìá ôçò ëÞîçò óôï ÷èåóéíü áãþíá äü-

èçêå óôï 93´.

â) ÷ñïíéêü äéÜóôçìá 3) ç äéáêïðÞ ñåýìáôïò äéÞñêçóå áðü ôéò 20.00 ìÝ-

÷ñé ôéò 22.00.

4) ãéá ôï øÞóéìï ôïõ öáãçôïý ÷ñåéÜóôçêáí 45´.

á) Óôï ðáñáêÜôù óýóôçìá áîüíùí, âñåßôå ôéò óõíôåôáãìÝíåò ôùí óçìåßùí

Á êáé Â.

â) Ó÷åäéÜóôå ôï äéÜíõóìá èÝóçò ãéá Ýíá óþìá ðïõ âñßóêåôáé óôï óçìåßï Á.

y

xx´

y´

1

1–1–1

0

A

B

1.10

1.9

0 1x´ x

B A

1.8


01.qxd 10/15/08 2:12 PM Óåëßäá 25

ÁÓÊÇÓÅÉÓ – ÐÑÏÂËÇÌÁÔÁ

Äßíåôáé ï áêüëïõèïò Üîïíáò êßíçóçò åíüò óþìáôïò:

Ôï óþìá ðñáãìáôïðïéåß ôç äéáäñïìÞ Á →→ Â →→ Ã.

á) Íá ó÷åäéÜóåôå ôï äéÜíõóìá ôçò áñ÷éêÞò èÝóçò ôïõ óþìáôïò.

â) Íá õðïëïãßóåôå ôï óõíïëéêü äéÜóôçìá ðïõ äéáíýåé ôï óþìá.

ã) Ðïéá åßíáé ç áëãåâñéêÞ ôéìÞ ôçò ìåôáôüðéóçò ôïõ óþìáôïò óôç äéáäñïìÞ

Á → Â → Ã; Ó÷åäéÜóôå ôï äéÜíõóìÜ ôçò.

Ôï åõèýãñáììï ôìÞìá (ÁÂ) åßíáé ç äéÜ-

ìåôñïò ôïõ êýêëïõ ôïõ ó÷Þìáôïò, áêôß-

íáò r = 20 cm. ¸íá óþìá êéíåßôáé ðÜíù

óôçí ðåñéöÝñåéá ôïõ êýêëïõ üðùò äåß-

÷íåé ôï âÝëïò. Áí ôï óþìá îåêéíÜ áðü ôç

èÝóç Á êáé Ýðåéôá áðü ôñéóÞìéóé ðåñé-

óôñïöÝò êáôáëÞãåé óôç èÝóç Â, âñåßôå:

á) ôï óõíïëéêü äéÜóôçìá ðïõ äéáíýåé ôï

óþìá.

â) ôï ìÝôñï ôçò ìåôáôüðéóçò ôïõ óþìá-

ôïò ãéá ôçí óõíïëéêÞ êßíçóç ðïõ ðñáãìáôïðïéåß.

Äßíåôáé ð = 3,14.

Óôï êõíÞãé ôïõ ÷áìÝíïõ èçóáõñïý, ï Indiana Jones áêïëïõèþíôáò ôéò ïäç-

ãßåò ôïõ ÷Üñôç èá ðñÝðåé íá êéíçèåß áðü ôï óçìåßï ðïõ âñßóêåôáé, äéáäï÷é-

êÜ: 300 m âüñåéá, 150 m äõôéêÜ, 120 m âüñåéá, 500 m áíáôïëéêÜ, 420 m íü-

ôéá.

á) Íá õðïëïãßóåôå ôï óõíïëéêü äéÜóôçìá ðïõ èá äéáíýóåé ï Indiana Jones.

1.13

A

B

K

1.12

x ´ –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 x

A ÂÃ

(m)

1.11


01.qxd 10/15/08 2:12 PM Óåëßäá 26

â) Íá âñåßôå ôï ìÝôñï ôçò ìåôáôüðéóÞò ôïõ êáé íá ó÷åäéÜóåôå ôï äéÜíõóìÜ

ôçò.

¸íá ü÷çìá îåêéíÜåé áðü ôçí ÁèÞíá ìå ðñïïñéóìü ôç Èåóóáëïíßêç. Ç á-

ðüóôáóç ôùí äýï ðüëåùí åßíáé ðåñßðïõ 500 Km (÷éëéüìåôñá). Óôç ìÝóç ôçò

äéáäñïìÞò, ôï ü÷çìá óôáìáôÜåé êáé ãõñßæåé ðñïò ôçí ÁèÞíá. Âñåßôå ôçí áë-

ãåâñéêÞ ôéìÞ ôçò ìåôáôüðéóçò êáé ôï óõíïëéêü äéÜóôçìá ðïõ Ý÷åé äéáíýóåé

ôï ü÷çìá áðü ôçí ÁèÞíá (óçìåßï åêêßíçóçò), üôáí âñßóêåôáé:

á) óôï óçìåßï áíáóôñïöÞò (ìÝóï ôçò äéáäñïìÞò).

â) óôï óçìåßï åðéóôñïöÞò (ôåëéêÞ èÝóç).

Ï ðïäçëÜôçò êáé ôï áõôïêßíçôï ôïõ ðñïçãïýìåíïõ ó÷Þìáôïò, îåêéíïýí

ôáõôü÷ñïíá ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t1 = 2 min áðü ôéò èÝóåéò Á êáé Â, üðùò äåß-

÷íåé ôï ó÷Þìá. Ôá äýï ï÷Þìáôá óõíáíôþíôáé ôçí ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t2 = 7 min

óôï óçìåßï Ã, ðïõ âñßóêåôáé óôï ìÝóï ôçò áñ÷éêÞò ìåôáîý ôïõò áðüóôá-

óçò. Íá âñåßôå:

á) ôï ÷ñïíéêü äéÜóôçìá ðïõ ðÝñáóå ìÝ÷ñé íá óõíáíôçèïýí ðïäçëÜôçò êáé áõ-

ôïêßíçôï.

â) ôç óõíôåôáãìÝíç èÝóçò xÃ ôïõ óçìåßïõ óõíÜíôçóÞò ôïõò.

ã) ôçí áëãåâñéêÞ ôéìÞ ôçò ìåôáôüðéóçò êÜèå ï÷Þìáôïò, ìÝ÷ñé ôï óçìåßï óõ-

íáíôÞóÞò ôïõò.

Áí ìéá ìðÜëá ðïäïóöáßñïõ äéáãñÜöåé ôçí ôñï÷éÜ ðïõ öáßíåôáé óôï ðáñá-

êÜôù ó÷Þìá, õðïëïãßóôå:

á) ôï äéÜóôçìá ðïõ äéáíýåé êáé

â) ôï ìÝôñï ôçò ìåôáôüðéóÞò ôçò,

â) êáèþò ìåôáêéíåßôáé áðü ôç èÝóç Á óôç èÝóç Ã.

1.16

0 1x´ x

A Â

(Êm)

1.15

500 Km

ìÝóï äéáäñïìÞò

ÁÈÇÍÁ ÈÅÓÓÁËÏÍÉÊÇ(+)

1.14


01.qxd 10/15/08 2:12 PM Óåëßäá 27

Äßíïíôáé: R1 = 2R2 = 3R3 = 4R4 = 12 cm.

Ôñåéò ðüëåéò Á, Â êáé Ã áðÝ÷ïõí ìåôáîý ôïõò: ç ðüëç Á áðü ôçí Â 40 Km,

ç ðüëç Â áðü ôçí Ã 12.500 Km êáé ç ðüëç Á áðü ôçí ðüëç Ã 65 Km. ´Åíá

öïñôçãü ðñáãìáôïðïéåß ôç äéáäñïìÞ Á → Â → Ã êáé ôåëéêÜ åðéóôñÝöåé

óôçí ðüëç Á. Íá õðïëïãßóåôå:

á) ôç óõíïëéêÞ áðüóôáóç ðïõ äéÞíõóå ôï óþìá

â) ôï ìÝôñï ôçò ìåôáôüðéóÞò ôïõ

ã) ôï ìÝôñï ôçò ìåôáôüðéóçò ôïõ óþìáôïò ìÝ÷ñé ôç èÝóç Ã.

1.3 . ÅÕÈÕÃÑÁÌÌÇ ÏÌÁËÇ ÊÉÍÇÓÇ

Á ) Ô á ÷ ý ô ç ô á

ÊáôÜ ôç äéÜñêåéá ôçò êßíçóçò åíüò óþìáôïò, äåí ìáò åíäéáöÝñåé ìüíï ç áëëáãÞ

ôçò èÝóçò ôïõ, áëëÜ êáé ôï ðüóï ãñÞãïñá áõôÞ ðñáãìáôïðïéåßôáé. ÕðÜñ÷åé äçëáäÞ,

ìéá ó÷Ýóç åîÜñôçóçò ìåôáîý ôïõ ðüóï ãñÞãïñá Þ áñãÜ êéíåßôáé Ýíá óþìá, ôçò ìå-

ôáôüðéóÞò ôïõ êáé ôïõ áíôßóôïé÷ïõ ÷ñüíïõ ðïõ áðáéôåßôáé ãé’ áõôÞí.

Ôï öõóéêü ìÝãåèïò ðïõ åêöñÜæåé ôï ðüóï ãñÞãïñá êéíåßôáé Ýíá óþìá åßíáé ç ôá-

÷ýôçôá.

Ôá÷ýôçôá õ→→

: åßíáé ôï äéáíõóìáôéêü öõóéêü ìÝãåèïò ðïõ ïñßæåôáé áðü ôï

ðçëßêï ôçò ìåôáôüðéóçò Äx→→

åíüò óþìáôïò ðïõ ðñáãìáôïðïéåßôáé óå

÷ñïíéêü äéÜóôçìá Ät, ðñïò ôï ÷ñïíéêü äéÜóôçìá Ät,

õ = ��Ä

Ä

x→→

t��

1.17

R1 R2 R3

A

ÃR4


01.qxd 10/15/08 2:12 PM Óåëßäá 28

Ç ôá÷ýôçôá ùò äéáíõóìáôéêü öõóéêü ìÝãåèïò Ý÷åé:

á) ìÝôñï, ðïõ éóïýôáé ìå ⏐õ→

⏐ = �⏐Ä

Ä

x→

t

⏐

� = �⏐

→

x

tô

ô

å

å

ë

ë

–

–

→

t

x

á

á

ñ

ñ

÷

÷⏐

�

Óôçí åõèýãñáììç êßíçóç éó÷ýåé ⏐õ⏐ = �⏐Ä

Ä

x

t

⏐

� = �⏐x

tô

ô

å

å

ë

ë

–

–

x

tá

á

ñ

ñ

÷

÷⏐

� , áöïý ôá äéáíý-

óìáôá →

xáñ÷, →

xôåë åßíáé óõããñáìéêÜ.


ã) öïñÜ, ôç öïñÜ ôçò êßíçóçò ôïõ óþìáôïò.

Ó÷üëéá:

1) ôï ìÝôñï ôçò ôá÷ýôçôáò ⏐õ⏐ åêöñÜæåé ïõóéáóôéêÜ, ôï ðüóï ãñÞãïñá ìåôáôï-

ðßæåôáé Ýíá óþìá.

2) áëãåâñéêÞ ôéìÞ ôá÷ýôçôáò õ: åßíáé ôï ðçëßêï ôçò áëãåâñéêÞò ôéìÞò ôçò ìåôá-

ôüðéóçò Äx ðñïò ôïí áíôßóôïé÷ï ÷ñüíï Ät, äçëáäÞ

õ = ��Ä

Ä

x

t��

• èåôéêÞ áëãåâñéêÞ ôéìÞ ôá÷ýôçôáò (õ > 0), äçëáäÞ Äx > 0, ðïõ óçìáßíåé ðùò

ôï óþìá êéíåßôáé:

á) ðñïò ôéò èåôéêÝò ôéìÝò ôïõ Üîïíá, üôáí ç êßíçóç ãßíåôáé ðÜíù óå Üîïíá.

â) ðñïò ôç öïñÜ ðïõ åìåßò Ý÷ïõìå åðéëÝîåé ùò èåôéêÞ öïñÜ êßíçóçò, üôáí ç êß-

íçóç äå ãßíåôáé ðÜíù óå Üîïíá.

• áñíçôéêÞ áëãåâñéêÞ ôéìÞ ôá÷ýôçôáò (õ < 0), äçëáäÞ Äx < 0, ðïõ óçìáßíåé ðùò

ôï óþìá êéíåßôáé:

á) ðñïò ôéò áñíçôéêÝò ôéìÝò ôïõ Üîïíá, üôáí ç êßíçóç ãßíåôáé ðÜíù óå Üîïíá.

â) ðñïò ôçí áíôßèåôç öïñÜ áðü áõôÞí ðïõ Ý÷ïõìå åðéëÝîåé ùò èåôéêÞ öïñÜ êßíç-

óçò, üôáí ç êßíçóç äå ãßíåôáé ðÜíù óå Üîïíá.

3) ôá äéáíýóìáôá ôá÷ýôçôáò õ→

êáé ìåôáôüðéóçò Äx→

åßíáé ïìüññïðá, äçëáäÞ

Ý÷ïõí ôçí ßäéá êáôåýèõíóç.

ÌïíÜäåò ôá÷ýôçôáò: ìïíÜäá ôá÷ýôçôáò óôï S.I. åßíáé ôï 1 m/s

�õ = �Ä

Ä

x

t� = �

1

1

m

s� = 1m/s�

Óôçí êáèçìåñéíÞ æùÞ ÷ñçóéìïðïéïýìå êáé Üëëåò ìïíÜäåò åêôüò ôïõ 1 m/s, üðùò

ôï 1 Km/h. Ç ìïíÜäá áõôÞ éóïýôáé ìå:

1 Km/h =�1

3

0

6

0

0

0

0

m

s� = �

3

1

,6� m/s. ÂëÝðïõìå üôé ãéá ôç ìåôáôñïðÞ ôùí Km/h óå m/s äé-

áéñïýìå ìå 3,6.


01.qxd 10/15/08 2:12 PM Óåëßäá 29


Ôï áíèñùðÜêé, óôïí ðáñáðÜíù Üîïíá, îåêéíÜåé áðü ôç èÝóç Á ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ

tA = 2 s êáé öôÜíåé óôç èÝóç Â ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ tB = 5 s.

Ç áëãåâñéêÞ ôéìÞ ôçò ôá÷ýôçôÜò ôïõ êáôÜ ôç äéÜñêåéá ôçò êßíçóçò åßíáé:

õ = �Ä

Ä

x

t� = �

x

tB

B

–

–

x

tA

A� = �4

5

–

–

(–

2

2)� m/s = �

6

3� m/s = 2 m/s

Ç ôá÷ýôçôá äéáêñßíåôáé óå: ìÝóç áñéèìçôéêÞ ôá÷ýôçôá, ìÝóç äéáíõóìáôéêÞ ôá÷ý-

ôçôá êáé óôéãìéáßá ôá÷ýôçôá.

á) ÌÝóç áñéèìçôéêÞ ôá÷ýôçôá (õì)

Ó÷üëéá:

1) Ç ìÝóç áñéèìçôéêÞ ôá÷ýôçôá åßíáé ìïíüìåôñï öõóéêü ìÝãåèïò.

2) Áí Ýíá óþìá ðñáãìáôïðïéåß ìéá äéáäñïìÞ, óõíïëéêïý äéáóôÞìáôïò S óå ÷ñü-

íï t ìå ôá÷ýôçôá ðïõ ìåôáâÜëëåôáé, ìÝóç áñéèìçôéêÞ ôá÷ýôçôá åßíáé ç óôáèåñÞ ôá-

÷ýôçôá ðïõ èá Ýðñåðå íá Ý÷åé ôï óþìá, þóôå íá ðñáãìáôïðïéÞóåé ôçí ßäéá äéáäñï-

ìÞ äéáóôÞìáôïò S óôïí ßäéï ÷ñüíï t.

3) Ç ìÝóç áñéèìçôéêÞ ôá÷ýôçôá åßíáé áíåîÜñôçôç áðü ôçí êáôåýèõíóç êßíçóçò

ôïõ óþìáôïò êáé åßíáé ðÜíôá èåôéêÞ.

4) Óôçí êáèçìåñéíÞ æùÞ, ç ìÝóç áñéèìçôéêÞ ôá÷ýôçôá ÷ñçóéìïðïéåßôáé ãéá íá ðå-

ñéãñÜøåé ôï ðüóï ãñÞãïñá äéáíýåé ìéá óõãêåêñéìÝíç áðüóôáóç Ýíá óþìá.

â) ÌÝóç äéáíõóìáôéêÞ ôá÷ýôçôá (→→

õì)

ÏõóéáóôéêÜ ðñüêåéôáé ãéá ôçí ôá÷ýôçôá õ→

, üðùò áõôÞ ïñßóôçêå óôçí áñ÷Þ ôçò å-

íüôçôáò êáé ðåñéãñÜöåôáé áðü ôç ó÷Ýóç:

õ→

ì = �Ä

Ä

x→

t�

ÌÝóç áñéèìçôéêÞ ôá÷ýôçôá (õì) åßíáé ôï ðçëßêï ôïõ óõíïëéêïý äéáóôÞ-

ìáôïò S, ðïõ äéáíýåé Ýíá óþìá óå ÷ñüíï t, ðñïò ôï ÷ñüíï t,

õì = �S

t�

x ´ –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 x

A ÂÄx

(m)

õt =2sA t =5sB


01.qxd 10/15/08 2:12 PM Óåëßäá 30

Ó÷üëéá:

Ç ìÝóç äéáíõóìáôéêÞ ôá÷ýôçôá:

1) åßíáé äéáíõóìáôéêü öõóéêü ìÝãåèïò.

2) åîáñôÜôáé áðü ôçí êáôåýèõíóç êßíçóçò ôïõ óþìáôïò.

3) äåí Ý÷åé ðñáêôéêÞ óçìáóßá, áöïý Ýíá óþìá ìðïñåß íá Ý÷åé äéáíýóåé ìéá áðü-

óôáóç, åíþ ç ìåôáôüðéóÞ ôïõ íá ðñïêýðôåé ìçäÝí.

ã) Óôéãìéáßá ôá÷ýôçôá (õ→→

)

Óôéò ðåñéóóüôåñåò ðåñéðôþóåéò êßíçóçò óùìÜôùí, ç ôá÷ýôçôá ãéá äéÜöïñïõò ëü-

ãïõò äåí åßíáé óôáèåñÞ. Åöüóïí êÜèå ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ ç ôá÷ýôçôá Ý÷åé ôç äéêÞ ôçò ôé-

ìÞ, åéóÜãïõìå ôç óôéãìéáßá ôá÷ýôçôá ç ïðïßá áíáöÝñåôáé óå ìéá óõãêåêñéìÝíç èÝóç

Þ ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ ôçò êßíçóçò åíüò óþìáôïò.

Ó÷üëéá:

Ç óôéãìéáßá ôá÷ýôçôá:

1) åßíáé äéáíõóìáôéêü öõóéêü ìÝãåèïò.

2) áðïôåëåß ôçí Ýíäåéîç ðïõ âëÝðïõìå êÜèå ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ óôá üñãáíá ìÝôñçóçò

ôçò ôá÷ýôçôáò (ð.÷. êïíôÝñ áõôïêéíÞôïõ).

3) óõìðßðôåé ìå ôç ìÝóç áñéèìçôéêÞ ôá÷ýôçôá, óôéò êéíÞóåéò ìå óôáèåñÞ êáôÜ ìÝ-

ôñï ôá÷ýôçôá.


(ÁÂ) = 150 Km

(ÂÃ) = 80 Km

Áõôïêßíçôï ðñáãìáôïðïéåß ôç äéáäñïìÞ Á → Â → Ã óå ÷ñüíï t = 2h. Êáèþò ðåñ-

íÜ áðü ôç èÝóç Ä, ôï êïíôÝñ ôïõ áõôïêéíÞôïõ äåß÷íåé 98 Km/h.

á) Ç ìÝóç áñéèìçôéêÞ ôá÷ýôçôá êáôÜ ôç äéáäñïìÞ éóïýôáé ìå

õì = �S

t� = �

(AB) +

t

(BÃ)� = ��

150

2

+ 80�� Km/h = 115 Km/h.

â) Ç ìÝóç äéáíõóìáôéêÞ ôá÷ýôçôá êáôÜ ôç äéáäñïìÞ, Ý÷åé ìÝôñï ðïõ éóïýôáé ìå

⏐

→

õì⏐ = �⏐Ä

Ä

x→

t

⏐

� = �(A

t

Ã)� = ��

7

2

0�� Km/h = 35 Km/h

ã) Ç óôéãìéáßá ôá÷ýôçôá óôç èÝóç Ä éóïýôáé ìå 98 Km/h, ßóç ìå ôçí Ýíäåéîç ôïõ

êïíôÝñ óôç èÝóç áõôÞ.

ä) Ýíá äåýôåñï áõôïêßíçôï ðñáãìáôïðïéåß ôç äéáäñïìÞ Ã → Â óå ÷ñüíï t´ =40 min.

A Ä Â

Ã


01.qxd 10/15/08 2:12 PM Óåëßäá 31

Ç ìÝóç áñéèìçôéêÞ ôïõ ôá÷ýôçôá èá éóïýôáé ìå

õì´ = �(Ã

t

Â

´

)� = �

4

8

0

0

m

Km

in� = = 120 Km/h

Ðáñáôçñïýìå üôé ôï äåýôåñï áõôïêßíçôï êéíåßôáé ðéï ãñÞãïñá, áöïý õì´ > õì.

Â ) Å õ è ý ã ñ á ì ì ç ï ì á ë Þ ê ß í ç ó ç ( Å . Ï . Ê . ) .

ÅéäéêÞ ðåñßðôùóç åõèýãñáììçò êßíçóçò áðïôåëåß ç åõèýãñáììç ïìáëÞ êßíçóç.

Áðü ôïí ðñïçãïýìåíï ïñéóìü ãßíåôáé êáôáíïçôü, ðùò åõèýãñáììç ïìáëÞ åßíáé ç

êßíçóç ðïõ ðñáãìáôïðïéåßôáé ìå óôáèåñÞ ôá÷ýôçôá.

ÅðåéäÞ ç ôá÷ýôçôá åßíáé äéáíõóìáôéêü öõóéêü ìÝãåèïò, óôáèåñÞ ôá÷ýôçôá óç-

ìáßíåé:

á) óôáèåñü ìÝôñï

â) óôáèåñÞ êáôåýèõíóç.

� Áðü ôïí ïñéóìü ôçò åõèýãñáììç ïìáëÞò êßíçóçò, ç ìåôáôüðéóç Äx êáé ôï á-

íôßóôïé÷ï ÷ñïíéêü äéÜóôçìá Ät, åßíáé ðïóÜ áíÜëïãá. ¢ñá ôï ðçëßêï ôïõò �Ä

Ä

x

t� åßíáé

óôáèåñü, óõíåðþò ãéá ôçí ôá÷ýôçôá èá éó÷ýåé:


Ôï áíèñùðÜêé ôïõ ðáñáðÜíù ó÷Þìáôïò, êÜèå äåõôåñüëåðôï ìåôáôïðßæåôáé êáôÜ

3m. Ôá ðçëßêá ôùí ìåôáôïðßóåùí ðñïò ôá áíôßóôïé÷á ÷ñïíéêÜ äéáóôÞìáôá åßíáé ìå-

ôáîý ôïõò ßóá:

x1

x2

x3

x4

x5

t=0sx=0m

t =1sx =3m1

1

t =2sx =6m2

2

t =3sx =9m3

3

t =4sx =12m4

4

t =5sx =15m5

5

õ = ��Ä

Ä

x

t�� = óôáèåñÞ

Åõèýãñáììç ïìáëÞ åßíáé ç êßíçóç ðïõ ðñáãìáôïðïéåß Ýíá óþìá óå åõ-

èåßá ãñáììÞ êáé óå ßóá ÷ñïíéêÜ äéáóôÞìáôá äéáíýåé ßóåò ìåôáôïðßóåéò.

80 Km�

�2

3� h


01.qxd 10/15/08 2:12 PM Óåëßäá 32

�Ä

Ä

x

t1

1� = �Ä

Ä

x

t2

2� = �Ä

Ä

x

t3

3� = �Ä

Ä

x

t4

4� = �Ä

Ä

x

x5

5

� = 3 m/s

Ç ôá÷ýôçôá åßíáé óôáèåñÞ ìå ìÝôñï ⏐→

õ⏐ = 3 m/s.

Ðñïöáíþò, ôï áíèñùðÜêé åêôåëåß åõèýãñáììç ïìáëÞ êßíçóç

Åîßóùóç èÝóçò - ÷ñüíïõ.

Åßíáé ç åîßóùóç ðïõ äßíåé ôç èÝóç x åíüò óþìáôïò óå óõíÜñôçóç ìå ôï ÷ñüíï t.

Óôçí åõèýãñáììç ïìáëÞ êßíçóç ç åîßóùóç áõôÞ ðñïêýðôåé ùò åîÞò:

Èåùñïýìå üôé Ýíá óþìá ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ to âñßóêåôáé óôç èÝóç xo êáé ôçí ôõ-

÷áßá ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t âñßóêåôáé óôç èÝóç x. Áðü ôïí ïñéóìü ôçò ôá÷ýôçôáò Ý÷ïõìå:

õ = �Ä

Ä

x

t� ⇒ Äx = õ Ät ⇒ x – x0 = õ (t – t0) ⇒

(åîßóùóç èÝóçò - ÷ñüíïõ).

� Óôçí åéäéêÞ ðåñßðôùóç ðïõ t0 = 0 êáé x0 = 0, ç åîßóùóç èÝóçò - ÷ñüíïõ ðáßñ-

íåé ôç ìïñöÞ

x = õt

Ã ) Ä é á ã ñ Ü ì ì á ô á ó ô ç í å õ è ý ã ñ á ì ì ç ï ì á ë Þ ê ß í ç ó ç

á) äéÜãñáììá ôá÷ýôçôáò - ÷ñüíïõ (õ – t)

Óôçí åõèýãñáììç ïìáëÞ êßíçóç ç ôá÷ýôçôá åßíáé óôáèåñÞ, óõíåðþò ôï äéÜãñáì-

ìá (õ – t) èá åßíáé ìéá åõèåßá ãñáììÞ, ðáñÜëëçëç óôïí Üîïíá ôùí ÷ñüíùí:

Áí ôþñá, ç áëãåâñéêÞ ôéìÞ ôçò ôá÷ýôçôáò åßíáé áñíçôéêÞ, ôüôå ôï äéÜãñáììá

(õ – t) Ý÷åé ôçí áêüëïõèç ìïñöÞ:

õ0

õ

t0

x = x0 + õ(t – t0)


01.qxd 10/15/08 2:12 PM Óåëßäá 33

Õðïëïãéóìüò ìåôáôüðéóçò Äx áðü ôï äéÜãñáììá õ – t.

Åßäáìå ðùò ôï äéÜãñáììá õ – t óôçí åõèýãñáììç ïìáëÞ êßíçóç Ý÷åé ôçí ðáñáêÜ-

ôù ìïñöÞ:

Ôï ãñáììïóêéáóìÝíï åìâáäü ôïõ ðáñáëëçëïãñÜì-

ìïõ ÁÂÃÄ éóïýôáé ìå:

Å = (ÁÂ)�(ÁÄ) = õ0(t2 – t1) = õ0Ät

¼ìùò ôï ãéíüìåíï õ0Ät (ôá÷ýôçôá åðß ÷ñüíïò) åê-

öñÜæåé ôç ìåôáôüðéóç Äx óôï ÷ñïíéêü äéÜóôçìá Ät.

ÓõìðåñáóìáôéêÜ êáé ãåíéêåýïíôáò ãéá êÜèå åõèý-

ãñáììç êßíçóç:

â) äéÜãñáììá èÝóçò - ÷ñüíïõ (x – t)

Ç åîßóùóç èÝóçò - ÷ñüíïõ óôçí åõèýãñáììç ïìáëÞ êßíçóç, Ý÷åé ôç ìïñöÞ

x = x0 + õ(t – t0). Èåùñþíôáò ùò áñ÷éêÞ ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ ôçí t0 =0, ç ðñïçãïýìåíç

åîßóùóç ãßíåôáé x = x0 + õt. Ãéá ôçí ðåñßðôùóç áõôÞ, ôï äéÜãñáììá x - t åßíáé åõèåßá

(åîßóùóç á~ âáèìïý ùò ðñïò t), ðïõ îåêéíÜ áð’ ôç èÝóç x0 ôïõ Üîïíá ôùí x:

Ç ìåôáôüðéóç Äx éóïýôáé áñéèìçôéêÜ ìå ôï åìâáäü ðïõ ðåñéêëåßåôáé á-

ðü ôï äéÜãñáììá õ – t êáé ôïí Üîïíá ôùí ÷ñüíùí, óôá ÷ñïíéêÜ üñéá ôçò

êßíçóçò.

õ0

õ

t0 Á

Â Ã

Ät1 t2

E

õ

t0

– õ0


01.qxd 10/15/08 2:12 PM Óåëßäá 34

Áí êáé ç áñ÷éêÞ èÝóç åßíáé ç x0 = 0, ç åîßóùóç èÝóçò - ÷ñüíïõ ãßíåôáé x = õt. Ó’

áõôÞ ôçí ðåñßðôùóç, ôï äéÜãñáììá x – t åßíáé åõèåßá ðïõ îåêéíÜ áðü ôçí áñ÷Þ ôùí

áîüíùí:

Õðïëïãéóìüò ôá÷ýôçôáò õ áðü ôï äéÜãñáììá x – t

Ôï äéÜãñáììá x – t óôçí åõèýãñáììç ïìáëÞ êßíçóç (óôçí ðåñßðôùóç ðïõ

x0 = 0) åßäáìå ðùò Ý÷åé ôçí ðáñáêÜôù ìïñöÞ:

Áðü ôï äéÜãñáììá öáßíåôáé, üôé ôï óþìá ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t1 âñßóêåôáé óôç èÝóç

x1 êáé ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t2 âñßóêåôáé óôç èÝóç x2.

Óôï ïñèïãþíéï ôñßãùíï ÁÂÃ, ôï ðçëßêï �(

(

Á

Á

Â

Ã)

)� åêöñÜæåé ôçí êëßóç ôçò åõèåßáò x – t.

¼ìùò,

x2

x

t0

Á

Â

Ã

t1 t2

x1ö

x

t0

x=õt

x0

x

t0

x=x +õt0


01.qxd 10/15/08 2:12 PM Óåëßäá 35

(ÁÂ) = x2 – x1 êáé (ÁÃ) = t2 – t1, óõíåðþò:

�(

(

Á

Á

Â

Ã)

)� = �

x

t2

2

–

–

x

t1

1� = �Ä

Ä

x

t� . ÅðåéäÞ ôï ðçëßêï �

Ä

Ä

x

t� éóïýôáé ìå ôçí ôá÷ýôçôá õ, óõìðå-

ñáßíïõìå üôé:

Ó÷üëéá:

1) Áí ôï äéÜãñáììá õ - t óôçí åõèýãñáììç ïìáëÞ êßíçóç, Ý÷åé ôçí áêüëïõèç ìïñ-

öÞ (áñíçôéêÞ ôá÷ýôçôá):

ôüôå ç ìåôáôüðéóç åßíáé áñíçôéêÞ êáé éó÷ýåé

Äx = – E

üðïõ Å ôï ãñáììïóêéáóìÝíï åìâáäü ôïõ ó÷Þìáôïò.

2)

Ôï ðçëßêï �(

(

Á

Á

Â

Ã)

)� , äçëáäÞ ç êëßóç ôçò åõèåßáò óôï äéÜãñáììá x – t, ïõóéáóôéêÜ é-

óïýôáé ìå ôçí åöáðôïìÝíç ôçò ãùíßáò ö (åöö):

x2

x

t0

Á

Â

Ã

t1 t2

x1ö

– õ0

õ

t0

t1 t2

E

Ç êëßóç ôçò åõèåßáò óôï äéÜãñáììá x – t óôçí åõèýãñáììç ï-

ìáëÞ êßíçóç, éóïýôáé ìå ôçí ôá÷ýôçôá ôïõ óþìáôïò.


01.qxd 10/15/08 2:12 PM Óåëßäá 36

åöö = = ��(

(

Á

Á

Â

Ã)

)�� = ��

x

t2

2

–

–

x

t1

1�� = ��Ä

Ä

x

t�� = õ = êëßóç

3) Ãéá íá õðïëïãßóïõìå ôçí ôá÷ýôçôá ìå ôçí âïÞèåéá ôïõ äéáãñÜììáôïò x – t óôçí

åõèýãñáììç ïìáëÞ êßíçóç:

i) åðéëÝãïõìå äýï óçìåßá ðÜíù óôçí åõèåßá êáé âñßóêïõìå ôéò èÝóåéò x1, x2 êáé ôéò

÷ñïíéêÝò óôéãìÝò t1, t2 ðïõ áíôéóôïé÷ïýí óôá óçìåßá áõôÜ.

ii) ðáßñíïõìå ôïí ôýðï ôçò ôá÷ýôçôáò êáé áíôéêáèéóôïýìå:

õ = ��Ä

Ä

x

t�� = ��

x

t2

2

–

–

x

t1

1��

4)

¼óï ìåãáëýôåñç åßíáé ç ãùíßá ðïõ ó÷çìáôßæå-

ôáé ìåôáîý ôçò åõèåßáò óôï äéÜãñáììá x – t êáé

ôïõ Üîïíá ôùí ÷ñüíùí t, ôüóï ìåãáëýôåñç åß-

íáé ç ôá÷ýôçôá ôïõ óþìáôïò.

Ôï óõìðÝñáóìá áõôü ðñïêýðôåé áðü ôï ðñïç-

ãïýìåíï ó÷Þìá, áí ðáñáôçñÞóïõìå üôé óôï ÷ñï-

íéêü äéÜóôçìá Ät = t2 – t1, ç ìåôáôüðéóç Äx2 ôïõ

óþìáôïò Â åßíáé ìåãáëýôåñç áðü ôçí áíôßóôïé÷ç

ìåôáôüðéóç Äx1 ôïõ óþìáôïò Á.

¸ôóé Ý÷ïõìå:

�===Äx2>Äx1

===> õÂ > õÁ

Ôõðïëüã éï - ÐáñáôçñÞóå éò

��×áñáêôçñéóôéêÜ åõèýãñáììçò ïìáëÞò êßíçóçò

1) Ðñáãìáôïðïéåßôáé ìå óôáèåñÞ ôá÷ýôçôá.

2) Óå ßóïõò ÷ñüíïõò äéáíýïíôáé ßóåò ìåôáôïðßóåéò.

3) ÌÝóç êáé óôéãìéáßá ôá÷ýôçôá óõìðßðôïõí.

4) Ôï äéáíõüìåíï äéÜóôçìá åßíáé áíÜëïãï ôïõ ÷ñüíïõ.

�� Ôýðïé óôçí åõèýãñáììç ïìáëÞ êßíçóç

x = x0 + õtÄx = õÄtõ = ��

Ä

Ä

x


õÁ = �Ä

Ä

x

t1�

õÂ = �Ä

Ä

x

t2�

x

t0

óþìá Á

Äx1

Äx2

ö1

ö2

t1 t2

óþìá Â



01.qxd 10/15/08 2:12 PM Óåëßäá 37

�� ÄéáãñÜììáôá óôçí åõèýãñáììç ïìáëÞ êßíçóç

1)õ – t

2) x – t

��Õðïëïãéóìïß áðü ôá äéáãñÜììáôá.

1) ÄéÜãñáììá õ – t Åìâáäü Ìåôáôüðéóç

2) ÄéÜãñáììá x – t Êëßóç Ôá÷ýôçôá

Åìâáäü ðÜíù áðü ôïí Üîïíá t Äx > 0

• Åìâáäü êÜôù áðü ôïí Üîïíá t Äx < 0

• ÌåãÜëç êëßóç - → ÌåãÜëç ôá÷ýôçôá

ËÕÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ

¢óêçóç 1: Áõôïêßíçôï êéíåßôáé ìå óôáèåñÞ ôá÷ýôçôá êáé óå ÷ñüíï 30 s, äéá-

íýåé áðüóôáóç 1200 m

á) Íá õðïëïãßóåôå ôçí ôéìÞ ôçò ôá÷ýôçôáò ôïõ áõôïêéíÞôïõ.

â) Íá åêöñÜóåôå ôçí ôá÷ýôçôá ôïõ áõôïêéíÞôïõ óå Km/h.

ã) Íá ãßíåé ôï äéÜãñáììá ôá÷ýôçôáò - ÷ñüíïõ (õ – t).

ä) Íá âñåßôå óå ðüóï ÷ñüíï ôï áõôïêßíçôï, êéíïýìåíï ìå ôçí ßäéá

ôá÷ýôçôá, èá äéáíýóåé 72 Km.

x0

x

t0

x

t0

x=õt

x=x +õt0

õ0

õ

t0

õ=óôáè>0

–õ0

õ

t0

õ=óôáè<0

S = ⏐⏐õ⏐⏐Ät


01.qxd 10/15/08 2:13 PM Óåëßäá 38

Ëýóç

á) õ = �Ä

Ä

x

t� = �

12

3

0

0

0

s

m� ⇒

â) ÅðåéäÞ 1m = �10

1

00� Km êáé 1s = �

36

1

00� h, èá Ý÷ïõìå:

õ = 40 �m

s� = 40� = 40 � �

3

1

6

0

0

0

0

0� �

K

h

m� ⇒

�� Ðáñáôçñïýìå ðùò ãéá ôçí ìåôáôñïðÞ ôùí m/s óå Km/h, ðïëëáðëáóéÜæïõìå ìå 3,6.

ã) ÅðåéäÞ ôï áõôïêßíçôï ðñáãìáôïðïéåß åõèýãñáììç ïìáëÞ êßíçóç (õ = óôáèåñÞ),

ôï äéÜãñáììá ôá÷ýôçôáò - ÷ñüíïõ èá Ý÷åé ôçí áêüëïõèç ìïñöÞ:

ä) õ = �Ä

Ä

x

t� ⇒ Ät = �

Ä

õ

x� = �

14

7

4

2

K

K

m

m

/h� ⇒

¢óêçóç 2: Ìéá áìáîïóôïé÷ßá ðïõ êéíåßôáé åõèýãñáììá êáé ìå óôáèåñÞ ôá÷ý-

ôçôá õ = 20 m/s, Ý÷åé ìÞêïò �� = 120 m. Ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t0 = 0s,

ôï ðñþôï âáãüíé ôçò áìáîïóôïé÷ßáò åéóÝñ÷åôáé óôï åóùôåñéêü óÞ-

ñáããáò ìÞêïõò d = 480 m. Íá âñåßôå ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t1, êáôÜ

ôçí ïðïßá ç áìáîïóôïé÷ßá åãêáôáëåßðåé ôåëåßùò ôçí óÞñáããá.

Ëýóç

¼ðùò öáßíåôáé êáé áðü ôï ó÷Þìá, ç áðüóôáóç ðïõ äéáíýåé ç áìáîïóôïé÷ßá áðü

ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t0 = 0s ðïõ åéóÝñ÷åôáé óôç óÞñáããá, ìÝ÷ñé ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t1

t =0s0 t1d

� �

Ät = 0,5 h = 30 min

40

õ(m/s)

t(s)0

õ = 144 Km/h

�10

1

00� Km

��36

1

00� h

õ = 40 m/s


01.qxd 10/15/08 2:13 PM Óåëßäá 39

ðïõ êáé ôï ôåëåõôáßï âáãüíé ôçò Ý÷åé åîÝëèåé áðü ôçí óÞñáããá, åßíáé ßóç ìå

d + � = (480 + 120)m = 600 m

Áðü ôïí ôýðï ôçò ôá÷ýôçôáò:

õ = �Ä

Ä

x

t� ⇒ Ät = �

Ä

õ

x� = �

d +

õ

�� = �

2

6

0

00

m

m

/s� ⇒ Ät = 30 s

¼ìùò:

Ät = t1 – t0 ⇒ t1 = Ät + t0 = (30 + 0)s ⇒

¢óêçóç 3: Ôï áíèñùðÜêé ôïõ ó÷Þìáôïò, ðåñíÜ áðü ôç èÝóç Á ôç ÷ñïíéêÞ

óôéãìÞ tA = 0s, ðñáãìáôïðïéþíôáò åõèýãñáììç ïìáëÞ êßíçóç.

Áí ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ tB = 4s, ôï áíèñùðÜêé âñßóêåôáé óôç èÝóç Â,

á) íá âñåèåß ç ôá÷ýôçôÜ ôïõ,

â) íá ãßíïõí ôá äéáãñÜììáôá ôá÷ýôçôáò - ÷ñüíïõ (õ – t) êáé èÝóçò - ÷ñüíïõ

(x – t)

ã) íá âñåèåß ç èÝóç ôïõ Ã, ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ tÃ = 9s.

Ëýóç

á) õ = �Ä

Ä

x

t� = �

x

tB

B

–

–

x

tA

A� = �6

4

–

–

(–

0

2)� m/s ⇒

â) ÅðåéäÞ ç ôá÷ýôçôá åßíáé óôáèåñÞ, ôï äéÜãñáììá ôá÷ýôçôáò - ÷ñüíïõ (õ – t)

Ý÷åé ôçí áêüëïõèç ìïñöÞ:

Ó’ áõôÞ ôçí ðåñßðôùóç, ç áñ÷éêÞ èÝóç åßíáé xÁ = – 2m, åðïìÝíùò ôï äéÜãñáììá

èÝóçò - ÷ñüíïõ äå èá îåêéíÜ áðü ôï ìçäÝí (0):

2

õ(m/s)

t(s)0

õ = 2 m/s

–2 –1 0x´ x

A Â

(m)1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

t1 = 30 s


01.qxd 10/15/08 2:13 PM Óåëßäá 40

ã) õ = �Ä

Ä

x

t� ⇒ Äx = õÄt ⇒ xÃ – xA = õ(tÃ – tA) ⇒

⇒ xÃ = xA + õ(tÃ – tA) = – 2 + 2�(9 – 0) ⇒

¢óêçóç 4: Äßíåôáé ôï ðáñáêÜôù äéÜãñáììá ôá÷ýôçôáò - ÷ñüíïõ (õ – t) ãéá Ý-

íá êéíçôü:

á) Íá âñåßôå ôï óõíïëéêü äéÜóôçìá ðïõ äéáíýåé ôï êéíçôü êáé ôç óõíïëéêÞ ìå-

ôáôüðéóÞ ôïõ.

â) Íá õðïëïãßóåôå ôç ìÝóç áñéèìçôéêÞ ôá÷ýôçôá ôïõ êéíçôïý.

ã) Íá ó÷åäéÜóåôå ôï äéÜãñáììá äéáóôÞìáôïò - ÷ñüíïõ (S – t).

Ëýóç

á) Óå äéÜãñáììá ôá÷ýôçôáò - ÷ñüíïõ (õ – t), ôï óõíïëéêü äéÜóôçìá éóïýôáé ìå

ôï óõíïëéêü åìâáäü ðïõ ðåñéêëåßåôáé áðü ôï äéÜãñáììá õ – t êáé ôïí Üîïíá

ôùí ÷ñüíùí, óôá ÷ñïíéêÜ üñéá ôçò êßíçóçò. Óôçí ðåñßðôùóÞ ìáò éó÷ýåé:

S = E1 + E2 + E3 = (10 � 10 + 5 � 5 + 5 � 5)m ⇒

Ãéá ôïí õðïëïãéóìü ôçò ìåôáôüðéóçò üìùò,

Äx = Å1 – Å2 + Å3 = (10 � 10 – 5 � 5 + 5 � 5)m ⇒

Äx = 100 m

S = 150 m

õ(m/s)

t(s)0

10

5

–510 20 25 30

E1

E2

E3

xÃ = 16 m

x(m)

t(s)

6

5

4

3

2

1

1 2 3 4 5 6–1

0

–2


01.qxd 10/15/08 2:13 PM Óåëßäá 41

â) õì = �S

t� = �

1

3

5

0

0

s

m� ⇒

�ç ìÝóç äéáíõóìáôéêÞ ôá÷ýôçôá Ý÷åé áëãåâñéêÞ ôéìÞ: �Ä

Ä

x

t� = �

1

3

0

0

0

s

m� � 3,3 m/s�

ã) Óôá åðéìÝñïõò ÷ñïíéêÜ äéáóôÞìáôá ôçò êßíçóçò, ôï êéíçôü Ý÷åé óôáèåñÞ ôá÷ý-

ôçôá, óõíåðþò ôï äéÜãñáììá äéáóôÞìáôïò - ÷ñüíïõ (S – t) èá áðïôåëåßôáé áðü

åõèýãñáììá ôìÞìáôá, áöïý ôï äéÜóôçìá åßíáé áíÜëïãï ôïõ ÷ñüíïõ:

(0 →→ 10)s: S1 = E1 = (10 � 10)m ⇒ S1 = 100m

(10 →→ 20)s: åðåéäÞ ç ôá÷ýôçôá åßíáé ìçäÝí, ôï êéíçôü äå äéáíýåé åðéðëÝïí äéÜ-

óôçìá, äçëáäÞ ôï äéÜóôçìá ðáñáìÝíåé óôáèåñü.

(20 →→ 25)s: S2 = E2 = (5 � 5)m ⇒ S2 = 25 m.

(25 →→ 30)s: S3 = E3 = (5 � 5)m ⇒ S3 = 25m.

¢óêçóç 5: Ï ðáãêüóìéïò ðñùôáèëçôÞò ìåãÜëùí áðïóôÜóåùí ×áúëÝ Ãêå-

ìðñåóåëáóéÝ, ôñÝ÷åé óå åõèýãñáììï äñüìï ìå óôáèåñÞ ôá÷ýôçôá

õÃ = 6 m/s. ÊÜðïéá ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t0 = 0s, âñßóêåôáé ìðñïóôÜ ôïõ

êáé óå áðüóôáóç d = 150 m Ýíáò ðïäçëÜôçò, ðïõ êéíåßôáé ìå óôá-

èåñÞ ôá÷ýôçôá õÐ = 5 m/s.

á) ÌåôÜ áðü ðüóï ÷ñüíï t, ï ×áúëÝ ÃêåìðñåóåëáóéÝ èá öôÜóåé ôïí ðïäçëÜôç;

â) Ðüóï äéÜóôçìá SÃ èá Ý÷åé äéáíýóåé ï äñïìÝáò óôï ÷ñüíï áõôü;

Ëýóç

á)

õÃ õÐ

d

t0=0s

100

S(m)

t(s)0

50

125150

10 20 3025

õì = 5 m/s


01.qxd 10/15/08 2:13 PM Óåëßäá 42

¸óôù t ï ÷ñüíïò ðïõ áðáéôåßôáé, þóôå ï äñïìÝáò íá öôÜóåé ôïí ðïäçëÜôç. Óôïí

÷ñüíï áõôü, ï äñïìÝáò Ý÷åé äéáíýóåé äéÜóôçìá SÃ, åíþ ï ðïäçëÜôçò äéÜóôçìá

SÐ = SÃ – d. ÅðåéäÞ êáé ïé äýï åêôåëïýí åõèýãñáììç ïìáëÞ êßíçóç, èá éó÷ýåé:

õÃ = �S

tÃ� ⇒ SÃ = õÃt (1)

õÐ = �S

tÐ� = �

SÃ

t

– d� ⇒

(1)

õÐ = �õÃ

t

t – d� ⇒

õÐt = õÃt – d ⇒ õÃt – õÐt = d ⇒ t(õÃ – õÐ) = d ⇒

t = ��õÃ –

d

õÐ

�� ⇒ t = �(6

1

–

5

5

0

)

m

m/s� ⇒

â) Ãéá íá âñïýìå ôï äéÜóôçìá SÃ ðïõ Ý÷åé äéáíýóåé ï äñïìÝáò, áíôéêáèéóôïýìå

óôç ó÷Ýóç (1):

SÃ = õÃ � t = (6 � 150)m ⇒

¢óêçóç 6: Äýï áõôïêßíçôá îåêéíïýí ôáõôü÷ñïíá áðü äýï ðüëåéò Á êáé Â ðïõ

áðÝ÷ïõí áðüóôáóç d = 100 Km. Ôï áõôïêßíçôï ðïõ îåêéíÜ áðü

ôçí ðüëç Á, êéíåßôáé ìå óôáèåñÞ ôá÷ýôçôá õA = 80 Km/h ðñïò ôçí

ðüëç Â. Ôï äåýôåñï áõôïêßíçôï îåêéíÜ áðü ôçí ðüëç Â êáé êéíåß-

ôáé ðñïò ôçí ðüëç Á ìå óôáèåñÞ ôá÷ýôçôá õB = 120 Km/h.

á) ÌåôÜ áðü ðüóï ÷ñüíï t, èá óõíáíôçèïýí ôá äýï áõôïêßíçôá;

â) Óå ðüóç áðüóôáóç SA áðü ôçí ðüëç Á, èá óõíáíôçèïýí;

ã) Íá ãßíïõí ôá äéáãñÜììáôá ôá÷ýôçôáò – ÷ñüíïõ (õ – t) êáé äéáóôÞìáôïò -

÷ñüíïõ (S – t) êáé ãéá ôá äýï áõôïêßíçôá ìÝ÷ñé ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ ôçò óõ-

íÜíôçóÞò ôïõò, óå êïéíÜ óõóôÞìáôá áîüíùí.

SÃ = 900 m

t = 150 s

õÃ õÐd

SÃ

t


01.qxd 10/15/08 2:13 PM Óåëßäá 43

Ëýóç

á) ¸óôù üôé ôá äýï áõôïêßíçôá èá óõíáíôçèïýí óôï óçìåßï Ã, ìåôÜ áðü ÷ñüíï t.

Óôï ÷ñüíï áõôü, ôï áõôïêßíçôï Á Ý÷åé äéáíýóåé äéÜóôçìá SA êáé ôï áõôïêßíçôï

Â äéÜóôçìá SB = d – SA. ÅðåéäÞ êáé ôá äýï áõôïêßíçôá åêôåëïýí åõèýãñáììç

ïìáëÞ êßíçóç èá éó÷ýåé:

õA = �S

tA� ⇒ SA = õÁt (1)

õB = �S

tB� = �

d –

t

SA� ⇒

(1)

õÂ = �d – õ

tÁt

� ⇒ õÂt = d – õÁt ⇒

õAt + õBt = d ⇒ (õA + õB)t = d ⇒ t = ��õÁ +

d

õÂ

�� ⇒

⇒ t = �(80 +

10

1

0

20

K

)

m

Km/h� ⇒

â) Ãéá íá âñïýìå ôçí áðüóôáóç SA áðü ôçí ðüëç Á, ðïõ èá óõíáíôçèïýí ôá äýï

áõôïêßíçôá, áíôéêáèéóôïýìå óôç ó÷Ýóç (1):

SA = õAt = 80 Km/h � 0,5h ⇒

ã) ÅðéëÝãïõìå ùò èåôéêÞ öïñÜ êßíçóçò, ôç öïñÜ êßíçóçò ðñïò ôçí ðüëç Á. Áõôü

óçìáßíåé ðùò ç ôá÷ýôçôá õA åßíáé áñíçôéêÞ, åíþ ç ôá÷ýôçôá õB èåôéêÞ. ÅðåéäÞ

êáé ôá äýï áõôïêßíçôá åêôåëïýí åõèýãñáììç ïìáëÞ êßíçóç ôï êïéíü äéÜãñáì-

ìá ôá÷ýôçôáò - ÷ñüíïõ (õ – t) èá Ý÷åé ôçí áêüëïõèç ìïñöÞ:

õ(Km/h)

t(h)0

120

–80

0,5

SA = 40 Km

t = 0,5 h Þ 30 min

SA

A

õA õB

Ã Â

SBd

(+)


01.qxd 10/15/08 2:13 PM Óåëßäá 44

Ôï êïéíü äéÜãñáììá äéáóôÞìáôïò – ÷ñüíïõ (S – t) ãéá ôá äýï áõôïêßíçôá, èá á-

ðïôåëåßôáé áðü åõèåßåò ãñáììÝò ðïõ äéÝñ÷ïíôáé áð’ ôçí áñ÷Þ ôùí áîüíùí:

Ôï äéÜóôçìá SB éóïýôáé ìå SB = d – SA = (100 – 40) Km ⇒

⇒ SB = 60 Km.

� Áðü ôï ðñïçãïýìåíï äéÜãñáììá, ç åõèåßá äéáóôÞìáôïò – ÷ñüíïõ (S – t) ãéá ôï

áõôïêßíçôï Â Ý÷åé ìåãáëýôåñç êëßóç, áöïý ç ôá÷ýôçôÜ ôïõ õB åßíáé ìåãáëýôåñç ôçò

ôá÷ýôçôáò õA.

¢óêçóç 7: Ç åîßóùóç èÝóçò - ÷ñüíïõ (x – t) ãéá Ýíá êéíçôü, åßíáé ç

áêüëïõèç:

x = – 3 + 4t (S.I.).

á) Ôé åßäïõò êßíçóç ðñáãìáôïðïéåß ôï êéíçôü;

â) Ðïéá åßíáé ç áñ÷éêÞ ôïõ èÝóç xo êáé ðïéá ç ôá÷ýôçôÜ ôïõ;

ã) Óå ðïéá èÝóç âñßóêåôáé ôï êéíçôü ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t1 = 2s;

ä) Óå ðïéá ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ ôï êéíçôü èá âñåèåß óôç èÝóç x2 = +17m;

å) Íá ãßíåé ôï äéÜãñáììá èÝóçò - ÷ñüíïõ (x – t).

Ëýóç

á) ÅðåéäÞ ç åîßóùóçò êßíçóçò Ý÷åé ôç ìïñöÞ x = x0 + õt (ðñþôïõ âáèìïý ùò ðñïò t),

ç êßíçóç ðïõ ðñáãìáôïðïéåß ôï êéíçôü åßíáé åõèýãñáììç ïìáëÞ êßíçóç.

â) Óõãêñßíïíôáò ôçí åîßóùóç êßíçóçò ðïõ äßíåôáé, ìå ôç ãåíéêÞ åîßóùóç êßíçóçò

óôçí åõèýãñáììç ïìáëÞ êßíçóç, x = x0 + õt, ðñïêýðôåé üôé:

êáé

ã) Áíôéêáèéóôþíôáò ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t1 óôçí åîßóùóç ôçò êßíçóçò, èá Ý÷ïõìå:

x1 = – 3 + 4t1 = (– 3 + 4 � 2)m ⇒

ä) Áíôéêáèéóôþíôáò ôç èÝóç x2 óôçí åîßóùóç ôçò êßíçóçò êáé åðéëýïíôáò ùò ðñïò

ôï ÷ñüíï, èá Ý÷ïõìå:

x1 = 5m

õ = 4m/sx0 = – 3m

60

S(Km)

t(h)0

40

0,5

A

B


01.qxd 10/15/08 2:13 PM Óåëßäá 45

x2 = – 3 + 4t2 ⇒ 4t2 = x2 + 3 ⇒ t2 = �x2

4

+ 3� ⇒

⇒ t2 = ��17

4

+ 3�� s ⇒

å) Ôï äéÜãñáììá èÝóçò – ÷ñüíïõ (x – t) óôçí ðåñßðôùóç áõôÞ îåêéíÜ áðü ôç èÝóç

x0 = – 3m êáé Ý÷åé ôçí áêüëïõèç ìïñöÞ:

¢óêçóç 8: Ôï áíèñùðÜêé ôïõ ó÷Þìáôïò ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t1 = 0s, ðåñíÜ á-

ðü ôç èÝóç Á ìå óôáèåñÞ ôá÷ýôçôá õ1. Ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t2 = 2s,

ôï áíèñùðÜêé öôÜíåé óôç èÝóç Â, üðïõ êáé ðáñáìÝíåé áêßíçôï ãéá

÷ñïíéêü äéÜóôçìá Ät = 6s. Óôç óõíÝ÷åéá ðñáãìáôïðïéþíôáò åõ-

èýãñáììç ïìáëÞ êßíçóç êéíåßôáé ðñïò ôç èÝóç Ã, óôçí ïðïßá öôÜ-

íåé ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t4 = 12s.

á) Íá ãßíåé ôï äéÜãñáììá ôá÷ýôçôáò - ÷ñüíïõ (õ – t).

â) Íá õðïëïãéóôåß ç ìÝóç áñéèìçôéêÞ ôá÷ýôçôá ðïõ Ý÷åé ôï áíèñùðÜêé.

ã) Íá ãßíåé ôï äéÜãñáììá èÝóçò - ÷ñüíïõò (x – t) ìÝ÷ñé ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ 8s.

Ëýóç

á) (0 →→ 2)s: õ1 = �x

tB

2 –

–

t

x

1

A� = �3

2

–

–

(–

0

5)� m/s ⇒ õ1 = 4 m/s

Ôï åðüìåíï ÷ñïíéêü äéÜóôçìá ðïõ ìáò åíäéáöÝñåé,

åßíáé áðü t2 = 2s Ýùò t3 = t2 + Ät = (2+6)s = 8s.

(2 →→ 8)s: õ2 = �x

tB

3

–

–

x

t2

B� ⇒ õ2 = 0 m/s

x ´ –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 x(m)

A

ÂÃ

6– 6

x(m)

t(s)0

5

–3

1 2

t2 = 5s


01.qxd 10/15/08 2:13 PM Óåëßäá 46

(8 →→ 12)s: õ3 = �x

tÃ

4

–

–

x

t3

Â� = �–

12

1

–

–

8

3� m/s ⇒ õ3 = – 1 m/s

â) Ôï óõíïëéêü äéÜóôçìá ðïõ äéáíýåé ôï áíèñùðÜêé êáôÜ ôçí êßíçóÞ ôïõ åßíáé

S = (AB) + (ÂÃ) = (8 + 4)m ⇒ S = 12 m. Óõíåðþò, ç ìÝóç áñéèìçôéêÞ ôá÷ýôçôá

èá åßíáé:

õì = �t

S

ïë

� = �t4

S

– t1� = �

(12

12

–

m

0) s� ⇒

ã) Ôï äéÜãñáììá èÝóçò – ÷ñüíïõ (x – t) ìÝ÷ñé ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t3 = 8s, Ý÷åé ôçí

ðáñáêÜôù ìïñöÞ:

¢óêçóç 9: ¸íá óþìá îåêéíÜ áðü Ýíá óçìåßï , êéíïýìåíï åõèýãñáììá êáé ìå

óôáèåñÞ ôá÷ýôçôá õ1 = 4 m/s. Áí ìåôÜ áðü ÷ñüíï 40s, îåêéíÜ Ýíá

äåýôåñï óþìá áðü ôï ßäéï óçìåßï, ðïõ êéíåßôáé ðñïò ôçí ßäéá êá-

ôåýèõíóç ìå óôáèåñÞ ôá÷ýôçôá õ2 = 20 m/s, íá âñåèïýí:

á) Ç áðüóôáóç d ðïõ Ý÷åé äéáíýóåé ôï ðñþôï óþìá, óôï ÷ñüíï ôùí 40s.

â) ÌåôÜ áðü ðüóï ÷ñüíï áðü ôç óôéãìÞ åêêßíçóçò ôïõ ðñþôïõ óþìáôïò, ôá

äýï óþìáôá èá óõíáíôçèïýí.

ã) Ç áðüóôáóç ôùí äýï óùìÜôùí áðü ôï óçìåßï Á, ôç óôéãìÞ ôçò óõíÜíôçóÞò

ôïõò.

Ëýóç

á) Èåùñïýìå ðùò ôï ðñþôï óþìá îåêéíÜ áðü ôï óçìåßï Á, ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ

t0 = 0s, Üñá ôï äåýôåñï óþìá îåêéíÜ áðü ôï óçìåßï Á ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t1 = 40s:

x(m)

t(s)0

3

2

–5

8

õì = 1 m/s

õ(m/s)

t(s)0

4

2–1

8 12


01.qxd 10/15/08 2:13 PM Óåëßäá 47

Ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ åêêßíçóçò ôïõ äåýôåñïõ óþìáôïò, ôï ðñþôï óþìá Ý÷åé äéáíý-

óåé áðüóôáóç d êáé âñßóêåôáé óôï óçìåßï Â. ÅðåéäÞ ôï ðñþôï óþìá ðñáãìáôï-

ðïéåß åõèýãñáììç ïìáëÞ êßíçóç, èá éó÷ýåé:

õ1 = �t

d

1

� ⇒ d = õ1�t1 = 4 m/s � 40 s ⇒

â) Ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t2, ôá äýï óþìáôá óõíáíôþíôáé óôï óçìåßï Ã. ÅðåéäÞ êáé ôï

äåýôåñï óþìá ðñáãìáôïðïéåß åõèýãñáììç ïìáëÞ êßíçóç èá éó÷ýïõí:

õ1 = �t

S

2

� ⇒ S = õ1t2 (1)

õ2 = �t2

S

– t1� ⇒

(1)

õ2 = �t2

õ

–1t2

t1� ⇒ õ2(t2 – t1) = õ1t2 ⇒

⇒ õ2t2 – õ2t1 = õ1t2 ⇒ õ2t2 – õ1t2 = õ2t1 ⇒

⇒ (õ2 – õ1)t2 = õ2t1 ⇒ t2 = �õ2

õ

–2t1

õ1

� ⇒

⇒ t2 = ��2

2

0

0

�

–

4

4

0�� s ⇒

Ôï ÷ñïíéêü äéÜóôçìá t2 – t1, åßíáé ï ÷ñüíïò ðïõ áðáéôåßôáé, þóôå ôï äåýôåñï óþ-

ìá íá öôÜóåé óôï óçìåßï Ã áðü ôï óçìåßï åêêßíçóçò Á.

ã) Áíôéêáèéóôþíôáò óôç ó÷Ýóç (1) ôï t2 âñßóêïõìå:

S = õ1t2 = 4m/s � 50s ⇒ S = 200m

t2 = 50 s

d = 160 m

t1

A

Â

Âd

õ1õ2

t2

A

S

õ1õ2


01.qxd 10/15/08 2:13 PM Óåëßäá 48

ÅÑÙÔÇÓÅÉÓ


Ç ôá÷ýôçôá åßíáé ôï öõóéêü ìÝãåèïò ðïõ åêöñÜæåé ôï ðüóï ............. êéíåßôáé Ýíá

óþìá. Åßíáé ................ öõóéêü ìÝãåèïò êáé ïñßæåôáé áðü ôç ó÷Ýóç ................ Ìï-

íÜäá ôá÷ýôçôáò óôï S.I. åßíáé ôï ...................


á) ç ôá÷ýôçôá åßíáé ìïíüìåôñï öõóéêü ìÝãåèïò. �

â) ç ôá÷ýôçôá åêöñÜæåé ôç ìåôáâïëÞ ôçò èÝóçò åíüò óþìáôïò.�

ã) ç ìÝóç áñéèìçôéêÞ ôá÷ýôçôá åîáñôÜôáé áðü ôï óõíïëéêü äéÜóôçìá.�

5) ç ìÝóç áñéèìçôéêÞ ôá÷ýôçôá åßíáé äéáíõóìáôéêü öõóéêü ìÝãåèïò.�

Ðïéá êßíçóç ïíïìÜæïõìå åõèýãñáììç ïìáëÞ êáé ðïéá ôá ÷áñáêôçñéóôéêÜ

ôçò; Íá áðïäåßîåôå ôçí åîßóùóç èÝóçò - ÷ñüíïõ x = x0 + õt óôçí åõèý-

ãñáììç ïìáëÞ êßíçóç.

á) Ðïéåò ðëçñïöïñßåò ìðïñïýìå íá ðÜñïõìå áðü ôá äéáãñÜììáôá ôá÷ý-

ôçôáò – ÷ñüíïõ (õ – t) êáé èÝóçò - ÷ñüíïõ (x – t) óôçí åõèýãñáììç ïìá-

ëÞ êßíçóç;

â) Ôé óõìðÝñáóìá ðñïêýðôåé, üôáí óå äéÜãñáììá ôá÷ýôçôáò - ÷ñüíïõ (õ – t)

ôï óõíïëéêü åìâáäü åßíáé ìçäÝí;


Åõèýãñáììç .............. êßíçóç, åßíáé ç êßíçóç ðïõ ãßíåôáé ìå ............... ôá÷ýôçôá,

äçëáäÞ ôï êéíçôü óå ßóïõò ............... äéáíýåé ßóåò ................. Óå ìéá ôÝôïéá êßíçóç ôï

.................. åßíáé áíÜëïãï ôïõ ÷ñüíïõ.

Ó’ Ýíáí åðáñ÷éáêü äñüìï Ýíá áõôïêßíçôï êéíåßôáé ìå óôáèåñÞ ôá÷ýôçôá

20m/s. Ôï üñéï ôá÷ýôçôáò ðïõ õðïäåéêíýïõí ïé ðéíáêßäåò ôçò ôñï÷áßáò ãéá

ôï äñüìï áõôü åßíáé 90 Km/h. Ðáñáâáßíåé ôï áõôïêßíçôï, ôï üñéï ôá÷ýôçôáò

ôùí ðéíáêßäùí;

Ôé áðü ôá ðáñáêÜôù éó÷ýåé óôçí åõèýãñáììç ïìáëÞ êßíçóç;

á) H ôá÷ýôçôá åßíáé áíÜëïãç ôïõ ÷ñüíïõ.

â) MÝóç êáé óôéãìéáßá ôá÷ýôçôá óõìðßðôïõí.

ã) Óå ßóïõò ÷ñüíïõò äéáíýïíôáé ßóåò ìåôáôïðßóåéò.

ä) Ôï äéÜãñáììá ôá÷ýôçôáò – ÷ñüíïõ (õ – t) äéÝñ÷åôáé áðü ôçí áñ÷Þ ôùí áîüíùí.

1.24

1.23

1.22

1.21

1.20

1.19

1.18


01.qxd 10/15/08 2:13 PM Óåëßäá 49

å) Ôï ìÝôñï ôçò ôá÷ýôçôáò åßíáé óôáèåñü.

Óõìðëçñþóôå ìå Ó (óùóôü) Þ Ë (ëÜèïò) äßðëá áðü ôéò áêüëïõèåò ðñïôÜ-

óåéò:

á) Ç ôá÷ýôçôá éóïýôáé ìå ôçí êëßóç ôçò åõèåßáò óôï äéÜãñáììá ôá÷ýôçôáò - ÷ñü-

íïõ (õ – t).�

â) Áðü ôï äéÜãñáììá äéáóôÞìáôïò - ÷ñüíïõ (S – t) âñßóêïõìå ôçí ôá÷ýôçôá, õðï-

ëïãßæïíôáò ôï åìâáäü ìåôáîý ôïõ äéáãñÜììáôïò êáé ôïõ Üîïíá ôùí ÷ñüíùí.�

ã) Óå äéÜãñáììá èÝóçò - ÷ñüíïõ (x – t), ìåãÜëç êëßóç óçìáßíåé ìåãÜëç ôá÷ýôç-

ôá.�

ä) Óå äéÜãñáììá ôá÷ýôçôáò - ÷ñüíïõ (õ – t), üôáí ç åõèåßá ôïõ äéáãñÜììáôïò âñß-

óêåôáé êÜôù áðü ôïí Üîïíá ôùí ÷ñüíùí, ç ìåôáôüðéóç åßíáé áñíçôéêÞ.�

Äßíåôáé ôï äéÜãñáììá ôá÷ýôçôáò - ÷ñüíïõ (õ – t) ãéá Ýíá êéíçôü:

1) Ôï êéíçôü óôï ÷ñïíéêü äéÜóôçìá (20→→30)s Ý÷åé:

á) èåôéêÞ öïñÜ êßíçóçò, â) áñíçôéêÞ öïñÜ êßíçóçò.

2) Ç ìåôáôüðéóç ôïõ êéíçôïý óôï ÷ñïíéêü äéÜóôçìá (0→30)s åßíáé:

á) 200m, â) 300m, ã) 0m

3) Ç ìÝóç áñéèìçôéêÞ ôá÷ýôçôá ôïõ êéíçôïý óôï ÷ñïíéêü äéÜóôçìá (0→30)s åßíáé:

á) 30 m/s, â) 25 m/s, ã) �5

3

0� m/s, ä) 10 m/s

4) Ôï óõíïëéêü äéÜóôçìá ðïõ äéáíýåé ôï êéíçôü åßíáé:

á) 500 m, â) 300 m, ã) 200 m

Íá åðéëÝîåôå ôéò óùóôÝò áðáíôÞóåéò.

Ìå âÜóç ôï ðñïçãïýìåíï äéÜãñáììá, ôé áðü ôá ðáñáêÜôù éó÷ýåé;

á) ç êßíçóç ðïõ ðñáãìáôïðïéåßôáé åßíáé åõèýãñáììç ïìáëÞ.

â) ôï êéíçôü Ý÷åé ôç èåôéêÞ öïñÜ êßíçóçò.

ã) ç ìåôáôüðéóç ôïõ êéíçôïý óå ÷ñüíï 4s åßíáé 32m.

ä) ôï äéÜóôçìá ðïõ äéáíýåé ôï êéíçôü óå ÷ñüíï 2s åßíáé 16m.

1.27

õ(m/s)

t(s)0

10–10

40

20 30

1.26

1.25


01.qxd 10/15/08 2:13 PM Óåëßäá 50

Áíôéóôïé÷åßóôå ôéò ðáñáêÜôù åîéóþóåéò ìå ôá êáôÜëëçëá äéáãñÜììáôá.

á) x = x0 + õt (1)

â) õ = óôáèåñÞ > 0 (2)

ã) x = õ � t (3)

ä) õ = óôáèåñÞ < 0 (4)

(5)

(6)

1.28

õ(m/s)

t(s)0 2

–8

4


01.qxd 10/15/08 2:13 PM Óåëßäá 51

Áðü ôï äéÜãñáììá èÝóçò ÷ñüíïõ ôïõ ðáñáêÜôù ó÷Þìáôïò ãéá äýï êéíçôÜ Á

êáé Â âñåßôå:

á) ôï åßäïò ôçò êßíçóçò ðïõ ðñáãìáôïðïéïýí ôá äýï êéíçôÜ.

â) ôï ëüãï ôùí ôá÷õôÞôùí �õ

õ

Â

Á� ôùí äýï êéíçôþí.

Äßíåôáé ôï áêüëïõèï äéÜãñáììá èÝóçò - ÷ñüíïõ (x – t) ãéá äýï áèëçôÝò

Á êáé Â:

á) ôé êßíçóç ðñáãìáôïðïéïýí ïé äýï áèëçôÝò;

â) ðïéá åßíáé ç áðüóôáóÞ ôïõò ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t = 0s;

ã) ðïéá åßíáé ç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ ôçò óõíÜíôçóÞò ôïõò êáé ðüóá ìÝôñá Ý÷åé êÜ-

íåé ï êáèÝíáò;

ä) íá âñåèïýí ïé ôá÷ýôçôåò õA êáé õB ôùí äýï áèëçôþí.

Ìå âÜóç ôï äéÜãñáììá ôá÷ýôçôáò - ÷ñüíïõ (õ – t) ðïõ áêïëïõèåß:

âñåßôå ðïéï áðü ôá ðáñáêÜôù äéáãñÜììáôá áíôéóôïé÷åß:

õ(m/s)

t(s)0 2

–12

5

12

3

1.31

x(m)

t(s)0

5

2,5

A

B

10

1.30

x(m)

t(s)0

x1

t1

A

B

x132

1.29


01.qxd 10/15/08 2:13 PM Óåëßäá 52

á) óå äéÜãñáììá èÝóçò - ÷ñüíïõ (x – t).

â) óå äéÜãñáììá äéáóôÞìáôïò - ÷ñüíïõ (S – t) ãéá ôçí ðñïçãïýìåíç êßíçóç.

1) 2)

3) 4)

5) 6)

Ç åîßóùóç èÝóçò - ÷ñüíïõ ãéá Ýíá óþìá åßíáé x = – 3 + 5 t (S.I.). Ðïéåò á-

ðü ôéò ðáñáêÜôù ðñïôÜóåéò åßíáé óùóôÝò;

á) Ôï óþìá ðñáãìáôïðïéåß åõèýãñáììç ïìáëÞ êßíçóç.

â) Ôçí ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t = 0s, ôï óþìá âñßóêåôáé óôç èÝóç x = 3m.

ã) Ï ñõèìüò ìåôáâïëÞò ôçò èÝóçò ôïõ óþìáôïò åßíáé 5 m/s.

ä) Ç êëßóç ôïõ äéáãñÜììáôïò èÝóçò - ÷ñüíïõ åßíáé – 3 m/s.

å) Ôï ìÝôñï ôçò ôá÷ýôçôáò åßíáé 5 m/s.

Ôï äéÜãñáììá èÝóçò - ÷ñüíïõ (x – t) åíüò óþìáôïò Ý÷åé ôçí áêüëïõèç ìïñ-

öÞ:

1.33

1.32

S(m)

t(s)0 5

48

24

32

x(m)

t(s)0 2

–24

53

24

S(m)

t(s)0 5

48

x(m)

t(s)0 2 53

24

S(m)

t(s)0 2

–24

53

24

x(m)

t(s)0 2

–24

53


01.qxd 10/15/08 2:13 PM Óåëßäá 53


á) Óôá ðñþôá 3s ôçò êßíçóçò ôï óþìá åêôåëåß åõèýãñáììç ïìáëÞ êßíçóç.

â) Óôá ÷ñïíéêÜ äéáóôÞìáôá (0 →2)s êáé (2 →3)s äéáíýïíôáé ßóåò ìåôáôïðßóåéò.

ã) Óôï ÷ñïíéêü äéÜóôçìá (3→5)s ôï óþìá ðáñáìÝíåé áêßíçôï.

ä) Ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ 2s ç ôá÷ýôçôá ôïõ óþìáôïò åßíáé ìçäÝí.

å) Óôá ðñþôá 2s ôçò êßíçóçò ï ñõèìüò ìåôáâïëÞò ôçò èÝóçò ôïõ óþìáôïò Ý-

÷åé áñíçôéêÞ ôéìÞ.

Ïé ôá÷ýôçôåò äýï äñïìÝùí ðïõ ôñÝ÷ïõí óå åõèýãñáììï äñüìï óå óõíÜñ-

ôçóç ìå ôï ÷ñüíï, öáßíïíôáé óôï áêüëïõèï êïéíü äéÜãñáììá:

á) ôé êßíçóç ðñáãìáôïðïéïýí ïé äýï äñïìåßò;

â) ôé åêöñÜæåé ôï ãñáììïóêéáóìÝíï åìâáäü ôïõ äéáãñÜììáôïò;

ã) ðïéá åßíáé ç áðüóôáóç ðïõ èá Ý÷åé äéáíýóåé ï äñïìÝáò Â óôï ÷ñïíéêü äéÜ-

óôçìá (0→15)s;

ä) ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t0 = 0s ï äñïìÝáò Â ðñïçãåßôáé ôïõ Á êáôÜ 40m. Ðïéïò

äñïìÝáò ðñïçãåßôáé ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t = 10s;

õ(m/s)

t(s)0 10

128

A

B

1.34

x(m)

t(s)0 2

–2

53

1


01.qxd 10/15/08 2:13 PM Óåëßäá 54

ÁÓÊÇÓÅÉÓ - ÐÑÏÂËÇÌÁÔÁ

Óþìá ðïõ êéíåßôáé åõèýãñáììá ìå óôáèåñÞ ôá÷ýôçôá, âñßóêåôáé óôç èÝóç

x1 = 15m ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t1 = 3s. Áí ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t2 = 8s, ôï óþìá

âñßóêåôáé óôç èÝóç x2 = 45m, íá âñåèïýí:

á) ç ôá÷ýôçôá ôïõ óþìáôïò.

â) ç èÝóç ôïõ óþìáôïò ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t3 = 5s.

Óôéò áñ÷Ýò Éïõíßïõ ôïõ 2000 óôçí ÁèÞíá, ï Ìüñéò Ãêñéí Ýôñåîå ôá 100m óå

9,79s. Ôï äéÜóôçìá áðü 60 Ýùò 70 m ôï Ýôñåîå óå 0,8s. Ðïéï Þôáí ôï ìÝôñï

ôçò ìÝóçò ôá÷ýôçôáò ãéá:

á) üëç ôç äéáäñïìÞ;

â) ôï ôìÞìá ôçò áðü ôá 60 Ýùò ôá 70m;

Ìéá êïðÝëá ðåæïðïñåß åðß 20 min óå åõèåßá ãñáììÞ ìå ìÝóç ôá÷ýôçôá ðïõ

Ý÷åé ìÝôñï 1,5 m/s. Ðüóç áðüóôáóç êáëýðôåé óôï ÷ñüíï áõôü;

Ï ðáñáêÜôù ðßíáêáò ôéìþí äéáóôÞìáôïò - ÷ñüíïõ áíáöÝñåôáé óôçí êßíçóç

åíüò óþìáôïò:

Óõìðëçñþóôå ôá êåíÜ ôïõ ðßíáêá ìå ôïõò êáôÜëëçëïõò áñéèìïýò, Ýôóé þ-

óôå ôï óþìá íá ðñáãìáôïðïéåß åõèýãñáììç ïìáëÞ êßíçóç.

ÊáôáôÜîôå ôéò ðáñáêÜôù ôéìÝò ôá÷õôÞôùí áðü ôçí ìéêñüôåñç ðñïò ôç ìåãá-

ëýôåñç:

õ1 = 48 Km/h, õ2 = 30 m/s, õ3 = 30 Km/min, õ4 = 800 m/h.

Ìéá äéáîïíéêÞ íôáëßêá ìå ìÞêïò �� = 15 m ðåñíÜ ìå óôáèåñÞ ôá÷ýôçôá ðÜ-

íù áðü ôç ãÝöõñá ôïõ Éóèìïý ôçò Êïñßíèïõ, ç ïðïßá Ý÷åé ìÞêïò S = 45 m.

Áí ï ÷ñüíïò ðïõ áðáéôåßôáé, þóôå ç íôáëßêá íá åãêáôáëåßøåé ôçí ãÝöõñá å-

íôåëþò åßíáé t = 4s, íá õðïëïãßóåôå ôçí ôá÷ýôçôá ôçò íôáëßêáò.

¸íá áõôïêßíçôï ðñáãìáôïðïéåß ôç äéáäñïìÞ Á →→ Â →→ Ã ðÜíù óôïí Üîïíá

ôïõ ðáñáêÜôù ó÷Þìáôïò. Ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ tA = 0s îåêéíÜ áðü ôï óçìåßï Á

1.41

1.40

1.39

1.38

1.37

1.36

1.35


s3,2 Km

3 min 20 s800 m

2hKm

s40 M

×ñüíïò (t)ÄéÜóôçìá (S)

01.qxd 10/15/08 2:13 PM Óåëßäá 55

êáé êéíåßôáé ìå óôáèåñÞ ôá÷ýôçôá õA = 10 m/s. Óôï óçìåßï Â ôï áõôïêßíçôï

ðáñáìÝíåé áêßíçôï ãéá ÷ñïíéêü äéÜóôçìá Ät = 1,5s. Óôç óõíÝ÷åéá êéíåßôáé

ðñïò ôï óçìåßï Ã ìå óôáèåñÞ ôá÷ýôçôá êáé öôÜíåé óôï Ã ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ

tÃ = 2,5s. Íá âñåßôå:

á) ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ tB ðïõ ôï áõôïêßíçôï öôÜíåé óôï óçìåßï Â.

â) ôçí ôá÷ýôçôá õÃ ðïõ Ý÷åé ôï áõôïêßíçôï óôç äéáäñïìÞ Â → Ã

ã) êáé íá ó÷åäéÜóåôå ôï äéÜãñáììá ôá÷ýôçôáò - ÷ñüíïõ (õ – t) ãéá üëç ôç äéá-

äñïìÞ.

¸íáò ãåùñãüò óôÝêåôáé ðÜíù áðü ôï óôüìéï åíüò Üäåéïõ ðçãáäéïý. ÊÜðïéá

óôéãìÞ ï ãåùñãüò âãÜæåé ìéá äõíáôÞ êñáõãÞ ðñïò ôï åóùôåñéêü ôïõ ðçãá-

äéïý. Áí ï áíôßëáëïò ôçò öùíÞò ôïõ ãåùñãïý öôÜíåé óô’ áõôéÜ ôïõ ìåôÜ á-

ðü ÷ñüíï 0,1s, âñåßôå ôï âÜèïò Ç ôïõ ðçãáäéïý. Äßíåôáé ç ôá÷ýôçôá ôïõ Þ-

÷ïõ óôïí áÝñá, õnx = 340 m/s.

Áðü ôï áêüëïõèï äéÜãñáììá ôá÷ýôçôáò - ÷ñüíïõ (õ – t) ãéá Ýíá êéíçôü, íá

õðïëïãßóåôå:

á) ôï óõíïëéêü äéÜóôçìá êáé ôç óõíïëéêÞ ìåôáôüðéóç ôïõ êéíçôïý

â) ôç ìÝóç áñéèìçôéêÞ ôá÷ýôçôá ôïõ êéíçôïý êáé

ã) íá ó÷åäéÜóåôå ôï äéÜãñáììá äéáóôÞìáôïò - ÷ñüíïõ (S – t).

Äýï ï÷Þìáôá êéíïýíôáé ïìüññïðá óå åõèýãñáììï äñüìï, ìå óôáèåñÝò ôá-

÷ýôçôåò õA êáé õB = 20 m/s. Ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t1 = 0s ôï ü÷çìá Â âñßóêå-

ôáé ìðñïóôÜ áðü ôï Á óå áðüóôáóç S1 = 200 m. Áí ôá äýï ï÷Þìáôá óõíá-

íôéþíôáé ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t2 = 20 s, íá õðïëïãßóåôå:

á) ôçí áðüóôáóç d ðïõ äéáíýåé ôï ü÷çìá Á ìÝ÷ñé ôç óôéãìÞ ôçò óõíÜíôçóçò

êáé ôçí ôá÷ýôçôá õA.

1.44

õ(m/s)

t(s)0 3

–26

105

30

20

1.43

1.42

x ´ –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 x(m)

A Â

6– 6

Ã


01.qxd 10/15/08 2:13 PM Óåëßäá 56

â) ìåôÜ áðü ðüóï ÷ñüíï áðü ôç óôéãìÞ ôçò óõíÜíôçóÞò ôïõò, ôá äýï ï÷Þìá-

ôá áðÝ÷ïõí áðüóôáóç S2 = 150m.

Áðü ëÜèïò ôïõ óôáèìÜñ÷ç, äýï áìáîïóôïé÷ßåò êéíïýíôáé áíôßññïðá ðÜíù

óôçí ßäéá óéäçñïäñïìéêÞ ãñáììÞ ìå óôáèåñÝò ôá÷ýôçôåò õ1 = 15m/s êáé

õ2 = 25m/s áíôßóôïé÷á. Ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t1 = 0s üðùò öáßíåôáé óôï ðáñá-

êÜôù ó÷Þìá, ïé äýï áìáîïóôïé÷ßåò áðÝ÷ïõí áðüóôáóç S = 400 m. ÕðïèÝ-

ôïíôáò ðùò ïé ìç÷áíïäçãïß äåí ðáôïýí öñÝíï, íá âñåßôå:

á) ìåôÜ áðü ðüóï ÷ñüíï èá óõãêñïõóôïýí ïé áìáîïóôïé÷ßåò êáé

â) ôï ðçëßêï ôùí äéáóôçìÜôùí �S

S1

2

� ðïõ èá Ý÷ïõí äéáíýóåé ìÝ÷ñé åêåßíç ôç

óôéãìÞ.

¼÷çìá êéíåßôáé åõèýãñáììá êáé ïìáëÜ ìå ôá÷ýôçôá õ1 = 25m/s, áðü Ýíá óç-

ìåßï Á ó’ Ýíá óçìåßï Â ãéá ÷ñïíéêü äéÜóôçìá Ät1 = 20s. Ôï ü÷çìá ðáñáìÝ-

íåé áêßíçôï óôï óçìåßï Â ãéá ÷ñïíéêü äéÜóôçìá Ät2 = 15 s êáé óôç óõíÝ÷åéá

êéíåßôáé ðñïò ôï óçìåßï Á ìå óôáèåñÞ ôá÷ýôçôá õ3, öôÜíïíôáò óôï Á ìåôÜ

áðü ÷ñïíéêü äéÜóôçìá Ät3 = 5 s.

á) Íá âñåèåß ç áðüóôáóç ôùí äýï óçìåßùí Á, Â.

â) Íá õðïëïãéóôåß ç ôá÷ýôçôá õ3, êáèþò êáé ç ìÝóç áñéèìçôéêÞ ôá÷ýôçôá õì.

ã) Íá ãßíïõí ôá äéáãñÜììáôá ôá÷ýôçôáò - ÷ñüíïõ (õ – t) êáé äéáóôÞìáôïò –

÷ñüíïõ (S – t). Ðüóç åßíáé ç óõíïëéêÞ ìåôáôüðéóç ôïõ ï÷Þìáôïò;

Óôï ðáñáêÜôù ó÷Þìá ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t0 = 0s, ï áèëçôÞò ñß÷íåé ìéá ìðÜ-

ëá ôïõ ìðüïõëéíãê, ç ïðïßá êéíåßôáé ìå óôáèåñÞ ôá÷ýôçôá õ1 = 4 m/s êáôÜ

ìÞêïò ôïõ äéáäñüìïõ. ÌåôÜ áðü ÷ñüíï Ät = 1s, ï áèëçôÞò ñß÷íåé ìéá äåý-

ôåñç ìðÜëá ç ïðïßá êéíåßôáé ìå óôáèåñÞ ôá÷ýôçôá õ2 = 6 m/s. Áí ôï ìÞêïò

ôïõ äéáäñüìïõ åßíáé d = 12 m, âñåßôå áí ç äåýôåñç ìðÜëá èá ðñïëÜâåé ôçí

ðñþôç, ðñéí áõôÞ ÷ôõðÞóåé ôéò êïñßíåò.

õ1

d

1.47

1.46

õ1

S

õ2

1.45


01.qxd 10/15/08 2:13 PM Óåëßäá 57

¸íáò áèëçôÞò ôïõ óêïõüò áðÝ÷åé áðüóôáóç �� áðü êáôáêüñõöï ôïß÷ï. Ï á-

èëçôÞò ÷ôõðÜ ìå ôç ñáêÝôá ôïõ ôï ìðáëÜêé, ôï ïðïßï êéíåßôáé åõèýãñáììá

êáé ìå óôáèåñÞ ôá÷ýôçôá õ = 20 m/s. Ôï ìðáëÜêé ÷ôõðÜ óôïí ôïß÷ï êáé áíá-

êëÜôáé ìå ôçí ßäéá ôá÷ýôçôá. Íá âñåèåß ç óôáèåñÞ ôá÷ýôçôá õ ìå ôçí ïðïßá

ðñÝðåé íá êéíçèåß ï áèëçôÞò ðñïò ôïí ôïß÷ï, þóôå íá îáíá÷ôõðÞóåé ôï ìðá-

ëÜêé óå áðüóôáóç �2

3� �� áðü ôïí ôïß÷ï. (Èåùñåßóôå ðùò ï áèëçôÞò áñ÷ßæåé íá

ôñÝ÷åé ôç óôéãìÞ ðïõ ôï ìðáëÜêé ðñïóêñïýåé óôïí ôïß÷ï êáé ðùò ç ÷ñïíéêÞ

äéÜñêåéá ôçò êñïýóçò åßíáé áìåëçôÝá).

Óå êïéíü óýóôçìá áîüíùí, äßíïíôáé ôá äéáãñÜììáôá èÝóçò - ÷ñüíïõ (x – t)

ãéá äýï êéíçôÜ Á êáé Â:

á) Íá ðñïóäéïñéóôåß ôï åßäïò ôçò êßíçóçò êáé íá âñåèïýí ïé ôá÷ýôçôåò ôùí

äýï êéíçôþí.

â) Íá ãñáöïýí ïé åîéóþóåéò èÝóçò - ÷ñüíïõ ãéá ôá äýï êéíçôÜ.

ã) Ðüóï áðÝ÷ïõí ôá äýï êéíçôÜ ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ 10 s;

ä) Ðïéá èá Ýðñåðå íá åßíáé ç ôá÷ýôçôá ôïõ êéíçôïý Á, þóôå ôá äýï êéíçôÜ íá

óõíáíôçèïýí ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ 10s;

Äßíåôáé ôï áêüëïõèï äéÜãñáììá ôá÷ýôçôáò - ÷ñüíïõ (õ – t), ãéá Ýíá óþìá

ðïõ êéíåßôáé åõèýãñáììá:

Áí ôï óþìá åðéóôñÝöåé óôçí áñ÷éêÞ ôïõ èÝóç, íá âñåßôå:

á) ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ ðïõ ôï óþìá ðáýåé íá êéíåßôáé.

â) ôï óõíïëéêü äéÜóôçìá ðïõ Ý÷åé äéáíýóåé. Íá ó÷åäéÜóåôå ôï äéÜãñáììá äéá-

óôÞìáôïò - ÷ñüíïõ (S – t)

õ(m/s)

t(s)0 4

–12

;

30

1.50

x(m)

t(s)0 5

25

10A

B

1.49

1.48


01.qxd 10/15/08 2:13 PM Óåëßäá 58

Äýï ößëïé îåêéíïýí ôáõôü÷ñïíá áðü ôá ÷ùñéÜ Á êáé Â êéíïýìåíïé ìå óôáèå-

ñÝò ôá÷ýôçôåò õA êáé õB áíôßóôïé÷á. Áí ôá äýï ÷ùñéÜ áðÝ÷ïõí 4 Km êáé ç á-

ðüóôáóç ôçò ðçãÞò áðü ôï ÷ùñéü Á åßíáé 5 Km, âñåßôå ôç ó÷Ýóç ôùí ôá÷õ-

ôÞôùí õA, õB þóôå ï äýï ößëïé íá öôÜóïõí óôçí ðçãÞ óôïí ßäéï ÷ñüíï.

Ï ÃéÜííçò îåêéíÜ áðü ôï ÷ùñéü ôïõ ìå ðñïïñéóìü Ýíá ãåéôïíéêü ÷ùñéü ðïõ

áðÝ÷åé d = 10Km, âáäßæïíôáò ìå óôáèåñÞ ôá÷ýôçôá õ1 = 5 Km/h. Óôï ìÝóï

ôçò äéáäñïìÞò áíåâáßíåé óôï ðïäÞëáôï åíüò ößëïõ ôïõ ðïõ Ýôõ÷å íá ðåñíÜ

áðü êåé êáé ôåëéêÜ öôÜíåé óôïí ðñïïñéóìü ôïõ ìéóÞ þñá íùñßôåñá áð’ üôé

èá Ýöôáíå ðåæüò.

á) Ðïéá ç åßíáé óôáèåñÞ ôá÷ýôçôá õ2 ìå ôçí ïðïßá êéíåßôáé ôï ðïäÞëáôï;

â) Íá õðïëïãßóåôå ôç ìÝóç áñéèìçôéêÞ ôá÷ýôçôá ôïõ ÃéÜííç êáôÜ ôç äéÜñêåéá

ôçò äéáäñïìÞò.

ã) Íá ãßíåé ôï äéÜãñáììá äéáóôÞìáôïò - ÷ñüíïõ (S – t).

Áêßíçôïò ðáñáôçñçôÞò âëÝðåé êÜðïéá ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ íá ðåñíÜ áðü ìðñï-

óôÜ ôïõ áõôïêßíçôï ìå ôá÷ýôçôá õ1 = 100 Km/h êáé ìåôÜ áðü 2 min âëÝðåé

íá ðåñíÜ áðü ìðñïóôÜ ôïõ äåýôåñï áõôïêßíçôï ìå ôá÷ýôçôá õ2 = 150

Km/h. Ðïéïò åßíáé ï ÷ñüíïò êáé ôï óçìåßï óõíÜíôçóçò ôùí äýï áõôïêéíÞôùí,

áí êéíïýíôáé ìå áíôßèåôç öïñÜ;

Äýï ðïäçëÜôåò êéíïýíôáé áíôßññïðá ìå óôáèåñÝò ôá÷ýôçôåò õ1 = 15 m/s êáé

õ2 = 20 m/s áíôßóôïé÷á. Ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t0 = 5s, ïé äýï ðïäçëÜôåò ðåñ-

íïýí áðü ôï ßäéï óçìåßï.

á) Ðüóï áðÝ÷ïõí ïé äýï ðïäçëÜôåò ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t = 12s;

â) Ðïéá èá Ýðñåðå íá åßíáé ç ôá÷ýôçôá õ2, Ýôóé þóôå ïé äýï ðïäçëÜôåò ôç ÷ñï-

íéêÞ óôéãìÞ 12s íá áðÝ÷ïõí ôç äéðëÜóéá áðüóôáóç;

Äýï óêéÝñ îåêéíïýí ôáõôü÷ñïíá ôçí êáôÜâáóç ìéáò åðßðåäçò ÷éïíïäñïìé-

êÞò ðßóôáò ìå óôáèåñÝò ôá÷ýôçôåò õA = 25 m/s êáé õB = 30 m/s áíôßóôïé÷á.

1.55

1.54

1.53

1.52

×ÙÑÉÏ Á ×ÙÑÉÏ Â

ÐÇÃÇ

1.51


01.qxd 10/15/08 2:13 PM Óåëßäá 59

Óôï ìÝóï ôçò äéáäñïìÞò õðÜñ÷åé Ýíá óçìáéÜêé. Ï óêéÝñ Á ðåñíÜ áðü ôï óç-

ìáéÜêé 3s ìåôÜ áðü ôïí óêéÝñ Â.

á) Íá âñåèïýí ôï ìÞêïò S ôçò ðßóôáò êáé ïé óõíïëéêïß ÷ñüíïé êáôÜâáóçò ôùí

äýï óêéÝñ.

â) Íá ãßíïõí óå êïéíü óýóôçìá áîüíùí ôá äéáãñÜììáôá ôá÷ýôçôáò - ÷ñüíïõ

(õ – t) ãéá ôïõò äýï óêéÝñ.

ã) Íá ãßíïõí óå êïéíü óýóôçìá áîüíùí ôá äéáãñÜììáôá èÝóçò - ÷ñüíïõ

(x – t) ãéá ôïõò äýï óêéÝñ.

Ìåôáîý åíüò ðõñïâüëïõ êáé åíüò óôü÷ïõ ðïõ áðÝ÷ïõí áðüóôáóç

S = 1200m, âñßóêåôáé óôç ßäéá åõèåßá ìéá óõóêåõÞ óå áðüóôáóç S1 = 800m

áðü ôï ðõñïâüëï. Ç óõóêåõÞ êáôáãñÜöåé ôáõôü÷ñïíá ôïí Þ÷ï ôçò åêðõñ-

óïêñüôçóçò êáé ôïí Þ÷ï áðü ôï ÷ôýðçìá ôïõ âëÞìáôïò óôï óôü÷ï. Áí ç ôá-

÷ýôçôá ôïõ Þ÷ïõ óôïí áÝñá åßíáé õnx = 340m/s, íá âñåßôå ôç óôáèåñÞ ôá÷ý-

ôçôá õB ôïõ âëÞìáôïò ðïõ åêôïîåýåé ôï ðõñïâüëï.

¸íá ìç÷Üíçìá åêôïîåýåé ìðáëÜêéá ôïõ ôÝííéò ïñéæüíôéá ìå óôáèåñÞ ôá÷ýôç-

ôá õ = 20m/s. Ï ñõèìüò åêôüîåõóçò åßíáé 1 ìðáëÜêé/s. ÁðÝíáíôé áðü ôï ìç-

÷Üíçìá êáé óå áðüóôáóç S = 100 m õðÜñ÷åé êáôáêüñõöïò ôïß÷ïò, óôïí ï-

ðïßï ðñïóêñïýïõí ôá ìðáëÜêéá êáé áíáêëþíôáé ìå ôçí ßäéá óôáèåñÞ ôá÷ýôç-

ôá õ. Áí ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t = 0s åêôïîåýåôáé ôï ðñþôï ìðáëÜêé, íá âñåßôå:

á) ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ ðïõ ôï äåýôåñï ìðáëÜêé óõíáíôÜ ôï ðñþôï êáé

â) ôçí áðüóôáóç ôïõ óçìåßïõ óõíÜíôçóÞò ôïõò áðü ôïí êáôáêüñõöï ôïß÷ï.

Ç ÷ñïíéêÞ äéÜñêåéá ôçò êñïýóçò ìå ôïí êáôáêüñõöï ôïß÷ï èåùñåßôáé áìå-

ëçôÝá.

Ï ëáãüò êáé ç ÷åëþíá óõììåôÝ÷ïõí ó’ Ýíáí áãþíá äñüìïõ áðüóôáóçò

d = 300 m. Ç ÷åëþíá êéíåßôáé ìå óôáèåñÞ ôá÷ýôçôá õx = 0,1m/s êáè’ üëç ôç

äéÜñêåéá ôçò äéáäñïìÞò. Ï ëáãüò ôñÝ÷åé áñ÷éêÜ ìå óôáèåñÞ ôá÷ýôçôá

õë(1) = 2 m/s êáé ìåôÜ áðü ÷ñüíï Ät1 = 0,5 min âëÝðïíôáò ðùò ç ÷åëþíá Ý÷åé

ìåßíåé áñêåôÜ ðßóù, óôáìáôÜåé êáé êïéìÜôáé ãéá Ät2 = 48,5 min. ¼ôáí îõðíÜ-

åé, áíôéëáìâÜíåôáé ðùò ç ÷åëþíá âñßóêåôáé ëßãï ðñéí ôïí ôåñìáôéóìü êáé áõ-

ôïìÜôùò áíáðôýóóåé óôáèåñÞ ôá÷ýôçôá õë(2) = 3 m/s ãéá íá ôçí ðñïëÜâåé.

á) Ðïéïò åßíáé ï íéêçôÞò ôïõ áãþíá;

â) Íá ãßíïõí óå êïéíü óýóôçìá áîüíùí, ôá äéáãñÜììáôá

äéáóôÞìáôïò - ÷ñüíïõ (S – t) ãéá ôï ëáãü êáé ôç ÷åëþíá.

1.58

1.57

1.56


01.qxd 10/15/08 2:13 PM Óåëßäá 60

1.4 . ÅÕÈÕÃÑÁÌÌÇ ÏÌÁËÁ

ÌÅÔÁÂÁËËÏÌÅÍÇ ÊÉÍÇÓÇ

Á ) Å ð é ô Ü ÷ õ í ó ç

Óôéò ðåñéóóüôåñåò ðåñéðôþóåéò êéíÞóåùí óôç öýóç, ç ôá÷ýôçôá äåí ðáñáìÝíåé

óôáèåñÞ.

ÊÜèå êßíçóç óôçí ïðïßá ç ôá÷ýôçôá ìåôáâÜëëåôáé, ïíïìÜæåôáé ìåôáâáëëüìåíç

êßíçóç.

ÅðåéäÞ ç ôá÷ýôçôá åßíáé äéáíõóìáôéêü öõóéêü ìÝãåèïò, áñêåß íá áëëÜîåé ôï ìÝ-

ôñï Þ ç êáôåýèõíóÞ ôçò ãéá íá ìåôáâëçèåß. ¸ôóé, ìåôáâáëëüìåíç êßíçóç ðñáãìáôï-

ðïéåß Ýíáò Üíèñùðïò ðïõ áíïßãåé ôï âÞìá ôïõ ãéá íá ðñïëÜâåé ôï ëåùöïñåßï, Ýíá

áõôïêßíçôï ðïõ öñåíÜñåé, ìéá ìïôïóõêëÝôá ðïõ êéíåßôáé óå êõêëéêÞ ðëáôåßá ê.ô.ë.

Ôï öõóéêü ìÝãåèïò ðïõ åêöñÜæåé ôï ðüóï ãñÞãïñá ìåôáâÜëëåôáé ç ôá÷ýôçôá å-

íüò óþìáôïò, åßíáé ç åðéôÜ÷õíóç.

Ç åðéôÜ÷õíóç ùò äéáíõóìáôéêü öõóéêü ìÝãåèïò Ý÷åé:

á) ìÝôñï, ðïõ éóïýôáé ìå ⏐á→

⏐ = �⏐Ä

Ä

õ→

t

⏐

� = �⏐

→

õ

tô

ô

å

å

ë

ë

–

–

→

t

õ

á

á

ñ

ñ

÷

÷⏐

�

Óôçí åõèýãñáììç êßíçóç, éó÷ýåé ⏐á⏐ = �⏐Ä

Ä

õ

t

⏐

� = �⏐õ

tô

ô

å

å

ë

ë

–

–

õ

tá

á

ñ

ñ

÷

÷⏐

�

áöïý ôá äéáíýóìáôá →

õáñ÷, →

õôåë åßíáé óõããñáìéêÜ.


ã) öïñÜ, ôç öïñÜ ôïõ äéáíýóìáôïò Äõ = →

õôåë – →

õáñ÷

Ó÷üëéá:

1) ç åðéôÜ÷õíóç åßíáé ï ñõèìüò ìåôáâïëÞò ôçò ôá÷ýôçôáò.

2) ôï ìÝôñï ôçò åðéôÜ÷õíóçò ⏐á⏐ åêöñÜæåé ïõóéáóôéêÜ, ôï ðüóï ãñÞãïñá ìåôá-

âÜëëåôáé ç ôá÷ýôçôá åíüò óþìáôïò.

3) áëãåâñéêÞ ôéìÞ åðéôÜ÷õíóçò á: åßíáé ôï ðçëßêï ôçò áëãåâñéêÞò ôéìÞò ôçò ìå-

ÅðéôÜ÷õíóç á→→

: åßíáé ôï äéáíõóìáôéêü öõóéêü ìÝãåèïò ðïõ ïñßæåôáé áðü

ôï ðçëßêï ôçò ìåôáâïëÞò ôçò ôá÷ýôçôáò Äõ→→

åíüò óþìáôïò ðïõ ðñáã-

ìáôïðïéåßôáé óå ÷ñïíéêü äéÜóôçìá Ät, ðñïò ôï ÷ñïíéêü äéÜóôçìá Ät,

á→→

= ��Ä

Ä

õ→→

t��


01.qxd 10/15/08 2:13 PM Óåëßäá 61

ôáâïëÞò ôçò ôá÷ýôçôáò Äõ ðñïò ôïí áíôßóôïé÷ï ÷ñüíï Ät, äçëáäÞ

á = ��Ä

Ä

õ

t��

• èåôéêÞ áëãåâñéêÞ ôéìÞ åðéôÜ÷õíóçò (á>0), äçëáäÞ Äõ > 0 ⇒ õôåë – õáñ÷ > 0

⇒ õôåë > õáñ÷.

Óôï ðñïçãïýìåíï ó÷Þìá, åðåéäÞ õôåë > õáñ÷ ôï äéÜíõóìá Äõ→

Ý÷åé öïñÜ ðñïò ôá

äåîéÜ, Üñá êáé ç åðéôÜ÷õíóç á→

èá Ý÷åé ôçí ßäéá öïñÜ.

• áñíçôéêÞ áëãåâñéêÞ ôéìÞ åðéôÜ÷õíóçò (á < 0), äçëáäÞ

Äõ<0 ⇒ õôåë – õáñ÷ < 0 ⇒⇒ õôåë < õáñ÷.

Óôï ðñïçãïýìåíï ó÷Þìá, åðåéäÞ õôåë < õáñ÷ ôï äéÜíõóìá Äõ→

Ý÷åé öïñÜ ðñïò ôá

áñéóôåñÜ, Üñá êáé ç åðéôÜ÷õíóç á→

èá Ý÷åé ôçí ßäéá öïñÜ.

4) ¼ðùò âëÝðïõìå êáé áðü ôá ðñïçãïýìåíá ó÷Þìáôá, ôá äéáíýóìáôá ôçò åðéôÜ-

÷õíóçò á→

êáé ôçò ìåôáâïëÞò ôçò ôá÷ýôçôáò Äõ→

åßíáé ïìüññïðá, äçëáäÞ Ý÷ïõí ôçí

ßäéá êáôåýèõíóç.

ÌïíÜäá åðéôÜ÷õíóçò: ìïíÜäá åðéôÜ÷õíóçò óôï S.I. åßíáé ôï 1 m/s2

�á = �Ä

Ä

õ

t� = �

1

1

m

s

/s� = 1 m/s2�. Ãéá ðáñÜäåéãìá, åðéôÜ÷õíóç 3 m/s2 óçìáßíåé ðùò

ç ôá÷ýôçôá ôïõ êéíçôïý óå 1s ìåôáâÜëëåôáé êáôÜ 3m/s.

Â ) Å õ è ý ã ñ á ì ì ç ï ì á ë Ü ì å ô á â á ë ë ü ì å í ç ê ß í ç ó ç .

ÅéäéêÞ ðåñßðôùóç ôçò åõèýãñáììçò ìåôáâáëëüìåíçò êßíçóçò åßíáé ç åõèýãñáì-

ìç ïìáëÜ ìåôáâáëëüìåíç êßíçóç.

õáñ÷

á

õôåëÄõ

õáñ÷

á

õôåëÄõ


01.qxd 10/15/08 2:13 PM Óåëßäá 62

Áðü ôá ðñïçãïýìåíá ãßíåôáé êáôáíïçôü, ðùò åõèýãñáììç ïìáëÜ ìåôáâáëëüìåíç

åßíáé ç êßíçóç ðïõ ðñáãìáôïðïéåßôáé ìå óôáèåñÞ åðéôÜ÷õíóç.

ÅðåéäÞ ç åðéôÜ÷õíóç åßíáé äéáíõóìáôéêü öõóéêü ìÝãåèïò, óôáèåñÞ åðéôÜ÷õíóç óç-

ìáßíåé:

á) óôáèåñü ìÝôñï

â) óôáèåñÞ êáôåýèõíóç.

�� Áðü ôïí ïñéóìü ôçò åõèýãñáììçò ïìáëÜ ìåôáâáëëüìåíçò êßíçóçò, ç ìåôá-

âïëÞ ôçò ôá÷ýôçôáò Äõ êáé ôï áíôßóôïé÷ï ÷ñïíéêü äéÜóôçìá Ät, åßíáé ðïóÜ áíÜëï-

ãá. ¢ñá ôï ðçëßêï ôïõò �Ä

Ä

õ

t� åßíáé óôáèåñü, óõíåðþò ãéá ôçí åðéôÜ÷õíóç èá éó÷ýåé:


Ôï áíèñùðÜêé ôïõ ðáñáðÜíù ó÷Þìáôïò, êÜèå äåõôåñüëåðôï ìåôáâÜëëåé (áõîÜ-

íåé) ôçí ôá÷ýôçôÜ ôïõ êáôÜ 2 m/s. Ôá ðçëßêá ôùí ìåôáâïëþí ôçò ôá÷ýôçôáò ðñïò ôá

áíôßóôïé÷á ÷ñïíéêÜ äéáóôÞìáôá åßíáé ìåôáîý ôïõò ßóá:

�Ä

Ä

õ

t� = �

õ

t1

1

–

–

õ

t0

0� = �õ

t2

2

–

–

õ

t1

1� = �õ

t3

3

–

–

õ

t2

2� = 2 m/s2

Ç åðéôÜ÷õíóç åßíáé óôáèåñÞ, ìå ìÝôñï ⏐á→

⏐ = 2 m/s2. Ðñïöáíþò ôï áíèñùðÜêé å-

êôåëåß åõèýãñáììç ïìáëÜ ìåôáâáëëüìåíç êßíçóç.

�� Ðáñáôçñïýìå üôé óôçí åõèýãñáììç ïìáëÜ ìåôáâáëëüìåíç êßíçóç, óå ßóá

÷ñïíéêÜ äéáóôÞìáôá äåí Ý÷ïõìå ßóåò ìåôáôïðßóåéò (Äx1

→

� Äx2

→

� Äx3

→

).

Ç åõèýãñáììç ïìáëÜ ìåôáâáëëüìåíç êßíçóç äéáêñßíåôáé óå:

á) åðéôá÷õíüìåíç, üôáí ôï ìÝôñï ôçò ôá÷ýôçôáò áõîÜíåôáé,

â) åðéâñáäõíüìåíç, üôáí ôï ìÝôñï ôçò ôá÷ýôçôáò ìåéþíåôáé.

t=0s t =1s1 t =2s2 t =3s3

õ0=0m/s

á

õ1=2m/s õ2=4m/s õ3=6m/s

Äx1

Äx2Äx3

á = ��Ä

Ä

õ


Åõèýãñáììç ïìáëÜ ìåôáâáëëüìåíç åßíáé ç êßíçóç ðïõ ðñáãìáôïðïéåß

Ýíá óþìá óå åõèåßá ãñáììÞ êáé óå ßóá ÷ñïíéêÜ äéáóôÞìáôá Ý÷åé ßóåò ìå-

ôáâïëÝò ôá÷ýôçôáò.


01.qxd 10/15/08 2:13 PM Óåëßäá 63

Ðñïóï÷Þ!

• á>0, ôüôå ç êßíçóç åßíáé åðéôá÷õíüìåíç.

• á<0, ôüôå ç êßíçóç åßíáé åðéâñáäõíüìåíç.

Ï äéá÷ùñéóìüò åðéôá÷õíüìåíçò êáé åðéâñáäõíüìåíçò êßíçóçò ãßíåôáé ìå ôç âïÞ-

èåéá ôùí äéáíõóìÜôùí ôá÷ýôçôáò õ→

êáé åðéôÜ÷õíóçò á→

:

• üôáí ôá äéáíýóìáôá õ→→

êáé á→→

åßíáé ïìüññïðá, ç êßíçóç åßíáé åõèýãñáììç ï-

ìáëÜ åðéôá÷õíüìåíç.

• üôáí ôá äéáíýóìáôá õ→→

êáé á→→

åßíáé áíôßññïðá, ç êßíçóç åßíáé åõèýãñáììç ï-

ìáëÜ åðéâñáäõíüìåíç.

Óõíïøßæïíôáò, äßíïõìå ôïí áêüëïõèï ÷ñÞóéìï ðßíáêá:

õ

á(+)

ÅÐÉÂÑÁÄÕÍÏÌÅÍÇ

õ

á(+)

ÅÐÉÔÁ×ÕÍÏÌÅÍÇ

õ

á(+)


õ

á(+)


Åßíáé ëÜèïò íá äéá÷ùñßæïõìå åðéôá÷õíüìåíç êáé åðéâñáäõíüìåíç êßíçóç

ìå âÜóç ôï ðñüóçìï ôçò áëãåâñéêÞò ôéìÞò ôçò åðéôÜ÷õíóçò, äçëáäÞ äåí óç-

ìáßíåé áðáñáßôçôá üôé áí:


ÅÐÉÔÁ×ÕÍÏÌÅÍÇ ÅÐÉÂÑÁÄÕÍÏÌÅÍÇ

ôá÷ýôçôá õ→

èåôéêÞ áñíçôéêÞ èåôéêÞ áñíçôéêÞ

åðéôÜ÷õíóç á→

èåôéêÞ áñíçôéêÞ áñíçôéêÞ èåôéêÞ

äéáíýóìáôá ïìüññïðá áíôßññïðá

01.qxd 10/15/08 2:13 PM Óåëßäá 64

Ã ) Å î é ó þ ó å é ò ê á é ä é á ã ñ Ü ì ì á ô á ó ô ç í å õ è ý ã ñ á ì ì ç

ï ì á ë Ü ì å ô á â á ë ë ü ì å í ç ê ß í ç ó ç .

1) (É) Åîßóùóç åðéôÜ÷õíóçò - ÷ñüíïõ

¼ðùò ðñïáíáöÝñèçêå, óôçí åõèýãñáììç ïìáëÜ ìåôáâáëëüìåíç êßíçóç ç åðéôÜ-

÷õíóç åßíáé óôáèåñÞ, Üñá

(ÉÉ) ÄéÜãñáììá åðéôÜ÷õíóçò - ÷ñüíïõ (á – t)

Óôçí åõèýãñáììç ïìáëÜ ìåôáâáëëüìåíç êßíçóç ç åðéôÜ÷õíóç åßíáé óôáèåñÞ, óõíåðþò

ôï äéÜãñáììá (á – t) èá åßíáé ìéá åõèåßá ãñáììÞ, ðáñÜëëçëç óôïí Üîïíá ôùí ÷ñüíùí:

Áí ôþñá, ç áëãåâñéêÞ ôéìÞ ôçò åðéôÜ÷õíóçò åßíáé áñíçôéêÞ, ôüôå ôï äéÜãñáììá

(á – t) Ý÷åé ôçí áêüëïõèç ìïñöÞ:

Õðïëïãéóìüò ìåôáâïëÞò ôá÷ýôçôáò Äõ áðü ôï äéÜãñáììá á – t.

Åßäáìå ðùò ôï äéÜãñáììá á – t óôçí åõèýãñáììç ïìáëÜ ìåôáâáëëüìåíç êßíçóç

Ý÷åé ôçí ðáñáêÜôù ìïñöÞ:

á

t0

á0

Á

Â Ã

ÄÅ

t1 t1

á

t0

–á0

á

t0

á0

á = ��Ä

Ä

õ



01.qxd 10/15/08 2:13 PM Óåëßäá 65

Ôï ãñáììïóêéáóìÝíï åìâáäü ôïõ ðáñáëëçëïãñÜììïõ ÁÂÃÄ éóïýôáé ìå:

Å=(ÁÂ) � (ÁÄ) = á0(t2 – t1) = á0Ät

¼ìùò ôï ãéíüìåíï á0Ät (åðéôÜ÷õíóç åðß ÷ñüíïò) åêöñÜæåé ôçí ìåôáâïëÞ ôçò ôá-

÷ýôçôáò Äõ óôï ÷ñïíéêü äéÜóôçìá Ät. ÓõìðåñáóìáôéêÜ êáé ãåíéêåýïíôáò ãéá êÜèå åõ-

èýãñáììç êßíçóç:

2) (É) Åîßóùóç ôá÷ýôçôáò – ÷ñüíïõ

Åßíáé ç åîßóùóç ðïõ äßíåé ôçí ôá÷ýôçôá õ→

åíüò óþìáôïò óå óõíÜñôçóç ìå ôï ÷ñüíï

t. Óôçí åõèýãñáììç ïìáëÜ ìåôáâáëëüìåíç êßíçóç ç åîßóùóç áõôÞ ðñïêýðôåé ùò åîÞò:

Èåùñïýìå üôé Ýíá óþìá ôçí ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t0 Ý÷åé ôá÷ýôçôá õ0

→→

êáé ôçí ôõ÷áßá

÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t Ý÷åé ôá÷ýôçôá õ→→

. Áðü ôïí ïñéóìü ôçò åðéôÜ÷õíóçò Ý÷ïõìå:

á→

= �Ä

Ä

õ→

t� ⇒ Äõ

→

= á→

Ät ⇒ õ→

– õ0

→

= á→

(t – t0) ⇒

( Eîßóùóç ôá÷ýôçôáò – ÷ñüíïõ)

� Óôçí åéäéêÞ ðåñßðôùóç ðïõ t0 = 0, ç åîßóùóç ôá÷ýôçôáò - ÷ñüíïõ ðáßñíåé ôçí

ìïñöÞ.

ÅðåéäÞ óå êÜèå åõèýãñáììç êßíçóç ôá äéáíýóìáôá õ0

→

, õ→

êáé á→

åßíáé óõããñáìéêÜ,

ç äéáíõóìáôéêÞ åîßóùóç õ→

= õ0

→

+ á→

t ìðïñåß íá ãñáöåß êáé óå áëãåâñéêÞ ìïñöÞ. Èå-

ùñþíôáò ùò èåôéêÞ ôç öïñÜ ôïõ äéáíýóìáôïò õõ0

→

ãéá ôçí áëãåâñéêÞ ìïñöÞ ôçò ðñïç-

ãïýìåíçò åîßóùóçò, äéáêñßíïõìå ôéò åîÞò ðåñéðôþóåéò:

á) óôçí åðéôá÷õíüìåíç êßíçóç áöïý ôï äéÜíõóìá á→

Ý÷åé

á) èåôéêÞ öïñÜ (ïìüññïðï ôïõ õ0

→

).

â) óôçí åðéâñáäõíüìåíç êßíçóç áöïý ôï äéÜíõóìá á→

Ý÷åé

áñíçôéêÞ öïñÜ (áíôßññïðï ôïõ õ0

→

).

õ = õ0 – á �� t

õ = õ0 + á t

õ→→

= õ0

→→

+ á→→

t

õ→→

= õ0

→→

+ á→→

(t – t0)

Ç ìåôáâïëÞ ôçò ôá÷ýôçôáò Äõ éóïýôáé áñéèìçôéêÜ ìå ôï åìâáäü ðïõ

ðåñéêëåßåôáé áðü ôï äéÜãñáììá á – t êáé ôïí Üîïíá ôùí ÷ñüíùí, óôá

÷ñïíéêÜ üñéá ôçò êßíçóçò.


01.qxd 10/15/08 2:13 PM Óåëßäá 66

(II) ÄéÜãñáììá ôá÷ýôçôáò — ÷ñüíïõ (õ — t)

Óôçí åõèýãñáììç ïìáëÜ ìåôáâáëëüìåíç êßíçóç ôï äéÜãñáììá ôá÷ýôçôáò — ÷ñüíïõ

åßíáé åõèåßá (åîßóùóç á´ âáèìïý ùò ðñïò t):

á) åðéôá÷õíüìåíç êßíçóç (õ0 = õ0 + át)

Óôçí ðåñßðôùóç ðïõ õ0 = 0, ôï äéÜãñáììá õ – t åßíáé åõèåßá ðïõ äéÝñ÷åôáé áðü

ôçí áñ÷Þ ôùí áîüíùí:

â) åðéâñáäõíüìåíç êßíçóç (õ = õ0 – át)

Áðü ôï äéÜãñáììá ôá÷ýôçôáò - ÷ñüíïõ (õ – t) óôçí åõèýãñáììç ïìáëÜ ìåôáâáë-

ëüìåíç êßíçóç, ìðïñïýìå íá õðïëïãßóïõìå äýï ìåãÝèç:

i) Õðïëïãéóìüò ìåôáôüðéóçò Äx

¼ðùò êáé óôçí ðåñßðôùóç ôçò åõèýãñáììçò ïìáëÞò êßíçóçò, ç ìåôáôüðéóç Äx

âñßóêåôáé áðü ôï åìâáäü ðïõ ðåñéêëåßåôáé áðü ôï äéÜãñáììá õ – t êáé ôïí Üîïíá

ôùí ÷ñüíùí, óôá ÷ñïíéêÜ üñéá ôçò êßíçóçò.

ii) Õðïëïãéóìüò åðéôÜ÷õíóçò á

Ôï äéÜãñáììá õ – t óôçí åõèýãñáììç ïìáëÜ åðéôá÷õíüìåíç êßíçóç åßäáìå ðùò Ý-

÷åé ôçí ðáñáêÜôù ìïñöÞ:

õ

t0

õ0 õ=õ0 –át

õ

t0

õ=át

õ

t0

õ0

õ=õ0+át


01.qxd 10/15/08 2:13 PM Óåëßäá 67

Áðü ôï äéÜãñáììá öáßíåôáé, üôé ôï óþìá ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t1 Ý÷åé ôá÷ýôçôá õ1 êáé

ôçí ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t2 Ý÷åé ôá÷ýôçôá õ2. Óôï ïñèïãþíéï ôñßãùíï ÁÂÃ, ôï ðçëßêï �(

(

Á

Á

Â

Ã)

)�

åêöñÜæåé ôçí êëßóç ôçò åõèåßáò õ – t.

¼ìùò, (ÁÂ) = õ2 – õ1 êáé (ÁÃ) = t2 – t1, óõíåðþò: �(

(

Á

Á

Â

Ã)

)� = �

õ

t2

2

–

–

õ

t1

1� = �Ä

Ä

õ

t� .

ÅðåéäÞ ôï ðçëßêï �Ä

Ä

õ

t� éóïýôáé ìå ôçí åðéôÜ÷õíóç á, óõìðåñáßíïõìå üôé:

3) (É) Åîßóùóç èÝóçò – ÷ñüíïõ

Óôçí åõèýãñáììç ïìáëÜ åðéôá÷õíüìåíç êßíçóç ç åîßóùóç áõôÞ ðñïêýðôåé ùò å-

îÞò:

Ôï äéÜãñáììá ôá÷ýôçôáò – ÷ñüíïõ (õ – t) óýìöùíá ìå ôçí åîßóùóç õ = õ0

+ át

Ý÷åé ôç ìïñöÞ:

¼ðùò áíáöÝñèçêå ðñïçãïõìÝíùò, ôï åìâáäüí ðïõ ðåñéêëåßåôáé áðü ôï äéÜ-

ãñáììá õ – t êáé ôïí Üîïíá ôùí ÷ñüíùí óôá ÷ñïíéêÜ üñéá ôçò êßíçóçò, åêöñÜæåé ôçí

ìåôáôüðéóç Äx. Óôçí ðåñßðôùóç ìáò, ç ìåôáôüðéóç Äx éóïýôáé áñéèìçôéêÜ ìå ôï

ãñáììïóêéáóìÝíï åìâáäü ôïõ ôñáðåæßïõ ÏÁÂÃ:

õ

tt0

õ0

õ

Ç êëßóç ôçò åõèåßáò óôï äéÜãñáììá õ – t óôçí åõèýãñáììç ïìáëÜ

ìåôáâáëëüìåíç êßíçóç, éóïýôáé ìå ôçí åðéôÜ÷õíóç ôïõ óþìáôïò.

õ

t0

õ2

t1

õ1

õ0

t2

ÃÁ

Â


01.qxd 10/15/08 2:13 PM Óåëßäá 68

Åôñáð = � ýøïò = �(ÏÁ) +

2

(ÂÃ)� � (ÏÃ) =

= �õ0

2

+ õ� � (t – 0) = �

õ0

2

+ õ� � t . ¼ìùò õ = õ0 + át, óõíåðþò

Åôñáð = �õ0 + (õ

20 + át)� t = �

2õ0

2

+ át� t = �

2õ0t

2

+ át2� = õ0t + �

1

2� át2, Üñá

EðåéäÞ Äx = x – x0, èåùñþíôáò x0 = 0 ðñïêýðôåé ç åîßóùóç èÝóçò - ÷ñüíïõ óôçí

åõèýãñáììç ïìáëÜ åðéôá÷õíüìåíç êßíçóç:

Óôçí åéäéêÞ ðåñßðôùóç ðïõ õ0 = 0, ç åîßóùóç èÝóçò - ÷ñüíïõ ãßíåôáé

Óôçí åõèýãñáììç ïìáëÜ åðéâñáäõíüìåíç êßíçóç ç åîßóùóç èÝóçò - ÷ñüíïõ Ý-

÷åé ìïñöÞ:

ÉÉ) ÄéÜãñáììá èÝóçò - ÷ñüíïõ (x – t)

Óôçí åõèýãñáììç ïìáëÜ ìåôáâáëëüìåíç êßíçóç ôï äéÜãñáììá èÝóçò - ÷ñüíïõ

( x – t) åßíáé ðáñáâïëÞ (åîßóùóç â´ âáèìïý ùò ðñïò t):

á) åðéôá÷õíüìåíç êßíçóç (x = õ0t + ��1

2�� á t2)

Óôçí ðåñßðôùóç ðïõ õ0 = 0, ôï äéÜãñáììá x – t Ý÷åé áíÜëïãç ìïñöÞ.

x

t0

x = õ0t – ��1

2�� át2

x = ��1

2�� á t2

x = õ0t + ��1

2�� át2

Äx = õ0t + ��1

2�� át2

Üèñïéóìá âÜóåùí��

2


01.qxd 10/15/08 2:13 PM Óåëßäá 69

â) åðéâñáäõíüìåíç êßíçóç (x = õ0t – ��1

2�� á t2 )

� Åßäáìå üôé óôçí ðåñßðôùóç ðïõ õ0 = 0, ç åîßóùóç èÝóçò – ÷ñüíïõ åßíáé ôçò ìïñ-

öÞò x = ��1

2�� át2. ÐïëëÝò öïñÝò, ìáò æçôåßôáé íá ðáñáóôÞóïõìå ãñáöéêÜ ôç èÝóç

x åíüò óþìáôïò ðïõ ðñáãìáôïðïéåß åõèýãñáììç ïìáëÜ åðéôá÷õíüìåíç êßíçóç

÷ùñßò áñ÷éêÞ ôá÷ýôçôá (õ0 = 0), óå óõíÜñôçóç ìå ôï ôåôñÜãùíï ôïõ ÷ñüíïõ

(t2). Ó’ áõôÞí ôçí ðåñßðôùóç ôï äéÜãñáììá x – t2 åßíáé åõèåßá ãñáììÞ, ðïõ äéÝñ-

÷åôáé áðü ôçí áñ÷Þ ôùí áîüíùí:

Ó÷üëéá:

1)

Ôï ðçëßêï �(

(

Á

Á

Â

Ã)

)�, äçëáäÞ ç êëßóç ôçò åõèåßáò óôï äéÜãñáììá õ - t, ïõóéáóôéêÜ é-

óïýôáé ìå ôçí åöáðôoìÝíç ôçò ãùíßáò ö (åöö):

åöö= =��(

(

Á

Á

Â

Ã)

)��= ��

õ

t2

2

–

–

õ

t1

1�� = ��Ä

Ä

õ

t�� =á =êëßóç


õ

t0

õ2

t1

õ1

õ0

t2

ÃÁ

Â

ö

x

t0

x=1/2át2

x

t0


01.qxd 10/15/08 2:13 PM Óåëßäá 70

2) Ãéá ôïí õðïëïãéóìü ôçò åðéôÜ÷õíóçò áðü ôï äéÜãñáììá õ-t óôçí åõèýãñáììç

ïìáëÜ ìåôáâáëëüìåíç êßíçóç:

i) åðéëÝãïõìå äýï óçìåßá ðÜíù óôçí åõèåßá êáé âñßóêïõìå ôéò ôá÷ýôçôåò õ1, õ2 êáé

ôéò ÷ñïíéêÝò óôéãìÝò t1, t2 ðïõ áíôéóôïé÷ïýí óôá óçìåßá áõôÜ.

ii) ðáßñíïõìå ôïí ôýðï ôçò åðéôÜ÷õíóçò êáé áíôéêáèéóôïýìå:

á= �Ä

Ä

õ

t� = �

õ

t2

2

-

-

õ

t1

1�

3)

¼óï ìåãáëýôåñç åßíáé ç ãùíßá ðïõ ó÷çìáôßæåôáé ìåôáîý ôçò åõèåßáò óôï äéÜ-

ãñáììá õ - t êáé ôïõ Üîïíá ôùí ÷ñüíùí t, ôüóï ìåãáëýôåñç åßíáé ç åðéôÜ÷õíóç ôïõ

óþìáôïò.

Ôï óõìðÝñáóìá áõôü ðñïêýðôåé áðü ôï ó÷Þìá, áí ðáñáôçñÞóïõìå üôé óôï ÷ñïíé-

êü äéÜóôçìá Ät=t2 – t1, ç ìåôáâïëÞ ôçò ôá÷ýôçôáò Äõ2 ôïõ óþìáôïò Â åßíáé ìåãáëý-

ôåñç áðü ôçí áíôßóôïé÷ç ìåôáâïëÞ ôçò ôá÷ýôçôáò Äõ1 ôïõ óþìáôïò Á. ¸ôóé Ý÷ïõìå:

� ===>Äõ2>Äõ1

áÂ>áÁ

� Õðïëïãéóìüò óõíïëéêïý ÷ñüíïõ tÏë êáé óõíïëéêïý äéáóôÞìáôïò SÏë óôçí ï-

ìáëÜ åðéâñáäõíüìåíç êßíçóç.

Óå ðïëëÜ ðñïâëÞìáôá ïìáëÜ åðéâñáäõíüìåíçò êßíçóçò æçôåßôáé ôï äéÜóôçìá ðïõ

èá äéáíýóåé óõíïëéêÜ ôï óþìá ìÝ÷ñé íá óôáìáôÞóåé êáé ï áíôßóôïé÷ïò ÷ñüíïò. Ç äéá-

äéêáóßá ãéá ôïí õðïëïãéóìü ôïõ óõíïëéêïý äéáóôÞìáôïò Soë êáé ôïõ áíôßóôïé÷ïõ ÷ñü-

íïõ tïë åßíáé ç åîÞò:

á) Ç åîßóùóç ôá÷ýôçôáò-÷ñüíïõ åßíáé:

õ = õ0 – át

Áíôéêáèéóôþíôáò ìå õ=0 åðåéäÞ ç ôåëéêÞ ôá÷ýôçôá åßíáé ìçäÝí (ôï óþìá óôáìá-

ôÜ) êáé ëýíïíôáò ùò ðñïò t, ï óõíïëéêüò ÷ñüíïò êßíçóçò tïë åßíáé:

áA=�Ä

Ä

õ

t1�

áÂ=�Ä

Ä

õ

t2�

õ

t0 t1

õ0

t2

Ã óþìá Áö2

ö1

Äõ2

Äõ1

óþìá Â


01.qxd 10/15/08 2:13 PM Óåëßäá 71

0 = õ0 – átïë ⇒⇒ átïë= õ0 ⇒⇒

â) Ç åîßóùóç äéáóôÞìáôïò-÷ñüíïõ åßíáé

S = õ0t – ��1

2�� át2

Aíôéêáèéóôþíôáò ìå ôï óõíïëéêü ÷ñüíï tÏË=�õ

á0� ðïõ âñÞêáìå ðñïçãïõìÝíùò, ôï

óõíïëéêü äéÜóôçìá SÏË ðïõ äéáíýåé ôï óþìá ìÝ÷ñé íá óôáìáôÞóåé åßíáé:

SÏë = õ0 �� tÏë – ��1

2�� á �� t2

Ïë = õ0��õ

á0�� – ��

1

2�� á��

õ

á0��

2= ��

õ

á

20�� – ��

2

õ

á

20�� ⇒⇒

Ôõðïëüã éï -ÐáñáôçñÞóå éò

� ×áñáêôçñéóôéêÜ åõèýãñáììçò ïìáëÜ ìåôáâáëëüìåíçò êßíçóçò

1) Ðñáãìáôïðïéåßôáé ìå óôáèåñÞ åðéôÜ÷õíóç

2) Óå ßóá ÷ñïíéêÜ äéáóôÞìáôá Ý÷ïõìå ßóåò ìåôáâïëÝò ôá÷ýôçôáò, áëëÜ ü÷é ßóåò

ìåôáôïðßóåéò.

3) Ç ôá÷ýôçôá ìåôáâÜëëåôáé áíÜëïãá ìå ôï ÷ñüíï.

4) Äéáêñßíåôáé óå åðéôá÷õíüìåíç êáé åðéâñáäõíüìåíç:

4) i) åðéôá÷õíüìåíç, üôáí ôï ìÝôñï ôçò ôá÷ýôçôáò áõîÜíåôáé êáé ôá äéáíýóìáôá

åðéôÜ÷õíóçò á→

êáé ôá÷ýôçôáò õ→

åßíáé ïìüññïðá.

4) ii) åðéâñáäõíüìåíç, üôáí ôï ìÝôñï ôçò ôá÷ýôçôáò ìåéþíåôáé êáé ôá äéáíýóìá-

ôá åðéôÜ÷õíóçò á→

êáé ôá÷ýôçôáò õ→

åßíáé áíôßññïðá.

Ôýðïé óôçí åõèýãñáììç ïìáëÜ ìåôáâáëëüìåíç ê ß íçóç

SÏë = �2

õ

á

20�

tïë= �õ

á0�


Åðéôá÷õíüìåíç Åðéâñáäõíüìåíç

ÅðéôÜ÷õíóç á = ��Ä

Ä

õ

t�� = óôáèåñÞ á = ��

Ä

Ä

õ


Ôá÷ýôçôáõ = õ0 + át

õ = át, üôáí õ0 = 0õ = õ0 – át

ÈÝóçx = õ0t + ��

1

2�� át2

x = ��1

2�� át2, üôáí õ0 = 0

x = õ0t + ��1

2�� át2

01.qxd 10/15/08 2:13 PM Óåëßäá 72

ÄéáãñÜììáôá óôçí åõèýãñáììç ïìáëÜ ìåôáâáëëüìåíç êßíçóç

1. á - t

2. õ - t

3. x - t

Õ ð ï ë ï ã é ó ì ï ß á ð ü ô á ä é á ã ñ Ü ì ì á ô á

1)

2)

ÄéÜãñáììá õ–t Êëßóç ÅðéôÜ÷õíóç

ÄéÜãñáììá á–t Eìâáäü ÌåôáâïëÞ ôá÷ýôçôáò

x

t0

x=õ0t+1/2át2x

t0

x=õ0t–1/2át2

õ

t0

õ0 õ=õ0–át

õ

t0

õ0

õ=õ0+át

á

t0

á0

á

t0

–á0

á=óôáè.>0

á=óôáè.<0


01.qxd 10/15/08 2:13 PM Óåëßäá 73

3)

• Åìâáäü ðÜíù áðü ôïí Üîïíá t → Äõ>0

• Åìâáäü êÜôù áðü ôïí Üîïíá t → Äõ<0

• ÌåãÜëç êëßóç óå äéÜãñáììá õ – t → ÌåãÜëç åðéôÜ÷õíóç

• ÌåãÜëç êëßóç óå äéÜãñáììá x – t → ÌåãÜëç ôá÷ýôçôá

Ì å ë Ý ô ç ä é á ã ñ á ì ì Ü ô ù í ó å ó õ í ä õ á ó ì Ý í å ò ê é í Þ ó å é ò

É) ÄéÜãñáììá á-t

Åßäç êéíÞóåùí

(0 →→ t1) s: ç åðéôÜ÷õíóç åßíáé óôáèåñÞ êáé èåôéêÞ

ç ôá÷ýôçôá áõîÜíåôáé áíÜëïãá ìå ôï ÷ñüíï

ç êßíçóç åßíáé åõèýãñáììç ïìáëÜ åðéôá÷õíüìåíç

(t1 →→ t2)s: ç åðéôÜ÷õíóç åßíáé óôáèåñÞ êáé ßóç ìå ìçäÝí

ç ôá÷ýôçôá åßíáé óôáèåñÞ

(t2 →→ t3) s: ç êßíçóç åßíáé åõèýãñáììç ïìáëÞ

ç åðéôÜ÷õíóç åßíáé óôáèåñÞ êáé áñíçôéêÞ

ç ôá÷ýôçôá ìåéþíåôáé áíÜëïãá ìå ôï ÷ñüíï

ç êßíçóç åßíáé åõèýãñáììç ïìáëÜ åðéâñáäõíüìåíç

� Óôï ðñïçãïýìåíï ðáñÜäåéãìá èåùñÞóáìå ôçí áñ÷éêÞ ôá÷ýôçôá èåôéêÞ.

õ(m/s)

t(s)0

t1 t2 t3

ÄéÜãñáììá x–t Êëßóç Ôá÷ýôçôá


01.qxd 10/15/08 2:13 PM Óåëßäá 74

ÉÉ) ÄéÜãñáììá õ – t


(0 →→ t1) s: ç ôá÷ýôçôá áõîÜíåôáé áíÜëïãá ìå ôï ÷ñüíï (ôï äéÜãñáììá åßíáé

åõèåßá ãñáììÞ)

ç åðéôÜ÷õíóç åßíáé óôáèåñÞ êáé èåôéêÞ


(t1 →→ t2) s: ç ôá÷ýôçôá åßíáé óôáèåñÞ

ç åðéôÜ÷õíóç åßíáé ßóç ìå ìçäÝí

ç êßíçóç åßíáé åõèýãñáììç ïìáëÞ

(t2 →→ t3) s: ç ôá÷ýôçôá ìåéþíåôáé áíÜëïãá ìå ôï ÷ñüíï (ôï äéÜãñáììá åßíáé åõèåßá ãñáììÞ)ç åðéôÜ÷õíóç åßíáé óôáèåñÞ êáé áñíçôéêÞç êßíçóç åßíáé åõèýãñáììç ïìáëÜ åðéâñáäõíüìåíç

(t3 →→ t4) s: ç ôá÷ýôçôá åßíáé óôáèåñÞ êáé ßóç ìå ìçäÝí

ôï óþìá ðáñáìÝíåé áêßíçôï

(t4 →→ t5) s: ç ôá÷ýôçôá áõîÜíåôáé êáôÜ ìÝôñï (áðüëõôç ôéìÞ)áíÜëïãá ìå ôï ÷ñüíïôï óþìá êéíåßôáé ðñïò ôçí áíôßèåôç öïñÜ áðü áõôÞíðïõ ïñßóáìå ùò èåôéêÞç åðéôÜ÷õíóç åßíáé áñíçôéêÞ (!) ç êßíçóç åßíáé åõèýãñáììç ïìáëÜ åðéôá÷õíüìåíç

(t5 →→ t6) s: ç ôá÷ýôçôá ìåéþíåôáé êáôÜ ìÝôñï (áðüëõôç ôéìÞ)

áíÜëïãá ìå ôï ÷ñüíï

ôï óþìá êéíåßôáé ðñïò ôçí áñíçôéêÞ öïñÜ

ç åðéôÜ÷õíóç åßíáé èåôéêÞ (!)

ç êßíçóç åßíáé åõèýãñáììç ïìáëÜ åðéâñáäõíüìåíç

�� Ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t6 ç ôá÷ýôçôá ìçäåíßæåôáé óôéãìéáßá êáé óôç

óõíÝ÷åéá ç êßíçóç åßíáé åõèýãñáììç ïìáëÜ åðéôá÷õíüìåíç.

õ(m/s)

t0

t1 t2 t3 t4 t5 t6


01.qxd 10/15/08 2:13 PM Óåëßäá 75

�� Óå êÜèå ðåñßðôùóç óõíäõáóìïý êéíÞóåùí åßìáóôå õðï÷ñåùìÝíïé íá ïñßóïõìå

ìéá öïñÜ êßíçóçò ùò èåôéêÞ. ¼ôáí ç ôá÷ýôçôá åßíáé èåôéêÞ, ôï óþìá êéíåßôáé ðñïò ôç

èåôéêÞ öïñÜ, åíþ üôáí åßíáé áñíçôéêÞ ôï óþìá êéíåßôáé ðñïò ôçí áíôßèåôç öïñÜ.

ÉÉÉ) ÄéÜãñáììá x-t êáé S-t


(0 →→ t1) s: ôï äéÜóôçìá (êáé ç èÝóç) áõîÜíïíôáé áíÜëïãá ìå ôï ÷ñüíïç ôá÷ýôçôá åßíáé óôáèåñÞç êßíçóç åßíáé åõèýãñáììç ïìáëÞ

(t1 →→ t2) s: ôï äéÜãñáììá åßíáé ðáñáâïëÞ êáé áðü ôç ìïñöÞ ôïõ óõìðåñáßíïõ-ìå ðùò ç êßíçóç åßíáé åõèýãñáììç ïìáëÜ åðéôá÷õíüìåíç.

(t2 →→ t3) s: ôï äéÜóôçìá (êáé ç èÝóç) ðáñáìÝíïõí óôáèåñÜ ôï óþìá åßíáé áêßíçôï.

(t3 →→ t4) s: ôï äéÜãñáììá åßíáé ðáñáâïëÞ êáé áðü ôç ìïñöÞ ôïõ óõìðåñáßíïõ-ìå ðùò ç êßíçóç åßíáé åõèýãñáììç ïìáëÜ åðéâñáäõíüìåíç

� Óå ðïëëÜ ðñïâëÞìáôá äßíåôáé Ýíá äéÜãñáììá êáé ìáò æçôåßôáé êÜðïéï Üëëï. Ãéá

ðáñÜäåéãìá ìðïñåß íá äßíåôáé Ýíá äéÜãñáììá á – t êáé íá æçôåßôáé ôï áíôßóôïé÷ï äéÜ-

ãñáììá õ – t Þ íá äßíåôáé Ýíá äéÜãñáììá õ – t êáé íá æçôåßôáé ôï áíôßóôïé÷ï äéÜãñáì-

ìá x – t (Þ S – t)

Óå áõôÝò ôéò ðåñéðôþóåéò èá ðñÝðåé íá Ý÷ïõìå õð´ üøçí ìáò ôá åîÞò:

á) Ãéá íá âñïýìå ôï äéÜãñáììá õ – t áí ãíùñßæïõìå ôï äéÜãñáììá á – t Þ ôï á-

íôßóôñïöï, ÷ñçóéìïðïéïýìå ôçí åîßóùóç:

á = �Ä

Ä

õ

t� = �

õ

tô

ô

å

å

ë

ë

–

–

õ

tá

á

ñ

ñ

÷

÷�

óôá áíôßóôïé÷á ÷ñïíéêÜ äéáóôÞìáôá.

x,S(m)

t(s)0

t1 t2 t3 t4


01.qxd 10/15/08 2:13 PM Óåëßäá 76

â) Ãéá íá âñïýìå ôï äéÜãñáììá x – t (Þ S – t) áí ãíùñßæïõìå ôï äéÜãñáììá õ – t,

÷ñçóéìïðïéïýìå ôçí åîßóùóç:

i) õ = ��Ä

Ä

x

t�� = ��

x

tô

ô

å

å

ë

ë

–

–

x

tá

á

ñ

ñ

÷

÷��, óôá ÷ñïíéêÜ äéáóôÞìáôá ðïõ ç êßíçóç åßíáé åõèýãñáììç

ïìáëÞ

ii) Äx = õ0 Ät + ��1

2�� áÄt2, óôá ÷ñïíéêÜ äéáóôÞìáôá ðïõ ç êßíçóç åßíáé åõèýãñáì-

ìç ïìáëÜ åðéôá÷õíüìåíç Þ Äx = õ0Ät – ��1

2�� áÄt2, óôá ÷ñïíéêÜ äéáóôÞìáôá ðïõ ç êß-

íçóç åßíáé åõèýãñáììç ïìáëÜ åðéâñáäõíüìåíç. Ç ÷ñÞóç ôùí äýï ôåëåõôáßùí åîé-

óþóåùí ðñïûðïèÝôåé ôçí åýñåóç ôçò åðéôÜ÷õíóçò á, áðü ôçí åîßóùóç á = ��Ä

Ä

õ

t.��

Ðñïóï÷Þ!! Ôï ðñþôï âÞìá ðïõ ðñÝðåé íá êÜíïõìå óå áóêÞóåéò ðïõ äßíåôáé êÜ-

ðïéï äéÜãñáììá, åßíáé íá ðñïóäéïñßóïõìå ôá åßäç ôùí åðéìÝñïõò êé-

íÞóåùí óôá áíôßóôïé÷á ÷ñïíéêÜ äéáóôÞìáôá.

Ìå ôç âïÞèåéá ôïõ ðáñáêÜôù ðßíáêá ìðïñïýìå íá âñïýìå ðïéïôéêÜ Ýíá äéÜ-

ãñáììá, üôáí ìáò äßíåôáé êÜðïéï Üëëï:

� Ôá äéáãñÜììáôá ôïõ ðñïçãïýìåíïõ ðßíáêá áíáöÝñïíôáé óå êéíÞóåéò ðïõ

ðñáãìáôïðïéïýíôáé êáôÜ ôç èåôéêÞ öïñÜ.


á - t õ - t x - t Eßäïò êßíçóçò

⇔ ⇔Åõèýãñáììç

ïìáëÞ

⇔

⇔

Åõèýãñáììç

oìáëÜ åðéôá-

÷õíüìåíç

⇔ ⇔

Åõèýãñáììç

ïìáëÜ åðéâñá-

äõíüìåíç

á

t

õ

t

x

t

õ

t

õ

t

á

t

á

t

õ

t

x

t

01.qxd 10/15/08 2:13 PM Óåëßäá 77


¢óêçóç 1: Áõôïêßíçôï åßíáé áñ÷éêÜ áêßíçôï êáé åðéôá÷ýíåôáé ìå óôáèåñÞ åðé-

ôÜ÷õíóç á=2m/s2.

á) Íá âñåßôå ôçí ôá÷ýôçôá ôïõ áõôïêéíÞôïõ ìåôÜ áðü ÷ñüíï

t=10s.

â) Ðïéá åßíáé ç áðüóôáóç ðïõ Ý÷åé äéáíýóåé ôï áõôïêßíçôï óôï

÷ñüíï áõôü;

ã) Íá ãßíïõí ôá äéáãñÜììáôá ôá÷ýôçôáò-÷ñüíïõ (õ-t) êáé äéáóôÞ-

ìáôïò-÷ñüíïõ (S-t)

ä) ÌåôÜ áðü ðüóï ÷ñüíï ôï áõôïêßíçôï èá Ý÷åé ôá÷ýôçôá õ =

40m/s;

Ëýóç

á) á = �Ä

Ä

õ

t� = �

õ

t

–

– t

õ

0

0� = �õ

t –

–

0

0� ⇒ õ = át = 2 m/s2 � 10s ⇒

â) S = õ0t + �1

2� át2 = �0 � 10 + �

1

2� � 2 � 102�m ⇒

ã) ÅðåéäÞ ôï áõôïêßíçôï ðñáãìáôïðïéåß åõèýãñáììç ïìáëÜ åðéôá÷õíüìåíç êßíç-

óç (á=óôáèåñÞ), ôï äéÜãñáììá ôá÷ýôçôáò-÷ñüíïõ, èá åßíáé åõèåßá ðïõ äéÝñ÷åôáé áð’

ôçí áñ÷Þ ôùí áîüíùí, åöüóïí õ0 = 0 m/s:

Ôï äéÜãñáììá äéáóôÞìáôïò-÷ñüíïõ óôçí åõèýãñáììç ïìáëÜ åðéôá÷õíüìåíç êß-

íçóç åßíáé ðáñáâïëÞ:

ä) á = �õ

t� ⇒ t = �

á

õ� = �

4

2

0

m

m

/s

/2

s� ⇒ t = 20 s

S(m)

t(s)0

100

10

õ(m/s)

t(s)0

20

10

S = 100m

õ = 20 m/s


02.qxd 9/18/08 12:05 PM Óåëßäá 78

Ê Å Ö Á Ë Á É Ï 1 o : Å Õ È Õ Ã Ñ Á Ì Ì Ç Ê É Í Ç Ó Ç 79

¢óêçóç 2: Äßíåôáé ôï áêüëïõèï äéÜãñáììá ôá÷ýôçôáò-÷ñüíïõ (õ - t) ãéá Ýíá

óþìá óôá ðñþôá 30s ôçò êßíçóÞò ôïõ:

á) Íá ÷áñáêôçñéóôïýí ôá åßäç ôùí åðéìÝñïõò êéíÞóåùí

â) Íá âñåèåß ç åðéôÜ÷õíóç óå êÜèå åßäïò êßíçóçò êáé íá ãßíåé ôï

äéÜãñáììá åðéôÜ÷õíóçò-÷ñüíïõ (á-t)

ã) Ðïéï åßíáé ôï óõíïëéêü äéÜóôçìá ðïõ äéáíýåé ôï óþìá ìÝ÷ñé íá

óôáìáôÞóåé;

ä) Íá ãßíåé ôï äéÜãñáììá äéáóôÞìáôïò-÷ñüíïõ (S-t)

å) Ðïéá åßíáé ç ìÝóç áñéèìçôéêÞ ôá÷ýôçôá ôïõ óþìáôïò óôá ðñþ-

ôá 30s ôçò êßíçóçò;

Ëýóç

á) (0 →→ 5) s:åõèýãñáììç ïìáëÜ åðéôá÷õíüìåíç êßíçóç, åðåéäÞ ç ôá÷ýôçôá áõ-

îÜíåôáé áíÜëïãá ìå ôï ÷ñüíï.

á) (5 →→ 20) s: åõèýãñáììç ïìáëÞ êßíçóç, åðåéäÞ ç ôá÷ýôçôá ðáñáìÝíåé óôáèåñÞ.

á) (20 →→ 30) s: åõèýãñáììç ïìáëÜ åðéâñáäõíüìåíç êßíçóç, åðåéäÞ ç ôá-

÷ýôçôá ìåéþíåôáé áíÜëïãá ìå ôï ÷ñüíï.

â) (0 →→ 5) s: á1 = �õ

t1

1

–

–

õ

t0

0� = �(6

(

0

5

–

–

0

0

)

)

m

s

/s� ⇒

â) (5 →→ 20) s: á2 = �õ

t2

2

–

–

õ

t1

1� = �(6

(

0

20

– 6

–

0

5

)

)

m

s

/s� ⇒

â) (20 →→ 30) s: á3 = �õ

t3

3

–

–

õ

t2

2� = �(

(

0

30

– 6

–

0

2

)

0

m

)s

/s� ⇒

t(s)0

5

–6

12

20 30

á(m/s )2

á3 = –6 m/s2

á2 = 0 m/s2

á1 = 12 m/s2

õ(m/s)

t(s)0 5 3020

60

E1

E2E3

02.qxd 9/18/08 12:05 PM Óåëßäá 79

ã) Ôï óõíïëéêü äéÜóôçìá åßíáé ßóï ìå ôï åìâáäü ôïõ ôñáðåæßïõ óôï äéÜãñáììá ôá-

÷ýôçôáò-÷ñüíïõ (õ-t):

Sïë = Å1 +Å2 + Å3 = � ýøïò=��15+

2

30� � 60�m ⇒

ä) (0 →→ 5) s: S1 = �1

2� á1t

2 = ��1

2� � 12 � 52�m ⇒

Þ

ä) S1 = Å1 = �âÜóç

2

� ýøïò� = ��

5 �

2

60��m ⇒

Þ

ä) (5 →→ 20) s: S2 = õ2t = 60 m/s � 15s ⇒

Þ

ä) S2 = Å2 = âÜóç � ýøïò = (15 � 60)m ⇒

ä) (20 →→ 30) s: S3 = õ2t – �1

2�⏐á3⏐t2 = �60 � 10 – �

1

2� � 6 � 102�m ⇒

Þ

ä) S3 = Å3 = �âÜóç

2

� ýøïò� = ��

10

2

� 60��m ⇒

å) õì = �S

tïë� = �

1

3

3

0

5

s

0� ⇒ õì = 45m/s

S(m)

t(s)0 5 3020

150

1050

1350

S3 = 300m

S3 = 300m

S2 = 900m

S2 = 900m

S1 = 150m

S1 = 150m

Sïë= 1350mÜèñïéóìá âÜóåùí��

2


02.qxd 9/18/08 12:05 PM Óåëßäá 80

¢óêçóç 3: ¸íá êéíçôü ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t0 = 0s Ý÷åé ôá÷ýôçôá õ0 = 8m/s êáé

âñßóêåôáé óôç èÝóç x0 = 4m. Ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t1 = 5s ôï êéíçôü

Ý÷åé ôá÷ýôçôá õ1 = 18m/s. Áðü ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t1 êáé ìåôÜ, ôï êé-

íçôü äéáôçñåß ôçí ôá÷ýôçôÜ ôïõ óôáèåñÞ.

á) Íá âñåèåß ç óôáèåñÞ åðéôÜ÷õíóç ôïõ êéíçôïý ìÝ÷ñé ôç ÷ñïíéêÞ

óôéãìÞ t1â) Íá âñåèåß ç èÝóç ôïõ êéíçôïý ôçí ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t1

ã) Íá ãßíåé ôï äéÜãñáììá ôá÷ýôçôáò-÷ñüíïõ (õ - t)

ä) Ðïéï åßíáé ôï äéÜóôçìá ðïõ Ý÷åé äéáíýóåé ôï êéíçôü ìÝ÷ñé ôç

÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t2 = 8s;

Ëýóç

á) á = �Ä

Ä

õ

t� = �

õ

t1

1

–

–

õ

t0

0� = �(1

(

8

5

–

–

8

0

)

)

m

s

/s� ⇒

â) Ôï êéíçôü ðñáãìáôïðïéåß åõèýãñáììç ïìáëÜ åðéôá÷õíüìåíç êßíçóç:

â) Äx = õ0t1 + �1

2� át1

2⇒ x1 – x0 = õ0t1 + �

1

2� át1

2⇒ x1 = x0 + õ0t1 + �

1

2� át1

2 =

= �4 + 8 � 5 + �1

2� � 2 � 52�m ⇒

ã) (0 → 5) s: ç êßíçóç åßíáé åõèýãñáììç ïìáëÜ åðéôá÷õíüìåíç

â) (5 →→ t) s: ç êßíçóç åßíáé åõèýãñáììç ïìáëÞ, ìå ôá÷ýôçôá õ1 = 18m/s

ä) Ôï äéÜóôçìá ðïõ Ý÷åé äéáíýóåé ôï êéíçôü ìÝ÷ñé ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t2 = 8s, é-

óïýôáé ìå ôï ãñáììïóêéáóìÝíï åìâáäü ôïõ äéáãñÜììáôïò õ - t:

S = Å1 + Å2 = � ýøïò+âÜóç � ýøïò = ��8 +

2

18� � 5 + 3 � 18�m

⇒ S = 119m


2

õ(m/s)

t(s)0

18

8

8

5

E1E2

x1 = 69m

á = 2m/s2


02.qxd 9/18/08 12:05 PM Óåëßäá 81

¢óêçóç 4: Ç åîßóùóç ôá÷ýôçôáò åíüò áõôïêéíÞôïõ åßíáé õ = 2 + 4t (S.I.)

á) Íá ÷áñáêôçñßóåôå ôï åßäïò ôçò êßíçóçò ôïõ áõôïêéíÞôïõ êáé íá

âñåßôå ôçí áñ÷éêÞ ôá÷ýôçôá êáé ôçí åðéôÜ÷õíóÞ ôïõ.

â) Ðïéá åßíáé ç ôá÷ýôçôá ôïõ áõôïêéíÞôïõ ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t1 = 2s;

ã) Ðïéá ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t2 ç ôá÷ýôçôá ôïõ áõôïêéíÞôïõ åßíáé åðôá-

ðëÜóéá ôçò áñ÷éêÞò;

ä) Íá âñåèåß ôï äéÜóôçìá ðïõ äéáíýåé ôï áõôïêßíçôï ìåôáîý ôùí

÷ñïíéêþí óôéãìþí t1 êáé t2.

Ëýóç

á) Áðü ôç ìïñöÞ ôçò åîßóùóçò ôçò ôá÷ýôçôáò (õ = õ0 + át), óõìðåñáßíïõìå ðùò


� ⇒

â) õ1 = 2 + 4t1 = (2 + 4 � 2) m/s ⇒

ã) � ⇒ 7õ0 = 2 + 4t2 ⇒ 4t2 = 7õ0 – 2 ⇒

ã) ⇒ t2 = �7 õ0

4

– 2� = ��

7 � 2

4

– 2��s ⇒

ä) S1 = õ0t1 + �1

2� át1

2 = �2 � 2 + �1

2� � 4 � 22�m ⇒

ã) S2 = õ0t2 + �1

2� át2

2 = �2 � 3 + �1

2� � 4 � 32�m ⇒

ã) S = S2 – S1 = (24 – 12)m ⇒

¢óêçóç 5: Óþìá êéíåßôáé ìå óôáèåñÞ ôá÷ýôçôá õ0 = 10 m/s. Ôç ÷ñïíéêÞ óôéã-

ìÞ t0 = 0s ôï óþìá áðïêôÜ åðéâñÜäõíóç ìÝôñïõ á=1m/s2.

á) Íá âñåßôå ôï óõíïëéêü ÷ñüíï tïë êáé ôï óõíïëéêü Sïë, ìÝ÷ñé íá

óôáìáôÞóåé ôï óþìá.

S = 12m

S2 = 24m

S1 = 12m

t2 = 3s

õ2 = 2 + 4t2õ2 = 7õ0

õ1 = 10 m/s

õ0 = 2 m/s

á = 2 m/s2

õ = 2 + 4t

õ = õ0 + át


02.qxd 9/18/08 12:05 PM Óåëßäá 82

â) Íá âñåßôå ôï äéÜóôçìá ðïõ Ý÷åé äéáíýóåé ôï óþìá ìÝ÷ñé ôç ÷ñï-

íéêÞ óôéãìÞ t1 = 4s.

ã) Ðïéï èá Ýðñåðå íá åßíáé ôï ìÝôñï ôçò åðéâñÜäõíóçò, þóôå ôï

óþìá íá óôáìáôÞóåé ìåôÜ áðü 5s; Ðïéï èá åßíáé ó' áõôÞ ôçí ðå-

ñßðôùóç ôï óõíïëéêü äéÜóôçìá ðïõ äéáíýåé ôï óþìá;

Ëýóç

á) Ç êßíçóç ðïõ ðñáãìáôïðïéåß ôï óþìá åßíáé åõèýãñáììç ïìáëÜ åðéâñáäõíü-

ìåíç. Ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ ðïõ óôáìáôÜ ôï óþìá, ç ôá÷ýôçôÜ ôïõ õ èá åßíáé ìçäÝí:

õ = õ0 – át ⇒ 0 = õ0 – átïë ⇒ tïë = �õ

á0� = �

1

1

0

m

m

/s

/s2

� ⇒

ã) Áðü ôçí åîßóùóç ôïõ äéáóôÞìáôïò Ý÷ïõìå:

ã) Sïë = õotïë – �1

2� átïë

2 = (10 � 10 – �1

2� � 1 � 102)m ⇒

â) S1 = õ0t1 – �1

2� át1

2 = (10 � 4 – �1

2� � 1 � 42)m ⇒

ã) ¸óôù á´ ôï ìÝôñï ôçò æçôïýìåíçò åðéâñÜäõíóçò. Ïìïßùò ìå ðñéí:

ã) 0 = õ0 – á´ t´ïë ⇒ á´ = �t

õ

´ï

´0

ë

� = �10

5

m

s

/s� ⇒

ã) Ôï óõíïëéêü äéÜóôçìá ó´ áõôÞí ôçí ðåñßðôùóç åßíáé:

ã) Sïë = õ0t ´ïë – �1

2� á´ tïë

2 = �10 � 5 – �1

2� � 2 � 52�m ⇒

¢óêçóç 6: ¸íá áõôïêßíçôï êéíåßôáé ìå óôáèåñÞ ôá÷ýôçôá õo=72Km/h óå å-

ðáñ÷éáêü äñüìï. ÊÜðïéá óôéãìÞ ï ïäçãüò áíôéëáìâÜíåôáé Ýíá

óêáíôæü÷ïéñï ðïõ óôÝêåôáé áìÝñéìíïò óôç ìÝóç ôïõ äñüìïõ óå á-

ðüóôáóç S=44m êáé ðáôÜåé öñÝíï. Áí ï ÷ñüíïò áíôßäñáóçò ôïõ

ïäçãïý åßíáé t=0,2s êáé ç åðéâñÜäõíóç ðïõ áðïêôÜ ôï áõôïêßíç-

ôï Ý÷åé ìÝôñï á=5m/s2, âñåßôå áí ôï áõôïêßíçôï èá ðáôÞóåé ôï

óêáíôæü÷ïéñï.

Ëýóç

S

õ0 õ

S1

á

õ0

S2

Sïë´ = 25m

á´ = 2m/s2

S1 = 32m

Sïë = 50m

tïë = 10s


02.qxd 9/18/08 12:05 PM Óåëßäá 83

×ñüíïò áíôßäñáóçò ôïõ ïäçãïý åßíáé ï ÷ñüíïò ðïõ ìåóïëáâåß áðü ôç ÷ñïíéêÞ

óôéãìÞ ðïõ ï ïäçãüò áíôéëáìâÜíåôáé ôï óêáíôæü÷ïéñï (åìðüäéï), ìÝ÷ñé ôç ÷ñïíéêÞ

óôéãìÞ ðïõ ðáôÜåé ôï öñÝíï. Óôï ÷ñüíï áõôü, ôï áõôïêßíçôï åêôåëåß åõèýãñáììç ï-

ìáëÞ êßíçóç Ý÷ïíôáò äéáíýóåé äéÜóôçìá S1:

õ0 = �S

ô1� ⇒ S1 = õ0ô = 72Km/h � 0,2s = 20m/s � 0,2 ⇒ S1 = 4m

Áðü ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ ðïõ ï ïäçãüò ðáôÜåé ôï öñÝíï, ôï áõôïêßíçôï ðñáãìáôï-

ðïéåß åõèýãñáììç ïìáëÜ åðéâñáäõíüìåíç êßíçóç ìÝ÷ñé íá óôáìáôÞóåé. Ãéá íá õðï-

ëïãßóïõìå ôï äéÜóôçìá S2 ðïõ äéáíýåé ôï áõôïêßíçôï ìÝ÷ñé íá óôáìáôÞóåé õðïëïãß-

æïõìå ôç ÷ñïíéêÞ äéÜñêåéá ôçò åðéâñáäõíüìåíçò êßíçóçò:

õ = õ0 – á � tõ=0

=====>t = t2

0 = õ0 – át2 ⇒ t2 = �õ

á0� = �

2

5

0

m

m

/s

/s2

� ⇒ t2 = 4s

Áíôéêáèéóôþíôáò ôï ÷ñüíï t2 óôçí åîßóùóç ôïõ äéáóôÞìáôïò:

S2 = õ0 � t2 – �1

2� át2

2 = �20 � 4 – �1

2� � 5 � 42�m ⇒ S2 = 40m

¢ñá ôï óõíïëéêü äéÜóôçìá ðïõ äéáíýåé ôï áõôïêßíçôï áðü ôç óôéãìÞ ðïõ ï ïäç-

ãüò áíôéëáìâÜíåôáé ôï åìðüäéï, ìÝ÷ñé ôç óôéãìÞ ðïõ óôáìáôÜåé åßíáé:

Sïë = S1 + S2 = (4 + 40)m ⇒

Ðáñáôçñïýìå üôé Sïë=S, óõíåðþò ôï áõôïêßíçôï áðïöåýãåé ïñéáêÜ íá ðáôÞóåé

ôï óêáíôæü÷ïéñï.

¢óêçóç 7: Äßíåôáé ôï áêüëïõèï êïéíü äéÜãñáììá ôá÷ýôçôïò-÷ñüíïõ (õ - t) ãéá

äýï êéíçôÜ Á êáé Â, ðïõ ôçí ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t0 = 0s ðåñíïýí áðü

ôï ßäéï óçìåßï:

Íá õðïëïãéóôïýí:

á) ç åðéôÜ÷õíóç ôïõ êéíçôïý Â

â) ç áðüóôáóç ôùí äýï êéíçôþí ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t=2s.

ã) ç áðüóôáóç ôùí äýï êéíçôþí ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ ðïõ ôá äýï êé-

íçôÜ Ý÷ïõí ßóåò ôá÷ýôçôåò

õ(m/s)

t(s)0

50

5

20

Á

Â

Sïë = 44m


02.qxd 9/18/08 12:05 PM Óåëßäá 84

ä) ç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ ôçò óõíÜíôçóçò ôùí äýï êéíçôþí. Åðßóçò, íá

ãßíïõí ôá äéáãñÜììáôá äéáóôÞìáôïò-÷ñüíïõ (s-t) ãéá ôá äýï êé-

íçôÜ óå êïéíü óýóôçìá áîüíùí.

Ëýóç

á) áB = �Ä

Ä

õ

t� = �

(50

(5

–

–

20

0

)

)

m

s

/s� ⇒

â) êéíçôü Á: õA = �S

tA� ⇒ SA = õAt = 50m/s � 2s ⇒

â) êéíçôü Â: SB = õ0t +�1

2� áBt2 = �20 � 2 +�

1

2� � 6 � 22�m ⇒ SB = 28m

â) S = SA – SB = (100 – 28)m ⇒

â) Ç ëýóç ìðïñåß íá äïèåß êáé ãñáöéêÜ

ã) Ôá äýï êéíçôÜ Ý÷ïõí ßóåò ôá÷ýôçôåò ôçí ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t´=5s.

â) êéíçôü Á: õA = �S

t

´

′

A� ⇒ S´A = õAt′ = 50m/s � 5s ⇒ S´A = 250 m

â) êéíçôü Â: S′B = õ0t′ + �

1

2� � áÂt′2 = �20 � 5 + �

1

2� � 6 � 52�m ⇒ S´B = 175 m

â) S′ = S´Á – S´B = (250 – 175)m ⇒

ä) ¸óôù tÓ ç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ ôçò óõíÜíôçóçò ôùí äýï êéíçôþí. Ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ

tÓ ôá äýï êéíçôÜ Ý÷ïõí äéáíýóåé ßóá äéáóôÞìáôá (SA = SB)

â) � ===>SA = SB

õAtÓ = õ0tÓ + �1

2� áÂtÓ

2⇒

â) 3tÓ2 = 30tÓ ⇒

S(m)

t(s)0

500

10

Á

Â

tÓ = 10s

êéíçôü Á: SA = õAtÓ

êéíçôü Â: SÂ = õ0tÓ + �1

2� áÂtÓ

2

S′′ = 75m

S = 72m

SA = 100m

áÂ = 6m/s2


02.qxd 9/18/08 12:05 PM Óåëßäá 85

¢óêçóç 8: Áõôïêßíçôï ðïõ åßíáé áñ÷éêÜ áêßíçôï, ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t0 = 0s,

áñ÷ßæåé íá êéíåßôáé ìå óôáèåñÞ ôá÷ýôçôá õ0 = 30m/s ãéá ÷ñüíï

t=4s. Ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t áñ÷ßæåé íá åðéôá÷ýíåôáé ìå óôáèåñÞ å-

ðéôÜ÷õíóç á1 = 3m/s2, ìÝ÷ñé ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t1 = 8s. Ôç ÷ñïíé-

êÞ óôéãìÞ t1 ôï áõôïêßíçôï áñ÷ßæåé íá åðéâñáäýíåôáé êáé ôåëéêÜ

óôáìáôÜåé ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t2 = 10s.

á) Íá âñåèåß ç åðéâñÜäõíóç ôïõ áõôïêéíÞôïõ óôï ÷ñïíéêü äéÜ-

óôçìá t1 →→ t2.

â) Íá ãßíåé ôï äéÜãñáììá ôá÷ýôçôáò-÷ñüíïõ (õ-t)

ã) Ðïéï åßíáé ôï óõíïëéêü äéÜóôçìá ðïõ äéáíýåé ôï áõôïêßíçôï ìÝ-

÷ñé íá óôáìáôÞóåé;Ëýóç

á) Óôï ÷ñïíéêü äéÜóôçìá t → t1 ôï áõôïêßíçôï ðñáãìáôïðïéåß åõèýãñáììç ïìáëÜ

åðéôá÷õíüìåíç êßíçóç.

Ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t1 ç ôá÷ýôçôá ôïõ áõôïêéíÞôïõ åßíáé:

õ1 = õ0 + á1(t1 – t) = 30 + 3 � (8 – 4) ⇒ õ1 = 42 m/s

* (t1 – t) åßíáé ç ÷ñïíéêÞ äéÜñêåéá ôçò åðéôá÷õíüìåíçò êßíçóçò

Ç ôá÷ýôçôá õ1 åßíáé ç áñ÷éêÞ ôá÷ýôçôá ãéá ôçí ïìáëÜ åðéâñáäõíüìåíç êßíçóç:

á2 = �Ä

Ä

õ

t� = �

õ

t2

2

–

–

õ

t1

1� = �(0

(1

–

0

4

–

2)

8

m

)s

/s� ⇒

â)

(0 →→ 4) s: åõèýãñáììç ïìáëÞ êßíçóç, ìå ôá÷ýôçôá õ0 = 30m/s

(4 →→ 8) s: åõèýãñáììç ïìáëÜ åðéôá÷õíüìåíç êßíçóç ìå åðéôÜ÷õíóç á1 = 3m/s2

(8 →→ 10) s: åõèýãñáììç ïìáëÜ åðéâñáäõíüìåíç êßíçóç ìå åðéâñÜäõíóç

á2 = –21 m/s2 êáé áñ÷éêÞ ôá÷ýôçôá õ1 = 42 m/s.

ã) Sïë = Å1+E2+Å3=âÜóç � ýøïò + � ýøïò+ �âÜóç

2

� ýøïò� ⇒

⇒ Sïë = �4 � 30 + �30 +

2

42� � 4 + �

2 �

2

42��m ⇒ Sïë = 306m


2

õ(m/s)

t(s)0 4 8

42

E1

E2E3

30

10

á2 = –21 m/s2


02.qxd 9/18/08 12:05 PM Óåëßäá 86

¢óêçóç 9: ÌïôïóõêëåôéóôÞò ôçò ïìÜäáò Æ êáôáäéþêåé åðéâáôéêü áõôïêßíçôï,

ðïõ õðåñâáßíåé ôï üñéï ôá÷ýôçôáò êéíïýìåíï ìå óôáèåñÞ ôá÷ýôç-

ôá õA = 144Km/h. H êáôáäßùîç îåêéíÜåé üôáí ôï åðéâáôéêü áõôïêß-

íçôï Ý÷åé áðïìáêñõíèåß óå áðüóôáóç S=44m áðü ôï óçìåßï ðïõ

âñßóêåôáé ï ìïôïóõêëåôéóôÞò. Ï ìïôïóõêëåôéóôÞò åðéôá÷ýíåôáé ìå

óôáèåñÞ åðéôÜ÷õíóç áÌ = 8m/s2. Íá õðïëïãßóåôå:

á) óå ðüóï ÷ñüíï áðü ôç óôéãìÞ ðïõ îåêéíÜåé ç êáôáäßùîç, ï ìï-

ôïóéêëåôéóôÞò öôÜíåé ôï áõôïêßíçôï;

â) ðïéåò åßíáé ïé áðïóôÜóåéò ðïõ Ý÷ïõí äéáíýóåé ìïôïóéêëåôéóôÞò

êáé áõôïêßíçôï óôï ÷ñüíï áõôü;

ã) ðïéá ç ôá÷ýôçôá ôïõ ìïôïóõêëåôéóôÞ ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ ôçò óõ-

íÜíôçóçò;

Ëýóç

á)

¸óôù t ï ÷ñüíïò ðïõ áðáéôåßôáé, þóôå ï ìïôïóõêëåôéóôÞò íá öôÜóåé ôï áõôïêß-

íçôï áðü ôçí óôéãìÞ ðïõ áñ÷ßæåé ôçí êáôáäßùîç.

Ôï åðéâáôéêü áõôïêßíçôï åêôåëåß åõèýãñáììç ïìáëÞ êßíçóç ìå ôá÷ýôçôá

õA = 144Km/h = 40m/s, åíþ ï ìïôïóõêëåôéóôÞò åõèýãñáììç ïìáëÜ åðéôá÷õíüìåíç

êßíçóç ìå åðéôÜ÷õíóç áÌ = 8m/s2, ÷ùñßò áñ÷éêÞ ôá÷ýôçôá. Óôï ÷ñüíï t ï ìïôïóõ-

êëåôéóôÞò Ý÷åé äéáíýóåé äéÜóôçìá SM êáé ôï áõôïêßíçôï äéÜóôçìá SA = SM – S

áõôïêßíçôï: õA = �S

tA� = �

SM

t

– S� ⇒ SM – S = õAt ⇒ SM = S + õAt (1)

ìïôïóõêëåôéóôÞò: SM = �1

2�áMt2 ⇒

(1)

S + õAt = �1

2�áÌt2 ⇒

⇒ 44 + 40t = �1

2� 8t2 ⇒ 4t2 – 40t – 44 = 0 ⇒

⇒ t2 – 10t – 11 = 0

õM=0

S

õA

õM

SÌ

õA

áÌ


02.qxd 9/18/08 12:05 PM Óåëßäá 87

Áðü ôçí åðßëõóç ôçò ôåëåõôáßáò (äåõôåñïâÜèìéáò) åîßóùóçò ðñïêýðôïõí äýï ëý-

óåéò: t1 = 11s,

t2 = – 1s

ÐáñáäåêôÞ ëýóç åßíáé ìüíï ç t1, óõíåðþò ï æçôïýìåíïò ÷ñüíïò åßíáé

â) Áíôéêáèéóôþíôáò ìå t=11s óôçí åîßóùóç (1):

SM = S + SAt = (44 + 40 � 11)m ⇒

SA = SM – S = (484 – 44)m ⇒

ã) Ç ôá÷ýôçôá ôïõ ìïôïóõêëåôéóôÞ ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ ôçò óõíÜíôçóçò åßíáé:

õM = áM t = 8m/s2 � 11s ⇒

¢óêçóç 10:Äßíåôáé ôï áêüëïõèï äéÜãñáììá ôá÷ýôçôáò-÷ñüíïõ (õ - t) ãéá Ýíá óþìá:

á) Íá ðåñéãñÜøåôå ôçí êßíçóç ðïõ åêôåëåß ôï óþìá óôï ÷ñïíéêü-

äéÜóôçìá (0 →→ 12) s

â) Íá õðïëïãßóåôå ôçí åðéôÜ÷õíóç ôïõ óþìáôïò ãéá êÜèå åßäïò êß-

íçóçò êáé íá êáôáóêåõÜóåôå ôï äéÜãñáììá åðéôÜ÷õíóçò-÷ñü-

íïõ (á-t)

ã) Íá õðïëïãßóåôå ôï äéÜóôçìá êáé ôç ìåôáôüðéóç ôïõ óþìáôïò

óôï ÷ñïíéêü äéÜóôçìá (0 →→ 12) s. Óõìðßðôïõí ïé ôéìÝò ðïõ âñÞ-

êáôå; Áéôéïëïãåßóôå êáôÜëëçëá.

ä) Íá âñåßôå ôç ìÝóç áñéèìçôéêÞ ôá÷ýôçôá ôïõ óþìáôïò óôá 12s

ôçò êßíçóÞò ôïõ.

Ëýóç

á) (0 →→ 4) s: ç êßíçóç åßíáé åõèýãñáììç ïìáëÞ, ìå ôá÷ýôçôá õ1 = 20m/s

á) (4 →→ 6) s: ç êßíçóç åßíáé åõèýãñáììç ïìáëÜ åðéôá÷õíüìåíç.

õ(m/s)

t(s)0 4 6

E1

E2E3

30

10

20

–20

E412

õM = 88m/s

SA = 440m

SM = 484m

t=11s


02.qxd 9/18/08 12:05 PM Óåëßäá 88

á) (6 →→ 10) s: ç êßíçóç åßíáé åõèýãñáììç ïìáëÜ åðéâñáäõíüìåíç

á) (10 →→ 12) s: ç êßíçóç åßíáé åõèýãñáììç ïìáëÜ åðéôá÷õíüìåíç, äéüôé ôï ìÝ-

ôñï ôçò ôá÷ýôçôáò áõîÜíåôáé. Ôï óþìá êéíåßôáé ðñïò ôçí áíôß-

èåôç öïñÜ, áðü áõôÞí ðïõ ïñßóïõìå ùò èåôéêÞ.

â) (0 →→ 4) s: á1 = �Ä

Ä

õ

t� = �

(20

(4

–

–

20

0

)

)

m

s

/s� ⇒

á) (4 →→ 6) s: á2= �Ä

Ä

õ

t� = �

(3

(

0

6

-2

–

0

4

)m

)s

/s� ⇒

á) (6 → 10) s: á3 = �Ä

Ä

õ

t� = �

(0

(1

–

0

3

–

0)

6

m

)s

/s� ⇒

á) (10 → 12) s: á4 = �Ä

Ä

õ

t� = �

(–

(

2

1

0

2

–

–

0

1

)

0

m

)s

/s� ⇒

Ç áëãåâñéêÞ ôéìÞ ôçò åðéôÜ÷õíóçò á4 åßíáé áñíçôéêÞ, äéüôé ç êßíçóç ãßíåôáé ðñïò

ôçí áñíçôéêÞ öïñÜ.

ã) S = Å1 + Å2 + Å3 + Å4 = âÜóç � ýøïò+ �ýøïò +

+�âÜóç

2

� ýøïò� + �

âÜóç

2

� ýøïò� =

= �4 � 20 + �20 +

2

30� � 2 + �

4 �

2

30� + �

2 �

2

20��m ⇒

Äx = Å1 + Å2 + Å3 – Å4 = �4 � 20 + �20 +

2

30� � 2 + �

4 �

2

30� – �

2 �

2

20��m ⇒

⇒ Äx=170m

S = 210m


2

á(m/s )2

t(s)0 4 6 10

5

–7,5

12

–10

á4 = –10m/s2

á3 = –7,5m/s2

á2 = 5m/s2

á1 = 0 m/s2


02.qxd 9/18/08 12:05 PM Óåëßäá 89

Ïé ôéìÝò ôïõ äéáóôÞìáôïò êáé ôçò ìåôáôüðéóçò äéáöÝñïõí, äéüôé ôï óþìá áëëÜæåé

öïñÜ êßíçóçò óôï ÷ñïíéêü äéÜóôçìá (10 → 12)s

ä) õì = �S

t� = �

2

1

1

2

0

s

m� ⇒

¢óêçóç 11 Äýï áõôïêßíçôá Á êáé Â îåêéíïýí áðü ôï ßäéï óçìåßï ìå ÷ñïíéêÞ äéá-

öïñÜ Ät=4s. Ôï áõôïêßíçôï Á ðïõ îåêéíÜåé ðñþôï êéíåßôáé ìå óôá-

èåñÞ åðéôÜ÷õíóç áÁ = 1,6m/s2, åíþ ôï áõôïêßíçôï Â ìå óôáèåñÞ å-

ðéôÜ÷õíóç áB = 2,5m/s2.

á) Íá âñåèåß ìåôÜ áðü ðüóï ÷ñüíï áðü ôç óôéãìÞ ðïõ îåêéíÜåé ôï

áõôïêßíçôï B, èá óõíáíôçèïýí ôá äýï áõôïêßíçôá.

â) Íá âñåèïýí ôá äéáóôÞìáôá ðïõ Ý÷ïõí äéáíýóåé ôá äýï áõôïêß-

íçôá ìÝ÷ñé ôç óôéãìÞ ôçò óõíÜíôçóÞ ôïõò.

ã) Ðïéåò åßíáé ïé ôá÷ýôçôåò ôùí äýï áõôïêéíÞôùí óôï óçìåßï óõ-

íÜíôçóÞò ôïõò;

ä) Íá ãßíïõí ôá äéáãñÜììáôá ôá÷ýôçôáò-÷ñüíïõ (õ-t) ãéá ôá äýï

áõôïêßíçôá óå êïéíü óýóôçìá áîüíùí.

Ëýóç

á)

¸óôù t ï ÷ñüíïò ðïõ áðáéôåßôáé, þóôå íá óõíáíôçèïýí ôá äýï áõôïêßíçôá áðü ôç

óôéãìÞ ðïõ îåêßíçóå ôï áõôïêßíçôï Â. ¼ôáí óõíáíôéþíôáé ôá äýï áõôïêßíçôá èá Ý-

÷ïõí äéáíýóåé ßóá äéáóôÞìáôá:

� ===>SA = SÂ

�1

2� áÁ(t + 4)2 = �

1

2� áÂt2 ⇒

SA = �1

2� áÁ(t + 4)2

SB = �1

2� áÂt2

õÂ=0 õA

õÂ

SÁ Â=S

õA

áÁ

áA

Â Á

áÂ

õì �14,17m/s


02.qxd 9/18/08 12:05 PM Óåëßäá 90


⇒ �1

2� �1,6 � (t2 + 8t + 16) = �

1

2� � 2,5 � t2 ⇒

⇒ 1,6t2 + 12,8t + 25 = 2,5t2 ⇒

⇒ 0,9t2 – 12,8t – 25,6 = 0

Áðü ôçí åðßëõóç ôç ôåëåõôáßáò (äåõôåñïâÜèìéáò åîßóùóçò ðñïêýðôïõí äýï ëýóåéò:

t1 = 16s

t2 = –1,77s

ÐáñáäåêôÞ ëýóç åßíáé ìüíï ç t1, óõíåðþò ï æçôïýìåíïò ÷ñüíïò åßíáé

â) SA =�1

2� áÁ(t+4)2 = �

1

2� � 1,6 � (16+4)2

⇒

ã) SB =SA ⇒

ã) áõôïêßíçôï Á: õA = áÁ(t + Ät) = 1,6m/s2 �(16+4) ⇒

ã) áõôïêßíçôï Â: õB = áBt = 2,5 m/s2 � 16s ⇒

ä)

Ôï áõôïêßíçôï Â áñ÷ßæåé íá êéíåßôáé 4s ìåôÜ áðü ôï áõôïêßíçôï Á, åíþ 20s ìåôÜ

ôçí Ýíáñîç ôçò êßíçóçò ôïõ áõôïêéíÞôïõ Á, ôá äýï áõôïêßíçôá Ý÷ïõí ôéò ôá÷ýôçôåò

ðïõ âñÞêáìå óôï åñþôçìá ã.

¢óêçóç 12: Ïé åîéóþóåéò èÝóçò äýï óùìÜôùí Á êáé Â ðïõ êéíïýíôáé êáôÜ ìÞ-

êïò âáèìïëïãìÝíïõ Üîïíá, åßíáé áíôßóôïé÷á:

xA = 2t2 (S.I.) êáé xÂ = 5t (S.I.)

Áí ç êßíçóç ôùí äýï óùìÜôùí áñ÷ßæåé ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t0 = 0s:

á) Íá ÷áñáêôçñßóåôå ôï åßäïò ôçò êßíçóçò êÜèå óþìáôïò

õ(m/s)

t(s)0

40

4

32Á

Â

20

õB = 40 m/s

õA = 32m/s

SB = 320 m

SA = 320 m

t=16s

02.qxd 9/18/08 12:05 PM Óåëßäá 91

â) Íá õðïëïãßóåôå ôçí ôá÷ýôçôá ôïõ óþìáôïò Á êáé ôç èÝóç ôïõ

óþìáôïò Â ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t=3s.

ã) Ðïéá ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ ôçò óõíÜíôçóçò ôùí äýï óùìÜôùí;

ä) Íá ãßíïõí óå êïéíÜ óõóôÞìáôá áîüíùí ôá äéáãñÜììáôá ôá÷ý-

ôçôáò-÷ñüíïõ (õ-t) êáé èÝóçò-÷ñüíïõ (x-t) ãéá ôá äýï óþìáôá.

Ëýóç

á) óþìá Á: åêôåëåß åõèýãñáììç ïìáëÜ åðéôá÷õíüìåíç êßíçóç, äéüôé ç åîßóùóç

èÝóçò ôïõ åßíáé ôçò ìïñöÞò x = �1

2� át2

á)óþìá Â: åêôåëåß åõèýãñáììç ïìáëÞ êßíçóç, äéüôé ç åîßóùóç èÝóçò ôïõ åßíáé

ôçò ìïñöÞò x = õt

â) óþìá Á: � ⇒ �1

2� áÁ = 2 ⇒ áÁ = 4m/s2

Áðü ôçí åîßóùóç ôá÷ýôçôáò ôïõ óþìáôïò Á Ý÷ïõìå:

õA = áÁt = 4 m/s2 � 3s ⇒

óþìá Â: xB = 5t =5 m/s � 3s ⇒

ã) ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t ôçò óõíÜíôçóçò ôùí äýï óùìÜôùí éó÷ýåé xÁ = xÂ:

� ===>xÁ = xÂ

2t2 = 5t ⇒ 2t = 5 ⇒

ä) Ïé åîéóþóåéò êßíçóçò ôùí äýï óùìÜôùí åßíáé:

óþìá Á: (S.I.) óþìá Â: (S.I.)

õ(m/s)

t(s)0

5

Á

Â

x(m)

t(s)0

12,5

ÁÂ

2,5

õB = 5 m/s

xB = 5t

õA = 4 �t

xA = 2t2

t = 2,5sxA = 2t2

xB = 5t

xB = 15m

õA = 12 m/s

xA = 2t2

xA = �1

2� áÁt2


02.qxd 9/18/08 12:05 PM Óåëßäá 92

¢óêçóç 13: Äßíåôáé ôï áêüëïõèï äéÜãñáììá åðéôÜ÷õíóçò-÷ñüíïõ (á-t)

ãéá Ýíá óþìá ðïõ êéíåßôáé ðñïò ôç öïñÜ ðïõ Ý÷ïõìå ïñßóåé

ùò èåôéêÞ êáé ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t0 = 0s, âñßóêåôáé óôç èÝóç

x0 = 0m êáé åßíáé áêßíçôï:

á) Íá ÷áñáêôçñßóåôå ôá åßäç ôùí êéíÞóåùí ðïõ ðñáãìáôïðïéåß ôï

óþìá

â) Íá êáôáóêåõÜóåôå ôï áíôßóôïé÷ï äéÜãñáììá ôá÷ýôçôáò-÷ñüíïõ

(õ-t)

ã) Ðïéá åßíáé ç èÝóç ôïõ óþìáôïò ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t = 10s;

ä) Íá êáôáóêåõÜóåôå ôï áíôßóôïé÷ï äéÜãñáììá èÝóçò-÷ñüíïõ

(x-t).

Ëýóç

á) (0 →→ 4)s: åõèýãñáììç ïìáëÜ åðéôá÷õíüìåíç êßíçóç, ìå åðéôÜ÷õíóç

á1 = 3 m/s2

á) (4 →→ 10)s: åõèýãñáììç ïìáëÞ êßíçóç.

á) (10 →→ 16)s: åõèýãñáììç ïìáëÜ åðéâñáäõíüìåíç êßíçóç, ìå åðéâñÜäõíóç

á2=–2 m/s2

â) (0 →→ 4)s: Ç åîßóùóç ôá÷ýôçôáò-÷ñüíïõ åßíáé õ = 3t (S.I.)

á) (4 →→ 10)s: ç ôá÷ýôçôá åßíáé óôáèåñÞ êáé ßóç ìå õ = 3 m/s2 � 4s ⇒

⇒ õ = 12 m/s

á) (10 →→ 16)s: ç åîßóùóç ôá÷ýôçôáò-÷ñüíïõ åßíáé õ = 12 – 2t (S.I.). Óôï ôÝëïò

ôïõ ÷ñïíéêïý áõôïý äéáóôÞìáôïò, ç ôá÷ýôçôá ôïõ óþìáôïò

åßíáé õ = (12 – 2 � 6)m/s = 0m/s

á(m/s )2

t(s)0 4 10

3

–2

16


02.qxd 9/18/08 12:05 PM Óåëßäá 93

ã) ÌÝ÷ñé ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t = 10s, ç ìåôáôüðéóç ôïõ óþìáôïò åßíáé:

Äx = E1 + E2 = �âÜóç

2

� ýøïò� + âÜóç � ýøïò = ��

4 �

2

12� + 6 � 12�m ⇒ Äx = 96m

¼ìùò Äx = x – x0 ⇒ x = Äx + x0 = (96 + 0)m ⇒

ä)

¢óêçóç 14: Êéíçôü ðåñíÜ ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t0 = 0s áðü Ýíá óçìåßï Á ìå ôá-

÷ýôçôá õ0 = 20m/s. Ôï êéíçôü ðñáãìáôïðïéåß åõèýãñáììç ïìáëÞ

êßíçóç ìÝ÷ñé ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t1= 4s êáé óôç óõíÝ÷åéá åðéôá÷ý-

íåôáé ìå óôáèåñÞ åðéôÜ÷õíóç. Ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t2 = 9s ôï êéíçôü

áðÝ÷åé áðü ôï óçìåßï Á äéÜóôçìá S=205m êáé áñ÷ßæåé íá åðéâñá-

äýíåôáé ìå óôáèåñÞ åðéâñÜäõíóç ãéá ÷ñüíï 4s, ìÝ÷ñé ç ôá÷ýôçôÜ

ôïõ íá ìåéùèåß óôï �1

3� ôçò ôá÷ýôçôáò ðïõ åß÷å ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ

t2. Íá âñåßôå:

á) ôçí åðéôÜ÷õíóç ôïõ êéíçôïý óôï ÷ñïíéêü äéÜóôçìá (4 →→ 9)s,

â) ôçí ôá÷ýôçôá õ2 ôïõ êéíçôïý ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t2 ,

ã) ôçí åðéâñÜäõíóç ôïõ êéíçôïý óôï ôåëåõôáßï êïììÜôé ôçò êßíç-

óÞò ôïõ,

x(m)

t(s)0 4 1610

24

96

132

x = 96 m

õ(m/s)

t(s)0 4 1610

12

E1

E2E3


02.qxd 9/18/08 12:05 PM Óåëßäá 94

å) ôçí ðïéïôéêÞ ìïñöÞ ôùí äéáãñáììÜôùí ôá÷ýôçôáò-÷ñüíïõ (õ-t)

êáé äéáóôÞìáôïò-÷ñüíïõ (S-t) ãéá ôï ÷ñïíéêü äéÜóôçìá

(0 →→ 13)s.

Ëýóç

á)

(0 →→ 4)s: õ0 = �t1

S

–1

t0� ⇒ S1 = õ0(t1 – t0) = 20m/s � (4 – 0)s ⇒ S1 = 80m

(4 →→ 10)s: S2 = õ0(t2 – t1) + �1

2�á1(t2 – t1)

2⇒

⇒ S – S1 = õ0(t2 – t1) + �1

2�á1(t2 – t1)

2⇒

⇒ �1

2�á1(t2 – t1)

2 = S – S1 – õ0(t2 – t1) ⇒

⇒ á1 = 2 � = 2 ��205–8

(9

0

–

–

4

2

)

02

(9–4)�m/s2

⇒

â) õ2 = õ0 + á1(t2 – t1) = 20 + 2(9–4) ⇒

ã) ôï êéíçôü åðéâñáäýíåôáé ãéá 4s, äçëáäÞ óôï ÷ñïíéêü äéÜóôçìá (9-13)s:

õ = õ2 – á2t ===>õ=õ2/3

t=t3–t2�õ

32� = õ2 – á2(t3 – t2) ⇒

⇒ á2(t3 – t2) = �2

3

õ2� ⇒ á2 = �3(t

2

3

õ

–2

t2)� = �

3(

2

1

�

3

3

–

0

9)� m/s2

⇒

⇒ á2 = 5m/s2 (ìÝôñï åðéâñÜäõíóçò).

Óõíåðþò ç åðéâñÜäõíóç ôïõ êéíçôïý åßíáé á2 =–5m/s2

õ2 = 30m/s

á1 = 2 m/s2

S – S1 – õ0(t2 – t1)��(t2 – t1)

2

õ0

S1

õ0

t0=0s t1=4s

õ2 õ2/3

t2=9s t3=13s

A S2

S


02.qxd 9/18/08 12:05 PM Óåëßäá 95

ä) Ôï æçôïýìåíï äéÜóôçìá S´ åßíáé ôï äéÜóôçìá ðïõ äéáíýåé ôï êéíçôü ìåôáîý ôùí

÷ñïíéêþí óôéãìþí t´1 = 1s êáé t´2 = 2s.

å) (0 →→ 1)s: S´1 = õ0(t´1 – t0) = 20m/s � (1 – 0)s ⇒ S´1 = 20m

å) (0 →→ 2)s: S´2 = õ0(t´2 – t0) = 20m/s � (2 – 0)s ⇒ S´2 = 40m

S′ = S´2 – S´1 = (40 – 20)m ⇒

å) (0 →→ 4)s: åõèýãñáììç ïìáëÞ êßíçóç, ìå ôá÷ýôçôá õ0 = 20m/s.

å) (4 →→ 9)s: åõèýãñáììç ïìáëÜ åðéôá÷õíüìåíç êßíçóç, ìå åðéôÜ÷õíóç

á1 = 2 m/s2.

å) (9 →→ 13)s: åõèýãñáììç ïìáëÜ åðéâñáäõíüìåíç êßíçóç, ìå åðéâñÜäõíóç

á2 = –5 m/s2.

¢óêçóç 15: ¸íá áõôïêßíçôï êáé ìéá ìç÷áíÞ âñßóêïíôáé óå åõèýãñáììï äñüìï

êáé áðÝ÷ïõí ìåôáîý ôïõò S=300m. ÊÜðïéá ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ îåêé-

íïýí ôáõôü÷ñïíá íá êéíïýíôáé áíôßññïðá ìå åðéôá÷ýíóåéò áA = 6

m/s2 êáé áÌ = 8 m/s2 áíôßóôïé÷á.

á) Íá âñåßôå ôç ó÷Ýóç ðïõ óõíäÝåé ôéò ôá÷ýôçôåò ôùí äýï ï÷çìÜ-

ôùí ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ ôçò óõíÜíôçóÞò ôïõò.

â) Óå ðüóç áðüóôáóç áðü ôçí áñ÷éêÞ èÝóç ôïõ áõôïêéíÞôïõ èá

óõíáíôçèïýí ôá äýï ï÷Þìáôá. ÌåôÜ áðü ðüóï ÷ñüíï èá óõíá-

íôçèïýí;

Ëýóç:

á)

S

õM

SA

õA

áA

SÌ

S(m)

t(s)0

õ(m/s)

t(s)0

S′′ = 20m


02.qxd 9/18/08 12:05 PM Óåëßäá 96

¸óôù t ï ÷ñüíïò ðïõ áðáéôåßôáé ãéá íá óõíáíôçèïýí ôá äýï ï÷Þìáôá ìåôÜ ôçí Ý-

íáñîç ôçò êßíçóÞò ôïõò:

áõôïêßíçôï: õA = áÁt ⇒ t = �á

õ

Á

Á� (1)

ìç÷áíÞ: õÌ = áÌ � t ⇒(1)

õÌ = áÌ�á

õ

Á

Á� ⇒

⇒ õÌ = �á

áÌ

Á

� � õA = �8

6� õA ⇒

� ====>S

A+S

M=S

⇒ S = �1

2� áÁ t2 + �

1

2� áM t2 ⇒ S = �

1

2�(áÁ + áM) � t2 ⇒

⇒ t2 = �áÁ

2

+

S

áM

� ⇒ t = ��á�Á�2

+�S�á�M

�� = ��2�6

��+

1�1

8�2��s ⇒

S = �1

2� áÁ t2 = ��

1

2� � 6 � 42�m ⇒

ÅÑÙÔÇÓÅÉÓ


Ç åðéôÜ÷õíóç åßíáé ôï öõóéêü ìÝãåèïò ðïõ åêöñÜæåé ôï ðüóï ãñÞãïñá ìåôá-

âÜëëåôáé ç ...................... åíüò óþìáôïò. Åßíáé ................ öõóéêü ìÝãåèïò êáé

ïñßæåôáé áðü ôç ó÷Ýóç .................... ÌïíÜäá åðéôÜ÷õíóçò óôï S.I. åßíáé ôï

......................

Ôé óçìáßíåé åðéôÜ÷õíóç ßóç ìå 4 m/s2; Ðïéá åßíáé ç ìåôáâïëÞ ôçò ôá÷ýôçôáò

óå ÷ñüíï 2s;


óåéò:

á) ç åðéôÜ÷õíóç åßíáé äéáíõóìáôéêü öõóéêü ìÝãåèïò �

1.61

1.60

1.59

SA = 48m

t = 4s

â) áõôïêßíçôï: SA = �1

2� áÁ t2

ìç÷áíÞ: SM = �1

2� áM t2

õÌ = ��4

3�� õA


02.qxd 9/18/08 12:05 PM Óåëßäá 97

â) ç åðéôÜ÷õíóç éóïýôáé ìå ôç ìåôáâïëÞ ôçò ôá÷ýôçôáò �

ã) ìïíÜäá åðéôÜ÷õíóçò óôï S.I åßíáé ôï 1 m/s2�

ä) ç áëãåâñéêÞ ôéìÞ ôçò åðéôÜ÷õíóçò åßíáé ðÜíôá èåôéêÞ �

Ðïéï áðü ôá ðáñáêÜôù äéáíýóìáôá áíôáðïêñßíåôáé óôï äéÜíõóìá ôçò åðéôÜ-

÷õíóçò á→

ìå ôçí ïðïßá êéíåßôáé ôï áõôïêßíçôï ôïõ ó÷Þìáôïò;

á) ← â) � ã) → ä) ↑

Ìå ðïéåò áðü ôéò áêüëïõèåò ðñïôÜóåéò óõìöùíåßôå;

á) Ç åðéôÜ÷õíóç åßíáé ðÜíôá ïìüññïðç ôçò ôá÷ýôçôáò.

â) Óôçí åõèýãñáììç ïìáëÞ êßíçóç, ç åðéôÜ÷õíóç åßíáé ìçäÝí.

ã) Ç åðéôÜ÷õíóç åêöñÜæåé ôï ñõèìü ìåôáâïëÞò ôçò ôá÷ýôçôáò.

ä) ÁñíçôéêÞ åðéôÜ÷õíóç óçìáßíåé üôé ç áëãåâñéêÞ ôéìÞ ôçò ôá÷ýôçôáò ìåéþíåôáé


óåéò:

Óå êÜèå åõèýãñáììç ïìáëÜ ìåôáâáëëüìåíç êßíçóç:

á) óå ßóá ÷ñïíéêÜ äéáóôÞìáôá Ý÷ïõìå ßóåò ìåôáâïëÝò ôçò ôá÷ýôçôáò�

â) ç ôá÷ýôçôá áëëÜæåé ìÝôñï�

ã) óå ßóá ÷ñïíéêÜ äéáóôÞìáôá Ý÷ïõìå ßóåò ìåôáôïðßóåéò�

ä) ç åðéôÜ÷õíóç åßíáé óôáèåñÞ �

Äþóôå ôïí ïñéóìü ôçò åõèýãñáììçò ïìáëÜ ìåôáâáëëüìåíçò êßíçóçò. Óå

ðïéåò ðåñéðôþóåéò äéáêñßíåôáé;


¼ôáí ôï ìÝôñï ôçò ôá÷ýôçôáò áõîÜíåôáé, ç êßíçóç åßíáé.....................

¼ôáí ôï ìÝôñï ôçò ôá÷ýôçôáò ìåéþíåôáé, ç êßíçóç åßíáé ...........................

Óôçí åõèýãñáììç ïìáëÜ ìåôáâáëëüìåíç êßíçóç, ç .......... åßíáé óôáèåñÞ.

Óõìðëçñþóôå êáôÜëëçëá ôá óôïé÷åßá ðïõ ëåßðïõí óôéò ðáñáêÜôù åéêüíåò:1.67

1.66

1.65

1.64

1.63

Äõ1.62


02.qxd 9/18/08 12:05 PM Óåëßäá 98

á) â)

ã) ä)

Óôçí åõèýãñáììç ïìáëÜ åðéâñáäõíüìåíç êßíçóç:

á) ç ôá÷ýôçôá åßíáé áñíçôéêÞ,

â) ôá äéáíýóìáôá á→

êáé Äõ→

åßíáé áíôßññïðá

ã) ç öïñÜ êßíçóçò åßíáé áíôßèåôç áðü áõôÞí ðïõ Ý÷ïõìå ïñßóåé ùò èåôéêÞ

ä) ôá äéáíýóìáôá á→

êáé õ→

åßíáé áíôßññïðá.

Ðïéá áðü ôéò ðáñáðÜíù ðñïôÜóåéò åßíáé ç óùóôÞ;

Áíôéóôïé÷åßóôå êáôÜëëçëá óôéò óôÞëåò ðïõ áêïëïõèïýí:

á) õ>0, á<0 1) åðéôá÷õíüìåíç

â) õ<0, á=0 2) åðéâñáäõíüìåíç

ã) õ<0, á<0 3) ïìáëÞ

ä) õ>0, á>0

å) õ<0, á>0

óô) õ>0, á=0

Óå ìéá ïìáëÜ ìåôáâáëëüìåíç êßíçóç ç åðéôÜ÷õíóç åßíáé á = –2m/s2. ¸íáò

ìáèçôÞò õðïóôçñßæåé üôé ç êßíçóç åßíáé åðéâñáäõíüìåíç. Óõìöùíåßôå ìå

ôçí Üðïøç áõôÞ; Äéêáéïëïãåßóôå ôçí áðÜíôçóÞ óáò.


Ç ôá÷ýôçôá åêöñÜæåé ôï ñõèìü ìåôáâïëÞò ôçò ................

1.71

1.70

1.69

1.68

á(+)

. . . .


õ

á(+)

. . . . . . . . . . . . . . .

õ(+). . . .


õ

á(+)

. . . . . . . . . . . . . . .


02.qxd 9/18/08 12:05 PM Óåëßäá 99


Ç åðéôÜ÷õíóç åêöñÜæåé ôï ñõèìü ìåôáâïëÞò ôçò ..........................

Óôçí åõèýãñáììç ïìáëÞ êßíçóç ç ................. ðáñáìÝíåé óôáèåñÞ

Óôçí åõèýãñáììç ïìáëÜ ìåôáâáëëüìåíç êßíçóç ç ......................ðáñáìÝíåé

óôáèåñÞ.

Ðïéåò áðü ôéò ðáñáêÜôù óõíèÞêåò åßíáé áñêåôÝò ãéá íá ÷áñáêôçñéóôåß ìéá

êßíçóç åõèýãñáììç ïìáëÜ ìåôáâáëëüìåíç;

á) Ôï äéÜíõóìá ôçò ôá÷ýôçôáò åßíáé óôáèåñü

â) Ç ôá÷ýôçôá ìåôáâÜëëåôáé áíÜëïãá ìå ôï ÷ñüíï.

ã) Ôï ìÝôñï êáé ç äéåýèõíóç ôçò åðéôÜ÷õíóçò åßíáé óôáèåñÜ.

ä) Ôï äéÜíõóìá ôçò åðéôÜ÷õíóçò åßíáé óôáèåñü.

å) Ï ñõèìüò ìåôáâïëÞò ôçò ôá÷ýôçôáò åßíáé óôáèåñüò


óåéò:

á) Ï ñõèìüò ìåôáâïëÞò ôçò ôá÷ýôçôáò óôçí åõèýãñáììç ïìáëÜ åðéôá÷õíü-

ìåíç êßíçóç åßíáé ðÜíôá èåôéêüò�

â) Óôçí åðéâñáäõíüìåíç êßíçóç ìðïñåß íá éó÷ýåé á>0�

ã) ¼ôáí ôá äéáíýóìáôá õ→

êáé á→

åßíáé ïìüññïðá, ç êßíçóç åßíáé åðéôá÷õíüìå-

íç.�

ä) Ç åõèýãñáììç ïìáëÜ åðéôá÷õíüìåíç êßíçóç ãßíåôáé ðÜíôá ðñïò ôç èåôéêÞ

öïñÜ. �

Ðïéá åßíáé ç ó÷Ýóç ïñéóìïý ôçò åðéôÜ÷õíóçò;

Íá ó÷åäéÜóåôå ôï äéÜãñáììá åðéôÜ÷õíóçò-÷ñüíïõ óå ìéá åõèýãñáììç ï-

ìáëÜ åðéôá÷õíüìåíç êßíçóç.

Íá áðïäåßîåôå ôçí åîßóùóç ôçò ôá÷ýôçôáò óå ìéá åõèýãñáììç ïìáëÜ åðé-

ôá÷õíüìåíç êßíçóç ìå áñ÷éêÞ ôá÷ýôçôá.

Óõìðëçñþóôå ìå ôá êáôÜëëçëá óýìâïëá ôá êåíÜ óôéò åîéóþóåéò ðïõ áêï-

ëïõèïýí êáé áíáöÝñïíôáé óå åõèýãñáììåò ïìáëÜ ìåôáâáëëüìåíåò êéíÞ-

óåéò:

á) õ = õ0 + ...: t â) x = �1

2� ..... t2

ã) õ = ..... – át ä) x = õ0t – �1

2� á ...

å) á = �..

Ä

..

t

..� óô) õ = ..... � ......, üôáí õ0 = 0.

1.76

1.75

1.74

1.73

1.72

02.qxd 9/18/08 12:05 PM Óåëßäá 100

Óôï ðáñáðÜíù äéÜãñáììá ðáñéóôÜíïíôáé ãñáöéêÜ ïé ôá÷ýôçôåò äýï êéíç-

ôþí (1) êáé (2) óå óõíÜñôçóç ìå ôï ÷ñüíï.

á) Ðïéï åßíáé ôï åßäïò ôçò êßíçóçò ðïõ ðñáãìáôïðïéïýí ôá äýï êéíçôÜ;

â) Ðïéï áðü ôá äýï êéíçôÜ Ý÷åé ìåãáëýôåñç åðéôÜ÷õíóç;

Íá áðïäåßîåôå ôçí åîßóùóç ôçò èÝóçò óå ìéá åõèýãñáììç ïìáëÜ ìåôáâáë-

ëüìåíç êßíçóç ìå áñ÷éêÞ ôá÷ýôçôá. ÃñÜøôå ôéò åîéóþóåéò ðïõ ðñïêýðôïõí

ãéá ôçí åðéôá÷õíüìåíç êáé ôçí åðéâñáäõíüìåíç êßíçóç. Íá ó÷åäéáóôïýí ôá

áíôßóôïé÷á äéáãñÜììáôá (x-t).


á) Óôï ÷ñïíéêü äéÜóôçìá (0 → t1) ç êßíçóç åßíáé åõèýãñáììç ïìáëÜ åðéâñá-

äõíüìåíç.

â) Ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t1 ç ôá÷ýôçôá ìçäåíßæåôáé

ã) Óôï ÷ñïíéêü äéÜóôçìá (t1 → t2) ç êßíçóç åßíáé åõèýãñáììç ïìáëÜ åðéâñá-

äõíüìåíç.

ä) Ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t1 áëëÜæåé n öïñÜ ôçò êßíçóçò

õ

á=óôáèåñÞ1.80

õ

t0 t1

õ0

t2

1.79

1.78

õ

t0

(2)

(1)

1.77


02.qxd 9/18/08 12:05 PM Óåëßäá 101

Ðïéåò áðü ôéò ðáñáêÜôù åîéóþóåéò áíôáðïêñßíïíôáé óôï åßäïò ôçò êßíçóçò

ôïõ äñïìÝá;

á) õ = át â) x = õt

ã) õ = õ0 + át ä) x = õ0t – �1

2� á t2

å) õ = õ0 – á t óô) x = õ0t + �1

2� á t2

Äßíåôáé ï áêüëïõèïò ðßíáêáò ôéìþí ãéá Ýíá êéíçôü ðïõ ðñáãìáôïðïéåß åõ-

èýãñáììç ïìáëÜ åðéôá÷õíüìåíç êßíçóç:

á) Ðïéá åßíáé ç åðéôÜ÷õíóç ôïõ êéíçôïý;

â) Íá óõìðëçñùèåß ï ðáñáðÜíù ðßíáêáò

Ôï ðáñáðÜíù äéÜãñáììá ðåñéãñÜöåé ôçí êßíçóç åíüò óþìáôïò

á) Ç êßíçóç ðïõ ðñáãìáôïðïéåß ôï óþìá åßíáé .........................

â) Ç åðéôÜ÷õíóç ôïõ óþìáôïò åßíáé:

á) iii) 2,5 m/s2 á) iii) –2,5m/s

á) iii) 2,5m/s á) iv) –2,5m/s2

ã) Ôï óõíïëéêü äéÜóôçìá ðïõ äéáíýåé ôï óþìá ìÝ÷ñé íá óôáìáôÞóåé åßíáé:

á) ii) 40m

á) ii) 20m

Óôá åñùôÞìáôá â êáé ã íá åðéëÝîåôå ôç óùóôÞ áðÜíôçóç

õ(m/s)

t(s)0

10

4

1.82

1.81


t(s) õ(m/s) S(m)

0 5 0

1 7

11 24

5 50

02.qxd 9/18/08 12:05 PM Óåëßäá 102

Óå ðïéï åßäïò êßíçóçò áíôéóôïé÷åß êáèÝíá áðü ôá ðáñáêÜôù äéáãñÜììáôá;

á. 1. åõèýãñáììç ïìáëÜ åðéôá÷õíü-

ìåíç

â. 2. åõèýãñáììç ïìáëÞ

ã.

3. åõèýãñáììç ïìáëÜ åðéâñáäõíüìåíç

ä.

4. áêéíçóßá

å.

óô. x

t0

x

t0

á

t0

õ

t0

x

t0

õ

t0

1.83


02.qxd 9/18/08 12:05 PM Óåëßäá 103


Óôéò åõèýãñáììåò ïìáëÜ ìåôáâáëëüìåíåò êéíÞóåéò:

á) áðü ôï äéÜãñáììá ............................ âñßóêïõìå ôçí åðéôÜ÷õíóç, õðïëïãß-

æïíôáò ôçí .................... ôçò ãñáöéêÞò ðáñÜóôáóçò

â) áðü ôï äéÜãñáììá ôá÷ýôçôáò-÷ñüíïõ âñßóêïõìå ôï..............................., õ-

ðïëïãßæïíôáò ôï ..................... ôïõ ôìÞìáôïò ìåôáîý ôçò ãñáöéêÞò ðáñÜ-

óôáóçò êáé ôïõ Üîïíá ôùí ÷ñüíùí.

Ôï ðáñáêÜôù äéÜãñáììá áíáöÝñåôáé óôçí êßíçóç åíüò óþìáôïò ÷ùñßò áñ-

÷éêÞ ôá÷ýôçôá:


óåéò:

á) ç êßíçóç ðïõ ðñáãìáôïðïéåß ôï óþìá åßíáé åõèýãñáììç ïìáëÜ

åðéôá÷õíüìåíç �

â) ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t = 2,5s ôï óþìá Ý÷åé äéáíýóåé 25m �

ã) ç åðéôÜ÷õíóç ìå ôçí ïðïßá êéíåßôáé ôï óþìá åßíáé 4m/s2 �

ä) ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t1 = 3s ôï óþìá Ý÷åé ìåãáëýôåñç ôá÷ýôçôá áðü ôç ÷ñï-

íéêÞ óôéãìÞ t2 = 5s. �

Äßíåôáé ôï ðáñáêÜôù äéÜãñáììá ôá÷ýôçôáò-÷ñüíïõ (õ-t) ãéá Ýíá óþìá:

Ìå ðïéåò áðü ôéò áêüëïõèåò ðñïôÜóåéò óõìöùíåßôå;

õ(m/s)

t(s)0 2 128

12

1.86

S(m)

t(s)0

50

53

1.85

1.84


02.qxd 9/18/08 12:05 PM Óåëßäá 104

á) óôï ÷ñïíéêü äéÜóôçìá (2 → 8)s ôï óþìá ðáñáìÝíåé áêßíçôï.

â) ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t = 8s, ôï óþìá áñ÷ßæåé íá åðéâñáäýíåôáé.

ã) óôá ÷ñïíéêÜ äéáóôÞìáôá (0 → 2)s êáé (8 → 12)s ôï óþìá ðñáãìáôïðïéåß ï-

ìáëÜ ìåôáâáëëüìåíåò êéíÞóåéò.

ä) óôï ÷ñïíéêü äéÜóôçìá (8 → 12)s ôï óþìá êéíåßôáé ðñïò ôçí áíôßèåôç öïñÜ.

Ìå ôç âïÞèåéá ôïõ ðáñáðÜíù äéáãñÜììáôïò íá ÷áñáêôçñßóåôå ôá åßäç ôùí

êéíÞóåùí ðïõ ðñáãìáôïðïéåß ôï óþìá óôï ïðïßï áíáöÝñåôáé ôï äéÜãñáì-

ìá.

Äßíåôáé ôï áêüëïõèï äéÜãñáììá åðéôÜ÷õíóçò-÷ñüíïõ (á – t), ãéá Ýíá óþìá

ôï ïðïßï êéíåßôáé êáôÜ ôç èåôéêÞ öïñÜ ÷ùñßò áñ÷éêÞ ôá÷ýôçôá:

Ðïéá áðü ôá ðáñáêÜôù äéáãñÜììáôá ôá÷ýôçôáò – ÷ñüíïõ (õ-t) áíôáðïêñß-

íåôáé óôçí êßíçóç ôïõ óþìáôïò;

Á. Â. õ

t0 t1 t2 t3 t4

õ

t0 t1 t2 t3 t4

á

t0 t1 t2 t3 t4

1.88

õ

t0 t1

õ0

t2 t3 t4 t5 t6

1.87


02.qxd 9/18/08 12:05 PM Óåëßäá 105

Ã. Ä.

Ï áêüëïõèïò ðßíáêáò ôéìþí áíáöÝñåôáé óôéò êéíÞóåéò ôñéþí óùìÜôùí Á, Â

êáé Ã:

Óõìðëçñþóôå ôá êåíÜ:

á) Ôï óþìá Á ðñáãìáôïðïéåß åõèýãñáììç .................................. êßíçóç

â) Ôï óþìá Â ðñáãìáôïðïéåß åõèýãñáììç .................................. êßíçóç

ã) Ôï óþìá Ã ðñáãìáôïðïéåß åõèýãñáììç ............................... êßíçóç

Óþìá ðïõ áñ÷éêÜ åßíáé áêßíçôï áñ÷ßæåé íá åðéôá÷ýíåôáé ìå óôáèåñÞ åðéôÜ-

÷õíóç ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t0 = 0s. Áðü ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t1 êáé ìåôÜ ôï óþ-

ìá ðñáãìáôïðïéåß åõèýãñáììç ïìáëÞ êßíçóç ìÝ÷ñé ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t2, ï-

ðüôå áñ÷ßæåé íá åðéâñáäýíåôáé ìå óôáèåñÞ åðéâñÜäõíóç. Tç ÷ñïíéêÞ óôéã-

ìÞ t3 ôï óþìá óôáìáôÜ. Íá ó÷åäéÜóåôå ðïéïôéêÜ ôï äéÜãñáììá ôá÷ýôçôáò –

÷ñüíïõ (õ-t) ãéá ôï óþìá áõôü.

Óôï áêüëïõèï äéÜãñáììá äéáóôÞìáôïò-÷ñüíïõ (S-t) ðáñéóôÜíïõìå ôçí êß-

íçóç ôåóóÜñùí óùìÜôùí Á, Â, Ã êáé Ä:

1.91

1.90

1.89

õ

t0 t1 t2 t3 t4

õ

t0 t1 t2 t3 t4


t(s)A

õ(m/s)

B

S(m)

Ã

S(m)

0 0 0 0

1 2 4 9

2 4 8 16

3 6 12 21

4 8 16 24

5 10 20 25

02.qxd 9/18/08 12:05 PM Óåëßäá 106

Ìå ðïéá áðü ôéò ðáñáêÜôù ðñïôÜóåéò óõìöùíåßôå;

á) Ç ôá÷ýôçôá ôïõ Á åßíáé ìçäÝí, ôï Ä ðñáãìáôïðïéåß åðéôá÷õíüìåíç êßíçóç,

ôï Ã Ý÷åé ìçäåíéêÞ åðéôÜ÷õíóç êáé ç ôá÷ýôçôá ôïõ Â áõîÜíåôáé.

â) Ôï Ã ðñáãìáôïðïéåß åõèýãñáììç ïìáëÞ êßíçóç, ç ôá÷ýôçôá ôïõ Ä áõîÜíå-

ôáé, ôï Â Ý÷åé óôáèåñÞ åðéôÜ÷õíóç êáé ç ôá÷ýôçôá ôïõ Á åßíáé óôáèåñÞ.

ã) Ôï Á ðáñáìÝíåé áêßíçôï, ç ôá÷ýôçôá ôïõ Â ìåéþíåôáé, ôï Ä Ý÷åé óôáèåñÞ å-

ðéôÜ÷õíóç êáé ôï Ã óå ßóïõò ÷ñüíïõò äéáíýåé ßóá äéáóôÞìáôá.

ä) Ôï Â ðñáãìáôïðïéåß åðéâñáäõíüìåíç êßíçóç, ç ôá÷ýôçôá ôïõ Ã áõîÜíåôáé,

ç åðéôÜ÷õíóç ôïõ Á åßíáé ìçäÝí êáé ôï Ä Ý÷åé óôáèåñÞ åðéôÜ÷õíóç.

Äßíåôáé ôï áêüëïõèï äéÜãñáììá ôá÷ýôçôáò – ÷ñüíïõ (õ-t) ãéá Ýíá óþìá:

Ó÷åäéÜóôå ðïéïôéêÜ ôï äéÜãñáììá äéáóôÞìáôïò – ÷ñüíïõ (S-t) ãéá ôï óþìá áõ-

ôü.

Äßíåôáé ôï ðáñáêÜôù êïéíü äéÜãñáììá ôá÷ýôçôáò – ÷ñüíïõ (õ-t) ãéá äýï êé-

íçôÜ Á êáé Â:

õ

t(s)0

õ1

t1

õ0ù

ù

Á

Â

1.93

õ

t0 t1 t2 t3 t4

1.92

S

t(s)0

ÄÃ

Â

Á


02.qxd 9/18/08 12:05 PM Óåëßäá 107


óåéò:

á) Ôá äýï êéíçôÜ åêôåëïýí åõèýãñáììç ïìáëÜ åðéôá÷õíüìåíç êßíçóç �

â) Ôï êéíçôü Â Ý÷åé ìåãáëýôåñç åðéôÜ÷õíóç áðü ôï êéíçôü Á �

ã) Ôá äýï êéíçôÜ êéíïýíôáé óõíå÷þò ôï Ýíá äßðëá óôï Üëëï �

ä) Óôï ÷ñïíéêü äéÜóôçìá (0 → t1) õðÜñ÷åé ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ êáôÜ ôçí ïðïßá ïé

ôá÷ýôçôåò ôùí äýï êéíçôþí åßíáé ßóåò. �

å) Ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t1 åßíáé õ1 = 2õ0. �

óô) Óôï ÷ñïíéêü äéÜóôçìá (0 → t1) ôï êéíçôü Á Ý÷åé äéáíýóåé

äéÜóôçìá SA = �õ

20t1�. �

Ôï áêüëïõèï äéÜãñáììá ôá÷ýôçôáò – ÷ñüíïõ (õ-t) áíáöÝñåôáé óôçí êßíçóç

åíüò óþìáôïò:


á) Óôï ÷ñïíéêü äéÜóôçìá (0 → t2) ôï óþìá ðñáãìáôïðïéåß åõèýãñáììç ïìáëÜ

åðéôá÷õíüìåíç êßíçóç.

â) Óôï ÷ñïíéêü äéÜóôçìá (t1 → t2) ôï óþìá äéáíýåé äéÜóôçìá ßóï ìå õ1(t2 – t1).

ã) Óôï ÷ñïíéêü äéÜóôçìá (t3 → t4) ç êßíçóç åßíáé åõèýãñáììç ïìáëÜ åðéâñá-

äõíüìåíç

ä) Ç ìÝóç ôá÷ýôçôá ôïõ óþìáôïò óôï ÷ñïíéêü äéÜóôçìá (0 → t4) åßíáé ßóç ìå õ1.

å) Ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t3 ôï óþìá âñßóêåôáé óôç èÝóç ðïõ âñéóêüôáí ôç ÷ñïíé-

êÞ óôéãìÞ t0=0

óô) Ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t3 ôï óþìá áëëÜæåé öïñÜ êßíçóçò.

Ôá äéáãñÜììáôá ôá÷ýôçôáò – ÷ñüíïõ (õ-t) ãéá äýï ðïäçëÜôåò Á êáé Â óå êïé-

íü óýóôçìá áîüíùí öáßíïíôáé ðáñáêÜôù:

1.95

õ

t0 t1 t2 t3 t4

õ1

1.94


02.qxd 9/18/08 12:05 PM Óåëßäá 108

Óõìðëçñþóôå ìå Ó(óùóôü) Þ Ë (ëÜèïò) äßðëá áðü ôéò áêüëïõèåò ðñïôÜ-

óåéò:

Ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t1 ïé äýï ðïäçëÜôåò:

á) Ý÷ïõí ôéò ßäéåò ôá÷ýôçôåò

â) âñßóêïíôáé óôï ßäéï óçìåßï

ã) Ý÷ïõí ôéò ßäéåò åðéôá÷ýíóåéò

Té åêöñÜæåé ôï ãñáììïóêéáóìÝíï åìâáäü ôïõ äéáãñÜììáôïò;

(Oé ðïäçëÜôåò ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t0 = 0 ðåñíïýí áðü ôï ßäéï óçìåßï)

Ôï ðáñáêÜôù äéÜãñáììá ôá÷ýôçôáò – ÷ñüíïõ (õ-t) áíáöÝñåôáé óôçí êßíçóç

ôñéþí óùìÜôùí Á, Â êáé Ã

Ðïéåò áðü ôéò áêüëïõèåò ðñïôÜóåéò åßíáé óùóôÝò;

á) Tï óþìá Á åêôåëåß åõèýãñáììç ïìáëÜ åðéâñáäõíüìåíç êßíçóç

â) Tï óþìá Ã ðáñáìÝíåé áêßíçôï.

ã) Tï óþìá Â Ý÷åé óôáèåñÞ åðéôÜ÷õíóç.

ä) Tç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t1 ôï óþìá Á Ý÷åé ìåãáëýôåñç ôá÷ýôçôá áðü ôá Â êáé Ã.

å) Tç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t2 ôá óþìáôá Á êáé Â Ý÷ïõí ôçí ßäéá åðéôÜ÷õíóç.

óô) Tç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t3 ôá óþìáôá Á êáé Ã Ý÷ïõí ôéò ßäéåò ôá÷ýôçôåò.

æ) Tç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t1 ôá óþìáôá A êáé Ã Ý÷ïõí äéáíýóåé ôá ßäéá äéáóôÞìáôá.

ÐáñáêÜôù äßíåôáé ôï äéÜãñáììá äéáóôÞìáôïò – ÷ñüíïõ (S-t) ãéá Ýíá óþìá

ðïõ êéíåßôáé ðñïò ôç èåôéêÞ öïñÜ.

1.97

õ

t0 t1

A

B

Ã

t2 t3

1.96

õ

t(s)0 t1

A

B


02.qxd 9/18/08 12:05 PM Óåëßäá 109

á) Óå ðïéï ÷ñïíéêü äéÜóôçìá ôï óþìá åêôåëåß ïìáëÞ êßíçóç;

â) Ðïéï áðü ôá ðáñáêÜôù äéáãñÜììáôá áíôáðïêñßíåôáé óôï äéÜãñáììá S-t

ðïõ äüèçêå ðáñáðÜíù;

ééi) â) iii)

iii)

ã) ôï óþìá ðáñáìÝíåé áêßíçôï óôï ÷ñïíéêü äéÜóôçìá ..................

¸íá áõôïêßíçôï êéíåßôáé óå åõèýãñáììï äñüìï ìå óôáèåñÞ åðéôÜ÷õíóç á.

Ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t1 ï ïäçãüò áíôéëáìâÜíåôáé ìðñïóôÜ ôïõ Ýíá åìðüäéï êáé

ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t2 ðáôÜåé ôï öñÝíï ìÝ÷ñé íá óôáìáôÞóåé, Ýóôù ôç ÷ñïíé-

êÞ óôéãìÞ t3. Èåùñåßóôå üôé óôï ÷ñïíéêü äéÜóôçìá (t1 →→ t2) ôï áõôïêßíçôï

åêôåëåß ïìáëÞ êßíçóç.

á) Íá ó÷åäéÜóåôå ôá äéáãñÜììáôá ôá÷ýôçôáò – ÷ñüíïõ (õ-t), êáé èÝóçò-÷ñü-

íïõ (x-t) ðïéïôéêÜ.

â) Óõìðëçñþóôå ôï êáôÜëëçëï ÷ñïíéêü äéÜóôçìá óôéò ðáñáêÜôù åéêüíåò.

Ðïéá åéêüíá äåí áíôáðïêñßíåôáé óå êáíÝíá áðü ôá åßäç ôùí êéíÞóåùí ðïõ

ðñáãìáôïðïéåß ôï áõôïêßíçôï;

i) ii). á õ

. . . . . . . . . . . .

á õ

. . . . . . . . . . . .

1.98

á

t0 t1 t2 t3 t4 t5

õ

t0 t1 t2 t3 t4 t5

á

t0 t1 t2 t3 t4 t5

S

t0 t1 t2 t3 t4 t5


02.qxd 9/18/08 12:05 PM Óåëßäá 110

iii) iv).

Óõìðëçñþóôå ôç óôÞëç Â ôïõ ðáñáêÜôù ðßíáêá ìå ìßá áðü ôéò ëÝîåéò äéá-

íõóìáôéêü Þ ìïíüìåôñï áíÜëïãá ìå ôï áí ôo ìÝãåèïò ôçò óôÞëçò Á åßíáé

äéáíõóìáôéêü Þ ìïíüìåôñï êáé óôç óôÞëç Ã óõìðëçñþóôå ôç ìïíÜäá ôïõ

ìåãÝèïõò óôï S.I.


óåéò:

á) Ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ ðïõ îåêéíÜ Ýíá áõôïêßíçôï ç ôá÷ýôçôÜ ôïõ åßíáé ìç-

äÝí. �

â) ¼ôáí Ýíáò ïäçãüò ðïõ êéíåßôáé óå åõèýãñáììï äñüìï öñåíÜñåé ç åðé-

ôÜ÷õíóç Ý÷åé áíôßèåôç öïñÜ ìå ôç ìåôáâïëÞ ôçò ôá÷ýôçôáò. �

ã) Ç ôá÷ýôçôá êáé ç åðéôÜ÷õíóç Ý÷ïõí ôçí ßäéá êáôåýèõíóç óôçí åõèý-

ãñáììç êßíçóç. �

ä) Áí ç ôá÷ýôçôá åíüò êéíçôïý ðïõ êéíåßôáé åõèýãñáììá äßíåôáé áðü ôç ó÷Ý-

óç õ = 20+êt, üðïõ ê óôáèåñÜ, ç ìïíÜäá ôïõ ê óôï S.I. åßíáé ôï m/s. �

1.100

1.99

á=0õ

. . . . . . . . . . . .

á

õ

. . . . . . . . . . . .


ÓôÞëç Á ÓôÞëç Â ÓôÞëç Ã

Ôá÷ýôçôá

×ñüíïò

ÄéÜóôçìá

ÌåôáâïëÞ ôçò ôá÷ýôçôáò

ÈÝóç

ÅðéôÜ÷õíóç

Ìåôáôüðéóç

02.qxd 9/18/08 12:05 PM Óåëßäá 111

ÁÓÊÇÓÅÉÓ -ÐÑÏÂËÇÌÁÔÁ

Óþìá ðïõ ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t0 = 0s åßíáé áêßíçôï, áñ÷ßæåé íá åðéôá÷ýíåôáé

ìå óôáèåñÞ åðéôÜ÷õíóç á = 2 m/s2. Tçí ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t1 = 5s, íá âñå-

èïýí:

á) ç ôá÷ýôçôá ôïõ óþìáôïò.

â) ôï äéÜóôçìá ðïõ Ý÷åé äéáíýóåé ôï óþìá êáé

ã) íá êáôáóêåõáóôïýí ôá äéáãñÜììáôá ôá÷ýôçôáò – ÷ñüíïõ (õ-t) êáé äéá-

óôÞìáôïò-÷ñüíïõ (S-t), ìÝ÷ñé ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t1.

¸íá êéíçôü ðåñíÜ áðü Ýíá óçìåßï Á êéíïýìåíï ìå óôáèåñÞ ôá÷ýôçôá

õ0 = 20m/s. ÌåôÜ áðü ÷ñüíï t1 = 3s áðü ôç óôéãìÞ ðïõ ðÝñáóå áðü ôï

óçìåßï Á, ôï êéíçôü áñ÷ßæåé íá åðéôá÷ýíåôáé ìå óôáèåñÞ åðéôÜ÷õíóç

á = 1m/s2 ãéá ÷ñüíï t2=5s.

á) Ðïéá åßíáé ç ôá÷ýôçôá ôïõ êéíçôïý 8s ìåôÜ áðü ôç óôéãìÞ ðïõ ðÝñáóå á-

ðü ôï óçìåßï Á;

â) Ðïéï åßíáé ôï äéÜóôçìá ðïõ Ý÷åé äéáíýóåé ôï êéíçôü óôï ÷ñüíï áõôü;

ã) Íá êáôáóêåõÜóåôå ôá äéáãñÜììáôá ôá÷ýôçôáò – ÷ñüíïõ (õ-t) êáé äéá-

óôÞìáôïò-÷ñüíïõ (S-t)

ä) Ðïéá åßíáé ç ìÝóç ôá÷ýôçôá ôïõ êéíçôïý óôï ÷ñïíéêü äéÜóôçìá ôùí 8s;

Ïé åîéóþóåéò èÝóçò äýï óùìÜôùí Á êáé Â ðïõ êéíïýíôáé óå åõèýãñáììï

äñüìï åßíáé:

xA = 4t (S.I.) êáé xB = 3t + t2 (S.I.)

á) Ðïéï åßíáé ôï åßäïò ôçò êßíçóçò ðïõ åêôåëåß êÜèå óþìá;

â) Ná õðïëïãßóåôå ôçí åðéôÜ÷õíóç ãéá êÜèå óþìá.

ã) Íá âñåßôå ôçí åîßóùóç ôçò ôá÷ýôçôáò ãéá ôï óþìá Â.

ä) Ðïéá åßíáé ç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ ôçò óõíÜíôçóçò ôùí äýï óùìÜôùí êáé ðïéá

ç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ ðïõ Ý÷ïõí ßóåò ôá÷ýôçôåò;

Äßíåôáé ôï ðáñáêÜôù äéÜãñáììá ôá÷ýôçôáò – ÷ñüíïõ (õ-t) ãéá Ýíá êéíçôü:1.104

1.103

1.102

1.101


02.qxd 9/18/08 12:05 PM Óåëßäá 112

á) Íá ÷áñáêôçñßóåôå ôá åßäç ôùí êéíÞóåùí ðïõ åêôåëåß ôï êéíçôü.

â) Íá õðïëïãßóåôå ôçí åðéôÜ÷õíóç ôïõ êéíçôïý ãéá êÜèå åßäïò êßíçóçò êáé

íá ó÷åäéÜóåôå ôï äéÜãñáììá åðéôÜ÷õíóçò-÷ñüíïõ (á-t)

ã) Ðïéï åßíáé ôï óõíïëéêü äéÜóôçìá ðïõ äéáíýåé ôï êéíçôü;

ä) Áí ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t0 = 0s ôï êéíçôü âñßóêåôáé óôç èÝóç x0 = 0m, ðïéá

åßíáé ç èÝóç ôïõ ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t = 10s;

Ïé åîéóþóåéò ôùí ôá÷õôÞôùí äýï êéíçôþí Á êáé Â ðïõ ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ

t0 = 0s âñßóêïíôáé óôï ßäéï óçìåßï, åßíáé.

õA = 10 �� t êáé õB = 12 + 4 �� t (S.I.)

á) Íá ÷áñáêôçñßóåôå ôï åßäïò ôçò êßíçóçò êÜèå êéíçôïý.

â) Ðïéá ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ ôá äýï êéíçôÜ Ý÷ïõí ôçí ßäéá ôá÷ýôçôá;

ã) Ðüóï áðÝ÷ïõí ôá äýï êéíçôÜ ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t=4s;

ä) Íá ó÷åäéÜóôå óå êïéíÜ óõóôÞìáôá áîüíùí ôá äéáãñÜììáôá ôá÷ýôçôáò –

÷ñüíïõ (õ-t) êáé äéáóôÞìáôïò-÷ñüíïõ (S-t) ãéá ôá äýï êéíçôÜ. Ôé åêöñÜ-

æïõí ôá óçìåßá ôïìÞò ôùí áíôßóôïé÷ùí äéáãñáììÜôùí;

Ôï ðáñáðÜíù äéÜãñáììá áíáöÝñåôáé óôçí êßíçóç åíüò óþìáôïò.

á) Íá ÷áñáêôçñßóåôå ôá åßäç ôùí åðéìÝñïõò êéíÞóåùí ôïõ óþìáôïò.

â) Íá õðïëïãßóåôå ôçí åðéôÜ÷õíóç ôïõ óþìáôïò ãéá êÜèå åßäïò êßíçóçò

ã) Ðïéá åßíáé ç áëãåâñéêÞ ôéìÞ ôçò ôá÷ýôçôáò ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t=10s;

ä) Ðïéï åßíáé ôï óõíïëéêü äéÜóôçìá ðïõ äéáíýåé ôï óþìá óôï ÷ñïíéêü äéÜ-

óôçìá (0 → 10)s; Ðïéá åßíáé ç ìåôáôüðéóç ôïõ óþìáôïò óôï ßäéï ÷ñïíéêü

äéÜóôçìá;

õ(m/s)

t(s)0 5 10

14

1.106

1.105

õ(m/s)

t(s)0 5 10 15

10

5


02.qxd 9/18/08 12:05 PM Óåëßäá 113

Ç åîßóùóç ôçò ôá÷ýôçôáò åíüò óþìáôïò ðïõ ðñáãìáôïðïéåß åõèýãñáììç

êßíçóç åßíáé:

õ = 20 – 6t (S.I.)

á) Ôé êßíçóç ðñáãìáôïðïéåß ôï óþìá;

â) Íá âñåèåß ç åîßóùóç ôïõ äéáóôÞìáôïò ãéá ôï óþìá áõôü

ã) Ðïéï åßíáé ôï äéÜóôçìá ðïõ äéáíýåé ôï óþìá ìåôáîý ôùí ÷ñïíéêþí óôéã-

ìþí t1 = 2s êáé t2 = 3s;

Äßíåôáé ôï áêüëïõèï äéÜãñáììá ôá÷ýôçôáò – ÷ñüíïõ (õ-t) ãéá Ýíá áõôïêß-

íçôï:

á) Íá ÷áñáêôçñßóåôå ôá åßäç ôùí åðéìÝñïõò êéíÞóåùí ôïõ áõôïêéíÞôïõ

â) Íá õðïëïãßóåôå ôçí åðéôÜ÷õíóç ðïõ áíôéóôïé÷åß óå êÜèå åßäïò êßíçóçò

ã) Ðïéï åßíáé ôï óõíïëéêü äéÜóôçìá ðïõ äéáíýåé ôï áõôïêßíçôï ìÝ÷ñé íá óôá-

ìáôÞóåé; Ðïéá åßíáé ç ìÝóç ôá÷ýôçôá ôïõ áõôïêéíÞôïõ ãéá ôï ÷ñïíéêü äéÜ-

óôçìá êßíçóçò;

ä) Íá ó÷åäéÜóåôå ôï äéÜãñáììá äéáóôÞìáôïò – ÷ñüíïõ (S-t).

Ôï äéÜãñáììá åðéôÜ÷õíóçò-÷ñüíïõ (á-t) ãéá Ýíá óþìá ðïõ åßíáé áñ÷éêÜ á-

êßíçôï, äßíåôáé ðáñáêÜôù:

Áí ôï óþìá êéíåßôáé ðñïò ôç èåôéêÞ öïñÜ:

á) íá ÷áñáêôçñßóåôå ôá åßäç ôùí åðéìÝñïõò êéíÞóåùí ôïõ óþìáôïò

â) íá õðïëïãßóåôå ôéò ôá÷ýôçôåò ôïõ óþìáôïò ôéò ÷ñïíéêÝò óôéãìÝò t1 = 4s,

á(m/s )2

t(s)0 4 6

4

8

–2

1.109

õ(m/s)

t(s)0 4 10

30

1.108

1.107


02.qxd 9/18/08 12:05 PM Óåëßäá 114

t2 = 6s, t3 = 8s êáé

ã) íá ó÷åäéÜóåôå ôï äéÜãñáììá ôá÷ýôçôáò – ÷ñüíïõ (õ-t)

Ôï ðáñáðÜíù äéÜãñáììá äéáóôÞìáôïò-÷ñüíïõ (S-t) áíáöÝñåôáé óôçí êß-

íçóç åíüò óþìáôïò.

á) Ðïéá åßíáé ôá åßäç ôùí êéíÞóåùí ðïõ ðñáãìáôïðïéåß ôï óþìá;

â) Áí ôç ÷ñïíéêÞ t = 11s ôï óþìá óôáìáôÜ, ðïéá åßíáé ç åðéôÜ÷õíóç ôïõ óþ-

ìáôïò êáôÜ ôï ÷ñïíéêü äéÜóôçìá (6 → 11)s;

ã) Íá ó÷åäéÜóåôå ôï äéÜãñáììá ôá÷ýôçôáò-÷ñüíïõ (õ-t)

Óå áãþíá ðïäïóöáßñïõ ôïõ Ðáãêïóìßïõ ÊõðÝëëïõ (mõndial) áãùíßæïíôáé

ïé åèíéêÝò ïìÜäåò ôçò Ãáëëßáò êáé ôçò Âñáæéëßáò. Ëüãù êáêïêáéñßáò ï á-

ãùíéóôéêüò ÷þñïò åßíáé ëáóðùìÝíïò êáé ç ìðÜëá êïëëÜåé åýêïëá óôï ÷ïñ-

ôÜñé. Óå ìéá äéåêäßêçóç ôçò ìðÜëáò ï ÃÜëëïò Æéíåíôßí ÆéíôÜí áðÝ÷åé áðü

ôçí êïëëçìÝíç óôï ÷ïñôÜñé ìðÜëá S1=20m, åíþ ï ÂñáæéëéÜíïò ÑïìðÝñôï

ÊÜñëïò áðÝ÷åé áðü ôç ìðÜëá S2 = 25m. Áí êáé ïé äýï ðáßêôåò áñ÷ßæïõí íá

ôñÝ÷ïõí ðñïò ôçí ìðÜëá ôáõôü÷ñïíá, âñåßôå:

á) ôç ó÷Ýóç ôùí óôáèåñþí åðéôá÷ýíóåùí ìå ôéò ïðïßåò ðñÝðåé íá êéíçèïýí ïé

äýï ðáßêôåò, þóôå íá öôÜóïõí ôáõôü÷ñïíá óôç ìðÜëá.

â) ôï ðçëßêï ôùí ôá÷õôÞôùí ôùí äýï ðáéêôþí ôç óôéãìÞ ðïõ öôÜíïõí óôç ìðÜ-

ëá.

Äßíåôáé ôï ðáñáêÜôù äéÜãñáììá ôá÷ýôçôáò – ÷ñüíïõ (õ-t) ãéá Ýíá óþìá:

õ(m/s)

t(s)0 5 15,5

25

8

1.112

1.111

S(m)

t(s)0 11

85

60

6

1.110


02.qxd 9/18/08 12:05 PM Óåëßäá 115

á) Íá ÷áñáêôçñßóåôå ôá åßäç ôùí êéíÞóåùí ðïõ ðñáãìáôïðïéåß ôï óþìá.

â) Ðïéá åßíáé ç åðéôÜ÷õíóç ôïõ óþìáôïò óôï ÷ñïíéêü äéÜóôçìá (5 → 8)s;

Ðïéá åßíáé ç ôá÷ýôçôá ôïõ óþìáôïò ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t = 8s;

ã) Íá êáôáóêåõÜóåôå ôï äéÜãñáììá åðéôÜ÷õíóçò-÷ñüíïõ (á-t).

ä) Ðïéï åßíáé ôï óõíïëéêü äéÜóôçìá ðïõ äéáíýåé ôï óþìá êáé ðïéá åßíáé ç óõ-

íïëéêÞ ôïõ ìåôáôüðéóç;

ÌïôïóõêëÝôá êéíåßôáé óå åõèýãñáììï äñüìï ìå óôáèåñÞ ôá÷ýôçôá

õ=15m/s. ÊÜðïéá óôéãìÞ ï ïäçãüò âëÝðåé ìðñïóôÜ ôïõ Ýíá åìðüäéï óå

áðüóôáóç S=40m êáé ðáôÜåé öñÝíï. Áí ç åðéâñÜäõíóç ðïõ áðïêôÜ ç ìï-

ôïóéêëÝôá åßíáé á = –3m/s2, âñåßôå áí ç ìïôïóéêëÝôá áðïöåýãåé ôç óý-

ãêñïõóç ìå ôï åìðüäéï. Ï ÷ñüíïò áíôßäñáóçò ôïõ ïäçãïý åßíáé ô =0,2s.

Äßíåôáé ôï ðáñáêÜôù äéÜãñáììá äéáóôÞìáôïò – ÷ñüíïõ (S-t) ãéá äýï êé-

íçôÜ Á êáé Â:


â) Áí ïé ôá÷ýôçôåò ôùí äýï êéíçôþí Á, Â ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t0 = 0s åßíáé

õA = 25m/s êáé õB = 50m/s áíôßóôïé÷á, âñåßôå ôéò åðéôá÷ýíóåéò áÁ êáé áÂ

ôùí äýï êéíçôþí.

ã) Ðïéåò åßíáé ïé ôá÷ýôçôåò ôùí äýï êéíçôþí ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t = 10s;

Äýï áõôïêßíçôá âñßóêïíôáé ðÜíù óå åõèýãñáììï äñüìï óå áðüóôáóç S.

ÊÜðïéá ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ îåêéíïýí ôáõôü÷ñïíá íá êéíïýíôáé áíôßññïðá ìå

óôáèåñÝò åðéôá÷ýíóåéò á1 = 3 m/s2 êáé á2 = 4 m/s2 áíôßóôïé÷á. Áí ôá äýï

áõôïêßíçôá óõíáíôþíôáé 10s ìåôÜ ôçí Ýíáñîç ôçò êßíçóÞò ôïõò, âñåßôå:

á) ôç ó÷Ýóç ðïõ óõíäÝåé ôéò ôá÷ýôçôåò ôùí äýï áõôïêéíÞôùí ôç ÷ñïíéêÞ

óôéãìÞ ôçò óõíÜíôçóÞò ôïõò.

â) ôçí áñ÷éêÞ ôïõò áðüóôáóç S.

1.115

S(m)

t(s)0

350

10

A

B

1.114

1.113


02.qxd 9/18/08 12:05 PM Óåëßäá 116

Äßíåôáé ôï ðáñáêÜôù äéÜãñáììá ôá÷ýôçôáò – ÷ñüíïõ (õ-t) ãéá Ýíá êéíçôü:

á) Íá ÷áñáêôçñßóåôå ôá åßäç ôùí êéíÞóåùí ðïõ åêôåëåß ôï êéíçôü

â) Íá õðïëïãßóåôå ôçí åðéôÜ÷õíóç ôïõ êéíçôïý ãéá êÜèå åßäïò êßíçóçò

ã) Íá êáôáóêåõÜóåôå ôï äéÜãñáììá åðéôÜ÷õíóçò-÷ñüíïõ (á-t)

ä) Ðïéï åßíáé ôï äéÜóôçìá ðïõ äéáíýåé ôï êéíçôü êáôÜ ôç äéÜñêåéá ôçò åõèý-

ãñáììçò ïìáëÞò êßíçóÞò ôïõ;

å) Íá õðïëïãßóåôå ôï óõíïëéêü äéÜóôçìá êáé ôç óõíïëéêÞ ìåôáôüðéóç ãéá ü-

ëç ôç äéÜñêåéá ôçò êßíçóçò.

Ç åîßóùóç èÝóçò åíüò óþìáôïò ðïõ êéíåßôáé êáôÜ ìÞêïò âáèìïëïãçìÝ-

íïõ Üîïíá åßíáé: x = 6t2 (S.I.). Ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t1 = 3s ôï óþìá áñ÷ßæåé

íá åðéâñáäýíåôáé ìå óôáèåñÞ åðéâñÜäõíóç á2 = –6m/s2 ìÝ÷ñé íá óôáìá-

ôÞóåé. Íá âñåèïýí:

á) ç åðéôÜ÷õíóç ôïõ óþìáôïò ìÝ÷ñé ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t1,

â) ç èÝóç êáé ç ôá÷ýôçôá ôïõ óþìáôïò ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t1,

ã) ç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t2 ðïõ ôï óþìá óôáìáôÜ êáé

ä) ç èÝóç ôïõ óþìáôïò ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t2.

Áðü Ýíá óçìåßï Á åõèýãñáììïõ äñüìïõ îåêéíïýí ôáõôü÷ñïíá äýï ìïôï-

óéêëåôéóôÝò êéíïýìåíïé ðñïò áíôßèåôåò êáôåõèýíóåéò. Ï Ýíáò êéíåßôáé ìå

óôáèåñÞ ôá÷ýôçôá õ1 = 15 m/s, åíþ ï Üëëïò ìå óôáèåñÞ åðéôÜ÷õíóç

á2 = 5m/s2. Íá âñåèïýí:

á) ç áðüóôáóç ôùí äýï ìïôïóõêëåôéóôþí ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ ðïõ ïé ôá÷ýôç-

ôÝò ôïõò åßíáé ßóåò êáé

â) ìåôÜ áðü ðüóï ÷ñüíï áðü ôç óôéãìÞ ôçò åêêßíçóÞò ôïõò, ïé ìïôïóõêëå-

ôéóôÝò áðÝ÷ïõí ôï ßäéï áðü ôï óçìåßï Á.

Ïäçãüò åðáñ÷éáêÞò áìáîïóôïé÷ßáò ðïõ êéíåßôáé ìå óôáèåñÞ ôá÷ýôçôá

õ0 = 20 m/s, áíôéëáìâÜíåôáé êÜðïéá ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ åìðüäéá, ëüãù Ýñãùí

1.119

1.118

1.117

õ(m/s)

t(s)0

2 6 81410

20

–20

1.116


02.qxd 9/18/08 12:05 PM Óåëßäá 117

áíáêáôáóêåõÞò ôùí óéäçñïãñáììþí óå áðüóôáóç S = 220m. ÌåôÜ áðü

1s åöáñìüæåé ôï óýóôçìá ðÝäçóçò (öñåíáñßóìáôïò) ôçò áìáîïóôïé÷ßáò.

Áí ç áìáîïóôïé÷ßá åðéâñáäýíåôáé ìå óôáèåñÞ åðéâñÜäõíóç êáé áðïöåý-

ãåé ïñéáêÜ ôç óýãêñïõóç ìå ôá åìðüäéá, íá âñåßôå:

á) ôç óôáèåñÞ åðéâñÜäõíóç ìå ôçí ïðïßá êéíåßôáé ç áìáîïóôïé÷ßá êáé

â) ôç ÷ñïíéêÞ äéÜñêåéá ôçò åðéâñáäõíüìåíçò êßíçóçò.

Óôï äéÜãñáììá ðïõ áêïëïõèåß ðáñéóôÜíïíôáé ãñáöéêÜ ïé åîéóþóåéò ôùí

ôá÷õôÞôùí äýï êéíçôþí Á êáé Â:

Áí ç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t0 = 0s, ôá êéíçôÜ âñßóêïíôáé óôï ßäéï óçìåßï:


â) Íá õðïëïãßóåôå ôçí åðéôÜ÷õíóç êÜèå êéíçôïý.

ã) Ðïõ åßíáé ç áðüóôáóç ôùí äýï êéíçôþí ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t1 = 6s;

ä) Ðïéá åßíáé ç ôá÷ýôçôá ôïõ êéíçôïý Â ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t2 = 8s;

Ïé ìïôïóõêëåôéóôÝò ôïõ ðáñáðÜíù ó÷Þìáôïò êéíïýíôáé áíôßññïðá ìå

óôáèåñÝò ôá÷ýôçôåò õA = 15 m/s êáé õB = 20 m/s áíôßóôïé÷á. Ôç ÷ñïíéêÞ

óôéãìÞ t0 = 0s êáé åíþ ç ìåôáîý ôïõò áðüóôáóç åßíáé S, ïé äýï ìïôïóé-

êëåôéóôÝò áñ÷ßæïõí íá åðéâñáäýíïíôáé ìå óôáèåñÝò åðéâñáäýíóåéò. Áí ïé

äýï ìïôïóéêëåôéóôÝò óõíáíôþíôáé óôï ìÝóï ôçò áðüóôáóçò S ôç ÷ñïíéêÞ

óôéãìÞ t = 2s, âñåßôå ôç äéáöïñÜ ôùí ìÝôñùí ôùí åðéâñáäýíóåþí ôïõò

áÂ – áÁ. Åßíáé ìïíáäéêÝò ïé ôéìÝò áÁ êáé áÂ ðïõ éêáíïðïéïýí ôéò áðáéôÞóåéò

ôçò åêöþíçóçò;

Êéíçôü ðïõ åêôåëåß åõèýãñáììç ïìáëÜ åðéôá÷õíüìåíç êßíçóç ìå åðéôÜ-

÷õíóç á = 4m/s2 ðåñíÜ êÜðïéá ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ áðü Ýíá óçìåßï Á ìå ôá-

1.122

õA õB

S

A B

1.121

õ(m/s)

t(s)0 8

16

6

A

B

1.120


02.qxd 9/18/08 12:05 PM Óåëßäá 118

÷ýôçôá õ1. ÌåôÜ áðü ÷ñüíï 6s ôï êéíçôü ðåñíÜ áðü Ýíá äåýôåñï óçìåßï

Â ìå ôá÷ýôçôá õ2 = 54 m/s. Íá õðïëïãßóåôå:

á) ôçí ôá÷ýôçôá õ1

â) ôçí áðüóôáóç ôùí óçìåßùí Á, Â êáé

ã) ôçí ôá÷ýôçôá ôïõ êéíçôïý 4s ìåôÜ áðü ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ ðïõ ðÝñáóå á-

ðü ôï óçìåßï Â.

¸íáò ìáñáèùíïäñüìïò ðïõ ôñÝ÷åé ìå óôáèåñÞ ôá÷ýôçôá õ1 = 5 m/s, ðåñ-

íÜ êÜðïéá ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ ìðñïóôÜ áðü Ýíá óôáèìü áíåöïäéáóìïý íå-

ñïý. Ï õðÜëëçëïò ôïõ óôáèìïý ëüãù áðñïóåîßáò áíôéëáìâÜíåôáé êáèõ-

óôåñçìÝíá ôïí áèëçôÞ, 5s ìåôÜ áðü ôç óôéãìÞ ðïõ ðÝñáóå ìðñïóôÜ áðü

ôï óôáèìü. Áí ï ÷ñüíïò áíôßäñáóçò ôïõ õðáëëÞëïõ åßíáé 1s, âñåßôå óå ðü-

óç áðüóôáóç áðü ôï óôáèìü èá ðñïëÜâåé ôï õðÜëëçëïò íá åöïäéÜóåé ìå

íåñü ôï äñïìÝá, áí êéíçèåß ìå óôáèåñÞ åðéôÜ÷õíóç á2 = 2m/s2. Èåùñåß-

óôå üôé ��145 12

Äýï êõíçãçôéêïß óêýëïé îåêéíïýí áðü ôï ßäéï óçìåßï ôáõôü÷ñïíá, êéíïý-

ìåíïé ìå óôáèåñÝò åðéôá÷ýíóåéò á1 = 4 m/s2 êáé á2 = 9 m/s2 áíôßóôïé÷á,

ìå óêïðü íá öôÜóïõí óôçí áãêáëéÜ ôïõ áãáðçìÝíïõ ôïõò áöåíôéêïý. Ôï

áöåíôéêü ôïõò âñßóêåôáé óå áðüóôáóç S áðü ôï óçìåßï åêêßíçóçò ôùí

äýï óêýëùí. Áí ç ÷ñïíéêÞ äéáöïñÜ ìÝ ôçí ïðïßá öôÜíïõí ïé äýï óêýëïé

óôçí áãêáëéÜ ôïõ áöåíôéêïý ôïõò åßíáé Ät = 2s:

á) íá âñåßôå ôçí áðüóôáóç S êáé

â) íá ó÷åäéÜóåôå ôá äéáãñÜììáôá ôá÷ýôçôáò – ÷ñüíïõ (õ-t) ôùí äýï óêýëùí

óå êïéíü óýóôçìá áîüíùí.

¸íá êéíçôü Á áñ÷ßæåé íá êéíåßôáé ìå óôáèåñÞ åðéôÜ÷õíóç áÁ = 3 m/s2 ôç

÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t0 = 0s. ÌåôÜ áðü ÷ñüíï 4s, Ýíá äåýôåñï êéíçôü Â áñ÷ßæåé

íá êéíåßôáé, áðü ôï ßäéï óçìåßï áðü ôï ïðïßï îåêßíçóå êáé ôï êéíçôü Á êáé

ðñïò ôçí ßäéá öïñÜ, ìå óôáèåñÞ ôá÷ýôçôá õÂ. Áí ôá äýï êéíçôÜ óõíáíôþ-

íôáé ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t = 10s:

á) íá âñåßôå ôçí ôá÷ýôçôá õÂ

â) íá ó÷åäéÜóåôå ôá äéáãñÜììáôá äéáóôÞìáôïò – ÷ñüíïõ (S-t) ãéá ôá äýï êé-

íçôÜ ìÝ÷ñé ôç óôéãìÞ ôçò óõíÜíôçóÞò ôïõò óå êïéíü óýóôçìá áîüíùí.

Óôï ðáãêüóìéï ðñùôÜèëçìá éóôéïóáíßäáò ï ¸ëëçíáò ðñùôáèëçôÞò Íßêïò

ÊáêëáìáíÜêçò ðñïçãåßôáé óôçí êïýñóá, 550 m ðñéí ôç ãñáììÞ ôïõ ôåñ-

1.126

1.125

1.124

1.123


02.qxd 9/18/08 12:05 PM Óåëßäá 119

ìáôéóìïý êéíïýìåíïò ìå óôáèåñÞ ôá÷ýôçôá õ0 = 10 m/s. ÌåôÜ áðü 100 m

öõóÜåé îáöíéêÜ êüíôñá Üíåìïò ðïõ áíáãêÜæåé ôïí ðñùôáèëçôÞ ìáò íá êé-

íçèåß ìå óôáèåñÞ åðéâñÜäõíóç á1 = –1m/s2 ìÝ÷ñé íá ìçäåíéóôåß ç ôá÷ý-

ôçôÜ ôïõ. Íá õðïëïãßæåôå ôçí óôáèåñÞ åðéôÜ÷õíóç á2 ìå ôçí ïðïßá ðñÝ-

ðåé íá êéíçèåß ï ÊáêëáìáíÜêçò áðü ôç óôéãìÞ ðïõ èá ìçäåíéóôåß ç ôá÷ý-

ôçôÜ ôïõ, þóôå íá äéáíýóåé ôá ôåëåõôáßá 550 m ôçò êïýñóáò óå ÷ñüíï

t=40s.

Óôá ãõñßóìáôá ìéáò áóôõíïìéêÞò ôáéíßáò Ýíáò «êáóêáíôÝñ» êáôåâáßíåé ôçí

ðëáãéÜ åíüò ëüöïõ, öôÜíïíôáò óôï óçìåßï Á ìå ïñéæüíôéá ôá÷ýôçôá

õ0 = 20m/s. Óå áðüóôáóç S = 37,5m áðü ôï óçìåßï Á õðÜñ÷åé Ýíá ôæÜìé

ìÝóá óôï ïðïßï ï êáóêáíôÝñ ðñÝðåé íá ðåñÜóåé ìå ôá÷ýôçôá õ=5m/s, þ-

óôå íá ãõñéóôåß ìå åðéôõ÷ßá ç óõãêåêñéìÝíç óêçíÞ.

á) Ìå ðïéá ôéìÞ óôáèåñÞò åðéâñÜäõíóçò èá ðñÝðåé íá êéíçèåß ï êáóêáíôÝñ

áðü ôï óçìåßï Á ìÝ÷ñé ôï ôæÜìé, þóôå íá ðåñÜóåé áðü áõôü ìå ôç æçôïý-

ìåíç ôá÷ýôçôá;

â) Áí ðåñíþíôáò ìÝóá áðü ôï ôæÜìé ï êáóêáíôÝñ âãáßíåé ìå ôá÷ýôçôá �1

õ

00�,

âñåßôå óå ðüóç áðüóôáóç áðü ôï ôæÜìé èá óôáìáôÞóåé, áí ãíùñßæåôå üôé

ç ôá÷ýôçôÜ ôïõ ìåéþíåôáé ìå ñõèìü 2m/s2.

¸íáò åêðáéäåõìÝíïò óêýëïò áíôéëáìâÜíåôáé óå áðüóôáóç S=10m ìéá ìé-

êñÞ ãÜôá êáé áìÝóùò ãáâãßæåé. Ç ãÜôá ôñïìáãìÝíç ôï âÜæåé óôá ðüäéá êé-

íïýìåíç ìå óôáèåñÞ åðéôÜ÷õíóç áÃ = 4 m/s2. ÌåôÜ áðü 1s ï óêýëïò áñ-

÷ßæåé íá ôçí êáôáäéþêåé êéíïýìåíïò ìå óôáèåñÞ åðéôÜ÷õíóç áÓ = 5 m/s2.

á) Ðïéá åßíáé ç áðüóôáóç ðïõ äéáíýåé ï óêýëïò ìÝ÷ñé íá ðñïëÜâåé ôç ãÜôá;

â) Ðüóï ÷ñüíï ÷ñåéÜóôçêå ï óêýëïò áðü ôç óôéãìÞ ðïõ îåêßíçóå ãéá íá

ðñïëÜâåé ôç ãÜôá;

ã) Ðïéåò åßíáé ïé ôá÷ýôçôåò óêýëïõ êáé ãÜôáò ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ ôçò «áíåðé-

èýìçôçò» ãéá ôç ìéêñÞ ãÜôá óõíÜíôçóÞò ôïõò;

Èåùñåßóôå üôé ��160 13.

1.128

S

ôæÜìéêáóêáíôÝñ

A

1.127


02.qxd 9/18/08 12:05 PM Óåëßäá 120

Óþìá êéíåßôáé åõèýãñáììá ìå óôáèåñÞ ôá÷ýôçôá õ0 = 20m/s ãéá ÷ñüíï 5s.

Óôç óõíÝ÷åéá åðéôá÷ýíåôáé ìå óôáèåñÞ åðéôÜ÷õíóç á1 = 2m/s2 ãéá ÷ñüíï

8s êáé áìÝóùò ìåôÜ åðéâñáäýíåôáé ìå óôáèåñÞ åðéâñÜäõíóç á2 = – 3m/s2

ìÝ÷ñé íá óôáìáôÞóåé. Íá ãßíïõí ôá äéáãñÜììáôá åðéôÜ÷õíóçò-÷ñüíïõ (á-t),

ôá÷ýôçôáò-÷ñüíïõ (õ-t) êáé äéáóôÞìáôïò-÷ñüíïõ (S-t) ãéá ôï óõíïëéêü ÷ñï-

íéêü äéÜóôçìá ôçò êßíçóçò.

ÁåñïðëÜíï ôçò ÏëõìðéáêÞò Áåñïðïñßáò åßíáé áñ÷éêÜ áêßíçôï óôï áåñï-

äñüìéï áðïãåßùóçò ôïõ áåñïäñïìßïõ Óáñë íôå Ãêùë óôï Ðáñßóé. Ï áå-

ñïäéÜäñïìïò Ý÷åé ìÞêïò S = 1500m êáé ôï áåñïðëÜíï ðñÝðåé íá áðï-

êôÞóåé óôï ôÝëïò ôïõ áåñïäñïìßïõ ôá÷ýôçôá õ = 8m/s, þóôå íá áðïãåé-

ùèåß ïìáëÜ. Áí ôï áåñïðëÜíï äéáíýåé êáôÜ ìÞêïò ôïõ áåñïäéáäñüìïõ á-

ðüóôáóç ��S

3�� ìå óôáèåñÞ ôá÷ýôçôá �

õ

4� , íá õðïëïãßóåôå:

á) ôç óôáèåñÞ åðéôÜ÷õíóç ìå ôçí ïðïßá ðñÝðåé íá êéíçèåß ôï áåñïðëÜíï óôï

õðüëïéðï ôìÞìá ôïõ áåñïäéáäñüìïõ, þóôå íá áðïêôÞóåé ôçí åðéèõìçôÞ

ôá÷ýôçôá áðïãåßùóçò,

â) ôï óõíïëéêü ÷ñüíï êßíçóçò ôïõ áåñïðëÜíïõ êáôÜ ìÞêïò ôïõ áåñïäéá-

äñüìïõ êáé

ã) íá ó÷åäéÜóåôå ôï äéÜãñáììá ôá÷ýôçôáò-÷ñüíïõ (õ-t) ôïõ áåñïðëÜíïõ ìÝ-

÷ñé ôç óôéãìÞ ôçò áðïãåßùóÞò ôïõ.

¸íá êéíçôü ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t0 = 0s áñ÷ßæåé íá êéíåßôáé ìå óôáèåñÞ åðé-

ôÜ÷õíóç. Ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t1 = 4s ç åðéôÜ÷õíóç áðïêôÜ áíôßèåôç öïñÜ

äéáôçñþíôáò ôï ìÝôñï ôçò óôáèåñü. Ôï êéíçôü ôåëéêÜ óôáìáôÜ Ý÷ïíôáò

äéáíýóåé óõíïëéêü äéÜóôçìá S=48m. Íá õðïëïãßóåôå ôï ìÝôñï ôçò åðé-

ôÜ÷õíóçò êáé íá ó÷åäéÜóåôå ôï äéÜãñáììá ôá÷ýôçôáò-÷ñüíïõ (õ – t) ãéá ôï

êéíçôü.

Ôá âáãïíÝôá Á êáé Â ôïõ ðáñáðÜíù ó÷Þìáôïò êéíïýíôáé áíôßññïðá óå ðá-

ñÜëëçëåò åõèýãñáììåò óéäçñïôñï÷éÝò ìå óôáèåñÝò ôá÷ýôçôåò õA = 6 m/s

êáé õB = 8m/s áíôßóôïé÷á. Ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t0 = 0s ôá äýï âáãïíÝôá åé-

�Á

ÂÓÇÑÁÃÃÁ

1.132

1.131

1.130

1.129


02.qxd 9/18/08 12:05 PM Óåëßäá 121

óÝñ÷ïíôáé ôáõôü÷ñïíá óå ìéá óÞñáããá ìÞêïõò �� = 40m, åêáôÝñùèåí áðü

ôéò äýï åéóüäïõò ôçò. Áðü ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ ôçò åéóüäïõ ôïõò óôï åóù-

ôåñéêü ôçò óÞñáããáò, ôá äýï âáãïíÝôá áðïêôïýí óôáèåñÝò åðéôá÷ýíóåéò

áÁ = 3 m/s2 êáé áB = 2 m/s2 áíôßóôïé÷á.

Íá âñåßôå :

á) ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ ôçò óõíÜíôçóçò,

â) ôï óçìåßï óôï ïðïßï èá óõíáíôçèïýí ôá äýï âáãïíÝôá åóùôåñéêÜ ôçò

óýñáããáò êáé

ã) íá ó÷åäéÜóåôå ôá äéáãñÜììáôá ôá÷ýôçôáò – ÷ñüíïõ (õ- t) ãéá ôá äýï âá-

ãïíÝôá áðü ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ to ìÝ÷ñé ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ ôçò óõíÜíôçóÞò

ôïõò.


02.qxd 9/18/08 12:05 PM Óåëßäá 122

Ê Å Ö Á Ë Á É Ï 1

§ 1 . 1 - 1 . 2

Å ñ ù ô Þ ó å é ò

1.1 á) Ë, â) Ó, ã) Ó, ä) Ë, å) Ë

1.2 ÓùóôÝò: â, ã

1.3 ó÷åôéêÞ, áíáöïñÜò, èÝóçò, Üîïíá,

óõíôåôáãìÝíç

1.4 â

1.5 äéáíõóìáôéêü, ìåôáâïëÞ, áñ÷éêÞ,

ôåëéêÞ, Äx→

= x→

ôåë – x→

áñ÷ ìïíüìå-

ôñï, áðüóôáóç

1.6 âë. èåùñßá

1.7 á) → 2, 3, â) → 1, 4

1.8 á) xA = +3, xB = –4

â) S = (BA) = 7

1.9 á) → 1, 2

â) → 3, 4

1.10 á) Á (2, 3), Â (-2, -2)

â)


1.11

á)

â) Soë = 9m

ã) Äx = –5m

1.12 á) S = 439,6 cm

â) ⏐Äx→

⏐= 40cm

1.13 á)

á) S=1490m

â) ⏐Äx→

⏐= 350m

1.14. á) S1 = 250Km

á) Äx1 = 500Km

â) S2 = 1000Km

á) Äx2 = 0 Km

500m

420m

120m

150m

300m

A BÄx

x ´ –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 x

Äx

x ´ –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 x

A

ÂÃ r

y

xx´

y´

1

10

A

2

3

2


ÁÐÁÍÔÇÓÅÉÓ – ËÕÓÅÉÓ 1ïõ ÊÅÖÁËÁÉÏÕ

02.qxd 9/18/08 12:05 PM Óåëßäá 123

1.15 á) Ät = 5

â) xÃ = 1Km

ã) Äx1 = 4Km

ã) Äx2 = -4Km

1.16 á) S = 19ð cm

â)⏐Äx⏐= 38cm

1.17 á) S= 117,5Km

â) ⏐Äx→

⏐= 0

ã) ⏐Äx→

⏐A→Ã = 65Km

§ 1 . 3


1.18 ãñÞãïñá, äéáíõóìáôéêü, õ→

= �Ä

Ä

x→

t�,

1m/s

1.19 á) Ë, â) Ë, ã) Ó, ä) Ë


1.21 á) âë. èåùñßá

â) Ç ìåôáôüðéóç åßíáé ìçäÝí.

1.22 ïìáëÞ, óôáèåñÞ, ÷ñüíïõò, ìåôá-

ôïðßóåéò, äéÜóôçìá

1.23 Äåí ðáñáâáßíåé ôï üñéï ôá÷ýôçôáò

1.24 ÓùóôÝò: â, ã, å

1.25 á) Ë, â) Ë, ã) Ó, ä) Ó

1.26 1 → â, 2 → â, 3 → ã, 4 → á

1.27 á) Ó, â) Ë, ã) Ë, ä) Ó

1.28 á) → 2 â) → 3

ã) → 1 ä) → 5

1.29 á) Åõèýãñáììç ïìáëÞ êßíçóç

â) �õ

õ

B

A� = �2

3�


â) S0 = 5m

ã) t = 2,5s, SA = 5m, SB = 10m

ä) õA = 2m/s, õB = 4m/s

1.31 á) → 3, â) → 6

1.32 ÓùóôÝò: á, ã, å

1.33 ÓùóôÝò: á, ã


â) Ôçí åðéðëÝïí áðüóôáóç ðïõ Ý-

÷åé äéáíýóåé ï äñïìÝáò Á óå

ó÷Ýóç ìå ôïí Â óôï ÷ñïíéêü

äéÜóôçìá (0-10)s

ã) SB = 120m

ä) Âñßóêïíôáé óôï ßäéï óçìåßï


1.35 á) õ= 6m/s

â) x3 = 27m

1.36 á) õì = 10,21 m/s

â) õì´ = 12,5 m/s

1.37 S = 1800 m

1.38

1.39 õ4 < õ1 < õ2 < õ3

ÄéÜóôçìá (S) ×ñüíïò (t)

40m 10s

8,8 Km 2h

800m 3min 20s

3,2 Km 800s


02.qxd 9/18/08 12:05 PM Óåëßäá 124


1.40 õ = 15m/s

1.41 á) tB = 0,5s

â) õÃ = –14m/s

ã)

1.42 H=17m

1.43 á) S = 260m, Äx = 0m

â) uì = 26m/s

ã)

1.44 á) d = 600m

á) õA = 30m/s

â) t=15s

1.45 á) t= 10s

â) �S

S1

2

� = 0,6

1.46 á) S= 500m

â) õ3 =100m/s

á) õì = 20 m/s

ã)

1.47 S= 12m ïé äýï ìðÜëåò èá óõíá-

íôçèïýí áêñéâþò ðñéí ôéò êïñßíåò.

1.48 õ´= 10m/s

1.49 á) Åõèýãñáììç ïìáëÞ êßíçóç,

õA =2m/s, õB =3m/s

â) xA =2t, xB =10+3t

ã) S=20m

ä) õ′A = 4m/s

1.50 á) t= 14s

â) S=240m

ã)

1.51. õA = �5

3� õB

1.52. á) t = 10s

â) �S

S1

2

� = 0,6

240

120

4

S(m)

t(s)140

õ(m/s)

t(s)0

0

25

–100

20 35 40

1000

500

20

S(m)

t(s)4035

260

90

3 5 10

S(m)

t(s)0

õ(m/s)

t(s)0

10

–14

0,5 2 2,5

02.qxd 9/18/08 12:05 PM Óåëßäá 125


1.53 t = 1,2min

S = 2 Km

1.54 á) S = 245m

â) õ2′ = 55m/s

1.55 á)S = 900m, tA = 36s, tB =30s

â)

ã)

1.56 õB =1020m/s

1.57 á) S2 = 10m

â) t2 = 5,5s

1.58 á) Ôç óôéãìÞ ðïõ ôåñìáôßæåé ç ÷å-

ëþíá, ï ëáãüò âñßóêåôáé 60m

ðñéí ôïí ôåñìáôéóìü.

â)

§ 1 . 4


1.59 ôá÷ýôçôá, äéáíõóìáôéêü, á→

= �Ä

Ä

õ→

t�,

1m/s2.

1.60 ÅðéôÜ÷õíóç 4 m/s2 óçìáßíåé üôé êÜ-

èå second ç ôá÷ýôçôá ìåôáâÜëëå-

ôáé êáôÜ 4m/s. Óå ÷ñüíï 2s ç ôá÷ý-

ôçôá ìåôáâÜëëåôáé êáôÜ 2 � 4 = 8

m/s.

1.61 á)Ó, â) Ë, ã) Ó, Ë, ä) Ë

1.62 Óùóôü: ã

1.63 Óùóôü: â, ã, ä

1.64 á)Ó, â) Ó,ã) Ë,ä) Ó


1.66 åðéôá÷õíüìåíç, åðéâñáäõíüìåíç,

ç åðéôÜ÷õíóç

1.67 á) åðéôá÷õíüìåíç

â) á→

←

ã) åðéâñáäõíüìåíç

ä) ←U→

1.68 ÓùóôÞ: ä

1.69 ã, ä → 1 á, å → 2 â,óô → 3

1.70 ¼÷é, ç êßíçóç äåí åßíáé áðáñáßôç-

ôç åðéâñáäõíüìåíç äéüôé ôï ìÝôñï

ôçò ôá÷ýôçôáò ìðïñåß êáé íá áõ-

îÜíåôáé. (âë. áíôßóôïé÷ç èåùñßá)

1.71 èÝóçò, ôá÷ýôçôáò, ôá÷ýôçôá, åðé-

ôÜ÷õíóç

1.72 ÓùóôÜ:â, ä, å

900

x(m)

t(s)0

30 36

A

B

30

õ(m/s)

t(s)0

25

30 36

02.qxd 9/18/08 12:05 PM Óåëßäá 126


1.73 á)Ë, â) Ó, ã) Ó, ä) Ë



1.76 á) á, â) á

ã) õ0 ä) t2

1.77 á) Åõèýãñáììç ïìáëÜ åðéôá÷õíü-

ìåíç êßíçóç

â) Ôï êéíçôü (2) ãéáôß ç åõèåßá ôïõ

óôï äéÜãñáììá õ-t Ý÷åé ìåãáëý-

ôåñç êëßóç.


1.79 ÓùóôÝò: á, â, ä

1.80 ÓùóôÝò: ä, å

1.81 á) á = 2m/s2

â)

1.82 á) åõèýãñáììç ïìáëÜ åðéâñáäõ-

íüìåíç

â) iv ã) ii

1.83 1 → â, ä, 2 → á,

3 → ã, óô, 4 → å

1.84 á) ôá÷ýôçôáò - ÷ñüíïõ, êëßóç

â) äéÜóôçìá, åìâáäü

1.85 á)Ó, â) Ë, ã) Ó, ä) Ë


1.87 (0 → t1): åõèýãñáììç ïìáëÜ åðé-

âñáäõíüìåíç

(t1 → t2): åõèýãñáììç ïìáëÞ

(t2 → t3): åõèýãñáììç ïìáëÜ åðé-

âñáäõíüìåíç


ôá÷õíüìåíç (ðñïò ôçí á-

íôßèåôç öïñÜ áðü áõôÞí

ðïõ Ý÷ïõìå ïñßóåé ùò èå-

ôéêÞ)


âñáäõíüìåíç (ðñïò ôçí

áíôßèåôç öïñÜ áðü áõôÞ

ðïõ Ý÷ïõìå ïñßóåé ùò èå-

ôéêÞ)


ôá÷õíüìåíç (ðñïò ôç èå-

ôéêÞ öïñÜ êßíçóçò)

1.88 Óùóôü: Ã

1.89 á) ïìáëÜ åðéôá÷õíüìåíç

â) ïìáëÞ

ã) ïìáëÜ åðéâñáäõíüìåíç

1.90

1.91 ÓùóôÞ: ã

1.92 õ

t0

t1 t2 t3 t4

õ

t0 t1 t2 t3

0 5 0

1 7 6

3 11 24

5 15 50

t(s) õ(m/s) S(m)

02.qxd 9/18/08 12:05 PM Óåëßäá 127

1.93 á) Ó, â) Ë, ã) Ë, ä) Ë, å) Ó, óô) Ó

1.94 ÓùóôÝò: â, óô

1.95 á) Ó, â) Ë, ã) Ë

ÅêöñÜæåé ôçí åðéðëÝïí áðüóôáóç

ðïõ Ý÷åé äéáíýóåé ï ðïäçëÜôçò Á

áðü ôïí ðïäçëÜôç Â óôï ÷ñïíéêü

äéÜóôçìá (0 → t1).

1.96 ÓùóôÝò: á, ã, ä, óô

1.97 á) Óôï ÷ñïíéêü äéÜóôçìá (t4 → t5)

â) ôï iii ã) (t2 → t3)

1.98 á)

â) i) (t2 → t3), ii) (t1 → t2),

iv) (t2 → t3)

Ç ðåñßðôùóç ôçò åéêüíáò iii äåí á-

íôáðïêñßíåôáé óå êáìéÜ áðü ôéò å-

ðéìÝñïõò êéíÞóåéò ðïõ ðñáãìáôï-

ðïéåß ôï êéíçôü.

1.99


1.101 á) õ1 = 10 m/s

â) S1 = 25 m

ã)

1.102 á) õ=25m/s

â) S=172,5m

ã)

ä) õì = 21,56 m/s

õ(m/s)

t(s)0

25

3

S(m)

20

8

t(s)0

172,5

3

60

8

õ(m/s)

t(s)0

10

5S(m)

t(s)0

25

5

õ

t0 t1 t2 t3x

t0 t1 t2 t3

ÓôÞëç Á ÓôÞëç Â ÓôÞëç Ã

ôá÷ýôçôá äéáíõóìáôéêü m/s

÷ñüíïò ìïíüìåôñï s

äéÜóôçìá ìïíüìåôñï m

ìåôáâïëÞ

ôçò ôá÷ýôçôáòäéáíõóìáôéêü m/s

èÝóç äéáíõóìáôéêü m

åðéôÜ÷õíóç äéáíõóìáôéêü m/s2

ìåôáôüðéóç äéáíõóìáôéêü m


02.qxd 9/18/08 12:05 PM Óåëßäá 128


1.103 á) óþìá Á: åõèýãñáììç ïìáëÞ

êßíçóç

á) óþìá Â: åõèýãñáììç ïìáëÜ å-

ðéôá÷õíüìåíç êßíçóç

â) áÁ = 0m/s2

á) áB = 2m/s2

ã) õB = 3 + 2t (S.I.)

ä) tÓ = 1s tê = 0,5s

1.104 á) (0 → 5)s: åõèýãñáììç ïìáëÜ å-


á) (5 → 10)s: åõèýãñáììç ïìáëÞ

êßíçóç

á) (10 → 15)s: åõèýãñáììç ïìá-

ëÜ åðéâñáäõíüìå-

íç êßíçóç

â) (0 → 5)s: á1 = 1 m/s2

á) (5 → 10)s: á2 = 0 m/s2

á) (10 → 15)s: á3 = –2 m/s2

ã) S = 112,5m

ä) x10 = 87,5m

1.105 á) êéíçôü Á: åõèýãñáììç ïìáëÜ

åðéôá÷õíüìåíç êßíç-

óç ÷ùñßò áñ÷éêÞ ôá-

÷ýôçôá

á) êéíçôü Â: åõèýãñáììç ïìáëÜ

åðéôá÷õíüìåíç êßíç-

óç ìå áñ÷éêÞ ôá÷ýôç-

ôá

â) t=2s

ã) S = 0m

ä)

ÄéÜãñáììá õ-t: ôï êïéíü óçìåßï

ôùí äýï äéáãñáììÜôùí åêöñÜæåé

ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ ðïõ ôá äýï êé-

íçôÜ Ý÷ïõí ôçí ßäéá ôá÷ýôçôá.

ÄéÜãñáììá S-t: ôï êïéíü óçìåßï

ôùí äýï äéáãñáììÜôùí åêöñÜæåé

ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ ðïõ ôá äýï êé-

íçôÜ Ý÷ïõí äéáíýóåé ôçí ßäéá áðü-

óôáóç.

1.106 á) (0 → 5)s: åõèýãñáììç ïìáëÜ

åðéâñáäõíüìåíç êß-

íçóç

á) (5 → 10)s: åõèýãñáììç ïìáëÜ

åðéôá÷õíüìåíç êß-

íçóç

â) (0 → 5)s: á1 = –2,8 m/s2

á) (5 → 10): á2 = –2,8 m/s2

ã) õ = –14m/s

ä) S = 70m, Äx = 0 m

1.107 á) åõèýãñáììç ïìáëÜ åðéâñáäõ-

íüìåíç êßíçóç

â) S = 20t – 3t2 (S.I.)

ã) S1 = 5m

õ(m/s)

t(s)0 2

S(m)

20

t(s)0

80

4

12

AB

02.qxd 9/18/08 12:05 PM Óåëßäá 129






íçóç

â) (0 → 4)s: á1 = 7,5 m/s2

á) (4 → 10)s: á2 = –3 m/s2

ã) S=150m

á) õì = 15 m/s

ä)





íçóç


êßíçóç

â) õ1 = 16m/s õ2 = 12m/s

á) õ3 = 12m/s

ã)

1.110 á) (0 → 6)s: åõèýãñáììç ïìáëÞ

êßíçóç

á) (6 → 11)s: åõèýãñáììç ïìáëÜ å-

ðéâñáäõíüìåíç êßíçóç

â) á = –2m/s2

ã)

1.111 á) �á

á

Ê

Æ

Á

ÉÍ

Ñ

Ô

Ë

Á

Ï

Í

Ó

� = �4

5�

â) �õ

õ

Ê

Æ

Á

ÉÍ

Ñ

Ô

Ë

Á

Ï

Í

Ó

� = �4

5�


ðéâñáäõíüìåíç êßíçóç

á) (5 → 8)s: åõèýãñáììç ïìáëÜ å-


á) (8 → 15,5)s: åõèýãñáììç ïìá-


íç êßíçóç

â) (5 → 8)s: á2 = 5 m/s2

á) t = 8s: õ = –15m/s

ã)

ä) S=141, 25m Äx = –16,25m

1.113 Ç ìïôïóéêëÝôá óõãêñïýåôáé ìå ôï

åìðüäéï.

1.114 á) êéíçôü Á: åõèýãñáììç ïìáëÜ å-


á(m/s )2

t(s)0

5

5

–5

8 15,5–2

10

õ(m/s)

t(s)0 6 11

16

õ(m/s)

t(s)0

12

4 6 8

S(m)

t(s)0

150

4

60

10

02.qxd 9/18/08 12:05 PM Óåëßäá 130


á) êéíçôü B: åõèýãñáììç ïìáëÜ


íçóç

â) áA = 2 m/s2, áB = –3 m/s2

ã) t=10s: õA = 45m/s, õB = 20m/s

1.115 á) �õ

õ1

2

� = �3

4� â) S = 350m




êßíçóç



íçóç


åðéôá÷õíüìåíç êß-

íçóç

á) (10 → 14)s: åõèýãñáììç ïìá-


íç êßíçóç

â) (0 → 2)s: á1 = 10 m/s2

á) (2 → 6)s: á2 = 0 m/s2

á) (6 → 8)s: á3 = –10 m/s2

á) (8 → 10)s: á4 = –10 m/s2

á) (10 → 14)s: á5 = 5 m/s2

ã)

ä) S2 = 80m

å) S=180m, Äx = 60m

1.117 á) á1 = 3 m/s2

â) x1 = 54 m, õ1 = 9 m/s

ã) t2 = 4,5s

ä) x2 = 60,75m

1.118 á) S=67,5m

â) t=6s

1.119 á) á = –1 m/s2

â) t = 20s

1.120 á) êéíçôü Á: åõèýãñáììç ïìáëÜ


íçóç

á) êéíçôü Â: åõèýãñáììç ïìáëÜ å-


â) áÁ = –2 m/s2, áÂ = �2

3� m/s2

ã) S=48m

ä) õB = �1

3

6� m/s

1.121 áÂ – áÁ = 5m/s2

Ïé ôéìÝò áÁ êáé áB ðïõ éêáíïðïéïýí

ôéò áðáíôÞóåéò ôçò åêöùíÞóåéò

äåí åßíáé ìïíáäéêÝò, áëëÜ Üðåéñåò

óå ðëÞèïò, áñêåß íá éêáíïðïéïýí

ôç ó÷Ýóç áÂ – áÁ = 5m/s2.

1.122 á) õ1 = 30m/s

â) SAB = 252 m

ã) õ3 = 70m/s

1.123 S = 72,25m

1.124 á) S = 72m

â) á(m/s )2

t0

10

2

–10

–56 10 14

á(m/s )2

t(s)0

10

2

–10

–56 10 14

02.qxd 9/18/08 12:05 PM Óåëßäá 131


1.125 á) õB = 25m/s

â)

1.126 á2 = 2 m/s2

1.127 á) á = –5 m/s2

â) S = 1m

1.128 á) S= 275,625m

â) t= 10,5s

ã) õÓÊÕËÏÕ = 52,5m/s, õÃÁÔÁÓ = 46m/s

1.129

1.130 á) á = 3m/s2

â) t=45s

ã)

1.131 ⏐á⏐ = 3m/s2

1.132 á) t = 1,2s

â) Èá óõíáíôçèïýí 9,36m áðü

ôçí åßóïäï ôïõ âáãïíÝôïõ Á.

ã) õ(m/s)

t(s)0 1,2

6

9,6

BáãïíÝôï Áõ(m/s)

t(s)0 1,2

8

10,4

BáãïíÝôï Â

õ(m/s)

t(s)0 4 8

12

80

õ(m/s)

t(s)0 25 45

20

á(m/s )2

t(s)0

2

5

–3

13 25

õ(m/s)

t(s)0

5 13 25

36

20

S(m)

t(s)0

5 13 25

540

324

100

150

S(m)

t(s)0 4 10

êéíçôü Á

êéíçôü Â

02.qxd 9/18/08 12:05 PM Óåëßäá 132

ÊÅÖÁËÁÉÏ ÊÅÖÁËÁÉÏ 22

ÄÕÍÁÌÉÊÇ

ÓÅ ÌÉÁ Ä ÉÁÓÔÁÓÇ

03a.qxd 9/18/08 12:07 PM Óåëßäá 133

03a.qxd 9/18/08 12:07 PM Óåëßäá 134

2.1 Ç ÅÍÍÏÉÁ ÔÇÓ ÄÕÍÁÌÇÓ

Óôï ðñïçãïýìåíï êåöÜëáéï ìåëåôÞóáìå ôçí êéíçìáôéêÞ, ôç ãëþóóá ãéá ôçí ðåñé-

ãñáöÞ ôçò êßíçóçò ôùí óùìÜôùí. Ôþñá åßìáóôå Ýôïéìïé íá óêåöôïýìå ãéá ôï ôé êÜíåé

ôá óþìáôá íá êéíïýíôáé üðùò êéíïýíôáé. ¼ëá áõôÜ ìáò åéóÜãïõí óôï áíôéêåßìåíï ôçò

ÄõíáìéêÞò, ðïõ åßíáé ç ó÷Ýóç ôçò êßíçóçò ìå ôéò äõíÜìåéò ïé ïðïßåò ôçí ðñïêáëïýí.

¼ôáí óðñþ÷íïõìå Ýíá áõôïêßíçôï ðïõ Ý÷åé êïëëÞóåé óôçí Üììï áóêïýìå óôï áõ-

ôïêßíçôï äýíáìç. Ç ìç÷áíÞ ôïõ ôñÝíïõ áóêåß óå áõôü äýíáìç ðïõ ôï áíáãêÜæåé íá

êéíçèåß. ¸íáò ðïäïóöáéñéóôÞò ðïõ êôõðÜ ðÝíáëôé áóêåß óôç ìðÜëá äýíáìç, ìå áðï-

ôÝëåóìá áõôÞ íá êéíåßôáé ðñïò ôï ôÝñìá.

Ç äýíáìç åßíáé äéáíõóìáôéêü öõóéêü ìÝãåèïò êáé ãéá íá ôçí ðåñéãñÜøïõìå ðëÞ-

ñùò, èá ðñÝðåé íá ãíùñßæïõìå:

á) ôï ìÝôñï ôçò

â) ôç äéåýèõíóÞ ôçò

ã) ôç öïñÜ ôçò

ä) ôï óçìåßï åöáñìïãÞò ôçò, äçëáäÞ ôï óçìåßï ðÜíù óôï óþìá üðïõ áóêåßôáé ç

äýíáìç.

Ó÷üëéá:

1) ôï ìÝôñï ôçò äýíáìçò êáèïñßæåé ôï ìÝãåèïò ôçò ðáñáìüñöùóçò Þ ôï ðüóï äõ-

íáôÜ ç äýíáìç Ýëêåé Þ áðùèåß Ýíá óþìá.

2) ç êáôåýèõíóÞ ôçò óõìðßðôåé ìå ôçí êáôåýèõíóç ôïõ äéáíýóìáôïò ðïõ ðåñé-

ãñÜöåé ôç äýíáìç.

3) ôï óçìåßï åöáñìïãÞò ôçò óõìðßðôåé ìå ôçí áñ÷Þ ôïõ äéáíýóìáôïò ðïõ ðåñé-

ãñÜöåé ôç äýíáìç.

äéåýèõíóç öïñÜ

óçìåßïåöáñìïãÞò

F

Äýíáìç F→→

: åßíáé ôï äéáíõóìáôéêü öõóéêü ìÝãåèïò ôï ïðïßï åêöñÜæåé ôï

áßôéï ðïõ ðñïêáëåß ôéò ìåôáâïëÝò ôçò êéíçôéêÞò êáôÜóôáóçò ôùí óùìÜ-

ôùí (åðéôá÷ýíóåéò Þ åðéâñáäýíóåéò) Þ ôçò ðáñáìïñöþóåéò ôïõò.

Ê Å Ö Á Ë Á É Ï 2 ï : Ä Õ Í Á Ì É Ê Ç Ó Å Ì É Á Ä É Á Ó Ô Á Ó Ç 135

03a.qxd 9/18/08 12:07 PM Óåëßäá 135

ÌïíÜäá äýíáìçò: ìïíÜäá äýíáìçò óôï S.I. åßíáé ôï 1 Í (Newton), ðïõ èá ïñé-

óôåß ðáñáêÜôù.

ÌÝôñçóç äýíáìçò: ãéá ôç ìÝôñçóç ôùí äõíÜìåùí ÷ñçóéìïðïéïýìå êáôÜëëçëá

üñãáíá ðïõ ïíïìÜæïíôáé äõíáìüìåôñá.

Ç áñ÷Þ ëåéôïõñãßáò ôïõ äõíáìïìÝôñïõ óôçñßæåôáé óôçí åëáóôéêÞ ðáñáìüñöùóç

ðïõ ðñïêáëåß ç äýíáìç óôï åëáôÞñéï ðïõ õðÜñ÷åé óôï äõíáìüìåôñï. ÅëáóôéêÞ ðá-

ñáìüñöùóç Ý÷ïõìå óå êÜèå ðåñßðôùóç ðïõ Ýíá óþìá åðáíÝñ÷åôáé óôçí áñ÷éêÞ ôïõ

ìïñöÞ, üôáí ðÜøåé íá áóêåßôáé ðÜíù ôïõ ç äýíáìç ðïõ ðñïêÜëåóå ôçí ðáñáìüñ-

öùóÞ ôïõ.

Ïé åëáóôéêÝò ðáñáìïñöþóåéò õðáêïýïõí óôï íüìï ôïõ Hooke:

Ïé åëáóôéêÝò ðáñáìïñöþóåéò åßíáé áíÜëïãåò ôùí äõíÜìåùí ðïõ ôéò ðñïêá-

ëïýí.

Ãéá ôá åëáôÞñéá ç ìáèçìáôéêÞ ó÷Ýóç ðïõ ðåñéãñÜöåé ôï íüìï ôïõ Hooke åßíáé ç

åîÞò:

F = Kx

üðïõ:

F: ç äýíáìç ðïõ áóêåßôáé óôï åëáôÞñéï,

Ê: ç óôáèåñÜ ôïõ åëáôçñßïõ, ç ïðïßá åîáñôÜôáé áðü ôá ãåùìåôñéêÜ ÷áñáêôçñé-

óôéêÜ êáé ôç öýóç ôïõ åëáôçñßïõ,

x: ç ìåôáâïëÞ ôïõ ìÞêïõò (åðéìÞêõíóç Þ óõóðåßñùóç) ôïõ åëáôçñßïõ

ÐáñÜäåéãìá:

Óôï åëåýèåñï Üêñï äõíáìïìÝôñïõ áóêïýìå äýíáìç F êáé ðáñáôçñïýìå åðéìÞ-

êõíóç x. Áí óôï ßäéï äõíáìüìåôñï áóêÞóïõìå äýíáìç 2F èá ðáñáôçñÞóïõìå åðéìÞ-

êõíóç 2x. Áí ç áóêïýìåíç äýíáìç ãßíåé 3F, ç åðéìÞêõíóç èá ãßíåé 3x ê.ï.ê.

x2x

3xF

2F

3F


03a.qxd 9/18/08 12:07 PM Óåëßäá 136

2.2 ÓÕÍÈÅÓÇ ÓÕÃÃÑÁÌÉÊÙÍ ÄÕÍÁÌÅÙÍ

Óå ðïëëÝò ðåñéðôþóåéò åßíáé äõíáôüí ó' Ýíá óþìá, íá áóêïýíôáé ðåñéóóüôåñåò á-

ðü ìßá äõíÜìåéò ìå êïéíü óçìåßï åöáñìïãÞò. Ïé äõíÜìåéò áõôÝò ìðïñåß íá áíôéêá-

ôáóôáèïýí áðü ìßá äýíáìç, ðïõ ðñïêáëåß ôï ßäéï áðïôÝëåóìá ìå áõôÝò.

ÐáñÜäåéãìá:

¼ðùò öáßíåôáé áðü ôá ðáñáðÜíù ó÷Þìáôá, ôï Üëïãï ðñïêáëåß ôï ßäéï áðïôÝëå-

óìá ìå áõôü ðïõ ðñïêáëïýí ôá äýï ãáúäïõñÜêéá ìáæß.

Ç äéáäéêáóßá ìå ôçí ïðïßá âñßóêïõìå ôç óõíéóôáìÝíç äýï Þ ðåñéóóïôÝñùí äõíÜ-

ìåùí, ïíïìÜæåôáé óýíèåóç äõíÜìåùí.

Ç óõíéóôáìÝíç äýíáìç ðñïêýðôåé áðü ôï äéáíõóìáôéêü Üèñïéóìá ôùí óõíéóôù-

óþí äõíÜìåùí:

ÓF→→

= F→→

ïë = F→→

1 + F→→

2 + F→→

3 + .....

Õ ð ï ë ï ã é ó ì ü ò ó õ í é ó ô á ì Ý í ç ò ó õ ã ã ñ á ì é ê þ í ä õ í Ü ì å ù í

Óôï êåöÜëáéï áõôü èá ìåëåôÞóïõìå ôçí ðåñßðôùóç óõããñáìéêþí äõíÜìåùí, äç-

ëáäÞ äõíÜìåùí ðïõ Ý÷ïõí ôçí ßäéá äéåýèõíóç.

á) ÄõíÜìåéò ßäéáò öïñÜò

¸óôù F→→

1, F→→

2 ïé äõíÜìåéò ßäéáò öïñÜò ðïõ áóêïýíôáé óôï

óþìá ôïõ äéðëáíïý ó÷Þìáôïò. Ôüôå ç óõíéóôáìÝíç äýíáìç

F→→

ïëèá Ý÷åé: i) ìÝôñï: Fïë = F1 + F2

ii) êáôåýèõíóç ßäéá ìå ôçí êáôåýèõíóç ôùí óõíéóôùóþí

F→

1, F→

2.

iii) óçìåßï åöáñìïãÞò, êïéíü ìå ôï óçìåßï åöáñìïãÞò ôùí óõíéóôùóþí F→

1, F→

2.

F2

F1

Fïë

ÓõíéóôáìÝíç äýï Þ ðåñéóóïôÝñùí äõíÜìåùí ÓF→→

Þ F→→

oë åßíáé ç äýíáìç ðïõ

åðéöÝñåé ôï ßäéï áðïôÝëåóìá, ìå áõôü ðïõ åðéöÝñïõí üëåò ïé äõíÜìåéò

ìáæß. Ïé äõíÜìåéò ðïõ áíôéêáèßóôáíôáé áðü ôç óõíéóôáìÝíç äýíáìç, ïíï-

ìÜæïíôáé óõíéóôþóåò äõíÜìåéò.

F2

F1

F


03a.qxd 9/18/08 12:07 PM Óåëßäá 137

â) ÄõíÜìåéò áíôßèåôçò öïñÜò

¸óôù F→→

1, F→→

2 ïé äõíÜìåéò áíôßèåôçò öïñÜò ðïõ á-

óêïýíôáé óôï óþìá ôïõ äéðëáíïý ó÷Þìáôïò. Ôüôå ç

óõíéóôáìÝíç äýíáìç F→→

ïë èá Ý÷åé:

i) ìÝôñï: Fïë = ⏐⏐F1 – F2⏐⏐

ii) êáôåýèõíóç ßäéá ìå ôçí êáôåýèõíóç ôçò ìåãá-

ëýôåñçò (êáôÜ ìÝôñï) áðü ôéò äýï äõíÜìåéò.

iii) óçìåßï åöáñìïãÞò, êïéíü ìå ôï óçìåßï åöáñìïãÞò ôùí óõíéóôùóþí F→

1, F→

2.

ã) ÐëÞèïò äõíÜìåùí ôõ÷áßáò öïñÜò

¸óôù ïé äõíÜìåéò F→

1, F→

2, F→

3, F→

4, F→

5 ðïõ á-

óêïýíôáé óôï óþìá ôïõ äéðëáíïý ó÷Þìáôïò.

á´ ôñüðïò:

i) âñßóêïõìå ôç óõíéóôáìÝíç äýíáìç ðñïò

êÜèå êáôåýèõíóç:

F1, 2, 3 = F1 + F2 + F3

F4, 5 = F4 + F5

ii) ç ïëéêÞ óõíéóôáìÝíç äýíáìç F→

oë Ý÷åé:

• ìÝôñï, Foë = ⏐⏐F1, 2, 3 – F4, 5⏐⏐

• êáôåýèõíóç, ßäéá ìå ôçí êáôåýèõíóç ôçò ìåãáëýôåñçò (êáôÜ ìÝôñï) áðü ôéò

äýï óõíéóôáìÝíåò (ðñïò êÜèå êáôåýèõíóç) äõíÜìåéò.

â´ ôñüðïò:

i) åðéëÝãïõìå áõèáßñåôá ìßá öïñÜ ùò èåôéêÞ

(Ýóôù ôçí ðñïò ôá äåîéÜ)

ii) âñßóêïõìå ôï Üèñïéóìá ôùí áëãåâñéêþí ôé-

ìþí üëùí ôùí äõíÜìåùí. Èåùñïýìå èåôé-

êÝò ôéò ôéìÝò ôùí äõíÜìåùí ðïõ Ý÷ïõí ôçí ß-

äéá öïñÜ ìå áõôÞ ðïõ ïñßóáìå ùò èåôéêÞ:

Fïë = F1 + F2 + F3 – F4 – F5

ii) Áí ç áëãåâñéêÞ ôéìÞ ôçò óõíéóôáìÝíçò äýíáìçò FÏë ðñïêýøåé èåôéêÞ, ôüôå ç

óõíéóôáìÝíç èá Ý÷åé ôç öïñÜ ðïõ ïñßóáìå ùò èåôéêÞ, åíþ áí ðñïêýøåé áñíç-

ôéêÞ, ôüôå èá Ý÷åé ôçí áíôßèåôç öïñÜ.

Fïë > 0, Üñá ç F→

ïë Ý÷åé ôç èåôéêÞ öïñÜ.

F2F5 F1

F3F4

Fïë

F2F5

F1,3

F1

F3F4

F4,5

Fïë

F2F1

Fïë


03a.qxd 9/18/08 12:07 PM Óåëßäá 138


¢óêçóç 1: Óôï åëåýèåñï Üêñï äõíáìïìÝôñïõ áóêïýìå äýíáìç ìÝôñïõ F1 = 20N

êáé ðáñáôçñïýìå åðéìÞêõíóç x1 = 2 cm.

á) Ðïéá åßíáé ç óôáèåñÜ Ê ôïõ åëáôçñßïõ ôïõ äõíáìïìÝôñïõ

â) Áí áóêÞóïõìå äýíáìç ìÝôñïõ F2=60N, ðïéá èá åßíáé ç åðéìÞ-

êõíóç;

ã) Ðüóç äýíáìç ðñÝðåé íá áóêÞóïõìå óôï åëåýèåñï Üêñï ôïõ äõ-

íáìïìÝôñïõ, þóôå íá ðáñáôçñÞóïõìå åðéìÞêõíóç x3=5cm;

Ëýóç

á) Óýìöùíá ìå ôï íüìïõ ôïõ Hooke, ãéá ôï åëáôÞñéï ôïõ äõíáìïìÝôñïõ éó÷ýåé:

F1 = Kx1 ⇒ K = �F

x1

1� = �2

2

c

0

m

N� ⇒

â) F2 = Kx2 ⇒ x2 = �F

K2� = �

10

6

N

0

/

N

cm� ⇒ Þ

â) � �F

F1

2

� = �K

K

x

x1

2

� ⇒ �F

F1

2

� = �x

x1

2

� ⇒ x2 = �F

F2

1

� � x1 = ��6

2

0

0� � 2�cm ⇒

â) ⇒

ã) F3 = Kx3 = 10 N/cm � 5 cm ⇒ Þ

â) � �F

F1

3

� = �K

K

x

x1

3

� ⇒ �F

F1

3

� = �x

x1

3

� ⇒ F3 = �x

x3

1

� � F1 = ��5

2� � 20�N ⇒

â) ⇒

¢óêçóç 2: Óþìá ðïõ âñßóêåôáé áêßíçôï óå ëåßï ïñéæüíôéï ôñáðÝæé, äÝ÷åôáé

ôñåéò ïñéæüíôéåò äõíÜìåéò ìå ìÝôñá F1 = 8N, F2 = 5N êáé F3 = 10N.

Áí ç äýíáìç F→→

3 Ý÷åé áíôßèåôç öïñÜ áðü ôéò äõíÜìåéò F→→

1 êáé F→→

2:

á) íá ó÷åäéÜóåôå ôéò ïñéæüíôéåò äõíÜìåéò ðïõ áóêïýíôáé óôï óþ-

ìá.

F3 = 50N

F1 = Kx1

F3 = Kx3

F3 = 50N

x2 = 6cm

F1 = Kx1

F2 = Kx2

x2 = 6cm

K = 10N/cm


03a.qxd 9/18/08 12:07 PM Óåëßäá 139

â) íá âñåßôå ôç óõíéóôáìÝíç äýíáìç ðïõ áóêåßôáé óôï óþìá êáôÜ

ôçí ïñéæüíôéá äéåýèõíóç.

ã) ðïéá ïñéæüíôéá äýíáìç F→→

4 ðñÝðåé íá áóêçèåß óôï óþìá ôáõôü-

÷ñïíá ìå ôéò F→→

1, F→→

2 êáé F→→

3, þóôå ç óõíéóôáìÝíç äýíáìç êáôÜ ôçí

ïñéæüíôéá äéåýèõíóç íá åßíáé ìçäÝí;

Ëýóç

á)

â) á´ ôñüðïò: ç óõíéóôáìÝíç äýíáìç ðñïò êÜèå êáôåýèõíóç åßíáé:

â) F1, 2 = F1 + F2 = (8 + 5)N ⇒ F1,2 = 13N

â) F3 = 10N

â) Ç ïëéêÞ óõíéóôáìÝíç äýíáìç åðïìÝíùò åßíáé:

Fïë = F1,2 – F3 = (13 – 10)N ⇒

â) â´ ôñüðïò: ïñßæïõìå ôçí ðñïò ôá äåîéÜ öïñÜ ùò èåôéêÞ: → (+)

â) Áðü ôï ó÷Þìá ôïõ åñùôÞìáôïò á), Ý÷ïõìå:

Fïë = F1 + F2 – F3 = (8 + 5 – 10)N ⇒

ã) Ç äýíáìç F→

4 èá ðñÝðåé íá Ý÷åé ôï ßäéï ìÝôñï ìå ôçí F→

Ïë áëëÜ áíôßèåôç öïñÜ:

F4 = Foë ⇒ F4 = 3N

FïëF4

Fïë

Fïë = 3N

Fïë

Fïë = 3N

F2F1

F3


03a.qxd 9/18/08 12:07 PM Óåëßäá 140

¢óêçóç 3: Íá âñåßôå ôá ìÝôñá äýï äõíÜìåùí F→→

1 êáé F→→

2, áí ãíùñßæåôå üôé ç óõ-

íéóôáìÝíç ôïõò Ý÷åé ìÝôñï Foë = 12N êáé F1 = 5F2. Èåùñåßóôå üôé

ïé äõíÜìåéò F→→

1, F→→

2 åßíáé óõããñáìéêÝò.

Ëýóç

Äéáêñßíïõìå äýï ðåñéðôþóåéò:

á) ïé äõíÜìåéò F→→

1, F→→

2 Ý÷ïõí ôçí ßäéá öïñÜ:

á) Ôüôå: Foë = F1 + F2 ⇒

F1 = 5F2

Foë = 5F2 + F2 ⇒ Foë = 6F2 ⇒

á) ⇒ F2 = �F

6oë� = �

1

6

2� N ⇒

F1 = 5F2 = (5 � 2)N ⇒

â) ïé äõíÜìåéò F→→

1, F→→

2 Ý÷ïõí áíôßèåôç öïñÜ:

á) Ôüôå: Foë = F1 – F2 ⇒

F1 = 5F2

Foë = 5F2 – F2 ⇒ Foë = 4F2 ⇒

á) F2 = �F

4oë�

= �1

4

2� N ⇒

á) F1 = 5F2 = (5 � 3)N ⇒ F1 = 15N

F2=3N

F2

Fïë

F1

F1 = 10N

F2 = 2N

F2 Fïë

F1


03a.qxd 9/18/08 12:07 PM Óåëßäá 141

ÅÑÙÔÇÓÅÉÓ

Íá äþóåôå ôïí ïñéóìü ôçò äýíáìçò. Ðïéá åßíáé ç ìïíÜäá äýíáìçò óôï S.I.;

ÁíáöÝñåôå ðáñáäåßãìáôá ðïõ íá áðïäåéêíýïõí üôé ç äýíáìç åßíáé äéáíõ-

óìáôéêü öõóéêü ìÝãåèïò.


Äýíáìç åßíáé ôï ...................öõóéêü ìÝãåèïò, ôï ïðïßï åêöñÜæåé ôï ..............

ðïõ ðñïêáëåß ôéò ìåôáâïëÝò ôçò................ êáôÜóôáóçò ôùí óùìÜôùí Þ ôéò

............. ôïõò.


óåéò:

á) ìïíÜäá äýíáìçò óôï S.I. åßíáé ôï Newton �

â) ãéá íá ïñßóïõìå ðëÞñùò ìéá äýíáìç ðñÝðåé íá ãíùñßæïõìå ôï ìÝôñï êáé ôç

äéåýèõíóÞ ôçò �

ã) ãéá íá ìåôñÞóïõìå ôï ìÝôñï ìéáò äýíáìçò ÷ñçóéìïðïéïýìå ôï äõíáìüìå-

ôñï �

ä) ôï óçìåßï åöáñìïãÞò ìéáò äýíáìçò ðïõ áóêåßôáé ó' Ýíá óþìá, äå âñßóêå-

ôáé ðÜíôá ðÜíù óôï óþìá �

å) ç äýíáìç åêöñÜæåé ôï áßôéï ðïõ áíáãêÜæåé Ýíá áêßíçôï óþìá íá áñ÷ßóåé íá

êéíåßôáé �

Ðïõ óôçñßæåôáé ç áñ÷Þ ëåéôïõñãßáò ôïõ äõíáìïìÝôñïõ;

Ðïéåò ðáñáìïñöþóåéò ïíïìÜæïõìå åëáóôéêÝò; Äþóôå Ýíá ÷áñáêôçñéóôéêü

ðáñÜäåéãìá.


Ïé åëáóôéêÝò ðáñáìïñöþóåéò õðáêïýïõí óôïí ...................., óýìöùíá ìå ôïí

ïðïßï ïé åëáóôéêÝò ðáñáìïñöþóåéò åßíáé.............. ôùí äõíÜìåùí ðïõ ôéò ðñï-

êáëïýí. Ç ìáèçìáôéêÞ ó÷Ýóç ðïõ ðåñéãñÜöåé ôï íüìï áõôü ãéá ôá ..................,

åßíáé.................

Äéáôõðþóôå ôï íüìï ôïõ Hooke êáé åîçãåßóôå ôá öõóéêÜ ìåãÝèç ðïõ ðå-

ñéÝ÷ïíôáé óôç ìáèçìáôéêÞ ôïõ Ýêöñáóç.

Óôï åëåýèåñï Üêñï äõíáìïìÝôñïõ áóêïýìå äýíáìç ìÝôñïõ F1 êáé ðáñá-2.9

2.8

2.7

2.6

2.5

2.4

2.3

2.2

2.1


03a.qxd 9/18/08 12:07 PM Óåëßäá 142

ôçñïýìå åðéìÞêõíóç x1.

á) Áí áóêÞóïõìå ôñéðëÜóéá äýíáìç, íá âñåßôå ôç íÝá åðéìÞêõíóç, óå ó÷Ýóç

ìå ôçí åðéìÞêõíóç x1.

â) Áí ðáñáôçñÞóïõìå åðéìÞêõíóç x3 = �3

2� x1, íá âñåßôå ôï ìÝôñï ôçò äýíáìçò

F3 ðïõ ôçí ðñïêáëåß, óå ó÷Ýóç ìå ôç äýíáìç F1.

Óôï ðáñáêÜôù ó÷Þìá óõìðëçñþóôå êáôÜëëçëá ôá êåíÜ:

Íá ó÷åäéÜóåôå ðïéïôéêÜ ôï äéÜãñáììá äýíáìçò-åðéìÞêõíóçò ãéá Ýíá åëá-

ôÞñéï ðïõ õðáêïýåé óôï íüìï ôïõ Hooke. Ôé åêöñÜæåé ç êëßóç ôçò åõèåßáò

ôïõ äéáãñÜììáôïò;


..................... äýï Þ ðåñéóóïôÝñùí äõíÜìåùí åßíáé ç äýíáìç ðïõ åðéöÝñåé ôï

ßäéï..............., ìå áõôü ðïõ åðéöÝñïõí üëåò ïé äõíÜìåéò ìáæß. Ïé äõíÜìåéò áõ-

ôÝò ïíïìÜæïíôáé ................... Ç äéáäéêáóßá åýñåóçò ôçò óõíéóôáìÝíçò äýï Þ

ðåñéóóïôÝñùí äõíÜìåùí, ïíïìÜæåôáé ................. äõíÜìåùí.


á) ç óõíéóôáìÝíç äýíáìç ðñïêýðôåé áðü ôï äéáíõóìáôéêü Üèñïéóìá ôùí óõ-

íéóôùóþí äõíÜìåùí.

â) ç óõíéóôáìÝíç äýï äõíÜìåùí åßíáé õðáñêôÞ äýíáìç.

ã) ôï ìÝôñï ôçò óõíéóôáìÝíçò äýï ïìüññïðùí äõíÜìåùí éóïýôáé ìå ôï Ü-

èñïéóìá ôùí ìÝôñùí ôïõò.

ä) ôï ìÝôñï ôçò óõíéóôáìÝíçò äýï áíôßññïðùí äõíÜìåùí éóïýôáé ìå ôï Ü-

èñïéóìá ôùí ìÝôñùí ôïõò.

Äþóôå ôïí ïñéóìü ôçò óõíéóôáìÝíçò äýíáìçò. Ôé ïíïìÜæïõìå óýíèåóç äõ-

íÜìåùí;

ÐåñéãñÜøôå ôç äéáäéêáóßá óýíèåóçò äýï äõíÜìåùí F→→

1 êáé F→→

2.

2.14

2.13

2.12

2.11

xi).....

x/2

F

2F

ii).....

2.10


03a.qxd 9/18/08 12:07 PM Óåëßäá 143

á) ßäéáò êáôåýèõíóçò.

â) áíôßèåôçò êáôåýèõíóçò.

Óå Ýíá óþìá ðïõ çñåìåß áóêïýíôáé äýï óõããñáìéêÝò äõíÜìåéò F→→

1 êáé F→→

2.


óåéò.

á) Ç óõíéóôáìÝíç èá Ý÷åé äéåýèõíóç ßäéá ìå ôçò F→

1 �

â) Áí ïé äõíÜìåéò Ý÷ïõí áíôßèåôç öïñÜ, ôï ìÝôñï ôçò óõíéóôáìÝíçò åßíáé ìé-

êñüôåñï ôüóï áð’ ôï ìÝôñï ôçò F→

1 üóï êáé ôçò F→

2 �

ã) Áí ïé äõíÜìåéò Ý÷ïõí ôçí ßäéá öïñÜ, ãéá ôï ìÝôñï ôçò óõíéóôáìÝíçò èá é-

ó÷ýåé: Fïë = F1 + F2 �

ä) Áí ïé äõíÜìåéò Ý÷ïõí ßóá ìÝôñá êáé áíôßèåôç öïñÜ, ç óõíéóôáìÝíç èá åßíáé

ßóç ìå ìçäÝí �

Óôá áêüëïõèá ó÷Þìáôá ó÷åäéÜóôå ðïéïôéêÜ ôç óõíéóôáìÝíç äýíáìç.

á) â)

ã)

Óå Ýíá óþìá áóêïýíôáé äýï óõããñáìéêÝò äõíÜìåéò 3Í êáé 5Í áíôßóôïé÷á.

Ôï ìÝôñï ôçò óõíéóôáìÝíçò äýíáìçò ìðïñåß íá åßíáé:

á) 8Í â) 5Í ã) 3Í ä) 2Í

2.17

FF

F2 F1F2

F1

2.16

2.15


03a.qxd 9/18/08 12:07 PM Óåëßäá 144


Óå Ýíá äõíáìüìåôñï áóêïýìå äéáöïñåôéêÝò äõíÜìåéò êáé õðïëïãßæïõìå ôçí

åðéìÞêõíóÞ ôïõ

á) Óõìðëçñþóôå ôïí áêüëïõèï ðßíáêá:

â) Íá ó÷åäéÜóåôå ôï äéÜãñáììá ôçò äýíáìçò ðïõ åðéìçêýíåé ôï äõíáìüìåôñï

óå óõíÜñôçóç ìå ôçí åðéìÞêõíóÞ ôïõ.

ã) Íá õðïëïãßóåôå ôç óôáèåñÜ ôïõ åëáôçñßïõ (Ê) ôïõ äõíáìïìÝôñïõ

ã) i) áðü ôçí êëßóç ôçò ãñáöéêÞò ðáñÜóôáóçò

ã) ii) áðü ôï íüìï ôïõ Hook

Ôï åëáôÞñéï ôïõ äéðëáíïý ó÷Þìáôïò åðéìç-

êýíåôáé êáôÜ 15cm, üôáí óôï åëåýèåñï Üêñï

ôïõ áóêçèåß äýíáìç ìÝôñïõ F1=60N.

á) Íá âñåßôå ôç óôáèåñÜ Ê ôïõ åëáôçñßïõ

â) Íá õðïëïãßóåôå ôç äýíáìç ðïõ ðñÝðåé íá

áóêÞóïõìå þóôå ôï åëáôÞñéï íá åðéìçêõí-

èåß óå ó÷Ýóç ìå ôï áñ÷éêü ôïõ ìÞêïò êáôÜ

22cm.

ã) Áí áóêÞóïõìå äýíáìç F ßóç ìå ôï �1

3� ôçò áñ÷éêÞò äýíáìçò F, ðüóç èá åß-

íáé ç åðéìÞêõíóç ôïõ åëáôçñßïõ;

Óå Ýíá óþìá áóêïýíôáé äýï äõíÜìåéò ìå ìÝôñá F1 = 8N êáé F2 = 13N. Íá

âñåßôå ôç óõíéóôáìÝíç ôùí äõíÜìåùí áõôþí, üôáí ôá äéáíýóìáôÜ ôïõò ó÷ç-

ìáôßæïõí ìåôáîý ôïõò ãùíßá:

i) 0° ii) 180°

Äßíïíôáé ôá ìÝôñá ôùí äõíÜìåùí ôïõ ðáñáêÜôù ó÷Þìáôïò: F1 = 5N, F2 = 3N,

F3 = 7N, F4 = 10N. Íá âñåßôå ôç óõíéóôáìÝíç óå êÜèå ìßá áðü ôéò áêüëïõ-

èåò ðåñéðôþóåéò:

á) â) F3F4

F3

F1

2.21

2.20

F1

15cm

2.19

2.18


Äýíáìç (Í) 60 75 80

ÅðéìÞêõíóç (cm) 10 16 18

03a.qxd 9/18/08 12:07 PM Óåëßäá 145

ã) ä)

å) óô)

Äýï óõããñáììéêÝò äõíÜìåéò F→→

1 êáé F→→

2 áóêïýíôáé óå Ýíá óþìá. Áí ãíùñß-

æïõìå üôé F1 = ��5

2�� F2 êáé üôé ç óõíéóôáìÝíç ôïõò Ý÷åé ìÝôñï Fïë = 30N ðïõ

åßíáé ìéêñüôåñï áð´ ôï ìÝôñï ôçò F→→

1, íá áðáíôÞóåôå óôéò åñùôÞóåéò:

á) Ïé äõíÜìåéò F→

1 êáé F→

2 Ý÷ïõí ßäéá Þ áíôßèåôç öïñÜ;

â) Ðïéá åßíáé ôá ìÝôñá ôùí äõíÜìåùí F→

1 êáé F→

2;

Óôï óþìá ðïõ öáßíåôáé óôï áêüëïõèï ó÷Þìá áóêïýíôáé ôñåéò óõããñáìéêÝò

äõíÜìåéò F→→

1, F→→

2, F→→

3

Áí ãíùñßæåôå üôé ôá ìÝôñá ôùí äõíÜìåùí áõôþí óõíäÝïíôáé ìå ôéò ó÷Ýóåéò

F1 = 2F2, F2 = ��2

3�� F3 êáé üôé ôï ìÝôñï ôçò óõíéóôáìÝíçò åßíáé 15Í, íá âñåß-

ôå ôá ìÝôñá ôùí äõíÜìåùí áõôþí.

Óå êÜèå ìéá áðü ôéò ðáñáêÜôù ðåñéðôþóåéò íá âñåßôå ôçí êáôåýèõíóç ôçò

äýíáìçò ðïõ èá ðñÝðåé íá áóêçèåß, þóôå ç óõíéóôáìÝíç óå êÜèå ðåñß-

ðôùóç íá åßíáé ìçäÝí. Íá õðïëïãßóåôå êáé ôï ìÝôñï ôçò äýíáìçò áõôÞò áí

äßíåôáé üôé F1=10N êáé F2=15N.

á) â)

ã) F1 F2

F1

F2F1F2

F1

2.24

F2

F1

F3

2.23

2.22

F3F3

F2 F1F4

F4 F3

F2 F1

F4 F3

F2F1F3

F2


03a.qxd 9/18/08 12:07 PM Óåëßäá 146

2.3 Ï 1ïò ÍÏÌÏÓ ÔÏÕ ÍÅÕÔÙÍÁ

Ï èåìåëéþäçò ñüëïò ôçò äýíáìçò åßíáé íá ìåôáâÜëëåé ôçí êéíçôéêÞ êáôÜóôáóç

ôïõ óþìáôïò ðÜíù óôï ïðïßï áóêåßôáé. Ç êéíçôéêÞ êáôÜóôáóç åíüò óþìáôïò ìåôá-

âÜëëåôáé, üôáí ìåôáâÜëëåôáé ç ôá÷ýôçôÜ ôïõ.

Ãéá ðáñÜäåéãìá, ìåôáâïëÞ óôçí êéíçôéêÞ êáôÜóôáóç åíüò óþìáôïò Ý÷ïõìå üôáí,

Ýíá áõôïêßíçôï îåêéíÜ áðü ôçí çñåìßá, Ýíá ôñÝíï óôáìáôÜ êáèþò öôÜíåé óôï óôáè-

ìü ê.ô.ë.

Á ä ñ Ü í å é á

Ó÷üëéá:

1) Óýìöùíá ìå ôïí ïñéóìü ôçò áäñÜíåéáò:

1) � Ýíá óþìá ðïõ åßíáé áñ÷éêÜ áêßíçôï ôåßíåé íá ðáñáìåßíåé áêßíçôï

1) � Ýíá óþìá ðïõ êéíåßôáé ôåßíåé íá äéáôçñÞóåé ôçí ôá÷ýôçôÜ ôïõ.

2) Ç áäñÜíåéá åßíáé éäéüôçôá ôçò ýëçò êáé ü÷é öõóéêü ìÝãåèïò Þ óôáèåñÜ.

3) ÌÝôñï ôçò áäñÜíåéáò åíüò óþìáôïò åßíáé ç ìÜæá ôïõ. Óþìáôá ìåãÜëçò ìÜ-

æáò Ý÷ïõí ìåãÜëç áäñÜíåéá, äçëáäÞ áíôéóôÝêïíôáé ðåñéóóüôåñï óôéò ìåôáâï-

ëÝò ôçò êéíçôéêÞò ôïõò êáôÜóôáóçò.

Ðáñáäåßãìáôá:

á) Ó' Ýíá áõôïêßíçôï ðïõ öñåíÜñåé áðüôïìá, ïé åðéâÜôåò ôéíÜóóïíôáé ðñïò ôá å-

ìðñüò, äéüôé ëüãù áäñÜíåéáò ôåßíïõí íá äéáôçñÞóïõí ôçí êéíçôéêÞ ôïõò êáôÜ-

óôáóç. Åðßóçò ãéá ôïí ßäéï ëüãï ïé åðéâÜôåò ðÝöôïõí ðñïò ôá ðßóù, üôáí Ýíá

áõôïêßíçôï îåêéíÜ áðüôïìá.

õ

õ õÖÑÅÍÁÑÉÓÌÁ

ÁäñÜíåéá åßíáé ç ÷áñáêôçñéóôéêÞ éäéüôçôá ôùí óùìÜôùí íá áíôéóôÝêïíôáé

óôç ìåôáâïëÞ ôçò êéíçôéêÞò ôïõò êáôÜóôáóçò, äçëáäÞ óôçí åðéôÜ÷õíóç

Þ ôçí åðéâñÜäõíóç.


03a.qxd 9/18/08 12:07 PM Óåëßäá 147

â) ¼ôáí ôéíÜæïõìå ìå äýíáìç ôá âñåãìÝíá ÷Ýñéá ìáò ãéá íá öýãïõí ïé óôáãüíåò,

ëüãù áäñÜíåéáò ïé óôáãüíåò åãêáôáëåßðïõí ôá ÷Ýñéá ìáò, áêüìç êáé üôáí ç êß-

íçóç ôùí ÷åñéþí ìáò Ý÷åé óôáìáôÞóåé.

ã) ÐåñéóôñÝöïíôáò Ýíá íÞìá óôï åëåýèåñï Üêñï ôïõ ïðïßïõ Ý÷ïõìå ðñïóäÝóåé

ìéá ðÝôñá, ðáñáôçñïýìå üôé üôáí ôï íÞìá êïðåß, ç ðÝôñá óõíå÷ßæåé íá êéíåßôáé

ôåßíïíôáò íá äéáôçñÞóåé ôçí êéíçôéêÞ ôçò êáôÜóôáóç.

1 ï ò í ü ì ï ò ô ï õ Í å ý ô ù í á

¸ôóé,

Ï ðñþôïò íüìïò ôïõ Íåýôùíá äéáôõðþíåé ìå óáöÞíåéá ôá óõìðåñÜóìáôá ó÷åôé-

êÜ ìå ôçí áäñÜíåéá ôçò ýëçò. Åßíáé ðñïöáíÝò ëïéðüí, üôé áí èÝëïõìå íá áëëÜîïõìå

ôçí êéíçôéêÞ êáôÜóôáóç åíüò óþìáôïò, èá ðñÝðåé íá áóêÞóïõìå óå áõôü ìéá ìç ìç-

äåíéêÞ äýíáìç (Þ ðïëëÝò äõíÜìåéò ðïõ ç óõíéóôáìÝíç ôïõò äåí åßíáé ìçäÝí).

É ó ï ñ ñ ï ð ß á ó ç ì å é á ê ï ý á í ô é ê å é ì Ý í ï õ

Ìå ôïí üñï óçìåéáêü áíôéêåßìåíï, åííïïýìå êÜèå áíôéêåßìåíï ôïõ ïðïßïõ ç ìÜæá

èåùñïýìå üôé åßíáé óõãêåíôñùìÝíç ó' Ýíá óçìåßï, äçëáäÞ äåí Ý÷åé äéáóôÜóåéò.

õ→→

= 0

Þ ⇔⇔ F→→

ïë = 0

õ→→

= óôáè.

Áí ç óõíéóôáìÝíç ôùí äõíÜìåùí ðïõ áóêïýíôáé ó' Ýíá óþìá åßíáé ìçäÝí

Þ áí óôï óþìá äåí áóêåßôáé êáìßá äýíáìç, ôüôå áõôü åßôå ðáñáìÝíåé áêß-

íçôï åßôå êéíåßôáé åõèýãñáììá êáé ïìáëÜ.

õ


03a.qxd 9/18/08 12:07 PM Óåëßäá 148

¼ôáí Ýíá óçìåéáêü áíôéêåßìåíï éóïññïðåß, åßôå åßíáé áêßíçôï åßôå êéíåßôáé ìå óôá-

èåñÞ ôá÷ýôçôá.


¢óêçóç 1: Óå óþìá ðïõ êéíåßôáé ìå óôáèåñÞ ôá÷ýôçôá áóêïýíôáé ïé ïñéæü-

íôéåò äõíÜìåéò ìå ìÝôñá F1 = 10N êáé F2 = 7N, áíôßóôïé÷á.

á) Áóêåßôáé Üëëç ïñéæüíôéá äýíáìç óôï óþìá; Äéêáéïëïãåßóôå ôçí

áðÜíôçóÞ óáò.

â) Íá õðïëïãßóåôå ôç äýíáìç áõôÞ.

Ëýóç

á) Ôï óþìá åêôåëåß åõèýãñáììç ïìáëÞ êßíçóç, Üñá óýìöùíá ìå ôïí ðñþôï íüìï

ôïõ Íåýôùíá, ç óõíéóôáìÝíç ôùí äõíÜìåùí ðïõ áóêïýíôáé ó' áõôü èá ðñÝðåé

íá åßíáé ìçäÝí:

Fïë = F1 – F2 = (10 – 7)N ⇒ Fïë = 3N �� 0

á) Óõìðåñáßíïõìå ëïéðüí üôé óôï óþìá ðñÝðåé íá áóêåßôáé êáé ìßá ôñßôç äýíáìç F→

3.

â) Ç äýíáìç F→

3 èá ðñÝðåé íá åßíáé ïìüññïðç ôçò F→

2, þóôå íá åîïõäåôåñþíïõí

ìáæß ôçí F→

1 êáé íá äßíïõí óõíéóôáìÝíç ìçäÝí:

Fïë = 0 ⇒ F1 – F2 – F3 = 0 ⇒ F3 = F1 – F2 = (10 – 7)N ⇒ F3 = 3N

F1F2

õ=óôáèåñÞ

F→→

ïë = 0 ⇔⇔ ÉÓÏÑÑÏÐÉÁ

ÓÇÌÅÉÁÊÏÕ

ÁÍÔÉÊÅÉÌÅÍÏÕ ⇔⇔

¹

ÄÕÍÁÌÅÙÍ

õ→→

= 0 (áêéíçóßá)

Þ

õ→→

= óôáèåñÞ (åõèýãñáììç ïìá-

ëÞ êßíçóç)

¸íá óçìåéáêü áíôéêåßìåíï éóïññïðåß, üôáí ç óõíéóôáìÝíç ôùí äõíÜìåùí

ðïõ áóêïýíôáé ó' áõôü åßíáé ìçäÝí.


03a.qxd 9/18/08 12:07 PM Óåëßäá 149

¢óêçóç 2: Ç áñÜ÷íç ôïõ ó÷Þìáôïò Ý÷åé âÜñïò Â=1Í êáé êñÝìåôáé áêßíçôç á-

ðü ôï ôáâÜíé ìéáò áðïèÞêçò.

á) Ðïéï åßíáé ôï ìÝôñï ôçò äýíáìçò ðïõ áóêåß ï éóôüò óôçí áñÜ-

÷íç;

â) Èá áóêçèåß ìåãáëýôåñç äýíáìç óôçí áñÜ÷íç áðü ôïí éóôü ôçò,

áí ç áñÜ÷íç áñ÷ßóåé íá êáôåâáßíåé ìå óôáèåñÞ ôá÷ýôçôá;

Ëýóç

á) Ç áñÜ÷íç åßíáé áêßíçôç, óõíåðþò ç óõíéóôáìÝíç ôùí äõíÜìåùí ðïõ áóêïýíôáé

ó' áõôÞí åßíáé ìçäÝí. Óôçí áñÜ÷íç áóêïýíôáé ôï âÜñïò ôçò Â→

êáé ç äýíáìç F→

áðü ôïí éóôü ôçò:

Fïë = 0 ⇒ B – F = 0 ⇒ F = B ⇒

â) Óýìöùíá ìå ôïí ðñþôï íüìï ôïõ Íåýôùíá, åðåéäÞ ç áñÜ÷íç êéíåßôáé ìå óôá-

èåñÞ ôá÷ýôçôá, ç óõíéóôáìÝíç ôùí äõíÜìåùí ðïõ áóêïýíôáé ó' áõôÞí åßíáé ìç-

äÝí. ¢ñá óõìðåñáßíïõìå üôé óôçí áñÜ÷íç èá áóêåßôáé ç ßäéá äýíáìç áðü ôïí

éóôü ôçò.

¢óêçóç 3: ¸íá óþìá êéíåßôáé óå ïñéæüíôéï åðßðåäï ìå óôáèåñÞ ôá÷ýôçôá õ.

á) Åßíáé äõíáôüí êáôÜ ôç äéåýèõíóç ôçò êßíçóçò íá áóêåßôáé ìüíï

ìßá äýíáìç F1 óôï óþìá;

â) Áí óôï óþìá áóêïýíôáé êáôÜ ôç äéåýèõíóç ôçò êßíçóÞò ôïõ

äýï äõíÜìåéò ìå ìÝôñá F1 = 20N êáé F2 = 15N, åßíáé äõíáôüí ôï

óþìá íá ðñáãìáôïðïéåß åõèýãñáììç ïìáëÞ êßíçóç; Áí ü÷é,

ðïéï åßíáé ôï ìÝôñï ìéáò ôñßôçò äýíáìçò F→

3 ðïõ ðñÝðåé íá á-

óêåßôáé êáôÜ ôç äéåýèõíóç ôçò êßíçóçò óôï óþìá, þóôå áõôü íá

êéíåßôáé ìå óôáèåñÞ ôá÷ýôçôá;

F = 1N

F

Â

F1

F3

F2


03a.qxd 9/18/08 12:07 PM Óåëßäá 150

Ëýóç

á) Áõôü äå ìðïñåß íá óõìâáßíåé, äéüôé ãéá íá êéíåßôáé ôï óþìá ìå óôáèåñÞ ôá÷ý-

ôçôá èá ðñÝðåé ç óõíéóôáìÝíç ôùí äõíÜìåùí êáôÜ ôç äéåýèõíóç ôçò êßíçóçò

íá åßíáé ìçäÝí.

â) Ïé äõíÜìåéò F→

1 êáé F→

2 åßôå Ý÷ïõí ßäéá åßôå áíôßèåôç öïñÜ, äåí äßíïõí óõíéóôá-

ìÝíç ìçäÝí, ãéáôß F1 � F2. Áõôü óõíåðÜãåôáé üôé ôï óþìá äåí åßíáé äõíáôüí íá

ðñáãìáôïðïéçèåß åõèýãñáììç ïìáëÞ êßíçóç. Ãéá íá õðïëïãßóïõìå ôï ìÝôñï

ôçò ôñßôçò äýíáìçò F→

3, þóôå ôï óþìá íá êéíåßôáé ìå óôáèåñÞ ôá÷ýôçôá, äéá-

êñßíïõìå ôéò åîÞò ðåñéðôþóåéò:

â) • ïé äõíÜìåéò F1, F2 Ý÷ïõí ßäéá öïñÜ:

Fïë = 0 ⇒ F1 + F2 – F3 = 0 ⇒ F3 = F1 + F2 = (20 + 15)N ⇒

â) • ïé äõíÜìåéò F1, F2 Ý÷ïõí áíôßèåôç öïñÜ:

Fïë = 0 ⇒ F1 – F2 – F3 = 0 ⇒ F3 = F1 – F2 = (20 – 15)N ⇒ F3 = 5N

F3

F1F2

F3 = 35N

F3

F1

F2


03a.qxd 9/18/08 12:07 PM Óåëßäá 151

ÅÑÙÔÇÓÅÉÓ

Ôé åííïïýìå ìå ôïí üñï «áëëáãÞ ôçò êéíçôéêÞò êáôÜóôáóçò åíüò óþìáôïò»;

Íá áíáöÝñåôå ó÷åôéêÜ ðáñáäåßãìáôá.

Ôé åßíáé ç áäñÜíåéá; Äþóôå ðáñáäåßãìáôá ðïõ íá ðåñéãñÜöïõí ôçí áäñÜ-

íåéá ôùí óùìÜôùí. Ðïéï åßíáé ôï ìÝôñï ôçò áäñÜíåéáò åíüò óþìáôïò;

ÊáôáôÜîôå ôá êåíÜ ôïõ ðáñáêÜôù êåéìÝíïõ:

Ç áäñÜíåéá åßíáé ................. ôçò ýëçò. ÅêöñÜæåé ôçí................. ôùí óùìÜôùí

íá áíôéóôÝêïíôáé óôçí ...................ôçò êéíçôéêÞò ôïõò êáôÜóôáóçò. Ôï ìÝôñï

ôçò áäñÜíåéáò åíüò óþìáôïò åßíáé ç ............ôïõ.

ÊáôáôÜîôå ôá ðáñáêÜôù óþìáôá, áðü ôï óþìá ìåãáëýôåñçò óôï óþìá ìé-

êñüôåñçò áäñÜíåéáò:

ðïýðïõëï, âéâëßï, áõôïêßíçôï, êáñößôóá, åðéâáôéêü ðëïßï.

Ç áäñÜíåéá ðïõ ðáñïõóéÜæïõí äýï óþìáôá åßíáé ç ßäéá, üôáí:

á) Ý÷ïõí ßóåò ôá÷ýôçôåò �

â) áðïôåëïýíôáé áðü ôï ßäéï õëéêü �

ã) Ý÷ïõí ßóåò ìÜæåò �

ä) áóêïýíôáé ó' áõôÜ ßóåò äõíÜìåéò �

Ðïéá áðü ôéò ðáñáðÜíù ðñïôÜóåéò åßíáé ç óùóôÞ;

Óå ìéá ôáéíßá äñÜóçò, ï ðñùôáãùíéóôÞò ðåôÜåé Ýíáí êáêïðïéü Ýîù áðü ôï

áõôïêßíçôü ôïõ, ðïõ êéíåßôáé ìå ìåãÜëç ôá÷ýôçôá. Åîçãåßóôå ãéáôß ï êáêï-

ðïéüò èá êõëéóôåß óôï ïäüóôñùìá ðñïôïý óôáìáôÞóåé.


óåéò:

á) ¼óï ìåãáëýôåñç äýíáìç áóêåßôáé ó' Ýíá óþìá, ôüóï ìåãáëýôåñç åßíáé ç

áäñÜíåéÜ ôïõ �

â) ¸íá áêßíçôï óþìá äåí Ý÷åé áäñÜíåéá �

ã) ÌåãÜëåò ìÜæåò Ý÷ïõí ìåãÜëç áäñÜíåéá �

2.31

2.30

2.29

2.28

2.27

2.26

2.25


03a.qxd 9/18/08 12:07 PM Óåëßäá 152

ä) ¼ëá ôá óþìáôá áíôéóôÝêïíôáé óå åíäå÷üìåíåò ìåôáâïëÝò ôçò êéíçôéêÞò

ôïõò êáôÜóôáóçò �

Äéáôõðþóôå ôïí 1ï íüìï ôïõ Íåýôùíá. Ôé åííïïýìå üôáí ëÝìå éóïññïðßá

óçìåéáêïý áíôéêåéìÝíïõ;

Ç óõíéóôáìÝíç ôùí äõíÜìåùí ðïõ áóêïýíôáé óå Ýíá óþìá åßíáé ìçäÝí. ÂÜ-

óåé áõôÞò ôçò ðëçñïöïñßáò óõìðåñáßíïõìå üôé:

á) Ôï óþìá åßíáé áêßíçôï.

â) Ôï óþìá éóïññïðåß.

ã) Ôï óþìá åßôå åßíáé áêßíçôï åßôå åêôåëåß åõèýãñáììç ïìáëÞ êßíçóç.

ä) Ôï Üèñïéóìá ôùí ìÝôñùí üëùí ôùí äõíÜìåùí åßíáé ìçäÝí.

Ìå ðïéåò áðü ôéò ðáñáðÜíù ðñïôÜóåéò óõìöùíåßôå;


Áí ç óõíéóôáìÝíç ôùí äõíÜìåùí ðïõ áóêïýíôáé ó' Ýíá óþìá åßíáé.............., ôï

óþìá åßôå ðáñáìÝíåé áêßíçôï åßôå åêôåëåß ................. Óôçí ðåñßðôùóç áõôÞ ëÝ-

ìå üôé ôï óþìá ................. Þ üôé Ý÷ïõìå.................. äõíÜìåùí.

Óõìðëçñþóôå ìå Ó (óùóôü) Þ Ë (ëÜèïò) äßðëá áðü ôéò áêüëïõèåò ðñïôÜóåéò.

¸íá óþìá êéíåßôáé åõèýãñáììá ìå óôáèåñÞ ôá÷ýôçôá õ. Ç óõíéóôáìÝíç ôùí

äõíÜìåùí ðïõ áóêïýíôáé óôï óþìá:

á) ¸÷åé óôáèåñü ìÝôñï êáé êáôåýèõíóç �

â) ¸÷åé ôçí êáôåýèõíóç ôçò ôá÷ýôçôáò �

ã) Åßíáé ìçäåíéêÞ �

ä) ÅîáñôÜôáé áð´ ôï ìÝôñï ôçò ôá÷ýôçôáò �

å) Åßíáé áíÜëïãç ôïõ ÷ñüíïõ �

óô) åßíáé áíÜëïãç ôïõ äéáóôÞìáôïò ðïõ äéáíýåé ôï óþìá �

¸íá óþìá êéíåßôáé åõèýãñáììá êáé ïìáëÜ. Áí óå áõôü áóêïýíôáé ôñåéò óõã-

ãñáììéêÝò äõíÜìåéò ìå äéåýèõíóç ßäéá ìå ôçò ôá÷ýôçôáò êáé ãéá ôá ìÝôñá

ôïõò éó÷ýåé F1>F2>F3, íá ó÷åäéÜóåôå ôéò öïñÝò ôïõò þóôå íá åîçãåßôáé ôï

åßäïò ôçò êßíçóçò ôïõ óþìáôïò.


á) ¼ôáí äýï óþìáôá åßíáé áêßíçôá Ý÷ïõí ôçí ßäéá áäñÜíåéá.

â) ¼ôáí Ýíá óçìåéáêü áíôéêåßìåíï éóïññïðåß ðáñáìÝíåé áêßíçôï.

ã) ¼ôáí Ýíá óþìá åêôåëåß åõèýãñáììç ïìáëÞ êßíçóç ç óõíéóôáìÝíç äýíáìç

2.37

2.36

2.35

2.34

2.33

2.32


03a.qxd 9/18/08 12:07 PM Óåëßäá 153

ðïõ áóêåßôáé ó' áõôü Ý÷åé ôçí êáôåýèõíóç ôçò ôá÷ýôçôÜò ôïõ.

ä) ¼ôáí Ýíá óþìá ðáñáìÝíåé áêßíçôï ç óõíéóôáìÝíç äýíáìç ðïõ áóêåßôáé ó'

áõôü åßíáé ìçäÝí.

å) ¸íá óþìá ðáýåé íá êéíåßôáé. Áõôü óçìáßíåé üôé ðáýïõí íá áóêïýíôáé ðÜíù

ôïõ äõíÜìåéò.

Äýï áõôïêßíçôá Á êáé Â êéíïýíôáé ìå óôáèåñÝò ôá÷ýôçôåò õA êáé õB áíôß-

óôïé÷á óå åõèýãñáììï äñüìï. Áí ãéá ôá ìÝôñá ôùí ôá÷õôÞôùí ôïõò éó÷ýåé

üôé õA > õB ìðïñïýìå íá óõìðåñÜíïõìå üôé ç óõíéóôáìÝíç ôùí äõíÜìåùí

ðïõ áóêïýíôáé óôï áõôïêßíçôï Á åßíáé ìåãáëýôåñç áðü ôç óõíéóôáìÝíç ðïõ

áóêåßôáé óôï áõôïêßíçôï Â;

Ï Üíèñùðïò ôïõ ó÷Þìáôïò áóêåß óôï êéâþôéï äýíáìç ìÝôñïõ 50Í ôñáâþ-

íôáò ôï ðñïò ôá äåîéÜ, åíþ ôï êéâþôéï êéíåßôáé ìå óôáèåñÞ ôá÷ýôçôá ìÝôñïõ

õ=2,5 m/s. Ç óõíéóôáìÝíç äýíáìç ðïõ äÝ÷åôáé ôï êéâþôéï:

á) Ý÷åé öïñÜ ðñïò ôá äåîéÜ

â) Ý÷åé ìÝôñï ßóï ìå 50Í

ã) åßíáé ìçäÝí.

ä) Ý÷åé ìÝôñï ðïõ ãéá ôïí õðïëïãéóìü ôïõ ðñÝðåé íá ãíùñßæïõìå êáé ôç äý-

íáìç ôçò ôñéâÞò ðïõ áóêåßôáé áðü ôï äÜðåäï óôï êéâþôéï.

Ðïéá áðü ôéò ðáñáðÜíù ðñïôÜóåéò åßíáé óùóôÞ;

Óôá áêüëïõèá ó÷Þìáôá íá ó÷åäéÜóåôå ôçí êáôÜëëçëç äýíáìç (ìÝôñï êáé êá-

ôåýèõíóç) ðïõ ðñÝðåé íá áóêçèåß þóôå ôï óçìåéáêü áíôéêåßìåíï óå êÜèå

ðåñßðôùóç íá éóïññïðåß.

á) â)

20N10N20N

40N

2.40

F

õ

2.39

2.38


03a.qxd 9/18/08 12:07 PM Óåëßäá 154


Óå Ýíá óþìá áóêïýíôáé ôñåéò äõíÜìåéò ìå ìÝôñá F1 = 5N, F2 = 9N, F3 = 10N

êáé êáôåõèýíóåéò ðïõ öáßíïíôáé óôï ðáñáêÜôù ó÷Þìá:

á) ÕðÜñ÷åé ðåñßðôùóç ôï óþìá íá êéíåßôáé ìå óôáèåñÞ ôá÷ýôçôá;

â) Íá âñåßôå ôç äýíáìç F→

4 (ìÝôñï êáé êáôåýèõíóç) ðïõ ðñÝðåé íá áóêçèåß óôï

óþìá, þóôå áõôü íá åêôåëåß åõèýãñáììç ïìáëÞ êßíçóç.

Ôï áåñüóôáôï ôïõ äéðëáíïý ó÷Þìáôïò áíå-

âáßíåé ìå óôáèåñÞ ôá÷ýôçôá õ. Áí ãíùñßæåôå

üôé áóêïýíôáé ó' áõôü äýï äõíÜìåéò F→→

1 êáé F→→

2

êáé üôé ç F→→

1 Ý÷åé ìÝôñï 950Í:

á) Íá ó÷åäéÜóåôå áõôÝò ôéò äýï äõíÜìåéò

â) Íá õðïëïãßóåôå ôç óõíéóôáìÝíç ôùí äõíÜìåùí ðïõ áóêïýíôáé óôï áåñü-

óôáôï.

ã) Ðïéï åßíáé ôï ìÝôñï ôçò äýíáìçò F→

2;

Äßíïíôáé ôá äéáãñÜììáôá ôá÷ýôçôáò-÷ñüíïõ (õ-t) ãéá ôñßá óþìáôá Á, Â êáé Ã.

õ(m/s)

t(s)

20

10

Óþìá Â

0

õ(m/s)

t(s)

20

10

Óþìá Á

0

2.43

õ

2.42

F1

F3F2

2.41


03a.qxd 9/18/08 12:07 PM Óåëßäá 155

á) Íá êáôáôÜîåôå ôç óõíéóôáìÝíç äýíáìç ðïõ äÝ÷åôáé êÜèå óþìá áð´ ôç ìå-

ãáëýôåñç óôç ìéêñüôåñç

â) Áí óôï óþìá Á áóêïýíôáé ôñåéò äõíÜìåéò F→

1, F→

2 êáé F→

3 êáé F→

1 = 5N, F→

2 = 6N,

íá âñåßôå ôï ìÝôñï êáé ôçí êáôåýèõíóç ôçò F→

3 (2 ðåñéðôþóåéò)

Ôï óþìá ôïõ ðáñáêÜôù ó÷Þìáôïò åêôåëåß åõèýãñáììç ïìáëÞ êßíçóç. Áí ãéá

ôá ìÝôñá ôùí äõíÜìåùí ðïõ áóêïýíôáé ó' áõôü éó÷ýïõí ïé ó÷Ýóåéò F1=(2K)N

F2=10N, F3 = (7K)N, íá âñåèïýí ôá ìÝôñá ôùí äõíÜìåùí F→→

1 êáé F→→

3.

Ï áñéèìüò Ê åßíáé èåôéêüò áêÝñáéïò

¸íá óþìá êéíåßôáé ìå óôáèåñÞ ôá÷ýôçôá. Óôï óþìá áõôü ãíùñßæïõìå üôé á-

óêïýíôáé äýï äõíÜìåéò áíôßèåôçò öïñÜò ìå ìÝôñá F1 = 20N êáé F2 = 8N.

á) ÄÝ÷åôáé Üëëç äýíáìç ôï óþìá óôç äéåýèõíóç ôçò êßíçóÞò ôïõ; (Äéêáéïëï-

ãåßóôå ôçí áðÜíôçóÞ óáò.)

â) Áí íáé, õðïëïãßóôå ôç äýíáìç áõôÞ êáé âñåßôå ôçí êáôåýèõíóÞ ôçò.

(2 ðåñéðôþóåéò)

2.45

F1F3 F2

2.44

õ(m/s)

t(s)

Óþìá Ã

0


03a.qxd 9/18/08 12:07 PM Óåëßäá 156

2.4 Ï 2ïò ÍÏÌÏÓ ÔÏÕ ÍÅÕÔÙÍÁ

¼ðùò åßäáìå óôçí ðñïçãïýìåíç åíüôçôá, üôáí ç óõíéóôáìÝíç ôùí äõíÜìåùí ðïõ

áóêïýíôáé ó' Ýíá óþìá åßíáé ìçäÝí, ôüôå ôï óþìá åßôå çñåìåß åßôå êéíåßôáé ìå óôáèå-

ñÞ ôá÷ýôçôá. Ôé ãßíåôáé üìùò üôáí ç óõíéóôáìÝíç äýíáìç äåí åßíáé ìçäÝí; Áí ôï óþ-

ìá áñ÷éêÜ çñåìåß, áñ÷ßæåé íá êéíåßôáé. Áí áñ÷éêÜ êéíåßôáé, ç äýíáìç ìðïñåß íá áõîÞ-

óåé Þ íá åëáôôþóåé ôï ìÝôñï ôçò ôá÷ýôçôÜò ôïõ. Óå êÜèå ìßá áðü ôéò ðáñáðÜíù ðå-

ñéðôþóåéò, ôï óþìá Ý÷åé åðéôÜ÷õíóç. Ç ó÷Ýóç ðïõ óõíäÝåé åðéôÜ÷õíóç êáé äýíáìç

åßíáé ï äåýôåñïò íüìïò ôïõ Íåýôùíá.

Ãéá íá êáôáíïÞóïõìå êáëýôåñá ôç ó÷Ýóç åðéôÜ÷õíóçò – äýíáìçò, áò ìåëåôÞ-

óïõìå ôá áêüëïõèá ðåéñÜìáôá:

Ðåßñáìá 1ï:

Èåùñïýìå Ýíá óþìá ìÜæáò m, ôï ïðïßï âñßóêåôáé óå ëåßï ïñéæüíôéï åðßðåäï. Óôï

óþìá áõôü áóêåßôáé ìéá ïñéæüíôéá äýíáìç F→→

êáé ðáñáôçñïýìå üôé áõôü áðïêôÜ åðé-

ôÜ÷õíóç á→→

:

Óôç óõíÝ÷åéá áóêïýìå óôï óþìá äéðëÜóéá äýíáìç 2F→→

, êáé ðáñáôçñïýìå üôé ôï

óþìá áðïêôÜ äéðëÜóéá åðéôÜ÷õíóç 2á→→

:

Ïìïßùò, üôáí áóêÞóïõìå ôñéðëÜóéá äýíáìç 3F→→

óôï óþìá, áõôü èá áðïêôÞóåé

ôñéðëÜóéá åðéôÜ÷õíóç 3á→→

ê.ï.ê.

3Fm

3á

2Fm

2á

Fm

á


03a.qxd 9/18/08 12:07 PM Óåëßäá 157

ÓõìðÝñáóìá:

Ç åðéôÜ÷õíóç ðïõ áðïêôÜ Ýíá óþìá åßíáé áíÜëïãç ôçò óõíéóôáìÝíçò äýíáìçò

ðïõ áóêåßôáé ó' áõôü êáé Ý÷åé ôçí êáôåýèõíóÞ ôçò, ìå ôçí ðñïûðüèåóç üôé ç ìÜ-

æá ôïõ óþìáôïò åßíáé óôáèåñÞ.

Ðåßñáìá 2ï:

Óå óþìá ìÜæáò m ôï ïðïßï âñßóêåôáé óå ëåßï ïñéæüíôéï åðßðåäï, áóêåßôáé ïñéæü-

íôéá äýíáìç F→

êáé ðáñáôçñïýìå üôé áõôü áðïêôÜ åðéôÜ÷õíóç á→→

:

Áóêþíôáò ôçí ßäéá ïñéæüíôéá äýíáìç F→

óå óþìá äéðëÜóéáò ìÜæáò 2m, ðáñáôç-

ñïýìå üôé áõôü áðïêôÜ åðéôÜ÷õíóç á→→

/2:

Ïìïßùò, áí áóêÞóïõìå ôçí ßäéá ïñéæüíôéá äýíáìç F→→

óå óþìá ôñéðëÜóéáò ìÜ-

æáò 3m, èá ðáñáôçñÞóïõìå üôé áõôü èá áðïêôÞóåé åðéôÜ÷õíóç á→→

/3, ê.ï.ê:

ÓõìðÝñáóìá:

Ç åðéôÜ÷õíóç á→

ðïõ áðïêôÜ Ýíá óþìá åßíáé áíôéóôñüöùò áíÜëïãç ôçò ìÜæáò

ôïõ êáé Ý÷åé ôçí êáôåýèõíóç ôçò óõíéóôáìÝíçò äýíáìçò ðïõ áóêåßôáé ó' áõôü, ìå

ôçí ðñïûðüèåóç üôé ç äýíáìç áõôÞ åßíáé óôáèåñÞ.

Ôá ðñïçãïýìåíá óõìðåñÜóìáôá ìáò ïäçãïýí óôç äéáôýðùóç ôïõ äåýôåñïõ íü-

ìïõ ôïõ Íåýôùíá:

F3m

á/3

F2m

á/2

Fm

á


03a.qxd 9/18/08 12:07 PM Óåëßäá 158

Ï äåýôåñïò íüìïò ôïõ Íåýôùíá, ïíïìÜæåôáé êáé Èåìåëéþäçò íüìïò ôçò Ìç÷á-

íéêÞò

Ó÷üëéá:

1) Ç óõíéóôáìÝíç äýíáìç ðïõ áóêåßôáé ó’ Ýíá óþìá êáé ç åðéôÜ÷õíóç ðïõ áõôü

áðïêôÜ, Ý÷ïõí ó÷Ýóç áéôßïõ-áðïôåëÝóìáôïò, äçëáäÞ:

Äýíáìç ⇒⇒ ÅðéôÜ÷õíóç

(Áßôéï) ⇒⇒ (ÁðïôÝëåóìá)

2) ¼ôáí ó' Ýíá óþìá áóêïýíôáé ðåñéóóüôåñåò áðü ìßá äõíÜìåéò, ôüôå ç ìáèçìá-

ôéêÞ ó÷Ýóç ôïõ äåýôåñïõ íüìïõ ôïõ Íåýôùíá, éó÷ýåé ãéá ôç óõíéóôáìÝíç äý-

íáìç ÓF→

Þ F→

ïë.

3) ÅðåéäÞ ç åðéôÜ÷õíóç á→

ðïõ áðïêôÜ Ýíá óþìá Ý÷åé ôçí ßäéá êáôåýèõíóç ìå ôç

óõíéóôáìÝíç äýíáìç F→

ïë ðïõ áóêåßôáé ó' áõôü, ï äåýôåñïò íüìïò ôïõ Íåýôù-

íá ìðïñåß íá ãñáöôåß êáé áëãåâñéêÜ, äçëáäÞ:

Fïë = má

Ä é å ñ å ý í ç ó ç ô ç ò ó ÷ Ý ó ç ò F→→

ï ë = m á→→

á) Áí ó' Ýíá óþìá ç óõíéóôáìÝíç ôùí äõíÜìåùí ðïõ áóêïýíôáé ó' áõôü åßíáé ìç-

äÝí, ôüôå êáé ç åðéôÜ÷õíóç ôïõ óþìáôïò åßíáé ìçäÝí:

Fïë = 0 ⇒⇒ má=0 ⇒⇒m��0

á=0

á) Áõôü óçìáßíåé üôé:

á) i) áí ôï óþìá Þôáí áñ÷éêÜ áêßíçôï, èá óõíå÷ßóåé íá ðáñáìÝíåé áêßíçôï.

á) ii) áí ôï óþìá êéíåßôáé ìå ôá÷ýôçôá u, ç ôá÷ýôçôá ôïõ óþìáôïò ðáñáìÝíåé óôá-

èåñÞ, äçëáäÞ ôï óþìá åêôåëåß åõèýãñáììç ïìáëÞ êßíçóç.

á) ÂëÝðïõìå äçëáäÞ üôé, üôáí Fïë = 0, ï äåýôåñïò íüìïò ôïõ Íåýôùíá ïäçãåß

óôïí ðñþôï íüìï.

2 ï ò í ü ì ï ò ô ï õ Í å ý ô ù í á

Ç åðéôÜ÷õíóç á→

ðïõ áðïêôÜ Ýíá óþìá:

• Ý÷åé ìÝôñï áíÜëïãï ôïõ ìÝôñïõ ôçò óõíéóôáìÝíçò äýíáìçò ðïõ á-

óêåßôáé óôï óþìá êáé áíôéóôñüöùò áíÜëïãï ôçò ìÜæáò ôïõ óþìáôïò

• Ý÷åé ôçí êáôåýèõíóç ôçò óõíéóôáìÝíçò äýíáìçò ðïõ áóêåßôáé óôï

óþìá

á→→

= �F→→

mïë� Þ F

→→

ïë = má→→


03a.qxd 9/18/08 12:07 PM Óåëßäá 159

â) Áí ó’ Ýíá óþìá ç óõíéóôáìÝíç ôùí äõíÜìåùí ðïõ áóêïýíôáé ó' áõôü åßíáé óôá-

èåñÞ êáé äéÜöïñç ôïõ ìçäÝí, ôüôå êáé ç åðéôÜ÷õíóç ôïõ óþìáôïò åßíáé óôáèå-

ñÞ êáé äéÜöïñç ôïõ ìçäÝí:

Fïë = óôáèåñÞ ⇒⇒ má = óôáèåñü ⇒⇒m == óôáèåñÞ

á = óôáèåñÞ

á) Áõôü óçìáßíåé üôé ôï óþìá åêôåëåß:

á) i) åõèýãñáììç ïìáëÜ åðéôá÷õíüìåíç êßíçóç, üôáí ç óõíéóôáìÝíç äýíáìç Ý-

÷åé ôçí ßäéá êáôåýèõíóç ìå ôçí ôá÷ýôçôá:

á) ii)åõèýãñáììç ïìáëÜ åðéâñáäõíüìåíç êßíçóç, üôáí ç óõíéóôáìÝíç äýíáìç

Ý÷åé áíôßèåôç êáôåýèõíóç áðü ôçí ôá÷ýôçôá:

ã) Áí ó' Ýíá óþìá ç óõíéóôáìÝíç ôùí äõíÜìåùí ðïõ áóêïýíôáé ó' áõôü åßíáé äéÜ-

öïñç ôïõ ìçäÝí êáé ìåôáâÜëëåôáé, ôüôå êáé ç åðéôÜ÷õíóç ôïõ óþìáôïò åßíáé

äéÜöïñç ôïõ ìçäÝí êáé ìåôáâÜëëåôáé. Áõôü óçìáßíåé üôé ôï óþìá åêôåëåß ìå-

ôáâáëëüìåíç êßíçóç.

á

õ

Fïë

á

õ

Fïë


Fïë = 0Fïë �� 0

Fïë = óôáè. Fïë �� óôáè.

á = 0á � 0

á = óôáè. á � óôáè.

i) åõèýãñáììç

ïìáëÞ êßíçóç

ii) áêéíçóßá

ïìáëÜ ìåôáâáë-

ëüìåíç êßíçóç

ìåôáâáëëüìåíç

êßíçóç

03a.qxd 9/18/08 12:07 PM Óåëßäá 160

ÌïíÜäá ìÝôñçóçò ôçò äýíáìçò óôï S.I.

ÌïíÜäá äýíáìçò óôï S.I. åßíáé ôï 1Í (Newton). Ç ìïíÜäá áõôÞ ðñïêýðôåé áí óôç

ó÷Ýóç ôïõ äåýôåñïõ íüìïõ ôïõ Íåýôùíá Fïë = má, áíôéêáôáóôÞóïõìå ôç ìÜæá m ìå

1Kg êáé ôçí åðéôÜ÷õíóç á ìå 1m/s2.

1Í = 1Kg �� 1m/s2

Ì Ü æ á

Ç ìÜæá åßíáé ç ðïóüôçôá ýëçò ðïõ ðåñéÝ÷åôáé ó’ Ýíá óþìá. Äéáêñßíåôáé óå á-

äñáíåéáêÞ êáé âáñõôéêÞ ìÜæá

á) áäñáíåéáêÞ ìÜæá:

á) åßíáé ç ìÜæá ðïõ ìåôñÜìå áðü ôï ðçëßêï �á

F� (äýíáìç/åðéôÜ÷õíóç) ôïõ äåýôåñïõ

íüìïõ ôïõ Íåýôùíá. Ç ìÜæá áõôÞ áðïôåëåß ôï ìÝôñï ôçò áäñÜíåéáò åíüò óþ-

ìáôïò.

â) âáñõôéêÞ ìÜæá:

á) åßíáé ç ìÜæá ðïõ ìåôñÜìå üôáí ÷ñçóéìïðïéþíôáò Ýíá æõãü, óõãêñßíïõìå ôç ìÜ-

æá åíüò óþìáôïò ìå ãíùóôÝò (ðñüôõðåò) ìÜæåò.

Ðáñ' üëï ðïõ ç áäñáíåéáêÞ êáé ç âáñõôéêÞ ìÜæá åßíáé äýï Ýííïéåò äéáöïñåôéêÝò,

Ý÷åé âñåèåß ðåéñáìáôéêÜ üôé åßíáé ßóåò.

Â Ü ñ ï ò

Ôï âÜñïò åßíáé ç åëêôéêÞ äýíáìç ðïõ áóêåß ç Ãç óå êÜèå óþìá.

¼ðùò èá äïýìå óôçí åðüìåíç ðáñÜãñáöï, üôáí áöÞíïõìå Ýíá óþìá íá ðÝóåé å-

ëåýèåñá áðü êÜðïéï ýøïò, ôï óþìá ðÝöôåé ìå óõãêåêñéìÝíç åðéôÜ÷õíóç, ðïõ ïíï-

ìÜæåôáé åðéôÜ÷õíóç ôçò âáñýôçôáò g→→

.

Óýìöùíá ìå ôï äåýôåñï íüìï ôïõ Íåýôùíá F→

= má→

, áí óôç èÝóç ôçò äýíáìçò

F→

áíôéêáôáóôÞóïõìå ôï âÜñïò Â→

ôïõ óþìáôïò êáé óôç èÝóç ôçò åðéôÜ÷õíóçò á→

á-

íôéêáôáóôÞóïõìå ôçí åðéôÜ÷õíóç ôçò âáñýôçôáò g→

, ðñïêýðôåé:

Â→→

= mg→→

Ôï âÜñïò Â→

åíüò óþìáôïò Ý÷åé:

á) ìÝôñï, ßóï ìå Â=mg

â) äéåýèõíóç êáôáêüñõöç

ã) öïñÜ ðñïò ôï êÝíôñï ôçò Ãçò.

1 Í (Íewton) åßíáé ôï ìÝôñï ôçò äýíáìçò, ç ïðïßá üôáí áóêçèåß óå óþ-

ìá ìÜæáò 1 kg ôïõ ðñïóäßäåé åðéôÜ÷õíóç 1m/s2


03a.qxd 9/18/08 12:07 PM Óåëßäá 161

Ôï âÜñïò åíüò óþìáôïò åîáñôÜôáé áðü:

• ôï ãåùãñáöéêü ðëÜôïò

• ôï ýøïò ðÜíù áðü ôçí åðéöÜíåéá ôçò Ãçò

Ôï âÜñïò äåí åîáñôÜôáé áðü ôï õëéêü ìÝóï ðïõ ðåñéâÜëëåé ôï óþìá. Ð.÷. ãéá ôï

ßäéï ãåùãñáöéêü ðëÜôïò, Ýíá óþìá óôçí åðéöÜíåéá ôçò Ãçò Ý÷åé ôï ßäéï âÜñïò åßôå

âñßóêåôáé óôï íåñü åßôå óôïí áÝñá.

Ì å è ï ä ï ë ï ã ß á å ð ß ë õ ó ç ò ð ñ ï â ë ç ì Ü ô ù í

Ãéá ôçí åðßëõóç ôùí áóêÞóåùí ðïõ áíáöÝñïíôáé óôï 2ï íüìï ôïõ Íåýôùíá, áêï-

ëïõèïýìå ôá åîÞò âÞìáôá:

• ó÷åäéÜæïõìå üëåò ôéò äõíÜìåéò ðïõ áóêïýíôáé óôï óþìá ôçò åêöþíçóçò.

• åðéëÝãïõìå ôç öïñÜ ôçò êßíçóçò ôïõ óþìáôïò ùò èåôéêÞ.

• õðïëïãßæïõìå ôç óõíéóôáìÝíç ôùí äõíÜìåùí ðïõ áóêïýíôáé óôï óþìá.

• ìå ôç âïÞèåéá ôïõ 2ïõ íüìïõ ôïõ Íåýôùíá Fïë = má, õðïëïãßæïõìå ôçí åðéôÜ-

÷õíóç ôïõ óþìáôïò.

• ðñïóäéïñßæïõìå ôï åßäïò ôçò êßíçóçò ðïõ ðñáãìáôïðïéåß ôï óþìá êáé ÷ñçóé-

ìïðïéþíôáò ôïõò êáôÜëëçëïõò ôýðïõò ôçò êéíçìáôéêÞò (ïìáëÞ, ïìáëÜ ìåôá-

âáëëüìåíç êßíçóç), õðïëïãßæïõìå ôï æçôïýìåíï.

• áí óå êÜðïéá Üóêçóç óõíáíôÞóïõìå áñíçôéêÞ ôéìÞ äýíáìçò, áõôü óçìáßíåé äý-

íáìç ìå öïñÜ áíôßèåôç ôçò öïñÜò ðïõ ïñßóáìå ùò èåôéêÞ.

Óå ðïëëÝò áóêÞóåéò ç ðáñáðÜíù äéáäéêáóßá åöáñìüæåôáé áíôßóôñïöá.

K

ÃÇ

Â2

Â1


03a.qxd 9/18/08 12:07 PM Óåëßäá 162


¢óêçóç 1: Óå óþìá ìÜæáò m=2Kg ðïõ âñßóêåôáé áêßíçôï óå ëåßï ïñéæüíôéï

åðßðåäï, áóêåßôáé ïñéæüíôéá äýíáìç ìÝôñïõ F=10N.

á) Íá âñåèåß ç åðéôÜ÷õíóç ðïõ áðïêôÜ ôï óþìá

â) Ðïéá åßíáé ç ôá÷ýôçôá ôïõ óþìáôïò 5s ìåôÜ ôçí Ýíáñîç ôçò êß-

íçóÞò ôïõ;

ã) Áí äéðëáóéáóôåß ôï ìÝôñï ôçò ïñéæüíôéáò äýíáìçò, ðïéá èá åß-

íáé ç íÝá åðéôÜ÷õíóç ðïõ èá áðïêôÞóåé ôï óþìá;

Ëýóç

á) F = má ⇒ á=�m

F�= �

1

2

0

K

N

g� ⇒

â) ÅðåéäÞ ôï óþìá åêôåëåß åõèýãñáììç ïìáëÜ åðéôá÷õíüìåíç êßíçóç:

õ = át = 5m/s2 � 5s ⇒

ã) F´ = má´ ⇒ á´=�m

F´� ⇒ á´= �

2

m

F� = ��

2 �

2

10��m/s2

⇒

¢óêçóç 2: ¸íá óþìá ìÜæáò m=4Kg êéíåßôáé ìå óôáèåñÞ ôá÷ýôçôá õ0=20m/s

óå ëåßï ïñéæüíôéï åðßðåäï. Ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t0=0s, óôï óþìá á-

óêåßôáé óôáèåñÞ äýíáìç F→→

ßäéáò êáôåýèõíóçò ìå ôçí ôá÷ýôçôÜ

ôïõ. Áí ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t1=8s ç ôá÷ýôçôá ôïõ óþìáôïò åßíáé

õ1 = 36m/s, íá âñåßôå:

á) ôï ìÝôñï ôçò äýíáìçò F→→

â) ôï äéÜóôçìá ðïõ äéáíýåé ôï óþìá óôï ÷ñïíéêü äéÜóôçìá (0 →→ 8)s.

á´=10m/s2

õ = 25m/s

á = 5m/s2

F

á (+)


03a.qxd 9/18/08 12:07 PM Óåëßäá 163

Ëýóç

á) Ôï óþìá óôï ÷ñïíéêü äéÜóôçìá (0 → 8)s åêôåëåß åõèýãñáììç ïìáëÜ åðéôá÷õ-

íüìåíç êßíçóç åöüóïí ç ôá÷ýôçôÜ ôïõ áõîÜíåôáé áðü õ0 = 20m/s óå õ =36m/s,

Üñá èá éó÷ýåé:

õ = õ0 + át ⇒ á = �õ –

t

õ0� = ��36

8

– 20��m/s2

⇒

á) Ç åðéôÜ÷õíóç ìðïñåß íá âñåèåß êáé áðü ôïí ôýðï á = �Ä

Ä

õ

t� ⇒ á = �

õ

t

–

–

õ

t0

0�

á) Óýìöùíá ìå ôï äåýôåñï íüìï ôïõ Íåýôùíá Ý÷ïõìå:

F = má ⇒ F = 4Kg � 2m/s ⇒

á) Ç äýíáìç èá Ý÷åé ôçí ßäéá êáôåýèõíóç ìå ôçí ôá÷ýôçôá.

â) Ôï äéÜóôçìá ðïõ äéáíýåé ôï óþìá óôï ÷ñïíéêü äéÜóôçìá (0 → 8)s èá åßíáé:

S = õ0t + �1

2� át2 ⇒ S = �20 � 8 + �

1

2� 2 � 82�m ⇒

¢óêçóç 3: Óôï óþìá ôïõ ðáñáêÜôù ó÷Þìáôïò ðïõ áñ÷éêÜ åßíáé áêßíçôï óå

ëåßï ïñéæüíôéï åðßðåäï, áóêïýíôáé ïé óôáèåñÝò äõíÜìåéò F1

→→

, F2

→→

êáé

F3

→→

ìå ìÝôñá F1 = 30N, F2 = 10N êáé F3 = 15N áíôßóôïé÷á. Áí ç ìÜ-

æá ôïõ óþìáôïò åßíáé m = 2,5 Kg, íá âñåèïýí:

á) ç åðéôÜ÷õíóç ìå ôçí ïðïßá èá êéíçèåß ôï óþìá.

â) ç ôá÷ýôçôá ôïõ óþìáôïò 5s ìåôÜ ôçí Ýíáñîç ôçò êßíçóÞò ôïõ.

ã) ôï äéÜóôçìá ðïõ Ý÷åé äéáíýóåé ôï óþìá óôï ðñïçãïýìåíï ÷ñï-

íéêü äéÜóôçìá êáé

ä) íá ãßíåé ôï äéÜãñáììá óõíéóôáìÝíçò äýíáìçò - ÷ñüíïõ (Fïë – t).

F1F3

F2

á

S = 224m

F = 8N

á = 2m/s2

F

õ0

F

õ(+)

t0=0s t1=8s


03a.qxd 9/18/08 12:07 PM Óåëßäá 164

Ëýóç

á) Fïë = má ⇒ F1 – F2 – F3 = má ⇒

á = �F1 – F

m2 – F3� = ��30 –

2

1

,

0

5

– 15�� m/s2

⇒

â) ôï óþìá ðñáãìáôïðïéåß åõèýãñáììç ïìáëÜ åðéôá÷õíüìåíç êßíçóç, óõíåðþò:

õ = át = 2 m/s2 � 5s ⇒

ã) S = �1

2� át2 = ��

1

2� � 2 � 52�m ⇒

ä) Fïë = F1 – F2 – F3 = (30 – 10 – 15)N ⇒ Fïë = 5N

ä) ÅðåéäÞ ç óõíéóôáìÝíç äýíáìç F→

ïëåßíáé óôáèåñÞ, ôï æçôïýìåíï äéÜãñáììá Ý÷åé

ôçí áêüëïõèç ìïñöÞ:

¢óêçóç 4: Äßíåôáé ôï áêüëïõèï äéÜãñáììá óõíéóôáìÝíçò äýíáìçò - ÷ñüíïõ

(Fïë - t) ðïõ áóêåßôáé óå óþìá ìÜæáò m = 2Kg.

á) Íá õðïëïãßóåôå ôçí åðéôÜ÷õíóç ôïõ óþìáôïò óå êÜèå ÷ñïíéêü

äéÜóôçìá êáé íá ÷áñáêôçñßóåôå ôá åßäç ôùí åðéìÝñïõò êéíÞóå-

ùí ðïõ ðñáãìáôïðïéåß ôï óþìá.

â) Áí ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t0 = 0s ôï óþìá åßíáé áêßíçôï, íá ó÷åäéÜ-

óåôå ôï äéÜãñáììá ôá÷ýôçôáò - ÷ñüíïõ (õ - t).

t(s)0

2

–5

10

5 9

F (Í)ïë

F (Í)ïë

t(s)

5

0

S = 25m

õ = 10 m/s

á = 2 m/s2


03a.qxd 9/18/08 12:07 PM Óåëßäá 165

ã) Ðïéï åßíáé ôï óõíïëéêü äéÜóôçìá ðïõ äéáíýåé ôï óþìá óôï ÷ñïíé-

êü äéÜóôçìá (0 →→ 9) s;

Ëýóç

á) (0 → 2)s : Fïë(1) = má1 ⇒ á1 = �Fï

më(1)� = �

1

2

0

K

N

g� ⇒

á) Åõèýãñáììç ïìáëÜ åðéôá÷õíüìåíç êßíçóç

á) (2 → 5)s: Fïë(2) = má2 ⇒ á2 = �Fï

më(2)� = �

2

0

K

N

g� ⇒

á) Åõèýãñáììç ïìáëÞ êßíçóç

á) (5 → 9)s: Fïë(3) = má3 ⇒ á3 = �Fï

më(3)� = �

2

–5

K

N

g� ⇒

á) Óôçí ðåñßðôùóç áõôÞ, ç óõíéóôáìÝíç äýíáìç Fïë(3) Ý÷åé áíôßèåôç öïñÜ áðü ôç

óõíéóôáìÝíç äýíáìç Fïë(1), äçëáäÞ åðéâñáäýíåé ôï óþìá, åðåéäÞ áíôéôßèåôáé

óôç öïñÜ êßíçóÞò ôïõ.

á) Åõèýãñáììç ïìáëÜ åðéâñáäõíüìåíç êßíçóç

â) t1 = 2s: õ1 = á1t1 = 5m/s2 � 2s ⇒

á) t2 = 5s: õ2 = õ1 ⇒

á) t3 = 9s: õ3 = õ1 – ⏐á⏐(t3 – t2) = (10 – 2,5 � 4) m/s ⇒

ã) Ôï óõíïëéêü äéÜóôçìá ðïõ äéáíýåé ôï óþìá óôï ÷ñïíéêü äéÜóôçìá (0 → 9)s, é-

óïýôáé ìå ôï åìâáäü ôïõ ôñáðåæßïõ ôïõ äéáãñÜììáôïò õ-t:

S = Eôñáð = = �(3+9

2

) � 10� m ⇒

¢óêçóç 5: Óôï áñ÷éêÜ áêßíçôï óþìá ìÜæáò m = 4Kg áóêïýíôáé ïé óôáèåñÝò

äõíÜìåéò F→→

1, F→→

2 êáé F→→

3 ìå ìÝôñá F1 = 8N, F2 = 6N êáé F3, üðùò äåß-

÷íåé ôï ðáñáêÜôù ó÷Þìá:

S = 60m(Üèñïéóìá âÜóåùí)�ýøïò��

2

õ(m/s)

t(s)0

2

10

5 9

õ3 = 0 m/s

õ2 = 10 m/s

õ1 = 10 m/s

á3 = –2,5m/s2

á2 = 0 m/s2

á1 = 5 m/s2


03a.qxd 9/18/08 12:07 PM Óåëßäá 166

Áí ôï óþìá êéíïýìåíï óôï ëåßï ïñéæüíôéï åðßðåäï, äéáíýåé äéÜ-

óôçìá S = 54m óå ÷ñüíï t = 6s, íá âñåßôå:

á) ôçí åðéôÜ÷õíóç ìå ôçí ïðïßá êéíåßôáé ôï óþìá êáé

â) ôï ìÝôñï ôçò äýíáìçò F→→

3.

Ëýóç

á) Ôï óþìá ðñáãìáôïðïéåß åõèýãñáììç ïìáëÜ åðéôá÷õíüìåíç êßíçóç, óõíåðþò:

S = �1

2� át2 ⇒ á = �

2

t2S� = ��

2

6

�

2

54��m/s2

⇒

â) Áðü ôç ó÷Ýóç ôïõ äåýôåñïõ íüìïõ ôïõ Íåýôùíá Ý÷ïõìå:

â) Fïë = má ⇒ F1 + F2 – F3 = má ⇒ F3 = F1 + F2 – má ⇒

⇒ F3 = (8 + 6 – 4 � 3)Í ⇒

¢óêçóç 6: Äýï óþìáôá ìå ìÜæåò m1 = 2Kg êáé m2 = 6Kg áíôßóôïé÷á åßíáé áñ-

÷éêÜ áêßíçôá óå ëåßï ïñéæüíôéï åðßðåäï. Ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t0 = 0s

áóêïýíôáé óôá äýï óþìáôá ïìüññïðåò äõíÜìåéò F→→

1 êáé F→→

2 áíôß-

óôïé÷á, ìå ìÝôñá F1 = 10N êáé F2 = 12N, üðùò öáßíåôáé óôï ðá-

ñáêÜôù ó÷Þìá:

Áí ç áñ÷éêÞ áðüóôáóç ôùí äýï óùìÜôùí åßíáé S = 24m, íá õðï-

ëïãßóåôå:

á) ôçí åðéôÜ÷õíóç ðïõ áðïêôÜ êÜèå óþìá,

â) ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ ôçò óõíÜíôçóçò ôùí äýï óùìÜôùí êáé

ã) ôï äéÜóôçìá ðïõ Ý÷åé äéáíýóåé ôï óþìá ìÜæáò m1, ìÝ÷ñé ôç ÷ñï-

íéêÞ óôéãìÞ ôçò óõíÜíôçóçò.

Ëýóç

á) Ôá äýï óþìáôá ðñáãìáôïðïéïýí åõèýãñáììç ïìáëëÜ åðéôá÷õíüìåíç êßíçóç,

óõíåðþò:

F2F1m1

m2

S

F3 = 2Í

á = 3m/s2

F1F3

F2


03a.qxd 9/18/08 12:07 PM Óåëßäá 167

á) óþìá ìÜæáò m1: F1 = m1á1 ⇒ á1 = �m

F1

1

� = �1

2

0

K

N

g� ⇒

á) óþìá ìÜæáò m2: F2 = m2á2 ⇒ á2 = �m

F2

2

� = �1

6

2

K

N

g� ⇒

â) ¸óôù t ç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ ôçò óõíÜíôçóçò ôùí äýï óùìÜôùí.

â) Ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t ôï óþìá ìÜæáò m1 Ý÷åé äéáíýóåé äéÜóôçìá S1 êáé ôï óþìá

ìÜæáò m2 äéÜóôçìá S2.

â) óþìá ìÜæáò m1: S1 = �1

2� á1t

2 (1)

â) óþìá ìÜæáò m2: S2 = �1

2� á2t

2 (2)

â) ¼ìùò S1 = S2 + S ====>(1), (2)

�1

2� á1t

2 = �1

2� á2t

2 + S ⇒

â) ⇒ á1t2 = á2t

2 + 2S ⇒ (á1 – á2)t2 = 2S ⇒ t2 = �

á1

2

–

S

á2

� ⇒

â) ⇒ t = ��á�1

2�–

S�á�2

�� = �� s ⇒

â) ⇒

ã) S1 = �1

2� á1t

2 = ��1

2� � 5 � 42�m ⇒

¢óêçóç 7: Ôï óþìá ôïõ ðáñáêÜôù ó÷Þìáôïò êéíåßôáé êáôáêüñõöá ðñïò ôá

ðÜíù:

i) ìå óôáèåñÞ ôá÷ýôçôá

ii) ìå óôáèåñÞ åðéôÜ÷õíóç á = 2 m/s2.

S1 = 40m

t = 4s

2 � 24�5 – 2

m1

S

m2

á1 á2

m1 m2

S2

S1

á1á2

á2 = 2 m/s2

á1 = 5 m/s2


03a.qxd 9/18/08 12:07 PM Óåëßäá 168

Áí ç ìÜæá ôïõ óþìáôïò åßíáé m = 5Kg êáé ç åðéôÜ÷õíóç ôçò âá-

ñýôçôáò g = 10 m/s2, íá õðïëïãßóåôå ãéá ôéò äýï ðñïçãïýìåíåò

ðåñéðôþóåéò ôç äýíáìç F ðïõ èá áóêåß ôï ó÷ïéíß óôï óþìá (ôÜóç

ôïõ íÞìáôïò).

Ëýóç

i) Ôï óþìá áíåâáßíåé ìå óôáèåñÞ ôá÷ýôçôá:

Óôï óþìá áóêïýíôáé ôï âÜñïò ôïõ Â→


áðü ôï ó÷ïéíß. ÅðåéäÞ ç ôá-

÷ýôçôá ìå ôçí ïðïßá áíåâáßíåé ôï óþìá åßíáé óôáèåñÞ, èá Ý÷ïõìå Fïë = 0:

Fïë = 0 ⇒ F – B = 0 ⇒ F – mg = 0 ⇒ F = mg

⇒ F = (5 � 10)N ⇒ F = 50N

F

B

(+)

õ=óôáèåñÞ


03a.qxd 9/18/08 12:07 PM Óåëßäá 169

ii) Ôï óþìá áíåâáßíåé ìå óôáèåñÞ åðéôÜ÷õíóç:

Fïë = má ⇒ F – Â = má ⇒ F – mg = má

⇒ F = m(g + á) = 5(10+2)Í ⇒

¢óêçóç 8: Óþìá ìÜæáò m = 30Kg çñåìåß áñ÷éêÜ óå ïñéæüíôéï åðßðåäï. ÊÜ-

ðïéá óôéãìÞ áóêåßôáé óå áõôü äýíáìç ìÝôñïõ F = 360N êáôáêü-

ñõöá ðñïò ôá ðÜíù.

á) Ðþò èá êéíçèåß ôï óþìá;

â) Íá âñåèåß ç åðéôÜ÷õíóç ðïõ áðïêôÜ ôï óþìá.

ã) Íá õðïëïãéóôåß ç ôá÷ýôçôá ôïõ óþìáôïò ìåôÜ áðü ÷ñüíï 20s.

ä) ÌåôÜ áðü ðüóï ÷ñüíï, ôï óþìá èá âñßóêåôáé óå ýøïò

Ç = 144m ðÜíù áðü ôï ïñéæüíôéï åðßðåäï;

Äßíåôáé g = 10m/s2.

Ëýóç

á) Óôï óþìá áóêïýíôáé ôï âÜñïò ôïõ Â→


. Ç óõíéóôáìÝíç äýíáìç

F→

ïë Ý÷åé ìÝôñï:

Fïë = F – B ⇒ Fïë = F – mg = (360 – 30 � 10)N ⇒

á) Ôï óþìá üðùò öáßíåôáé êáé óôï ðáñáðÜíù ó÷Þìá èá êéíçèåß ðñïò ôá ðÜíù ìå

óôáèåñÞ åðéôÜ÷õíóç (åõèýãñáììç ïìáëÜ åðéôá÷õíüìåíç êßíçóç).

F

B

Fïë

Fïë = 60N

F = 60Í

F

B

(+)

á=óôáèåñÞ


03a.qxd 9/18/08 12:07 PM Óåëßäá 170

â) Fïë = má ⇒ F – B = má ⇒ F – mg = má

⇒ á = �F –

m

mg� = ��

360 –

3

3

0

0 � 10��m/s2

⇒

ã) õ = át = 2m/s2 � 20s ⇒

ä) S = �1

2� át2 ====>

S = HH = �

1

2� át2 ⇒ t2 = �

2

á

H�

⇒ t = ��2

á�H�� = ��

2� ��2

1�4�4��s ⇒

¢óêçóç 9: Óþìá ìÜæáò m = 5Kg âñßóêåôáé áêßíçôï, óå ëåßï ïñéæüíôéï åðßðå-

äï. Ôç ÷ñïíéêÞ t0 = 0s áóêåßôáé óôï óþìá ïñéæüíôéá äýíáìç ìÝ-

ôñïõ F1 = 20N. Tç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t1 ç äýíáìç F→→

1 ðáýåé íá åíåñãåß

óôï óþìá, åíþ ôáõôü÷ñïíá áñ÷ßæåé íá áóêåßôáé ó’ áõôü äýíáìç ìÝ-

ôñïõ F2 = 5N ðñïò ôçí áíôßèåôç êáôåýèõíóç. Ôï óþìá ôåëéêÜ óôá-

ìáôÜ áöïý äéáíýóåé óõíïëéêÜ äéÜóôçìá S = 250m.á) Íá âñåßôå ôéò åðéôá÷ýíóåéò ôïõ óþìáôïò óôá áíôßóôïé÷á ÷ñïíé-

êÜ äéáóôÞìáôá êáé íá ÷áñáêôçñßóåôå ôá åßäç ôùí êéíÞóåùí ðïõðñáãìáôïðïéåß.

â) Íá ðñïóäéïñßóåôå ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t1.

ã) Ðïéïò åßíáé ï óõíïëéêüò ÷ñüíïò êßíçóçò ôïõ óþìáôïò;

ä) Íá ó÷åäéÜóåôå ôï äéÜãñáììá ôá÷ýôçôáò - ÷ñüíïõ (u-t) ãéá ôç

óõíïëéêÞ ÷ñïíéêÞ äéÜñêåéá ôçò êßíçóçò.

Ëýóç

á) (0 → t1)s: F1 = má1 ⇒ á1 = �F

m1� = �

2

5

0

K

N

g� ⇒

á) Åõèýãñáììç ïìáëÜ åðéôá÷õíüìåíç êßíçóç

á) (t1 → tïë)s: F2 = má2 ⇒ á2 = �F

m2� = �

5

5

K

N

g� ⇒ (ìÝôñï åðéâñÜ-

äõíóçò)

á) Åõèýãñáììç ïìáëÜ åðéâñáäõíüìåíç êßíçóç

â) Ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t1 ôï óþìá Ý÷åé ôá÷ýôçôá õ1 = á1t1 ⇒ õ1 = 4t1, åíþ Ý÷åé

äéáíýóåé äéÜóôçìá S1 = �1

2� á1t1

2⇒ S1 = 2t1

2 (1)

á2 = 1m/s2

á1 = 4m/s2

t = 12s

õ = 40m/s

á = 2m/s2


03a.qxd 9/18/08 12:07 PM Óåëßäá 171

á) Ãéá ôçí åðéâñáäõíüìåíç êßíçóç ç õ1 áðïôåëåß ôçí áñ÷éêÞ ôá÷ýôçôá ôïõ óþìá-

ôïò. ¸óôù üôé ç ÷ñïíéêÞ äéÜñêåéá ôçò åðéâñáäõíüìåíçò êßíçóçò åßíáé t2. ¼ôáí

ôï óþìá óôáìáôÜ, éó÷ýåé:

á) õ = 0 ⇒ õ1 – á2t2 = 0 ⇒ 4t1 – á2t2 = 0 ⇒

á) ⇒ 4t1 – 1 � t2 = 0 ⇒ 4t1 = t2 (2)

á) S2 = õ1t2 – �1

2� á2t2

2⇒ S2 = 4t1t2 – �

1

2� 1t2

2⇒

(2)

á) ⇒ S2 = 16t12 – 8t1

2⇒ S2 = 8t1

2 (3)

á) ¼ìùò S = S1 + S2 ====>(1),(3)

2t12 + 8t1

2 = 250 ⇒

⇒ 10t12 = 250 ⇒ t1

2 = 25 ⇒ t1 = �2�5� s ⇒

ã) (2) ⇒ t2 = (4 � 5)s ⇒ t2 = 20s

tïë = t1 + t2 = (5 + 20)s ⇒

ä)

¢óêçóç 10: Äýï ìÜæåò m1 = 1Kg êáé m2 = 3Kg åßíáé áêßíçôåò óå ëåßï ïñéæüíôéï

åðßðåäï. ÊÜðïéá ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ óôéò äýï ìÜæåò áóêïýíôáé óôáèå-

ñÝò ïñéæüíôéåò äõíÜìåéò F→→

1 êáé F→→

2 áíôßóôïé÷á, ìå ìÝôñá F1 = 10N

êáé F2 = 15N, üðùò öáßíåôáé óôï ðáñáêÜôù ó÷Þìá:

Áí ïé äýï ìÜæåò áðÝ÷ïõí áñ÷éêÜ S = 30m, íá âñåßôå:

á) ôéò åðéôá÷ýíóåéò ðïõ áðïêôïýí ïé äýï ìÜæåò.

â) ôï ÷ñüíï ðïõ ðÝñáóå ìÝ÷ñé íá óõíáíôçèïýí.

F2F1m1 m2

S

õ(m/s)

t(s)05

20

25

tïë = 25s

t1 = 5s


03a.qxd 9/18/08 12:07 PM Óåëßäá 172

ã) ôï äéÜóôçìá ðïõ äéáíýåé ç êÜèå ìÜæá ìÝ÷ñé ôï óçìåßï óõíÜíôç-

óÞò ôïõò.

Ëýóç

á) ìÜæá m1: F1 = m1á1 ⇒ á1 = �m

F1

1

� = �1

1

0

K

N

g� ⇒

á) ìÜæá m2: F2 = m2á2 ⇒ á2 = �m

F2

2

� =�1

3

5

K

N

g� ⇒

â) ¸óôù t ï ÷ñüíïò ðïõ ðÝñáóå ìÝ÷ñé íá óõíáíôçèïýí ïé äýï ìÜæåò.

á) Ïé äýï ìÜæåò ðñáãìáôïðïéïýí åõèýãñáììç ïìáëÜ åðéôá÷õíüìåíç êßíçóç.

á) ìÜæá m1: S1 = �1

2� á1t

2 (1)

á) ìÜæá m2: S2 = �1

2� á2t

2 (2)

á) ¼ìùò S = S1 + S2 ====>(1), (2)

S = �1

2� á1t

2 + �1

2� á2t

2⇒ S = �

1

2�(á1 + á2)t

2⇒

t2 = �á1

2

+

S

á2

� ⇒ t = ��á�1

2�+

S� á�2

�� = ��1

2�0��

+�3�0

5��s ⇒

ã) ìÜæá m1: S1 = �1

2� á1t

2 = ��1

2� �10 � 22�m ⇒

á) ìÜæá m2: S2 = �1

2� á2t

2 = ��1

2� �5 � 22�m ⇒ S2 = 10m

S1 = 20m

t = 2s

m1

S1

m2m1 m2

S2

S

á2 = 5m/s2

á1 = 10m/s2


03a.qxd 9/18/08 12:07 PM Óåëßäá 173

ÅÑÙÔÇÓÅÉÓ

Óõìðëçñþóôå ôá êåíÜ ôïõ ðáñáêÜôù êåéìÝíïõ.

Ï äåýôåñïò íüìïò ôïõ Íåýôùíá åßíáé ç ó÷Ýóç ðïõ óõíäÝåé ...................... êáé

...................... Ôá äýï áõôÜ ìåãÝèç Ý÷ïõí ó÷Ýóç ...................... - .......................

Ç ìáèçìáôéêÞ Ýêöñáóç ôïõ äåýôåñïõ íüìïõ ôïõ Íåýôùíá åßíáé .....................

Áí äéðëáóéÜóïõìå ôç óõíéóôáìÝíç äýíáìç ðïõ áóêåßôáé ó’ Ýíá óþìá ìÜæáò

m, ôüôå:

á) ç ìÜæá ôïõ äéðëáóéÜæåôáé.

â) ç åðéôÜ÷õíóÞ ôïõ ðáñáìÝíåé óôáèåñÞ.

ã) ôï ðçëßêï �F

mïë� ðáñáìÝíåé óôáèåñü.

ä) ç åðéôÜ÷õíóÞ ôïõ õðïäéðëáóéÜæåôáé.

Áí äéðëáóéÜóïõìå ôç ìÜæá åíüò óþìáôïò, äéáôçñþíôáò óôáèåñÞ ôç óõíé-

óôáìÝíç äýíáìç ðïõ áóêåßôáé ó' áõôü, ôüôå:

á) ç åðéôÜ÷õíóÞ ôïõ äéðëáóéÜæåôáé.

â) ç åðéôÜ÷õíóÞ ôïõ ðáñáìÝíåé óôáèåñÞ.

ã) ôï ðçëßêï �F

mïë� äéðëáóéÜæåôáé.

ä) ç åðéôÜ÷õíóÞ ôïõ õðïäéðëáóéÜæåôáé.

Äéáôõðþóôå ôï äåýôåñï íüìï ôïõ Íåýôùíá êáé ãñÜøôå ôç ìáèçìáôéêÞ ó÷Ý-

óç ðïõ ôïí åêöñÜæåé. Ðïéá åßíáé ôá öõóéêÜ ìåãÝèç ðïõ óõììåôÝ÷ïõí óôç

ó÷Ýóç áõôÞ êáé ðïéåò ïé ìïíÜäåò ôïõò óôï S.I.;

Óýìöùíá ìå ôï ðáñáêÜôù ó÷Þìá:

óõìðëçñþóôå ôá êåíÜ óôéò ôñåéò åéêüíåò:

á) â)

3Fm/2

......

F/2.....

á

Fm

á

2.50

2.49

2.48

2.47

2.46


03a.qxd 9/18/08 12:07 PM Óåëßäá 174

ã)

Óõìðëçñþóôå ìå Ó (óùóôü) Þ Ë (ëÜèïò) äßðëá áð’ ôéò áêüëïõèåò ðñïôÜóåéò.

á) Óôï äåýôåñï íüìï ôïõ Íåýôùíá ç åðéôÜ÷õíóç åßíáé ôï áßôéï êáé ç äýíáìç

ôï áðïôÝëåóìá.�

â) Ç åðéôÜ÷õíóç ðïõ áðïêôÜ Ýíá óþìá åßíáé áíôéóôñüöùò áíÜëïãç ôçò óõíé-

óôáìÝíçò äýíáìçò ðïõ áóêåßôáé ó’ áõôü.�

ã) Ç åðéôÜ÷õíóç ðïõ áðïêôÜ Ýíá óþìá óôï ïðïßï áóêåßôáé óôáèåñÞ óõíéóôá-

ìÝíç äýíáìç, åßíáé áíôéóôñüöùò áíÜëïãç ôçò ìÜæáò ôïõ. �

ä) Ç åðéôÜ÷õíóç ðïõ áðïêôÜ Ýíá óþìá, Ý÷åé ôçí ßäéá êáôåýèõíóç ìå ôç óõíé-

óôáìÝíç äýíáìç ðïõ áóêåßôáé ó’ áõôü.�

Óå Ýíá óþìá ìÜæáò m áóêïýíôáé äýï äõíÜìåéò F→→

1 êáé F→→

2. Áí ç åðéôÜ÷õíóç

ðïõ áðïêôÜ ôï óþìá åßíáé á→→

(á �� 0), ðïéá áðü ôéò áêüëïõèåò ó÷Ýóåéò åßíáé

ç óùóôÞ;

á) F→

ïë = má→

â) F→

1 = má→

êáé F→

2 = má→

ã) F→

ïë = 0

Áíôéóôïé÷ßóôå êáôÜëëçëá ôá óôïé÷åßá ôçò óôÞëçò Á ìå ôá óôïé÷åßá ôçò óôÞ-

ëçò Â.

ÓôÞëç Á ÓôÞëç Â

á) Fïë = 0 1) Ìåôáâáëëüìåíç êßíçóç

â) Fïë � óôáèåñÞ 2) õ→

óôáèåñÞ

ã) Fïë = óôáèåñÞ 3) åõèýãñáììç ïìáëÞ êßíçóç

4) åõèýãñáììç ïìáëÜ ìåôáâáëëüìåíç êßíçóç.

5) á � óôáèåñÞ

6) S = �1

2� át2

7) õ = õ0 + át

8) áêéíçóßá

2.53

2.52

2.51

4m ......

á


03a.qxd 9/18/08 12:07 PM Óåëßäá 175


¸íá óþìá êéíåßôáé ìå óôáèåñÞ ôá÷ýôçôá õ0. Óôï óþìá áóêåßôáé óôáèåñÞ äý-

íáìç F→

. Ôï ìÝãåèïò ðïõ Ý÷åé ðÜíôïôå ôçí êáôåýèõíóç ôçò äýíáìçò åßíáé ç

.......................................................... . ¼ôáí ç äýíáìç Ý÷åé ôçí êáôåýèõíóç ôçò

ôá÷ýôçôáò ôï óþìá åêôåëåß .......................................................................... .

¼ôáí ç äýíáìç Ý÷åé êáôåýèõíóç áíôßèåôç áðü åêåßíç ôçò ôá÷ýôçôáò, ôï óþ-

ìá åêôåëåß ............................................... êáé ç ôá÷ýôçôÜ ôïõ ..................... ìå

ôï ÷ñüíï. Êáé óôéò äýï áõôÝò ðåñéðôþóåéò ç åðéôÜ÷õíóç åßíáé

............................ .

á) Ôé ïíïìÜæïõìå âÜñïò êáé áðü ðïéïõò ðáñÜãïíôåò åîáñôÜôáé; Ðïéá åßíáé

ç ìïíÜäá ìÝôñçóçò ôïõ âÜñïõò óôï S.I.;

â) Ôé ïíïìÜæïõìå áäñáíåéáêÞ êáé ôé âáñõôéêÞ ìÜæá; Ðïéá åßíáé ç ìïíÜäá

ìÝôñçóçò ôçò ìÜæáò óôï S.I.;

H ìïíÜäá ìÝôñçóçò ôçò............................ óôï S.I. åßíáé ôï 1Í êáé éóïýôáé ìå:

á) 1 Kg � �s

m

2

� â) 1 Kg � �s

m2�

ã) 1 Kg/m ä) 1 Kg � �m

s�

Óõìðëçñþóôå ôï êåíü êáé åðéëÝîôå ôç óùóôÞ áðÜíôçóç.

Óôï áêüëïõèï ó÷Þìá öáßíåôáé ç áñ÷éêÞ ôá÷ýôçôá õ→→

êáé ç óôáèåñÞ äýíáìç

F→→

ðïõ äÝ÷åôáé Ýíá óþìá. Áíôéóôïé÷ßóôå êÜèå ðåñßðôùóç ìå ôï åßäïò ôçò êß-

íçóçò ðïõ åêôåëåß ôï óþìá.

1) Åõèýãñáììç ïìáëÞ.

2) Åõèýãñáììç ïìáëÜ åðéôá÷õíüìåíç.

3) Åõèýãñáììç ïìáëÜ åðéâñáäõíüìåíç.

¸íá óþìá çñåìåß óå ëåßï ïñéæüíôéï åðßðåäï. Ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t0 = 0s äÝ-

÷åôáé ïñéæüíôéá äýíáìç F→→

. Óôï ðáñáêÜôù äéÜãñáììá öáßíåôáé ðþò ìåôá-

âÜëëåôáé ç ôéìÞ ôçò äýíáìçò áõôÞò ìå ôï ÷ñüíï:

2.58

F

õ

(á)

F=0

õ

(â)

F

õ

(ã)

2.57

2.56

2.55

2.54


03a.qxd 9/18/08 12:07 PM Óåëßäá 176


á) Óôï ÷ñïíéêü äéÜóôçìá (0→t1) ôï óþìá ðñáãìáôïðïéåß åðéôá÷õíüìåíç êßíç-

óç.�

â) Óôï ÷ñïíéêü äéÜóôçìá (0→t2) ç åðéôÜ÷õíóç ôïõ óþìáôïò åßíáé óôáèåñÞ.�

ã) Óôï ÷ñïíéêü äéÜóôçìá (t2→t3) ôï óþìá ðáñáìÝíåé áêßíçôï.�

ä) Óôï ÷ñïíéêü äéÜóôçìá (t1→t2) ôï óþìá ðñáãìáôïðïéåß åõèýãñáììç ïìáëÜ

åðéôá÷õíüìåíç êßíçóç.�


á) Ç ìïíÜäá ìÝôñçóçò ôïõ âÜñïõò óôï S.I. åßíáé ôï 1 Kg.

â) Ôï âÜñïò äåí åîáñôÜôáé áðü ôï ýøïò ðÜíù áð’ ôçí åðéöÜíåéá ôçò ãçò ðïõ

âñßóêåôáé Ýíá óþìá.

ã) Ôï âÜñïò Ý÷åé äéåýèõíóç êáôáêüñõöç êáé öïñÜ ðñïò ôï êÝíôñï ôçò ãçò.

ä) Ôï âÜñïò åßíáé ìïíüìåôñï ìÝãåèïò êáé ç ôéìÞ ôïõ äßíåôáé áð’ ôïí ôýðï mg.

å) Ôï ãåùãñáöéêü ðëÜôïò åðçñåÜæåé ôçí ôéìÞ ôïõ âÜñïõò.

¸íá óþìá ìÜæáò m çñåìåß óå ëåßï ïñéæüíôéï åðßðåäï. Ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ

t = 0s áóêåßôáé óôï óþìá äýíáìç F→→

1 ìÝ÷ñé ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t1 ïðüôå êáé

ðáýåé íá åíåñãåß óôï óþìá. Ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t2 áñ÷ßæåé íá áóêåßôáé óôï

óþìá äýíáìç F→→

2 áíôßññïðç ôçò ôá÷ýôçôÜò ôïõ, þóðïõ ôï óþìá íá óôáìá-

ôÞóåé. Ðïéï áðü ôá áêüëïõèá äéáãñÜììáôá äåß÷íåé ðùò ìåôáâÜëëåôáé ç ôá-

÷ýôçôá ôïõ óþìáôïò ìå ôï ÷ñüíï;

2.60

2.59

F

t0 t1 t2 t3


03a.qxd 9/18/08 12:07 PM Óåëßäá 177

á) â)

ã) ä)

ÅðéëÝîôå ôéò óùóôÝò ðñïôÜóåéò:

á) ¸íá óþìá ðáýåé íá åðéôá÷ýíåôáé üôáí ç óõíéóôáìÝíç äýíáìç ðïõ áóêåßôáé

ó’ áõôü ãßíåé ìçäÝí.

â) ¸íá óþìá åðéôá÷ýíåôáé ïìáëÜ üôáí ç óõíéóôáìÝíç äýíáìç ðïõ áóêåßôáé ó’

áõôü áõîÜíåôáé ìå óôáèåñü ñõèìü.

ã) ¼ôáí ç óõíéóôáìÝíç äýíáìç ðïõ áóêåßôáé óå Ýíá óþìá åßíáé óôáèåñÞ, ôï

óþìá èá êéíåßôáé ìå óôáèåñÞ ôá÷ýôçôá.

ä) ¼ôáí óå Ýíá áêßíçôï óþìá åöáñìïóôåß óôáèåñÞ äýíáìç F→

, ôï äéÜóôçìá

ðïõ èá äéáíýóåé ôï êéíçôü ðÜíù óå ëåßï ïñéæüíôéï åðßðåäï åßíáé áíÜëïãï

ôïõ ôåôñáãþíïõ ôïõ ÷ñüíïõ.

¸íá óþìá ìÜæáò m = 2Kg êéíåßôáé óå ïñéæüíôéï åðßðåäï êáé ç ôá÷ýôçôÜ ôïõ

äßíåôáé áð’ ôç ó÷Ýóç:

õ = 5 + 3t

á) Ç óõíéóôáìÝíç äýíáìç ðïõ áóêåßôáé óôï óþìá åßíáé 10Í.

â) Ôï óþìá åêôåëåß åõèýãñáììç ïìáëÜ åðéôá÷õíüìåíç êßíçóç.

ã) Ç óõíéóôáìÝíç äýíáìç Ý÷åé ôçí ßäéá öïñÜ ìå ôçí áñ÷éêÞ ôá÷ýôçôá ôïõ óþ-

ìáôïò.

ä) Ôï äéÜóôçìá ðïõ äéáíýåé ôï óþìá äßíåôáé áðü ôïí ôýðï S = 5t – �3

2� t2.

å) Óôï óþìá äåí áóêïýíôáé äõíÜìåéò.


2.62

2.61

õ

t0 t1 t2

õ

t0 t1 t2

õ

t0 t1 t2

õ

t0 t1 t2


03a.qxd 9/18/08 12:07 PM Óåëßäá 178

¸íá óþìá ìÜæáò m = 5Kg çñåìåß óå ëåßï ïñéæüíôéï åðßðåäï. Ôç ÷ñïíéêÞ

óôéãìÞ t = 0s áóêåßôáé óôï óþìá ïñéæüíôéá äýíáìç F→→

. H áëãåâñéêÞ ôéìÞ ôçò

äýíáìçò áõôÞò ìåôáâÜëëåôáé ìå ôï ÷ñüíï üðùò öáßíåôáé óôï ðáñáêÜôù

äéÜãñáììá:


óåéò:

á) Óôï ÷ñïíéêü äéÜóôçìá (0→2)s ç åðéôÜ÷õíóç åßíáé á1 = 5m/s2.

â) Ôï óþìá áñ÷éêÜ åðéôá÷ýíåôáé, óôç óõíÝ÷åéá ðáñáìÝíåé áêßíçôï êáé ôÝëïò

óôï ÷ñïíéêü äéÜóôçìá (4→6)s êéíåßôáé ðñïò ôçí áíôßèåôç öïñÜ.

ã) Ôï óþìá áñ÷éêÜ åðéôá÷ýíåôáé, óôç óõíÝ÷åéá êéíåßôáé ìå óôáèåñÞ ôá÷ýôçôá

êáé ôÝëïò åðéâñáäýíåôáé.

ä) Ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ 2s ç ôá÷ýôçôá åßíáé 10 m/s.

å) Óôï ÷ñïíéêü äéÜóôçìá (4→6)s ç ôá÷ýôçôá äßíåôáé áð’ ôïí ôýðï õ = 10 – 2t.

Äßíïíôáé ôá áêüëïõèá äéáãñÜììáôá:

1) 2) 3)

4) 5) 6)

Áíôéóôïé÷ßóôå ôá ðáñáðÜíù äéáãñÜììáôá ìå êÜðïéá áðü ôéò áêüëïõèåò ðåñé-

ðôþóåéò

á) Fïë = 0

õ

t0

S

t0

á

t0

á

t0

õ

t0

õ

t0

2.64

F(N)

t(s)0

2

–4

10

4 6

2.63


03a.qxd 9/18/08 12:07 PM Óåëßäá 179

â) Fïë = óôáèåñÞ

ã) Fïë � óôáèåñÞ

Áí äéáèÝôåôå Ýíá äõíáìüìåôñï êáé Ýíá óþìá ãíùóôÞò ìÜæáò m1, âñåßôå Ý-

íáí ôñüðï ãéá íá ðñïóäéïñßóåôå ôç ìÜæá mx åíüò Üëëïõ óþìáôïò.

Äýï óþìáôá Á êáé Â ìå ìÜæåò m1 êáé m2 = 2m1 áíôßóôïé÷á, âñßóêïíôáé áêß-

íçôá óå ëåßï ïñéæüíôéï åðßðåäï. Óôá äýï óþìáôá áóêïýíôáé ôáõôü÷ñïíá ï-

ñéæüíôéåò äõíÜìåéò F→→

1 êáé F→→

2 áíôßóôïé÷á, ãéá ÷ñüíï t. Áí ãéá ôá ìÝôñá ôùí äõ-

íÜìåùí éó÷ýåé F1 = F2 êáé ïé äõíÜìåéò åßíáé ïìüññïðåò, ìå ðïéåò áðü ôéò

ðáñáêÜôù ðñïôÜóåéò óõìöùíåßôå;

á) Ôï óþìá Â áðïêôÜ äéðëÜóéá åðéôÜ÷õíóç áð’ ôï Á.

â) ÌåôÜ áðü ÷ñüíï t ôï Á Ý÷åé äéáíýóåé äéðëÜóéï äéÜóôçìá áð’ ôï Â.

ã) ÌåôÜ áðü ÷ñüíï t ôï Á êáé ôï Â èá Ý÷ïõí ßóåò ôá÷ýôçôåò.

ä) Ôá äýï óþìáôá åêôåëïýí åõèýãñáììç ïìáëÜ åðéôá÷õíüìåíç êßíçóç.

¸íá óþìá ìÜæáò m áíÝñ÷åôáé êáôáêüñõöá ðñïò

ôá ðÜíù ìå åðéôÜ÷õíóç á→→

. Ôï ìÝôñï ôçò äýíáìçò

F→→

ðïõ ðñÝðåé íá áóêÞóïõìå åßíáé:

á) má

â) mg

ã) m(g + á)

ä) m(g – á)

Óþìá ìÜæáò m = 2Kg çñåìåß óå ïñéæüíôéï åðßðåäï. Áí ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ

t0 = 0s áóêÞóïõìå óôï óþìá äýíáìç ìÝôñïõ F = 24N êáôáêüñõöá ðñïò

ôá ðÜíù:

á) Ôï óþìá èá êéíçèåß êáôáêüñõöá ðñïò ôá ðÜíù.

â) Ôï óþìá áðïêôÜ åðéôÜ÷õíóç ìÝôñïõ á = 2m/s2.

ã) Ç óõíéóôáìÝíç äýíáìç ðïõ áóêåßôáé óôï óþìá åßíáé 44Í.

ä) Ôï ýøïò, ðÜíù áð’ ôï ïñéæüíôéï åðßðåäï óôï ïðïßï âñßóêåôáé ôï óþìá ôç

÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t éóïýôáé ìå t2.


2.68

F

B

2.67

2.66

2.65


03a.qxd 9/18/08 12:07 PM Óåëßäá 180


Óå óþìá ìÜæáò m = 3Kg ðïõ âñßóêåôáé áêßíçôï óå ëåßï ïñéæüíôéï åðßðåäï,

áóêïýíôáé äýï ïñéæüíôéåò äõíÜìåéò F→→

1, F→→

2 ðñïò ôçí ßäéá êáôåýèõíóç. Áí ôá

ìÝôñá ôùí äõíÜìåùí åßíáé F1 = 10N êáé F2 = 5N áíôßóôïé÷á, íá âñåßôå:

á) ôçí åðéôÜ÷õíóç ðïõ áðïêôÜ ôï óþìá

â) ôçí ôá÷ýôçôÜ ôïõ 3s ìåôÜ ôçí Ýíáñîç ôçò êßíçóÞò ôïõ

ã) óå ðüóï ÷ñüíï èá äéáíýóåé äéÜóôçìá S = 90m.

¸íá óþìá êéíåßôáé óå ëåßï ïñéæüíôéï åðßðåäï ìå óôáèåñÞ ôá÷ýôçôá õ1 = 8 m/s.

Ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ to = 0s áñ÷ßæåé íá áóêåßôáé ðÜíù óôï óþìá äýíáìç F→→

1 ìå

êáôåýèõíóç áíôßèåôçò ôçò ôá÷ýôçôáò õ→→

11.. ÌåôÜ áðü ÷ñüíï 2s, ç ôá÷ýôçôá

ôïõ óþìáôïò åßíáé õ2 = 2m/s. Áí ç ìÜæá ôïõ óþìáôïò åßíáé m = 5Kg:

á) íá õðïëïãßóåôå ôï ìÝôñï ôçò äýíáìçò F→

1

â) ìåôÜ áðü ðüóï ÷ñüíï áðü ôç óôéãìÞ ðïõ Üñ÷éóå íá áóêåßôáé ç äýíáìç F→

1

óôï óþìá, ç ôá÷ýôçôÜ ôïõ ìçäåíßæåôáé;

¸íá óþìá ìÜæáò m = 2Kg êéíåßôáé óå ïñéæüíôéï åðßðåäï. Ç åîßóùóç ðïõ äß-

íåé ôçí ôá÷ýôçôÜ ôïõ åßíáé: õ = 10 + 2t (S.I.).

á) Íá âñåßôå ôçí åðéôÜ÷õíóç ôïõ óþìáôïò êáé íá ÷áñáêôçñßóåôå ôï åßäïò ôçò

êßíçóÞò ôïõ.

â) Ðïéï åßíáé ôï ìÝôñï ôçò óõíéóôáìÝíçò äýíáìçò ðïõ áóêåßôáé óôï óþìá;

ã) Ðüóï äéÜóôçìá Ý÷åé äéáíýóåé ôï óþìá ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t = 4s;

Óôï óþìá ôçò ðáñáêÜôù åéêüíáò áóêïýíôáé äýï äõíÜìåéò F→→

1, F→→

2. Áí ôá ìÝ-

ôñá ôùí äõíÜìåùí áõôþí åßíáé F1 = 22N êáé F2 = 7Í áíôßóôïé÷á, ôï óþìá

áðïêôÜ åðéôÜ÷õíóç á = 3m/s2. Áí ôá ìÝôñá ôùí äõíÜìåùí ãßíïõí F1 = 30N

êáé F2 = 20N áíôßóôïé÷á , ðïéá èá åßíáé ç åðéôÜ÷õíóç ðïõ èá áðïêôÞóåé ôï

óþìá óå áõôÞ ôçí ðåñßðôùóç;

F1F2

2.72

2.71

2.70

2.69


03a.qxd 9/18/08 12:07 PM Óåëßäá 181

Äßíåôáé ôï áêüëïõèï äéÜãñáììá ôá÷ýôçôáò-÷ñüíïõ (õ-t) åíüò óþìáôïò:

á) Íá õðïëïãßóåôå ôéò åðéôá÷ýíóåéò ôïõ óþìáôïò óôá áíôßóôïé÷á ÷ñïíéêÜ äéá-

óôÞìáôá êáé íá ÷áñáêôçñßóåôå ôá åßäç ôùí êéíÞóåùí ðïõ ðñáãìáôïðïéåß ôï

óþìá.

â) Íá ó÷åäéÜóåôå ôï äéÜãñáììá óõíéóôáìÝíçò äýíáìçò – ÷ñüíïõ (Fïë - t) ãéá

ôç óõíïëéêÞ äéÜñêåéá ôçò êßíçóçò.

Äßíåôáé ç ìÜæá ôïõ óþìáôïò m = 3Kg.

¸íá óþìá ìÜæáò m = 5Kg êéíåßôáé ìå óôáèåñÞ ôá÷ýôçôá õ0 = 6m/s óå ëåßï ï-

ñéæüíôéï åðßðåäï. Ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t0 = 0s óôï óþìá áñ÷ßæåé íá áóêåßôáé óôá-

èåñÞ ïñéæüíôéá äýíáìç F→→

1, ßäéáò äéåýèõíóçò ìå ôçí äéåýèõíóç ôçò ôá÷ýôçôáò

õ→→

00. Áí ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t1 = 8s, ç ôá÷ýôçôá ôïõ óþìáôïò åßíáé õ1 = 3õ0:

á) íá âñåßôå ôï ìÝôñï êáé ôç öïñÜ ôçò äýíáìçò F→

1.

â) ðïéá ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ ç ôá÷ýôçôá ôïõ óþìáôïò åßíáé õ2 = 21m/s;

Óþìá ìÜæáò m = 3Kg áíåâáßíåé êáôáêüñõöá ìå óôáèåñÞ åðéôÜ÷õíóç á = 4

m/s2.

á) Íá âñåèåß ôï ìÝôñï ôçò óõíéóôáìÝíçò äýíáìçò ðïõ áóêåßôáé óôï óþìá.

â) Áí óôï óþìá áóêïýíôáé óõíïëéêÜ äýï äõíÜìåéò, íá ðñïóäéïñßóåôå ôï ìÝ-

ôñï êáé ôçí êáôåýèõíóÞ ôïõò.


Óôï óþìá ìÜæáò m = 4Kg ôïõ ðáñáðÜíù ó÷Þìáôïò áóêïýíôáé ïé äõíÜìåéò

F→→

1, F→→

2 êáé F→→

3, Ýôóé þóôå F1 = ��F

22�� êáé F2 = 3F3. Áí ôï óþìá åßíáé áñ÷éêÜ áêß-

íçôo êáé óå ÷ñüíï t = 2s äéáíýåé äéÜóôçìá S = 7m, íá õðïëïãßóåôå:

F1F3 F2

2.76

2.75

2.74

õ(m/s)

t(s)0 2 5

20

10

2.73


03a.qxd 9/18/08 12:07 PM Óåëßäá 182

á) ôçí åðéôÜ÷õíóç ôïõ óþìáôïò

â) ôá ìÝôñá ôùí ôñéþí äõíÜìåùí F→

1, F→

2 êáé F→

3.

Äßíåôáé ôï áêüëïõèï äéÜãñáììá óõíéóôáìÝíçò äýíáìçò – ÷ñüíïõ (Fïë - t) å-

íüò óþìáôïò ìÜæáò m = 6 Kg:

á) Íá õðïëïãßóåôå ôéò åðéôá÷ýíóåéò ôïõ óþìáôïò óôá áíôßóôïé÷á ÷ñïíéêÜ äéá-

óôÞìáôá êáé íá ÷áñáêôçñßóåôå ôá åßäç ôùí êéíÞóåùí ðïõ ðñáãìáôïðïéåß.

â) Íá ó÷åäéÜóåôå ôï äéÜãñáììá ôá÷ýôçôáò-÷ñüíïõ (õ-t).

ã) Ðïéá åßíáé ç ôá÷ýôçôá ôïõ óþìáôïò ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t = 5s;

Èåùñåßóôå üôé ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t0 = 0s ôï óþìá åßíáé áêßíçôï.

Äýï ìÜæåò m1 = 2Kg êáé m2 = 5Kg âñßóêïíôáé áñ÷éêÜ áêßíçôåò óôï ßäéï óç-

ìåßï ëåßïõ ïñéæïíôßïõ åðéðÝäïõ, üðùò öáßíåôáé óôï ðáñáêÜôù ó÷Þìá:

Ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t0 = 0s, óôéò äýï ìÜæåò áóêïýíôáé áíôßññïðåò ïñéæü-

íôéåò äõíÜìåéò F→→

1 êáé F→→

2 áíôßóôïé÷á, ìå ìÝôñá F1 = 8N êáé F2 = 5N.

á) Ðïéá åßíáé ç åðéôÜ÷õíóç ðïõ áðïêôÜ êÜèå ìÜæá;

â) Ðüóï áðÝ÷ïõí ïé äýï ìÜæåò ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t1 = 4s;

ã) Ðïéá ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ ïé äýï ìÜæåò áðÝ÷ïõí áðüóôáóç S2 = 160m;

Óþìá ìÜæáò m = 2Kg çñåìåß óå ïñéæüíôéï åðßðåäï. Áí óôï óþìá áõôü á-

óêçèåß êáôáêüñõöá ðñïò ôá ðÜíù äýíáìç ìÝôñïõ F1 = 36N:

á) Ðïéá åßíáé ç åðéôÜ÷õíóç ðïõ áðïêôÜ ôï óþìá;

â) ÌåôÜ áðü ðüóï ÷ñüíï ôï óþìá Ý÷åé ôá÷ýôçôá õ = 40m/s;

ã) Óå ðïéï ýøïò áðü ôï ïñéæüíôéï åðßðåäï ôï óþìá Ý÷åé ôçí ôá÷ýôçôá áõôÞ;

ä) Íá ðñïóäéïñßóåôå ôç äýíáìç F→

2 (ìÝôñï, êáôåýèõíóç) ðïõ ðñÝðåé íá áóêç-

èåß óôï óþìá, þóôå áõôü íá óõíå÷ßóåé íá êéíåßôáé ìå ôá÷ýôçôá õ = 40 m/s.


2.79

F1 F2m1m2

2.78

F (N)ïë

t(s)0

3

–12

24

6 10

2.77


03a.qxd 9/18/08 12:07 PM Óåëßäá 183

Äýï ìÜæåò m1 = 3Kg êáé m2 = 4Kg âñßóêïíôáé áñ÷éêÜ áêßíçôåò óå ëåßï ïñé-

æüíôéï åðßðåäï. Ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t0 = 0s óôéò äýï ìÜæåò áóêïýíôáé ïìüñ-

ñïðåò ïñéæüíôéåò äõíÜìåéò F→→

1 êáé F→→

2 áíôßóôïé÷á, ìå ìÝôñá F1 = F2 = 12N, ü-

ðùò öáßíåôáé óôï áêüëïõèï ó÷Þìá:

Áí ïé äýï ìÜæåò áðÝ÷ïõí áñ÷éêÜ áðüóôáóç S = 50m, íá âñåßôå ôç ÷ñïíéêÞ

óôéãìÞ ðïõ ïé äýï ìÜæåò áðÝ÷ïõí ãéá ðñþôç öïñÜ áðüóôáóç S′′ = 18m.

Óå óþìá ìÜæáò m = 2Kg ðïõ áñ÷éêÜ çñåìåß óå ëåßï ïñéæüíôéï åðßðåäï á-

óêåßôáé äýíáìç ìÝôñïõ F1 = 8N, ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t0 = 0s. Ç äýíáìç áõôÞ

ðáýåé íá åíåñãåß óôï óþìá ôç ÷ñïíéêÞ t1 = 10s. Ná õðïëïãßóåôå:

á) ôï óõíïëéêü äéÜóôçìá ðïõ Ý÷åé äéáíýóåé ôï óþìá ìÝ÷ñé ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ

t2 = 15s.

â) ôï óõíïëéêü äéÜóôçìá ðïõ Ý÷åé äéáíýóåé ôï óþìá ìÝ÷ñé íá óôáìáôÞóåé, áí

ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t2 = 15s áðïêôÜ óôáèåñÞ åðéâñÜäõíóç á2 = –2m/s2

ã) ôï ìÝôñï ôçò äýíáìçò F→

2 ðïõ åðéâñáäýíåé ôï óþìá.

Óþìá ìÜæáò m = 5Kg çñåìåß óå ëåßï ïñéæüíôéï åðßðåäï. Ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ

t0 = 0s áóêåßôáé óôï óþìá äýíáìç ìÝôñïõ F = 20N. Tç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t1 ç

äýíáìç F→→

áëëÜæåé öïñÜ êáé áóêåßôáé óôï óþìá ìÝ÷ñé íá ìçäåíéóôåß ç ôá÷ý-

ôçôÜ ôïõ. Áí ôï óõíïëéêü äéÜóôçìá ðïõ äéáíýåé ôï óþìá åßíáé S = 36m, íá

âñåßôå ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t1.

Äýï áõôïêßíçôá âñßóêïíôáé áñ÷éêÜ áêßíçôá óå ëåßï ïñéæüíôéï äñüìï. Ïé

ðñïùóôéêÝò äõíÜìåéò F→→

1 êáé F→→

2 áíôßóôïé÷á ðïõ áóêïýíôáé óôá áõôïêßíçôá á-

ðü ôïí êéíçôÞñá ôïõò, Ý÷ïõí ìÝôñá F1 = 2400N êáé F2 = 3000Í. Ïé ìÜæåò

ôùí äýï áõôïêéíÞôùí åßíáé áíôßóôïé÷á Ì1 = 800Kg êáé Ì2 = 1500Kg, åíþ ç

áñ÷éêÞ ìåôáîý ôïõò áðüóôáóç åßíáé S = 40m. Ná âñåßôå ìåôÜ áðü ðüóï

÷ñüíï áðü ôçí ôáõôü÷ñïíç åêêßíçóÞ ôïõò èá óõíáíôçèïýí ôá äýï áõôïêß-

íçôá, áí êéíïýíôáé:

á) ïìüññïðá

â) áíôßññïðá

2.83

2.82

2.81

F1F2m1

m2

S

2.80


03a.qxd 9/18/08 12:07 PM Óåëßäá 184

Ï áëåîéðôùôéóôÞò ôïõ äéðëáíïý ó÷Þìáôïò êá-

ôåâáßíåé ìå óôáèåñÞ åðéôÜ÷õíóç á = 4m/s2. Ç

ìÜæá ôïõ áëåîéðôùôéóôÞ ìáæß ìå ôï áëåîßðôùôü

ôïõ åßíáé Ì = 100Kg.

á) Íá âñåßôå ôï ìÝôñï ôçò äýíáìçò F→

áíô ðïõ á-

óêåßôáé óôï áëåîßðôùôï áðü ôïí áÝñá (áíôß-

óôáóç ôïõ áÝñá).

â) Óå ýøïò Ç = 68m ðÜíù áðü ôï Ýäáöïò, ï á-

ëåîéðôùôéóôÞò Ý÷åé ôá÷ýôçôá õ0 = 12m/s êáé

áöÞíåé áíôéêåßìåíï ìÜæáò m =20Kg. Óå ðüóï

÷ñüíï èá öôÜóåé ï áëåîéðôùôéóôÞò óôï Ýäá-

öïò;

Äßíåôáé g = 10 m/s2.

Èåùñåßóôå ôçí áíôßóôáóç ôïõ áÝñá F→→

áíô óôáèåñÞ.

Óþìá ìÜæáò m = 10Kg êéíåßôáé ìå óôáèåñÞ ôá÷ýôçôá õ0 = 20m/s óå ïñéæü-

íôéï åðßðåäï. Ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t0 = 0s ôï óþìá áðïêôÜ óôáèåñÞ åðéâñÜ-

äõíóç á1=–4m/s2. ÌåôÜ áðü ÷ñüíï 5s, óôï óþìá áóêåßôáé êáôáêüñõöá

ðñïò ôá ðÜíù äýíáìç ìÝôñïõ F2 = 150N.

á) Ðïéï åßíáé ôï ìÝôñï êáé ç êáôåýèõíóç ôçò äýíáìçò F→

1 ðïõ åðéâñáäýíåé ôï

óþìá;

â) Ðïéá åßíáé ç ôá÷ýôçôá ôïõ óþìáôïò ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t1 = 5s;

ã) Óå ðïéï ýøïò ðÜíù áðü ôï ïñéæüíôéï åðßðåäï âñßóêåôáé ôï óþìá ôç ÷ñïíé-

êÞ óôéãìÞ t2 = 8s;

ä) Ðïéï åßíáé ôï óõíïëéêü äéÜóôçìá ðïõ äéáíýåé ôï óþìá óôï ÷ñïíéêü äéÜóôç-

ìá (0 → 8)s;


2.85

Fáíô

Â

á=óôáèåñÞ

2.84


03a.qxd 9/18/08 12:07 PM Óåëßäá 185

2.5 H ÅËÅÕÈÅÑÇ ÐÔÙÓÇ ÔÙÍ ÓÙÌÁÔÙÍ

¸íá óþìá ðïõ ðÝöôåé ìå ôçí åðßäñáóç ôçò âáñõôéêÞò Ýëîçò ôçò Ãçò, áðïôåëåß ôï

ðéï ãíùóôü ðáñÜäåéãìá êßíçóçò ìå (ó÷åäüí) óôáèåñÞ åðéôÜ÷õíóç.

Áí áöÞóïõìå áðü ìéêñü ýøïò ðÜíù áðü ôçí åðéöÜíåéá ôçò Ãçò íá ðÝóåé Ýíá óþ-

ìá ÷ùñßò áñ÷éêÞ ôá÷ýôçôá êáé äå÷èïýìå üôé ç ìïíáäéêÞ äýíáìç ðïõ áóêåßôáé óôï óþ-

ìá åßíáé ôï âÜñïò ôïõ, áõôü èá êéíçèåß êáôáêüñõöá ðñïò ôá êÜôù ìå óôáèåñÞ åðé-

ôÜ÷õíóç. Ç åðéôÜ÷õíóç áõôÞ ïíïìÜæåôáé åðéôÜ÷õíóç ôçò âáñýôçôáò êáé óõìâïëßæå-

ôáé ìå g→

.

Ó÷üëéá

1) Óýìöùíá ìå ôï äåýôåñï íüìï ôïõ Íåýôùíá, ãéá ôçí åëåýèåñç ðôþóç:

F→

oë = Â→

⇒ má→

= mg→

⇒ á→→

= g→→

1. Óõìðåñáßíïõìå ëïéðüí üôé ç åëåýèåñç ðôþóç åßíáé ìéá åõèýãñáììç ïìáëÜ å-

ðéôá÷õíüìåíç êßíçóç ìå óôáèåñÞ åðéôÜ÷õíóç g→

, êáôáêüñõöçò äéåýèõíóçò

êáé ìå öïñÜ ðñïò ôï êÝíôñï ôçò Ãçò.

2) Ç åðéôÜ÷õíóç ôçò âáñýôçôáò g→

Ý÷åé ôçí ßäéá ôéìÞ ãéá üëá ôá óþìáôá ðïõ âñß-

óêïíôáé óôïí ßäéï ôüðï.

1. Ç ôéìÞ ôçò åðéôÜ÷õíóçò g→

åîáñôÜôáé áðü:

1. i) ôï ýøïò

1. ¼óï ôï ýøïò áðü ôçí åðéöÜíåéá ôçò Ãçò áõîÜíåôáé, ç ôéìÞ ôçò åðéôÜ÷õíóçò

g ìåéþíåôáé.

1. ii) ôï ãåùãñáöéêü ðëÜôïò

õ0=0

Âg

Åëåýèåñç ðôþóç åßíáé ç êßíçóç ðïõ ðñáãìáôïðïéåß Ýíá óþìá üôáí ôï á-

öÞóïõìå íá ðÝóåé áðü ìéêñü ýøïò ÷ùñßò áñ÷éêÞ ôá÷ýôçôá, ìå ôçí åðß-

äñáóç ìüíï ôïõ âÜñïõò ôïõ ôï ïðïßï èåùñåßôáé óôáèåñü.


04a.qxd 9/18/08 12:09 PM Óåëßäá 186

1. Áðü ôïí éóçìåñéíü ðñïò ôïõò ãåùãñáöéêïýò ðüëïõò, ç ôéìÞ ôçò åðéôÜ÷õí-

óçò g áõîÜíåôáé.

1. Óôïí Éóçìåñéíü: g = 9,78 m/s2

1. Óå ãåùãñáöéêü ðëÜôïò 45°: g = 9,81 m/s2

1. Óôïõò ðüëïõò: g = 9,83 m/s2

1. ÃåíéêÜ, ó’ Ýíá óõãêåêñéìÝíï ôüðï êáé ãéá ìéêñÜ ýøç, ç ôéìÞ ôçò åðéôÜ÷õíóçò g

èåùñåßôáé óôáèåñÞ.

3) Óôçí ðñÜîç êáìßá êßíçóç ðÜíù óôç Ãç äåí åßíáé åëåýèåñç ðôþóç. Áõôü ïöåß-

ëåôáé óôï ãåãïíüò, üôé óå êÜèå óþìá åêôüò áðü ôï âÜñïò ôïõ áóêåßôáé êáé ç á-

íôßóôáóç ôïõ áÝñá (ôï ßäéï óõìâáßíåé êáé óôá õãñÜ).

1. Åëåýèåñç ðôþóç Ý÷ïõìå ìüíï óôï êåíü

ÐáñÜäåéãìá:ÁöÞíïõìå Ýíá êÝñìá êáé Ýíá öýëëï íá ðÝóïõí áðü ôï ßäéï ýøïò óôï Ýäáöïò:

Ðáñáôçñïýìå üôé ðñþôá öôÜíåé óôï Ýäáöïò ôï êÝñìá. Áõôü óõìâáßíåé åðåéäÞ å-

êôüò áðü ôï âÜñïò óôá äýï óþìáôá áóêåßôáé êáé ç áíôßóôáóç ôïõ áÝñá. Ç áíôßóôá-

óç ôïõ áÝñá åîáñôÜôáé áðü ôçí ôá÷ýôçôá, ôï ó÷Þìá, ôï åìâáäü ôçò ìåôùðéêÞò åðé-

öÜíåéáò êáé ôçí ðõêíüôçôá ôïõ óþìáôïò.

Åîáéôßáò ôçò áíôßóôáóçò ôïõ áÝñá ôá äýï óþìáôá áðïêôïýí äéáöïñåôéêÝò åðé-

ôá÷ýíóåéò á→

1 êáé á→

2.

Áíôßèåôá, óôçí ðåñßðôùóç ðïõ ç êßíçóç ðñáãìáôïðïéåßôáé óôï êåíü, ðáñáôçñïý-

ìå üôé ôá äýï óþìáôá öôÜíïõí ôáõôü÷ñïíá óôï Ýäáöïò. Áõôü óõìâáßíåé åðåéäÞ ôá

óþìáôá êéíïýíôáé ìå ôçí ßäéá åðéôÜ÷õíóç g→

.

Å î é ó þ ó å é ò ó ô ç í å ë å ý è å ñ ç ð ô þ ó ç

¼ðùò ðñïáíáöÝñèçêå ç åëåýèåñç ðôþóç åßíáé ìßá åõèýãñáììç ïìáëÜ åðéôá÷õ-

íüìåíç êßíçóç ÷ùñßò áñ÷éêÞ ôá÷ýôçôá (õ0 = 0), ìå óôáèåñÞ åðéôÜ÷õíóç g. Áðü ôïõò

ôýðïõò ãáé ôçí åõèýãñáììç ïìáëÜ åðéôá÷õíüìåíç êßíçóç, Ý÷ïõìå:

á1

á2

gg

óôïí áÝñá óôï êåíü


04a.qxd 9/18/08 12:09 PM Óåëßäá 187

õ = õ0 + át õ = gt

S = õ0t + �1

2� át2 y = ��

1

2�� gt2

Ðñïóï÷Þ!!! Ç åîßóùóç y = �1

2� gt2 äå äßíåé ôï ýøïò ðÜíù áðü ôï Ýäáöïò óôï ï-

ðïßï âñßóêåôáé ôï óþìá êÜèå ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ, áëëÜ ôï äéÜóôçìá

ðïõ Ý÷åé äéáíýóåé êáôáêüñõöá ôï óþìá óå ÷ñüíï t, áðü ôï óç-

ìåßï ðïõ ôï áöÞóáìå.

Ãéá íá âñïýìå ôï ýøïò h ðïõ âñßóêåôáé ôï óþìá ðÜíù áðü ôï Ýäáöïò, áöáéñý-

ìå áðü ôï áñ÷éêü ýøïò H, ôï äéÜóôçìá y ðïõ Ý÷åé äéáíýóåé êáôáêüñõöá ôï óþìá ìÝ-

÷ñé åêåßíç ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ.

h = H – y ⇒ h = H – ��1

2�� gt2

Ä é á ã ñ Ü ì ì á ô á ó ô ç í å ë å ý è å ñ ç ð ô þ ó ç

I) ÄéÜãñáììá åðéôÜ÷õíóçò - ÷ñüíïõ (á - t)

á

t0

g

õ0=0

Ç

y

h

õ0=0, á=g⇒

S=y

õ0=0⇒

á=g


04a.qxd 9/18/08 12:09 PM Óåëßäá 188

ÉÉ) ÄéÜãñáììá ôá÷ýôçôáò - ÷ñüíïõ (õ - t)

III) ÄéÜãñáììá äéáóôÞìáôïò - ÷ñüíïõ (y - t)

y

t0

õ

t0


Åëåýèåñç ðôþóç

åðéôÜ÷õíóç á = g = óôáèåñÞ

ôá÷ýôçôá õ = gt

äéÜóôçìá y = �1

2� gt2

á

t0

g

õ

t0

y

t0

04a.qxd 9/18/08 12:09 PM Óåëßäá 189

Äýï åéäéêÝò ðåñéðôþóåéò êéíÞóåùí ðïõ áîßæåé íá áíáöåñèïýí åßíáé ç êáôáêüñõ-

öç âïëÞ ðñïò ôá êÜôù êáé ç êáôáêüñõöç âïëÞ ðñïò ôá ðÜíù.

Á. Êáôáêüñõöç âïëÞ ðñïò ôá êÜôù

¸óôù Ýíá óþìá ðïõ âÜëëåôáé áðü êÜðïéï ýøïò,

êáôáêüñõöá ðñïò ôá êÜôù ìå áñ÷éêÞ ôá÷ýôçôá õ→→

0. Ç

êßíçóç ðïõ êÜíåé ôï óþìá åßíáé åõèýãñáììç ïìáëÜ å-

ðéôá÷õíüìåíç ìå áñ÷éêÞ ôá÷ýôçôá õ0 êáé ïíïìÜæåôáé

êáôáêüñõöç âïëÞ ðñïò ôá êÜôù.

�Ç åðéôÜ÷õíóç ðïõ áðïêôÜ ôï óþìá åßíáé ç åðéôÜ÷õíóç ôçò âáñýôçôáò g→

êáé èå-

ùñåßôáé óôáèåñÞ.

Åîéóþóåéò êáé äéáãñÜììáôá óôçí êáôáêüñõöç âïëÞ ðñïò ôá êÜôù

Èåùñþíôáò èåôéêÞ öïñÜ, ôç öïñÜ ðñïò ôá êÜôù èá åßíáé õ→

0 > 0 êáé g→

> 0 ïðüôå áí:

� õ ç ôá÷ýôçôá ìåôÜ áðü ÷ñüíï t, êáé

� y ôï äéÜóôçìá ðïõ äéáíýåé êáôáêüñõöá ôï óþìá óå ÷ñüíï t áð’ ôï óçìåßï åê-

êßíçóÞò ôïõ, èá éó÷ýïõí ôá áêüëïõèá:

õ0=0

y

õg


y

t0

y = õ0t + �1

2� gt2äéÜóôçìá

õ

t0

õ0

õ = õ0 + gtôá÷ýôçôá

á

t0

gg = óôáèåñÞåðéôÜ÷õíóç

Êáôáêüñõöç âïëÞ ðñïò ôá êÜôù

04a.qxd 9/18/08 12:09 PM Óåëßäá 190

Â. Êáôáêüñõöç âïëÞ ðñïò ôá ðÜíù

¸óôù Ýíá óþìá ðïõ âÜëëåôáé êáôáêüñõöá ðñïò

ôá ðÜíù ìå áñ÷éêÞ ôá÷ýôçôá õ→

0. Ç êßíçóç ðïõ êÜíåé ôï

óþìá åßíáé åõèýãñáììç ïìáëÜ åðéâñáäõíüìåíç ìå

á→→

= – g→→

êáé ïíïìÜæåôáé êáôáêüñõöç âïëÞ ðñïò ôá ðÜ-

íù.

Åîéóþóåéò êáé äéáãñÜììáôá óôçí êáôáêüñõöç

âïëÞ ðñïò ôá ðÜíù.

Èåùñþíôáò èåôéêÞ öïñÜ ôçí ðñïò ôá ðÜíù èá åß-

íáé õ→

0 > 0 êáé g→

< 0, ïðüôå áí:

• õ ç ôá÷ýôçôá ìåôÜ áðü ÷ñüíï t áð’ ôç óôéãìÞ ôçò âïëÞò êáé

• y ôï ýøïò ðïõ âñßóêåôáé ôï óþìá ðÜíù áð’ ôï óçìåßï âïëÞò, èá éó÷ýïõí ôá ðá-

ñáêÜôù:

ÐåñéãñáöÞ ôçò êßíçóçò

¼ðùò ðñïáíáöÝñèçêå ç êßíçóç ðïõ ðñáãìáôïðïéåß ôï óþìá åßíáé ïìáëÜ åðé-

âñáäõíüìåíç. Ç ôá÷ýôçôá ôïõ óþìáôïò ìåéþíåôáé üóï áõôü áíåâáßíåé, ìÝ÷ñé ðïõ ìç-

äåíßæåôáé. Ôüôå ôï óþìá öôÜíåé óôï ìÝãéóôï ýøïò.

õ0

y

õg

õ=0

hmax


y

t0

y = õ0t – �1

2� gt2äéÜóôçìá

õ

t0

õ0õ = õ0 – gtôá÷ýôçôá

á

t0

–g

g = óôáèåñÞåðéôÜ÷õíóç

Êáôáêüñõöç âïëÞ ðñïò ôá ðÜíù

04a.qxd 9/18/08 12:09 PM Óåëßäá 191

Óôç óõíÝ÷åéá ôï óþìá èá áñ÷ßóåé íá ðÝöôåé åêôåëþíôáò åëåýèåñç ðôþóç.

� ×ñüíïò áíüäïõ (táí): åßíáé ï ÷ñüíïò ðïõ êÜíåé ôï óþìá þóðïõ íá öôÜóåé óôï

ìÝãéóôï ýøïò êáé õðïëïãßæåôáé ùò åîÞò:

õ = õ0 – gt 0 = õ0 – gtáí ⇒

� Ìðïñïýìå åðßóçò íá õðïëïãßóïõìå ôï ìÝãéóôï ýøïò (hmax) óôï ïðïßï öôÜíåé

ôï óþìá ìåôÜ áðü ÷ñüíï t = táí:

y = õ0t – �1

2� gt2 hmax = õ0táí – �

1

2� gt2áí hmax = õ0��

õ

g0�� – �

1

2� g ��

õ

g0��

2=

�õ

g

20� – �

2

õ

g

20� ⇒


¢óêçóç 1: Óþìá ðïõ âñßóêåôáé óå ýøïò h = 80m ðÜíù áðü ôï Ýäáöïò áöÞ-

íåôáé íá ðÝóåé åëåýèåñá. Íá âñåßôå:

á) ôï ÷ñüíï ðïõ èá ÷ñåéáóôåß ôï óþìá ãáé íá öôÜóåé óôï Ýäáöïò,

â) ôçí ôá÷ýôçôá ôïõ óþìáôïò ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ ðïõ öôÜíåé óôï Ý-

äáöïò êáé

ã) ôçí ôá÷ýôçôÜ ôïõ, 1s ðñéí öôÜóåé óôï Ýäáöïò.

Äßíåôáé g = 10m/s2

Ëýóç

á)

y = �1

2� gt2 h = �

1

2� gt2oë ⇒ t2oë = �

2

g

h� ⇒

t=tÏë

⇒

y=h

õ0=0

y

hmax = ��2

õ

g

20��

táí=�õ

g0�

⇒

t=táí

⇒

y=hmax

táí = ��õ

g0��

t=táí

⇒

õ=0


04a.qxd 9/18/08 12:09 PM Óåëßäá 192

⇒ tïë = ��2

g�h�� = ��s ⇒

â) ¸óôù õåä ç ôá÷ýôçôá ìå ôçí ïðïßá ôï óþìá öôÜíåé óôï Ýäáöïò:

õ = gt õåä = gtïë = 10 m/s2 � 4s ⇒

ã) ¸óôù õ1 ç ôá÷ýôçôá ôïõ óþìáôïò 1s ðñéí öôÜóåé óôï Ýäáöïò:

õ = gt õ1 = gt1 = 10 m/s2 � (4 – 1)s ⇒

¢óêçóç 2: Ìéá óöáßñá áöÞíåôáé íá ðÝóåé åëåýèåñá áðü ôçí ôáñÜôóá ìéáò

ðïëõêáôïéêßáò. Áí çóöáßñá öôÜíåé óôï Ýäáöïò ìåôÜ áðü ÷ñüíï

tïë = 5s, íá õðïëïãßóåôå:

á) ôçí ôá÷ýôçôá ìå ôçí ïðïßá ôï ôüðé öôÜíåé óôï Ýäáöïò.

â) ôï ýøïò ôçò ðïëõêáôïéêßáò.

ã) ôï ýøïò ðÜíù áðü ôï Ýäáöïò ðïõ âñßóêåôáé ç óöáßñá, 2s ðñéí

öôÜóåé óôï Ýäáöïò.


Ëýóç

á)

õ = gt õåä = gtïë = 10 m/s2 � 5s ⇒

â) y = �1

2� gt2 H = �

1

2� gt2ïë = ��

1

2� � 10 � 52�m ⇒ Ç = 125m

t=tïë

⇒

y=H

õåä = 50 m/st=tïë

⇒

õ=õåä

õ0=0

H

õ1 = 30 m/st=t1⇒

õ=õ1

õåä = 40 m/st=toë

⇒

õ=õåä

tïë = 4s2 � 80�

10


04a.qxd 9/18/08 12:09 PM Óåëßäá 193

ã)

¸óôù üôé ç óöáßñá 2s ðñéí öôÜóåé óôï Ýäáöïò, âñßóêåôáé óå ýøïò h:

h = H – y ⇒ h = H – �1

2� gt2 = �125 – �

1

2� � 10 � (5 – 2)2�m ⇒

¢óêçóç 3: Äýï ìðáëÜêéá ôïõ ôÝííéò áöÞíïíôáé íá ðÝóïõí åëåýèåñá áðü ý-

øïò Ç=20m ðÜíù áðü ôï Ýäáöïò, ìå ÷ñïíéêÞ äéáöïñÜ Ät = 0,5s.

Íá âñåßôå:

á) ôç ÷ñïíéêÞ äéáöïñÜ ìå ôçí ïðïßá ôá äýï ìðáëÜêéá öôÜíïõí óôï

Ýäáöïò,

â) ôçí ôá÷ýôçôá ðïõ Ý÷åé ôï äåýôåñï ìðáëÜêé, ôç óôéãìÞ ðïõ ôï

ðñþôï öôÜíåé óôï Ýäáöïò êáé

ã) ôï ýøïò ðÜíù áðü ôï Ýäáöïò ðïõ âñßóêåôáé ôï äåýôåñï ìðá-

ëÜêé, ôç óôéãìÞ ðïõ ôï ðñþôï ìðáëÜêé öôÜíåé óôï Ýäáöïò.


Ëýóç

á) Ôá äýï ìðáëÜêéá ðñáãìáôïðïéïýí åëåýèåñç ðôþóç áðü ôï ßäéïò ýøïò, óõíå-

ðþò êéíïýíôáé ìå ôçí ßäéá åðéôÜ÷õíóç g. Áõôü óçìáßíåé ðùò ôá äýï ìðáëÜêéá

ðñáãìáôïðïéïýí ôçí ßäéá áêñéâþò êßíçóç êáé åðåéäÞ ðÝöôïõí áðü ôï ßäéï ý-

øïò ìå ÷ñïíéêÞ äéáöïñÜ Ät = 0,5s, öôÜíïõí óôï Ýäáöïò ìå ôçí ßäéá ÷ñïíéêÞ

äéáöïñÜ

â)

Âñßóêïõìå áñ÷éêÜ ôï óõíïëéêü ÷ñüíï åëåýèåñçò ðôþóçò ãéá ôá äýï ìðáëÜêéá:

õ

A

B

Ät = 0,5s

h = 80m

H

h

y


04a.qxd 9/18/08 12:09 PM Óåëßäá 194

y = �1

2� gt2 H = �

1

2� gt2ïë ⇒ t2ïë = �

2

g

H� ⇒

tïë = ��2

g�H�� = ��

2� 1

�� 0

2�0��s ⇒ tïë = 2s

¼ôáí ôï ðñþôï ìðáëÜêé öôÜíåé óôï Ýäáöïò, ôï äåýôåñï ìðáëÜêé Ý÷åé êéíçèåß ãéá

÷ñüíï t2 = (2 – 0,5)s ⇒ t = 1,5s:

õ = gt õ2 = gt2 = 10 m/s2 � 1,5s ⇒

ã)

¼ôáí ôï ðñþôï ìðáëÜêé öôÜíåé óôï Ýäáöïò, ôï äåýôå-

ñï ìðáëÜêé âñßóêåôáé óå ýøïò h ðÜíù áðü ôï Ýäáöïò:

h = H – y2 ⇒ h =Ç – �1

2� gt22 = �20 – �

1

2� � 10 � 1,52�m ⇒

¢óêçóç 4:

Ïé ìðÜëåò Á êáé Â ôïõ ðáñáðÜíù ó÷Þìáôïò, âñßóêïíôáé áñ÷éêÜ óå

ýøç h1 = 30m êáé h2 = 20m áíôßóôïé÷á, ðÜíù áðü ôï Ýäáöïò. Ôç

÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t0 = 0s ç ìðÜëá Á åêôïîåýåôáé ìå ôá÷ýôçôá õ0 êá-

ôáêüñõöá ðñïò ôá êÜôù, åíþ ç ìðÜëá Â áöÞíåôáé íá ðÝóåé åëåý-

èåñá. Íá õðïëïãßóåôå:

á) ôçí ôá÷ýôçôá õ0, Ýôóé þóôå ïé äýï ìðÜëåò íá öôÜóïõí ôáõôü-

÷ñïíá óôï Ýäáöïò êáé

â) ôéò ôá÷ýôçôåò ðïõ Ý÷ïõí ïé äýï ìðÜëåò üôáí öôÜíïõí óôï Ýäáöïò.


Ëýóç

á) ¸óôù tïë ï ÷ñüíïò ðïõ ÷ñåéÜæïíôáé ïé äýï ìðÜëåò ãéá íá öôÜóïõí óôï Ýäáöïò.

A

B

h2

h1

õ

h = 8,75mA

BH

y2

h

õ2 = 15m/st=t2⇒

õ=õ2

t=tïë

⇒

y=H


04a.qxd 9/18/08 12:09 PM Óåëßäá 195

ìðÜëá Á: ðñáãìáôïðïéåß êáôáêüñõöç âïëÞ ðñïò ôá êÜôù ìå áñ÷éêÞ ôá÷ýôçôá õ0:

y = õ0t + �1

2� gt2 h1 = õ0tïë + �

1

2� gt2ïë (1)

ìðÜëá Â: ðñáãìáôïðïéåß åëåýèåñç ðôþóç:

y = �1

2� gt2 h2 = �

1

2� gt2ïë ⇒ tïë = ��

2�g

h�2�� (2)

(1) ⇒(2)

h1 = õ0 ��2�g

h�2�� + �1

2� g �

2

g

h2� ⇒ õ0��2�g

h�2�� = h1 – h2 ⇒

õ0 = = � �m/s ⇒

â) Õðïëïãßæïõìå ôï óõíïëéêü ÷ñüíï êßíçóçò tïë ãéá ôéò äýï ìðÜëåò:

(2) ⇒ tïë = ��2�g

h�2�� = ��2� 1

�� 0

2�0��s ⇒ tïë = 2s

ìðÜëá Á:

õÁ = õ0 + gt õåä(Á) = õ0 + gtïë = (5 + 10 � 2) m/s ⇒

⇒

ìðÜëá Â:

õÂ = gt õåä(Â) = gtïë = 10 m/s2 � 2s ⇒

¢óêçóç 5: Ôï óþìá ôïõ ðáñáêÜôù ó÷Þìáôïò åêôïîåýåôáé êáôáêüñõöá ðñïò

ôá ðÜíù ìå áñ÷éêÞ ôá÷ýôçôá õ0, áðü ôçí ôáñÜôóá ìéáò ðïëõêáôïé-

êßáò:

õåä(Â) = 20m/st=tïë

⇒

õB=õåä(B)

õåä(Á) = 25m/s

t=tïë

⇒

õÁ=õåä(Á)

õ0 = 5m/s30 – 20�

��2� 1

�� 0

2�0��

h1 – h2�

��2�g

h�2��

t=tïë

⇒

y=h2

t=tïë

⇒

y=h1


04a.qxd 9/18/08 12:09 PM Óåëßäá 196

Áí ãíùñßæåôå üôé õ0 = 20m/s êáé Ç = 105m, íá õðïëïãßóåôå:

á) ôï ÷ñüíï áíüäïõ táí ôïõ óþìáôïò,

â) ôï ìÝãéóôï ýøïò ðÜíù áðü ôï Ýäáöïò óôï ïðïßï öôÜíåé ôï óþ-

ìá,

ã) ôï óõíïëéêü ÷ñüíï êßíçóçò ôïõ óþìáôïò êáé

ä) ôçí ôá÷ýôçôá ìå ôçí ïðïßá ôï óþìá öôÜíåé óôï Ýäáöïò.

Äßíåôáé g = 10 m/s2

Ëýóç

á)

Ôï óþìá ðñáãìáôïðïéåß êáôáêüñõöç

âïëÞ ðñïò ôá ðÜíù êáé óôï óçìåßï Â ç ôá-

÷ýôçôÜ ôïõ óôéãìéáßá ìçäåíßæåôáé:

õ = õ0 – gt 0 = õ0 – gtáí ⇒

táí = �õ

g0� = �

1

2

0

0

m

m

/

/

s

s2

� ⇒

â) Ôï ìÝãéóôï ýøïò ðÜíù áðü ôï Ýäáöïò óôï ïðïßï öôÜíåé ôï óþìá åßíáé Çmax:

Hmax = H + h (1)

Êáèþò ôï óþìá áíåâáßíåé ðñïò ôá ðÜíù, ôï äéÜóôçìá ðïõ äéáíýåé êáôáêüñõ-

öá åßíáé:

táí = 2s

t=táí

⇒

õ=0

õ0

H

A

Bõ=0

h

õåä

õ0

H


04a.qxd 9/18/08 12:09 PM Óåëßäá 197

y = õ0t – �1

2� gt2 h = õ0táí – �

1

2� gt2áí = �20 � 2 – �

1

2� � 10 � 22�m ⇒

⇒ h = 20m

(1) ⇒ Hmax = H + h = (105 + 20)m ⇒

ã) Ç êßíçóç ðïõ ðñáãìáôïðïéåß ôï óþìá áðü ôï óçìåßï Â ìÝ÷ñé ôï Ýäáöïò, åßíáé

åëåýèåñç ðôþóç. Õðïëïãßæïõìå ôï ÷ñüíï êáèüäïõ têáè ôïõ óþìáôïò:

y = �1

2� gt2

y = Hmax

⇒

t = tÊáèHmax = �

1

2� gt2êáè ⇒ t2êáè= �

2 � H

gmax� ⇒ têáè = ��

2� �� H

g�m�ax�� =

= ��2� �

1� 1

0�2�5��s ⇒ têáè= 5s

ÅðïìÝíùò ï óõíïëéêüò ÷ñüíïò tïë åßíáé:

tïë = táí + têáè = (2+5)s ⇒

ä) õ = gt ====>t=tÊáè

õ=õåó

õåä = gtêáè = 10 m/s2 � 5s ⇒ õåä = 50m/s

tïë = 7s

Hmax = 125m

t=táí

⇒

y=h


04a.qxd 9/18/08 12:09 PM Óåëßäá 198

ÅÑÙÔÇÓÅÉÓ

á) Ðïéá êßíçóç ïíïìÜæïõìå åëåýèåñç ðôþóç; Íá ãñÜøåôå ôéò ó÷Ýóåéò ðïõ

äßíïõí ôçí ôá÷ýôçôá êáé ôï äéÜóôçìá óôçí åëåýèåñç ðôþóç.

â) Áðü ðïéïõò ðáñÜãïíôåò åîáñôÜôáé ç åðéôÜ÷õíóç ôçò âáñýôçôáò;

Óõìðëçñþóôå ôá êåíÜ ôïõ ðáñáêÜôù êåéìÝíïõ.

ÁöÞíïõìå Ýíá óþìá íá ðÝóåé áðü ìéêñü ýøïò, ÷ùñßò áñ÷éêÞ .............. Áí äå-

÷ôïýìå üôé ç ìüíç äýíáìç ðïõ áóêåßôáé óôï óþìá åßíáé ôï .................... ôïõ ôï

ïðïßï êáé èåùñïýìå ........................, ç êßíçóç ðïõ ðñáãìáôïðïéåß ôï óþìá ï-

íïìÜæåôáé ..................

ÊáôÜ ôçí åëåýèåñç ðôþóç åíüò óþìáôïò:

á) Óôï óþìá áóêïýíôáé äýï äõíÜìåéò ôï âÜñïò êáé ç áíôßóôáóç ôïõ áÝñá.

â) Ç óõíéóôáìÝíç ôùí äõíÜìåùí ðïõ áóêïýíôáé óôï óþìá åßíáé ìçäÝí.

ã) Óôï óþìá áóêåßôáé ìüíï ç äýíáìç ôïõ âÜñïõò ôïõ.

ä) Ç óõíéóôáìÝíç ôùí äõíÜìåùí ðïõ áóêïýíôáé óôï óþìá äåí åßíáé óôáèåñÞ.



óåéò.

Óôçí åëåýèåñç ðôþóç:

á) ôï óþìá áðïêôÜ óôáèåñÞ åðéôÜ÷õíóç �

â) ç êßíçóç åßíáé åõèýãñáìç ïìáëÞ �

ã) ç ôá÷ýôçôá ôïõ óþìáôïò äßíåôáé áð’ ôç ó÷Ýóç õ = õ0 + gt. �

ä) ôï óþìá êÜèå óôéãìÞ âñßóêåôáé óå ýøïò h = �1

2� gt2 ðÜíù

áð’ ôï Ýäáöïò. �

Óõìðëçñþóôå ôá êåíÜ ôïõ ðáñáêÜôù êåéìÝíïõ

Ç åëåýèåñç ðôþóç åíüò óþìáôïò åßíáé åõèýãñáììç ïìáëÜ ................ êßíçóç ÷ù-

ñßò áñ÷éêÞ .................. Ç ôá÷ýôçôá ôïõ óþìáôïò äßíåôáé áð’ ôïí ôýðï .......................

åíþ ï ôýðïò y = �1

2� gt2 åêöñÜæåé ôï ................ ðïõ Ý÷åé äéáíýóåé êáôáêüñõöá ôï óþ-

ìá áð’ ôï óçìåßï ðïõ ôï áöÞóáìå êáé ü÷é ôï ...................... ðÜíù áð’ ôï Ýäáöïò ðïõ

2.90

2.89

2.88

2.87

2.86


04a.qxd 9/18/08 12:09 PM Óåëßäá 199

âñßóêåôáé ôï óþìá êÜèå óôéãìÞ.

ÅðéëÝîôå ôéò óùóôÝò ðñïôÜóåéò

á) Óôçí åëåýèåñç ðôþóç ôá óþìáôá ðïõ Ý÷ïõí ìåãáëýôåñç ìÜæá áðïêôïýí

ìåãáëýôåñç åðéôÜ÷õíóç.

â) Ç åðéôÜ÷õíóç ôçò âáñýôçôáò g→

åßíáé ðÜíôá óôáèåñÞ

ã) Åëåýèåñç ðôþóç Ý÷ïõìå ìüíï óôï êåíü

ä) Ç åðéôÜ÷õíóç ôçò âáñýôçôáò Ý÷åé êáôáêüñõöç äéåýèõíóç êáé öïñÜ ðñïò

ôï êÝíôñï ôçò ãçò.

ÌÝóá óå êáôáêüñõöï áåñüêåíï óùëÞíá áöÞíïõìå íá ðÝóïõí åëåýèåñá

ìéá óéäåñÝíéá óöáßñá êáé Ýíá êïììÜôé ÷áñôß. Ìå ðïéåò áðü ôéò ðáñáðÜíù

ðñïôÜóåéò óõìöùíåßôå;

á) Ç åðéôÜ÷õíóç ðïõ áðïêôÜ ç óöáßñá åßíáé ìåãáëýôåñç

áðü åêåßíç ôïõ ÷áñôéïý.

â) Óôïí áåñüêåíï óùëÞíá äåí õðÜñ÷åé âáñýôçôá.

ã) ÊÜèå ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ ôá óþìáôá Ý÷ïõí ßóåò ôá÷ýôçôåò.

ä) Ôá äýï óþìáôá ðÝöôïõí ìå óôáèåñÝò ôá÷ýôçôåò êáé

öôÜíïõí ôáõôü÷ñïíá óôç âÜóç ôïõ óùëÞíá.

å) Ç áíôßóôáóç ôïõ áÝñá åßíáé ìçäÝí.

¸íá óþìá ìÜæáò m åêôåëåß åëåýèåñç ðôþóç. Ç åðéôÜ÷õíóç ðïõ áðïêôÜ ôï

óþìá èá åßíáé ìåãáëýôåñç áí ç êßíçóç ðñáãìáôïðïéçèåß:

á) óôïí éóçìåñéíü

â) óôç Íïñâçãßá

ã) óå ýøïò 4Km áð’ ôçí åðéöÜíåéá ôçò Ãçò

ä) óå ýøïò 4 m áð’ ôçí åðéöÜíåéá ôçò Ãçò

ÅðéëÝîôå ôéò óùóôÝò ðñïôÜóåéò.

¸íá óþìá ðñáãìáôïðïéåß åëåýèåñç ðôþóç áðü ìéêñü ýøïò. Ðïéá áðü ôá

ðáñáêÜôù äéáãñÜììáôá äßíïõí

á) ôçí åðéôÜ÷õíóç,

â) ôçí ôá÷ýôçôá,

ã) ôï äéÜóôçìá óå óõíÜñôçóç ìå ôï ÷ñüíï ãéá ôçí êßíçóç ôïõ óþìáôïò;

2.94

2.93

2.92

2.91


04a.qxd 9/18/08 12:09 PM Óåëßäá 200

1) 2) 3)

4) 5) 6)

7) 8) 9)

Ðïéïé áðü ôïõò ðáñáêÜôù ôýðïõò éó÷ýïõí óôçí åëåýèåñç ðôþóç;

á) õ = gt â) õ = óôáèåñÞ

ã) y = u0t + �1

2� gt2 ä) y = �

1

2� gt2

¸íá óþìá åêôåëåß åëåýèåñç ðôþóç. Áí äßíåôáé g = 10 m/s2, óõìðëçñþóôå

ôïí ðáñáêÜôù ðßíáêá:

2.96

2.95

S

t0

S

t0

á

t0

S

t0

õ

t0

á

t0

õ

t0

õ

t0

õ

t0


t(s) õ(m/s) h(m)

0 0 0

2

50

180

04a.qxd 9/18/08 12:09 PM Óåëßäá 201

á) Ôé ïíïìÜæïõìå êáôáêüñõöç âïëÞ ðñïò ôá ðÜíù; ÐåñéãñÜøôå ôçí êßíçóç

ðïõ ðñáãìáôïðïéåß Ýíá óþìá áðü ôç óôéãìÞ ðïõ âÜëëåôáé ìå êáôáêüñõ-

öç ôá÷ýôçôá õ0 áðü ôï Ýäáöïò ìÝ÷ñé ôç óôéãìÞ ðïõ èá åðéóôñÝøåé ðÜëé

óôï Ýäáöïò.

â) Íá ãñÜøåôå ôéò åîéóþóåéò óôçí êáôáêüñõöç âïëÞ ðñïò ôá ðÜíù êáé íá

ó÷åäéÜóåôå ôá áíôßóôïé÷á äéáãñÜììáôá åðéôÜ÷õíóçò – ÷ñüíïõ (á-t), ôá-

÷ýôçôáò-÷ñüíïõ (õ-t) êáé äéáóôÞìáôïò – ÷ñüíïõ (S-t).

Ôé ïíïìÜæïõìå êáôáêüñõöç âïëÞ ðñïò ôá êÜôù; Íá ãñÜøåôå ôéò åîéóþóåéò

ôçò êßíçóçò áõôÞò.

Åêôïîåýïõìå ìßá óöáßñá êáôáêüñõöá ðñïò ôá ðÜíù ìå ôá÷ýôçôá õ0. Ó÷å-

äéÜóôå ôéò äõíÜìåéò ðïõ áóêïýíôáé óôç óöáßñá êáèþò êáé ôá äéáíýóìáôá

ôçò ôá÷ýôçôáò êáé ôçò åðéôÜ÷õíóçò óôá óçìåßá Á (öÜóç áíüäïõ), Â (áíþ-

ôáôï óçìåßï ôçò ôñï÷éÜò) êáé Ã (öÜóç êáèüäïõ) óôï áêüëïõèï ó÷Þìá. Ç á-

íôßóôáóç ôïõ áÝñá èåùñåßôáé áìåëçôÝá.

Ñß÷íïõìå Ýíá óþìá êáôáêüñõöá ðñïò ôá ðÜíù ìå ôá÷ýôçôá õ0: i) óôç Ãç

üðïõ ç åðéôÜ÷õíóç ôçò âáñýôçôáò åßíáé g êáé ii) óå Ýíáí Üëëï ðëáíÞôç ü-

ðïõ ç åðéôÜ÷õíóç ôçò âáñýôçôáò åßíáé g/2. Ôé áðü ôá ðáñáêÜôù éó÷ýåé;

á) H ôá÷ýôçôá ìå ôçí ïðïßá áíåâáßíåé ôï óþìá óôç Ãç åßíáé äéðëÜóéá áð’ ôçí

ôá÷ýôçôá ôïõ óþìáôïò óôïí Üëëïí ðëáíÞôç.

â) Ï ÷ñüíïò áíüäïõ åßíáé äéðëÜóéïò óôïí Üëëï ðëáíÞôç.

ã) Ôï ìÝãéóôï ýøïò óôï ïðïßï öôÜíåé ôï óþìá åßíáé ôï ßäéï ôüóï óôç Ãç ü-

óï êáé óôïí Üëëï ðëáíÞôç.

ä) Áí ôï óþìá óôç Ãç öôÜíåé óôï ìÝãéóôï ýøïò ìåôÜ áðü ÷ñüíï t, ôüôå óôïí

ßäéï ÷ñüíï t ç ôá÷ýôçôá ôïõ óþìáôïò óôïí Üëëï ðëáíÞôç èá Ý÷åé ìÝôñï �õ

20�.

2.100

õ0

A Ã

Â

2.99

2.98

2.97


04a.qxd 9/18/08 12:09 PM Óåëßäá 202

ÁöÞíïõìå íá ðÝóïõí ôáõôü÷ñïíá áðü ôçí êïñöÞ åíüò êôéñßïõ, ìéá ìå-

ôáëëéêÞ óöáßñá êáé Ýíá ìðáëÜêé ôïõ ðéíãê-ðïíãê ßäéïõ ìåãÝèïõò. Óõìðëç-

ñþóôå ìå Ó(óùóôü) Þ Ë (ËÜèïò) äßðëá áðü ôéò áêüëïõèåò ðñïôÜóåéò:

á) Ç ìåôáëëéêÞ óöáßñá ðÝöôåé ìå ìåãáëýôåñç åðéôÜ÷õíóç.�

â) Ôï ìðáëÜêé ôïõ ðéíãê-ðïíãê öôÜíåé óôï Ýäáöïò äåýôåñï ãéáôß ç óõíé-

óôáìÝíç äýíáìç ðïõ áóêåßôáé ó’ áõôü åßíáé ìéêñüôåñç.�

ã) Ôá äýï óþìáôá öôÜíïõí ôáõôü÷ñïíá óôï Ýäáöïò ãéáôß åêôåëïýí åëåý-

èåñç ðôþóç.�

ä) Ï ëüãïò �F

mANT� åßíáé ìåãáëýôåñïò ãéá ôç óöáßñá.�

(Èåùñåßóôå üôé ç FANT åßíáé ßäéá êáé ãéá ôá äýï óþìáôá).

ÁöÞíïõìå íá ðÝóïõí ôáõôü÷ñïíá äýï óþìáôá Á êáé Â áðü ìéêñü ýøïò.

Áí ãéá ôéò ìÜæåò ôùí óùìÜôùí éó÷ýåé mA > mB êáé èåùñÞóïõìå üôé ç êß-

íçóç ðïõ ðñáãìáôïðïéïýí åßíáé ç åëåýèåñç ðôþóç, ðïéåò áðü ôéò áêü-

ëïõèåò ðñïôÜóåéò åßíáé óùóôÝò;

á) Ôï óþìá Á öôÜíåé óôï Ýäáöïò ìå ìåãáëýôåñç ôá÷ýôçôá.

â) Ôá äýï óþìáôá ðÝöôïõí ìå ôçí ßäéá åðéôÜ÷õíóç.

ã) Ôá äýï óþìáôá öôÜíïõí óôï Ýäáöïò ôáõôü÷ñïíá.

ä) Ç åðéôÜ÷õíóç ðïõ áðïêôïýí ôá óþìáôá åîáñôÜôáé áð’ ôç ìÜæá ôïõò.

Åîçãåßóôå ãéáôß óôçí åëåýèåñç ðôþóç ôá âáñýôåñá óþìáôá äåí ðÝöôïõí

ìå ìåãáëýôåñç åðéôÜ÷õíóç.

¸íá óþìá åêôåëåß åëåýèåñç ðôþóç áðü ýøïò h ðÜíù áð’ ôï Ýäáöïò. Áí

ãíùñßæåôå üôé öôÜíåé óôï Ýäáöïò ìå ôá÷ýôçôá õ, áðü ðïéï ýøïò ðñÝðåé

íá ôï áöÞóïõìå þóôå íá öôÜóåé óôï Ýäáöïò ìå ôá÷ýôçôá 3õ;

á) �9

2� h

â) 9h

ã) 3h

ä) 6h

2.104

2.103

2.102

2.101


04a.qxd 9/18/08 12:09 PM Óåëßäá 203

ÁÓÊÇÓÅÉÓ ÐÑÏÂËÇÌÁÔÁ

Ìéá ìéêñÞ ðÝôñá áöÞíåôáé íá ðÝóåé åëåýèåñá ðÜíù áðü ôï ÷åßëïò ãêñå-

ìïý âÜèïõò Ç = 80m. Íá õðïëïãßóåôå:

á) ôï ÷ñüíï åëåýèåñçò ðôþóçò ôçò ðÝôñáò,

â) ôçí ôá÷ýôçôá ìå ôçí ïðïßá öôÜíåé ç ðÝôñá óôï Ýäáöïò êáé

ã) ôï ýøïò ðÜíù áðü ôï Ýäáöïò óôï ïðïßï âñßóêåôáé ç ðÝôñá, 1s ðñéí öôÜ-

óåé óôï Ýäáöïò.


Äýï ìðÜëåò áöÞíïíôáé íá ðÝóïõí åëåýèåñá áðü äéáöïñåôéêÜ ýøç h1 êáé

h2 áíôßóôïé÷á, ðÜíù áðü ïñéæüíôéï åðßðåäï. Âñåßôå ôç ó÷Ýóç ðïõ óõíäÝ-

åé ôá ýøç h1, h2 áí ãíùñßæåôå üôé ç ó÷Ýóç ìåôáîý ôùí ÷ñüíùí åëåýèåñçò

ðôþóçò t1 êáé t2 áíôßóôïé÷á, åßíáé t1 = 2t2. Ç åðéôÜ÷õíóç ôçò âáñýôçôáò g

èåùñåßôáé óôáèåñÞ.

Óå ðçãÜäé âÜèïõò Ç = 80m ðñáãìáôïðïéïýìå ôï åîÞò ðåßñáìá: åêôï-

îåýïõìå áðü ôïí ðõèìÝíá ôïõ óþìá Á êáôáêüñõöá ðñïò ôá ðÜíù ìå ôá-

÷ýôçôá õ0 = 40m/s êáé ôáõôü÷ñïíá áðü ôï óôüìéü ôïõ áöÞíïõìå íá ðÝ-

óåé åëåýèåñá Ýíá óþìá Â. Íá âñåßôå ìåôÜ áðü ðüóï ÷ñüíï ôá äýï óþ-

ìáôá èá óõíáíôçèïýí óôï åóùôåñéêü ôïõ ðçãáäéïý.

Áðü ýøïò Ç = 45m áöÞíïõìå íá ðÝóåé åëåýèåñá Ýíá óþìá Á. Ôçí ßäéá

÷ñïíéêÞ óôéãìÞ Ýíá Üëëï óþìá Â åêôïîåýåôáé êáôáêüñõöá ðñïò ôá êÜôù

áðü ôï ßäéï ýøïò ìå áñ÷éêÞ ôá÷ýôçôá õ0 = 12,5m/s. Íá õðïëïãßóåôå:

2.108

õ0

õ=0

Á

Â

ÇðçãÜäé

2.107

2.106

2.105


04a.qxd 9/18/08 12:09 PM Óåëßäá 204

á) ôç ÷ñïíéêÞ äéáöïñÜ ìå ôçí ïðïßá ôá äýï óþìáôá öôÜíïõí óôï Ýäáöïò

êáé

â) ôçí ôá÷ýôçôá êÜèå óþìáôïò 2s ìåôÜ ôçí Ýíáñîç ôçò ôáõôü÷ñïíçò êßíç-

óÞò ôïõò.


Ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t0 = 0s åêôïîåýåôáé êáôáêüñõöá ðñïò ôá ðÜíù ìå áñ-

÷éêÞ ôá÷ýôçôá õ0 = 10m/s óþìá ðïõ âñßóêåôáé óôï Ýäáöïò. Íá âñåßôå:

á) ôï ÷ñüíï áíüäïõ táí ôïõ óþìáôïò,

â) ðüóï áðÝ÷åé áðü ôï Ýäáöïò 1,5s ìåôÜ ôçí åêôüîåõóÞ ôïõ,

ã) ôï óõíïëéêü ÷ñüíï êßíçóÞò ôïõ êáé

ä) ôçí ôá÷ýôçôá ìå ôçí ïðïßá åðéóôñÝöåé óôï Ýäáöïò.

Áðü ôçí êïñõöÞ åíüò öáñáããéïý âÜèïõò Ç = 125m, Ýíáò ìéêñüò ìáèç-

ôÞò áöÞíåé íá ðÝóåé åëåýèåñá ìéá ðÝôñá. Áí ãíùñßæåôå üôé ç ôá÷ýôçôá äéÜ-

äïóçò ôïõ Þ÷ïõ óôïí áÝñá åßíáé õç÷ = 340 m/s, íá âñåßôå:

á) ôï ÷ñüíï åëåýèåñçò ðôþóçò ôçò ðÝôñáò,

â) ôçí ôá÷ýôçôá ôçò ðÝôñáò, ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ ðïõ öôÜíåé óôï Ýäáöïò êáé

ã) ìåôÜ áðü ðüóï ÷ñüíï áðü ôç óôéãìÞ ðïõ ï ìéêñüò ìáèçôÞò Üöçóå ôçí

ðÝôñá, öôÜíåé ï Þ÷ïò áðü ôï êôýðçìá ôçò ðÝôñáò óôïí ðõèìÝíá ôïõ öá-

ñáããéïý, óôá áõôéÜ ôïõ ìáèçôÞ.


Äýï óþìáôá Á êáé Â åêôïîåýïíôáé êáôáêüñõöá ðñïò ôá êÜôù áðü ýøïò

Ç = 75m, ìå ÷ñïíéêÞ äéáöïñÜ Ät. Áí ïé ôá÷ýôçôåò åêôüîåõóçò ôùí äýï

óùìÜôùí åßíáé õ0(A) = 10m/s êáé õ0(Â) = 30m/s áíôßóôïé÷á êáé ôá äýï óþ-

ìáôá öôÜíïõí ôáõôü÷ñïíá óôï Ýäáöïò, íá õðïëïãßóåôå:

2.111

õ=0

Ç

2.110

2.109


04a.qxd 9/18/08 12:09 PM Óåëßäá 205

á) ôç ÷ñïíéêÞ äéáöïñÜ ìå ôçí ïðïßá åêôïîåýïíôáé ôá äýï óþìáôá êáé

â) ôéò ôá÷ýôçôåò ôùí äýï óùìÜôùí ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ ðïõ öôÜíïõí óôï Ý-

äáöïò.


Èåùñåßóôå üôé ��96 10.

Ïé äýï ìðÜëåò ôïõ ðáñáðÜíù ó÷Þìáôïò ðñáãìáôïðïéïýí ôéò åîÞò êéíÞ-

óåéò:

ìðÜëá Á: êáôáêüñõöç âïëÞ ðñïò ôá ðÜíù, áðü ýøïò h1 ðÜíù áðü ôï Ýäá-

öïò

ìðÜëá Â: åëåýèåñç ðôþóç, áðü ýøïò h2 ðÜíù áðü ôï Ýäáöïò.

Ç ôá÷ýôçôá åêôüîåõóçò ôçò ìðÜëáò Á åßíáé õ0 = 10m/s êáé ôï ýøïò

h2 = 45m. Íá âñåßôå ôï ýøïò h1.


õ=0

õ0

Á

h1

B

h2

2.112


04a.qxd 9/18/08 12:09 PM Óåëßäá 206


K Å Ö Á Ë Á É Ï 2

§ 2 . 1 – 2 . 2

Å Ñ Ù Ô Ç Ó Å É Ó


2.2 ×ôõðþíôáò ìéá ìðÜëá ìå ôï ðüäé

ìáò ç ìðÜëá êéíåßôáé ðñïò ôçí êá-

ôåýèõíóç ôçò áóêïýìåíçò äýíá-

ìçò. Áí áóêÞóïõìå ôçí ßäéá êáôÜ

ìÝôñï äýíáìç óôç ìðÜëá áëëÜ ìå

äéáöïñåôéêÞ êáôåýèõíóç ç ìðÜëá

èá áëëÜîåé êáôåýèõíóç êßíçóçò.

¼ôáí óðñþ÷íïõìå Ýíá êïõôß, ôï

êïõôß äå ìåôáêéíåßôáé óå ôõ÷áßá

êáôåýèõíóç áëëÜ ðñïò ôçí êáôåý-

èõíóç ôçò áóêïýìåíçò äýíáìçò.

Ãßíåôáé åìöáíÝò ðùò ãéá íá ïñé-

óôåß ðëÞñùò ôï öõóéêü ìÝãåèïò

äýíáìç ÷ñåéÜæåôáé åêôüò áðü ôï

ìÝôñï ôçò íá ãíùñßæïõìå êáé ôçí

êáôåýèõíóç. ¢ñá ðñüêåéôáé ãéá

äéáíõóìáôéêü öõóéêü ìÝãåèïò.

2.3 äéáíõóìáôéêü, áßôéï, êéíçôéêÞò, ðá-

ñáìïñöþóåéò

2.4 á) Ó, â) Ë, ã) Ó, ä) Ë, å) Ó


2.6 âë. èåùñßá, ôï åëáôÞñéï ðïõ åðé-

ìçêýíåôáé Þ óõóðåéñþíåôáé

2.7 íüìï ôïõ Hook, áíÜëïãåò, åëáôÞ-

ñéá, F = Kx.


2.9 á) x2 = 3x1

â) F3 = �3

2� F1

2.10 i) 2x ii) �1

2� F

→

2.11 á)

â) Ôç óôáèåñÜ ôïõ åëáôçñßïõ Ê

�K = �F

x��

2.12 ÓõíéóôáìÝíç, áðïôÝëåóìá, óõíé-

óôþóåò, óýíèåóç

2.13 ÓùóôÝò: á, ã


2.15 á) Ó, â) Ë, ã) Ó, ä) Ó

2.16 á) F1 Fïë

F2

F(N)

x(m)0

ÁÐÁÍÔÇÓÅÉÓ – ËÕÓÅÉÓ ôïõ 2ïõ ÊÅÖÁËÁÉÏÕ

lisis.qxd 9/18/08 12:11 PM Óåëßäá 207

â)

ã) F→

ïë = 0

2.17 ÓùóôÝò: á, ä


2.18 á)

â)

ã) K=5N/m

2.19 á) K=4N/m

â) F2 = 88N

ã) x3 =5cm

2.20 i) FÏË = 21Í (êáôåýèõíóç ôùí F→

1

êáé F→

2)

ii) FÏË = 5Í (êáôåýèõíóç ôçò F→

2)

2.21 á) FÏË = 12Í (ßäéá êáôåýèõíóç ìå

F→

1, F→

3)

â) FÏË = 3Í (ßäéá êáôåýèõíóç ìå

F→

4)

ã) FÏË = 5Í (ßäéá êáôåýèõíóç ìå

F→

2, F→

3)

ä) FÏË = 0Í

å) FÏË = 1Í (ßäéá êáôåýèõíóç ìå

F→

4, F→

2)

óô) FÏË = 12Í (ßäéá êáôåýèõíóç

ìå F→

1, F→

3 F→

4)

2.22 á) Ý÷ïõí áíôßèåôç öïñÜ

â) F1 = 2N, F2 = 10N

2. 23 F1 = 20N, F2 = 10N, F3 = 15N

2.24 á) F3 = 25N (áíôßèåôç êáôåýèõí-

óç ìå F→

1, F→

2)

â) F3 = 5N (ßäéá êáôåýèõíóç ìå F→

1)

ã) F3 = 5N (ßäéá êáôåýèõíóç ìå F→

2)

§ 2 . 3




2.27 éäéüôçôá, ôÜóç, ìåôáâïëÞ, ìÜæá

2.28 åðéâáôéêü ðëïßï, áõôïêßíçôï, âé-

âëßï, êáñößôóá, ðïýðïõëï

2.29 ÓùóôÞ: ã

2.30 Ï êáêïðïéüò èá êõëéóôåß óôï ïäü-

óôñùìá ãéáôß ëüãù áäñÜíåéáò ôåß-

íåé íá äéáôçñÞóåé ôçí êéíçôéêÞ ôïõ

êáôÜóôáóç, áöïý üóï âñéóêüôáí

óôï áõôïêßíçôï åß÷å ôçí ôá÷ýôçôá

ôïõ áõôïêéíÞôïõ.

2.31 á) Ë, â) Ë, ã) Ó, ä) Ó


F(N)

x(cm)0

9080756050

10 12 1516 18

F2

Fïë

F1


Äýíáìç (Í) 50 60 75 80 90

ÅðéìÞêõíóç (cm) 10 12 15 16 18


2.33 ÓùóôÝò â, ã

2.34 ìçäÝí, åõèýãñáììç ïìáëÞ êßíç-

óç, éóïññïðåß, éóïññïðßá

2.35 á) Ë, â) Ë, ã) Ó, ä) Ë, å) Ë, óô) Ë

2.36

äçëáäÞ ïé F→

2, F→

3 ðñÝðåé íá Ý÷ïõí

áíôßèåôç öïñÜ ìå ôçí F→

1.

2.37 ÓùóôÞ: ä

2.38 Ôá äýï áõôïêßíçôá êéíïýíôáé ìå

óôáèåñÝò ôá÷ýôçôåò Üñá ôüóï ç

óõíéóôáìÝíç äýíáìç ôïõ Á üóï

êáé ôïõ Â èá åßíáé ßóç ìå ìçäÝí.

2.39 ÓùóôÞ: ã

2.40 á)

â)

Á Ó Ê Ç Ó Å É Ó - Ð Ñ Ï Â Ë Ç Ì Á Ô Á

2.41 á) ü÷é ãéáôß Fïë = 6Í � 0

â) F4 = 6N, êáôåýèõíóç ßäéá ìå

ôçò F→

2

2.42 á) Ïé äõï äõíÜìåéò Ý÷ïõí ôç äéåý-

èõíóç ôçò êáôáêïñýöïõ êáé á-

íôßèåôåò öïñÝò.

â) Fïë = 0Í

ã) F2 = 950N

2.43 á) FïëA= FïëB

= FïëÃ= 0

â) i) F3 = 11N, áíôßèåôç êáôåýèõí-

óç ìå F→

1, F→

2

â) ii) F3 = 1N, ßäéá êáôåýèõíóç ìå

F→

2

2.44 F1 = 4N, F3 = 14N

2.45 1ç ðåñßðôùóç: F→

1 êáé F→

2 Ý÷ïõí

ôçí ßäéá êáôåýèõíóç

á) Íáé, äéüôé Fïë = 28Í åíþ Ýðñå-

ðå Fïë � 0 áöïý õ = óôáèåñÞ

â) F3 = 28N, áíôßèåôç êáôåýèõíóç

ìå F→

1, F→

2

2ç ðåñßðôùóç: F→

1 êáé F→

2 Ý÷ïõí á-

íôßèåôç êáôåýèõíóç

á) Íáé, äéüôé Fïë = 12Í åíþ Ýðñå-

ðå Fïë = 0 áöïý õ=óôáèåñÞ

â) F3 = 12N, ßäéá êáôåýèõíóç ìå

ôçí F→

2

§ 2 . 4


2.46 åðéôÜ÷õíóç, äýíáìç, áéôßïõ, áðï-

ôåëÝóìáôïò, F→

ÏË = m � á→

.

2.47 ÓùóôÞ: á

2.48 ÓùóôÞ: ä


2.50 á) m/2

â) 6á

20N10N

10N

20N

40N60N

F1F3

F2



ã)

2.51 á) Ë, â) Ë, ã) Ó, ä) Ó

2.52 ÓùóôÞ: á

2.53 á) → 2, 3, 8

â) → 1, 5

ã) → 4, 6, 7

2.54 åðéôÜ÷õíóç, ïìáëÜ åðéôá÷õíüìåíç

êßíçóç, ïìáëÜ åðéâñáäõíüìåíç êß-

íçóç, ìåéþíåôáé, óôáèåñÞ.


â) âë. èåùñßá

2.56 äýíáìçò

Óùóôü: â

2.57 á) → 3

â) → 1

ã) → 2

2.58 á) Ó, â) Ë, ã) Ë, ä) Ó

2.59 ÓùóôÝò: ã, å

2.60 Óùóôü: ã

2.61 ÓùóôÝò: á, ä


2.63 á) Ó, â) Ë, ã) Ó, ä) Ó, å) Ó

2.64 á) → 2, 5

â) →1, 4, 6

ã) → 3

2.65 Ìå ôç âïÞèåéá ôïõ äõíáìüìåôñïõ

âñßóêïõìå ôá âÜñç Â1 êáé Âx ôùí

äýï óùìÜôùí. Èá éó÷ýïõí ïé ó÷Ý-

óåéò:

Â1 = m1g êáé Âx = mxg.

Äéáéñþíôáò êáôÜ ìÝëç êáé ëýíï-

íôáò ùò ðñïò Üãíùóôç ìÜæá mx

âñßóêïõìå:

mx = m1�B

B

1

x�


2.67 Óùóôü: ä

2.68 ÓùóôÝò: á, â, ä


2.69 á) á = 5m/s2

â) õ = 15 m/s

ã) t = 6s

2.70 á) F1 = 15N,

â) t = �8

3�s

2.71 á) á = 2m/s2, åõèýãñáììç ïìáëÜ

åðéôá÷õíüìåíç êßíçóç

â) Fïë = 4Í

ã) S = 56m

2.72 á = 2m/s2

2.73 á) (0 – 2)s: á1 = 10m/s2, åõèý-

ãñáììç ïìáëÜ åðéôá÷õíüìåíç

êßíçóç

á) (2 – 5)s: á2 = 0m/s2, åõèýãñáì-

ìç ïìáëÞ êßíçóç

á) (5 – 10)s: á3 = –4m/s2, åõèý-

ãñáììç ïìáëÜ åðéâñáäõíüìå-

íç êßíçóç

4F



â)

2.74 á) F1 = 7,5N, ïìüññïðç ôçò ôá÷ý-

ôçôáò õ→

0

â) t2 = 10s

2.75 á) Fïë = 12Í,

â) F = 42N, B = 30N

â)

2.76 á) á = 3,5 m/s2

â) F1 = 6N, F2 = 12N, F3 = 4N

2.77 á) (0 – 3)s: á1 = 4m/s2, åõèý-

ãñáììç ïìáëÜ åðéôá÷õíüìåíç

êßíçóç

á) (3 – 6)s: á2 = –2m/s2, åõèý-

ãñáììç ïìáëÜ åðéâñáäõíüìå-

íç êßíçóç

á) (6 – 10)s: á3 = 0m/s2, åõèý-

ãñáììç ïìáëÞ êßíçóç

â)

ã) õ = 8m/s

2.78 á) á1 = 4m/s2, á2 = 1m/s2

â) S1 = 40m, ã) t2 = 8s

2.79 á) á = 8m/s2

â) t = 5s

ã) Ç = 100m

ä) F2 = 16N ßäéá êáôåýèõíóç ìå

ôï âÜñïò Â→

2.80 t = 8s

2.81 á) S = 400m,

â) S′ = 800m,

ã) F2 = 4N

2.82 t = 3s

2.83 á) tA = 4�5�s,

â) tB = 4s

2.84 á) FÁÍÔ = 600Í,

â) t = 4s

2.85 á) F1 = 40N êáôåýèõíóç áíôßèåôç

ôçò ôá÷ýôçôáò õ→

0

â) õ1 = 0 m/s

ã) h = 22,5m

ä) Sïë = 72,5m

§ 2 . 5



2.87 Ôá÷ýôçôá, âÜñïò, óôáèåñü, åëåý-

èåñç ðôþóç

2.88 ÓùóôÞ: ã

õ(m/s)

t(s)0 3 10

12

6

6

F

õ

B

F(N)

t(s)0

30

2

–12

5 10



2.89 á) Ó â) Ë ã) Ë ä) Ë

2.90 åðéôá÷õíüìåíç, ôá÷ýôçôá, õ = gt,

äéÜóôçìá, ýøïò

2.91 ÓùóôÝò: ã, ä

2.92 ÓùóôÝò: ã, å

2.93 ÓùóôÝò: â, ä

2.94 á) → 7

â) → 2

ã) → 6

2.95 ÓùóôÜ: á, ä

2.96


â) âë. èåùñßá


2.99

2.100 ÓùóôÝò: â, ä

2.101 á) Ó, â) Ó, ã) Ë, ä) Ë


2.103 Ôá âáñýôåñá óþìáôá äÝ÷ïíôáé ìå-

ãáëýôåñç äýíáìç m � g üìùò ôáõ-

ôü÷ñïíá Ý÷ïõí êáé ìåãáëýôåñç

ìÜæá Ýôóé ï ëüãïò �m

F� ðïõ äßíåé ôçí

åðéôÜ÷õíóç åßíáé ðÜíôá óôáèåñüò.

2.104 Óùóôü: â


2.105 á) t = 4s

â) õåä = 40m/s

ã) h = 35m

2.106 h1 = 4 � h2

2.107 t = 2s

2.108 á) Ät = 1s,

â) õA = 20m/s, õB = 32,5m/s

2.109 á) táí = 1s,

â) h = 3,75m,

ã) tïë = 2s,

ä) õåä = 10m/s

2.110 á) t1 = 5s,

â) õ1 = 50m/s,

ã) t2 = 5,36s

2.111 á) Ät = 1s,

â) õA = 30m/s, õB = 50m/s

2.112 h1 = 15mõ0

(A) (Ã)

(Â)

õ

g

B B

õ g

gõ=0

B


t(s) õ(m/s) y(m)

0 0 0

2 20 20

5 50 125

6 60 180


Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 3 ο : ∆ Υ Ν Α Μ Ι Κ Η Σ Τ Ο Ε Π Ι Π Ε ∆ Ο 213

Φ Υ Σ Ι Κ Η Α ΄ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ 216

Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 4 ο : Β Α Ρ Υ Τ Η Τ Α 381

Φ Υ Σ Ι Κ Η Α ΄ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ384

Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 5 ο : ∆ Ι Α Τ Η Ρ Η Σ Η Τ Η Σ Ο Ρ Μ Η Σ 401

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ο: ∆ΙΑΤΗΡΗΣΗ ΤΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΙΑΣ 411

ÁÐÁÍÔÇÓÅÉÓ - ËÕÓÅÉÓ

ôïõ Ó×ÏËÉÊÏÕ ÂÉÂËÉÏÕ

apadisis.qxd 10/15/08 12:31 PM Óåëßäá 443

ÅÕÈÕÃÑÁÌÌÇ ÊÉÍÇÓÇ

Á ð á í ô Þ ó å é ò å ñ ù ô Þ ó å ù í ( Ó å ë . ó ÷ ï ë . â é â ë . 6 3 - 6 8 )

1. Á. Ùò ðñïò ôç Ãç êéíïýíôáé ôï áåñïðëÜíï, ôï ÷åëéäüíé êáé ôï áõôïêßíçôï.

Â. Ùò ðñïò ôï áõôïêßíçôï êéíïýíôáé üëá ôá õðüëïéðá óþìáôá.

2. Ôñï÷éÜ åíüò êéíçôïý, åßíáé ôï óýíïëï ôùí äéáäï÷éêþí èÝóåùí áðü ôéò ïðïßåò

äéÝñ÷åôáé ôï êéíçôü.

Áí ç ôñï÷éÜ åíüò êéíçôïý åßíáé åõèåßá ãñáììÞ, ç êßíçóç ÷áñáêôçñßæåôáé åõèý-

ãñáììç, åíþ áí ç ôñï÷éÜ åßíáé êáìðýëç ç êßíçóç ÷áñáêôçñßæåôáé êáìðõëü-

ãñáììç.

3. ÈÝóç Ì1: – 2cm

ÈÝóç Ì2: +3cm

4. ÈÝóç Ì1: (+4cm,+2cm)

ÈÝóç Ì2: (– 2cm,– 2cm)

5.

Äx = xM2– xM1

= 4 – (+2) ⇒ Äx = 2cm

S = (M1M2) ⇒ S = 2cm

6.

Äx = xM3– xM1

= –3 – (+2) ⇒ Äx = – 5cm

S = (M1M2) + (M2M3) = (2 + 7) cm ⇒ S = 9cm

Ðáñáôçñïýìå ðùò Äx �� S, äéüôé óôç èÝóç Ì2 ôï êéíçôü áëëÜæåé öïñÜ êßíçóçò.

M3 –1

0

+1 M1 M2

x(cm)

Äx

M3 –1

0

+1 M1 M2

x(cm)Äx

A Ð Á Í Ô Ç Ó Å É Ó – Ë Õ Ó Å É Ó Ó × Ï Ë É Ê Ï Õ Â É Â Ë É Ï Õ 445


7. ¸íá óþìá ðñáãìáôïðïéåß åõèýãñáììç ïìáëÞ êßíçóç, üôáí êéíåßôáé óå åõèåßá

ãñáììÞ êáé óå ßóïõò ÷ñüíïõò äéáíýåé ßóåò ìåôáôïðßóåéò.

Áðü ôï äéÜãñáììá ôá÷ýôçôáò-÷ñüíïõ (õ-t) óôçí åõèýãñáììç ïìáëÞ êßíçóç,

ìðïñåß íá õðïëïãéóôåß ç ìåôáôüðéóç Äx, âñßóêïíôáò ôï áíôßóôïé÷ï åìâáäü

ðïõ ðåñéêëåßåôáé áðü ôç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç êáé ôïí Üîïíá ôùí ÷ñüíùí óôá

÷ñïíéêÜ üñéá ôçò êßíçóçò.

8. Ç ôñï÷éÜ ôïõ ðïäçëÜôç åßíáé åõèýãñáììç, äéüôé ìüíï óå áõôÞ ôçí ðåñßðôùóç

ôï äéÜóôçìá êáé ç ìåôáôüðéóç ìðïñåß íá óõìðßðôïõí.

9. Ïé ôá÷ýôçôåò åßíáé ßóåò, äéüôé:

36 Km/h = �3

3

6

.

.

6

0

0

0

0

0

s

m� = 10 m/s

10. ÌÝóç êáé óôéãìéáßá ôá÷ýôçôá óõìðßðôïõí óôçí åõèýãñáììç ïìáëÞ êßíçóç.

11. Ï õðïëïãéóìüò ôçò åðéôÜ÷õíóçò óå åõèýãñáììç ïìáëÜ åðéôá÷õíüìåíç êßíç-

óç, ãßíåôáé ìå ôçí êëßóç ôçò åõèåßáò óôï äéÜãñáììá ôçò ôá÷ýôçôáò óå óõíÜñ-

ôçóç ìå ôï ÷ñüíï (õ-t): Êëßóç åõèåßáò = ��Ä

Ä

õ

t�� = á

12. Íáé, ìðïñïýìå íá óõìðåñÜíïõìå üôé ç ôá÷ýôçôá ôïõ óêéÝñ áõîÜíåôáé, äéüôé ôï

óõãêåêñéìÝíï äéÜãñáììá èÝóçò-÷ñüíïõ (x-t) áíôéóôïé÷åß óå åõèýãñáììç

ïìáëÜ åðéôá÷õíüìåíç êßíçóç �x = õ0t + �1

2� át2�.

13. Ï ìáèçôÞò Â áðÜíôçóå óùóôÜ, äéüôé áðü ôï äéÜãñáììá ôá÷ýôçôáò-÷ñüíïõ (õ-t),

ôï åìâáäü ðïõ ðåñéêëåßåôáé áðü ôçí åõèåßá ãñáììÞ êáé ôïõò Üîïíåò õ-t åêöñÜ-

æåé ôç ìåôáôüðéóç ôïõ êéíçôïý:

õ(m/s)

t(s)0

10

5

E



Äx = E = �10

2

� 5� ⇒ Äx = 25m. ¼ìùò óôç óõãêåêñéìÝíç ðåñßðôùóç äéÜóôçìá

êáé ìåôáôüðéóç óõìðßðôïõí, áöïý Ý÷ïõìå êßíçóç óôáèåñÞò èåôéêÞò öïñÜò.

¸ôóé Äx = S ⇒ S = 25m

14. Á. Ìåãáëýôåñç åðéôÜ÷õíóç Ý÷åé ôï êéíçôü Á, äéüôé ç êëßóç ôçò åõèåßáò óôï

äéÜãñáììá ôá÷ýôçôáò-÷ñüíïõ (õ-t) åßíáé ìåãáëýôåñç áðü ôçí áíôßóôïé÷ç

êëßóç ãéá ôï êéíçôü Â. ¸ôóé áÁ > áÂ.

Â. ÅðåéäÞ ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t = 0s, ôá äýï êéíçôÜ äåí Ý÷ïõí áñ÷éêÞ ôá÷ýôçôá

êáé êéíïýíôáé ìå óôáèåñÞ èåôéêÞ öïñÜ, óå ÷ñüíï t èá Ý÷ïõí äéáíýóåé áðï-

óôÜóåéò:

Â. êéíçôü Á: SA = �1

2� áÁt2

Â. êéíçôü Â: SB = �1

2� áÂt2

Â. ÅðåéäÞ áÁ > áÂ ⇒ SÁ>SÂ

15. Á. åõèýãñáììç, ôá÷ýôçôáò, ôçí êáôåýèõíóç.

Â. ßóç

Ã. äéáíõóìáôéêü, 1 m/s2

16.

17. ¼÷çìá Á: êÜíåé åõèýãñáììç ïìáëÞ êßíçóç, äéüôé ç ôá÷ýôçôÜ ôïõ åßíáé óôá-

èåñÞ êáé ßóç ìå õA = 4 m/s

¼÷çìá Â: êÜíåé åõèýãñáììç ïìáëÜ åðéôá÷õíüìåíç êßíçóç, äéüôé ç ôá÷ýôçôÜ

ôïõ áõîÜíåôáé áíÜëïãá ìå ôï ÷ñüíï. Ç óôáèåñÞ åðéôÜ÷õíóç ìå ôçí

ïðïßá êéíåßôáé åßíáé áÂ = 2m/s2.

¼÷çìá Ã: êÜíåé åõèýãñáììç ïìáëÞ êßíçóç, äéüôé ôï äéÜóôçìá ðïõ äéáíýåé

åßíáé áíÜëïãï ôïõ ÷ñüíïõ. Ç óôáèåñÞ ôá÷ýôçôá ìå ôç ïðïßá êéíåß-

ôáé åßíáé õÃ = 5 m/s.


t(s) õ(m/s) S(m)

0 0 0

1 2 1

2 4 4

4 8 16


18. Á.

19. Ä.

20. Ã.

21. Â.

22. Â.

23 Á. → Ó Â. → Ë Ã. → Ë

24. Á. «åõèýãñáììç ïìáëÜ åðéôá÷õíüìåíç».

Â. «åõèýãñáììç ïìáëÞ»

Ã. «åõèýãñáììç ïìáëÜ åðéâñáäõíüìåíç».

25. Á. åìâáäü Â. êëßóç

26. Á.

27. Ç êßíçóç äåí åßíáé åõèýãñáììç ïìáëÜ åðéôá÷õíüìåíç, äéüôé ç ôá÷ýôçôá ôïõ

áõôïêéíÞôïõ äåí áõîÜíåôáé áíÜëïãá ìå ôï ÷ñüíï (ôï äéÜãñáììá õ-t äåí åßíáé

åõèåßá ãñáììÞ). Ìåãáëýôåñç åðéôÜ÷õíóç Ý÷åé ôï áõôïêßíçôï ôç ÷ñïíéêÞ óôéã-

ìÞ t1, äéüôé ç êëßóç ôçò êáìðýëçò õ-t åßíáé ìåãáëýôåñç áðü ôçí áíôßóôïé÷ç

êëßóç ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t2:

28. Ç ôá÷ýôçôá ôïõ êéíçôïý åßíáé ìåãáëýôåñç ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t1, äéüôé ç êëßóç

ôçò êáìðýëçò S-t åßíáé ìåãáëýôåñç áðü ôçí áíôßóôïé÷ç êëßóç ôç ÷ñïíéêÞ óôéã-

ìÞ t2:

S

t0 t1 t2

ù ö

ù>ö



Ç êßíçóç äåí åßíáé åõèýãñáììç ïìáëÞ, äéüôé ôï äéÜóôçìá ðïõ äéáíýåé ôï êéíç-

ôü äåí áõîÜíåôáé áíÜëïãá ìå ôï ÷ñüíï (ôï äéÜãñáììá S-t äåí åßíáé åõèåßá

ãñáììÞ).

29. ôï äéÜãñáììá

30. Ã.

31. Á.

32. Â.

33. Á.

34. Â.

35. ÷ñüíïò m/s2

ôá÷ýôçôá s

ìåôáôüðéóç m/s

åðéôÜ÷õíóç m

36. Ìïíüìåôñá ÄéáíõóìáôéêÜ

÷ñüíïò ôá÷ýôçôá

äéÜóôçìá ìåôáôüðéóç

åðéôÜ÷õíóç

37. åõèýãñáììç ïìáëÞ (ã)

åõèýãñáììç ïìáëÜ åðéôá÷õíüìåíç (â)

åõèýãñáììç ïìáëÜ åðéâñáäõíüìåíç (á)

Ã

S

t0 t1 t2

ù ö

ù>ö



38. Â. Ïé ôá÷ýôçôÝò ôïõò åßíáé äéáöïñåôéêÝò, ãéáôß áëëéþò äå èá óõìâåß ç ðñï-

óðÝñáóç.

39. Á., Ã.

40. - Ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ ðïõ îåíéêÜ Ýíá ðïäÞëáôï ç ôá÷ýôçôÜ ôïõ åßíáé ìçäÝí (Ó)

- Ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ ðïõ îåêéíÜ Ýíá ðïäÞëáôï ç åðéôÜ÷õíóÞ ôïõ åßíáé ìçäÝí (Ë)

- Ç ôá÷ýôçôá êáé ç åðéôÜ÷õíóç Ý÷ïõí ôçí ßäéá äéåýèõíóç óôçí åõèýãñáììç

êßíçóç (Ó).

- Ç ôá÷ýôçôá êáé ç åðéôÜ÷õíóç Ý÷ïõí ðÜíôïôå ôçí ßäéá öïñÜ óôçí åõèýãñáì-

ìç êßíçóç (Ë).

41. á) Ìðïñïýìå íá ôïðïèåôÞóïõìå êáôÜ ìÞêïò ôçò åõèýãñáììçò ôñï÷éÜò ôïõ

ðïäçëÜôïõ êáé óå ßóåò áðïóôÜóåéò, ðïñôïêáëß êþíïõò ôçò ôñï÷áßáò êáé íá

ìåôñÜìå ôá ÷ñïíéêÜ äéáóôÞìáôá ðïõ ìåóïëáâïýí ãéá ôç ìåôÜâáóç ôïõ

ðïäçëÜôïõ ìåôáîý äýï äéáäï÷éêþí êþíùí. Áí ôá ÷ñïíéêÜ äéáóôÞìáôá åßíáé

ìåôáîý ôïõò ßóá, ç êßíçóç åßíáé åõèýãñáììç ïìáëÞ. Óå áíôßèåôç ðåñßðôùóç

ç êßíçóç åßíáé ìåôáâáëëüìåíç.

â) Ìéá äåýôåñç åðéëïãÞ, èá Þôáí ç ôïðïèÝôçóç ôá÷õìÝôñïõ (êïíôÝñ), ðÜíù

óôï ðïäÞëáôï. Áí ç Ýíäåéîç ôïõ ôá÷õìÝôñïõ åßíáé óõíå÷þò ç ßäéá, ç êßíçóç

ôïõ ðïäçëÜôïõ åßíáé åõèýãñáììç ïìáëÞ. Óå áíôßèåôç ðåñßðôùóç, ç êßíçóç

åßíáé ìåôáâáëëüìåíç.

Ë ý ó å é ò á ó ê Þ ó å ù í ( Ó å ë . ó ÷ ï ë . â é â ë . 6 9 - 7 1 )

1.

õ = �Ä

Ä

x

t� = �

12

4

0

s

m� ⇒ õ = 30m/s

Äx = 120m

Ät = 4s

õ = ;

(õ – t) = ;

(S – t);



2.

¼ðùò öáßíåôáé êáé áðü ôï ó÷Þìá, ç áðüóôáóç ðïõ äéáíýåé ç áôìïìç÷áíÞ áðü

ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ ðïõ åéóÝñ÷åôáé óôç óÞñáããá, ìÝ÷ñé ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ ðïõ

êáé ôï ôåëåõôáßï ôìÞìá ôçò Ý÷åé åîÝëèåé áðü ôç óÞñáããá, åßíáé ßóç ìå

S + �� = (1980 + 20)m = 2000 m

Áðü ôïí ôýðï ôçò ôá÷ýôçôáò:

õ = �Ä

Ä

x

t� ⇒ Ät = �

Ä

õ

x� = = �

2

1

0

0

0

m

0

/

m

s� ⇒ Ät = 200s

3. Á. Óå äéÜãñáììá, ôá÷ýôçôáò-÷ñüíïõ (õ-t) ôï óõíïëéêü äéÜóôçìá éóïýôáé ìå ôï

óõíïëéêü åìâáäü ðïõ ðåñéêëåßåôáé áðü ôï äéÜãñáììá (õ-t) êáé ôïí Üîïíá

ôùí ÷ñüíùí, óôá ÷ñïíéêÜ üñéá ôçò êßíçóçò. ¸ôóé, ãéá ôçí ðåñßðôùóÞ ìáò

éó÷ýåé:

Á. S = (10�10 + 0�10 + 20�20)m ⇒ S = 500m

S + ��

õ

t =0s0 t1d

� �

� = 20m

õ = 10m/s

S = 1980m

Ät = ;

(S – t);

õ(m/s)

0

30

4 t(s)

S(m)

0

120

4 t(s)



Â. õì = �S

t� = �

5

4

0

0

0

s

m� ⇒ õì = 12,5 m/s

Ã.

4.

Á. ¸óôù üôé ôá äýï áõôïêßíçôá èá óõíáíôçèïýí óôï óçìåßï Ã, ìåôÜ áðü ÷ñüíï t.

Óôï ÷ñüíï áõôü, ôï ðñþôï áõôïêßíçôï Ý÷åé äéáíýóåé äéÜóôçìá S1 êáé ôï äåýôå-

ñï áõôïêßíçôï äéÜóôçìá S2 = d – S1. ÅðåéäÞ êáé ôá äýï áõôïêßíçôá åêôåëïýí

åõèýãñáììç ïìáëÞ êßíçóç, èá éó÷ýåé:

Á. õ1 = �S

t1� ⇒ S1 = õ1t (1)

Á. õ2 = �S

t2� = �

d –

t

S1� ⇒

(1)õ2 = �

d –

t

õ1t� ⇒ õ2t = d – õ1t ⇒

Á. õ1t + õ2t = d ⇒ (õ1 +õ2)t = d ⇒ t = �õA +

d

õB

� ⇒

S1

A

õ1 õ2

Ã Â

S2d

(+)

õ1 = 36Km/h

õ2 = 54Km/h

(AB) = d = 1 Km

A. t = ;, S1 = ;

B. (õ – t) = ;

Á. (S – t) = ;

S(m)

t(s)0

100

10 20 30 40

500



Á. t = �(36+

1

5

K

4

m

)Km/h� ⇒ t = 0,011h Þ 40s

Á. Ç áðüóôáóç S1 áðü ôï óçìåßï Á, ðïõ èá óõíáíôçèïýí ôá äýï áõôïêßíçôá,

õðïëïãßæåôáé áí áíôéêáôáóôÞóïõìå ôï ÷ñüíï t óôç ó÷Ýóç (1):

Á. S1 = õ1t = 36 Km/h � 0,011h ⇒ S1 = 0,4 Km Þ 400m

Â.

5.

Á. ¸óôù t ï ÷ñüíïò ðïõ áðáéôåßôáé, þóôå ôï ðåñéðïëéêü íá öôÜóåé ôïí ìïôï-

óõêëåôéóôÞ. Óôï ÷ñüíï áõôü, ôï ðåñéðïëéêü Ý÷åé äéáíýóåé äéÜóôçìá SÐ, åíþ

ï ìïôïóõêëåôéóôÞò äéÜóôçìá SM = SÐ – d. ÅðåéäÞ êáé ôá äýï êéíçôÜ åêôå-

ëïýí åõèýãñáììç ïìáëÞ êßíçóç, èá éó÷ýåé:

õÐ

d

õÌ

SÐ

õÐõÌ

d

d = 500 m

õÐ = 30m/s

õM = 20 m/s

A. t = ;

B. SÐ = ;

õ(Km/h)

t(h)0

54

–36

0,011

0,6

S(Km)

t(h)0

0,011

(2)

0,4

(1)



Á. õÐ = �S

tÐ� ⇒ SÐ = õÐ �� t (1)

Á. õM = �S

tM� = �

SÐ

t

– d� ⇒

(1)õM = �

õÐt

t

– d� ⇒ õMt = õÐt – d ⇒

Á. õÐt – õMt = d ⇒ t(õÐ – õM) = d ⇒ t = �õÐ –

d

õM

� ⇒

Á. t = �(30

5

–

0

2

0

0

m

)m/s� ⇒ t = 50s

Â. Ãéá íá âñïýìå ôï äéÜóôçìá SÐ ðïõ Ý÷åé äéáíýóåé ôï ðåñéðïëéêü, áíôéêáèé-

óôïýìå óôç ó÷Ýóç (1):

Á. SÐ =õÐt = 30m/s ⇒ Sð = 1500m

6.

x= 10t

x= õt

S = Eìâáäü = âÜóç � ýøïò = (10 � 5) m ⇒ S = 50m

7.

A. õ = át = �2

s

m2� � 15s ⇒ õ = 30 m/s

õ0 =0 m/s

á = 2 m/s2

t = 15s

A. õ = ;

B. S = ;

õ(m/s)

t(s)0

10

5

x = 10t (S.I)

(õ – t) =;

t = 5s, S = ;



B. S = �1

2� át2 = ��

1

2� � 2 � 152 �m ⇒ S = 225 m

8. Á. ¼ðùò êáé óôï áíôßóôïé÷ï åñþôçìá ôçò Üóêçóçò 3, ôï æçôïýìåíï äéÜóôçìá

èá éóïýôáé ìå ôï åìâáäü ôïõ ïñèïãùíßïõ ôñéãþíïõ ìåôáîý ôïõ äéáãñÜì-

ìáôïò õ – t êáé ôïõ Üîïíá ôùí ÷ñüíùí, óôá ÷ñïíéêÜ üñéá ôçò êßíçóçò:

Á. S = Eìâáäü = �âÜóç

2

� ýøïò� = ��

20

2

� 10�� m ⇒ S = 100m

Â. á´ ôñüðïò: Ç êßíçóç ðïõ ðñáãìáôïðïéåß ôï êéíçôü åßíáé åõèýãñáììç ïìáëÜ

åðéôá÷õíüìåíç, ìå åðéôÜ÷õíóç:

Á. á = �Ä

Ä

õ

t� = ��

2

1

0

0

–

–

0

0�� m/s2 ⇒ á = 2m/s2

Á. ÅðåéäÞ ôï êéíçôü äåí Ý÷åé áñ÷éêÞ ôá÷ýôçôá, ç åîßóùóç ôá÷ýôçôáò - ÷ñüíïõ

åßíáé: õ = 2t (S.I)

Á. Ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t1 = 1s: õ1 = á1t1 = 2 m/s2 � 1s ⇒ õ1 = 2 m/s

Á. Ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t2 = 2s: õ2 = á2t2 = 2 m/s2 � 2s ⇒ õ2 = 4 m/s

Á. Ôï ãñáììïóêéáóìÝíï åìâáäü ôïõ ôñáðåæßïõ ðïõ öáßíåôáé óôï äéÜãñáììá

õ-t, åêöñÜæåé ôï äéÜóôçìá ðïõ äéáíýåé ôï êéíçôü óôï 2ï äåõôåñüëåðôï ôçò

êßíçóÞò ôïõ:

õ(m/s)

t(s)0

20

10

42

21

õ(m/s)

t(s)0

20

10



Á. S´ = Eìâáäü = � ýøïò = ��2+

2

4� � 1�m ⇒ S´ = 3m

Á. â´ ôñüðïò: Ç åîßóùóç äéáóôÞìáôïò-÷ñüíïõ ãéá ôçí êßíçóç ðïõ ðñáãìáôï-

ðïéåßôáé åßíáé: S = �1

2� át2

Á. Ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t1=1s: S1 = �1

2� át1

2 = ��1

2� � 2 � 12�m ⇒ S1 = 1m

Á. Ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t2 = 2s: S2 = �1

2� át2

2 = ��1

2� � 2 � 22� m ⇒ S2 = 4m

Á. Ôï äéáíõüìåíï äéÜóôçìá óôï 2ï äåõôåñüëåðôï ôçò êßíçóçò åßíáé:

Á. S´ = S2 – S1 = (4 – 1)m ⇒ S´ = 3m

9. Á. Ôï óõíïëéêü äéÜóôçìá éóïýôáé ìå ôï ãñáììïóêéáóìÝíï åìâáäü ôïõ ôñáðå-

æéïý ðïõ ðåñéêëåßåôáé áðü ôï äéÜãñáììá õ-t êáé ôïí Üîïíá ôùí ÷ñüíùí, óôá

÷ñïíéêÜ üñéá ôçò êßíçóçò:

Á. S = Eìâáäü = � ýøïò = ��10+

2

30� � 20�m ⇒ S =400 m

Â. õì = �S

t� = �

4

3

0

0

0

s

m� ⇒ õì = 13,33 m/s

10. õ = 8 + 2t (S.I)

t1 = 2s → t2 = 4s

S =;


2

õ(m/s)

t(s)0

20

10 20 30


2



á´ ôñüðïò: Ç åîßóùóç ôá÷ýôçôáò-÷ñüíïõ ðïõ ìáò äßíåôáé óôçí åêöþíçóç,

áíôéóôïé÷åß óå åõèýãñáììç ïìáëÜ åðéôá÷õíüìåíç êßíçóç, ìå áñ÷éêÞ ôá÷ýôçôá

õ0 = 8m/s êáé åðéôÜ÷õíóç á =2m/s2. ¸ôóé ç åîßóùóç äéáóôÞìáôïò-÷ñüíïõ èá

åßíáé:

S = õ0 t+�1

2� át2 ⇒ S = 8t + t2

Ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t1 = 2s: S1 = 8t1 + t12 = (8 � 2 + 22)m ⇒ S1 = 20m

Ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t2 = 4s: S2 = 8t2+t22 = (8 � 4 + 42)m ⇒ S2 = 48m

Ôï äéáíõüìåíï äéÜóôçìá ìåôáîý ôùí ÷ñïíéêþí óôéãìþí t1 = 2s êáé t2 = 4s èá

éóïýôáé ìå:

S = S2 – S1 = (48 – 20) m ⇒ S = 28m

â´ ôñüðïò: Óýìöùíá ìå ôçí åîßóùóç ôá÷ýôçôáò-÷ñüíïõ õ = 8 + 2t, ôï äéÜ-

ãñáììá ôá÷ýôçôáò-÷ñüíïõ (õ-t) Ý÷åé ôçí ðáñáêÜôù ìïñöÞ:

Ôï ãñáììïóêéáóìÝíï åìâáäü ôïõ ôñáðåæßïõ ôïõ äéáãñÜììáôïò, åêöñÜæåé ôï

äéÜóôçìá ðïõ äéáíýåé ôï áõôïêßíçôï ìåôáîý ôùí ÷ñïíéêþí óôéãìþí t1 = 2s êáé

t2 = 4s:

S = Åìâáäü = � ýøïò = ��12+

2

16� � 2� m ⇒ S = 28 m

11. Á. Ç ôá÷ýôçôá ôùí äýï êéíçôþí Ý÷åé ôçí ßäéá ôéìÞ ôçí ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t1 = 6s,

ðïõ ôá äéáãñÜììáôá õ-t ôùí äýï êéíçôþí ôÝìíïíôáé. Ç ôá÷ýôçôá áõôÞ åßíáé

õ1 = 30 m/s


2

õ(m/s)

t(s)0

8

2 4

12

16




Â. á´ ôñüðïò:

Á. Ôï ãñáììïóêéáóìÝíï åìâáäü ôïõ ðáñáëëçëïãñÜììïõ ÏÁÄÅ åêöñÜæåé ôï

äéÜóôçìá ðïõ Ý÷åé äéáíýóåé ôï êéíçôü (â) ìÝ÷ñé ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t2 = 10s:

Á. Sâ = Åìâáäü (ÏÁÄÅ) = âÜóç � ýøïò = (30 � 10)m ⇒ Sâ = 300m

Á. Ôï ãñáììïóêéáóìÝíï åìâáäü ôïõ ïñèïãùíßïõ ôñéãþíïõ ÏÃÅ åêöñÜæåé ôï

äéÜóôçìá ðïõ Ý÷åé äéáíýóåé ôï êéíçôü (á) ìÝ÷ñé ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t2 = 10s:

Á. Sá = Åìâáäü(ÏÃÅ) = �âÜóç

2

� ýøïò� = ��50

2

� 10�m�⇒ Sá = 250m

Á. ¸ôóé ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t2 = 10s, ôï êéíçôü (â) ðñïçãåßôáé êáôÜ:

Á. S = Sâ – Sá = (300 - 250)m ⇒ S = 50m

Á. â´ ôñüðïò: Ôï êéíçôü (á) ðñáãìáôïðïéåß åõèýãñáììç ïìáëÜ åðéôá÷õíüìå-

íç êßíçóç (ìÝ÷ñé ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t2 = 10s), ìå åðéôÜ÷õíóç:

Á. á = �Ä

Ä

õ

t� = ��

5

1

0

0

–

–

0

0�� m/s2 ⇒ á = 5 m/s2

Á. ÅðåéäÞ ôï êéíçôü (á) äåí Ý÷åé áñ÷éêÞ ôá÷ýôçôá, ç åîßóùóç äéáóôÞìáôïò-÷ñü-

íïõ èá åßíáé:

Á. S = �1

2� át2 ⇒ S = ��

5

2�� t2

Á. Ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t2 = 10s, ôï êéíçôü (á) èá Ý÷åé äéáíýóåé äéÜóôçìá

Á. Sá = �5

2� � t 2

2 = ��5

2� � 102�m ⇒ Sá = 250m

õ(m/s)

t(s)0

30

6 10

50

Á Â

Ã

Ä

Å

(á)

(â)


Á. Ôï êéíçôü (â) ðñáãìáôïðïéåß åõèýãñáììç ïìáëÞ êßíçóç, ìå ôá÷ýôçôá:

Á. õ = 30m/s.

Á. ¸ôóé, ç åîßóùóç äéáóôÞìáôïò-÷ñüíïõ ãéá ôï êéíçôü (â) èá åßíáé:

Á. S = õt ⇒ S = 30t

Á. Ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t2 = 10s, ôï êéíçôü (â) èá Ý÷åé äéáíýóåé äéÜóôçìá

Á. Sâ = 30t2 = (30 � 10)m ⇒ Sâ = 300m

Á. Åßíáé ðñïöáíÝò ðùò ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t2=10s, ôï êéíçôü (â) ðñïçãåßôáé

êáôÜ: S = Sâ – Sá = (300 – 250)m ⇒ S = 50m

Ã. ¸óôù üôé ôá äýï êéíçôÜ èá óõíáíôçèïýí ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t. ÅðåéäÞ ôá äýï

êéíçôÜ îåêéíïýí ôáõôü÷ñïíá áðü ôï ßäéï óçìåßï, ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t èá

Ý÷ïõí äéáíýóåé ßóá äéáóôÞìáôá.

Á. êéíçôü (á): Sá = �5

2� t2 (1)

Á. êéíçôü (â): Sâ = 30t (2)

Á. ¼ìùò Sá = Sâ ⇒

(1),(2)�5

2� t2 = 30t ⇒ �

2

t� = 6s ⇒ t = 12s

12.

õA

á

õB

A Bd

õ0 = 0m/s

á = óôáèåñÞ

(ÁÂ) = d = 200m

tAB = 10s

õÂ = 30m/s

A. õA = ;

B. á = ;



Á. Ôï áõôïêßíçôï ðñáãìáôïðïéåß åõèýãñáììç ïìáëÜ åðéôá÷õíüìåíç êßíçóç.

Èåùñþíôáò üôé ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t = 0s ðåñíÜ áðü ôï óçìåßï Á, ç åîßóù-

óç ôá÷ýôçôáò - ÷ñüíïõ ãéá ôï áõôïêßíçôï èá åßíáé: õ = õA + át. Áí óôçí

ôåëåõôáßá ó÷Ýóç áíôéêáôáóôÞóïõìå ìå t = tAB, ôüôå õ = õB êáé óõíåðþò:

Á. õB = õA + átAB ⇒ õB – õA = átB ⇒ á = ��õB

tA

–

B

õA�� (1)

Á. Ç åîßóùóç äéáóôÞìáôïò - ÷ñüíïõ ãéá ôï áõôïêßíçôï èåùñþíôáò üôé ãéá

t = 0s åßíáé S = 0m, èá åßíáé: S = õA t + ��1

2�� át2

Á. Áí óôçí ôåëåõôáßá ó÷Ýóç áíôéêáôáóôÞóïõìå ìå t = tAB, ôüôå S = d êáé óõíåðþò:

Á. d = õA tAB + �1

2� át2

AB ⇒

(1)d = õAtAB + �

1

2� �

õB

tA

–

B

õA� t 2AB ⇒

Á. ⇒ d = õAtAB +�1

2� (õB – õA)tAB ⇒ 2d = 2õAtAB + (õB – õA) tAB ⇒

Á. ⇒ 2d = 2õAtAB + õBtAB – õAtAB ⇒ 2d = õA tAB + õBtAB⇒

Á. ⇒ õAtAB = 2d – õBtAB ⇒ õA = �2d –

tA

õ

B

BtAB� = ��2 � 200

1

–

0

30 � 10�� m/s ⇒

Á. ⇒ õA =10 m/s

Â. Áíôéêáèéóôþíôáò ìå õA = 10 m/s óôç ó÷Ýóç (1) ðñïêýðôåé:

Á. á = ��30

1

–

0

10�� m/s2 ⇒ á = 2m/s2

13. õ0 = 72km/h = 20m/s

S = 50m

t1 = 0,7s

⏐á⏐ = 10m/s2

Èá áðïöåõ÷èåß ç óýãêñïõóç;



¼ôáí ï ïäçãüò ôïõ áõôïêéíÞôïõ áíôéëáìâÜíåôáé ôï åìðüäéï, ôï áõôïêßíçôï

âñßóêåôáé óôç èÝóç Á. ÌÝ÷ñé ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ ðïõ ï ïäçãüò áñ÷ßæåé íá ðáôÜ

ôï öñÝíï, ôï áõôïêßíçôï Ý÷åé ìåôáêéíçèåß ìå óôáèåñÞ ôá÷ýôçôá õ0 óôç èÝóç Â,

åíþ Ý÷åé ðåñÜóåé ÷ñüíïò t1 (÷ñüíïò áíôßäñáóçò ïäçãïý). ¸ôóé:

õ0 = �(A

t1

B)� ⇒ (AB) = õ0t1 = 20m/s � 0,7s ⇒ (AB) = 14m

Áõôü óçìáßíåé ðùò ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ ðïõ ï ïäçãüò áñ÷ßæåé íá ðáôÜ öñÝíï, ôï

áõôïêßíçôï âñßóêåôáé óå áðüóôáóç:

S1 = S – (AB) = (50 – 14) m ⇒ S1 = 36m, ðñéí áðü ôï åìðüäéï.

Ãéá íá áðïöåõ÷èåß ç óýãêñïõóç ìå ôï åìðüäéï, èá ðñÝðåé áðü ôç óôéãìÞ

ðïõ ï ïäçãüò áñ÷ßæåé íá ðáôÜ ôï öñÝíï, ôï áõôïêßíçôï íá óôáìáôÞóåé Ý÷ïíôáò

äéáíýóåé áðüóôáóç ìéêñüôåñç áðü S1 = 36m. Ôï áõôïêßíçôï ðñáãìáôïðïéåß

åõèýãñáììç ïìáëÜ åðéâñáäõíüìåíç êßíçóç:

õ = õ0 – át ⇒õ=0

t=t20 = õ0 – át2 ⇒ át2 = õ0 ⇒

t2 = �õ

á0� = �

1

2

0

0

m

m

/

/

s

s2

� ⇒ t2 = 2s (÷ñüíïò ìÝ÷ñé íá óôáìáôÞóåé ôï áõôïêßíçôï).

Áíôéêáèéóôþíôáò óôçí åîßóùóç äéáóôÞìáôïò - ÷ñüíïõ ìå t = t2, ôï äéÜóôçìá

S2 ðïõ èá Ý÷åé äéáíýóåé ôï áõôïêßíçôï ìÝ÷ñé íá óôáìáôÞóåé, åßíáé:

S2 = õ0t2 – �1

2� át2

2 = �20 � 2 – �1

2� � 10 � 22�m ⇒ S2 = 20m

ÅðåéäÞ S2 < S1, ôï áõôïêßíçôï áðïöåýãåé ôç óýãêñïõóç ìå ôï åìðüäéï,

óôáìáôþíôáò S1 – S2 = (36 – 20)m =16m ðñéí áðü ôï åìðüäéï.

õ0

AS

õ0

á

BS1

õ



14.

¼ðùò öáßíåôáé êáé áðü ôï ó÷Þìá, ç áðüóôáóç ðïõ äéáíýåé ôï ôñÝíï áðü ôç

÷ñïíéêÞ óôéãìÞ ðïõ åéóÝñ÷åôáé óôç óÞñáããá, ìÝ÷ñé ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ ðïõ êáé

ôï ôåëåõôáßï ôìÞìá ôïõ Ý÷åé åîÝëèåé áðü ôç óÞñáããá, åßíáé ßóç ìå:

S + �� = (55 + 70)m = 125m

Óôï ÷ñïíéêü áõôü äéÜóôçìá, ôï ôñÝíï ðñáãìáôïðïéåß åõèýãñáììç ïìáëÜ åðé-

ôá÷õíüìåíç êßíçóç ìå áñ÷éêÞ ôá÷ýôçôá õ0. Áðü ôçí åîßóùóç äéáóôÞìáôïò-÷ñü-

íïõ èá éó÷ýåé:

S +� = õ0t + �1

2� át2 ⇒ 125 = 20t + �

1

2� 2t2 ⇒ t2 + 20t –125 = 0

Ç ôåëåõôáßá åîßóùóç åßíáé åîßóùóç äåõôÝñïõ âáèìïý ùò ðñïò t, áðü ôç ïðïßá

ðñïêýðôïõí äýï ëýóåéò: t1 = 5s êáé t2 = – 10s. ÅðåéäÞ üìùò äåí ïñßæåôáé

áñíçôéêüò ÷ñüíïò, ôåëéêÜ ï æçôïýìåíïò ÷ñüíïò åßíáé t = 5s.

15. (1): x1 = 10t (S.I)

(2): x2 = 4t2 (S.I)

A. x1 = x2

A. t = ;

B. (õ – t) = ;

A. (S – t) = ;

á

t =0s0 t1S

� �

� = 70m

S = 55m

õ0 = 20m/s

á =2m/s2

t = ;



Á. Ôá äýï ï÷Þìáôá ôçí ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ ôçò óõíÜíôçóÞò ôïõò, âñßóêïíôáé óôçí

ßäéá èÝóç: x1 = x2 ⇒ 10t = 4t2 ⇒ 2t = 5s ⇒ t = 2,5s

Â. ü÷çìá (1): ðñáãìáôïðïéåß åõèýãñáììç ïìáëÞ êßíçóç ìå ôá÷ýôçôá

õ1 = 10m/s

Á.

Á. ü÷çìá (2): ðñáãìáôïðïéåß åõèýãñáììç ïìáëÜ åðéôá÷õíüìåíç êßíçóç ìå

åðéôÜ÷õíóç á2, ôÝôïéá þóôå �1

2� á2 = 4m/s2

⇒ á2 = 8m/s2

Á.

16. Á. õì = �S

to

o

ë

ë� = �1

1

0

1

0

s

m� ⇒ õì = 9,09m/s

Â. Ç êßíçóç ôïõ äñïìÝá åßíáé ìåôáâáëëüìåíç óôá ÷ñïíéêÜ äéáóôÞìáôá (0→3)s

êáé (8→11)s.

Á. (0→→3)s: á1 = �Ä

Ä

õ

t� = ��

9

3

–

–

0

0��m/s2 ⇒ á1 = 3m/s2

Á. (8→→11)s: á2 = �Ä

Ä

õ

t� = ��1

6

1

–

–

9

8��m/s2 ⇒ á2 = – 1m/s2

õ(m/s)

t(s)0

S(m)

t(s)0

õ(m/s)

t(s)0

10

S(m)

t(s)0



17.

Á. Ôï áõôïêßíçôï ðñáãìáôïðïéåß åõèýãñáììç, ïìáëÜ åðéâñáäõíüìåíç êßíçóç,

ìå åîßóùóç ôá÷ýôçôáò-÷ñüíïõ: õ = õ0 – át

Á. Áí óôçí åîßóùóç áõôÞ áíôéêáôáóôÞóïõìå ìå t = t1, ôüôå õ = ��õ

20��:

Á. �õ

20� = õ0 – át1 ⇒ át1 = õ0 – �

õ

20� ⇒ át1 = �

õ

20� ⇒

Á. t1 = �2

õ

á0� = �

2

1

�

0

2

m

m

/

/

s

s2� ⇒ t1 = 2,5s

Á. Ç åîßóùóç äéáóôÞìáôïò - ÷ñüíïõ Ý÷åé ôç ìïñöÞ: S = õ0t - �1

2� át2

Á. Áíôéêáèéóôþíôáò ìå t = t1, ôüôå S = S1:

Á. S1 = õ0t1 - �1

2� át1

2 = �10 � 2,5 – �1

2� � 2 � 2,52�m ⇒ S1 = 18,75m

Â. Áí óôçí åîßóùóç ôá÷ýôçôáò - ÷ñüíïõ õ = õ0 – át áíôéêáôáóôÞóïõìå ìå

t = tïë, ôüôå õ = 0:

õ0

S1

t=0s

õ0/2t1

Sïë

õ=0tïë

õ0 = 10 m/s

á = 2 m/s2

A. õ = õ0/2

t1 =;

S1 = ;

B. toë = ;

Soë =;



Á. 0 = õ0 – átïë ⇒ átïë = õ0 ⇒ tïë = �õ

á0� = �

1

2

0

m

m

/s

/s2

� ⇒ tïë = 5s

Á. Óôçí åîßóùóç äéáóôÞìáôïò - ÷ñüíïõ S = õ0t – �1

2� át2 áíôéêáèéóôïýìå ìå

t = tïë, ïðüôå S = Sïë:

Á. Sïë = õ0tïë – �1

2� át2

ïë = �10 � 5 – �1

2� � 2 � 52� m ⇒ Sïë = 25m

18.

Á. Èåùñïýìå t = 0s, ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ ðïõ îåêéíÜ ôï áõôïêßíçôï. Ç ìïôïóõ-

êëÝôá óõíáíôÜ ôï áõôïêßíçôï ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t. ÌÝ÷ñé åêåßíç ôç ÷ñïíéêÞ

óôéãìÞ èá Ý÷ïõìå ãéá ôá äýï êéíçôÜ:

Á. áõôïêßíçôï: åêôåëåß åõèýãñáììç ïìáëÜ åðéôá÷õíüìåíç êßíçóç ìå åðéôÜ-

÷õíóç á1 = 1,6m/s2.

Á. Ç åîßóùóç äéáóôÞìáôïò-÷ñüíïõ ãéá ôï áõôïêßíçôï ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t,

ðáßñíåé ôç ìïñöÞ: S1 = ��1

2�� á1t

2 (1)

Á. ÌïôïóõêëÝôá: åêôåëåß åõèýãñáììç ïìáëÜ åðéôá÷õíüìåíç êßíçóç ìå åðéôÜ-

÷õíóç á2 = 2,5 m/s2.

Á. Ç åîßóùóç äéáóôÞìáôïò-÷ñüíïõ ãéá ôç ìïôïóéêëÝôá ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t,

ðáßñíåé ôç ìïñöÞ: S2 = ��1

2�� á2(t – t1)

2 (2)

áA

áM

SÁ Ì=S

áA

t

t1=4s

õ0(A) = 0m/s

õ0(M) = 0m/s

á1 = 1,6m/s2

t1 = 4s

á2 = 2,5 m/s2

A. S1 = S2 = ;

A. t = ;

B. õ1 =;

A. õ2 =;

A. õì(1) = ;

Ã. (õ1 – t) = ;

A. (S1 - t) = ;



Á. ¼ìùò ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t èá éó÷ýåé:

Á. S1 = S2 ⇒

(1)

(2)�1

2� á1t

2 = �1

2� á2 (t – t1)

2⇒ á1t

2 = á2(t – t1)2

⇒

Á. ⇒ 1,6t2 = 2,5 (t – 4)2 ⇒ �(t –

t2

4)2� = �

2

1

,

,

5

6� ⇒ ��t –

t

4��

2=��

5

4��

2⇒

Á. ⇒ �t –

t

4� = �

5

4� ⇒ 4t =5 (t –4) ⇒4t = 5t – 20 ⇒ 5t – 4t = 20s ⇒ t = 20s

Á. Áíôéêáèéóôþíôáò ìå t=20s óôçí åîßóùóç (1) ðñïêýðôåé:

Á. S1 = ��1

2� � 1,6 � 202�m ⇒ S1 = S2 = 320m

Â. áõôïêßíçôï: ç åîßóùóç ôá÷ýôçôáò-÷ñüíïõ åßíáé: õA = á1t

Á. Áíôéêáèéóôþíôáò ìå t = 20s, ðñïêýðôåé õA = õ1:

Á. õ1 = 1,6 m/s2 � 20s ⇒ õ1 = 32m/s

Á. ÌïôïóõêëÝôá: ç åîßóùóç ôá÷ýôçôáò-÷ñüíïõ åßíáé õM = á2 (t – t1)

Á. Áíôéêáèéóôþíôáò ìå t = 20s, ðñïêýðôåé õM = õ2:

Á. õ2 = 2,5 m/s2 � (20 – 4)s ⇒ õ2 = 40 m/s

Á. Ç ìÝóç ôá÷ýôçôá ôïõ áõôïêéíÞôïõ óå ÷ñüíï t = 20s èá åßíáé:

Á. õì(1) = �S

t1� = �

3

2

2

0

0

s

m� ⇒ õì(1) = 16m/s

19. Á. (0→→5)s: ç êßíçóç åßíáé åõèýãñáììç ïìáëÜ åðéôá÷õíüìåíç ìå áñ÷éêÞ ôá÷ý-

ôçôá õ0 = 10m/s

Á. (5→→15)s: ç êßíçóç åßíáé åõèýãñáììç ïìáëÞ ìå ôá÷ýôçôá õ1 = 20m/s

Á. (15→→20)s: ç êßíçóç åßíáé åõèýãñáììç ïìáëÜ åðéâñáäõíüìåíç ìå áñ÷éêÞ

ôá÷ýôçôá õ1 = 20m/s

Á. (20→→25)s: ç êßíçóç åßíáé åõèýãñáììç ïìáëÜ åðéôá÷õíüìåíç ÷ùñßò áñ÷éêÞ

ôá÷ýôçôá, ðñïò ôçí áíôßèåôç öïñÜ.

Â. (0→→5)s: á = �Ä

Ä

õ

t� = ��

2

5

0

–

–1

0

0��m/s2

⇒ á = 2m/s2



Ã. Ôï óõíïëéêü äéÜóôçìá ðïõ äéáíýåé ôï êéíçôü åßíáé ßóï ìå ôï ãñáììïóêéá-

óìÝíï åìâáäü ðïõ ðåñéêëåßåôáé ìåôáîý ôïõ äéáãñÜììáôïò õ -t êáé ôïõ

Üîïíá ôùí ÷ñüíùí, óôá ÷ñïíéêÜ üñéá ôçò êßíçóçò:

Á.

Á. Sïë = E(OABH) + E(ÂÃÈÇ) + Å(ÃÈÄ) + Å(ÄÅÆ) =

= ��10

2

+20� � 5�m + (20 � 10)m + ��20

2

� 5��m + ��20

2

� 5��m ⇒

Á. ⇒⇒ Sïë = 375m

Á. Ãéá ôçí åýñåóç ôçò óõíïëéêÞò ìåôáôüðéóçò Äxïë, èá ðñÝðåé åäþ íá èõìç-

èïýìå ðùò óå äéÜãñáììá õ - t, åìâáäü êÜôù áðü ôïí Üîïíá ôùí ÷ñüíùí

óçìáßíåé áñíçôéêÞ ìåôáôüðéóç. Ç óõíïëéêÞ ìåôáôüðéóç ðñïêýðôåé áðü ôï

áëãåâñéêü Üèñïéóìá ôùí åðéìÝñïõò ìåôáôïðßóåùí:

Á. Äxïë = ��10

2

+20� � 5�m + (20 � 10)m + ��20

2

� 5��m – ��20

2

� 5��m ⇒

Á. Äxïë = 275m

Ä. õì = �S

tï

ï

ë

ë� = �3

2

7

5

5

s

m� ⇒ õì = 15m/s

õ(m/s)

t(s)0 5

–20

20

10

10 15 20 25H È Ä Å

Æ

ÁÂ Ã



ÄÕÍÁÌÉÊÇ ÓÅ ÌÉÁ Ä ÉÁÓÔÁÓÇ

Á ð á í ô Þ ó å é ò å ñ ù ô Þ ó å ù í ( ó å ë . ó ÷ ï ë . â é â ë . 1 0 1 - 1 0 5 )

1. ×ôõðþíôáò ìéá ìðÜëá ìå ôï ðüäé ìáò, ç ìðÜëá êéíåßôáé ðñïò ôçí êáôåýèõíóç

ôçò áóêïýìåíçò äýíáìçò. Áí áóêÞóïõìå ôçí ßäéá êáôÜ ìÝôñï äýíáìç óôçí

ìðÜëá ìå äéáöïñåôéêÞ êáôåýèõíóç, ç ìðÜëá èá áëëÜîåé êáôåýèõíóç êßíçóçò

óå ó÷Ýóç ìå ðñéí.

¼ôáí åðßóçò ôñáâÜìå ìå ôç âïÞèåéá ó÷ïéíéïý Ýíá êéâþôéï, ôï êéâþôéï äåí

ìåôáêéíåßôáé óå ôõ÷áßá êáôåýèõíóç, áëëÜ ðñïò ôçí êáôåýèõíóç ôçò áóêïýìå-

íçò äýíáìçò. Áðü ôá ðñïçãïýìåíá ðáñáäåßãìáôá, åßíáé ðñïöáíÞò ï äéáíõ-

óìáôéêüò ÷áñáêôÞñáò ôçò äýíáìçò.

2. Ðåßñáìá:

Óôï åëåýèåñï (Üíù) Üêñï êáôáêüñõöá óôåñåùìÝíïõ åëáôçñßïõ, ôïðïèåôïýìå

äéáäï÷éêÜ äýï äéáöïñåôéêÜ êõëéíäñéêÜ êïõôéÜ ìå âÜñç Â1 = 30Í êáé Â2 = 60Í:

Ï êýëéíäñïò âÜñïõò Â1 = 30Í ðñïêáëåß óôï åëáôÞñéï óõóðåßñùóç �1 = 2cm,

åíþ ï êýëéíäñïò âÜñïõò Â2 = 60Í ðñïêáëåß óôï åëáôÞñéï óõóðåßñùóç �2 = 4cm

(óå ó÷Ýóç ìå ôï öõóéêü ôïõ ìÞêïò). Ôïðïèåôïýìå ôþñá, óôï åëåýèåñï (Üíù)

Üêñï ôïõ åëáôçñßïõ êáé ôïõò äýï êõëßíäñïõò ìáæß:

�1 B1 �2

B2



Ðáñáôçñïýìå ðùò �3 = 6cm, äçëáäÞ �3 = �1+�2. Áðü ôï íüìï ôïõ ×ïõê óôá

åëáôÞñéá, ïé ðáñáìïñöþóåéò ðïõ ðñïêáëïýíôáé (åðéìçêýíóåéò Þ óõóðåéñþ-

óåéò) åßíáé áíÜëïãåò ôùí äõíÜìåùí ðïõ ôéò ðñïêáëïýí. Áõôü óçìáßíåé ðùò

åðåéäÞ �3 = �1 + �2 èá åßíáé êáé Â3 = Â1 + Â2. ÄçëáäÞ ç ôéìÞ ôçò óõíéóôáìÝ-

íçò äýíáìçò äýï ïìüññïðùí äõíÜìåùí, éóïýôáé ìå ôï Üèñïéóìá ôùí ôéìþí

ôïõò.

3. Ðåßñáìá:

Äýï éóïäýíáìïé ðåñßðïõ Üíäñåò, ôñáâïýí ðñïò áíôßèåôåò êáôåõèýíóåéò ìå ôç

âïÞèåéá äýï ó÷ïéíéþí Ýíá êéâþôéï, ìå óêïðü íá ôï öÝñïõí ï êáèÝíáò ðñïò ôï

ìÝñïò ôïõ:

Èåùñþíôáò ðùò ïé äýï Üíäñåò áóêïýí êáôÜ ìÝôñï ôçí ßäéá äýíáìç óôï êéâþ-

ôéï (ùò ðåñßðïõ éóïäýíáìïé), ðáñáôçñïýìå ðùò ôï êéâþôéï äå ìåôáêéíåßôáé. Áí

ôá ìÝôñá ôùí äýï äõíÜìåùí åßíáé F1 = F2 = 800N, ôüôå åßíáé ðñïöáíÝò ðùò

áöïý ôï êéâþôéï äå ìåôáêéíåßôáé, ç óõíéóôáìÝíç äýíáìç F ðïõ èá äÝ÷åôáé óôçí

ïñéæüíôéá äéåýèõíóç èá åßíáé:

F = F1 – F2 = (800 – 800)N = 0N

ÄçëáäÞ ç ôéìÞ ôçò óõíéóôáìÝíçò äýíáìçò äýï áíôßññïðùí äõíÜìåùí, éóïý-

ôáé ìå ôç äéáöïñÜ ôùí ôéìþí ôïõò.

4. Ç öïñÜ ôçò óõíéóôáìÝíçò äýï áíôßññïðùí äõíÜìåùí åßíáé ç öïñÜ ôçò ìåãá-

ëýôåñçò êáôÜ ìÝôñï äýíáìçò:

F1 F2

�3

B3



5. Óýìöùíá ìå ôïí 1ï íüìï ôïõ Íåýôùíá, êÜèå óþìá áíôéäñÜ óå ïðïéáäÞðïôå

ìåôáâïëÞ ôçò êéíçôéêÞò ôïõ êáôÜóôáóçò. Ïé åðéâÜôåò åíüò áõôïêéíÞôïõ ðïõ

êéíïýìåíï áñ÷éêÜ ìå ìåãÜëç ôá÷ýôçôá ðñïóêñïýåé ó’ Ýíáí ôïß÷ï, áíôéäñïýí

óôçí (áðüôïìç), åëÜôôùóç ôçò ôá÷ýôçôÜò ôïõò. Ç áíôßäñáóç áõôÞ åêäçëþíå-

ôáé ìå ôçí ðñïò ôá åìðñüò êßíçóÞ ôïõò, èÝëïíôáò Ýôóé íá äéáôçñÞóïõí ôçí

ôá÷ýôçôá ðïõ åß÷áí ðñéí ôçí ðñüóêñïõóç.

6. Ìå ôçí Ýêöñáóç «Ýíá óþìá éóïññïðåß», åííïïýìå ðùò ç óõíéóôáìÝíç ôùí

äõíÜìåùí ðïõ áóêïýíôáé ó’ áõôü åßíáé ìçäÝí. Óôçí êáèçìåñéíÞ ìáò æùÞ ç

éóïññïðßá åíüò óþìáôïò åñìçíåýåôáé áðáñáßôçôá ùò áêéíçóßá. Áõôü üìùò

äåí åßíáé áðüëõôï, äéüôé Ýíá óþìá ìðïñåß íá éóïññïðåß åíþ êéíåßôáé (åõèý-

ãñáììç ïìáëÞ êßíçóç), áöïý ç óõíéóôáìÝíç äýíáìç ðïõ äÝ÷åôáé åßíáé ìçäÝí

êáé ó’ áõôÞ ôçí ðåñßðôùóç.

7. F→→

= má→→

F→→

→ ç óõíéóôáìÝíç äýíáìç ðïõ äÝ÷åôáé ôï óþìá

ìïíÜäá óôï SI: 1N(Newton)

m → ç ìÜæá ôïõ óþìáôïò

ìïíÜäá óôï SI: 1Kg

á→→

→ ç åðéôÜ÷õíóç ðïõ áðïêôÜ ôï óþìá

ìïíÜäá óôï SI: 1m/s2

8. ¼ôáí ç óõíéóôáìÝíç äýíáìç F ðïõ äÝ÷åôáé Ýíá áñ÷éêÜ áêßíçôï óþìá åßíáé óôá-

èåñÞ, ôüôå áðü ôçí åîßóùóç ôïõ äåýôåñïõ íüìïõ ôïõ Íåýôùíá F=má, ôï

óþìá èá êéíåßôáé ìå óôáèåñÞ åðéôÜ÷õíóç á. Áõôü óçìáßíåé ðùò ôï óþìá ðñáã-

ìáôïðïéåß åõèýãñáììç ïìáëÜ åðéôá÷õíüìåíç êßíçóç.

9. Åõèýãñáììç ïìáëÞ åßíáé ç êßíçóç, ðïõ ðñáãìáôïðïéåßôáé ìå óôáèåñÞ ôá÷ýôç-

ôá õ, óõíåðþò Äõ = 0. ¼ìùò:

ÓF

F1F2(F1>F2)



á = �Ä

Ä

õ

t� ⇒

Äõ = 0á = 0

Áðü ôçí åîßóùóç ôïõ äåýôåñïõ íüìïõ ôïõ Íåýôùíá èá Ý÷ïõìå:

F = má ⇒á=0 F = 0

Óõìðåñáßíïõìå äçëáäÞ, ðùò Ýíá óþìá ðïõ ðñáãìáôïðïéåß åõèýãñáììç

ïìáëÞ êßíçóç, äÝ÷åôáé óõíéóôáìÝíç äýíáìç ìçäÝí.

10. Ôï ìïëýâé öôÜíåé ãñçãïñüôåñá óôï ðÜôùìá, ëüãù ôçò ìéêñüôåñçò áíôßóôáóçò

ðïõ ðñïâÜëëåé ï áÝñáò ó’ áõôü, óå ó÷Ýóç ìå ôçí áíôßóôáóç ðïõ ðñïâÜëëåé

óôï öýëëï ÷áñôéïý. ¸ôóé ôï ìïëýâé ðÝöôåé ìå ìåãáëýôåñç åðéôÜ÷õíóç áðü ôï

öýëëï ÷áñôéïý êáé ãé’ áõôü öôÜíåé óôï ðÜôùìá ãñçãïñüôåñá.

11. Åëåýèåñç ðôþóç åßíáé ç êßíçóç ðïõ ðñáãìáôïðïéåß Ýíá óþìá, üôáí áöÞíåôáé

íá ðÝóåé áðü êÜðïéï ýøïò ìå ôçí åðßäñáóç ìüíï ôïõ âÜñïõò ôïõ, ôï ïðïßï

èåùñåßôáé óôáèåñü. Áðáñáßôçôç ðñïûðüèåóç ãéá íá ðñáãìáôïðïéÞóåé Ýíá

ìðáëÜêé åëåýèåñç ðôþóç áðü êÜðïéï ýøïò, åßíáé íá èåùñïýíôáé áìåëçôÝåò

ïé áíôéóôÜóåéò áðü ôïí áÝñá.

12. Åîßóùóç ôá÷ýôçôáò - ÷ñüíïõ: õ = gt

Åîßóùóç äéáóôÞìáôïò-÷ñüíïõ: S = ��1

2��gt2

13.

14. Á. äéáíõóìáôéêü ìÝãåèïò

Â. åëáóôéêÞ

Ã. ðëáóôéêÞ

Ä. äýíáìç

15. Á. ìçäÝí

Â. êéíçôéêÞ


t(s) õ(m/s) S(m)

0 0 0

1 10 5

2 20 20

4 40 80


Ã. ìåôáâÜëëåôáé, óôáèåñÞ

16. Á. áðïôÝëåóìá

Â. åõèýãñáììç, áñ÷éêÞ

17. Á. ÌÝ÷ñé ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t1, ç ìðÜëá äÝ÷åôáé ïñéæüíôéá äýíáìç ðïõ áõîÜíå-

ôáé áíÜëïãá ìå ôï ÷ñüíï. Áðü ôçí åîßóùóç F = má ôïõ äåýôåñïõ íüìïõ ôïõ

Íåýôùíá, ç åðéôÜ÷õíóç á èá áõîÜíåôáé áíÜëïãá ìå ôï ÷ñüíï, Üñá ç ìðÜëá

èá êÜíåé åðéôá÷õíüìåíç êßíçóç.

Â. Ìåôáîý ôùí ÷ñïíéêþí óôéãìþí t1 êáé t2, ç ìðÜëá äÝ÷åôáé óôáèåñÞ äýíáìç F,

ç ïðïßá ðñïêáëåß óôç ìðÜëá óôáèåñÞ åðéôÜ÷õíóç á. ¸ôóé, ç ìðÜëá óôï

÷ñïíéêü áõôü äéÜóôçìá ðñáãìáôïðïéåß ïìáëÜ åðéôá÷õíüìåíç êßíçóç.

18. Á. Ç êßíçóç ôïõ óþìáôïò åßíáé:

Á. 0s → 1s åõèýãñáììç ïìáëÜ åðéôá÷õíüìåíç (Ó)

Á. 1s → 2s åõèýãñáììç ïìáëÞ (Ó)

Á. 2s → 3s åõèýãñáììç ïìáëÜ åðéâñáäõíüìåíç (Ó)

Â. Ç êßíçóç ôïõ óþìáôïò åßíáé:

Á. 0s → 1s åõèýãñáììç ïìáëÜ åðéôá÷õíüìåíç (Ó)

Á. 1s → 2s ôï óþìá çñåìåß (Ë)

Á. 2s → 3s ôï óþìá áñ÷ßæåé íá êéíåßôáé ðñïò ôá ðßóù (Ë)

19. Á. (Ë)

Â. (Ë)

Ã. (Ó)

Ä. (Ë)

20. Á. (Ë)

Â. (Ë)

Ã. (Ó)

21. Á. (Ó)

Â. (Ó)

Ã. (Ë)

Ä. (Ë)

22. Á. (Ó)



Â. (Ó)

Ã. (Ó)

Ä. (Ó)

23. Á. (Ó)

Â. (Ó)

Ã. (Ë)

24. Â.

25. Â.

26. Â.

27. Â.

28. Â.

29. Á.

30. Ã.

31. Óôï äéÜãñáììá , áöïý áõôü áíôáðïêñßíåôáé óôç åîßóùóç äéáóôÞìáôïò-

÷ñüíïõ S = �1

2� gt2, ðïõ éó÷ýåé óôçí åëåýèåñç ðôþóç.

32. Ôï äéÜãñáììá , äéüôé áõôü áíôáðïêñßíåôáé óôçí åîßóùóç ôá÷ýôçôáò - ÷ñü-

íïõ õ = õ0 – át, ðïõ éó÷ýåé óôçí åõèýãñáììç ïìáëÜ åðéâñáäõíüìåíç êßíçóç,

ðïõ åêôåëåß ôï óþìá ôçò åêöþíçóçò.

33. Ä.

34. Éóïññïðßá F = óôáèåñÞ

Åõèýãñáììç ïìáëÜ

åðéôá÷õíüìåíç êßíçóç F = 0

Êßíçóç åõèýãñáììç åðéôá÷õíüìåíçìå ìåôáâëçôÞ åðéôÜ÷õíóç á � óôáèåñÞ

Á

Â



35. Á.

Â.

Ã.

36. ÁäñÜíåéá ðáñïõóéÜæïõí üëá ôá óþìáôá áíåîÜñôçôá áðü ôçí êéíçôéêÞ ôïõò

êáôÜóôáóç. Ïé åðéâÜôåò ó’ Ýíá áñ÷éêÜ óôáèìåõìÝíï áõôïêßíçôï êéíïýíôáé

ðñïò ôá ðßóù, üôáí ôï áõôïêßíçôï îåêéíÞóåé áðüôïìá. Áõôü óõìâáßíåé äéüôé

ëüãù ôçò áäñÜíåéÜò ôïõò, ïé åðéâÜôåò áíôéäñïýí óôçí åðéôÜ÷õíóç ôïõ áõôï-

êéíÞôïõ èÝëïíôáò íá äéáôçñÞóïõí ôçí áñ÷éêÞ ôïõò áêéíçóßá.

37. Á.

B→→

:: âÜñïò ôçò ìðÜëáò

A→→

:: áíôßóôáóç ôïõ áÝñá (áåñïäõíáìéêÞ

ôñéâÞ)

B.

õÁ

Â

õ

ÁÂ

õ

g

õ=0

g

õ

g



Ã.

38. Á., Ã.

39. Á.

40. Â.

41. Á., Å.

Ë ý ó å é ò á ó ê Þ ó å ù í ( ó å ë . ó ÷ ï ë . â é â ë . 1 0 7 - 1 0 8 )

1. Á.

Á.

Á. F = F1 + F2 = (60 + 80)N ⇒ F = 140N

Â.

Á.

Á. F = F2 – F1 = (80 – 60)N ⇒ F = 20N

F

F1 F2

ö =180°

F1 = 60N

F2 = 80N

F1F2 F

ö = 0°

F1 = 60N

F2 = 80N

õ=0

Â



2. á´ ðåñßðôùóç:

F = (10 + 20 – 5)N ⇒ F = 25N

â´ ðåñßðôùóç:

F = (20 – 10 – 5 )N ⇒ F = 5N

ã´ ðåñßðôùóç:

F = (10 + 20 – 5)N ⇒ F = 35N

3.

Á. Ïé äõíÜìåéò F1

→

êáé F2

→

åßíáé ïìüññïðåò:

Á. F = F1 + F2 ⇒ F = 4F2 + F2 ⇒ F = 5F2 ⇒ F2 = �F

5� = �

1

5

0�N ⇒ F2 = 2N

F = 10N

Á. F1 = 4F2

Á. F1

→

= ;, F2

→

= ;

Â. F1 = 3F2

Á. F1

→

= ;, F2

→

=;

F

5Í

20Í

10Í

F

5Í 20Í

10Í

F

5Í20Í

10Í



Á. F1 = 4F2 = (4�2)N ⇒ F1 = 8N

Á.

Â. Ïé äõíÜìåéò F→

1 êáé F→

2 åßíáé áíôßññïðåò êáé åðåéäÞ F1 > F2 (F1 = 3F2), èá

Ý÷ïõìå:

Á. F = F1 – F2 ⇒ F = 3F2 - F2 ⇒ F = 2F2 ⇒ F2 = �F

2� = �

1

2

0�N ⇒ F2 = 5N

Á. F1 = 3F2 = (3�5)N ⇒ F1 = 15N

Á.

4. Á.

Â.

Ã. Ç êëßóç ôçò åõèåßáò ôïõ äéáãñÜììáôïò âÜñïò-åðéìÞêõíóç éóïýôáé ìå ôï

óôáèåñü ðçëßêï âÜñïò/åðéìÞêõíóç:

Á. Êëßóç åõèåßáò = �Â

x1

1� = �B

x2

2� = �B

x3

3� = �B

x4

4� ⇒ êëßóç åõèåßáò = 4Í/cm

80

5 10

âÜñïò(Í)

åðéìÞêõíóç(cm)

60

40

20

15 20

F

F1F2

F1F2

F


ÅðéìÞêõíóç (cm) 5 8 10 15 20

ÂÜñïò (Í) 20 32 40 60 80


5.

Ãéá íá êéíåßôáé ôï óþìá ôçò åéêüíáò ìå óôáèåñÞ ôá÷ýôçôá, èá ðñÝðåé íá äÝ÷å-

ôáé óõíéóôáìÝíç äýíáìç ßóç ìå ìçäÝí. Ïé äõíÜìåéò F→

1 êáé F→

2 äå äßíïõí óõíé-

óôáìÝíç ìçäÝí, Üñá óôï óþìá áóêåßôáé êáé ôñßôç äýíáìç F→→

3 êáôÜ ôç äéåý-

èõíóç ôçò êßíçóÞò ôïõ. Ç äýíáìç F→

3 èá ðñÝðåé íá åßíáé ïìüññïðç ôçò F→

1, þóôå

íá åîïõäåôåñþíïõí ìáæß ôçí F→

1 êáé íá äßíïõí óõíéóôáìÝíç ìçäÝí:

F = 0 ⇒ F1 – F2 – F3 = 0 ⇒ F3 = F1 – F2 ⇒ F3 = (22 – 7)N ⇒ F3 = 15N

6.

ÅðåéäÞ ôï ðéèçêÜêé éóïññïðåß, èá ðñÝðåé ç óõíéóôáìÝíç ôùí äõíÜìåùí ðïõ

áóêïýíôáé ðÜíù ôïõ íá åßíáé ìçäÝí. Áí ç äýíáìç ðïõ äÝ÷åôáé ôï ðéèçêÜêé áðü

ôï êëáäß ôïõ äÝíôñïõ åßíáé ç F→

, ôüôå ìå ôç âïÞèåéá ôïõ ó÷Þìáôïò:

ÓF = 0 ⇒ F - Bð = 0 ⇒ F = Bð ⇒ F = 200Í

F

B

ÐÉÈÇÊÏÓ

Âð = 200Í

F=;

F1F2F3

F1F2

õ = óôáèåñÞ

F1 = 22N

F2 = 7N



7. á´ ðåñßðôùóç:

ÓF = máÁ ⇒ áÁ = �Ó

m

F� = �

30

m

-10� ⇒ áÁ = ��

2

m

0��

â´ ðåñßðôùóç:

ÓF = máB ⇒ áB = �Ó

m

F� =�

10

m

+10� ⇒ áB = ��

2

m

0��

ã´ ðåñßðôùóç:

ÓF = máÃ ⇒ áÃ = �Ó

m

F� = �

35

m

– 15� ⇒ áÃ = ��

2

m

0��

15Nm

Ã

35N

m

Â

ÓF

áÂ

10Nm

Â

10N

mÓF

ÁáÁ

10Nm

30N

A



ä´ ðåñßðôùóç:

ÓF = máÄ ⇒ áÄ = �Ó

m

F� = �

2

m

0� ⇒ áÄ = ��

2

m

0��

Ðáñáôçñïýìå ðùò êáé óôéò ôÝóóåñéò ðåñéðôþóåéò, ôï óþìá Ý÷åé ôçí ßäéá êáôÜ

ìÝôñï åðéôÜ÷õíóç á = �2

m

0�, áëëÜ ìå äéáöïñåôéêÞ êáôåýèõíóç óôçí â´ ðåñß-

ðôùóç (áíôßèåôç ôùí ðåñéðôþóåùí á,ã êáé ä).

8.

F

õ1

F F

õ2õ

t=0s t =2s2

m = 10Kg

õ1 = 10m/s

t = 0s → F

t2 = 2s

õ2 = 5m/s

F = ;

m

Ä

ÓF

áÄ

m

Ä

20N

m

Ã

ÓF

áÃ



Ìå ôçí åðßäñáóç ôçò óôáèåñÞò äýíáìçò F ôï óþìá ðñáãìáôïðïéåß åõèý-

ãñáììç ïìáëÜ åðéâñáäõíüìåíç êßíçóç, áöïý ç äýíáìç F åßíáé áíôßññïðç

ôçò ôá÷ýôçôáò ôïõ óþìáôïò. Ôï ìÝôñï ôçò åðéâñÜäõíóçò á, óôï ÷ñïíéêü äéÜ-

óôçìá (0 → 2)s, èá åßíáé:

á = �⏐Ä

Ä

õ

t

⏐

� = �⏐5

2

–

–

1

0

0⏐

� m/s2 ⇒ á = 2,5m/s2

Ç äýíáìç F åßíáé ç ìïíáäéêÞ äýíáìç ðïõ áóêåßôáé óôï óþìá êáôÜ ôç äéåýèõí-

óç ôçò êßíçóçò:

F = má ⇒ F = 10kg � 2,5m/s2 ⇒ F = 25N

9.

Ç åîßóùóç ôá÷ýôçôáò-÷ñüíïõ õ = 4t ìáò ðëçñïöïñåß ðùò ôï óþìá ðñáãìá-

ôïðïéåß åõèýãñáììç ïìáëÜ åðéôá÷õíüìåíç êßíçóç ÷ùñßò áñ÷éêÞ ôá÷ýôçôá, ìå

åðéôÜ÷õíóç á = 4m/s2. Áðü ôçí åîßóùóç ôïõ äåýôåñïõ íüìïõ ôïõ Íåýôùíá:

ÓF = má ⇒ ÓF = 1kg � 4m/s2 ⇒ ÓF = 4N

10.

Ç åðéôÜ÷õíóç ôïõ óþìáôïò óôï ÷ñüíï ôùí 2s åßíáé:

á = �Ä

t

õ� = ��

14

2

– 10��m/s2 ⇒ á = 2m/s2

Áðü ôçí åîßóùóç ôïõ äåýôåñïõ íüìïõ ôïõ Íåýôùíá:

F = má = 5kg�2m/s2 ⇒ F = 10N

m = 5kg

õ1 = 10m/s

õ2 = 14m/s

t = 2s

F = ;

m = 1kg

õ = 4t (SI)

ÓF = ;



11.

Á. m1: F1 = m1 á1 ⇒ á1 = �m

F1

1

� = �1

4

k

N

g� ⇒ á1 = 4m/s2

Á. m2: F2 = m2 á2 ⇒ á1 = �m

F2

2

� = �1

3

5

k

N

g� ⇒ á2 = 5m/s2

Â. Ïé äõï ìÜæåò ðñáãìáôïðïéïýí åõèýãñáììç ïìáëÜ åðéôá÷õíüìåíç êßíçóç

÷ùñßò áñ÷éêÞ ôá÷ýôçôá. Óå ÷ñüíï t ïé äýï ìÜæåò èá Ý÷ïõí äéáíýóåé:

Á. � ⇒ S2 – S1 = ��1

2�� (á2 – á1) t2 (1)

Á. ¼ìùò:

Á. S2 – S1 = d´ – d ⇒(1)

d´ – d = �1

2� (á2 – á1)t

2 ⇒

m1: S1 = �1

2� á1 t2

m2: S2 = �1

2� á2 t2

F1m1 F2

t=0sm2

d

F1m1 F2

t

m2

d´

m1 =1kg

m2 = 3kg

õ0(1) = 0m/s

õ0(2) = 0m/s

d = 10m

F1 = 4N

F2 = 15N

A. á1 = ;

Á. á2 = ;

Â. d´ = 18m, t =;



Á. t2 = ⇒ t= �� = ��s ⇒ t = 4s

12.

Á. (0 →→ t)s: ôï óþìá ðñáãìáôïðïéåß åõèýãñáììç ïìáëÜ åðéôá÷õíüìåíç

êßíçóç ÷ùñßò áñ÷éêÞ ôá÷ýôçôá. Ç åðéôÜ÷õíóç á1 èá åßíáé:

Á. F1 = má1 ⇒ á1 = �F

m1� = �

2

2

0

0

k

N

g� ⇒ á1 = 1m/s2

Á. Óôï ÷ñüíï t, ôï óþìá èá Ý÷åé äéáíýóåé:

Á. S1 = �1

2�á1t

2 = �1

2� 1t2 ⇒ S1 = ��

t

2

2�� (1)

Á. åíþ ç ôá÷ýôçôÜ ôïõ õ1 èá åßíáé:

Á. õ1 = á1 t ⇒ õ1 = t (2)

Á. (t →→ tïë) s: ôï óþìá ðñáãìáôïðïéåß åõèýãñáììç ïìáëÜ åðéâñáäõíüìåíç

êßíçóç. Ôï ìÝôñï ôçò åðéâñÜäõíóç á2 èá åßíáé:

Á. F2 = má2 ⇒ á2 = �F

m2� = �

2

5

0

N

kg� ⇒ á2 = 0,25m/s2

Á. Ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ tïë, ç ôá÷ýôçôá ôïõ óþìáôïò ìçäåíßæåôáé, Üñá áðü ôçí

åîßóùóç ôá÷ýôçôáò-÷ñüíïõ:

F1m

t=0s

õ0=0õ1

t

F2m m

õ=0

tïë

S1

Sïë

m = 20kg

õ0 = 0m/s

t = 0s → F1 = 20N

t → F2 = 5N

A. t, S1 = ;

B. tïë = ;

2(18 – 10)��

5 – 4

2(d´ – d)�á2 – á1

2(d´ – d)�á2 – á1



Á. 0 = õ1 – á2 (tïë – t) ⇒(2)

0 = t - 0,25(tïë – t) ⇒ 0 = t – 0,25 tïë + 0,25t ⇒

Á. ⇒ 0,25 tïë = 1,25t ⇒ tïë = 5t (3)

Á. Óôï ßäéï ÷ñïíéêü äéÜóôçìá, ôï óþìá Ý÷åé äéáíýóåé:

Á. Sïë – S1 = õ1 (tïë – t) – �1

2� á2(tïë – t)2

⇒

(1), (2)

(3)

Á. ⇒ 40 – �t

2

2

� = t(5t – t) – �1

2� 0,25 � (5t – t)2 ⇒ 40 – �

t

2

2

� = 4t2 – �1

2� 0,25�16t2 ⇒

Á. ⇒ 40 – �t

2

2

� = 4t2 – 2t2 ⇒ 40 – �t

2

2

� = 2t2 ⇒ �5

2

t2� = 40 ⇒ t2 =16 ⇒ t =4s

Á. Áíôéêáèéóôþíôáò óôç ó÷Ýóç (1) ìå t = 4s, ðñïêýðôåé:

Á. S1 = �4

2

2

� m ⇒ S1 = 8m

Â. ÅðåéäÞ tïë=5t (ó÷Ýóç (3)), ðñïêýðôåé:

Á. tïë = (5 � 4)s ⇒ tïë =20s

13.

Á. Ôï óþìá ôïõ ó÷Þìáôïò, ðñáãìáôïðïéåß åõèýãñáììç ïìáëÜ åðéôá÷õíüìå-

íç êßíçóç ÷ùñßò áñ÷éêÞ ôá÷ýôçôá. Áí ç åðéôÜ÷õíóç ôïõ óþìáôïò åßíáé á,

ôüôå ç åîßóùóç äéáóôÞìáôïò-÷ñüíïõ èá åßíáé:

F2F1

F3

m = 1kg

F1 = 6N

F2 = 2N

F3

õ0 = 0m/s

t = 4s

S = 24m

A. á= ;

Â. F3 = ;



S = �1

2� át2 ⇒ á = �

2

t2S� = ��2 4

�2

24��m/s2 ⇒ á = 3m/s2

Â. Åöáñìüæïíôáò ôçí åîßóùóç ôïõ äåýôåñïõ íüìïõ ôïõ Íåýôùíá, èá Ý÷ïõìå:

Á. ÓF = má ⇒ F1 + F2 – F3 = má ⇒ F3 = F1 +F2 - má ⇒

Á. ⇒ F3 = (6 + 2 – 1 � 3)N ⇒ F3 = 5N

14.

Ãéá ôï ðñþôï æåýãïò ôéìþí ôùí äõíÜìåùí F→

1, F→

2, áðü ôçí åîßóùóç ôïõ äåýôå-

ñïõ íüìïõ ôïõ Íåýôùíá âñßóêïõìå ôç ìÜæá ôïõ óþìáôïò:

ÓF = m�á ⇒ F1 – F2 = má ⇒ m = �F1

á

– F2� = ��40

0

–

,3

20��kg ⇒ m = ��

20

3

0�� kg

¼ôáí ç äýíáìç F→

2 ìçäåíéóôåß (F2=0), ôüôå ç íÝá åðéôÜ÷õíóç á´ èá åßíáé:

ÓF = má´ ⇒ F1 = má´ ⇒ á´ = �F

m1� =� �m/s2 ⇒ á´ = 0,6 m/s2

15. õo = 0 m/s

h = 20m

tïë = ;

g = 10m/s2

40��20

3

0�

F1 F2

F1 = 40N

F2 = 20N

á = 0,3 m/s2

F1 = 40N

F2 = 0N

á´= ;



Ôï óþìá ôïõ ó÷Þìáôïò åêôåëåß åëåýèåñç ðôþóç, èåùñþíôáò ôï âÜñïò ôïõ

óôáèåñü êáé ôéò áíôéóôÜóåéò ôïõ áÝñá áìåëçôÝåò. Áðü ôçí åîßóùóç äéáóôÞìá-

ôïò-÷ñüíïõ óôçí åëåýèåñç ðôþóç:

S = �1

2� gt2 ⇒

S=h

t=tïë

h = �1

2� gt 2

ïë ⇒ t2ïë = �

2

g

h� ⇒ tïë = ��

2

g�h�� = ��

2� 1

�� 0

2�0�� s ⇒

⇒ tïë = 2s

16.

Ôá äýï óþìáôá Á, Â ðñáãìáôïðïéïýí åëåýèåñç ðôþóç áðü ôï ßäéï ýøïò ìå

÷ñïíéêÞ äéáöïñÜ Ät = 1s. Ç ÷ñïíéêÞ áõôÞ äéáöïñÜ äéáôçñåßôáé óõíå÷þò,

ìÝ÷ñé êáé ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ ðïõ ôï óþìá Á öôÜíåé óôïí ðõèìÝíá ôïõ ðçãáäéïý.

Á

Â

h

Á

Âh

d

SB

h = 180m

A,B åëåýèåñç ðôþóç

Ät =1s

g = 10 m/s2

d =;

h



óþìá Á: Ç åîßóùóç äéáóôÞìáôïò-÷ñüíïõ ãéá ôçí åëåýèåñç ðôþóç ôïõ óþìá-

ôïò Á, èá åßíáé:

S = �1

2� gt2 ⇒

h=S

t=tïëh = �

1

2� gt2ïë ⇒ t2

ïë = �2

g

h� ⇒ tïë = ��

2

g�h�� = ��

2� �

1� 1

0�8�0�� m ⇒

⇒ tïë = 6s

óþìá Â: êáèþò ôï óþìá Á öôÜíåé óôïí ðõèìÝíá ôïõ ðçãáäéïý, ôï óþìá Â

÷ñåéÜæåôáé Ät = 1s áêüìç ãéá íá öôÜóåé êáé áõôü óôïí ðõèìÝíá .

ÅðåéäÞ êáé ôï óþìá Â ÷ñåéÜæåôáé ÷ñüíï tïë = 6s ãéá íá öôÜóåé áðü ôï óôüìéï

ôïõ ðçãáäéïý óôï ðõèìÝíá ôïõ, üôáí ôï óþìá Á öôÜíåé óôïí ðõèìÝíá, ôï

óþìá Â Ý÷åé ðñáãìáôïðïéÞóåé åëåýèåñç ðôþóç ãéá ôï ÷ñüíï:

tB = tïë – Ät = (6 – 1)s ⇒ tB = 5s:

S = �1

2� gt2 ⇒

S=SB

t=tB

SB = �1

2� g tB

2 = ��1

2� � 10 � 52�m ⇒ SB = 125m

¼ìùò üðùò öáßíåôáé êáé áðü ôï äåýôåñï ó÷Þìá, ç æçôïýìåíç áðüóôáóç d èá

åßíáé:

d = h – SB = (180 –125)m ⇒ d = 55m

17.

õ0

á

õ=0

S

F

m = 4000kg

õ0

F = 2 � 104N

S = 40m

A. õ0 =;

B. tïë = ;

Ã. (õ – t) = ;



Á. Ôï áõôïêßíçôï ìå ôçí åðßäñáóç ôçò äýíáìçò F ðñáãìáôïðïéåß åõèýãñáììç

ïìáëÜ åðéâñáäõíüìåíç êßíçóç.

Á. Ôï ìÝôñï ôçò åðéâñÜäõíóçò á, èá åßíáé:

Á. F = má ⇒ á = �m

F� = �

4

2

�

�

1

1

0

0

3

4

k

N

g� ⇒ á = 5m/s2

Á. Áðü ôçí åîßóùóç ôá÷ýôçôáò-÷ñüíïõ, èá Ý÷ïõìå:

Á. õ = õ0 – át ⇒õ=0

t=t ïë

0 = õ0 – átïë ⇒ átïë = õ0 ⇒ tïë = �õ

á0� (1)

Á. Áíôéêáèéóôþíôáò ôç ó÷Ýóç (1) óôçí åîßóùóç äéáóôÞìáôïò-÷ñüíïõ, ðñïêý-

ðôåé:

Á. S = õ0tïë – �1

2� át2

ïë = õ0�õ

á0� – �

1

2� á ��

õ

á0��2

⇒ S = �õ

á02

� – �2

õ

á02

� ⇒

Á. ⇒ S = �2

õ

á02

� ⇒ õ02 = 2áS ⇒ õ0 = �2�á�S� = �2� �� 5� �� 4�0� m/s ⇒ õ0 = 20m/s

Â. Áí áíôéêáôáóôÞóïõìå óôç ó÷Ýóç (1) ìå õ0 = 20m/s:

Á. tïë = �õ

á0� = �

2

5

0� s ⇒ tïë = 4s

Ã. Ôï äéÜãñáììá ôá÷ýôçôáò-÷ñüíïõ èá åßíáé ìéá öèßíïõóá åõèåßá ðïõ îåêéíÜ

áðü ôï óçìåßï õ0 = 20m/s ôïõ Üîïíá ôùí ôá÷õôÞôùí êáé êáôáëÞãåé óôï

óçìåßï tïë = 4s ôïõ Üîïíá ôùí ÷ñüíùí.

õ(m/s)

t(s)0

20

4



18.

Á. Ôï óþìá Á ðñáãìáôïðïéåß åëåýèåñç ðôþóç:

Á. S = �1

2� gt2 ⇒

S=h

t =t A

h = �1

2� gtA

2⇒ tA

2 = �2

g

h� ⇒

Á. ⇒ tA = ��2

g�h�� = ��

2� 1

�� 0

4�5�� m ⇒ tA = 3s

Á. Ôï óþìá Â îåêéíÜ 1s áñãüôåñá áðü ôï óþìá Á êáé öôÜíåé ìå áõôü ôáõôü-

÷ñïíá óôï Ýäáöïò óå ÷ñüíï tB:

Á. tA = tB + Ät ⇒ tB = tA – Ät = (3 –1)s ⇒ tB = 2s

Á. Ç êßíçóç ðïõ ðñáãìáôïðïéåß ôï óþìá Â åßíáé åõèýãñáììç ïìáëÜ åðéôá÷õ-

íüìåíç ìå áñ÷éêÞ ôá÷ýôçôá õ0 êáé åðéôÜ÷õíóç g. Ç åîßóùóç äéáóôÞìáôïò-

÷ñüíïõ ãéá ôï óþìá Â, èá åßíáé:

õ0

h A

B

B A

h = 45m

õ0(A) = 0m/s

Ät = 1s

õ0(B) = õ0

tA = tB + Ät

A. õ0 = ;

Á. tB =;

Â. (õA – t) = ;

Á. (SA – t) = ;



Á. S = õ0t + �1

2� gt2 ⇒

S=h

t=tBh = õ0tB + �

1

2� gtB

2⇒ õ0tB = h – �

1

2� gtB

2⇒

Á. ⇒ õ0 = = m/s ⇒ õ0 = 12,5 m/s

Â. Ç ôá÷ýôçôá ìå ôçí ïðïßá ôï óþìá Á öôÜíåé óôï Ýäáöïò åßíáé:

Á. õÁ = gtÁ = (10 � 3)m/s ⇒ õA = 30 m/s

õ (m/s)A

t(s)0

30

3

S (m)A

t(s)0

45

3

45 – �1

2� � 10 � 22

��2

h - �1

2� gtB

2

��tB



ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΛΥΣΕΙΣ ΤΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ 491

Φυσική Α' Λυκείου (βοήθημα)

Documents

Transcript of Φυσική Α' Λυκείου (βοήθημα)