تباديل وتوافيق

} ح س ن ة ن ز د ل ه ف يه ا ح س ن ا إ ن الل ه غ ف ور ش ك ور ي ق ت ر ف أ س أ ل ك م ع ل ي ه أ ج ر ا إ ل ا ال م و د ة ف ي ال ق ر ب ى و م ن ل ا ق ل {

{ [email protected]ت ع ق ل ون ر ا إ ن أ ج ر ي إ ال ع ل ى ال ذ ي ف ط ر ن ي أ ف ال أ ج ع ل ي ه ي ا ق و م ال أ س أ ل ك م {

جبر الصف الثالث الثانوي التباديل والتوافيق

: تعتمد كثيرا من المشاكل الرياضية على اإلجابة عن السؤال التالي كم عدد المجموعات التي يمكن تكوينها من عدد معين من األشياء؟

طالب؟ 3000 طالب يمكن تكوينها من بين 200 مثال كم عينة كل منها مكونة من

ديل والتوافيق تزودنا باإلجابة العلمية على مثل هذا السؤال، كما تساعدنا إن نظـرية التـبا . هذه النظرية على معالجة كثير من نظريات االحتمال

: وفيما يلي بعض األمثلة التي تساعدنا في اإلجابة عن السؤال المطروح سابقا

:1مثال راكب أن يسافر من أحد إذا كـان لدينا عشرة بواخر تسير بين ثغرين؛ فبكم طريقة يمكن ل

الثغرين إلى اآلخر ثم يعود في باخرة غير التي ذهب عليها؟

: طريقة التفكير يوجد أمام الراكب عشرة طرق من أجل السفرية األولى وكل واحدة من هذه الطرق يوجد أمـام الراكـب تسـع طرق للرجوع، وذلك ألن الراكب ال يعود على الباخرة التي ذهب

. عليها 9 طرق، ويمكن إجراء عملية العودة بعدد 10 كـن إجراء العملية األولى بعدد وبذلـك يم

: طرق، وعلى هذا فإن 90 = 9 × 10 عدد الطرق التي يمكن بها عمل الرحلتين معا هو

mailto:[email protected]

رياضيات تمارين و دروس و برامج ، مكتبة www.hesab.net جزيرة الرياضيات

www.hesab.net [email protected]

:2مثال ثالثـة من السياح وصلوا إلى بلدة فيها أربعة فنادق، فما عدد الطرق التي بمقتضاها يمكن

ذه الفنادق وحده؟ نزول كل سائح في أحد ه

: طريقة التفكير السـائح األول يستطيع أن يختار أحد أربعة فنادق، وعندما يختار فندقا معينا؛ فإن السائح الثاني ال يجد أمامه سوى أن يختار فندقا من بين الثالثة الباقية، والسائح الثالث يختار فندقا

. من بين فندقين باقيين 24 = 2 × 3 × 4 إجراء عملية االختيار هي وعدد الطرق التي يمكن بها

:3مثال

ونريد معرفة عدد المباريات التي a,b,c,d,e لتكـن هناك خمس فرق في كرة القدم وهي مع كل من الفرق ن يمكـن إقامـتها ويشـاهدها الجمهـور، حيث يلعب كل فريق مباراتي

. األخرى؛ المباراة األولى على ملعبه والثانية على ملعب الخصم

: الحل بحيث يكون األول هو الذي تقام على أرضه – المـباريات التـي تقـام بيـن هذه الفرق

: موضحة في الجدول التالي- المباراة a b c d e a ( a , b ) ( a , c ) ( a , d ) ( a , e ) b ( b , a ) ( b , c ) ( b , d ) ( b , e ) c ( c , a ) ( c , b ) ( c , d ) ( c , e ) d ( d , a ) ( d , b ) ( d , c ) ( d , e ) e ( e , a ) ( e , b ) ( e , c ) ( e , d )

وبحسـاب عدد المباريات الكلية التي يمكن أن يشاهدها الجمهور باختيار فريقين متباريين . مباراة 20 = 4 × 5 من خمس فرق نجدها

. غير موجودة(a,a)ذا فريق كرة قدم لن يلعب المبارة مع نفسه، لأي طبعا

http://www.hesab.net





غير المباراة (a,b) والتي عبرنا عنها بالزوج المرتب a,b المباراة التي تتم بين : مالحظة ألن المباراة األولى تتم على (b,a) والتي يعبر عنها الزوج المرتب b,a التـي تـتم بين

.b بينما الثانية تتم على ملعب a ملعب

عة من األشياء، فإن كل ترتيب يمكن عمله بأخذ بعض من هذه األشياء إذا كان لدينا مجمو

. أو جميعها يسمى تبديال

: ) مبدأ العد ( كذلك من األمثلة السابقة يمكن إعطاء القاعدة التالية والتي تعرف بـ وكان لدينا في نفس الوقت عملية أخرى يمكن m إذا أمكـن إجـراء عملية بطرق عددها

m × n ، فإن عدد الطرق التي يمكن بها إجراء العمليتين معا هو n ا إجراؤها بطرق عدده

القاعدة السابقة يمكن تطبيقها على الحالة التي يكون فيها أكثر من عمليتين وكل : ملحوظة . 2 انظر مثال . واحدة منها يمكن عملها بعدد معين من الطرق

:4مثال

بين الفرق المشتركة علما بأن عدد كـم مـباراة فـي مسابقة الدوري العام لكرة القدم تتم فريقا؟ 12 الفرق

: الحل

. مباراة 132 = 11 × 12 = عدد المباريات

لقـد عرفـنا التـبديل على أنه ترتيب يمكن تكوينه من مجموعة األشياء بأخذها كلها أو

. بعضها




نين ونرمز لذلك بـ أجرينا تبديال على عشر بواخر مأخوذة اثنين اث 1 ففـي مـثال 10

2p

. بمعنى التباديلpermutations اختصار كلمة p حيث حرف أجرينا تبديال على أربعة فنادق مأخوذة ثالثة ثالثة ونرمز لذلك بـ 2 وفي مثال

4

3p

رمز لذلك بـ أجرينا تبدال على خمس فرق مأخوذة اثنين اثنين ون 3 وفي مثال5

2p

وبوجـه عـام يسـتخدم الرمز

n

rp التي يمكن ) األوضاع المختلفة ( للداللة على التباديل

. في كل مرةr تكوينها من عدد من األشياء مأخوذة

فمـثال 5

2p نها من خمسة أشياء مأخوذة اثنين اثنين في تدل على التباديل التي يمكن تكوي

. كل مرة وعلـى أساس القاعدة السابقة يكون

5

2p = 5 × 4 = 20 األول ء تبديال، حيث أن الشي

. األول ء له خمس إمكانات؛ وكل منها أربع إمكانات للشي

وكذلك 4

3p = 4 × 3 × 2 = 24 األول له أربع إمكانات يقابلها ء ، حيث أن الشي تبديال

. الثالث ء الثاني ويقابلها إمكانيتين للشي ء ثالث إمكانات للشي

( ) ( ) ( )1 2 1

n

rp n n n n r= − − − − ) أو ) ( ) ( )1 2 1

n

rp n n n n r= − − − +

1n حيث r≥ . أعداد طبيعيةn,r وكال من ≤






01

np =

:5مثال : أوجد قيمة ما يلي

7 6 5

3 54, ,p p p

: الحل7

4p = 7 × 6 × 5 × 4 = 840

6

3p = 6 × 5 × 4 = 120

5

5p = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120

: مأخوذة جميعها في كل مرة هوn ياء عددها عدد التباديل ألش( ) ( )1 2 3 2 1

n

np n n n= − − × × ×

وأحيانا في n أو في اللغة العربية نرمز له n عادة بالرمز ) الناتج ( ونرمز لهذا الحاصل .n سمى الرمز مضروب تحل محل هذا الرمز، وي ! بعض الكتب تجد أن عالمة التعجب

: أي أن( ) ( )! 1 2 3 2 1n n n n n= = − − × × ×

0 1 = أي أن مضروب صفر =1

:6مثال ما عدد األشياء المختلفة التي يمكن تكوينها باستعمال ستة أرقام مختلفة من األرقام التسعة

؟9,…,1,2,3




: الحل . باديلها مأخوذة ستة في كل مرة لدينا تسعة أشياء وعلينا تحديد عدد ت

9

6p = 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 = 60480

: نتائج هامة

وكل n وأكبرها n هو حاصل ضرب عوامل عددها ) n مضروب (n عرفـنا سـابقا أن . 1 هو صحيح، وبذلك يكون آخر العوامل 1 عامل فيها يصغر سابقه بمقدار

7 مثال 7 6 5 4 3 2 1= × × × × × ×

1 1n n n= −

: البرهان( ) ( )1 2 3 2 1n n n n= − − × × ×

( ) ( )1 2 3 2 1n n n= − − × × × 1n n= −

: 7مثال2n اختصر

n+

: الحل( )2 2 1n n n+ = + +

( ) ( )2 1n n n= + + ( ) ( )2 12 n n nn

n+ ++

∴ =n

( ) ( )2 1n n= + +

:8مثال

720n إذا كان ؟n فأوجد =






: الحلn وأكبرها 1 هو حاصل ضرب عوامل متتالية في الكبر أصغرها n.

1 ÷ 720 إذن؛ لحل هذا المثال نقسم 2 ÷ ثم نقسم الناتج

3 ÷ م الناتج من الخطوة السابقة ثم نقس . إلى أن تنتهي القسمة المطولة … وهكذا

: نالحظ أن

720 = 1 × 720 = 1 × 2 × 360 = 1 × 2 × 3 × 120 = 1 × 2 × 3 × 4 × 30 = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6

720 1 2 3 4 5 6 66

nn

∴ = = × × × × × =∴ =

الطبيعية التي تزيد عن أو n أنه بالنسبة لكل قيم n السابقة يتبين من تعريف مـن النتيجة : فإن 1 تساوي

1n n n= − 1 فإن n=1 وإذا كانت 1=

2 n

r

npn r

=−

: البرهان( ) ( )1 2 3 2 1n n n n= − − × × ×

( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 3 2 1n n n r n r n r= − − + − − − × × × ( ) ( )1 1n n n r n r= − − + −

1 720 2 720 3 360 4 120 5 30 6 6 1




n

rp n r= × −

ومنهاn

r

npn r

=−

:مثال إذا كان

86720

rp 1r أوجد = ؟+

: الحل8 8

58 7 6 5 4

rp p= × × × × =

5r∴ = 1 ومنها 6r + = = 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 720


2

3414

n np p

−= ؟n فما قيمة ×

: الحل( ) ( )1 2n n n− − ( )3n − ( )14 2n= − ( )3n − ( )4n − 2

14 56n n n− = − 2

15 56 0n n− + = ( ) ( )8 7 0n n− − =

n=7 أو n=8 إما :مثال

60480 إذا كان n

rp 720r و = فأوجد قيمة =

1

1

n

rp

+

− ؟

: الحل720 6 5 4 3 2 1 6r = = × × × × × =

r=6

660480

np =

8 6720 7 840 6 120 5 20 4 4






= 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 9

6 6

np p=

n=9 10

510 9 8 7 6 30240p = × × × × =

:مثال

إذا كان 6 6

14

r rp p

−= ؟r فأوجد قيمة ×

: الحل6 6

46 r

= ×− 7 r−

( )1

7 6r r− −4

6 r=

−

7 – r = 4 à r = 3


22 5 2 1n n+ + فأوجد قيمة =

5 2

2

np

− ؟

: الحل

22 5 2 0n n+ + = ( ) ( )2 1 2 0n n+ + =

1 عندما 2

n : فإن=−15 2 62

2 26 5 30p p

−− ×= = × =




: فإنn=-2 عندما ( )5 2 2 9

2 29 8 72p p

− × −= = × =

:مثال

3 إذا كان 5 2082 1n n n

+ =− −

؟n فما قيمة : الحل

n بالضرب في 2083 5

2 1nn n

n n+ =

− − n

( )3 1 2n n n− −

2n −

5 1n n −+

1n −208=

23 3 5 208 0n n n− + − =

23 2 208 0n n+ − = ( ) ( )3 26 8 0n n+ − =

26 عـندما 3

n عيا أكبر يجب أن تكون عددا طبي n فإن هذه القيمة مرفوضة ألن قيمة =−

. من أو يساوي الواحد الصحيح n=8 وهذا يعني أن قيمة

1

1

n

rn

r

pn r

p−

= − +






:مثال

أوجد قيمة

20

420

8

p

p ؟

: الحل

20

420

8

20 9 1 12p

p= − + =

( ) ( )1 2 3 2 1 1n n n n n n= − − × × × × = −

0 1=

01

0n np

n= =

−

1

11 1

n n n np nn n

−= = =− −

0n

n

np n= =

( ) ( ) ( )1 2 1n

r

np n n n n rn r

= = − − × × − +−

,1 r n≤ ≤ ; ,n r ∈




بكم طريقة يمكن انتخاب حرف صحيح وآخر معتل من أربعة حروف صحيحة ) 01 ( ثالثة معتلة؟ و

تعطـي مدرسـة ثالث جوائز، أوالها في القسم األدبي والثانية في القسم العلمي ) 02 ( على الترتيب، 4 ، 7 ، 8 فإذا كان عدد المتسابقين . والثالثة في قسم الرياضيات فبكم طريقة يمكن توزيعها؟

مأخوذة ثالثا ثالثا يساوي خمسة n إذا كـان أربعـة أمثال تراتيب أشياء عددها ) 03 ( ؟n مأخوذة ثالثا ثالثا، فأوجد قيمة ) n-1 ( أمثال عدد تراتيب أشياء عددها

؛ وما عدد ما 654321 مـا عـدد التراتيـب التي يمكن عملها من أرقام العدد ) 04 (

؟ 5 وينتهي بالرقم 1 يبتدئ منها بالرقم وكم عدد هذه 1،2،3،4،5 كـم عـددا من أربع خانات يمكن تكوينه من األعداد ) 05 (

دون تكرار الرقم؟ 5 دأ كل منها بالرقم األعداد التي يب ؟ 1،2،3،4،5،6 كم عدد خمس خانات تبدأ بعدد فردي يمكن تكوينها من األعداد ) 06 ( كم ترتيبا يمكن تكوينه من خمسة أنواع من األشجار، كل ترتيب منها مكون من ) 07 (

شجرتين دون تكرار؟24n إذا كان ) 08 ( فأوجد =

2

3

np؟

إذا كان ) 09 ( 8

6720r

p 1r فأوجد = ؟+

أوجد قيمة ) 10 ( 0 1 2

n n np p p+ 1 علم أن إذا + 72

1nn

+ =−

؟

60480 إذا كان ) 11 ( n

rp = ، 720r فأوجد قيمة =

1

1

n

rp

+

− ؟

أثبت أن ) 12 ( 1 1

1

n n n

r r rp p r p

− −

−= + ؟×

) أثبت أن ) 13 ( )5

10 1 3 5 7 9 2 5= × × × × × ×






فيما يلي سنحاول معرفة عدد المجموعات الجزئية والتي عدد عناصر كل منها يساوي r التي يمكن تكوينها من مجموعة عد عناصرها n حيث n r≥ د ، وسوف نرمز لهذا العد

بالرمز n

rc حيث c اختصار Combinations أي التوافيق؛ وبعض الكتب ترمز إلى

التوافيق بالرمز nr

.

وفيما يلي نعطي بعض األمثلة التوضيحية،

:1مثال} نفرض }1,2,3,4x ، كم مجموعة جزئية عدد عناصر كل منها = واحد؛ يمكن تكوينها

؟x من المجموعة : الحل

: المجموعات الجزئية التي يمكن تكوينها بحيث تحتوي على عنصر وحيد هي } 4 { و } 3 { و } 2 { و } 1 {

وتحتوي كل منها على عنصر x وعلى هذا فتوجد أربع مجموعات جزئية من المجموعة . وحيد

أي أن 4

14c =

:2مثال

} اكتب جميع المجموعات الجزئية للمجموعة }1,2,3,4x والتي تحتوي كل منها على = . عنصرين




: الحل : المجموعات الجزئية المطلوبة هي

} 1 ، 2 { ، } 1 ، 3 { ، } 1 ، 4 { ، } 2 ، 1 { ، } 2 ، 3 { ، } 2 ، 4 { 6 = عدد هذه المجموعات الجزئية

أي أن 4

26c =

:3مثال

مدرسة بها خمسة طالب يجيدون لعب المصارعة، أراد المدرب أن يختار مجموعة منهم تتكون من ثالثة طالب لتمثيل المدرسة في هذه اللعبة، كم عدد المجموعات التي يمكن أن

يختار من بينها؟ : الحل

x لنرمز لمجموعة الطالب الخمسة بالرمز } أي أن }1 2 3 54

, , , ,x a a a a a=

: يمكن للمدرب أن يختار من بين المجموعات التاليةy1= { }1 2 3

, ,a a a ، y6= { }1 54, ,a a a

y2= { }1 2 4, ,a a a ، y7= { }2 3 4

, ,a a a

y3= { }1 2 5, ,a a a ، y8= { }2 3 5

, ,a a a

y4= { }1 3 4, ,a a a ، y9= { }3 54

, ,a a a

y5= { }1 3 5, ,a a a ، y10= { }5 2 4

, ,a a a

10 ومن ثم فإن عدد المجموعات التي يمكن أن يختار المدرب من بينها هو أي أن

5

310c =






كـل مجموعـة تـتكون من كل أو جزء من األشياء بصرف النظر عن ترتيب مفردات

. المجموعة تسمى توفيقا . تعبر عن توفيق واحد } م،ن { تعبر عن تبديلين؛ بينما ) م،ن ( ، ) ن،م : ( فعلى سبيل المثال

مع من األشياء n من األشياء من بين r حيـث أن كـال من التوافيق والتباديل هو اختيار مـراعاة الترتيـب أو إهمالـه وفقا لما سبق شرحه، فإنه توجد عالقة وثيقة بين التباديل

. والتوافيق نوضحها فيما يلي شرحه

، يكون عدد المجموعات الجزئية والتي n هي مجموعة العناصر التي عددها x إذا كانـت

تحتوي كل منها r حيث من العناصر n r≥ هو n

rc

. يهمنا الترتيب عند إجراء التباديل؛ بينما ال نهتم به عند إجراء التوافيق : ملحوظة

إذا أجريـنا على كل مجموعة من المجموعات الجزئية السابقة جميع التباديل الممكنة على : كن التعبير عنه بالقانون في كل مرة يمr مأخوذة r عناصرها والتي تساوي

n n

r rp c r= ×

وهذا يعني أن

nn r

r

p ncr n r r

= =− ×

:4مثال

تقدم لهذه الوظائف خمسة أشخاص، بكم . أعلنـت شـركة عـن وجود ثالث وظائف بها طريقة يمكن اختيار ثالثة أشخاص؟




: الحل5

3

5 5 4 3 2 1 105 3 3 2 1 3 2 1

c × × × ×= = =− × × × × ×

طرق

:5مثال

شخصا 12 أشخاص من بين 3 ة يمكـن انتخاب لجنتين كل منها تتكون من بكـم طـريق بحيث ال يدخل شخص في كلتا اللجنتين؟

: الحل يمكن انتخاب اللجنة األولى بعدد من الطرق هي

12

3c = 220 طريقة .

: ة للجنة الثانية فإذا انتخبنا ثالثة طالب للجنة األولى تبقى لنا تسعة ينتخب منهم ثالث ويكون عدد طرق انتخاب اللجنة الثانية هي

9

3c = 84 طريقة .

. طريقة 18480 = 84 × 220 = وعدد الطرق التي يمكن بها انتخاب اللجنتين معا

n

n

nc =

n1 1

0 0= =

×

n n

r n rc c

−= صار بعض المسائل الحسابية مفيد في اخت

:6مثال

، فما هي عدد طرق االنتخاب؟ 14 رجال من بين 11 إذا أريد انتخاب : الحل

العدد المطلوب هو 14 14

11 3

14 13 12 3643 2 1

c c × ×= = =× ×






الحـظ أنه إذا استخدمنا القانون 14

11c لكان علينا أن نختصر مقدارا يشتمل بسطه ومقامه

. عامال 11 على

if n n

r m

m rc c

n m r=

= → = +

1

1n

rn

r

c n rrc

−

− +=

:7مثال

أوجد قيمة

20

720

6

c

c ؟

20 = القيمة : الحل 7 17

− + = 2




: احسب قيمة ) 01 ( a-

13

6c b-

20

4c c-

20

17c d-

100

98c

إذا كان ) 02 ( 2

435nc ؟n أوجد قيمة =

إذا كان ) 03 ( 3

1 303

nc n= احسب قيمة

10

nc؟

إذا كان ) 04 ( 3

56m n

c+

=، 2

3m

c n فأوجد قيمة= m−؟

بكـم طـريقة يمكن انتخاب لجنتين تتكون كل منها من أربعة أشخاص من بين ) 05 ( عشرة بحيث ال يدخل شخص في كلتا اللجنتين؟

بكم طريقة يمكن تكوين فريق من سبعة أعضاء من ين تسع بنات وخمسة أوالد ) 06 ( بحيث يحتوي الفريق على ثالثة أوالد فقط؟

طالبات 8 طالبا و 15 انتخاب لجنة بها ثمانية أعضاء من بين بكم طريقة يمكن ) 07 ( بحيث تتكون اللجنة من خمسة طلبة وثالث طالبات؟

اكتب مفكوك ) 08 ( m n

nc

+5 يقبل القسمة على 12 ومن ثم أثبت أن ؟×7

ي الطلبة والطالبات إلى أهمية دراسة موضوع التوافيق وأحـب أن أوجـه عنايـتكم ابنائ

. والتباديل في حل كثير من المشكالت الرياضية، مثل حساب عدد مبارايات كرة القدم ، أو تبسيط الحسابات ) ستدرسونها هذا العام ( أو تبسـيط الحسابات في نظرية ذات الحدين

رس كثيرة ومتنوعة ويصعب والتطبيقات لهذا الد … فـي مادتـي االحتماالت واالحصاء؛ . حصرها

في هذا الملف عبر البريد ) طلب – ملحوظة – نقد ( كمـا أتمـنى أن ترسـلوا إلى برأيكم

. االلكتروني ألتمكن من تحسين الملفات القادمة إن شاء اهللا تعالى




تباديل وتوافيق

Documents

Transcript of تباديل وتوافيق