Линейные рекуррентные соотношения
-
Upload
alex-dainiak -
Category
Education
-
view
158 -
download
3
description
Transcript of Линейные рекуррентные соотношения
Рекуррентные соотношения: напоминание• Основное рекуррентное соотношение:
( {𝑎1,…,𝑎𝑛+1 }𝑘+1 )
-сочетания, содержащие
-сочетания, не содержащие
( {𝑎1,…,𝑎𝑛}𝑘 ) ( {𝑎1,…,𝑎𝑛}
𝑘+1 )Мето
д выделенного элемента
Линейные рекуррентные соотношенияЗадача Леонардо Фибоначчи:• Зрелая пара кроликов даёт потомство каждый месяц — по новой
паре кроликов• Пара новорождённых кроликов через месяц созревает и может
давать потомство• Вопрос: если человек купил одну пару зрелых кроликов,
то сколько их у него будет через год?
Линейные рекуррентные соотношенияФормализация задачи:
• Пусть — количество пар через месяцев
• Пусть — количество «зрелых» пар кроликов, — количество новорождённых пар
• Все зрелые пары каждый месяц дают потомство, значит в -й месяц родятся новых пар. То есть .
• Кролики, бывшие новорождёнными в -й месяц, в -й месяц уже созреют. То есть .
• Аналогично, и .
Линейные рекуррентные соотношенияМы обосновали соотношения:• и .• и .
• Получаем
Линейные рекуррентные соотношенияТеперь всё просто:
1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233
Последовательность Фибоначчи определяется рекуррентным соотношением и начальными условиями и .
Линейные рекуррентные соотношенияПоследовательность чисел удовлетворяет линейному рекуррентному соотношению -го порядка с постоянными коэффициентами, если для всех выполнено
Для определения последовательности нужно задать её первых членов.
Линейные рекуррентные соотношенияСоотношение
можно переписать в виде
Общий вид рекуррентных соотношений:
Свойства рекуррентных соотношенийОбщий вид рекуррентных соотношений:
Если последовательности и удовлетворяют р.с., то и последовательность тоже ему удовлетворяет:
Решение рекуррентных соотношений
Наши задачи на ближайшее время:• Научиться находить явный вид по рекуррентному соотношению• Определять порядок роста последовательностей, заданных
рекуррентными соотношениями
Решение рекуррентных соотношенийПо соотношению
строится его характеристический многочлен
Решение рекуррентных соотношенийПусть — любой корень характеристического многочлена, то есть выполнено равенство
Рассмотрим последовательность .Имеем
Решение рекуррентных соотношенийЕсли — корни характеристического многочлена, то любая последовательность вида
будет удовлетворять р.с.
Решение рекуррентных соотношенийЕсли — различные корни характеристического многочлена, то последовательность
является общим решением р.с., то есть любое конкретное решение р.с. будет иметь такой вид.
Решение рекуррентных соотношенийКак находить конкретное решение р.с.:• Ищем корни характеристического многочлена• Если все корни различны, мы знаем общее решение:
• Осталось определить из начальных условий:
Лемма Вандермонда
Утверждение.Система
имеет решение при любых различных ненулевых числах и любых числах .Доказательство: достаточно показать, что матрица этой системы невырождена.
Лемма Вандермонда
Имеет место формула Вандермонда:
Из неё следует, что матрица невырождена при .
Доказательство индукцией по . База: . Очевидно: .
Лемма Вандермонда
Индуктивный переход:
Решение рекуррентных соотношенийДопустим теперь, что у х. м. есть кратные корни:• корень кратности ,• …• корень кратности
Тогда общее решение р.с. имеет вид:
Где — многочлен степени , то есть
(доказывать не будем)
Пример
Последовательность задаётся соотношением
и начальными условиями
Записываем р.с. в стандартном виде:
характеристический многочлен:
Пример
, то есть• корень кратности • корень кратности
Отсюда общий вид решения р.с.:
Находим неизвестные из условий:
Пример
Решаем систему линейных уравнений
и находим , , . В итоге
Асимптотика определяется наибольшим по модулю корнем характеристического многочлена:
Последовательности с запретами
• Запрещение фиксированных подслов.Например, последовательности без пары идущих подряд нулей:
• Запрещение подслов специального вида.Например, последовательности без подслов вида :
Последовательности с запретами
• Найдём количество двоичных последовательностей длины с запретом на подслово — искомое количество
последовательности, оканчивающиеся на
последовательности, оканчивающиеся на
𝑎𝑛−1 𝑎𝑛− 2
Последовательности с запретами
• Найдём количество двоичных последовательностей длины с запретом на подслово — искомое количество
последовательности, оканчивающиеся на
последовательности, оканчивающиеся на
𝑎𝑛−1 𝑎𝑛− 3
последовательности, оканчивающиеся на
𝑎𝑛− 2
Последовательности с запретами
• А если запретить подслово ?
последовательности, оканчивающиеся на
последовательности, оканчивающиеся на
𝑎𝑛−1???
Последовательности с запретами
• — последовательности длины без • — последовательности длины без , не оканчивающиеся на
• Мы выяснили, что
Последовательности с запретами
Последовательности длины без , не оканчивающиеся на , могут быть…• вида — таких штук• вида — таких штук
• Получаем:
Последовательности с запретами
• Итого:
• Замкнутый круг? Нет!Из второго соотношения: .Из первого соотношения:.Следовательно,
Последовательности с запретами
Получили соотношение
Из него можно найти асимптотику:
Рекуррентные оценки
• Пусть — время работы алгоритма на входных данных размера • Часто на время работы алгоритма можно получить рекуррентную
оценку вида
• Как отсюда получить явную оценку без в правой части?
Пример: сортировка слиянием
Сколько операций сравнения требуется, чтобы отсортировать массив чисел ?
Построим рекурсивную процедуру :
• и ещё операций сравнения для слияния половинок
В итоге
Рекуррентные оценки
Основная теорема. Если не убывает на каждом отрезке , и выполнено
то• , если • , если • , если
Рекуррентные оценки
Предположим, что и раз применимнеравенство
Получаем:
Продолжение доказательства
Итак,
Положив , получаем
Отсюда
Продолжение доказательства
• Если то
• Если то
• Если то
Завершение доказательства
Пусть теперь
Для примера разберём случай .
Имеем
Остальные случаи рассматриваются аналогично.
Пример: сортировка слиянием
Для времени работы алгоритма сортировки слиянием
Если
то• , если • , если • , если