Θέμα:Θέμα: «Η ανακάλυψη της «Η ανακάλυψη της Αρρητότητας»Αρρητότητας»

1ο Γενικό Λύκειο ΜεσσήνηςΕρευνητική Εργασία Α΄ Λυκείου

Ομάδα 1

Ευκλείδειος Αλγόριθμος Ευκλείδειος Αλγόριθμος Στα Στοιχεία του Ευκλείδη το Βιβλίο VII αρχίζει με τον Στα Στοιχεία του Ευκλείδη το Βιβλίο VII αρχίζει με τον

αλγόριθμο του Ευκλείδηαλγόριθμο του Ευκλείδη, με τον οποίο βρίσκουμε το μέγιστο , με τον οποίο βρίσκουμε το μέγιστο κοινό διαιρέτη (ΜΚΔ) δύο αριθμών. Είναι ένας από τους κοινό διαιρέτη (ΜΚΔ) δύο αριθμών. Είναι ένας από τους παλαιότερους αλγορίθμους με μεγάλη σπουδαιότητα, καθώς παλαιότερους αλγορίθμους με μεγάλη σπουδαιότητα, καθώς για την εύρεση του MΚΔ δεν απαιτείται παραγοντοποίηση των για την εύρεση του MΚΔ δεν απαιτείται παραγοντοποίηση των ακεραίων.ακεραίων.

Ο αλγόριθμος του Ευκλείδη για δύο φυσικούς α και Ο αλγόριθμος του Ευκλείδη για δύο φυσικούς α και β, , βρίσκει το β, , βρίσκει το «μέγιστο κοινό μέτρο τους» «μέγιστο κοινό μέτρο τους» Δηλαδή, με Δηλαδή, με άλλα λόγια, βρίσκει έναν αριθμό, άλλα λόγια, βρίσκει έναν αριθμό, που χωράει που χωράει ακέραιες φορές στον α και ακέραιες φορές στον β. ακέραιες φορές στον α και ακέραιες φορές στον β.

Τέτοιος φυσικός, πάντα υπάρχει . Για παράδειγμα,Τέτοιος φυσικός, πάντα υπάρχει . Για παράδειγμα, το 1 είναι το 1 είναι κοινό μέτρο πάντων των φυσικώνκοινό μέτρο πάντων των φυσικών, αφού χωρά ακέραιες φορές , αφού χωρά ακέραιες φορές σε όλους . Απλώς, ο Ευκλείδειος αλγόριθμος, σε όλους . Απλώς, ο Ευκλείδειος αλγόριθμος, βρίσκει τον πιο βρίσκει τον πιο μεγάλο που υπάρχει. (τον ΜΚΔ) μεγάλο που υπάρχει. (τον ΜΚΔ)

Ανθυφαίρεση (Γενίκευση του Ανθυφαίρεση (Γενίκευση του Ευκλειδείου Αλγορίθμου σε όλα τα Ευκλειδείου Αλγορίθμου σε όλα τα

μεγέθη) μεγέθη) Η ανθυφαίρεση Η ανθυφαίρεση είναι ο γενικευμένος αλγόριθμος είναι ο γενικευμένος αλγόριθμος

εύρεσης του εύρεσης του μέγιστου κοινού μέτρου δύο μεγεθών μέγιστου κοινού μέτρου δύο μεγεθών , , αν αν υπάρχει υπάρχει (φυσικών αριθμών, ευθυγράμμων τμημάτων, (φυσικών αριθμών, ευθυγράμμων τμημάτων, εμβαδών) Ως μέθοδος, ήταν γνωστή στους πυθαγορείους εμβαδών) Ως μέθοδος, ήταν γνωστή στους πυθαγορείους πολύ πριν τον Ευκλείδη. πολύ πριν τον Ευκλείδη.

Για τον Πλάτωνα η έννοια της ανθυφαίρεσης είναι Για τον Πλάτωνα η έννοια της ανθυφαίρεσης είναι θεμελιώδης. Η κοσμοθεωρία του είναι ανθυφαιρετική και θεμελιώδης. Η κοσμοθεωρία του είναι ανθυφαιρετική και πιστεύει ότι καθετί στη φύση δημιουργείται και εξελίσσεται πιστεύει ότι καθετί στη φύση δημιουργείται και εξελίσσεται με ανθυφαιρετικές διαδικασίες. Η ζωή, ο θάνατος, η με ανθυφαιρετικές διαδικασίες. Η ζωή, ο θάνατος, η κοσμογονία, οι φιλοσοφικές ιδέες και έννοιες, όλα κοσμογονία, οι φιλοσοφικές ιδέες και έννοιες, όλα διαρθρώνονται με βάση την ανθυφαίρεση. διαρθρώνονται με βάση την ανθυφαίρεση.

Να δούμε απλά αυτή την «ανθυφαίρεση»Να δούμε απλά αυτή την «ανθυφαίρεση» Θέλω να κάνω την ανθυφαίρεση μεταξύ Θέλω να κάνω την ανθυφαίρεση μεταξύ 120 και 256120 και 256 Βήμα πρώτο: βγάζω όλα τα Βήμα πρώτο: βγάζω όλα τα 120-άρια120-άρια του του 256256 (είναι δύο) και (είναι δύο) και

περισσεύει το περισσεύει το 1616 Βήμα δεύτερο: Βγάζω όλα τα Βήμα δεύτερο: Βγάζω όλα τα 16-άρια16-άρια από το από το 120120 (είναι επτά) και (είναι επτά) και

περισσεύει το περισσεύει το 88 Βήμα τρίτο : Βγάζω όλα τα Βήμα τρίτο : Βγάζω όλα τα 8-άρια8-άρια από το από το 16 16 (είναι δύο) (είναι δύο) και δεν και δεν

περισσεύει τίποτα.περισσεύει τίποτα. Όταν δεν περισσεύει τίποτα, σταματάμε, λέμε Όταν δεν περισσεύει τίποτα, σταματάμε, λέμε «το 8 κοινό μέτρο «το 8 κοινό μέτρο

των 256 και 120» των 256 και 120» (το μεγαλύτερο που υπάρχει) βαπτίζουμε και την (το μεγαλύτερο που υπάρχει) βαπτίζουμε και την διαδικασία διαδικασία «περατούμενη –πεπερασμένη»«περατούμενη –πεπερασμένη» και την σχέση μεταξύ και την σχέση μεταξύ 256 και 120 256 και 120 «ρητή σχέση» «ρητή σχέση»

Μεταξύ φυσικών, αυτή η διαδικασία περατούται πάντα, αφού το 1 Μεταξύ φυσικών, αυτή η διαδικασία περατούται πάντα, αφού το 1 είναι κοινό μέτρο πάντων των φυσικών αριθμών.είναι κοινό μέτρο πάντων των φυσικών αριθμών.

Το πρόβλημα φαίνεται να υπάρχει όταν αυτή η διαδικασία για Το πρόβλημα φαίνεται να υπάρχει όταν αυτή η διαδικασία για

κάποια μεγέθη δεν τελειώνει . κάποια μεγέθη δεν τελειώνει . Έχει άπειρα βήματα! Έχει άπειρα βήματα!

256 120 256= 256 120 256= 22*120+16*120+16

16 120 120= 16 120 120= 77*16+8*16+8

16 8 16= 16 8 16= 22**88 +0 +0

0 0 88 ΜΚΔ (256, 120)=ΜΚΔ (256, 120)=88 Ανθυφαίρεση (256,120)=[Ανθυφαίρεση (256,120)=[2,72,7,,22] ] Ακόμα ισχύει: Ακόμα ισχύει:

Εφαρμόζουμε (για../εμπέδωση) Ευκλείδειο Αλγόριθμο (η «ανθυφαίρεση» είναι) στο 256 και 120

2256 1

12

120 7

Σχέση Ανθυφαίρεσης και Σχέση Ανθυφαίρεσης και ρητότητας- αρρητότηταςρητότητας- αρρητότητας

Περατούμενη ανθυφαίρεση δύο μεγεθών Περατούμενη ανθυφαίρεση δύο μεγεθών =ρητή σχέση=ρητή σχέση

Άπειρη ανθυφαίρεση =άρρητη σχέση.Άπειρη ανθυφαίρεση =άρρητη σχέση. Ανθ( ,1)=[1,2,2,2,2,2,2,2,2…….] Ανθ( ,1)=[1,2,2,2,2,2,2,2,2…….]

(άπειρη) (άπειρη)

Δηλ. ο ρίζα 2 σε σχέση με την μονάδα έχει Δηλ. ο ρίζα 2 σε σχέση με την μονάδα έχει άρρητη σχέσηάρρητη σχέση

Ανθυφαίρεση (256,120)=[Ανθυφαίρεση (256,120)=[2,7,22,7,2] Δηλ. το 256 ] Δηλ. το 256 σε σχέση με το 120 έχει ρητή σχέση ή σε σχέση με το 120 έχει ρητή σχέση ή 256/120 ρητός αριθμός 256/120 ρητός αριθμός

2

Ρητοί είναι όλοι όσοι μπορούν να γραφούν ως Ρητοί είναι όλοι όσοι μπορούν να γραφούν ως ίσο(ισοδύναμο) κλάσμα με ακέραιους όρουςίσο(ισοδύναμο) κλάσμα με ακέραιους όρους

λ.χ. 5=λ.χ. 5=5/15/1 ΡητόςΡητός

27 =27 =27/127/1 Ρητός Ρητός

2,67=2,67=267/100267/100 Ρητός Ρητός

0,3333333333………..=0,3333333333………..=1/31/3 Ρητός (παρ΄ ότι Ρητός (παρ΄ ότι έχει άπειρα δεκαδικά ψηφία είναι ρητός)έχει άπειρα δεκαδικά ψηφία είναι ρητός)

0,999999999999……..=1=0,999999999999……..=1=1/1 1/1 ΡητόςΡητός

(μοιάζει να είναι περίπου 1 αλλά είναι ακριβώς 1!)(μοιάζει να είναι περίπου 1 αλλά είναι ακριβώς 1!)

Δηλ. ρητοί, είναι όλοι οι ακέραιοι, και οι δεκαδικοί, είτε Δηλ. ρητοί, είναι όλοι οι ακέραιοι, και οι δεκαδικοί, είτε είναι τερματιζόμενοι, είτε όχι, αλλά με περιοδικώς είναι τερματιζόμενοι, είτε όχι, αλλά με περιοδικώς επαναλαμβανόμενα ψηφία) επαναλαμβανόμενα ψηφία)

Τι ξέρουμε σήμερα και τι έλεγαν οι Αρχαίοι ΈλληνεςΤι ξέρουμε σήμερα και τι έλεγαν οι Αρχαίοι Έλληνες

Άρρητος αριθμόςΆρρητος αριθμός Ονομάζεται ο κάθε αριθμός ο οποίος Ονομάζεται ο κάθε αριθμός ο οποίος δενδεν είναι δυνατό να είναι δυνατό να

εκφραστεί ως κλάσμα δυο ακέραιων, μη μηδενικών εκφραστεί ως κλάσμα δυο ακέραιων, μη μηδενικών αριθμών. αριθμών. Οι άρρητοι αριθμοί έχουν άπειρο αριθμό, Οι άρρητοι αριθμοί έχουν άπειρο αριθμό, μη μη επαναλαμβανόμενων περιοδικάεπαναλαμβανόμενων περιοδικά, δεκαδικών ψηφίων. , δεκαδικών ψηφίων.

Ο πιο γνωστός άρρητος είναι το π (Η περίμετρος του Ο πιο γνωστός άρρητος είναι το π (Η περίμετρος του κύκλου δια της διαμέτρου του) .κύκλου δια της διαμέτρου του) .

π= 3,14159……π= 3,14159……

Έχει Έχει άπειρα μη περιοδικά ψηφία άπειρα μη περιοδικά ψηφία . . Κανείς δεν τα ξέρει . Κανείς δεν τα ξέρει . Συνέχεια βρίσκουμε αρκετά απ΄ αυτά. Έχουμε βρει Συνέχεια βρίσκουμε αρκετά απ΄ αυτά. Έχουμε βρει πάνω από 10 δισεκατομμύρια πρώτα ψηφία του, πάνω από 10 δισεκατομμύρια πρώτα ψηφία του, αλλά τα επόμενα είναι άπειρα στο πλήθος. (Άρα δεν αλλά τα επόμενα είναι άπειρα στο πλήθος. (Άρα δεν έχουμε βρει –ουσιαστικώς και σχετικώς- τίποτα!) έχουμε βρει –ουσιαστικώς και σχετικώς- τίποτα!)

Σύμμετρα- Ασύμμετρα μεγέθηΣύμμετρα- Ασύμμετρα μεγέθη ΣύμμετραΣύμμετρα λέγονται τα μεγέθη που που μετρώνται λέγονται τα μεγέθη που που μετρώνται

από το ίδιο μέτρο ενώ από το ίδιο μέτρο ενώ α-σύμμετρα α-σύμμετρα αυτά για τα αυτά για τα οποία δεν υπάρχει κοινό μέτρο.οποία δεν υπάρχει κοινό μέτρο.

Για αριθμούς, αντί να λέμε «σύμμετρα και Για αριθμούς, αντί να λέμε «σύμμετρα και ασύμμετρα» λέμε «ρητοί και άρρητοι» ασύμμετρα» λέμε «ρητοί και άρρητοι»

(Από (Από Vikipedia:Vikipedia:Ο όρος «Ο όρος «Ασύμμετρη απειλήΑσύμμετρη απειλή» είναι σύγχρονος » είναι σύγχρονος στρατιωτικός όρος που καθιερώθηκε όρος που καθιερώθηκε κυρίως από στρατιωτικούς αναλυτές πολεμικών επιχειρήσεων μόλις στις δύο τελευταίες δεκαετίες. Ο όρος κυρίως από στρατιωτικούς αναλυτές πολεμικών επιχειρήσεων μόλις στις δύο τελευταίες δεκαετίες. Ο όρος αυτός περιέχεται στα σενάρια αυτός περιέχεται στα σενάρια νατοϊκών και εθνικών ασκήσεων καθώς και σε περιορισμένες κατά τόπους και εθνικών ασκήσεων καθώς και σε περιορισμένες κατά τόπους δραστηριότητες αμυντικής ανάπτυξης. Σήμερα λαμβάνεται σοβαρά υπόψη σε ανάπτυξη ειδικών μέτρων δραστηριότητες αμυντικής ανάπτυξης. Σήμερα λαμβάνεται σοβαρά υπόψη σε ανάπτυξη ειδικών μέτρων ασφαλείας..

Για τις Για τις ασύμμετρες απειλέςασύμμετρες απειλές ( (asymmetric threatsasymmetric threats) και τον ) και τον ασύμμετρο πόλεμοασύμμετρο πόλεμο ( (asymmetric warfareasymmetric warfare) δεν ) δεν υπάρχουν απόλυτα συμφωνημένοι ορισμοί διεθνώς και τούτο προκειμένου οιυπάρχουν απόλυτα συμφωνημένοι ορισμοί διεθνώς και τούτο προκειμένου οι σχεδιασμοί να σχεδιασμοί να προλαμβάνουνπρολαμβάνουν πιθανές δράσεις και μέτρα. Προφανώς ο Ελληνομαθής δημιουργός του νεολογισμού (για πιθανές δράσεις και μέτρα. Προφανώς ο Ελληνομαθής δημιουργός του νεολογισμού (για τους Αγγλόφωνους) ήξερε αυτό που ήξερε και ο ίπασσος: Υπάρχουν «μεγέθη» «καταστάσεις» για τα οποία τους Αγγλόφωνους) ήξερε αυτό που ήξερε και ο ίπασσος: Υπάρχουν «μεγέθη» «καταστάσεις» για τα οποία δεν έχουμε «κοινό μέτρο» «γνωστό μέτρο» και άρα δεν μπορούν να αποτιμηθούν , να μετρηθούν να δεν έχουμε «κοινό μέτρο» «γνωστό μέτρο» και άρα δεν μπορούν να αποτιμηθούν , να μετρηθούν να συγκριθούν (μετράω =συγκρίνω ένα μέγεθος με κάποιο άλλο ομοειδές) συγκριθούν (μετράω =συγκρίνω ένα μέγεθος με κάποιο άλλο ομοειδές)

ΊππασοςΊππασος Ο Ο ΊππασοςΊππασος ήταν αρχαίος Έλληνας Πυθαγόρειος  ήταν αρχαίος Έλληνας Πυθαγόρειος

φιλόσοφος, μαθηματικός και φυσικός. Κατά φιλόσοφος, μαθηματικός και φυσικός. Κατά τον Ιάμβλιχο ήταν Κροτωνιάτης, γενικά όμως τον Ιάμβλιχο ήταν Κροτωνιάτης, γενικά όμως επονομαζόταν επονομαζόταν ««Μεταπόντιος» ή Μεταπόντιος» ή ««ΜεταποντίνοςΜεταποντίνος»». . Η ακμή του τοποθετείται στα πρώτα 40 χρόνια Η ακμή του τοποθετείται στα πρώτα 40 χρόνια του 5του 5ουου αιώνα π.Χ. και θεωρείται από τους αιώνα π.Χ. και θεωρείται από τους αρχαιότερους μαθητές του Πυθαγόρα. αρχαιότερους μαθητές του Πυθαγόρα.

Πιθανόν όμως τον σκότωσαν γιατί ανεκάλυψε την Πιθανόν όμως τον σκότωσαν γιατί ανεκάλυψε την αρρητότητααρρητότητα. .

Δηλαδή, ανεκάλυψε, ότι υπάρχουν μεγέθη με Δηλαδή, ανεκάλυψε, ότι υπάρχουν μεγέθη με μη μη ρητή σχέση =με άπειρη ανθυφαίρεση ρητή σχέση =με άπειρη ανθυφαίρεση

Ο Ίππασος Ο Ίππασος μάλλονμάλλον ανεκάλυψε την ανεκάλυψε την άρρητη σχέση πλευράς και διαγωνίου άρρητη σχέση πλευράς και διαγωνίου

κανονικού πενταγώνου. δ/ακανονικού πενταγώνου. δ/α

αδ

Αυτό το σύμβολο, είναι γνωστό ως «πεντάλφα», Αυτό το σύμβολο, είναι γνωστό ως «πεντάλφα», είναι Μασονικό σύμβολο λέγεται και «άστρο του είναι Μασονικό σύμβολο λέγεται και «άστρο του

Δαυίδ» αλλά είναι Δαυίδ» αλλά είναι Ελληνικό-Πυθαγόρειο Ελληνικό-Πυθαγόρειο

Το α χωρά στο δ , 1 φορά και περισσεύει α΄ Το α χωρά στο δ , 1 φορά και περισσεύει α΄ <δ<δ

Το α΄ χωρά στο α , 1 φορά και περισσεύει α΄΄ Το α΄ χωρά στο α , 1 φορά και περισσεύει α΄΄ Το α΄΄ είναι η πλευρά του μέσα πενταγώνου Το α΄΄ είναι η πλευρά του μέσα πενταγώνου

και α΄ η διαγώνιος του μέσα πενταγώνου. και α΄ η διαγώνιος του μέσα πενταγώνου. Άρα το 1,1,1,1, επαναλαμβάνεται στο Άρα το 1,1,1,1, επαναλαμβάνεται στο διηνεκές ήτοι ανθφ(δ,α) διηνεκές ήτοι ανθφ(δ,α) =[1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1……] Δηλ. το δ και το =[1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1……] Δηλ. το δ και το α έχουν άρρητη σχέση!α έχουν άρρητη σχέση!

Ανθφ(δ,α)=[1,1,1,1,1,1,1,1,1,1……..]Ανθφ(δ,α)=[1,1,1,1,1,1,1,1,1,1……..]

Τι είναι αυτό το δ/α;Τι είναι αυτό το δ/α;

11

11

11

11

1 ....

Τι είναι αυτός ο λόγος δ/α που ανεκάλυψε ο Τι είναι αυτός ο λόγος δ/α που ανεκάλυψε ο

ΊππασοςΊππασος;;

2

1 11 1

1 11 1

1 11 1

1 11 1

1 .... 1 ....1 1

111 1

11

1 ....

1 1 51 0 1,618033988749895 ,

1 2

, .ό ό ή ή

;

2 1 0

( 1) 1 0

( 1) 1

11

11 (!!!)

11

11

11

11

11

11

11

11

11

.......................................

(!!!)

φ = 1 + 1/φΑντικαθιστώντας το φ με το ίσο του, επ΄ άπειρον, φτιάχνουμε την ανθυφαιρετική του παράσταση μέσω συνεχούς κλάσματος.

Ευχαριστούμε για την προσοχή σας!