Поиск частых множеств признаков (товаров) и ассоциативные правила
Теоремы о пересечениях множеств: теоремы...
-
Upload
alex-dainiak -
Category
Education
-
view
145 -
download
4
description
Transcript of Теоремы о пересечениях множеств: теоремы...
![Page 2: Теоремы о пересечениях множеств: теоремы Эрдёша—Ко—Радо, Альсведе—Хачатряна, Фишера, Ловаса](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061212/5494afa5b47959f3478b4602/html5/thumbnails/2.jpg)
-пересекающиеся гиперграфы
Гиперграф — набор непустых подмножеств конечного множества.
Гиперграф -однородный, если мощность каждого ребра равна .
Гиперграф -пересекающийся, если каждые два ребра имеют не менее общих вершин.
![Page 3: Теоремы о пересечениях множеств: теоремы Эрдёша—Ко—Радо, Альсведе—Хачатряна, Фишера, Ловаса](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061212/5494afa5b47959f3478b4602/html5/thumbnails/3.jpg)
Дегустационный пример
Пусть нужно сравнить сортов сыра.
Есть экспертов.
Чтобы эксперты не съели все запасы сыра, каждый сорт сыра дегустируют не все, а лишь группа из человек.
— Как сделать так, чтобы для каждой пары сортов сыра было не меньше экспертов, которые пробовали оба этих сорта?
— Построить -однородный -пересекающийся гиперграф на вершинах с рёбрами!
![Page 4: Теоремы о пересечениях множеств: теоремы Эрдёша—Ко—Радо, Альсведе—Хачатряна, Фишера, Ловаса](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061212/5494afa5b47959f3478b4602/html5/thumbnails/4.jpg)
-пересекающиеся гиперграфы
-пересекающиеся гиперграфы — это те, в которых любая пара рёбер пересекается.Вопрос: сколько может быть рёбер в -однородном пересекающемся ‑гиперграфе на вершинах?• Если , то могут быть все рёбер.• Если , то, по крайней мере, есть конструкция с рёбрами.• То, что при больше рёбер взять не получится
— это теорема Э.—К.—Р.
![Page 5: Теоремы о пересечениях множеств: теоремы Эрдёша—Ко—Радо, Альсведе—Хачатряна, Фишера, Ловаса](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061212/5494afa5b47959f3478b4602/html5/thumbnails/5.jpg)
Доказательство теоремы Эрдёша—Ко—РадоТеорема.
При число рёбер в -однородном пересекающемся гиперграфе на ‑ вершинах не превосходит .
Доказательство:
Будем считать, что множество вершин .
Пусть — множество рёбер -однородного -перескающегося гиперграфа.
Требуется доказать, что .
![Page 6: Теоремы о пересечениях множеств: теоремы Эрдёша—Ко—Радо, Альсведе—Хачатряна, Фишера, Ловаса](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061212/5494afa5b47959f3478b4602/html5/thumbnails/6.jpg)
Доказательство теоремы Эрдёша—Ко—РадоРассмотрим для каждого множество
Допустим, что для некоторого .
Тогда среди остальных множеств
в могут входить только множества вида , где
ℤ𝑛𝐴𝑡
𝐴𝑢
Примечание. Здесь и далее суммирование по модулю .
![Page 7: Теоремы о пересечениях множеств: теоремы Эрдёша—Ко—Радо, Альсведе—Хачатряна, Фишера, Ловаса](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061212/5494afa5b47959f3478b4602/html5/thumbnails/7.jpg)
Доказательство теоремы Эрдёша—Ко—РадоРассмотрим для каждого множество
Если какое-то , то вместе с ним в могут входить только такие множества , у которых
Такие множества разбиваются на пары
Из каждой такой пары в входит не более одного множества.
Значит, в не более таких .
![Page 8: Теоремы о пересечениях множеств: теоремы Эрдёша—Ко—Радо, Альсведе—Хачатряна, Фишера, Ловаса](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061212/5494afa5b47959f3478b4602/html5/thumbnails/8.jpg)
Доказательство теоремы Эрдёша—Ко—РадоИтог предыдущих рассуждений мы вывели: всего в могут входить не более чем множеств вида
Эти соображения можно немного обобщить:
Пусть — фиксированная перестановка на .
Тогда из множеств вида
в может входить тоже не более штук.
![Page 9: Теоремы о пересечениях множеств: теоремы Эрдёша—Ко—Радо, Альсведе—Хачатряна, Фишера, Ловаса](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061212/5494afa5b47959f3478b4602/html5/thumbnails/9.jpg)
Доказательство теоремы Эрдёша—Ко—РадоРассмотрим перестановку на и элемент .Рассмотрим множество
Пусть — любое фиксированное множество.
При фиксированном количество , таких, что , равно
![Page 10: Теоремы о пересечениях множеств: теоремы Эрдёша—Ко—Радо, Альсведе—Хачатряна, Фишера, Ловаса](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061212/5494afa5b47959f3478b4602/html5/thumbnails/10.jpg)
Доказательство теоремы Эрдёша—Ко—Радо
Двумя способами посчитаем сумму
С одной стороны,
С другой стороны,
![Page 11: Теоремы о пересечениях множеств: теоремы Эрдёша—Ко—Радо, Альсведе—Хачатряна, Фишера, Ловаса](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061212/5494afa5b47959f3478b4602/html5/thumbnails/11.jpg)
Доказательство теоремы Эрдёша—Ко—РадоИтак,
Отсюда
![Page 12: Теоремы о пересечениях множеств: теоремы Эрдёша—Ко—Радо, Альсведе—Хачатряна, Фишера, Ловаса](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061212/5494afa5b47959f3478b4602/html5/thumbnails/12.jpg)
Теорема Альсведе—Хачатряна
Сколько (максимум) рёбер может быть в пересекающемся ‑однородном гиперграфе?‑
Пусть гиперграф на множестве .
«Очевидный претендент» на оптимальность:
— оказывается не всегда самым лучшим.
Возьмём и рассмотрим семейство
По принципу Дирихле, для любых имеем .
![Page 13: Теоремы о пересечениях множеств: теоремы Эрдёша—Ко—Радо, Альсведе—Хачатряна, Фишера, Ловаса](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061212/5494afa5b47959f3478b4602/html5/thumbnails/13.jpg)
Теорема Альсведе—Хачатряна
Теорема. (Р. Альсведе, Л. Хачатрян ’1997)
Пусть таковы, что и .
Тогда число рёбер в любом пересекающемся однородном ‑ ‑гиперграфе не превосходит , где
Кроме того, любая оптимальная совокупность изоморфна (то есть существует изоморфизм гиперграфов, переводящий эту совокупность в ).
![Page 14: Теоремы о пересечениях множеств: теоремы Эрдёша—Ко—Радо, Альсведе—Хачатряна, Фишера, Ловаса](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061212/5494afa5b47959f3478b4602/html5/thumbnails/14.jpg)
Неравенство Фишера
Теорема. (Р.А. Фишер ’1940)Пусть для некоторого в -вершинном (необязательно однородном) гиперграфе любая пара рёбер имеет ровно общих вершин.
Тогда
![Page 15: Теоремы о пересечениях множеств: теоремы Эрдёша—Ко—Радо, Альсведе—Хачатряна, Фишера, Ловаса](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061212/5494afa5b47959f3478b4602/html5/thumbnails/15.jpg)
Доказательство неравенства Фишера: тривиальные случаиСлучай очевиден, так что далее предполагаем, что .
Сначала рассмотрим вырожденный случай, когда в гиперграфе есть ребро мощности .
Пусть — все рёбра гиперграфа.
Пусть для некоторого , тогда
и при .
Из этого сразу следует, что
![Page 16: Теоремы о пересечениях множеств: теоремы Эрдёша—Ко—Радо, Альсведе—Хачатряна, Фишера, Ловаса](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061212/5494afa5b47959f3478b4602/html5/thumbnails/16.jpg)
Продолжение д-ва неравенства Фишера:идея линейно-алгебраического метода
• Пусть нам надо доказать, что некое множество объектов «невелико».
• Сопоставляем каждому элемент какого-то линейного пространства .
• Доказываем, что линейно независимы (используя информацию об объектах ).
• Выводим отсюда оценку
Нетривиальная задача: придумать, что такое и как задать .
![Page 17: Теоремы о пересечениях множеств: теоремы Эрдёша—Ко—Радо, Альсведе—Хачатряна, Фишера, Ловаса](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061212/5494afa5b47959f3478b4602/html5/thumbnails/17.jpg)
Продолжение д-ва неравенства Фишера;применение линейно-алгебраического метода
Теперь рассмотрим случай для всех .
Гиперрёбрам можно однозначно сопоставить их характеристические векторы из :
По условию, для любых выполнено
Достаточно доказать, что векторы линейно независимы.
Допустим противное: пусть такие, что и не все равны нулю.
![Page 18: Теоремы о пересечениях множеств: теоремы Эрдёша—Ко—Радо, Альсведе—Хачатряна, Фишера, Ловаса](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061212/5494afa5b47959f3478b4602/html5/thumbnails/18.jpg)
Завершение д-ва неравенства Фишера
Пусть вектор отвечает множеству .
Имеем
—противоречие.
![Page 19: Теоремы о пересечениях множеств: теоремы Эрдёша—Ко—Радо, Альсведе—Хачатряна, Фишера, Ловаса](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061212/5494afa5b47959f3478b4602/html5/thumbnails/19.jpg)
Гипотеза Кнезера / теорема ЛовасаВ какое минимальное число цветов можно раскрасить все подмножества множества, так, чтобы любая пара одноцветных ‑ ‑
подмножеств пересекалась?• Если , то и одного цвета хватит — принцип Дирихле.• Если , то достаточно цветов.
![Page 20: Теоремы о пересечениях множеств: теоремы Эрдёша—Ко—Радо, Альсведе—Хачатряна, Фишера, Ловаса](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061212/5494afa5b47959f3478b4602/html5/thumbnails/20.jpg)
Гипотеза Кнезера / теорема ЛовасаПусть наше множество .
Если , то достаточно цветов:
• Покрасим цветом «» все -подмножества, содержащие .
• Покрасим цветом «» все ещё не покрашенные подмножества, содержащие ‑ .
• Покрасим цветом «» все ещё не покрашенные подмножества, содержащие ‑ .
• …
• Покрасим в цвет все ещё не покрашенные подмножества, содержащие ‑ .
• Покрасим в цвет все до сих пор не покрашенные -подмножества.
![Page 21: Теоремы о пересечениях множеств: теоремы Эрдёша—Ко—Радо, Альсведе—Хачатряна, Фишера, Ловаса](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061212/5494afa5b47959f3478b4602/html5/thumbnails/21.jpg)
Гипотеза Кнезера / теорема ЛовасаОказывается, по числу цветов рассмотренная выше конструкция оптимальна:
Теорема. (Ловас’1978 / гипотеза: Кнезер’1955)
Пусть . Тогда если все -подмножества -множества раскрасить не более чем цветами, то найдётся пара непересекающихся подмножеств одного цвета.
![Page 22: Теоремы о пересечениях множеств: теоремы Эрдёша—Ко—Радо, Альсведе—Хачатряна, Фишера, Ловаса](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061212/5494afa5b47959f3478b4602/html5/thumbnails/22.jpg)
Гипотеза Кнезера / теорема ЛовасаТеорема Борсука—Улама. (Без док-ва.)
Пусть сфера в -мерном пространстве покрыта множествами, каждое из которых открыто либо замкнуто.
Тогда хотя бы одно из этих множеств содержит пару диаметрально противоположных точек сферы.
![Page 23: Теоремы о пересечениях множеств: теоремы Эрдёша—Ко—Радо, Альсведе—Хачатряна, Фишера, Ловаса](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061212/5494afa5b47959f3478b4602/html5/thumbnails/23.jpg)
Доказательство гипотезы Кнезера(по версии Дж. Е. Грина)Пусть и пусть все -подмножества в раскрашены в цветов.
Покажем, что найдётся пара непересекающихся одноцветных подмножеств.
Положим .
Будем считать, что — точки на сфере в , и что никакие точек не лежат в одной гиперплоскости, проходящей через центр сферы (назовём это условием общего положения).
![Page 24: Теоремы о пересечениях множеств: теоремы Эрдёша—Ко—Радо, Альсведе—Хачатряна, Фишера, Ловаса](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061212/5494afa5b47959f3478b4602/html5/thumbnails/24.jpg)
Доказательство гипотезы Кнезера, и — точки на сфере в , никакие точек не лежат в одной гиперплоскости, проходящей через центр сферы.
Покроем сферу множествами . Для каждого пусть• — это все такие точки сферы , что открытая полусфера
с эпицентром в содержит хотя бы одно подмножество покрашенное в цвет .
Во множество включим все точки, не попавшие ни в одно из предыдущих .
![Page 25: Теоремы о пересечениях множеств: теоремы Эрдёша—Ко—Радо, Альсведе—Хачатряна, Фишера, Ловаса](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061212/5494afa5b47959f3478b4602/html5/thumbnails/25.jpg)
Доказательство гипотезы КнезераМожно проверить, что множества открытые, а замкнутое.
По теореме Борсука—Улама, одно из множеств содержит д.п. точки сферы.
Пусть в есть д.п. точки и .
Каждая из полусфер с эпицентрами в и содержит не больше точек из .
Тогда вне этих полусфер попадает не меньше
точек — противоречие с условием общего положения.
![Page 26: Теоремы о пересечениях множеств: теоремы Эрдёша—Ко—Радо, Альсведе—Хачатряна, Фишера, Ловаса](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061212/5494afa5b47959f3478b4602/html5/thumbnails/26.jpg)
Доказательство гипотезы КнезераХотя бы одно из множеств содержит диаметрально противоположные точки сферы.Мы проверили, что это точно не множество .
Значит, для некоторого во множестве есть д.п. точки и .
Каждая из полусфер с эпицентрами в и содержит хотя бы по одному подмножеству вида цвета .
Осталось заметить, что эти подмножества не могут пересекаться (т.к. сами полусферы не пересекаются).
![Page 27: Теоремы о пересечениях множеств: теоремы Эрдёша—Ко—Радо, Альсведе—Хачатряна, Фишера, Ловаса](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061212/5494afa5b47959f3478b4602/html5/thumbnails/27.jpg)