09.10.2015. 05. Кочеткова Н.Г. Герпесвирусная инфекция в практике семейного врача.
nmetau.edu.ua · УДК 517(07) Кадильникова Т.М., Кагадій Л.П.,...
Transcript of nmetau.edu.ua · УДК 517(07) Кадильникова Т.М., Кагадій Л.П.,...
МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ, МОЛОДІ ТА СПОРТУ УКРАЇНИ
НАЦІОНАЛЬНА МЕТАЛУРГІЙНА АКАДЕМІЯ УКРАЇНИ
Т.М. КАДИЛЬНИКОВА, Л.П. КАГАДІЙ, І.Б. КОЧЕТКОВА,
Л.Ф. СУШКО, О.Є. ЗАПОРОЖЧЕНКО
ВИЩА МАТЕМАТИКА
В ПРИКЛАДАХ ТА ЗАДАЧАХ
Частина V
Дніпропетровськ НМетАУ 2011
МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ, МОЛОДІ ТА СПОРТУ УКРАЇНИ
НАЦІОНАЛЬНА МЕТАЛУРГІЙНА АКАДЕМІЯ УКРАЇНИ
Т.М. КАДИЛЬНИКОВА, Л.П. КАГАДІЙ, І.Б. КОЧЕТКОВА,
Л.Ф. СУШКО, О.Є. ЗАПОРОЖЧЕНКО
ВИЩА МАТЕМАТИКА
В ПРИКЛАДАХ ТА ЗАДАЧАХ
Частина V
Затверджено на засіданні Вченої Ради академії
як навчальний посібник. Протокол №15 від 27.12.2010
Дніпропетровськ НМетАУ 2011
УДК 517(07)
Кадильникова Т.М., Кагадій Л.П., Кочеткова І.Б., Сушко Л.Ф., Запорожчен-
ко О.Є. Вища математика в прикладах та задачах. Частина V: Навч. посібник.-
Дніпропетровськ: НМетАУ, 2011.- 88 с.
Наведені докладні рекомендації до вивчення дисцип-
ліни «Вища математика», а саме, розділу «Ряди». Теорети-
чні положення супроводжуються необхідними пояснення-
ми , а також розв’язуванням типових задач. Рекомендують-
ся завдання для самостійної роботи.
Призначений для студентів технічних спеціальностей
всіх форм навчання.
Іл. 5 . Бібліогр.: 5 найм.
Друкується за авторською редакцією.
Відповідальний за випуск А.В. Павленко, д-р фіз.-мат. наук, проф.
Рецензенти:.О.О. Сдвижкова, д-р техн. наук, проф. ( НГУ)
Ю.Я. Годес, канд. фіз.-мат. наук, доц. (ДНУ)
© Кадильникова Т.М., Кагадій Л.П.,
Кочеткова І.Б., Сушко Л.Ф.,
Запорожченко О.Є.
Національна металургійна академія
України, 2011
3
ВСТУП
Дуже важливою формою навчання студентів є самостійна робота над на-
вчальним матеріалом, яка складається з вивчення теоретичних положень за під-
ручником, розгляду прикладів та самостійного розв’язання задач, причому опа-
нування теоретичного матеріалу є необхідною передумовою формування прак-
тичних навичок, але не завжди є цілком достатнім для цього. Вміння
розв’язувати задачі формується виключно шляхом цілеспрямованої та копіткої
самостійної роботи, в тому числі і над аналізом прикладів розв’язання задач, які
наведені у підручниках та навчальних посібниках.
При самостійному розв’язанні задач часто виникають певні утруднення,
які пов’язані або з вибором методу розв’язування задачі, або з суто технічними
особливостями обраного методу. Побороти утруднення другого роду порівняно
нескладно – треба лише систематично працювати, виконуючи всі завдання ви-
кладача, в тому числі й ті, які здаються дуже простими. Вибір методу
розв’язування вимагає більш глибокого аналізу прикладів з метою встановлен-
ня закономірностей, яким підкоряється цей вибір.
Основне призначення цього навчального посібника – допомогти студен-
там технічних спеціальностей подолати ці складності та навчити їх свідомо за-
стосовувати теоретичні знання до розв’язування задач.
У п’ятій частині навчального посібника викладено матеріал з чотирьох
розділів курсу вищої математики: «Числові ряди», «Степеневі ряди», «Застосу-
вання рядів» та «Ряди Фур’є». Основні теоретичні положення, формули та тео-
реми ілюструються докладним розв’язанням великої кількості задач різного рі-
вня складності з їх повним аналізом, в тому числі і щодо вибору методу
розв’язування. Для ефективності засвоєння матеріалу пропонуються завдання
для самостійної роботи, до яких наведені відповіді.
Автори сподіваються, що така побудова посібника надає студентові ши-
рокі можливості для активної самостійної роботи, яка, безумовно, сприятиме
засвоєнню матеріалу при вивченні дисципліни «Вища математика».
4
Розділ 1
ЧИСЛОВІ РЯДИ
1.1. Знакододатні ряди
Якщо 1u ,
2u ,...nu ,...— нескінченна числова послідовність, то вираз
1
21 ......
n
nn uuuu
називається числовим рядом, а величини 1u ,
2u ,...— членами цього ряду.
Побудуємо допоміжну послідовність частинних сум ряду 11 uS ,
212 uuS ,...nn uuuS ...21,... . Якщо ця послідовність має скінчену
границю S , то ряд називається збіжним, а число S — сумою ряду. У випадку,
коли границя не існує або є нескінченною, ряд називається розбіжним.
Якщо всі члени ряду є додатними, то ряд називається знакододатним.
Необхідна умова збіжності числового ряду
Якщо ряд
1n
nu є збіжним, то послідовність його членів прямує до нуля,
тобто 0lim
nn
u .
Наслідок. Якщо 0lim
nn
u , то ряд
1n
nu є розбіжним.
Достатні умови збіжності знакододатних рядів
Ознака порівняння.
Якщо для членів знакододатних рядів справджується нерівність nn vu ,
та ряд
1n
nv є збіжним, то ряд
1n
nu також збігається.
Якщо для членів знакододатних рядів справджується нерівність nn vu ,
та ряд
1n
nv є розбіжним, то ряд
1n
nu також розбігається.
5
Якщо для членів знакододатних рядів має місце умова
;0lim Cv
u
n
n
n,
то ряди
1n
nv та
1n
nu збігаються або розбігаються одночасно.
Найчастіше для порівняння використовується узагальнений гармонічний
ряд (або ряд Діріхле)
1
1
n
pn
. Цей ряд збігається, якщо 1p , та розбігається у
випадку 1p .
Ознака Даламбера.
Ряд
1n
nu збігається, якщо параметр n
n
n u
uD
1lim
менший за 1, та розбі-
гається, якщо це число більше за 1. У випадку 1D поведінку ряду за допомо-
гою ознаки Даламбера визначити неможливо.
Радикальна ознака Коші
Ряд
1n
nu збігається, якщо параметр nn
nuK
lim менший за 1, та розбі-
гається, якщо це число більше за 1. У випадку 1K поведінку ряду за допомо-
гою радикальної ознаки Коші визначити неможливо.
Інтегральна ознака Коші
Нехай загальний член ряду задано рівністю )(nfun , та функція
)(xfy є додатною та спадною на проміжку ;1 . Тоді невласний інтеграл
dxxf
1
та ряд
1n
nu збігаються або розбігаються одночасно.
При розв’язуванні задач доцільно обирати ознаку для дослідження, кори-
стуючись порадами, які наведені у вигляді таблиці.
6
Структура загального члена ряду Рекомендована ознака
Неправильний алгебраїчний дріб
Необхідна умова збіж-
ності
Правильний алгебраїчний дріб;
функції sin , tg , arcsin , arctg , аргумен-
тами яких є правильний алгебраїчний дріб
Ознаки порівняння
knnf ln , 1k Ознака порівняння за
допомогою нерівності
Показникова функція;
факторіал;
факторіальний добуток;
функції sin , tg , arcsin , arctg , нескінчен-
но малі аргументи яких містять наведені
вище елементи
Ознака Даламбера
Степенево-показникова функція;
показникова функція
Радикальна ознака Коші
Будь-яка монотонно спадна функція, інте-
грування якої не вимагає значних зусиль,
наприклад:
n
nf ln ;
n
nf ;
21 n
narctgf
Інтегральна ознака Коші
Зауваження 1. Теоретично дослідження збіжності будь-якого числово-
го ряду повинно починатися з перевірки необхідної умови збіжності. Але ця
процедура досить часто є нетривіальною і, що дуже важливо, не завжди надає
можливість зробити остаточний висновок. Отже, ми будемо вважати за доціль-
не застосовувати необхідну ознаку у тих випадках, коли є обгрунтовані припу-
щення щодо її ефективності.
Зауваження 2. Наведені поради не є обов’язковими, вони лише допома-
гають обрати один з можливих шляхів розв’язування стандартних задач. Біль-
шість задач може бути розв’язана кількома методами.
7
Зразки розв’язання задач
Скласти формулу загального члена nu та знайти
1nu для заданого
числового ряду:
1. 75
7
15
4
3
1
Члени ряду є дробами. Послідовність числівників ,7,4,1 складає ариф-
метичну прогресію з першим членом 1 та різницею 3 , отже, задається з ураху-
ванням формули загального члену арифметичної прогресії 11 ndaan як
131 n = 23 n . Послідовність знаменників ,75,15,3 складає геометри-
чну прогресію з першим членом 3 та знаменником 5 , отже, за формулою зага-
льного члену геометричної прогресії 1
1
n
n qbb задається як 153 n . Таким чи-
ном, загальний член ряду задається рівністю 153
23
nn
nu .
Умову, яка задає 1nu , можна отримати з формули загального члена шля-
хом заміни змінної n на 1n , отже,
nnn
nnu
53
13
53
213111
.
2.
852
9!5
52
4!3
2
1!1
Члени ряду є дробами. Числівник дробу складається з двох множників,
перший з яких є факторіалом члена арифметичної прогресії з першим членом 1
та різницею 2 , отже, задається як !12 n . Послідовність других множників
,9,4,1 відповідає формулі 2n . Знаменник кожного з дробів є добутком попе-
реднього знаменника та нового множника, який складає з існуючими арифме-
тичну прогресію з першим членом 2 та різницею 3 . Таким чином, послідов-
ність нових множників відповідає формулі 13 n , а весь знаменник має вигляд
13852 n . Таку послідовність будемо надалі називати факторіальним
добутком. Отже, формулою загального члена ряду є рівність
13852
!122
n
nnun
.
8
Тоді
2313852
1!12
11313852
1!11222
1
nn
nn
nn
nnun
.
Зауваження. Для факторіального добутку доцільно при побудові форму-
ли для 1nu підкреслити наявність всіх множників, які відповідають поперед-
ньому члену ряду.
З’ясувати за допомогою означення, чи буде збіжним числовий ряд, та
за умови позитивної відповіді знайти суму ряду.
3. 98
1
14
1
2
1 .
Загальний член ряду задається формулою 172
1
nnu , отже, послідов-
ність частинних сум має вигляд 172
1
98
1
14
1
2
1
nnS . Це сума n чле-
нів геометричної прогресії з першим членом 2
1 та знаменником
7
1 , яка обчис-
люється за допомогою формули
n
n
n
nq
qbS
7
11
12
7
7
11
7
11
2
1
1
11.
Тоді 12
7
7
11
12
7limlim
n
nn
nS , отже, ряд збігається, а його сума
12
7S .
4. 2
13
2
8
2
3 .
Загальний член ряду задається формулою 2
25
nu n , отже, послідов-
ність частинних сум має вигляд
2
25
2
13
2
8
2
3 nSn 251383
2
1 n .
9
У дужках – сума n членів арифметичної прогресії з першим членом 3 та зна-
менником 5 , отже,
4
5
2
1532
2
1
2
12
2
12
1 nnn
nn
ndaSn
.
Тоді
4
5limlim
2 nnS
nn
n , тобто ряд є розбіжним.
5.
2618
1
1810
1
102
1
Загальний член ряду задається формулою 2868
1
nnu n , отже,
послідовність частинних сум має вигляд
2868
1
2618
1
1810
1
102
1
nnS n .
Легко помітити, що
10
1
2
1
8
1
102
210
8
1
102
1 ,
18
1
10
1
8
1
1810
1018
8
1
1810
1 ,
26
1
18
1
8
1
2618
1826
8
1
2618
1 ,...
28
1
68
1
8
1
2868
1
nnnn.
Тоді
28
1
2
1
8
1
28
1
68
1
26
1
18
1
18
1
10
1
10
1
2
1
8
1
nnnS n .
Отже, 16
1
28
1
2
1
8
1limlim
nS
nn
n , ряд є збіжним, а його сума
16
1S .
З’ясувати за допомогою ознак збіжності, чи буде збіжним числовий
ряд.
6. 22
7
12
5
2
3
10
Загальний член ряду задається формулою 810
12
n
nu n . Це неправильна
дробово-раціональна функція (степінь числівника не менший за степінь зна-
менника), отже, доцільно скористатися необхідною умовою збіжності.
05
1
810
12limlim
n
nu
nn
n . За необхідною умовою збіжності ряд розбіга-
ється.
7.
13 4
2
5
153
n n
nn.
Степінь числівника 2 більший за степінь знаменника 3
4 , отже, доцільно
скористатися необхідною умовою збіжності.
05
153limlim
3 4
2
n
nnu
nn
n . Ряд розбігається.
8.
1
3 15sin
n
n
3 15sinlimlim
nun
nn
не існує, отже, за необхідною умовою збіжності
ряд розбігається.
9.
1
275
43
nn
n
Загальний член ряду є правильною дробово-раціональною функцією (сте-
пінь числівника менший за степінь знаменника), числівник еквівалентний вели-
чині n3 , знаменник – 25n , отже,
nu ~nn
n 1
5
3
5
32
.
Порівняємо досліджуваний ряд з розбіжним гармонійним рядом
1
1
nn
.
;0
5
3
175
43lim
1:
75
43limlim
22
n
n
n
nn
n
v
u
nnn
n
n.
11
Згідно з граничною ознакою порівняння досліджуваний ряд
1
275
43
nn
n
також є розбіжним.
10.
1
3 2
1372
15
nnn
n
Скористаємося граничною ознакою порівняння . Оберемо допоміжний
ряд.
3 2 15 n ~ 3 25n ~ 3
2
3 5 n ;
72 n ~ n2 ;
13 n ~ n3 .
Таким чином, 1372
153 2
nn
nun
~3
4
33 21
6
5
32
5
nnn
n
.
Порівняємо досліджуваний ряд з узагальненим гармонійним рядом
13
4
1
n n , який є збіжним, оскільки показник степеня 1
3
4p .
n
n
n v
ulim
;0
6
5
11372
15lim
1:
1372
15lim
334
3 2
34
3 2 n
nn
n
nnn
n
nn.
Згідно з граничною ознакою порівняння ряд
1
3 2
1372
15
nnn
n також
збігається.
11.
1
4 37
1arcsin
n n
Загальний член ряду містить арксинус нескінченно малого аргументу,
отже, за допомогою граничної ознаки порівняння можна щонайменше позбути-
ся оберненої тригонометричної функції.
Скористаємося наслідком першої важливої границі 1arcsin
lim0
x
x
x та
оберемо ряд для порівняння.
12
4 3 7
1arcsin
n ~
4 3 7
1
n~
4 3
1
n.
Порівняємо досліджуваний ряд з узагальненим гармонійним рядом
14
3
1
n n , який є розбіжним, оскільки показник степеня 1
4
3p .
n
n
n v
ulim
;01
1:
7
1arcsinlim
434 3
nnn.
Згідно з граничною ознакою порівняння досліджуваний ряд
1
4 37
1arcsin
n n також розбігається.
12.
1
2
12ln
nn
n.
Скористаємося тим, що для досить великих значень змінної логарифм
степеневої функції буде меншим за будь-який додатний степінь.
21
12ln nn ;
232
21
2
112ln
nn
n
n
n
.
Ряд
12
3
1
n n збігається, оскільки показник степеня 1
2
3p , отже, згідно
з ознакою порівняння ряд
1
2
12ln
nn
n також буде збіжним.
13.
1
3 2
23ln
n n
n
Скористаємося тим, що для досить великих значень змінної логарифм
степеневої функції буде більшим за одиницю.
13ln2 n ;
32
32
213ln
nn
n
.
13
Ряд
13
2
1
n n розбігається, оскільки показник степеня 1
3
2p , отже, згі-
дно з ознакою порівняння ряд
1
3 2
23ln
n n
n також буде розбіжним.
Зауваження. Якщо логарифмічна функція розташована у знаменнику,
для її оцінювання доцільно скористатися нерівністю 1ln
11
nn p.
14.
13
52
n
n
n
До загального члена ряду входить показникова функція, отже, можна ви-
користати признак Даламбера.
nn
nu
3
52 ,
11 3
72
3
512
nnn
nnu .
13
1
52
72lim
3
1
52
3
3
72lim
3
52:
3
72limlim
11
1
n
n
n
nnn
u
uD
n
n
nn
nnn
n
n
n.
За ознакою Даламбера ряд збігається.
15.
852
!5
52
!3
2
!1
Побудуємо формулу загального члена ряду. Числівники дробів є факторі-
алами чисел ,5,3,1 , які складають арифметичну прогресію з першим членом
1 та різницею 2, тобто відповідають формулі 12 nan. Знаменники дробів є
факторіальними добутками, останні множники яких обчислюються як 13 n .
Тоді загальний член ряду має вигляд
13852
!12
n
nun
. У цьому випад-
ку також доцільно скористатися ознакою Даламбера.
2313852
!12
11313852
!1121
nn
n
nn
nun
n
n
n u
uD
1lim
13852
!12:
2313852
!12lim
n
n
nn
n
n
14
!12
13852
2313852
122!12lim
n
n
nn
nnn
n
23
122lim
n
nn
n.
За ознакою Даламбера ряд розбігається.
16.
1!
1
nn
arctg
Загальний член ряду є арктангенсом нескінченно малого аргументу, який
містить факторіал, отже, скористаємося ознакою Даламбера.
!
1
narctgu n ,
!1
11
narctgun .
При обчисленні D використаємо наслідок першої важливої границі
1lim0
x
xarctg
x, тобто xxarctg ~ при 0x .
n
n
n u
uD
1lim
!
1:
!1
1lim
narctg
narctg
n
!1
!lim
!
1:
!1
1lim
n
n
nn nn
101
1lim
1!
!lim
nnn
n
nn
За ознакою Даламбера ряд збігається.
17.
112531
2642
nn
n
Спроба використати ознаку Даламбера для дослідження наданого ряду
призведе до результату 1D . Скористаємося ознакою порівняння.
12
2
4
6
3
4
1
2
12531
2642
n
n
n
nun
.
Помітимо, що кожен з множників буде більшим за одиницю, отже, справджу-
ється нерівність 12
2
n
nun .
Ряд
112
2
nn
n буде розбіжним за необхідною умовою збіжності
0112
2lim
n
n
n
, тоді, згідно з ознакою порівняння, досліджуваний ряд
15
112531
2642
nn
n
також буде розбіжним.
18.
12642
12531
nn
n
Як і у попередньому прикладі, ознака Даламбера призведе до результату
1D . Знову скористаємося ознакою порівняння.
nn
n
n
nun
2
1
22
12
6
7
4
5
2
31
2642
12531
.
Легко помітити, що кожний з множників 2
3,
4
5,
22
12
n
n більший за оди-
ницю.
Тоді n
un2
1 . Гармонічний ряд
1
1
nn
розбігається, отже, за ознакою порівнян-
ня ряд
12642
12531
nn
n
також буде розбіжним.
19.
152
35
n
n
n
n
Загальний член ряду є степенево-показниковою функцією, отже, можна
спробувати радикальну ознаку Коші.
nn
nuK lim 1
2
5
52
35lim
52
35lim
1
n
n
n
n
n
nn
n.
За радикальною ознакою Коші ряд розбігається.
20.
113ln
1
n
nn
Скористаємося радикальною ознакою Коші .
nn
nuK lim
10
1
13ln
1lim
13ln
1lim
1
nn n
n
nn
.
За радикальною ознакою Коші ряд збігається.
16
21.
110
12
n
n
n
n
n
Скористаємося радикальною ознакою Коші . При обчисленні K викорис-
таємо другу важливу границю ex
x
x
11lim .
nn
nuK lim 1
1010
1
lim10
1
lim
12
en
n
n
nn
n
n
n
n
n.
За радикальною ознакою Коші ряд збігається.
22.
1
1n
n
n
n
Спроба використати радикальну ознаку Коші призведе до результату
1K . Скористаємося необхідною умовою збіжності.
01
1limlim
en
nu
n
nn
n.
Ряд розбігається.
23.
2ln
1
nnn
Загальний член ряду задається за допомогою функції xx
xfln
1 . Ця
функція неперервного аргументу для 2x набуває додатних значень та є спад-
ною. Обчислимо невласний інтеграл першого роду від цієї функції та скориста-
ємося інтегральною ознакою Коші.
2ln xx
dx
2ln
limxx
dx
ln,
2ln,2,,ln
tx
txdt
x
dxtx =
17
2ln
ln2lim
t
2lnlnlim2
.
Інтеграл є розбіжним, отже, ряд також розбігається.
Завдання для самостійної роботи
З’ясувати за допомогою означення, чи буде збіжним числовий ряд, та за
умови позитивної відповіді знайти суму ряду.
1. 3
7
3
4
3
1 2.
9
1
3
11 3.
1318
1318
813
813
38
38
З’ясувати за допомогою ознак збіжності, чи буде збіжним числовий ряд.
4.
153
15
nn
n 5.
1
2
12
43
n n
n 6.
12
sinn
n
7.
1
3
n
narctg 8.
1
31n
nn 9.
17
9
10
5
3
1
10.
1
213
17
nn
n 11.
1
275
nn
n 12.
11312
3
nnn
n
13.
1
345
12sin
nn
n 14.
1
2
1
34ln
n n
n 15.
1
2
3
1
12ln
nn
n
16. 9
9
4
5
1
1 17.
527
8
48
5
31
2
18.
2
ln
nn
n 19.
1
21
2
n
narctg
n 20.
4ln4
1
3ln3
1
2ln2
1333
21.
1
21
2
n
n
n 22.
112531
5
n
n
n 23.
1!12
3
nn
n
24.
13
1
n
ntg 25.
9
10
3
5
1
2 26.
741
!5
41
!3
1
1
18
27. !3
1arcsin
!2
1arcsin1arcsin 28.
11ln
5
n
n
n
n
29.
1 35
2
n
n
n
n
n 30.
1
2
1
3
nn
n
n
n 31.
113
72
n
n
n
n
32. 32 5
1
3
1
1
1 33.
7ln
1
5ln
1
3ln
132
34.
94
4
3
3
2
2
1
Відповіді.
1. Розбігається. 2. Збігається , 4
3S . 3. Збігається ,
3
1S . 4. За необхід-
ною умовою розбігається . 5. За необхідною умовою розбігається . 6. За необ-
хідною умовою розбігається . 7. За необхідною умовою розбігається . 8. За не-
обхідною умовою розбігається . 9. За необхідною умовою розбігається . 10. За
граничною ознакою порівняння розбігається. 11. За граничною ознакою порі-
вняння збігається. 12. За граничною ознакою порівняння розбігається. 13. За
граничною ознакою порівняння збігається. 14. За ознакою порівняння розбіга-
ється. 15. За ознакою порівняння збігається. 16. За граничною ознакою порі-
вняння розбігається. 17. За граничною ознакою порівняння збігається. 18. За
інтегральною ознакою Коші ряд розбігається. 19. За інтегральною ознакою
Коші ряд збігається. 20. За інтегральною ознакою Коші ряд збігається. 21. За
ознакою Даламбера ряд розбігається. 22. За ознакою Даламбера ряд збігається.
23. За ознакою Даламбера ряд збігається. 24. За ознакою Даламбера ряд збіга-
ється. 25. За ознакою Даламбера ряд збігається. 26. За ознакою Даламбера
ряд розбігається. 27. За ознакою Даламбера ряд збігається. 28. За радикаль-
ною ознакою Коші ряд збігається. 29. За радикальною ознакою Коші ряд збі-
гається. 30. За радикальною ознакою Коші ряд розбігається. 31. За радикаль-
ною ознакою Коші ряд збігається. 32. За радикальною ознакою Коші ряд збі-
гається. 33. За радикальною ознакою Коші ряд збігається. 34. За радикальною
ознакою Коші ряд розбігається.
19
1.2. Знакозмінні ряди
Якщо серед членів ряду є як додатні, так і від’ємні, такий ряд називається
знакозмінним.
Знакозмінний ряд називається абсолютно збіжним , якщо збігається
ряд, складений з абсолютних величин його членів.
Якщо ряд є збіжним, а ряд з абсолютних величин розбігається, то такий
знакозмінний ряд називається умовно збіжним .
Ряд, члени якого по черзі є додатними та від’ємними, називається рядом з
чергуванням знаків ( або рядом Лейбніца ).Такий ряд доцільно записувати у
вигляді
1
1
n
n
nu .
Теорема Лейбніца.
Якщо виконуються такі умови:
1) 0lim
nn
u ; та
2) послідовність 1u ,
2u , … nu …є монотонно спадною,
то ряд
1
1
n
n
nu збігається.
Зауваження. Теорема Лейбніца надає достатню умову збіжності рядів з
чергуванням знаків, отже, у випадку не монотонно спадної, але нескінченно
малої послідовності nu робити висновок про розбіжність ряду неприпустимо.
Зразки розв’язування задач
З’ясувати, чи буде заданий ряд розбіжним, абсолютно або умовно збі-
жним.
1.
1
2
sin
nn
n
Члени заданого ряду мають різні знаки. Дослідимо цей ряд на абсолютну
збіжність.
20
22
1sin
nn
nun
Узагальнений гармонічний ряд
1
2
1
nn
збігається (оскільки показник степеня
12 p ). Згідно з ознакою порівняння знакододатний ряд
1
2
sin
nn
n також
збігається, отже знакозмінний ряд
1
2
sin
nn
n збігається абсолютно.
2. 13
6
9
4
5
2
Знаки членів ряду чергуються та відповідають залежності 11
n. Зага-
льний член ряду задається формулою 14
21
1
n
nu
n
n .
Перевіримо, чи виконуються умови теореми Лейбніца.
02
1
14
2limlim
n
nu
nn
n.
За необхідною умовою збіжності ряд розбігається.
3. 333 11
1
9
1
7
1
Загальний член ряду задається формулою 3
1
52
11
nu
n
n .
Перевіримо, чи виконуються умови теореми Лейбніца.
1) 052
1limlim
3
nu
nn
n;
2) 31
7
1u ,
329
1u ,
3311
1u , …
321 uuu ,313 72
1
52
1
nu
nu nn .
За теоремою Лейбніца ряд збігається.
Дослідимо ряд з модулів
1
3 52
1
nn
.
21
3 52
1
n~
31
1
2
1
2
133 nn
.
Узагальнений гармонічний ряд
13
1
1
nn
розбігається (оскільки показник степе-
ня 13
1p ).
02
11:
52
1lim
33 31
nnn.
Згідно з граничною ознакою порівняння знакододатний ряд
1
3 52
1
nn
також розбігається, отже , ряд
1
3
1
52
1
n
n
n збігається умовно.
Зауваження. Умова спадності може виконуватися не з першого члена ря-
ду.
4. 8
5
4
3
2
1
Загальний член ряду задається формулою n
n
n
nu
2
121
1
.
Перевіримо, чи виконуються умови теореми Лейбніца.
1)
0
2ln2
2lim
2
12lim
2
12limlim
n
nnnn
nn
n
nnu ;
2) 2
11 u ,
4
32 u ,
8
53 u ,
16
74 u …
21 uu , 432 uuu ,
1 nn uu , оскільки функція
x
xxf
2
12 є монотонно спадною для 2x (
0
2
2ln122
x
xxf ).
За теоремою Лейбніца ряд збігається.
Дослідимо ряд з модулів
12
12
n
n
n. Скористаємося для цього ознакою
Даламбера.
22
nn
nu
2
12 ,
11 2
12
2
112
nnn
nnu .
12
1
12
12lim
2
1
12
2
2
12lim
2
12:
2
12limlim
11
1
n
n
n
nnn
u
uD
n
n
nn
nnn
n
n
n.
За ознакою Даламбера ряд
12
12
n
n
n збігається, отже, ряд
1
1
2
121
n
n
n n збі-
гається абсолютно.
Зауваження. У останньому прикладі можна обмежитися дослідженням
ряду з модулів, оскільки при абсолютній збіжності автоматично забезпечується
збіжність за Лейбніцем.
5.
1
1
!12
237411
n
n
n
n
Дослідимо ряд з модулів
1 !12
23741
n n
n. Скористаємося для цього
ознакою Даламбера.
!12
23741
n
nun
,
!32
1323741
!112
213237411
n
nn
n
nnun
.
n
n
n u
uD
1lim
!12
23741:
!32
1323741lim
n
n
n
nn
n
23741
!12
!32
1323741lim
n
n
n
nn
n
10
3222
13lim
nn
n
n.
За ознакою Даламбера ряд
1 !12
23741
n n
n збігається, отже, ряд
1
1
!12
237411
n
n
n
n збігається абсолютно.
Зауваження. Якщо при дослідженні ряду з модулів за радикальною озна-
кою Коші або за ознакою Даламбера з’ясовано, що цей ряд розбігається, то мо-
23
жна зробити висновок, що буде розбіжним і знакозмінний ряд, оскільки в таких
випадках ( 1K або 1D ) не виконується необхідна умова збіжності.
Завдання для самостійної роботи
1.
1
3
cos
n n
n 2.
1
2
13
351
n
n
n
n 3.
112ln
1
n
n
n
n
4.
153ln
1
n
n
n 5.
115
1
n
n
n 6.
27
9
9
4
3
1
Відповіді.
1. Абсолютно збігається. 2. Розбігається . 3. Абсолютно збігається. 4. Умовно
збігається. 5. Умовно збігається . 6. Абсолютно збігається .
Розділ 2
СТЕПЕНЕВІ РЯДИ
2.1. Збіжність степеневих рядів
Розглянемо послідовність функцій 1, nxun. Вираз вигляду
1
21
n
nn xuxuxuxu
називається функціональним рядом.
Ряд
1n
n xu є збіжним в точці 0xx , якщо збігається числовий ряд
1
0
n
n xu , та абсолютно збіжним , якщо збігається ряд
1
0
n
n xu .
Множина всіх значень аргументу x , для яких функції xu1, xu2
, ...
визначені, а ряд
1n
n xu збігається , називається областю збіжності цього
ряду.
24
Сума xSxuxuxu nn 21 називається п-ю частинною су-
мою ряду
1n
n xu , а її границя xSxS nn
lim – сумою цього ряду. Різницю
xRxSxS nn називають залишком ряду.
Область збіжності функціонального ряду можна знайти за ознакою Дала-
мбера або радикальною ознакою Коші.
Ознака Даламбера.
Функціональний ряд
1n
n xu є абсолютно збіжним для тих значень
аргументу х , для яких справджується нерівність
1lim
1
xu
xuxD
n
n
n .
Якщо 1xD , ряд є розбіжним , а поведінка функціонального ряду при тих
значеннях аргументу, для яких 1xD , потребує окремого дослідження.
Ознака Коші.
Функціональний ряд
1n
n xu є абсолютно збіжним для тих значень
аргументу х , для яких справджується нерівність
1lim
nn
nxuxK .
Якщо 1xK , ряд є розбіжним , а поведінка функціонального ряду при тих
значеннях аргументу, для яких 1xK , потребує окремого дослідження.
Функціональний ряд вигляду
0
0
n
n
n xxa , ;x називається
степеневим , а числа 0a ,
1a , 2a , ...
na , ... – коєфіцієнтами цього ряду.
Якщо 00 x , степеневий ряд має вигляд
0n
n
n xa .
25
Для будь-якого степеневого ряду
0n
n
n xa існує таке число 0R , що
для RRx ; розглядуваний ряд збігається , а для ;; RRx
ряд є розбіжним. Інтервал RR; називається інтервалом збіжності , а чис-
ло R – радіусом збіжності цього ряду.
Степеневий ряд
0
0
n
n
n xxa є абсолютно збіжним для значень аргу-
менту, які задовольняють умові Rxx 0, тобто інтервалом збіжності такого
ряду буде RxRx 00 ; .
Поведінка степеневого ряду на границях інтервалу збіжності потребує
окремого дослідження.
Якщо серед коефіцієнтів ряду немає таких, що дорівнюють нулю, ( тобто
у ряді немає пропуску степенів), радіус збіжності обчислюється за формулами
1
lim
n
n
n a
aR або
nn
n aR
1lim
.
Якщо радіус збіжності R є нескінченно великим, ряд збігається на всій
множині дійсних чисел, а якщо 0R , ряд буде збіжним тільки в одній точці
0x (або 0xx ).
Якщо ряд побудовано з пропуском степенів, для визначення інтервалу
збіжності використовують умови для функціонального ряду, тобто нерівності
1lim
1
xu
xuxD
n
n
n або 1lim
nn
nxuxK .
Зразки розв’язування задач
1. З’ясувати, чи буде степеневий ряд
1
3
3
n
n
n
x збігатися у точці 4x .
1
3
1
3
1
3
1134
nn
n
n
n
nnn.
Це знакододатний числовий ряд, який буде збіжним ( 12
3p ).
26
Знайти інтервал збіжності ряду:
2.
1
3
n
nn
n
x
Для даного ряду n
an
n
3 ;
1
3 1
1
n
an
n .
3
11
33
3lim
33
13lim
1
3:
3limlim
1
1
n
nn
nnna
aR
n
n
nn
n
n
nn
nn
n
n.
Інтервал збіжності ряду 3
1
3
1 x .
3.
110
3
n
n
nxn
Для даного ряду 30 x , nn
na
10 ,
1110
1
nn
na .
10110
1010lim
1
1010
10lim
10
1:
10limlim
1
1
n
n
n
nnn
a
aR
n
n
n
n
nn
nnn
n
n
n.
Інтервал збіжності ряду 103103 x , або 713 x .
4.
1!12
53
n
nn
n
x
Для даного ряду 50 x , !12
3
na
n
n ,
!32
31
1
n
an
n.
33
!32
!12
3lim
!32
3:
!12
3limlim
1
1
n
n
n
nn
nn
n
n
n
nnna
aR
3!12
3222!12lim
n
nnn
n.
Таким чином, ряд буде збіжним, якщо ;x .
5.
16
7!
n
n
nxn
27
Для даного ряду 70 x , nn
na
6
! ,
11
6
!1
nn
na .
0
1!
6!lim
!1
66
6
!lim
6
!1:
6
!limlim
1
1
nn
n
n
nnn
a
aR
n
n
nn
nnn
n
n
n
Таким чином, ряд буде збіжним, якщо 7x .
6.
1
13
8
1
n
n
n
n
x
Це ряд з пропуском степенів, тому скористаємося ознакою Даламбера:
n
n
nn
xxu
8
113
, 1
23
181
1
n
n
nn
xxu ;
xu
xuxD
n
n
n
1lim
n
n
n
n
n n
x
n
x
8
1:
81
1lim
13
1
23
8
1
18
1lim
1
8
81
1lim
3
1
3
131
23
x
n
nx
x
n
n
xn
nn
n
n
n
n.
Нерівність 1xD справджується, якщо
212218118
1 3
3
xxxx
.
Таким чином, інтервалом збіжності ряду буде 1;3 .
7.
1
5
n
n
n
n
x
Це ряд з пропуском степенів, тому скористаємося ознакою Коші:
n
n
nn
xxu
5
;
nn
nxuxK
lim
n
x
n
x
n
nn
n
n
55
limlim
.
Нерівність 1xK справджується для будь-якого значення x , отже, ряд буде
збіжним для ;x .
28
8.
1
123!
n
nxn
Це ряд з пропуском степенів, тому скористаємося ознакою Даламбера:
123!
n
n xnxu , 12
1 3!1
n
n xnxu ;
xu
xuxD
n
n
n
1lim
2
12
12
31lim3!
3!1lim
xn
xn
xn
nn
n
n.
Нерівність 1xK справджується, лише якщо 03x , отже, ряд буде збіж-
ним тільки для 3x .
Знайти область збіжності степеневого ряду.
9.
1
6
1
8
1
n
n
nn
n
x
Для заданого ряду
6
1
8
1
na
n
n
n
,
61
2
118
1
n
an
n
n.
1
limn
n
n a
aR
8
18lim
18
1:
8
1lim
6
6
61
2
6
1
n
n
nn nn
n
n
n
n.
Інтервал збіжності ряду задається умовою 88 x . Дослідимо поведінку ря-
ду на границях цього інтервалу.
8x :
1
6
1
6
11
1
1
6
11
8
811
8
81
12
nn
n
nnn
n
n
nn
nnn
n
.
Узагальнений гармонічний ряд
1
6
1
nn
є розбіжним
1
6
1p , отже, степе-
невий ряд при 8x розбігається.
8x :
1
6
1
1
6
11
8
81
n
n
n
n
nn
nn.
Це ряд Лейбніца . Перевіримо, чи виконуються умови відповідної теореми.
1) 01
limlim6
n
un
nn
;
2) 11 u , 62
2
1u ,
633
1u , …
29
321 uuu , 1 nn uu .
За теоремою Лейбніца ряд є збіжним, тобто при 8x степеневий ряд збігаєть-
ся.
Таким чином, областю збіжності досліджуваного ряду є 8;8 .
10.
1
1275
n
nn
n
x
Якщо необхідно дослідити поведінку ряду за степенями 0xx на грани-
цях інтервалу збіжності, доцільно ввести допоміжну змінну 0xxt та роз-
шукувати область збіжності отриманого ряду за новою змінною.
7 xt ;
1
125
n
nn
n
t.
Це ряд з пропуском степенів, тому скористаємося ознакою Даламбера:
n
tu
nn
n
125
, 1
5 121
1
n
tu
nn
n ;
tu
tutD
n
n
n
1lim
n
t
n
t nnnn
n
12121 5:
1
5lim
12
121
51
5lim
nn
nn
n t
n
n
t 22 51
5lim tn
nt
n
.
Нерівність 1tD справджується, якщо
5
1
5
1
5
1
5
115 22 tttt .
Дослідимо поведінку ряду на границях інтервалу збіжності.
5
1t ,
11 2
12
12
1
12
15
5
155
15
nn
n
nn
n
n
n
nn
n.
Гармонічний ряд
1
1
nn
є розбіжним, отже , степеневий ряд
1
125
n
nn
n
t розбі-
гається при 5
1t .
30
5
1t ,
11 2
12
1
12
15
5
55
15
nn
n
n
n
n
n
nn
n.
Гармонічний ряд
1
1
nn
є розбіжним, отже , степеневий ряд
1
125
n
nn
n
t розбі-
гається при 5
1t .
Таким чином, область збіжності ряду задається умовою
5
1
5
1 t , або
5
17
5
1 x ,
5
17
5
17 x .
11.
1
7 2
1
3
2
n
n
n
n
x
Введемо нову змінну 2 xt та знайдемо область збіжності отримано-
го ряду
1
7 2
1
3n
n
n
n
t.
Для цього ряду 7 2
3
1
na
nn , 7 21
1
13
1
na
nn .
1
limn
n
n a
aR
7 217 213
1:
3
1lim
nn nnn
7 2
7 21
3
13lim
n
nn
n
n
31
lim3 7
2
n
n
n.
Інтервалом збіжності допоміжного ряду буде 33 t . Дослідимо пове-
дінку ряду на границях інтервалу.
3t ,
1
7 2
1
1
7 2
11
1
7 2
11
33
31
3
3
n
n
n
n
nn
n
n
n
nnn.
Це ряд Лейбніца . Перевіримо, чи виконуються умови відповідної теореми.
1) 01
limlim7 2
n
un
nn
;
2) 11 u , 72
4
1u ,
739
1u , …
31
321 uuu , 1 nn uu .
За теоремою Лейбніца ряд є збіжним, тобто при 3t степеневий ряд збігаєть-
ся.
3t ,
1
7 2
1
7 2
11
33
3
nn
n
n
nn.
Узагальнений гармонічний ряд
1
7 2
1
n n є розбіжним
1
7
2p , отже, степе-
невий ряд при 3t розбігається.
Таким чином, область збіжності допоміжного ряду відповідає умові
33 t .
Тоді область збіжності основного ряду задається нерівністю
323 x ; 15 x .
Отже, область збіжності заданого ряду – це проміжок 1;5 .
Завдання для самостійної роботи
1. З’ясувати, чи буде степеневий ряд
1 31
5
nn
n
n
x збігатися у точці 20 x .
Знайти інтервал збіжності ряду:
2.
1 312nn
n
n
x ; 3. n
n
nxn
1
2121 ; 4.
n
n
xn
1
! ;
5
1 5
3
nn
n
n
x ; 6.
1
2
1ln1
3
n
n
nn
x.
Знайти область збіжності ряду:
7.
1 2nn
n
n
x ; 8.
!12121
12
1
1
nn
xn
n
n ; 9.
1
2
121
34
2
n
nn
n
x ;
10.
1nn
n
n
x ; 11.
1
12
12n
n
n
xn
n ; 12.
1 21n
nx
n
n ;
32
13.
1
!
nn
n
n
xn ; 14.
n
n
n
n
n
x
3
51
1
1
; 15.
1
3n
nn xn ;
16.
1
2
9
1
nn
n
n
x ; 17.
1
12
42
5
nn
n
n
x ; 18.
1
2
2
nn
n
n
x ;
19
1
3
7
32
n
n
n
x ; 20.
1
3
2
134
41
nn
nn
n
x.
Відповіді.
1. Ряд збігається за ознакою Лейбніца.
2. 3;3 ; 3. 1;1 ; 4. 0x ; 5. 8;2 ; 6. 4;2 ;
7. 2;2 ; 8. ; ; 9.
2
1;
2
1 ; 10. ; ;
11. 4;4 ; 12. 2;2 ; 13. ee ; ; 14. 8;2 ; 15. 3x ;
16. 4;2 ; 17. 3;7 ; 18. 1;3 ; 19. 2;1 ; 20. 2;6 .
2.2. Розвинення функцій у степеневі ряди
Якщо функція xfy має в точці 0x похідні будь-якого порядку, цій
функції відповідає ряд Тейлора
n
n
xxn
xfxx
xfxx
xfxfxf 0
02
0
0
0
0
0!!2!1
=
1
00
0!
n
nn
xxn
xfxf .
Степеневий ряд у околі точки 00 x має назву ряду Маклорена:
nn
xn
fx
fx
ffxf
!
0
!2
0
!1
00
2 =
1!
00
n
nn
xn
ff .
33
Наведемо розвинення у ряд Маклорена деяких елементарних функцій та
вкажемо інтервали збіжності цих рядів (у точках, що належать інтервалам збі-
жності, ряди збігаються до значень відповідних функцій у цих точках).
1
32
!1
!3!2!11
n
nx
n
xxxxe ; x .
1
12153
!12
1
!5!3!1sin
n
nn
n
xxxxx ; x .
1
242
!2
11
!4!21cos
n
nn
n
xxxx ; x .
32
!3
21
!2
1
!111 x
mmmx
mmx
mx
m
1!
1211
n
nxn
nmmmm ; 11 x .
1
1321
3211ln
n
nn
n
xxxxx ; 11 x .
0
1253
12242
1231
542
31
32
1arcsin
n
n
n
x
n
nxxxx
; 11 x .
1
12153
12
1
531arctg
n
nn
n
xxxxx ; 11 x .
Степеневі ряди мають такі важливі властивості:
а) степеневий ряд
0n
n
n xa можна почленно інтегрувати, якщо проміжок інтег-
рування належить області збіжності ряду;
б) степеневий ряд
0n
n
n xa можна почленно диференціювати у точках, що на-
лежать інтервалу збіжності.
Зразки розв’язування задач
1. Знайти перші два ненульові члени розвинення у ряд Маклорена функції
xtgy 3 .
34
Ряд Маклорена має вигляд
1!
00
n
nn
xn
ffxf .
Обчислимо значення заданої функції та декількох її перших похідних при
00 x .
xtgy 3 , 000 tgy ;
x
y3cos
32
, 30cos
30
2y ;
x
xy
3cos
3sin183
, 00cos
0sin183
y ;
x
xxxxxy
3cos
3sin33cos33sin3cos3cos318
6
23
x
x
3cos
3cos2354
4
2 ,
540cos
0cos23540
4
2
y .
Тоді розвинення функції має вигляд
3
!3
540
!1
30 xxy ,
393 xxy .
2. Розвинути у ряд Тейлора в околі точки 10 x поліном xxxP 23 .
Розвинення у ряд Тейлора полінома буде мати скінченну кількість нену-
льових членів.
1
1!
11
n
nn
xn
PPxP .
112113
P ;
23 2 xxP , 121312
P ;
xxP 6 , 6161 P ;
6 xP , 61 P ;
054 xPxP .
3211
!3
61
!2
61
!1
11
xxxxP =
3211311 xxx .
35
Розвинути функцію у ряд Маклорена за допомогою табличних роз-
винень. Вказати інтервал збіжності отриманого ряду:
3. 7
sin3
xy
При побудові розвинення буде введено допоміжну змінну за аргументом
складної функції.
ttxx
sin77
sin33
1
121
!12
1
n
nn
n
t
12
3
1
1
7!12
1n
n
nx
n
36
1
12
1
7!12
1
n
n
n
n
xn
;
36
1
12
1
7!12
1
n
n
n
n
xn
y .
Табличний ряд буде збігатися при ;t , отже, побудований ряд буде
збіжним при ;x .
4. 253 xexy
tx etxe 25 52
1!
1
n
n
n
t
1
2
!
51
n
n
n
x
1
2
!
511
n
nnn
xn
1
23
!
511
n
nnn
xn
xy ;
1
323
!
51
n
nnn
xn
xy .
Табличний ряд буде збігатися при ;t , отже, побудований ряд буде
збіжним при ;x .
5. 42 31ln xxy
txtx 1ln331ln 44
1
11
n
nn
n
t
36
1
4
11
1
1
4131131
12
n
nnnn
n
nn
n
x
n
x
n
1
43
n
nn
n
x
1
42 3
n
nn
n
xxy ;
1
243
n
nn
n
xy .
Інтервал збіжності застосованого табличного ряду визначається нерівністю
1t , отже, побудований ряд абсолютно збігається, якщо
4444
3
1
3
11313 xxxx .
Таким чином, інтервалом збіжності побудованого ряду буде
44
3
1;
3
1.
6. 23 57ln xxy
7
51ln7ln
7
517ln57ln
222 xx
x
t
xt 1ln7ln
7
5 2
1
11
7ln
n
nn
n
t
1
21
7
51
7ln
n
n
n
n
x
1
21
7
517ln
n
n
nnn
n
x;
1
21
3
7
517ln
n
n
nnn
n
xxy ;
1
321
3
7
517ln
n
n
nnn
n
xxy .
Інтервал збіжності застосованого табличного ряду визначається нерівністю
1t , отже, побудований ряд абсолютно збігається, якщо
37
5
7
5
71
7
5 22
xxx
.
Таким чином, інтервалом збіжності побудованого ряду буде
5
7;
5
7.
7. 3 2
51
1
xy
Задану функцію можна записати у вигляді 32
51
xy та скористатись
табличним розвиненням у біноміальний ряд для 3
2m .
Спочатку запишемо вказане табличне розвинення:
!3
23
21
3
2
3
2
!2
13
2
3
2
!1
3
2
11 3
2
t
nt
n
n
!
13
22
3
21
3
2
3
2
1 !
13
22
3
21
3
2
3
2
1n
nt
n
n
1!
3
31
3
8
3
5
3
2
1
n
nt
n
n
1!3
1385211
n
n
n
n
tn
n.
Повернемося до заданої функції:
32
32
1551
txtx
1!3
1385211
n
n
n
n
tn
n
1
5!3
1385211
n
n
n
n
xn
n
1!3
51385211
n
n
n
nn
xn
n;
38
1!3
51385211
n
n
n
nn
xn
ny
.
Інтервал збіжності застосованого табличного ряду визначається нерівністю
1t , отже, побудований ряд абсолютно збігається, якщо
5
115 xx .
Таким чином, інтервалом збіжності побудованого ряду буде
5
1;
5
1.
8. 4 3
2
56 x
xy
Задану функцію можна записати у вигляді 4
132
56
xxy та скорис-
татись табличним розвиненням у біноміальний ряд для 4
1m .
Спочатку запишемо вказане табличне розвинення:
1
4
1
!
14
12
4
11
4
1
4
1
11
n
nt
n
n
t
1!
4
43
4
9
4
5
4
1
1
n
nt
n
n
1!4
3495111
n
n
n
n
tn
n.
Повернемося до заданої функції:
4
14
134
1
3
4
13
166
5
6
51656 t
xt
xx
1
4
1
!4
34951116
n
n
n
n
tn
n
1
3
4
1
6
5
!4
34951116
n
n
n
nx
n
n
39
1
34
1
!24
534951116
n
n
n
nn
xn
n ;
1
34
1
2
!24
534951116
n
n
n
nn
xn
nxy
;
1
234
1
24
1
!24
534951166
n
n
n
nn
xn
nxy
.
Інтервал збіжності застосованого табличного ряду визначається нерівністю
1t , отже, побудований ряд абсолютно збігається, якщо
33
3
5
6
5
61
6
5 xx
x .
Таким чином, інтервалом збіжності побудованого ряду буде
33
5
6;
5
6.
9. Розвинути в степеневий ряд функцію 2
1
xy в околі точки 30 x .
1 спосіб. Ряд Тейлора для заданої функції має вигляд
1
3!
33
n
nn
xn
yyxy .
Обчислимо у точці 30 x значення заданої функції та її кількох похідних, та
спробуємо знайти закономірність, якій вони підкоряються.
2
2
1 xx
y ; 22
3
1
3
13
y ;
32 xy ; 33
3
2
3
23
y ;
44 3232 xxy ; 44
3
32
3
323
y ;
55 432432 xxy ; 55
3
432
3
4323
y .
Легко помітити, що значення похідних є додатними дробами, числівники яких
мають факторіальний вигляд, а знаменники є степенями основи 3. Аналіз цих
40
виразів приводить до висновку, що шукані значення похідних можна обчислити
за формулою
23
1323
n
n ny
.
Тоді ряд Тейлора для заданої функції має вигляд
1
223
!3
132
3
1
n
n
nx
n
nxy
;
1
23
3
1
9
1
n
n
nx
nxy .
Обчислимо радіус збіжності отриманого ряду.
23
1
nn
na ,
313
2
nn
na ,
3
13
331lim
2
3
3
1lim
3
2:
3
1limlim
2
23
232
1
n
n
n
nnn
a
aR
n
n
n
n
nn
nnn
n
n
n.
Тоді ряд абсолютно збігається, якщо 33 x .
Таким чином, інтервал збіжності задається умовою 0;6x .
2 спосіб. Використаємо табличне розвинення у ряд Маклорена. Для цього
виконаємо заміну змінної 0xxz та перетворимо функцію до вигляду, який
дозволяє використати вказане розвинення.
3
;312
zx
xz
xy
2
2223
19
1
313
1
3
1
3
1 z
zzz
21
9
1
3
tz
t ;
1
2
!
122212211
n
ntn
nt
1!
14321
n
ntn
n
11
111!
143211
n
nn
n
n
n
tntn
n
41
113
119
1
9
1111
9
1
n
n
n
n
nn zntny
1
2
13
1
9
1
3
111
9
1
9
1
n
n
n
n
n
n
nn
zn
zn
1
23
3
1
9
1
n
n
nx
n .
Таким чином, шукане розвинення має вигляд
1
23
3
1
9
1
n
n
nx
ny .
Інтервал збіжності застосованого табличного ряду визначається нерівністю
1t , отже, побудований ряд абсолютно збігається, якщо
0633313
xxzz
.
Таким чином, інтервалом збіжності побудованого ряду буде 0;6 .
10. Розвинути в степеневий ряд функцію 10
cosx
y
в околі точки 50 x .
1 спосіб. Ряд Тейлора для заданої функції має вигляд
1
5!
55
n
nn
xn
yyxy .
Обчислимо у точці 50 x значення заданої функції та її кількох похідних, та
спробуємо знайти закономірність, якій вони підкоряються.
10
cosx
y
, 02
cos10
5cos5
y ;
1010
sin
x
y , 101010
5sin5
y ;
2
1010cos
x
y , 01010
5cos5
2
y ;
3
1010sin
x
y , 3
33
101010
5sin5
y ;
42
4
4
1010cos
x
y , 01010
5cos5
4
4
y ;
5
5
1010sin
x
y , 5
55
5
101010
5sin5
y .
Легко помітити, що парні похідні дорівнюють 0, а значення непарних є знакоз-
мінними дробами, числівники яких є степенями основи , а знаменники – сте-
пенями основи 10. Аналіз цих виразів приводить до висновку, що шукані зна-
чення похідних можна обчислити за формулою
12
12
12
1015
k
kkk
y
.
Тоді ряд Тейлора для заданої функції має вигляд
1
12
12
12
5!1210
1
k
k
k
kk
xk
xy
.
Знайдемо інтервал збіжності ряду за допомогою ознаки Даламбера:
12
12
12
5!1210
1
k
k
kk
k xk
xu
,
12
12
121
1 5!1210
1
k
k
kk
k xk
xu
;
xu
xuxD
k
k
k1
1lim
!1210
51:
!1210
51lim
12
1212
12
12121
k
x
k
xk
kkk
k
kkk
k
012210
5lim
2
22
kk
x
k
.
Нерівність 1xD справджується для будь-якого значення x , отже, ряд
буде збіжним для ;x .
2 спосіб. Використаємо табличне розвинення у ряд Маклорена. Для цього
виконаємо заміну змінної 0xxz та перетворимо функцію до вигляду, який
дозволяє використати вказане розвинення.
43
10sin
210cos
10
5cos
5
5
10cos
zzz
zx
xzxy
tz
t sin10
1
121
!12
1
n
nn
n
t
1
12
10!12
1
n
nnz
n
1
12
12
12
5!1210
1
n
n
n
nn
xn
.
Таким чином, шукане розвинення має вигляд
1
12
12
12
5!1210
1
n
n
n
nn
xn
xy
.
Табличний ряд буде збігатися при ;t , отже, побудований ряд буде
збіжним при ;x .
11. Розвинути в степеневий ряд функцію xy 3 в околі точки 20 x .
1 спосіб. Ряд Тейлора для заданої функції має вигляд
1
2!
22
n
nn
xn
yyxy .
Обчислимо у точці 20 x значення заданої функції та її кількох похідних, та
спробуємо знайти закономірність, якій вони підкоряються.
xy 3 , 9
132 2 y ;
3ln313ln3 xxy , 3ln9
13ln32 2 y ;
3ln313ln3 22 xxy , 3ln9
13ln32 222 y ;
3ln313ln3 33 xxy , 3ln9
13ln32 332 y .
Аналіз цих виразів приводить до висновку, що шукані значення похідних мож-
на обчислити за формулою
3ln9
12 n
n
ny
.
Тоді ряд Тейлора для заданої функції має вигляд
44
1
2!9
3ln1
9
1
n
nnn
xn
y .
Обчислимо радіус збіжності отриманого ряду.
!9
3ln1
na
nn
n
,
!19
3ln111
1
n
ann
n ,
!19
3ln1:
!9
3ln1limlim
11
1 nna
aR
nnnn
nn
n
n
3ln
1lim
3ln1
!19
!9
3ln1lim
11
nn
n nnn
nn
n.
Таким чином, ряд буде збіжним при ;x .
2 спосіб. Використаємо табличне розвинення у ряд Маклорена. Для цього
виконаємо заміну змінної 0xxz та перетворимо функцію до вигляду, який
дозволяє використати вказане розвинення.
3ln3ln222
9
1
9
13333
2
23 zzzzzx ee
zx
xzy
tezt9
13ln
11 !
3ln1
9
1
!1
9
1
n
n
n
n
n
z
n
t
11
2!9
3ln1
9
1
!9
3ln1
9
1
n
nnn
n
nnn
xnn
z.
Таким чином, шукане розвинення має вигляд
1
2!9
3ln1
9
1
n
nnn
xn
y .
Табличний ряд буде збігатися при ;t , отже, побудований ряд буде
збіжним при ;x .
12. Розвинути в степеневий ряд функцію 23ln 2 xxy в околі точки
40 x .
Побудуємо шукане розвинення за допомогою табличних розвинень у ряд
Маклорена.Для цього виконаємо заміну змінної 0xxz та перетворимо фун-
кцію до вигляду, який дозволяє використати вказане розвинення.
45
65ln2434ln
4
423ln 222 zzzz
zx
xzxx
2ln3ln23ln zzzz .
1
1
3
13ln
31ln3ln
313ln3ln
n
nnz
n
zzz
1
1
3
13ln
n
n
n
n
zn
; 13
z
; 3z .
1
1
2
12ln
21ln2ln
212ln2ln
n
nnz
n
zzz
1
1
2
12ln
n
n
n
n
zn
; 12
z
; 2z .
Тоді
1
1
1
1
2
2
12ln
3
13ln23ln
n
n
n
n
n
n
n
n
zn
zn
xx
1
1
2
1
3
112ln3ln
n
n
nn
n
zn
1
1
6
3216ln
n
n
n
nnn
zn
1
14
6
3216ln
n
n
n
nnn
xn
.
Умовами збіжності допоміжних рядів були нерівності 2z та 3z ,
тоді отриманий ряд буде збігатися, якщо
2423
2
xz
z
z.
Остаточно
1
14
6
3216ln
n
n
n
nnn
xn
y , 6;2x .
13. Розвинути в степеневий ряд функцію 2
12
xx
y в околі точки 10 x .
Побудуємо шукане розвинення за допомогою табличних розвинень у ряд
Маклорена. Для цього виконаємо заміну змінної 0xxz та перетворимо фу-
нкцію до вигляду, який дозволяє використати вказане розвинення.
46
12
1
2
1
211
1
1
1
2
1222
zzzzzzzx
xz
xx
1212
1
z
B
z
A
zz ;
211 zBzA ;
;3
1,301:1 BBAz
;3
1,031:2 ABAz
1
3
1
2
3
1
12
1
zzzz
zzzz 2
1
1
1
3
1
2
1
1
1
3
1.
Запишемо необхідне для подальшого розв’язування задачі табличне роз-
винення.
1
1
!
112111111
n
nt
n
nt
1 !
4211
n
nt
n
n
11
11!
432111
n
nn
n
n
n
ttn
n.
Отримуємо
11
1
1
z
z
1
11n
nnz
1
1n
nz ; 1z .
1
21
2
1
212
1
2
1
z
zz
1 211
2
1
n
n
n z
1
12
12
1
nn
nn z
;
12
z
; 2z .
11
12
21
2
11
3
1
2
1
nn
nn
n
n zz
xx
112
11
2
3
3
1
n
n
n
n
z
47
11
1
23
12
2
1
n
n
n
nn
z
11
11
123
21
2
1
n
n
n
nn
x ;
1111
2
xz
z
z.
Остаточно
11
11
123
21
2
1
n
n
n
nn
xy , 2;0x .
14. Записати у вигляді ряду інтеграл зі змінною верхньою границею
x
dxxx0
32 cos .
Запишемо розвинення у ряд Маклорена підінтегральної функції
32 cosxxxf .
33cos xtx
1
2
!2
11cos
n
nn
n
tt
1
23
!2
11
n
nn
n
x
1
6
!2
11
n
nn
n
x,
xf
1
62
!2
11
n
nn
n
xx ; xf
1
262
!2
1
n
nn
n
xx .
Отриманий ряд збігається на всій множині дійсних чисел, отже, його мо-
жна почленно інтегрувати у будь-якому скінченному проміжку. Тоді з ураху-
ванням того, що Ck
xdxx
kk
1
1
, маємо
x
dxxx0
32 cos
x
n
nn
dxn
xx
0 1
262
!2
1
1 0
26
0
2
!2
1
n
x nnx
dxn
xdxx
1 0
36
0
3
36!2
1
3 n
xnnx
n
x
n
x
1
363
!123
1
3 n
n
n
xn
x.
Легко помітити, що отримане розвинення відповідає функції 3sin3
1xy ,
яка є первісною для підінтегральної функції.
48
15. Записати у вигляді ряду інтеграл зі змінною верхньою границею
x
x
dx
031
.
Запишемо розвинення у ряд Маклорена підінтегральної функції
31
1
xxf
.
2
132
13
311
1
1txtx
x
1 !
12
12
2
11
2
1
2
1
1n
nt
n
n
1 !
2
21
2
5
2
3
2
1
1n
nt
n
n
1 !2
1253111
n
n
n
n
tn
n
1
3
!2
1253111
n
n
n
n
xn
n.
Як відомо, інтервалом збіжності отриманого ряду є 1;1 , крім того,
можна показати за допомогою теореми Лейбніца, що цей ряд збігається також,
якщо 1x , отже, цей ряд можна почленно інтегрувати, якщо проміжок інтег-
рування повністю належить множині 1;1 .
x
x
dx
031
x
n
n
n
n
dxxn
n
0 1
3
!2
1253111
=
1 0
3
0!2
125311
n
x
n
n
nx
dxxn
ndx
1 0
13
0 13!2
125311
n
xn
n
nx
n
x
n
nx
1
13
13!2
125311
n
n
n
n
xnn
nx
.
Завдання для самостійної роботи
1. Знайти перші три ненульові члени розвинення у ряд Маклорена функції
xy x cos2 .
49
2. Розвинути у ряд Тейлора в околі точки 20 x поліном 34 xxxP .
Записати розвинення функції у ряд Маклорена. Вказати інтервал збіжності
отриманого ряду.
3. 247 xexy . 4.
7
10cos
53 x
xy . 5. 5
2sin
310 x
xy .
6. 48 71ln xxy . 7. 837ln xy . 8. 24
3
31 x
xy
.
9. 379
1
xy
.
Записати розвинення функції у ряд Тейлора в околі заданої точки. Вказати ін-
тервал збіжності отриманого ряду.
10. 4 3
1
xy , 20 x . 11.
3 1
1
xy , 70 x .
12. xy 3ln , 10 x . 13. xey 2 , 30 x .
14. xy 3cos , 3
0
x . 15.
84
12
xx
y , 20 x .
16. x
xy
3
5ln , 10 x .
Записати у вигляді ряду інтеграл зі змінною верхньою границею .
17.
x
x dxex0
53 2
. 18.
x
dxx0
92ln . 19.
x
x
dx
03 58
.
Відповіді.
1. 2
2
2
12ln2ln1 xxy
.
2. 43222822423117 xxxxxP .
3.
1
727;,
!
41
n
nnn
xxn
xy .
4.
1
35
2
23
;,!27
101
n
n
n
nn
xxn
xy .
50
5.
1
76
12
121
;,!125
21
n
n
n
nn
xxn
y .
6.
1
4484
1
7
1;
7
1,
71
n
nnn
xxn
y .
7.
1
888
3
7;
3
7,
7
37ln
n
n
n
n
xxn
y .
8.
1
44343
3
1;
3
1,311
n
nnnxxnxy .
9.
1
333
7
9;
7
9,
!293
12311
3
1
n
n
nn
n
xxn
ny
.
10.
1
1;3,2!4
3495111
n
n
n
n
xxn
ny
.
11.
1
1;15,7!242
23741
2
1
n
n
nxx
n
ny
.
12.
1
1
5;3,14
14ln
n
n
n
n
xxn
y .
13.
1
66
;,3!
2
n
nn
xxn
eey .
14.
1
1
;,3!2
911
n
nnn
xxn
y
.
15.
1
20;4,2
!83
125311
2
1
n
n
n
n
xxn
ny
.
16.
1
1
3;1,16
133ln
n
n
n
nn
xxn
y .
17.
1
424
42!
51
4
1
n
nnn
xnn
xI .
18.
1
1
12
92ln
n
n
n
n
xnn
xI .
19.
1
15
15!242
237411
2
1
n
n
n
n
xnn
nxI
.
51
Розділ 3.
ЗАСТОСУВАННЯ РЯДІВ
3.1. Наближене обчислення значень функцій та
визначених інтегралів
Для наближеного обчислення значень функцій необхідно побудувати ро-
звинення шуканої функції у степеневий ряд, який є збіжним для відповідного
значення аргументу. Далі отриманий числовий ряд наближено замінюється йо-
го частинною сумою так, щоб залишковий член ряду не перевищував за абсо-
лютним значенням заданої точності.
Для обчислення визначеного інтегралу будуємо розвинення підінтеграль-
ної функції у степеневий ряд та почленно інтегруємо його. Далі отриманий чи-
словий ряд наближено замінюється його частинною сумою так, щоб залишко-
вий член ряду не перевищував за абсолютним значенням заданої точності.
Зразки розв’язування задач
1. Записати у вигляді збіжного числового ряду 85,0ln .
Можна вважати, що шукана величина є значенням функції xy 1ln
при 15,0x :
15,0
1ln85,0ln
x
x .
Запишемо розвинення в ряд Маклорена логарифмічної функції
1
1321
3211ln
n
nn
n
xxxxx , 11 x .
Значення аргументу 15,0x належить області збіжності наведеного ряду,
отже, шукане значення функції можна отримати у вигляді числового ряду підс-
тановкою вказаного значення у степеневий ряд:
1
1
1
1
20
31
115,0
185,0ln
n
n
nn
n
nn
nn
52
11
12
20
3
20
31
nn
n
nn
nn
nn.
2. Записати у вигляді збіжного числового ряду 19ln .
Спроба представити шукане значення у вигляді 18
1ln19ln
x
x є
недоцільною, оскільки 18x не належить області збіжності відповідного ряду,
отже, використання цього розвинення неможливе.
Запишемо аргумент функції у вигляді дробу
x
x
1
119 ; xx 1119 ; 1820 x ; 9,0x .
Таким чином, можна вважати, що
9,01
1ln19ln
xx
x.
Представимо логарифм дробу у вигляді степеневого ряду:
xx
x
x1ln1ln
1
1ln
654321
65432 xxxxxx
654321
65432xxxxxx
1
1253
12
2
5
2
3
2
1
2
n
n
n
xxxx , .11 x
Тоді
112
12
1
12
1012
929,0
12
219ln
nn
n
n
n
nn.
3. Записати у вигляді збіжного числового ряду 4 7,1 .
Можна вважати, що шукана величина є значенням функції 41
1 xy
при 7,0x :
7,0
17,1 41
4
xx .
Запишемо розвинення в ряд Маклорена цієї функції.
53
1
41
!
14
12
4
11
4
1
4
1
11n
nxn
n
x
1 !
4
45
4
7
4
3
4
1
1n
nxn
n
1 !4
457311
n
n
nx
n
n , 11 x .
Значення аргументу 7,0x належить області збіжності наведеного ряду, отже,
шукане значення функції можна отримати у вигляді числового ряду підстанов-
кою вказаного значення у степеневий ряд:
4 7,1
1 10
7
!4
457311
n
n
n n
n
1
7!40
457311
n
n
nn
n.
Ряд можна записати також у такій формі:
4 7,1
1
7!40
5473111
n
n
n
n
n
n.
4. Записати у вигляді збіжного числового ряду 3 14 .
Спроба представити шукане значення у вигляді 13
114 31
3
xx є
недоцільною, оскільки 13x не належить області збіжності біноміального ря-
ду, отже, використання цього розвинення неможливе.
Порівняємо значення аргумента кореня третього степеня з відповідними
(третіми) степенями натуральних чисел:
113 , 82 3 , 273 3 ; 27148 .
Тоді можна представити аргумент кореня у вигляді
4
3186814 ,
який надає можливість скористатися табличним розвиненням:
33
3
4
312
4
31814
4312 3
1
xx .
Запишемо відповідне табличне розвинення
54
1
31
!
13
12
3
11
3
1
3
1
11n
nxn
n
x
1 !
3
34
3
5
3
2
3
1
1n
nxn
n
1 !3
345211
n
n
nx
n
n , 11 x .
Значення аргументу 4
3x належить області збіжності наведеного ряду, отже,
шукане значення функції можна отримати у вигляді числового ряду підстанов-
кою вказаного значення у отримане розвинення:
3 14
1 4
3
!3
3452112
n
n
nn
n
1 !4
3452122
nn
n
n.
Ряд можна також записати у такій формі:
3 14
1 !4
43521122
nn
n
n
n.
5. Записати у вигляді збіжного числового ряду 3 20
1.
Порівняємо значення аргументу кореня третього степеня з відповідними
(третіми) степенями натуральних чисел:
113 , 82 3 , 273 3 ; 27208 .
Тоді можна представити аргумент кореня у вигляді
27
712772720 ,
який надає можливість скористатися табличним розвиненням:
33
3
27
713
1
27
7127
1
20
1 27
713
13
1
xx .
55
Запишемо відповідне табличне розвинення
1
3
1
!
13
12
3
11
3
1
3
1
11n
nxn
n
x
1 !
3
32
3
7
3
4
3
1
1n
nxn
n
1 !3
2374111
n
n
n
n
xn
n , 11 x .
Значення аргументу 27
7x належить області збіжності наведеного ряду, от-
же, шукане значення функції можна отримати у вигляді числового ряду підста-
новкою вказаного значення у отримане розвинення:
3 20
1
1 27
7
!3
2374111
3
1
n
n
n
n
n
n
1 27
71
!33
237411
3
1
nn
nn
n
n
n
n
1
7!813
23741
3
1
n
n
nn
n.
Зауваження. Спроба записати число 20 у вигляді
2
31812820 є
недоцільною, оскільки отримане таким чином значення аргументу степеневої
функції 2
3x лежить за межами області збіжності відповідного ряду.
6. Обчислити 2
1arctg з точністю 001,0 .
Представимо шукане значення у вигляді збіжного числового ряду.
12
1
1
2
1
12
1
2
12
1
n
n
n
nxхarctgarctg ;
5129
1
1287
1
325
1
83
1
2
1
2
1arctg
56
0002,00011,00063,00417,05,0
464,04635,00011,00063,00417,05,0 .
Залишковий член цього ряду з чергуванням знаків за абсолютним значенням не
перевищує першого відкинутого члена ряду, отже,
001,00002,054 uR .
7. Обчислити 9cos2 з точністю 001,0 .
Представимо шукане значення у вигляді збіжного числового ряду.
10
cos12
118cos1
2
19cos
2 x
x
1
2
10!2
111
2
1
n
nn
n
12
2
10!22
11
nn
nn
n
;
9cos2
!6102!4102!21021
6
6
4
4
2
2
975,09753,00247,010002,00247,01
Залишковий член цього ряду з чергуванням знаків за абсолютним значенням не
перевищує першого відкинутого члена ряду, отже,
001,00002,032 uR .
Зауваження. При обчисленні значень тригонометричних функцій вико-
ристовується радіанна міра аргументів.
8. Обчислити 9,0ln з точністю 0001,0 .
Представимо шукане значення у вигляді збіжного числового ряду.
11
1
10
11,0
1
1,01ln9,0ln
nn
n
n
n
nnxx
432 104
1
103
1
102
1
10
1 .
Цей ряд на відміну від попередніх є знакосталим, тому необхідно застосувати
іншу методику оцінки залишкового члена ряду.
57
Припустимо, що для забезпечення заданої точності треба залишити k
членів ряду. Тоді залишковий член ряду відповідає умові
321103
1
102
1
101
1kkkk
kkkR
321101
1
101
1
101
1kkk
kkk
1,01
1
101
1
10
1
10
11
101
1121 kk kk
kk 1019
1
.
Оберемо 2k . Тоді 00037,02700
1
1039
122
R . Очевидно, що обраної
кількості членів ряду недостатньо для досягнення заданої точності.
Візьмемо 3k . В цьому випадку 000028,036000
1
1049
133
R , тобто
0001,03 R .
Тоді
3000
1
200
1
10
1
103
1
102
1
10
19,0ln
32
1053,010533,000033,0005,01,0 .
8. Обчислити
1
0
2 2
dxex x з точністю 001,0 .
Запишемо розвинення у ряд Маклорена підінтегральної функції
22 xexxf .
1
2
1
2
!
11
!1
2
n
n
n
n
n
x xnn
xe ;
1
222
!
1
n
n
n
xn
xxf .
Цей ряд збігається на всій множині дійсних чисел.
Тоді
1
0
2 2
dxex x
1
0 1
222
!
1dxx
nx
n
n
n
=
1
1
0
22
1
0
2
!
1
n
n
n
dxxn
dxx
11
1
0
321
0
3
32!
1
3
1
32!
1
3 n
n
n
nn
nnn
x
n
x.
58
13!5
1
11!4
1
9!3
1
7!2
1
5!1
1
3
11
0
2 2
dxex x
0006,00038,00185,00714,02,03333,0
1900,00038,00185,00714,02,03333,0 .
Залишковий член цього ряду з чергуванням знаків за абсолютним значенням не
перевищує першого відкинутого члена ряду, отже,
001,00006,065 uR .
9. Обчислити
5,0
0
1lndx
x
x з точністю 001,0 .
Підінтегральна функція
x
xxf
1ln не визначена при 0x , але
11ln
limlim00 x
xxf
xx, отже, функція є інтегровною на проміжку
5,0;0 . Запишемо розвинення у ряд Маклорена підінтегральної функції .
1
1
1
1
11111ln
n
n
n
n
n
n
xn
xnxx
xxf .
Отриманий ряд збігається, якщо 1;1x , отже його можна почленно
інтегрувати на проміжку 5,0;0 .
Тоді
5,0
0
1lndx
x
x
5,0
0 1
1
11
dxxnn
n
n
1
5,0
0
1
11
n
n
n
dxxn
1
5,0
0
11
n
nn
n
x
n
1
2
1
5,01
n
n
n
n;
5,0
0
1lndx
x
x
6252423222 26
1
25
1
24
1
23
1
22
1
2
1
0004,00012,00039,00139,00625,05,0
449,04487,00012,00039,00139,00625,05,0 .
Залишковий член цього ряду з чергуванням знаків за абсолютним значенням не
перевищує першого відкинутого члена ряду, отже,
59
001,00004,065 uR .
Завдання для самостійної роботи
Записати значення функції у вигляді збіжного числового ряду
1. 7 e 2. 10sin 3. 5,1ln
4. 6,0ln 5. 8ln 6. 5,1
7. 6 8,0 8. 3 70 9. 5 30
Обчислити значення функції з заданою точністю
10. e
1 , 001,0 . 11. 68 , 001,0 .
12. 25,2ln , 01,0 (скористатися тим, що 25,125,2 ).
Обчислити визначений інтеграл з заданою точністю
13. 4
0
2sin
dxx , 001,0 14.
25,0
031 x
dx , 00001,0 .
Відповіді.
1.
1 7!
11
nn
n 2.
112
121
18!12
1
nn
nn
n
3.
1
1
2
1
nn
n
n 4.
1 5
2
nn
n
n
5.
112
12
912
72
nn
n
n 6.
1 !4
233111
nn
n
n
7.
1 !30
7611511
nn
n
n 8.
1 !32
3452144
nn
n
n
9.
1 !80
6594122
nn
n
n
10. 0,607 11. 8,246 12. 0,81 13. 0,157 14. 0,24951
60
3.2. Інтегрування диференціальних рівнянь
за допомогою степеневих рядів
Для наближеного інтегрування диференціальних рівнянь розв’язок відпо-
відної задачі Коші розшукують у вигляді розвинення в степеневий ряд в околі
початкової точки 0xx , тобто будують ряд Тейлора або Маклорена, коефіціє-
нти якого обчислюють шляхом диференціювання.
Якщо диференціальне рівняння є лінійним, застосовується також метод
невизначених коефіцієнтів, який дозволяє побудувати низку рекурентних фор-
мул, а іноді навіть знайти правило для обчислення будь-якого коефіцієнта ряду.
Зразки розв’язування задач
1. Знайти перші три ненульові члени розвинення у степеневий ряд розв’язку за-
дачі Коші
2yxy , 00 y .
Запишемо шукане розвинення у степеневий ряд в околі початкової точки
00 x , тобто ряд Маклорена для функції y :
1 !
00
n
nn
xn
yyy .
Обчислимо за допомогою диференціального рівняння значення декількох
похідних шуканої функції.
00 y ;
0000 2 y ;
yyy 21 ,
00210 y 1 ;
yyyyyyyy 2222
,
0102020 2 y ;
yyyyyyyyyyy 262224 ,
000210604 y ;
61
424528626 yyyyyyyyyyyyyy ,
6002008160 25 y ;
5446 2826 yyyyyyyyyyy
54 21020 yyyyyy ,
06020010012006 y ;
655447 21020 yyyyyyyyyyyyy
65422123020 yyyyyyy ,
0002601201300200 27 y ;
655448 1230220 yyyyyyyyyyy
7665 212 yyyyyyyy
7654 2144270 yyyyyyyy ,
25200200146142007008 y .
Тоді
8765432
!8
252
!7
0
!6
0
!5
6
!4
0
!3
0
!2
1
!1
00 xxxxxxxxy ,
852
160
1
20
1
2
1xxxy .
2. Знайти перші три ненульові члени розвинення у степеневий ряд розв’язку за-
дачі Коші
22 yxy , 11 y .
Запишемо шукане розвинення у степеневий ряд в околі початкової точки
10 x , тобто ряд Тейлора для функції y :
1
1!
11
n
nn
xn
yyy .
Обчислимо за допомогою диференціального рівняння значення декількох
похідних шуканої функції.
11 y ;
011122 y ;
yyxy 22 ,
62
2012121 y ;
yyyyyyyy 222222
,
62120221 2 y .
Тоді 32
1!3
61
!2
21
!1
01 xxxy ,
32111 xxy .
3. Знайти перші три ненульові члени розвинення у степеневий ряд розв’язку за-
дачі Коші
yxy , 00 y , 10 y .
Запишемо шукане розвинення у степеневий ряд в околі початкової точки
00 x , тобто ряд Маклорена для функції y :
1 !
00
n
nn
xn
yyy .
Обчислимо за допомогою диференціального рівняння значення декількох
похідних шуканої функції.
00 y ;
10 y ;
0000 y ;
yxyxyy 11 ;
01000 y ;
yxyyxyyy 214 ;
2001204 y ;
yxyyxyyy 3125 ;
0000305 y ;
446 413 yxyyxyyy ;
0200406 y ;
545447 514 yxyyxyyy ;
63
10002507 y .
Тоді 765432
!7
10
!6
0
!5
0
!4
2
!3
0
!2
0
!1
10 xxxxxxxy ,
74
504
1
12
1xxxy .
4. Знайти розвинення у степеневий ряд розв’язку задачі Коші
xeyy , 00 y , 10 y .
Запишемо шукане розвинення у вигляді ряду з невизначеними коефіцієн-
тами, знайдемо його похідні та підставимо ці ряди у диференціальне рівняння
та початкові умови ( права частина рівняння також повинна бути записаною у
вигляді ряду).
4
4
3
3
2
210 xaxaxaxaay ,
4
5
3
4
2
321 5432 xaxaxaxaay ,
4
6
3
5
2
432 564534232 xaxaxaxaay ,
!4!3!2!1
1432
xxxxe
x .
00 y 000 210 aaa ;
10 y 10302 321 aaa ;
4
6
3
5
2
432 564534232 xaxaxaxaa
4
5
3
4
2
321 5432 xaxaxaxaa
!4!3!2!1
1432
xxxx,
2
342312 3342232 xaaxaaaa
4
56
3
45 556445 xaaxaa
!4!3!2!1
1432
xxxx .
64
Порівняємо коефіцієнти при однакових степенях змінної x та отримаємо реку-
рентну послідовність рівностей:
00 a ;
11 a ;
12 12 aa , 012
112 aa ;
!1
1223 23 aa ,
!3
12
!1
1
23
123
aa ;
!2
1334 34 aa , 0
!3
3
!2
1
34
13
!2
1
34
134
aa ;
!3
1445 45 aa ,
!5
10
!3
1
45
14
!3
1
45
145
aa ;
!4
1556 56 aa , 0
!5
5
!4
1
56
15
!4
1
56
156
aa ;
Можна довести, що коефіцієнти ряду задаються залежностями
!12
112
ka k , 02 ka .
Тоді шуканий ряд має вигляд
1253
!12
1
!5
1
!3
11
kx
kxxxy .
Легко помітити, що отриманий розв’язок може бути записаний у вигляді
xshy , де xx eexsh 2
1.
5. Знайти розвинення у степеневий ряд розв’язку задачі Коші
1 yy , 20 y , 00 y .
Запишемо шукане розвинення, знайдемо його похідні та підставимо
отримані ряди у диференціальне рівняння та початкові умови.
4
4
3
3
2
210 xaxaxaxaay ,
4
5
3
4
2
321 5432 xaxaxaxaay ,
4
6
3
5
2
432 564534232 xaxaxaxaay .
65
20 y 200 210 aaa ;
00 y 00302 321 aaa ;
4
6
3
5
2
432 564534232 xaxaxaxaa
14
4
3
3
2
210 xaxaxaxaa ,
2
241302 34232 xaaxaaaa
15645 4
46
3
35 xaaxaa .
Отримаємо рекурентну послідовність рівностей
20 a ;
01 a ;
12 02 aa , 2
11
2
102 aa ;
023 13 aa , 023
113
aa ;
034 24 aa , !4
1
2
1
34
1
34
124
aa ;
045 45 aa , 045
135
aa ;
056 46 aa , !6
1
!4
1
56
1
56
146
aa ;
Можна довести, що коефіцієнти ряду задаються залежностями
!2
12
ka
k
k
, 012 ka .
Тоді шуканий ряд має вигляд
k
k
xk
xxxy2642
!2
1
!6
1
!4
1
!2
12 .
Легко помітити, що отриманий розв’язок може бути записаний у вигляді
xy cos1 .
66
Завдання для самостійної роботи
Знайти перші три ненульові члени розвинення у степеневий ряд розв’язку
задачі Коші
1. 1sin yxyy , 10 y .
2. 1 yyxy , 00 y , 10 y .
Знайти розвинення у степеневий ряд розв’язку задачі Коші
3. 1 yy , 00 y , 10 y
4. xxyy cossin , 20 y , 00 y
Відповіді
1. 62
132 xx
y .
2. 62
32 xxxy .
3. kx
kxxxy
!
1
!3
1
!2
1 32 ; 1 xey .
4.
k
k
xk
xxxy2642
!2
1
!6
1
!4
1
!2
12 ; xy cos1 .
Розділ 4
РЯДИ ФУР’Є
4.1. Основні формули
Основні формули, за якими будуються розвинення в ряд Фур’є функцій
та обчислюються коефіцієнти цих розвинень, наведені у вигляді таблиці.
67
Період
Парність
2T ; ;x
lT 2 ; llx ;
Загального
вигляду
xfxf
2
0axf
1
sincosn
nn nxbnxa
xdxfa1
0
xdxnxfan cos1
xdxnxfbn sin1
2
0axf
1
sincosn
nnl
xnb
l
xna
l
l
xdxfl
a1
0
l
l
n xdl
xnxf
la
cos
1
l
l
n xdl
xnxf
lb
sin
1
Парна
xfxf
1
0 cos2 n
n nxaa
xf
0
0
2xdxfa
0
cos2
xdxnxfan
1
0 cos2 n
nl
xna
axf
l
xdxfl
a0
0
2
l
n xdl
xnxf
la
0
cos2
Непарна
xfxf
1
sinn
n nxbxf
0
sin2
xdxnxfbn
1
sinn
nl
xnbxf
l
n xdl
xnxf
lb
0
sin2
У процесі обчислення коефіцієнтів Фур’є часто застосовуються деякі ві-
домі математичні формули та факти. Наведемо їх.
Формули перетворення добутків тригонометричних формул в суму
coscos2
1coscos
coscos2
1sinsin
sinsin2
1cossin
68
Важливі властивості тригонометричних функцій
0sin0sin 0sinsin nn
sinsin sin1sinn
n
10cos 1cos nnn 1coscos
coscos cos1cosn
n
Деякі формули інтегрування
b
a
b
a
kxk
dxkx sin1
cos
b
a
b
a
kxk
dxkx cos1
sin
b
a
b
a
b
a
duvvudvu
4.2.Розвинення в ряди Фур’є 2π-періодичних функцій
Розглянемо деяку 2π-періодичну функцію xf , неперервну, або таку, що
на відрізку ; має скінчене число точок розриву першого роду.
Функціональний ряд виду
1
0sincos
2n
nn nxbnxaa
, коефіцієнти якого
обчислюються за формулами
xdxfa1
0 ,
xdxnxfan cos1
,
xdxnxfbn sin1
,
називається рядом Фур’є функції xf . Цей ряд збігається для будь-якого зна-
чення x , у всіх точках неперервності функції сума ряду xfxS , а в точках
розриву сума ряду дорівнює півсумі лівосторонньої та правосторонньої границь
функції xf :
69
2
00
xfxfxS .
Якщо 2π-періодична функція f(x) є парною ( xfxf ), то вона ро-
зкладається в ряд Фур’є тільки за косинусами:
1
0 cos2 n
n nxaa
xf ,
де
0
0
2xdxfa
0
cos2
xdxnxfan .
Непарна 2π- періодична функція f(x) розкладається в ряд Фур’є тільки
за синусами:
1
sinn
n nxbxf ,
де
0
sin2
xdxnxfbn .
Зразки розв’язування задач
Побудувати ряд Фур’є для заданої функції
1. xy 2 , ;x ; )()2( xyxy .
xyxxxy 22 ,
тобто це функція загального виду, отже, ряд Фур’є цієї функції має вигляд
1
0sincos
2n
nn nxbnxaa
у .
Обчислимо коефіцієнти цього ряду.
70
xdya1
0
xdx21
22
1 2xx
22
2
12
1
4
2
14
1 22
;
xdxnxyan cos1
xdxnx cos21
nxn
vdxnxdv
dxduxu
sin1
cos
2
dxnx
nnx
nx sin
1sin
12
1
0
sin211
nn
nxnn
n cos11
sin2
0
0
2coscos
1nn
n
0 ;
xdxnxybn sin1
xdxnx sin21
nxn
vdxnxdv
dxduxu
cos1
sin
2
dxnxn
nxn
x cos1
cos1
21
n
n
cos2
11
nxnn
n
n
sin11
cos2
cos
22cos
11n
n
00
2sinsin
1nxnx
n n
nn
n1
2cos
21
.
Таким чином, ряд Фур’є має вигляд
11
sin12
2sin12
2
4
n
n
n
n
nxn
nxn
xy .
71
2. 5
3cos
xy , ;x ; )()2( xyxy
xyxx
xy
5
3cos
5
3cos ,
тобто функція є парною, а її ряд Фур’є має вигляд
1
0 cos2 n
n xnaa
y .
Обчислимо коефіцієнти ряду.
00
05
3cos
22xd
xxdxya
00
0sin5
3sin
3
10
5
3sin
3
52
x
5
3sin
3
10
;
00
cos5
3cos
2cos
2xdxn
xxdxnxya n
0
5
3cos
5
3cos
2
12xdxn
xxn
x
0
5
53cos
5
53cos
1xd
xnxn
00 5
53sin
53
5
5
53sin
53
51 xn
n
xn
n
00
0sin5
53sin
53
50sin
5
53sin
53
51
n
n
n
n
n
nn
n
5
3sin
53
5
5
3sin
53
51
nn
nn1
5
3sin
53
51
5
3sin
53
51
nn
n
53
1
53
11
5
3sin5
1
2259
61
5
3sin
5
n
n
5
3sin
259
1302
n
n
.
Отже,
1
2cos
5
3sin
259
130
5
3sin
3
5
n
n
xnn
xy
.
72
3. Функція xy задана графічно.
Рис.4.1
Графік даної функції симетричний відносно початку координат, тому фу-
нкція непарна, періодична с періодом 2π.
Ряд Фур’є має вигляд
1
,sinn
n nxby де nxdxxybn sin)(2
0
.
Задамо функцію xy аналітично. Графік функції – пряма, що сполучає
точки 201 ;M та 02 ;M .Запишемо рівняння прямої 21ММ :
;20
2
0
0;
12
1
12
1
yx
yy
yy
xx
xx
;22;2
2;
2
2xy
yx
yx
);0(;22 xxy .
Тоді
xdxnxbn sin222
nxn
vdxnxdv
dxduxu
cos1
sin
222
00
2cos1
cos1
222
dxnxn
nxn
x
01
sin12
0cos02cos2212
nxnn
nn
M1
-4π -3π -2π -π π 2π 3π 4π 5π 6π x O
y
2π
-2π
M2
73
n
nnn
40sinsin
222
00
2
.
Таким чином, ряд Фур’є функції, зображеної на рис.1, виглядає так:
1
4
n
nxsinn
y .
Завдання для самостійної роботи
Знайти ряд Фур’є для функцій
1. xfxf
x
xxf
2,
0,1
0,2
1
.
2. xfxfxxxf 2,, .
3. На проміжку ; функцію задано графічно; xfxf 2 .
Рис. 4.2
Відповіді
1.
1
sin112
3
4
1
n
nnxxf
.
2.
1
2cos
112
2n
n
nxn
xf
.
3.
1
2cos
111
n
n
nxn
xf
y
π /2
-π /2
O x
π -π
74
4.3. Ряди Фур’є 2l- періодичних функцій
Якщо f(x) є функцією періоду 2l, її розвинення в ряд Фур’є має вигляд
1
0 sincos2
n
nnl
xnb
l
xna
axf
,
де коефіцієнти обчислюються за формулами
l
l
xdxfl
a1
0 ,
l
l
n xdl
xnxf
la
cos
1,
l
l
n xdl
xnxf
lb
sin
1.
Для парних функцій формули мають вигляд
1
0 cos2 n
nl
xna
axf
,
l
xdxfl
a0
0
2,
l
n xdl
xnxf
la
0
cos2
,
а для непарних –
1
sinn
nl
xnbxf
,
l
n xdl
xnxf
lb
0
sin2
.
Зразки розв’язання задач
1. 23 xy , 4;4x ; xyxy 8
Функція є періодичною з періодом 82 l , отже, 4l .
xyxxxy 2323 – функція загального вигляду,
отже,
1
0
4sin
4cos
2 n
nn
xnb
xna
ay
.
Обчислимо коефіцієнти ряду.
4
4
4
4
24
4
4
4
0 22
34
123
4
1
4
1x
xxdxxdxya
75
4824
14421616
2
3
4
1 22
;
4
4
4
44
cos234
1
4cos
4
1xd
xnxxd
xnxya n
4sin
4
4cos
323
xn
nvxd
xndv
xdduxu
4
4
4
4 4sin3
4
4sin
423
4
1xd
xn
n
xn
nx
4
4
4
4 4cos
412
4sin23
4
4
1 xn
nn
xnx
n
00
4
4sin14
4
4sin10
4
4
1
nn
n
0
4
4cos
4
4cos
48
0
2
nn
n;
4
4
4
44
sin234
1
4sin
4
1xd
xnxxd
xnxyb n
4cos
4
4sin
323
xn
nvxd
xndv
xdduxu
4
4
4
4 4cos3
4
4cos
423
4
1xd
xn
n
xn
nx
4
4
4
4 4sin
412
4cos23
4
4
1 xn
nn
xnx
n
4
4cos14
4
4cos10
4
4
1
nn
n
00
2 4
4sin
4
4sin
48 nn
n
n
nnn
cos
cos14cos104
4
n
ncos24
1 1
124
n
n.
76
Остаточно
1
1
4sin
124
2
4
n
nxn
nxy
.
2.
);(x;
);(x,xy
303
0312 ; xyxy 6
Функція є періодичною з періодом 62 l , отже, 3l . Очевидно, що фу-
нкція є ні парною, ні непарною, отже,
1
0
3sin
3cos
2 n
nn
xnb
xna
ay
.
Обчислимо коефіцієнти ряду.
3
0
0
3
3
3
0 3123
1
3
1xdxdxxdxya ,
0
3
0
3
20
3
12
212 xx
xdxI 123090 ,
009333
0
3
0
2 xxdI ,
19123
10 a ;
3
33
cos3
1xd
xnxya n
0
3
0
33
cos33
cos123
1xd
xnxd
xnx
,
0
3
13
cos12 xdxn
xI
3sin
3
3cos
212
xn
nvxd
xndv
xdduxu
0
3
0
3 3sin2
3
3sin
312 xd
xn
n
xn
nx
0
3
0
3 3cos
36
3sin12
3 xn
nn
xnx
n
3
3cos0cos
18
3
3sin70sin1
322
0
0
n
n
n
n
77
n
nn
11
22cos0cos
18
n
n11
1822
,
3
0
23
cos3 xdxn
I
3
03sin
33
xn
n
00sin
3
3sin
9
n
n,
nn
nnn
a 116
01118
3
12222
;
3
33
sin3
1xd
xnxyb n
0
3
0
33
sin33
sin123
1xd
xnxd
xnx
,
0
3
13
sin12 xdxn
xI
3cos
3
3sin
212
xn
nvxd
xndv
xdduxu
0
3
0
3 3cos2
3
3cos
312 xd
xn
n
xn
nx
0
3
0
3 3sin
36
3cos12
3 xn
nn
xnx
n
0
022 3
3sin0sin
18
3
3cos70cos1
3
n
n
n
n
n
nn
1
cos713
n
n171
3
,
3
0
23
sin3 xdxn
I
3
03cos
33
xn
n
0cos
3
3cos
9
n
n
119
n
n n
n11
9
,
nnn
nnnn
b 11041
119
1713
3
1
.
Таким чином, ряд має вигляд
1
223
sin11041
3cos11
6
2
1
n
nn xn
n
xn
nxy
.
3. xy 6sin ,
3;
3
x ; xyxy
3
2.
78
Функція має період 3
22
l , отже,
3
l .
xyxxxy 6sin6sin – функція непарна, тобто її ряд
Фур’є має вигляд
11
3sin3
sinn
n
n
n nxbxn
by
.
Обчислимо коефіцієнти ряду.
3
0
3
0
3sin6sin6
3sin3
2
xdxnxxdxnxyb n
3
0
36cos36cos2
16
xdxnxxnx
3
0
23cos23cos3
xdnxnx
3
0
3
0
23sin23
123sin
23
13
nx
nnx
n
00sin23
3sin2
10sin2
33sin
2
11
n
nn
n
.
Отриманий результат справджується для 2n , оскільки застосування ві-
домої формули з таблиці інтегралів можливо лише, якщо 02n .
Окремо обчислимо коефіцієнт 2b :
3
00
3
0 1
2 12sin12
1312cos0cos
33
xxxdxb
13
30sin
3
12sin
12
10
3
3
.
Таким чином, xy 32sin1 , або xy 6sin .
Отриманий результат є очікуваним, оскільки функція xy співпадає з
однією з функцій системи, за якою будується розвинення.
4. На проміжку 4;4 періодичну з періодом 8T функцію y=f(x) задано
графічно.
79
Рис.4.3
Період функції 2l=8, отже, півперіод l=4. Графік є симетричним відносно
осі Oy , тому функція парна та розкладається в ряд Фур’є за косинусами:
421
0 xncosa
ay
n
n
.
Задамо функцію аналітично. Запишемо рівняння прямої, яка проходить
через точки 1;01M та 4;12М .
Користуючись рівнянням 12
1
12
1
yy
yy
xx
xx
, маємо
;yx
14
1
01
0
;
yx
3
1 xy 31 .
Таким чином, 13 xy для 1;0x .
Якщо 3;1x , то 2y ; при 4;3x 0y .
Остаточно
]4;3[,0
)3;1(,2
]1;0[,13
x
x
xx
y .
Обчислимо коефіцієнти Фур’є:
l
dxdxdxxdxxyl
a
0
1
0
3
1
4
3
0 02134
2)(
2
x
M2 4
y
1
2
-1 -4 -3 4 3
1 M1
80
)13(2
23
2
123
2
1 1
0
1
0
21
0
3
1
1
0
xx
xdxxdx
4
13
2
13
2
15
2
3
2
140101
2
3
2
1 22
;
3
1
1
004
cos24
cos134
2cos
2dx
xndx
xnxdx
l
xnxy
la
l
n
4
34
cos0 dxxn
4sin
4
4cos
313
xn
nvdx
xndv
dxduxu
3
1
1
0
1
0 4sin
423
4sin
4
4sin
413
2
1 xn
ndx
xn
n
xn
nx
1
00 4cos
4120sin1
4sin113
4
2
1 xn
nn
n
n
4sin
4
3sin
8
nn
n
4sin
4
3sin20cos
4cos
12
4sin4
4
2
1
1
nnn
n
n
n
n
n
n
nn
n
6
4cos
6
4
3sin
4sin
4 .
4cos
6
4cos
6
4
3sin
4sin
4
8
13
1
xn
n
n
n
nn
ny
n
.
Зауваження. Також цілком коректною є задача побудови ряду Фур’є для
функції, яку задано лише на скінченому проміжку ll ; . Треба лише заува-
жити, що застосовувати отримане розвинення можна виключно для значень ар-
гументу із зазначеного проміжку.
81
Завдання для самостійної роботи
Знайти ряд Фур’є для функцій .
1. xfxfxxxf 4,22, .
2. xfxfxx
xxf
2,
10,
01,1
Відповіді
1.
1
1
2sin
14
n
nxn
nxf
.
2.
1
22sin
1cos
11
4
3
n
n
xnn
xnn
xf
.
4.4. Ряди Фур’є для функцій, заданих на проміжку l;0
Якщо функцію xfy задано на проміжку l;0 , то її визначення мож-
на доповнити для проміжку 0;l , та побудувати розвинення отриманої фун-
кції в ряд Фур’є.
У випадку, коли функцію продовжено на проміжку 0;l парним обра-
зом, отримують розвинення заданої на l;0 функції за косинусами:
1
0 cos2 n
nl
xna
axf
, lx ;0 ,
де
l
xdxfl
a0
0
2,
l
n xdl
xnxf
la
0
cos2
.
Якщо продовження є непарним, отримують розвинення заданої функції за
синусами:
82
1
sinn
nl
xnbxf
, lx ;0 ,
де
l
n xdl
xnxf
lb
0
sin2
.
Аналогічно будується розвинення в ряд Фур’є функцій, заданих на про-
міжку 0;l .
Зразки розв’язання задач
1. Побудувати розвинення в ряд Фур’є функції xy , 2;0x
а) за синусами;
б) за косинусами.
а) Функцію задано на проміжку 2;0 , отже, 2l . Розвинення в ряд
Фур’є за синусами має вид
11
2sin
2sin
n
n
n
n
nxb
xnby
.
Обчислимо коефіцієнти цього ряду.
2
0
2
02
sin1
2sin
2
2xd
xnxxd
xnxyb n
2cos
2
2sin
xn
nvxd
xndv
xdduxu
2
0
2
0 2cos
2
2cos
21xd
xn
n
xn
nx
2
0
2
0 2sin
22
2cos
21 xn
nn
xnx
n
1
0cos2
2cos
21
n
n
0
0
20sin
2
2sin
4
n
n
nn
cos2
112
n
n 11
2 1
n
n.
83
Остаточно
1
1
2sin
112
n
nxn
nx , 2;0x .
б) Розвинення функції в ряд Фур’є за косинусами має вид
2
cos2
1
0 xna
ay
n
n
.
Обчислимо коефіцієнти ряду.
2
0
2
0
22
0
02
1
2
2x
xxdxa
221
02442
11 22
;
2
02
cos1
xdxn
xa n
2sin
2
2cos
xn
nvxd
xndv
xdduxu
4
4
2
0 2sin
2
2sin
21xd
xn
n
xn
nx
2
0
2
0 2cos
22
2sin
21 xn
nn
xnx
n
1
20
0
0cos2
2cos
40sin
2
2sin
21
n
n
n
n
1cos41
2
n
n 11
42
n
n.
Таким чином,
2
cos114
1
2
xn
ny
n
n
, 2;0x .
2. Побудувати ряди Фур’є за синусами та за косинусами функції, заданої гра-
фічно.
84
Рис.4.4
Задамо функцію аналітично. Очевидно, що, якщо 1;3 x , то
1y , а для 0;1x 1y , отже,
0;1,1
1;3,1
x
xxy .
Функцію задано на проміжку 0;3x , тобто 3l .
а) Розвинення в ряд за синусами має вид
1
3sin
n
n
xnbxy
.
Обчислимо коефіцієнти цього ряду.
0
1
1
3
0
33
sin13
sin13
2
3sin
3
2xd
xnxd
xnxd
xnxyb n
0
1
1
3 3cos
3
3cos
3
3
2 xn
n
xn
n
3
1cos0cos
3
3cos
3
1cos
3
3
2
nnn
n
1cos
3cos2
2
n
n
n
11
3cos2
2 nn
n
.
Тоді
13
sin113
cos22
n
n xnn
nxy
, 0;3x .
б) Побудуємо ряд за косинусами:
1
0
3cos
2n
n
xna
axy
.
О
y
x
-3 -1
-1
1
85
0
1
1
3
0
3
0 113
2
3
2xdxdxdxya
0
1
1
33
2xx
3
21031
3
2 .
0
1
1
3
0
33
cos13
cos13
2
3cos
3
2xd
xnxd
xnxd
xnxya n
0
1
1
3 3sin
3
3sin
3
3
2 xn
n
xn
n
3
1sin0sin
3
3sin
3
1sin
3
3
2
0
0
nnn
n
3sin
4
n
n .
Отже,
1
3cos
3sin
4
3
1
n
xnn
nxy
, 0;3x .
Завдання для самостійної роботи
Побудувати розвинення в ряди Фур’є за синусами та за косинусами фун-
кцій:
1. 32 xy , 2;0x .
2.
0;,
;2,0
xx
xy .
3.
Рис.4.5
O
π
π
y
x
-π
86
Відповіді
1. а) 2
sin312
1
xn
ny
n
n
;
б) 2
cos118
11
22
xn
ny
n
n
.
2. а)
1
22
sin2
sin4
2cos
2
n
xnn
n
n
ny
;
б)
1
22
cos2
cos14
2sin
2
4n
xnn
n
n
ny
.
3. а) nxn
yn
n
sin112
1
;
б) nxn
yn
n
cos114
1
2
.
ЛІТЕРАТУРА
1. Дубовик В.П., Юрик І.І. Вища математика: Навч. посібник. – К.: А.С.К.,
2006. – 648 с.
2. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления.
В 3-х т. Т. 2: М: – ФИЗМАТЛИТ, 2001. – 810 с.
3. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления: Учеб. для
втузов. В 2-х т.: Т. 2: – М: – Интеграл-Пресс, 2004. – 544 с.
4. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнени-
ях и задачах. В 2-х ч. Ч. 2: – М.: Оникс, 2006. – 416 с.
5. Сборник задач по высшей математике. 2 курс / К.Н. Лунгу, В.П. Норин,
Д.Т. Письменный и др. – М.: АЙРИС-пресс, 2009. – 592 с.
87
З М І С Т
Вступ……………………………………………………………………………….3
Розділ 1
Числові ряди
1.1. Знакододатні ряди…………………………………………………………….4
1.2. Знакозмінні ряди…………………………………………………………….19
Розділ 2
Степеневі ряди
2.1. Збіжність степеневих рядів…….……………………………………………23
2.2. Розвинення функцій в степеневі ряди……………………………………...32
Розділ 3
Застосування рядів
3.1. Наближене обчислення значень функцій та визначених
інтегралів…………………………………………………………………......50
3.2. Інтегрування диференціальних рівнянь за допомогою
степеневих рядів……………………………………………………………..60
Розділ 4
Ряди Фур’є
4.1. Основні формули…………………………………………………………….66
4.2. Розвинення в ряди Фур’є 2π-періодичних функцій…………..…………...68
4.3. Ряди Фур’є 2l-періодичних функцій…………………………..…………..74
4.4. Ряди Фур’є для функцій, заданих на проміжку l;0 ……………..…….81
ЛІТЕРАТУРА……………………………………………………………………..86
88
Навчальне видання
Кадильникова Тетяна Михайлівна
Кагадій Лариса Петрівна
Кочеткова Інна Борисівна
Сушко Лариса Федорівна
Запорожченко Олена Євгенівна
Вища математика в прикладах
та задачах.
Частина V
Навчальний посібник
Тематичний план 2011, поз.
Підписано до друку . Формат 60х84 1/16. Папір друк. Друк плоский.
Облік.-вид. арк. . Умов. друк. арк. . Тираж 100 пр. Замовлення №
Національна металургійна академія України
49600, м. Дніпропетровськ-5, пр. Гагаріна, 4
__________________________________
Редакційно-видавничий відділ НМетАУ