Описательная статистика

Описательная статистика

Descriptive Statistics

SixSigmaOnline.ru 2014

v.2 2014

© Six Sigma Online . ru


Совокупность результатов наблюдений/опытов является

исходным материалом любого статистического исследования.

Простейшая обработка массива данных заключается в расчете

основных статистических показателей, объединенных в группу

“описательных статистик”.

Описательная статистика позволяет обобщать первичные

результаты, полученные при наблюдении или в эксперименте.

Все расчеты описательных статистик сводятся к группировке

данных по их значениям, построению распределения их частот,

выявлению центральных тенденций распределения и, наконец,

к оценке разброса данных по отношению к найденной

центральной тенденции.

2



Основные показатели описательной статистики:

Среднее значение (среднее арифметическое, медиана,

мода) и усредненное значение.

Размах (диапазон разброса данных).

Дисперсия и среднеквадратическое отклонение.

Процентили и квартили.

Доверительный интервал.

Это далеко не все возможные показатели.

К примеру, только команда Display

Descriptive Statistics в программе Minitab

позволяет рассчитать 24 показателя.

3


Среднее арифметическое

Среднее значение выборки показывает центральное

положение наблюдаемой величины. Может определяться

средним арифметическим, медианой или модой.

Среднее арифметическое значение рассчитывают по формуле:

где xi – наблюдаемое значение, N – количество наблюдений

Среднее арифметическое для числового ряда 2,4,5,7,3 равно:

4

N

x

x

N

i

i 1

2.45

37542

x


Медиана

Медиана – это значение выборки, которое делит все значения

выборки пополам. Расчет медианы проводится следующим

образом: все значения выстраиваются от наименьшего до

наибольшего. Центральное значение ряда является медианой.

Чтобы найти медиану числового ряда 2,4,5,7,3 необходимо:

1. Выстроить все значения от наименьшего до наибольшего

2,3,4,5,7

2. Определить значение, которое находится в центре 2,3,4,5,7

Медиана числового ряда с четным количеством членов

определяется как среднее арифметическое двух центральных

значений. К примеру, медиана ряда 2,3,4,5,7,8 равна 4.5.

5


Мода

Мода – значение, которое чаще всего встречается в выборке.

Чаще всего мода совпадает с самым высоким пиком

гистограммы. Мода находится при подсчете количества

выпадений каждого значения.

В числовом ряду 2,4,5,7,3 нет моды – ни одно из значений не

повторяется. А в числовом ряду 2,4,5,7,5,3 мода равна 5.

Если в числовом ряду несколько мод:

2,4,4,5,4,3,2,3,5,7,5,3,

то распределение называют полимодальным (несколько мод),

однако мода как показатель описательной статистики в таком

ряду отсутствует.

6


Среднее, медиана и мода

У любого симметрического распределения ( в том числе и

нормального) наблюдений, среднее арифметическое, медиана

и мода совпадают:

7

Среднее арифметическое, медиана и мода совпадают

Симметрическое распределение



Асимметрия приводит к смещению показателей среднего

относительно друг друга:

Асимметрию определяет положение хвоста!

8

Мод

а

Мед

иана

Сред

нее

ариф

мет

ичес

кое

Отрицательная или левосторонняя

асимметрия

Мод

а

Мед

иана

Сред

нее

ариф

мет

ичес

кое

Положительная или правосторонняя




Обратите внимание! Среднее арифметическое более других

статистик “убегает” под влиянием асимметрии. Именно

поэтому, в случае отклонения закона распределения

переменной от нормального, чаще используют медиану.

Из всех статистик

среднее арифметическое

также наиболее

подвержено влиянию

выбросов. Чтобы его

снизить, применяют

схожую статистику –

“усредненное значение”.

9

Асимметрия и

выбросы больше всего

“оттягивают” среднее

арифметическое

Мод

а

Мед

иана

Сред

нее

ариф

мет

ичес

кое

Положительная или правосторонняя



Усредненное значение

Усредненное значение (trimmed mean) – это среднее

арифметическое значение, рассчитанное после исключения

крайних значений наблюдаемой величины.

Традиционно усредненное значение рассчитывается

исключением 5% наименьших и 5% наибольших значений.

Усредненное значение менее подвержено влиянию выбросов,

потому более объективно отображает среднее значение

наблюдаемой величины.

Значительное различие значений среднего арифметического и

усредненного значения может свидетельствовать о

присутствии выбросов в наблюдаемой выборке.

10


Процентиль

Процентиль – это значение, ниже которого расположен

заданный процент наблюдений переменной.

К примеру, 35-й процентиль – это значение, ниже которого

расположено 35% наблюдений, а 95-й – ниже которого

расположено 95% всех наблюдений.

Чаще всего в статистике используют:

25-процентиль



11


Квартили

Квартили – показатели соответствующие 25, 50 и 75

процентилям.

Нижний (первый) квартиль, 25 процентиль или квантиль 0.25

– это такое значение, ниже которого попадают 25%

наблюдаемых данных. Обозначается Q1.

Второй квартиль (Q2) – это медиана.

Верхний (третий) квартиль, 75 процентиль или квантиль 0.75

– это такое значение, ниже которого попадают 75%

наблюдаемых данных. Обозначается Q3.

12


Квартили

13

Q1

Q3

Q2

Ниже этой линии

находится 75%

всех значений

Ниже этой линии

находится 25%

всех значений

медиана

25%

25%

25%

25%


Размах

Две группы наблюдений могут значительно отличатся

распределением данных даже при одинаковых средних

значениях. Поэтому при сравнении выборок, кроме среднего

значения, необходимо учитывать диапазон распределения

данных.

Размах значений, диапазон разброса данных или просто

разброс – это разница между максимальным и минимальным

значениями наблюдаемой величины:

R = xmax – xmin

Размах числового ряда 2,4,5,7,3 равен:

R = 7 – 2 = 5

14


Интерквартильный размах

Ввиду того, что для расчёта размаха принимаются всего 2

наблюдения – максимальное и минимальное, – эта статистика

очень подвержена влиянию выбросов.

Чтобы снизить влияние выбросов, часто используют

интерквартильный размах (IQR или InterQuartile Range).

Интерквартильный размах

рассчитывают по формуле:

IQR = Q3– Q1

где Q1 и Q3 – это первый и

третий квартили

соответственно.

15

Размах

Range

размах

Интерквартильный

Interquartile Range


Дисперсия

Дисперсия (среднеквадратическая ошибка) – показатель

отклонения случайной величины от целевого значения.

Рассчитывается:

Дисперсия является базовым инструментом для

статистической оценки вариации распределения. Дисперсия

равна нулю, если все значения распределения идентичны.

Дисперсия не может быть отрицательной величиной.

Дисперсия числового ряда 2,4,5,7,3 равна:

16

75.14

7

15

)2.43()2.47()2.45()2.44()2.42( 222222

1

)(2

2

n

xxi


Стандартное отклонение

Стандартное (среднеквадратическое) отклонение показывает

средний разброс данных относительно своего среднего

значения.

Рассчитывается:

Стандартное отклонение – наиболее часто используемый

показатель вариабельности данных. Стандартное отклонение

указывает предполагаемое расстояние от среднего значения до

случайного наблюдения.

Стандартное отклонение числового ряда 2,4,5,7,3 равно:

17

1

)( 2

2

n

xxi

323.175.1


Доверительный интервал

Доверительный интервал – это пределы, в которых находится

статистическая величина с заданной вероятностью.

Доверительный интервал для среднего значения выборки

задает область, в которой с заданной точностью находится

истинное значение генеральной совокупности. Его можно

рассчитать по формуле:

где Z – сигма значение, соответствующее доверительному

уровню (см. Z-таблицу).

18

nZx

http://sixsigmaonline.ru/load/37-1-0-36





Среднее арифметическое числового ряда из 180 наблюдений

равно 26. Стандартное отклонение – 3.

Чтобы рассчитать доверительный интервал для среднего

арифметического с вероятностью 0,95 или 95%:

1. По таблице находим значение Z-значение

Для этого нам понадобится найти ячейку, которой соответствует 2,5%

риска (0,025) – половина заданного риска (1 – 0,95):

19

Z 0,00 … 0,05 0,06

0,0 0,50000 0,48006 0,47608

… … … … …

1,8 0,03593 … 0,03216 0,03144

1,9 0,02872 … 0,02559 0,02500

2,0 0,02275 … 0,02018 0,01970

Z-TableZ = 1,96




2. Рассчитываем доверительный интервал

С вероятностью 95% среднее арифметическое значение

находится в пределах от 25,562 до 26,438 или:

Примите к сведению! Доверительные интервалы для выборок с

небольшим количеством наблюдений, а также доверительные

интервалы для дисперсий и пропорций рассчитываются по

иным формулам.

20

438.026180

396.126

nZx

95.0)438.26562.25( xP


Как упростить расчёты?

Расчет описательных статистик в MS Excel 2007

1. Установка надстройки «Пакет анализа»:

Щелкните значок «Кнопка Microsoft Office» , а затем щелкните

Параметры Excel.

Перейдите на вкладку Надстройки, а затем в поле Управление выберите

Надстройки Excel.

Нажмите кнопку Перейти.

В поле Доступные надстройки установите флажок Пакет анализа, а затем

нажмите кнопку ОК.

2. Расчет описательных статистик:

На вкладке «Данные» в группе «Анализ» выберите «Анализ данных».

В появившемся списке выберите «Описательная статистика».

Задайте диапазон данных и отметьте пункт «Итоговая статистика».

21



В пакете “101 инструмент вашего проекта шести сигм”

Выберите файл “30_Descriptive Stats.xls”.

Вставьте столбец с наблюдениями в первую колонку,

начиная с ячейки A2.

Расчет описательных статистик выполнится

автоматически.

22

http://sixsigmaonline.ru/index/0-10



Расчет описательных статистик в Minitab 16

В меню «Stat» выберите список «Basic Statistic».

В открывшемся списке выберите команду «Display

Descriptive Statistics».

В поле «Variables» открывшегося окна задайте диапазон

значений.

Нажав кнопку «Statistics», вы увидите список описательных

статистик; отметьте галочкой те из них, которые следует

отобразить.

23

Посмотреть видеоурок>>>







Расчет описательных статистик в SPSS Statistics 17

В меню «Analyze» выберите список «Descriptive Statistics».

В открывшемся списке выберите команду «Descriptives».

В открывшемся окне укажите исследуемый диапазон (поле

«Variable(s)»).

Нажав кнопку «Options», вы увидите список доступных

статистических показателей.

24



Расчет описательных статистик в Statistica 8

В меню «Statistics» выберите команду «Basic

Statistics/Tables».

В открывшемся списке выберите пункт «Descriptive

statistics».

Во вкладке «Advanced» отметьте необходимые

статистические показатели и нажмите кнопку «Summary».

25

Обязательно посетите

SixSigmaOnline.ru

http://sixsigmaonline.ru/

Описательная статистика

Education

Transcript of Описательная статистика