fizika.ugtu.netfizika.ugtu.net/files/zaochn/fizika_1.pdf · УДК 53 (075.8) C32 ББК 22.3...

77
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ УХТИНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕ РСИТЕТ И.К.Серов, Н.П. Богданов, Л.Н. Лапина, В.Н. Шамбулина ФИЗИКА Часть 1 Учебное пособие 2 - издание Ухта 2002

Transcript of fizika.ugtu.netfizika.ugtu.net/files/zaochn/fizika_1.pdf · УДК 53 (075.8) C32 ББК 22.3...

Page 1: fizika.ugtu.netfizika.ugtu.net/files/zaochn/fizika_1.pdf · УДК 53 (075.8) C32 ББК 22.3 Физика. Часть 1: Учебное пособие / И.К. Серов, Н.П.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

УХТИНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕ РСИТЕТ

И.К.Серов, Н.П. Богданов, Л.Н. Лапина, В.Н. Шамбулина

ФИЗИКА

Часть 1

Учебное пособие

2 - издание

Ухта 2002

Page 2: fizika.ugtu.netfizika.ugtu.net/files/zaochn/fizika_1.pdf · УДК 53 (075.8) C32 ББК 22.3 Физика. Часть 1: Учебное пособие / И.К. Серов, Н.П.

УДК 53 (075.8) C32ББК 22.3

Физика. Часть 1: Учебное пособие / И.К. Серов, Н.П. Богданов, Л.Н Лапина,В.Н. Шамбулина. - 2-е издание. - Ухта: УГТУ, 2002. – 75с.

ISBN 5 - 88179 - 217 - 3

Учебное пособие содержит программу, основные формулы, примеры решениязадач и контрольные задания по разделам общего курса физики "Механика","Молекулярная физика и термодинамика", "Электростатика и законы постоянноготока". Предназначено студентам второго курса заочного факультета инженерно -технических специальностей 290700, 290300 и направлению 550100 для выполнения1, 2 и 3 контрольных работ.Содержание контрольных заданий соответствует рабочей учебной программе.

Рецензенты: | кафедра физики твердого тела Сыктывкарского государственного университета; Мильков Г.П., к.ф. -м.н., доцент Российского государственного открытого технического университета путей сообщения (РГОТУПС).

© Ухтинский государственный технический университет, 2000

© Серов И.К., Богданов Н.П., Лапина Л.Н., Шамбулина В.Н., 2000

Page 3: fizika.ugtu.netfizika.ugtu.net/files/zaochn/fizika_1.pdf · УДК 53 (075.8) C32 ББК 22.3 Физика. Часть 1: Учебное пособие / И.К. Серов, Н.П.

3

ISBN 5 - 88179 - 217 - 3

Page 4: fizika.ugtu.netfizika.ugtu.net/files/zaochn/fizika_1.pdf · УДК 53 (075.8) C32 ББК 22.3 Физика. Часть 1: Учебное пособие / И.К. Серов, Н.П.
Page 5: fizika.ugtu.netfizika.ugtu.net/files/zaochn/fizika_1.pdf · УДК 53 (075.8) C32 ББК 22.3 Физика. Часть 1: Учебное пособие / И.К. Серов, Н.П.

3

ОГЛАВЛЕНИЕ

Общие указания по изучению курса физик и и выполнению контрольных заданий. 3Методические указания к решению задач …...………………………………………… 4Программа первой части курса физики ……………………………………………….. 4Литература ……………………………………………………………………………….. 71. Механика …………………………………………………………………………… . 7 Основные формулы …………………………………………………………………… 7 Примеры решения задач …………………………………………………………… 10 Контрольная работа 1 ………………………………………………………………… 202. Молекулярная физика и термодинамика ..…………………………………… 27 Основные формулы ………………… ……………………………………………… 27 Примеры решения задач ……………………………………………………………… 31 Контрольная работа 2 ………………………………………………………………… 433. Электростатика и законы постоянного тока …………………………………… 48 Основные формулы ………………………………………………………………… 48 Примеры решения задач …………………………………………………………… 53Контрольная работа 3 ………………………………………………………………… 64Приложения …………………………………………………………………………… 72

ОБЩИЕ УКАЗАНИЯ ПО ИЗУЧЕНИЮ КУРСА ФИЗИКИ И ВЫПОЛНЕНИЮЗАДАНИЙ

Основной формой обучения студента - заочника является самостоятельнаяработа над учебным материалом. Контрольные работы позволяют закрепитьтеоретический материал.

Студенты 2 курса заочного факультета УГТУ изучают следующие разделыобщего курса физики: «Механика», «Молекулярная физика и термодинамика»,«Электростатика и законы постоянного тока» и должны выполнить три контрольныеработы. Перед выполнением контрольной работы необходимо внимательноознакомиться с примерами решения задач по данной контрольной работе,уравнениями и формулами , а также со справочными материалами, приведенными вконце учебного пособия, после чего следует приступать к выполнению контрольныхработ 1, 2 и 3. При выполнении контр ольных работ необходимо соблюдатьследующие правила.Номер варианта контрольной работы, которую должен выполнить студент, совпадаетс последней цифрой номера его студенческого билета.Каждую контрольную работу выполнять в отдельной тетради школьного типа, наобложке которой привести сведения по следующему образцу: Студент заочного факультета УГТУ Иванов И.И. Шифр 999430 Адрес: Республика Коми, г. Печора

ул. Первомайская, 31, кв. 7 Контрольная работа 1 по физике

Page 6: fizika.ugtu.netfizika.ugtu.net/files/zaochn/fizika_1.pdf · УДК 53 (075.8) C32 ББК 22.3 Физика. Часть 1: Учебное пособие / И.К. Серов, Н.П.

4

Условия задач переписывать полностью, без сокращений. К решениям з адач следуетдавать пояснения.Решение каждой задачи начинать с новой страницы, оставляя место для заме чанийпреподавателя.При решении задач выполнять правила, указанные в пункте «Методические указанияк решению задач».Если при проверке работы преподавателем в ней обнаружены серьезные ошибки и наработе сделана пометка «На повторное рецензирование», ну жно исправить ошибки иснова представить на проверку. Исправление нужно делать в той же тетради, в концеработы.При наличии на контрольных работах рецензии преподавателя «Допущен ксобеседованию» в контрольных работах следует исправить ошибки, ук азанныепреподавателем, и представить их на очное собеседование, которое осуществляетсяво время лабораторно - экзаменационной сессии. После этого контрольные работымогут быть зачтены.

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ

При решении задач надо пользоваться прив еденными ниже правилами исоблюдать указанную последовательность действий.Записать краткое условие задачи, вводя буквенные обозначения величин, указанных вусловии задачи, и перевести эти величины в систему СИ.Сделать (если возможно) чертеж, поясняющий с одержание задачи.Указать физические законы, которые описывают явления, указанные в у словиизадачи.Используя математическую запись законов составить уравнение или системууравнений, из которых могут быть определены и скомые величины.Решить эти уравнения в общем виде и получить формулу, в левой части которойстоит искомая величина, а в правой величины, заданные в условии задачи.Величины, заданные в условии задачи, подставить в полученную формулу и сделатьвычисления, сохраняя при этом три значащие цифры.

ПРОГРАММА ПЕРВОЙ ЧАСТИ КУРСА ФИЗИКИ

Механика

1. Кинематика поступательного движения. Система отсчета. Материальная точка.Абсолютно твердое тело. Траектория. Радиус -вектор. Перемещение. Путь. Средняяскорость. Ускорение. Тангенциальное и нормальное ускорен ие. Равномерное иравноускоренное движение. Прямая и обратная задачи кинематики.

2. Кинематика вращательного движения. Угловое перемещение. Угловая скорость.Угловое ускорение. Связь линейных и угловых величин. Прямая и обратная задачикинематики вращательного движения.

Page 7: fizika.ugtu.netfizika.ugtu.net/files/zaochn/fizika_1.pdf · УДК 53 (075.8) C32 ББК 22.3 Физика. Часть 1: Учебное пособие / И.К. Серов, Н.П.

5

3. Динамика поступательного движения. Первый закон Ньютона (закон инерции).Инерциальные системы отсчета. Масса. Сила. Сила тяжести. Сила упругости. Силатрения. Импульс. Второй закон Ньютона. Третий закон Ньютона. Импульс.Замкнутая система тел. Закон сохранения импульса системы тел.

4. Динамика вращательного движения. Момент импульса частицы относительноточки и относительно оси. Момент силы относительно точки и относительно оси.Закон сохранения момента импульса. Момент инерции. Основной закон дина микивращательного движения.

5. Элементарная работа. Работа на конечном участке траектории. Мощность.Кинетическая энергия. Связь работы равнодействующей силы с изменениемкинетической энергии. Консервативные силы. Потенциальное поле. Потенциальнаяэнергия. Связь консервативной силы с потенциальной энергией. Механическаяэнергия. Закон сохранения механической энергии. Работа и кинетическая энергияпри вращательном движении.

6. Закон всемирного тяготения. Потенциальная энергия тяготения. Напряженность ипотенциал гравитационного поля. Космические скорости. Законы Кеплера.

7. Границы применимости классической механики.8. Виды колебаний. Уравнение гармонических колебаний. Скорость и ускорение при

гармонических колебаниях. Динамика гармонических колебаний.Дифференциальное уравнение гармонических колебаний. Энергия гармоническихколебаний. Математический и физический маятники. Затухающие колебания.Логарифмический декремент затухания. Вынужденные колебания. Резонанс.Сложение одинаково направленных колебаний. Биения. Слож ение взаимноперпендикулярных колебаний. Фигуры Лиссажу. Образование волн. Поперечные ипродольные волны. Скорость волны. Уравнение плоской волны. Волновоеуравнение. Стоячие волны.

Молекулярная физика и термодинамика1. Размеры и масса молекул. Идеальный га з. Параметры состояния. Законы

идеального газа. Уравнение состояния идеального газа. Смеси газов. ЗаконДальтона. Основное уравнение молекулярно - кинетической теории газов.Распределение молекул газа по скоростям. Распределение Максвелла. ОпытШтерна. Барометрическая формула. Распределение молекул газа по значениямпотенциальной энергии. Распределение Больцмана.

2. Степени свободы молекул. Распределение энергии по степеням свободы.Внутренняя энергия идеального газа. Работа, совершаемая газом при изопроцессах .Первое начало термодинамики. Теплоемкость газов. Адиабатный процесс. Работапри адиабатном процессе. Круговые, обратимые и необратимые процессы.Принцип действия тепловой и холодильной машин. Цикл Карно и его КПД.Приведенная теплота. Энтропия. Второе на чало термодинамики.

3. Реальные газы. Уравнение Ван - дер - Ваальса. Изотермы реального газа.Критические параметры. Критическое состояние. Внутренняя энергия реальногогаза. Эффект Джоуля - Томсона.

4. Поверхностное натяжение жидкостей. Формула Лапласа. Смачив ание.Капиллярные явления.

5. Явления переноса. Диффузия, теплопроводность, внутреннее трение.

Page 8: fizika.ugtu.netfizika.ugtu.net/files/zaochn/fizika_1.pdf · УДК 53 (075.8) C32 ББК 22.3 Физика. Часть 1: Учебное пособие / И.К. Серов, Н.П.

6

Электростатика и законы постоянного тока

1. Электрический заряд. Дискретность электрического заряда. Закон сохраненияэлектрического заряда. Закон Кулона. Электрическ ое поле. Напряженностьэлектрического поля. Силовые линии. Напряженность поля точечного заряда.Принцип суперпозиции.

2. Поток вектора напряженности электрического поля. Теорема Гаусса. Применениетеоремы Гаусса для определения напряженности электрических пол ей. Полебесконечной равномерно заряженной плоскости и двух разноименно заряженныхплоскостей (поле конденсатора). Поле бесконечного равномерно заряженногоцилиндра (нити). Поле равномерно заряженной сферы.

3. Работа переноса заряда в электростатическом поле. Потенциальный характерэлектростатического поля. Потенциальная энергия заряда в поле. Потенциал.Разность потенциалов. Разность потенциалов как линейный интегралнапряженности поля. Циркуляция напряженности электростатического поля.Напряженность электростатического поля как градиент потенциала.Эквипотенциальные поверхности и их связь с силовыми линиями. Определениеразности потенциалов в различных полях: однородное поле, поле точечного зарядаи равномерно заряженной сферы, поле равномерно заряженного цил индра.

4. Электрический диполь. Потенциал и напряженность поля диполя. Вращающиймомент, действующий на диполь в однородном электрическом поле. Работаповорота и энергия диполя в однородном электрическом поле.

5. Диэлектрики в электрическом поле. Полярные и непо лярные молекулы.Поляризация диэлектриков с полярными и неполярными молекулами. Векторполяризации. Диэлектрическая восприимчивость. Связанные заряды. Связьповерхностной плотности связанных зарядов и вектора поляризации. Векторэлектрического смещения (эл ектрической индукции). Диэлектрическаяпроницаемость и ее связь с диэлектрической восприимчивостью. Теорема Гауссадля вектора электрического смещения.

6. Проводники в электростатическом поле. Явление электростатической индукции.Особенности поля внутри и у п оверхности проводника. Связь электрическогосмещения с поверхностной плотностью зарядов на проводнике.

7. Электрическая емкость уединенного проводника. Электроемкость уединенногопроводящего шара. Конденсаторы. Электроемкость конденсатора. Определениеэлектроемкости плоского, цилиндрического и сферического конденсаторов.

8. Энергия заряженного проводника. Энергия заряженного конденсатора. Объемнаяплотность энергии электрического поля. Энергия электрического поля,содержащаяся в заданном объеме.

9. Понятие об электрическом токе. Условия существования электрического тока.Сила тока и плотность тока. Связь плотности тока с концентрацией и среднейскоростью упорядоченного движения носителей тока.

10. Сторонние силы. Электродвижущая сила. Напряжение. Закон Ома для участкацепи и для замкнутой цепи. Сопротивление. Закон Ома в дифференциальнойформе. Удельная электрическая проводимость.

Page 9: fizika.ugtu.netfizika.ugtu.net/files/zaochn/fizika_1.pdf · УДК 53 (075.8) C32 ББК 22.3 Физика. Часть 1: Учебное пособие / И.К. Серов, Н.П.

7

11. Закон Джоуля - Ленца. Удельная тепловая мощность тока. Закон Джоуля - Ленца вдифференциальной форме.

12. Классическая теория электронных явлений в металлах. Ее основные положения иэкспериментальное подтверждение (опыты Толмена и Стюарта). Вывод законовОма и Джоуля - Ленца в дифференциальной форме на основе этой теории.Недостатки классической электронной теории.

13. Электрический ток в вакууме. Работа выхода электрона из вещества. Электроннаяэмиссия и ее типы. Термоэлектронная эмиссия. Вольтамперная характеристикавакуумного диода. Закон Богуславского - Лэнгмюра (закон трех вторых). Токнасыщения. Формула Ричардсона - Дэшмана.

ЛИТЕРАТУРА

1. Волькенштейн В.С. Сборник задач по общему курсу физики. - М.: Наука,1985.2. Детлаф А.А., Яворский Б.М. Курс физики. - М.: Высшая школа, 1989.3. Зисман Г.А., Тодес О.М. Курс общей физики. Т.1 -3. - М.: Наука, 1974.4. Савельев И.В. Курс общей физики. - М.: Наука, 1979 .- Т. 1-3.5. Трофимова Т.И. Курс физики. - М.: Высшая школа ,1996.6. Физика. Методические указания и контрольные задания для студентов - заочников

инженерно - технических специальностей высших учебных заведений (включаясельскохозяйственные вузы) / А.А. Воробьев, В.П . Иванов, В.Г. Кондакова, А.Г.Чертов - М.: Высшая школа, 1987.

7. Физика: Программа, методические указания и контрольные задания для студентов -заочников технологических специальностей высших учебных заведений/ В.Л.Прокофьев, В.Ф. Дмитриева, В.А. Рябов, П. И. Самойленко, В.М. Гладской; подред. В.Л. Прокофьева. М.: Высшая школа, 1998.

8. Чертов А.Г., Воробьев А.А. Задачник по физике/Под ред. А.Г. Чертова. - М.:Высшая школа, 1978

9. Яворский Б.М., Детлаф А.А. Справочник по физике. - М.: Наука,1980.

1. МЕХАНИКА

Основные формулы

Кинематическое уравнение движения материальной точки (центра масс твёрдоготела) вдоль оси х

х = f(t),где f(t) – некоторая функция времени. Проекция средней скорости на ось х

<vx > = ∆x ∕ ∆t. Средняя путевая скорость

<v> = ∆s ∕ ∆t,где ∆s – путь, пройденный точкой за интервал времени ∆t. Путь ∆s в отличие отразности координат ∆х = х2 - х1 не может убывать и принимать отрицательныезначения, т. е. ∆ѕ≥0.

Page 10: fizika.ugtu.netfizika.ugtu.net/files/zaochn/fizika_1.pdf · УДК 53 (075.8) C32 ББК 22.3 Физика. Часть 1: Учебное пособие / И.К. Серов, Н.П.

8

Проекция мгновенной скорости на ось хvx = dx ∕ dt.

Проекция среднего ускорения на ось х<ax > = Δvx ∕ ∆t.

Проекция мгновенного ускорения на ось хаx = dvx ∕ dt.

Кинематическое уравнение движения материальной точки по окружностиφ ƒ(t)¸ r = R = const.

Модуль угловой скоростиω = dφ ∕ dt.

Модуль углового ускоренияε = dω ∕ dt.

Связь между модулями линейных и угловых величин, характеризующих движениеточки по окружности:

v = ωR, а = εR, аn = ω²R,где v – модуль линейной скорости; а и аn – модули тангенциального инормального ускорений; ω – модуль угловой скорости; ε – модуль угловогоускорения; R – радиус окружности. Модуль полного ускорения

22naaa , или .42 Ra

Угол между полным а и нормальным аn ускорениями α =arc cos(an/a). Кинематическое уравнение гармонических колебаний материальной точки

х = А cos(ωt + φ),где х – смещение; А – амплитуда колебаний; ω – угловая или циклическая частота; φ –начальная фаза.

Скорость и ускорение материальной точки, совершающей гармоническиеколебания:

v = - Аω sin(ωt + φ); a = - Aω² cos(ωt + φ).Сложение гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты:

а) амплитуда результирующего колебания)cos(2 1221

22

21 AAAAA ;

б) начальная фаза результирующего колебания

2211

2211

coscossinsin

AAAAarctg

.

Траектория точки, участвующей в двух взаимно перпендикулярных колебаниях,x = A1 cos ωt; y = A2 cos(ωt + φ):

а) у = хА2/А1, если разность фаз φ = 0; б) у = -хА2/А1, если разность фаз φ = ±π; в) у = х²∕A1² + y²∕Α2² =1, если разность фаз φ = ±π/2; Импульс p материальной точки массой m, движущейся со скоростью v,

p = mv. Второй закон Ньютона

Page 11: fizika.ugtu.netfizika.ugtu.net/files/zaochn/fizika_1.pdf · УДК 53 (075.8) C32 ББК 22.3 Физика. Часть 1: Учебное пособие / И.К. Серов, Н.П.

9

d p = Fdt,где F – результирующая сила, действующая на материальную точку. Силы, рассматриваемые в механике: а) сила упругости

F = −kx,где k – коэффициент упругости (в случае пружины – жесткость); х – абсолютнаядеформация; б) сила тяжести

P = mg; в) сила гравитационного взаимодействия

F = G m1 m2 ∕ r²,где G – гравитационная постоянная; m1 и m2 – массы взаимодействующих тел; r –расстояние между телами (тела рассматриваются как материальные точки). В случаегравитационного взаимодействия силу можно выразить также через напряжённость Gгравитационного поля:

F = mG; г) сила трения (скольжения)

F = fN,где f – коэффициент трения; N – сила нормального давления. Закон сохранения импуль са

N

ii constp

1,

или для двух тел (i=2)m1v1 + m2v2 = m1u1 + m2u2 ,

где v1 и v2 – скорости тел в момент времени, принятый за начальный; u1 и u2 –скорости тех же тел в момент времени, принятый за конечный. Кинетическая энергия тела, движ ущегося поступательно,T = mυ² ∕ 2, или T = p² ∕ (2m). Потенциальная энергия: а) упругодеформированной пружины

П = ½ kx²,где k – жёсткость пружины; x – абсолютная деформация; б) гравитационного взаимодействия

П = - Gm1 m2 ∕ r,где G – гравитационная постоянная; m1 и m2 – массы взаимодействующих тел; r –расстояние между ними (тела рассматриваются как материальные точки); в) тела, находящегося в однородном поле силы тяжести,

П = mgh,где g – ускорение свободного падения; h – высота тела над уровнем, принятым занулевой (формула справедлива при условии h << R, где R – радиус Земли). Закон сохранения механической энергии

E = T + П = const. Работа A, совершаемая результирующей силой, определяется как мера изменениякинетической энергии материальной точки:

Page 12: fizika.ugtu.netfizika.ugtu.net/files/zaochn/fizika_1.pdf · УДК 53 (075.8) C32 ББК 22.3 Физика. Часть 1: Учебное пособие / И.К. Серов, Н.П.

10

А = ∆Т = Т2 – Т1. Основное уравнение динамики вращательного движения относительнонеподвижной оси z

Мz = Jz ε,где Мz – результирующий момент внешних сил относительно оси z, действующих натело; ε – угловое ускорение; Jz – момент инерции относительно оси вращения. Моменты инерции некоторых тел массой m относительно оси z, проходящей черезцентр масс: а) стержня длиной l относительно оси, перпендикулярной стержню,

Jz = 1/12 ml2 ; б) обруча (тонкого цили ндра) относительно оси, перпендикулярной плоскостиобруча (совпадающей с осью цилиндра),

Jz = mR²,где R – радиус обруча (цилиндра); в) диска радиусом R относительно оси, перпендикулярной плоскости диска,

Jz = ½ mR². Проекция на ось z момента импульса тела, вращающегося относительнонеподвижной оси z,

Lz = Jz ω,где ω – угловая скорость тела. Закон сохранения момента импульса системы тел, вращающихся вокругнеподвижной оси z ,

Jz ω = const,где Jz – момент инерции системы тел относительно о си z; ω – угловая скоростьвращения тел системы вокруг оси z. Кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг неподвижной оси z,

Т = ½ Jz ω², или Т = Lz2∕ (2Jz).

Примеры решения задач

Пример 1. Уравнение движения материальной точки вдоль оси имеет вид3CtBtAx , где A=2 м, B=1 м / с, С 0,5 м / с 3 . Найти координату x , скорость vx

и ускорение a x точки в момент времени t = 2с.Решение. Координату x найдем, подставив в уравнение движения числовые значениякоэффициентов А, В и С и времени t.

.0)25,0212( 3 мxМгновенная скорость относительно оси x есть первая производная от координаты повремени:

23v CtBdtdx

x .

Ускорение точки найдем, взяв первую производную от скорости по времени:

Page 13: fizika.ugtu.netfizika.ugtu.net/files/zaochn/fizika_1.pdf · УДК 53 (075.8) C32 ББК 22.3 Физика. Часть 1: Учебное пособие / И.К. Серов, Н.П.

11

Ctdt

da x

x 6v

.

В момент времени t=2с)25,031(v x м/с; a x 6 0 5 2( , ) м/с 2 .

Пример 2. Тело вращается вокруг неподвижной оси по закону A Bt Ct 2 ,где A 10 рад, B 20 рад/с, C 2 рад/с 2 .Найти полное ускорение точки, находя щейсяна расстоянии r 0 1, м от оси вращения, длямомента времени t 4 с.Решение. Полное ускорение a точки,движущейся по кривой линии, может бытьнайдено как геометричес кая сумматангенциального ускорения a , направленногопо касательной к траектории, и нормальногоускорения na , направленного к центрукривизны траектории: naaa

Так как векторы a и na взаимноперпендикулярны, то модульускорения a a an

2 2 . (1) Модули тангенциального и нормального ускорения точки вращающегося телавыражаются формулами a r , a rn

2 , где - модуль угловой скорости тела, - модуль его углового ускорения. Подставляя выражения a и an в формулу (1), находим

a r r r 2 2 4 2 2 4 . (2)Угловую скорость найдем, взяв первую производ ную угла поворота по времени:

ddt

B Ct2 .

В момент времени t 4 с модуль угловой скорости [ ( ) ]20 2 2 4 рад/с = 4 рад/с.

Угловое ускорение найдем, взяв первую производную от угловой скорости по

времени:

ddt

C2 4 рад/с 2 .

Подставляя значения , и r в формулу (2), получаемa 0 1 4 42 4, ( ) м с 2 1 65, м/с2 .

Пример 3. Ящик массой m1 20 кг соскальзывает по идеально гладкому лоткудлиной l 2 м на неподвижную тележку с песком и застревает в нем. Тележка спеском массой m2 80 кг может свободно (без трения) перемещаться по рельсам вгоризонтальном направлении. Определить скорость u тележки с ящиком, если лотокнаклонен под углом 30 к рельсам.

Page 14: fizika.ugtu.netfizika.ugtu.net/files/zaochn/fizika_1.pdf · УДК 53 (075.8) C32 ББК 22.3 Физика. Часть 1: Учебное пособие / И.К. Серов, Н.П.

12

Решение. Тележку и ящик можно рассматривать как систему двух не упруговзаимодействующих тел. Но эта система не замкнута, так как на нее действуют внеш-ние силы: силы тяжести m1g и m2g и сила реакции N2 . Поэтому применить законсохранения импульса к системе ящик - тележка нельзя. Но так как проекцииуказанных сил на направление оси x, совпадающей с направлением рельсов, равны

нулю, то проекцию импульса системы наэто направление можно считатьпостоянной,т.е. p p p px x x x1 2 1 2 ' ' , (1)где p x1 и p x2 - проекции импульса ящика итележки с песком в момент падения ящикана тележку, p x1

' и p x2' - те же величины после

падения ящика.Рассматривая тела системы какматериальные точки, выразим в равенстве(1) импульсы тел через их массы и

скорости, учитывая, что p x2 0 (тележка до взаимодействия с ящиком покоилась), атакже что после взаимодействия оба тела системы движутся с одной и той жескоростью u : ummm x )(v 2111 ,или ummm )(cosv 2111 ,где v1 - модуль скорости ящика перед падением на те лежку; v1x = v1cosα - проекцияэтой скорости на ось x. Отсюда ),/(cosv 2111 mmmu ( )2Модуль скорости v1 определим из закона сохранения энергии:

2v 2

111

mghm ,

где h l sin , откуда.sin2v1 gl

Подставив выражение v1 в формулу (2), получим

um gl

m m

1

1 2

2 sin cos .

После вычислений найдем

u

20 2 9 81 2 30

20 8030

00, sin

cos = 0 2 19 6 0 867, , , м / с = 0 767, м / с.

Пример 4. На спокойной воде пруда перпендикулярно берегу и носом к нему стоитлодка массой M и длиной L ,. На корме стоит человек массой m . На какоерасстояние s удалится лодка от берега, если человек перейдет с кормы на нос лодки?Силами трения и сопротивления пре небречь.Решение. Систему человек - лодка относительно горизонтального направленияможно рассматривать как замкнутую. Согла сно следствию из закона сохраненияимпульса, внутренние силы замкнутой системы тел не могут изменить положениецентра масс системы. Приме няя это следствие к системе человек - лодка, можносчитать, что при перемещении человека по лодке центр масс системы н е изменит

Page 15: fizika.ugtu.netfizika.ugtu.net/files/zaochn/fizika_1.pdf · УДК 53 (075.8) C32 ББК 22.3 Физика. Часть 1: Учебное пособие / И.К. Серов, Н.П.

13

своего положения, т. е. оста нется напрежнем расстоянии от берега. Пустьцентр масс системы человек - лодканаходится на вертикали, проходящей вначальный момент через точку C1лодки, а после перемещения лодки -через другую ее точку C2 .Так как эта вертикаль неподвижнаотносительно берега, то искомоеперемещение s лодки относительноберега равно перемещению лодкиотносительно вертикали. А этопоследнее легко определить поперемещению центра масс О лодки.Как видно из рисунка, в начальный момент точка О находится на расстоянии a1 слеваот вертикали, а после перехода человека - на расстояние a2 справа отвертикали.Следовательно, искомое перемещение лодки

s a a 1 2 . (1)Для определения a1 и a2 воспользуемся тем, что результирующий момент сил,действующих на систему от носительно горизонтальной оси, перпендикулярнойпродольной оси лодки, равен нулю. Поэтому для начального положения системы

)( 11 almgMga , откудаmla 1 )( mM .

После перемещения лодки )( 22 laLmgMga , откуда)(2 lLma ( )M m .

Подставив полученные выражения a1 и a2 (1), найдем

sm

M ml

mM m

L l

( ), или sm

M mL

Пример 5. При выстреле из пружинного пистолета вертикально вверх пуля массойm 20 г поднялась на высоту h 5 м. Определить жесткость k пружины пистолета,если она была сжата на x 10 см. Массой пружины и силами трения пренебречь.Решение. Рассмотрим систему пружина - пуля. Так как на тела системы действуюттолько консервативные силы, то для решения задачи можно применить за консохранения энергии в механике. Согласно ему полная механическая энергия E1

системы в начальном состоянии (в данном случае перед выстрелом) равна полнойэнергии E2 в конечном состоянии (когда пуля поднялась на высоту h), т. е.

E E1 2 , или Т1 + П1 = Т2 + П2 (1)где Т1, Т2, П1 и П2 - кинетические и потенциальные энергии системы в начальном иконечном состояниях.Так как кинетические энергии пули в начальном и к онечном состояниях равны нулю,то равенство (1) примет вид

1 2 . (2)

Page 16: fizika.ugtu.netfizika.ugtu.net/files/zaochn/fizika_1.pdf · УДК 53 (075.8) C32 ББК 22.3 Физика. Часть 1: Учебное пособие / И.К. Серов, Н.П.

14

Примем потенциальную энергию пули в поле сил тяго тения Земли, когда пуляпокоится на сжатой пружине, равной нулю, а высоту подъема пули будемотсчитывать от торца сжатой пружины. Тогда энергия системы в на чальномсостоянии будет равна потенциальной энергии сжатой пружины, т. е. 1

212 kx , а в

конечном состоянии - потенциальной энергии пули на высоте h , т. е. 2 mgh .Подставив выражения 1 и 2 в формулу (2), найдем 1

22kx mgh , откуда

k mgh x 2 2 . (3)Проверим, дает ли полученная формула единицу жесткости Н/м. Для этого в правуючасть формулы (3) вместо величин подставим их единицы:

мН1м

мс1мкг2

-2

1112

xhgm .

Убедившись, что полученная единица является еди ницей жесткости (1 Н/м),подставим в формулу (3) значения величин и произведем вычисления:

k

2 0 02 9 81 5

0 11962

, ,( , )

H м H м .

Пример 6. Шар массой m1 , движущийся горизонтально с некоторой скоростью 1 ,столкнулся с неподвижным шаром массой m2 . Шары абсолютно упругие, ударпрямой, центральный. Какую долю своей кинетической энергии первый шарпередал второму? Решение. Доля энергии, переданной первым шаром второму, выразитсясоотношением

2

1

2

1

2211

222

1

2

2/2/

umm

mum

TT

где T1 - кинетическая энергия первого шара до удара; u2 и T2 - скорость икинетическая энергия второго шара.Как видно из формулы (1), для определения надо найти u2 . Согласно условиюзадачи, импульс системы двух шаров относительно горизонтального направления неизменяется и механическая энергия шаров в другие виды не переходит. Поль зуясьэтим, найдем:

m m u m u1 1 1 1 2 2 , (2)

222

222

211

211 umumm

. (3)

Решим совместно уравнения (2) и (3):

um

m m21 1

1 2

2

подставив это выражение u2 в формулу (1) и сократив на 1 и m1 , получим

221

21

2

211

11

1

2

)(4

)(2

mmmm

mmm

mm

Page 17: fizika.ugtu.netfizika.ugtu.net/files/zaochn/fizika_1.pdf · УДК 53 (075.8) C32 ББК 22.3 Физика. Часть 1: Учебное пособие / И.К. Серов, Н.П.

15

Из найденного соотношения видно, что доля переданной энергии зависит только отмасс сталкивающихся шаров.Пример 7. Через блок в виде сплошного диска,имеющего массу m 80г, перекинута тонкая гибкаянить, к концам которой подвешены грузы с массамиm1 100 г и m2 200 г. Определить ускорение, скоторым будут двигаться грузы, если их предоставитьсамим себе. Трением и массой нити пренебречьРешение. Рассмотрим силы, действующие на каждыйгруз и на блок в отдельности. На каждый груздействуют две силы: сила тяжести и сила упругости(сила натяжения нити). Направим ос ь x вертикальновниз и напишем для каждого груза уравнениедвижения (второй закон Нью тона) в проекциях наэту ось. Для первого груза amTgm 111 ; (1)для второго груза m g T m a2 2 2 . (2)

Под действием моментов сил '1T и '

2T относительно оси z, перпендикулярнойплоскости чертежа и направлен ной за чертеж, блок приобретает угловое ускорение ε.Согласно основному уравнению динамики вращательного движения,

zrTrT '1

'2 , (3),

где ε =a/r, 2

21 mrz -момент инерции блока (сплош ного диска) относительно оси z.

Согласно третьему закону Ньютона, с учетом невесо мости нити 1'

1 TT , 2'

2 TT .Воспользовавшись этим, подставим в уравнение (3) вместо '

1T и T2' выражения T1 и

T2 , получив их предварительно и з уравнений (1) и (2):( ) ( )m g m a r m g m a r mr a2 2 1 1

2 ( )2r .После сокращения на r и перегруппировки членов найдем

am m

m m mg

2 1

2 1 2 (4)

Формула (4) позволяет массы m m1 2, и m выразить в граммах, как они даны в условиизадачи, а ускорение - в единицах СИ. После подстановки числовых зна чений вформулу (4) получим

a

( )( )

, ,200 100

200 100 80 29 81 2 88м / с2

Пример 8. Маховик в виде сплошного диска радиусом R 0 2, м и массой m 50кграскручен до частоты вращения n1 480 мин -1 и предоставлен сам себе. Под действиемсил трения маховик остановился через t 50 с. Найти момент М сил трения.Решение. Для решения задачи воспользуемся основным уравнением дина микивращательного движения в виде

dL M dtz z (1)где dLz - изменение проекции на ось z момента импульса маховика, вращающегосяотносительно оси z, совпадающей с геометрической осью маховика, за интервал вре -

Page 18: fizika.ugtu.netfizika.ugtu.net/files/zaochn/fizika_1.pdf · УДК 53 (075.8) C32 ББК 22.3 Физика. Часть 1: Учебное пособие / И.К. Серов, Н.П.

16

мени dt; Mt - момент внешних сил (в данном случае момент сил трения),действующих на маховик относи тельно оси z .Момент сил трения можно считать не изменяющимся с течением времени( M constz ), поэтому интегрирование уравнения (1) приводит к выражению

L M tz z . (2)При вращении твердого тела относительно неподвиж ной оси изменение проекциимомента импульса

zz JL (3)где Jt - момент инерции маховика относительно оси z, - изменение угловойскорости маховика.Приравняв правые части равенств (2) и (3), получим zz JtM , откуда

tJM zz

( )4

Момент инерции маховика в виде сплошного диска определяется по формуле2

21 mRJ z .

Изменение угловой скорости 2 1 выразим через конечную n2 и начальнуюn1 частоты вращения, пользуясь соотношением 2 n :

2 1 2 1 2 12 2 2n n n n( ) .Подставив в формулу (4) выражения z и , получим

)( 122 nnmRM z t . (5)

Проверим, дает ли расчетная формула единицу мо мента силы (Н∙м). Для этого вправую часть формулы вместо символов велич ин подставим их единицы:

мН1

111 22

c

c1м -1кгt

nRm .

Подставим в (5) числовые значения величин и произ ведем вычисления, учитывая, чтоn1 480 480 60 8 мин с с-1 -1 -1 :

мН-1=мН

50

)80()2,0(5014,3 2

zM

Знак минус показывает, что момент сил трения ока зывает на маховик тормозящеедействие.Пример 9. Платформа в виде сплошного диска радиу сом R 1 5, м и массойm1 180 кг вращается около вертикальной оси с частотой n 10мин -1 . В центре плат-формы стоит человек массой m2 60 кг. Какую линейную скорость v относительнопола помещения будет иметь человек, если он перейдет на край платформы?Решение. Согласно условию задачи, момент внеш них сил относительно осивращения z , совпадающей с геометрическо й осью платформы, можно считать рав -ным нулю. При этом условии проекция Lz момента импульса системы платформа -человек остается постоянной:

constJL zz , (1)где Jz - момент инерции платформы с человеком отно сительно оси z , - угловаяскорость платформы.

Page 19: fizika.ugtu.netfizika.ugtu.net/files/zaochn/fizika_1.pdf · УДК 53 (075.8) C32 ББК 22.3 Физика. Часть 1: Учебное пособие / И.К. Серов, Н.П.

17

Момент инерции системы равен сумме моментов инер ции тел, входящих в составсистемы, поэтому в началь ном состоянии 21 JJJ z , а в конечном состоянии

'2

'1

'1 JJJ . С учетом этого равенство (1) примет вид

''2

'121 )()( JJJJ (2)

где значения моментов инерции J1 и J2 платформы и человека соответственноотносятся к начальному состоя нию системы; '

1J и '2J - к конечному.

Момент инерции платформы относительно оси z при переходе человека неизменяется: 2

1'11 2

1 RmJJ . Момент инерции человека относительно той же осибудет изменяться. Если рассматривать человека как материаль ную точку, то егомомент инерции J2 в начальном состоянии (в центре платформы) можно считатьравным нулю. В конечном состоянии (на краю платформы) момент инерции человека

22

'2 RmJ .

Подставим в формулу (2) выражения моментов инер ции, начальной угловой скоростивращения платформы с человеком (=2n) и конечной угловой скорости ('=v/R), гдеv - скорость человека относительно пола:

RRmRmnRm v)21(2)02

1( 22

21

21 .

После сокращения на R2 и простых преобразований находим скорость:).2/(2v 211 mmnRm

Произведем вычисления:

смcм /1/602180

1805,16114,32

v

Пример 10. Ракета установлена на поверхности Земли для запуска в вертикальномнаправлении. При какой минимальной скорости 1 , сообщенной ракете при запуске,она удалится от поверхности на расстояние, равное радиусу Земли ( R 6 37 106, м)?Всеми силами, кроме силы гравитационного взаимодействия ракеты и Земли,пренебречь.Решение. Со стороны Земли на ракету действует сила тяжести, являющаясяпотенциальной силой. При не работающем двигателе под действием потенциальнойсилы механическая энергия ракеты изменяться не будет. Следовательно,

T T1 1 2 2 , (1)где T1 1, и T2 2, - кинетическая и потенциальная энергии ракеты после выключениядвигателя в начальном (у поверхности Земли) и конечном (на расстоянии, рав номрадиусу Земли) состояниях. Согласно определению кинетической энергии,

T m1 121

2 .Потенциальная энергия ракеты в начальном со стоянии

1 GmM R .По мере удаления ракеты от поверхности Земли ее потенциальная энергия возрастает,а кинетическая - убывает. В конечном состоянии кинетическая энергия T2 станетравной нулю, а потенциальная - достигнет максимального значения:

2 2 GmM R( )

Page 20: fizika.ugtu.netfizika.ugtu.net/files/zaochn/fizika_1.pdf · УДК 53 (075.8) C32 ББК 22.3 Физика. Часть 1: Учебное пособие / И.К. Серов, Н.П.

18

Подставляя выражения T1 1, , T2 2, в (1), получаемm GmM R GmM R1

2 2 2 ( ) , откуда ./1 RGMЗаметив, что GM R g2 ( g -ускорение свободного падения у поверхности Земли),перепишем эту формулу в виде 1 gR ,что совпадает с выражением для первой космической скорости. Произведемвычисления:

9,7/1037,68,9 61 cм км/с.

Пример 11. Точка совершает гармонические колеба ния с частотой 10 Гц. Вмомент, принятый за началь ный, точка имела максимальное смещение: xmax 1 мм.Написать уравнение колебаний точки.Решение. Уравнение колебаний точки можно за писать в виде

x A t sin( ) 1 , (1)где А - амплитуда колебаний, - циклическая частота, t - время, 1 - начальнаяфаза. По определению, амплитуда колебаний

A x max (2)Циклическая частота связана с частотой соотношением

2 . (3)Для момента времени t 0 формула (1) примет вид

x Amax sin 1 откуда начальная фаза1 1 arcsin( ) arcsinmaxx A ,

или 1 2 1 2 ( )k ( , , ,...)k 0 1 2 .Изменение фазы на 2 не изменяет состояния коле блющейся точки, поэтому можнопринять 1 2 . (4)С учетом равенств (2) - (4) уравнение колебаний примет вид

x A t sin( )2 , или x A t cos2 ,где А= 1 мм = 10 3 м, = 10 Гц, 2 .

Пример 12. Частица массой m 0 01, кг совершает гармонические колебания спериодом T 2 с. Полная энергия колеблющейся частицы E 0 1, мДж. Определитьамплитуду А колебаний и наибольшее значение силы Fmax , действующей на частицу.Решение. Для определения амплитуды колебаний воспользуемся выражением полнойэнергии частицы:

E m A 12

2 2 ,где 2 T . Отсюда амплитуда

AT E

m

22

(1)

Так как частица совершает гармонические колебания, то сила, действующая на нее,является квазиупругой и, следовательно, может быть выражена соотношениемF kx где k - коэффициент квазиупругой силы; x - смещение колеблющейся точки.Максимальной сила будет при максимальном смещении xmax , равном амплитуде:

Page 21: fizika.ugtu.netfizika.ugtu.net/files/zaochn/fizika_1.pdf · УДК 53 (075.8) C32 ББК 22.3 Физика. Часть 1: Учебное пособие / И.К. Серов, Н.П.

19

F kAmax (2)Коэффициент k выразим через период колебаний:

k m m T 2 2 24 . (3)Подставив выражения (1) и (3) в (2) и произведя упрощения, получим

F mE Tmax 2 2 .Произведем вычисления:

2

4

10102

14,322

A м = 0,045 м = 45 мм;

Fmax

,

2 3 14

22 10 102 4 Н = 4,44 м Н.

Пример 13. Складываются два колебания одинако вого направления, выраженныеуравнениями

)(2cos);(2cos 222111

tT

AxtT

Ax ,

где A1 3 см, A2 2 см, 1 1 6 с, 2 1 3 с, T 2 с. Построить векторнуюдиаграмму сложения этих колеба ний и написать уравнение результирующегоколебания.Решение. Для построения векторной диаграммы сложения двух колебаний одногонаправления надо фиксировать какой -либо момент времени. Обычно век торнуюдиаграмму строят для момента времени t 0 . Преобразовав оба уравнения кканонической форме x A t cos( ) , получим

x AT

tT1 1 1

2 2 cos( )

;

x AT

tT2 2 2

2 2 cos( )

Отсюда видно, что оба складываемыхгармонических колебания имеют одинаковуюциклическую частоту

2 T .Начальные фазы первого и второго кол ебанийсоответственно равны

1 1

2

T ;

2 2

2

T.

Произведем вычисления:

2 22

3 141 1

Tc c, ; 030=рад

61

22

1

, 060=рад31

22

2

.

Изобразим векторы A1 и A2 . Для этого отложим отрезки длиной A1 = 3 см и A2 = 2 смпод углами 1

030 и 2060 к оси Ох. Результирующее колебание будет

происходить с той же частотой и амплитудой A , равной геометрической суммеамплитуд A1 и A2 : A A A 1 2 . Согласно теореме косинусов,A A A A A 1

222

1 2 2 12 cos( ) .

Page 22: fizika.ugtu.netfizika.ugtu.net/files/zaochn/fizika_1.pdf · УДК 53 (075.8) C32 ББК 22.3 Физика. Часть 1: Учебное пособие / И.К. Серов, Н.П.

20

Начальную фазу результирующего колебания можно такж е определитьнепосредственно из векторной диаграммы:

arctgA AA A

1 1 2 2

1 1 2 2

sin sincos cos

Произведем вычисления:смсм)3060cos(23223 0022 4,84=A ;

arctg arctg3 30 2 603 30 2 60

0 898 420 0

0 00sin sin

cos cos,

или 0 735, рад.Так как результирующее колебание является гармо ническим, имеет ту же частоту, чтои слагаемые колебания, то его можно записать в видеx A t cos( ) ,

где A 4 84, см, 3 14 1, c , 0 735, рад.

Контрольная работа 1

Таблица вариантов

Вариант Номера задач

0 110 120 130 140 150 160 170 1801 101 111 121 131 141 151 161 1712 102 112 122 132 142 152 162 1723 103 113 123 133 143 153 163 1734 104 114 124 134 144 154 164 1745 105 115 125 135 145 155 165 1756 106 116 126 136 146 156 166 1767 107 117 127 137 147 157 167 1778 108 118 128 138 148 158 168 1789 109 119 129 139 149 159 169 179

101. Движение точки по кривой задано уравнениями х = A1t3 и у = А2t, где А1= 1м/с3,А2 = 2 м/с. Найти уравнение траектории точки, её скорость v и полное ускорение а вмомент времени t = 0,8 с.102. Тело брошено с балкона вертикально вверх со скоростью v1 =10 м/с. Высотабалкона над поверхностью земли h = 12,5 м. Написать уравнение движения иопределить среднюю путевую скорость < v> с момента бросания до момента паденияна землю.

Page 23: fizika.ugtu.netfizika.ugtu.net/files/zaochn/fizika_1.pdf · УДК 53 (075.8) C32 ББК 22.3 Физика. Часть 1: Учебное пособие / И.К. Серов, Н.П.

21

103. Диск вращается с угловым ускорением = - 2 рад/с2. Сколько оборотов N сделае тдиск при изменении частоты вращения от n1 = 240 мин-1 до n2= 90 мин -1. Найтивремя t, в течение которого это произойдёт.104. Тело брошено со скоростью v0 = 20 м/с под углом = 30° к горизонту.Пренебрегая сопротивлением воздуха, определить для мом ента времени t=1,5с посленачала движения: 1) нормальное ускорение; 2) тангенциальное у скорение.105. Нормальное ускорение точки, движущейся по окружности радиусом R= 4 м,задаётся уравнением а n = А + Bt + Ct2 (A = 1 м/с2, В = 6 м/с3 , С = 9 м/с4). Определить:1) тангенциальное ускорение точки; 2) путь, пройденный точкой за время t1 = 5спосле начала движения; 3) полное ускорение для момента времени t2 = 1с.106. Линейная скорость v1 точки, находящейся на ободе вращающегося диска, в трираза больше, чем линейная скорость v2 точки, находящейся на 6 см ближе к его оси.Определить радиус диска.107. Колесо вращается с постоянным угловым ускорением = 3 рад/с2. Определитьрадиус колеса, если через t = 1 с после начала движения полное ускор ение колесаа = 7,5 м/с2 .

108. Диск вращается вокруг неподвижной оси так, что зависимость угла пов оротарадиуса диска от времени задаётся уравнением = At2 (A=0,1рад/с2). Определитьполное ускорение а точки на ободе диска к концу второй секунды после началадвижения, если линейная скорость этой точки в этот момент v = 0,4 м/с.109. Студент проехал половину пути на велосипеде со скоростью v1=16км/ч. Далееполовину оставшегося времени он ехал со скоростью v2= 12 км/ч, а затем до концапути шёл пешком со скоростью v3 = 5 км/ч. Определить среднюю ск орость движениястудента на всём пути.110. Зависимость скорости тела от времени задана уравнением v = 0,3t2 (м/с).Определить путь, пройденный телом за промежуток времени от t 1 = 2с до t2 = 5с.Движение прямолинейное.111. Тело массой m = 0,2 кг соскальзывает без трения с горки высотой h=2м. Найтиизменение импульса р тела.112. На железнодорожной платформе, движущейся по инерции со скоростьюv0= 3км/ч, укреплено орудие. Масса платформы с орудием М=10 т. Ствол ор удиянаправлен в сторону движения платформы. Снаряд массой m = 10 кг выл етает изствола под углом = 60° к горизонту. Определить скорость v снаряда (относительноЗемли), если после выстрела скорость платформы уменьшилась в n = 2 раза.113. В ящик с песком массой 9 кг, сос кальзывающий с гладкой наклонной пло скости,попадает горизонтально летящее ядро массой 3 кг и застревает в нем. Найдитескорость ящика сразу же после попадания ядра, если непосредственно передпопаданием скорость ящика равнялась 6 м/с, а скорость ядра = 12 м/с. Угол наклона кгоризонту 60°.114. Из пушки, свободно соскальзывающей по наклонной плоскости с углом наклона, в тот момент, когда она прошла путь L от начала движения, производится выстрелв горизонтальном направлении, в результате которого пушка о станавливается.Найдите скорость снаряда, если его масса m, а масса пушки равна М.115. Снаряд летит горизонтально со скоростью 600м/с и разрывается на два о сколка.Первый падает по вертикали, а второй, массой в 2 раза меньше первого, движется

Page 24: fizika.ugtu.netfizika.ugtu.net/files/zaochn/fizika_1.pdf · УДК 53 (075.8) C32 ББК 22.3 Физика. Часть 1: Учебное пособие / И.К. Серов, Н.П.

22

после разрыва под углом 30° к горизонту. Найдите скорости осколковнепосредственно после разрыва.116. Лодка длиной 3м и массой 150кг стоит в спокойной воде. На носу и корме лодкинаходятся два рыбака массами 60кг и 90кг. На сколько сдвинется лодка, если рыбакипоменяются местами? Сопротивлением воды пренебречь.117. Три лодки одинаковой массы m идут друг за другом с одинаковой скор остью v.Из средней лодки одновременно в переднюю и заднюю лодки бросают горизонтальносо скоростью u относительно этой лодки грузы массой m1. Найдите скорости лодокпосле переброски грузов.118. Шарик массой m = 200 г ударился о стену со скоростью v = 10 м/с и отскочил отнеё с такой же скоростью. Определить импульс р (по величине и н аправлению),сообщённый шарику.119. Шарик массой m = 100 г свободно падает с высоты h1 = 1м на стальную плиту иподпрыгивает на высоту h2 = 0,5 м. Определить импульс р (по величине инаправлению), сообщённый плитой шарику.120. Лодка массой М = 150 кг и длиной L = 2,8 м стоит неподвижно в стоячей воде.Рыбак массой m = 90 кг в лодке переходит с носа на корму. Пренебрегаясопротивлением воды, определить, на какое расстояние S при этом сдвинется лодка.121. Два шарика массой m1 = 3 кг и массой m2 = 2 кг подвешены на нитях длинойL = 1м. Первоначально шары соприкас ались между собой; затем больший шаротклонили от положения равновесия на угол = 60° и отпустили. Считая ударупругим, определить скорость v2 второго шара после удара.122. Два шара массами m1 = 9 кг и m2 = 12 кг подвешены на нитях длиной L=1,5м.Первоначально шары соприкасаются между собой, затем меньший шар отклонили наугол = 30° и отпустили. Считая удар неупругим, определить в ысоту h, на которуюподнимутся оба шара после удара.123. Тело массой m1 = 3 кг, движется со скоростью v1 = 2 м/с и ударяется онеподвижное тело такой же массы. Считая удар центральным и неупругим,определить количество теплоты, выделившееся при ударе.124. Пуля массой m = 15 г, летящая горизонтально со скоростью v=200м/с, попадает вбаллистический маятник длиной L = 1м и массой М= 1,5 кг и застревает в нём.Определить угол отклонения маятника.125. Тело брошено вертикально вверх со скоростью v0 = 20 м/с. Пренебрегаясопротивлением воздуха, определить, на какой высоте h кинетическая энергия телабудет равна его потенциальной э нергии.126. Один шар соударяется с другим, неподвижным, масса которого в 3 раза меньше.Удар абсолютно неупругий, центральный. Сколько процентов перв оначальнойкинетической энергии перешло в тепло при ударе?127. Тело массой 2 кг ударяется о неподвижное т ело массой 5 кг. Кинетическаяэнергия системы этих двух тел непосредственно после удара стала равна 10 Дж.Считая удар центральным и неупругим, найдите кинетическую энергию первого теладо удара.128. Боёк свайного молота массой m1 = 0,6 т падает с некоторой высоты на сваюмассой m1 = 150 кг. Найдите КПД бойка, считая удар неупругим. Поле зной считатьэнергию, пошедшую на углубление сваи.

Page 25: fizika.ugtu.netfizika.ugtu.net/files/zaochn/fizika_1.pdf · УДК 53 (075.8) C32 ББК 22.3 Физика. Часть 1: Учебное пособие / И.К. Серов, Н.П.

23

129. Молот массой m = 10 кг ударяет по небольшому куску мягкого железа,лежащего на наковальне. Масса наковальни М = 0,4 т. Определить КПД удара молотапри данных условиях. Удар считать неупругим. Полезной в данном сл учае являетсяэнергия, пошедшая на деформацию куска железа.130. Тело массой m = 0,4 кг скользит с наклонной плоскости высотой h = 10 см идлиной L = 1м. Коэффициент трения тела на всём пути k = 0,04. Определить: 1)кинетическую энергию тела у основания плоскости; 2) путь, пройде нный телом нагоризонтальном участке до остановки.131. Гиря массой m = 10 кг падает с высоты h = 0,5 м на подставку, скреплё нную свертикальной пружиной жёсткостью k = 30 Н/см. Определить при этом смещ ениепружины.132. К нижнему концу пружины жёсткостью k1 присоединена другая пружинажёсткостью k2, к концу которой прикреплена гиря. Пренебрегая массой пружин,определить отношение потенциальных энергий пружин.133. Пружина жёсткостью k = 10 4 Н/м сжата силой F = 200 Н. Определить работувнешней силы, дополнительно сжимающей эту пружину ещё на L=1см.134. Вагон массой m = 20 т двигался со скоростью v = 1м/с. Налетев на пружинныйбуфер, он остановился, сжав пружину буфера на х = 10см. Определить жёсткостьпружины.135. С какой скоростью вылетит из пружинного пистолета шарик массой m = 10 г,если пружина была сжата на х = 5 см и жёсткость пружины k = 200 H/м.136. Гиря, положенная на верхний конец спиральной пружины, сжимает её нах = 2мм. На сколько сожмёт пружину та же гиря, упавшая на конец пружины свысоты h = 5 см?137. Спортсмен с высоты h = 12 м падает на упругую сетку. Пренебрегая массойсетки, определить, во сколь ко раз наибольшая сила давления спор тсмена на сеткубольше его силы тяжести, если прогиб сетки под действием силы тяжести спортсменаX0 = 15 см.138. Пренебрегая трением, определить наименьшую высоту h, с которой дол жнаскатываться тележка с человеком по ж ёлобу, переходящему в петлю радиуса R = 6 м,и не оторваться от него в верхней точке петли.139. При выстреле из пружинного пистолета вертикально вверх пуля массой 20г,поднялась на высоту 5 м. Определить жёсткость пружины пистолета, если она быласжата на 10 см. Массой пружины пренебречь.140. Молотком, масса которого 1 кг забивали в стену гвоздь массой 75 г. ОпределитьКПД удара молотка при этих условиях.141. Искусственный спутник Земли движется вокруг неё по круговой орбите.Определить, во сколько раз г равитационная потенциальная энергия спутника большеего кинетической энергии.142. Определить, в какой точке (считая от Земли) на прямой, соединяющей центрыЗемли и Луны напряженность гравитационного поля равна нулю. Ра сстояние междуцентрами Земли и Луны равно 60 R, где R - радиус Земли, масса Земли в 81 разбольше массы Луны.143. Принимая, что радиус Земли известен, определить, на какой высоте h надповерхностью Земли напряжённость поля тяготения равна 4,9 Н/кг.

Page 26: fizika.ugtu.netfizika.ugtu.net/files/zaochn/fizika_1.pdf · УДК 53 (075.8) C32 ББК 22.3 Физика. Часть 1: Учебное пособие / И.К. Серов, Н.П.

24

144. Стационарным искусственным спутником Земли называется спутник,находящийся постоянно над одной и той же точкой экватора. Определить ра сстояниетакого спутника до центра Земли.145. На какой высоте h ускорение силы тяжести вдвое меньше его значения наповерхности Земли?146. Два одинаковых однородных шарика из одинакового материала, соприк асаясьдруг с другом, притягиваются. Определить, как изменится сила притяж ения, еслимассу шаров увеличить в n = 3 раза.147. Две материальные точки массами m1 и m2 расположены друг от друга нарасстоянии R. Определить угловую скорость вращения, с которой они должнывращаться вокруг общего центра масс, чтобы расстояние между ними осталосьпостоянным.148. Определить среднюю плотность Земли, если известны ее радиус игравитационная постоянная.149. Период обращения искусственного спутника Земли составляет 3 часа. Сч итая егоорбиту круговой, определить на какой высоте от поверхности Земли находитсяспутник.150. Считая орбиту Земли круговой, определить линейную скорость движения Земливокруг Солнца.151. Определить момент инерции тонкого однородного стержня длиной L = 50 см имассой m = 360 г относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через:1) конец стержня; 2) точку, отстоящую от конца стержня на 1/6 его длины.152. Шар и сплошной цилиндр, изготов ленные из одного и того же материала,одинаковой массы катятся без скольжения с одинаковой скоростью. Опред елить, восколько раз кинетическая энергия шара меньше кинетической энергии сплошногоцилиндра.153. Полый тонкостенный цилиндр массой m = 5 кг, катя щийся без скольжения,ударяется о стену и откатывается от неё. Скорость цилиндра до удара о стенуv = 1,4 м/с, после удара v' = 1 м/с. Определить выделившееся при ударе колич ествотеплоты Q.154. Шар радиусом R = 10 см и массой m = 5 кг вращается вокруг оси симметриисогласно уравнению = А + Bt2 + Ct3 (В = 2 рад/с2 , С = - 0,5 рад/с3). Определитьмомент силы М для t = З с.155. Вентилятор вращается с частотой n = 600 об/мин. После выключения он началвращаться равнозамедленно и, сделав N = 50 оборотов, остановился. Работа А силторможения равна 31,4 Дж. Определить: 1) момент М сил тормож ения; 2) моментинерции J вентилятора.156. К ободу однородного сплошного диска радиусом R = 0,5 м приложенапостоянная касательная сила F = 100 Н. При вращении диска на него действуетмомент сил трения М тр = 2 Нм. Определить массу диска, если известно, что егоугловое ускорение постоянно и равно 16 рад/с 2 .157. Колесо радиусом R = 30 см и массой m = 3 кг скатывается по наклоннойплоскости длиной l = 5 м и углом наклона = 25°. Определить момент инерцииколеса, если его скорость v в конце движения составляла 4,6 м/с.

Page 27: fizika.ugtu.netfizika.ugtu.net/files/zaochn/fizika_1.pdf · УДК 53 (075.8) C32 ББК 22.3 Физика. Часть 1: Учебное пособие / И.К. Серов, Н.П.

25

158. Маховик в виде сплошного диска, момент инерции которого J = 1,5кг м2,вращаясь при торможении равнозамедленно, за время t = 1 мин уменьшил ча стотусвоего вращения с n1 = 240 об/мин до n2 = 120 об/мин. Определить:1) угл овоеускорение маховика; 2) момент силы торможения; 3) работу торможения А.159. На однородном сплошном цилиндрическом вале радиусом R = 50см нам отаналёгкая нить, к концу которой прикреп лён груз массой m = 6,4кг. Груз, ра зматываянить, опускается с ускорением а = 2 м/с 2 . Определить: 1) момент ине рции вала;2) массу М вала.160. С наклонной плоскости, составляющей угол = 30° к горизонту, скатывается безскольжения шарик. Пренебрегая тре нием, определить время движения шарика понаклонной плоскости, если известно, что его центр масс при скат ывании понизилсяна 30см.161. Вертикальный цилиндр может свободно вращаться вокруг вертикальнойнеподвижной оси. Масса цилиндра M, радиус R. В цилиндр попадает горизонтальнолетящая пуля массой m со скоростью v и моментально застревает в нём. Траекторияпули проходит на расстоянии b от оси цилиндра. Найдите угловую скорость цилиндрапосле удара, если до удара цилиндр покоился.162. Платформа, имеющая форму сплошного однородного диска, может вр ащаться поинерции вокруг неподвижной вертикальной оси. На краю платформы стоит человек,масса которого в 3 раза меньше массы платформы. Определить, как и во сколько разизменится угловая скорость вращения платформы , если человек перейдёт ближе кцентру на расстояние, равное половине радиуса платформы.163. Человек массой m = 60 кг, стоящий на краю горизонтальной платформырадиусом R = 1м и массой М = 120 кг, вращающейся по инерции вокруг непо движнойвертикальной оси с частотой n1 = 10 мин -1, переходит к её центру. Считая платформукруглым однородным диском, а человека - точечной массой, определить работу,совершаемую человеком при переходе от края платформы к её центру.164. На верхней поверхности горизонтального д иска, которой может вращатьсявокруг вертикальной оси, проложены по окружности радиуса г = 50 см рельсыигрушечной железной дороги. Масса диска М = 10 кг, его радиус R = 60 см. Нарельсы неподвижного диска был поставлен заводной паровозик массой m = 1кг ивыпущен из рук. Он начал двигаться относительно рельс со скоростью v = 0,8 м/с. Скакой угловой скоростью будет вращаться диск?165. Платформа в виде диска вращается по инерции около вертикальной оси счастотой n1 = 15 об/мин. На краю платформы стоит челов ек. Когда человек перешёл вцентр платформы, частота возросла до n2 = 25 об/мин. Масса человек m = 70 кг.Определить массу М платформы. Момент инерции человека рассч итывать, как дляматериальной точки.166. Человек стоит на скамье Жуковского и ловит мяч ма ссой m = 0,4 кг, летящий вгоризонтальном направлении со скоростью v = 20 м/с. Траектория мяча проходит нарасстоянии г = 0,8 м от вертикальной оси вращения скамейки. С какой угловойскоростью начнёт вращаться скамейка Жуковского с челов еком, поймавшим мяч?Считать, что суммарный момент инерции человека и скаме йки J = 6 кг м2 .167. Платформа, имеющая форму диска, может вращаться около вертикальной оси.На краю платформы стоит человек. На какой угол повернётся платформа, если

Page 28: fizika.ugtu.netfizika.ugtu.net/files/zaochn/fizika_1.pdf · УДК 53 (075.8) C32 ББК 22.3 Физика. Часть 1: Учебное пособие / И.К. Серов, Н.П.

26

человек пойдёт вдоль края платформы и, обойдя её, вернётся в исходную точку?Масса платформы М = 240 кг, масса человека m = 60 кг. Момент ине рции человекарассчитывать как для материальной точки.168. На скамейке Жуковского стоит человек и держит в руках стержень,расположенный вертикально по оси вращения скамейки. Скамейка с челов екомвращается с угловой скоростью 1 = 1 рад/с. С какой угловой скоростью 2 будетвращаться скамейка с человеком, если повернуть стержень так, чтобы он занялгоризонтальное положение? Суммарный момент ин ерции человека и скамейкиJ = 6 кг м 2. Длина стержня L = 2,4 м, его масса m = 8кг. Считать, что центр тяжести

стержня с человеком находится на оси платформы.169. На краю горизонтальной платформы, имеющей форму диска радиусом R = 2м,стоит человек. Масса платформы М = 200 кг, масса человека m = 80 кг. Платформаможет вращаться вокруг вертикальной оси, проходящей через её центр. Пренебрегаятрением, найти, с какой угловой скоростью будет вращаться платформа, если человекбудет идти вдоль её края со скор остью v = 2 м/с относительно платформы.170. Шарик массой m = 50 г, привязанной к концу нити длиной L1 = 1м, вращается счастотой n1 = 1 об/с, опираясь на горизонтальную плоскость. Нить укор ачивается,приближая шарик к оси вращения до расстояния L2 = 0,5м. С какой частотой n2 будетпри этом вращаться шарик? Какую работу А совершает внешняя сила, укорачиваянить? Трением шарика о плоскость пренебречь.171. Точка участвует одновременно в двух гармонических колебаниях, прои сходящихво взаимно перпендикулярных направлениях и описываемых уравн ениями х = 3cost,у = 4cost. Определить уравнение траектории точки и выче ртить её с нанесениеммасштаба.172. Складываются два взаимно перпендикулярных колебания, выражаемыхуравнениями х = A1sint и у = A2cos(t + ), где A1 = 2см, A2 = 1см, = с-1, =0,5с.Найти уравнение траектории и построить её, указав направление движ ения точки.173. Точка участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных колеб аниях,выражаемых уравнениями х = A1cost и у = A2sint, где A1=2см, A2=1см. Найтиуравнение траектории точки и построить её, указав направление движения.174. На концах тонкого стержня длиной L = 30см укреплены одинаковые груз ики поодному на каждом конце. Стержень с грузиками колеблется около гор изонтальнойоси, проходящей через точку, удалённую на a = 10см от одного из концов стержня.Определить приведённую длину L и период Т колебаний так ого физическогомаятника. Массой стержня пренебречь.175. Математический маятник длиной L1 = 40 см и физический маятник в вид етонкого прямого стержня длиной L2 = 60 см синхронно колеблются около о дной и тойже горизонтальной оси. Определить расстояние а центра масс стержня от осиколебаний.176. Груз, подвешенный к спиральной пружине, колеблется по вертикали самплитудой А = 8 см. Определить жёсткость k пружины, если известно, чтомаксимальная кинетическая энергия Т МАХ груза составляет 0,8 Дж.177. Однородный диск радиусом R = 20 см колеблется около горизонтальной оси,проходящей на расстоянии L = 15 см от центра диска. Опр еделить период Тколебаний диска относительно этой оси.

Page 29: fizika.ugtu.netfizika.ugtu.net/files/zaochn/fizika_1.pdf · УДК 53 (075.8) C32 ББК 22.3 Физика. Часть 1: Учебное пособие / И.К. Серов, Н.П.

27

178. Тонкий обруч радиусом R = 50 см подвешен на вбитый в стену гвоздь иколеблется в плоскости, параллельной стене. Определить период Т колебаний обруча.179. Тонкий однородный стержень длиной L = 60 см может свободно вращат ьсявокруг горизонтальной оси, отстоящей на расстоянии х = 15 см от его сер едины.Определить период колебаний стержня, если он совершает малые кол ебания.180. Складываются два гармонических колебания одного направления, опис ываемыхуравнениями х1 = 3cos2t см и х2 = 3cos (2t + /4) см. Определить длярезультирующего колебания: 1) амплитуду; 2) начальную фазу. Записать ура внениерезультирующего колебания и представить векторную диаграмму слож енияамплитуд.

2. МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА.

Основные формулы.

Количество вещества тела (системы) AN/N ,где N – число структурных элементов (молекул, атомов, ионов и т. п.), составляющихтело (систему); AN - постоянная Авогадро ( 1231002,6 мольAN ). Молярная масса вещества m/M ,где m – масса однородного тела (системы); - количество вещества этого тела. Относительная молекулярная масса вещества

iri An ,rM ,где in - число атомов i-го химического элемента, входящих в состав молекулыданного вещества; ir,A - относительная атомная масса этого элемента. Относительныеатомные массы приводятся в таблице Д. И. Менделеева. См. так же табл. 9Приложения. Связь молярной массы М с относительной молекулярной массой вещества

krMM ,где -310k кг/моль. Количество вещества смеси газов

AnAAn NNNNNN /...//... 212 1 ,

или ,...2

2

n

n

Mm

Mm

1

1

Mm

где iii MmN ,,,i - соответственно количество вещества, число молекул, масса,молярная масса i-го компонента смеси. Уравнение Менделеева – Клапейрона (уравнение состояния идеального газа)

RTRT MmpV

где m – масса газа, М – молярная масса газа, R – молярная газовая постоянная, - количество вещества, Т – термодинамическая температура. Опытные газовые законы, являющиеся частными случаями Менделеева –Клапейрона для изопроцессов:

Page 30: fizika.ugtu.netfizika.ugtu.net/files/zaochn/fizika_1.pdf · УДК 53 (075.8) C32 ББК 22.3 Физика. Часть 1: Учебное пособие / И.К. Серов, Н.П.

28

а) закон Бойля – Мариотта (изотермический процесс: Т = const, m=const)pV = const,или для двух состояний газа 221 VpV 1p ; б) закон Гей – Люссака (изобарный процесс: p = const, m = const)

TV = const,

или для двух состояний2

2

TV

1

1

TV ;

в) закон Шарля (изохорный процесс: V = const, m = const)

Tp = const,

или для двух состояний2

2

Tp

1

1

Tp ;

г) объединенный газовый закон (m = const)

TpV =const, или

2

22

1

1

TVp

TV

1p

где 11 ,, TV1p - давление, объем, и температура газа в начальном состоянии; 22 ,, TV2p -те же величины в конечном состоянии. Закон Дальтона, определяющий давление смеси газов,

nppp ...21p ,где ip - парциальные давления компонентов смеси; n – число компонентов смеси. Парциальным давлением называется давление газа, которое производил бы этот газ,если бы только он один находился в сосуде, занятом смесью.

Молярная масса смеси газовn

nmm

......

21

21mM ,

где im - масса i-го компонента смеси;i

i

Mm

i - количество вещества i-го компонента

смеси; n – число компонентов смеси.Массовая доля i-го компонента смеси газа (в долях единицы или процентах)

,mmii

где m – масса смеси.

Концентрация молекулM

N AVNn

где N – число молекул, содержащихся в данной системе; - плотность вещества; V –объем системы. Формула справедлива не только для газов, но и для любогоагрегатного состояния вещества. Основное уравнение кинетической теории газов Пn 3

2p ,где П - средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы. Средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы

kT23п ,

Page 31: fizika.ugtu.netfizika.ugtu.net/files/zaochn/fizika_1.pdf · УДК 53 (075.8) C32 ББК 22.3 Физика. Часть 1: Учебное пособие / И.К. Серов, Н.П.

29

где k - постоянная Больцмана.

Средняя полная кинетическая энергия молекулы kTi2

i ,

где i – число степеней свободы молекулы. Зависимость давления газа от концентрации молекул и температуры

nkTp . Скорости молекул:

MRT

mkT 33v

1

кв - средняя квадратичная;

MRT

mkT

88v

1

- средняя арифметическая;

MRT

mkT 22v

1

В - наиболее вероятная,

где 1m - масса одной молекулы. Относительная скорость молекулы Вu v/v ,где v - скорость данной молекулы.

Средняя длина свободного пробега молекулыnd 22

1

,

где d -эффективный диаметр молекулы.Среднее число столкновений молекулы в единицу времени

v2z 2nd .

Уравнение диффузии ,dtdSdxdDdm

где D - коэффициент диффузии, - плотность, d/dx - градиент плотности,dS - элементарная площадка , перпендикулярная оси О x, dt - время.

Уравнение теплопроводности dtdSdxdTd Q

где - коэффициент теплопроводности, dT/dx - градиент температуры, dt - время.

Сила внутреннего трения dSdxddF v

,

где - коэффициент динамической вязкости, dv/dx - градиент скорости, dS - элементплощади.

Коэффициент диффузии v31D .

Коэффициент динамической вязкости D v31 .

Коэффициент теплопроводности vv cc v31 ,

где cV - удельная теплоемкость при постоянном объеме.Удельные теплоемкости газа при постоянном объеме Vс и постоянном давлении pc

MRi

2Vc ,

MRi

22

pc .

Page 32: fizika.ugtu.netfizika.ugtu.net/files/zaochn/fizika_1.pdf · УДК 53 (075.8) C32 ББК 22.3 Физика. Часть 1: Учебное пособие / И.К. Серов, Н.П.

30

Связь между удельной с и молярной С теплоемкостямиcMCC/M,c .

Уравнение Майера RCV pC .

Внутренняя энергия идеального газа TCMmRTi

V2M

mU .

Первое начало термодинамики AU Q ,где Q – теплота, сообщенная системе (газу); U - изменение внутренней энергиисистемы; А – работа, совершенная системой против внешних сил. Работа расширения газа:

2

1

V

V

pdVA в общем случае;

)1V 2p(VA при изобарном процессе;

1

2lnVVRT

Mm

A при изотермическом процессе;

TCVMm-U-A , или

1

2

11

VV

Mm

1-RT

A 1

при адиабатном процессе, гд е Vc/Pc - показатель адиабаты. Уравнения Пуассона, связывающие параметры идеального газа при адиабатном

процессе: pV = const,1

2

1

VV

1

2

TT ,

2

1

VV

1

2

pp ,

/)1(

1

2

pp

1

2

TT

Термический КПД цикла1

21

QQ-Q

,

где 1Q - теплота, полученная рабочим телом от теплоотдатчика; 2Q - теплота,переданная рабочим телом теплоприемнику.

Термический КПД цикла Карно1

21

TTT

1

21

QQ-Q

,

где T1 и T2 - термодинамические температуры теплоотдатчика и теплоприемника. Коэффициент поверхностного натяжения

Fl

или

ES

,

где F - сила поверхностного натяжения, действующая на контур 1, ограничивающийповерхность жидкости; E - изменение свободной энергии поверхностной плен кижидкости, связанное с изменением площади S поверхности этой пленки. Формула Лапласа, выражающая давление p , создаваемое сферической

поверхностью жидкости: pR

2

где R - радиус сферической поверхности. Высота подъема жидкости в капиллярной трубке

Page 33: fizika.ugtu.netfizika.ugtu.net/files/zaochn/fizika_1.pdf · УДК 53 (075.8) C32 ББК 22.3 Физика. Часть 1: Учебное пособие / И.К. Серов, Н.П.

31

hgR

2 cos

где - краевой угол ( = 0 при полном смачивании сте нок трубки жидкостью; при полном несмачивании); R - радиус канала трубки; - плотность жидкости; g -ускорение свободного падения.Высота подъема жидкости между двумя близкими и параллельными друг другу

плоскостями hgd

2 cos

где d - расстояние между плоскостями.Изменение энтропии при переходе из состояния 1 в состояние 2

2

112 .

TQdSS

Примеры решения задач

Пример 1. Определить для серной кислоты: 1) относи тельную молекулярную массуM r , 2) молярную массу М.Решение. 1. Относительная молекулярная масса вещества равна суммеотносительных атомных масс всех элементов, атомы которых входят в составмолекулы данного вещества, и определяется по фо рмуле

irir AnM , , ( 1)где ni - число атомов i го элемента, входящих в моле кулу; Ar i, - относительнаяатомная масса i -го элемента.Химическая формула серной кислоты имеет вид H SO2 4 . Так как в состав молекулысерной кислоты входят атомы трех элементов, то стоящая в правой части равенства(1) сумма будет состоять из трех слагаемых и эта формула примет вид :

M n A n A n Ar r r r 1 1 2 2 3 3, , , . (2)Из формулы серной кислоты далее следует, что n1 2 (два атома водорода), n2 1(один атом серы) и n3 4 (четыре атома кислорода).Значения относительных атомных масс водорода, серы и кислорода найдем в таблицеД. И. Менделеева или в табл. 9 Приложения: A r,1 =1, A r,2 =32, A r,3 =16.Подставив значения ni и Ar i, в формулу (2), найдем относительную молекулярнуюмассу серной кислоты:

M r 2 1 1 32 4 16 98 .2. Зная относительную молекулярную массу M r , найдем молярную массу сернойкислоты по формуле: M M kr (3)где k 10 3 кг/моль. Подставив в (3) значения величин, получим

M 98 10 3 кг/моль.Пример 2. В сосуде объемом 2 м3 находится смесь 4 кг гелия и 2 кг водорода притемпературе 27 °С. Определить давление и моляр ную массу смеси газов.

Page 34: fizika.ugtu.netfizika.ugtu.net/files/zaochn/fizika_1.pdf · УДК 53 (075.8) C32 ББК 22.3 Физика. Часть 1: Учебное пособие / И.К. Серов, Н.П.

32

Дано: 32мV , 41m кг, 3104 1M кг/моль, 22m кг, 3102 2M кг/моль, 300T К.Найти: Р; М.Решение. Воспользуемся уравнением Клапейрона — Менделеева, применив его кгелию и водороду:

11 / MRTmV 1P (1)22 / MRTmV 2p (2)

где 1p — парциальное давление гелия; 1m — масса гелия;1M — его молярная масса; V — объем сосуда; Т — температура газа;

R = 8,31 Дж/(мольК) — молярная газовая постоянная; 2p — парциальное давлениеводорода; 2m — масса водорода; 2 М — его молярная масса. Под парциальнымдавлением 1p и 2p понимается то давление, которое производил бы газ, если бы онтолько один находился в сосуде. По закону Дальтона давление смеси равно суммепарциальных давлений газов, входящих в состав смеси:

2p 1pp (3)Из уравнения (1) и (2) выразим 1p и 2p и подставим в уравнение (3). Имеем

VRT

Mm

Mm

VMRTm

VMRTm

2

2

1

1

2

2

1

1p (4)

Молярную массу смеси газов найдем по формуле

21

2

vvmM

1m (5)

где 1 и 2 — число молей гелия и водорода соответственно. Число молей газовопределим по формулам:

11 / Mm1 ; (6)22 / Mm2 . (7)

Подставляя (6) и (7) в (5), найдем

2211

2

// MmMmm

1mM (8)

Подставляя числовые значения в формулы (4) и (8), получаем

МПаПа 493,210493,22

30031,81022 6

3

3-104

4p .

молькг /103

1022

1044

3

33

24М

Ответ: р= 2,493 МПа, -3103М кг/моль.Пример 3. Определить число N молекул, содержащихся в объеме V 1мм 3 воды, имассу m1 молекулы воды. Считая условно, что молекулы воды имеют вид шариков,соприкасающихся друг с другом, найти диаметр d молекул.Решение. Число N молекул, содержащихся в некоторой системе массой m, равнопроизведению постоянной Авогадро N A на количество вещества : N N A .

Page 35: fizika.ugtu.netfizika.ugtu.net/files/zaochn/fizika_1.pdf · УДК 53 (075.8) C32 ББК 22.3 Физика. Часть 1: Учебное пособие / И.К. Серов, Н.П.

33

Так как m M , где M - молярная масса, то NmN

MA . Выразив в этой формуле

массу как произведение плотности на объем V, получимN V N MA .

Произведем вычисления, учитывая, что M 18 10 3 кг/моль (см. табл. 9 Приложениядля H2O):

N

10 1018 10

6 02 103 9

323, молекул = 3 34 1019, молекул.

Массу m1 одной молекулы можно найти по формулеm M N A1 . (1)

Подставив в (1) значения M и N A найдем массу молекулы воды:

m1

3

23

18 106 02 10

, кг 2 99 10 26, кг.

Если молекулы воды плотно прилегают друг к другу, то можно считать, что накаждую молекулу приходится объем (кубическая ячейка) V d1

3 , где d - диаметрмолекулы. Отсюда d V 1

3 (2)Объем V1 найдем, разделив молярный объем Vm на число молекул в моле, т. е. на N A :

V V Nm A1 (3)Подставим выражение (3) в (2):

d V Nm A 3 .где V Mm . Тогда d M N A ( )3 . (4)Проверим, дает ли правая часть выражения (4) единицу длины:

MN A

13 1

311

кг моль1кг моль 1моль

м-1 ·

Произведем вычисления:

d

18 1010 6 02 10

3

3 233

,м = 3,11 10 м = 311пм-10 .

Пример 4. В баллоне объемом 10 л находится гелий под давлением p1 =1МПа и притемпературе T1 =300 К. После того как из баллона было взято m =10г гелия,температура в баллоне понизилась до T2 =290К. Определить давление p2 гелия,оставшегося в баллоне.Решение. Для решения задачи воспользуемся уравнением Менделеева - Клапейрона ,применив его к конечному состоянию газа:

p VmM

RT22

2 . (1)

где m2 - масса гелия в баллоне в конечном состоянии ; М - молярная масса гелия; R -молярная газовая постоянная. Из уравнения (1) выразим искомое давление:

p m R T MV2 2 2 ( ) . (2)Массу m2 гелия выразим через массу m1 , соответствующую начальному состоянию, имассу т гелия, взятого из баллона :

Page 36: fizika.ugtu.netfizika.ugtu.net/files/zaochn/fizika_1.pdf · УДК 53 (075.8) C32 ББК 22.3 Физика. Часть 1: Учебное пособие / И.К. Серов, Н.П.

34

m m m2 1 . (3)Массу m1 гелия найдем также из уравнения Менде леева - Клапейрона, применив его кначальному состоянию:

m Mp V RT1 1 1 ( ) . (4)Подставив выражение массы m1 в (3), а затем выражение m2 в (2), найдем

pMp VRT

mRTMV2

1

1

2

,

или pTT

pmM

RTV2

2

11

2 · (5)

Проверим, дает ли формула (5) единицу давления. Для этого в ее правую часть вместосимволов величин подставим их единицы. В правой части формулы два сла гаемых.Очевидно, что первое из них дает единицу давления, так как состоит из двухмножителей, первый из которых ( T T2 1 ) - безразмерный, а второй - давление.Проверим второе слагаемое:

ПамНмДж

молькгККмольДжкг

VMTRm

111

11

11)/(11

3

333

1К1м1К1Дж

1кг1моль

1м1кг/моль

Паскаль является единицей д авления. Произведем вычисления по формуле (5),учитывая, что M 4 10 3 кг/моль (см. табл. 9 Приложения для He):

0,364МПа=Па103,64=Па 5

29010

31,8104

1010300290

23

26

2p .

Пример 5. Баллон содержит m1 =80 г кислорода и m2 = 320 г аргона. Давление смесиp = 1 МПа, температура T =З00 К. Принимая данные газы за идеальные, определитьобъем V баллона.Решение. По закону Дальтона, давление смеси равно сумме парциальных давленийгазов, входящих в состав смеси. По уравнению Менделеева - Клапейрона,парциальные давления p1 кислорода и p2 аргона выражаются формулами

),( 111 VMTRmp ),( 222 VMTRmp Следовательно, по закону Дальтона, давление смеси газов

VRT

Mm

Mmpppp

2

2

1

121 или, ,

откуда объем баллона

p2

2

1

1 RTMm

MmV

. (1)

Произведем вычисления, учитывая, что 31 1032 M кг/моль, 3

2 1040 M кг/моль(см. табл. 9 Приложения для O2 и Ar) :

л2,26м0262,0м10

30031,8104032,0

103208,0

633

33V .

Page 37: fizika.ugtu.netfizika.ugtu.net/files/zaochn/fizika_1.pdf · УДК 53 (075.8) C32 ББК 22.3 Физика. Часть 1: Учебное пособие / И.К. Серов, Н.П.

35

Пример 6. Найти среднюю кинетическую энергию вр вращательного движенияодной молекулы кислорода при температуре T =350К, а также кинетическую энергиюEк вращательного движения всех молекул кислорода массой m=4 г.Решение. На каждую степень свободы молекулы газа приходится одинаковая

средняя энергия kT21

1

где k - постоянная Больцмана, T - термодинамическая температура газа. Так каквращательному движению двухатомной молекулы (молекула кислорода -двухатомная) соответствуют две степени свободы, то средняя энергия вращательногодвижения молекулы кислорода

kTВР 212 . (1)

Кинетическая энергия вращательного движения всех молекул газаNE ВРк . (2)

Число всех молекул газа N = NA , (3)где NA - постоянная Авогадро; - количество вещества.

Если учесть, что количество вещества = m/M, где m - масса газа, M -молярная масса газа, то формула (3) примет вид

MmNN A ,

Подставив выражение N в формулу (2), получаемMmNE ВРA к . (4)

Произведем вычисления, учитывая, что для кислорода ( O2) 31032 M кг/моль(см. табл. 9 Приложения):

3501038,1 23 kTВР Дж = 4 83 10 21, Дж;

213

323 1083,4

10321041002,6

кE Дж = 364 Дж.

Пример 7. Вычислить удельные теплоемкости при постоянном объеме cv и припостоянном давлении pc неона и водорода, принимая эти газы за идеальные.Решение. Удельные теплоемкости идеальных газов выражаются фо рмулами

MRicv 2

, (1)

MRicp 2

2 , (2)

где i - число степеней свободы молекулы газа, М - молярная масса. Для неона(одноатомный газ) i =3 и 31020 M кг/моль (см. табл. 9 Приложения).Произведем вычисления:

)(кгДж106,24=)(кгДж 2 ККcv

3102031,8

23 ;

К)(кгДж101,04=)(кгДж 3

Кcp 3102031,8

223 .

Для водорода (двухатомный газ) i =5 и М= 2 10 3 кг/моль. Тогда

Page 38: fizika.ugtu.netfizika.ugtu.net/files/zaochn/fizika_1.pdf · УДК 53 (075.8) C32 ББК 22.3 Физика. Часть 1: Учебное пособие / И.К. Серов, Н.П.

36

)(кгДж101,04=)(кгДж 4 ККcv

310231,8

25

)(кгДж101,46=)(кгДж 4 ККcp

310231,8

225

Пример 8. Вычислить удельные теплоемкости Vc и Pc смеси неона и водорода, еслимассовые доли неона и водорода составляют 1 = 80 % и 2 = 20 %. Значенияудельных теплоемкостей газов взять из предыдущего примера.Решение. Удельную теплоемкость vc смеси при постоянном объеме найдемследующим образом. Теплоту, необходимую для нагревания смеси на T , выразимдвумя способами:

Tmmc )(Q 21v , (1)Tmcmc )(Q 22,v11,v , (2)

где 1,vc - удельная теплоемкость неона; 2,vc - удельная теплоемкость водорода.Приравняв правые части (1) и (2) и разделив обе части полученного равенства

на T , получим 22,v11,v21v )( mcmcmmc . Отсюда

21

22,v

21

11,vv mm

mcmm

mcc

,

или 22,v11,vv ccc

где21

11 mm

m

,21

22 mm

m

Рассуждая так же, получим формулу для вычисления удельной теплоемкостисмеси при постоянном давлении:

22,11, ppp ccc . Произведем вычисления:

)/()2,01004,18,01024,6( 42v КкгкДжККc 2,58=)(кгДж102,58=)(кгДж 3

)(кгкДж3,75=)(кгДж103,75=)(кгДж 3 КККcp )2,01046,18,01004,1( 43

Пример 9. Определить среднюю длину свободного пробега молекул и числосоударений за 1 с, происходящих между всеми молекулами кислорода, находящегосяв сосуде емкостью 2 л при температуре 27 °С и давлении 100 кПа.Решение. Средняя длина свободного пробега молекул кисло рода вычисляется поформуле )2/(1 2nd (1)где d — эффективный диаметр молекулы кислорода; п — число молекул в единицеобъема, которое можно определить из ура внения п = p/(kT), (2)где k — постоянная Больцмана. Подставляя (2) в (1), имеем

)2/( 2 pdkT (3)Число соударений Z, происходящих между всеми молекулами за 1 с, равно

N Z1/2Z (4)

Page 39: fizika.ugtu.netfizika.ugtu.net/files/zaochn/fizika_1.pdf · УДК 53 (075.8) C32 ББК 22.3 Физика. Часть 1: Учебное пособие / И.К. Серов, Н.П.

37

где N — число молекул кислорода в сосуде объемом 3102 м3 ,Z - среднее число соударений одной молекулы за 1с. Число молекул в сосуде

N = nV (5)Среднее число соударений молекулы за 1с равно

/vZ (6)где v - средняя арифметическая скорость молекулы

)/(8 MRT v (7)Подставляя в (4) выражения (5) ,(6) и (7), находим

.22821

22

222

MRT

TkVpdV

kTp

kTpd

MRTZ

.

Подставляя числовые значения, получим

;109/103214,3

300)/(31,8

1091038,11021010

1283

242246

33210220

смолькг

ККмольДж

ККДжмПам22,93,142Z

м.1056,3Па10м109,214,32

300К

Дж1038,18

52202

23

К

Ответ: Z =91028 c-1 , =3,5610-8 м.Пример 10. Определить коэффициенты диффузии и внутреннего тре ния азота,находящегося при температуре T=300 К и давлении 105 Па.Решение. Коэффициент диффузии определяется по формуле

v31D (1)

где v - средняя арифметическая скорость молекул, равная

MRT8v ; (2)

- средняя длина свободного пробега молекул. Для нахожде ния воспользуемсяформулой (3) из решения примера 9:

pdkT

22

(3)

Подставляя (2) и (3) в выражение (1), имеем

.32

28

22 MRT

pdkT

pdkT

MRT

31D (4)

Коэффициент внутреннего трения

,31

v (5)

где — плотность газа при температуре 300 К и давлении 105 Па. Для нахождения воспользуемся уравнением состояния идеального газа. Запишем его для двухсостояний азота — при нормальных условиях 0T =273 К, p0 = 1,01105 Па и в условияхзадачи:

Page 40: fizika.ugtu.netfizika.ugtu.net/files/zaochn/fizika_1.pdf · УДК 53 (075.8) C32 ББК 22.3 Физика. Часть 1: Учебное пособие / И.К. Серов, Н.П.

38

;)/( 00 RTMmV 0p .)/( RTMmpV (6)Учитывая, что 0/Vm0 , = m /V, имеем

.0

00

TppT

(7)

Коэффициент внутреннего трения газа может быть выражен че рез коэффициентдиффузии:

TppTD0

00 D (8)

Подставляя числовые значения в (4) и (8), получим

;/107,4/102814,3

300)/(31,810101,3134,33300/ 25

352202 сммолькг

ККмольДжПамККДж

-23101,382D

)./(1023,53001001,1

27310/25,1/ 55

53 смкг

КПаКПамкгсм

5-104,7

Ответ: )./(1023,5,/ 52 смкгсм -5104,7DПример 11. Кислород массой m = 2 кг занимает объем V1 1 м 3 и находится поддавлением p1 0,2 МПа. Газ был нагрет сначала при постоянном давлении до объемаV2 3 м 3 , а затем при постоянном объеме до давления p3 = 0,5 МПа. Найти изменениеU внутренней энергии газа, совершенную им работу А и теплоту Q, переданнуюгазу. Построить график процесса.Решение. Изменение внутренней энергии газа

TmMRiTmcU v

2; (1)

где i - число степеней свободы молекул газа (для двух атомных молекул кислорода i=5); T T T 3 1 , - разность температур газа в конечном (тре тьем) и начальномсостояниях. Начальную и конечную температуру газа найдем из уравнения

Менделеева - КлапейронаM

mRTpV , откуда

mRpVMT .

Работа расширения газа при постоянномдавлении выражается формулой

TRMmA 1 .

Работа газа, нагреваемого при постоянномобъеме, равна нулю: 02 AСледовательно, полная работа, совершаемая газом,

121 AAAA .Согласно первому началу термодинамики, теплотаQ, переданная газу, равна сумме измен ениявнутренней энергии U и работы A

Q = U + A.

Page 41: fizika.ugtu.netfizika.ugtu.net/files/zaochn/fizika_1.pdf · УДК 53 (075.8) C32 ББК 22.3 Физика. Часть 1: Учебное пособие / И.К. Серов, Н.П.

39

Произведем вычисления, учтя, что для кислорода 31032 M кг/моль

(см. табл. 9 Приложения): KKT 38531,82

10321102 35

1

KKT 115531,82

10323102 35

2

KKT 288731,82

10323105 35

3

0,4МДж=Дж100,400=Дж 6

31 1032

)3851155(231,8A

МДж4,01 AA

3,24МДж=Дж103,24Дж 6

31032

)3852887(231,825U

3,64МДж=МДж)4,024,3(Q График процесса приведен на рисунке.Пример 12. В цилиндре под поршнем находится водо род массой m =0,02кг при

температуре 1T З00 К. Водород сначала расширился адиабатно, увеличив свой объемв n1 =5 раз, а затем был сжат изотермически, причем объем газа уменьшился в n2 = 5раз. Найти температуру в конце адиабатного ра сширения и работу, совершаемуюгазом при этих процессах. Изобразить процесс графически.Решение. Температуры и объемы газа, совершающего адиабатный процесс, связаны

между собой соотношением 11

1

2

1

1

2 1или,

nVV

TT

1

2

TT

где - отношение теплоемкостей газа при постоянном давлении и постоянномобъеме, 121 VVn .Отсюда получаем следующее выражение для конечной температуры:

1112 nTT .

Работа A1 газа при адиабатном расширении может быть определена по формуле

)(2

)( 21211 TTRiMmTTC

MmA V ,

где CV - молярная теплоемкость газа при постоянном объеме. Работа A2 газа приизотермическом процессе может быть выраженав виде

222

2

322

1lnили,lnn

RTMmA

VVRT

MmA ,

где n V V2 2 3 .Произведем вычисления, учитывая, что дляводорода как двухатомного газа =1,4, i =5 иM 2 10 3 кг/моль:

KKT 4,014,12 5300

5300

Так как 50 4, =1,91 (находится

логарифмированием), то KKT 15791,1

3002 ;

Page 42: fizika.ugtu.netfizika.ugtu.net/files/zaochn/fizika_1.pdf · УДК 53 (075.8) C32 ББК 22.3 Физика. Часть 1: Учебное пособие / И.К. Серов, Н.П.

40

кДжДж157300210231,8502,0

31 29,8=

A , кДж.Дж51ln15731,8

10202,0

32 21=

A .

Знак минус показывает, что при сжатии работа газа совершается над газомвнешними силами. График процесса прив еден на рисунке.Пример 13. Объем аргона, находящегося при давлении 80 кПа, увеличился от 1 до 2л.На сколько изменится внутренняя энергия газа, если расширение производилось:а) изобарно; б) адиабатно?Решение. Применим первый закон термодинамики. Соглас но этому закону,количество теплоты Q, переданное системе, расходуется на увеличение внутреннейэнергии U и на внешнюю механическую работу А:

Q = U + A (1)Величину U можно определить, зная массу газа m, удельную теплоемкость припостоянном объеме Vc и изменение температуры T :

U = mcV T. (2)Однако удобнее изменение внутренней энергии U определять через молярнуютеплоемкость VC , которая может быть выражена через число степеней свободы:

MRi

MCc V

V 2 (3)

Подставляя величину Vc из формулы (3) в (2), получаем

TRiMmU

2. (4)

Изменение внутренней энергии зависит от характера процесса, при котором идетрасширение газа. При изобарном расширении газа, согласно первому законутермодинамики, часть количества тепл оты идет на изменение внутреннейэнергии U , которая выражается формулой (4) Найти U для аргона по формуле (4)нельзя, так как масса газа и температура в условии задачи не даны. Поэтомунеобходимо провести преобраз ование формулы (4).Запишем уравнение Клапейрона — Менделеева для начального и конечногосостояний газа:

11 )/( RTMmpV ; 22 )/( RTMmpV ,или )()/()( 1212 TTRMmVVp . (5)Подставив (5) в формулу (4), получим

)(2 12 VVpiU . (6)

Это уравнение является расчетным для определения U при изобарном расширении.При адиабатном расширении газа теплообмена с внешней средой не происходит,поэтому Q = 0. Уравнение (1) запишется в виде

0 AU . (7)Это соотношение устанавливает, что работа расширения газа может бытьпроизведена только за счет уменьшения внутренней энергии газа (знак минус перед

U ):UA . (8)

Формула работы для адиабатного процесса имеет вид

Page 43: fizika.ugtu.netfizika.ugtu.net/files/zaochn/fizika_1.pdf · УДК 53 (075.8) C32 ББК 22.3 Физика. Часть 1: Учебное пособие / И.К. Серов, Н.П.

41

1

2

11 11

VVRT

MmA , (9)

где — показатель степени адиабаты, равный отношению теплоемкостей:

ii

CC

V

P 2 . Для аргона — одноатомного газа ( i =3) имеем 67,1 .

Находим изменение внутренней энергии при адиабатном про цессе для аргона,учитывая формулы (8) и (9):

11

1

2

11

VVRT

MmU . (10)

Для определения работы расширения арг она формулу (10) следует преобразовать,учитывая при этом параметры, данные в условии задачи. Применив уравнениеКлапейрона — Менделеева для данного случая 111 )/( RTMmVp , получимвыражение для подсчета изменения внутренней энергии:

11

1

2

121

VVVpU . (11)

Подставляя числовые значения в (6) и (11), имеем:

а) при изобарном расширении ДжмПаU 12110108,023 335 ;

б) при адиабатном расширении

Джм

ммПаU 6,441102

10)167,1(

10108,0167,1

33

33335

.

Ответ: а) U =121 Дж; б) U = - 44,6 Дж.Пример 14. Тепловая машина работает по обратимому циклу Карно. Температуратеплоотдатчика T1 500 К Определить термический КПД цикла и температуру T2

теплоприемника тепловой машины, если за счет каждого кило джоуля теплоты,полученной от теплоотдатчика, машина совершает работу A=350 Дж.Решение. Термический КПД тепловой машины показывает, какая доля теплоты,полученной от теплоотдатчика, превращается в механическую ра боту. ТермическийКПД выражается формулой =A/Q1,где Q1 - теплота, полученная от теплоотдатчика; А - работа, совершенная рабочимтелом тепловой машины.

Зная КПД цикла, можно по формуле 121 )( TTT определить температуруохладителя T2 : )1(12 TT . Произведем вычисления:

;35,01000350 KKT 325)35,01(5002 Пример 15. Определить изменение энтропии S при изотермическом расширенииазота массой m =10 г, если давление газа уменьшилось от 1,01 p МПа до 502 p кПа.Решение. Изменение энтропии, учитывая, что процесс изотермический,

2

1

2

1

QQ1QT

dTT

dS . (1)

Page 44: fizika.ugtu.netfizika.ugtu.net/files/zaochn/fizika_1.pdf · УДК 53 (075.8) C32 ББК 22.3 Физика. Часть 1: Учебное пособие / И.К. Серов, Н.П.

42

Согласно первому началу термодинамики, количество теплоты, полученное газом,Q = A + U. Для изотермического процесса U = 0, поэтому Q = A. Работа газа визотермическом процессе

2

1

1

2 lnlnppRT

Mm

VVRT

MmA . (2)

Подставив (2) в (1), найдем искомое изменение энтропии:

2

1lnppR

MmS .

Вычисляя, получаем S = 2,06 Дж/К.Пример 16. В сосуд с ртутью опущен открытый капилляр. Разность уровней ртути всосуде и капилляре h = 37 мм. Принимая плотность ртути 3/6,13 смг , а ееповерхностное натяжение = 0,5 Н/м, определить радиус кривизны ртутногомениска в капилляре.Решение. Избыточное давление, вызванное кривизной мениска,

Rp /2 ,где - поверхностное натяжение; R – радиус кривизны ртутного мениска. Так какртуть – несмачивающая жидкость, то она в капилляре опускается на такую высоту,при которой давление столба жидкости (гидростатическое давление) ghуравновешивается избыточным давлением p , т. е.

ghR /2 ,где - плотность ртути; g – ускорение свободного падения. Отсюда искомый радиускривизны ртутного мениска

)/(2 ghR .Вычисляя, получим R = 2,03 мм.

Контрольная работа 2

Таблица вариантов

Вариант Номера задач

0 210 220 230 240 250 260 270 2801 201 211 221 231 241 251 261 2712 202 212 222 232 242 252 262 2723 203 213 223 233 243 253 263 2734 204 214 224 234 244 254 264 2745 205 215 225 235 245 255 265 2756 206 216 226 236 246 256 266 2767 207 217 227 237 247 257 267 2778 208 218 228 238 248 258 268 2789 209 219 229 239 249 259 269 279

Page 45: fizika.ugtu.netfizika.ugtu.net/files/zaochn/fizika_1.pdf · УДК 53 (075.8) C32 ББК 22.3 Физика. Часть 1: Учебное пособие / И.К. Серов, Н.П.

43

201. Определить число N атомов в 1 кг водорода и массу одного атома водорода.202. Определить количество вещества водорода, заполняющего сосуд объемомV=3 л, если концентрация молекул газа в сосуде 318102 мn .203. Найти молярную массу M и массу m M одной молекулы поваренной соли.204. В сосуде вместимостью 1 л находится кислород массой 1г. Определитьконцентрацию молекул кислорода в сосуде.205. За время t = 10 суток из стакана полностью испарилось m = 100 г воды . Скольков среднем молекул вылетало с п оверхности воды за 1 с ?206. Вычислить массу одной молекулы кислорода .207. В сосуде вместимостью 5 л при нормальных условиях находится азот.Определить: 1) количество вещества ; 2) массу азота; 3) концентрацию n егомолекул в сосуде.208. В сосуде вместимостью V = 0,3 л при температуре T = 290 K находитсянекоторый газ. На сколько понизится давление p газа в сосуде, если из него из -заутечки выйдет N = 10 19 молекул?209. В колбе вместимостью 240 см3 находится газ при температуре 290 К и давлении50 кПа. Определите количество вещества газа (число м олей) и число его молекул.210. Во сколько раз плотность воздуха, заполняющего помещение зимой ( 71 t °С),больше его плотности летом ( 372 t °С)? Давление газа считать постоя нным.211. Два сосуда одинакового объема содержат кислород. В одном сосуде давлениеp1 = 2 MПа , и температура T1 = 800 K , в другом p2 = 2,5 MПа, T2 =200 K. Сосудысоединили трубкой и охладили находящийся в них кислород до температу ры T=200K.Определить установившееся в сосудах давление p.212. В баллоне находится газ при температуре T1 = 400 K. До какой температуры T2надо нагреть газ, чтобы его давление увеличилось в 1,5 раза?213. В закрытом сосуде находится 10 кг при давлении 10 7 Н/м2. Найти, какоеколичество газа взяли из сосуда, если окончательное давление стало равным 2,5 10 6 Н/м 2?214. Азот массой 7 г находится под давлением p1 = 0,1 МПа и температуре Т 1=290 К.Вследствие изобарного нагревания азот занял объем V2 = 10 л. Определить: 1) объемV1 газа до расширения ; 2) температуру Т 2 газа после расширения ; 3) плотности газадо и после расширения .215. Баллон объемом V = 30 л содержит смесь водорода и гелия при температуреТ=300 К и давлении p = 828 кПа. Масса m смеси равна 24 г. Определить массу m1водорода и массу m2 гелия .216. По газопроводной трубе идет углекислый газ СО 2 при давлении p=3,9105Н/м2 итемпературе t=70C. Какова скорость движения газа в трубе, если за t = 10 минпротекает m = 2 кг газа и площадь сечения канала трубы S=5см2? Mr co2 =44.217. Сосуд емкостью 331022 мV разделен пополам полупроницаемойперегородкой. В одну половину сосуда введен водород массой m1 = 2 г и азот массойm2 = 28 г , в другой половине вакуум . Через перегородку может диффундироватьтолько водород. Во время процесса поддерживается температура Т = 373 К. Какиедавления установятся в обеих частях сосуда?218. Сколько гелия потребуется для наполнения воздушного шара диаметром

Page 46: fizika.ugtu.netfizika.ugtu.net/files/zaochn/fizika_1.pdf · УДК 53 (075.8) C32 ББК 22.3 Физика. Часть 1: Учебное пособие / И.К. Серов, Н.П.

44

d = 10 м , чтобы шар смог поднять гру з весом Q = 980 Н при нормальноматмосферном давлении и температуре Т = 290 K ? Объемом груза пренебречь.219. Какой объем V занимает смесь газов - азота массой m1 = 1 кг и гелия массойm2 = 1 кг – при нормальных условиях?220. В сосуде объемом V = 0,01 м3 содержится смесь газов – азота массой m1=7г иводорода массой m2 = 1 г – при температуре Т = 280 K. Определить давление p смесигазов.221. Найдите полную кинетическую энергию 1024 молекул кислорода и давление,которое они оказывают на стенки сосуда , если они занимают объем 10 л притемпературе 300 К.222. Найдите температуру углекислого газа, если средняя энергия вращательногодвижения одной молекулы равна 1,610-20 Дж.223. Азот массой m = 10 г находится при температуре Т= 290 К . Определить:1) среднюю кинетическую энергию одной молекулы азота; 2) среднюю кинетическуюэнергию вращательного движения всех молекул азота. Газ считать идеальным .224. Кислород массой m = 1кг находится при температуре Т = 320 К. Определить:1) внутреннюю энергию молекул кислорода; 2) среднюю кинетическую энергиювращательного движения молекул кислорода. Газ считать идеальным.225. Определить внутреннюю энергию U водорода, а также среднюю кинетическуюэнергию молекулы этого газа при температуре Т=300К, если количество веществаν этого газа равно 0,5 моль.226. В закрытом сосуде находится смесь азота массой m 1 = 56 г и кислорода массойm 2 = 64 г. Определить изменение внутренней энергии этой смеси, если ее охладилина 20 .227. Определить среднюю арифмет ическую скорость < v > молекул газа, если ихсредняя квадратичная скорость < v КВ > = 1км /c .228. Определить среднюю квадратичную скорость < v КВ > молекулы газа,заключенного в сосуд вместимостью V = 2 л под давлением p = 200 кПа. Масса газаm = 3г.229. Найдите концентрацию молекул кислорода, если их средняя квадратичнаяскорость равна 400 м/с, а давление 5104 Па.230. Взвешенные в воздухе мельчайшие пылинки движутся так, как если бы онибыли очень крупными молекулами. Определите среднюю квадратич ную скоростьпылинки массой 10-2 г, если температура воздуха 300 К.231. Считая азот идеальным газом, определить его удельную теплоемкость:1) для изобарного процесса ; 2) для изохорного процесса .232. Определить удельные теплоемкости cv и cp , если известно, что некоторый газпри нормальных условиях имеет удельный объем V =5,67м3

./кг. Какой это газ?233. Определить удельные теплоемкости cV и cP смеси углекислого газа массойm 1 = 3 г и азота массой m 2 = 4 г .234. Вычислить удельные теплоемкости газа, зная , что его молярная массаМ = 4 10 -3 кг/ моль и отношение теплоемкостей Cp / Cv = 1,67 .235. Трехатомный газ под давлением p = 240 кПа и температуре t = 20C занимаетобъем V = 10 л. Определить теплоемкость Cp этого газа при постоянном давлении.

Page 47: fizika.ugtu.netfizika.ugtu.net/files/zaochn/fizika_1.pdf · УДК 53 (075.8) C32 ББК 22.3 Физика. Часть 1: Учебное пособие / И.К. Серов, Н.П.

45

236. Разность удельных теплоемкостей vp cc некоторого двухатомного газа равна260 Дж/(кгК). Найти молярную массу М газа и его удельные теплоемкости cP и cV .237. Определить удельную теплоемкость Vc смеси газов, содержащейV1=5 л водорода и V2=3 л гелия. Газы находятся при одинаковых условиях.238. Определить удельную теплоемкость pc смеси кислорода и азота, есликоличество вещества 1 первого компонента равно 2 моль, а количество вещества 2второго равно 4 моль.239. В баллоне находятся аргон и азот. Определить удельную теплоемкость Vcсмеси этих газов, если массовые доли аргона 1 и азота 2 одинаковы и равны 0,5.240. Смесь газов состоит из хлора и криптона, взятых при одинаковых условиях и вравных объемах. Определить удельную теплоемкость pc смеси.241. В сосуде емкостью 1 л содержится кислород массой m = 32 г. Определитьсреднее число соударений молекул в секунду при температуре T = 100 K .242. Определить среднюю длину и среднюю продолжительность свободного пробегамолекул водорода при температуре T = 400 K и давлении p =1,38 Па.243. Определить коэффициент диффузии гелия при давлении p= 106 Па и температуре27C .244. Определить коэффициент внутреннего трения кислорода при температуреT = 400 K.245. В сосуде емкостью 5 л содержится 40 г гелия. Определить среднее числосоударений молекул в секунду при температуре T = 400 K .246. Средняя длина свободного пробега молекул кислорода при температуре 300 К идавлении 0,1 МПа равна 200 нм. Найдите эффективный диаметр м олекулы кислорода.247. Средняя длина свободного пробега атомов гелия при нормальных условияхравна 180 нм. Найдите коэффициент диффузии гелия.248. Определите среднее число столкновений одной молекулы азота за 1 с принормальных условиях, если коэффициент вязкости азота при этих условиях = 1,810-5 Пас.

249. Найдите коэффициент теплопроводности гелия при нормальных условиях.Эффективный диаметр молекулы гелия 0,20 нм.250. Идеальный газ совершил процесс, в результате которого его давление возросло вn раз. Как и во сколько раз изменились средняя длина свободного пробега и среднеечисло столкновений каждой молекулы в единицу вр емени, если процесс изохорный?251. Кислород массой m = 32 г находится в закрытом сосуде под давлениемp = 0,1 MПа при температуре T = 290 K . После нагревания давление в сосудеповысилось в 4 раза. Определить: 1) объем сосуда; 2) температуру, до которой газнагрели; 3) количество теплоты, сообщенное газу.252. Некоторый газ массой 1кг находится при температуре T = 300 K и поддавлением p1 = 0,5 МПа. В результате изотермического сжатия давление газаувеличилось в 2 раза. Работа, затраченная на сжатие А = - 432 кДж. Определить:1) какой это газ ; 2) первоначальный удельный объем газа.253. Азот массой 50 г находится при температуре T1 = 280 K .В результатеизохорного охлаждения его давление уменьшилось в n = 2 раза, а затем в результатеизобарного расширения те мпература газа в конечном состоянии стала равной

Page 48: fizika.ugtu.netfizika.ugtu.net/files/zaochn/fizika_1.pdf · УДК 53 (075.8) C32 ББК 22.3 Физика. Часть 1: Учебное пособие / И.К. Серов, Н.П.

46

первоначальной. Определить: 1) работу, совершенную газом ; 2) изменениевнутренней энергии газа .254. Работа расширения некоторого идеального двухатомного газа составляетА = 2 кДж. Определить количество подвед енной к газу теплоты, если процесспротекал: 1) изотермически; 2) изобарно.255. Азот массой m = 1кг занимает при температуре T 1 = 300K объем V1 = 0,5м3. Врезультате адиабатического сжатия давление газа увеличилось в 3 раза. Определить:1) конечный объем газа; 2) его конечную температуру; 3) изменение внутреннейэнергии газа.256. Азот массой 500 г находящийся под давлением p1= 1MПа при температуреt1=127 C , подвергли изотермическому расширению, в результате которого давлениегаза уменьшилось в n = 3 раза. После этого газ подвергли адиабатическому сжатию доначального давления , а затем он был изобарно сжат до начального объема .Построить график цикла и определить работу , совершенную газом за цикл .257. Азот массой m = 14 г сжимают изотермическ и при температуре T = 300 K отдавления p1 = 100 кПа до p2 = 500 кПа. Определить : 1) изменение внутренней энергиигаза ; 2) работу сжатия ; 3) количество выделившейся теплоты .258. При адиабатическом расширении кислорода ( v = 2 моль ), находящегося принормальных условиях, его объем увеличился в n=3 раза. Определить: 1) изменениевнутренней энергии газа ; 2) работу расширения газа .259. Кислород массой 10 г, находящийся при температуре 370 К, подверглиадиабатическому расширению, в результате которого его давление уменьшилось вn=4 раза. В результате последующего изотермического процесса газ сжимается допервоначального давления. Определить : 1) температуру газа в конце процесса ;2) количество теплоты, отданное газом; 3) приращение внутренней энергии газа;4) работу, совершенную газом.260. Какая доля 1 количества теплоты Q , подводимого к идеальному двухатомномугазу при изобарном процессе, расходуется на увеличение U внутренней энергиигаза и какая доля 2 - на работу A расширения? Рассмотреть три случая, если газ:1) одноатомный; 2) двухатомный; 3) трехатомный.261. Идеальный газ, совершающий цикл Карно, 70 % количества теплоты,полученной от нагревателя, отдает холодильнику. Количество теплоты, получаемоеот нагревателя, равно 5 кДж. Определить : 1) термический к.п.д. цикла; 2) работу,совершенную при полном цикле.262. Идеальный газ совершает цикл Карно. Газ получил от нагревателя количествотеплоты 5,5 к Дж и совершил работу 1,1кДж. Определить: 1) термический к.п.д.цикла; 2) отношение температ ур нагревателя и холодильника .263. Идеальный газ совершает цикл Карно, термический к.п.д. которого равен 0,4.Определить работу изотермического сжатия газа, если работа изотермическогорасширения составляет 400 Дж.264. Идеальный газ совершает цикл Ка рно. Температура нагревателя T1=500К,холодильника Т2=300 К. Работа изотермического расширения газа составляет 2кДж.Определить: 1) термический к.п.д. цикла; 2) количество теплоты, отданное газом приизотермическом сжатии холодильнику.

Page 49: fizika.ugtu.netfizika.ugtu.net/files/zaochn/fizika_1.pdf · УДК 53 (075.8) C32 ББК 22.3 Физика. Часть 1: Учебное пособие / И.К. Серов, Н.П.

47

265. Многоатомный идеальный газ совершает цикл Карно , при этом в процессеадиабатического расширения объем газа увеличивается в n = 4 раза . Определитьтермический к.п..д. цикла .266. При нагревании двухатомного идеального газа ( v = 3 моль ) еготермодинамическая температ ура увеличилась в n=2 раза . Определить изменениеэнтропии , если нагревание происходит : 1) изохорно ; 2) изобарно .267. Идеальный газ (v = 2 моль ) сначала изобарно нагрели, так что объем увеличилсяв n1 = 2 раза , а затем изохорно охладили , так что давление его уменьшилось в n2 = 2раза . Определить приращение энтропии в ходе указанных процессов .268. Азот массой 28 г адиабатически расширили в n = 2 раза, а затем изобарно сжалидо первоначального объема. Определить изменение энтропии газа в ходе указанныхпроцессов .269. Кислород массой 2 кг увеличил свой объем в 5 раз, один раз изотермически,другой раз адиабатически . Каково изменение энтропии в этих двух случаях ?270. Водород массой 100 г был изобарически нагрет так, что его объем увеличился вn раз, затем он был изохорически охлажден так, что его давление уменьшилось в nраз. Найти изменение энтропии для n = 3 .271. При определении силы поверхностного натяжения капельным методом числокапель глицерина, вытекающего из капилляра, составляет n = 50 . Общая массаглицерина m = 1 г, а диаметр шейки капли в момент отрыва d = 1мм. Определитьповерхностное натяжение глицерина .272. Определить радиус R капли спирта, вытекающей из узкой вертикальной трубкирадиусом r = 1мм. Считать, что в момент о трыва капля сферическая. Поверхностноенатяжение спирта = 22 мН /м , а его плотность = 0,8 г /см 3 .273. Считая процесс образования мыльного пузыря изотермическим, определитьработу А, которую надо совершить, чтобы увеличить его диаметр от d 1 = 6 мм доd 2 = 60 мм . Поверхностное натяжение мыльного пузыря раствора принять равным40 мН /м.274. Две капли воды радиусом r = 1 мм каждая слились в одну большую каплю.Считая процесс изотермическим, определить изменение поверхностной энергии приэтом слиянии, если поверхностное натяжение воды = 73 мН /м.275. Давление воздуха внутри мыльного пузыря на p = 200 Па большеатмосферного. Определить диаметр d пузыря. Поверхностное натяжение мыльногораствора = 40 мН / м.276. Воздушный пузырек диаметром d = 0,02 мм находится на глубине h = 25 см подповерхностью воды. Определить давление воздуха в этом пузырьке. Атмосферноедавление принять нормальным . Поверхностное натяжение воды = 73 мН / м , а ееплотность = 1 г /см 3 .277. Ртуть массой 3 г помещена между двумя параллельными стекляннымипластинками. Определить силу, которую необходимо приложить, чтобы расплющитькаплю до толщины d = 0,1 мм. Ртуть стекло не смачивает. Плотность ртути=13,6 г/см 3, а ее поверхностное натяжение = 0,5 Н/м.278. Капилляр вертикально погружен в воду. Определить радиус кривизны мениска,если высота столба воды в трубке h = 20 мм. Плотность воды =1г/см3 ,поверхностное натяжение = 73 мН / м.

Page 50: fizika.ugtu.netfizika.ugtu.net/files/zaochn/fizika_1.pdf · УДК 53 (075.8) C32 ББК 22.3 Физика. Часть 1: Учебное пособие / И.К. Серов, Н.П.

48

279. Капилляр внутренним радиусом 0,5 мм опущен в жидкость. Определ ить массужидкости, поднявшейся в капилляр, если ее поверхностное натяжение равно60 мН/м.280. Широкое колено U – образного манометра имеет диаметр d1 = 2 мм,узкое – d2 = 1 мм. Определить разность h уровней ртути в обоих коленах , еслиповерхностное натяжение ртути = 0,5 Н/м , плотность ртути = 13,6 г/см3, акраевой угол равен 138 .

3. ЭЛЕКТРОСТАТИКА И ЗАКОНЫ ПОСТОЯННОГО ТОКА

Основные формулы

Закон Кулона 221

0

QQ4

1r

F

,

где F — сила взаимодействия двух точечных зарядов Q1 и Q2 ; r - расстояние междузарядами; - диэлектрическая проницаемость среды;

мФмФ /1085,8/1094

1 1290

- электрическая постоянная:

Закон сохранения заряда

n

ii const

1Q , где

n

ii

1Q - алгебраическая сумма зарядов, входящих в изолированную

систему; n — число зарядов.Напряженность электрического поля Q/FE

, где F

— сила, действующая на

точечный положительный заряд Q, помещенный в данную точку поля.Сила, действующая на точечный заряд Q, помеще нный в электрическое поле,

EF

Q .Поток вектора напряженности E

электрического поля через прои звольную

поверхность S, помещенную в неоднородное поле,

Е

Е dsEФ ,cos или Е

nЕ dsEФ , где α — угол между вектором напряженности E

и

нормалью n к элементу поверхности; dS — площадь элемента поверхности; En —проекция вектора напряженности на нормаль.

Теорема Остроградского — Гаусса. Поток вектора напряженности E

черезлюбую замкнутую поверхность, охватывающую заряды Q1, Q2,…Qn,

n

iiЕФ

10

Q1

, где

n

ii

1Q — алгебраическая сумма зарядов, заключенных внутри

замкнутой поверхности; n — число зарядов.Напряженность электрического поля, создаваемого точечным зарядом Q на

расстоянии r от заряда,

.Q4

12

0 rE

Примечание [А1]:

Page 51: fizika.ugtu.netfizika.ugtu.net/files/zaochn/fizika_1.pdf · УДК 53 (075.8) C32 ББК 22.3 Физика. Часть 1: Учебное пособие / И.К. Серов, Н.П.

49

Напряженность электрического поля, создаваемого металлической сферойрадиусом R, несущей заряд Q, на расстоянии r от центра сферы:а) внутри сферы (r<R) 0E ;

б) на поверхности сферы (r=R) .Q4

12

0 RE

в) вне сферы (r>R) .Q4

12

0 rE

Напряженность поля, создаваемого бесконечно длинной равномерно

заряженной нитью (или цилиндром) на расстоянии r от ее оси,r

E

2

41

0

,

где τ — линейная плотность заряда.Линейная плотность заряда есть величина, равная отношению зар яда,

распределенного по нити, к длине нити (цилиндра):

,Ql

Напряженность поля, создаваемого бесконечной равномерно заряже нной

плоскостью, .21

0

E

где σ — поверхностная плотность заряда.Поверхностная плотность заряда есть величина, равная отношению заряда,

распределенного по поверхности, к площади этой поверхн ости:

S

Q

Напряженность поля, создаваемого двумя параллельными бес конечнымиравномерно и разноименно заряженными плоскостями, с одинаковой по модулюповерхностной плотностью σ заряда (поле плоского конде нсатора)

0

E

Электрическое смещение D

связано с напряженностью E

электрического полясоотношением .0 ED

Это соотношение справедливо только для изотропных

диэлектриков.Циркуляция вектора напряженности электрического поля есть вел ичина, численно

равная работе по перемещению единичного точечного положите льного заряда вдользамкнутого контура. Циркуляция выраж ается интегралом по замкнутому контуру

.ldE

В случае электростатического поля циркуляция вектора напряженности равнанулю: ,0dlEl

где El — проекция вектора напряженности E

в данной точке контура на направлениекасательной к контуру в той же точке.

Потенциал электрического поля есть величина, равная отношению потенциальнойэнергии точечного положительного заряда, помещенную в данную точку поля, к

Page 52: fizika.ugtu.netfizika.ugtu.net/files/zaochn/fizika_1.pdf · УДК 53 (075.8) C32 ББК 22.3 Физика. Часть 1: Учебное пособие / И.К. Серов, Н.П.

50

этому заряду: Q/П . Потенциал электрического поля в бесконечности условнопринят равным нулю.

Потенциал электрического поля, создаваемый точечным зарядом Q на расстоянииr от заряда,

.4

Q

0 r

Потенциал электрического п оля, создаваемого металлической, нес ущей зарядQ сферой радиусом R, на расстоянии r от центра сферы:

внутри сферы (r < R) .4

Q

0 R

на поверхности сферы (r= R) .4

Q

0 R

вне сферы (г > R) .4

Q

0 r

Во всех приведенных для потенциала заряженной сферы формулах ε естьдиэлектрическая проницаемость однородного безграничного д иэлектрика,окружающего сферу.

Потенциал электрического поля, созданного системой п точечных зарядов, вданной точке в соответствии с принципом суперпозиции электрических полей равеналгебраической сумме потенциалов φ1, φ2, … , φn создаваемых отдельнымиточечными зарядами Q1, Q2, … , Qn

.1

n

ii

Энергия W взаимодействия системы точечных зарядов Q1, Q2, … , Qnопределяется работой, которую эта система зарядов может совершить при удаленииих относительно друг друга в бесконечность, и выраж ается формулой

,Q21

1

n

iiiW

где φi—потенциал поля, создаваемого всеми п - 1 зарядами (за исключением i-гo) вточке, где расположен заряд Qi.

Потенциал связан с напряженностью электрического поля соотнош ениемgradE

. В случае электрического поля, обладающего сферич еской симметрией,

эта связь выражается формулой

.rr

drdE

Работа, совершаемая электрическим полем п ри перемещении точечного зарядаQ из одной точки поля, имеющей потенциал φ1, в другую, имеющую потенциал φ2,

)(Q 21 A , или ,QL

ldlEA

Электрическая емкость уединенного проводника или конден сатора

Page 53: fizika.ugtu.netfizika.ugtu.net/files/zaochn/fizika_1.pdf · УДК 53 (075.8) C32 ББК 22.3 Физика. Часть 1: Учебное пособие / И.К. Серов, Н.П.

51

Q/C , где ΔQ — заряд, сообщенный проводнику (конденсатору); Δφ — изменениепотенциала, вызванное этим зарядом.

Электрическая емкость плоского конденсатораd

SC

0 ,

где S—площадь пластин (каждой пластины); d—расстояние между ними; ε —диэлектрическая проницаемость диэлектрика, заполняющего пространство междупластинами.

Электрическая емкость плоского конденсатора, заполненного п слоямидиэлектриков толщиной di; каждый с диэлектрическими прон ицаемостями εi;(слоистый конденсатор),

....2211

0

nndddSC

Электрическая емкость C последовательно соединенных кон денсаторов:

в общем случае ,1...111

21 nCCCC где п — число конденсаторов;

Электрическая емкость параллельно соединенных конденса торов:в общем случае nССС ...1

Энергия заряженного провод ника выражается через заряд Q, потенциал φ иэлектрическую емкость C проводника следующими соотнош ениями:

.Q21Q

21

21 2

2 C

CW

Энергия заряженного конденсатора UC

CUW Q21Q

21

21 2

2 ,

где C — электрическая емкость конденсатора; U — разность потенциалов на егопластинах.

Объемная плотность энергии (энергия электрического поля, прих одящаяся наединицу объема)

,21

21 2

0 EDE

где E

— напряженность электрического поля в среде с диэлектри ческойпроницаемостью ε; D

— электрическое смещение.

Сила постоянного тока tI Q ,

где Q — количество электричества, прошедшее через попере чноесечение проводника за время t.

Плотность электрического тока есть векторная величина, равная отношениюсилы тока к площади перечного сечения проводника:

kSIj

,

где k

- единичный вектор, по направлению совпадающий с направлением движенияположительных носителей заряда.

Page 54: fizika.ugtu.netfizika.ugtu.net/files/zaochn/fizika_1.pdf · УДК 53 (075.8) C32 ББК 22.3 Физика. Часть 1: Учебное пособие / И.К. Серов, Н.П.

52

Сопротивление однородного проводникаSlR ,

где ρ — удельное сопротивление вещества проводника; l — его длина.Зависимость удельного сопротивления от температуры

ρ=ρ0(1+αt),где ρ и ρ0 — удельные сопротивления соответственно при t и 0°С; t — температура(по шкале Цельсия); α — температурный коэффициент сопротивления.

Сопротивление соединения проводников:

последовательного ;1

n

iiRR

параллельного .111

n

i iRRЗдесь Ri — сопротивление i-го проводника; n — число проводников.

Закон Ома:

для неоднородного участка цепи ;)( 1221

RU

RI

для однородного участка цепи ;21

RU

RI

Здесь )( 21 — разность потенциалов на концах участка цепи; 12 — ЭДСисточников тока, входящих в участок; U — напряжение на участке цепи; R—сопротивление цепи (участка цепи).

Правила Кирхгофа. Первое правило: алгебраическая сумма сил т оков, сходящихсяв узле, равна нулю, т. е.

,01

n

iiI где п — число токов, сходящихся в узле.

Второе правило: в замкнутом контуре алгебраическая сумма на пряжений на всехучастках контура равна алгебраической сумме эле ктродвижущих сил, т. е.

,11

k

ii

n

iii RI п — число участков, содержащих активное сопротивл ение; k — число

участков, содержащих источники тока.Работа, совершаемая электростатическим полем и сторонни ми силами в

участке цепи постоянного тока за время t, IUtA Мощность тока IUP Закон Джоуля — Ленца RtI 2Q ,

где Q — количество теплоты, выделяющееся в участке цепи за время t. Закон Джоуля— Ленца справедлив при условии, что участок цепи неподвижен и в нем несовершаются химические превращения.

Плотность тока j, средняя скорость u упорядоченного движения носителейзаряда и их концентрация п связаны соотношением

unej ,где е — элементарный заряд.

Page 55: fizika.ugtu.netfizika.ugtu.net/files/zaochn/fizika_1.pdf · УДК 53 (075.8) C32 ББК 22.3 Физика. Часть 1: Учебное пособие / И.К. Серов, Н.П.

53

Закон Ома в дифференциальной форме Ej

,где — удельная проводимость проводника; E

— напряженность электрического

поля.Закон Джоуля — Ленца в дифференциальной форме 2E ,

где — объемная плотность тепловой мощности.

Примеры решения задач

Пример 1. Два точечных заряда 9Q и -Q закреплены на расстоянии l = 50 см друг отдруга. Третий заряд Q1 может перемещаться только вдоль, прямой, проходящей ч ереззаряды. Определить положение зарядаQ1, при котором он будет находитьсяв равновесии. При каком знаке зарядаQ1 равновесие будет устойчивым?

Решение. Заряд Q1 находится вравновесии в том случае, еслигеометрическая сумма сил,действующих на него, равна нулю.Это значит, что на заряд Q1 должныдействовать две силы, равные помодулю и противоположные понаправлению. Рассмотрим, на какомиз трех участков I II III, , может быть выполнено это условие. Для опр еделенностибудем считать, что заряд Q1 - положительный.

На участке 1 на заряд Q1 будут действовать две противоположно направленныесилы: 1F

и 2F

. Сила 1F

, действующая со стороны заряда 9 Q, в любой точке этого

участка больше силы 2F

, действующей со стороны заряда -Q , так как больший заряд9Q находится всегда ближе к заряду Q1 ,чем меньший (по модулю) заряд -Q. Поэтомуравновесие на этом участке невозможно.

На участке 11 обе силы 1F

и 2F

направлены в одну сторону - к заряду -Q.Следовательно, и на втором участке равновесие невозможно.

На участке III силы 1F

и 2F

направлены в противоположные стороны, так же как ина участке 1, но в отличие от него меньший заряд -Q всегда находится ближе к зарядуQ1, чем больший заряд 9Q. Это значит, что можно найти такую точку на прямой, гдесилы 1F

и 2F

будут одинаковы по модулю, т. е F F1 2 (1) .

Пусть x и l x - расстояние от меньшего и большего зарядов до заряда Q1 .Выражая в равенстве (1) F1 и F2 в соответствии с законом Кулона, получим9 1

21

2Q Q l x Q Q x( ) , или l x x 3 , откуда x l x l1 22 4 , .Корень x2 не удовлетворяет физическому условию задачи (в этой точке силы 1F

, и

2F

хотя и равны по модулю, но сонаправлены).Определим знак заряда Q1, при котором равновесие будет устойчивым. Ра вновесие

называется устойчивым, если при смещении заряда от положения равновесиявозникают силы, возвращающие его в положение равновесия. Рассмотрим смещение

Page 56: fizika.ugtu.netfizika.ugtu.net/files/zaochn/fizika_1.pdf · УДК 53 (075.8) C32 ББК 22.3 Физика. Часть 1: Учебное пособие / И.К. Серов, Н.П.

54

заряда Q1 в двух случаях: когда заряд положителен и отрицателен.Если заряд Q1 положителен, то при смещении его влево обе силы F1 и F2

возрастают. Так как сила F1 возрастает медленнее, то результирующая сила,действующая на заряд Q1 , будет направлена в ту же сторону, в которую смещен этотзаряд, т. е. влево. Под действием этой силы заряд Q1 будет удаляться от положенияравновесия. То же происходит и при смещении заряда Q1 вправо. Сила F2 убываетбыстрее, чем F1 . Геометрическая сумма сил в этом случае направле на вправо. Зарядпод действием этой силы также будет перемещаться вправо, т. е. удаляться отположения равновесия. Таким образом, в случае положительного заряда равновесиеявляется неустойчивым.

Если заряд Q1 отрицателен, то его смещение влево вызовет уве личение сил 1F

и

2F

, но сила 1F

возрастает медленнее, чем 2F

, т. е. 12 FF

. Результирующая силабудет направлена вправо. Под ее действием заряд Q1 возвращается к положениюравновесия. При смещении Q1 вправо сила 2F

убывает быстрее, чем 1F

т. е. 12 FF

,

результирующая сила направлена влево и заряд Q1 опять будет возвращаться кположению равновесия. При отрицательном заряде равновесие является устойчивым.Величина самого заряда Q1 несущественна.Пример 2. Три точечных заряда Q1 = Q2 = Q3 = 1 нКл расположены в вершинахравностороннего треугольника. Какой заряд Q4 нужно поместить в центретреугольника, чтобы указанная система зарядов находилась в равновесии?Решение. Все три заряда, расположенные по вершинам треугольника, находятся водинаковых условиях. Поэтому достаточно выяснить, какой заряд следует п оместитьв центре треугольника, чтобы какой -нибудь один из трех зарядов, например Q1 ,находился в равновесии. Заряд Q1 будет находиться в равновесии, если векторная

сумма действующих на него сил равна нулю:04432 FFFFF

, (1)

где 432 ,, FFF

- силы, с которыми соответственнодействуют на заряд Q1 , заряды Q2 , Q3 , Q4 F

-

равнодействующая сил 2F

и 3F

.Так как силы F

и 4F

направлены по одной

прямой в противоположные стороны, товекторное равенство (1) можно заменитьскалярным: F F 4 0 , откуда F F4 . Выразив в

последнем равенстве F через F2 и F3 и учитывая, что F F3 2 , получим

2cos2 24

FF . Применив закон Кулона и, имея в виду, что Q2 = Q3 = Q1 , найдем

2cos2

44 20

21

210

41

r

Qr

QQ , откуда 32

cos2 2

211

2

211

4 rrQ

rrQQ (2)

Из геометрических построений в равностороннем треугольнике следует, что

Page 57: fizika.ugtu.netfizika.ugtu.net/files/zaochn/fizika_1.pdf · УДК 53 (075.8) C32 ББК 22.3 Физика. Часть 1: Учебное пособие / И.К. Серов, Н.П.

55

2330cos

2cos,

330cos2)2cos(2 0

01

rrrr

С учетом этого формула (2) примет вид Q Q4 1 3 .Произведем вычисления: Q4

910 3 Кл = 5 77 10 10, Кл = 577 пКл.Следует отметить, что равновесие системы зарядов будет неустойчивым.Пример 3. Тонкий стержень длиной l=30 см несет равномерно распределенный подлине заряд с линейной плотност ью τ=1 мкКл/м. Нарасстоянии r0=20 см от стержня находится заряд Q1=10нКл, равноудаленный от концов стержня. Определить силуF взаимодействия точечного заряда с заряженнымстержнем.

Решение. Закон Кулона позволяет вычислить силувзаимодействия точечных зарядов. По условию задачи,один из зарядов не является точечным, а представляетсобой заряд, равномерно распределенный по длинестержня. Однако если выделить на стержнедифференциально малый участок длиной dl , то находящийся на нем заряд dldQ можно рассматривать как точечный и тогда по закону Кулона сила взаим одействиямежду зарядами Q1 и dQ:

,4

12

1

0 rdlQdF

(1), где r — расстояние от выделенного элемента до заряда Q1

Из чертежа следует, чтоcos

0rr и

cosrddl , где r0 - расстояние от заряда Q1 до

стержня. Подставив эти выражения в формулу (1), получим ;4 00

1 dr

QdF

Следует иметь в виду, что Fd

- вектор, поэтому, прежде чем интегрировать,разложим его на две составляющ ие: 1Fd

, перпендикулярную стержню, и 2Fd

,

параллельную ему.Из рисунка видно, что cos1 dFdF , sin2 dFdF . Подставляя значение dF из

выражения (2) в эти формулы, найдем:

;4

cos

00

11

d

rQdF ;

4sin

00

12

d

rQdF

Интегрируя эти выражения в пределах от -β до + β, получим

.sin2

;sin24

|sin|4

cos44

cos

00

11

00

1

00

1

00

1

00

11

rQF

rQ

rQd

rQd

rQF

В силу симметрии расположения заряда Q1 относительно стержня интегрированиевторого выражения дает нуль:

0)cos(cos4

|cos|44

sin

00

1

00

1

00

11

rQ

rQd

rQF

Page 58: fizika.ugtu.netfizika.ugtu.net/files/zaochn/fizika_1.pdf · УДК 53 (075.8) C32 ББК 22.3 Физика. Часть 1: Учебное пособие / И.К. Серов, Н.П.

56

Таким образом, сила, действующая на заряд Q1, .sin2 00

11

r

QFF

Из рисунка следует, что .4

4

2/sin22

02

20

lrl

lr

l

Подставив это выражение sin β в

формулу (3), получим .42 22

000

1

lrl

rQF

Произведем вычисления по формуле (4): F=5,4 10-4 Н=0,54 мНПример 4. Два точечных электрических заряда Q1 = 1нКл и Q2 = 2 нКл находятся в воздухе на расстоянииd = 10 см друг от друга. Определить напряженность Е ипотенциал поля, создаваемого этими зарядами в точке,удаленной от заряда Q1 , на расстояние r1 = 9 см и отзаряда Q2 на r2 = 7 см.Решение. Согласно принципу суперпозицииэлектрических полей, каждый заряд создает поленезависимо от присутствия в пространстве другихзарядов. Поэтому напряженность E

электрического

поля в искомой точке может быть найдена как ге ометрическая сумманапряженностей 1E

и 2E

полей, создаваемых каждым зарядом в отдельности:

21 EEE

. Напряженности электрического поля, создаваемого в возд ухе ( =1)зарядами Q1 и Q2 ,

EQ

r11

0 124

(1) EQ

r22

0 224

(2)

Вектор 1E

направлен по силовой линии от заряда Q1 , так как этот зарядположителен; вектор 2E

направлен также по силовой линии, но к заряду Q2 , так как

этот заряд отрицателен.Модуль вектора E

найдем по теореме косинусов:

E E E E E 12

22

1 22 cos (3)где - угол между векторами 1E

и 2E

, который может быть найден из треугольника

со сторонами r r1 2, и d ·.

cos d r r

r r

212

22

1 22. В данном случае во избежание громоздких записей удобно

значение cos вычислить отдельно:

cos( , ) ( , ) ( , )

, ,,

0 1 0 09 0 07

2 0 09 0 070 238

2 2 2

Подставляя выражение E1 из (1) и E2 из (2) в (3) и вынося общий множитель1 4 0( ) за знак корня, получаем

Page 59: fizika.ugtu.netfizika.ugtu.net/files/zaochn/fizika_1.pdf · УДК 53 (075.8) C32 ББК 22.3 Физика. Часть 1: Учебное пособие / И.К. Серов, Н.П.

57

EQr

Qr

Q Qr r

1

42

0

12

14

22

24

1 2

12

22

cos (4)

В соответствии с принципом суперпозиции электрических полей потенциал результирующего поля, создаваемого двумя за рядами Q1 и Q2 , равен алгебраическойсумме потенциалов;

1 2 . (5)Потенциал электрического поля, создаваемого в вакууме точечным зарядом Q на

расстоянии r от него, выражается формулой

Q

r4 0 (6)

В нашем случае согласно формулам (5) и (6) получим

Q

rQ

r1

0 1

2

0 24 4 или

14 0

1

1

2

2

Qr

Qr

Произведем вычисления:

E

14 4 9 10

100 09

2 100 07

210 2 100 09 0 07

0 238 3 58 10 3 58

9

9 2

4

9 2

4

9 9

2 23

( )

( )( , )

( )( , ) ( , ) ( , )

( , ) , ,В м В м кВ м

14 4 9 10

100 09

2 100 079

9 9

( ) , ,В = 157В

Пример 5. Две концентрические проводящие сфе ры радиусами R1=6см и R2 =10смнесут соответственно заряды Q1 =1нКл и Q2 0 5 , нКл. Найти напряженность Е поляв точках, отстоящих от центра сфер на расстояниях r1 =5 см, r2 =9 см, r3 = 15 см.Построить график.Решение. Заметим, что точки, в которых требуется найти напряженностиэлектрического поля, лежат в трех областях: области I ( r R1 1 ), области II R r R1 2 2 , области III r R3 2 1. Для определения напряженности E1 в области I проведем гауссову поверхностьS1 радиусом r1 и воспользуемся теоремойОстроградского-Гаусса:

E dSnS1

0

(так как суммарный заряд, находящийсявнутри гауссовой поверхности, равеннулю). Из соображений симметрииE E constn 1 . Следовательно,E dS E

S1 1

1

0 ,и (напряженность поля в

области /) во всех точках,удовлетворяющих условию r R1 1 , будет

Page 60: fizika.ugtu.netfizika.ugtu.net/files/zaochn/fizika_1.pdf · УДК 53 (075.8) C32 ББК 22.3 Физика. Часть 1: Учебное пособие / И.К. Серов, Н.П.

58

равна нулю.2. В области II гауссову поверхность проведем радиусом r2 . В этом случае

E dS QnS2

1 0 , (так как внутри гауссовой поверхности находится только заряд Q1 ,).

Так как E E constn 1 , то E можно вынести за знак интеграла:E dS Q ES Q 1 0 2 1 0 ,или .

Обозначив напряженность E для области II через E2 , получим E Q S2 1 0 2 ( ) ,где S r2 2

24 - площадь гауссовой поверхности. Тогд а

EQ

r21

0 224

(1)

3. В области III гауссова поверхность проводится радиусом r3 . Обозначимнапряженность Е области III через E3 и учтем, что в этом случае гауссоваповерхность охватывает обе сферы и, следоват ельно, суммарный заряд будет равенQ Q1 2 . Тогда

230

213 4 r

QQE

Заметив, что 02 Q , это выражение можно переписать в виде

230

213 4 r

QQE

(2)

Убедимся в том, что правая часть равенств (1) и (2) дает единицу напряж енности:

мВКлr

Q /112

0

2мФ/мВыразим все величины в единицах СИ Q r r1

9 91 2

910 0 5 10 0 09 0 15 9 10 Кл, Q Кл, м, м, 1 (4 м Ф2 0, , , )и произведем вычисления:

E

E

29

9

2

39

9

2

9 10100 09

9 101 0 5 10

0 15

( , )( , )

( , )

В м = 1,11к В м

В м = 200 В м.

Построим график E r( ) . В областиI ( )r R1 1 E 0 . В области II ( )R r R1 2 E r2 ( )изменяется по закону 1 2r .В точке r R 1 напряженностьE R Q R2 1 1 0 1

24 2 5( ) ( ) , кВ/м.В точке r R 2 ( r стремится к R2 слева)E R Q R2 2 1 0 2

24 0 9( ) ( ) , кВ/м. В области III( ) ( )r R E r 2 3 изменяется по закону 1 2r ,причем в точке r R 2 ( r стремится к R2

Page 61: fizika.ugtu.netfizika.ugtu.net/files/zaochn/fizika_1.pdf · УДК 53 (075.8) C32 ББК 22.3 Физика. Часть 1: Учебное пособие / И.К. Серов, Н.П.

59

справа) E R Q Q R3 2 1 2 0 224 0 45( ) ( ) ( ) , кВ/м. Таким образом, функция E r( ) в

точках r R 1 , и r R 2 терпит разрыв.График зависимости E r( ) представлен на рисунке.Пример 6. На тонком стержне длиной l равномерно распределен заряд с линейнойплотностью =10 нКл/м. Найти потенциал ,созданный распределенным зарядом в точке A ,расположенной на оси стержня и удаленной от егоближайшего конца на расстояние l .

Решение. В задаче рассматривается поле,создаваемое распределенным зарядом. В этом случаепоступают следующим образом. На стержне выделяют малый участок длиной dx .Тогда на этом участке будет сосредоточен заряд dQ dx , который можно считатьточечным. Потенциал d , создаваемый этим точечным зарядом в точке А , можноопределить по формуле

xdx

xdQd

00 44

Согласно принципу суперпозиции электрических полей, потенциал электрическогополя, создаваемого заряженным стержнем в точке A , найдем интегрированием этого

выражения: l

l

l

l xdx

xdx2 2

00 44

Выполним интегрирование:

4 4

20

2

0ln lnx l

l

Подставим числовые значения физических величин в СИ ( 10 10 9 Кл/м1 4 9 100

9( ) м/Ф) и произведем вычисления: 9 10 10 10 0 693 62 49 9 , ,B = B .

Пример 7. Электрическое поле создается двумя зарядами Q1 = 4 мкКл и Q2 2 мкКл, находящимися на расстоянии а= 0,1 м друг от друга. Определить работу A1 2,

сил поля по перемещению заряда Q = 50 нКл из точки 1 в точку 2 .Решение. Для определения работы A1 2, сил полявоспользуемся соотношением

A Q1 2 1 2, ( )

Применяя принцип суперпозиции электрическихполей, определим потенциалы 1 и 2 точек 1 и 2

поля 1

1

0

2

0

1 2

04 2 4 22

4

Qa

Qa

Q Qa

( )

2

1

0

2

0

1 2

04 2 42

4

Qa

Qa

Q Qa

Тогда AQ

aQ Q Q Q1 2

01 2 1 24

2 2, ( ) ( )

,

Page 62: fizika.ugtu.netfizika.ugtu.net/files/zaochn/fizika_1.pdf · УДК 53 (075.8) C32 ББК 22.3 Физика. Часть 1: Учебное пособие / И.К. Серов, Н.П.

60

или AQ

aQ Q1 2

01 24

212,

Проверим, дает ли правая часть равенства единицу работы (Дж): Q Q

a1

0

11

Кл 1Кл

1Ф м 1мКл 1В = 1Дж

Подставим числовые значения физических величин в СИ ( Q 50 10 9 Кл. Q1

64 10 Кл, Q262 10 Кл, a 0 1, м, 1 4 9 100

9( ) м/Ф) ипроизведем вычисления:

A1 2

9 9650 10 9 10

0 14 2 1 2 2 10, ,

( )

Дж = 14,3Дж

Пример 8. На пластинах плоского конденсат ора находитсязаряд Q =10нКл. Площадь S каждой пластины конденсатораравна 100 см 2 , диэлектрик - воздух. Определить силу F , скоторой притягиваются пластины. Поле между пластинамисчитать однородным.Решение. Заряд Q одной пластины находится в поле

напряженностью Е, созданном зарядом другой пластины конденсатора.Следовательно, на первый заряд дейс твует сила

F QE . (1) Так как E Q S ( ) ( )2 20 0 , где - поверхностная плотностьзаряда пластины, то формула (1) примет вид F Q S 2

02( ) . Произведем вычисления:

F

10

2 8 85 10 105 65 10

16

12 24

,,H = H = 565 Hмк .

Пример 9. Конденсатор емкостью C1 3 мкФ был заряжен до разности потенци аловU 1=40В. После отключения от источника тока конденсатор соединили параллельно сдругим незаряженным конденсатором емкостью C2 =5мкФ. Какая энергияизрасходуется на образование искры в момент присоединения второго конденс атора?Решение. Энергия, израсходованная на образование искры,

W W W' 1 2 , (1)где W1 - энергия, которой обладал первый конденсатор до присоединения к немувторого конденсатора; W2 - энергия, которую имеет батарея, составленная из двухконденсаторов.Энергиям заряженного конденсатора определяется по формуле

W CU 12

2 , (2)где С - емкость конденсатора или батареи конденсаторов.

Выразив в формуле (1) энергии W W1 2, по формуле (2) и приняв во внимание, чтообщая емкость параллельно соединенных конденсаторов равна сумме емкостейотдельных конденсаторов, получим

W C U C C U' ( ) 12

121 1

21 2 2

2 (3)где U 2 - разность потенциалов на зажимах батареи конденсаторов.

Page 63: fizika.ugtu.netfizika.ugtu.net/files/zaochn/fizika_1.pdf · УДК 53 (075.8) C32 ББК 22.3 Физика. Часть 1: Учебное пособие / И.К. Серов, Н.П.

61

Учитывая, что заряд после присоединения второго конденсатора остался прежним,выразим разность потенциалов U 2 следующим образом:

UQ

C CC U

C C21 2

1 1

1 2

(4)

Подставив выражение U 2 в (3), найдем

WC U C C C U

C C' ( )

( )

1 12

1 2 12

12

1 22 2или W

C CC C

U'

12

1 2

1 212

Произведем вычисления: W '

12

3 10 5 103 10 5 10

16006 6

6 6 Дж = 1,5мДж

Пример 10. Металлический шар радиусом R=3 см несет заряд Q=20 нКл. Шарокружен слоем парафина толщиной d=2 см. Определить энергию W электрическогополя, заключенного в слое диэл ектрика.Решение. Так как поле, созданное заряженным шаром, является неоднородным, тоэнергия поля в слое диэлектрика распределена неравномерно. Однако объемнаяплотность энергии будет одинакова во всех точках, отстоящих на равных расстоянияхот центра сферы, так как поле заряженного шара обладает сферической симметрией.

Выразим энергию в элементарном сферическом слое диэлектрика объемом dV:dVdW , где ω — объемная плотность энергии.

Полная энергия выразится интегралом

,4 2dR

R

drrdVW

где r — радиус элементарного сферического слоя; dr — еготолщина. Объемная плотность энергии определяется поформуле ω= ½εε0E2, где Е—напряженность поля. В нашемслучае

204 r

QE

и, следовательно, .32 4

02

2

rQ

Подставив это выражение плотности в формулу (1) и вынеся за знак интегралапостоянные величины, получим

.)(8

)11(88 0

2

0

2

20

2

dRRdQ

dRRQ

rdrQW

dR

R

Произведя вычисления по этой формуле, найдем W =12 мкДж.

Пример 11. Сила тока в проводнике сопротивлением R =20 Ом нарастает в течениевремени t 2 с по линейному закону от 00 Iдо I =6А. Определить теплоту Q1 ,выделившуюся в этом проводнике за первуюсекунду, и Q2 - за вторую, а также найтиотношение Q Q2 1

Решение. Закон Джоуля - Ленца в виде Q I Rt 2

справедлив для постоянного тока ( I const ).Если же сила тока в проводнике изменяется, то указанный закон справе длив длябесконечно малого интервала времени и записывается в виде

Page 64: fizika.ugtu.netfizika.ugtu.net/files/zaochn/fizika_1.pdf · УДК 53 (075.8) C32 ББК 22.3 Физика. Часть 1: Учебное пособие / И.К. Серов, Н.П.

62

dQ I Rdt 2 . (1)Здесь сила тока I является некоторой функцией времени. В данном случаеI kt (2), где k - коэффициент пропорциональности, характ еризующий скорость

изменения силы тока:

kt

c c

62

3A A

С учетом (2) формула (1) примет вид dQ k Rt dt 2 2 .(3)Для определения теплоты, выделившейся за конечный интервал времени t ,

выражение (3) надо проинтегрировать в пр еделах от t1 до t2 :

Q k R t dt k R t tt

t

2 2 223

13

1

2 13

( ) .

Произведем вычисления:

Q

Q

12

22

13

3 20 1 0

13

3 20 8 1

( )

( )

Дж = 60Дж

Дж = 420Дж

Следовательно, Q Q2 1 420 60 7 , т. е. за вторую секунду выделится теплоты всемь раз больше, чем за первую.

Пример 12. Источники тока с электродвижущими силами 1 и2 включены в цепь, как показано на рис. Определить силытоков, текущих в сопротивлениях R2 и R3, если 1=10В и 2 =4В, R1 = R4 = 2 Ом и R2 = R3 = 4 Ом. Сопротивлениямиисточников тока пренебречь.Решение. Силы токов в разветвленной цепи определяют спомощью законов Кирхгофа. Чтобы найти четыре значениясилы токов, следует составить четыре уравнения.

Указание. Перед составлением уравнений по закону Кирхгофа необходимо, во -первых, выбрать произвольно направления т оков, текущих через сопротивления,указав их стрелками на чертеже, и, во -вторых, выбрать направление обхода контуров(последнее только для составления уравнений по второму закону Кирхгофа).

Выберем направления токов, как они показаны на рисунке, и условимс я обходитьконтуры по часовой стрелке.

Рассматриваемая в задаче схема имеет два узла: А и B. Но составлять уравнение попервому закону Кирхгофа следует только для одного узла, так как уравнение,составленное для второго узла, будет следствием первого уравн ения.

При составлении уравнений по первому закону Кирхгофа необходимо соблюдатьправило знаков: ток, подходящий к узлу, входит в уравнение со знаком плюс; ток,отходящий от узла,— со знаком минус.

По первому закону Кирхгофа для узла B имеем:I1+I2+I3-I4=0.Недостающие три уравнения получим по второму закону Кирхгофа. Число

независимых уравнений, которые могут быть составлены по второму законуКирхгофа, также меньше числа контуров (в нашем случае контуров шесть, а

Page 65: fizika.ugtu.netfizika.ugtu.net/files/zaochn/fizika_1.pdf · УДК 53 (075.8) C32 ББК 22.3 Физика. Часть 1: Учебное пособие / И.К. Серов, Н.П.

63

независимых уравнений три). Чтобы найти необ ходимое число независимыхуравнений, следует придерживаться правила: выбирать контуры таким образом,чтобы в каждый новый контур входила хотя бы одна ветвь, не участвовавшая ни водном из ранее использованных контуров.

При составлении уравнений по второму закону Кирхгофа необходимо соблюдатьследующее правило знаков:

а) если ток по направлению совпадает с выбранным направлением обходаконтуров, то соответствующее произведение IR входит в уравнение со знаком плюс, впротивном случае произведение IR входит в уравнение со знаком минус,

б) если ЭДС повышает потенциал в направлении обхода контура, т. е. если приобходе контура приходится идти от минуса к плюсу внутри источника, тосоответствующая ЭДС входит в уравнение со знаком плюс, в противном случае — сознаком минус.

По второму закону Кирхгофа имеем соответственно для контуровAR1BR2A, AR1BR3A, AR3BR4A:I1R1-I2R2=1-2,I1R1-I3R3=1,I3R3+I4R4=0,Подставив в равенства (1)—(3) значения сопротивлений и ЭДС, получим систему

уравнений:I1+I2+I3-I4=0.2I1-4I2=6,2I1-4I3=10,4I3+2I4=0,Поскольку нужно найти только два тока, то удобно воспользоваться методом

определителей (детерминантов). С этой целью перепишем уравнения еще раз вследующем виде:

I1+I2+I3-I4 =0.2I1-4I2+0+0=6,2I1+0-4I3+0=10,0+0+4I3+2I4=0,Искомые значения токов найдем из выраженийI2=ΔI2/Δ и I3=ΔI3/Δ

где Δ — определитель системы уравнений; ΔI2 и ΔI3—определители, полученныезаменой соответствующих столбцов определителя Δ столбцами, составленными изсвободных членов четырех выше приведенных уравнений. Находим:

96

2400040200421111

;0

24000410200621101

2

I 96

20000100206421011

3

I

Отсюда получаем I2=0, I3=-1 А. Знак минус у значения силы тока I3свидетельствует о том, что при произвольном выборе направлений токов,указанных на рисунке, направле ние тока I3 было указано противоположно истинному.На самом деле ток I3 течет от узла B к узлу А.

Page 66: fizika.ugtu.netfizika.ugtu.net/files/zaochn/fizika_1.pdf · УДК 53 (075.8) C32 ББК 22.3 Физика. Часть 1: Учебное пособие / И.К. Серов, Н.П.

64

Контрольная работа 3

Вариант Номера задач0 310 320 330 340 350 360 370 3801 301 311 321 331 341 351 361 3712 302 312 322 332 342 352 362 3723 303 313 323 333 343 353 363 3734 304 314 324 334 344 354 364 3745 305 315 325 335 345 355 365 3756 306 316 326 336 346 356 366 3767 307 317 327 337 347 357 367 3778 308 318 328 338 348 358 368 3789 309 319 329 339 349 359 369 379

301. Расстояние l между свободными зарядами Q1=180 нКл и О2=720 нКл равно 60 см.Определить точку на прямой, проходящей через заряды, в которой нужно поместитьтретий заряд Q3, так, чтобы система зарядов находилась в равновесии. Определитьвеличину и знак заряда. Устойчивое или неустойчивое будет равновесие?302. Два положительных точечных заряда Q и 4Q закреплены на ра сстоянии l=60 смдруг от друга. Определить, в какой точке на пр ямой, проходящей через заряды,следует поместить третий заряд Q 1 так, чтобы он находился в равн овесии . Указать,какой знак должен иметь этот заряд для того, чтобы равновесие было устойчивым,если перемещения заряда возможны только вдоль прямой, проходящей череззакрепленные заряды.303. Три одинаковых заряда Q = 1 нКл каждый расположены по вершинамравностороннего треугольника. Какой отрицательный заряд Q1 нужно поместить вцентре треугольника, чтобы его притяжение уравновесило силы взаимногоотталкивания зарядов? Будет ли это равновесие у стойчивым?304. В вершинах квадрата находятся одинаковые заря ды Q = -0,3 нКл каждый. Какойотрицательный заряд Q 1 нужно поместить в центре квадрата, чтобы сила взаимногоотталкивания положительных зарядов была уравновешена силой притяженияотрицательного заряда?305. Расстояние между двумя точечными зарядами Q1=l мкКл и Q2=-Q1 равно 10 см.Определить силу F, действующую на точечный заряд Q=0,1 мкКл, удаленный на r1=6см от первого и на r1=8 см от второго зарядов.306. В вершинах правильного шестиугольника со стороной а=10 см расположеныточечные заряды Q, 2Q, 3Q, 4Q, 5Q, 6Q (Q= -0,1 мкКл). Найти силу F, действующуюна точечный заряд Q, лежащий в плоскости шестиугольника и равноудаленный от еговершин.307. Два одинаковых проводящих заряженных шара находятся на ра сстоянии r=60 см.Сила отталкивания F1 шаров равна 70 мкН. После того как шары привели всоприкосновение и удалили друг от друга на прежнее расстояние, сила отталкивания

Page 67: fizika.ugtu.netfizika.ugtu.net/files/zaochn/fizika_1.pdf · УДК 53 (075.8) C32 ББК 22.3 Физика. Часть 1: Учебное пособие / И.К. Серов, Н.П.

65

возросла и стала равной F2 =160 мкН. Вычислить заряды Q 1 и Q2, которые были нашарах до их соприкосновения. Диаметр шаров считать много меньши м расстояниямежду ними.308. Точечные заряды Q1=20 мкКл, Q2=-10 мкКл находятся на расстоянии d=5 смдруг от друга. Определить напряженность поля в точке, удаленной на r1=3 см отпервого и на r2=4 см от второго заряда. Определить также силу F

, действующую в

этой точке на точечный заряд Q=l мкКл.309. Три одинаковых точечных заряда Q1=Q2=Q3=2 нКл находятся в вершинахравностороннего треугольника со сторонами a=10 см. Определить модуль инаправление силы F

, действующей на один из зарядов со стороны двух других.

310. Два положительных точечных заряда Q и 4Q закреплены на расстоянии d=10 смдруг от друга. Определить, в какой точке на пр ямой, проходящей через заряды,следует поместить третий заряд так, чтобы он находился в ра вновесии. Указать, какойзнак должен иметь этот заряд для того, чтобы равновесие было устойчивым, еслиперемещения зарядов возможны только вдоль прямой, проходящей череззакрепленные заряды.311. Тонкий стержень длиной l=20 см несет равномерно распределе нный заряд =0,1мкКл. Определить напряженность Е

электрического поля, создаваемого

распределенным зарядом в точке A, лежащей на оси стержня на расстоянии а=20 смот его конца.312. По тонкому полукольцу радиуса R=10 см равномерно распределен заряд слинейной плотностью =1 мкКл/м. Определить напряженность Е

электрического

поля, создаваемого распределенным зарядом в точке O, совпадающей с центромкольца.313. Бесконечный тонкий стержень, ограниченный с одной стороны, нес етравномерно распределенный заряд с линейной плотностью=0,5 мкКл/м. Определить напряженность Е

электрического поля, создава емого рас-

пределенным зарядом в точке A, лежащей на оси стержня на расстоянии а=20 см отего начала.314. По тонкому кольцу радиусом R=20 см равномерно распределен с линейнойплотностью =0,2 мкКл/м заряд. Определить напряженность Е

электрического поля,

создаваемого распределенным зарядом в точке A, находящейся на оси кольца нарасстоянии h=2R от его центра.315. Две трети тонкого кольца радиусом R=10 см несут равномерно распределенный слинейной плотностью =0,2 мкКл/м заряд. Определить напряженность Е

элек-

трического поля, создаваемого распред еленным зарядом в точке O, совпадающей сцентром кольца.316. Тонкое кольцо несет распределенный заряд Q=0,2 мкКл. Определитьнапряженность Е

электрического поля, создаваемого распред еленным зарядом в

точке A, равноудаленной от всех точек кольца на расстояние r = 20см. Радиус кольцаR=10 см.317. Четверть тонкого кольца радиусом R=10 см несет равномерно распределенныйзаряд Q=0,05 мкКл. Определить напряженность Е

электрического поля, создаваемого

распределенным зарядом в точке O, совпадающей с центром кольца.

Page 68: fizika.ugtu.netfizika.ugtu.net/files/zaochn/fizika_1.pdf · УДК 53 (075.8) C32 ББК 22.3 Физика. Часть 1: Учебное пособие / И.К. Серов, Н.П.

66

318. По тонкому кольцу равномерно распределен заряд Q=10 нКл с линейнойплотностью =0,01 мкКл/м. Определить напряженность Е

электрического поля,

создаваемого распределенным зарядом в точке A, лежащей на оси кольца иудаленной от его центра на расстояние, равное радиусу кольца.319. Треть тонкого кольца радиуса R=10 см несет распределенный з аряд Q=50 нКл.Определить напряженность Е

электрического поля, создаваемого распределенным

зарядом в точке O, совпадающей с центром кольца.320. По тонкому полукольцу равномерно распределензаряд Q=20 мкКл с линейной плотностью =0,1мкКл/м. Определить напряженность Е

электрического

поля, создаваемого распределенным зарядом в точкеO, совпадающей с центром кольца.321. На двух бесконечных параллельных плоскостяхравномерно распределены заряды с поверхностнымиплотностями 1 и 2. Требуется: 1) используя теоремуОстроградского-Гаусса и принцип суперпози ции

электрических полей, найти выражение Е(х) напряженности электрического поля вобластях: I, II и III. Принять 1=2, 2=; 2) вычислить напряженность Е поля вточке, расположенной слева от плоск остей, и указать направление вектора Е

; 3)

построить график Е(х).322. Условие задачи 321. В п. 1 принять 1=-4,2=2. В п. 2 принять =40 нКл/м2 и точкурасположить между плоскостями.323. Условие задачи 321. В п. 1 принять 1=, 2=-2. В п. 2 принять =20 нКл/м2 и точку располо-жить справа от плоскостей.324. На двух коаксиальных бесконечныхцилиндрах радиусами R и 2R равномерно распре-делены заряды с поверхностными плотностями 1и 2. Требуется: 1 ) используя теорему

Остроградского-Гаусса: найти зависимость Е(r) напряженности электрического поляот расстояния для трех областей: I, II и III. Принять 1=-2, 2=; 2) вычислить напря-женность Е в точке, удаленной от оси цилиндров на рас стояние r, и указатьнаправление вектора Е

. Принять =50 нКл/м2, r=1,5R; 3) построить график E(r).

325. См. условие задачи 324. В п. 1 принять 1=, 2=-. В п. 2принять =60 нКл/м2, r=3R.326. См. условие задачи 324. В п. 1 принять 1=-, 2=4. В п.2 принять =30 нКл/м2, r=4R.327. На двух концентрических сферах радиусом R и 2Rравномерно распределены заряды с поверхностнымиплотностями 1 и 2. Требуется:1) используя теорему Остроградского -Гаусса, найтизависимость E(r) напряженности электрического поля от

Page 69: fizika.ugtu.netfizika.ugtu.net/files/zaochn/fizika_1.pdf · УДК 53 (075.8) C32 ББК 22.3 Физика. Часть 1: Учебное пособие / И.К. Серов, Н.П.

67

расстояния для трех областей: I, II и III. Принять 1=4, 2=; 2) вычислитьнапряженность Е в точке, удаленной от центра на расстояние r, и указать направлениевектора Е

. Принять =30 нКл/м2, r =1,5R; 3) построить график E(r).

328. Условие задачи 327. В п. 1 принять 1=, 2=-. В п. 2 принять =0,1 мкКл/м2, r=3 R.329. Условие задачи 327. В п. 1 принять 1=-4, 2=. В п. 2 принять =50 нКл/м2,r=1,5R.330. Условие задачи 327. В п. 1 принять 1=-2, 2=. В п. 2принять =0,1 мкКл/м2, r=3R.331. Электрическое поле создано зарядами Q1=2 мкКл и Q2=-2мкКл, находящимися на расстоянии а=10 см друг от друга.Определить работу сил поля, совершаемую при перемещениизаряда Q=0,5 мкКл из точки 1 в точку 2.332. Электрическое поле создано двумя одинаковыми

положительными точечными зарядами Q. Найти работу А1,2 силполя по перемещению заряда Q1=10 нКл из точки 1 с потенциалом φ1=300 В в точку2.333. Тонкий стержень согнут в кольцо радиусом R=10 см. Он заряжен с линейнойплотностью τ=300 нКл/м. Какую работу A надо совершить, чтобы перенести за рядQ=5 нКл из центра кольца в точку, распол оженнуюна оси кольца на расстоянии равном радиусу отцентра его?334. Тонкий стержень согнут в кольцо радиусом R=10 см. Он равномерно заряжен слинейной плотностью заряда =800 нКл/м. Определить потенциал в точке,расположенной на оси кольца на расстоянии h=10 см от его центра.335. Электрическое поле создано заряженным прово дящим шаром, потенциал которого 300 В. Определить работу сил поля по перемещ ению заряда Q=0,2 мкКл източки 1 в точку 2 .336. Две параллельные заряженные плоскости, по -верхностные плотности заряда которых 1=2 мкКл/м2 и 2=-0,8 мкКл/м2, находятся на расстоянии d=0,6 см друг отдруга. Определить разность потенциа лов U междуплоскостями.337. Электрическое поле образовано бесконечно длин ной заряженной нитью,линейная плотность заряда кото рой = 20 пКл/м. Определить разность потенциалов Uдвух точек поля, отстоящих от нити на ра сстоянии r1=8 см и r2=12 см.338. Электрическое поле создано бесконечной равномерно за ряженной плоскостью споверхностной плотностью заряда σ=2 мкКл/м2. В этомполе вдоль прямой, составляющей угол α = 60 сплоскостью, из точки 1 в точку 2, расстояние l междукоторыми равно 20 см, перемещается точечныйэлектрический заряд Q=10 нКл. Определить работу A силполя по перемещению заряда.339. Тонкая квадратная рамка равном ерно заряжена с линейной плотностью заряда=200 пКл/м. Определить потенциал поля в точке пересечения диагоналей.

Page 70: fizika.ugtu.netfizika.ugtu.net/files/zaochn/fizika_1.pdf · УДК 53 (075.8) C32 ББК 22.3 Физика. Часть 1: Учебное пособие / И.К. Серов, Н.П.

68

340. На отрезке прямого провода равномерно распределен заряд с линейнойплотностью τ=1 мкКл/м. Определить работу A сил поля по перемещению заряда Q=1

нКл из точки B в точку С.341. Конденсатор емкостью C1=10 мкФ заряжен донапряжения U=10 В. Определить заряд на обкладках

этого конденсатора после того, как параллельно ему был подключен другой,незаряженный, конденсатор ем костью C2=20 мкФ.342. Конденсаторы емкостью C1=5 мкФ и C2=10 мкФ заряжены до напряженийU1=60В и U2=100В соответственно. Определить напряжение на об кладкахконденсаторов после их соединения обкладками, имеющими одноименные заряды.343. Два конденсатора емкостями C1=2 мкФ и C2=5 мкФ заряжены до напряженийU1=100 В и U2=150 В соответственно. Определить напряжение на об кладкахконденсаторов после их соединения обкладками, имеющ ими разноименные заряды.344. Конденсаторы емкостями C1=2 мкФ, С2=5 мкФ и С3=10 мкФ соединеныпоследовательно и находятся под напряжением U=850 В. Определить напряжение изаряд на каждом из конденсаторов.345. Два одинаковых плоских воздушных конденсато ра емкостью C=100 пФ каждыйсоединены в батарею последовательно. Определить, на сколько изменится е мкость Cбатареи, если пространство между пл астинами одного из конденсаторов заполнитьпарафином.346. Два конденсатора емкостями C1=5 мкФ и C2=8 мкФ соединены последовательнои присоединены к батарее с ЭДС =80 В. Определить заряды Q1 и Q2 конденсаторов иразности потенциалов U1 и U2 между их обкладками.347. Два металлических шарика радиусами R1=5 см и R2=10 см имеют зарядыQ1=40 нКл и Q2=-20 нКл соответственно. Найти энергию W, которая выделится приразряде, если шары соединить проводни ком.348. Плоский конденсатор состоит из двух круглых пластин радиусом R=10 смкаждая. Расстояние между пластинами d=2 мм. Конденсатор присоединен кисточнику напряжения U=80 В. Определить заряд Q и напряженность Е поляконденсатора в двух случаях: а) диэлектрик — воздух; б) диэлектрик — стекло.349. Пространство между пластинами плоского кон денсатора заполнено двумяслоями диэлектрика: стекла толщиной d1=0,2 см и слоем парафина толщиной d2=0,3см. Разность потенциалов между обкладками U=300 В. Определить напряженность Еполя и падение потенциала в каждом из слоев.350. Плоский конденсатор с площадью пластин S=200 см2 каждая заряжен доразности потенциалов U=2 кВ. Расстояние между пластинами d=2 см. Диэлектрик -стекло. Определить энергию W поля конденсатора и плотность энергии поля.351. Уединенная металлическая сфера электроемкостью C=10 пф заряжена допотенциала φ=3 кВ. Определить энергию W поля, заключенного в сферическом слое,ограниченном сферой и концентрической с ней сферической поверхностью, радиускоторой в три раза больше радиуса сферы.352. Электрическое поле создано заряженной ( Q=0,1 мкКл) сферой радиусом R=10cм.Какова энергия W поля, заключенная в объеме, огр аниченном сферой иконцентрической с ней сферической поверхностью, радиус которой в два раза большерадиуса сферы?

Page 71: fizika.ugtu.netfizika.ugtu.net/files/zaochn/fizika_1.pdf · УДК 53 (075.8) C32 ББК 22.3 Физика. Часть 1: Учебное пособие / И.К. Серов, Н.П.

69

353. Уединенный металлический шар радиусом R1=6 см несет заряд Q.Концентрическая этому шару поверхность делит простран ство на две части(внутренняя конечная и внешняя бесконечная), так что энергии электрического поляобеих частей одинаковы. Определить радиус R2 этой сферической поверхности.354. Сплошной парафиновый шар радиусом R= 10 см заряжен равномерно по объемус объемной плотностью ρ=10 нКл/м3. Определить энергию W1 электрического поля,сосредоточенную в самом шаре, и энергию W2 вне его.355. Эбонитовый шар равномерно заряжен по объему. Во сколько раз энергияэлектрического поля вне шара превосходит энергию поля, с осредоточенную в шаре?356. Уединенная металлическая сфера электроемкостью C=4пФ заряжена допотенциала =1 кВ. Определите энергию поля, заключенную в сф ерическом слоемежду сферой и концентрической с ней сферической п оверхностью, радиус которой в4 раза больше радиуса уединенной сф еры.357. Две концентрические проводящие сферы радиусами 20 см и 50 см заряженысоответственно одинаковыми зарядами по 100нКл. Определите энергиюэлектростатического поля, заключенную внутри шара.358. Сплошной шар из диэлектрика радиусом 5 см заряжен равномерно с объемнойплотностью 10 нКл/м3. Определите энергию электростат ического поля, заключеннуюв окружающем шар пространстве.359. Металлический шар радиусом R=3 см несет заряд Q=20 нКл. Шар окружен слоемпарафина толщиной d=9 см. Определить энергию W электрического поля,заключенного в слое диэлектрика.360. Металлический шар радиусом R=3 см несет заряд Q=20 нКл. Шар окружен слоемпарафина толщиной d=2 см и слюды d=4 см. Определить энергию W электрическогополя, заключенного в системе шар - диэлектрик.361. Сила тока в проводнике сопротивлением R=10 Oм за время t=50 с равномернонарастает от I1=5 А до I2=10 А. Определить количество теплоты Q, выделившееся заэто время в проводнике.362. За время t=20 с при равномерно возраставшей силе тока от нуля до некоторогомаксимума в проводнике сопротивлением R=5 Oм выделилось количество теплотыQ=4 кДж. Определить скорость нарастания силы тока, если сопротивлениепроводника R=5Oм.363. Сила тока в проводнике сопротивлением R=10 Ом изменяется со временем позакону I I e t

0 , где I0=20 A, =102 c-1. Определить количество теплоты,

выделившееся в проводнике за время t=10-2 с.364. Сила тока в проводнике изменяется со временем по закону I I t 0 sin . Найтизаряд Q, проходящий через поперечное сечение пр оводника за время t, равноеполовине периода T, если начальная сила тока I0=10 A, циклическая частота =50с-1.365. В проводнике за время t=10 с при равномерном возрастании силы тока от I1=1 Aдо I2=2 A выделилось количество теплоты Q=5 кДж. Найти сопротивление Rпроводника.366. За время t=8 с при равномерно возраставшей силе тока в пр оводникесопротивлением R=8 Oм выделилось количество теплоты Q=500 Дж. Определитьзаряд q, проходящий в проводнике, если сила тока в начальный момент времениравна нулю.

Page 72: fizika.ugtu.netfizika.ugtu.net/files/zaochn/fizika_1.pdf · УДК 53 (075.8) C32 ББК 22.3 Физика. Часть 1: Учебное пособие / И.К. Серов, Н.П.

70

367. За время t=10 с при равномерно возрастающей силе тока от н уля до некоторогомаксимума в проводнике выделилось количество те плоты Q=40 кДж. Определитьсреднюю силу тока <I> в проводнике, если его сопротивление R=25 Oм.368. Сила тока в цепи изменяется по закону I I t 0 sin . Определить количествотеплоты, которое выделится в проводнике сопротивлением R=10 Oм за время, равноечетверти периода (от t=0 до t2=T/4, где Т=10 с, I 0=2 A).369. Определить количество теплоты Q, выделившееся за время t=10 с в проводникесопротивлением R=10 Oм, если сила тока в нем, равн омерно уменьшаясь, измениласьот I1=10 A до I2=0.370. Сила тока в цепи изменяется со временем по закону I I e t

0 . Определить

количество теплоты, которое выделится в проводнике с опротивлением R=20 Oм завремя, в течение которого ток уменьшится в е раз. Коэффициент принять равным210-2 с-1, I0 =5 A.371. Имеется N одинаковых гальванических элементов с ЭДС 1 и внутреннимсопротивлением r1 каждый. Из этих элементов требуется собрать батарею, состоящуюиз нескольких параллельно соединенных групп, содержащих по n последовательносоединенных элементов. При каком значении n сила тока I во внешней цепи,имеющей сопротивление R, будет максимальной? Чему будет равно внутреннеесопротивление r, батареи при этом значении n?372. К источнику тока с ЭДС =1,5 В присоединили катушку с сопротивлением R=0,1Ом. Амперметр показал силу тока, рав ную I1=0,5A. Когда к источнику токаприсоединили последовательно еще один и сточник тока с такой же ЭДС, то сила токаI2 в той же катушке оказалась равной 0,4 А. Определить внутренние соп ротивления r1

и r2 первого и второго источников тока.373. Два одинаковых источника то ка с ЭДС = 1,2 В ивнутренним сопротивлением r=0,4 Ом соединены, какпоказано на рис. а, б. Определить силу тока I в цепи иразность потенциалов U между точками А и В в первом ивтором случаях.

374. Два элемента (1=l,2 В, r1=0,l Ом; 2=0,9 В, r2=0,3 Ом) соединены одноименнымиполюсами. Сопротивление R соединительных проводов равно 0,2 Ом. Определить

силу тока I в цепи.375. Две батареи аккумуляторов ( 1=10 В, r1=l Ом; 2=8 В, r2=2 Ом) иреостат (R=6 Ом) соединены, как показано на рисунке. Найти силутока в батареях и реостате.376. Определить силу тока I3 в резисторе сопротивлением R3 и

напряжение U3 на концах резистора, если 1=4 В, 2=3 В, R1=2 Oм, R2=6 Ом, R3=1 Ом.Внутренними сопротивлениями источников тока пренебречь.377. Два источника тока (1= 8B, r1=2 Ом; 2=6 В, r2=1,5 Ом) иреостат (R ==10 Ом) соединены, как показанона рисунке. Вычислить силу тока I, текущегочерез реостат.

378. Три батареи с ЭДС 1=12 В, 2=5 В и 3=10В и одинаковымивнутренними сопротивлениями r, равными 1 Ом, соединены междусобой одноименными полюсами. Сопротивление соединитель ныхпроводов ничтожно мало. Определить силы токов I, идущих через каждую батарею.

Page 73: fizika.ugtu.netfizika.ugtu.net/files/zaochn/fizika_1.pdf · УДК 53 (075.8) C32 ББК 22.3 Физика. Часть 1: Учебное пособие / И.К. Серов, Н.П.

71

379. Три источника тока с ЭДС 1=11 В, 2=4 В и 3=6 В и триреостата с сопротивлениями R1=5 Ом, R2=10 Ом и R3=2 Ом

соединены, как показано на рисунке. Определить силы токов I вреостатах. Внутреннее сопротивление источника тока пренебрежи момало.380. Три сопротивления R1=50м, R2=1 Ом и R3=3 Ом, а такжеисточник тока с ЭДС 1=1,4 В соединены, как показано на рисунке.Определить ЭДС источника тока, который надо подключить в цепьмежду точками A и В, чтобы в сопротивлении R3 шел ток силой I= 1А в направлении, указанном стрелкой. Сопротивлением источникатока пренебречь.

Page 74: fizika.ugtu.netfizika.ugtu.net/files/zaochn/fizika_1.pdf · УДК 53 (075.8) C32 ББК 22.3 Физика. Часть 1: Учебное пособие / И.К. Серов, Н.П.

72

ПРИЛОЖЕНИЯ

1. Основные физические постоянные (округленные значения)Физическая постоянная Обозначение Значение

Нормальное ускорениесвободного падения

g 9,81 м/с2

Гравитационная постоянная G 6,6710-11 м3/(кгс2 )Постоянная Авогадро NА 6,021023 моль-1

Молярная газовая постоянная R 8,31 Дж/(мольК)Постоянная Больцмана k 1,3810-23 Дж/KОбъем одного моля идеальногогаза при нормальных условиях(T0 =273 K, p0 =1,01105 Па)

V0 22,410-3 м3 /моль

Элементарный заряд e 1,6010-19 КлСкорость света в вакууме c 3,00108 м/сПостоянная Стефана -Больцмана

5,6710-8 Вт/(м2К4 )

Постоянная Вина в первомзаконе (смещения)

b1 2,9010-3 мК

Постоянная Вина во второмзаконе

b2 1,310-5 Вт/(м3 К5 )

Постоянная Планка h 6,6310-34 ДжсПостоянная Ридберга R 1,1107 м-1

Радиус Бора a 0,52910-10 мКомптоновская длина волныэлектрона

2,4310-12 м

Магнетон Бора B 0,92710-23 Aм2

Энергия ионизации атомаводорода

Ei 2,1810-18 Дж (13,6 эВ)

Атомная единица массы а.е.м. 1,6610-27 кгЭлектрическая постоянная 0 8,8510-12 Ф/мМагнитная постоянная 0 410-7 Гн/м2. Некоторые астрономические величиныРадиус Земли 6,37106 мМасса Земли 5,981024 кгРадиус Солнца 6,95108 мРадиус Луны 1,74106 мМасса Луны 7,331022 мСреднее расстояние междуцентрами Земли и Луны

3,84108 м

Среднее расстояние междуцентрами Солнца и Земли

1,491011 м

Page 75: fizika.ugtu.netfizika.ugtu.net/files/zaochn/fizika_1.pdf · УДК 53 (075.8) C32 ББК 22.3 Физика. Часть 1: Учебное пособие / И.К. Серов, Н.П.

73

3. Плотность твердых телТвердое тело , кг/м3 Твердое тело , кг/м3

Алюминий 2,7103 Медь 8,93103

Барий 3,5103 Никель 8,90103

Ванадий 6,02103 Нихром 8,4103

Висмут 9,80103 Свинец 11,3103

Вольфрам 19,75103 Серебро 10,5103

Железо 7,85103 Цезий 1,90103

Лед 0,92103 Цинк 7,15103

Литий 0,53103 Фарфор 2,3103

4. Плотность жидкостейЖидкость , кг/м3

Вода (при 4 С) 1,00103

Глицерин 1,26103

Керосин 0,8103

Масло 0,9103

Ртуть 13,6103

Сероуглерод 1,26103

Спирт 0,8103

5. Коэффициент поверхностного натяжения жидкостейЖидкость , мН/м Жидкость , мН/мВода 72 Ртуть 500Мыльная пена 40 Спирт 22

6. Эффективный диаметр молекулыГаз Диаметр, м Газ Диаметр, м

Азот 3,010-10 Гелий 1,910-10

Водород 2,310-10 Кислород 2,710-10

7. Диэлектрическая проницаемостьВещество Проницаемость Вещество ПроницаемостьВода 81 Парафин 2,0Трансформатор-ное масло

2,2 Стекло 7,0

8.Удельное сопротивление металловМеталл , Омм Металл , ОммВольфрам 5,510-8 Никелин 4010-8

Железо 9,810-8 Нихром 11010-8

Медь 1,710-8 Серебро 1,610-8

Page 76: fizika.ugtu.netfizika.ugtu.net/files/zaochn/fizika_1.pdf · УДК 53 (075.8) C32 ББК 22.3 Физика. Часть 1: Учебное пособие / И.К. Серов, Н.П.

74

9. Относительные атомные массы (округленные значения) Arи порядковые номера Z некоторых элементов

Элемент Символ Ar Z Элемент Символ Ar ZАзот N 14 7 Марганец Mn 55 25Алюминий Al 27 13 Медь Cu 64 29Аргон Ar 40 18 Молибден Mo 96 42Барий Ba 137 56 Натрий Na 23 11Ванадий V 60 23 Неон Ne 20 10Водород H 1 1 Никель Ni 59 28Вольфрам W 184 74 Олово Sn 119 50Гелий He 4 2 Платина Pt 195 78Железо Fe 56 26 Ртуть Hg 201 80Золото Au 197 79 Сера S 32 16Калий K 39 19 Серебро Ag 108 47Кальций Ca 40 20 Углерод C 12 6Кислород O 16 8 Уран U 238 92Магний Mg 24 12 Хлор Cl 35 17

10. Массы атомов легких изотопов

Изотоп Символ Масса,а.е.м.

Изотоп Символ Масса,а.е.м.

Нейтрон 0n1 1,00867 Бор 5B10 10,01294Водород 1H1 1,00783 5B11 11,00930

1H2 2,01410 Углерод 6С12 12,000001H3 3,01605 6C13 13,00335

Гелий 2He3 3,01603 6C14 14,003242He4 4,00260 Азот 7N14 14,00307

Литий 3Li6 6,01513 Кислород 8O16 15,994913Li7 7,01601 8O17 16,99913

Бериллий 4Be7 7,01693 Неон 10Ne20 9,9924404Be8 8,00531 Натрий 11Na23 10,989774Be9 9,01219 11Na24 10,99097

4Be10 10,01354 Кремний 14Si28 13,976927

Page 77: fizika.ugtu.netfizika.ugtu.net/files/zaochn/fizika_1.pdf · УДК 53 (075.8) C32 ББК 22.3 Физика. Часть 1: Учебное пособие / И.К. Серов, Н.П.

Учебное издание

Серов Игорь КонстантиновичБогданов Николай ПавловичЛапина Лариса НиколаевнаШамбулина Вера Николаевна

ФИЗИКА. Часть 1

Учебное пособие

2 – е издание

Редактор Т.В.Николаева

Лицензия серия ЛР 020827 от 29 сентября 1998План 2002 г., позиция 49. Подписано в печать 26.04.02Компьютерный набор. Гарнитура Times New Roman.Формат 60х84 1/16.Усл. печ. л. 4.1. Уч. - изд. л. 5.9. Тираж 250 экз. Заказ 134

Ухтинский государственный технический университет. 169300, г.Ухта, ул.Первомайская, 13.

Отдел оперативной полиграфии УГТУ. 169300, г.Ухта, ул.Октябрьская, 13.