графический метод решения сюжетных задач

27
ГРАФИЧЕСКИЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ СЮЖЕТНЫХ ЗАДАЧ Выполнил: Рябов Никита, ученик 9А класса Гимназия МИИТ г. Москва

description

 

Transcript of графический метод решения сюжетных задач

Page 1: графический метод решения сюжетных задач

ГРАФИЧЕСКИЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ

СЮЖЕТНЫХ ЗАДАЧ

Выполнил: Рябов Никита, ученик 9А класса

Гимназия МИИТ г. Москва

Page 2: графический метод решения сюжетных задач

«Но когда эти науки (алгебра и геометрия)

объединились, они энергично поддержали друг друга и быстро

зашагали к совершенству».

Ж.Л.Лагранж

Page 3: графический метод решения сюжетных задач

Цель работыЦель: Рассмотреть один из методов решения текстовых задач –

графический, позволяющий переводить алгебраическое условие

задачи на геометрический язык графиков

Задачи: 1. Изучить дополнительную научную литературу в поисках таких

методов, которые бы позволили оптимизировать процесс решения

текстовых задач повышенной сложности. 2. Научиться переводить алгебраическое условие задачи на

геометрический язык графиков. 3. Провести сравнительный анализ различных методов решения

текстовых задач, выявить наиболее рациональный. 4. Отработать приемы применения графического метода на серии

текстовых задач на равномерные процессы.

Page 4: графический метод решения сюжетных задач

Объект, предмет, гипотеза

Объект исследования – текстовые задачи на равномерные процессы.

Предмет исследования – графический метод решения текстовых задач.

Гипотеза – с помощью графического метода можно получить простой алгоритм построения уравнений и их систем для определения искомых величин при решении текстовых задач на равномерные процессы.

Page 5: графический метод решения сюжетных задач

Актуальность Умение решать текстовые задачи является одним из основных

показателей уровня математического развития ученика, глубины

усвоения им учебного материала. По этой причине текстовые задачи обязательно присутствуют в

тестах ЕГЭ и ГИА и являются, как правило, самыми сложными для

учащихся. Традиционно текстовые задачи решаются арифметическим

способом (по действиям) или алгебраическим (с помощью

уравнений, неравенств и их систем). При решении заданий во время тестирования, безусловно, имеет

значение не только правильность, но и скорость решения. В ходе работы мы попытались отыскать метод решения текстовых

задач, который во многих случаях является рациональным,

значительно упрощает решение, ведет к более быстрому получению

ответа.

Page 6: графический метод решения сюжетных задач

Сюжетная задача Если в текстовой задаче речь идет о реальных объектах,

процессах, связях и отношениях, то задача называется сюжетной.

Реальные процессы – это движение, работа, покупки, смеси, сплавы и т.д. Поэтому среди сюжетных задач обычно выделяют задачи на разностные и кратные отношения, на движение, совместную работу, смеси, сплавы и концентрации.

Под методами решения сюжетных задач обычно рассматривают арифметический, алгебраический и геометрический (графический).

Геометрический метод не используется в средней школе. Тем не менее, при решении задач на равномерные процессы иногда он даёт более простое и компактное решение.

Page 7: графический метод решения сюжетных задач

Геометрический (графический) метод При решении задач на равномерные процессы

важно научиться переводить алгебраическое

условие задачи на геометрический язык графиков. Изображая графики процессов, можно находить

зависимости между величинами, применяя

геометрические знания, а можно решать задачу

привычным способом, только построенная модель

зависимостей между величинами помогает

увидеть отношения между этими величинами.

Page 8: графический метод решения сюжетных задач

Использование геометрического (графического) метода при решении текстовых задач на

движение с постоянными скоростями. при решении текстовых задач на

движение по кругу. при решении текстовых задач на

движение с переменными скоростями. при решении текстовых задач на

совместную работу. при решении текстовых задач на смеси и

сплавы при решении задач реальных ситуаций.

Page 9: графический метод решения сюжетных задач

Задача №5 (тест ГИА 2010 год, вторая часть)

Два пешехода вышли одновременно из одного пункта и идут в одном направлении. Скорость первого пешехода 3 км/ч, а скорость второго пешехода 4 км/ч. Через 30 мин из этого же пункта вслед за ними вышел третий пешеход, который догнал второго на 30 мин позже, чем первого. Найдите скорость третьего пешехода.

Page 10: графический метод решения сюжетных задач

0,5

I

IIIII

t

t+0,5

O

B

A

DCМ

t

x

3tgA O Dtgv 1 4tgB O Dtgv 2 tg B M Dtgv 3

5,0tt3

M CtgО С

М СА С

tgА М Сtg

t

)5,0t(4

M D

tgО D

М D

B DtgB M Dtg

t

5,0t4

5,0t

t3

25,0t4t3 22 1t 2

6v

5,01

3v

5,0t

t3tgv

3

3

3

Ответ: скорость третьего пешехода равна 6 км/ч.

, t=1

Page 11: графический метод решения сюжетных задач

Два пешехода вышли одновременно из своих сёл А и В навстречу друг другу. После встречи первый шёл 25 минут до села В, а второй шёл 36 минут до села А. Сколько минут они шли до встречи?

О t

x

F

P

36 мин

25 мин

E N D

M

t

1) M N D ~ M PО ,

О PD N

M PM N

2) M N E~ M PF ,

F PЕ N

M PM N

3)

P F

E N

О P

D N

3 6

t

t

2 5

t=30

Ответ: пешеходы встретились через 30 мин.

Page 12: графический метод решения сюжетных задач

Решение текстовых задач на движение по кругу При рассмотрении движения по кругу

нескольких тел с постоянными скоростями немудрено запутаться в сети переплетающихся движений, если следовать традиционной схеме составления системы уравнений. Но вся эта сеть становится прозрачной и приводит к одному несложному уравнению, если привлечь графики.

Page 13: графический метод решения сюжетных задач

Три гонщика А, В, С, стартовав одновременно, движутся с постоянными скоростями в одном направлении по кольфяцевому шоссе. В момент старта гонщик В находится перед гонщиком А на расстоянии длины шоссе, а гонщик С – перед гонщиком В на таком же расстоянии. Гонщик А впервые догнал В в тот момент, когда В закончил свой первый круг, а еще через 10 минут А впервые догнал гонщика С. Гонщик В тратит на круг на 2,5 минуты меньше, чем С. Сколько времени тратит на круг гонщик А?

F

S

t

E

G

A

10x

D

1

СВ

О

2

1М 1D

Прямая ОА – предполагаемый график движения гонщика А. Построим прямую ll Ох и отметим точку Е ее пересечения с ОА; по условию ВЕ – график движения гонщика В. Пусть х – абсцисса точки Е; отметим на оси Ох точку F такую, что OF = x + 10, и проведем прямую до пересечения с ОА в точке G. Тогда, по условию, CG – график движения гонщика С.

1DD

;3

4vA xx

OD ;

1

xx

BDvB .

5,2

1

xvC

Построим ll Ох; заметим, что разность путей гонщиков А и С за время (х + 10) минут равна

1СС

.3

21 OCFC

3

210

5,2

110

3

4

x

xx

x

05,23

5,2210310104

xx

xxxxxx

20

05,2

,0100152

хxx

xx

За 20 минут гонщик А делает 4/3 круга, следовательно, на один круг он тратит 15 минут.Ответ: 15 минут.

OxFG

1GC-FG

Page 14: графический метод решения сюжетных задач

Решение текстовых задач на движение с переменными скоростями

Типичным примером таких задач является задача о пароходе, плывущем по и против течения. Остановимся на одном очевидном утверждении, которое можно использовать при решении задач такого класса.

D

Е

В

С

II (против течения)

I (по течению)

t0t

Пусть скорость течения реки направлена в положительном направлении оси s. Тогда за время пароход пройдет против течения реки расстояние, равное , а по течению ( - скорость течения, v – скорость парохода в стоячей воде). Тогда, очевидно, плот, плывущий по реке, пройдет расстояние:

0t 00 tvvBD

00vDC tv 0v

00000000

22

DCDBDE tv

vttvvttv

А траектории движения плота будет соответствовать прямая АЕ, содержащая медиану треугольника АВС, проведенную из вершины А к стороне ВС.

А

S

Page 15: графический метод решения сюжетных задач

Моторная лодка прошла от города М по течению реки до города N за 8 ч, а от N до М за 12 часов. За сколько времени проплывает плот от города М до города N?

K

L

E

128

D

C

B

1) Пусть АВ – траектория движения лодки по течению, АD – траектория движения лодки против течения. По условию АК=8, АЕ=12, BK=ED=MN.

2) В тот момент, когда лодка по течению реки пройдет путь КВ, плот пройдет путь AL – траектория движения плота.

3) ΔDEA~ΔCKA, тогда:

.2

KLКВСК

MNBKDECKAE

AK

3

2

3

2

3

2

DE

CK

MNMNMN

KL6

1

232

Таким образом, плот за 8 ч проходит 1/6 часть пути между городами, а весь путь пройдет за 48 ч.Ответ: 48 ч.

S

Page 16: графический метод решения сюжетных задач

Решение текстовых задач на совместную работу Рассмотрим задачи на совместную

работу. В подобных задачах подразумевается пропорциональная зависимость между временем t и количеством А выполняемой работы: A=kt, где коэффициент k характеризует производительность труда.

Page 17: графический метод решения сюжетных задач

Двое рабочих, выполняя задание вместе, могли бы закончить его за 12 дней. Если сначала будет работать только один из них, а когда он выполнит половину всей работы, его сменит второй рабочий, то все задание будет закончено за 25 дней. За сколько дней каждый рабочий в отдельности может выполнить все задание?

38

50

x12

x12

P

MQ KD

N

В

А

AN - график работы первого рабочего, BD - график работы второго рабочего, AQ - время совместной работы, AQ=12. Проведем NK ll BD, тогда AK= 50, QK=38. Пусть QM=CN=x, тогда QD = 38 – 12 – x = 26 – x.

ΔBPC~ΔDPQ, ΔAPQ~ΔNPC,

следовательно , откуда AQ

СN

QD

СВ

.18

,8014426

1226

12 2

x

xxx

x

x

Тогда время выполнения каждым рабочим задания составляет 20 и 30 дней.Ответ: 20 и 30.

C

Page 18: графический метод решения сюжетных задач

Решение текстовых задач на смеси и сплавы Рассуждения, использующие

графическую интерпретацию, с успехом можно применять для решения задач, где речь идет о смесях или сплавах двух веществ.

Page 19: графический метод решения сюжетных задач

Имеются два сплава золота и серебра; в одном количество этих металлов находится в отношении 2:3, в другом - в отношении 3:7. сколько нужно взять от каждого сплава, чтобы получить 8 кг нового сплава, в котором золото и серебро были бы в отношении 5:11?

М

8 Xх0

24

25

Y

32

Будем решать задачу по долям золота в сплавах. Золото составляет 2/5 первого сплава, 3/10 второго сплава и 5/16 искомого; приведя к общему знаменателю, получим дроби 32/80, 24/80, 25/80 . Пусть взяли х кг сплава №2 и 8-х кг сплава №1. Масса золота в сплаве №3, составленном из сплавов №1 и №2, также линейно зависит от х. Построим график этой зависимости в системе координат с осями: Ох – «масса сплава №2 в 8 кг сплава №3» и Оу – « 1/80 массы золота в 8 кг сплава №3»; получится прямая линия. Эту прямую можно построить по двум ее точкам: (8;24), (0;32)

Теперь нам надо найти абсциссу точки М с ординатой у=25; из подобия

треугольников получаем , откуда х=7. Следовательно, взяли 7 кг

сплав №2 и 1 кг сплава №1.

Ответ: 1 кг и 7 кг.

2432

2532

8

х

Page 20: графический метод решения сюжетных задач

Применение графического метода при решении задач реальных ситуаций.

Чтобы понять всё преимущество метода, надо составить модель реальной ситуации. На железных дорогах очень часто бывают развязки, когда из одной колеи выходят две (или более) колеи, либо две сливаются в одну. Зная расстояние, время и скорость, можно предотвратить столкновение поездов.

Page 21: графический метод решения сюжетных задач

Из пункта О отправился электропоезд. Второй электропоезд может столкнуться с первым в пункте А, если они проедут одинаковое расстояние, если второй электропоезд выйдет позже первого. А третий электропоезд столкнётся с первым в пункте В, если проедет на 30 метров больше, чем первый, но выйдет на 25 секунд позже. Какое расстояние от пункта О до пункта А, если скорость первого 12 м/с, а третьего 15 м/с? Направим координатную ось от пункта О, из которого

вышел первый электропоезд в направлении их движения. Отсчет времени t будем производить от момента выхода первого. Пусть второй электропоезд вышел из пункта X, а третий из Y.

А и В – точки пересечения полученных графиков линейных функций. Опустим из точек А и В перпендикуляры на ось t. Обозначим за x расстояние от О до А (AM). Тогда расстояние от О до В x+30 (BN).

Из подобия треугольников ΔMOA~ΔNOB получим, что

AB

t

xIII

III

M N

YX ОN

ОМ

ВN

АМ ОN

12

30x

x 12

30)(x x

АМ

ВN ОМ

ON – это время, за которое первый электропоезд доедет до пункта B. YN – время, за которое третий доедет до пункта B. YN=ON-OY. Нам известно, что третий вышел позже первого на 25 секунд, значит OY=25YN=

NB= NB= x+30

x +30=1,25x-337,5 0,25x=367,5x=1470Ответ: Расстояние от пункта А до В равно 1470 метров.

12

270-x25

12

30x

337,5-x25,14

1350-5x

12

270-x15

Page 22: графический метод решения сюжетных задач

Сравнительный анализ различных методов решения текстовых задач На примере одной задачи на равномерные

процессы мы покажем, как ее можно было бы решить арифметическим, алгебраическим и графическим способами и выявим наиболее рациональный.

Вывод: приведенные способы решения показывают преимущество графического метода, который позволяет облегчить наилучший выбор неизвестного для составления уравнения или подсказать ход рассуждений для отыскания арифметического решения задачи.

Page 23: графический метод решения сюжетных задач

Задача

Из пункта А в пункт В выехал автомобиль и одновременно из пункта В в пункт А выехал велосипедист. После встречи они продолжали свой путь. Автомобиль, доехав до пункта В, тотчас повернул назад и догнал велосипедиста через 2 ч после момента первой встречи. Сколько времени после первой встречи ехал велосипедист до пункта А, если известно, что к моменту второй встречи он проехал всего.

Page 24: графический метод решения сюжетных задач

Графический методЗдесь АА´А´´ – график движения мотоциклиста, ВВ´ – график движения велосипедиста.

Из рисунка видно, что за одно и то же (до второй встречи) велосипедист проехал 2/5 , а автомобилист 7/5 всего пути.

Тогда отношение их скоростей равно 2/7 . Значит, к моменту первой встречи велосипедист проедет 2/9 , а автомобилист 7/9 всего пути. ,

BM

BN

OM

ON

.

7

2

2

y

t1) ΔBON~ΔB´OM, откуда

2) ΔBKP~ΔB´OM, откуда ,KP

BL

BK

PL

3

22

y

t

3)

.4

27

,2

5

;632

,427

6;3t2y

2y,4t7

;3

22

,7

2

2

y

t

ty

yt

y

t

y

tИскомое время равно

у+2= 35/4.

Ответ: 8 часов 45 минут.

t

y2

t

P

O

A´´

B´L

K

M

N

A

B

S

Page 25: графический метод решения сюжетных задач

Арифметический способ Используем вывод, полученный в предыдущем решении.

1) За одно и то же время (до второй встречи) велосипедист

проехал 2/5, а автомобилист 7/5 всего пути. Значит, отношение

их скоростей равно 2/7.

2) К моменту первой встречи велосипедист проедет 2/9, а

автомобилист 7/9 всего пути.

3) Но, затратив еще 2 часа, велосипедист проезжает 2/5 всего

пути. Следовательно, за час он проезжает части

всего пути.

4) Значит, 7/9 пути, которые еще предстояло проехать

велосипедисту после первой встречи, он преодолеет за

часа.

Ответ: 8 часов 45 минут.

45

42:

9

2

5

2

4

35

45

4:

9

7

Page 26: графический метод решения сюжетных задач

Алгебраический способПусть S – расстояние между пунктами А и В, - скорость автомобиля, - скорость велосипедиста, t – время (в часах) от начала движения до первой встречи. Для четырех величин (S, , , t) составим три уравнения:

av вv

av вv

;25

7

,2t5

2

S,tva

tvS

vS

v

a

в

вНайти значения всех неизвестных из данной

системы невозможно, но это и не требуется, нужно

найти величину Для этого, разделив третье

уравнение на второе, получим , подставим

это соотношение в первое уравнение.

;2t5

2

S,t2

9

,2

7

в

в

вa

vS

v

vv

2

2t5

v

S

t,2

9

v

S

в

в

4

45

,2

5

вv

S

t

4

35

2

5

4

45t

v

S

в

Ответ: 8 часов 45 минут.

t.v

S

в

вa vv2

7

Page 27: графический метод решения сюжетных задач

Заключение В процессе работы мы научились переводить алгебраическое

условие задачи на геометрический язык графиков, позволяющий оптимизировать процесс решения текстовых задач на равномерные процессы.

Нами была подтверждена выдвинутая перед началом исследования гипотеза – с помощью графического метода можно получить простой алгоритм построения уравнений и их систем для определения искомых величин при решении текстовых задач на равномерные процессы.

Достоинство геометрического решения задачи – в его наглядности: на графике видна связь между величинами, входящими в условие задачи; чертеж помогает расширить задачу – поставить и решить более общие вопросы, глубже проникнуть в существо задачи, оценить реальность результата и промежуточных действий.

И, наконец, традиционные решения алгебраическим или арифметическим способом зачастую являются громоздкими и сложными, требуют больших временных затрат, что не допустимо в условиях сдачи экзаменов в форме ЕГЭ И ГИА, когда время ограничено. Графический способ экономит время.