smirnovanm.ucoz.ruУДК 512 ББК 22.14 Б12 БабенкоС.П....

0 С. П. Бабенко

Серiя «12�рiчна школа»Заснована 2006 року

Харкiв

Видавнича група «Основа»

2009

Усi уроки геометрiї. 9 клас 1

УДК 512ББК 22.14

Б12

Бабенко С. П.Усi уроки геометрiї. 9 клас. — Х.: Вид. група «Основа»,

2009. — 303, [1] с.— (Серiя «12�рiчна школа»).

ISBN 978�611�00�0229�9.

Докладнi розробки урокiв до вивчення геометрiї в 9 класi запрограмою 12�рiчної школи.

Цiкавi методичнi рекомендацiї, рiзноманiтнi прийоми робо�ти iз завданнями, велика кiлькiсть усних вправ, широкий вибiрформ перевiрки знань, використання iгрових моментiв на уроцi,грамотне урахування вiкових особливостей — усе це вигiдновiдрiзняє посiбник вiд традицiйних планiв�конспектiв урокiв.

Посiбник для вчителя нового поколiння.УДК 512

ББК 22.14

Навчальне видання

Серiя «12�рiчна школа»

БАБЕНКО Свiтлана Павлiвна

Усi уроки геометрiї. 9 клас

Навчально�методичний посiбник

Головний редактор І. С. МарковаРедактор Г. О. Бiловол

Комп’ютерна верстка О. В. Лєбєдєва

Пiдписано до друку 01.06.2009. Формат 60×90116. Папiр газетний.

Гарнiтура «Шкільна». Друк офсетний. Ум. друк. арк. 19,00. Зам. № 9�06/08�05.ТОВ «Видавнича група “Основа”».

Свiдоцтво суб’єкта видавничої справи ДК № 2911 вiд 25.07.2007.Україна, 61001 Харкiв, вул. Плеханiвська, 66.

Тел. (057) 731�96�33. E�mail: [email protected]

Віддруковано з готових плівок ПП «Тріада+»Свідоцтво суб’єкта видавничої справи ДК № 1870 від 16.07.2007.

Харків, вул. Киргизька, 19. Тел.: (057) 757�98�16, 757�98�15.


Б12

© Бабенко С. П., 2009

© ТОВ «Видавнича група “Основа”», 2009ISBN 978�611�00�0229�9

ВСТУПМатерiали посiбника призначенi для вчителiв загальноосвiтнiх на�

вчальних закладiв, якi викладають геометрiю в 9 класi 12�рiчної школи.Посiбник мiстить детальнi розробки урокiв. У наведених конспектах

подаються тема, дидактична мета, тип уроку та опис обладнання, яке не�обхiдне для проведення уроку.

Розробляючи плани урокiв, автор дбав про те, щоб систематичнозакрiплювався матерiал, вивчений на попереднiх уроках. У розробкахпередбачено рiзноматнiтнi форми органiзацiї роботи учнiв пiд час уроку,зокрема самостiйнi роботи навчаючого i контролюючого характеру, ма�тематичнi диктанти, фронтальне опитування, розв’язання задач за гото�вими кресленнями.

Змiстова частина конспектiв урокiв має заголовок «Хiд уроку». Тутвiдображено: етапи уроку; змiст навчального матерiалу, що виноситьсяна урок; система завдань, необхiдна для досягнення дидактичної мети;методи, форми i засоби, якi доцiльно використати на уроцi; домашнє за�вдання.

До окремих фрагментiв уроку подаються докладнi методичнi рекомен�дацiї. Бiльша частина завдань також супроводжується методичними ко�ментарями (у текстi вони позначаються ), якi допоможуть учителю вра�хувати особливостi розв’язування цих вправ.

Детальнi методичнi рекомендацiї, рiзноманiтнi прийоми роботи, ве�лика кiлькiсть усних вправ, широкий вибiр форм перевiрки знань, ура�хування вiкових особливостей учнiв — усе це вiдрiзняє пропонованийпосiбник вiд традицiйних планiв�конспектiв та дає можливiсть його ви�користання також учителями, якi працюють за рiзними пiдручникамиз геометрiї для 9 класу.

Автор сподiвається, що вчителi не формально використовуватимутьрекомендацiї цього посiбника, а вiзьмуть їх за основу й складатимутьсвої поурочнi плани, враховуючи особливостi кожного класу.


УРОКИ ГЕОМЕТРІЇ У 9 КЛАСІ

(за програмою 12"рiчної школи)

ОРІЄНТОВНЕ КАЛЕНДАРНЕ ПЛАНУВАННЯІ семестр — 32 години (2 години на тиждень),ІІ семестр — 38 годин (2 години на тиждень),усього — 70 годин

№уро�ку

Змiст навчального матерiалу(тема уроку)

Кiль�кiстьгодин

Датапро�

веден�ня

При�мiтки

Тема 1. Розв’язування трикутникiв 16

1 Означення тригонометричних функційна колі (для кутів від 0° до 180°)

1

2 Тригонометричні тотожності 1

3 Розв’язування задач 1

4 Теорема косинусів 1

5 Наслідки з теореми косинусів 1

6 Теорема синусів 1

7 Зв’язок між пропорційними відношення�ми теореми синусів і діаметром описано�го кола

1


9 Основні типи задач на розв’язуваннятрикутників

1


11 Застосування розв’язування трикутниківу задачах

1

12 Площі трикутника і чотирикутника 1

13 Формула Герона. Формули радіусів впи�саного й описаного кіл трикутника

1



№уро�ку



Датапро�

веден�ня

При�мiтки

15 Підсумковий урок 1

16 Тематична контрольна робота № 1 1

Тема 2. Правильні многокутники 6

17 Означення правильного многокутника.Існування вписаного й описаного кіл

1

18 Формули радіусів вписаного й описаногокіл правильних многокутників

1

19 Побудова правильних многокутників 1

20 Довжина кола й дуги кола 1

21 Площа круга та його частин 1


Тема 3. Декартові координати на площині 10

23 Прямокутна система координат на пло�щині (повторення). Координати серединивідрізка

1

24 Відстань між двома точками 1


26 Рівняння фігури на площині. Рівняннякола

1

27 Рівняння прямої 1

28 Розв’язування задач методом координат 1

29 Розв’язування задач методом координат.Взаємне розташування прямих у системікоординат

1




Тема 4. Геометричні перетворення 10

33 Поняття про геометричне перетворення.Переміщення та його властивості

1


№уро�ку



Датапро�

веден�ня

При�мiтки

34 Симетрія відносно точки. Симетріявідносно прямої

1


36 Поворот. Паралельне перенесення 1


38 Перетворення подібності. Гомотетія.Властивості подібних фігур

1

39 (Розв’язування задач методом геометрич�них перетворень)

1


41 Геометричні перетворення. Підсумковийурок

1


Тема 5. Вектори на площині 10

43 Означення вектора, модуль і напрям век�тора. Рівні вектори

1

44 Координати вектора 1

45 Додавання векторів 1

46 Віднімання векторів 1


48 Множення вектора на число 1

49 Скалярний добуток векторів 1


51 Вектори на площині. Підсумковий урок 1


Тема 6. Початкові відомостізі стереометрії

8

53 Основні геометричні фігури в просторі.Взаємне розташування прямої і площини

1


№уро�ку



Датапро�

веден�ня

При�мiтки

54 Взаємне розташування прямих у про�сторі. Взаємне розташування площин

1

55 Поняття многогранника. Призма.Піраміда

1

56 Об’єми призми і піраміди 1

57 Циліндр, конус, куля 1

58 Об’єми тіл обертання 1

59 Підсумковий урок. Розв’язування задач 1


Тема 7. Повторення і систематизаціянавчального матеріалу

10

61 Розв’язування трикутників. Обчисленняплощ

1

62 Правильні многокутники. Довжина колай площа круга

1

63 Декартові координати на площині 1

64 Геометричні перетворення 1

65 Вектори на площині 1

66 Початкові відомості стереометрії 1



69,70

Розв’язування задач підвищеного рівняскладності

2


Урок № 1Означення тригонометричних функцiй на колi(для кутiв вiд 0° до 180°)

Мета: повторити означення тригонометричних функцiй гострогокута прямокутного трикутника на їх розширення для кутiв вiд 0° до180°; поняття «тригонометричне коло»; ввести означення тригоно�метричних функцiй кутiв вiд 0° до 180°; розглянути властивостi три�гонометричних функцiй кутiв вiд 0° до 180°, що випливають з їх озна�чення; сформувати первиннi вмiння:

вiдтворювати означення вивчених понять; формулювати вивченiвластивостi;

розв’язувати найпростiшi задачi на використання вивчених понять.Тип уроку: засвоєння нових знань, умiнь.Наочнiсть та обладнання: конспект «Означення тригонометрич�

них функцiй кута вiд 0° до 180°».

Хiд уроку

І. Органiзацiйний етап

Вступне слово вчителя про:

особливостi вивчення геометрiї в 9 класi;

органiзацiю навчального процесу в 9 класi;

будову пiдручника.

ІІ. Перевiрка домашнього завдання

Вчитель перевiряє лiтнє домашнє завдання (якщо таке було задано).

ІІІ. Формулювання мети i завдань уроку

Усвiдомленому сприйняттю учнями матерiалу уроку може по�сприяти робота з повторення та усвiдомлення найважливiших понять,вивчених у 8 класi (цю роботу проводимо на етапi актуалiзацiї знаньта вмiнь учнiв), а саме формується думка про те, що серед найважли�вiших понять курсу геометрiї 8 касу можна видiлити прямокутнийтрикутник, для якого було подано означення, названi елементи, вив�ченi властивостi (теорема Пiфагора, спiввiдношення мiж сторонамиi кутами). Пiсля проведеної роботи з повторення означення та основ�


ТЕМА 1. РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ТРИКУТНИКІВ них властивостей прямокутного трикутника вчитель формулює про�блему (яка буде розв’язуватись протягом вивчення теми 1. Так само,як це було зроблено для прямокутного трикутника, сформулювативідношення між сторонами і кутами довільного трикутника (якщо цевзагалі можливо). Зрозуміло, що першим кроком у зазначеному на�прямі є вивчення питання про означення тригонометричних функційкутів від 0° до 180° (яких у прямокутному трикутнику визначити не�можливо). Таким чином, формулюється основна мета уроку (в адапто�ваній формі).

IV. Актуалiзацiя опорних знань та вмiнь

Виконання усних вправ1. Косинус, синус, тангенс.

1) Знайдiть: cosB, tgA (рис. 1).

2) Знайдiть: sinE, cosM (рис. 2).3) Знайдiть: tgD, sinE, cosD (рис. 3).

4) Знайдiть: sin A, cos A, tgA (рис. 4).

5) Знайдiть: tgD, tgC (рис. 5).

6) Знайдiть: cos A, cosB (рис. 6).

2. Де знаходиться точка M, якщо:1) її абсциса додатна, а ордината вiд’ємна;2) абсциса i ордината вiд’ємнi;3) абсциса дорiвнює нулю, а ордината вiд’ємна;4) абсциса вiд’ємна, а ордината дорiвнює нулю?

V. Засвоєння знань

План вивчення нового матерiалу1. Означення тригонометричних функцiй гострого кута прямокут�

ного трикутника.2. Поняття тригонометричного кола.3. Означення тригонометричних функцiй кутiв вiд 0° до 180° (на три�

гонометричному колi).


C A

B C

26

8 5

1617

Рис. 1 Рис. 2

Рис. 3 Рис. 4 Рис. 5 Рис. 6

CD

BE

N

C

B

A

M

1512

9E

817

15

16 20

12A

О

17

16E

D

24 8

4. Основнi властивостi тригонометричних функцiй кутiв вiд 0° до180°, що випливають з їх означень.

Традицiйно тригонометрiя є одним з найскладнiших для за�своєння учнями роздiлiв математики. Подоланню труднощiву вивченнi тригонометрiї може сприяти створення кiлькохумов, серед яких можна видiлити поступове адаптоване озна�йомлення учнiв з елементами тригонометрiї (означеннями тавластивостями тригонометричних функцiй, спiввiдношення�ми мiж тригонометричними функцiями одного й того самогоаргументу, формулами зведення, в тому числi з формуламидоповняльних кутiв, тощо) в окремих випадках: спочатку нагострих кутах, а потiм на кутах вiд 0° до 180°, причому слiдакцентувати увагу учнiв на тому, що нове означення тригоно�метричних функцiй формулюється iз використанням вiдомихучням означень тригонометричних функцiй гострого кутапрямокутного трикутника шляхом розгляду прямокутноготрикутника в новiй ситуацiї (у комбiнацiї з тригонометрич�ним колом).Пiсля формулювання означення тригонометричних функцiйкутiв вiд 0° до 180° слiд показати учням, що безпосередньоз цього означення можна вивести ряд важливих властивостей(значення тригонометричних функцiй кутiв 0°, 90° i 180°; зна�ки тригонометричних функцiй тупих кутiв та дослiдити, якзмiнюються значення тригонометричних функцiй призбiльшеннi кута вiд 0° до 180°), причому вчитель на свiй роз�суд або формулює та доводить твердження власноруч, або жподає їх у виглядi задач.

Змiст навчального матерiалу уроку має вигляд конспекту 1.

Конспект 1

1. Коло з центром ( )0 0; i R = 1 — тригономет�ричне коло.

2. Означення. Якщо на тригонометричномуколi взято точку ( )P x yα ; , яка вiдповiдає кутуα, де 0 180o o≤ ≤α (див. рис.), то

0 180o o≤ ≤α

sinα = y, cosα = x, tgα = y

x, ctgα = x

y


x

α

( )P x yα ;

0

y

y

1x A

3.

а)

Властивостi:

Якщо α — гострий кут (тобто 0 90o o< <α ), то sinα > 0, cosα > 0, tgα > 0,

ctgα > 0.

Якщо α — тупий кут (тобто 90 180o o< <α ), то sinα > 0, cosα < 0,tgα < 0, ctgα < 0.

б) Значення тригонометричних функцiй 0° 90° 180°

sinα 0 1 0

cosα 1 0 –1

tgα 0 – 0

ctgα – 0 –

в) Для кутiв 0 180o o≤ ≤α справджуються умови: − ≤ ≤1 1cosα ,0 1≤ ≤sinα .

VI. Формування первинних умiнь

Виконання усних вправ1. Сторона кута α, вiдкладеного вiд додатної пiвосi OX у напрямку

проти годинникової стрiлки, перетинає тригонометричне колов точцi M.

а) Назвiть координати точки M, якщо α = 90 o .

б) Визначте величину кута, якщо M2

2

2

2;

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ .

2. Визначте, чи є кут α ( )0 180o o< <α гострим, прямим або тупим,

якщо: а) cosα = 0; б) sin cosα α⋅ < 0; в) tgα > 0.

3. Чи може косинус тупого кута дорiвнювати 0,01; –0,8; –3? Чи мо�же косинус тупого кута дорiвнювати синусу того самого кута?

Виконання графiчних вправУ прямокутнiй системi координат на тригонометричному колi по�

значте точку M, яка вiдповiдає куту 120°. Позначте на осях коорди�нат точки, координати яких дорiвнюють значенням синуса й косину�са кута 120°.

Виконання письмових вправ1. Обчислiть синус, косинус i тангенс кутiв 120° i 135° iз використан�

ням означень тригонометричних функцiй кутiв вiд 0° до 180°.

2. Порiвняйте:

а) cos65o i cos115o ; б) tg o48 i tg o148 ; в) sin35o i sin145o .


Додаткове завдання. Використовуючи означення тригономет�ричних функцiй кутiв вiд 0° до 180°, доведiть що при зростаннi кутавiд 0° до 180°, значення косинуса зменшується.

VII. Пiдсумок уроку1. Яке з тверджень неправильне? Нехай α — кут MOX, вiдкладений

у верхню пiвплощину вiд додатної пiвосi x, точка ( )M x y; лежитьна колi радiуса R з центром у точцi O, тодi:1) синусом кута α (0 180o o≤ ≤α ) називається вiдношення ордина�ти точки M до радiуса кола R;2) косинусом кута α (0 180o o≤ ≤α ) називається вiдношення абсци�си точки M до радiуса кола R;3) тангенсом кута α (0 180o o≤ ≤α ) називається вiдношення орди�нати точки M до її абсциси;4) sinα i cosα можуть бути бiльшi за одиницю.

2. Чому дорiвнює cos180 o ? 1) 0; 2) –1; 3) 1; 4)3

2.

VIII. Домашнє завданняВивчити змiст основних понять уроку (див. конспект).Розв’язати задачі.

1. У прямокутнiй системi координат на тригонометричному колi по�значте точку M, яка вiдповiдає довiльному тупому куту. Визнач�те координати x i y точки M. Яка з них бiльша?

2. У прямокутному трикутнику з гострим кутом 30° гiпотенуза до�рiвнює 6 см. Знайдiть катети трикутника.

3. Висота ромба, проведена з вершини тупого кута, дiлить сторонуромба на вiдрiзки завдовжки 8 см i 9 см. Знайдiть площу ромба.Скiльки розв’язкiв має задача?

Урок № 2Тригонометричнi тотожностi

Мета: працювати над засвоєнням учнями змiсту тотожностей, щовипливають iз означення тригонометричних функцiй кутiв вiд 0° до180°, а також способу їх доведення. Сформувати первиннi вмiння вiд�творювати вивченi тотожностi, а також застосовувати їх до перетво�рення тригонометричних виразiв та обчислення значень тригономет�ричних функцiй деяких кутiв.

Тип уроку: засвоєння знань, умiнь.Наочнiсть та обладнання: конспект «Тригонометричнi тотож�

ностi».


Хiд уроку


Перевiрка готовностi учнiв до уроку, налаштування на роботу.


Перевiрку якостi виконання письмових вправ можна провести,зiбравши зошити на перевiрку або запропонувавши учням виконатисамо� або взаємоперевiрку правильностi розв’язання задач за зраз�ком.

Засвоєння учнями змiсту основних понять попереднього урокуперевiряємо пiд час виконання усних вправ.

Виконання усних вправ

1. Якщо α — тупий кут, то який знак має його тангенс?

2. Чому дорiвнює косинус кута, якщо його синус дорiвнює нулю?

3. Чому дорiвнює синус кута, якщо його косинус дорiвнює нулю?

4. Чому дорiвнюють синус i косинус кута α, якщо тангенс його неiснує?

5. Який знак мають синус i косинус кута α, якщо α — тупий кут?

6. Обчислiть:

1) 5 90 2 0sin cos+ ; 2)sin cos

sin cos

90 90

90 90

−+

;

3) 2 0 3 90 5 180sin cos+ + tg ; 4) 3 0 2 90tg − cos ;

5)sin

cos

90 2 0

180 180

−+

tg

tg; 6) cos sin90 90⋅ ;

7) 10 180 3 180sin cos− ; 8) sin cos0 2 60 3 45+ − tg .


Для того щоб активiзувати розумову дiяльнiсть учнiв та з метоюформування усвiдомленого сприйняття навчального матерiалу уро�ку, вчитель може провести роботу з порiвняння: запропонуватиучням порiвняти означення тригонометричних функцiй для гострогокута прямокутного трикутника (вивченi у 8 класi) з означеннямитригонометричних функцiй для кутiв вiд 0° до 180° (вивченi на попе�редньому уроцi). У результатi порiвняння учнi мають ще раз усвiдо�мити, що означення тригонометричних функцiй, розглянуте в 9 кла�сi, утворилося на основi означення, вивченого у 8 класi (шляхомумiщення прямокутного трикутника в систему координат та узагаль�нення ранiше вивченого означення), проте є бiльш широким.


Далi формулюємо питання: Чи змiняться в напрямку розширен�ня (як це вiдбулось iз означеннями) властивостi тригонометричнихфункцiй, вивченi у 8 класi, та чи iснують новi властивостi тригоно�метричних функцiй, якi не виконувалися для тригонометричнихфункцiй гострих кутiв?

Таким чином, формулюємо основну мету уроку та окреслюємоколо завдань:

1) дослiдити властивостi тригонометричних функцiй для кутiввiд 0° до 180°;

2) сформувати вмiння застосовувати властивостi тригонометрич�них функцiй до розв’язування задач.

ІV. Актуалiзацiя опорних знань та вмiнь


1. Спростiть вираз:

1) tgα α⋅cos ; 2)sinα

αtg; 3) 1 2 2+ −cos sinα α; 4) ( )( )1 1− +cos cosα α ;

5)sin cos

sin

α αα1 2−

; 6) 1 2− cos α; 7) 2 2 2− −cos sinα α;

8)sin

cos

2

21

αα−

; 9)cos

sin

2

21

αα−

; 10) ( )sin cos sin cosα α α α− +22 ;

11)( )( )

cos

sin

90

90

−

−

α

α; 12) ( )sin sin2 2 90α α+ − .

2. Обчислiть:

1) 2 30 3 60sin cos+ ; 2) 6 30 45sin − tg ; 3) cos sin60 30⋅ ;

4) 2 60 3 45cos − tg ; 5) 1 2 452− cos ; 6)2 45 45

45

sin cos⋅.

3. Знайдiть помилки в таких рiвностях:

1) sin cos12 78= ; 2) sin sin70 10= ; 3) cos sin53 47= ;

4) cos sin25 65= ; 5) cos sin21 69= ; 6) sin cos34 56= .


План вивчення нового матерiалу

1. Доведення основної тригонометричної тотожностi для кутiв вiд 0°до 180°. Її наслiдки.

2. Тотожностi, що випливають iз означень тригонометричних функ�цiй для кутiв вiд 0° до 180°.


3. Формули зведення для кутiв 180° − α та їх доведення. Наслiдки.4. Значення тригонометричних функцiй деяких кутiв.

Як було зазначено вище (див. попереднiй урок), тригоно�метрiя є одним iз найскладнiших роздiлiв шкiльного курсуматематики. У 8 i 9 класах закладаються основи для подаль�шого успiшного вивчення тригонометрiї. Зокрема, мова йдепро вивчення спiввiдношень мiж тригонометричними функ�цiями одного й того самого кута та про деякi окремi формулизведення (див. конспект 2).Доведення основної тригонометричної тотожностi для тупогокута i кутiв 0°, 90°, 180° здiйснюється за означенням тригоно�метричних функцiй для кутiв вiд 0° до 180°. Пiд час вивченняцього питання слiд звернути увагу учнiв на те, що iз формулиsin cos2 2 1α α+ = , (враховуючи знак виразiв cosα i sinα залежновiд виду кута α) випливають формули для cosα i sinα.Наступним кроком у вивченнi матерiалу є формулювання то�тожностей для тригонометричних функцiй кутiв вiд 0° до180°, що випливають iз означень тригонометричних функцiй(див. конспект 2, б). Пiсля цього автор вважає доречним сфор�мулювати тотожностi (див. конспект 2, в).Доведення теореми (формули зведення для кутiв 180° − α) прово�диться традицiйно iз використанням означень тригонометрич�них функцiй для кутiв вiд 0° до 180°. Розглядаючи змiсттеореми, слiд звернути увагу учнiв на той факт, що синусикутiв, сума яких дорiвнює 180°, рiвнi, тобто одному й тому само�му значенню синуса вiдповiдають два кути, причому якщо одинiз них дорiвнює α, то другий — 180° − α (цей факт використо�вується пiд час вивчення теми «Розв’язування трикутникiв»).Пiд час вивчення питання про знаходження значень тригоно�метричних функцiй деяких кутiв за допомогою формул зве�дення слiд придiлити бiльше уваги формуванню в учнiв умiньзастосовувати формули, нiж засвоєнню знань значень триго�нометричних функцiй тупих кутiв. Знання значень функцiйкутiв 30°, 45° i 60° та формул зведення є обов’язковими,оскiльки є необхiдною умовою формування в учнiв свiдомогорозумiння iдеї обчислення значень функцiй тупих кутiв, якедопоможе в подальшому вивченнi тригонометрiї в курсi ал�гебри та початкiв аналiзу.

Стисло змiст навчального матерiалу учням можна подати у ви�глядi конспекту 2.


Конспект 2

1. Для будь�якого кута α (0 180≤ ≤α ) справджуються рiвностi:

а) sin cos2 2 1α α+ =

↓ ↓

sin cosα α= −1 2 cos sinα α= ± −1 2

б) tgα αα

= sin

cos(α ≠ 90 )

ctgα αα

= cos

sin(0 180< <α )

tg ctgα α⋅ = 1 (α ≠ 0 , α ≠ 90 , α ≠ 180 )

в) 112

2+ =tg α

αcos(α ≠ 90 )

112

2+ =ctg α

αsin(α ≠ 0 , α ≠ 180 )

г) ( )sin sin180 − =α α

( )cos cos180 − = −α α

( )tg tg180 − = −α α, (α ≠ 90 )

( )ctg ctg180 − = −α α (α ≠ 0 , α ≠ 180 )

2. Значення тригонометричних функцiй деяких кутiв

α 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180°

sinα 0 1

22

2

1

2= 3

2

1 3

2

2

2

1

20

cosα 1 3

2

2

2

1

2=

1

20 − 1

2− 2

2− 3

2

–1

α 0 3

3

1

3= 1 3 — − 3 –1 − =3

3

1

3

0

α — 3 1 3

3

1

3= 0 − = −3

3

1

3

–1 − 3 —


VІ. Формування первинних умiнь

Виконання усних вправ1. Дано гострий кут β, причому sinβ = n, cosβ = m. Знайдiть синус

i косинус кута 180 − β.2. Чи правильно, що: 1) синуси сумiжних кутiв є протилежними

числами; 2) тангенси сумiжних кутiв є протилежними числами?

Виконання письмових вправ1. Визначте всi значення α вiд 0° до 180°, для яких справджується

рiвнiсть: 1) sinα = 3

2; 2) cos ,α = −0 5; 3) α = −1.

2. Знайдiть тангенс i котангенс кута α, якщо:

1) cosα = − 5

13; 2) sinα = 8

17, 90 180< <α ; 3) sin cosα α= − .

3. Побудуйте кут α, якщо: 1) sinα = 4

5; 2) cosα = − 3

5.

Додаткова задачаВiдомо, що α = −0 75, . Знайдiть sinα i cosα.

VІІ. Пiдсумки уроку

Тестове завдання

1. Чому дорiвнює ( )cos 180 − α , якщо cosα = 2

2?

А)2

2; Б) − 2

2; В)

3

2; Г)

1

2.

2. Знайдiть sin150 i cos150 .

А)3

2i

1

2; Б)

1

2i − 3

2; В) − 1

2i − 3

2; Г) − 1

2i

3

2.

3. Знайдiть cosα, якщо sin ,α = 0 8 i 90 180< <α .

А) 0,6; Б) –0,8; В) –0,6; Г)4

5.

VІІІ. Домашнє завдання

Вивчити змiст основних понять уроку (див. конспект).Розв’язати задачi.

1. Знайдiть: 1) sinα i α, якщо α = 120 ; 2) гострий i тупий кути, си�нус яких дорiвнює 0,5.

2. Знайдiть: 1) α, якщо cos ,α = −0 28; 2) α, якщо sinα = 12

13i кут

α — тупий.


3. Побудуйте кут α, якщо

α = − 1

3.

Розв’язати задачу на повто�рення.

За рисунком визначте дов�жини вiдрiзкiв AD, CD.

Урок № 3Розв’язування задач

Мета: продовжити роботу над засвоєнням учнями змiсту озна�чень тригонометричних функцiй для кутiв вiд 0° до 180° та тригоно�метричних тотожностей, що випливають iз цих означень; сформува�ти вмiння вiдтворювати вивченi означення та тотожностi, а такожзастосовувати їх до перетворення тригонометричних виразiв та об�числення значень тригонометричних функцiй деяких кутiв.

Тип уроку: засвоєння вмiнь та навичок.Наочнiсть та обладнання: конспекти 1, 2.

Хiд уроку

І. Органiзацiйний етапПеревiрка готовностi учнiв до уроку, налаштування на роботу.


Детальнiй перевiрцi пiдлягають вправи високого та достатньогорiвнiв складностi, а також тi вправи домашнього завдання, що ви�кликали в учнiв певнi труднощi.


Вчитель формулює завдання на урок, виходячи з проблем, якi ви�никли в учнiв пiд час виконання домашнього завдання, а саме:закрiпити знання учнiв щодо означення тригонометричних функційдля кутiв вiд 0° до 180° та тригонометричних тотожностей такихкутiв, а також сформувати сталi вмiння та навички застосовувати цiзнання до розв’язування задач.


Виконання усних вправ1. Обчислiть: 1) sin120 ; 2) 150 ; 3) cos180 ; 4) 120 ; 5) cos135 ;

6) cos120 ; 7) sin150 ; 8) sin135 ; 9) 180 ; 10) sin0 ; 11) 0 ;12) cos150 .


а) б)

C A

B

D

γ

B

α

D

c

βC A

a α 2. Спростiть: 1) ( ) ( )sin cos90 180− + −α α ; 2)( )( )

sin

cos

90

180

−

−

α

α;

3) ( ) ( )sin sin90 180− − −α α ; 4)( )( )

sin

sin

180

90

−

−

α

α; 5) ( )α α⋅ −sin 90 ;

6) ( ) ( )sin cos180 90− + +α α .

V. Засвоєння вмiнь та навичок

На попередньому етапi уроку учнi повторюють, закрiплюютьта за необхiдностi мають скоригувати знання щодо означеннятригонометричних функцiй кутiв вiд 0° до 180° та тотожнос�тей, що випливають iз цих означень. На цьому етапi урокуслiд алгоритмiзувати дiї учнiв iз застосування здобутих знань.Для цього необхiдно провести роботу з усвiдомлення учнямидiй пiд час виконання типових завдань, а саме завдань, в якихтреба:

обчислити значення тригонометричних функцiй тупих кутiв iз ви�користанням тригонометричних таблиць;

знайти невiдомi значення тригонометричних функцiй кута за вiдо�мим значенням однiєї iз функцiй;

побудувати кут за значенням однiєї з тригонометричних функцiй;

спростити вираз, що мiстить тригонометричнi функцiї одного й то�го самого кута або тригонометричнi функцiї кутiв, сума яких до�рiвнює 180°.

З метою пiдвищення ефективностi роботи учнiв на цьому етапiуроку вчитель може застосувати iнновацiйнi технологiї, зокремаорганiзувати роботу в малих групах зi складання алгоритмiв розв’я�зування завдань рiзного виду з наступною презентацiєю та випробу�ванням складених алгоритмiв.

VІ. Засвоєння навичок


1. Два кути трикутника дорiвнюють 25° i 35°. Чому дорiвнює синустретього кута?

2. Яка з наведених формул неправильна?

1) ( )sin sin180 − =α α; 2) ( )cos cos180 − = −α α;

3) ( )180 − = −α α; 4) ( )cos sin90 − = −α α.


3. Спростiть:

1)1

2

+ cos

sin

αα

; 2)1

1 2− cos α; 3) cos cos sin2 4 4α α α− + ;

4)2

2

2

21 1

αα

αα+

++

.

Виконання письмових вправ1. Знайдiть:

1) sinα, якщо cos ,α = −0 8; 2) cosα, якщо sinα = 1

5, 90 180< <α ;

3) α, якщо cosα = −1.2. Порiвняйте:

1) cos165 i sin44 ; 2) 32 i 93 ; 3) sin20 i sin160 .3. Доведiть, що синуси будь�яких двох кутiв паралелограма рiвнi.

Додаткові задачі1. Знайдiть sinα i cosα, якщо α α+ = −2 5, . Скiльки розв’язкiв має

задача?2. Розташуйте кути 50°, 120°, 170° у порядку зростання: 1) косинусiв

цих кутiв; 2) синусiв цих кутiв; 3) тангенсiв цих кутiв.


Виконання усних вправ1. Спростiть:

1) sin cos2 2133 47+ ; 2) cos cos cos2 2 2150 120 90+ − .2. Який знак добутку sin cos115 115⋅ ?3. Чому дорiвнює сума квадратiв косинусiв усiх кутiв прямокутного

трикутника?


Повторити змiст основних понять урокiв 1, 2 (див. конспекти1, 2).

Розв’язати задачi.1. Знайдiть cosα i α, якщо sin ,α = 0 6 i кут α — тупий.2. Знайдiть sinα i cosα, якщо α = −2 4, .3. Доведiть, що сума косинусiв усiх кутiв тра�

пецiї дорiвнює нулю.Розв’язати задачу на повторення.За рисунком визначте довжину вiдрiзка

BK, якщо

∠ =BAC α, ∠ =KAC β, AB c= .


B

βCA

c K

Урок № 4Теорема косинусiв

Мета: формувати в учнiв усвiдомлене розумiння змiсту теоремикосинусiв, а також способу її доведення; сформувати первиннi вмiн�ня вiдтворювати змiст вивченої теореми, розв’язувати задачi на пря�ме застосування теореми косинусiв до обчислення невiдомих еле�ментiв трикутникiв.

Тип уроку: засвоєння знань, первинних умiнь.Наочнiсть та обладнання: конспект «Теорема косинусiв».

Хiд уроку




Цей етап уроку проводимо у формi тестової самостiйної роботи(тестовi завдання закритого типу); по закiнченнi виконання — пе�ревiрка вiдповiдей та корекцiя знань i вмiнь.

Тестове завдання1. Яка з наведених рiвностей неправильна?

А) ( )sin sin180°− =α α; Б) ( )cos cos180°− = −α α;В) ( )180°− = −α α; Г) ( )180 90 90 0°− ° = − °= .

2. Яке з наведених значень тригонометричних функцiй неправиль�не?А) sin0 0°= ; Б) sin180 0°= ; В) cos0 1°= ; Г) cos180 1°= .

3. Не користуючись таблицями, знайдiть значення виразу

cos cos2 2120 135°− °.

А)1

4; Б) − 1

2; В) − −1

2

2

2; Г) − 1

4.

4. Спростiть вираз ( ) ( )sin cos2 2180 1 2 180°− − + °−α α .

А) cosα; Б) cos2 α; В) sinα; Г) sin2 α.

5. Обчислiть( )( )

tg 180

180

°−°−

ααsin

, якщо sin ,α = 0 8 i 90 180°< < °α .

А) − 3

5; Б)

5

3; В) − 5

3; Г)

3

5.

6. Менша сторона прямокутника дорiвнює 13 см, а дiагональ —26 см. Знайдiть бiльший кут мiж дiагоналями.А) 150°; Б) 120°; В) 135°; Г) 90°.



На цьому етапi уроку доречними будуть слова вчителя про те, щотригонометричнi функцiї гострого кута як спiввiдношення мiж сто�ронами й кутами прямокутного трикутника використовувалися длязнаходження невiдомих сторiн i кутiв прямокутних трикутникiв пiдчас розв’язування задач вiдповiдного змiсту у 8 класi (див. схему«Розв’язування прямокутних трикутникiв»). Розширення поняття«тригонометрична функцiя кутiв вiд 0° до 180°» змiнює сферу засто�сування тригонометричних функцiй, тобто дозволяє сформулюватиспiввiдношення мiж сторонами й кутами довiльного трикутника(прямокутний трикутник — лише окремий випадок). Тож постає пи�тання про вивчення способiв знаходження невiдомих елементiвдовiльного трикутника за деякими вiдомими його елементами. Метауроку — вивчення одного з таких спiввiдношень, яке має назву тео�рема косинусiв.

Схема

Розв’язування прямокутних трикутникiв

c a b= +2 2

β = b

a

α β= −90

b c a= −2 2

cosβ = a

c

α β= −90

a c= sinαb c= cosαβ α= −90

ca=

sinαb c= cosαβ α= −90

ІV. Актуалiзацiя опорних знань


1. Закiнчiть речення.

1) Якщо катети прямокутного трикутника дорiвнюють 12 см i 9 см,то гiпотенуза дорiвнює…

2) Якщо двi бiльшi сторони прямокутного трикутника дорiвню�ють 17 i 15, то третя сторона дорiвнює…

2. Як знайти гiпотенузу прямокутного трикутника, коли вiдомi ка�тет i гострий кут?

3. Як знайти гострий кут прямокутного трикутника, коли вiдомiпротилежний цьому куту катет i гiпотенуза?


B

α c

βC Aa

b

b

a ACβ

Bcα

b

a

AC

β c

α

B

b

a

AC

βc

α

B

4. Як знайти гострий кут прямокутного трикутника, коли вiдомiприлеглий до цього кута катет i гiпотенуза?

5. Розв’яжiть прямокутний трикутник DBC (рис.).

а) б) в) г)

V. Засвоєння знаньПлан вивчення нового матерiалу

1. Теорема косинусiв, її доведення.

2. Приклади застосування теореми косинусiв.

Вивчення теми «Розв’язування трикутникiв» у 9 класi тра�дицiйно починається iз розгляду теореми косинусiв. Доведеннятеореми косинусiв за новою програмою, на вiдмiну вiд пiдруч�ника О. В. Погорєлова, не є векторним: воно ґрунтується на пере�твореннях тригонометричних виразiв, проте має схожi елементи(використання додаткової побудови — висоти трикутника, засто�сування теореми Пiфагора та спiввiдношень мiж сторонами й ку�тами прямокутного трикутника). Тому один iз можливихварiантiв проведення цього етапу уроку — органiзацiя са�мостiйної роботи учнiв iз розв’язування задачi на знаходженнясторони трикутника за вiдомими двома iншими сторонами та ку�том мiж ними. Узагальнивши можливi результати мiркуваньучнiв, учитель формулює змiст теореми та вiдтворює її доведеннядля загального випадку.Пiсля цього обов’язково слiд провести роботу з усвiдомленнязмiсту теореми. Пiд час обговорення доведеної теореми учнi ма�ють усвiдомити, що, по�перше, теорема косинусiв може бути за�писана для будь�якої сторони довiльного трикутника (змiст цьо�го твердження буде закрiплено пiд час виконання вправ).По�друге, оскiльки теорема косинусiв «зв’язала» три сторонитрикутника й один його кут, то й використана може бути нетiльки для знаходження сторони трикутника, що лежить протикута, утвореного вiдомими сторонами, але й для знаходження

Усі уроки геометрії. 9 клас 23

B

α

CA

h

KD

b

C

B

A

b

A

CDh h

α

α

B

D DB N

K

∠ =ABC α DBAK — па�ралелограм

BCKN — рiвно�бiчна трапецiя

C

будь�якого з iнших трьох елементiв (звiсно, за умови, що всiiншi елементи вiдомi або вiдоме їх вiдношення, тощо).

Стисло змiст навчального матерiалу можна подати учням у виг�лядi конспекту 3.

Конспект 3

Теорема косинусiв:

c a b bc C2 2 2 2= + − cos .

Доведення

1. BD AC⊥ ΔBDC: ∠ =D 90 : BD a C= sin , CD a C= ⇒cos AD b a C= − cos .

2. ΔABD: ∠ =D 90 .

AB AD BD2 2 2= + = ( ) ( )b a C a C− + =cos sin2 2

= − + + =b ab C a C a C2 2 2 2 22 cos cos sin ( )b ab C a C C2 2 2 2

1

2− + + ⇒cos cos sin� ��

⇒ = + −c a b ab C2 2 2 2 cos


Виконання усних вправ1. Сформулюйте теорему косинусiв для сто�

рони m i сторони n трикутника KMN нарисунку.

2. Для трикутника ABC справджується рiвнiсть a b c bc2 2 2= + − . Чиможна щось стверджувати про величину кута A цього трикут�ника?

3. Що можна сказати вiдносно величини кута C трикутника ABC,якщо виконується рiвнiсть c a b ab2 2 2= + + ?

4. Чи можна застосувати теорему косинусiв до рiвносторонньоготрикутника? Дайте пояснення.

5. Знайдiть x (див. рисунки а)'г)):

а) б) в) г)

д) е) ж)


K

M

N

k

m

n

2 2

45°

x

6 6

x135°2 2

2

x

60°2 3

6

x214

m n

αq q

αnm

q

α nm

C

B

a

DA

Виконання графiчної вправи

Накреслiть трикутник зi сторонами 3 см i 5 см та кутом мiж ними120°. За теоремою косинусiв обчислiть довжину найбiльшої сторонитрикутника. Перевiрте здобутий результат вимiрюванням.

Виконання письмових вправ

1. Знайдiть невiдому сторону трикутника, якщо двi його сторониi кут мiж ними дорiвнюють вiдповiдно:

1) 3 3 см, 11 см i 30°; 2) 8 см, 15 см i 60°; 3) 5 см, 16 см i 120°.

2. Сторони трикутника дорiвнюють 3 2, 1 i 5. Визначте градуснумiру найбiльшого кута трикутника.

3. У паралелограмi знайдiть довжини: 1) сторiн, якщо дiагоналi дов�жиною 6 2 см i 1 см перетинаються пiд кутом 45°; 2) дiагоналей,якщо сторони дорiвнюють 10 см i 16 см, а один iз кутiв парале�лограма удвiчi бiльший за iнший.

Додаткова задача

Двi сторони трикутника дорiвнюють 4 2 см i 1 см, а синус кута

мiж ними дорiвнює2

2. Знайдiть третю сторону трикутника. Скiльки

розв’язкiв має задача?


Вiдомо, що m, n i q — сторони трикутника, а α — градусна мiра од�ного з кутiв цього трикутника. На якому з рисункiв д), е), ж) пра�вильно виконано зображення трикутника, якщо вiдомо, що

q m n mn2 2 2 2= + − cosα?


Вивчити змiст теореми косинусiв та її доведення.

Розв’язати задачi.

1. Знайдiть периметр трикутника, якщо його сторони довжиною7 см i 15 см утворюють 60°.

2. У трикутнику ABC AB = 6 см, BC = 5 см, а косинус зовнiшньогокута при вершинi B дорiвнює — 0,2. Знайдiть сторону AC.

3. Дiагональ паралелограма дорiвнює 6 см i утворює зi стороноюдовжиною 8 см кут 60°. Знайдiть невiдому сторону й невiдому дiа�гональ паралелограма.

Виконати завдання на застосування властивостей тригономет�ричних функцiй кутiв вiд 0° до 180°.


Урок № 5Наслiдки з теореми косинусiв

Мета: працювати над засвоєнням учнями змiсту наслiдкiв iз тео�реми косинусiв, опорних фактiв, що випливають iз цих наслiдкiв(спiввiдношення мiж сторонами i дiагоналями паралелограма), а та�кож способу їх доведення; сформувати первиннi вмiння вiдтворюва�ти вивченi тотожностi та записувати їх до поданих в умовi задачоб’єктiв, застосовувати їх до розв’язування задач на обчисленнясторiн i дiагоналей паралелограма та до задач, що передбачають ви�значення виду кута трикутника за даними довжинами сторiн.

Тип уроку: засвоєння знань, умiнь.Наочнiсть та обладнання: конспект «Наслiдки з теореми косинусiв».

Хiд уроку




З метою перевiрки якостi засвоєння змiсту та випадкiв застосу�вання теореми косинусiв, можна запропонувати учням самостiйно (iзнаступною перевiркою) розв’язати задачi за готовими рисунками.Учнi, самостiйно розв’язуючи задачi, виконують тiльки обчислення(умови задач та рисунки поданi на дошцi). Перевiрку можна орга�нiзувати рiзними способами: або за правильними вiдповiдями, що за�здалегiдь записанi за дошкою, або за записами двох учнiв (з високимрiвнем навчальних досягнень), якi виконували роботу за дошкою.

Самостiйна робота

Варiант 1 Варiант 2

1. Знайдiть x

2. Знайдiть cos x iз точнiстю до 0,01


120° x2

5

3

6x

4 x3

4

6

135°

x

62


Свiдому роботу учнiв на цьому етапi уроку вчитель може органiзу�вати, посилаючись на результати виконання самостiйної роботи, про�веденої на початку уроку. Аналiзуючи результати виконання задачi 2,учнi мають усвiдомити iснування певних залежностей мiж значеннямквадратiв сторiн трикутника та косинусами його кутiв, а також звер�нути увагу на зв’язок мiж значеннями квадратiв сторiн трикутника тавидом кутiв трикутника. Запис цих спiввiдношень у виглядi формулта формування вмiнь їх використання — це основна мета уроку.



1. Спростiть: 1)( )( )

cos

sin

90

90

−

−

α

α; 2)

sin cos

sin cos

90 90

90 90

+−

; 3)( )( )

sin

sin

180

90

−

−

α

α.

2. Спростiть: ( ) ( )sin cos sin cosα α α α+ + −2 2.

3. Обчислiть: 1) cos sin120 30+ ; 2) 2 135 135cos sin− ;3) cos cos150 90 ; 4) cos cos0 120⋅ .

4. Знайдiть сторону AC трикутника ABC, якщо:1) AB c= , BC a= , ∠ =ABC 60 ; 2) AB c= , BC a= , ∠ =ABC 120 .


План вивчення нового матерiалу1. Наслiдок 1 iз теореми косинусiв (вираження косинуса кута три�

кутника через його сторони).2. Наслiдок 2 iз теореми косинусiв (визначення виду кута трикутни�

ка через спiввiдношення мiж квадратами його сторiн).3. Спiввiдношення мiж дiагоналями паралелограма та його сторо�

нами.Основний змiст наслiдкiв iз теореми косинусiв порiвняноз тим, що вивчався ранiше, змiнився. Замiсть вираження сто�рони трикутника через двi iншi сторони та проекцiю однiєї наiншу (див. пiдручник О. В. Погорєлова) як прямi наслiдки тео�реми косинусiв вивчаються вираження косинуса кута трикут�ника через його сторони, визначення виду кута трикутника засторонами та як опорний факт розглядається спiввiдношеннямiж дiагоналями та сторонами паралелограма. Пiд час вивчен�ня цих питань слiд урахувати такi контрольнi моменти:

вираження косинуса кута трикутника через його сторони учнi можутькраще зрозумiти та навчитись його правильно використовувати,


якщо сформулювати його в словесному виглядi, наприклад, так: «ко�синус кута трикутника дорiвнює вiдношенню суми квадратiв сторiн,прилеглих до цього кута без квадрата протилежної сторони до подво�єного добутку прилеглих сторiн» (чи щось подiбне), а потiм вiдпра�цювати його на рiзноманiтних прикладах;свiдомому засвоєнню змiсту наслiдку 2 сприятиме попереднє вико�нання усних вправ, спрямованих на повторення властивостей триго�нометричних функцiй кутiв вiд 0° до 180°, а також на повтореннянерiвностi трикутника. Пiсля формулювання самого наслiдку (див.конспект 4), можна запропонувати учням як логiчне продовженняцього питання обмiркувати рацiональний спосiб визначення видутрикутника за його сторонами (тобто як визначити вид трикутникабез визначення виду всiх трьох його кутiв). Таким чином, спи�раючись на твердження про те, що в трикутнику проти бiльшої сторо�ни лежить бiльший кут, визначається порядок дiй пiд час визначеннявиду трикутника за його кутами за умови, що вiдомi всi його сторони;вивчаючи спiввiдношення мiж дiагоналями та сторонами трикут�ника, слiд звернути увагу учнiв на те, що до формули, що виражаєзазначене спiввiдношення, входять чотири величини: двi сумiжнiсторони паралелограма та двi його дiагоналi, а тому можна скластиприблизний перелiк видiв задач на застосування цього спiввiдно�шення та обговорити хiд їх розв’язування. Якщо дозволяє час тарiвень пiдготовки учнiв, нагадаємо про метод подвоєння медiани,вивчений у 7 класi, та його застосування у зв’язку iз спiввiдношен�ням мiж сторонами й дiагоналями паралелограма.Стисло змiст навчального матерiалу учням можна подати у ви�

глядi конспекту 4.

Конспект 4

Наслiдки з теореми косинусiв

1. Наслiдок 1cosC

a b c

ab= + −2 2 2

2

2. Наслiдок 2 Якщо a b c2 2 2+ > , то ∠C — гострий;

якщо a b c2 2 2+ < , то ∠C — тупий.

Пригадай: якщо a b c2 2 2+ = , то∠ =C 90 .


bA

ac

B

C

C

B

c a

A b

3 У паралелограмi ABCD

AB a= , AD b= , BD d= 1, AC d= 2:

( )2 2 212

22a b d d+ = + .



1. У трикутнику зi сторонами a, b, c визначте, чи є кут, протилежнийсторонi a, гострим, прямим або тупим, якщо:

1) a b c2 2 2> + ; 2) a b c2 2 2< + ; 3) a b c2 2 2= + .

2. Чи можуть два кути трикутника мати вiд’ємнi косинуси?

3. Назвiть найбiльший кут трикутника ABC, якщо AB BC AC2 2 2> + .


1. Доведiть, що рiвнобедрений трикутник з основою 7 см i бiчноюстороною 4 см є тупокутним.

2. Не обчислюючи кути трикутника, визначте його вид (за величи�ною кутiв), якщо сторони трикутника дорiвнюють:

1) 2, 3 i 4; 2) 7, 24 i 25; 3) 6, 10 i 11.

3. У паралелограмi знайдiть:

1) периметр, якщо дiагоналi дорiвнюють 11 см i 17 см, а одна зiсторiн — 13 см;

2) дiагоналi, якщо їхнi довжини вiдносяться як 4:7, а сторони до�рiвнюють 7 см i 9 см.


Двi сторони трикутника довжиною 10 см i 42 см утворюють кут120°. Знайдiть довжину медiани, проведеної з вершини кута.


Чи правильнi рiвностi?

1) cosNm n k

km= + −2 2 2

2(рис.)

2) Якщо m k n2 2 2 0− + > , то ∠K — тупий.

3) NK MP MN MK2 2 2 2+ = + (рис.).


Вивчити змiст основних понять уроку (див. конспект 4).



B

d2

a

C

bAd1

D

K

N

k m

M nP

K

N

M

1. Двi сторони трикутника дорiвнюють 4 i 8. Яке найменше цiле зна�чення повинна мати довжина третьої сторони, щоб кут мiж двомасторонами був тупим?

2. Сторони трикутника дорiвнюють 5 м, 6 м i 7 м. Знайдiть косинусикутiв трикутника i визначте його вид (за величиною кутiв).

3. Знайдiть сторони паралелограма, якщо його периметр дорiвнює34 см, а дiагоналi 11 см i 13 см.Розв’язати задачу на повторення.У трикутнику ABC ∠ =A 60 , ∠ =C 45 , BD = 4см — висота трикут�

ника. Знайдiть довжини сторiн AB i BC.

Урок № 6Теорема синусiв

Мета: працювати над засвоєнням учнями змiсту теореми синусiв,а також способу її доведення. Сформувати первиннi вмiння вiдтво�рювати змiст теореми синусiв та виконувати записи вiдповiдно доцiєї теореми за умовою задачi, а також застосовувати цi записи дорозв’язування задач на обчислення сторiн та кутiв трикутника.

Повторити та продовжити роботу iз засвоєння учнями змiсту тео�реми косинусiв та наслiдкiв iз неї.

Тип уроку: засвоєння знань, умiнь.Наочнiсть та обладнання: конспект «Теорема синусiв».

Хiд уроку




З метою перевiрки якостi засвоєння змiсту наслiдкiв iз теоремикосинусiв можна запропонувати учням виконати невелику самостiй�ну роботу у двох варiантах (iз наступною перевiркою). Учнi, само�стiйно розв’язуючи задачi, виконують тiльки обчислення (умови за�дач та рисунки поданi на дошцi). Перевiрку можна органiзуватирiзними способами: або за правильними вiдповiдями, що заздалегiдьзаписанi за дошкою, або за записами двох учнiв (iз високим рiвнемнавчальних досягнень), якi виконували роботу за дошкою.

Самостiйна робота1. Визначте вид кута, що лежить проти бiльшої сторони трикутни�

ка, якщо його сторони дорiвнюють:1) (варiант 1) 2 см; 3 см; 4 см; 2) (варiант 2) 4 см; 5 см; 6 см.


2. Визначте сторони [дiагоналi] паралелограма, якщо: 1) (варiант 1)рiзниця сторiн паралелограма дорiвнює 2 см, а дiагоналi — 2 смi 6 см; 2) (варiант 2) рiзниця дiагоналей паралелограма дорiвнює3 см, а сторони — 1 см i 0 5 3, см.


З метою створення мотивацiї навчальної дiяльностi на уроцi вчи�тель може запропонувати учням завдання на знаходження невiдомихсторiн трикутника у двох випадках: спочатку у випадку, коли можливезастосування теореми косинусiв (знайти сторону трикутника за двомаiншими сторонами та кутом), а потiм на знаходження сторони трикут�ника у випадку, коли теорема косинусiв не може бути застосована(знайти сторону за стороною та двома кутами ). Аналiз умови другої за�дачi пiдводить учнiв до усвiдомлення того, що теорема косинусiв невстановлює зв’язок мiж двома сторонами та двома протилежними доних кутами трикутника, а тому актуальним є питання про вивчення та�ких спiввiдношень у трикутнику. Таким чином, формулюється головнадидактична мета уроку.


Виконання усних вправ1. У ΔABC: AC b= , ∠ =A α.

Знайдiть hc , якщо:а) α — гострий;б) α — тупий.

2. Дано: ab mn= (a, b, m, n числа, що не дорiвнюють нулю). Складiтьiз чисел a, b, m, n пропорцiю. Чи завжди ця задача має розв’язок?


План вивчення нового матерiалу1. Теорема синусiв. Доведення.2. Застосування теореми синусiв до розв’язування задач.

Формулювання та схема доведення теореми синусiв за новоюпрограмою не вiдрiзняється вiд традицiйних. Доведення ґрунту�ється на вираженнi висоти трикутника через двi сторони три�кутника та синуси прилеглих до цих сторiн кутiв у прямокут�них трикутниках, що утворилися пiсля проведення висоти.Тому в класах iз високим рiвнем математичної пiдготовки учнiвучитель може запропонувати учням або самостiйно довеститвердження теореми (попередньо опрацювавши змiст поняття


C

B

hcb

DA

C

B

bα

D A

α hc

а) б)

«сторони трикутника пропорцiйнi до синусiв протилежнихкутiв»), або провести доведення за попередньо складеним та за�писаним на дошцi планом (див. конспект 5). Якщо доведенняпроводиться учнями самостiйно, то, зрозумiло, що по закiн�ченнi їхньої роботи має вiдбутися робота з перевiрки правиль�ностi проведення доведення та, за необхiдностi, корекцiя знань.Пiсля вивчення доведення теореми синусiв доречним буде про�ведення невеликої дослiдницької роботи, тобто з’ясування учня�ми декiлькох особливих моментiв, пов’язаних iз застосуваннямтеореми синусiв, а саме: чи виконується теорема синусiв дляпрямокутного трикутника (так); робиться висновок про те, щотеорема синусiв виконується в довiльному трикутнику (вiдомiз 8 класу спiввiдношення мiж сторонами й кутами прямокутно�го трикутника є особливими випадками теореми синусiв).Також цiкавим є питання про рiзнi способи запису теореми си�нусiв (див. конспект), якi дають можливiсть встановити вiдно�шення мiж сторонами через числа, пропорцiйнi синусам проти�лежних кутiв (це у свою чергу розширює систему задач наобчислення сторiн трикутника).


Конспект 5

Теорема синусiв

Сторони трикутника пропорцiйнi сину�сам протилежних кутiв:

a

A

b

B

c

Csin sin sin= = ,

де a, b, c — сторони трикутника, проти�лежнi кутам A, B, C вiдповiдно.

Доведення

1. Провести висоту CD.

2. Виразити CD через b i кут A.

3. Виразити CD через a i кут B.

4. Порiвняти здобутi для CD вирази.

! Зауваження: теорему синусiв можна записати у виглядi:

sin sin sinA

a

B

b

C

c= = або a b c A B C: : sin :sin :sin=


C

Bc

b

DA

C

B

b

D A

a

c

a


Виконання усних вправ1. Застосуйте теорему синусiв до трикутникiв на рисунку. Знайдiть

невiдомi елементи.а) б) в)

Виконання письмових вправ1. У трикутнику ABC знайдiть вiдношення сторiн AB AC: i BC AC: ,

якщо ∠ =A 120 , ∠ =B 30 .2. У трикутнику ABC знайдiть:

1) сторону BC, якщо AB = 2 2 см, ∠ =B 105 , ∠ =C 30 ;

2) кут A, якщо AB = 4 2 см, BC = 4 см, ∠ =C 45 .

Додатковi задачi1. Синуси кутiв трикутника вiдносяться як 3:4:5. Яке вiдношення

сторiн? Якого виду цей трикутник?2. Чи можуть синуси кутiв трикутника бути пропорцiйнi до чисел 5,

7, i 13?


1. За допомогою теореми синусiв вiдновiть вiдношення синусiв кутiвтрикутника у правiй частинi пропорцiї BC AC AB: : =…

2. Назвiть найбiльшу та найменшу сторони трикутника ABC, якщоsin sin sinB A C> > .

3. У трикутнику ABC AB = 6, BC = 3. Чи може sin A дорiвнювати оди�ницi?

4. У трикутнику ABC sin sinA C= . Назвiть рiвнi сторони трикутника.


Вивчити змiст теореми синусiв та її доведення (див. конспект 5).Розв’язати задачi.

1. У трикутнику ABC знайдiть:1) сторону AC, якщо AB = 6 2 см, ∠ =B 30 , ∠ =C 45 ;

2) кут B, якщо AB = 3 см, AC = 2 см, ∠ =C 60 .

2. У трикутнику MNK sin : sin :N K = 1 3. Знайдiть сторону MN, якщоMK = 3м.


15

x

105°α

9 x

71° β10

70°

xy 60°

50°

α

12

37°y

M

KH B

C

A

B

CA

Розв’язати задачу на повторення.Знайдiть кути ромба, дiагоналi якого дорiвнюють 4 i 4 3.

Урок № 7Зв’язок мiж пропорцiйними вiдношеннями теоремисинусiв i дiаметром описаного кола

Мета: продовжувати роботу над формуванням свiдомого ро�зумiння учнями змiсту повного формулювання теореми синусiв, а та�кож способу її доведення; формувати вмiння:

вiдтворювати вивчену теорему та записувати її вiдповiдно дооб’єктiв, що розглядаються в умовi задачi;застосовувати повну теорему синусiв до розв’язування задач на об�числення сторiн трикутника.Тип уроку: засвоєння знань та вмiнь.Наочнiсть та обладнання: конспект «Повне формулювання теоре�

ми синусiв».

Хiд уроку




Правильнiсть виконання домашнього завдання перевiряємо за зраз�ком (готовi розв’язання роздаються учням для самостiйного опрацюван�ня та порiвняння з результатами, одержаними пiд час виконання вправудома). Можливi питання висвiтлюються пiд час фронтальної роботи.


На цьому етапi вчитель повiдомляє учням, що теорема синусiв,окрiм вiдношення мiж сторонами та синусами протилежних кутiвтрикутника, встановлює зв’язок цих величин iз радiусом кола, опи�саного навколо трикутника. Тому мета уроку полягає в тому, щобвстановити цей зв’язок та виразити його у виглядi рiвностi, яку на�далi слiд навчитися застосовувати до розв’язування задач на знахо�дження невiдомих сторiн та кутiв трикутника.


Виконання усних вправЗ метою пiдготовки учнiв до сприйняття змiсту i доведення повної

теореми синусiв та подальшого оволодiння учнями способами дiй на за�стосування нових знань слiд повторити такi поняття та їх властивостi:


кут, вписаний у коло, та вимiрювання вписаних кутiв;властивiсть вписаних кутiв, що спираються на одну дугу;властивiсть прямого кута, вписаного в коло;формули зведення для кутiв вiд 0° до 180°.


План вивчення нового матерiалу1. Повне формулювання теореми синусiв (iз доведенням).

2*. Наслiдки з теореми синусiв.Змiст основного твердження, що вивчається на цьому уроцi(«вiдношення сторони трикутника до синуса протилежногокута дорiвнює дiаметру кола, описаного навколо трикутни�ка»), традицiйно вивчається пiсля теореми синусiв. Доведен�ня цього твердження також традицiйне: воно спирається навластивостi кутiв, вписаних у коло. Твердження може довес�ти вчитель або запропонувати це учням для найпростiшоговипадку (прямокутного трикутника), а потiм продовжити до�ведення для iнших двох випадкiв (гострого та тупого кутiвтрикутника). Пiсля вивчення твердження можна запропону�вати учням виразити iз формули радiус описаного кола черезсторону i синус протилежної сторони та сформулювативiдповiдне твердження у словеснiй формi.

За новою програмою твердження «У трикутнику проти бiльшої сто�рони лежить бiльший кут, i навпаки», яке традицiйно розглядалось якнаслiдок iз теореми синусiв, вивчалось у 7 класi. Проте для вивченняпитання про розв’язування трикутникiв цi властивостi мають важливезначення. Тому пiсля розгляду повної теореми синусiв та її доведеннядоречно нагадати учням зазначенi твердження, можна також запропо�нувати довести їх iз посиланням на теорему синусiв.


Конспект 6

Повне формулювання теореми синусiв

1 a

A

b

B

c

CR

sin sin sin= = = 2 ,

де a, b, c — сторони трикутника,протилежнi кутам A, B, C вiдпо�вiдно; R — радiус описаного кола.


b

A

a

cB

C

Зауваження. Ra

A=

2sin.

2*. Наслiдки з теореми синусiв

Якщо a b> , то ∠ > ∠A B, i навпаки, якщо ∠ > ∠A B, то a b> .

VІ. Формування вмiнь та навичок

Виконання усних вправ1. Чому дорiвнює радiус кола, описаного навко�

ло трикутника ABC (рис.)?2. Як за допомогою теореми синусiв довести, що

радiус кола, описаного навколо прямокутно�го трикутника, дорiвнює половинi гiпотенузи?

3. Радiус кола, описаного навколо рiвностороннього трикутника,дорiвнює R. Знайдiть сторони трикутника, застосувавши теоремусинусiв.

4. Дано трикутник ABC зi сторонами AB = 7, BC = 9, AC = 5. Який iзкутiв трикутника найменший; найбiльший?

5. Про трикутник ABC вiдомо, що BC AC AB> > . Не користуючисьрисунком, знайдiть, який iз кутiв бiльший: B чи A; C чи A.

6. У трикутнику ABC AB — менша сторона. Чи може кут C дорiвню�вати 61°?

Виконання письмових вправ1. Радiус кола, описаного навколо рiвнобедреного трикутника з ку�

том 120°, дорiвнює 8 3 см. Знайдiть сторони трикутника.

2. У трикутнику MNK сторона MN удвiчi менша, нiж NK, sinK = 1

4.

Знайдiть кут M. Скiльки розв’язкiв має задача?3. За допомогою теореми синусiв знайдiть вiдношення основи рiвно�

бедреного прямокутного трикутника до бiчної сторони.Додаткова задача (на повторення). Знайдiть сторони трикутни�

ка, периметр якого дорiвнює P, а два кути α i β.



Вивчити змiст теореми синусiв (див. конспект 6).Розв’язати задачi.

1. За допомогою теореми синусiв доведiть, що в прямокутному три�кутнику катет, протилежний куту 30°, дорiвнює половинi гiпоте�нузи.


30°A

a

B

C

2. Радiус кола, описаного навколо трикутника, дорiвнює 4 см. Знай�дiть кути трикутника, якщо двi його сторони дорiвнюють 4 смі 4 3 см. Скiльки розв’язкiв має задача?

3. Знайдiть сторони трикутника ABC, якщо ∠ =A 45 , ∠ =C 30 , а ви�сота AD дорiвнює 6 м.

Повторити змiст теореми косинусiв та наслiдкiв iз неї, теоремисинусiв.

Розв’язати задачу на повторення.

Один iз кутiв трикутника дорiвнює 60°, його сторони — 11 смi 24 см. Знайдiть довжину медiани, проведеної до третьої сторони.


Мета: продовжити роботу над свiдомим засвоєнням учнямизмiсту теорем косинусiв та синусiв, наслiдкiв iз них. Сформувативмiння комплексного застосування вивчених теорем та їх властивос�тей пiд час розв’язування задач на знаходження невiдомих елементiвтрикутника за вiдомими. Провести дiагностичну самостiйну роботу.

Тип уроку: застосування знань, умiнь, навичок.

Наочнiсть та обладнання: конспекти 4–6.

Хiд уроку




З метою перевiрки рiвня розумiння учнями змiсту вивчених мет�ричних теорем та наслiдкiв iз них можна провести математичнийдиктант, вiдповiдi на запитання якого перевiряються та коригують�ся одразу пiсля виконання роботи.

Оскiльки вправи домашньої роботи є вправами репродуктивногохарактеру, їх виконання ретельно перевiряємо тiльки в окремихучнiв.

Математичний диктант

1. Якщо в трикутнику ABC вiдомi двi сторони b i c та кут мiж нимиA, то третя сторона дорiвнює…

2. Якщо в трикутнику ABC вiдомi сторона a i два прилеглi до неїкути B i C, то двi iншi сторони можна знайти так:…


3. Якщо в прямокутному трикутнику вiдомi гiпотенуза c i гострийкут A, то катети трикутника дорiвнюють:…

4. Якщо в трикутнику з прямим кутом C вiдомi катет a i гострий кутB, то другий катет i гiпотенузу можна знайти так:…


Роботу учнiв на цьому етапi вчитель може органiзувати, викорис�товуючи завдання математичного диктанту. Аналiзуючи записанiтвердження, учнi мають усвiдомити (вчитель спрямовує мiркуванняучнiв у необхiдному напрямку), що застосування тiєї чи iншої з ви�вчених метричних теорем залежить вiд умови задачi, тобто якi сторо�ни або кути трикутника вiдомi, а якi треба знайти. Наприклад,вiдомi двi сторони й кут мiж ними вимагають застосування теоремикосинусiв, двi сторони й два кути — застосування теореми синусiв.Таким чином, формулюється завдання: необхiдно повторити тазакрiпити знання вивчених теорем та їх наслiдкiв, а також вiдтвори�ти вивченi способи їх окремого застосування. Потiм сформувативмiння застосовувати набутi знання та вмiння в комплексi пiд часрозв’язування задач на обчислення невiдомих сторiн, кутiв тарадiуса описаного кола трикутника.


Проводиться самостiйна робота учнiв iз довiдковим матерiалом(див. конспекти 4–6), пiсля якої виконуються уснi вправи.

Виконання усних вправ1. Доведiть, що трикутник зi сторонами 3, 4 i 6 не є прямокутним.2. На рисунку дано рiвностороннiй трикутник зi

стороною 3 см. Сторону BC подiлено на трирiвнi частини й точку D сполучено з верши�ною A. Обчислiть довжину вiдрiзка AD.

3. Побудуйте вiд руки прямокутний трикутник,у якому синус одного гострого кута удвiчiбiльший за синус другого гострого кута.

4. У паралелограмi ABCD (рис.) дiагональ ACдiлить кут A на частини 30° i 45°. Знайдiтьвiдношення сторiн паралелограма.

V. Застосування знань та вмiнь

Як вiдомо, найскладнiшим моментом у вивченнi геометрiїє перехiд вiд набутих учнями знань до оперативних умiнь,тобто застосування знань до розв’язування практичних задач.


D

A

E

B

C

CB

DA45°

30°

Навчитися цього можна лише шляхом розв’язування задач,проте для учнiв корисними можуть бути й певнi орiєнтири,тобто рекомендацiї алгоритмiчного характеру щодо порядкудiй. Такi орiєнтири учнi можуть отримати пiд час роботи з го�товим розв’язанням задач, що традицiйно подаються в пiдруч�никах. Цих орiєнтирiв учнi мають дотримуватися пiд час са�мостiйного розв’язування iнших задач.

Робота учнiв з текстом пiдручника

Виконання письмових вправ1. У прямокутному трикутнику ABC iз гiпотенузою AC знайдiть дов�

жину бiсектриси AD, якщо AB = 4, ∠ =BCA 30 .2. У трикутнику ABC ∠ =C 90 , ∠ =B 75 , CD — бiсектриса. Знайдiть

AD, якщо AC = 2 3.3. Одна зi сторiн трикутника дорiвнює a, а кути, прилеглi до цiєї сто�

рони, дорiвнюють α i β. Знайдiть довжини бiсектрис цих кутiв.4. Основи рiвнобiчної трапецiї дорiвнюють 9 см i 21 см, а висота —

8 см. Знайдiть радiус кола, описаного навколо трапецiї.Додаткова задачаЗнайдiть довжини двох сторiн трикутника, якi лежать проти

кутiв 60° i 45°, якщо рiзниця цих довжин дорiвнює m.

VІ. Пiдсумки уроку

VІІ. Домашнє завдання

Виконати домашню самостiйну роботу.

Домашня самостiйна роботаВарiант 1

1. Обчислiть: 1) невiдому сторону a трикутника, якщо вiдомi двiiншi сторони: b = 3; c = 5i кут мiж ними α = 60 ;2) невiдому сторону трикутника, якщо двi iншi його сторони i кутмiж ними дорiвнюють вiдповiдно 5 см, 12 см i 120°;3) косинуси кутiв трикутника зi сторонами 6 м, 7 м, 8 м; визначтейого вид (за величиною кутiв);4) довжину медiани трикутника, проведеної до однiєї з його сто�рiн, якщо двi iншi сторони трикутника мають довжини 5 м i 21 мi утворюють кут 120°.

2. Обчислiть: 1) довжину сторони трикутника, якщо синус проти�лежного їй кута дорiвнює 0,5 i вiдношення iншої сторони цьоготрикутника до синуса протилежного кута дорiвнює 2;2) сторону BC трикутника ABC, якщо AB = 3, ∠ =B 75 , ∠ =C 60 ;


3) сторони рiвнобедреного трикутника з кутом 120°, якщо радiускола, описаного навколо цього трикутника, дорiвнює 2 3;

4) радiус кола, описаного навколо рiвнобiчної трапецiї, якщооснови трапецiї дорiвнюють 7 см i 17 см, а висота 5 см.Варiант 2

1. Обчислiть: 1) невiдому сторону b трикутника, якщо вiдомi двi iн�шi сторони: a = 2, c = 3i кут мiж ними β = 30 ;2) невiдому сторону трикутника, якщо двi iншi його сторони i кутмiж ними дорiвнюють вiдповiдно 6 см, 19 см i 150°;3) косинуси кутiв трикутника зi сторонами 4 м, 5 м, 7 м; визначтейого вид (за величиною кутiв);4) довжину медiани трикутника, проведеної до однiєї з його сто�рiн, якщо двi iншi сторони трикутника мають довжини 4 м i 10 мi утворюють кут 60°.

2. Обчислiть: 1) довжину сторони трикутника, якщо синус проти�лежного їй кута дорiвнює 0,4 i вiдношення iншої сторони цьоготрикутника до синуса протилежного кута дорiвнює 2,5.2) сторону AC трикутника ABC, якщо AB = 2 3, ∠ =B 105 , ∠ =C 30 ;

3) кути гострокутного трикутника, якщо радiус кола, описаногонавколо цього трикутника, дорiвнює 2, а двi його сторони до�рiвнюють 2 i 2 3;

4) радiус кола, описаного навколо рiвнобiчної трапецiї, якщооснови трапецiї дорiвнюють 9 см i 15 см, а висота 5 см.

Урок № 9Основнi типи задач на розв’язування трикутникiв

Мета: працювати над засвоєнням учнями змiсту основних видiвзадач на розв’язування трикутникiв та алгоритмiв їх розв’язання.

Сформувати первиннi вмiння:класифiкувати задачi на розв’язування трикутникiв та вiдтворю�вати вивченi алгоритми;розв’язувати трикутники вiдповiдно до вивчених алгоритмiв.Тип уроку: засвоєння знань, умiнь та навичок.Наочнiсть та обладнання: конспект «Основнi задачi на розв’язу�

вання трикутникiв».

Хiд уроку





Вчитель збирає зошити з виконаною домашньою самостiйною ро�ботою на перевiрку. З метою надання учням можливостi скоригуватисвої знання та вмiння вчитель роздає правильнi розв’язання до�машнiх задач для самостiйного опрацювання вдома.


Сформулювавши тему уроку, вчитель нагадує учням про вiдомийїм змiст поняття «розв’язування прямокутного трикутника» (це по�няття було розглянуто вперше пiд час вивчення спiввiдношень мiжсторонами й кутами прямокутного трикутника у 8 класi). З метоюповторення зазначеного поняття учням можна запропонувати схему«Розв’язування прямокутних трикутникiв», яку використовувалина уроцi 4. Далi, звернувшись до конспектiв попереднiх урокiв, учи�тель пропонує учням вiдповiсти на запитання: якi невiдомi елементитрикутника можна знайти (за якими вiдомими елементами), спираю�чись на теорему косинусiв, на теорему синусiв та на теорему про сумукутiв трикутника. Пiсля чого цiлком логiчно формулюється метауроку: вивчити питання про можливiсть розв’язування довiльноготрикутника за вiдомим мiнiмальним набором елементiв, про види та�ких задач та, найголовнiше, про способи їх розв’язання.


З метою кращого розумiння учнями змiсту задач на розв’язуван�ня слiд повторити з учнями змiст таких тверджень:

теорема синусiв;

теорема косинусiв та наслiдки з неї;

теорема про суму кутiв трикутника;

формули зведення для кутiв вiд 0 до 180 .

Для цього можна запропонувати учням виконати уснi вправи.


Знайдiть x.


3

A30°

B

C

x

2

2 x

C

B

7A

1 2x

C

B

45°A

6

x

C

B

30°A

7

Ksin ∠ =ACK

4

7

1 2 3

4 5

A7

B

C

60°

R xABC =


План вивчення нового матерiалу1. Що означає розв’язати трикутник?2. План розв’язування задачi за стороною i прилеглими кутами.3. План розв’язування задачi за двома сторонами i кутом мiж ними.4. План розв’язування задачi за трьома сторонами.5. План розв’язування задачi за двома сторонами i кутом, проти�

лежним до однiєї зi сторiн.Перш за все слiд зауважити, що попри те що цей урок класи�фiкується як урок вивчення нового матерiалу, на ньому фак�тично проводиться робота iз систематизацiї знань та вмiньучнiв щодо способiв знаходження невiдомих елементiв три�кутника (сторiн та кутiв) за допомогою вивчених ранiшеспiввiдношень мiж його сторонами i кутами (теореми просуму кутiв трикутника, теорем косинусiв та синусiв, а такожнаслiдкiв iз них). Новим є видiлення чотирьох типiв задач таформулювання й усвiдомлення учнями певних загальних ал�горитмiв їх розв’язування. Також учителевi слiд мати наувазi, що на вiдмiну вiд попереднiх рокiв, коли на вивченняцього матерiалу вiдводилось 4 навчальнi години, за новоюпрограмою на формування вмiнь розв’язувати трикутникиє фактично двi години. Тому з метою економiї часу та длятого, щоб мати можливiсть сформувати стiйкi вмiння та на�вички застосування вивченого матерiалу, вчитель має iнтен�сифiкувати роботу учнiв (наприклад, за рахунок iнтерактив�них методiв навчання, або для самостiйного опрацюванняматерiалу вдома, або органiзувавши роботу учнiв iз вивченняматерiалу пiдручника в малих групах iз наступною презен�тацiєю тощо).


Конспект 7

Основнi задачi на розв’язування трикутникiв

У ΔABC a, b, c — сторони, протилежнi кутам A, B, C вiдповiдно.

1. Дано: b, ∠ A, ∠C.

Знайти: a, c, ∠ B.

2. Дано: a, b, ∠C.

Знайти: c, ∠ A, ∠ B.


b

A

ac

B

C

C

B

A b

Розв’язання

1. За теоремою про суму кутiв:

( )∠ = − ∠ + ∠B A C180 .

2. За теоремою синусiв:

a

A

b

B

c

Csin sin sin= = ⇒

⇒ =ab A

B

sin

sin, c

b C

B= sin

sin


1. За теоремою косинусiв:

c a b ab C= + −2 2 2 cos .

2. За наслiдком iз теореми коси�

нусiв: cos Ab c a

bc= + −2 2 2

2.

3. За теоремою про суму кутiв три�кутника: ( )∠ = − ∠ + ∠B A C180

3. Дано: a, b, c.

Знайти:

∠ A, ∠ B, ∠C.


1. За наслiдком iз теореми коси�нусiв:

cos Ab c a

bc= + −2 2 2

2, cos B

a c b

ac= + −2 2 2

2.

2) За теоремою про суму кутiв три�кутника: ( )∠ = − ∠ + ∠C A B180

4. Дано: a, b, ∠ A.

Знайти:

c, ∠ B, ∠C.



a

A

b

Bsin sin= ⇒ sin

sinB

b A

a=

!Якщо a b> , то B — гострий;

якщо a b< , то B може бути i гос�трим, i тупим.

2. За теоремою про суму кутiв три�кутника: ( )∠ = − ∠ + ∠C A B180 .


c

C

a

Ac

a C

Asin sin

sin

sin= ⇒ =


Виконання письмових вправ1. Розв’яжiть трикутник за стороною 10 см

i прилеглими до неї кутами 30° i 60°.2. Розв’яжiть трикутник (рис. 1) за стороною

a = 10 та двома кутами β = 45 , γ = 30 .3. Розв’яжiть трикутник (рис. 1), якщо a = 5,

b = 21, γ = 60 .4. Розв’яжiть трикутник (рис. 1), якщо a = 3 3, b = 2, c = 7.

Додаткова задача (на повторення)Двi сторони трикутника дорiвнюють 10 см i 12 см, а кут мiж

ними — 30°. Знайдiть площу трикутника.


bA

ac

B

C

C

B

A b

a

α

Рис. 1

γβ

a b


Контрольнi запитання1. Чи можна розв’язати трикутник: 1) за трьома сторонами; 2) за

трьома кутами; 3) за двома сторонами й кутом?2. Чи можна розв’язати рiвнобедрений трикутник: 1) за бiчною сто�

роною i кутом при основi; 2) за основою i протилежним кутом?

VІІІ. Домашнє завданняВивчити змiст схем розв’язування основних типiв задач (див.

конспект 7).Розв’язати задачi.

1. Розв’яжiть трикутник (рис. 1), якщо:1) a = 12, α = 40 , β = 64 ; 2) a = 3 2, b = 7, γ = 135 .

2. Розв’яжiть трикутник (рис. 1), якщо:1) a = 5, b = 21, c = 19; 2) a = 6, b = 8, α = 22 .Повторити спiввiдношення мiж сторонами i кутами в прямокут�

ному трикутнику, властивiсть бiсектриси трикутника.


Мета: працювати над засвоєнням учнями змiсту основних типiвзадач на розв’язування трикутникiв та формуванням навичок засто�совувати цi алгоритми пiд час розв’язування задач.

Тип уроку: застосування знань, засвоєння вмiнь та навичок.Наочнiсть та обладнання: конспект 7.

Хiд уроку




Учитель органiзує роботу з перевiрки домашнього завдання зазразком iз обов’язковим коментуванням учнями змiсту наданих учи�телем правильних розв’язань домашнiх задач. Пiсля виконання ро�боти за зразками учнi виконують корекцiю своїх розв’язань у робо�чих зошитах.


Пiсля перевiрки домашнього завдання (пiд час якої вiдбулосявиправлення припущених помилок) учнi мають усвiдомити, що ма�терiал, вивчений на попередньому уроцi, потребує закрiплення (у ра�


зi великої кiлькостi помилок) та вiдпрацювання на бiльш складнихзадачах (одну з таких задач можна запропонувати учням як при�клад). Тодi основна мета уроку є цiлком логiчним розвитком подiй.


Виконання усних вправЗнайдiть x.

V. Засвоєння вмiнь та навичок

Виконання письмових вправ1. Розв’яжiть рiвнобедрений трикутник за основою 6 см i кутом при

основi 15°.2. Розв’яжiть трикутник, якщо:

1) c = 3, γ = 30 , hb = 2; 2) a = 17, b = 5 2, ha = 5.

3. За даними рис. 1 знайдiть AD.4. На горi, схил якої знижується пiд кутом α

до горизонту, росте дерево (рис. 2). Його тiньдовжиною l падає вниз схилом при висотiсонця β. Знайдiть висоту дерева.Додаткова задача (на повторення)Знайдiть площу паралелограма з висотами

6 2 см i 8 см та гострим кутом 45°.Для закрiплення знань та вiдпрацювання навичок застосуван�ня алгоритмiв розв’язування чотирьох основних задач (див.конспект 7) пропонуємо учням виконати вправи середнього тадостатнього рiвнiв складностi як на пряме застосування ви�вчених алгоритмiв, так i на застосування їх у змiненiй ситу�ацiї (розв’язати трикутник за стороною, висотою i кутом; роз�в’язати трикутник, попередньо розв’язавши трикутник, щомає з першим спiльнi елементи, тощо).

VІ. Пiдсумки урокуКонтрольнi запитанняСкiльки розв’язкiв може мати задача на розв’язування трикутника:1) за трьома сторонами; 2) за двома сторонами й кутом, проти�лежним однiй iз них; 3) за стороною та двома кутами?


A

120°

B

CAC x=

2 3 x

C

B

60°A A

x

C

B

A

b

K

1 7 2 3 4

1

B C

3

K βα

75°

D

x

Рис. 1

Рис. 2

γC

B

βA

α

D

bc

βα

α


Повторити змiст алгоритмiв розв’язування основних типiв задач(див. конспект 7).

Розв’язати задачi.1. У трикутнику ABC ∠ =C 90 , ∠ =A 30 , BC = 2 см, AD — бiсектри�

са. Розв’яжiть трикутник ABD.2. За даними рисунка знайдiть sinD.3. Бiльша основа й бiчнi сторони рiвнобiчної

трапецiї дорiвнюють 10 см, а дiагональ тра�пецiї утворює з основою кут 50°. Знайдiтьсередню лiнiю трапецiї.Повторити спiввiдношення мiж сторонами й кутами в прямокут�

ному трикутнику, властивiсть бiсектриси трикутника, означення тавластивостi паралелограма, трапецiї та її видiв.

Урок № 11Застосування розв’язування трикутникiв у задачах

Мета: сформувати в учнiв уявлення про змiст алгоритму розв’я�зування задач на обчислення методом допомiжного трикутника.Сформувати вмiння виконувати дiї вiдповiдно до зазначеного алго�ритму обчислення невiдомих елементiв многокутникiв. Повторитивластивостi паралелограмiв та трапецiй.

Тип уроку: застосування знань, засвоєння вмiнь та навичок.

Наочнiсть та обладнання: конспект 7.

Хiд уроку




Один iз варiантiв проведення цього етапу — проведення само�стiйної роботи з метою перевiрки засвоєння учнями вивчених схему стандартних ситуацiях. Пропонується орiєнтовний текст самостiй�ної роботи.

Варiант 1

Знайдiть невiдомi елементи трикутника, якщо:

1) цей трикутник рiвнобедрений iз кутом при основi 30° i довжинайого основи дорiвнює 2 3 м;

2) у ньому до сторони довжиною 10 см прилеглi кути 45° i 30°;


γ C

B

βA

α

D

b

c

3) у ньому проти кута 30° лежить сторона довжиною 5см, а висо�та, проведена до однiєї з iнших сторiн, дорiвнює 3 см;4) у ньому вiдомi два кути 45° i 30°, а сума сторiн, що лежать про�ти цих кутiв, дорiвнює 14 см.Варiант 2Знайдiть невiдомi елементи трикутника, якщо:1) цей трикутник рiвнобедрений iз кутом при основi 30° i бiчноюстороною довжиною 2 м;2) у ньому сторони довжиною 10 см i 6 см утворюють кут 60°;3) у ньому двi сторони мають довжини 3 2 см i 7 см, а висота, про�ведена до меншої з цих сторiн, дорiвнює 3 см;4) двi сторони мають довжини 9 см i 19 см, а медiана, проведенадо третьої сторони, дорiвнює 11 см.(Кiлькiсть задач самостiйної роботи та ступiнь їх складностi вчи�

тель обирає вiдповiдно до рiвня математичної пiдготовки учнiв та дорiвня засвоєння ними знань i вмiнь iз зазначеної теми.)


На цьому етапi доречними будуть слова вчителя про те, що роз�в’язування трикутникiв є не тiльки метою вивчення роздiлу, алей одним iз допомiжних засобiв для розв’язування бiльш складних за�дач. Тому головна мета уроку полягає в ознайомленнi учнiв зi схе�мою розв’язання задач iз застосуванням розв’язування трикутникiв,а також в оволодiннi вмiннями виконувати зазначенi в схемi дiї (iззастосуванням набутих умiнь) пiд час розв’язування задач планi�метрiї.

(За певних обставин можна спочатку створити проблемну ситуа�цiю — запропонувати учням розв’язати одну iз задач на обчисленняелементiв трапецiї традицiйним способом — через прямокутнi три�кутники, як це робилось у 8 класi, а потiм уже, показавши перевагизастосування методу допомiжного трикутника, сформулювати метууроку.)


Виконання усних вправ1. Яку градусну мiру може мати кут при

вершинi рiвнобедреного трикутника, як�що бiчна сторона трикутника менша заоснову?

2. ABCD — трапецiя, AM MB= , MH CD| |(рис. 1). Доведiть, що CD MH= 2 .


Рис. 1DA

M

B C

H

3. ABCD — трапецiя, AB CD= . P, H, M — середини сторiн (рис. 2).Доведiть, що PH MH= .

4. ABCD — паралелограм, PABO = 21, PCBO = 24, PABCD = 38 (рис. 3).

Знайдiть AC i BD.

5. У трикутнику ABC BC = 2, AB = 1, sin∠ =ABC3

2(рис. 4). Знай�

дiть AC.


План вивчення нового матерiалу1. План розв’язання задач планiметрiї методом допомiжного три�

кутника.2. Прикладне значення розв’язання задач.

Цей урок є дуже важливим для формування певного «матема�тичного свiтогляду» учнiв, оскiльки на ньому вперше прямоставиться питання про те, що метричнi теореми, за допомогоюяких розв’язуються трикутники, є пiдґрунтям для розв’язанняне тiльки бiльш складних планiметричних задач (розв’язанняяких є елементом розв’язування стереометричних задач у 10–12 класах), але й основою розв’язання прикладних задач.Як свiдчить досвiд роботи, бiльшiсть труднощiв, якi виника�ють пiд час розв’язування геометричних задач, пов’язанi як�раз iз тим, що учнi, по�перше, не усвiдомлюють важливостiзнання тригонометрiї (а з нею i метричних теорем) для розв’я�зування трикутникiв, тому не придiляють вивченню цьогороздiлу належної уваги. А по�друге, навiть знаючи схеми роз�в’язання трикутникiв, не володiють прийомами застосуванняцих схем у нестандартних ситуацiях, тобто у задачах, в якихцi схеми не працюють прямо. Озброївши учнями «секретним»методом — методом допомiжного трикутника, ми надаємо їмпевних орiєнтирiв у розумовiй дiяльностi пiд час розв’язу�вання багатьох геометричних задач.

Стисло змiст навчального матерiалу має вигляд конспекту 8.


Рис. 2 Рис. 3 Рис. 4

CB

O

DADA

MB C

H 2 1

A

B

CP

Конспект 8

І. Схема застосування методу допомiжного трикутника

1. Видiлити на рисунку елемент фiгури (вiдрiзок або кут), який требазнайти (обчислити).

2. Видiлити на рисунку допомiжний трикутник (мiстить цей елемент),який може бути розв’язаний за даними задачi та за умови використаннявластивостей поданої в умовi фiгури (за необхiдностi таких трикутникiврозглядаємо декiлька; цi трикутники треба дiстати в результатi додатко�вої побудови).

3. Розв’язати видiлений(�нi) трикутник(�и) i знайти шуканий елемент.

ІІ. Застосування розв’язування трикутникiв до практичних задач

B — недоступна точка

Якщо в ΔABC (на мiсцевостi) ∠ A i ∠C — визна�

чаються, AC b= — вiдомо, тоAB

C

AC

Bsin sin= , де

( )∠ = − ∠ + ∠B A C180 , тодi

( )AB

AC C

A C= ⋅

+sin

sin. ( )(sin sin )B A C= + .

Зауваження. За такого розв’язання задачi поверхня земної кулi, обмеже�на AB, BC i AC, вважається пласкою.


Виконання письмових вправ1. Бiльша основа рiвнобiчної трапецiї дорiвнює 10 см, а менша осно�

ва — бiчнiй сторонi. Знайдiть периметр трапецiї, якщо один iз їїкутiв дорiвнює 110°.

2. Вершину пагорба з точки A видно пiд кутом α, а за наближення допагорба на вiдстань a — пiд кутом β. Знайдiть висоту пагорба.Додаткова задачаНа сторонi AB рiвностороннього трикутника ABC позначено точ�

ку P. Знайдiть радiус кола, описаного навколо трикутника ACP,якщо радiус кола, описаного навколо трикутника BCP, дорiвнює R.



Вивчити змiст схем дiй, описаних у конспектi 8.Розв’язати задачi.

1. Спостережна вишка заввишки 100 м розташована на горi (рис.).Об’єкт спостереження A видно з вершини вишки пiд кутом 60°,


A Cb

а вiд основи вишки — пiд кутом 30° до го�ризонту. Знайдiть висоту гори.

2. Основа рiвнобедреного трикутника дорiв�нює b, а кут при вершинi α. Знайдiть дов�жину бiсектриси, проведеної до бiчноїсторони.Повторити формули обчислення площ па�

ралелограма, трикутника; означення та влас�тивостi вписаного й описаного кiл; поняттякута мiж прямими (8,7 класи).

Урок № 12Площi трикутника i чотирикутника

Мета: працювати над засвоєнням учнями змiсту теореми про об�числення площi трикутника за двома сторонами i кутом мiж ними танаслiдкiв iз неї, а також схем їх доведення.

Сформувати первиннi вмiння вiдтворювати вивченi формули, за�стосовувати їх до розв’язування задач, що передбачають знаходжен�ня площi трикутника, прямокутника та паралелограма за вивчени�ми формулами.

Тип уроку: засвоєння знань, умiнь та навичок.

Наочнiсть та обладнання: конспект «Площi трикутника i чотири�кутника».

Хiд уроку




Учитель збирає зошити з виконаною домашньою роботою на пе�ревiрку. Для надання учням можливостi скоригувати знання тавмiння вчитель роздає правильнi розв’язання домашнiх задач для са�мостiйного опрацювання вдома.


Логiчним продовженням попереднiх урокiв (застосування мет�ричних теорем до розв’язування трикутникiв) є з’ясування можли�востi застосування вивчених теорем до знаходження не тiльки еле�ментiв многокутникiв, але й до обчислення їх площ.


A

60°

30°

10

0м

Н

Тому мета уроку визначається як вивчення питання про застосу�вання розв’язування трикутникiв до виведення нових формул обчис�лення площ трикутникiв та чотирикутникiв, а також формуваннявмiнь використовувати вивченi формули для розв’язування вiдпо�вiдних задач.



1. ΔABC — прямокутний, ∠ =C 90 . Знайдiть BC, AC, sinB, tgA,якщо AB = 10 см, cos ,A = 0 6.

2. У прямокутному трикутнику ABC (∠ =C 90 ) AC = 20, tgB = 2.Знайдiть BC, AB, sin A.



1. Теорема про формулу обчислення площi трикутника за двома сто�ронами й кутом мiж ними.

2. Наслiдки з теореми:

1) формула обчислення площi паралелограма через двi сумiжнiсторони й кут мiж ними;

2) формула обчислення площi чотирикутника за дiагоналямий кутом мiж ними;

3) формула обчислення площi прямокутника й квадрата черездiагоналi й кут мiж ними.

Мiсце та форма подання навчального матерiалу уроку суттєвовiдрiзняється вiд того, як це робилося за програмою для11�рiчної школи. Якщо ранiше спочатку розглядалася форму�ла площi паралелограма через сумiжнi сторони та кут мiжними, а формула площi трикутника за двома сторонами й ку�том мiж ними вивчалась як наслiдок цiєї формули, то за но�вою програмою порядок вивчення матерiалу такий — форму�ла площi трикутника за двома сторонами й кутом мiж нимиформулюється як теорема, на основi якої як наслiдки цiєї тео�реми виводяться формули для обчислення площ паралелогра�ма, чотирикутника й прямокутника (через тригонометричнiфункцiї кутiв мiж сторонами або мiж дiагоналями).Пiд час формування знань учнiв учителю слiд зробити акцентна таких моментах:

формула площi трикутника через синус кута працює для будь�яко�го кута довiльного трикутника (для прямокутного вона набуває


виду Sab=2

, де a, b — катети трикутника), проте потребує точного

вiдтворення i запису (пiсля доведення теореми можна запропонува�ти записати учням цю формулу для будь�якого кута трикутника);вивченi формули можуть бути використанi не тiльки для обчислен�ня площ, але й для знаходження будь�якого з елементiв фiгури, за�писаних у нiй.Стисло змiст навчального матерiалу учням можна подати у ви�


Конспект 9

Площi трикутника i чотирикутника

1. Площа трикутника S ab C= =1

2sin

= =1

2

1

2bc A ac Bsin sin .

2. Площа чотирикутника S d d= 1

2 1 2 sinϕ

(ϕ — кут мiж дiагоналями).

3. Площа прямокутникаS

d=2

2

sinϕ.

4. Площа квадратаS

d=2

2.

5. Площа ромба Sd d= 1 2

2.


Виконання письмових вправ1. Знайдiть площу трикутника ABC, якщо:

1) AB = 10, BC = 12, ∠ =B 30 ; 2) AB AC= = 6, ∠ =A 120 ;3) AC = 5 2, BC = 8, ∠ =A 100 , ∠ =B 35 .


CB

d1

D

A

d2ϕ

a b

AcB

C

dA D

B C

ϕ

d

D

CB

A

A

B

D

Cd2

d1

2. Знайдiть площу:

1) прямокутного трикутника з катетом 6 3 см i прилеглим кутом 60°;

2) паралелограма зi сторонами 4 см i 4 3 см та кутом 60°;

3) прямокутника з дiагоналлю 12 см i кутом мiж дiагоналями 30°.3. Площа трикутника ABC дорiвнює 20 см2. Знайдiть сторону BC,

якщо AC = 5 2 см, ∠ =C 45 .

Додаткова задачаЗнайдiть площу:

1) рiвнобедреного трикутника з основою 8 3 см, найменший зо�внiшнiй кут якого дорiвнює 60°;2) паралелограма з кутом 30°, якщо бісектриса цього кута дiлитьсторону на вiдрiзки 11 см i 5 см, починаючи вiд вершини проти�лежного кута;3) прямокутника, дiагональ якого дорiвнює 10 см i утворює зiстороною кут 75°.

З метою засвоєння вивчених на уроцi формул учнi мають роз�в’язати як задачi на пряме застосування формул, так i обер�ненi задачi (знайти сторони й кути трикутникiв та паралелог�рамiв, якщо вiдомо їх площу), а також задачi на застосуваннядодаткових вiдомостей про трикутники та паралелограми.


Контрольнi запитання1. Двi сторони трикутника дорiвнюють 5 см i 6 см. Чи може площа

цього трикутника дорiвнювати 10 см2; 15 см2; 30 см2?2. Серед усiх паралелограмiв iз заданими сторонами a i b визначте

той, площа якого найбiльша. Вiдповiдь обґрунтуйте.


Вивчити формули (див. конспект 9).Розв’язати задачi.

1. Знайдiть площу: 1) рiвнобедреного трикутника з бiчною стороною10 см i кутом при основi 75°; 2) ромба з периметром 16 2 см i ку�том 135°; 3) квадрата з дiагоналлю 6 см.

2. Кут при вершинi рiвнобедреного трикутника дорiвнює 30°. Знай�дiть бiчну сторону трикутника, якщо його площа дорiвнює 36 м2.

3. Знайдiть площу ромба з периметром 80 см i вiдношенням кутiв 1:5.Повторити основнi тригонометричнi тотожностi; поняття вписа�

ного й описаного кiл та їх властивостi.


Урок № 13Формула Герона. Формули радiусiв вписаногой описаного кiл трикутника

Мета: працювати над засвоєнням учнями змiсту теореми, що ви�ражає формулу Герона, та схеми її доведення; домогтися засвоєнняучнями змiсту та схеми доведення теореми, що виражає формулирадiусiв вписаного та описаного кiл трикутника.

Сформувати первиннi вмiння вiдтворювати виведенi формули, за�писувати їх вiдповiдно до умов практичних задач, розв’язувати за�дачi на обчислення з використанням цих формул.

Тип уроку: засвоєння знань, умiнь та навичок.Наочнiсть та обладнання: конспект «Формула Герона».

Хiд уроку




Учитель органiзує самостiйну роботу учнiв iз перевiрки правиль�ностi розв’язання домашнiх задач за зразками. Найбiльш складнiмiсця письмового домашнього завдання коментуються.

З метою перевiрки засвоєння учнями змiсту теореми про формулуплощi трикутника через двi сторони та кут мiж ними та її наслiдкiв,можна провести математичний диктант.

Математичний диктант1. Знайдiть площу рiвнобедреного трикутника, бiчна сторона якого

дорiвнює 12 см, а кут при основi — 75°.2. Площа паралелограма ABCD дорiвнює 36 см2. AD = 12 см,

∠ =BAD 30 . Знайдiть довжину сторони AB.3. Сторони ромба i квадрата дорiвнюють a, гострий кут ромба — 30°.

У скiльки разiв площа ромба менша, нiж площа квадрата?4. Площа трикутника ABC дорiвнює 22 см2. Знайдiть кут A, якщо

AB = 8 см, AC = 11см.


Як i на попередньому уроцi, вчитель нагадує учням, що основноюметою вивчення першого роздiлу є розгляд питання про застосуванняметричних теорем у трикутнику до розв’язування планiметричних за�дач, зокрема до обчислення площ трикутникiв та чотирикутникiв.Учитель повiдомляє, що й на цьому уроцi продовжуватиметься робота


iз вивчення можливостей застосування метричних теорем до обчис�лення площ трикутникiв.


Виконання усних вправЗ метою успiшного засвоєння учнями змiсту нового матерiалу не�

обхiдно активiзувати їх знання про:змiст поняття кола, вписаного в трикутник (означення, власти�востi, розташування центра та властивостi радiуса, проведеногов точку дотику кола до сторони трикутника);формулу площi трикутника (через сторону та висоту, проведену доцiєї сторони);повне формулювання теореми синусiв;теорему косинусiв та наслiдкiв iз неї;основнi тригонометричнi тотожностi;формулу площi трикутника через двi сторони та кут мiж ними.


План вивчення нового матерiалу1. Теорема (формула Герона для обчислення площi трикутника за

трьома сторонами).2. Формули радiусiв вписаного та описаного кiл трикутника.

На вiдмiну вiд попереднього уроку, доведення формул (див.план вивчення нового матерiалу) на цьому уроцi проводитьсяза традицiйною схемою:

формула Герона доводиться з використанням формули площi три�кутника через двi сторони та кут мiж ними й наслiдку з теоремикосинусiв (вираження косинуса кута трикутника через його сторо�ни), а також iз застосуванням основної тригонометричної тотож�ностi (sin cos2 2 1α α+ = );формула радiуса вписаного кола доводиться з використанням фор�мули площi трикутника через сторону та проведену до неї висоту;формула радiуса описаного кола трикутника є прямим наслiдкомтеореми синусiв та формули площi трикутника через двi сторони такут мiж ними.За умови перевантаження високого та достатнього рiвнiв знань

учнiв вивчення нового матерiалу можна провести як самостiйну ро�боту учнiв iз текстом пiдручника (за алгоритмом). Слiд зауважити,що на уроцi бажано розглянути окремi випадки формул для обчис�лення радiусiв вписаного та описаного кiл прямокутного трикутни�ка, рiвностороннього трикутника.



Конспект 10

1. Формула Герона Якщо a, b, c — сторони трикут�

ника, pa b c= + +

2— пiвпери�

метр трикутника, то площа

( )( )( )S p p a p b p c= − − − .

2. Радiус кола,вписаногоу трикутник

Якщо a, b, c — сторони трикут�

ника, pa b c= + +

2— його пiвпе�

риметр, r — радiус вписаного

кола, то rS

p= , де S — площа.

3. Радiус кола,описаногонавколотрикутника

Якщо a, b, c — сторони трикут�ника, R — радiус описаногокола, S — площа трикутника,

то Rabc

S=

4.


Виконання письмових вправ1. Знайдiть площу трикутника зi сторонами:

1) 13, 14 i 15; 2) 15, 26 i 37.2. Сторони паралелограма дорiвнюють 25 см i 29 см, а одна з дiаго�

налей — 36 см. Знайдiть площу паралелограма.3. Знайдiть радiуси вписаного й описаного кiл:

1) рiвнобедреного трикутника з основою 12 см, якщо медiана,проведена до основи, дорiвнює 8 см;2) трикутника зi сторонами 7 см, 15 см i 20 см.

4. Знайдiть найбiльшу висоту i радiус вписаного кола для трикутни�ка зi сторонами 4, 13 i 15.

5. Периметр рiвнобедреного трикутника дорiвнює 64 см, а бiчна сто�рона вiдноситься до основи як 5:6. Знайдiть радiуси вписаногой описаного кiл трикутника.Додаткова задача (на повторення)Точка O — центр кола, описаного навколо рiвностороннього три�

кутника ABC. Знайдiть: 1) кути AOB, BOC i AOC; 2) радiус кола,якщо AB = 4 3 см.


a b

AcB

C

a

bA

c

B

C

Or

C

B

c

A b

a

RO


Контрольнi запитання1. Чи може у формулi Герона хоча б одна з рiзниць p a− , p b− або p c−

бути вiд’ємною? Вiдповiдь обґрунтуйте.2. Два трикутники описано навколо одного кола. Вiдомо, що пери�

метр першого трикутника менший, нiж периметр другого. Якийiз цих трикутникiв має бiльшу площу?


Вивчити змiст схем розв’язування основних видiв задач (див.конспект 10).

Розв’язати задачi.1. Знайдiть площу трикутника зi сторонами 5, 5 i 6 двома способами.2. Знайдiть радiуси вписаного й описаного кiл трикутника зi сторо�

нами 16, 25 i 39.3. Знайдiть площу трикутника зi сторонами 6 3 см, 4 см i 14 см.4. Знайдiть найменшу висоту й радiус описаного кола для трикутни�

ка зi сторонами: 1) 10, 17 i 21; 2) 20, 34 i 42.Повторити формули площi трикутника та чотирикутникiв, мет�

ричнi теореми.


Мета: продовжувати роботу над засвоєнням учнями змiсту фор�мул площ трикутника та чотирикутникiв, формул радiусiв вписано�го та описаного кiл трикутника.

Сформувати вмiння та навички використовувати вивченi форму�ли для розв’язування задач на обчислення площ трикутникiв та чо�тирикутникiв, знаходження невiдомих елементiв трикутникiв черезйого площу.

Тип уроку: застосування знань, умiнь та навичок.Наочнiсть та обладнання: конспекти 9, 10.

Хiд уроку




Перевiрку правильностi виконання письмових вправ домашньо�го завдання проводимо за готовими стислими записами розв’язань.


Записи можуть виконати на дошцi декiлька учнiв iз високим рiвнемнавчальних досягнень, або вчитель запропонує їх у формi роздаваль�ного матерiалу для iндивiдуальної роботи учнiв.

Перевiрку засвоєння учнями змiсту формул, вивчених на попе�реднiх уроках, можна провести за допомогою тестової роботи за тео�ретичним матерiалом. Якiсть виконання тестових завдань перевi�ряється одразу пiсля виконання роботи; за необхiдностi проводитьсякорекцiя знань.

Тестовi завдання

Варiант 1У завданнях 1–2 знайдiть i вкажiть усi правильнi вiдповiдi на за�

питання.1. Яка з наведених формул не є формулою для обчислення площi


А) S aha= 1

2; Б) ( )( )( )S p p a p b p c= − − − ; В) S pr= ; Г) S ab= sinα.

2. Яка з наведених формул не є формулою для обчислення площi па�ралелограма?

А) Sd d

= 1 2

2

sinϕ; Б) S

abc

R=

4; В) S aha= ; Г) S ab= sinα.

Варiант 2У завданнях 1–2 знайдiть i вкажiть правильнi вiдповiдi на запи�

тання.1. Яка з наведених формул не є формулою для обчислення площi


А) S aha= ; Б) ( )( )( )S p p a p b p c= − − − ; В) S pr= ; Г) S bc= 1

2sinα.

2. Яка з наведених формул не є формулою для обчислення площi па�ралелограма?

А) Sd d

= 1 2

2

sinϕ; Б) S aha= ; В) S abcd= ; Г) S ab= sinα.


Головна мета уроку зумовлена його мiсцем у роздiлi й полягаєв тому, щоб, закрiпивши знання учнiв про формули обчисленняплощ трикутникiв та чотирикутникiв, формул для обчислення радi�усiв вписаного та описаного кiл трикутника, сформувати сталiвмiння та навички застосовувати цi формули до розв’язування планi�метричних задач.


ІV. Вiдтворення та систематизацiя опорних знань та вмiнь

Учням пропонується самостiйно повторити змiст матерiалу, ви�вченого на двох попереднiх уроках за конспектами 9, 10.

V. Формування навичок

Виконання усних вправ1. Знайдiть площу прямокутника ABCD, якщо AO = 4, ∠ =AOD 150 ,

де O — точка перетину дiагоналей прямокутника.2. Знайдiть площу паралелограма ABCD, якщо AB = 3, AD = 6,

∠ =ABC 150 .3. Знайдiть площу паралелограма ABCD, якщо AO = 4, BO = 3,

∠ =AOB 45 , де O — точка перетину дiагоналей паралелограма.4. Знайдiть кут ADC паралелограма АBCD, якщо AB = 2, BC = 3,

SABCD = 3.5. Знайдiть площу прямокутного трикутника ABC (∠ =C 90 ), як�

що довжина медiани, що проведена до гiпотенузи, дорiвнює 4,а ∠ =CAB 75 .

6. Знайдiть площу прямокутного трикутника. Якщо радiус вписано�го кола дорiвнює 4 см, а радiус описаного кола — 13 см.

7. Площа прямокутного трикутника ABCдорiвнює 120 см2, причому

AB AC BC: : : := 5 12 13.

Знайдiть радiус кола, вписаного у три�кутник ABC.

8. Знайдiть площу трикутника ABC, якщоAC = 30, BP = 12, AP = 14(див. рис.).


1. Основи трапецiї дорiвнюють 3 см i 11 см, а дiагоналi — 13 смi 15 см. Знайдiть площу трапецiї.

2. Точка дотику вписаного кола дiлить бiчну сторону рiвнобiчноїтрапецiї на вiдрiзки з довжинами 9 см i 16 см. Знайдiть радiускола i площу трапецiї.

Додаткова задачаТочка O — центр кола, описаного навколо рiвностороннього три�

кутника ABC. Знайдiть: 1) кути AOB, BOC i AOC; 2) радiус кола,якщо сторона трикутника дорiвнює 4 3 см.

Вправи для письмового виконання, якi запропонованi учнямна уроцi, передбачають як вiльне володiння формулами,так i вмiння їх застосовувати в рiзних стандартних ситуацiях,


A

P

B C

O

а також потребують умiнь володiти методом додаткового три�кутника. Тому перед розв’язуванням задач достатнього i висо�кого рiвнiв бажано придiлити увагу виконанню усних вправ(див вище).


Тестове завданняУ завданнях 1–2 випишiть усi правильнi варiанти вiдповiдi.

1. Яку iз записаних нижче формул можна використати для обчис�лення площi:прямокутного трикутника;рiвностороннього трикутника;довiльного трикутника?

2. Яку iз записаних нижче формул можна використати для обчис�лення площi:паралелограма;ромба;квадрата;прямокутника?

1) S a= 2 ; 2) S d= 1

22 sinϕ; 3) S

a=2 3

4; 4) S

ab=2

; 5) S pr= ;

6) ( )S r R r= +2 ; 7) S abcd= ; 8) S d d= 1

2 1 2 sinϕ; 9) S ab= 1

2sinγ;

10) ( )( )( )( )S p a p b p c p d= − − − − ; 11) Sa b

h= +2

; 12) S a= 2 sinα;

13) Sabc

R=

4; 14) S

d=2

2.


Повторити за конспектом i пiдручником теореми та формули, щовивчалися в цьому роздiлi.



1. Знайдiть площу трикутника ABC, якщо AB = 5, BC = 6, sin ,B = 0 5.2. Знайдiть площу рiвнобедреного трикутника з бiчною стороною

6 см i кутом при основi трикутника 75°.3. Знайдiть найбiльшу висоту й радiус описаного кола трикутника зi

сторонами 4, 13 i 15 см.


4. Периметр рiвнобедреного трикутника дорiвнює 32 см, а бiчна сто�рона вiдноситься до основи як 5:6. Знайдiть радiуси вписаногой описаного кiл трикутника.Варiант 2

1. Знайдiть площу трикутника ABC, якщо AB AC= = 6, sin ,A = 0 3.2. Знайдiть площу прямокутного трикутника з катетом 6 см i при�

леглим кутом 60°.3. Знайдiть найменшу висоту й радiус описаного кола трикутника зi

сторонами 10, 17 i 21 см.4. Точка дотику кола, вписаного в рiвнобедрений трикутник, дiлить

його бiчну сторону на вiдрiзки довжиною 2 см i 3 см, рахуючи вiдвершини, що лежить проти основи. Знайдiть радiуси вписаногой описаного кiл трикутника.

Урок № 15Пiдсумковий урок

Мета: повторити, систематизувати та узагальнити знання учнiвщодо:

означення тригонометричних функцiй кутiв вiд 0° до 180°;змiсту теорем косинусiв, синусiв та їх наслiдкiв;схем розв’язування трикутникiв;формул для обчислення площi трикутника iз застосуванням триго�нометричних функцiй.Систематизувати вмiння та навички учнiв застосовувати набутi

знання до розв’язування задач, передбачених програмою.Тип уроку: узагальнення та систематизацiя знань, умiнь та навичок.Наочнiсть та обладнання: конспекти 1–10.

Хiд уроку



Зiбрати зошити з виконаною домашньою самостiйною роботою.За необхiдностi правильнi розв’язання роздати учням для самостiй�ного опрацювання вдома.


Основна дидактична мета та завдання на урок цiлком логiчно ви�пливають iз його мiсця в темi. Оскiльки урок є останнiм, пiдсумковим,то увага придiляється повторенню, узагальненню та систематизацiї


знань та вмiнь, набутих учнями пiд час вивчення теми «Розв’язуван�ня трикутникiв». Таке формулювання мети створює вiдповiдну моти�вацiю дiяльностi учнiв.

ІV. Повторення та систематизацiя знань

Залежно вiд рiвня пiдготовленостi учнiв, учитель може орга�нiзувати їхню роботу рiзними способами: або як самостiйнуроботу з теоретичним матерiалом (наприклад, за пiдручни�ком), або за конспектами повторити змiст основних понятьтеми, або ж скласти схему, що вiдображає логiчний зв’язокмiж основними поняттями теми, тощо. Можна провести тра�дицiйне опитування (у формi iнтерактивної вправи) за основ�ними питаннями теми або за контрольними запитаннями дороздiлу І.

V. Повторення та систематизацiя вмiнь

Зазвичай цей етап уроку проводиться у формi групової робо�ти, мета якої полягає в тому, щоб учнi самi сформулювали тавипробували узагальнену схему дiй, якої вони мають дотри�муватися пiд час розв’язування типових задач, подiбнi дояких будуть винесенi на контроль.Перед виконанням практичного завдання проводиться роботаз видiлення основних видiв задач на застосування вивчениху темi понять. Такими видами можуть бути задачi на:

застосування означення тригонометричних функцiй кутiв вiд 0 до180 та тригонометричних тотожностей;

застосування теорем синусiв та косинусiв i наслiдкiв iз них до зна�ходження невiдомих елементiв трикутника;

застосування розв’язування трикутникiв;

обчислення площ трикутникiв та чотирикутникiв iз застосуван�ням тригонометричних функцiй.

Пiсля формування списку основних видiв задач учитель об’єднуєучнiв у робочi групи (за кiлькiстю видiв завдань) i формулює завданнякожної групи: «Скласти план розв’язання задачi…» (групи отримуютьiндивiдуальне завдання). На складання плану вiдводиться певний час,за який учасники групи мають обговорити план розв’язання, записа�ти його у виглядi послiдовних крокiв, реалiзувати та пiдготувати пре�зентацiю своєї роботи. Пiсля закiнчення вiдбувається презентацiя ви�конаної роботи кожною групою, а далi — обов’язкове обговоренняскладених планiв. Учитель або учнi (iнших груп) пропонують змiнити


яку�небудь iз даних величин i пояснити, як змiниться розв’язання за�дачi. Пiсля обговорення — обов’язкова корекцiя.

VІ. Пiдсумки урокуПiдсумком цього уроку є, по�перше, складенi самими учнями

узагальненi схеми дiй пiд час розв’язування типових задач, по�дру�ге — здiйснення учнями необхiдної частини свiдомої розумовоїдiяльностi — рефлексiї — вiдображення кожним учнем сприйняттясвоїх успiхiв, та найголовнiше — проблем, над якими слiд ще попра�цювати перед контрольною роботою.

VІІ. Домашнє завданняПовторити змiст понять теми «Розв’язування трикутникiв».Вивчити складенi на уроцi схеми дiй.Використовуючи складенi схеми, розв’язати задачi домашньої

контрольної роботи № 1.

Домашня контрольна робота1. У трикутнику ABC AB = 8 м, BС = 15 м, ∠ =B 60 . Знайдiть пери�

метр i площу трикутника.2. У трикутнику DEF DE = 4 см, ∠ =D 30 , ∠ =E 120 . Знайдiть невi�

домi сторони трикутника i радiус кола, описаного навколо нього.3. Дано трикутник зi сторонами 13, 20 i 21.

а) Доведiть, що трикутник гострокутний.б) Знайдiть площу трикутника.в) Знайдiть найменшу висоту трикутника.

4. Сторони паралелограма дорiвнюють 8 2 см i 2 см та утворюютькут 45°. Знайдiть меншу дiагональ i площу паралелограма.

5. Основа рiвнобедреного трикутника дорiвнює 24 см, а проведена донеї висота — 16 см. Знайдiть радiус кола, вписаного в трикутник.

6. Дiагональ, бiчна сторона i бiльша основа рiвнобедреної трапецiїдорiвнюють вiдповiдно 40 см, 13 см i 51 см. Знайдiть радiус кола,описаного навколо трапецiї.

Урок № 16Розв’язування трикутникiв.Тематична контрольна робота № 1

Мета: перевiрити рiвень засвоєння учнями знань щодо змiстуосновних понять теми; якiсть сформованих умiнь розв’язувати три�кутники за вивченими алгоритмами, використовувати формули длязнаходження площi трикутника (формула Герона, формули обчис�лення площi трикутника за двома сторонами i кутом мiж ними, за


радiусом вписаного й описаного кiл), для розв’язування стандартнихi нестандартних задач.

Тип уроку: контроль та корекцiя знань та вмiнь.

Хiд уроку



Зiбрати зошити iз виконаною домашньою контрольною роботою(роботу перевiрити та врахувати пiд час виставлення тематичногобала).


Учитель наголошує, що метою контрольної роботи є демонстра�цiя учнями своїх навчальних досягнень, тобто знань змiсту основнихпонять теми та навичок володiння прийомами їх застосування пiдчас розв’язування програмових задач.

ІV. Умова тематичної контрольної роботи № 1

Контрольна робота № 1Варiант 1

1. Обчислiть синус, косинус i тангенс кута 150°.2. У трикутнику ABC AB = 10 см, BC = 6 см, ∠ =B 60 . Знайдiть AC.

3. Вiдомо, що cosα = − 12

13, 0 180< <α . Знайдiть sinα, tgα, ctgα.

4. У трикутнику MNP MN = 3 см, ∠ =P 50 , ∠ =M 62 . Знайдiть усiневiдомi елементи та площу трикутника MNP.

5. Одна зi сторiн трикутника дорiвнює 14 см, рiзниця двох iншихсторiн — 10 см, а кут мiж цими сторонами дорiвнює 60°. Обчис�лiть периметр трикутника та радiус описаного кола.

6. Обчислiть радiус кола, описаного навколо рiвнобiчної трапецiї,бiчна сторона якої дорiвнює 13 см, дiагональ — 14 см, бiльшаоснова — 15 см.Варiант 2

1. Обчислiть синус, косинус i тангенс кута 120°.2. У трикутнику MNР вiдомо, що MN = 12 см, NP = 14 см, ∠ =PNM

= 45 . Знайдiть сторону MP.

3. Вiдомо, що sinα = 5

13i 90 180< <α . Знайдiть cosα, α, α.

4. У трикутнику ABC AC = 5 см, ∠ =A 35 , ∠ =C 70 . Знайдiть усiневiдомi елементи та площу трикутника ABC.


5. Одна зi сторiн трикутника дорiвнює 14 см, рiзниця двох iншихсторiн — 4 см, а кут мiж ними дорiвнює 120°. Обчислiть периметрцього трикутника та радiус описаного кола.

6. Обчислiть радiус описаного навколо рiвнобiчної трапецiї кола,якщо тупий кут трапецiї дорiвнює 120°, а дiагональ є бiсектрисоюгострого кута й дорiвнює 3 3 см.

V. Пiдсумки уроку

Як варiант проведення цього етапу уроку можна запропонувати(пiсля виконання роботи) оголошення правильних вiдповiдей дозавдань, виконаних учнями, або роздати учням для опрацюваннявдома (домашнiй аналiз контрольної роботи) копiї правильних роз�в’язань завдань контрольної роботи № 1 (заготовлених учителем за�здалегiдь).

VІ. Домашнє завдання

Виконати аналiз контрольної роботи (за розданими розв’язан�нями).

Повторити змiст понять: вписане й описане кола трикутника, впи�санi й описанi многокутники, вписанi кути.


ТЕМА 2. ПРАВИЛЬНI МНОГОКУТНИКИ

Урок № 17Означення правильного многокутника. Існуваннявписаного й описаного кiл

Мета: сформувати в учнiв поняття правильного многокутника;працювати над засвоєнням змiсту означення правильного многокут�ника, центра правильного многокутника, а також формули для об�числення кута правильного многокутника, означення центральногокута правильного многокутника, теореми про вписане й описанекола. Повторити й систематизувати вивченi ранiше вiдомостi прозмiст понять опуклий многокутник, елементи многокутника, тео�рему про суму кутiв опуклого многокутника, а також вписане й опи�сане кола многокутника та їх властивостi.

Сформувати первиннi вмiння вiдтворювати вивченi поняття татвердження теорем, записувати їх вiдповiдно до умов практичних за�дач, а також розв’язувати задачi на обчислення з використаннямвивчених спiввiдношень.


Наочнiсть та обладнання: конспект «Правильний многокутник».

Хiд уроку




Учитель проводить бесiду, в ходi якої має з’ясувати результатипроведеного учнями вдома аналiзу контрольної роботи (наприклад,кiлькiсть учнiв, що потребують додаткового опрацювання вивченогоранiше матерiалу, теми, на якi слiд звернути увагу надалi, тощо).


Оскiльки на цьому уроцi починається вивчення нової теми «Пра�вильнi многокутники», то необхiдно учням надати iнформацiю про:

орiєнтовний план вивчення теми;

кiлькiсть навчальних годин;

приблизний змiст матерiалу, що вивчатиметься;


основнi вимоги до знань та вмiнь учнiв;приблизний змiст завдань, що будуть винесенi на контрольну роботу.Доречним також є проведення бесiди з метою нагадати учням про

те, що серед геометричних фiгур, якi вони вивчали впродовж попе�реднiх двох рокiв геометрiї, є не тiльки трикутники, але й многокут�ники та кола. Хоча учнi мають певне уявлення про змiст означень тавластивостей цих фiгур, проте цього недостатньо. Отже, мета вивчен�ня теми – ознайомити учнiв iз поняттям правильного многокутника,дослiдити його властивостi, показати зв’язок мiж правильними мно�гокутниками та колами.

З метою свiдомого сприйнят�тя нового поняття вчитель про�понує учням виконати несклад�ну логiчну вправу.

Логiчна вправа. Який рису�нок пропущено?

Пiсля обговорення завдання вчитель може навести коротку iсто�ричну довiдку про зацiкавленiсть правильними многокутниками.Таким чином, учнi усвiдомлюють необхiднiсть вивчення основнихпонять, пов’язаних iз правильними многокутниками.


З метою успiшного засвоєння учнями змiсту нового матерiалууроку необхiдно активiзувати їх знання та вмiння про:

означення опуклого многокутника, його елементи, теорему просуму кутiв опуклого многокутника (див. 8 клас), а також теоремупро суму зовнiшнiх кутiв опуклого многокутника, взятих по одно�му при кожнiй вершинi (8 клас);

ознаки рiвнобедреного трикутника та ознак рiвностi трикутникiв(див. 7 клас);

змiст поняття кола, вписаного в многокутник (означення, власти�востi, розташування центра та властивостi радiуса, проведеногов точку дотику кола до сторони трикутника) та кола, описаного на�вколо многокутника, а також вписаного i описаного многокутника(8 клас).


1. Знайдiть суму внутрiшнiх кутiв: 1) трикутника; 2) чотирикутни�ка; 3) шестикутника; 4) десятикутника.

2. У многокутнику всi кути рiвнi. Знайдiть кiлькiсть кутiв много�кутника, якщо зовнiшнiй кут дорiвнює 30°.


3 4 660 90 120

?

3. Яка точка є центром кола, описаного навколо прямокутника?4. Чи можна вписати коло в ромб? Якщо вiдповiдь позитивна, то

вкажiть, де знаходиться центр цього кола?5. Чи можна вписати коло в чотирикутник ABCD, якщо AB = 6,

BC = 8, CD = 7, AD = 5?


План вивчення нового матерiалу1. Означення правильного (опуклого) многокутника. Периметр пра�

вильного многокутника.2. Градусна мiра кута правильного многокутника.3. Теорема про вписане й описане кола правильного многокутника.4. Означення центра многокутника.5. Центральний кут многокутника.

На вiдмiну вiд попередньої програми з математики, програмадля дванадцятирiчної школи передбачає, що на початок ви�вчення теми «Правильнi многокутники» учнi вже вивчилизмiст деяких понять, якi пов’язанi з поняттям многокутника(означення многокутника, його елементи, теорема про сумукутiв опуклого многокутника, а також поняття многокутникавписаного й описаного навколо кола). Перед вивченням ново�го поняття «правильнi многокутники» учнi мають активiзу�вати цi знання (цьому сприятиме виконання вiдповiднихусних вправ).

Змiст навчального матерiалу, що пропонується для вивчення науроцi є майже традицiйним i включає в себе означення правильнихмногокутникiв, теорему про вписане й описане кола многокутника,а також означення центра та центрального кута правильного много�кутника. Вiдповiдно до нової програми доведено формулу для обчис�лення внутрiшнього кута правильного многокутника та центрально�го кута правильного многокутника. Автор пропонує до цих формулдодати ще формулу зовнiшнього кута правильного многокутника таформулу для обчислення периметра правильного многокутника(формули для обчислення кутiв правильного многокутника в пiдруч�никах за програмою 11�рiчного навчання не виводили, їх у неявномувиглядi використовували пiд час розв’язування задач). Проте слiдзазначити, що на вiдмiну вiд попереднiх рокiв, коли цей матерiалвивчали протягом двох начальних годин, за чинною програмою йогослiд опанувати протягом однiєї години. Отже, на уроцi учням не�обхiдно засвоїти великий обсяг нового матерiалу. З метою ефектив�ного використання та економiї часу можна органiзувати самостiйну


роботу учнiв iз вивчення теми за пiдручником (учитель записує планзаздалегiдь на дошцi). Можна запропонувати учням «випереджальнедомашнє завдання». Напередоднi уроку учнi вдома читають змiствiдповiдного параграфа та виписують новi поняття, а на уроцi даютьпояснення щодо змiсту цих понять.


Конспект 11

1.

правильний трикутник

правильний чотирикутник

2.

Опуклий многокутник, у якому всi сторо�ни i всi кути рiвнi, називається правиль�ним многокутником.

P ann = , де P — периметр, a — сторонаправильного n �кутника.

Внутрiшнiй кут α n правильного n �кутни�ка.

α n

n

n= − ⋅2

180 .

Зовнiшнiй кут βn правильного n �кутника

βn n= 360

.


Виконання усних вправ1. Чи є правильним многокутником рiвнобедрений прямокутний

трикутник; ромб iз кутом 60°; прямокутник iз нерiвними сторона�ми? Чому?

2. Чи правильно, що:а) якщо в трикутнику всi кути рiвнi, то вiн є правильним;б) якщо в чотирикутнику всi кути рiвнi, то вiн є правильним?

3. Сума кутiв правильного многокутника дорiвнює 180°. Яка градус�на мiра кута цього многокутника?

4. Скiльки кутiв має правильний многокутник, у якому:а) радiус описаного кола удвiчi бiльший за радiус вписаного кола;б) радiус описаного кола дорiвнює сторонi?

Виконання письмових вправ1. Визначте кiлькiсть сторiн правильного многокутника, централь�

ний кут якого дорiвнює: 1) 90°; 2) 72°; 3) 20°.


α

β

2. Знайдiть кути правильного n �кутника, якщо:1) n = 5; 2) n = 6; 3) n = 10.

3. Доведiть, що зовнiшнiй кут правильного шестикутника дорiвнюєйого центральному куту.

4. Визначте кiлькiсть сторiн правильного многокутника, кути якогодорiвнюють: 1) 120°; 2) 108°; 3) 150°.

5. Доведiть, що вершини правильного 2n�кутника, взятi через одну,є вершинами правильного n�кутника.Додаткова задачаДоведiть, що дiагональ правильного п’ятикутника паралельна

однiй iз його сторiн.Вправи, що запланованi для виконання, мають на метi сприяти

розумiнню учнями змiсту нових понять (див. уснi вправи), а такожформуванню оперативних умiнь роботи з формулами кута правиль�ного многокутника, зовнiшнього кута правильного многокутника тацентрального кута правильного многокутника (див. письмовi впра�ви). Пiд час письмового розв’язування задач вiд учнiв слiд вимагатизапису вiдповiдної формули, на основi якої складається рiвняння заумовою задачi. Крiм задач на пряме застосування понять, також ба�жано розв’язати задачу 5 i додаткову задачу. Додаткова задача вима�гає нестандартного пiдходу до застосування поняття правильногомногокутника та вiльного володiння ранiше вивченим матерiалом(поняття дiагоналi многокутника, властивiсть кутiв правильногомногокутника та ознаки паралельностi прямих). Задача 5 так самовимагає вiд учнiв володiння матерiалом, вивченим у попереднiх кла�сах, а також розумiння означення правильного многокутника.


Контрольнi запитання1. Який трикутник (чотирикутник) є правильним?2. Який опуклий чотирикутник є рiвностороннiм, проте неправиль�

ним? рiвнокутним, проте неправильним?3. Чи може кут правильного многокутника дорiвнювати 100°? Чи

може зовнiшнiй кут правильного многокутника дорiвнювати 100°?Чому?


Вивчити змiст понять (див. конспект 11) та теорем.Розв’язати задачi.

1. Визначте кiлькiсть сторiн правильного многокутника, в якому:1) центральний кут дорiвнює 30°; 2) сума кутiв дорiвнює 1800°.


2. Доведiть, що найбiльша дiагональ правильного шестикутника дi�лить його на двi рiвнi трапецiї.

3. Знайдiть:

1) периметр правильного многокутника зi стороною 5 см i вну�трiшнiм кутом 144°;

2) сторону правильного многокутника, периметр якого дорiвнює48 см, а внутрiшнiй кут утричi бiльший, нiж зовнiшнiй.

4. Доведiть, що вершини правильного 2n�кутника, взятi через одну,є вершинами правильного n�кутника.

Повторити спiввiдношення мiж сторонами i кутами прямокутно�го трикутника.

Урок № 18Формули радiусiв вписаного й описаного кiлправильних многокутникiв

Мета: працювати над засвоєнням учнями змiсту теореми, що ви�ражає формули радiусiв вписаного й описаного кiл правильного мно�гокутника та схеми її доведення; сформувати первиннi вмiння вiд�творювати виведенi формули, записувати їх вiдповiдно до умовпрактичних задач, а також використовувати їх для розв’язуваннязадач на обчислення.


Наочнiсть та обладнання: конспект «Формули радiусiв вписаногой описаного кiл правильного n�кутника».

Хiд уроку




Учитель органiзує самостiйну роботу учнiв iз перевiрки правиль�ностi розв’язання домашнiх вправ за зразками. Найбiльш складнiмiсця письмового домашнього завдання коментуються.

З метою перевiрки засвоєння учнями змiсту теоретичного матерiалупопереднього уроку (означення правильного многокутника, змiсту тео�реми про вписане та описане кола правильного многокутника, формулузовнiшнього кута та центрального кута правильного многокутника)можна провести математичний диктант.


Математичний диктант1. Якi з тверджень правильнi?

1) Серед прямокутникiв є правильнi чотирикутники.2) «Рiвностороннiй трикутник» i «правильний трикутник» озна�чають одне й те саме.3) Існує правильний чотирикутник, який є трапецiєю.4) Кожний правильний чотирикутник обов’язково є паралелогра�мом.

2. Чому дорiвнює синус зовнiшнього кута:1) правильного дванадцятикутника;2) правильного шестикутника;3) правильного трикутника?

3. Чому дорiвнює центральний кут правильного шестикутника?


Створенню мотивацiї навчальної дiяльностi та усвiдомленнюучнями необхiдностi вивчення навчального матерiалу уроку сприя�тиме обговорення i виконання завдань.

Завдання 1. У правильний чотирикутник вписано та навколо ньо�го описано кола. Знайдiть радiуси цих кiл, якщо сторона правильно�го чотирикутника дорiвнює 4 см.

Завдання 2. У правильний трикутник (шестикутник, дванадця�тикутник) вписано та навколо нього описано кола. Знайдiть радiусицих кiл, якщо сторона правильного трикутника дорiвнює 4 см.

Розв’язуючи першу задачу, учнi спираються на твердження тео�реми про вписане й описане кола правильного многокутника, потiмрозв’язують рiвнобедрений прямокутний трикутник i дiстають вiд�повiдь. Спроба виконати завдання 2 таким самим способом пiдказуєучням, що цей метод розв’язування приводить до громiздких i неточ�них обчислень. Таким чином, виникає питання: чи можна узагаль�нити спосiб розв’язання задач на знаходження радiусiв вписаногой описаного кiл правильних многокутникiв через вiдому сторонуправильного многокутника. Пiсля цього вчитель формулює основнудидактичну мету уроку.


Виконання усних вправЗ метою успiшного засвоєння учнями змiсту нового матерiалу

уроку необхiдно активiзувати їх знання та вмiння про:теорему про вписане й описане кола правильного многокутника,про розміщення центрiв цих кiл;


змiст поняття многокутника, вписаного й описаного навколо кола;

змiст поняття центрального кута правильного многокутника тайого градусну мiру;

властивостi й ознаки рiвнобедреного трикутника;

спiввiдношення мiж сторонами й кутами прямокутного трикутни�ка та розв’язування прямокутних трикутникiв.


План вивчення нового матерiалу1. Теорема (про радiуси вписаного й описаного кiл правильного мно�

гокутника) з доведенням.

2. Формули радiусiв вписаного й описаного кiл правильного трикут�ника, чотирикутника, шестикутника. Вираження сторони пра�вильного трикутника, чотирикутника, шестикутника через радіу�си вписаного й описаного кіл.

3. Приклади застосування вивчених формул.

Змiст та схема доведення теореми про радiуси вписаногой описаного кiл правильного многокутника не змiнилисяпорiвняно з попереднiм пiдручником (не враховуючи тогофакту, що в пiдручнику за програмою 11�рiчного навчання цiформули не були поданi у виглядi теореми). Традицiйниммоментом матерiалу уроку є також виведення формул длярадiусiв вписаного й описаного кiл правильних трикутника,чотирикутника та шестикутника (на основi формул, дове�дених у теоремi).Автор вважає доцiльним додати формули, якi часто застосову�ються в задачах — вираження сторони правильних трикут�никiв, чотирикутникiв та шестикутникiв через радiусивписаного та описаного кiл. Пiсля виведення цих формул мож�на звернути увагу учнiв на спiввiдношення мiж радiусами впи�саного й описаного кiл (наприклад, радiус кола, вписаногов правильний трикутник, удвiчi менший, нiж радiус кола, опи�саного навколо цього трикутника, тощо). Виклад теоретичногоматерiалу можна завершити розв’язуванням опорної задачi.Це корисно, оскiльки її розв’язання надає учням орiєнтиридля розв’язування всiх стандартних задач на обчислення радi�усiв вписаного й описаного кiл правильного многокутника.

Опорна задача. Площа квадрата, описаного навколо кола, дорiв�нює 48 см2. Знайдiть площу рiвностороннього трикутника, вписаногов те саме коло.


Стисло змiст навчального матерiалу можна подати у виглядi кон�спекту 12.

Конспект 12

1. Теорема (формули радiусiв вписаного й описаного кiл правильногоп�кутника).

Для правильного n�кутника зi стороноюan радiус вписаного кола r i радiус описа�ного кола R обчислюються за формулами:

ra

n

n=2

180tg

o ,

Ra

n

n=2

180sin

o .

2. Формули радiусiв вписаного й описаного кiл правильних n�кутникiв

Кiлькiсть сторiн Радiус вписаного кола Радiус описаного кола

n a

n

n

2180

tgo

a

n

n

2180

sino

3 a3

2 3

a3

3

4 a4

2

a4

2

6 a6 3

2

a6

3. Формули для обчислення сторони правильного n�кутника через радiусивписаного й описаного кiл

Кiлькiсть сторiн Сторона через радiусвписаного кола

Сторона через радiусописаного кола

na r

nn = 2180

tg a Rnn = 2

180sin

3 a r3 2 3= a R3 3=

4 a r4 2= a R4 2=

6 a r6

2

33= a R6 =


A C B

O

180o

nrR

4. Формули для обчислення площ через радiуси вписаного й описаногокiл правильного n�кутника

n S через an S через R S через r

3 a32 3

4

3 3

4

2R 3 3 2r

4 a42 2 2R 4 2r

6 3 3

262a R2 3 3

2

⋅ 2 3 2r

5. Теорема (про вписане й описане кола многокутника)

Будь�який правильний многокут�ник є вписаним у коло й описанимнавколо кола. Причому центри цихкiл збiгаються (центр многокут�ника).

На рисунку — ABC... — правиль�ний многокутник, O — центр много�кутника, OA — радiус описаногокола, ON — радiус вписаного кола.

∠ AOB — центральний кут правильного n�кутника, ∠ =AOBn

360.



1. В якому правильному описаному многокутнику радiус вписаногокола удвiчi менший за сторону?

2. В якому правильному вписаному многокутнику радiус описаногокола дорiвнює сторонi?

3. Який правильний многокутник має центральний кут, що дорiв�нює 30°?

4. Скiльки сторiн має правильний многокутник, якщо його:

1) внутрiшнiй кут дорiвнює 108°; 2) зовнiшнiй кут дорiвнює 36°?


1. Знайдiть радiус кола:

1) вписаного в правильний трикутник зi стороною 8 3 см;

2) описаного навколо квадрата з площею 16 см2;

3) вписаного в правильний шестикутник iз периметром 36 3 см.


A N B

O

α2

Cα2

α2

α2

2. Заповнiть таблицю формул для обчислення сторони an , радiусаописаного кола R i радiуса вписаного кола r для правильногоn�кутника.

n R через an r через an an через R an через r R через r r через R

3

4

6

3. Знайдiть:1) площу правильного шестикутника, вписаного в коло, якщоплоща квадрата, описаного навколо цього кола, дорiвнює 64 см2;2) площу квадрата, описаного навколо кола, якщо площа пра�вильного трикутника, вписаного в це коло, дорiвнює 9 3 см2;3) радiус кола, описаного навколо правильного шестикутника, як�що радiус кола, вписаного в цей шестикутник, дорiвнює 8 3 см.

4. Заповнiть таблицю формул для обчислення площi S правильногоn �кутника зi стороною an , радiусом описаного кола R i радiусoмвписаного кола r.

n S через an S через R S через r

3

4

6

Додаткова задачаРiзниця зовнiшнiх кутiв двох правильних многокутникiв скла�

дає 24°, а рiзниця сум внутрiшнiх кутiв цих многокутникiв — 720°.Визначте кiлькiсть сторiн кожного многокутника.

З метою засвоєння формул радiусiв вписаного й описаного кiлрозв’язуємо задачi 1 i 2, якi є задачами на пряме застосуванняцих формул. Задачi 3 i 4 кориснi тим, що їх розв’язування даєучням на озброєння формули вираження площ правильнихмногокутникiв через радiуси вписаного й описаного кiл. Ре�зультати, здобутi пiд час розв’язування задачi 4, можна занес�ти в конспект як опорнi спiввiдношення.

Повторенню означення правильного многокутника та формулдля обчислення внутрiшнього та зовнiшнього кутiв правильногомногокутника сприятиме розв’язання додаткової задачi.



VІІІ. Домашнє завданняВивчити змiст теореми та її наслiдкiв (див. конспект 12).Розв’язати задачi.

1. Знайдiть:1) площу рiвностороннього трикутника, навколо якого описаноколо радiуса 2 см;2) дiагональ квадрата, в який вписано коло радiуса 2 см;3) периметр правильного шестикутника, навколо якого описаноколо дiаметра 8 см.

2. Знайдiть:1) площу квадрата, вписаного в коло, якщо площа правильногошестикутника, вписаного в це коло, дорiвнює 6 3 см2;2) площу правильного трикутника, описаного навколо кола, якщоплоща квадрата, описаного навколо цього кола, дорiвнює 36 см2;3) радiуси описаного i вписаного кiл рiвностороннього трикутни�ка, якщо рiзниця цих радiусiв складає 3 см.

3. Визначте кiлькiсть сторiн правильного многокутника, якщо:1) сума чотирьох його кутiв на 240° бiльша за суму решти кутiв;2) сума чотирьох внутрiшнiх i двох зовнiшнiх його кутiв до�рiвнює 576°.Повторити алгоритми найпростiших геометричних побудов за до�

помогою циркуля i лiнiйки (7 клас).

Урок № 19Побудова правильних многокутникiв

Мета: продовжувати роботу над формуванням в учнiв умiнь вiд�творювати змiст навчального матерiалу, вивченого на попереднiхуроках (означення правильних многокутникiв, теореми про вписаней описане кола правильного многокутника, теореми про радiуси впи�саного й описаного кiл правильного многокутника та формул, щовстановлюють залежнiсть мiж стороною, площею та радiусами впи�саного й описаного кiл правильного многокутника).

Сформувати в учнiв:уявлення про способи побудови правильних многокутникiв за до�помогою циркуля i лiнiйки;вiдтворювати змiст нового матерiалу для обґрунтування дiй пiд часрозв’язування задач на обчислення та побудову;вмiння розв’язувати задачi, що передбачають побудову правиль�них многокутникiв.


Тип уроку: застосування знань, засвоєння вмiнь та навичок.Наочнiсть та обладнання: конспект «Побудова деяких правиль�

них многокутникiв».

Хiд уроку




Учитель органiзує самоперевiрку розв’язання домашнiх вправ зазразками. Найбiльш складнi мiсця письмового домашнього завданнякоментуються. Якщо на попередньому уроцi учнi продемонструвалидостатнiй рiвень засвоєння нового матерiалу, то можна провести са�мостiйну роботу.

Самостiйна робота1. Сторона правильного трикутника, вписаного в коло, дорiвнює 3 см.

Знайдiть сторону правильного чотирикутника, описаного навколоцього кола.

2. Знайдiть сторону правильного шестикутника, вписаного в коло,якщо площа квадрата, описаного навколо цього кола, дорiвнює36 см2.

3. Обчислiть площу правильного шестикутника, описаного навколокола, якщо площа правильного трикутника, вписаного в це коло,дорiвнює 3 см2.


З метою створення мотивацiї навчальної дiяльностi учнiв та на�дання їм можливостi усвiдомити необхiднiсть вивчення навчальногоматерiалу уроку вчитель може запропонувати для обговорення i роз�в’язування серiю завдань.

Завдання 1. За допомогою циркуля i лiнiйки побудуйте правиль�ний трикутник зi стороною 3 см.

Завдання 2. За допомогою циркуля i лiнiйки побудуйте правиль�ний чотирикутник зi стороною 3 см.

Завдання 3. За допомогою циркуля i лiнiйки побудуйте правиль�ний шестикутник зi стороною 3 см.

Обговорення ходу можливої побудови в кожному з випадкiв маєпривести учнiв до висновку, що, попри набутi знання про власти�востi правильних многокутникiв, невизначеним залишається питан�ня про те, як виконати зображення правильного многокутника з ука�


заною довжиною сторони та правильного многокутника з довiльноюдовжиною сторони. Таким чином, формулюється проблема, розв’я�зання якої i є основною метою уроку.


З метою успiшного засвоєння учнями змiсту нового матерiалууроку необхiдно активiзувати їх знання та вмiння про:

змiст поняття кола, вписаного в правильний многокутник (означен�ня, властивостi, розташування центра та властивостi радiуса, прове�деного в точку дотику кола до сторони трикутника), а також кола,описаного навколо правильного многокутника;основнi задачi на побудову за допомогою циркуля i лiнiйки;формули радiусiв вписаного й описаного кiл правильного много�кутника;властивостi центрального кута правильного многокутника.

Виконання усних вправ1. Де знаходиться центр кола, вписаного у квадрат?2. Знайдiть радiус кола, описаного навколо квадрата зi стороною 5 см.3. Знайдiть радiус кола, вписаного в трикутник зi стороною 3 см.4. Як за допомогою циркуля та лiнiйки подiлити вiдрiзок навпiл?5. Який найбiльший центральний кут може мати правильний мно�

гокутник?6. Чому дорiвнює центральний кут правильного чотирикутника?

правильного шестикутника?


План вивчення нового матерiалу1. Побудова правильного шестикутника, вписаного в коло.2. Побудова правильного многокутника, вписаного в коло, через по�

будову центрального кута цього многокутника.3. Побудова правильного 2n�кутника через побудову правильного

n�кутника.4. Побудова правильного многокутника, описаного навколо кола,

через правильний многокутник iз тiєю самою кiлькiстю сторiн,який є вписаним у це коло.

Змiст навчального матерiалу уроку полягає в тому, щоб пока�зати учням найпростiшi прийоми побудови правильних мно�гокутникiв, вписаних та описаних навколо кола, через вiдомiучням спiввiдношення мiж сторонами многокутникiв тарадiусами вписаного та описаного кiл, а також через деякi


властивостi правильних многокутникiв, вписаних та описа�них навколо кола.


Конспект 13

1. Побудоваправильногошестикутника.

2. Побудова вписаногоправильного n�кутника(через центральний кут).

3. Побудова правильного 2n�кутника через побудову n�кутника.

а) A A1 2 — сторона правильногоn�кутника.

AA1, AA2 — сторони правильного2n�кутника.

б) ABCD — квадрат AMBNCKDP —правильний 8�кутник.

4. Побудова описаного правильногоn�кутника через вписанийправильний n�кутник.ΔMNK — вписаний правильний;ΔABC — описаний правильний.AB, BC, AC — дотичнi до кола (вiдрiзки).



1. Побудуйте правильний шестикутник iз периметром 12 см. Обчис�лiть площу побудованого шестикутника.

2. Доведiть, що серединнi перпендикуляри до будь�яких двох сторiнправильного многокутника перетинаютьcя або збiгаються.


A6

O

A1

A3

A5

A4

R

A2

A

D

C

B

120°C

B

A

A1A2

O1

A

N

C

B

A

D

C

BO NM

KP

M

K

A

3. Побудуйте коло радiуса 3 см. Для цього кола побудуйте правильнiвписаний i описаний шестикутники та обчислiть вiдношення їхплощ. Чи залежить воно вiд довжини радiуса кола?

Додатковi задачi (на повторення)1. Доведiть формулу залежностi сторони правильного вписаного

2n�кутника a n2 вiд радiуса описаного кола R i сторони правильно�

го вписаного n�кутника an (формулу подвоєння числа сторiн пра�вильного вписаного многокутника):

a R R Ra

nn

22 2

2

2 24

= − − .

Користуючись цiєю формулою, виразiть через R сторони правиль�ного вписаного восьмикутника та дванадцятикутника.

2. Доведiть, що:

1) сторона правильного восьмикутника обчислюється за форму�

лою a R8 2 2= − , де R — радiус описаного кола;

2) сторона правильного дванадцятикутника обчислюється за фор�

мулою a R12 2 3= − , де R — радiус описаного кола.


Контрольнi запитання

Чи можна побудувати за допомогою циркуля i лiнiйки правильний:

1) 36�кутник; 2) 60�кутник; 3) 105�кутник; 4) 120�кутник?


Вивчити змiст навчального матерiалу уроку (див. конспект 13);повторити змiст матерiалу урокiв 17, 18 (конспекти 11, 12).


1. Впишiть квадрат у коло радiуса 3 см. За допомогою вписаного квад�рата побудуйте правильний восьмикутник, вписаний у це коло.

2. Доведiть, що прямi, на яких лежать бiсектриси будь�яких двохкутiв правильного многокутника, перетинаються або збiгаються.

3. Правильний трикутник, квадрат i правильний шестикутник впи�санi в те саме коло. Знайдiть вiдношення їх площ.

4*.Впишiть у коло радiуса R правильний десятикутник.

1) Доведiть, що сторона побудованого десятикутника a10 i радiускола R вiдносяться в «золотому перерiзi».

2) Впишiть у коло правильний п’ятикутник.


Урок № 20Довжина кола й дуги кола

Мета: сформувати в учнiв уявлення про довжину кола; розгляну�ти теорему про вiдношення довжини кола до його дiаметра та iдею їїдоведення; працювати над засвоєнням учнями формули для обчис�лення довжини кола радiуса R, а також формули для обчислення дов�жини дуги кола радiуса R, що вiдповiдає центральному куту з гра�дусною мiрою α.

Сформувати первиннi вмiння вiдтворювати виведенi формули тазмiст теореми, записувати їх вiдповiдно до умов практичних задач, а та�кож розв’язувати задачi на обчислення iз використанням цих формул.


Наочнiсть та обладнання: конспект «Довжина кола, довжинадуги кола».

Хiд уроку




Учитель може зiбрати зошити учнiв на перевiрку й оцiнити якiстьвиконання домашнiх вправ.


З метою створення умов для свiдомого сприйняття учнями ново�го матерiалу вчитель може запропонувати учням розглянути кiлькарисункiв iз зображеннями правильних многокутникiв, вписаниху коло, причому бажано, щоб кiлькiсть сторiн цих многокутникiвбула досить великою. Учням пропонується назвати фiгури, якi зоб�раженi на рисунку. Далi за поданими рисунками учнi дослiджують,що вiдбувається з правильним многокутником, вписаним у коло,у разi збiльшення кiлькостi його сторiн. Зазвичай бiльшiсть учнiв«помiчають», що за достатньо великої кiлькостi сторiн многокутни�ка вiн практично «збiгається» з колом, у яке вписаний. Якщо учнiцього не побачили або не змогли зробити необхiдного висновку, товчитель допомагає учням, поставивши навiднi запитання. Такимчином, учнi усвiдомлюють, що правильний многокутник за доситьвеликої кiлькостi сторiн можна вважати приблизним зображеннямкола. А з цього припущення виникає проблема: чи можна вимiрятиприблизну довжину лiнiї кола, якщо можна обчислити периметр


вписаного правильного многокутника. Отже, метою уроку є вивчен�ня цiєї проблеми.

ІV. Актуалiзацiя опорних знань i вмiнь

Виконання усних вправЩоб ефективно пiдготувати учнiв до свiдомого засвоєння змiсту но�

вого матерiалу, можна запропонувати їм для виконання уснi вправи.

Виконання усних вправ1. Виразiть радiус кола, описаного навколо правильного многокут�

ника, через його сторону.2. Виразiть периметр правильного многокутника, вписаного в коло,

через його радiус.3. Виразiть сторону правильного многокутника, описаного навколо

кола, через радiус цього кола.4. Виразiть периметр описаного правильного многокутника через

радiус вписаного кола.5. Порiвняйте периметри правильних вписаних в коло та описаних

навколо кола многокутникiв для n = 3 4 6 8 12, , , , .


План вивчення нового матерiалу1. Наочне уявлення про довжину кола.2. Означення довжини кола.3. Теорема про вiдношення довжини кола до його дiаметра.4. Формула для обчислення довжини кола радiуса R; дiаметра D.5. Формула для обчислення довжини дуги кола, що вiдповiдає цен�

тральному куту α градусiв.Вивчення першого питання плану можна провести у формiпрактичної роботи. Учням роздаються тiла цилiндричної фор�ми та мотузки й пропонується без допомоги обчислень табудь�яких формул знайти довжину кола перерiзу цилiндра.Залежно вiд рiвня пiдготовки учнiв вивчення iнших питаньплану можна органiзувати рiзними способами. Це може бутилекцiя або бесiда, або самостiйна робота учнiв за текстомпiдручника iз наступним складанням конспекту за поданимучителем планом. (Звертаємо увагу вчителiв на те, що, навiдмiну вiд попереднiх рокiв, формули довжини кола та дов�жини дуги кола вивчаються на одному уроцi; це зумовленотим, що поняття центрального кута вже опановане учнямив попереднiх класах.)



Конспект 14

1. Наочне уявленняпро довжину кола.

2. Означеннядовжиникола C.

C — коло, до якого прямує Pn (пе�риметр правильних n�кутникiв,вписаних у коло за необмеженогозростання n).

3. Теорема (про вiдношення довжини кола C до його дiаметра D).

Якщо D — дiаметр кола, а C — його довжина, тоC

D

C

R= =

2π (π ≈ 3 14, ).

4. Формула довжини кола C R= 2π C D= π

C — довжина кола; R — радiус кола;D — дiаметр цього кола.

5. Довжина дуги кола, що вiдповiдаєцентральному куту α градусiв:

AB lR= = ⋅α

π α180

.


Виконання усних вправ1. Знайдiть довжину кола, радiус якого дорiвнює:

1) 8 см; 2) π дм; 3) 2 м.

2. Знайдiть дiаметр кола, довжина якого дорiвнює: 1) 4π см; 2) 3 дм.3. Як змiниться довжина кола, якщо його радiус:

1) збiльшити в 3 рази; 2) зменшити в 2 рази?

Виконання письмових вправ1. Знайдiть: 1) довжину кола, радiус якого дорiвнює 6 см; 2) радiус

кола, довжина якого дорiвнює 12,56 см.2. Знайдiть довжину кола:

1) вписаного у квадрат з площею 144 см2;2) описаного навколо рiвностороннього трикутника зi стороною4 3 см;

3) описаного навколо правильного шестикутника з периметром30 см.


A1

Oα

A

Bla

A1

O

A3

An

A2

A

3. На вiдстанi 219,8 м колесо електровоза робить 50 обертiв. Знай�дiть дiаметр колеса.

4. Знайдiть довжину дуги кола радiуса R, якщо її градусна мiрадорiвнює: 1) 90°; 2) 135°; 3) 340°.

5. Довжина маятника настiнного годинника дорiвнює 60 см, а кутйого коливань — 30°. Знайдiть довжину дуги, яку описує кiнецьмаятника.

6. Знайдiть довжину кола:1) вписаного в трикутник зi сторонами 8 см, 26 см i 30 см;2) описаного навколо прямокутника зi сторонами 6 см i 8 см;

3) вписаного в правильний шестикутник iз площею 6 3 см2.

Додаткова задача (на повторення)Довжина кола, вписаного в рiвнобiчну трапецiю, дорiвнює 12π см.

Знайдiть площу трапецiї, якщо її бiчна сторона дорiвнює 13 см.Майже всi вправи, запланованi для розв’язування на уроцi, спря�

мованi на засвоєння учнями формул довжини кола та довжини дугикола i формування вмiнь їх застосовувати в прямому або зворотномупорядку. Бiльш цiкавою є додаткова задача, оскiльки, крiм формулидовжини кола, передбачає знання учнями змiсту поняття «чотири�кутник, вписаний у коло», формули площi трапецiї, властивостейрiвнобiчної трапецiї.


Контрольнi запитання1. Визначте, як змiняться довжина кола i площа вiдповiдного круга,

якщо:1) радiус кола збiльшити втричi;2) дiаметр кола зменшити в 5 разiв.

2. Чи правильно, що довжина кола бiльша за його потрiйний дiа�метр?

VІІІ. Домашнє завданняВивчити змiст понять, що розглядалися на уроцi (див. конспект 14).Розв’язати задачi.

1. Знайдiть довжину кола:

а) вписаного в рiвностороннiй трикутник iз площею 3 3 см2;

б) описаного навколо квадрата з дiагоналлю 8 см.2. Обчислiть довжину кругової орбiти штучного супутника Землi,

якщо вiн обертається на вiдстанi 330 км вiд земної поверхнi,а радiус Землi дорiвнює 6370 км.


3. Знайдiть дiаметр кола, якщо його дуга завдовжки 12,56 см маєградусну мiру 240°.

4. Знайдiть довжину кола:1) вписаного в ромб з дiагоналями 30 см i 40 см;2) описаного навколо прямокутного трикутника з катетами 14 смi 48 см.Повторити формули площi трикутника та чотирикутникiв, мет�

ричнi теореми.

Урок № 21Площа круга та його частин

Мета: сформувати в учнiв уявлення про площу круга, круговийсектор та круговий сегмент, площу кругового сектора та круговогосегмента, що спираються на дугу з градусною мiрою α; сформуватизнання формул для обчислення площi круга заданого радiуса таплощi кругового сегменту, що спирається на дугу з градусною мiроюα та вiдповiдного кругового сегменту.

Сформувати вмiння вiдтворювати вивченi формули, записуватиїх вiдповiдно до умови задачi, а також використовувати формули длярозв’язування задач на обчислення площі круга, його частин та вiдо�мих учням многокутникiв.

Тип уроку: засвоєння знань, формування вмiнь та навичок.Наочнiсть та обладнання: конспект «Площа круга та його частин».

Хiд уроку



З метою економiї часу перевiряються лише вiдповiдi та короткообговорюється план розв’язування найскладнiших задач домашньо�го завдання. За необхiдностi правильнi розв’язання роздаютьсяучням для самостiйного опрацювання вдома.


Роботу учнiв на цьому етапi вчитель може органiзувати майжетак само, як i на вiдповiдному етапi попереднього уроку, за винят�ком того, що тепер учням пропонується дослiдити питання про змiнуплощi правильних многокутникiв, вписаних у коло, за необмежено�го зростання кiлькостi сторiн. Через результати цього дослiдженнявчитель «перекидає мiсток» вiд вiдомого учням поняття площi мно�


гокутника до невiдомого поняття площi круга, i формулює основнумету уроку.

ІV. Повторення та актуалiзацiя знань та вмiнь

Перед вивченням нового матерiалу уроку можна запропонуватиучням контрольнi запитання на повторення деяких понять та теоре�тичних вiдомостей:

формула площi трикутника (через основу та висоту);формули радiусiв вписаного й описаного кiл правильного много�кутника;залежнiсть мiж сторонами i кутами прямокутного трикутника;центральний кут кола та його вимiрювання.


План вивчення нового матерiалу1. Уявлення про змiст поняття «площа круга».2. Теорема про формулу площi круга.3. Означення кругового сектора та кругового сегмента.4. Формули для обчислення площ кругового сектора та круго�

вого сегмента.Пiд час пiдготовки до уроку вчителю слiд звернути увагу надосить великий об’єм навчального матерiалу, який слiд опра�цювати. Щоб виконати поставленi цiлi, доречно продуматиорганiзацiйнi моменти, якi дозволять ефективнiше викорис�тати навчальний час на уроцi. Одним з таких засобiв можебути випереджальне домашнє завдання: прочитати змiствiдповiдного роздiлу пiдручника, виписати невiдомi поняття,запитання тощо. На уроцi проводиться самостiйна роботаучнiв iз заздалегiдь заготовленим учителем конспектом 15(роздається учням для iндивiдуальної роботи), далi — обгово�рення.

Слiд зазначити, що змiст матерiалу уроку традицiйно є зро�зумiлим учням, тому вдала органiзацiя роботи на уроцi сприятиме нетiльки засвоєнню нових знань, а й формуванню вiдповiдних умiнь.Єдине поняття, яке може бути незрозумiлим дев’ятикласникам, —це змiст поняття «число, до якого прямує». У цьому разi це словоспо�лучення можна замiнити бiльш зрозумiлим учням словосполучен�ням «наближено дорiвнює» за умови, що кiлькiсть сторiн вписаногоправильного многокутника дуже велика.



Конспект 15

1. Площа круга. Площа круга ( )O R, — число, доякого прямує площа правильногоn�кутника, вписаного в коло, щообмежує цей кут.

S SA A A nкр ≈1 2 ... , якщо n → ∞

2. Теорема(формулаплощi круга).

Якщо дано круг ( )O R; , то площакруга S обчислюється за формулою.

S R= π 2

3. Круговий сектор, круговий сег�мент та їх площi.

Круговий сектор, що спирається надугу iз градусною мiрою α

Означення. Круговим сектором на�зивається частина круга, яка ле�жить усерединi вiдповiдного цен�трального кута.

Площа кругового сектора, що спи�рається на дугу з градусною мiроюα, обчислюється за формулою

SR

сект. = ⋅π α2

360


Виконання усних вправ1. Знайдiть площу круга, дiаметр якого дорiвнює:

1) 2 см; 2) π дм; 3) 3 м.

2. Знайдiть радiус круга, якщо його площа дорiвнює:1) 9π см2; 2) 5 дм2.

3. Як змiниться площа круга, якщо довжину його кола збiльшитив 5 разiв?

4. Як змiниться дiаметр круга, якщо його площу зменшити в 100 разiв?

5. Довжини двох кiл дорiвнюють 3 см i 1 дм вiдповiдно. Чомудорiвнює вiдношення площ вiдповiдних кругiв?

Виконання письмових вправ1. Довжина кола циркової арени дорiвнює 75,36 м. Знайдiть площу

арени.2. Знайдiть площу круга:

1) вписаного в правильний шестикутник зi стороною 8 3 см;

2) описаного навколо квадрата з периметром 12 2 см.


BM

A1 OAn

A2

A

A2An

Rrn

B

O

A1

O

α

3. Радiуси кiл стрiлецької мiшенi дорiвнюють 1, 2,3 i 4 (рис. 1). Знайдiть площу кожного з трьохкiлець мiшенi.

4. Знайдiть площу кругового сектора з радiусом Ri дугою α, якщо: 1) R = 9, α = 120 ; 2) R = 8,α = 225 ; 3) R = 12, α = 15 .Додаткова задачаЗа рис. 2, виконаним на сiтцi з одиничних квадратiв, знайдiть:

1) периметр зображеної фiгури (рис. 2а);

2) площу пофарбованої частини круга (рис. 2б).

Розв’язування задач на уроцi повинно сприяти не тiльки за�своєнню нових формул, а й повторенню ранiше вивченого ма�терiалу (формули радiусiв вписаного й описаного кiл правиль�ного многокутника, довжини кола, центрального кутаправильного многокутника). Отже, за допомогою задач, щовинесенi на урок, необхiдно пiдготувати учнiв до виконанняконтрольної роботи, яка вiдповiдно до програми має вiдбути�ся на наступному уроцi. Проте якщо є резервний час, передвиконанням контрольної роботи бажано провести урок повто�рення, узагальнення та систематизацiї знань та вмiнь учнiв заметодикою, поданою в попереднiй темi.



1. Чи може площа правильного многокутника, вписаного в коло,бути бiльшою, нiж площа круга, обмеженого цим колом? Чому?

2. Круговий сектор спирається на дугу α. Визначте, чи є кут α гос�трим, прямим або тупим, якщо:

1) довжина дуги, яка обмежує сектор, складає чверть довжини кола;

2) площа сектора складає третину площi круга.


Рис. 1

а) б)Рис. 2

3. З круга радiуса 4 вирiзано сегмент. Визначте, чи є сегмент бiль�шим або меншим за пiвколо, якщо:1) площа сегмента дорiвнює 9π;2) площа сегмента складає половину площi частини круга, що ли�шилася.


Повторити змiст вивчених понять теми «Правильнi многокутники».Розв’язати задачi домашньої контрольної роботи.

Домашня контрольна робота1. Знайдiть внутрiшнiй i центральний кути правильного двадцяти�

кутника.2. Площа круга, вписаного у квадрат, дорiвнює 19π см2. Знайдiть

площу квадрата.3. Знайдiть довжину кола, описаного навколо правильного шести�

кутника, найбiльша дiагональ якого дорiвнює 14 см.4. Правильний трикутник ABC вписаний у коло. Знайдiть площу

трикутника, якщо довжина дуги CAB складає 8π см.5. Визначте кiлькiсть сторiн правильного вписаного многокутника,

якщо кожна сторона стягує дугу 3π см, а радiус описаного коладорiвнює 12 см.

6. Прямокутний трикутник з гiпотенузою 12 i гострим кутом 30°вписаний у круг. Знайдiть площу кожного iз сегментiв, якi вiдти�нають сторони трикутника.

Урок 22Правильнi многокутники. Тематична контрольна робота№ 2

Мета: перевiрити рiвень засвоєння учнями знань змiсту основнихпонять теми 2, якiсть сформованих умiнь розв’язувати задачi на ви�користання формул для знаходження кутiв правильних многокут�никiв, їх сторiн за радiусом вписаного й описаного кола, а також напобудову правильних многокутникiв.

Тип уроку: контроль засвоєння знань та вмiнь.

Хiд уроку



Зiбрати зошити з виконаною домашньою контрольною роботою (ро�боту перевiрити та врахувати пiд час виставлення тематичного бала).



Учитель наголошує, що метою контрольної роботи є демонстра�цiя учнями навчальних досягнень, тобто знань змiсту основних по�нять теми та навичок володiння прийомами їх застосування пiд часрозв’язування програмових задач.


Контрольна робота № 2Варiант 1

1. Знайдiть:1) внутрiшнiй i центральний кути правильного десятикутника;2) кiлькiсть сторiн правильного многокутника, якщо його зовнiш�нiй кут дорiвнює 15°.

2. Сторона правильного шестикутника дорiвнює 12 см. Знайдiть дiа�метр описаного кола.

3. Довжина дуги кола дорiвнює 3,14 см, її градусна мiра становить18°. Знайдiть радiус цього кола.

4. Визначте радiус кола, якщо воно довше за свiй дiаметр на 107 см.5. Рiзниця радiусiв описаного й вписаного кiл правильного трикут�

ника дорiвнює m. Виразiть через m сторону цього трикутника.6. Круг дiаметром 10 см описаний навколо прямокутного трикутни�

ка з гострим кутом 60°. Знайдiть площу сегментiв, якi вiдтина�ються сторонами трикутника.Варiант 2

1. Знайдiть:1) внутрiшнiй та центральний кути правильного 8�кутника;2) кiлькiсть сторiн правильного многокутника, зовнiшнiй кут яко�го становить 40°.

2. Сторона правильного шестикутника дорiвнює 8 см. Знайдiтьрадiус вписаного в нього кола.

3. Довжина дуги кола дорiвнює 6,28 см. Знайдiть градусну мiру цiєїдуги, якщо радiус кола дорiвнює 4 см.

4. Довжина дуги, радiус якої дорiвнює 4 см, а вiдповiдний централь�ний кут — 120°, дорiвнює половинi деякого iншого кола. Знайдiтьрадiус цього кола.

5. У коло вписано правильний чотирикутник iз периметром 16 см.Обчислiть периметр правильного трикутника, вписаного в те самеколо.

6. У круговий сектор вписано круг радiуса 6 см. Знайдiть площуцього сектора, якщо градусна мiра вiдповiдної дуги дорiвнює 60°.



Як варiант проведення цього етапу уроку можна запропонувати(пiсля виконання роботи) оголошення правильних вiдповiдей дозавдань, виконаних учнями, або роздати учням для опрацюваннявдома (домашнiй аналiз контрольної роботи) копiї правильних роз�в’язань завдань контрольної роботи № 2 (заготовлених учителем за�здалегiдь) у формi роздавального матерiалу.


Виконати аналiз контрольної роботи (за розданими розв’язаннями).Повторити змiст теореми Фалеса, означення середньої лiнiї

трикутника та трапецiї (8 клас), теорему Пiфагора та її наслiдки(8 клас).


ТЕМА 3. ДЕКАРТОВІ КООРДИНАТИ НА ПЛОЩИНІ

Урок № 23Прямокутна система координат на площині (повторення).Координати середини відрізка

Мета: повторити, узагальнити та систематизувати набуті в попе�редніх класах пiд час вивчення теми «Прямокутна система коорди�нат» знання учнiв; узагальнити й систематизувати вмiння будуватиточки iз заданими координатами на координатнiй площинi та знахо�дити координати точок за їх зображенням.

Розглянути формули координат середини вiдрiзка. Сформуватипервиннi вмiння вiдтворювати вивченi формули та застосовувати їхдо розв’язування задач.

Тип уроку: засвоєння знань, умiнь та навичок.Наочнiсть та обладнання: конспект «Прямокутна система коор�

динат».

Хiд уроку

І. Органiзацiйний етапПеревiрка готовностi учнiв до уроку, налаштування на роботу.Як завжди, на початку вивчення нової теми необхiдно надати

учням iнформацiю про:орiєнтовний план вивчення теми;кiлькiсть навчальних годин;приблизний змiст матерiалу, що вивчатиметься;основнi вимоги до знань та вмiнь учнiв;приблизний змiст завдань, що будуть винесенi на контрольну роботу.

ІІ. Перевiрка домашнього завданняВчитель може зiбрати зошити учнiв на перевiрку й оцiнити

якiсть виконання аналiзу контрольної роботи.

ІІІ. Формулювання мети i завдань урокуНа цьому етапi вчитель проводить вступну бесiду, в ходi якої

повiдомляє учням:iсторiю «вiдкриття» Рене Декартом прямокутної системи координат;важливiсть координатного методу розв’язування геометричних за�дач для рiзних галузей науки i технiки;загальний змiст координатного методу.


Пiсля бесiди формулюється мета уроку: повторити та системати�зувати вiдомостi про систему координат, вивчити застосування коор�динат для обчислення координат середини вiдрiзка за вiдомими ко�ординатами кiнцiв вiдрiзка.


Виконання усних вправЗ метою усвiдомленого засвоєння учнями матерiалу уроку пропо�

нуємо вправи на повторення:основних вiдомостей про декартову систему координат на площинi;теореми Фалеса.

Виконання усних вправ1. Яке з наведених тверджень неправильне?

1) Якщо точка A лежить на осi ординат, то її абсциса дорiвнює нулю.2) Якщо точка A збiгається з початком координат, то її обидвi ко�ординати дорiвнюють нулю.3) Точки осi абсцис мають ординати, що дорiвнюють нулю.4) Точка B ( ; )− −2 2 належить другiй чвертi.

2. Точка належить четвертiй чвертi. Якi вона має координати за зна�ком?

3. Сформулюйте теорему Фалеса.4. Чи може середня лiнiя трапецiї дорiвнювати однiй з основ?5. Чи може середня лiнiя трапецiї проходити через точку перетину

дiагоналей?


План вивчення нового матерiалу1. Прямокутна система координат:

1) уявлення про координати точки:2) знаки координат точок у рiзних координатних чвертях;3) координати точок, що лежать на координатних осях.

2. Теорема (формули координати середини вiдрiзка).Змiст навчального матерiалу, що має бути розглянутий на уро�цi, є абсолютно традицiйним i складається з двох частин. Першачастина — будова та властивостi декартової системи координатна площинi — матерiал, вiдомий дев’ятикласникам. Друга час�тина — теорема, що виражає формули для знаходження коор�динат середини вiдрiзка через координати його кiнцiв.

Що стосується першої частини матерiалу, то робота з повтореннята систематизацiї може бути проведена у такий спосiб: учням пропо�


нуємо уснi вправи на повторення (див. актуалiзацiя…), пiсля вико�нання цих вправ пiдбиваємо пiдсумки (конспект 16, п.1).

Формулювання i доведення теореми про формули координат сере�дини вiдрiзка проводиться за традицiйною схемою iз застосуваннямтеореми Фалеса. Вивчення цього питання можна провести у формiфронтальної бесiди або у виглядi самостiйної роботи учнiв за текстомпiдручника. Розглядаючи доведення теореми (виведення формул),обов’язково слiд обговорити окремi випадки: вiдрiзок паралельнийдо якої�небудь iз координатних осей та вiдрiзок перетинає коорди�натнi осi.

Стисло змiст навчального матерiалу учням можна подати у ви�глядi конспекту 16 (п. 1, 2).

Конспект 16

Прямокутна система координат. Координати середини вiдрiзка

1. Прямокутна система координат на площинi:

а) координати точки

( )A x y; , x — абсциса точки A;y — ордината точки A.

| |x OAx= ,

| |y OAy= ,

б) Знаки координат точоку рiзних координатних чвертях.

в) Координати точок, що лежать накоординатних осях:

( )A x;0 — точка, що лежить на осiабсцис, ( )B y0; — точка, що лежитьна осi ординат.

2. Координати середини вiдрiзка.

Кожна координата серединивiдрiзка дорiвнює пiвсумі вiдпо�вiдних координат його кiнцiв.

Якщо ( )A x y1 1; i ( )B x y2 2; — кiнцi вiдрiзка AB, а ( )O x y; — середина

вiдрiзка AB, то xx x= +1 2

2, y

y y= +1 2

2.


y

0 x1

вiсь абсцисвiсь ординат

1

Ay

Ax

A

IІ(–; +)

ІІІ(–; –)

І(+; +)

ІV(+; –)

x0

y

y

0 x

( )B y0;

( )A x;0

A

x0

y O B


Виконання усних вправ1. Де на координатнiй площинi розташованi точки ( )A −1 0; , ( )B − −4 3; ,

( )C 4 0; , ( )D 3 2;− , ( )K 4 4; ?2. Знайдiть координати середини вiдрiзка AB, якщо:

1) ( )A 3 6;− , ( )B 5 2; ; 2) ( )A −5 0; , ( )B 1 8;− ; 3) ( )A − −9 1; , ( )B 5 3; .3. Середина вiдрiзка AB лежить на осi ординат. Назвiть абсцису точ�

ки A, якщо абсциса точки B дорiвнює 12.Виконання письмових вправ

1. Знайдiть координати середини вiдрiзка AB, якщо:1) ( )A − −12 3; , ( )B −8 1; ; 2) ( )A 4 11;− , ( )B −4 0; ; 3) ( )A −2 9; , ( )B − −2 7; .

2. Точка C — середина вiдрiзка AB. Знайдiть координати:1) точки B, якщо ( )A 2 3;− , ( )C 0 5 1, ; ; 2) точки A, якщо ( )C 0 1;− ,

( )B 3 3;− .3. Знайдiть координати четвертої вершини паралелограма ABCD,

якщо: 1) ( )A 2 6; , ( )B 4 7; , ( )C 8 10; ; 2) ( )B −1 4; , ( )C 3 5; , ( )D 1 3; .4. Точка C — середина вiдрiзка AB, точка D — середина вiдрiзка BC.

Знайдiть координати точки D, якщо:1) ( )A −3 3; , ( )B 5 1;− ; 2) ( )A − −2 1; , ( )B 2 3; .Додаткове завданняСередини сторiн трикутника мають координати ( )−2 2; , ( )0 7; i ( )4 1;− .

Знайдiть координати вершин трикутника.Майже всi задачi, що запланованi для розв’язування на уроцi,спрямованi на засвоєння знань формул координат серединивiдрiзка i передбачають їх застосування в прямому або зворот�ному порядку. Бiльш цiкавою є письмова задача 3, оскiлькипередбачає застосування не тiльки формул середини вiдрiзка,а й властивостей дiагоналей паралелограма.

VІІ. Пiдсумки урокуКонтрольнi запитання

1. Серединою якого з вiдрiзкiв AB, CD, EF є точка ( )S 4 2; , якщо кiн�цi цих вiдрiзкiв мають координати ( )A 1 2; , ( )B −5 8; , ( )C 3 4; , ( )D 5 2; ,

( )E 2 2; , ( )F 6 2; ? А) AB. Б) CD. В) EF. Г) Жодного з наведених.2. Знайдiть координати центра кола O, дiаметром якого є вiдрiзок

MN, якщо ( )M − −2 4; i ( )N 6 8; .А) ( )O 2 2; . Б) ( )O −2 2; . В) ( )O 3 1; . Г) ( )O 4 4; .

VІІІ. Домашнє завданняВивчити змiст засвоєних на уроцi понять та формул (див. кон�

спект 16, п. 1, 2).Розв’язати задачi.


1. Точка E — середина вiдрiзка CD. Знайдiть координати:1) точки E, якщо ( )C 18 2;− , ( )D 6 4; ; 2) точки D, якщо ( )C −5 21; , ( )E 0 1; .

2. Дано точки ( )A −4 0; , ( )B − −2 2; , ( )C 0 6;− , ( )D − −2 4; . Доведiть, що чо�тирикутник ABCD — паралелограм.

3. На вiдрiзку AD позначено точки B i C так, що AB BC CD= = . Знай�дiть координати точки D, якщо ( )A 5 2; , ( )B 3 1; .Повторити теорему Пiфагора.

Урок № 24Вiдстань мiж двома точками

Мета: працювати над засвоєнням учнями змiсту теореми, що ви�ражає формулу вiдстанi мiж двома точками в прямокутнiй системiкоординат, а також способу її доведення. Сформувати в учнiв уяв�лення про сферу застосування формули вiдстанi мiж двома точками.Сформувати вмiння вiдтворювати вивчену формулу, записувати їївiдповiдно до умови задачi, а також використовувати для розв’язу�вання задач на обчислення.

Тип уроку: засвоєння знань, умiнь та навичок.Наочнiсть та обладнання: конспект «Прямокутна система коор�

динат».

Хiд уроку




Оскiльки письмовi вправи домашньої роботи вiдтворювали ситу�ацiї, аналогiчнi до розглянутих на попередньому уроцi, перевiря�ється лише правильнiсть виконання обчислень.

З метою оперативної перевiрки засвоєння учнями знань та вмiньможна провести тестову роботу з наступною перевiркою та обгово�ренням.

Тестова робота1. Яке твердження неправильне?

1) Якщо точка лежить на осi абсцис, то її ордината дорiвнює нулю.2) Якщо точка лежить на осi ординат, то її абсциса дорiвнює нулю.3) Кожна координата середини вiдрiзка дорiвнює сумi вiдпо�вiдних координат його кiнцiв.4) Абсциса й ордината початку координат дорiвнюють нулю.


2. Знайдiть координати середини вiдрiзка з кiнцями ( )2 4; i ( )4 2; .1) ( )6 6; ; 2) ( )3 6; ; 3) ( )3 3; ; 4) ( )− −3 3; .

3. Дано координати одного кiнця вiдрiзка ( )0 2; i його середини ( )2 1; .Знайдiть координати другого кiнця вiдрiзка.1) ( )4 4; ; 2) ( )2 2; ; 3) ( )4 0; ; 4) ( )0 4; .

4. Дано трикутник ABC з вершинами ( )A −2 0; , ( )B 2 0; , ( )C 0 4; . Якi коор�динати кiнцiв середньої лiнiї трикутника, паралельної сторонi AB?1) ( )−1 1; i ( )1 1; ; 2) ( )1 2; i ( )− −1 2; ; 3) ( )−1 2; i ( )1 2; .

5. У трикутнику OAB вiдомо координати вершин ( )A 3 4; , ( )O 0 0; i точ�ки ( )C 3 0; — середини вiдрiзка AB. Якi довжини сторiн трикутни�ка OAB? 1) 5, 4 i 3 см; 2) 5, 8 i 4 см; 3) 5, 8 i 5 см; 4) 5, 3 i 4 см.


Щоб створити ситуацiю, що допоможе учням усвiдомити необхiд�нiсть вивчення питання уроку, вчитель може запропонувати їм длявиконання таке завдання:

Знайдiть вiдстань мiж парами точок,зображених на рисунку 1.

Зауваження. Для розв’язування задачiучнi можуть використати аксiому вимiрю�вання вiдрiзкiв та формулу для обчисленнявiдстанi мiж двома точками на координат�нiй прямiй через координати цих точок.

Пiсля цього вчитель пропонує учнямвиконати те ж саме завдання в змiненихобставинах (див. рис. 2). Пiсля обговоренняситуацiї (що змiнилося, чи можна розв’я�

зати задачу тими самими способами, що й попередню, тощо) вчительформулює завдання: дослiдити можливiсть визначення вiдстанi мiждвома точками через їхнi координати в прямокутнiй системi коорди�нат. Вивчення формули вiдстанi мiж двома точками через їхнi коор�динати i визначається як основна мета уроку.


З метою усвiдомленого засвоєння учнями змiсту нового матерiалууроку слiд активiзувати знання та вмiння учнiв щодо застосуваннятеореми Пiфагора, обчислення довжини вiдрiзка координатної пря�мої за координатами його кiнцiв, а також ознак паралелограма.


1. Катети прямокутного трикутника дорiвнюють 5 см i 12 см. Знай�дiть гiпотенузу.


Рис. 1

Рис. 2

y

0 x1

x10

D C O A B

1

C

D

A B

2. Гiпотенуза трикутника дорiвнює 5 см, а один iз катетiв — 3 см.Знайдiть другий катет.

3. Периметр квадрата дорiвнює 4 см. Знай�дiть його дiагональ.

4. У чотирикутнику AMBH ∠ + ∠ =M B 180 ,∠ + ∠ =M A 180 . Доведiть, що AMBH —паралелограм.

5. У паралелограмi ABCD точка M — сере�дина BC, точкa H — середина AD. До�ведiть, що AMCH — паралелограм.


План вивчення нового матерiалу1. Теорема (формула вiдстанi мiж двома точками) з доведенням.2. Вiдстань вiд точки до початку координат.3. Застосування формули вiдстанi мiж двома точками.

Вивчення кожного питання плану можна провести близько дотексту пiдручника або у формi бесiди, або як самостiйну роботуучнiв iз текстом пiдручника з наступним складанням конспек�ту за поданим планом. Акценти робимо на таких моментах:

пiсля доведення теореми для всiх можливих випадкiв взаємногорозташування точок у прямокутнiй системi координат можна за�уважити, що доведена формула «працює» й у випадку, коли точка(точки) лежить на координатнiй осi. У цьому випадку одна з коор�динат точки дорiвнює нулю;як окремий наслiдок iз доведеної теореми можна розглянути фор�мулу вiдстанi вiд початку координат до заданої точки (див. кон�спект 16, п. 3);застосування вивченої формули можливо не тiльки у випадках,коли вказано на необхiднiсть обчислення вiдстанi мiж двома точ�ками (довжини вiдрiзка), але й у випадках, що передбачають об�числення довжин вiдрiзкiв для доведення певних геометричнихфактiв (див. задача, конспект 16, п. 4).Пiд час аналiзу розв’язання задачi (див. п. 4 конспекту) слiд звер�нути увагу учнiв на iснування декiлькох способiв доведення того,що чотирикутник є паралелограмом. Доцiльно обговорити хiдрозв’язування задач, спорiднених iз цiєю задачею: як довести,що даний чотирикутник є прямокутником, ромбом, квадратом?Стисло змiст навчального матерiалу учням можна подати у ви�

глядi конспекту 16 (п. 3, 4).


A

M B

H

C

A

MB

DH


Конспект 16

Вiдстань мiж двома точками

Теорема

Вiдстань мiж точками ( )A x y1 1;i ( )B x y2 2; обчислюється за формулою:

( ) ( )AB x x y y= − + −1 2

2

1 2

2

Наслiдок

Вiдстань вiд точки ( )A x y1 1; до початку координат ( )O 0 0; дорiвнює

AO x y= +12

12 .

4. Застосування формул координат середини вiдрiзка та вiдстанi мiж дво�ма точками.

Задача. Дано точки ( )A −2 1; , ( )B 0 4; , ( )C 4 1; , ( )D 2 2;− . Доведiть, що ABCD —паралелограм.

1�й спосiб 2�й спосiб

1. Знайдемо координати точки O1 —середини дiагоналi AC:

O1

4 2

2

1 1

2

− +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟; ; ( )O1 1 1; .

2. Знайдемо координати точки O2 —середини дiагоналi BD:

O2

2 0

2

2 4

2

+ − +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟; ; ( )O2 1 1; .

3. Оскiльки O1 i O2 мають однаковiкоординати, то вони збiгаються,тому ABCD — паралелограм заознакою (через дiагоналi)

Знайдемо довжини сторiн ABCD

( ) ( )AB = − − + − =2 0 1 4 132 2

,

( ) ( )BC = − + − =0 4 4 1 52 2

,

( ) ( )( )CD = − + − − =4 2 1 2 132 2

,

( ) ( )( )AD = − − + − − =2 2 1 2 52 2

.

Оскiльки AB CD= , BC AD= , то чо�тирикутник ABCD — паралелограм



1. Знайдiть вiдстань вiд точок ( )A 3 4; , ( )B −5 12; , ( )C 0 2;− , ( )D 6 8;− ,( )E 5 0; до початку координат.

2. Знайдiть довжину вiдрiзка AB, якщо:

1) ( )A 4 5;− i ( )B −1 7; ; 2) ( )A −3 2; i ( )B − −7 1; ; 3) ( )A −3 0; i ( )B 7 0; .



A

x0

y

y2

B

x2

y1

x1

а) ( )A −3 8; , ( )B 5 2; ; б) ( )A 2 1;− , ( )B −7 0; ; в) ( )A 5 0; , ( )B 0 12;− .2. Знайдiть x, якщо:

а) вiдстань мiж точками ( )M 2 1; i ( )N x;−2 дорiвнює 5;б) вiдстань мiж точками ( )M x;0 i ( )N 2 1;− дорiвнює 1.

3. Доведiть, що в трикутнику з вершинами ( )A −6 5; , ( )B 2 10;− ,( )C − −13 18; кути A i C рiвнi.

4. За допомогою формули вiдстанi мiж точками доведiть, що точки( )K 5 3;− , ( )M 2 1; i ( )N −1 5; лежать на однiй прямiй. Яка з цих точок

лежить мiж двома iншими?5. Знайдiть точку, яка рiвновiддалена вiд точок ( )2 3; i ( )6 1;− та ле�

жить: а) на осi абсцис; б) на осi ординат.Додаткова задача (на повторення)Зобразiть на координатнiй площинi геометричне мiсце точок:а) вiддалених вiд початку координат на 4;б) рiвновiддалених вiд точок ( )A −1 3; i ( )B 5 1;− .

Вочевидь, необхiдно сформувати вмiння застосовувати фор�мулу вiдстанi мiж двома точками, тому на уроцi розв’язують�ся задачi, що передбачають пряме використання формули.Наступний крок — це формування вмiння знаходити невiдо�му координату однiєї з точок, якщо вiдома вiдстань мiж цимиточками. Також бажано розглянути використання вивченоїформули для доведення того, що три точки лежать на однiйпрямiй (нагадати аксiому вимiрювання вiдрiзкiв) та знахо�дження точки, що лежить на однiй iз координатних осей тарiвновiддалена вiд заданих двох точок.


Тестове завдання1. Якi можна видiлити етапи знаходження формули вiдстанi мiж

двома точками?1) Через точки ( )A x y1 1 1; i ( )A x y2 2 2; проводимо прямi, паралельнiосям координат. Вони перетнуть осi, i двi з них перетнуться мiжсобою в точцi A.2) Дiстаємо прямокутний трикутник з катетами | |AA y y1 1= −

| |і AA x x2 1 2= − i гiпотенузою A A d1 2 = .3) За теоремою Пiфагора з прямокутного трикутника AA A1 2 , дi�

стаємо: ( ) ( )d x x y y21 2

2

1 2

2= − + − або ( ) ( )d x x y y= − + −1 2

2

2 1

2.

2. Знайдiть на осi y точку, рiвновiддалену вiд точок ( )2 1; i ( )3 2; .1) ( )0 2; ; 2) ( )4 0; ; 3) ( )0 4; ; 4) ( )0 8; .


3. Знайдiть довжину медiани трикутника, якщо її проведено з вер�шини, розмiщеної в точцi ( )0 0; , до сторони, кiнцi якої мають ко�ординати ( )− −10 17; i ( )− −6 13; .1) 14 см; 2) 15 см; 3) 16 см; 4) 17 см.

4. Вiдстань мiж точками ( )A 2 3; i ( )B x;1 дорiвнює 2. Знайдiть x:1) 1; 2) 2; 3) 3; 4) –2.

5. Якого виду трикутник, якщо його вершинами є точки ( )A − −7 3; ,( )B 3 7;− , ( )C 5 2;− ?

1) Рiвнобедрений; 2) рiвностороннiй; 3) прямокутний; 4) рiзносто�роннiй.


Вивчити формулу вiдстанi мiж двома точками (див. конспект 16).Розв’язати задачi.

1. Знайдiть периметр трикутника ABC, якщо ( )A −1 2; , ( )B 2 6; , ( )C 5 2; .

2. Доведiть, що трикутник з вершинами ( )A 1 0; , ( )B 2 3; , ( )C 3 0; рiв�

ностороннiй.3. Доведiть, що трикутник з вершинами ( )A 4 1; , ( )B 6 2; , ( )C 8 2;− пря�

мокутний, i визначте його гiпотенузу.Повторити формули координат середини вiдрiзка.


Мета: працювати над засвоєнням учнями формул координат сере�дини вiдрiзка та вiдстанi мiж двома точками; формувати навички ви�користання вивчених формул для розв’язування задач на обчислен�ня невідомих лінійних елементів трикутників, доведення того, щочотирикутник є чотирикутником даного виду, та інших задач, щопередбачають застосування вивчених формул.

Тип уроку: застосування, засвоєння вмiнь та навичок.Наочнiсть та обладнання: конспект «Прямокутна система коор�

динат».

Хiд уроку




Правильнiсть виконання домашнього завдання перевiряємо зазразком (готовi розв’язання роздаються учням для самостiйного


опрацювання та порiвняння з результатами, одержаними пiд час ви�конання вправ удома). Можливi питання висвiтлюються пiд часфронтальної роботи.

З метою перевiрки рiвня засвоєння учнями вивчених формулможна провести математичний диктант, вiдповiдi на запитання яко�го перевiряються та коригуються одразу пiсля виконання роботи.

Математичний диктант1. Точка ( )A y−3; не лежить на осi y, бо... Вона може лежати на осi x

за умови... Залежно вiд знака y точка A може знаходитись у такихчвертях...

2. Якщо дано точки ( )B 4 0; i ( )C 0 3; − , то вiдстань мiж ними дорiв�нює..., а точка M — середина вiдрiзка BC, має такi координати:...Точка M знаходиться у... чвертi, тому що...

3. Якщо двi сусiднi вершини квадрата, розмiщеного в першiйчвертi, знаходяться в точках ( )1 3; i ( )1 9; , то координати двохiнших вершин такi:...


Мета уроку безпосередньо випливає з його теми. Оскiльки на по�переднiх уроках було вивчено формули координат середини вiдрiзката вiдстанi мiж двома точками, то необхiдно продовжити роботу надзасвоєнням знань цих формул, сформувати сталi вмiння та навичкизастосовувати їх до розв’язування планiметричних задач на обчис�лення i доведення.

ІV. Вiдтворення та систематизацiя опорних знань i вмiнь

Учням пропонується самостiйно за опорним конспектом 16 по�вторити змiст матерiалу, вивченого на двох попереднiх уроках.

V. Формування вмiнь, навичок

Залежно вiд рiвня знань та вмiнь учнiв учитель добирає вправидля усної роботи (див. нижче).

Виконання усних вправ1. Чи належать точки ( )A −3 2; , ( )B 2 2; , ( )C 14 2; однiй прямiй?2. Дано паралелограм ABCD. ( )A −2 2; , ( )C 1 1;− . Знайдiть координати

точки перетину дiагоналей паралелограма.3. Знайдiть вершину D паралелограма ABCD, якщо ( )A 3 4; , ( )B −1 2; ,

( )C 0 5; .4. Порiвняйте довжини вiдрiзкiв AC i AB, якщо ( )A 1 1; , ( )B 4 1; , ( )C −1 3; .5. Вершини трикутника ABC мають координати ( )A 0 3; , ( )B 40; , ( )C 1 4;− .

Доведiть, що трикутник — рiвнобедрений.


6. Дано точки ( )A −2 5; , ( )B 3 7;− . На якiй вiдстанi вiд осi абсцис знахо�дяться цi точки i на якiй вiдстанi вiд осi ординат?

7. Чи правильнi твердження?

1) Якщо точки A i B рiвновiддаленi вiд осi x, то в них рiвнi ординати.

2) Якщо точки A i B рiвновiддаленi вiд осi y, то в них рiвнi ординати.

3) Якщо точки A i B мають рiвнi абсциси, то вони рiвновiддаленiвiд осi y.

8. Чи правильно, що на рисунку 1 ABCD — паралелограм?

9. Точки K, M, P — середини сторiн трикутника ABC (рис. 2).Знайдiть їх координати.

Рис. 1 Рис. 2 Рис. 3

10. Яка з вiдстаней бiльша: AB чи AC (рис. 3)?


1. Знайдiть довжину медiани AM трикутника ABC, якщо ( )A − −6 3; ,( )B −4 3; , ( )C − −2 1; .

2. Доведiть, що чотирикутник ABCD — прямокутник, якщо ( )A − −2 1; ,( )B −4 1; , ( )C −1 4; , ( )D 1 2; .

3. Доведiть, що чотирикутник ABCD — квадрат, якщо ( )A −5 0; ,( )B −2 1; , ( )C − −1 2; , ( )D − −4 3; .

4. Знайдiть площу трикутника ABC, якщо ( )A −1 3; , ( )B 2 4; , ( )C 4 2;− .


На прямiй, яку утворюють бiсектриси першого i третього коорди�натних кутiв, знайдiть точку, рiвновiддалену вiд точок ( )A 1 1; i ( )B 3 5; .


Пiдсумком уроку має усвiдомлення учнями основного кола за�дач, якi вони зможуть розв’язувати iз використанням вивчених фор�мул (класифiкацiя може бути проведена за рiзними критерiями).


Повторити формули (див. конспект 16).



y

0x

( )B −6 3;

( )A − −8 3;( )D 2 5;−

( )C 4 1;

( )C 6 3;−( )A − −4 2;

( )B 0 6;

x0

y

( )C 3 5 1, ;( )A 2 1;

( )B 1 2;

x0

y

K M

Р


1. Використавши формули для обчислення координат середини вiд�рiзка, обчислiть:1) координати ( )x y; точки O — середини вiдрiзка AB, якщо ( )A 2 5;

( )і ;B 4 7 . В якiй координатнiй чвертi знаходиться точка O?2) координати ( )x y; точки A, якщо точка O є серединою вiдрiзкаAB i ( )O − −2 5; i ( )B 4 7; . В якiй координатнiй чвертi знаходитьсяточка A?3) координати ( )x y; вершини D паралелограма ABCD, якщо ( )A 34; ,

( )B −12; , ( )C 0 5; . В якiй координатнiй чвертi знаходиться точка D?4) координати вершин трикутника, середини сторiн якого знахо�дяться в точках ( )1 5; , ( )3 10; , ( )7 2; . Чи перетинає хоча б одна зiсторiн трикутника яку�небудь iз координатних осей?

2. Використавши формулу для обчислення вiдстанi мiж двома точ�ками (довжини вiдрiзка) iз заданими координатами, визначте:1) вiдстанi вiд точок ( )A 3 4; , ( )B −5 12; до початку координат;2) довжини сторiн трикутника, вершини якого знаходяться в точ�ках ( )1 2; , ( )8 26; , ( )19 26; ;3) чи належать точки ( )A −2 3; , ( )B 2 1; i ( )C 7 6; однiй прямiй? У ви�падку ствердної вiдповiдi, назвiть точку, що лежить мiж двомаiншими;4) кути трикутника ABC, якщо ( )A 4 1; , ( )B 7 3; i ( )C 2 4; .Варiант 2

1. Використавши формули для обчислення координат середини вiд�рiзка, обчислiть:1) координати ( )x y; точки O — середини вiдрiзка AB, якщо ( )A − −2 3;i ( )B 4 5;− . В якiй координатнiй чвертi знаходиться точка O?2) координати ( )x y; точки B, якщо точка O є серединою вiдрiзкаAB i ( )O 7 3;− i ( )A −2 0; . В якiй координатнiй чвертi знаходитьсяточка B?3) координати ( )x y; вершини C паралелограма ABCD якщо

( )A −2 5; , ( )B −1 2; , ( )D 3 2; . В якiй координатнiй чвертi знаходитьсяточка C?4) координати вершин трикутника, середини сторiн якого знахо�дяться в точках ( )−2 3; , ( )3 2; , ( )1 3;− . Чи перетинає хоча б одна зiсторiн трикутника яку�небудь iз координатних осей?

2. Скориставшись формулою вiдстанi мiж двома точками (довжинивiдрiзка) iз заданими координатами, визначте:1) вiдстанi вiд точок ( )A − −3 4; , ( )B 6 8; до початку координат;


2) довжини сторiн трикутника, вершини якого знаходяться в точ�ках ( )0 0; , ( )6 4; , ( )10 26; ;3) чи належать точки ( )A 3 5;− , ( )B 1 2;− i ( )C 5 8;− однiй прямiй? Увипадку ствердної вiдповiдi, назвiть точку, що лежить мiж двомаiншими;4) периметр трикутника, утвореного середнiми лiнiями трикут�ника ABC, якщо ( )A 4 1; , ( )B 7 3; i ( )C 2 4; .Повторити:означення графiка функцiї;графiк лiнiйної функцiї;визначення належностi точки iз заданими координатами графiкуфункцiї.

Урок № 26Рiвняння фiгури на площинi. Рiвняння кола

Мета: сформувати в учнiв уявлення про рiвняння фiгури на пло�щинi.

Працювати над засвоєнням учнями:властивостей та ознак точок, що належать фiгурi iз заданимрiвнянням;змiсту теореми про рiвняння кола та наслiдку з неї.Сформувати первиннi вмiння:вiдтворювати змiст вивчених понять;використовувати їх для аргументацiї своїх мiркувань;записувати рiвняння кола iз заданим центром та радiусом та визна�чати радiус i центр кола за даним рiвнянням цього кола;розв’язувати задачi, що передбачають застосування нових понятьразом iз ранiше вивченим матерiалом.Тип уроку: засвоєння знань, умiнь та навичок.Наочнiсть та обладнання: конспект «Рiвняння фiгури в прямо�

кутнiй системi координат».

Хiд уроку




Учитель збирає зошити на перевiрку iз виконаною домашньоюсамостiйною роботою. У разi необхiдностi учнi отримують правильнiрозв’язання цих вправ для самостiйного опрацювання вдома.



На цьому етапi вчитель має нагадати учням про те, що метою ви�вчення теми «Декартовi координати на площинi» є формуваннявмiнь ставити у вiдповiднiсть геометричним об’єктам алгебраїчнi ви�рази i спiввiдношення (див. бесiда на уроцi № 23). Першим крокому цьому напрямi стало вивчення формул координат середини вiдрiз�ка та вiдстанi мiж двома точками. Наступний крок — вивчення пи�тання про вiдповiднiсть мiж деякими геометричними фiгурами таалгебраїчними виразами. Отже, мета уроку — навчитись записуватирiвняння деяких фiгур за їхнiми властивостями.

ІV. Актуалiзацiя опорних знань

З метою усвiдомленого засвоєння учнями змiсту нового матерiалуслiд повторити:

означення графiка числової функцiї;ознаку належностi точки iз заданими координатами до графiкафункцiї;означення кола та його елементiв, властивостей точок кола;формулу вiдстанi мiж двома точками iз заданими координатами.


План вивчення нового матерiалу1. Наочне уявлення про рiвняння фiгури в прямокутнiй системi ко�

ординат. Означення рiвняння фiгури в прямокутнiй системi коор�динат.

2. Теорема про рiвняння кола з доведенням.3. Наслiдок iз теореми про рiвняння кола.

Вивчення поняття рiвняння фiгури в прямокутнiй системi ко�ординат починається iз повторення означення графiка функ�цiї. Доцiльно провести роботу з учнями щодо повторення гра�фiка лiнiйної функцiї (вигляд, алгоритм побудови).Поняття рiвняння фiгури формується на уявленнi про змiстпоняття графiка функцiї. Проте, скориставшись деякою ана�логiєю мiж поняттями та сформулювавши означення рiвнян�ня фiгури, вчитель обов’язково звертає увагу учнiв на такi мо�менти:

рiвняння функцiї та рiвняння фiгури не є тотожними поняттями;означення рiвняння фiгури складається iз двох взаємно оберненихтверджень.Формулювання та схема доведення теореми про рiвняння кола та

наслiдок iз неї є традицiйними (якщо не зважати на те, що ранiше цi


формули не розглядались як теорема та її наслiдок). Вивчення ново�го матерiалу проводимо близько до тексту пiдручника або у формiбесiди, або у формi самостiйної роботи учнiв iз текстом пiдручника.


Конспект 17

1. Рiвняння фiгури в прямокутнiй системi координат

Рiвняння з двома змiнними x i y нази�вається рiвнянням фiгури F у прямо�кутнiй системi координат, якщо:

а) координати будь�якої точки фiгуриF задовольняють це рiвняння;

б) будь�яка пара чисел, що задовольняєрiвняння фiгури, є координатами точ�ки фiгури F.

2. Рiвняння кола

У прямокутнiй системi координатрiвняння кола радiуса R iз центрому точцi ( )C a b; має вигляд:

( ) ( )x a y b R− + − =2 2 2

Наслiдок

Рiвняння кола радiуса R iз центрому початку координат має вигляд:

x y R2 2 2+ = .


Виконання усних вправ1. Назвiть центр i радiус кола, заданого рiвнянням:

а) x y2 2 25+ = ; б) ( ) ( )x y+ + − =4 7 1002 2

; в) ( )x y2 23 2+ + = .

2. Центром кола радiуса R є початок координат. Скiльки точок перети�ну має це коло з осями координат? Назвiть координати цих точок.

3. Коло задане рiвнянням ( ) ( )x y− + − =3 5 162 2

. Чи перетинає це

коло вiсь абсцис; вiсь ординат?Виконання письмових вправ

1. Визначте, якi з точок ( )A −1 5; , ( )B −4 0; , ( )C 5 3;− , ( )D −3 1; , ( )E 2 1; ле�

жать на колi, заданому рiвнянням ( ) ( )x y− + − =2 1 252 2

.


y

0 x

( )M x y1 1;

( )W x y2 2;

R( )M x y;

x0

y

b

a

F

C

2. Складiть рiвняння кола:а) радiуса 3 iз центром ( )−2 1; ;б) з центром у початку координат, яке проходить через точку ( )− −4 3; ;в) з дiаметром AB, якщо ( )A −2 1; , ( )B 2 1; .

3. На колi, заданому рiвнянням x y2 2 100+ = , знайдiть точки:

а) з абсцисою 8; б) з ординатою –6.

4. Визначте, чи має коло, задане рiвнянням ( ) ( )x y+ + − =2 1 52 2

,

спiльнi точки з осями координат. Знайдiть координати цих точок.5. Визначте центр i радiус кола, заданого рiвнянням:

а) x x y y2 26 2 6 0− + + − = ; б) x y y2 2 10 24 0+ + + = .

6. Складiть рiвняння кола: а) з дiаметром AB, якщо ( )A −1 5; , ( )B 5 3;− ;б) описаного навколо правильного трикутника з точкою перетинумедiан ( )−4 9; i периметром 6 3; в) вписаного у квадрат ABCD,

якщо ( )A − −1 3; , ( )B − −1 1; , ( )C 1 1;− , ( )D 1 3;− .Додаткова задача (на повторення)Два трикутники вписанi в одне коло. Сторони одного з них

дорiвнюють 7 см, 15 см i 20 см. Знайдiть сторони другого трикутни�ка, якщо вiн є єгипетським.

Майже всi вправи, що запланованi для розв’язування науроцi, спрямованi на засвоєння учнями означення рiвнянняфiгури та рiвняння кола i передбачають їх застосування в пря�мому або зворотному порядку. Проте, крiм зазначеного ма�терiалу, розв’язання пропонованих задач передбачає викорис�тання поняття центра правильного трикутника, властивостейкоординат точок, що лежать на координатних осях.


Тестовi завдання1. Яка з точок не лежить на колi x y2 2 25+ = ?

1) ( )4 3; ; 2) ( )−4 3; ; 3) ( )− −4 3; ; 4) ( )3 5; .2. Знайдiть рiвняння кола з центром у точцi ( )A −2 8; i радiусом 5.

1) ( ) ( )x y+ + + =2 8 252 2

; 2) ( ) ( )x y+ + − =2 8 52 2

;

3) ( ) ( )x y+ + − =2 8 252 2

; 4) ( ) ( )x y+ + − =2 8 52 2

.

3. Знайдiть рiвняння кола з центром у початку координат ( )O 0 0;i радiусом 10.

1) ( ) ( )x y− + − =1 1 1002 2

; 2) x y2 2 10+ = ;

3) ( ) ( )x y− + − =0 0 102 2 2 ; 4) x y2 2 10+ = .


4. Знайдiть рiвняння кола з центром у точцi ( )O − −3 7; .

1) ( ) ( )x y− + − =3 7 492 2

; 2) ( ) ( )x y+ + − =3 7 252 2

;

3) ( ) ( )x y+ + + =3 7 362 2

; 4) ( ) ( )x y− + + =3 7 812 2

.

5. Кола задані рiвняннями x y2 2 1+ = i ( )x y− + =4 12 2 . Яка вiдстань

мiж центрами цих кiл?

1) 2; 2) 3; 3) 4; 4) 1.


Вивчити змiст основних понять уроку (див. конспект 17).


1. Складiть рiвняння кола з центром A i радiусом AB, якщо ( )A 1 1; ,( )B − −3 2; . Якi з точок: ( )C 4 5; , ( )D −4 1; , ( )E 1 1; — лежать на цьому

колi?

2. Коло задано рiвнянням ( )x y2 21 4+ − = . Знайдiть точки перетину

цього кола з осями координат.

3. Складiть рiвняння кола описаного навколо прямокутного трикут�ника ABC, якщо ∠ =A 90 , ( )B 4 0; , ( )C − −2 8; .

Повторити: ГМТ, зокрема ГМ точок, рiвновiддалених вiд кiнцiввiдрiзка, формулу вiдстанi мiж двома точками iз заданими коорди�натами.

Урок № 27Рiвняння прямої

Мета: працювати над засвоєнням учнями змiсту теореми про рiв�няння прямої та способу її доведення iз використанням означенняпоняття рiвняння фiгури в прямокутнiй системi координат.

Сформувати знання про:

випадки розташування прямої в системi координат та вид рiвнян�ня прямої в кожному з цих випадкiв;

рiвняння невертикальної прямої виду y kx m= + .

Сформувати вмiння:

вiдтворювати змiст вивченої теореми та її окремих випадкiв;

складати рiвняння прямої загального виду або рiвняння прямоїз кутовим коефiцiєнтом; застосовувати набутi знання до розв’язу�вання задач.

Тип уроку: засвоєння знань, умiнь.

Наочнiсть та обладнання: конспект 18.


Хiд уроку




Учитель може зiбрати зошити учнiв на перевiрку й оцiнити якiстьвиконання домашнiх вправ як домашню самостiйну роботу або про�вести перевiрку домашнього завдання за зразком. Рiвень засвоєннязнань та вмiнь попереднього уроку перевiряємо пiд час виконанняучнями завдань математичного диктанту.


Дано коло ( ) ( )x y− + + =4 1 252 2

.

1) Радiус кола дорiвнює..., а координати центра...2) Коло перетинає вiсь ординат у точках, координати яких...3) Точки ( )M 0 2; i ( )K 4 4; лежать на даному колi, оскiльки...4) Координати середини вiдрiзка MK такi... Ця точка не нале�жить колу, оскiльки...


На цьому етапi вчитель нагадує про мету вивчення теми (див. по�переднiй урок). Пiсля чого пропонує учням пригадати, з чого розпо�чалось вивчення питання про рiвняння фiгури в прямокутнiй сис�темi координат (iз графiка лiнiйної функцiї). Таким чином, постаєпитання про вивчення рiвняння прямої в прямокутнiй системi ко�ординат. Формулювання i доведення вiдповiдної теореми та форму�вання вмiнь її застосовувати до розв’язування задач — основна метауроку.


Виконання усних вправЗ метою усвiдомленого засвоєння учнями змiсту нового матерiалу

уроку можна запропонувати їм вправи на повторення означень таспособiв застосування таких понять:

ГМ точок, рiвновiддалених вiд кiнцiв вiдрiзка;

формула вiдстанi мiж двома точками в прямокутнiй системi коор�динат;

рiвняння фiгури в прямокутнiй системi координат;

системи лiнiйних рiвнянь iз двома змiнними, способи їх розв’я�зання.



План вивчення нового матерiалу1. Теорема про рiвняння прямої та її доведення.2. Окремi випадки розташування прямої в системi координат.3. Рiвняння невертикальної прямої (рiвняння прямої з кутовим

коефiцiєнтом).4. Опорна задача. (Скласти рiвняння прямої, що проходить через двi

точки.)Формулювання i доведення теореми про рiвняння прямоїв прямокутнiй системi координат ґрунтується на означеннiпоняття рiвняння фiгури в прямокутнiй системi координат,на формулi вiдстанi мiж двома точками та уявленнi про гео�метричне мiсце точок, рiвновiддалених вiд кiнцiв вiдрiзка.

Пiсля виведення рiвняння прямої розглядається питання проособливi випадки розташування прямої в системi координат, залеж�ностi мiж коефiцiєнтами a, b, c у загальному рiвняннi прямої та її роз�ташуванням у системi координат (вiдносно координатних осей).

На закiнчення розглядається питання про запис рiвняння невер�тикальної прямої у виглядi y kx m= + (яке пiзнiше буде названорiвнянням прямої з кутовим коефiцiєнтом) та використання саме та�кого способу запису рiвняння прямої для розв’язування задач наскладання рiвняння прямої, що проходить через двi точки, коорди�нати яких вiдомi. Спосiб розв’язання зазначеної задачi передбачаєскладання та розв’язування системи двох лiнiйних рiвнянь iз двомазмiнними. Ця система утворюється пiдстановкою координат двох то�чок, через які проходить пряма, у рівняння y kx m= + . У підручникуО. В. Погорєлова було запропоновано більш складний спосіб, якийпередбачає складання та розв’язування системи двох лінійнихрівнянь із трьома змінними.


Конспект 18

Рiвняння прямої

1. Рiвняння прямої

У прямокутнiй системi координат рiвняння пря�мої має вигляд:

ax bу c+ + = 0,

де a, b, c — деякi числа.


y

0 x

l

2. Окремi випадки розташування прямої

a = 0, b ≠ 0,

yc

b= − , y m=

a ≠ 0, b = 0,

xc

a= − , x n=

a ≠ 0, b ≠ 0,

c = 0, y kx=

3. Рiвняння прямої, що не є паралельною осi ординат

Якщо a ≠ 0, b ≠ 0, то рiвняння ax by c+ + = 0 мож�на подати у виглядi:

ya

bx

c

bkx m= − − = + .

4. Як скласти рiвняння прямої, що проходить через заданi двi точки.Якщо пряма проходить через точку ( )A − −6 1; i ( )B 3 2; , то в рiвняннiy kx m= + :

− = − += +

⎧⎨⎩

1 6

2 3

k m

k m

,

,k = 1

3, m = 1,

отже, рiвняння прямої

y x= +1

31 або y x= + ⏐

⏐⏐⋅1

31 3,

x y+ − =3 3 0, x y− + =3 3 0.


Виконання усних вправ1. Через якi з точок ( )K 5 0; , ( )M −5 3; , ( )B −10 7; , ( )C −25 0; проходить

пряма x y+ − =5 25 0?2. Чи перетинаються в точцi ( )A 0 1; прямi 2 1 0x y+ − = i 3 2 2 0x y− + = ?3. Яке рiвняння прямої m на рисунку?

а) б) в) г)


y

0 x

y m=x n=

x0

yy kx=

x0

y

y

0 x

y

0x

( )A 1 1;−

y

0 x

m

( )A 3 2;

x0

ym

x0

y( )A −3 2;

m( )A − −10 5;

Виконання письмових вправ1. Складiть рiвняння прямої, яка:

1) проходить через точки ( )A − −1 6; i ( )B 1 2; ;2) проходить через початок координат i центр кола

x x y y2 24 2 4 0+ + − + = ;

3) перетинає осi координат у точках ( )−3 0; i ( )0 3;− .2. Складiть рiвняння прямої, яка проходить через точки A i B,

якщо:1) ( )A 5 4;− , ( )B 1 6;− ; 2) ( )A 1 1; , ( )B − −3 3; ; 3) ( )A 6 2; , ( )B −7 2; .

3. Знайдiть точку перетину прямих 3 5 0x y+ + = i x y− − =2 3 0.Додаткова задача (на повторення)Складiть рiвняння кола:1) яке має центр на осi ординат i проходить через точки ( )−5 1; i ( )3 5; ;2) яке має радiус 2 2 i проходить через точки ( )14; i ( )54; .

Умiння та навички, що мають бути сформованi в учнiв за те�мою «Рiвняння прямої», вiдiграють важливу роль у подаль�шому вивченнi математики, тому на уроцi слiд придiлити ува�гу виконанню таких вправ:

перевiрка належностi точки iз заданими координатами прямiй (за�своєння поняття рiвняння фiгури в прямокутнiй системi коорди�нат);складання рiвняння прямої, паралельної до координатних осей аботакої, що проходить через початок координат (засвоєння знань прозв’язок мiж коефiцiєнтами в загальному рiвняннi прямої та її роз�ташуванням у системi координат);складання рiвняння прямої, що проходить через двi точки iз зада�ними координатами;знаходження координат точок перетину двох прямих за їхнiмирiвняннями.


Тестове завдання1. Яка з наведених прямих паралельна осi x, якщо вони заданi

рiвняннями:1) 2 10 0y − = ; 2) 3 27 0x − = ;

3) y x= ; 4) 3 1 0x y− − = ?

2. Запишiть рiвняння прямої, зображеноїна рисунку.

1) y = 0; 2) x = 0; 3) y = 4; 4) x = 4.


y

0 x1

p

3. Чому дорiвнює кутовий коефiцiєнт прямої 2 5 0x y+ − = ?1) k = 2; 2) k = −5; 3) k = 1; 4) k = −2.


Вивчити змiст теореми про рiвняння кола та окремих випадкiврозташування прямої у системi координат (див. конспект 18).

Розв’язати задачi.1. Визначте, якi з точок: ( )A 3 1;− , ( )B −3 0; , ( )C 12 5; , ( )D 1 0; , ( )E − −9 2; —

лежать на прямiй, заданiй рiвнянням x y− + =3 3 0.2. Складiть рiвняння прямої, яка проходить через точку ( )−6 2; i:

1) паралельнi осi ординат;2) паралельнi осi абсцис;3) проходить через початок координат.

3. Складiть рiвняння прямих, що мiстять сторони трикутника ABC,якщо ( )A − −1 1; , ( )B −1 3; , ( )C 2 2; .

4. Знайдiть точку перетину прямих x y− + =1 0 i 2 5 5 0x y− + = .Повторити формули координат середини вiдрiзка, вiдстанi мiж

двома точками та рiвняння кола в прямокутнiй системi координат.


Мета: продовжити роботу над засвоєнням учнями поняттярiвняння фiгури, теорем про рiвняння кола та рiвняння прямоїв прямокутнiй системi координат. Повторити формули координат се�редини вiдрiзка та вiдстанi мiж двома точками iз заданими коорди�натами.

Сформувати навички використання вивчених понять та формулдля розв’язування задач на складання рiвнянь кола та прямої, зна�ходження спiльних точок фiгур за їхнiми рiвняннями.

Тип уроку: застосування знань, формування вмiнь та навичок.Наочнiсть та обладнання: опорнi конспекти 17, 18.

Хiд уроку




Правильнiсть виконання домашнього завдання перевiряємо зазразком (готовi розв’язання роздаються учням для самостiйногоопрацювання та порiвняння з результатами, одержаними пiд час


виконання вправ удома). Можливi питання висвiтлюються пiд часфронтальної роботи.

З метою перевiрки рiвня засвоєння учнями вивчених формулможна провести тестову роботу або математичний диктант. Вiдповiдiперевiряються та коригуються вiдразу пiсля виконання роботи.

Тестова робота

1. Запишiть рiвняння прямої 8 2 14 0x y− + = у виглядi рiвняння пря�мої з кутовим коефiцiєнтом

1) y x= +1

47; 2) y x= +4 7; 3) y x= −1

4

7

4; 4) y x= − +4 7.

2. Пряму задано рiвнянням y x= +2 3. Яка з наведених точок нале�жить цiй прямiй?

1) ( )A − −1 1; ; 2) ( )B 1 1; ; 3) ( )C −1 1; ; 4) ( )D 3 0; .

3. Як розмiщена пряма ax by c+ + = 0 вiдносно системи координат,якщо b = 0 i c = 0?

1) Паралельна осi x; 2) збiгається з вiссю x;

3) паралельна осi y; 4) збiгається з вiссю y.

4. Запишiть рiвняння прямої, яка проходить через точку ( )M −2 5;i утворює з вiссю абсцис кут 60°.

1) yx

= − +1

35 2 2; 2) y x= + +3 5 2 3;

3) y x= + 7; 4) y x= − + +3 5 2 3.


1. З точок ( )A 0 3;− , ( )B 1 1; , ( )C −2 6; , ( )D 2 0; на прямiй 3 2 6 0x y+ − = ле�жать...

2. З прямих x y− + =2 1 0, 3 1 0x y+ + = , y − =2 0 через точку ( )E −1 2;проходять...

3. З графiкiв рiвнянь y x= −3 , yx

= 3, y x= −3 , y x= 3 2 прямими лiнiями

є... З цих прямих через початок координат проходять...

4. Рiвняння прямої, яка проходить через точку ( )M 34; i паралельнаосi y, таке...

5. Пряма 2 3 6 0x y− − = перетинає вiсь x у точцi з координатами...,а вiсь y — у точцi з координатами...

6. Пряма y x= +3 1 утворює з вiссю абсцис кут..., який дорiвнює...,

оскiльки...



Тема уроку визначає його мету — подальше засвоєння знаньучнiв про рiвняння фiгури, кола, прямої; формування сталих умiньта навичок застосовувати набутi знання пiд час розв’язування вiдпо�вiдних планiметричних задач.


Учням пропонується самостiйно за конспектами 17, 18 повторитизмiст матерiалу, вивченого на двох попереднiх уроках.


Залежно вiд рiвня знань та вмiнь учнiв учитель добирає вправидля усної роботи (див. нижче).

Виконання усних вправ1. Складiть рiвняння кола з центром i радiусом R, якщо:

1) ( )O −3 1; , R = 3; 2) ( )O −4 2; , R = 3; 3) ( )O 0 5; , R = 1; 4) ( )O 5 3;− ,

R = 7.

2. Знайдiть координати центра кола й радiус, якщо коло заданорiвнянням:

1) ( ) ( )x y− + − =4 1 92 2

; 2) ( ) ( )x y+ + − =3 5 12 2

;

3) ( ) ( )x y+ + + =6 3 252 2

; 4) ( )x y2 26 7+ − = ; 5) ( )x y+ + =2 5

2 2 .

3. Чи належать точки ( )O 0 0; , ( )A −1 1; , ( )B 10 1; , ( )C − −1 1; , ( )D −2 0;

колу ( ) ( )x y− + + =4 5 412 2

?

4. Складiть рiвняння кола, центром якого є точка ( )H −3 6; i яке до�тикається: 1) до осi абсцис; 2) до осi ординат.

5. В яких точках коло ( ) ( )x y− + + =5 2 42 2

перетинає:

1) вiсь абсцис; 2) вiсь ординат?6. Знайдiть вiдстань мiж центрами кiл

x y2 2 34+ = i ( ) ( )x y+ + − =2 5 72 2

.

7. Запишiть рiвняння прямих a i b, що зображенi на рис. 1.8. Запишiть рiвняння прямих a i b, що зображенi на рис. 2.

Рис. 1 Рис. 2


x0

y

b( )A − −5 2;

aa

45°

by

0 x

30°


1. Доведiть, що коло ( ) ( )x y− + + =2 3 42 2

дотикається до осi ординат.

Знайдiть координати точки дотику.2. Коло з центром ( )C −4 5; дотикається до осi абсцис. Складiть рiв�

няння цього кола i знайдiть точки його перетину з вiссю ординат.3. Знайдiть точки перетину:

1) прямої x y− + =3 6 0 i кола ( ) ( )x y− + − =2 1 252 2

;

2) кiл ( )x y− + =2 12 2 i x y2 2 5+ = .

4. Знайдiть периметр трикутника, обмеженого прямими 4 3 3 0x y− + = ,y = 1, x = 3. Складiть рiвняння прямої, що мiстить медiану трикутни�ка, проведену до середньої за довжиною сторони.Додаткова задачаДоведiть, що прямi x y+ − =5 0, 2 4 0x y− − = i x y− + =3 3 0 перетина�

ються в однiй точцi.


На цьому етапi бажано провести рефлексiю: нагадати учням метувивчення теми «Рiвняння кола та прямої» (див. урок № 26) таспонукати їх до самоаналiзу щодо досягнення цiєї мети та про�блем, якi кожен має розв’язати на цьому шляху.


Повторити змiст теоретичного матерiалу теми за пiдручником.Виконати домашню самостiйну роботу.


1. Назвiть радiус та координати центра кола, заданого рiвнянням

( ) ( )x y− + + =4 3 42 2

.

Чи лежить точка ( )A 4 1;− на цьому колi?2. Складiть рiвняння кола радiуса 3 iз центром у точцi ( )−3 2; . Чи на�

лежить цьому колу точка ( )M 1 0; ?3. Назвiть радiус та координати центра кола, заданого рiвнянням

x x y y2 26 2 6 0+ + − − = . Чи має це коло спiльнi точки iз координат�

ними осями?4. Коло, яке має центр на осi абсцис, проходить через точки ( )2 1;

( )і ;6 3 . Чи проходить це коло через точку ( )4 3; ?5. Чи проходить пряма, задана рiвнянням 7 2 1 0x y+ − = , через точку

( )A −1 4; ?


6. Складiть рiвняння прямої, яка проходить через точку ( )−6 3; i па�ралельна осi абсцис.

7. Складiть рiвняння прямої, що проходить через точки ( )− −1 6; i ( )1 2; .Чи перетинає ця пряма пряму, задану рiвнянням 2 3 1 0x y+ − = ?

8. Пряма проходить через точки ( )0 6; i ( )4 9; . На якiй вiдстанi вiд по�чатку координат проходить ця пряма?

Варiант 2

1. Назвiть радiус та координати центра кола, заданого рiвнянням

( ) ( )x y+ + − =3 5 92 2

. Чи лежить точка ( )A − −3 2; на цьому колi?

2. Складiть рiвняння кола радiуса 4 з центром у точцi ( )3 2;− . Чи на�лежить цьому колу точка ( )M 1 0; ?

3. Назвiть радiус та координати центра кола, заданого рiвняннямx x y y2 24 6 12 0+ + − − = . Чи має це коло спiльнi точки iз координат�

ними осями?

4. Коло, яке дотикається до координатних осей, проходить черезточку ( )4 2; . Запишiть рiвняння цього кола.

5. Чи проходить пряма, задана рiвнянням 7 2 1 0x y+ − = , через точку( )A 1 4;− ?

6. Складiть рiвняння прямої, яка проходить через точку ( )−6 3; i па�ралельна осi ординат.

7. Складiть рiвняння прямої, що проходить через точки ( )−3 5; ( )і ;1 3− .Чи перетинає ця пряма пряму, задану рiвнянням 2 3 1 0x y+ − = ?

8. Пряма проходить через точки ( )1 3;− i ( )− −1 7; . На якiй вiдстанi вiдпочатку координат проходить ця пряма?

Урок № 29Розв’язування задач методом координат. Взаємнерозташування прямих у системi координат

Мета: сформувати в учнiв уявлення про метод координат; сформу�лювати схему розв’язування геометричних задач методом координат.Працювати над засвоєнням учнями поняття кутового коефiцієнтав рівнянні прямої, знань критеріїв паралельності та перпендикуляр�ності прямих.

Сформувати первиннi вмiння вiдтворювати виведенi формули тазмiст теореми, записувати їх вiдповiдно до умов практичних задач,а також розв’язувати задачi на обчислення iз використанням цихформул.



Наочнiсть та обладнання: конспект «Метод координат. Взаємнерозташування прямих у системi координат».

Хiд уроку


ІІ. Перевiрка домашнього завданняУчитель збирає зошити на перевiрку iз виконаною домашньою

самостiйною роботою. У разi необхiдностi учнi (iз низьким рiвнем на�вчальних досягнень) отримують правильнi розв’язання цих вправдля самостiйного опрацювання вдома. Можна також провести аналiзрозв’язання найбiльш складних задач.

ІІІ. Формулювання мети i завдань урокуПiд час можливого обговорення вправ домашньої самостiйної ро�

боти вчитель демонструє учням особливостi теми «Декартовi коорди�нати». Однiєю з таких особливостей є використання вiдповiдностiмiж геометричними об’єктами та алгебраїчними виразами або фор�мулами, що вiдображують властивостi цих об’єктiв. Таким чином,учитель може, по�перше, пiдготувати учнiв до усвiдомленого сприй�няття змiсту координатного методу розв’язання геометричних задачта, по�друге, створити умови для позитивної мотивацiї навчальноїдiяльностi учнiв на уроцi.

ІV. Актуалiзацiя опорних знань та вмiньЗ метою усвiдомленого засвоєння учнями змiсту нового матерiалу

уроку можна запропонувати їм вправи на:складання рiвняння прямої в декартових координатах, якщо пря�ма паралельна до однiєї з координатних осей та проходить черезточку iз заданими координатами;складання рiвняння кола за вiдомим центром та радiусом, за коор�динатами кiнцiв одного з дiаметрiв;перетворення цiлих алгебраїчних виразiв;спiввiдношення мiж сторонами i кутами прямокутного трикутника;повторення ознак паралельностi двох прямих, що перетнутi третьою;застосування формул зведення для кутiв 180° − α.


1. Уявлення про схему розв’язання задачi методом координат.2. Поняття кутового коефiцiєнта прямої в рiвняннi невертикальної

прямої y kx m= + та його геометричний змiст.


3. Критерiй паралельностi прямих у системi координат.4. Критерiй перпендикулярностi прямих у системi координат.

Хоча матерiал, що винесений на урок, не є обов’язковим длявивчення, проте питання про загальну схему розв’язання за�дач координатним методом бажано розглянути, оскiльки во�лодiння вмiннями розв’язувати задачi цим методом передба�чено критерiями оцiнювання вiдкритої частини завдань ЗНОз математики. Бiльше того, свiдоме володiння учнями мето�дом координат суттєво розширює арсенал засобiв, якi учнi мо�жуть використовувати пiд час розв’язування геометричнихзадач. Застосування цього методу допомагає учням деякi за�дачi розв’язувати бiльш простими способами.

Учням, якi цiкавляться математикою, корисною може бути до�даткова iнформацiя про те, як перекласти умову задачi на мову коор�динат.

Поняття кутового коефiцiєнта прямої, критерiї паралельностi таперпендикулярностi прямих у системi координат не є обов’язковимидля вивчення згiдно за вимогами програми. Проте, якщо учнi добрезасвоїли основний матерiал роздiлу «Декартовi координати на пло�щинi», бажано цi питання розглянути (без доведення).


Конспект 19

Метод координат.Взаємне розмiщення прямих у системi координат

1. Схема розв’язування геометричних задач методом координат.

1) Сформулювати умову задачi мовою координат (задавши на площинiсистему координат).

2) Перетворити алгебраїчнi вирази, що утворились при цьому, використо�вуючи вiдомi спiввiдношення та формули.

3) «Перекласти» здобутий результат мовою геометрiї.

2. Кутовий коефiцiєнт в рiвняннi прямої.

У рiвняннi прямої y kx m= +число k — кутовий коефiцiєнт.

ky y

x x= = −

−tgα 2 1

2 1

,

де ( )x x1 2; i ( )y y1 2; — координатидвох точок прямої, α — кут нахилупрямої до додатної пiвосi абсцис.


y kx m= +y

0 xα

3. Критерiй паралельностi прямих у системi координат.

Якщо то

l1: y k x m= +1 1,

l2: y k x m= +2 2,k k1 2= , m m1 2≠

⇔ l l1 2| |

4. Критерiй перпендикулярностi прямих.

Якщо то

l1: y k x m= +1 1,

l2: y k x m= +2 2, k k1 2 1⋅ = −

⇔ l l1 2⊥


Виконання усних вправ1. Назвiть координати вершин прямокутника ABCD (рис. 1).

а) б) в)Рис. 1

2. За рис. 2 запишiть рiвняння прямих.

а) б) в)Рис. 2

3. Дано прямi:1) 2 2 0x y− + = ; 2) x − =2 0; 3) x y+ + =2 0; 4) y + =3 0.Яка з них проходить через точку ( )2 4;− ? Кутовий коефiцiєнт якоїпрямої дорiвнює (–1)? Яка з цих прямих не має кутового коефi�цiєнта? Чому? Яка з цих прямих паралельна осi x, осi y?


l1 l2

y

0 xα

α2

y

0 x

α 1

l1l2

( )C 6 4;y

0 xA

x0

y

45°

2

–4

45°

y

0 x3

45°

y

0 x

B

D

( )A −5 1;

D

B

x0

y( )C 5 5; D

B( )A 2 2;−x

0

y( )C 10 6;

α

4. Назвiть кутовий коефiцiєнт прямої, яка:

1) паралельна прямiй y x= − +0 5 7, ;

2) перпендикулярна до прямої y x= − +0 5 7, .

Виконання письмових вправ1. Складiть рiвняння прямої, яка:

1) паралельна прямiй 2 3 1 0x y+ + = i проходить через точку ( )1 1; ;

2) паралельна прямiй x y+ − =14 0 i проходить через початок коор�динат.

2. Складiть рiвняння прямої, яка нахилена до додатної пiвосi абсци�си пiд кутом 60° i проходить через точку ( )0 1; .

3. Доведiть методом координат, що сума квадратiв дiагоналей пара�лелограма дорiвнює сумi квадратiв усiх його сторiн.

4. Доведiть, що вiдрiзок, який сполучає середини дiагоналей тра�пецiї, паралельний її основам i дорiвнює їх пiврiзницi.

Додаткова задача (на повторення)Вершини трикутника ABC мають координати ( )A −2 1; , ( )B −1 4; ,

( )C 1 4; . Знайдiть на координатнiй площинi точку D таку, що Δ ABC == Δ ADC.


Контрольнi запитанняДвi прямi заданi рiвняннями y x m= −3 i y kx= + 2. Якими можуть

бути значення k i m, щоб цi двi прямi:

1) були паралельними;

2) перетиналися з вiссю 0y в однiй i тiй самiй точцi;

3) були перпендикулярними?


Вивчити змiст засвоєних на уроцi понять (див. конспект 19).


1. Дано пряму 2 4 0x y− + = i точку ( )A 11; . Через точку A проведенопряму, паралельну заданiй, i пряму, перпендикулярну до зада�ної. Складiть рiвняння цих прямих.

2. Доведiть методом координат, що середня лiнiя трапецiї паралель�на її основам.

3. Складiть рiвняння прямої, яка нахилена до додатної пiвосi абсциспiд кутом 135° i проходить через точку ( )0 1;− .

Повторити формули координат середини вiдрiзка, вiдстанi мiждвома точками, рiвняння кола та загальне рiвняння прямої.



Мета: працювати над засвоєнням учнями схеми розв’язаннязадач методом координат, критерiїв паралельностi та перпендику�лярностi двох прямих у системi координат; повторити теоретичнiвiдомостi, якi були розглянутi пiд час вивчення теми 3 (формули ко�ординат середини вiдрiзка, вiдстанi мiж двома точками, рiвняннякола та прямої в системi координат).

Працювати над формуванням сталих навичок застосування набутихзнань пiд час розв’язування геометричних задач засобами алгебри.

Тип уроку: комбiнований.Наочнiсть та обладнання: конспект 19.

Хiд уроку




Форма проведення цього етапу визначною мiрою залежить вiдрiвня знань та вмiнь учнiв. Учням можна запропонувати перевiритидомашнє завдання за зразком або пiд час фронтальної роботи проко�ментувати розв’язання домашнiх задач за записами, якi виконалиучнi з високим рiвнем навчальних досягнень на дошцi. Можна про�вести самостiйну роботу з виконання вправ, аналогiчних за змiстомдо вправ домашньої роботи.


Вчитель формулює завдання на урок, виходячи з проблем та пи�тань, якi виникли в учнiв пiд час виконання домашнього завдання.

ІV. Застосування знань

Виконання усних вправ1. Дано двi точки ( )A 1 2;− i ( )B 4 2; .

1) Яка вiдстань мiж ними?2) Якi координати середини Cвiдрiзка AB?3) Яка з точок ближче розмi�щена до початку координат?

2. Знайдiть синус, косинус i тан�генс кутаα (рис. 1).


а) б)Рис. 1

x0

y

α

( )A 4 3; α

y

0 x

( )B −4 3;

3. Запишiть рiвняння кола (рис. 2).

а) б) в)Рис. 2 Рис. 3

4. Вiдрiзки якої довжини вiдтинає на осях координат пряма AB(рис. 3)?

V. Формування вмiнь та навичок

Виконання письмових вправ1. Складiть рiвняння дотичних до кола x y2 2 25+ = у точках ( )3 4;

( )і ;− −3 4 . Доведiть, що цi дотичнi паралельнi.2 (опорна). Рiвняння прямої, що проходить через точки ( )x y1 1;

( )і ;x y2 2 , має виглядx x

x x

y y

y y

−−

=−−

1

2 1

1

2 1

. Доведiть.

3 (опорна). Прямi a x b y c1 1 1 0+ + = i a x b y c2 2 2 0+ + = перпендикулярнiтодi й тiльки тодi, коли a a b b1 2 1 2 0+ = . Доведiть.

4. Катет i гiпотенуза прямокутного трикутника дорiвнюють вiдпо�вiдно a 2 i a 3. Доведiть, що медiани, проведенi до цих сторiн,взаємно перпендикулярнi.Додаткова задача (на повторення)Через якi з точок ( )A 0 5; , ( )B 3 5;− , ( )C 7 10;− , ( )D 0 25;− проходить

пряма 5 25 0x y− − = ?


Контрольнi запитанняДано точки ( )A −3 1; i ( )B −1 4; . Якомога швидше дайте вiдповiдi на

запитання:1) координати середини вiдрiзка AB;2) довжина AB;3) рiвняння кола ( )A R AB; = ;4) рiвняння прямої AB;5) пiд яким кутом (гострим, тупим) перетинає пряма AB додатнупiввiсь абсцис;6) рiвняння паралельної прямої;7) рiвняння перпендикулярної прямої.


x0

y

3C x y+ − =2 4 0

y

0x

6

C5

y

0 x

5

C–3

y

0x


Повторити змiст основних понять урокiв № 29, 30 (див. конспект 19).Розв’язати задачi.

1. Доведiть методом координат, що паралелограм, який має рiвнiдiагоналi, є прямокутником.

2. Три сторони квадрата лежать на прямих 3 1 0x y+ + = , 3 9 0x y+ − = ,x y− − =3 3 0. Складiть рiвняння прямої, на якiй лежить четвертасторона. Скiльки розв’язкiв має задача?

3. У прямокутнику ABCD AB a= 2 , AD a= 5 . На сторонi AD позначеноточку K так, що AK a= . Доведiть, що BK KC⊥ .Повторити змiст теоретичного матерiалу теми 3.

Урок № 31Пiдсумковий урок


• поняття декартової системи координат;• формул для обчислення координат середини вiдрiзка, вiдстанi мiж

двома точками;• поняття рiвняння фiгури та теорем про рiвняння кола та рiвняння

прямої;• способiв застосування набутих знань та вмiнь до розв’язування за�

дач координатним методом.Систематизувати вмiння учнiв застосовувати набутi знання пiд

час розв’язування задач, що передбаченi програмою з математики.Тип уроку: узагальнення та систематизацiя знань та вмiнь.Наочнiсть та обладнання: конспекти 16–19.

Хiд уроку



Зiбрати зошити з виконаною домашньою самостiйною роботою.За необхiдностi правильнi розв’язання роздаються учням для само�стiйного опрацювання вдома.


Як i завжди, основна мета уроку випливає з його мiсця в темi.Оскiльки урок є пiдсумковим, то виникає необхiднiсть повторення,узагальнення та систематизацiї знань та вмiнь, набутих учнями пiд


час вивчення теми 3. Таке формулювання мети створює вiдповiднумотивацiю дiяльностi учнiв.


Залежно вiд рiвня пiдготовки учнiв проведення цього етапууроку вчитель може органiзувати рiзними способами: як са�мостiйну роботу з теоретичним матерiалом (наприклад, запiдручником або конспектом повторити змiст основних по�нять теми), провести опитування (у формi iнтерактивної впра�ви) за основними питаннями теми, запропонувати учням тес�тову роботу тощо.

Контрольнi запитання1. Опишiть прямокутну систему координат на площинi.2. Доведiть формули координат середини вiдрiзка.3. Доведiть формулу вiдстанi мiж двома точками.4. Запишiть рiвняння кола в прямокутнiй системi координат.5. Запишiть рiвняння прямої в прямокутнiй системi координат.


На цьому етапi, як i на попередньому, бажано органiзуватиучнiв таким чином, щоб активiзувати їхню самостiйну дiяль�нiсть. Учитель об’єднує учнiв у робочi групи (за кiлькiстювидiв задач). Кожнiй групi пропонується систематизувативиди задач, якi вони навчилися розв’язувати пiд час вивченнятеми.

Основнi види задач на застосування вивчених у темi 3 понять:• знаходження координат середини вiдрiзка та вiдстанi мiж двома

точками за формулами;• складання рiвняння кола або рiвняння прямої (рiзного ступеня

складностi);• знаходження координат точок перетину кола (прямої) з iншою

прямою, колом, координатними осями;• доведення того факту, що фiгура належить до певного виду (довес�

ти, що чотирикутник є паралелограмом, ромбом тощо).Пiсля формування списку основних видiв завдань учитель пропо�

нує кожнiй групi завдання, яке формулюється так: «Скласти планрозв’язання задачi…» (кожна з груп отримує iндивiдуальне завдання).На складання плану кожнiй групi вiдводиться певний час, за якийучасники групи мають обговорити план розв’язання, записати йогоу виглядi послiдовних крокiв, реалiзувати та пiдготувати презента�цiю своєї роботи. По закiнченнi вiдбувається обговорення складених


планiв: учитель або учнi (iнших груп) пропонують змiнити яку�небудьiз заданих величин i пояснити, як змiниться розв’язання задачi.Пiсля обговорення — обов’язкова корекцiя.


Пiдсумком уроку узагальнення та систематизацiї знань i вмiньучнiв є, по�перше, складенi ними узагальненi схеми дiй пiд час розв’я�зування типових завдань, по�друге — здiйснення учнями необхiдноїчастини свiдомої розумової дiяльностi — рефлексiї — вiдображеннякожним учнем сприйняття своїх успiхiв, та найголовнiше — проблем,над якими слiд ще попрацювати перед контрольною роботою.


Повторити змiст вивчених понять теми.Вивчити складенi на уроцi схеми дiй.Використовуючи складенi схеми, розв’язати задачi домашньої


Домашня контрольна робота1. Вiдрiзок BD — медiана трикутника ABC. Знайдiть координати

вершини C, якщо ( )A −17; , ( )D 31; .2. Точки ( )A − −3 1; i ( )B 5 5; — кiнцi дiаметра кола. Знайдiть радiус

цього кола.3. Складiть рiвняння кола з центром ( )3 4;− , яке проходить через по�

чаток координат.4. Знайдiть точки перетину прямої 2 5 20 0x y− + = з осями координат.5. Визначте, чи є вiдрiзок AB дiаметром кола x x y2 26 0+ + = , якщо

( )A −1 5; , ( )B − −5 5; .

6. Доведiть, що чотирикутник ABCD — прямокутник, якщо ( )A −2 0; ,( )B 4 3; , ( )C 5 1; , ( )D − −1 2; .

Урок № 32Декартовi координати на площинi.Тематична контрольна робота № 3

Мета: перевiрити:• рiвень засвоєння учнями знань та вмiнь вiдповiдно до вимог про�

грами щодо змiсту основних понять теми 3;• якiсть сформованих умiнь розв’язувати задачi з використанням

формул для знаходження координат середини вiдрiзка, вiдстанiмiж двома точками;


• якiсть сформованих умiнь застосовувати поняття рiвняння фiгурита теорем про рiвняння кола та прямої до розв’язування задач.Тип уроку: контроль рiвня засвоєння знань та вмiнь.

Хiд уроку



Учитель збирає зошити з виконаною домашньою контрольноюроботою № 3 на перевiрку.


Учитель ще раз може наголосити, що метою контрольної роботи єдемонстрацiя учнями своїх навчальних досягнень, тобто знаньзмiсту основних понять та оволодiння прийомами їх застосуванняпiд час розв’язування програмових задач.

ІV. Тематична контрольна робота № 3

Варiант 11. З точки ( )A −2 5; до осi OX проведено перпендикуляр AB. Знайдiть

координати точки B.2. Точка C — середина вiдрiзка AB. Знайдiть:

1) координати точки C, якщо ( )A −3 2; i ( )B 1 6; ;2) координати точки B, якщо ( )A −7 4; ; ( )C −3 2; .

3. Коло задане рiвнянням ( ) ( )x y− + + =2 7 42 2

. Визначте радiус та ко�

ординати його центра; вiдстань вiд центра кола до початку коор�динат.

4. Складiть рiвняння прямої AB, якщо ( )A 4 1;− i ( )B 1 3; .5. Доведiть, що коло x x y y2 26 14 49 0+ + − + = дотикається до осi OY.

6. Доведiть, що точки ( )A 1 2; , ( )B 5 6; , ( )C 9 2; i ( )D 5 2;− є вершинамиквадрата.Варiант 2

1. З точки ( )M 3 4;− до осi OY проведено перпендикуляр MN.Знайдiть координати точки N.

2. Точка C — середина вiдрiзка AB. Визначте:1) координати точки C, якщо ( )A 2 0; , ( )B −4 8; ;2) координати точки A, якщо ( )B 3 7; , ( )C 0 6; .

3. Коло задане рiвнянням ( )x y+ + =3 362 2 . Визначте радiус i коорди�

нати центра цього кола. На якiй вiдстанi вiд точки ( )A 0 5; знахо�диться центр цього кола?


4. Складiть рiвняння прямої CD, якщо ( )C −2 5; , ( )D 4 3; .5. Доведiть, що коло x x y y2 28 10 16 0+ + − + = дотикається до осi абсцис.

6. Доведiть, що точки ( )C − −1 3; , ( )D 2 0; , ( )E 4 2;− i ( )F 1 5;− є вершинамипрямокутника.


Як варiант проведення цього етапу уроку можна запропонувати(пiсля виконання роботи) оголошення правильних вiдповiдей дозавдань, виконаних учнями або роздати учням для опрацюваннявдома (домашнiй аналiз контрольної роботи) копiї правильнихрозв’язань завдань контрольної роботи № 3 (заготовлених учите�лем заздалегiдь).


Виконати аналiз контрольної роботи (за розданими розв’язаннями).Повторити аксiому вимiрювання вiдрiзкiв, означення рiвних

фiгур (7 клас).


ТЕМА 4. ГЕОМЕТРИЧНI ПЕРЕТВОРЕННЯ

Урок № 33Поняття про геометричне перетворення.Перемiщення та його властивостi

Мета: сформувати в учнiв уявлення про перетворення фiгур, об�раз фiгури; ввести поняття перемiщення; розглянути теорему, щовиражає основну властивiсть перемiщення, та її наслiдки. Сформува�ти вмiння вiдтворювати означення перетворення фiгури, перемiщен�ня, теорему про основну властивiсть перемiщення, а також викорис�товувати вивченi твердження пiд час розв’язування задач.

Тип уроку: засвоєння знань, умiнь.Наочнiсть та обладнання: конспект «Перетворення фiгур. Пере�

мiщення».

Хiд уроку




Учитель збирає зошити учнiв iз виконаним аналiзом контрольноїроботи, а також коментує найскладнiшi моменти розв’язання задачконтрольної роботи.


Тема «Перетворення фiгур» стоїть окремо в курсi геометрiї, томуз метою усвiдомлення значення цього роздiлу в системi геометрич�них знань, що вивчаються в середнiй школi, вчитель може провестиз учнями бесiду, пiд час якої нагадає, що предметом вивчення гео�метрiї є геометричнi фiгури та їх властивостi, вiдношення мiж гео�метричними фiгурами. До вiдомих учням вiдношень мiж фiгураминалежать паралельнiсть прямих, рiвнiсть геометричних фiгур. Про�те, крiм вiдношень мiж фiгурами, сучасна геометрiя вивчає ще однепоняття — перетворення фiгур. Розкриття змiсту цього поняття,вивчення його властивостей, рiзновидiв i питання про застосуванняперетворення фiгур є основною метою вивчення роздiлу. Метою ж


уроку є формування в учнiв знань про перетворення, перемiщенняфiгур та про їх основнi властивостi.


З метою пiдготовки учнiв до сприйняття нових понять слiд акти�вiзувати їхнi знання та вмiння щодо:

• означення та властивостi перпендикуляра, проведеного з точки допрямої;

• означення кола та його елементiв;• аксiоми вимiрювання вiдрiзкiв;• нерiвностi трикутника;• ознак рiвностi трикутникiв, поняття рiвностi фiгур.



План вивчення нового матерiалу1. Означення перетворення фiгур.2. Означення перемiщення.3. Теорема про основну властивiсть перемiщення.4. Наслiдки з теореми про властивiсть перемiщення.5. Теорема про зв’язок перемiщення i накладання та її наслiдки.

Враховуючи специфiку теми «Геометричнi перетворення» таособливостi сприйняття її учнями, вивчення кожного питанняплану можна провести близько до тексту пiдручника у формiбесiди. Акценти слiд зробити на таких моментах:

• перетворення фiгур є вiдповiднiстю мiж точками фiгур (iснуютьпевнi аналогiї з функцiональною вiдповiднiстю), а отже, можемати рiзнi види;

• перемiщення можна розглядати як один iз видiв перетворень фi�гур – перетворення, для якого задано додаткову умову — зберiга�ються вiдстанi мiж будь�якими двома точками. Завдяки цiй умовiперемiщення має низку особливих властивостей;

• перемiщення можна розглядати як перетворення, яке дає мож�ливiсть утворювати iз заданої фiгури рiвну їй фiгуру. Тобто маємозагальну ознаку рiвностi фiгур — якщо одна фiгура утвореназ iншої шляхом перемiщення, то такi фiгури рiвнi.Стисло змiст навчального матерiалу учням можна подати у ви�



Конспект 20

1. Означення. Перетворенням фiгури F у фiгуру F′ називається такавiдповiднiсть, за якої:

1) кожнiй точцi фiгури F вiдповiдає єдина точка фiгури F′;2) кожнiй точцi фiгури F′ вiдповiдає деяка точка фiгури F;

3) рiзним точкам фiгури вiдповiдають рiзнi точки фiгури F′. Фiгура F′ —образ фiгури F.

2. Означення. Перемiщенням (рухом) називається таке перетворенняфiгури в iншу, пiд час якого зберiгається вiдстань мiж точками.

Якщо F′ — образ F, що одержуємо внаслiдок перемiщення, то будь�якiдвi точки X i Y фiгури F переходять у точки X′ i Y′ фiгури F′, так щоXY X Y= ′ ′.

3. Властивостi перемiщення

1) Теорема. Пiд час перемiщення точки, що лежать на прямiй, перехо�дять у точки, що лежать на прямiй, i порядок їх взаємного розмiщеннязберiгається.

2) Наслiдок 1. Пiд час перемiщення прямi переходять у прямi, про�менi — у променi, вiдрiзки — у вiдрiзки.

3) Наслiдок 2. Пiд час перемiщення зберiгаються кути мiж променями.

4. Перемiщення i накладання

1) Теорема (про зв’язок перемiщення i накладання). Будь�яке накладан�ня є перемiщенням, i навпаки: будь�яке перемiщення є накладанням.

2) Наслiдок. Рiвнi фiгури переводяться одна в одну перемiщенням, i навпа�ки: пiд час перемiщення будь�яка фiгура переходить у рiвну їй фiгуру.

3) Означення. Двi фiгури називаються рiвними, якщо вони переводятьсяодна в одну перемiщенням.


Виконання усних вправ1. Чи може деяке перемiщення переводити:

1) сторону паралелограма в протилежну сторону;2) одну з основ трапецiї в iншу;3) один iз кутiв при основi рiвнобедреного трикутника в iнший;4) один iз кутiв єгипетського трикутника в iнший?

2. Вiдрiзок AC i його середина B унаслiдок перемiщення переходятьу вiдрiзок A C′ ′ i точку B ′ вiдповiдно. Знайдiть довжину вiдрiзкаA C′ ′, якщо AB = 20 см.

3. Пiд час перемiщення чотирикутника ABCD дiстали квадратA B C D′ ′ ′ ′. Визначте довжину дiагоналi BD, якщо A C′ ′ = 4см.


4. Трикутник A B C′ ′ ′ є образом рiвностороннього трикутника ABC,здобутого в результатi перемiщення. Визначте кути трикутникаA B C′ ′ ′.Виконання письмових вправ

1. Точки A, B i C не лежать на однiй прямiй i пiд час перемiщенняпереходять у точки A′, B ′ i C ′ вiдповiдно. Доведiть рiвнiсть три�кутникiв ABC i A B C′ ′ ′.

2. Доведiть, що пiд час перемiщення сумiжнi кути переходять у су�мiжнi кути.

3. Пiд час перемiщення рiзностороннiй трикутник ABC переходитьу трикутник MNK, причому ∠ = ∠A N, ∠ =B 70 , ∠ =M 20 . Знай�дiть кути N i K.

4. Доведiть, що якщо образом заданого чотирикутника, який одер�жали внаслiдок перемiщення, є трапецiя, то цей чотирикутниктакож є трапецiєю.

5. Внаслiдок перемiщення ромб ABCD переходить у чотирикутникA B C D′ ′ ′ ′. Знайдiть кути чотирикутника A B C D′ ′ ′ ′, якщо AB AC= .Додаткова задача (на повторення). Доведiть, що вiдрiзок, який

має кiнцi на сторонах правильного шестикутника i проходить черезйого центр, дiлиться цiєю точкою навпiл.

Вправи, що запланованi для розв’язування на уроцi, спрямо�ванi на засвоєння учнями означень перетворення фiгур, пере�мiщення та його властивостей. Усi запропонованi задачi перед�бачають формування та засвоєння учнями вмiнь проводитистандартнi мiркування за схемою: оскiльки подане перетворен�ня є перемiщенням, то за властивiстю (теоремою або одним з їїнаслiдкiв)… (далi робиться висновок щодо спiввiдношень мiжелементами фiгури, що розглядається в задачi).

Розв’язування додаткової задачi на повторення сприятиме пiдго�товцi учнiв до сприйняття навчального матерiалу наступного уроку.

VІІ. Пiдсумки урокуКонтрольнi запитанняДано два рiвностороннi трикутники, периметр одного з яких

удвiчi бiльший за периметр другого. Чи можна задати перетворенняодного з цих трикутникiв у iнший? Чи буде це перетворення пере�мiщенням? Чому?

VІІІ. Домашнє завданняВивчити змiст основних понять уроку, теорем та їх наслiдкiв

(див. конспект 20).Розв’язати задачi.


1. Доведiть, що в результатi перемiщення вертикальнi кути перехо�дять у вертикальнi кути.

2. Трикутник MNK — образ трикутника ABC, здобутий у результатiперемiщення. Знайдiть кути трикутника ABC, якщо AB BC= ,а найбiльший кут трикутника MNK дорiвнює 100 .

3. Внаслiдок перемiщення чотирикутник ABCD переходить у чоти�рикутник A B C D′ ′ ′ ′. Знайдiть кути чотирикутника ABCD, якщоA D B C′ ′ ′ ′| | , A B C D′ ′ = ′ ′, ∠ ′=B 140 .Повторити означення паралелограма та його властивостi; види

чотирикутникiв; формули довжини вiдрiзка та вiдстанi мiж двоматочками в прямокутнiй системi координат. Розв’язати задачу.

Вiдрiзок iз кiнцями на бiчних сторонах рiвнобедреного трикутни�ка, перпендикулярний висотi, проведенiй до основи, дiлиться цiєювисотою навпiл. Доведiть.

Урок № 34Симетрiя вiдносно точки. Симетрiя вiдносно прямої

Мета: сформувати знання учнiв про змiст:• означення точок, симетричних вiдносно заданої точки та точок, си�

метричних вiдносно заданої прямої;• теорем, що виражають основну властивiсть точок, симетричних вiд�

носно заданої точки та точок, симетричних вiдносно заданої прямої.Сформувати первиннi вмiння:

• вiдтворювати вивченi означення та властивостi;• виконувати побудову точок та простих фiгур, симетричних зада�

ним вiдносно точки або прямої;• розв’язувати задачi з використанням вивчених тверджень та фор�

мули координат середини вiдрiзка, вiдстанi мiж двома точками.Тип уроку: засвоєння знань, умiнь та навичок.Наочнiсть та обладнання: конспект «Симетрiя вiдносно точки,

прямої».

Хiд уроку




Оскiльки письмовi вправи домашньої роботи вiдтворювали ситу�ацiї, аналогiчнi до розглянутих на попередньому уроцi, то пере�вiряємо лише правильнiсть виконання обчислень.


З метою оперативної перевiрки засвоєння учнями знань та вмiнь,можна провести математичний диктант.

Математичний диктантВарiант 1 [Варiант 2]

1. Внаслiдок перемiщення точки A, B i C переходять у точки A′, B ′ i C ′.Точка C [ ]A лежить мiж точками A i B [B i ]C . Як розташованiточки A′, B ′ i C ′?

2. У яку фiгуру переходить унаслiдок перемiщення вiдрiзок довжи�ною 3 см? [У яку фiгуру переходить у результатi руху промiнь?]

3. У яку фiгуру переходить у результатi руху промiнь? [Пiд час пе�ремiщення точки A, B i C переходять вiдповiдно в точки A′, B ′ i C ′.Кут ABC дорiвнює 60 . Який кут ще ви можете знайти? Яка йогоградусна мiра?]

4. У результатi перемiщення точка A переходить у точку A′, B —у точку B ′, C — у точку C ′. ∠ ′ ′ ′=A B C 90 . Який кут ще ви можетезнайти? Яка його градусна мiра? [У яку фiгуру переходить уна�слiдок перемiщення вiдрiзок довжиною 2 дм?]

5. Як називають фiгури, що утворенi одна з одної перемiщенням?[Чи iснує перемiщення, пiд час якого вiдрiзок з кiнцями в точках(0;0) i (0;3) переходить у вiдрiзок з кiнцями у точках (2;0) i (5;0)?]

6. Чи iснує рух, пiд час якого коло x y2 2 9+ = переходить у коло

x y2 2 4+ = ? [Як називають фiгури, утворенi перемiщенням?]


На цьому етапi уроку доречно нагадати учням основну мету ви�вчення теми 4 — вивчення видiв перетворень фiгур, їх властивостейта способiв застосування до розв’язування задач. Оскiльки основнi по�няття, що вивчалися на попередньому уроцi, учнi повторили пiд часвиконання та перевiрки математичного диктанту, то можна переходи�ти до вивчення видiв перемiщення та їх властивостей. Отже, мета уро�ку — вивчення означень, основних властивостей найпростiших видiвперемiщення та способiв їх застосування до розв’язування задач.


З метою пiдготовки учнiв до сприйняття змiсту нового матерiалууроку слiд активiзувати їх знання щодо означення та властивостейпаралелограма, ознак рiвностi трикутникiв, формул знаходженнявiдстанi мiж двома точками iз заданими координатами в прямокутнiйсистемi координат. Для цього можна запропонувати учням виконативiдповiднi уснi вправи.




1. Означення точок, симетричних вiдносно точки. Перетворення си�метрiї вiдносно заданої точки (центральна симетрiя). Централь�но�симетричнi фiгури. Центр симетрiї фiгури.

2. Основна властивiсть центральної симетрiї.

3. Означення точок, симетричних вiдносно прямої. Перетвореннясиметрiї вiдносно прямої (осьова симетрiя). Фiгура, симетричнавiдносно заданої прямої. Вiсь симетрiї фiгури.

4. Основна властивiсть осьової симетрiї.

Основна особливiсть навчального матерiалу уроку полягає в то�му, що учнi мають певнi iнтуїтивнi уявлення про перетвореннясиметрiї вiдносно точки та перетворення симетрiї вiдноснопрямої. Другий момент, який має врахувати вчитель пiд часпiдготовки до уроку, — досить велика кiлькiсть нових понять,пов’язаних iз поняттям перетворення симетрiї вiдносно точкита перетворення симетрiї вiдносно прямої. Тому вивчення кож�ного питання плану можна провести близько до тексту пiдруч�ника у формi бесiди, придiливши увагу таким моментам:

• схема вивчення кожного з видiв перетворень є загальною i має та�кий вигляд: означення симетричних точок→ означення перетво�рення фiгур, складене за попереднiм означенням→ уявлення профiгури, що переходять за такого виду симетрiї самi в себе→ влас�тивiсть цього виду симетрiї. Тому конспект уроку може мати ви�гляд порiвняльної таблицi (див. конспект 21);

• доведення теорем, що виражають основну властивiсть симетрiй,ґрунтується на означеннi перемiщення, тому доречним буде повто�рення матерiалу попереднього уроку (див. уснi вправи);

• пiд час вивчення питання про центрально�симетричнi фiгури тапро фiгури, що мають вiсь симетрiї, необхiдно розтлумачитиучням наведенi в пiдручнику означення. Тобто такими є фiгурив разi, якщо кожна точка цiєї фiгури переходить у симетричну їйточку тiєї самої фiгури. Отже, пiд час доведення або спростуваннятого, що задана фiгура має центр або вiсь симетрiї, слiд спиратисьсаме на це тлумачення;

• оскiльки на уроцi доведено, що симетрiя вiдносно прямої та симет�рiя вiдносно точки є перемiщеннями, то цi види перетворень маютьусi властивостi перемiщень i можуть бути використанi пiд час роз�в’язування задач.



Конспект 21

Симетрiя вiдносно точки Симетрiя вiдносно прямої

1. Означення Якщо O — сере�дина вiдрiзкаXX′, то X i X′ —симетричнiвiдносно точки O(точка O —центр симетрiї)

1. Означення Якщо l — сере�динний перпенди�куляр до вiдрiзкаXX′, то X і X′ —симетричнi вiд�носно l.l — вiсь симетрiїточок X i X′

2. Перетворення симетрiї (симетрiя)вiдносно точки O — перетворенняфiгури F у фiгуру F′, за якого кож�на точка X F∈ переходитьу точку X F′ ∈ ′ так, що X i X′ — си�метричнi вiдносно точки O

2. Перетворення симетрiї (симетрія)вiдносно прямої l — перетворенняфiгури F у фiгуру F′, за якого кож�на точка X F∈ переходить у точкуX F′ ∈ ′ так, що X i X′ — симетричнiвiдносно прямої l

3. Центрально�симетрична фiгура —фiгура, яка за симетрiї вiдносноточки O переходить самав себе, точка O при цьому — центрсиметрiї фiгури F.

Приклади центрально/симетричнихфiгур

3. Фiгура, симетрична вiдноснопрямої l — це фiгура, яка за симет�рiї вiдносно прямої l переходитьсамав себе, пряма l — вiсь симетрiї фiгу�ри F.

Приклади фiгур, симетричнихвiдносно прямої l

а)

б)

C — серединаAB;

C — центр си�метрiї вiдрiзкаAB.

O — центр си�метрiї парале�лограма ABCD

а)

б)

Пряма BD(BD AC⊥ ; у Δ ABC:AB BC= ) є вiссюсиметрiї рiвнобед�реного Δ ABC.

У трапецiї ABCDAB CD= ; E —середина BC, F —середина AD,EF — вiсь симет�рiї трапецiї ABCD

4. Теорема (основна властивiстьцентральної симетрiї)

Центральна симетрiя є перемiщен�ням (див. властивостi перемiщення)

4. Теорема (основна властивiстьосьової симетрiї)

Осьова симетрiя є перемiщенням(див. властивостi перемiщення)


X l

X′

O X′X

C BA

B C

A DO

B

CA D

B C

DA

E

F

5*. Координати точок, симетричнихвiдносно початку координат: точки( )a b; i ( )− −a b; — симетричнi вiднос�но точки ( )0 0;

5*. Двi точки є симетричними:

а) вiдносно осi OX, якщо їх коорди�нати ( )a b; i ( )a b;− ;

б) вiдносно осi OY, якщо їх коорди�нати ( )a b; i ( )−a b; ;

в) вiдносно прямої y x= , якщо їхкоординати ( )a b; i ( )b a;


Виконання усних вправ1. Симетрiя вiдносно точки O переводить точку A в точку B. Де

мiститься точка O?

2. Внаслiдок симетрiї вiдносно точки O вiдрiзок AB переходить у вiд�рiзок A B′ ′. Серед рiвностей А)–Г) укажiть рiвнiсть, яка не обов’яз�ково справджується:

А) AB A B= ′ ′; Б) AO A O= ′ ; В) AO BO= ; Г) BO B O= ′ .

3. Якi прямi пiд час центральної симетрiї переходять самi в себе?

4. Якi з фiгур на рисунку мають центр симетрiї? Де вiн розмiщений?

а) б) в) г) д)Рис. 1

5. Симетрiя вiдносно прямої l переводить точку A в точку B. Як ро�змiщенi прямi l i AB?

6. Внаслiдок симетрiї вiдносно прямої l вiдрiзок AB, кiнцi якого нележать на прямiй l, переходить у вiдрiзок A B′ ′. Серед твердженьА)–Г) укажiть твердження, яке не обов’язково справджується:

А) AB A B= ′ ′; Б) AA l′⊥ ; В) AA BB⊥ ′; Г) AB A B⊥ ′ ′?7. Якi прямi пiд час осьової симетрiї переходять самi в себе?

8. Якi з фiгур на рис.1 мають осi симетрiї? Скiльки осей симетрiїмає кожна фiгура? Як вони розмiщенi?

9. Наведiть приклад фiгури, яка:

1) не має анi центра, анi осей симетрiї;

2) має центр симетрiї, але не має осей симетрiї;

3) не має центра симетрiї, але має вiсь симетрiї;

4) має центр симетрiї i декiлька (безлiч) осей симетрiї.


Виконання графiчних вправ

1. Накреслiть довiльний трикутник ABC. Побудуйте трикутникAB C′ ′, симетричний трикутнику ABC вiдносно точки A. Визначтевид чотирикутника CBC B′ ′.

2. Накреслiть рiвнобедрений трикутник ABC з основою AC. Побу�дуйте трикутник, симетричний трикутнику ABC вiдносно прямоїAC. Знайдiть точку O, за симетрiї вiдносно якої можна отриматиз трикутника ABC той самий трикутник.


1. Знайдiть точку, симетричну:

1) точцi ( )2 9; вiдносно початку координат;

2) точцi ( )2 7;− вiдносно точки ( )1 1; ;

3) початку координат вiдносно точки перетину прямих x = −2 i y = 3.


1) точцi ( )−3 9; вiдносно осi координат;

2) точцi ( )− −2 5; вiдносно осi абсцис;

3) початку координат вiдносно прямої x = 4.

3. Складiть рiвняння прямої, симетричної прямiй y x= вiдносно:

1) осi абсцис; 2) осi ординат; 3) початку координат.

Вправи, що запланованi для виконання на уроцi, спрямованiна засвоєння учнями означень нових понять та їх властиво�стей (див. уснi вправи) та формування вмiнь проводити аргу�ментованi мiркування з їх використанням (див. письмовiвправи), а також виконувати найпростiшi геометричнi побу�дови фiгур, симетричних даним вiдносно заданої точки абопрямої (див. графiчнi вправи). Крiм того, розв’язання письмо�вих задач на застосування вивчених ранiше формул вiдстанiмiж двома точками, координат середини вiдрiзка в прямо�кутнiй системi координат та поняття рiвняння прямої такола, дають додатковi цiкавi спiввiдношення для точок, си�метричних вiдносно початку координат, координатних осейi бiсектриси першого та третього координатних кутiв. Якщона доведення цього спiввiдношення не вистачить часу, бажанохоча б дати його учням як опорний факт. Пiд час вивченняоберненої функцiї та її графiка знання цього спiввiдношеннястане у пригодi. Зазначенi спiввiдношення можна зафiксува�ти в зошитах учнiв як застосування симетрiї в декартових ко�ординатах (див. конспект 21, п. 5).



Тестове завдання

1. Яке iз тверджень не можна вважати означенням перетворення си�метрiї вiдносно точки O?

1) Перетворення фiгури F у фiгуру F ′, за якого довiльна її точка Xпереходить у точку X′, симетричну вiдносно заданої точки O.

2) Перетворення фiгури F у фiгуру F ′, за якого будь�яка її точка Aпереходить у таку точку A1 , що точка O є серединою вiдрiзка AA1 .

3) Перетворення фiгури F у фiгуру F ′, за якого точка O переходитьу себе, а будь�яка її точка — у симетричну їй точку вiдносно O.

4) Перетворення, за якого будь�яка точка A переходить у точкуA1 так, що OA OA= 1 .

2. Яка з букв, зображених на рисунку, має центр симетрiї?

а) б) в) г)

3. Яка з наведених точок симетрична точцi ( )M 2 2; вiдносно осi аб�сцис? 1) ( )M ′ − −2 2; ; 2) ( )M ′ −2 2; ; 3) ( )M ′ −2 1; ; 4) ( )M ′ −2 2; .


Вивчити означення симетрiї вiдносно точки, прямої та їх власти�востi (див. конспект).


1. Накреслiть квадрат ABCD. Побудуйте квадрат, симетричний за�даному квадрату вiдносно середини сторони CD. Скiльки вершинзаданого квадрата є також вершинами його образу?

2. Накреслiть гострий кут ABC. Побудуйте кут ABC′, симетричнийкуту ABC вiдносно прямої AB. В якому вiдношеннi промiнь ABдiлить кут C AC′ ?


1) точцi ( )2 9; вiдносно точки ( )−1 3; ;

2) точцi ( )a b; вiдносно початку координат.

4. Знайдiть точку, симетричну точцi ( )a b; вiдносно:

1) осi абсцис; 2) осi ординат.

5. Доведiть, що центр кола є центром його симетрiї.

Повторити рiвняння фiгури в декартових координатах, рiвняннякола та рiвняння прямої.



Мета: працювати над засвоєнням учнями змiсту означень та влас�тивостей перетворень фiгур, перетворень симетрiї вiдносно точки тасиметрiї вiдносно прямої. Сформувати навички використання вивче�них означень та властивостей для розв’язування задач на побудову,доведення та обчислення.

Тип уроку: застосування знань, формування навичок.

Наочнiсть та обладнання: конспекти 20, 21.

Хiд уроку




Правильнiсть виконання домашнього завдання перевiряємо зазразком (готовi розв’язання роздаються учням для самостiйногоопрацювання та порiвняння з результатами, одержаними пiд час ви�конання вправ удома).

Перевiрку засвоєння учнями змiсту теоретичного матерiалу мож�на провести у формi математичного диктанту або тестового завданняабо iншого виду завдань. По закiнченнi виконання роботи — пере�вiрка вiдповiдей та корекцiя знань i вмiнь.


Варiант 1 [2]1. Позначте точки M i K [C i ]D . Побудуйте точку K ′ [ ]C ′ , симетрич�

ну точцi K [ ]C вiдносно точки M [ ]D .

2. Накреслiть негоризонтальну й невертикальну пряму a[ ]l i точку B

[ ]P поза нею. Побудуйте точку B′ [ ]P′ , симетричну точцi B[ ]P вiд�носно прямої a[ ]l .

3. Трикутники ABC i DEF симетричнi вiдносно деякої точки. Сторо�ни трикутника ABC дорiвнюють вiдповiдно 3 см, 4 см, 5 см. Чомудорiвнює периметр трикутника DEF? [Два кола симетричнi вiд�носно деякої прямої. Радiус першого кола дорiвнює 1 дм. Чомудорiвнює довжина другого кола?]

4. Два ромби симетричнi вiдносно прямої. Один iз кутiв ромба є пря�мим. Чи буде другий ромб квадратом? [Два трикутники симет�ричнi вiдносно точки. Два кути першого трикутника дорiвнюють60 i 30 . Чи є другий трикутник прямокутним?]



Головна мета уроку зумовлена його мiсцем у темi й полягає в за�своєннi учнями знань про означення та властивостi перемiщення, пе�ретворень симетрiї вiдносно точки йпрямої та формуваннi сталихумiнь та навичок роботи з ними пiд час розв’язування планiметрич�них задач на побудову, обчислення i доведення.


Учням пропонується спочатку самостiйно повторити змiст матерiа�лу, вивченого на попереднiх двох уроках, за змiстом конспектiв 20, 21.


Виконання усних вправ1. Не користуючись рисунком, серед точок ( )A 3 2;− , ( )B 0 7;− , ( )C 5 1; ,( )D − −1 5; , ( )E 0 7; , ( )F −3 2; знайдiть пари точок, якi симетричнi

вiдносно початку координат.2. Вiдрiзок BD симетричний вiдрiзку AC вiдносно точки O, точка O

не лежить на прямiй AC. Доведiть, що AC BD| | .3. ABCD — паралелограм (рис.). Точ�

ка E симетрична точцi C вiдносноточки D. Доведiть, що точки A i Dсиметричнi вiдносно точки M.

4. Точки B i D вiдповiдно симетричнiточкам ( )A 2 0; i ( )C 4 1; вiдноснопрямої y = −2. Знайдiть координа�ти точок B i D.

5. На рисунку AB AD= , BC DC= . До�ведiть, що точки B i D симетричнiвiдносно прямої AC.

6. Точка K — середина сторони DC ромба ABCD, точка M — середи�на сторони AD. Доведiть, що точки K i M симетричнi вiдноснопрямої BD.Виконання письмових вправ

1. Коло задане рiвнянням ( ) ( )x y− + − =4 3 252 2

. Складiть рiвняння

кола, симетричного заданому колу вiдносно:1) початку координат; 2) точки ( )−1 4; .

2. Складiть рiвняння:

1) кола, симетричного колу ( ) ( )x y− + − =4 3 252 2

вiдносно прямої

x = −6;2) прямої, симетричної прямiй y = −2 вiдносно прямої y x= .


B

E

DA M

C

CA

D

B

3. Доведiть, що прямi, якi мiстять дiагоналi ромба, є осями його си�метрiї.

Додаткова задача. Доведiть, що жодна фiгура не може мати рiв�но два центри симетрiї.

Вправи для письмового виконання передбачають вiльне воло�дiння означеннями та властивостями перемiщення, перетво�рення симетрiї вiдносно точки та прямої, а також певнимивмiннями їх застосовувати в стандартних ситуацiях (знайтикоординати точок, симетричних заданим вiдносно початкукоординат, координатних осей; перевiрити, чи є точки симет�ричними вiдносно заданої точки або прямої). Тому перед роз�в’язуванням задач достатнього й середнього рiвнiв необхiднопридiлити достатньо уваги усним вправам (див вище).


Узагальнення учнями основних видiв задач на застосування но�вих понять та складання схеми, що вiдображує логiчний зв’язок мiжними.


Повторити змiст теоретичного матерiалу, вивченого на поперед�нiх двох уроках (див. конспекти 20, 21).


Домашня самостiйна робота

1. Знайдiть точку, симетричну точцi (2;7) вiдносно:

1) початку координат; 2) осi абсцис; 3) осi ординат.

2. Складiть рiвняння кола, симетричного колу ( ) ( )x y− + − =4 3 252 2

вiдносно: 1) початку координат; 2) осi абсцис; 3) осi ординат.

3. Складiть рiвняння прямої, симетричної прямiй 5 4 3 0x y− − =вiдносно початку координат.

4. Складiть рiвняння кола, симетричного колу ( ) ( )x y− + − =4 3 252 2

вiдносно прямої y x= .

5. Дано квадрат ABCD, точка O є точкою перетину його дiагоналей.Побудуйте:

1) точку, симетричну точцi A вiдносно: а) точки O; б) прямої BD;

2) фiгуру, симетричну вiдрiзку AB вiдносно: а) точки O; б) прямої BD;

3) фiгуру, симетричну трикутнику ABC вiдносно: а) точки O; б) пря�мої BD.


Урок № 36Поворот. Паралельне перенесення

Мета: сформувати в учнiв уявлення про такi геометричнi перетво�рення, як поворот навколо точки на заданий кут та паралельне пе�ренесення фiгури в напрямку променя на задану вiдстань; розглянутитеореми, що виражають основнi властивостi зазначених перетворень.

Сформувати вмiння вiдтворювати вивченi твердження, а такожвикористовувати їх для обґрунтування мiркувань та виконання по�будов вiдповiдно до умов задач.

Тип уроку: засвоєння знань, умiнь та навичок.Наочнiсть та обладнання: конспект «Поворот. Паралельне пе�

ренесення».

Хiд уроку




Учитель збирає зошити з виконаною домашньою роботою на пе�ревiрку. З метою надання учням можливостi скоригувати свої знан�ня та вмiння, вчитель роздає правильнi розв’язання домашнiх задачдля самостiйного опрацювання вдома.


На цьому етапi вчитель нагадує учням (або спонукає учнiв до само�стiйного повторення факту), що протягом останнiх трьох урокiв вонививчали питання про перетворення фiгур на площинi та один iз йогоособливих випадкiв — перемiщення. Причому залежно вiд способу за�дання вiдповiдностi, що визначає перетворення, на попереднiх урокахбуло видiлено два види перемiщень: симетрiя вiдносно точки та симет�рiя вiдносно прямої. Проте саме життя та фiзичнi процеси, що вiдбу�ваються навколо нас, пропонують iншi приклади перетворень фiгур,якi також є перемiщеннями. Вчитель пропонує розглянути прикладипрямолiнiйного рiвномiрного руху та руху тiла по колу й проаналiзу�вати цi ситуацiї з геометричної точки зору. Отже, виникає необхiд�нiсть у вивченнi iнших, крiм симетрiй, видiв перемiщень. Розв’язан�ня цього питання i визначається як основна мета уроку.


З метою свiдомого й успiшного засвоєння учнями змiсту новогоматерiалу уроку необхiдно активiзувати їх знання та вмiння про:


• означення перемiщення;

• ознаки рiвностi трикутникiв;

• означення та ознаки паралелограма.

Виконання усних вправ1. Чи може деяке перемiщення переводити:

1) сторону паралелограма в протилежну сторону;

2) одну з основ трапецiї в iншу;

3) один iз кутiв при основi рiвнобедреного трикутника в iнший;

4) один iз кутiв єгипетського трикутника в iнший?

2. Точка M — середина сторони BC паралелограма ABCD, точка H —середина сторони AD. Доведiть, що AMCH — паралелограм.

3. ABCD — паралелограм, M AD∈ , H BC∈ , AM CH= . Доведiть, щоDHBM — паралелограм.

4. Точка O — центр правильного трикутника ABC. Доведiть рiвнiстькутiв AOB, BOC i AOC.

5. Чи може внаслiдок руху коло радiуса 3 перейти в коло радiуса 2?Чому?


План вивчення нового матерiалу1. Означення повороту фiгури навколо точки на заданий кут. Су�

путнi поняття. Фiгури, що мають симетрiю обертання.

2. Властивiсть повороту фiгури навколо точки на заданий кут.

3. Означення однаково напрямлених та протилежно напрямленихпроменiв. Означення паралельного перенесення фiгури в напрям�ку заданого променя на задану вiдстань. Фiгури, що мають пере�носну симетрiю.

4. Основна властивiсть паралельного перенесення.

5. Паралельне перенесення в координатах.

Вивчення нового матерiалу уроку можна провести за схемою,аналогiчною до схеми вiдповiдного етапу уроку № 34. Новийматерiал викладаємо близько до тексту пiдручника у формiбесiди. Пiд час вивчення нового матерiалу слiд урахувати такiконтрольнi моменти:

• на вiдмiну вiд попереднiх рокiв, кут повороту задається додатнимчислом, а сам поворот — центром повороту, кутом повороту та на�прямком (за годинниковою стрiлкою або проти неї);

• вiдповiдно до загальної схеми вивчення видiв перемiщень, розгля�даються види симетрiї, якi досi в загальноосвiтнiй школi на уроках


геометрiї не розглядалися, — симетрiя обертання та переносна си�метрiя;

• оскiльки поняття вектора до цього моменту ще не вивчено, то озна�чення паралельного перенесення формулюється через напрям про�меня та вiдстань, на яку виконується паралельне перенесення;

• так само як i у випадку симетрiї, вивченi на цьому уроцi види пере�мiщення можуть бути заданi в координатах (для паралельного пе�ренесення цi формули вивчаються обов’язково, для повороту — нарозсуд учителя);

• на вiдмiну вiд попереднiх рокiв, пiд час вивчення властивостей па�ралельного перенесення теорема про iснування та єдинiсть пара�лельного перенесення не розглядається.Стисло змiст навчального матерiалу учням можна подати у ви�


Конспект 22

Поворот Паралельне перенесення

1. Означення 1. а) Спiвнапрямленi променi:

Поворот фiгури Fнавколо точки Oна кут α в задано�му напрямку —перетворенняфiгури F у фiгуруF′, внаслiдок яко�го кожна точка Xфiгури F прохо�дить у точку X′фiгури F′ так, щоOX OX′ = ;∠ ′ =XOX α.

O — центр поворо�ту, α — кут пово�роту

або

AB i CD AB i CB

б) протилежно напрямленi променi:

або

AB i CD AB i CD

в) паралельне перенесення фiгури Fу напрямку променя OX навiдстань a — перетворення F у F′,за якого кожна точка X F∈ перехо�дить у точку X F′ ∈ так, що променiXX′ i OA спiвнапрямленi i XX a′ = .

Напрямок OA —напрямок перене�сення


α

X′

O

X

C BA

C

BA

AO

D

D

AB

C

A BCD

a

aX

X′

F′F

2. Фiгура, що має симетрiю обертан�ня, — фiгура, яка внаслiдок поворо�ту навколо деякої точки на кут α( )0 180< ≤α переходить сама в себе.

Приклади:

2. Фiгура має переносну симетрiю,якщо внаслiдок деякого паралель�ного перенесення вона переходитьсама в себе.

Приклад:При поворотi наα = 120 пра�вильний трикут�ник ABC перехо�дить сам у себе.

Пряма a за пара�лельного перене�сення вздовж про�меня OA a| | перехо�дить сама в себе.

3. Теорема (основна властивiсть по�вороту).

Поворот є перемiщенням

3. Теорема (основна властивiсть па�ралельного перенесення).

Паралельне перенесення є пере�мiщенням.

4. Паралельне перенесення в коор�динатах.

У прямокутнiй системi координатпаралельне перенесення, яке пере�водить точку ( )x y; у точку ( )x y′ ′; ,задається формулами:

x x a′ = + , y y a′ = + , де a i b — деякiчисла, однi й тi самi для заданогопаралельного перенесення


Виконання усних вправ1. Чи iснує поворот, унаслiдок якого:

1) сторона прямокутника переходить у сусiдню сторону;2) одна дiагональ прямокутника переходить в iншу;3) один iз внутрiшнiх рiзностороннiх кутiв за умови паралель�ностi прямих i сiчної переходить в iнший;4) один iз вiдповiдних кутiв за умови паралельностi прямих i сiч�ної переходить в iнший?

2. Точка O не лежить на прямiй l. На який кут треба повернути пря�му l навколо точки O, щоб дiстати пряму, паралельну l?

3. Якi з фiгур на рисунку 1 мають симетрiю обертання?

а) б) в) г) д)Рис. 1


α

C

B

AAO

a

4. Дiагоналi паралелограма ABCD перетинаються в точцi O. Назвiтьпромiнь: 1) спiвнапрямлений iз променем AB;2) протилежно напрямлений iз променем CB;3) спiвнапрямлений iз променем AO;4) протилежно напрямлений iз променем OD.

5. Чи iснує паралельне перенесення, внаслiдок якого:1) одна сторона прямокутника переходить в iншу;2) одна дiагональ прямокутника переходить в iншу;3) один iз внутрiшнiх рiзностороннiх кутiв за умови паралель�ностi прямих i сiчної переходить в iнший;4) один iз вiдповiдних кутiв за умови паралельностi прямихi сiчної переходить в iнший?

6. Дiагоналi паралелограма ABCD перетинаються в точцi O. Визнач�те образ точки A за паралельного перенесення, внаслiдок якого:1) точка D переходить у точку C; 2) точка O переходить у точку C.Виконання графiчних вправ

1. Накреслiть вiдрiзок AB. Позначте на прямiй AB точку O, що нележить на вiдрiзку AB, i точку C — середину вiдрiзка AB. Побу�дуйте фiгуру, в яку переходить вiдрiзок AB унаслiдок повороту:1) на 60 проти годинникової стрiлки навколо точки O;2) на 90 за годинниковою стрiлкою навколо точки C.

2. Накреслiть гострий кут ABC. Побудуйте кут, в який переходитьзаданий кут унаслiдок паралельного перенесення в напрямкупроменя BC на 2 см.Виконання письмових вправ

1. У результатi деякого повороту заданий прямий кут переходитьу кут, сумiжний iз даним. Визначте центр i кут повороту.

2. Визначте, чи мають симетрiю обертання вiдрiзок, квадрат, пра�вильний шестикутник. У разi ствердної вiдповiдi визначте центрi найменший кут обертання, внаслiдок якого задана фiгура пере�ходить у себе.

3. Паралельне перенесення задано формулами ′ = −x x 1, ′ = +y y 2.Знайдiть координати:1) точки, в яку переходить точка ( )− −3 1; ;2) точки, образом якої є точка ( )4 2;− .

4. Чи iснує паралельне перенесення, внаслiдок якого:1) точка ( )−2 3; переходить у точку ( )1 1;− , а точка ( )0 1;− — у точку( )3 3; ;2) точка ( )1 4;− переходить у початок координат, а початок коор�динат — у точку ( )−14; ?


Додаткова задача (на повторення). Доведiть, що трапецiя, якамає вiсь симетрiї, рiвнобiчна. Сформулюйте i доведiть обернене твер�дження.

Виконання вправ спрямоване на засвоєння учнями означень,властивостей повороту та паралельного перенесення. Метоюрозв’язування задач є також формування первинних умiнь за�стосовувати вiдповiднi твердження для обґрунтування мiрку�вань i для виконання стандартних побудов фiгур, в якi пере�ходять заданi фiгури внаслiдок повороту або паралельногоперенесення. Необхiдно на уроцi придiлити увагу формуван�ню вмiнь розв’язувати стандартнi задачi на застосування фор�мул паралельного перенесення в прямокутнiй системi коорди�нат. З метою усвiдомленого засвоєння учнями алгоритмурозв’язання задач на застосування формул паралельного пе�ренесення, корисно розглянути опорну задачу.

Опорна задача. Внаслiдок паралельного перенесення точка ( )−2 5;

переходить у точку ( )1 3;− . В яку точку внаслiдок такого перенесенняпереходить точка ( )1 1; ?


Тестове завдання1. Яке з наведених тверджень неправильне?

1) Пiд час руху промiнь переходить у промiнь, пряма — у пряму,вiдрiзок — у вiдрiзок.2) Перетворення симетрiї вiдносно точки є рухом.3) Перетворення, обернене до руху, не є рухом.4) Рух, при якому кожний промiнь, що виходить iз заданої точки,повертається на той самий кут у тому самому напрямi, є поворотом.

2. Точка M ( )2;... внаслiдок повороту навколо початку координат на90 проти руху стрiлки годинника переходить у точку M ′ ( )−5;... .Якi числа є ординатами точок M i M ′?1) –5; –2; 2) 5; 2; 3) 5; –2; 4) –5; 2.

3. На який iз кутiв треба повернути квадрат ABCD навколо йогоцентра симетрiї, щоб середина сторони AB перейшла в серединусторони CD?1) 120 ; 2) 180 ; 3) 80 ; 4) 45 .


Вивчити змiст означень та властивостей повороту, паралельногоперенесення (див. конспект 22).


Розв’язати задачi.1. Побудуйте фiгуру, в яку переходить рiвностороннiй трикутник

ABC унаслiдок повороту:1) на 60 проти годинникової стрiлки навколо точки C;2) на 180 навколо точки B.

2. Побудуйте паралелограм ABCD, в якому AB = 2 см, BC = 4 см. По�будуйте фiгуру, в яку переходить цей паралелограм унаслiдок па�ралельного перенесення в напрямку:1) променя DC на 2 см; 2) променя AD на 2 см.

3. Паралельне перенесення задано формулами x x′ = −2, y y′ = +7.Знайдiть координати точки:

1) в яку переходить центр кола ( )x y+ + =1 92 2 ;

2) образом якої є точка перетину прямих y x= 2 i x = 3.4. Задайте формулами паралельне перенесення, внаслiдок якого точ�

ка ( )8 3; переходить у середину вiдрiзка з кiнцями ( )−2 0; i ( )0 16; .Повторити означення та властивостi перемiщення, означення

i властивостi симетрiї вiдносно точки та симетрiї вiдносно прямої;рiвняння кола та рiвняння прямої в прямокутнiй системi координат.


Мета: працювати над засвоєнням учнями змiсту означень та влас�тивостей повороту, паралельного перенесення. Повторити означеннята властивостi видiв перемiщень, вивчених на попереднiх уроках.

Сформувати вмiння та навички використовувати вивченi твер�дження для розв’язування задач.

Тип уроку: застосування знань, засвоєння вмiнь та навичок.Наочнiсть та обладнання: конспект 22.

Хiд уроку




Перевiрку правильностi виконання письмових вправ домашньо�го завдання проводимо за готовими стислими записами розв’язань.Записи можуть виконати на дошцi декiлька учнiв iз високим рiвнемнавчальних досягнень, або вчитель запропонує їх у формi роздаваль�ного матерiалу для iндивiдуальної роботи учнiв.


Перевiрку засвоєння учнями змiсту нового матерiалу поперед�нього уроку (вже традицiйно в цiй темi) можна провести у формi ма�тематичного диктанту.


Варiант 1

1. Один прямокутник утворений з iншого внаслiдок повороту. Дов�жини сторiн одного прямокутника дорiвнюють 3 дм i 2 дм. Чомудорiвнює площа другого прямокутника?

2. Унаслiдок паралельного перенесення квадрат ABCD перейшову чотирикутник MNKP. Чому дорiвнює довжина сторони MK,якщо сторона AB дорiвнює 3 см?

3. Унаслiдок паралельного перенесення вiдрiзок AB переходитьу вiдрiзок CE. Як називається чотирикутник ABEC, який утво�рився при цьому?

4. Пряма a утворена з прямої b унаслiдок паралельного перенесення.Яке взаємне розташування прямих a i b?

Варiант 2

1. Унаслiдок паралельного перенесення коло з центром A перейшлов коло з центром B. Радiус другого кола дорiвнює 6 см. Чому до�рiвнює дiаметр першого кола?

2. Один квадрат утворений iз деякого чотирикутника поворотом.Сторона квадрата дорiвнює 5 дм. Чому дорiвнює площа чотири�кутника, який є прообразом цього квадрата?

3. Унаслiдок паралельного перенесення вiдрiзок KM переходитьу вiдрiзок PO. Як називається чотирикутник KMOP, який утво�рився при цьому?

4. Пряма c утворена з прямої k унаслiдок паралельного перенесення.Яке взаємне розташування прямих c i k?


Головна мета уроку зумовлена мiсцем у роздiлi й полягає в тому,щоб, закрiпивши знання учнiв про означення та властивостi поворо�ту й паралельного перенесення, сформувати сталi вмiння та навичкироботи з цими твердженнями пiд час розв’язування планiметричнихзадач.


Учням пропонується самостiйно повторити змiст матерiалу, ви�вченого на попереднiх уроках за конспектами 21, 22.



Виконання графiчних вправПобудуйте фiгуру, в яку перейде:1) трикутник ABC пiд час повороту навколо вершини C на кут 90за годинниковою стрiлкою;2) прямокутник ABCD пiд час повороту навколо вершини D накут 150 за годинниковою стрiлкою;3) трикутник ABC пiд час повороту навколо вершини A на кут200 за годинниковою стрiлкою;4) паралелограм ABCD пiд час повороту навколо вершини D накут 120 за годинниковою стрiлкою;5) задане коло на кут 100 проти годинникової стрiлки.Виконання письмових вправ

1. Паралельне перенесення задано формулами x x′ = +4, y y′ = . Ви�значте напрямок i вiдстань, якими задається це перенесення.

2. Задайте формулами паралельне перенесення, внаслiдок якого точ�ка ( )−6 2; переходить у середину вiдрiзка з кiнцями ( )−2 2; i ( )−4 6; .

3. Доведiть, що поворот навколо точки O на 180 є центральною си�метрiєю вiдносно точки O.

4. Кiнцi дiаметра кола розташованi в точках ( )2 1; i ( )−4 9; . Складiтьформули паралельного перенесення, внаслiдок якого задане коло

переходить у коло ( )x y− + =3 252 2 .

5. Вершини трикутника ABC мають координати A ( )− −3 3; , B( )− −2 1; ,C ( )0 2;− . Внаслiдок паралельного перенесення точка B переходитьу точку B′, симетричну точцi A вiдносно початку координат. У якiточки внаслiдок такого перенесенняпереходять вершини A i C?Додаткова задачаДано рiвнi вiдрiзки AB i A B′ ′ ( рис.).

Побудуйте центр повороту, внаслiдокякого один iз цих вiдрiзкiв переходитьв iнший.


Пiдсумком уроку може бути видiлення учнями основних видiвзадач на застосування вивчених формул.


Повторити означення перемiщення та його види.Виконати домашню самостiйну роботу.


BA

A′

B′

Домашня самостiйна робота1. Знайдiть точку, симетричну точцi A ( )− −2 5; вiдносно: 1) початку

координат; 2) осi абсцис; 3) осi ординат. Знайдiть точку, в яку пе�реходить точка A за паралельного перенесення, яке задано фор�мулами ′ = −x x 3, ′ = −y y 2.

2. Складiть рiвняння кола, симетричного колу ( ) ( )x y− + + =1 2 162 2

вiдносно: 1) початку координат; 2) осi абсцис; 3) осi ординат. Скла�дiть рiвняння кола, в яке переходить дане коло за паралельного пе�ренесення, яке задано формулами ′ = +x x 4, ′ = +y y 4.

3. Складiть рiвняння прямої, симетричної прямiй 5 10 0x y− + = вiд�носно початку координат. В яку пряму переходить пряма за пара�лельного перенесення, яке задано формулами x x′ = −2, y y′ = −3?

4. Складiть рiвняння кола, симетричного колу ( ) ( )x y+ + − =3 4 162 2

вiдносно прямої y x= . Знайдiть формули паралельного перенесен�ня, за якого коло переходить у симетричне.

5. Дано рiвнобедрений трикутник ABC з основою AC, BM — бiсек�триса, проведена до основи. Побудуйте:1) точку, симетричну точцi A вiдносно: а) точки M; б) прямої BM;2) точку, в яку перейде точка A пiд час повороту навколо точки Mна кут 180 ;3) фiгуру, симетричну вiдрiзку AM вiдносно: а) точки M; б) пря�мої BM;4) фiгуру, в яку переходить AB в результатi повороту навколоточки O на кут 180 ;5) фiгуру, симетричну трикутнику ABM вiдносно: а) точки O;б) прямої BM;6) фiгуру, в яку переходить трикутник ABC в результатi поворотунавколо точки O на кут 180 .7) вiдрiзок, середина якого лежить на вiдрiзку BM (але не є йогосерединою), а кiнцi якого лежать на прямих AB i AC.

Урок № 38Перетворення подiбностi. Гомотетiя. Властивостiподiбних фiгур

Мета: працювати над засвоєнням учнями змiсту:• означення перетворення подiбностi та поняття коефiцiєнта подiб�

ностi;• означення гомотетiї та її властивостi;• означення подiбних фiгур та їх властивостi.


Сформувати вмiння:• вiдтворювати вивченi поняття;• виконувати побудову фiгури, в яку переходить фiгура в результатi

гомотетiї iз заданим центром та коефiцiєнтом;• наводити приклади подiбних фiгур;• застосовувати вивченi твердження до розв’язування задач.

Тип уроку: засвоєння знань, умiнь та навичок.Наочнiсть та обладнання: конспект «Перетворення подiбностi.

Гомотетiя».

Хiд уроку




З метою перевiрки якостi виконання учнями вправ домашньої са�мостiйної роботи вчитель збирає зошити. Правильнi розв’язання за�дач самостiйної роботи роздаються учням для самостiйного опрацю�вання вдома.


Створенню ситуацiї, яка допоможе учням усвiдомити необхiд�нiсть вивчення питання уроку, сприятиме бесiда. Пiд час бесiди вчи�тель нагадує учням що є предметом вивчення геометрiї (див. урок№ 33), а потiм пропонує розв’язати логiчне завдання (на видiленнязайвого).

Логiчне завданняЯкий iз рисункiв зайвий?1) 2) 3) 4) 5)

Внаслiдок обговорення логiчного завдання декiлька учнiв дiй�дуть висновку, що серед запропонованих зображень деяких перетво�рень фiгури є перетворення, яке не вивчалося на попереднiх уроках,i головне — це перетворення не є перемiщенням, оскiльки не зберiгаєвiдстанi мiж двома точками. Отже, виникає необхiднiсть вивчення


O OO

l

питання про iснування, види та властивостi перетворень фiгур, що,на вiдмiну вiд перемiщення, не зберiгають вiдстанi мiж двома точка�ми. Метою цього уроку є формування в учнiв знань про таке перетво�рення.


З метою кращого засвоєння учнями змiсту нового матерiалу уро�ку бажано повторити:

• означення подiбних трикутникiв, їх ознак та властивостей;• означення поняття площi многокутника та її властивостей;• основнi формули для обчислення площ многокутникiв.

Для цього можна запропонувати учням виконати уснi вправи.Виконання усних вправ

1. Чи подiбнi трикутники, якщо їх сторони дорiвнюють:1) 1 м, 1,5 м, 2 м i 10 м, 15 м, 20 м;2) 2 см, 3 см, 4 см i 6 дм, 4 дм, 8 дм?

2. У трикутнику ABC провели всi середнi лiнiї. Скiльки при цьомуутворилося подiбних трикутникiв?

3. У трикутнику ABC провели A C AC1 1 | | . Знайдiть AC, якщо A C1 1 2= ,BA1 3= , АA1 6= .

4. Дано два прямокутнi рiвнобедренi трикутники. Чи можна ствер�джувати, що вони подiбнi?

5. Δ ΔMKL DFE~ . Що звiдси випливає?6. Обчислiть площу прямокутника ABCD, якщо:

1) AC d= , ∠ =CAD α; 2) AD a= , ∠ =ACB α.7. Площа паралелограма ABCD дорiвнює 36 см2, AB = 12,∠ =BAD 30 .

Знайдiть AD.8. Обчислiть площу рiвнобедреного

трикутника, якщо його основа до�рiвнює 24 см, а кут при основi —30 .

9. Обчислiть площу фiгури, яку зоб�ражено на рисунку.


План вивчення нового матерiалу1. Означення перетворення подiбностi.2. Властивостi перетворення подiбностi.3. Означення гомотетiї. Властивiсть гомотетiї.4. Означення подiбних фiгур.5. Властивостi подiбних фiгур. Вiдношення площ подiбних фiгур.


b

45

ca

Вивчення кожного питання плану можна провести близько дотексту пiдручника у формi бесiди. Можна органiзувати само�стiйне вивчення учнями теми за пiдручником iз наступнимскладанням конспекту за поданим планом. Пiд час вивченнянового матерiалу слiд урахувати такi моменти:

• на вiдмiну вiд перемiщення, перетворення подiбностi не зберiгаєвiдстанi мiж точками, проте зберiгає форму фiгур (див. властивостiперетворення подiбностi);

• перемiщення можна вважати окремим випадком перетворенняподiбностi;

• оскiльки гомотетiя є видом перетворення подiбностi, то внаслiдокгомотетiї фiгура переходить у подiбну фiгуру (гомотетичнi фiгуриє подiбними);

• на вiдмiну вiд попереднiх рокiв, розглядається тiльки випадок го�мотетiї з додатним коефiцiєнтом;

• подiбнiсть трикутникiв є прикладом подiбностi фiгур;• бажано порiвняти вивченi ранiше властивостi рiвних фiгур iз влас�

тивостями подiбних фiгур: властивостi подiбних фiгур є певнимузагальненням властивостей рiвних фiгур.Стисло змiст навчального матерiалу учням можна подати у ви�


Конспект 23

Перетворення подiбностi. Гомотетiя

1. Означення

X Y kXY′ ′ =

Перетворення подiбностi (подiб�нiсть) — це перетворення фiгуриF у фiгуру F′, унаслiдок якоговiдстань мiж точками змiнюєтьсяв тому самому вiдношеннi k (k > 0).

2. Властивостi подiбностi

1) У результатi перетворення подiбностi (k > 0) точки, що лежать на пря�мiй, переходять у точки, що лежать на прямiй, порядок їх зберiгається;

2) перетворення подiбностi зберiгає кути мiж променями.


F

XY X′ F′

Y′

3. Означення Гомотетiєю з центром O i ко�ефiцiєнтом k називається таке пе�ретворення фiгури F у фiгуру F′,внаслiдок якого кожна точка Xфiгури F переходить у точку X′фiгури F′ так, що точка X′ лежитьна променi OX i OX kOX′ = (k > 0).

Гомотетiя є перетвореннямподiбностi.

4. Двi фiгури називаються подiбними, якщо вони переводяться однав одну перетворенням подiбностi.

5. Властивостi подiбних фiгур: 1) F Fk

~=1

; 2) якщо F Fk

1 2~ , то F Fk

2

1

1~ ;

3) якщо F Fk

1 2

1

~ , F Fk

2 3

2

~ , то F Fk k

1 3

1 2

~⋅

; 4) якщо F Fk

1 2~ , тоS

Sk2

1

2= .


Виконання усних вправ1. Чи правильно, що: 1) будь�якi двi гомотетичнi фiгури подiбнi;

2) будь�якi двi подiбнi фiгури гомотетичнi?2. Чи можна вважати рiвнi фiгури подiбними?3. Вiдрiзок DE — середня лiнiя трикут�

ника ABC (рис.). Назвiть гомотетичнiвiдрiзки на цьому рисунку. Укажiтьцентр i коефiцiєнт гомотетiї.

4. Чи подiбнi:

1) паралелограм iз кутом 40° i парале�

лограм iз кутом 135°;2) ромб iз кутом 120° i ромб iз дiагоналлю, що дорiвнює сторонi;

3) будь�якi два квадрати?

5. Площi двох подiбних чотирикутникiв дорiвнюють 2 см2 i 18 см2.Чому дорiвнює коефiцiєнт подiбностi?

Виконання письмових вправ1. Унаслiдок гомотетiї з центром O i коефiцiєнтом 4 точка A перехо�

дить у точку A1 . Знайдiть довжину вiдрiзка:

1) OA1 , якщо OA = 3 см; 2) AA1 , якщо OA1 24= см.

2. Опуклi многокутники з площами S1 і S2 подiбнi, причому сторонапершого многокутника в k разiв бiльша, нiж сторона другого. Знай�дiть: 1) k, якщо S1 75= см2, S2 3= см2; 2) S1 , якщо S2 4= см2, k = 2.


F

XO

X′

F′

A

B

D E

C

3. На мапi, зробленiй у масштабi 1:400, площа земельної дiлянкискладає 20 см2. Яку площу має дiлянка на мiсцевостi?

4. Дано точки A i B. Побудуйте центр гомотетiї, внаслiдок якої точ�ка A переходить у точку B, якщо коефiцiєнт гомотетiї дорiвнює 3.

5. Доведiть, що будь�якi два правильнi n �кутники подiбнi.6. Сторона i дiагональ прямокутника дорiвнюють вiдповiдно 5 см

i 13 см. Знайдiть площу подiбного йому прямокутника, периметрякого дорiвнює 170 см.

Задачi, що запланованi для розв’язування на уроцi, спрямо�ванi на засвоєння змiсту нових понять: подiбнiсть фiгур та їївластивостi, гомотетичнi фiгури та їх властивостi, а також наформування вмiнь використовувати цi поняття пiд час розв’я�зування задач на обчислення площ подiбних фiгур за вiдомимкоефiцiєнтом подiбностi, на побудову центра гомотетiї, на об�числення довжин гомотетичних вiдрiзкiв. Слiд зауважити,що залежно вiд рiвня iнтелектуальної активностi та пiдготов�ки учнiв матерiал цього уроку можна вивчати або впродовжодного уроку, або розбити на два уроки: на першому уроцiсформувати уявлення про основнi поняття та закрiпити цiзнання на завданнях середнього рiвня, а на другому — за�крiпити знання та сформувати сталi вмiння використовуватиїх у бiльш складних ситуацiях.


Тестове завдання1. Яке з наведених тверджень неправильне?

1) Перетворення фiгури F у фiгуру F ′ називається перетвореннямподiбностi, якщо за такого перетворення вiдстань мiж точками змi�нюється (збiльшується або зменшується) в ту саму кiлькiсть разiв.2) Перетворення фiгури F, за якого кожна її точка X переходитьу точку X′ таку, що OX k OX′ = ⋅ , називається гомотетiєю вiдносноцентра O.3) Фiгури F i F ′ називаються рiвними, якщо вони переводятьсярухом одна в одну.4) Пiд час руху кути мiж пiвпрямими змiнюються.

2. Яке з наведених тверджень неправильне?1) Будь�якi двi рiвнi фiгури подiбнi.2) Будь�якi двi подiбнi фiгури рiвнi.3) Гомотетiя задається центром O i коефiцiєнтом k.4) Перетворення подiбностi зберiгає кути мiж пiвпрямими.


3. Середня лiнiя KN трикутника ABC вiдтинає вiд нього гомотетич�ний йому трикутник KBN. Чому дорiвнює коефiцiєнт гомотетiї?

1)1

2; 2) 1; 3) 2; 4)

1

3.


Вивчити змiст вивчених на уроцi понять (див. конспект 23).Розв’язати задачi.

1. Унаслiдок гомотетiї з центром A трикутник ABC переходить у три�кутник AB C1 1 . Знайдiть коефiцiєнт гомотетiї, якщо AB = 8 см,AB1 2= см.

2. Сторони двох квадратiв вiдносяться як 3:2. Знайдiть площубiльшого квадрата, якщо площа меншого дорiвнює 8 см2.

3. Пiд будiвництво вiдведено дiлянку площею 40 а. Знайдiть площуцiєї дiлянки на планi в масштабi 1:1000.

4. Побудуйте центр гомотетiї, внаслiдок якої одна з основ трапецiїпереходить в iншу.

5. Доведiть, що фiгура, подiбна колу, є колом.Повторити означення та види перемiщення та їх властивостi.

Урок № 39Розв’язування задач методом геометричнихперетворень*

Мета: сформувати уявлення учнiв про кiлька основних способiврозв’язання задач на обчислення та побудову: метод симетрiї, методповороту та метод паралельного перенесення (метод подiбностi); за�крiпити знання учнiв про змiст означень та властивостей перетво�рень фiгур.

Сформувати вмiння вiдтворювати вивченi алгоритми побудов iзвикористанням методiв симетрiї, паралельного перенесення та пово�роту (подiбностi), а також виконувати дiї вiдповiдно до вивчених ал�горитмiв пiд час розв’язування задач на побудову, якi передбачаютьзастосування названих методiв.

Тип уроку: засвоєння знань, формування вмiнь.Наочнiсть та обладнання: конспект «Розв’язування задач мето�

дом геометричних перетворень».

Хiд уроку





Оскiльки письмовi вправи домашньої роботи вiдтворювали ситу�ацiї, аналогiчнi до розглянутих на попередньому уроцi, перевiря�ється лише правильнiсть виконання обчислень.

З метою оперативної перевiрки засвоєння учнями знань та вмiньможна провести тестову роботу з наступною перевiркою та обгово�ренням.

Тестова роботаВарiант 1

1. Сторона трикутника дорiвнює 10 см, а вiдповiдна їй сторона гомо�тетичного трикутника — 20 дм. Знайдiть коефiцiєнт гомотетiї.

1) 2; 2)1

2; 3) 20; 4)

1

10.

2. План земельної дiлянки побудовано у двох масштабах 1:250i 1:1000. З яким коефiцiєнтом подiбностi другий план подiбний допершого?

1) 2,5; 2)1

40; 3)

1

4; 4) 4.

3. У яку точку перейде точка M ( )12 16;− внаслiдок гомотетiї з ко�

ефiцiєнтом1

4i центром у початку координат?

1) ( )4 3; ; 2) ( )−4 3; ; 3) ( )3 4;− ; 4) ( )48 64;− .4. Вiдстань вiд Києва до Москви залiзницею дорiвнює приблизно

800 км. Який масштаб треба взяти, щоб зображення залiзницiвмiстилось на аркушi розмiром 20 20× см?1) 1:40 000; 2) 1:400 000; 3) 1:4 000 000; 4) 1:250 000.Варiант 2

1. Сторона трикутника дорiвнює 20 дм, а вiдповiдна їй сторона гомо�тетичного трикутника дорiвнює 10 см. Знайдiть коефiцiєнт гомо�тетiї.

1) 2; 2)1

2; 3) 20; 4)

1

10.

2. Якi координати має точка M ′ ( )x y′ ′; , гомотетична точцi M ( )2 3;−з коефiцiєнтом k = 2 i центром у початку координат?1) M ′ ( )4 6; ; 2) M ′ ( )1 15; ,− ; 3) M ′ ( )4 6;− ; 4) M ′ ( )−6 4; .

3. Моделi космiчних кораблiв виконано в масштабах 1:250 i 1:500.Якi коефiцiєнти подiбностi моделей?

1) 1:250 i 1:500; 2) 250 i 500; 3) 2 i1

2; 4) 2.


4. Макет школи виготовлено в1

200натуральної величини. З цього

макета зроблено другий макет, розмiри якого є втричi меншими.Який коефiцiєнт подiбностi школи i другого макета школи?1) 600; 2) 1:600; 3) 3:200; 4) 200:3.


З метою створення ситуацiї, що допоможе усвiдомити необхiд�нiсть вивчення питання уроку, вчитель може запропонувати учнямпроаналiзувати ситуацiї, якi описуються в стандартних задачах назастосування цих методiв.

Пiсля проведення певної розумової роботи вчитель повiдомляєучням (якщо вони не складуть власної думки), що запропонованi за�дачi розв’язуються iз застосуванням геометричних перетворень, якiбуло вивчено на попередньому уроцi. Таким чином, формулюєтьсяпитання про стандартнi випадки та спосiб застосування вивченихвидiв геометричних перетворень до розв’язування типових задач.

Розв’язання цього питання i визначається як основна мета уроку.


Виконання усних вправ1. Якi координати має точка C, вiдносно якої симетричнi точки( )А 0 8; i B( )4 2;− ?

2. Яка точка симетрична точцi A ( )3 2;− вiдносно початку координат?3. Точка A симетрична точцi B вiдносно точки O, точка C симетрична

точцi D вiдносно точки O. Доведiть, що AC BD| | .4. Чи може точка перетину дiагоналей трапецiї бути її центром си�

метрiї? Вiдповiдь обґрунтуйте5. Знайдiть невiдомi координати точок A ( )3;... та B ( )...;−1 , симет�

ричних вiдносно осi ординат.6. Про чотирикутник ABCD вiдомо, що точки A i C симетричнi вiд�

носно прямої BD, а точки B i D симетричнi вiдносно прямої AC.Якого виду чотирикутник?

7. ABCD — квадрат, M — точка перетину його дiагоналей. Нама�люйте вiд руки фiгуру, в яку перейде квадрат ABCD за паралель�ного перенесення, яке переводить точку A в точку M.

8. Якi види рухiв ви знаєте?9. Паралельне перенесення — це рух. Якi властивостi паралельного

перенесення звiдси випливають?10. Коло x y2 2 25+ = паралельно перенесли так, що центр його пере�

йшов у точку A ( )3 4; . Назвiть рiвняння нової фiгури.



План вивчення нового матерiалу1. Загальне уявлення про суть методу геометричних перетворень.2. Метод симетрiї в розв’язуваннi геометричних задач.3. Метод повороту в розв’язуваннi геометричних задач.4. Метод паралельного перенесення в розв’язуваннi геометричних

задач.5. Приклади розв’язування задач методом геометричних перетво�

рень.Взагалi метод геометричних перетворень не є обов’язковимдля вивчення у 9 класi. Тому планування вивчення матерiалууроку залежить вiд рiвня навчальних досягнень учнiв класу.Цей урок можна провести аналогiчно до попереднього уроку:або розв’язуємо задачi достатнього рiвня на подiбнiсть фiгур,або працюємо за планом вивчення нового матерiалу (див.вище). Викладення нового матерiалу проводиться близько дотексту пiдручника та iлюструється прикладами задач на за�стосування вивчених методiв.

Стисло змiст навчального матерiалу учням можна подати у виг�лядi конспекту 24.

Конспект 24

Розв’язування задач методом геометричних перетворень

1. Метод симетрiї

Замiнити подану в умовi фiгуру або її елементи на симетричну вiдноснодеякої прямої або деякої точки.

2. Метод повороту використовують у задачах, в яких задано фiгури iзрiвними сторонами та вiдомими кутами мiж цими сторонами (рiвносто�роннi трикутники; рiвнобедренi трикутники тощо).

На практицi для повороту деякої прямої навколо точки обирають двi точ�ки цiєї прямої i здiйснюють їх поворот навколо точки O.

3. Метод паралельного перенесення використовують, якщо елементизаданої фiгури (фiгур) вiддаленi один вiд одного i важко вiдобразити нарисунку всi данi умови.

У цьому випадку виконують паралельне перенесення елементiв фiгури(фiгуру) вздовж заданої прямої на певну вiдстань (яка задана в умовi за�дачi неявно).

4)* Метод подiбностi (див. 8 клас для трикутникiв).



Виконання усних вправ1. За допомогою геометричних перетворень необхiдно перевести

один iз кутiв паралелограма в протилежний кут. Якi перетворен�ня можна для цього виконати?

2. За допомогою геометричних перетворень необхiдно отриматиколо, яке дорiвнює заданому колу й дотикається до нього. Якi пе�ретворення можна для цього використати?Виконання письмових вправ

1. Вiдрiзки AC i BD перетинаються в точцi O, яка є серединою кож�ного з них. Точки M i N — середини вiдрiзкiв AB i CD вiдповiдно.За допомогою центральної симетрiї доведiть, що точка O — сере�дина вiдрiзка MN.

2. За допомогою паралельного перенесення доведiть, що коли одназ двох паралельних прямих перпендикулярна до третьої прямої,то друга також перпендикулярна до цiєї прямої.

3. Побудуйте вiдрiзок iз серединою в заданiй точцi й кiнцями надвох заданих прямих.

4. Точка D лежить усерединi гострого кута ABC. Побудуйте рiвно�бедрений прямокутний трикутник DEF так, щоб вершини йогогострих кутiв E i F лежали на сторонах кута ABC.

Задачi, що запланованi для розв’язування на уроцi, спрямо�ванi на закрiплення знань учнiв про способи застосування ме�тодiв геометричних перетворень до задач на побудову, знахо�дження найменших значень величин та обчислення. Передрозв’язуванням задач слiд ще раз повторити ознаки, за якимиможна встановити, який саме з вивчених способiв використо�вується в цiй задачi (див. конспект).


Проводиться повторення основних моментiв уроку.


Вивчити змiст схем дiй пiд час розв’язування задач методом гео�метричних перетворень (див. конспект 24).

Розв’язати задачi.1. За допомогою осьової симетрiї доведiть, що медiани рiвнобедрено�

го трикутника, проведенi до бiчних сторiн, рiвнi.2. За допомогою повороту доведiть, що рiвнi хорди кола стягують

рiвнi дуги.


3. Точки A i B лежать по рiзнi боки вiд прямої l. Побудуйте кут AOBтак, щоб його бiсектриса лежала на прямiй l.

4. Дано два рiвнi кола з центрами O i O1 , якi не мають спiльних то�чок, OO1 10= см. Пряма l паралельна OO1 i перетинає цi кола по�слiдовно в точках A, B, C i D. Знайдiть вiдстань AC.

Повторити означення та властивостi геометричних перетворень.


Мета: працювати над закрiпленням учнями змiсту означень тавластивостей геометричних перетворень та способiв застосування пе�ретворень до розв’язування задач.

Сформувати вмiння та сталi навички використовувати власти�востi геометричних перетворень для розв’язування задач.

Тип уроку: застосування знань, засвоєння вмiнь та навичок.


Хiд уроку




Перевiрку правильностi виконання письмових вправ домашньогозавдання проводимо за готовими стислими записами розв’язань. За�писи можуть виконати на дошцi декiлька учнiв iз високим рiвнем на�вчальних досягнень, або вчитель запропонує їх у формi роздавальногоматерiалу для iндивiдуальної роботи учнiв. Методика проведення цьо�го етапу уроку залежить вiд рiвня математичної пiдготовки учнiв.


Головна мета уроку зумовлена його мiсцем у роздiлi й полягаєв тому, щоб, закрiпивши знання учнiв про основнi види та власти�востi геометричних перетворень фiгур, сформувати сталi вмiння танавички роботи з цими перетвореннями пiд час розв’язування планi�метричних задач на обчислення i побудову.

ІV. Вiдтворення, систематизацiя опорних знань та вмiнь

Учням пропонується самостiйно повторити змiст матерiалу, ви�вченого на попереднiх уроках за конспектами 20–24, а потiм пiд часвиконання усних вправ вiдтворити цi знання.


Виконання усних вправ1. Точки A i B симетричнi вiдносно точки O, CD — довiльна пряма,

причому AD CB| | . Доведiть, що точки C i D симетричнi вiдносноточки O.

2. ABCD — ромб. На сторонах AD i CD позначено точки M i K вiдпо�вiдно, причому MD DK= . Доведiть, що точки K i M симетричнiвiдносно дiагоналi BD.

3. Гомотетiя з центром O ( )0 0; переводить точку A ( )− −1 2; у точку

′ − −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

А1

21; . Який коефiцiєнт гомотетiї?

4. Паралельне перенесення задано формуламиx x

y y

′ = +′= −

⎧⎨⎩

1

2

,

.В яку точ�

ку перейде за такого перенесення початок координат?


Виконання письмових вправ1. Доведiть, що центр рiвностороннього трикутника не є центром

його симетрiї.2. Доведiть, що прямi, якi проходять через середини протилежних

сторiн прямокутника, є його осями симетрiї.3. Доведiть, що точка, симетрична точцi ( )a b; вiдносно прямої y x= ,

має координати ( )b a; .4. Унаслiдок паралельного перенесення точка кола x y2 2 36+ = , яка

має найменшу ординату, переходить у центр цього кола. Складiтьрiвняння образу цього кола.

5. Унаслiдок повороту навколо точки O на кут α( )0 180< <α точка

A переходить у точку A′. Доведiть, що точки A i A′ симетричнiвiдносно прямої, що мiстить бiсектрису кута AOA′.

6. Накреслiть правильний трикутник ABC iз центром O. Побудуйтетрикутник, в який переходить трикутник ABC унаслiдок гомо�тетiї:1) iз центром A i коефiцiєнтом 3; 2) iз центром O i коефiцiєнтом 2.

7. Площа правильного шестикутника, вписаного в коло, дорiвнює36 см2. Знайдiть площу правильного шестикутника, описаного на�вколо цього кола.


Пiдсумком уроку є видiлення учнями основних видiв задач на за�стосування вивчених формул (класифiкацiя може бути проведена зарiзними критерiями).



Повторити змiст основних понять теми (див. конспекти 20–24).


Домашня самостiйна робота

Варiант 1

1. Побудуйте фiгуру, в яку переходить точка A за гомотетiї з цен�тром у точцi O i коефiцiєнтом k = 2.

2. Дано трикутник ABC. Побудуйте фiгуру, в яку переходить вiдрi�

зок AB за гомотетiї з центром у точцi C i коефiцiєнтом k = 1

2.

3. Середня лiнiя MK трикутника ABC вiдтинає вiд нього гомотетич�ний йому трикутник MBK. Чому дорiвнює коефiцiєнт гомотетiї?

4. Доведiть, що фiгури y x= 2 i y ax= 2 при додатному a ≠ 1 гомоте�

тичнi.

5. Двi вiдповiднi сторони подiбних шестикутникiв вiдносяться як4:5. Як вiдносяться площi цих шестикутникiв ?

6. Площi двох подiбних трикутникiв дорiвнюють 16 см2 i 25 см2.Одна зi сторiн першого трикутника дорiвнює 2 см. Знайдiть вiдпо�вiдну їй сторону другого трикутника.

7. Периметри подiбних многокутникiв вiдносяться як 5:7, а рiзницяїх площ дорiвнює 864 см2. Визначте площi многокутникiв.

8. Паралельно до основи трикутника проведено пряму, яка дiлитьбiчну сторону трикутника у вiдношеннi 3:5 (рахуючи вiд проти�лежної до основи вершини). Рiзниця площ утворених трапецiї татрикутника дорiвнює 69 см2. Обчислiть площу трикутника.

Варiант 2

1. Побудуйте фiгуру, в яку переходить точка A за гомотетiї з цен�тром у точцi O i коефiцiєнтом k = 3.

2. Дано трикутник ABC. Побудуйте фiгуру, в яку переходить серед�ня лiнiя MK AB| | за гомотетiї з центром у точцi C i коефiцiєнтомk = 2.

3. В яку точку перейде точка C (12;–16) за гомотетiї з коефiцiєнтом1

4i центром у початку координат?

4. Чи гомотетичнi фiгури y x= 3 i y x= 4 3 ?

5. Двi вiдповiднi сторони подiбних многокутникiв вiдносяться як3:5. Як вiдносяться площi цих многокутникiв?


6. Площi двох подiбних трикутникiв дорiвнюють 10 см2 i 5 см2. Одназi сторiн першого трикутника дорiвнює 15 см. Знайдiть вiдпо�вiдну їй сторону другого трикутника.

7. Вiдповiднi дiагоналi подiбних многокутникiв вiдносяться як 2:3,сума площ цих многокутникiв дорiвнює 468 см2. Знайдiть площукожного з многокутникiв.

8. Паралельно до основи трикутника проведено пряму, яка дiлитьбiчну сторону трикутника у вiдношеннi 2:5 (рахуючи вiд верши�ни, протилежної до основи). Сума площ утворених трапецiї татрикутника дорiвнює 49 см2. Обчислiть площу трапецiї, що вiдти�нається прямою вiд заданого трикутника.

Урок № 41Геометричнi перетворення. Пiдсумковий урок


• означення поняття перетворення фiгур, перемiщення та його рiз�них видiв, перетворення подiбностi та його видiв;

• властивостей перемiщення та його видiв;• схеми дiй пiд час розв’язування задач методом геометричних пере�

творень.Систематизувати вмiння та навички учнiв застосовувати набутi

знання до розв’язування задач, передбачених програмою.Тип уроку: узагальнення та систематизацiя знань, умiнь та нави�

чок.Наочнiсть та обладнання: конспекти 20–24.

Хiд уроку



Зiбрати зошити з виконаною домашньою самостiйною роботою.За необхiдностi правильнi розв’язання роздаються учням для само�стiйного опрацювання вдома.


Основна дидактична мета та завдання на урок цiлком логiчновипливають iз його мiсця в темi. Оскiльки урок є останнiм, пiдсумко�вим, то увага придiляється повторенню, узагальненню й системати�зацiї знань та вмiнь, набутих учнями пiд час вивчення теми «Геомет�


ричнi перетворення». Таке формулювання мети створює вiдповiднумотивацiю дiяльностi учнiв.


Найбiльшої ефективностi цього уроку можна досягти, якщоорганiзувати роботу учнiв таким чином, щоб учнi виконувалиїї самостiйно або в групi. Залежно вiд рiвня пiдготовленостiучнiв, учитель може органiзувати їхню роботу рiзними спосо�бами: або як самостiйну роботу з теоретичним матерiалом (на�приклад, за пiдручником), або за конспектами повторити змiстосновних понять теми. Можна провести традицiйне опитуван�ня (у формi iнтерактивної вправи) за основними питаннямитеми або за контрольними запитаннями до теми 4.

Контрольнi запитання до теми1. Дайте означення перемiщення. Назвiть основнi властивостi пере�

мiщення. Який зв’язок має перемiщення з рiвнiстю фiгур?2. Дайте означення симетрiї вiдносно точки. Якi фiгури називають�

ся центрально�симетричними? Наведiть приклади.3. Дайте означення симетрiї вiдносно прямої. Що таке вiсь симетрiї

фiгури? Наведiть приклади фiгур, якi мають вiсь симетрiї.4. Дайте означення повороту.5. Дайте означення паралельного перенесення. Якими формулами

паралельне перенесення задається в прямокутнiй системi коорди�нат?

6. Дайте означення перетворення подiбностi. Назвiть основнi влас�тивостi подiбних фiгур.

7. Опишiть перетворення гомотетiї.


Так само як i на попередньому етапi уроку, бажано органiзу�вати учнiв таким чином, щоб активiзувати їх самостiйну дi�яльнiсть. Зазвичай цей етап проводиться у формi групової ро�боти, мета якої полягає в тому, щоб учнi систематизуваливиди задач, якi вони навчилися розв’язувати в ходi вивченнятеми 4, а потiм самi сформулювали та випробували узагаль�ненi схеми дiй, яких вони мають дотримуватися пiд час роз�в’язування типових задач, подiбнi до яких будуть винесенi наконтроль.

Перед виконанням практичного завдання проводиться роботаз видiлення основних видiв задач на застосування вивчених у темiпонять.


Основнi види задач:

• побудова фiгури, що утворюється iз заданої геометричної фiгуришляхом виконання одного з вивчених видiв перетворень (симетрiївiдносно точки, симетрiї вiдносно прямої, повороту, паралельногоперенесення, гомотетiї);

• знаходження координати точки, яка симетрична заданiй вiдноснопочатку координат, або однiєї з координатних осей, або вiдноснопрямої y x= ;

• складання рiвняння фiгури, що утворилася iз фiгури iз заданимрiвнянням шляхом виконання певного геометричного перетворення;

• застосування властивостей подiбних многокутникiв.Пiсля формування списку основних видiв задач учитель об’єднує

учнiв у робочi групи (за кiлькiстю видiв завдань) i формулює завданнякожнiй групi: «Скласти план розв’язання задачi…» (групи отримуютьiндивiдуальне завдання). На складання плану вiдводиться певний час,за який учасники групи мають обговорити план розв’язання, записа�ти його у виглядi послiдовних крокiв, реалiзувати та пiдготувати пре�зентацiю своєї роботи. Пiсля закiнчення вiдбувається презентацiя ви�конаної роботи кожною групою, а далi — обов’язкове обговоренняскладених планiв. Учитель або учнi (iнших груп) пропонують змiнитияку�небудь iз величин i пояснити, як змiниться розв’язання задачi.Пiсля обговорення — обов’язкова корекцiя.


Пiдсумком уроку узагальнення та систематизацiї знань i вмiнь є,по�перше, складенi самими учнями узагальненi схеми дiй пiд час роз�в’язування типових завдань, по�друге — здiйснення учнями необхiдноїчастини свiдомої розумової дiяльностi учнiв — рефлексiї, вiдображен�ня кожним учнем сприйняття власних успiхiв та найголовнiше — про�блем, над якими слiд ще попрацювати перед контрольною роботою.


Повторити змiст понять теми «Геометричнi перетворення».Вивчити складенi на уроцi схеми дiй.Використовуючи складенi схеми, розв’язати задачi домашньої


Домашня контрольна робота1. Дано прямокутний трикутник ABC з гiпотенузою AC. Побудуйте:

1) вiдрiзок, симетричний катету BC вiдносно точки C;2) кут, симетричний куту ABC вiдносно прямої AC.


2. Знайдiть координати точки, симетричної точцi A ( )−41; вiдносно:1) початку координат; 2) осi абсцис.

3. Виконайте поворот рiвнобедреного прямокутного трикутника ABCз гiпотенузою AC навколо вершини B на 90 проти годинниковоїстрiлки. Назвiть сторони трикутника, якi переходять одна в одну.

4. Складiть формули паралельного перенесення, яке переводить

центр кола ( ) ( )x y+ + − =1 7 42 2

в початок координат.

5. Вiдповiднi сторони двох подiбних прямокутникiв вiдносяться як3:5. Знайдiть площу бiльшого прямокутника, якщо площа мен�шого дорiвнює 36 см2.

6. Два кола мають внутрiшнiй дотик у точцi A, причому менше колопроходить через центр бiльшого. Доведiть, що будь�яка хорда бiль�шого кола, яка виходить iз точки A, дiлиться меншим колом навпiл.

Урок № 42Геометричнi перетворення.Тематична контрольна робота № 4

Мета: перевiрити рiвень засвоєння учнями знань та вмiнь вiдпо�вiдно до програмових вимог щодо змiсту основних понять теми 4;якiсть сформованих умiнь розв’язувати задачi на використання озна�чень та властивостей вивчених видiв перетворень фiгур, а також за�стосовувати набутi знання та вмiння до розв’язування задач.

Тип уроку: контроль та корекцiя знань i вмiнь.

Хiд уроку


ІІ. Перевiрка домашнього завданняЗiбрати зошити з виконаною домашньою контрольною роботою (ро�

боту перевiрити та врахувати пiд час виставлення тематичного бала).

ІІІ. Формулювання мети i завдань урокуУчитель наголошує, що метою контрольної роботи є демонстра�

цiя учнями своїх навчальних досягнень, тобто знань змiсту основнихпонять теми та навичок володiння прийомами їх застосування пiдчас розв’язування програмових задач.

ІV. Умова тематичної контрольної роботи № 4Варiант 1

1. Якi координати має точка, симетрична точцi ( )C −2 4; вiдносно:а) осi OX; б) осi OY; в) початку координат.


2. Побудуйте трикутник A B C1 1 1 , симетричний трикутнику ABC вiд�носно точки O, яка є серединою сторони BC.

3. Паралельне перенесення, за якого точка C переходить у точку D,задано формулами ′ = −x x 5, ′ = +y y 3. Запишiть формули пара�лельного перенесення, за якого точка D переходить у точку C.

4. Складіть рiвняння фiгури, симетричної колу ( ) ( )x y+ + − =4 2 62 2

вiдносно: а) початку координат; б) осi OX; в) осi OY; г)* прямої y x= .5. Побудуйте фiгуру, в яку переходить правильний Δ ABC у резуль�

татi повороту на 60° проти годинникової стрiлки навколо центратрикутника.

6. Площi двох подiбних трикутникiв пропорцiйнi числам 4 i 9, а рiз�ниця їх периметрiв дорiвнює 10 см. Знайдіть периметри цих мно�гокутникiв.Варiант 2

1. Якi координати має точка, симетрична точцi ( )A 3 6;− вiдносно:а) осi OX; б) осi OY; в) початку координат?

2. Побудуйте прямокутник M N P Q1 1 1 1 , симетричний прямокутникуMNPQ вiдносно точки O, яка є серединою сторони NP.

3. За паралельного перенесення точка ( )A 1 3; переходить у точку( )B −1 4; . В яку точку в результатi цього паралельного перенесення

переходить точка ( )C 0 6;− ?

4. Складіть рiвняння фiгури, симетричної колу ( ) ( )x y− + + =7 3 82 2

вiдносно: а) початку координат; б) осi OX; в) осi OY; г)* прямої y x= .5. Побудуйте фiгуру, в яку переходить рiвнобедрений трикутник

CDE з основою CE в результатi повороту на кут 90° за годиннико�вою стрiлкою навколо точки D.

6. Периметри двох подiбних многокутникiв вiдносяться як 2:3, а су�ма їх площ дорiвнює 13 см2. Знайдiть площi цих многокутникiв.


Як варiант проведення цього етапу уроку можна запропонувати(пiсля виконання роботи) оголошення правильних вiдповiдей до за�вдань, виконаних учнями, або роздати учням для опрацювання вдо�ма (домашнiй аналiз контрольної роботи) копiї правильних розв’я�зань завдань контрольної роботи № 4.


Виконати аналiз контрольної роботи (за розданими розв’язаннями).Повторити змiст поняття паралельного перенесення, формули

вiдстанi мiж двома точками.


ТЕМА 5. ВЕКТОРИ НА ПЛОЩИНI

Урок № 43Означення вектора, модуль i напрям вектора.Рiвнi вектори

Мета: систематизувати знання учнiв про види величин, що вивча�ються природничими науками (векторнi та скалярнi).

Сформувати в учнiв уявлення про:• вектор та супутнi поняття (початок, кiнець, напрям, модуль вектора);• види векторiв залежно вiд розташування прямих та променiв, на

яких лежать цi вектори (колiнеарнi та неколiнеарнi вектори);• рiвнi вектори.

Домогтися свiдомого розумiння означення вектора та супутнiхпонять.

Сформувати вмiння вiдтворювати вивченi твердження i викори�стовувати їх для обґрунтування мiркувань пiд час розв’язування за�дач на вiдкладання вектора, що дорiвнює заданому, на видiленнясеред ряду векторiв колiнеарних векторiв, рiвних векторiв, спiвна�прямлених та протилежно напрямлених векторiв.

Тип уроку: засвоєння знань, засвоєння вмiнь.Наочнiсть та обладнання: конспект «Означення вектора».

Хiд уроку


Перевiрка готовностi учнiв до уроку, налаштування на роботу.Повiдомлення результатiв виконання тематичної контрольної ро�

боти № 4.Вступне слово вчителя з повiдомленням iнформацiйного характе�

ру про кiлькiсть навчальних годин, що вiдводиться на вивчення те�ми 5, орiєнтовний графiк проведення самостiйних робiт та дату про�ведення тематичної контрольної роботи, програмовi вимоги до знаньта вмiнь учнiв.


З метою перевiрки якостi виконання домашньої самостiйної робо�ти (аналiз контрольної роботи) вчитель збирає зошити учнiв на пере�вiрку.



Загальна мета вивчення теми 5 випливає iз того, що деякi вели�чини, наприклад у фiзицi, характеризуються не тiльки числовимзначенням, але й напрямом. Це сила, швидкiсть, прискорення тощо.Отже, завдяки вивченню векторiв учнi зможуть краще опанувати ме�тоди розв’язування не тiльки геометричних, але й фiзичних задач,краще зрозумiти деякi процеси, що вiдбуваються у природi.

Пiсля формулювання загальної мети вивчення всього роздiлувчитель формулює бiльш конкретну мету уроку: вивчити змiст ос�новних понять теми, а також закрiпити знання про змiст цих понятьта сформувати вмiння застосовувати вивченi поняття до розв’язуван�ня задач на розумiння, тобто так званих «якiсних» задач.

IV. Актуалiзацiя опорних знань та вмiньЗ метою успiшного засвоєння учнями змiсту нового матерiалу уро�

ку слiд активiзувати знання та вмiння учнiв щодо: означення та влас�тивостей паралелограма, означення та властивостей паралельного пе�ренесення, а також властивостей вивчених у 8 класi чотирикутникiв.

Виконання усних вправ1. Доведiть, що бiсектриси сумiжних кутiв паралелограма перпен�

дикулярнi.2. У паралелограмi ABCD BM AD⊥ , DH BC⊥ . Доведiть рiвнiсть три�

кутникiв ABM i CDH.3. Доведiть, що дiагональ паралелограма дiлить його на два рiвнi

трикутники.4. Доведiть, що кут мiж висотами паралелограма, що проведенi

з вершини тупого кута, дорiвнює гострому куту паралелограма.5. Доведiть, що вiдрiзок, який проходить через точку перетину дiа�

гоналей паралелограма, кiнцi якого лежать на його сторонах,цiєю точкою дiлиться навпiл.

6. Точку ( )A ...;4 за допомогою паралельного перенесення в напрямiосi Ox на 1 одиницю перемiстили в точку ( )B −3;... . Вiдновiть про�пущенi координати.

7. Паралельне перенесення задано формуламиx x

y y

′ = −′= +

⎧⎨⎩

2

1

,

.В яку точ�

ку перейде при цьому перенесеннi початок координат?8. ABCD — рiвнобiчна трапецiя ( )AD BC| | . Чи можна стверджувати

що вiдрiзок: 1) AD можна дiстати за допомогою паралельного пе�ренесення вiдрiзка BC; 2) CD можна дiстати за допомогою пара�лельного перенесення вiдрiзка AB?



1. Систематизацiя видiв величин у природничих науках.2. Означення вектора. Зображення та позначення вектора.3. Довжина (модуль) вектора. Нуль�вектор.4. Колiнеарнi вектори. Спiвнапрямленi вектори, протилежно на�

прямленi вектори.5. Означення, властивостi та ознаки рiвних векторiв.

Змiст навчального матерiалу уроку є досить традицiйнимi складається з формулювання означень основних понятьтеми. Вивчення нового матерiалу уроку можна провестиу формi бесiди близько до тексту пiдручника або органiзуватисамостiйну роботу учнiв iз текстом пiдручника за планом,поданим вище.

Пiд час вивчення питань теми уроку слiд урахувати такi кон�трольнi моменти:

• вектор i напрямлений вiдрiзок не є тотожними поняттями (таксамо як не є тотожними об’єкт та його зображення);

• оскiльки вектор зображується напрямленим вiдрiзком, то вiн маєхарактеризуватись не тiльки довжиною (модулем), але й напрямом;

• на вiдмiну вiд попереднiх рокiв, вивчення видiв векторiв залежновiд розташування прямих, на яких лежать цi вектори, ведеться де�дуктивним методом: спочатку формулюється загальне поняттяколiнеарних векторiв, а потiм вивчається питання про видiленнясеред колiнеарних векторiв однаково напрямлених та протилежнонапрямлених векторiв (через формулювання поняття однаково тапротилежно напрямлених променiв, як i ранiше);

• поняття рiвних векторiв доцiльно подати на бiльш високому на�уковому рiвнi. Окремо видiлити означення, властивостi та ознакурiвних векторiв, що дає учням можливiсть бiльш свiдомо викори�стовувати поняття рiвних векторiв пiд час розв’язування задач.Стисло змiст навчального матерiалу учням можна подати у ви�



Виконання усних вправ1. У паралелограмi ABCD точка O — точка перетину дiагоналей.

Назвiть вектори:

1) спiвнапрямленi з вектором DC��

;

2) спiвнапрямленi з вектором AO��

;


Конспект 25

Означення вектора. Модуль i напрям вектора. Рiвнi вектори

1. Означення модуля Вектор — це напрямлений вiдрiзок: AB��

—вектор; A — початок; B — кiнець.

2. Напрям i модуль вектора

а)

Якщо a b| | , то вектори�a,

�b i

�c колiнеарнi;

вектори:� �a c↑ ↑ (

�a i

�c — спiвнапрямленi);

� �a b↓ ↑ (протилежно напрямленi).

б) Модуль вектора AB��

(або�a) — це довжина

вiдрiзка AB, тобто AB AB��⏐⏐⏐ ⏐⏐⏐= .

Якщо точки A i B спiвпадають, то AB��=

�0,

| |�0 0= .

Вектор характеризується модулем та на�прямом.

3. Рiвнi вектори

а) Означення: AB CD�� = , якщо вони сумiщаються

паралельним перенесенням.

б) Властивостi:

Якщо AB CD�� = , то AB CD

�� ↑ ↑ i AB CD

�� ⏐⏐⏐ ⏐⏐⏐=⏐⏐⏐ ⏐⏐⏐.

Вiд будь�якої точки можна вiдкласти вектор�a AB=

��.

в) Ознака. Якщо AB CD�� ↑ ↑ i AB CD

�� ⏐⏐⏐ ⏐⏐⏐=⏐⏐⏐ ⏐⏐⏐, то AB CD

�� = .

3) протилежно напрямленi з вектором AD��

;

4) протилежно напрямленi з вектором BD��

;

5) що дорiвнюють вектору AB��

;

6) що дорiвнюють вектору OC��

;

5) що дорiвнюють вектору BB��

.

2. Визначте вид чотирикутника ABCD, якщо AB DC��

= .Виконання графiчної вправиНакреслiть паралельнi прямi a i b. Позначте на прямiй a точки A

і B, а на прямiй b — точку C. Вiдкладiть:


B (кiнець)

A (початок)

�a

�a

a

�b

�c b

�aA

B

AB

BA

CD

1) вiд точки C вектор CD��

, спiвнапрямлений з AB��

;

2) вiд точки C вектор CE��

, протилежно напрямлений AB��

;

3) вiд точки B вектор BF��

, що дорiвнює вектору AB��

.

Чи спiвнапрямленi вектори BF��

i DE��

, BF��

i AD��

?

Виконання письмових вправ1. У прямокутнику ABCD AB = 5, BC = 12, точка E — середина сторо�

ни BC. Знайдiть довжини векторiв AD��

, CE��

, AC��

, AE��

.

2. Доведiть, що в паралелограмi ABCD AD BC��

= .3. У прямокутнiй трапецiї ABCD AD BC| | , AB = 4, AD = 7, ∠ = °D 45 .

Знайдiть довжини векторiв BC��

, CD��

i BD��

.

4. Якщо AB CD��

= , то середини вiдрiзкiв AD i BC збiгаються. Доведіть.

5. Вектори AB��

i CD��

колiнеарнi. Чи означає це, що ABCD — трапе�цiя? Вiдповiдь обґрунтуйте.Додаткова задача (на повторення)Доведiть, що точки A, B i C лежать на однiй прямiй, якщо

AB = 8 3, cм, BC = 10 1, см, AC = 18, см. Яка з цих точок лежить мiж дво�ма iншими?

Як було зазначено ранiше, задачi, запланованi для розв’язу�вання на уроцi, в основному є так званими «якiсними», тобтовимагають вiд учнiв оволодiння матерiалом на рiвнi розумiн�ня. Тому пiд час розв’язування цих задач слiд вимагати вiдучнiв чiткої аргументацiї своїх мiркувань iз використаннямнового матерiалу та вивчених ранiше ознак, властивостей таозначень чотирикутникiв. Особливу увагу слiд звернути на за�дачi, що передбачають доведення рiвностi векторiв, або, навпа�ки, використання факту рiвностi векторiв. Перед розв’язуван�ням задач слiд ще раз наголосити на тому, що для доведеннярiвностi векторiв можна використовувати або означення, або(частiше) ознаку; за наявностi рiвних векторiв можна корис�туватись як означенням, так i властивiстю рiвних векторiв.


Контрольнi запитання1. Дайте означення вектора. Як зображують вектори?2. Який вектор називають нуль�вектором?3. Що називають довжиною (модулем) вектора?4. Що називають напрямом вектора?


5. Якi вектори називають спiвнапрямленими?6. Якi вектори називають протилежно напрямленими?7. Якi вектори називають рiвними?8. Якi вектори називають колiнеарними?9. З якими векторами колiнеарний нуль�вектор?

10. Як вiдкласти вектор вiд заданої точки?


Вивчити змiст нового матерiалу уроку (конспект 25).Усно розв’язати задачi.

1. На площинi позначенi точки A i B. Чи правильно, що вектори AB��

і BA��

: 1) мають однаковi довжини; 2) спiвнапрямленi; 3) рiвнi?

2. Вектори AB��

i BC��

колiнеарнi. Чи лежить точка B на прямiй AC; навiдрiзку AC?

3. Точка C — середина вiдрiзка AB. Чи рiвнi вектори AC��

i BC��

? Чи

рiвнi вектори AC��

i CB��

?4. Дано рiвнобедрений трикутник ABC з основою AC. Чи правильно,

що AB BC��

= ?Письмово розв’язати задачi.

1. Накреслiть ромб ABCD. Вiдкладiть вiд точки B вектор, що до�

рiвнює: 1) вектору CD��

; 2) вектору AC��

.

Виконайте паралельне перенесення ромба на вектор BD��

.2. У ромбi ABCD AC = 8, BD = 6, O — точка перетину дiагоналей.

Знайдiть довжини векторiв OC��

, BO��

, AB��

.3. Точка O — середина вiдрiзка AB. Назвiть пари рiвних векторiв iз

кiнцями в заданих точках i доведiть їхню рiвнiсть.4. У паралелограмi ABCD AB = 4, BC = 7, дiагональ AC бiльша за дiа�

гональ BD на 2. Знайдiть довжини векторiв AC��

i DB��

.Повторити формулу вiдстанi мiж двома точками, означення та

властивостi паралельного перенесення, означення, властивостi таознаки паралелограма.

Урок № 44Координати вектора

Мета: домогтися свiдомого розумiння учнями геометричного змiс�ту поняття координати вектора; означення координат вектора; працю�вати над засвоєнням знань формули обчислення модуля вектора за


його координатами; доповнити знання учнiв додатковими властивос�тями та ознакою рiвностi векторiв за їх координатами; сформувативмiння вiдтворювати вивченi твердження, а також виконувати дiївiдповiдно до вивчених формул (знаходити координати вектора закоординатами його початку та кiнця, модуль вектора за його коорди�натами), використовувати цi вмiння пiд час розв’язування задач.


Наочнiсть та обладнання: конспект «Координати вектора».

Хiд уроку




З метою перевiрки засвоєння учнями змiсту нового матерiалу по�переднього уроку можна провести математичний диктант. Можнатакож провести фронтальну бесiду за питаннями усних вправ домаш�нього завдання.

Оскiльки письмовi вправи домашнього завдання є вправами ре�продуктивного характеру, правильнiсть їх виконання перевiряємовибiрково тiльки в учнiв, що мають середнiй та низький рiвнi на�вчальних досягнень.


Варiант 11. Запишiть позначення вектора з кiнцем у точцi X i початком

у точцi Y.

2. Виконайте зображення двох однаково напрямлених, але нерiвнихвекторiв.

3. Що можна сказати про напрям двох рiвних векторiв?

4. Запишiть у виглядi рiвностi, чому дорiвнює модуль нульовоговектора.

5. Виконайте зображення вектора BC��

i точки Y. Вiдкладiть вiд точ�

ки Y вектор, що дорiвнює вектору BC��

.

Варiант 21. Запишiть позначення вектора з кiнцем у точцi H i початком

у точцi A.

2. Запишiть у виглядi рiвностi, чому дорiвнює модуль нульовоговектора.


3. Виконайте зображення вектора AB��

i точки M. Вiдкладiть вiд точ�

ки M вектор, що дорiвнює вектору AB��

.4. Що можна сказати про модулі двох рiвних векторiв?5. Виконайте зображення двох однаково напрямлених, але нерiвних

векторiв.


Мета уроку визначається вчителем пiсля бесiди, приблизнийзмiст якої можна викласти такими тезами.

1. Кожна точка координатної площини однозначно задається своїмикоординатами (парою (x y; )).

2. Початок i кiнець вектора є точками, кожна з яких однозначнозадається своїми координатами.

3. Чи можна вектор з кiнцем та початком у заданих точках iз зада�ними координатами однозначно задати через їх координати?Пошук вiдповiдi на останнє питання i визначається як основна

мета уроку.


З метою кращого засвоєння учнями змiсту нового матерiалу уро�ку слiд активiзувати такi знання та вмiння учнiв:

• означення та властивостi паралельного перенесення;• визначення довжини вiдрiзка через координати його кiнцiв;• означення, властивостi паралелограма та iнших видiв чотирикут�

никiв.Для цього можна запропонувати учням виконати вiдповiднi уснi

вправи.

Виконання усних вправ1. Паралельне перенесення задано формулами x x′ = +1, y y′ = −1. За�

пишiть формули оберненого перенесення.2. Знайдiть довжину вiдрiзка BC, якщо:

1) B ( )0 3; , C ( )−4 0; ; 2) B ( )1 2; , C ( )− −5 6; ; 3) B ( )−2 1; , C ( )3 2; .3. Вiдрiзки MN i PK перетинаються в точцi E — серединi кожного

з них. Визначте вид чотирикутника MPNK.


План вивчення нового матерiалу1. Означення координат вектора.2. Позначення вектора та його координат.3. Координати нульового вектора.


4. Вираження модуля вектора через його координати.5. Теорема (властивiсть i ознака координат рiвних векторiв).

Змiст нового матерiалу уроку є традицiйним та нескладнимдля сприйняття учнями. Отже, вивчення нового матерiалууроку можна провести або у формi самостiйної роботи за тек�стом пiдручника (за поданим планом), або у формi бесiди.

Пiд час вивчення нового матерiалу слiд звернути увагу учнiв натакi контрольнi моменти:

• координати вектора мають iнший геометричний змiст, нiж коор�динати точки;

• якщо вектор вiдкладено вiд початку координат, то його координа�ти збiгаються iз координатами його кiнця;

• уведення поняття координат вектора дає можливiсть записатиформулу для обчислення модуля вектора;

• уведення поняття координат вектора дає можливiсть сформулюва�ти властивiсть та ознаку рiвних векторiв у алгебраїчному виглядi.Стисло змiст навчального матерiалу учням можна подати у ви�

глядi конспекту.

Конспект 26

Координати вектора


Якщо ( )A x y1 1; i ( )B x y2 2; , то координати вектора AB��

— числа a x x1 2 1= −i a y y2 2 1= − .

Позначається: ( )AB x x y y��

2 1 2 1− −; або ( )AB a a��

1 2; .

Зауваження: а) ( )�0 0 0; ; б) ( )OA x y

��

1 1; , де O — початок координат, ( )A x y1 1; .

2. Модуль вектора

Якщо ( )�a a a1 2; , то | |�a a a= +1

222 .

3. Теорема (властивiсть i ознака координат рiвних векторiв)

а) Якщо ( )AB a a��

1 2; = ( )CD b b��

1 2; , то a b1 1= , a b2 2= .

б) Якщо a b1 1= , a b2 2= , то ( ) ( )� �a a a b b b1 2 1 2; ;= .


Виконання усних вправ1. Чи можна стверджувати, що кожний вектор дорiвнює самому

собi? Чому?


2. Дано точки B( )2 1; i A ( )1 2; . Чи правильно, що вектор AB��

дорiвнює�a( )−1 1; ?

3. У якому випадку� �a b= , якщо

�a

( )x;3 ,�b ( )−2;y ?

4. Знайдiть координати вершини Cпаралелограма на рисунку?

5. Сторона квадрата OABC до�рiвнює 6. Знайдiть координати

вектора AM��

( рис.).


1. Знайдiть координати вектора AB��

, якщо:1) ( )A −1 4; , ( )B 3 9; ; 2) ( )A 2 5;− , ( )B − −1 1; ; 3) ( )A 3 2; , ( )B 3 2;− .

2. Знайдiть довжину вектора AB��

, якщо:

1) ( )AB��

7 24; ; 2) ( )A 0 1; , ( )B 3 5;− ; 3) ( )A 2 4;− , ( )B 2 1;− .

3. Вiдкладiть вiд точки ( )D 1 3; вектори ( )�a 2 1;− i ( )

�b −3 4; . Знайдiть ко�

ординати кiнцiв цих векторiв.4. За допомогою векторiв доведiть, що чотирикутник ABCD — пара�

лелограм, якщо ( )A − −2 1; , ( )B 1 2; , ( )C 2 2; , ( )D − −1 1; .5. Довжина вектора ( )�

a m m− −3 1; дорiвнює 10. Знайдiть m.Додаткова задачаВiд точки M, яка лежить поза рiвностороннiм трикутником ABC,

вiдкладено вектори MF��

, ME��

i MD��

, що дорiвнюють вiдповiдно векто�

рам AB��

, AC��

i BC��

. Доведiть, що MFED — ромб.Задачi, що запланованi для розв’язування на уроцi, спрямо�ванi на засвоєння означення координат вектора, формули дляобчислення модуля вектора та теореми про властивiсть таознаку координат рiвних векторiв. Запропонованi вправиможна виконувати вiдповiдно пiсля вивчення кожного питан�ня нового матерiалу уроку або розглянути весь матерiал,а потiм — розв’язати задачi.

Особливу увагу придiляємо розв’язанню задачi на доведення тогофакту, що чотирикутник є паралелограмом. На вiдмiну вiд попе�реднiх урокiв доведення проводиться iз застосуванням теореми проознаку та властивiсть координат рiвних векторiв.


( )A a;0

y ( )B b c;C

x

O

O

x

C By

A

M


Контрольнi запитання1. Що називають координатами вектора?2. Як знайти координати вектора, якщо вiн вiдкладений вiд початку

координат?3. Як знайти модуль вектора, якщо вiдомi його координати?4. Що можна сказати про координати рiвних векторiв?


Вивчити змiст нового матерiалу уроку (див. конспект 26).Розв’язати задачi.

1. (Усно) Вiдомо, що� �a b= . Чи правильно, що:

1) заданi вектори мають вiдповiдно рiвнi координати;2) вiдрiзки, що зображають вектори, обов’язково збiгаються;3) у результатi вiдкладання вiд однiєї точки вiдрiзки, що зобра�жують заданi вектори, обов’язково збiгаються?

2. Знайдiть координати й довжину вектора AB��

, якщо:1) ( )A −3 1; , ( )B 5 5;− ; 2) ( )A 12 0; i ( )B 0 5;− .

3. Кiнцем вектора ( )�a −3 7; є точка ( )0 2;− . Знайдiть координати почат�

ку вектора й вiдкладiть його в прямокутнiй системi координат.4. Знайдiть координати четвертої вершини паралелограма ABCD,

якщо ( )B 3 1; , ( )C 5 0; , ( )D 2 3;− .5. Довжина вектора ( )�

a m;15 дорiвнює 17. Знайдiть m.Повторити означення, ознаки та властивостi паралелограмiв.

Урок № 45Додавання векторiв

Мета: сформувати в учнiв уявлення про змiст операцiї додаваннявекторiв; знання про змiст означення суми векторiв iз заданимикоординатами та теореми про додавання векторiв та її наслiдків;сформувати вмiння вiдтворювати вивченi твердження, а також вико�ристовувати їх для аргументацiї мiркувань та виконання дiй для роз�в’язування задач, що передбачають виконання додавання векторiву координатнiй або векторнiй формi.

Тип уроку: засвоєння знань, засвоєння вмiнь.Наочнiсть та обладнання: конспект «Додавання векторiв».

Хiд уроку





З метою перевiрки правильностi виконання вправ домашнього за�вдання можна зiбрати зошити учнiв на перевiрку.

Інший варiант проведення цього етапу уроку — провести само�стiйну роботу з наступною перевiркою її результатiв.

Самостiйна робота1. Дано вектор ( )�

a y4; . Знайдiть y, якщо | |�a = 5.

2. Дано вектор ( )�a x y; , | |�a = 50. Знайдiть x i y, якщо x y: := 43.

3. Знайдiть координати точки D, якщо AB CD��

= i ( )A 3 5; , ( )B − −1 2; ,

( )C 0 4;− .4. Дано: ( )A 1 5; , ( )B −3 8; , ( )C −4 8; , ( )D 8 10; , ( )K x y; . Чи рiвнi вектори

AB��

i CD��

? Знайдiть x i y, якщо AB CK��

= .

ІІІ. Формулювання мети й завдань уроку

Створенню позитивної мотивацiї навчальної дiяльностi сприяти�ме прикладна задача.

Задача. Лебiдь, рак i щука одночасно тяг�нуть воза в напрямках, вказаних векторами�a,

�b i

�c (див. рис.). Чи зрушать вони воза

з мiсця i якщо так, то в якому напрямку вiнбуде рухатися?

Пiсля обговорення змiсту задачi складається її математична мо�дель: знайти рiвнодiючу всiх сил, що дiють на матерiальну точку.Далi вчитель повiдомляє про можливiсть виконання додавання век�торiв. Отже, виникає необхiднiсть вивчення питання про означеннята властивостi суми векторiв.



Усвiдомленому засвоєнню учнями змiсту нового матерiалу урокусприятиме повторення означення координат вектора, означення,властивостей та ознак рiвних векторiв.

З метою пiдготовки учнiв до сприйняття нового матерiалу можназапропонувати для виконання вiдповiднi уснi вправи.

Виконання усних вправ.1. ABCD — квадрат (рис.). Чи є на ри&

сунку рiвнi вектори; колiнеарнiвектори?


�c

�b

�a

CB

A D

2. ABCD — ромб. Назвiть усi парирiвних векторiв, що зображенiна рисунку.

3. Знайдiть координати точки A(див. рис. 1), якщо модуль векто�

ра OA��

дорiвнює 5.4. Знайдiть координати точки A

(див. рис. 2), якщо модуль векто�

ра OA��

дорiвнює 3.5. Знайдiть координати точки A

(див. рис. 3), якщо модуль векто�

ра OA��

дорiвнює 6.

6. Модуль вектора AB��

, що паралельний осi абсцис, дорiвнює 4.Знайдiть координати точки B, якщо ( )A 1 1; .


План вивчення нового матерiалу1. Означення суми векторiв.2. Закони додавання.3. Теорема про додавання векторiв.4. Наслiдки з теореми про суму векторiв:

1) правило трикутника;2) правило паралелограма;3) правило многокутника.

Вивчення нового матерiалу уроку можна провести або у формiбесiди близько до тексту пiдручника за таблицею, що мiстить�ся в конспектi 27.

Питання для проведення бесiди можуть бути такi:1. За записом, поданим у конспектi, спробуйте пояснити, що нази�

вається сумою векторiв a i b.

2. Знайдiть суму векторiв: 1) ( )�a −2 0; i ( )

�b − −1 3; ; 2)

�c − −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

1

23; i ( )

�d 10 1;− .

3. Для векторiв, як i для чисел, виконуються вiдомi вам правила до�давання. Сформулюйте i запишiть переставний закон додаваннявекторiв.

4. Як можна довести рiвнiсть двох векторiв?

5. Доведiть, що вектори� �a b+ i

� �b a+ рiвнi.

6. Сформулюйте й запишiть сполучний закон додавання векторiв.


A D

O

CB

O x

y

A

A

y

xO Ay

xO

45°Рис. 1

Рис. 2

Рис. 3

7. Перевiрте сполучний закон для векторiв ( )�a 1 2; , ( )

�b 2 3; , ( )�

c 4 1; .

8. Доведiть векторну рiвнiсть AB BC AC��

+ = . Використовуючи доведе�ну рiвнiсть, знайдiть, якщо це можливо, суму векторiв:

1) MN NK��

+ ; 2) PD DS��

+ ; 3) DE KP��

+ .

9. Назвiть два вектори, якi неможливо додати за формулою

AB BC AC��

+ = .

10. Пояснiть способи побудови суми двох i бiльше векторiв.


Конспект 27

1. Означення: ( ) ( ) ( )� � �a a a b b b c a b a b1 2 1 2 1 1 2 2; ; ;+ = + + .

2. Закони: а) переставний:� � � �a b b a+ = + ;

б) сполучний: ( ) ( )� � � � � �a b c a b c+ + = + + ; в)

� � � � �a a a+ = + =0 0 .

3. Теорема. Для будь�яких точок A, B i C справджується векторна

рiвнiсть: AB BC AC�� + = .

4. Наслiдки з теореми про додавання векторiв

а) Правилотрикутника

АB BС АС�� + =

б) Правило паралелограма (для неколiнеарних векторiв)

в) Правило многокутника

ABCD — паралелограм, тодi

АB АD АC�� + = .

АB BC CD DЕ АЕ�� + + + =



У паралелограмi ABCD назвiть вектор�суму:

1) AB BD��

+ ; 2) BA BC��

+ ; 3) AO OC��

+ ; 4) BO DO��

+ .


( )B x y2 2;

( )A x y1 1; ( )C x y3 3;

CBA

A

B C

D

�a

�b

��

a b+

CB

A

�b

E

�a

D

�c

�d� � � �

a b c d+ + +


Перекреслiть вектори�a,

�b,

�c i

�d

(рис.) у зошит. Побудуйте вектори:� �b d+ ,

� �a c+ ,

� �a d+ за правилами трикут�

ника й паралелограма та за допомо�гою координат.


1. Знайдiть координати й довжину вектора�a, який дорiвнює

� �b c+ ,

якщо: 1) ( )�b 2 9;− , ( )�

c 6 3; ; 2) ( )�b 0 4; , ( )�

c −3 0; , 3) ( )�b −1 5; , ( )�

c 1 5;− .

2. Сторона рiвностороннього трикутника ABC дорiвнює a. Знайдiть:

1) AB BC��

+⏐⏐⏐ ⏐

⏐⏐; 2) AB AC

��

+⏐⏐⏐ ⏐

⏐⏐.

3. Доведiть, що в довiльному чотирикутнику ABCD

AB BC AD DC��

+ = + .

4. Дано точки ( )A −1 4; , ( )B 0 2;− , ( )C 3 5; . Знайдiть координати вектора:

1) AB a��

+ �, де ( )�

a 0 2;− ; 2) BA AC��

+ .

5. Точка O — центр правильного трикутника ABC. Доведiть, що

OA OB OC��

+ + =�0.

Додаткова задача (на повторення)Складiть рiвняння прямої, яка проходить через початок коорди�

нат i точку ( )A −4 2; .Зауваження. Розв’язування запропонованих задач обов’язково

супроводжуємо коментарями, що випливають iз вивчених на уроцiтверджень.


Контрольнi запитання1. Дайте означення суми двох векторiв. Використовуючи це озна�

чення, заповнiть пропуски в правильнiй рiвностi:

( ) ( ) ( )� � �m y n x k x x y y...; ;... ;1 2 1 2 1 2+ = + + .

2. Із векторiв, зображених на рисунках а)–в), складiть правильнiвекторнi рiвностi:а) б) в)


�a

�c �

d�b

�m

�n

�k

�c

�e

�d

�l

�f�

g

�s

�t

�y

10 х

у

1


Вивчити змiст матерiалу уроку (див. конспект 27).Розв’язати задачi.

1. Чи може сума двох векторiв дорiвнювати:1) нулю; 2) нульовому вектору; 3) одному з векторiв�доданкiв?

2. Чи може довжина вектора�суми дорiвнювати сумi довжин век�торiв�доданкiв?

3. Накреслiть довiльний трикутник ABC. Побудуйте вектор AD��

, що

дорiвнює AB AC��

+ . Знайдiть суму векторiв DC��

i AC��

.

4. Знайдiть вектор�суму� �a b+ , якщо:

1) ( )�a − −3 1; , ( )

�b −1 2; ; 2) ( )�

a 2 7; i ( )�b 2 3; .

5. У трикутнику ABC∠ = °A 30 , ∠ = °B 90 , AC a= . Знайдiть:

1) BA AC��

+⏐⏐⏐ ⏐

⏐⏐; 2) BA BC

��

+⏐⏐⏐ ⏐

⏐⏐.

6. У ромбi ABCD AC = 10, BD = 24, O — точка перетину дiагоналей.

Знайдiть: 1) AD DB��

+⏐⏐⏐ ⏐

⏐⏐; 2) AB BO OC

��

+ +⏐⏐⏐ ⏐

⏐⏐.

Повторити формули для обчислення координат векторiв, модулявектора за його координатами.

Урок № 46Вiднiмання векторiв

Мета: сформувати знання учнiв про змiст означення рiзницi векто�рiв, способу побудови рiзницi двох векторiв, а також означення проти�лежних векторiв; сформувати вмiння вiдтворювати вивченi тверджен�ня та використовувати їх для розв’язування задач, що передбачають:

• знаходження координат вектора�рiзницi;• знаходження вектора�рiзницi на готовому рисунку;• побудову вектора�рiзницi двох поданих векторiв вiдповiдно до вив�

ченого алгоритму.Працювати над засвоєнням учнями знань:

• означення координат вектора;• формули знаходження модуля вектора за його координатами;• означення суми векторiв та її властивостi.

Сформувати вмiння застосовувати набутi знання до розв’язуван�ня задач.

Тип уроку: засвоєння знань, умiнь та навичок.Наочнiсть та обладнання: конспект «Вiднiмання векторiв».


Хiд уроку




Перевiрку правильностi розв’язання задач достатнього та високо�го рiвнiв складностi домашньої роботи проводимо за зразком.

Другий варiант проведення цього етапу уроку може бути такий:фронтально проводиться невелика самостiйна робота, завдання якоїспрямованi на перевiрку засвоєння основних понять попередньогоуроку, а розв’язання складних задач домашньої роботи перевiряємоабо за правильними вiдповiдями, що заздалегiдь записанi за дош�кою, або за записами двох учнiв (з високим рiвнем навчальнихдосягнень), якi виконували роботу за дошкою.

Самостiйна робота

1. ( )�a 4 1; i ( )

�b 1 2;− . Знайдiть координати i модуль вектора

� � �c a b= + .

2. Дано вектори: 1)�a i

�b; 2)

�m i

�n (див. рис.).

Побудуйте вектори� �a b+ ,

� �m n+ .

3. ABCD — паралелограм, O — точка пере�тину його дiагоналей. Користуючись ри&сунком, знайдiть:

1) AB BD��

+ ; 2) BA BC��

+ ; 3) AB BD DC��

+ + .

ІІІ. Формулювання мети й завданьуроку

Створити позитивну мотивацiю на цьому уроцi нескладно, якщоспонукати учнiв до розумової дiяльностi в такому напрямi: вiдомо, щодля чисел a, b i c рiвностi a b c+ = та a c b= − випливають одна з одної.Оскiльки вектори характеризуються своїми координатами, тобто чис�

лами, то напевно з векторної рiвностi� � �a b c+ = , так само як i у випадку

числової рiвностi, має випливати вiдповiдна векторна рiвнiсть� � �a c b= − . Отже, з iснування суми векторiв випливає iснування рiзницiдвох векторiв. Вивчення та застосування означення та властивостейвiднiмання векторiв є основною метою уроку.


З метою свiдомого засвоєння учнями змiсту нового матерiалу уро�ку активiзуємо їх знання та вмiння щодо:

• означення та властивостей суми векторiв;


�m

�n�

b

�a

D

C

A

B

O

• означення, властивостей та ознак рiвних векторiв;• формул для обчислення координат вектора та модуля вектора за

його координатами.Для цього можна запропонувати учням виконати уснi вправи.


1. Дано точки A ( )1 2; , B( )2 1; , C( )− −2 2; .

1) Чи правильно, що ( )AB a��

= −�1 1; ?

2) Знайдiть координати i модуль векторiв AB��

i BC��

. Як можна

знайти координати вектора AC��

(запропонуйте два способи).3) Чи лежать точки A, B i C на однiй прямiй?


План вивчення нового матерiалу1. Означення рiзницi двох векторiв.2. Правило побудови вектора�рiзницi двох заданих векторiв.3. Протилежнi вектори. Властивiсть протилежних векторiв.4. Другий спосiб побудови вектора�рiзницi двох заданих векторiв.

Вивчення нового матерiалу уроку можна провести так само,як i на попередньому уроцi: розповiдь учителя або бесiда зазаздалегiдь складеним планом та готовим конспектом 28 iз за�крiпленням висновкiв пiд час виконання усних вправ.

Запитання до класу можуть бути такi:1. Що означає вiд числа a вiдняти число b?2. Як називається результат вiднiмання двох чисел a i b?

3. Що називають рiзницею векторiв�a i

�b, якщо рiзниця двох век�

торiв визначається так само, як i рiзниця двох чисел?4. Доведiть, що координати вектора�рiзницi дорiвнюють рiзницям

вiдповiдних координат вектора�зменшуваного i вектора�вiд’єм�ника.

5. Знайдiть рiзницю векторiв�c( , )2 3− i

�d( , )−1 2 , а також її модуль.

6. Доведiть векторну рiвнiсть AC AB BC��

− = .7. Чи можна за доведеним правилом знайти рiзницю векторiв:

а) AB AM��

, ; б) MB MA��

, ; в) MK PS��

, ?

8. Сформулюйте спосiб побудови вектора�рiзницi двох довiльнихвекторiв, який випливає з доведеної векторної рiвностi.Стисло змiст навчального матерiалу учням можна подати у ви�



Конспект 28

Вiднiмання векторiв


( ) ( ) ( )� � �a a a b b b c c c1 2 1 2 1 2; ; ;− = , де с a b1 1 1= − ; c a b2 2 2= −

2. Правило побудови

АC AВ ВC�� − =

3. Протилежнi вектори Якщо AB CD�� = i AB CD

��↑ ↓

→,

то AB��

i CD��

— протилежнi вектори,

тобто AB CD�� = − .

Тодi можна сказати, що ( )� � � �a b a b− = + −


Виконання усних вправ1. У паралелограмi ABCD O — точка перетину дiагоналей. Знайдiть

вектор�рiзницю: 1) AB AC��

− ; 2) AB AD��

− ; 3) AD BC��

− . Назвiть век�

тор, протилежний вектору BC��

, OA��

.


Перекреслiть вектори�a,

�b,

�c i

�d

(рис.) у зошит. Побудуйте вектори� �a b+ ,

� �c d− ,

� �b d+ ,

� �d b− ,

� � � �a b c d+ + + ,

� �b d− .

Чи є серед побудованих векторiв про�тилежнi?


1. Знайдiть координати й довжину вектора�c, який дорiвнює

� �a b− ,

якщо: 1) ( )�a −4 7; , ( )

�b 8 2; ; 2) ( )�

a 2 2;− , ( )�b −3 3; ; 3) ( )�

a 0 1; , ( )�b 0 2;− .

2. Сторона рiвностороннього трикутника ABC дорiвнює a. Знайдiть:

1) CA CB��

−⏐⏐⏐ ⏐

⏐⏐; 2) AB BC

��

−⏐⏐⏐ ⏐

⏐⏐.


�a

�c

�d�

b

1

10х

у

C

�b

A

B

�a

C

BA

D

3. Дано точки A ( )0 1;− i C( )3 5; та вектор AB��

( )1 2; . Знайдiть координа�

ти вектора: 1) CB CA��

− ; 2) AB CB��

− ; 3) AC AB��

− .4. У прямокутнику ABCD AB = 3, BC = 4, O — точка перетину дiаго�

налей. Знайдiть AO BC��

−⏐⏐⏐ ⏐

⏐⏐.

Додаткова задачаТочки A, B, C i D — вершини паралелограма, O — точка перетину

його дiагоналей. Побудуйте вектор, що дорiвнює:

1) AB AC��

− ; 2) BD AD��

− ; 3) AO OC��

− ; 4) BO CD��

− ; 5) AB AD BO��

− + ;

6) BA BC AD��

− + ; 7) DO DA OB��

− + .Виконання усних i письмових вправ передбачає засвоєннязнань теоретичного матерiалу, вивченого на уроцi, а тому пiдчас розв’язування запропонованих задач слiд вимагати вiдучнiв точного вiдтворення означення рiзницi двох векторiв,правила вiднiмання векторiв.


Контрольнi запитання1. У наведених векторних рiвностях заповнiть пропуски так, щоб

рiвностi були правильними:

1) ( ) ( ) ( )� � �a b c1 3 2 5;... ...; ;− − = − ; 2) M N K... ... ...

��

− = ;

3) A M... ...��

+ =�0; 4) ( ) ( )� � �

a b− + =3 5 0;... ...; .

2. Якщо ABCD — паралелограм i точка O — точка перетину його дiа�

гоналей, то AO OC��

− −…; AB AC��

− =…


Вивчити змiст теоретичного матерiалу уроку (див. конспект 28).Розв’язати задачi.

1. Накреслiть довiльний трикутник ABC. Побудуйте вектор AD��

, що

дорiвнює AB AC��

− . Знайдiть рiзницю векторiв DC��

i AC��

.

2. Знайдiть вектор�рiзницю� �a b− , якщо:

1) ( )�a − −3 1; , ( )

�b −1 2; ; 2) ( )�

a 2 7; i ( )�b 2 3; .

3. У трикутнику ABC∠ = °A 30 , ∠ = °B 90 , AC a= . Знайдiть:

1) CB CA��

−⏐⏐⏐ ⏐

⏐⏐; 2) BC BA

��

−⏐⏐⏐ ⏐

⏐⏐.


4. У ромбi ABCD AC = 10, BD = 24, O — точка перетину дiагоналей.

Знайдiть CO BA��

−⏐⏐⏐ ⏐

⏐⏐.

5. Дано точки O( )0 0; , A ( )1 4;− , B( )8 3; . Знайдiть координати векторiв:

1) OA OB��

+ ; 2) AO AB��

− ; 3) OA BA��

− .

Повторити означення та властивостi суми векторiв, координатвекторiв, рiвних векторiв, формулу обчислення модуля вектора.


Мета: працювати над засвоєнням учнями змiсту означень та влас�тивостей суми й рiзницi векторiв, способiв побудови суми та рiзницiвекторiв, формул для обчислення координат вектора та модуля век�тора за його координатами; продовжити роботу з формування вмiньвiдтворювати набутi знання та використовувати їх пiд час розв’язу�вання задач.

Тип уроку: застосування знань, формування вмiнь та навичок.


Хiд уроку




Перевiрку якостi виконання письмових вправ домашнього завдан�ня проводимо за готовими стислими записами розв’язань. Перевiркузасвоєння учнями змiсту нового матерiалу попереднього уроку можнапровести у формi математичного диктанту. Зрозумiло, що по закiн�ченнi виконання завдань вiдбувається перевiрка та обговорення.


Варiант 1

1. Знайдiть координати вектора BC��

, якщо B( )5 3; , C( )2 3; .

2. Чому дорiвнює модуль вектора�a( )3 4;− ?

3. Чи рiвнi вектори AB��

i CM��

, якщо A ( )2 3; , B( )−1 2; , C( )0 1; , M ( )−3 0; ?

4. Знайдiть координати вектора�c, який дорiвнює сумi векторiв

( )�a 2 3;− i

�b ( )−3 1; .


5. Знайдiть координати вектора�n, який дорiвнює рiзницi векторiв

( )�k 0 5 3, ;− i

�p −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

1

32; .

6. Зобразiть два ненульовi неколiнеарнi вектори�a i

�c. Побудуйте

суму та рiзницю цих векторiв:� �a c+ i

� �a c− .

Варiант 2

1. Знайдiть координати вектора AB��

, якщо A ( )4 2; , B( )7 2; .

2. Чому дорiвнює модуль вектора�b ( )−3 4; ?

3. Чи рiвнi вектори AB��

i CM��

, якщо A ( )5 1;− , B( )4 3; , C( )1 0; , M ( )0 4; ?

4. Знайдiть координати вектора�c, який дорiвнює рiзницi векторiв

( )�a 2 3;− i

�b ( )−3 1; .

5. Знайдiть координати вектора�n, який дорiвнює сумi векторiв

( )�k 0 5 3, ;− i

�p −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

1

32; .

6. Зобразiть два ненульовi неколiнеарнi вектори�b i

�d. Побудуйте

суму та рiзницю цих векторiв:� �b d+ i

� �b d− .


Головна мета уроку зумовлена його мiсцем у роздiлi й полягаєв тому, щоб, закрiпивши знання учнями означень та властивостейсуми й рiзницi векторiв, а також супутнiх понять, сформувати сталiвмiння та навички роботи з цими твердженнями пiд час розв’язуван�ня задач, що передбачають знаходження суми або рiзницi векторiв таїх модуля. Також, якщо дозволяє час та рiвень знань учнiв, бажанодоповнити знання поняттям «виразити заданий вектор через сумуабо рiзницю даних векторiв», тобто розпочати роботу з формуваннявмiнь розкладати вектор через два неколiнеарнi вектори.

ІV. Вiдтворення та систематизацiя опорних знань, умiнь

Учням пропонується спочатку самостiйно повторити змiст мате�рiалу, вивченого на попереднiх уроках, за змiстом конспектiв 26–28(частково це повторення вiдбулося пiд час виконання та перевiркиматематичного диктанту).


Виконання графiчних вправABCD — паралелограм. Знайдiть суму векторiв:

1) AB CD BC��

+ + ; 2) AB AD BC CD��

+ + + ; 3) AB AC DA��

+ + .Чи можна знайти суму вказаних векторiв, не виконуючи побудови?


Виконання письмових вправ1. Точки M i N — середини сторiн AB i AC трикутника ABC. Вира�

зiть через вектори�a AM=

��

i�b AN=

��

вектори: 1) MB��

; 2) CN��

; 3) MN��

.

2. У паралелограмi ABCD виразiть вектор AC��

через вектори�a i

�b,

якщо: 1)�a AB=

��

,�b BC=

��

; 2)�a CB=

��

,�b CD=

��

; 3)�a AB=

��

,�b DA=

��

.3. Опорна задача. Доведiть нерiвнiсть трикутника для векторiв: для

будь�яких векторiв�x i

�y справджується нерiвнiсть | | | | | |� � � �

x y x y+ ≤ + .

4. Чи може дорiвнювати нульовому вектору сума трьох векторiв,довжини яких дорiвнюють: 1) 1, 2 i 9; 2) 3, 5 i 8; 3) 3, 4 i 5?

5. Якщо точка O — точка перетину медiан трикутника ABC, то

OA OB OC��

+ + =�0. Доведiть.

Додатковi задачi1. На площинi позначено точки A, B, C, D, E i F. Чи правильна рiв�

нiсть AB CD BC ED FE AF��

+ + = + + ?

2. Точка O — центр симетрiї паралелограма ABCD. Доведiть, що

OA OB OD OC��

− = − .

3. Модулi векторiв AB��

i AC��

рiвнi. Чи правильне твердження: «Век�

тор AB AC��

+ паралельний бiсектрисi кута BAC або знаходитьсяз нею на однiй прямiй»?

4. У прямокутнику ABCD AD = 12 см, CD = 5 см, O — точка перетину

дiагоналей прямокутника. Обчислiть: AB AD DC OD��

+ − −⏐⏐⏐ ⏐

⏐⏐.

Пропонованi задачi для письмового розв’язування передбача�ють вiльне володiння учнями означеннями та властивостямине тiльки суми й рiзницi векторiв, але й формулами для обчис�лення координат вектора, його модуля за координатамикiнцiв. Тому, залежно вiд рiвня засвоєння знань та ступенясформованостi вiдповiдних умiнь, задачi, що будуть розв’язу�ватися на уроцi, можуть бути достатнього та високого рiвнівскладностi (див. вище) або подiбними за змiстом до задач, роз�в’язаних на попереднiх уроках, але з елементами ускладнення.Однак слiд зауважити, якщо розв’язування опорної задачi вия�виться складним для учнiв, то вчитель тiльки ознайомлюєучнiв зi змiстом опорного факту та роз’яснює його, а також за�крiплює його на прикладах (вправа 4). Також бажано ознайо�мити учнiв з iдеєю розв’язання найпростiших задач на вира�ження вектора через два неколiнеарнi вектори.



Пiдсумком уроку може бути видiлення учнями основних видiвзадач на застосування вивчених означень та властивостей.


Повторити змiст вивчених на уроках 43–46 понять (див. конспек�ти 25–28).



1. Знайдiть координати та модуль вектора AC��

, якщо:1) A(1;2), C (3;5);

2) вектор AC��

дорiвнює вектору BD��

i ( )B 3 7;− , ( )D 4 5;− ;

3) вектор AK��

має координати (–3; 5), а вектор ( )B −2 3; має коорди�

нати (–1;–2);4) A (1;6) i B (2;3) — вершини квадрата ABCD.

2. Дано паралелограм ABCD, точка O — точка перетину його дiаго�

налей. 1) Знайдiть вектор, що дорiвнює вектору CD��

;

2) знайдiть AB BC AD��

+ − ; 3) знайдiть AD BA DB DC��

− + − ;

4) виразiть вектори AB��

i AD��

через вектори�a CO=

��

,�b BO=

��

.Варiант 2

1. Знайдiть координати та модуль вектора BC��

, якщо:1) ( )B −2 3; , ( )C 4 6;− ;

2) вектор BC��

дорiвнює вектору AD��

i ( )A 5 1;− ,�a;

3) вектор BK��

має координати (2;–5), а вектор KC��

має координати(–3;–4);4) ( )A 16; i ( )C 4 6;− — вершини квадрата ABCD.

2. Дано паралелограм ABCD, точка O — точка перетину його дiаго�налей.

1) Знайдiть вектор, що дорiвнює вектору AD��

;

2) знайдiть AB AD CD��

− − ;

3) знайдiть CB CD BA DB��

+ − − ;

4) виразiть вектори AB��

i BC��

через вектори�

m AO=��

,�n OD=

��

.


Урок № 48Множення вектора на число

Мета: розглянути означення добутку вектора на число, власти�востi множення вектора на число, теорему про довжину та напрямдобутку вектора на число, а також властивостi та ознаки колiнеар�них векторiв. Сформувати уявлення учнiв про спосiб доведення тогофакту, що три точки лежать (або не лежать) на однiй прямiй; сфор�мувати вмiння вiдтворювати вивченi твердження, використовуватиїх для обґрунтування мiркувань та виконання побудов вiдповiдно доумов задач.


Наочнiсть та обладнання: конспект «Множення вектора на число».

Хiд уроку




Учитель збирає зошити з виконаною домашньою самостiйноюроботою на перевiрку. У разi необхiдностi учнi (з низьким рiвнем на�вчальних досягнень) отримують правильнi розв’язання вправ для са�мостiйного опрацювання вдома. Можна також провести аналiз роз�в’язання найбiльш складних задач.


З метою кращого розумiння учнями логiки вивчення нового ма�терiалу наступних двох урокiв, пропонуємо їм з’ясувати, чи iснуютьпевнi аналогiї мiж арифметичними дiями з числами й виразами таарифметичними дiями мiж векторами. Ця робота пiдводить учнiв доформулювання питання про можливiсть виконання множення заучастю принаймнi одного вектора, а також дослiдження властивос�тей цього множення. Вiдповiдь на першу частину цього питанняi визначається як основна мета уроку.


На цьому етапi активiзуємо знання та вмiння учнiв щодо: озна�чення колiнеарних векторiв, однаково напрямлених i протилежнонапрямлених векторiв, формули обчислення модуля вектора тарiвняння прямої, що проходить через початок координат. Для цьогопропонуємо учням виконати уснi вправи.


Виконання усних вправ1. Визначте, якi з наведених на рисунку

векторiв:1) колiнеарнi;2) протилежно напрямленi;3) спiвнапрямленi?

2. Знайдiть модуль вектора: 1) ( )�a −2 3; ; 2) AB

��

, якщо ( )A −1 1; , ( )B 2 4; .

3. Назвiть рiвняння прямої, що проходить через початок координатi точку: 1) ( )A 2 3; ; 2) ( )B −1 1; ; 3) ( )C − −2 4; .


План вивчення нового матерiалу1. Означення добутку вектора на число.2. Властивостi множення вектора на число.3. Теорема про напрям та модуль добутку вектора на число. Як побу�

дувати вектор�добуток заданого ненульового вектора на число, щовiдмiнне вiд нуля?

4. Наслiдки з теореми.Вивчення нового матерiалу уроку можна провести у формi бесi�ди за конспектом 29 близько до тексту пiдручника або запропо�нувати учням самостiйно опрацювати теоретичний матерiал затекстом пiдручника (за поданим планом). Первинне закрiплен�ня матерiалу можна проводити пiд час бесiди, розв’язуючиуснi вправи, умова яких заздалегiдь записана на дошцi.

Уснi вправи та запитання1. Сформулюйте означення добутку вектора на число. (Звертаємо

увагу учнiв на те, що результатом цiєї дiї є вектор.)2. Знайдiть добуток: 1) 2

�a( )−3 4; ; 2) −3

�a( )1 4;− ; 3) 0

�a( )5 6; .

3. Дано: A ( )2 3; , OB OA��

= 4 (O — початок координат). Знайдiть коор�

динати вектора OB��

.

4. Знайдiть модуль вектора: 1) 4�a( )0 2;− ; 2) −3

�a 1

1

3;−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

.

5. Сформулюйте властивостi множення вектора на число. На якiвiдомi вам властивостi множення чисел схожi цi властивостi?

6. Спростiть вираз ( )5 7 9� � � �a a b b+ + ⋅ − , використавши властивостi мно�

ження вектора на число.

7. Порiвняйте модулi векторiв: 1)�a i 5

�a; 2)

�b i −3

�b; 3)

�c i −3

2

�c.


A D

O

CB 8. Якi з наведених векторiв 1)�a; 2)

1

3

�a; 3) 0 5,

�a; 4) −2

�a; 5) −1

3

�a мають:

а) однаковий напрям; б) протилежний напрям?9. Сформулюйте послiдовнiсть дiй пiд час побудови вектора ka

�, як�

що: 1) k > 0; 2) k < 0.10. Назвiть координати якого�небудь вектора, колiнеарного вектору( )�

а −1 2; .

11. Що можна сказати про координати векторiв�a i

�b, якщо

� �a b= 4 ?

Стисло змiст навчального матерiалу учням можна подати у виг�лядi опорного конспекту 29.

Конспект 29Множення вектора на число


( ) ( )ka a a ka ka�

1 2 1 2; ;=��

.

2. Властивостi. Для будь�яких векторiв�a i

�b та чисел k i m:

1) ka ak� �= ; 2) ( ) ( )km a k ma

� �= ; 3) k

� �0 0= ; 4) 0 0

� �a = ;

5) ( )k m a ka ma+ = +� � �

; 6) ( )k a b ka kb� � � �+ = + .

3. Теорема (про довжину i напрям вектора ka�)

1) | | | | | |ka k a� �= ⋅ ; 2) якщо

� �a ≠ 0, то при k > 0 ka a

� �↑ ↑ , при k < 0 ka a

� �↑ ↓ .

4. Наслiдки з теореми

1) Властивiсть колiнеарних векторiв: якщо�a i

�b — колiнеарнi вектори, то

iснує k ≠ 0 таке, що� �a kb= .

2) Ознака колiнеарних векторiв: якщо� �b ka= ,

�a ≠ 0 i

�b ≠ 0, то

�a i

�b — колi�

неарнi або якщо вектори�a ( )a a1 2; i

�b ( )b b1 2; такi, що

a

b

a

bk1

1

2

2

= = , то вони

колiнеарнi.


Виконання усних вправ1. У скiльки разiв довжина вектора −3

�a бiльша, нiж довжина векто�

ра�a? Чи правильно, що довжина вектора ka

�у k разiв бiльша, нiж

довжина вектора�a?

2. Дано ненульовий вектор�a. Визначте знак числа k, якщо:

1) вектори�a i ka

�спiвнапрямленi;

2) вектори −2�a i ka

�спiвнапрямленi;

3) вектори ka�

i k a2 �протилежно напрямленi.


Виконання графiчної вправи

Накреслiть вектори�a,

�b,

�c i

�d (рис.)

у зошитi.

1) Побудуйте вектори −2�a, 3

�a, 0 25,

�d.

2) Побудуйте вектори 0 5,� �a b+ , 2

� �c d+ ,

2 3� �d b+ .

3) Побудуйте вектори 2� �c a− , 2 0 5

� �a d− , ,

1

3

� �b d− .

Виконання письмових вправ1. Знайдiть координати й довжину вектора ka

�, якщо:

1)�a ( )6 8; , k = 0 5, ; 2)

�a ( )512; , k = 3; 3)

�a ( )− −1 2; , k = −1.

2. Довжина вектора ka�

дорiвнює 10. Знайдiть k, якщо:1)

�a ( )3 4;− ; 2)

�a ( )18 24; .

3. На рисунку AB BC CD DE= = = . Ви�

разiть через вектор�a AB=

��

вектори

AE��

, BE��

, ED��

, CA��

.

4. Серед векторiв�a ( )−2 3; ,

�b ( )8 18; ,

�c ( )− −4 9; i

�d ( )−4 6; назвiть пари

колiнеарних векторiв. Якi з цих векторiв спiвнапрямленi, а якi —протилежно напрямленi?

5. Дано вектори�a ( )3 1;− i

�a ( )−4 10; . Знайдiть координати i довжину

вектора�c, якщо: 1)

� � �c a b= +2 0 5, ; 2)

� � �c a b= −3 .

Додаткова задача (на повторення)

Середня лiнiя трапецiї дорiвнює 33 см. Знайдiть основи трапецiї,якщо їх довжини вiдносяться як 3:8.



Заповнiть пропуски так, щоб записанi твердження були правиль�ними.

1. …�b ( ) ( )4 8 3;... ;= − −

��

.

2. Якщо вектори ( )�a a a1 2; i ( )

�b b b1 2; — колiнеарнi i

a

b1

1

3

2= , то

a

b2

2

=…

3. Вектори ( )�a 1 3; i ( )

�b − −2 6; є …

4.� �a b= 2 , отже, вектори

�a i

�b…

5.� �c d= −0 3, , отже, вектори

�c i

�d…


�a

�c

�d

�b

�a

A B C D E


Вивчити означення та властивостi добутку вектора на число (див.конспект 29).


1. Знайдiть координати вектора�b, якщо:

1)� �b ka= , k = −2, ( )�

a −0 5 3, ; ; 2)� �a kb= , k = 1

3, ( )�

a − −6 9; .

2) Точка M — середина вiдрiзка AB. Знайдiть координати век�

торiв AB��

i BM��

, якщо ( )AM��

2 3;− .

3) Вектори ( )�a 14 8;− i ( )

�b x−7; колiнеарнi. Знайдiть x. Чи спiвна�

прямленi цi вектори?

4) Дано вектори ( )�a 0 3;− i ( )

�b −2 1; ,

� � �c ka b= +2 . Знайдiть k, якщо

( )�c −411; .Повторити означення модуля вектора, координат вектора.

Урок № 49Скалярний добуток векторiв

Мета: формувати знання учнiв про змiст:

• означення скалярного добутку векторiв;

• властивостей скалярного добутку векторiв;

• означення кута мiж векторами;

• теореми про скалярний добуток векторiв та наслiдків з неї.Сформувати вмiння вiдтворювати вивченi твердження, а також

використовувати їх для розв’язування задач на обчислення скаляр�ного добутку векторiв, визначення кута мiж векторами та на дове�дення перпендикулярностi векторiв.

Тип уроку: засвоєння знань, умiнь.Наочнiсть та обладнання: конспект «Скалярний добуток век�

торiв».

Хiд уроку




Правильнiсть виконання письмових вправ домашнього завданняучнi перевiряють самостiйно за зразками розв’язання.


Перевiрити рiвень розумiння учнями вивченого на попередньомууроцi матерiалу можна за допомогою математичного диктанту.


Варiант 11. Модуль вектора

�a дорiвнює 7. Чому дорiвнює модуль вектора −5

�a?

2. Виконайте зображення ненульового вектора AB��

. Побудуйте век�

тор −3AB��

.

3. Якi координати має добуток вектора ( )2 3;−��

на число –5?

4. Координати вектора ( )�a 2 5; , а координати колiнеарного йому век�

тора ( )�b y−2; . Чому дорiвнює y?

Варiант 2

1. Модуль вектора�b дорiвнює 5. Чому дорiвнює модуль вектора −7

�b?

2. Виконайте зображення ненульового вектора AB��

. Побудуйте век�

тор 2 AB��

.

3. Якi координати має добуток вектора ( )−31;��

на число –3?

4. Координати вектора ( )�c 1 6; , а координати колiнеарного йому век�

тора ( )�k x;−18 . Чому дорiвнює x?

Пiсля виконання завдань вiдповiдi обговорюються та коригуються.


На цьому етапi вчитель нагадує учням змiст бесiди, що вiдбуласяна попередньому уроцi. Мова йшла про вивчення питання можли�востi виконання множення вектора. Пiсля обговорення можливихвипадкiв множення (проводимо аналогiю з множенням виразiв: мно�гочлена на одночлен, многочлена на многочлен) та усвiдомленнятого, що питання про множення вектора на число було вивчене на по�передньому уроцi, приходимо до усвiдомлення iснування проблемимноження вектора на вектор. Таким чином, формулюється питанняпро необхiднiсть вивчення означення та властивостей добутку двохвекторiв. Часткове (можна повiдомити учням, якi цiкавляться мате�матикою, про iснування векторного добутку векторiв) розв’язанняцього питання й визначається як основна мета уроку.


З метою свiдомого засвоєння учнями змiсту нового матерiалу необ�хiдно активiзувати знання учнiв щодо означення координат вектора,


модуля вектора, вмiння розв’язувати прямокутнi трикутники. Дляцього можна запропонувати учням виконати вiдповiднi уснi вправи.


1. Вектор ( )�a −2 5; вiдклали вiд початку координат, дiстали вектор OA

��

.

Знайдiть координати точки A.

2. ( )�a 1 3;− , ( )

�b −31; , ( )�

c x y; . Якими по�

виннi бути x i y, щоб виконувалась

рiвнiсть� � � �a b c+ + = 0? Знайдiть мо�

дулi векторiв�a,

�b i

�c.

3. Розв’яжiть прямокутнi трикутни�ки (див. рис.):


План вивчення нового матерiалу1. Означення скалярного добутку векторiв.

2. Властивостi скалярного добутку векторiв. Скалярний квадратвектора.

3. Означення кута мiж векторами.

4. Теорема про скалярний добуток векторiв.

5. Наслiдки з теореми про скалярний добуток векторiв:

1) визначення косинуса кута мiж векторами;

2) властивiсть i ознака перпендикулярних векторiв.

Органiзацiя вивчення теоретичного матерiалу залежить вiдрiвня сформованостi навичок учнiв самостiйно працюватиз текстом пiдручника. Отже, учням можна запропонувати са�мостiйно опрацювати текст пiдручника або вчитель проводитьбесiду за наведеними нижче запитаннями.

Запитання до бесiди1. Що називають скалярним добутком двох векторiв? (Робимо ак�

цент на тому, що, на вiдмiну вiд множення вектора на число, ска�лярним добутком двох векторiв є число (скаляр).)

2. Знайдiть скалярний добуток векторiв:

1) ( )�a 1 3;− i ( )

�b −3 4; ; 2) ( )�

c 0 3;− i ( )�d 10 1;− ; 3) ( )�

m −3 4; i ( )�n 4 3; .

3. Сформулюйте властивостi скалярного добутку векторiв.

4. | |�a = 0 2, . Чому дорiвнює�a2 ?

5. Сформулюйте означення кута мiж векторами, що мають спiльнийпочаток.


A

A

B

B

C C

αa

αb

6. Один iз кутiв, що утворилися в результатi перетину двох прямих,дорiвнює 50°. Чому може дорiвнювати кут мiж векторами, що ле�жать на цих прямих?

7. Знайдiть скалярний добуток векторiв�a i

�b за даними таблицi.

( )∠� � | |�a | |�b � �

a b⋅

0° 2 3

30° 4 3

60° 12 1

90° 1 4

120° 2 1

150° 3 4

180° 1 3

Пiд час вивчення нового матерiалу уроку звертаємо увагу учнiвна те, що за знаком скалярного добутку векторiв можна визначитивид кута (гострий, тупий) мiж векторами (див. конспект 30).

Стисло змiст навчального матерiалу можна подати учням у ви�глядi конспекту 30.


Виконання усних вправ1. Дiагоналi квадрата ABCD перетинаються в точцi O. Знайдiть кут

мiж векторами:

1) AC��

i AD��

; 2) OB��

i OC��

; 3) BC��

i CD��

; 4) AC��

i AO��

; 5) AO��

i AC��

; 6) AB��

i CD��

.

2. Визначте, чи є кут мiж неколiнеарними векторами�a i

�b гострим,

прямим або тупим, якщо: 1)� �a b⋅ < 0; 2)

� �a b⋅ = 0; 3)

� �a b⋅ > 0.

3. Чи може скалярний добуток векторiв дорiвнювати добутку їх дов�жин? У якому випадку?

Виконання графiчної вправиНакреслiть рiвностороннiй трикутник ABC.

1) Побудуйте кут мiж векторами CA��

i AB��

. Яка його градусна мiра?

2) Побудуйте вектор AB AC��

− 1

2. Який кут вiн утворює з вектором BC

��

?

3) Побудуйте вектор CO CA CB��

= +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

1

3.


Конспект 30

1. Означення ( ) ( )� �a a a b b b a b a b1 2 1 2 1 1 2 2; ;⋅ = + .

2. Властивостi скалярного добутку векторiв

Для будь�яких векторiв�a,

�b i

�c i числа k;

а)� � � �a b b a⋅ = ⋅ ; б) ( ) ( )ka b k a b

� � � �= ⋅ ; в) ( )� � � � � � �

a b c a c b c+ ⋅ = + ;

г)� �а а2 2= — скалярний квадрат вектора.

3. Означення кута мiж векторами

( )α = ∠� �a b; — кут між векторами

�a і

�b.

Якщо� �a b↑ ↑ , то ( )∠ =

� �a b; 0 ;

якщо� �a b↑ ↓ , то ( )∠ =

� �a b; 180 ;

якщо� �a b⊥ , то ( )∠ =

� �a b; 90 .

4. Теорема (про скалярний добуток векторiв)

| | | | ( )� � � � � �a b a b a b⋅ = ⋅ ⋅cos ; .

5. Наслiдки з теореми

а) ( ) | | | |cos ;� � � �

� �a ba b

a b= ⋅

⋅, якщо

� �a b⋅ > 0, то ( )0 90< ∠ <

� �a b; ; якщо

� �a b⋅ < 0, то

( )90 180< ∠ <� �a b; ;

б) якщо� �a b⊥ , то

� �a b⋅ = 0.

Властивість перпендикулярних векторів:

якщо� �a b⋅ = 0 і

� �a ≠ 0 і

� �b ≠ 0, то

� �a b⊥ — ознака перпендикулярних векторів.



�b, якщо:

1) ( )�a 7 4;− , ( )

�b 2 3; ; 2) | |�a = 4, | |�b = 5 3, ( )∠ = °� �

a b; 30 .

2. Сторона квадрата ABCD дорiвнює 1. Знайдiть скалярний добуток

векторiв: 1) AB��

i AD��

; 2) AC��

i AD��

.

3. Знайдiть кут мiж векторами ( )�a 2 1;− i ( )

�b − −4 8; .

4. Доведiть, що ненульовi вектори ( )�a x y; i ( )

�b y x;− перпендикулярнi.

Оскiльки теоретичний матерiал уроку є досить великий за об�сягом, то зрозумiло, що учнi навряд чи встигнуть виконативсi запропонованi вправи. З метою кращого засвоєння змiсту


А

�a

α�b

B

C

вивчених тверджень пiд час розв’язування задач вимагаємовiд учнiв їх точного вiдтворення.


Контрольнi запитанняЗаповнiть пропуски так, щоб записанi твердження стали пра�

вильними.

1. ( ) ( )� �…c b3 5 3 2 5 4; ...;...⋅ = ⋅ + ⋅ =

2. Якщо трикутник ABC — правиль�

ний, то ∠⎛⎝⎜⎞⎠⎟ = °...;

�� b 120 , ( )∠ = °�… �…; 60

(див. рис.).3. Якщо AB = 3 см, то

� �…… …a c⋅ = ⋅ ⋅cos

(див. рис.)4. ( )�

a y3 2; i ( )�b y−2 2; можуть бути пер�

пендикулярними, якщо…


Вивчити змiст нового теоретичного матерiалу (див. конспект 30).


1. Чи може скалярний добуток двох векторiв дорiвнювати нульово�му вектору? Чи може скалярний квадрат ненульового векторадорiвнювати нулю?

2. Знайдiть скалярний добуток векторiв:

1) ( )�a 0 4; i ( )

�b 6 2;− ;

2)�a i

�b, якщо | | | |� �

a b= = 2, ( )∠ = °� �a b; 120 ;

3) AB��

i AC��

, якщо трикутник ABC рiвностороннiй зi стороною 6.

3. При якому значеннi x вектори ( )�a x;4 i ( )

�b −2 3; перпендикулярнi?

4. Доведiть, що для будь�якого вектора�a справджується рiвнiсть

( )− ⋅ = −1� �a a.

5. Знайдiть кут мiж векторами ( )�a 2 1; i ( )

�b 1 3; .

Повторити:

• означення та властивостi добутку вектора на число;

• означення та властивостi суми й рiзницi векторiв;

• означення та властивостi координат вектора;

• формулу для обчислення модуля вектора iз заданими координатами.


А

�a�

c

�b

B

C

Урок № 50Розв’язування задач (векторний метод*)

Мета: працювати над засвоєнням учнями змiсту означення тавластивостей добутку вектора на число, означень скалярного добут�ку векторiв, а також означення суми та рiзницi векторiв, координатвектора та формули для обчислення модуля вектора iз заданими ко�ординатами, вивчених на попереднiх уроках.

(Сформувати уявлення учнiв про змiст поняття «векторний методрозв’язування задач» та вмiння розв’язувати найпростiшi типовi за�дачi векторним методом*.)

Сформувати навички використання вивчених тверджень для роз�в’язування задач (векторним методом*).

Тип уроку: застосування знань, засвоєння вмiнь та навичок.Наочнiсть та обладнання: конспект «Розв’язування задач век�

торним методом*».

Хiд уроку




Перевiрку якостi виконання письмових вправ домашнього за�вдання проводимо за готовими стислими записами розв’язань. Пере�вiрку засвоєння учнями змiсту нового матерiалу попереднього урокуможна провести у формi математичного диктанту. Пiсля виконаннядиктанту оголошуються та обговорюються правильнi вiдповiдi дозапропонованих завдань.

Математичний диктантВарiант 1

1. Якщо в трикутнику ABC ∠ = °A 45 i AB AC= = 1, то скалярний до�

буток векторiв AB��

i AC��

дорiвнює…2. Якщо скалярний добуток двох векторiв є додатним числом, то кут

мiж цими векторами…

3. Доведiть, що вектори ( )�a 2 3; i ( )

�b −32; перпендикулярнi.

4. У трикутнику ABC ( )A 10; , ( )B 2 3;− , ( )C 0 3;− . Знайдiть кут C цьо�

го трикутника.Варiант 2

1. Якщо в трикутнику ABC ∠ = °A 60 i AB AC= = 1, то скалярний до�

буток векторiв AB��

i AC��

дорiвнює…


2. Якщо скалярний добуток двох векторiв є вiд’ємним числом, токут мiж цими векторами…

3. Доведiть, що вектори ( )�a 1 5; i ( )

�b −5 1; перпендикулярнi.

4. У трикутнику ABC ( )A 2 1;− , ( )B 1 1; , ( )C 3 2; . Знайдiть кут B цьоготрикутника.


Мета та подальша робота на цьому уроцi безпосередньо пов’язанiз рiвнем знань та вмiнь, якi учнi продемонстрували пiд час виконан�ня вправ домашнього завдання, математичного диктанту, а такожвзагалi iз рiвнем розумiння учнями основних понять векторної ал�гебри. Тому, на розсуд учителя, учнi на цьому уроцi або продовжу�ють засвоювати вивчений на попереднiх уроках матерiал та форму�ють умiння застосовувати його до розв’язування типових задач (див.попереднi уроки), або знайомляться з одним iз загальних методiврозв’язування задач — векторним методом та формують умiння роз�в’язувати типовi задачi цим методом.

ІV. Вiдтворення та систематизацiя опорних знань, умiнь

Учням пропонуємо самостiйно повторити змiст матерiалу, вивче�ного на попереднiх уроках за змiстом конспектiв 26–30.

V*. Доповнення знань

Якщо було прийнято рiшення на користь ознайомлення учнiв iзвекторним методом розв’язування задач, то пiсля повторення основ�них понять теми вчитель формує уявлення про векторний метод роз�в’язування задач. Потiм знайомить учнiв з основними етапами роз�в’язування задач цим методом, також розглядається узагальненатаблиця, яка допоможе учням перекладати геометричну умову за�дачi на векторну мову, i навпаки (вiдповiдно до схеми розв’язуваннязадач векторним методом ). Роботу учнiв на цьому етапi органiзуємояк роботу з таблицею (див. конспект 31).

VІ. Засвоєння знань, формування навичок

Виконання письмових вправ1. Доведiть векторним методом властивостi середньої лiнiї трикут�

ника.2. Доведiть векторним методом, що дiагоналi ромба перпендику�

лярнi.3. Доведiть векторним методом, що сума квадратiв дiагоналей пара�

лелограма дорiвнює сумi квадратiв усiх його сторiн.


Конспект 31

Розв’язування задач векторним методом

1. Схема розв’язання задач векторним методом.

1) Сформулювати задачу мовою векторiв, скласти векторнi рiвностi вiдпо�вiдно до умови задачi.

2) Перетворити складенi векторнi рiвностi, використавши вiдомi означен�ня, властивостi дiй над векторами.

3) Здобутi результати перекласти на мову геометрiї.

2. Основнi геометричнi факти мовою векторiв.

№ Рисунок Твердження мо�вою геометрiї

Твердженнямовою векторiв

1 Точки A i Bзбiгаються

AB��=

�0 або OA OB

�� = ,

де O — деяка точка пло�щини

2 AB CD| | AB kCD�� = , k ≠ 0

(прямi AB i CD не збiга�ються)

3 AB CD⊥ AB CD�� ⋅ = 0

4 AB CD a= = AB CD a2 2 2= =

5 ∠ =AOB ϕcosϕ = ⋅

⏐⏐⏐ ⏐⏐⏐⋅⏐⏐⏐ ⏐⏐⏐

OA OB

OA OB

��

��

6 Точка C лежитьна прямiй AB

AB k AC�� = або

( )OC pOA p OB�� = + −1 , де

O — деяка точка площини

7 C AB∈ ,AC CB m n: :=

ACm

nCB

�� = або

OCn

m nOA

m

m nOB

�� =+

++

, де

O — деяка точка площини


O

( )A B

BA

CD

AB D

C

A B

CD

a

a

A

ϕ

C

BO

AB

O

B

O

A C

№ Рисунок Твердження мо�вою геометрiї

Твердженнямовою векторiв

8 C — серединаAB

AC CB�� = або

OC OA OB�� = +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

1

2, де O —

деяка точка площини

9 M — серединаAB; N — середи�на CD

MN AD BC�� = +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

1

2

10 M — точка пе�ретину медiан(центроїду) три�кутника ABC

OM OA OB OC�� = + +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

1

3,

де O — деяка точка пло�щини

3. Приклад розв’язування задач

Задача. Доведiть векторним методом властивiсть середньої лiнiї трикут�ника.

Розв’язання. Нехай у трикутнику OBC MN — середня лiнiя (M — сере�дина OC, N — середина BC).

Доведемо, що MN OB= 1

2, MN OB| | . Виберемо систему координат так, як

показано на рисунку. Тодi ( )O 0 0; , ( )B b;0 , ( )C a;0 , Ma c

2 2;⎛⎝⎜⎞⎠⎟ , N

a b c+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟2 2

; .

За означенням MN — середня лiнiя.

Оскiльки MNb��

20;⎛⎝⎜⎞⎠⎟ , а ( )OB b

��;0 , то MN OB

�� = 1

2.

Отже, MN OB= 1

2, MN OB| | , що й потрiбно

було довести.

Додатковi задачi (на використання означеньта властивостей дiй над векторами)

1. Якщо вiдрiзок BM — медiана трикутника ABC, то

BM BA BC��

= +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

1

2. Доведiть.

2. Вiдрiзок BM — медiана трикутника ABC. Виразiть через вектори�a AC=

��

i�b BM=

��

вектори AB��

i CB��

.


AM

B

C

O

N

( )B b;0

( )C a с;

( )O 0 0; х

у

М

CA

O

B

N

B C

A D

M

3. Доведiть, що точки ( )A −3 1; , ( )B 3 4; , ( )C 1 3; лежать на однiй прямiй.Яка з цих точок лежить мiж двома iншими?

4. Дано точки ( )A 2 3; , ( )B 4 6; , ( )C 7 8; , ( )D x11; . Знайдiть значення x, при

якому вектори AB��

і CD��

колiнеарнi. Чи спiвнапрямленi цi вектори?

5. Знайдiть кути трикутника з вершинами ( )A −1 3; , ( )B 1 3;− ,

( )C 0 5 3, ; .

Задачi для письмового розв’язування на уроцi передбачаютьвiльне володiння учнями означеннями i властивостями ариф�метичних дiй iз векторами та формулами для обчислення ко�ординат вектора, модуля вектора iз заданими координатами.

Всi задачi (крiм задач на застосування векторного методу) вiдтво�рюють ситуацiї, що були розглянутi в задачах попереднiх урокiв,тiльки на бiльш високому рiвнi. Щоб попередити можливi труднощiз розумiння змiсту запропонованих задач, перед їх розв’язуваннямбажано ще раз обговорити типову ситуацiю, що вiдповiдає умовi за�дачi, а потiм спонукати учнiв до аналiзу ситуацiї, описаної в задачi,на предмет її вiдмiнностi вiд найпростiшої типової.


Пiдсумком уроку може бути видiлення учнями основних видiвзадач на застосування вивченого теоретичного матерiалу.


Повторити змiст теоретичного матерiалу, вивченого в темi 5 (див.конспекти 26–31).



1. Обчислiть модуль вектора� �

m x= 2 , де�x( ; )4 3− .

2. Знайдiть модуль вектора� � �n a b= −4 3 , де

�a( ; )−1 2 , ( )

�b 2 3;− .

3. Для ненульових векторiв�a i

�b справджується рiвнiсть 3 4 5 7

� � � �a b a b− = + .

Доведiть, що вектори�a i

�b колiнеарнi.

4. Знайдiть скалярний добуток векторiв�a( ; )−2 3 , ( )

�b 3 5; .


�b, якщо | |�a = 2, | |�b = 4, а кут

мiж векторами�a i

�b дорiвнює 60°.

6. Знайдiть косинуси кутiв трикутника ABC та визначте його вид,якщо A( ; )−3 2 , ( )B 5 3; , ( )C − −4 3; .


Варiант 21. Обчислiть модуль вектора

� �a c= 4 , де

�c( ; )5 12− .

2. Знайдiть модуль вектора� � �

m a b= −2 3 , де�a( ; )−4 2 , ( )

�b 1 2;− .

3. Для ненульових векторiв�a,

�b i

�c справджується рiвнiсть

4 9 5 2 7 6� � � � � �a b c a b c− + = − + .

Доведiть, що вектори�a,

�b i

�c колiнеарнi.

4. Знайдiть скалярний добуток векторiв ( )�a 2 1;− , ( )

�b 4 3; .


�b, якщо | |�a = 4, | |�b = 2, а кут

мiж векторами�a i

�b дорiвнює 30°.

6. Знайдiть косинуси кутiв трикутника ABC та визначте його вид,якщо A( ; )−1 2 , ( )B 3 7; , ( )C 2 1;− .

Урок № 51Вектори на площинi. Пiдсумковий урок

Мета: повторити, систематизувати та узагальнити знання учнiвщодо: означень:

• вектора, нульового вектора, рiвних векторiв;• координат вектора;• модуля вектора;• дiй iз векторами;

формул для обчислення:• модуля вектора;• координат вектора�суми (вектора�рiзницi) декiлькох векторiв;• координат добутку вектора на число;• скалярного добутку векторiв.

Узагальнити та повторити властивостi дiй над векторами.Систематизувати вмiння учнiв застосовувати набутi знання пiд

час розв’язування задач, що передбаченi програмою з математики.Тип уроку: узагальнення та систематизацiя знань, умiнь.Наочнiсть та обладнання: конспекти 25–31.

Хiд уроку


ІІ. Перевiрка домашнього завданняЗiбрати зошити з виконаною домашньою самостiйною роботою.

За необхiдностi правильнi розв’язання роздаються учням для само�стiйного опрацювання вдома.


Усi задачi домашньої самостiйної роботи не є складними дляучнiв, крiм задачi на обчислення кутiв трикутника за коорди�натами його вершин. Учнi традицiйно припускаються помил�ки пiд час визначення векторiв, якi утворюють шуканий кут.Тому, незважаючи на те що ця задача обов’язково буде роз�глядатися на цьому уроцi, доцiльно пiд час перевiрки домаш�ньої роботи на прикладi задачi 6 щераз нагадати учням, як визнача�ється кут мiж векторами. Цю роботуможна провести за готовим рисун�ком i вiдповiдними запитаннями.


Як i завжди, основна мета уроку випливає з його мiсця темi.Оскiльки урок є пiдсумковим, то виникає необхiднiсть повторення,узагальнення та систематизацiї знань та вмiнь, набутих учнями пiдчас вивчення теми 5. Таке формулювання мети створює вiдповiднумотивацiю дiяльностi учнiв.


Робота учнiв на уроках систематизацiї та узагальнення знаньта вмiнь проводиться традицiйно з урахуванням рiвня сфор�мованостi навичок самостiйної дiяльностi учнiв. Можна за�пропонувати учням самостiйну роботу з теоретичним матерiа�лом (наприклад, за пiдручником або конспектом повторитизмiст основних понять теми). Можна провести опитування(у формi iнтерактивної вправи) за основними питаннями темиабо запропонувати учням виконати тестову роботу за теоре�тичними питаннями тощо.

Контрольнi запитання1. Дайте означення вектора. Як зображують вектори?2. Що таке довжина вектора? Який вектор називають нульовим?3. Якi вектори називають спiвнапрямленими; протилежно напрям�

леними; колiнеарними?4. Дайте означення рiвних векторiв.5. Як визначити координати вектора? Як пов’язанi координати рiв�

них векторiв?6. Дайте означення суми двох векторiв. Опишiть способи побудови

вектора�суми.7. Дайте означення рiзницi двох векторiв. Опишiть способи побудо�

ви вектора�рiзницi.


MA

B

C

8. Дайте означення добутку вектора на число. Сформулюйте теоремупро довжину i напрям вектора ka

�.

9. Дайте означення скалярного добутку векторiв. Як визначаєтьсякут мiж векторами?

10. Сформулюйте теорему про скалярний добуток векторiв. Сформу�люйте властивiсть i ознаку перпендикулярних векторiв.


На цьому етапi, як i на попередньому, бажано органiзуватиучнiв таким чином, щоб активiзувати їхню самостiйну дiяль�нiсть. Учитель об’єднує учнiв у робочi групи (за кiлькiстю ти�пових задач теми). Кожнiй групi пропонується систематизу�вати види задач, якi вони навчилися розв’язувати пiд часвивчення теми 5.

Основнi види задач на застосування вивчених у темi 5 понять:

• побудова вектора, що дорiвнює сумi або рiзницi двох векторiв, абодобутку заданого вектора на число, або лiнiйнiй комбiнацiї двох табiльше векторiв;

• знаходження координат вектора, який дорiвнює сумi або рiзницiдвох векторiв, або добутку заданого вектора на число, або є лiнiй�ною комбiнацiєю двох та бiльше векторiв;

• у заданiй геометричнiй фiгурi вираження одного з векторiв черездва неколiнеарнi вектори;

• доведення колiнеарностi двох векторiв;

• доведення перпендикулярностi двох векторiв;

• знаходження кута мiж векторами;

• знаходження кута трикутника за координатами його вершин;

• розв’язування задач векторним методом*.

Пiсля формування списку основних видiв завдань учитель пропо�нує кожнiй групi завдання, яке формулюється так: «Скласти планрозв’язання задачi…» (кожна з груп отримує iндивiдуальне завдан�ня). На складання плану кожнiй групi вiдводиться певний час, заякий учасники групи мають обговорити план розв’язання, записатийого у виглядi послiдовних крокiв, реалiзувати та пiдготувати пре�зентацiю своєї роботи. По закiнченнi вiдбувається презентацiя скла�дених планiв. Пiсля презентацiї — обов’язкове обговорення складе�них планiв: учитель або учнi (iнших груп) пропонують змiнитияку�небудь iз заданих величин i пояснити, як змiниться розв’язаннязадачi. Пiсля обговорення — обов’язкова корекцiя.



Пiдсумком уроку узагальнення та систематизацiї знань i вмiнь уч�нiв є, по�перше, складенi ними узагальненi схеми дiй пiд час розв’язу�вання типових завдань, по�друге — здiйснення учнями необхiдної час�тини свiдомої розумової дiяльностi учнiв — рефлексiї — вiдображеннякожним учнем сприйняття своїх успiхiв, та найголовнiше — проблем,над якими слiд ще попрацювати перед контрольною роботою.


Повторити змiст вивчених у ходi засвоєння теми 5 понять.Вивчити складенi на уроцi схеми дiй.Використовуючи складенi схеми, розв’язати задачi домашньої

контрольної роботи.

Домашня контрольна робота1. Дано точки ( )A 2 5;− i ( )B 8 3; . Знайдiть координати i модуль вектора

AB��

.

2. Дано вектори ( )�a 0 4; i ( )

�b − −3 2; . Знайдiть вектор

� � �c a b= −2 .

3. У прямокутнику ABCD виразiть вектори AC��

i BD��

через вектори�a AB=

��

i�b BC=

��

.

4. Знайдiть значення x, при якому вектори ( )�a x;2 i ( )

�b −3 6; :

1) колiнеарнi; 2) перпендикулярнi.5. У рiвносторонньому трикутнику ABC проведено медiани AM i BN.

Побудуйте вектори AB AC��

+ , AM AN��

− ,2

3

1

2AN AC��

− .

6. Визначте вид чотирикутника ABCD, якщо ( )A 0 2;− , ( )B 0 1; , ( )C 2 2; ,( )D 4 0; .

Урок № 52Вектори на площинi. Тематична контрольна робота № 5

Мета: перевiрити рiвень засвоєння учнями знань та вмiнь щодозмiсту основних понять теми 5 вiдповiдно до програмових вимог;якiсть сформованих умiнь розв’язувати задачi на використання озна�чень та властивостей векторiв, координат, модуля вектора та дiй iзвекторами.

Тип уроку: контроль та корекцiя знань i вмiнь.

Хiд уроку




Зiбрати зошити з виконаною домашньою контрольною роботою№ 5 (роботу перевiрити та врахувати пiд час виставлення тематично�го бала).


Метою уроку контролю знань є демонстрацiя учнями своїх на�вчальних досягнень, тобто знань змiсту основних понять теми та во�лодiння прийомами їх застосування пiд час розв’язування програмо�вих задач.


Варiант 1

1. Знайдiть координати i модуль вектора AB��

, якщо ( )A 2 3;− i ( )B 0 4;− .

2. На рисунку заданi вектори BA a��

= �, AD b

��

=�,

DC c��

= �. Виразiть:

1) вектори BC BD��

, через вектори�a,

�b i

�c;

2) вектор�c через вектори BD

��

i BC��

.

3. Дано вектори ( )�c − −2 3; i ( )

�d 5 10;− . Знай�

дiть координати вектора 3 2� �d c− .

4. При якому значеннi k вектори�a

1

23;⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

i ( )�d k−4; :

1) колiнеарнi; 2) перпендикулярнi?5. Знайдiть косинус кута M трикутника KCM, якщо ( )K 1 0; , ( )C 2 4; ,( )M 2 0; .

6. Визначте вид чотирикутника ABCD, якщо ( )A 1 3; , ( )B 5 7; , ( )C 7 7; ,( )D 0 0; .

Варiант 2

1. Знайдiть координати i модуль вектора MN��

, якщо ( )M −7 0; i ( )N −31; .

2. На рисунку заданi вектори CB a��

= �, BA b

��

=�,

AD c��

= �. Виразiть:

1) вектори AC��

i CD��

через вектори�a,

�b i

�c;

2) вектор�a через вектори AC

��

i AB��

.

3. Дано вектори ( )�a −3 4; i ( )

�b −1 5; . Знайдiть

координати вектора 2� �a b− .


�a

A

B

D

C

�c

�a

A

B

D

C

�c

�b

�b

4. При якому значеннi m вектори�c m;−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

1

3i ( )

�d −2 7; :

1) колiнеарнi; 2) перпендикулярнi?5. Знайдiть косинус кута C трикутника ABC, якщо ( )A 2 1; , ( )B −3 2; ,( )C 0 1; .

6. Визначте вид чотирикутника MNPQ, якщо ( )M 1 4;− , ( )N 3 1;− ,( )P 7 5;− , ( )Q 7 11;− .


Пiсля виконання роботи вчитель оголошує правильнi вiдповiдi дозадач контрольної роботи. Можна роздати учням для опрацюваннявдома (домашнiй аналiз контрольної роботи) копiї правильних роз�в’язань завдань контрольної роботи № 5.


Виконати аналiз контрольної роботи (за розданими розв’язаннями).Повторити змiст понять про основнi геометричнi фiгури на пло�

щинi, властивостi основних геометричних фiгур на площинi, озна�чення паралельних прямих.


ТЕМА 6. ПОЧАТКОВI ВIДОМОСТI ЗI СТЕРЕОМЕТРIЇ

Урок № 53Основнi геометричнi фiгури в просторi. Взаємнерозташування прямої i площини

Мета: сформувати знання учнiв про:• змiст поняття «площина»;• основнi геометричнi фiгури в просторi;• найпростiшi властивостi основних фiгур у просторi (аксiоми) та

можливi випадки їх взаємного розташування.Сформувати вмiння:

• описувати вивченi поняття та наводити вiдповiднi приклади з на�вколишнього середовища;

• застосовувати вивченi поняття до розв’язування задач на обґрун�тування взаємного розмiщення прямої та площини.Тип уроку: засвоєння знань, умiнь та навичок.Наочнiсть та обладнання: конспект «Основнi геометричнi фiгури

в просторi».

Хiд уроку


Перевiрка готовностi учнiв до уроку, налаштування на роботу.Вступне слово вчителя про органiзацiю вивчення геометрiї протя�

гом наступних 8 урокiв: орiєнтовний план вивчення матерiалу,основнi теми, графiк проведення письмових самостiйних та кон�трольних робiт, а також програмовi вимоги до знань та вмiнь учнiв.


Учнi, якi отримали низькi оцiнки за контрольну роботу, здаютьзошити з виконаним аналiзом контрольної роботи на перевiрку. Вчи�тель коментує найскладнiшi моменти розв’язання задач контрольноїроботи.


На цьому етапi вчитель проводить стислу бесiду, пiд час якої, зверта�ючись до побутових знань учнiв про властивостi тривимiрного простору,формулює думку про те, що фiгури, якi iснують в реальному життi


навколо нас, здебiльшого хоча i складаються з плоских фiгур, проте неє такими (наводяться приклади об’ємних геометричних фiгур iз навко�лишнього свiту). Тому зрозумiло, що вивчення геометрiї буде «непов�ним», якщо не вивчити властивостi так званих просторових фiгур (ви�вчення цього питання бере на себе стереометрiя — 10–12 класи).

Вивчення будь�якого роздiлу математики вiдбувається за прин�ципом «вiд простого до складного». Отже, цiлком логiчно вивченняпитання про властивостi просторових фiгур розпочати з вивченнянайпростiших тiл та їх властивостей. Розв’язання цього питанняi визначається як основна мета уроку.


З метою успiшного засвоєння учнями змiсту нового матерiалууроку слiд активiзувати знання та вмiння учнiв щодо:

• основних фiгур планiметрiї;

• аксiом планiметрiї та їх застосування до розв’язування задач.



1. Чи правильнi такi твердження?

1) Через точку площини можна провести не менше як 1000 прямих.

2) Сполучивши попарно три заданi точки на площинi, завждидiстанемо три прямi.

3) На кожнiй прямiй можна позначити принаймнi 100 точок.

2. Яким є взаємне розмiщення двох рiзних прямих на площинi,коли вiдомо, що вони мають:

1) принаймнi одну спiльну точку;

2) не бiльш як одну спiльну точку?

3. Скiльки трикутникiв зображено на рисунку? Назвiть їх.

4. Користуючись рисунком, розв’яжiть задачi.

1) Дано: AB DЕ= , BC CD= . Доведiть, що AC CE= .

2) Дано: AC CE= , BC CD= . Доведiть, що AB DE= .


A

KM

B D Е

D C

B

A

PF

N

1 2

C


План вивчення нового матерiалу1. Уявлення про геометричну фiгуру «площина». Основнi фiгури

в просторi.2. Властивостi основних геометричних фiгур у просторi.3. Паралельнiсть двох прямих у просторi.4. Способи задання площини.5. Взаємне розмiщення прямої та площини у просторi:• пряма належить площинi;• пряма перетинає площину;• пряма перпендикулярна площинi;• пряма паралельна площинi.6. Перпендикуляр та похила до площини, що проведенi iз заданої

точки.Вивчення нового матерiалу цього уроку можна провести бли�зько до тексту пiдручника у формi бесiди за поданим планом.Акценти робимо на таких моментах:

• оскiльки точка i пряма є також основними фiгурами в просторi, товсi вiдомi учням аксiоми планiметрiї виконуються i в просторi;

• у зв’язку з тим що в просторi з’являється додаткова основна фiгура— площина, то й система аксiом стереометрiї доповнюється аксiо�мами, якi описують основнi властивостi площини;

• iснують певнi правила зображення та позначення основних геомет�ричних фiгур у просторi, а також позначення випадкiв їх певногорозташування;

• так само як у планiметрiї вивчається питання про спосiб заданняпрямої, в стереометрiї вивчається питання про способи задання пло�щини (строге обґрунтування цього питання вивчається у 10 класi);

• за аналогiєю до вивчення питання про взаємне розташування двохпрямих на площинi вивчається питання про взаємне розташуван�ня прямої та площини. Аналогiчно до поняття перпендикуляра тапохилої, проведених iз заданої точки площини до прямої в цiй пло�щинi, розглядається поняття перпендикуляра та похилої, проведе�них iз заданої точки простору до площини.Пiд час пiдготовки до уроку вчитель має пам’ятати, що всi новi

поняття уроку вводяться без строгого математичного обґрунтуванняi головне завдання уроку полягає у формуваннi в учнiв певних уяв�лень про основнi фiгури та їх взаємне розташування, а також умiнняописувати вивченi поняття, знаходити їх приклади в навколишньо�му середовищi.



Конспект 32

Основнi геометричнi фiгури в просторi

Взаємне розмiщення прямої i площини

1. Основнi геометричнi фiгури в просторi.

точка A пряма b площина α

2. Властивостi основних геометричних фiгур у просторi.

а)

A ∉α, B ∈α

б)

a ⊂ α, (кожна точкапрямої a лежить в α)

в)

a b| | , якщо a ⊂ α, b ⊂ α i ai b не мають спiльних точок

3. Способи задання (побудови) площини.

Через двi прямi, щоперетинаються.

Через пряму i точку,що не лежить на ційпрямiй.

Через три точки, якi не ле�жать на однiй прямiй.

Через двi паралельнi прямi.

4. Взаємне розмiщення прямої i площини.

Пряма лежить у пло�щинi.

Пряма перетинаєплощину.

Пряма паралельна до пло�щини.

Пряма перпендику�лярна до площини.

a⊥α


Ab

α

ααα

B

a ab

aC

α α αb

a A A B

C

ba

α

Aa

αα

B a

a

b

α

α

А

a

A

с

A

a b| |

a ⊂ α a | |α

!Зауваження. Якщо A ∉α, AB⊥α, де B — точка перетину прямої a

i площини, а C ∈α, то:

AB — перпендикуляр, AC — похила, проведенiз точки A до площини α, AB — це вiдстань вiдточки A до площини α.


Виконання усних вправ1. Чи правильно, що:

1) будь�якi три точки простору лежать в однiй площинi;2) будь�якi чотири точки простору лежать в однiй площинi?

2. Скiльки площин можна провести в просторi:1) через довiльну пряму;2) через пряму i точку, що не лежить на цiй прямiй;3) через двi паралельнi прямi?

3. Визначте, чи лежить трикутник ABC у площинiα, якщо:1) всi вершини трикутника лежать у площинi α;2) сторона AB лежить у площинi α;3) медiана AD лежить у площинi α;4) медiана AD i вершина C лежать у площинi α.

Виконання письмових вправ1. Точка A не належить прямiй a. Чи будуть усi прямi, що проходять

через точку A i перетинають пряму a, лежати в однiй площинi?Вiдповiдь обґрунтуйте.

2. Точка O є спiльною точкою прямих a, b i c. Чи означає це, щопрямi a, b i c лежать в однiй площинi? Зробiть рисунок.

3. Катет BC прямокутного трикутника ABC ( )∠ =B 90 лежить

у площинi β. Чи означає це, що катет AB є перпендикуляром доплощиниα? Зробiть рисунок.

4. Вiдрiзок AB — перпендикуляр до площини α (точка B — основаперпендикуляра, а точка C лежить у площинi α). Знайдiтьвiдстань вiд точки A до площиниα, якщо AC = 25см, BC = 7 см.

5. Пряма b лежить у площинi β, а пряма c паралельна площинi β. До�ведiть, що прямi b i c не перетинаються.

6. Пряма a перпендикулярна площинi α i рiвновiддалена вiд точок Bі C, що лежать у цiй площинi, причому прямi a i BC перетинаються.


aC

α

А

B

Знайдiть вiдстань мiж точками B i C, якщо точка A прямої a вiддале�на вiд цих точок на 13 см, а вiд площиниα— на 12 см.Додаткова задача (на повторення)Знайдiть площу прямокутного трикутника з гiпотенузою 12 см

i гострим кутом 30°.Вправи, якi запланованi для виконання на уроцi, спрямованiв основному на формування в учнiв свiдомого розумiння тео�ретичного матерiалу та на розвиток в учнiв просторової уяви.На цьому уроцi також розпочинається копiтка робота з фор�мування в учнiв умiнь застосовувати вивченi твердження дляаргументацiї мiркувань пiд час розгляду просторових кон�фiгурацiй. Оскiльки перехiд вiд вивчення плоских фiгур довивчення стереометричних конфiгурацiй є досить важкимдля учнiв, то всi задачi (а також властивостi фiгур) iлюстру�ються вiдповiдними моделями.

Пiд час розв’язування задач на застосування поняття «перпенди�куляр, проведений iз точки до площини» та «похила, проведеназ точки до площини» звертаємо увагу учнiв на те, що у випадку якщоперпендикуляр i похила, проведенi з однiєї точки простору до пло�щини, то вони разом iз проекцiєю похилої до площини утворюютьпрямокутний трикутник, а це означає, що можливе застосуваннявсiх вiдомих учням спiввiдношень у прямокутному трикутнику.


Контрольнi запитання1. Серед наведених фiгур знайдiть зайвi. Пояснiть свiй вибiр.

Точка, трикутник, пряма, промiнь, площина.2. Чи правильне твердження?

1) Існує тiльки одна площина, якiй можуть належати й не нале�жати точки.2) Через 4 точки можна провести площину.3) Будь�яка пряма має з площиною не бiльше нiж двi спiльнi точки.4) Існує 4 способи задання площини.


Вивчити змiст нових понять уроку (див. конспект 32).Розв’язати задачi.

1. Прямi a i b паралельнi. Чи будуть усi прямi, якi перетинають обид�вi заданi прямi, лежати в однiй площинi? Вiдповiдь обґрунтуйте.

2. Через точки A, B i C проходять двi рiзнi площини. Чи лежить точ�ка C на прямiй AB? Вiдповiдь обґрунтуйте.


3. Доведiть, що через точку поза заданою площиною проходить небiльше нiж одна пряма, перпендикулярна до цiєї площини.

Повторити означення та властивостi паралельних прямих.

Урок № 54Взаємне розмiщення прямих у просторi. Взаємнерозмiщення площин

Мета: сформувати знання учнiв про:

• способи взаємного розташування двох прямих та двох площину просторi;

• змiст означень мимобiжних прямих, паралельних площин;

• аксiому про перетин двох площин.

Сформувати вмiння вiдтворювати вивченi твердження та вико�ристовувати їх для обґрунтування мiркувань пiд час розв’язуваннявiдповiдних задач.


Наочнiсть та обладнання: конспект «Взаємне розмiщення двохпрямих у просторi. Взаємне розмiщення двох площин».

Хiд уроку




Виконання письмових вправ перевiряється за записами готовихрозв’язань.

Засвоєння теорiї перевiряється пiд час опитування за питаннямиконспекту 32 або за тестовими запитаннями вiдповiдного змiсту.

Тестовi запитання

1. На яке з наведених запитань слiд дати негативну вiдповiдь?

1) Чи правильно, що трикутник, квадрат i круг є геометричнимифiгурами?

2) Чи правильно, що основними фiгурами в планiметрiї є тiлькиточка i пряма?

3) Чи правильно, що основними фiгурами стереометрiї є точка,пряма i площина?

2. На яке з наведених запитань слiд дати ствердну вiдповiдь?

1) Через будь�якi три точки можна провести єдину площину.


2) Через чотири точки, що лежать на прямiй, можна провестиплощину.3) Через будь�якi чотири точки можна провести площину.


На цьому етапi вчитель нагадує учням основнi положення бесiди,проведеної на попередньому уроцi. Пiд час бесiди вiдбувається уза�гальнення змiсту матерiалу, вивченого на попередньому уроцi. Учнiмають усвiдомити, що пiсля вивчення питання про основнi фiгурив просторi, їх властивостi, взаємне розташування прямої та площи�ни, не розглянутими залишилися питання про взаємне розташуван�ня двох прямих та двох площин у просторi, а також вiдповiднi влас�тивостi взаємного розташування.



Виконання усних вправ1. Чи лежить точка M на площинi SAB; на

площинi SBC (рис.)? Чи перетинаютьсяплощини SAC i ABCD? Якщо так, то заякою прямою?

2. Через три точки можна провести площи�ну, але не одну. Що звiдси випливає?Вiдповiдь пояснiть.

3. Через пряму i точку можна провести бiль�ше нiж одну площину. Що звiдси випли�ває?

4. Чи належить точка K площинi паралело�грама ABCD (рис.), якщо точка N нале�жить вiдрiзку AD, а точка M — вiдрiзкуBC?


План вивчення нового матерiалу1. Уявлення про взаємне розмiщення двох прямих у просторi. Уяв�

лення про мимобiжнi прямi.2. Взаємне розташування двох площин. Паралельнi площини.3. Аксiома про перетин двох площин.

Вивчення нового матерiалу можна провести близько до текступiдручника у формi бесiди за запитаннями плану. Акцентиробимо на таких моментах:


S

C

MА B

D

D

B

А

M C

K

N

• у просторi, на вiдмiну вiд площини, двi прямi, що не мають спiль�них точок, не обов’язково є паралельними. Отже, слiд скоригувати(якщо це не було зроблено ранiше) означення паралельних прямихяк таких, що, по�перше, лежать в однiй площинi, а по�друге, не ма�ють спiльних точок;

• пiд час формування уявлення про паралельнi площини одразу вво�диться поняття вiдстанi мiж паралельними площинами, яке зумов�лено потребами вивчення многогранникiв на наступних уроках;

• на вiдмiну вiд випадкiв взаємного розмiщення двох прямих та пря�мої й площини, iснує всього два можливих випадки взаємного роз�ташування двох площин: площини або паралельнi, або перетина�ються. Також слiд зауважити, що, на вiдмiну вiд перетину двохпрямих та прямої й площини, двi площини, що перетинаються, ма�ють не одну, а безлiч спiльних точок.Так само як i на попередньому уроцi, вивчення нового матерiалу

проводиться без строгих математичних доведень i супроводжуєтьсядостатньою кiлькiстю демонстрацiй.


Конспект 33

Взаємне розмiщення двох прямих у просторi. Взаємне розмiщеннядвох площин

1. Взаємне розмiщення прямих у просторi

Двi прямi перетинаються. Двi прямi паралельнi. Двi прямi мимобiжнi.

2. Взаємне розмiщення площин у просторi

Двi площини паралельнi.

α| |βAB — спiльнийперпендикулярплощин α i β.

Двi площини перетинаються попрямiй.


c

O

α

α

α

ba

A

ba

α

A

α

a

b

B

β

β

α


Виконання усних вправ1. Одна з двох мимобiжних прямих лежить у площинi α. Чи може

друга пряма також лежати в цiй площинi?2. Чи можуть двi площини мати тiльки одну спiльну точку; тiльки

двi спiльнi точки?3. Що можна сказати про прямi a i b,

якщо вiдомо, що вони не мимобiжнi?4. Чи перетинаються прямi:

1) AC1 i BB1 (рис.);

2) AD i BM (рис.)?Вiдповiдь обґрунтуйте.

5. Чи правильне твердження: «Оскiлькипрямi a i b лежать у рiзних площинахi не перетинаються, то вони мимо�бiжнi»?

6. Яке взаємне розмiщення прямих AD1

i A B1 (рис.)? Вiдповiдь обґрунтуйте.

Виконання графiчних вправНакреслiть площини α i β, якi перетинаються по прямiй c.

1) Проведiть пряму l, яка перетинає площини α i β, але не перети�нає пряму c. Визначте взаємне розмiщення прямих l i c.

2) Проведiть пряму a, яка лежить у площинi α i паралельна пря�мiй c. Як розмiщена пряма a вiдносно площини β?


1. Пряма b паралельна площинiα, а пряма a лежить у площинiα. Чиможуть прямi a i b бути паралельними; перетинатися; бути мимо�бiжними? Зробiть рисунки.

2. Чи правильно, що три площини, якi мають спiльну точку, маютьспiльну пряму? Зробiть рисунки.

3. Пряма a лежить у площинi α, а пряма b — у площинi β, пара�лельнiй α. Чи можуть прямi a i b бути паралельними; перетинати�ся; бути мимобiжними? Зробiть рисунки.

4. Прямi a i b перетинаються, а прямi b i c паралельнi. Чи можутьпрямi a i c бути паралельними; перетинатися; бути мимобiжними?Зробiть рисунки.

5. Площини α i β паралельнi. Доведiть, що будь�яка площина, не па�ралельна заданим, перетинає їх по паралельних прямих.


A1

D

B1

D1 C1

C

BA

A1

D

B1

D1

C1

C B

A

M

Додаткова задача (на повторення)Площа прямокутної трапецiї дорiвнює 24 см2. Бiльша основа до�

рiвнює 8 см, а менша — меншiй бiчнiй сторонi. Знайдiть гострий куттрапецiї.


Контрольнi запитання1. Чи можуть двi прямi, що лежать в однiй площинi, бути мимо�

бiжними?2. Чи можуть двi прямi, що не лежать в однiй площинi, бути пара�

лельними; перетинатись?3. Чи можуть двi площини мати тiльки 5

спiльних точок; 100 спiльних точок?4. На рис. прямi a, b, c паралельнi i лежать на

однiй площинi. Знайдiть помилку.


Вивчити змiст нових понять уроку (див. конспект 33).Розв’язати задачi (або виконати домашню самостiйну роботу).

1. Пряма b паралельна площинi α, а пряма a перпендикулярна доплощини α. Чи можуть прямi a i b бути паралельними; перетина�тися; бути мимобiжними? Зробiть рисунки.

2. Площини α i β перетинаються по прямiй c. Пряма a лежить у пло�щинi α i перетинає площину β. Чи можуть прямi a i c бути пара�лельними; перетинатися; бути мимобiжними? Зробiть рисунок.

3. Прямi AB i CD мимобiжнi. Доведiть, що прямi AC i BD також ми�мобiжнi.

4. Доведiть, що паралельнi площини вiдтинають вiд паралельнихпрямих, якi їх перетинають, рiвнi вiдрiзки.

5. Вiдрiзок AB — перпендикуляр, проведений iз точки A до площи�ни α, точки C i D лежать у площинi α. Чи лежать точки B, C i D наоднiй прямiй, якщо AC = 25см, AD = 17 см, AB = 15см, CD = 28 см?

Умова домашньої самостiйної роботиВарiант 1

1. Дайте аргументовану вiдповiдь на запитання.1) Чи правильно, що будь�якi три точки простору лежать в однiйплощинi?2) Прямi a i b паралельнi. Чи будуть усi прямi, що перетинають цiдвi прямi, лежати iз заданими прямими в однiй площинi?3) Точки A, B, C i D не лежать в однiй площинi. Чи можуть прямiAB i CD перетинатися?


a

α

A

BC

b c

4) Площини α i β перетинаються по прямiй AC, а площини β i γ —по прямiй BC. Чи лежить точка C на прямiй AB?

2. Дайте аргументовану вiдповiдь на запитання.

1) Про двi прямi вiдомо, що вони не перетинаються. Чи обов’яз�ково цi прямi паралельнi?

2) Пряма a паралельна площинi α, а пряма b лежить у цiй пло�щинi. Чи можуть прямi a i b бути паралельними; мимобiжними;перетинатися?

3) Пряма a перпендикулярна до площини α, точка A прямої aрiвновiддалена вiд точок B i C, якi лежать у цiй площинi. Знай�дiть вiдстань мiж точками B i C, якщо вiдстань вiд точки A до пло�щини α дорiвнює 15 см, AC = 17 см, причому прямi BC i a перети�наються.

4) Двi площини паралельнi. Доведiть, що будь�яка площина непаралельна заданим, перетинає їх по паралельних прямих.

Варiант 2


1) Чи правильно, що вершини будь�якого трикутника лежатьв однiй площинi?

2) Прямi a i b перетинаються. Чи будуть усi прямi, що перетина�ють цi прямi i не проходять через точку їх перетину, лежати iз за�даними прямими в однiй площинi?

3) Точки A, B, C i D не лежать в однiй площинi. Чи можуть прямiAC i BD перетинатися?

4) Площиниα i β перетинаються по прямiй a, а площина, γ перети�нає цi площини по прямих b i c вiдповiдно. Чи можуть виконува�тись одночасно умови: a b| | , a не паралельна c?


1) Про двi прямi вiдомо, що вони лежать в однiй площинi. Чи обо�в’язково цi прямi паралельнi?

2) Пряма a перпендикулярна до площини α, а пряма b паралельнацiй площинi. Чи можуть прямi a i b бути паралельними; мимо�бiжними; перетинатися?

3) Вiдрiзок AB — перпендикуляр до площини α, проведений iзточки A, що лежить поза цiєю площиною. Точка A вiддалена вiдточок D i C, якi лежать у цiй площинi, на вiдстанi 25 см i 17 смвiдповiдно. Чи лежать точки B, C, D на однiй прямiй, якщовiдстань вiд точки A до площини дорiвнює 15 см, а вiдстань мiжточками C i D — 28 см?


4) Двi площини паралельнi. Доведiть, що цi площини вiдтинаютьвiд паралельних прямих, якi їх перетинають, рiвнi вiдрiзки.Повторити означення та властивостi паралельного перенесення;

розв’язування трикутникiв, прямокутних трикутникiв.

Урок № 55Поняття многогранника. Призма. Пiрамiда

Мета: сформувати в учнiв уявлення про геометричне тiло, мно�гогранник, а також про окремi види многогранникiв: призму, пiра�міду та їх елементи.

Сформувати знання учнiв про властивостi вивчених многогран�никiв та про формули обчислення площi повної поверхнi цих тiл.

Сформувати вмiння:• пояснювати змiст понять «пряма призма», «пiрамiда»;• виконувати зображення названих тiл;• знаходити на готових рисунках вивченi многогранники та їх еле�

менти;• використовувати вивченi поняття для розв’язування найпро�

стiших задач на обчислення величин, що характеризують елемен�ти многогранникiв, та задач на обчислення площ поверхонь прямоїпризми та пiрамiди.Тип уроку: засвоєння знань, умiнь та навичок.Наочнiсть та обладнання: конспект «Призма, пiрамiда».

Хiд уроку




З метою перевiрки якостi виконання домашньої самостiйної робо�ти вчитель збирає зошити учнiв на перевiрку. Правильнi розв’язан�ня задач самостiйної роботи у виглядi роздавального матерiалу вида�ються учням для самостiйного опрацювання вдома.


На цьому етапi вчитель знову спирається на життєвий досвiд уч�нiв. Учнi наводять приклади вiдомих їм геометричних тiл. Вони вжемають уявлення про куб, прямокутний паралелепiпед, пiрамiду та їхелементи. Пiсля цього вчитель нагадує учням, що iснує певна мето�дика вивчення понять у геометрiї, а тому настав час розглянути ви�вченi ранiше поняття на науковому рiвнi та, можливо, доповнити цi


знання й систематизувати їх. Таким чином формулюється питанняпро необхiднiсть вивчення означення, властивостей нових геомет�ричних об’єктiв та сфери їх застосування. Розв’язання цього питан�ня i визначається як основна мета уроку.

ІV. Актуалiзацiя опорних знань та вмiньКонтрольнi запитання

1. Сформулюйте означення многокутника. Назвiть його елементи.2. Сформулюйте означення та властивостi паралельного перенесення.3. Сформулюйте означення паралелограма.4. Якi властивостi та ознаки паралелограма ви знаєте?5. Якi ви знаєте види паралелограма?6. Назвiть формули, за якими можна обчислити площу паралелограма.7. Який трикутник називається рiвнобедреним?8. Якi властивостi рiвнобедреного трикутника ви знаєте?9. За якими формулами можна обчислити площу трикутника?

10. Дайте означення перпендикуляра, проведеного iз заданої точкипростору до площини.


1. Поняття многогранника.2. Призма. Основнi властивостi призми.3. Види призм: пряма призма, правильна призма, паралелепiпед,

прямокутний паралелепiпед, куб.4. Теорема про площу бiчної поверхнi прямої призми.5. Пiрамiда. Елементи пiрамiди.6. Правильна пiрамiда. Елементи правильної пiрамiди.7. Теорема про площу бiчної поверхнi правильної пiрамiди.

Вивчення матерiалу уроку проводиться у формi бесiди (зазмiстом близько до тексту пiдручника) iз залученням великоїкiлькостi наочностi (моделi геометричних тiл, а також табли�ця — конспект № 34). Пiд час бесiди вчитель спирається назнання учнiв щодо деяких геометричних тiл, набутими нимиу попереднiх класах. Викладення означення, властивостей тавидiв призми, пiрамiди проводиться оглядово, без строгого ма�тематичного обґрунтування, на рiвнi уявлень. Винятки станов�лять теореми про формули площ бiчних поверхонь прямої при�зми та правильної пiрамiди, доведення цих формул доситьпрості й за певних умов можуть бути проведенi самими учнями.



Конспект 34Призма, пiрамiда

Опуклi Неопуклi

Призма Піраміда

Основа

Бiчне ребро

Висота

Бiчна грань

Вершина

Бiчне ребро

Висота

Бiчна грань

Основа

Пряма Похила ПравильнаНе є правиль/

ною

Правильна Не є правильною

Паралелепiпеди Прямокутнi паралелепiпеди

Всi гранi —паралелограми

Всi гранi —прямокутники



Виконання усних вправ1. Чим вiдрiзняються:

1) пряма чотирикутна призма i прямий паралелепiпед;2) правильна чотирикутна призма i прямокутний паралелепiпед;3) прямий i прямокутний паралелепiпед;4) правильна чотирикутна призма й куб?

2. У кубi ABCDA B C D1 1 1 1 визначте взаємне розмiщення:1) прямих BC i DD1 ; A B1 i CD1 ; A C1 i B D1 ;2) площин B BC1 i A AD1 ; A AC1 i B BD1 .

3. Точка O — основа висоти PO трикутної пiрамiди PABC. Чи є цяпiрамiда правильною, якщо:1) точка O — центр кола, описаного навколо трикутника ABC;2) трикутник ABC — рiвностороннiй;3) точка O — центр правильного трикутника ABC?

Виконання графiчної вправиНакреслiть правильну чотирикутну призму ABCDA B C D1 1 1 1 . Про�

ведiть дiагоналi граней BD, BC1 i DC1 . Визначте вид многогранникаBC DC1 .

Виконання письмових вправ1. Знайдiть площу:

1) бiчної поверхнi правильної шестикутної призми зi стороноюоснови 6 см i бiчним ребром 5 см;2) повної поверхнi правильної чотирикутної призми з площеюоснови 36 см2 i висотою 10 см;3) бiчної поверхнi прямої призми, основа якої — прямокутнийтрикутник iз катетами 3 см i 4 см, а найбiльша бiчна грань —квадрат.

2. Площа бiчної поверхнi правильної трикутної призми дорiвнює90 см2, а висота — 5 см. Знайдiть площу основи призми.

3. Знайдiть площу:1) повної поверхнi правильної трикутної пiрамiди, всi ребра якоїдорiвнюють a;2) бiчної поверхнi правильної п’ятикутної пiрамiди зi стороноюоснови 2 см i апофемою 4 см.

4. Бiчне ребро правильної трикутної пiрамiди дорiвнює 10 м, а пло�ща бiчної поверхнi — 150 м2. Знайдiть кут мiж бiчними ребрамипiрамiди.



1) бiчної поверхнi прямої призми з висотою 10 см, основою якої

є трикутник зi сторонами 5 см i 8 см та кутом мiж ними 60°;2) повної поверхнi правильної чотирикутної призми зi стороноюоснови 4 см i дiагоналлю 9 см.

6. Знайдiть площу бiчної поверхнi:

1) правильної шестикутної пiрамiди з бiчним ребром 4 см i плос�

ким кутом при вершинi 30°;2) правильної трикутної пiрамiди з площею основи 9 3 см2 i бiч�ним ребром 5 см.


Дiагоналi трьох граней прямокутного паралелепiпеда дорiвню�ють 10 см, 17 см i 3 29 см. Знайдiть площу повної поверхнi парале�лепiпеда.

Виконання усних та письмових вправ, що винесенi на урок,має на метi:

1) домогтися розумiння учнями змiсту вивчених на уроцi понятьта формул (див. уснi вправи);

2) сформувати вмiння виконувати рисунки iз зображеннями мно�гогранникiв (графiчна вправа);

3) закрiпити знання учнiв про формули обчислення площ бiчноїповерхнi прямої призми, правильної пiрамiди та сформувативмiння розв’язувати задачi на обчислення площ бiчних повер�хонь названих многогранникiв iз використанням набутих ранiшевмiнь розв’язувати трикутники, обчислювати площi многокут�никiв тощо.



1. Яке мiнiмальне число ребер може мати многогранник?

2. Що являє собою многогранник, у якому 6 вершин i 5 граней?

3. У якому многограннику кiлькiсть вершин дорiвнює кiлькостiграней?

4. Що можна сказати про многогранник зi стороною основи a i висо�тою h, якщо:

1) Sбічна = 4ab;

2) Sбічна =3

2ah?



Вивчити змiст нового матерiалу уроку (див. конспект 34).



1) бiчної поверхнi правильної трикутної призми з площею основи4 3 см2 i висотою 6 см;

2) повної поверхнi прямої призми, основа якої — прямокутник,а висота й дiагоналi бiчних граней дорiвнюють вiдповiдно 8 см,10 см i 17 см.

2. Знайдiть площу повної поверхнi:

1) правильної чотирикутної призми з висотою 10 см i площеюбiчної гранi 30 см2;

2) прямокутного паралелепiпеда iз вимiрами 3 см, 4 см i 5 см.


1) бiчної поверхнi правильної трикутної пiрамiди з бiчним ребром5 см i апофемою 4 см;

2) повної поверхнi правильної чотирикутної пiрамiди з площеюоснови 25 см2 i апофемою 8 см.

4. Площа повної поверхнi правильної чотирикутної пiрамiди до�рiвнює 108 см2, причому площа бiчної поверхнi вдвiчi бiльша, нiжплоща основи. Знайдiть сторону основи й апофему.

Повторити формули обчислення площ плоских фiгур, розв’язу�вання прямокутних трикутникiв.

Урок № 56Об’єми призми i пiрамiди

Мета: сформувати уявлення учнiв про змiст поняття об’єму якчислової характеристики геометричного тiла.

Сформувати знання учнiв про:

• основнi властивостi об’єму;

• формулу для обчислення об’єму призми та пiрамiди (без доведення).

Закрiпити знання учня про:

• формули обчислення площ бiчних поверхонь прямої призми таправильної пiрамiди;

• многогранники та їх види.

Формувати вмiння:

• записувати та пояснювати вивченi формули вiдповiдно до умовизадачi;


• використовувати формули пiд час розв’язування задач, що перед�бачають їх застосування в прямому та зворотному напрямi, в томучислi й прикладних задачах;

• розпiзнавати, зображувати та знаходити невiдомi елементи вивче�них многогранникiв iз використанням як нових, так i ранiше набу�тих знань та вмiнь.Тип уроку: засвоєння знань, умiнь, формування навичок.

Хiд уроку




Розв’язання письмових вправ домашнього завдання перевiря�ється учнями самостiйно за готовими зразками (учням роздаютьсяiндивiдуальнi картки — ксерокопiї правильних розв’язань). Або спо�чатку можна запропонувати учням прокоментувати розв’язання,а потiм перевiрити домашню роботу за цими зразками.

З метою перевiрки засвоєння змiсту основних понять уроку мож�на провести з учнями так званий «нiмий диктант». Методика прове�дення такого диктанту полягає в тому, що вчитель не називаючи, по�казує певний об’єкт (наприклад, елементи многогранникiв), а учнiмають у письмовiй формi вiдтворити назву або властивiсть цього по�няття.

Ще один спосiб перевiрки засвоєння змiсту основних понять попе�реднього уроку — самостiйна робота iз завданнями на дописування.


На цьому етапi вчитель нагадує учням або спонукає учнiв до са�мостiйного повторення того факту, що геометричнi тiла, на вiдмiнувiд плоских фiгур, обмежують певну частину простору. Проте, таксамо як i фiгури на площинi, просторовi тiла мають характеризува�тися певною величиною, що показуватиме, яку саме частину просто�ру займають цi тiла. Отже, постає питання про засвоєння способувизначення такої величини для вивчених видiв многогранникiв. Роз�в’язання цього питання i визначається як основна мета уроку.


Учнi мають повторити змiст таких понять, як площа многокутни�ка та її властивостi; формули для обчислення площ многокутникiв;формулу обчислення об’єму прямокутного паралелепiпеда.


Виконання усних вправ1. Периметр квадрата дорiвнює 32 см. Чому дорiвнює площа цього

квадрата?2. Як змiниться площа прямокутника, якщо одну з його сторiн

збiльшити в 4 рази, а другу зменшити в 4 рази?3. Чи iснує паралелограм, сторони якого мають довжини 3 см i 6 см,

а вiдповiднi висоти дорiвнюють 4 см i 1 см?4. Паралелограм i трикутник мають рiвнi основи, але площа парале�

лограма в 3 рази менша. Що можна сказати про вiдповiднi висотицих фiгур?

5. Сторони ромба i квадрата дорiвнюють a, а гострий кут ромба —30°. У скiльки разiв площа ромба менша, нiж площа квадрата?

6. Площа трикутника ABC дорiвнює 22 см2. Сторона AB дорiвнює11 см, AC — 8 см. Чому дорiвнює кут A?

7. Знайдiть площу рiвнобедреного трикутника з основою 10 см i ку�том при основi 30°.

8. Знайдiть об’єм прямокутного паралелепiпеда, ребра якого до�рiвнюють 3 см, 4 см i 5 см.

9. Знайдiть об’єм куба, якщо площа однiєї з його гранi дорiвнює100 см2.


План вивчення нового матерiалу1. Уявлення про об’єм як числову характеристику геометричного

тiла. Основнi властивостi об’ємiв.2. Об’єм прямокутного паралелепiпеда. Об’єм призми.3. Об’єм пiрамiди.

Усi поняття, якi вивчаються на цьому уроцi, розглядаютьсяз опорою на наочнi уявлення учнiв про фiзичнi процеси та провластивостi геометричних тiл. Тому викладення нового мате�рiалу уроку проводиться у формi бесiди (можна провести са�мостiйну роботу учнiв з текстом пiдручника) за наведенимвище планом. Головне, чого треба домогтися, — це засвоєнняучнями формул для обчислення об’ємiв призми та пiрамiди,а також змiсту поняття про об’єм многогранника (на рiвнi ро�зумiння).

VІ. Застосування знань. Формування вмiнь

Виконання усних вправ1. Об’єм тiла дорiвнює a см3. Як його виразити в кубiчних метрах?2. Чи вмiститься в квартирнiй ваннi кубiчний метр води?


3. Тiло P складено з двох тiл P1 i P2 . Об’єми цих тiл дорiвнюють V1

і V2 , причому вони мають спiльну частину об’ємом V3 . Який об’ємтiла P?

4. Розв’яжiть задачi без рисунка.1) Повна поверхня куба дорiвнює 96 м2. Чому дорiвнює об’ємкуба?2) Об’єм куба дорiвнює 64 см3. Чому дорiвнює площа бiчної по�верхнi куба?3) Ребро одного куба удвiчi бiльше за ребро другого куба. У скiль�ки разiв об’єм першого куба бiльший за об’єм другого?

5. Чи може людина пiдняти куб,ребро якого дорiвнює 20 см, якщовiн виготовлений iз золота? (1 м3

золота важить приблизно 19 т)6. У правильнiй призмi (рис.) всi

ребра мiж собою рiвнi. Знайдiтьоб’єм призми.

7. Обчислiть об’єм правильної пiра�мiди, зображеної на рисунку.


1. Знайдiть об’єм:

1) прямої призми з площею основи 24 см2 i бiчним ребром 5 см;

2) прямого паралелепiпеда, якщо сторони його основи дорiвнюють

2 2 см i 4 см, кут мiж ними 45°, а висота паралелепiпеда — 8 см;

3) правильної трикутної пiрамiди зi стороною основи 2 см i висо�тою 6 3 см.

2. Об’єм правильної чотирикутної пiрамiди дорiвнює 36 см3. Знай�дiть висоту пiрамiди, якщо периметр її основи дорiвнює 24 см.

3. Знайдiть об’єм:

1) прямої призми, основою якої є рiвнобедрена трапецiя з основа�

ми 4 см i 10 см та гострим кутом 45°, а найбiльша бiчна грань —квадрат;

2) правильної трикутної пiрамiди з висотою 6 см i бiчним ребром10 см;

3) куба, повна поверхня якого має площу 54 см2.

4. Об’єм правильної трикутної призми дорiвнює 54 3 см3, а висота —6 см. Знайдiть об’єм правильної трикутної пiрамiди, основа якоїдорiвнює основi призми, а всi ребра рiвнi.


A

S

C45° a

D

B

C1

CA

B

B1

A1

4

Додаткова задача (на повторення)1. Знайдiть площу бiчної поверхнi:

1) правильної шестикутної пiрамiди з бiчним ребром 4 см i плос�

ким кутом при вершинi 30°;2) правильної трикутної пiрамiди з площею основи 9 3 см2 i бiч�ним ребром 5 см.

2. Доведiть, що всi гранi трикутної пiрамiди PABC рiвнi, якщо:1) PA BC= , PB AC= , PC AB= ;2) ∠ = ∠ABP BPC, ∠ = ∠APB CBP, ∠ = ∠APC BAP.

Майже всi вправи, запланованi для виконання на уроцi, спря�мованi на закрiплення формул обчислення об’ємiв призми тапiрамiди iз використанням набутих ранiше знань та вмiньщодо знаходження площ многокутникiв та вiдшукання невi�домих елементiв трикутникiв (як прямокутних, так i довiль�них). Тому перед виконанням письмових вправ бажано повто�рити з учнями основнi формули обчислення площ та схемирозв’язування прямокутних i довiльних трикутникiв. Такожна уроцi вiдпрацьовуються вмiння розв’язувати задачi на об�числення площ поверхонь прямої призми та правильноїпiрамiди i задачi на застосування уявлень про види много�гранникiв та їх властивостi.


Контрольнi запитання1. Чи iснує тiло, об’єм якого дорiвнює 125см3?2. Тiло розділили на три частини, об’єм кожної дорiвнює 24 см3.

Чому дорiвнює об’єм тiла?3. За якою формулою обчислюється об’єм прямокутного паралеле�

пiпеда; куба; призми?4. За якою формулою обчислюється об’єм пiрамiди?


Вивчити змiст формул, що розглядалися на уроцi.Повторити змiст основних понять попереднього уроку.Розв’язати задачi.

1. Знайдiть:1) вимiри прямокутного паралелепiпеда, об’єм якого дорiвнює126 см3, а площi трьох граней 18 см2, 21 см2 i 42 см2;2) об’єм правильної чотирикутної пiрамiди з дiагоналлю основи4 2 см i бiчним ребром 17 см.


2. Знайдiть об’єм:1) пiрамiди, основою якої є трикутник зi сторонами 4 см, 13 см i 15 см,а висота пiрамiди дорiвнює найбiльшiй висотi цього трикутника;2) прямокутного паралелепiпеда, площi трьох граней якого до�рiвнюють 15 см2, 18 см2 i 30 см2.

3. Знайдiть площу повної поверхнi прямої трикутної призми, осно�вою якої є прямокутний трикутник iз катетами 6 см i 8 см, а дiа�гональ найбiльшої бiчної гранi дорiвнює 26 см.

4. Площа бiчної поверхнi правильної чотирикутної пiрамiди до�рiвнює S. Знайдiть площу основи пiрамiди, якщо її апофема до�рiвнює l.Повторити: змiст поняття та формулу для обчислення довжини

кола й дуги кола, що має задану градусну мiру; площi круга, а такожплощi сектора, що вiдповiдає заданому центральному куту.

Можна замiсть наведених вище задач запропонувати учням вико�нати домашню самостiйну роботу.

Умова домашньої самостiйної роботиВарiант 1Обчислiть об’єм та площу бiчної поверхнi:1) прямої трикутної призми, площа основи якої дорiвнює 6 см2,периметр основи — 12 см, а висота — 10 см;2) прямої трикутної призми з висотою 8 см, якщо в основi призмилежить прямокутний трикутник з катетом 5 см i гiпотенузою 13 см;

3) правильної трикутної пiрамiди з висотою 4 3 см, якщо висота

основи пiрамiди дорiвнює 2 3 см;

4) прямої призми, основою якої є рiвнобедрена трапецiя з основа�

ми 8 см i 20 см та гострим кутом 45°, якщо найбiльша бiчна граньє квадратом.Варiант 2Обчислiть об’єм та площу бiчної поверхнi:1) прямої чотирикутної призми, площа основи якої дорiвнює15 см2, периметр основи — 16 см, а висота — 10 см;2) прямокутного паралелепiпеда з висотою 6 см, якщо в основiпаралелепiпеда лежить квадрат з дiагоналлю 4 2 см;

3) правильної трикутної пiрамiди, апофема якої дорiвнює 6 см,

плоский кут при вершинi 90°;4) правильної чотирикутної пiрамiди, якщо вiдстань вiд основи їївисоти до бiчного ребра дорiвнює 5 см, а кут мiж висотою i апофе�

мою — 30°.


Урок № 57Цилiндр, конус, куля

Мета: сформувати уявлення учнiв про тiла обертання та прикла�ди таких тiл обертання, як цилiндр, конус та куля, а також про їхелементи.

Сформувати знання учнiв про формули для обчислення площбiчної поверхнi цилiндра, конуса та формулу для обчислення площiповерхнi сфери.

Сформувати вмiння:• пояснювати змiст понять «цилiндр», «конус» та «куля (сфера)»;• знаходити на готовому рисунку елементи названих тiл обертання;• виконувати рисунки iз зображеннями тiл обертання та їх еле�

ментiв;• записувати формули для обчислення площi поверхонь тiл обертання;• розв’язувати найпростiшi задачi на обчислення площ поверхонь

тiл обертання.Тип уроку: засвоєння знань, умiнь та навичок.Наочнiсть та обладнання: конспект «Тiла обертання».

Хiд уроку




Учитель збирає зошити з виконаною домашньою роботою на пе�ревiрку. З метою надання учням можливостi скоригувати свої знан�ня та вмiння, вчитель роздає правильнi розв’язання домашнiх задачдля самостiйного опрацювання вдома.


Видiлити окрему групу геометричних тiл, якi будуть вивчатисяна цьому уроцi, учням допоможе розв’язування логiчної задачi.Обговорення змiсту задачi ймовiрно приведе учнiв до усвiдомлен�ня того факту, що серед геометричних (об’ємних) тiл у просторi,крiм многогранникiв, iснують ще й iншi тiла, поверхня якихскладається не з многокутникiв. Проте саме iснування таких тiлскладає предмет, який потребує вивчення (принаймнi тому, щоформа цих тiл використовується пiд час виготовлення матерiаль�них об’єктiв у нашому життi). Отже, наразi постає питання провидiлення нового виду геометричних тiл, вивчення їх властивос�


тей та формул для обчислення кiлькiсних характеристик (площповерхонь та об’ємiв). Розв’язання зазначеного питання i визна�чається як основна мета цього та наступного урокiв.

Логiчна задачаЯке з наведених геометричних тiл на рисунку є зайвим? Чому?1) 2) 3) 4)


Виконання усних вправ1. Як визначити площу поперечного перерiзу телеграфного стовпа?2. Чи може довжина кола й площа круга виражатись одним числом

(звичайно, в рiзних одиницях вимiрювання)?3. Довжина двох кiл дорiвнює 6π i 10π. Чому дорiвнює вiдношення

площ вiдповiдних кругiв?4. Площа сектора дорiвнює 12 см2, а площа всього круга — 72 см2.

Чому дорiвнює центральний кут цього сектора?5. Чому дорiвнює площа заштрихованої фiгури на рисунку?

6. Яка довжина лiнiї, що обмежує фiгуру на рисунку?

7. Знайдiть довжину кола на рисунку.


а O1 O2 O3

O2

O1

a

30°

6A

B

C


План вивчення нового матерiалу1. Загальне уявлення про тiла обертання.2. Цилiндр та його елементи. Формула площi бiчної поверхнi ци�

лiндра.3. Конус та його елементи. Формула площi бiчної поверхнi конуса.4. Куля, сфера, їх елементи. Уявлення про площу поверхнi кулi;

формула обчислення площi поверхнi кулi (площi сфери).Оскiльки на уроцi необхiдно розглянути великий за обсягомтеоретичний матерiал, то з метою кращого його засвоєнняучнями бажано використовувати моделi круглих тiл, наоч�нiсть, конспект або таблицi. Всi пояснення (близько до текступiдручника), якi робитиме вчитель на уроцi, супроводжуютьсядемонстрацiями. Особливо бажано провести цi демонстрацiїпiд час вивчення поняття розгорток бiчної поверхнi цилiндрата конуса, обчислення їх площ. Такий пiдхiд до викладеннянового матерiалу допоможе на наочному рiвнi сформуватив учнiв поняття про об’єкти вивчення уроку та вивести фор�мули обчислення площ поверхонь цилiндра, конуса та кулiбез застосування складних математичних викладок (зокремабез граничного переходу).

Стисло змiст навчального матерiалу учням можна подати у виг�лядi конспекту 35.

Конспект 35

Тiла обертання

Цилiндр Конус Куля

1 — бiчна поверхня

H — висота

R — радiус основи

2 — поверхня кулi(сфера)

R — радiус


O1

O

R

H

A

Вiс

ь

Твi

рн

а

Основа

Основа

Твi

рна

Вiс

ь

1 1

Вершина 2

O

AR

S

H

RA

Основа

Площа поверхнi

S R= 4 2π

Об’єм

V S H R H= = ⋅осн. π 2

V S H R H= = ⋅1

3

1

32

осн. π V R= 4

33π


Виконання усних вправ1. Наведiть шiсть прикладiв побутових предметiв, якi мають форму

цилiндра.2. Якi вимiри i як необхiдно зробити, щоб знайти висоту i радiус мо�

делi цилiндра?3. Наведiть приклади предметiв побуту, що

мають форму конуса.4. Чому дорiвнює площа основи конуса на ри&

сунку?5. Що являє собою тiло, яке складається з усiх

точок, вiддалених вiд точки O на вiдстаньне меншу за 3 м, але не бiльшу за 7 м?


1. Накреслiть цилiндр. Проведiть дiаметр AB однiєї з його основ.Проведiть з точок A i B перпендикуляри AA1 i BB1 до площиниiншої основи. Визначте вид чотирикутника AA B B1 1 .

2. Накреслiть конус iз вершиною P. Проведiть дiаметри основи ABi CD. Визначте вид трикутника APB. Чи рiвнi трикутники APCі BPD?


1. Висота цилiндра, дорiвнює 24 см. Знайдiть площу основи цилiн�дра, якщо вiдрiзок, який сполучає центр основи з точкою кола iн�шої основи, дорiвнює 25 см.


S RHб. = 2π

R

R

S Rосн. = π2

H

S Rосн. = π2

R

S Rlб. = π

α l

O

α

a


1) повної поверхнi цилiндра з радiусом 4 см i висотою 6 см;

2) бiчної поверхнi цилiндра з площею основи 25π см2 i твiрною 10 см.

3. Прямокутний трикутник iз гiпотенузою 6 см i гострим кутом 30°обертається навколо бiльшого катета. Знайдiть радiус основи i ви�соту утвореного конуса.


1) бiчної поверхнi конуса з твiрною 13 см i висотою 12 см;

2) повної поверхнi конуса, твiрна якого дорiвнює 10 см й утворює

з висотою кут 30°.5. Знайдiть площу сфери з радiусом 2 см.


Знайдiть площу:

1) бiчної поверхнi цилiндра, якщо вiдрiзок, який сполучає центроснови з точкою кола iншої основи, дорiвнює a й утворює з вiссюцилiндра кут α;

2) повної поверхнi цилiндра, утвореного обертанням прямокутни�ка з дiагоналлю 17 см i стороною 15 см навколо заданої сторони.

Вправи, що запланованi для виконання на уроцi, спрямованi,по�перше, на формування розумiння учнями змiсту понятьтiло обертання, цилiндр, конус, куля та сфера, а також ро�зумiння особливостей елементiв цих тiл та їх взаємного ро�змiщення. Пiд час розв’язування задач ще раз робимо акцентна тому, що висота цилiндра та конуса є перпендикуляром доплощини їх основ, а тому з вiдрiзками, що лежать у площинiоснов i проходять через основу висоти, утворюють прямокутнiтрикутники. По�друге, виконання вправ (див. графiчнi впра�ви) має сприяти формуванню початкових умiнь виконуватизображення названих тiл та їх елементiв. По�третє, письмовiвправи сприяють закрiпленню вивчених формул для обчис�лення площ поверхонь круглих тiл та формуванню вмiнь за�стосовувати цi формули до розв’язування типових задач наобчислення. Пiд час розв’язування задач слiд ще раз акцен�тувати на тому, що, розглядаючи об’ємнi тiла, ми так чи iнак�ше переходимо до розгляду плоских фiгур (прямокутних три�кутникiв, кiл, секторiв тощо). Отже, успiшне вивченнястереометрiї неможливе без вiльного оволодiння знаннями тавмiннями, набутими учнями в ходi вивчення планiметрiї.



Контрольнi запитання1. Опишiть цилiндр та його елементи.

2. Запишiть формули площ бiчної та повної поверхонь цилiндра.

3. Опишiть конус та його елементи.

4. Запишiть формули площ бiчної та повної поверхонь конуса.

5. Опишiть кулю i запишiть формулу площi сфери.


Вивчити змiст нового матерiалу уроку (див. конспект 35).


1. (Усно) Чи правильно, що:

1) твiрна цилiндра бiльша, нiж його висота;

2) твiрна конуса бiльша, нiж його висота?

2. (Усно) Чи iснує паралельне перенесення, внаслiдок якого:

1) одна з основ цилiндра переходить в iншу;

2) одна з твiрних конуса переходить в iншу?

3 (Усно). Чи може площа бiчної поверхнi конуса дорiвнювати пло�щi його основи?


1) бiчної поверхнi цилiндра з радiусом 4 см, якщо розгорткоюбiчної поверхнi цилiндра є квадрат;

2) повної поверхнi цилiндра, утвореного обертанням квадратаз дiагоналлю 3 2 см навколо сторони.

5. Знайдiть площу повної поверхнi конуса, площа основи якого до�рiвнює 9π см2, а висота 4 см.

Повторити змiст поняття «об’єм» та його властивостi, формулидля обчислення об’ємiв призми та пiрамiди.

Урок № 58Об’єми тiл обертання

Мета: сформувати уявлення учнiв про змiст поняття об’єму тiлаобертання; сформувати знання учнiв про методику доведення фор�мул для обчислення об’ємiв цилiндра, конуса та кулi. Закрiпитизнання учнiв про властивостi елементiв тiл обертання та формулидля обчислення площ поверхонь тiл обертання.

Сформувати вмiння:

• записувати вивченi формули;


• використовувати цi формули разом iз вивченими ранiше спiввiдно�шеннями мiж елементами тiл обертання до розв’язування задач наобчислення об’ємiв тiл обертання та площ їх поверхонь;

• вiдтворювати вивченi твердження, а також використовувати їхдля обґрунтування мiркувань та виконання побудов вiдповiдно доумов задач.Тип уроку: засвоєння знань, умiнь.Наочнiсть та обладнання: конспект 35.

Хiд уроку


ІІ. Перевiрка домашнього завданняЗ метою перевiрки якостi виконання домашньої роботи вчитель

органiзує роботу учнiв з перевiрки домашнього завдання за зразком.Пiд час виконання цiєї роботи учнi вiдтворюють змiст понять, вивче�них на попередньому уроцi.

ІІІ. Формулювання мети i завдань урокуНа цьому етапi вчитель нагадує учням (або спонукає учнiв до само�

стiйного повторення того факту), що протягом останнiх кiлькохурокiв вони вивчали питання про геометричнi тiла та їх числовi ха�рактеристики. На попередньому уроцi разом iз поняттям площi повер�хнi тiл обертання було згадано поняття об’єму. Таким чином, форму�люється проблема необхiдностi вивчення питання про геометричнийзмiст поняття об’єму тiл обертання та про способи обчислення об’ємiвцих тiл. Також виникає питання про застосування цих способiв пiдчас розв’язування задач та практичну значимiсть цього матерiалу.Розв’язання цих питань i визначається як основна мета уроку.

ІV. Актуалізація опорних знань

Виконання усних вправ1. Ознаки паралелограма

1) Дано: ABCD — паралелограм, M — середина BC, H — серединаAD (рис.). Довести: AMCH — паралелограм.


B

A

M

N D

C

2) Дано: ABCD — паралелограм, AM CH= (рис.). Довести:DHBM — паралелограм.

2. Трапецiя1) Дано: ABCD — рiвнобiчна трапецiя (рис.). Довести: ∠ = ∠A D,

∠ = ∠B C.2) Дано: ABCD — рiвнобiчна трапецiя. Довести: AC BD= .

3) Дано: ABCD — трапецiя, CK KD= (рис.). Довести: BC DM= .

3. Чи може в результатi руху коло радiуса 3 перейти в коло радiуса2? Чому?


План вивчення нового матерiалу1. Уявлення про геометричний змiст поняття «об’єм тiла обертання».2. Формула для обчислення об’єму цилiндра.3. Формула для обчислення об’єму конуса.4. Формула для обчислення об’єму кулi.

Вивчення нового матерiалу уроку проводиться на наочномурiвнi без сторогих математичних обґрунтувань (вони подають�ся пiзнiше). Так, на наочному рiвнi вводяться поняття призми,вписаної в цилiндр та описаної навколо нього, а також поняттяпiрамiди, вписаної в конус та описаної навколо нього. Форму�ли об’ємiв цилiндра та конуса виводяться з неявним застосу�ванням граничного переходу. Оскiльки програмовi вимоги дознань та вмiнь учнiв не передбачають виведення формул, то вiд


BA

M

H

D C

DA

B C

D

CB

A

K

M

учнiв вимагаємо лише розумiння формул об’ємiв тiл обертаннята вмiння записувати цi формули. Пiд час пояснення теоретич�ного матерiалу уроку використовуємо конспект 35.


Виконання усних вправ1. Один цилiндр у 3 рази довший за другий, але у 3 рази коротший.

Чи однаковi у них об’єми?2. Іграшкове вiдерце має розмiри у 10 разiв меншi, нiж вiдро

мiсткiстю 12 л води. Чи вмiститься в це вiдерце склянка води?3. У цилiндричнiй посудинi рiвень рiдини досягає 16 см. На якiй ви�

сотi буде знаходитися рiвень рiдини, якщо її перелити в посуди�ну, дiаметр якої у 2 рази бiльший за дiаметр першої?

4. Якi об’єми конусiв на рисунку?

1 2 3

5. Конус, висота якого H, вилитий iз свинцю. Його потрiбно пере�плавити у цилiндр того ж радiуса. Якою буде висота цилiндра?

6. На рис. трикутник ABC —правильний, сторонаякого дорiвнює a.Обчислiть об’ємконуса.

7. У цилiндр (рис.) вписано кулю радiуса R. Знайдiть вiдношенняоб’ємiв цих тiл.


O

90°

45Oa

R

H

O

45

O

A

B

C

Виконання письмових вправ1. Знайдiть об’єм:

1) цилiндра, утвореного обертанням прямокутника зi сторонами3 см i 5 см навколо бiльшої сторони;2) конуса з висотою 6 см i твiрною 3 5 см;3) кулi, площа поверхнi якої дорiвнює 36π см2.

2. Об’єм кулi дорiвнює 36π см3. Знайдiть площу сфери, яка обмежуєцю кулю.

3. Знайдiть об’єм:1) цилiндра з висотою H, якщо хорда основи завдовжки H стягуєдугу α;2) конуса з вершиною P i дiаметром основи AB, якщо трикутникPAB прямокутний i має площу 9 см2.Додатковi задачi (на повторення)

1. Знайдiть площу повної поверхнi конуса, висота якого дорiвнює20 см, а основа висоти вiддалена вiд твiрної на 12 см.

2. Бiчна поверхня конуса має площу 32π см2. Знайдiть площу основиконуса, якщо його твiрна дорiвнює дiаметру основи.

3. Прямокутник iз площею S обертається навколо сторони. Знайдiтьплощу бiчної поверхні утвореного цилiндра.


Контрольнi запитання1. Опишiть цилiндр та його елементи.2. Запишiть формулу об’єму цилiндра.3. Опишiть конус та його елементи.4. Запишiть формулу об’єму конуса.5. Опишiть кулю i запишiть формулу площi сфери.6. Запишiть формулу об’єму кулi.


Вивчити змiст роздiлу «Тiла обертання» (див. конспект 35).Розв’язати задачi.

1. Знайдiть об’єм:1) цилiндра з площею основи 16π см2 i висотою 5 см;2) конуса, утвореного обертанням рiвнобедреного прямокутноготрикутника з гiпотенузою 3 2 см навколо катета;3) кулi радiуса 9 см.

2. Знайдiть площу повної поверхнi цилiндра, якщо площа його осно�ви дорiвнює 9π см2, а середина твiрної вiддалена вiд центра основина 5 см.


3. Знайдiть об’єм конуса, твiрна якого дорiвнює 10 см, а площабiчної поверхнi дорiвнює площi бiчної поверхнi цилiндра з дiа�метром 5 см i твiрною 12 см.Або можна запропонувати учням виконати домашню самостiйну

роботу.

Домашня самостiйна роботаВарiант 1Обчислiть об’єм та площу бiчної поверхнi:1) цилiндра з висотою 10 см i радiусом основи 1 см та конуса з та�кою ж висотою i основою такого самого радiуса;2) цилiндра з радiусом 2 м, якщо розгорткою цилiндра є квадрат;

3) конуса, в якому кут мiж висотою i твiрною дорiвнює 60°,а вiдстань вiд основи висоти до середини твiрної дорiвнює 8 см;4) конуса, твiрна якого дорiвнює 20 см, а площа бiчної поверхнiдорiвнює площi бiчної поверхнi цилiндра з дiаметром 10 смi твiрною 24 см.

Варiант 2Обчислiть об’єм та площу бiчної поверхнi:1) цилiндра з висотою 5 см i радiусом основи 2 см та конуса з та�кою ж висотою i основою такого самого радiуса;2) цилiндра з радiусом 2 м, якщо розгорткою цилiндра є прямокут�ник, висота якого удвiчi менша вiд основи i є висотою цилiндра;3) конуса, площа основи якого дорiвнює 36 см2, а твiрна — 10 см;4) конуса, якщо перпендикуляр, проведений iз центра основи до

твiрної, утворює з висотою кут 30°, а твiрна дорiвнює 20 см.

Урок № 59Пiдсумковий урок. Розв’язування задач


• означення геометричного тiла, многогранника, тiла обертання таїх елементiв;

• формул для обчислення площ поверхонь та об’ємiв призми, пiрамi�ди, цилiндра, конуса та кулi.Систематизувати вмiння учнiв застосовувати набутi знання до

розв’язування задач, передбачених програмою.Тип уроку: узагальнення та систематизацiя знань, умiнь та на�

вичок.Наочнiсть та обладнання: конспекти 32–35.


Хiд уроку



Зiбрати зошити iз виконаною домашньою самостiйною роботою.За необхiдностi правильнi розв’язання роздаються учням для само�стiйного опрацювання вдома.


Основна дидактична мета та завдання на урок цiлком логiчновипливають iз його мiсця в темi. Оскiльки урок є останнiм, пiдсумко�вим, то увага придiляється повторенню, узагальненню та системати�зацiї знань та вмiнь, набутих учнями пiд час вивчення теми «Почат�ковi вiдомостi зi стереометрiї». Таке формулювання мети створюєвiдповiдну мотивацiю дiяльностi учнiв.


Роботу учнiв iз повторення знань за темою «Початковi вiдо�мостi зi стереометрiї» можна органiзувати або як самостiйнуроботу з теоретичним матерiалом (наприклад, за пiдручникомабо за конспектом), або провести опитування (у формi iнтер�активної вправи) за основними питаннями теми.

Контрольнi запитання до теми1. Опишiть взаємне розмiщення у просторi двох прямих; прямої i пло�

щини; двох площин.2. Опишiть призму. Яка призма називається прямою; правильною?3. Опишiть паралелепiпед. Який паралелепiпед називається пря�

мим; прямокутним?4. Запишiть формули площ бiчної та повної поверхонь прямої

призми.5. Опишiть пiрамiду. Яка пiрамiда називається правильною?6. Що таке апофема правильної пiрамiди? Запишiть формулу площi

бiчної поверхнi правильної пiрамiди.7. Запишiть формули об’ємiв прямої призми та пiрамiди.8. Опишiть цилiндр та його елементи.9. Запишiть формули площ бiчної та повної поверхонь цилiндра.

10. Опишiть конус та його елементи.11. Запишiть формули площ бiчної та повної поверхонь конуса.12. Опишiть кулю i запишiть формулу площi сфери.13. Запишiть формули об’ємiв цилiндра, конуса, кулi.



Органiзовуємо роботу учнiв у малих групах таким чином, щобучнi кожної групи систематизували та узагальнили способидiй пiд час розв’язування типових задач теми, склавши тавипробувавши алгоритми розв’язування задач заданого виду.

Основнi види задач:• застосування властивостей основних геометричних фiгур у про�

сторi та випадкiв їх взаємного розмiщення (паралельнiсть прямихi паралельнiсть прямої та площини);

• знаходження площi поверхнi призми (паралелепiпеда, правильноїпризми);

• знаходження площi поверхнi правильної пiрамiди;• знаходження площi поверхнi тiл обертання (цилiндра, конуса,

сфери);• знаходження об’ємiв призм (паралелепiпеда, правильної призми);• знаходження об’єму пiрамiди;• знаходження об’ємiв тiл обертання (цилiндра, конуса, сфери).

Пiсля формування списку основних видiв задач учитель об’єднуєучнiв у робочi групи (за кiлькiстю видiв завдань) i формулює за�вдання кожнiй групi: «Скласти план розв’язання задачi …» (гру�пи отримують iндивiдуальне завдання). На складання планувiдводиться певний час, за який учасники групи мають обговори�ти план розв’язання, записати його у виглядi послiдовнихкрокiв, реалiзувати та пiдготувати презентацiю своєї роботи.Пiсля закiнчення вiдбувається презентацiя виконаної роботикожною групою, а далi — обов’язкове обговорення складенихпланiв. Учитель або учнi (iнших груп) пропонують змiнитияку�небудь iз величин i пояснити, як змiниться розв’язання за�дачi. Пiсля обговорення — обов’язкова корекцiя.


Пiдсумком уроку узагальнення та систематизацiї знань i вмiньучнiв є, по�перше, складенi самими учнями узагальненi схеми дiйпiд час розв’язування типових завдань, по�друге — здiйснення учня�ми необхiдної частини свiдомої розумової дiяльностi учнiв — реф�лексiї — вiдображення кожним учнем сприйняття своїх успiхiв, танайголовнiше — проблем, над якими слiд ще попрацювати передконтрольною роботою.


Повторити змiст понять теми 6.


Вивчити складенi на уроцi схеми дiй.

Використовуючи складенi схеми, розв’язати задачi домашньоїконтрольної роботи № 6

Домашня контрольна робота

1. Прямi a i b перетинаються в точцi O. Чи будуть усi прямi, якi пере�тинають обидвi прямi i не проходять через точку O, лежати в од�нiй площинi? Вiдповiдь обґрунтуйте.

2. ABCA B C1 1 1 — правильна трикутна призма. Визначте взаємне роз�мiщення прямих:

1) BB1 i CC1 ; 2) AC i BB1 ; 3) BC1 i AC1 .

3. Основою прямого паралелепiпеда є паралелограм зi сторонами8 см i 10 см та гострим кутом 30°. Висота паралелепiпеда дорiвнюєменшiй висотi цього паралелограма. Знайдiть площу повної по�верхнi паралелепiпеда.

4. Знайдiть об’єм правильної трикутної пiрамiди з висотою 4 смi бiчним ребром 5 см.

5. Площа бiчної поверхнi цилiндра дорiвнює площi його основи.Знайдiть твiрну цилiндра, якщо його дiаметр дорiвнює 16 м.

6. Знайдiть об’єм конуса, якщо кут мiж його твiрною i висотою до�рiвнюєα, а середина твiрної вiддалена вiд осi на вiдстань a.

Урок № 60Тематична контрольна робота № 6

Мета: перевiрити рiвень засвоєння учнями знань та вмiнь вiдпо�вiдно до програмових вимог щодо змiсту основних понять теми 6;якiсть сформованих умiнь розв’язувати задачi на використання озна�чень та властивостей основних геометричних фiгур у просторi таосновних видiв многогранникiв i тiл обертання, а також застосовува�ти формули обчислення площ поверхонь та об’ємiв до розв’язуваннязадач.

Тип уроку: контроль i корекцiя знань та вмiнь.

Хiд уроку



Зiбрати зошити з виконаною домашньою контрольною роботою(роботу перевiрити та врахувати пiд час виставлення тематичногобала).



Учитель наголошує, що метою контрольної роботи є демонстра�цiя учнями своїх навчальних досягнень, тобто знань змiсту основнихпонять теми та навичок володiння прийомами їх застосування пiдчас розв’язування програмових задач.


Варiант 11. На рисунку зображений

куб ABCDA B C D1 1 1 1 .Визначте взаємнерозташування прямих:1) AD i CC1 ;2) DC i D C1 1 ;3) A B1 1 i AD.

2. Сторони основи прямого паралелепiпеда дорiвнюють 3 см i 5 см,

а кут мiж ними — 30°. Знайдiть об’єм паралелепiпеда, якщо йоговисота дорiвнює 6 см.

3. Апофема правильної трикутної пiрамiди дорiвнює 6 см, а висо�та — 3 см. Знайдiть площу бiчної поверхнi й об’єм пiрамiди.

4. Знайдiть площу сфери, що обмежує кулю, об’єм якої дорiвнює

102

3π см3.

5. Знайдiть площу бiчної поверхнi конуса з висотою 4 3 см, якщо

основа висоти вiддалена вiд твiрної на вiдстань 2 3 см.

Варiант 21. На рисунку зображена

правильна пiрамiдаSABCD. Визначтевзаємне розташуванняпрямих:1) AD i BC; 2) SD i SB;3) DC i SA; 4) AB i DC.

2. Основою прямого паралелепiпеда є ромб iз дiагоналями 7 смi 8 см. Знайдiть об’єм паралелепiпеда, якщо його бiчне ребро до�рiвнює 10 см.

3. Площа бiчної поверхнi правильної трикутної пiрамiди дорiвнює162 см2, її апофема — 6 см. Знайдiть висоту й об’єм пiрамiди.

4. Знайдiть об’єм кулi, що обмежена сферою, площа якої дорiвнює64π см2.


A1

C1B1

B

D1

AC

D

D

CA

S

B

5. Площа бiчної поверхнi конуса дорiвнює 32π см2, радiус його осно�ви — 4 см. Знайдiть висоту та кут мiж висотою i його твiрною.


Як варiант проведення цього етапу уроку можна запропонувати(пiсля виконання роботи) оголошення правильних вiдповiдей дозавдань, виконаних учнями або роздати учням для опрацюваннявдома (домашнiй аналiз контрольної роботи) копiї правильнихрозв’язань завдань контрольної роботи № 6.


Виконати аналiз контрольної роботи (за розданими розв’язан�нями).

Повторити формули площi трикутника, розв’язування трикут�никiв.


ТЕМА 7. ПОВТОРЕННЯ I СИСТЕМАТИЗАЦIЯНАВЧАЛЬНОГО МАТЕРIАЛУ

Урок № 61Розв’язування трикутникiв. Обчислення площ

Контрольнi запитання з теорiї1. Сформулюйте теорему косинусiв.2. Сформулюйте наслiдки теореми косинусiв.3. Сформулюйте теорему синусiв.4. Сформулюйте наслiдки теореми синусiв.5. Опишiть основнi алгоритми розв’язування трикутникiв.6. Запишiть формули площi довiльного трикутника; правильного

трикутника; прямокутного трикутника.7. Запишiть формули площi довiльного паралелограма; ромба; пря�

мокутника; квадрата.8. Запишiть формули радiусiв вписаного й описаного кiл трикутника.

Тестовi завданняВарiант 1

1. Знайдiть площу паралелограма, якщо його дiагоналi дорiвнюють10 см i 8 см, а кут мiж ними — 60°.А) 20 3 см2; Б) 40 3 см2; В) 20 см2.

2. У трикутнику ABC AB = 3 см, BC = 4 см, BD — бiсектриса,∠ = °ABD 45 . Знайдiть площу трикутника ABC.А) 12 см2; Б) 5 см2; В) 6 см2.

3. Знайдiть площу рiвнобедреного трикутника з бiчною стороною

2 см i кутом при основi 15°.А) 3 см2; Б) 1 см2; В) 2 см2.

4. Сторона ромба дорiвнює 4 см, гострий кут — 30°. Знайдiть площуромба.А) 8 см2; Б) 32 см2; В) 2 3 см2.

5. У паралелограмi ABCD AB = 15 см, AD = 20 см, ∠ = °A 30 . Знайдiтьплощу паралелограма ABCD.А) 300 см2; Б) 75 см2; В) 150 см2.

6. ∠DCB — зовнiшнiй кут трикутника ABC, ∠ = °DCB 120 , AC = 8 см,BC = 4см. Обчислiть площу трикутника ABC.А) 16 см2; Б) 8 3 см2; В) 32 см2.


Варiант 21. Знайдiть площу паралелограма, якщо його сторони дорiвнюють

10 см i 8 см, а кут мiж ними — 60°.А) 20 3 см2; Б) 40 3 см2; В) 40 см2.

2. У трикутнику ABC AB = 5см, BC = 12 см, AC = 13см. Знайдiть пло�щу трикутника ABC.А) 78 см2; Б) 30 см2; В) 60 см2.

3. Знайдiть площу рiвностороннього трикутника зi стороною 2 см.А) 4 3 см2; Б) 2 3 см2; В) 3 см2.

4. Дiагоналi ромба дорiвнюють 8 см i 6 см. Знайдiть площу ромба.А) 48 см2; Б) 24 см2; В) 12 см2.

5. У паралелограмi ABCD AC = 15 см, BD = 20 см, ∠ = °AOB 30 .Знайдiть площу паралелограма ABCD.А) 75 см2; Б) 300 см2; В) 150 см2.

6. ∠DBC — зовнiшнiй кут трикутника ABC, ∠ = °DBC 135 , AB = 4 см,BC = 3 2 см. Обчислiть площу трикутника ABC.

А) 6 см2; Б) 6 2 см2; В) 12 см2.

Уснi вправи за готовими рисунками

1. ABC —рiвностороннiй,AB = 3,BD DС: := 1 2.Знайти: AD

2. Знайти:x i y

3. Знайти: x, y, α 4. Знайти: радiус описаного кола

5. ABC —рiвнобедрений;AD — висота.Знайти: AD

6. ABCD —ромб.Знайти: AB


A

B

D

C C

y

B

A 1070° 50°

60°x

x

105°

1537°

αK

M

y

H

30°

C

B

A

50°

B

CA 10

DCD

B

A

a

β

a

7. Знайти: радiус кола (O — центркола)

8. ABC: ∠ = °C 90 ; AC a= ; ∠ =A α;CD — висота. Знайти: CD

9. Знайти: x 10. Знайти: радiус описаного кола

11. SABC = 120; AB AC BC: : : := 5 12 13.Знайти: радiус вписаного кола

12. AC = 30; BP = 12; AP = 14. Знай�ти: площу трикутника й OP

Уснi вправи

1. Дiагональ прямокутника ABCD дорiвнює a, ∠ =CAD α. Знайдiтьсторони прямокутника.

2. Висота рiвнобедреного трикутника ABC дорiвнює h, кут приосновi α. Знайдiть сторони трикутника. Скiльки розв’язкiв маєзадача?

3. Знайдiть висоту AD рiвнобедреного трикутника ABC з основоюAC, якщо бiчна сторона трикутника дорiвнює a, а кут при вер�шинi — β.

4. Знайдiть сторони прямокутника ABCD, якщо його дiагональутворює з однiєю зi сторiн прямокутника кут α i дорiвнює d.

5. Знайдiть сторони AC i BC трикутника ABC на рисунку.


A BO

Ca

α

B

D

αaC A

C1

I

105°

B

A

A1

C4

45°

6

x

2

A

C B

A

CB

A

O

P

6. У прямокутному трикутнику ABC∠ = °C 90 , AC a= i ∠ =BAC α. Об�числiть довжину бiсектриси CD прямого кута цього трикутника.Письмовi вправи

1. Розв’яжiть трикутник:1) α = °58 , β = °73 , b c− = 12;2) β = °68 , α = °81 , a c+ = 634, ;3) a = 9, b = 19, mc = 11;4) a = 18, b = 13, ma = 8;5) a = 24, ha = 15, ma = 17.

2. У прямокутному трикутнику бiсектриса прямого кута дорiвнює18 см. Вона утворює з медiаною, яка проведена iз цiєї ж вершини,

кут, що дорiвнює 10°. Знайдiть гiпотенузу трикутника.3. Розв’яжiть трикутник за його висотами, якi дорiвнюють 12 см,

15 см i 20 см.4. Обчислiть кути паралелограма, сторони якого дорiвнюють 16,4 см

i 21, 5 см, а кут мiж дiагоналями — 60°.5. Знайдiть площу трикутника KMN, якщо ∠ = °K 60 , ∠ = °N 45

і KN m= .6. Медiана, що проведена до гiпотенузи прямокутного трикутника,

дорiвнює 20 см. Серединний перпендикуляр медiани перетинаєбiльший катет у точцi, вiддаленої вiд медiани на 7, 5 см. Знайдiтьплощу прямокутного трикутника.

7. Площа прямокутного трикутника в 4 рази менша, нiж площаквадрата, що побудований на гiпотенузi. Знайдiть гострi кутитрикутника.

8. У трикутнику ABC AB = 112 см, AC = 108 см. На AB позначеноточку M таку, що AM = 84 см. Через точку M проведено прямi,якi подiлили трикутник на частини, площi яких (рахуючи вiдточки A) вiдносяться як 1:2:3:4:5. На якi частини цi прямi подi�лили сторону AC?

9. У трапецiї дiагоналi дорiвнюють 25 см i 33 см, середня лiнiя —26 см. Знайдiть площу трапецiї.

10. Доведiть, що сума вiдстаней вiд довiльної внутрiшньої точки три�кутника до всiх його сторiн дорiвнює висотi трикутника.


C

y

BA c40° 60°

80°x

Урок № 62Правильнi многокутники. Довжина кола й площа круга

Контрольнi запитання з теорiї1. Сформулюйте означення правильного многокутника.2. Назвiть формули радiусiв вписаного й описаного кiл:

1) правильного трикутника;2) квадрата.

3. Опишiть побудову правильного трикутника; квадрата; правиль�ного шестикутника.

4. Сформулюйте теорему про вiдношення довжини кола до його дiа�метра. Назвiть наближене числове значення цього вiдношення.Як воно позначається?

5. Назвiть формули довжини кола й площi круга.6. Назвiть формулу довжини дуги кола.7. Опишiть круговий сектор. Запишiть формулу площi кругового

сектора.8. Опишiть круговий сегмент. Запишiть формулу площi кругового

сегмента.

Уснi вправи за теоретичним матерiалом1. У многокутнику всi сторони рiвнi. Чи є правильним цей много�

кутник? Наведiть контрприклад.2. У многокутнику всi кути рiвнi. Чи є правильним цей многокут�

ник? Наведiть контрприклад.3. У многокутнику, що вписаний у коло:

1) усi сторони рiвнi;2) усi кути рiвнi.Чи є правильним цей многокутник?

4. У многокутнику, описаному навколо кола:1) усi сторони рiвнi;2) усi кути рiвнi.Чи є правильним цей многокутник?

5. Чи може зовнiшнiй кут правильного многокутника дорiвнювати:1) 50°;2) внутрiшньому куту;3) половинi центрального кута?

6. Якi з наведених тверджень правильнi?1) Серед прямокутникiв є правильнi чотирикутники.2) Термiни «рiвностороннiй трикутник» i «правильний трикут�ник» означають одне й те саме.3) Існує правильний чотирикутник, який є трапецiєю.4) Кожний правильний чотирикутник є паралелограмом.


7. Обчислiть зовнiшнiй кут правильного 360�кутника.8. Як побудувати правильний восьмикутник?9. У якому правильному описаному многокутнику:

1) радiус вписаного кола удвiчi менший за сторону;2) радiус описаного кола дорiвнює сторонi?

10. Чи можна скласти правильний шестикутник iз правильних три�кутникiв? із ромбiв?

11. Чому дорiвнює радiус кола, якщо його довжина дорiвнює π см?12. Радiус кола збiльшили так, що довжина кола стала удвiчi бiль�

шою за початкову. У скiльки разiв збiльшився при цьому радiус?13. Як побудувати коло, довжина якого дорiвнює сумi довжин двох

заданих кiл?14. На рисунку радiус кола дорiвнює 2 дм. Як на цьому рисунку вiд�

класти дугу кола довжиною π дм?

Уснi вправи за готовими рисунками1. На рисунку 1 побудовано правильний шестикутник. Як на цьому

рисунку найпростiше побудувати правильний дванадцятикутник;правильний трикутник?

Рис. 1 Рис. 2

2. ABCDEF — правильний шестикутник (рис. 2).1) Чому дорiвнює кут α?2) Чи правильне твердження: AC CD⊥ ?

3. На рисунку 3 зображено фрагмент правильного многокутника. Якнайпростiше дiзнатися, скiльки у нього сторiн? Як закiнчити по�будову цього многокутника?

4. Яка довжина лiнiї, що обмежує заштриховану фiгуру на рисун&ку 4 (O A a2 = )?

Рис. 3 Рис. 4


α

E

F C

D

A B

D

C

BA

O2

O1

A

5. Знайдiть довжину кола за рисунком 5.6. Учень стверджує, що довжина кола радiуса R i довжина лiнiї, що об�

межує заштриховану фiгуру на рисунку 6, рiвнi. Чи правильно це?

2RРис. 5 Рис. 6 Рис. 7

7. AB = 6 см. Пояснiть, як побудовано фiгуру на рисунку 7. Знайдiтьїї площу.

Уснi вправи1. Навколо правильного трикутника описано коло. Периметр три�

кутника збiльшили на 1 см. На скiльки збiльшиться довжинаописаного кола?

2. Що бiльше: довжина бiльшого кола чисума довжин менших кiл (рис.)?

3. У квадрат вписано коло. Учень A ствер�джує, що периметр цього квадрата бiль�ший за довжину кола бiльш нiж удвiчi.Учень B стверджує — що менше, нiжудвiчi. Чиє твердження правильне?

4. Один учень стверджує, що побудувавтакi два кола, де довжина першого кола бiльша за довжину друго�го, а площа першого круга менша вiд площi другого круга. Чиможливо це?

5. Дано правильний трикутник, квадрат i правильний шестикут�ник. Периметри цих фiгур рiвнi. Навколо кожної фiгури описанеколо. Площа якого круга бiльша?

6. В одне й те саме коло вписанi правильний трикутник, квадрат,правильний шестикутник i правильний восьмикутник. Назвiть їхпериметри в порядку зростання.

Письмовi вправи

1. Висота правильного трикутника дорiвнює h. Знайдiть радiусивписаного й описаного кiл трикутника.


A

B

O

C

6

30°

O1A O2

O3O4 B

2. Коло радiусом 12 см розiгнуто в дугу, центральний кут якої до�

рiвнює 135°. Знайдiть радiус дуги.3. Знайдiть площу круга, описаного навколо рiвностороннього три�

кутника з медiаною a.

4. Периметр правильного шестикутника дорiвнює 5 3. Обчислiтьйого площу.

5. Дiаметр круга дорiвнює 42 см. Хорда, проведена в цьому колi,

стягує дугу 120°. Знайдiть площу сектора, що обмежує цю хорду.6. Навколо правильного трикутника описаний круг i в нього вписа�

но круг. Довжина кола меншого круга 8π. Знайдiть площу кiльцяi площу трикутника.

7. Чи може сума внутрiшнiх кутiв правильного многокутника до�рiвнювати:

1) 810°;2) точному квадрату градусiв?

8. Внутрiшнiй кут правильного многокутника на 144° бiльший вiдзовнiшнього. Визначте кiлькiсть сторiн цього многокутника.

9. Внутрiшнiй кут правильного многокутника у 8 разiв бiльший вiдзовнiшнього. Скiльки вершин має цей многокутник?

10. Пiд яким кутом перетинаються двi дiагоналi правильного п’яти�кутника, що проведенi з рiзних вершин?

11. Пiд яким кутом перетинаються двi дiагоналi правильного восьми�кутника, що проведенi з кiнцiв однiєї сторони?

12. Рiзниця зовнiшнiх кутiв двох правильних многокутникiв до�

рiвнює 40°. Визначте суму внутрiшнiх кутiв кожного з цих много�кутникiв.

13. Як вписати в правильний шестикутник правильний трикутник,периметр якого:1) найменший; 2) найбiльший?

14. Знайдiть кути трикутника, вершини якого збiгаються iз середи�нами сторiн правильного шестикутника.

Урок № 63Декартовi координати на площинi

Контрольнi запитання з теорiї1. Що називають прямокутною декартовою системою координат на

площинi?2. Що називають координатною площиною?3. Що називають координатами точки?


4. Якi точки належать осям координат?5. Якi координати мають точки кожної координатної чвертi?7. Назвiть формулу вiдстанi мiж точками на координатнiй площинi.8. Назвiть формули координат середини вiдрiзка.9. Що називають рiвнянням геометричної фiгури?

10. Запишiть рiвняння кола.11. Запишiть рiвняння прямих, якi паралельнi осям координат.12. Яке рiвняння прямої називають загальним?

Ігровий момент1. У ч и т е л ь. Любi друзi! Зараз вам на 5 с покажуть координати

п’яти точок. Ви маєте назвати точку, яка лежить у третiй чвертi.Отже, увага!(На екран проектуються координати точок:

( )A −5 3; , ( )B 4 9; , ( )C − −4 3; , ( )D 4 7;− , ( )E −6 7; .)

2. Яка з наведених точок зайва?

( )A −3 6; , ( )B 5 7; , ( )C −4 1; , ( )D 4 3;− , ( )E 1 3; , ( )F 4 2; .

3. Вершини трикутника ABC мають координати: ( )A 2 3; , ( )B −3 5; ,( )C − −1 2; . Не позначаючи цi точки на площинi, назвiть координа�

ти трьох точок, що лежать усерединi трикутника ABC. Якi сторо�ни цього трикутника перетинають вiсь абсцис? вiсь ординат?

4. За 15 с позначте на координатнiй площинi якомога бiльше точок,вiдстань вiд яких до точки ( )A −3 2; дорiвнює 4.

5. Позначте декiлька точок таких, щоб вiдстанi мiж будь�якимидвома з них були рiвними.

6. Сформулюйте завдання за його розв’язанням:

1)− + =3

22

x,

5

21

+ = −y, x = 7, y = −7, ( )B 7 7;− ;

2) ( ) ( )AB = − − + + = =3 7 5 7 244 2 612 2

, AB = 2 61.

7. Запишiть рiвняння прямої, що лежить тiльки у другiй та третiйчвертях.

8. На координатнiй площинi позначено точки ( )A −3 2; , ( )B 2 4; , ( )C − −1 3; .Запишiть рiвняння кола, щоб:1) усi точки лежали всерединi кола;2) тiльки одна точка лежала всерединi кола;3) тiльки двi точки лежали всерединi кола.

9. Яка з точок ( )A −5 4; , ( )B 1 3;− , ( )C 2 2;− , ( )D −2 3; лежить на однiй iзнаведених лiнiї:1) бiсектриса другої та четвертої координатних кутiв;


2) пряма паралельна осi абсцис i знаходиться вiд неї на вiдстанi3 одиницi;3) пряма паралельна осi ординат i знаходиться вiд неї на вiдстанi5 одиниць;

4) коло з центром у точцi O — початок координат, i радiусом 10?

10. Накреслiть вiдрiзок, кiнцi якого вiддаленi вiд початку координатна 5 одиниць i не лежать на координатних осях.

11. Коло дотикається до осей координат i лежить у першiй чвертi.Назвiть його рiвняння, якщо вiдомо, що центр цього кола вiдда�лений вiд початку координат на 3 2.


1. Яка з наведених точок належить осi абсцис?А) ( )A 1 1; ; Б) ( )B 0 4; ; В) ( )C 3 0; ; Г) ( )D −1 1; .

2. Знайдiть вiдстань вiд точки ( )B − −6 3; до осi ординат.А) –6; Б) 3; В) –3; Г) 6.

3. Знайдiть координати точки перетину дiагоналей паралелограмаABCD, якщо ( )A −2 2; , ( )B 3 2; , ( )C 1 1;− , ( )D − −4 1; .А) ( )0 5 0 5, ; ,− ; Б) ( )−0 5 0 5, ; , ; В) ( )0 5 0 5, ; , ; Г) ( )− −0 5 0 5, ; , .

4. Знайдiть дiагональ квадрата ABCD, якщо ( )A 0 4; , ( )B 4 4; .

А) 32; Б) 32; В) 16; Г) 4.

5. Знайдiть координати центра й радiус кола ( )x y2 21 49+ + = .

А) ( )O 0 1; , R = 49; Б) ( )O 0 1; , R = 7;В) ( )O 0 1;− , R = 7; Г) ( )O −1 0; , R = 72 .

6. Знайдiть координати центра кола, якщо кiнцями його дiаметрає точки ( )M − −2 4; , ( )N 6 8; .А) ( )C 0 0; ; Б) ( )C 2 2; ; В) ( )C −2 2; ; Г) ( )C 3 1; .

7. Яке з наведених кiл має центр у точцi ( )O 2 5;− i дотикається до осiординат?

А) ( ) ( )x y+ + + =2 5 252 2

;Б) ( ) ( )x y− + + =2 5 252 2

;

В) ( ) ( )x y− + − =2 5 252 2

; Г) ( ) ( )x y+ + + =2 5 52 2

.

8. Яка з наведених точок не лежить на прямiй 3 2 1 0x y− + = ?

А) ( )1 2; ; Б) ( )−1 1; ; В) ( )0 0 5; , ; Г) −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

1

30; .

Варiант 21. Яка з наведених точок належить осi ординат?

А) ( )A 1 1; ; Б) ( )B 0 4; ; В) ( )C 3 0; ; Г) ( )D −1 1; .


2. Знайдiть вiдстань вiд точки ( )B − −6 3; до осi абсцис.А) –6; Б) 3; В) –3; Г) 6.

3. Знайдiть координати точки перетину дiагоналей паралелограмаABCD, якщо ( )A −3 0; , ( )B 0 3; , ( )C 7 3; , ( )D 4 0; .

А) ( )15 2, ; ; Б) ( )−2 15; , ; В) ( )2 15; , ; Г) ( )2 15; , .

4. Знайдiть дiагональ квадрата ABCD, якщо ( )A −2 2; , ( )B 2 2; .А) 32; Б) 32; В) 16; Г) 4.

5. Знайдiть координати центра й радiус кола ( )x y− + =2 252 2 .

А) ( )O 0 2; , R = 25; Б) ( )O 2 0; , R = 5;

В) ( )O −2 0; , R = 5; Г) ( )O 2 0; , R = 52 .

6. Знайдiть координати центра кола, якщо кiнцями його дiаметрає точки ( )D 2 4; , ( )E − −6 8; .

А) ( )C 0 0; ; Б) ( )C 3 2;− ; В) ( )C − −3 2; ; Г) ( )C 32; .

7. Яке з наведених кiл має центр у точцi ( )O 2 5;− i дотикається до осiабсцис?

А) ( ) ( )x y+ + + =2 5 42 2

;Б) ( ) ( )x y− + + =2 5 252 2

;

В) ( ) ( )x y− + + =2 5 42 2

; Г) ( ) ( )x y− + − =2 5 42 2

.

8. Яка з наведених точок не лежить на прямiй 5 3 1 0x y− + = ?

А) ( )1 2; ; Б) ( )−11; ; В) 01

3;⎛⎝⎜⎞⎠⎟; Г) −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

1

50; .

Уснi вправи1. Де на координатнiй площинi розташованi точки ( )A −1 0; , ( )B − −4 3; ,( )C 4 0; , ( )D 3 2;− , ( )N 4 4; ?

2. Що можна сказати про координати точки C, якщо вiдомо, що вона:1) належить бiсектрисi першого координатного кута;2) належить осi абсцис;3) належить бiсектрисi четвертого координатного кута;4) належить осi ординат;5) належить бiсектрисi другого координатного кута?

3. Знайдiть вiдстань вiд точок ( )A 3 4; , ( )B −5 12; , ( )C 0 2;− , ( )D 6 8;− ,( )E −5 0; до початку координат.

4. Знайдiть координати середини вiдрiзка AB, якщо:

1) ( )A −5 0; , ( )B 1 8;− ; 2) ( )A − −9 1; , ( )B 3 5; .


1) ( )A 4 5;− , ( )B −1 7; ; 2) ( )A −3 2; , ( )B − −7 1; ; 3) ( )A −3 0; , ( )B 7 0; .


6. Чи належать точки ( )A −3 2; , ( )B 2 2; , ( )C 14 2; однiй прямiй?7. Знайдiть координати точки перетину дiагоналей паралелограма

ABCD, якщо ( )A −2 2; , ( )C 1 1;− .8. Знайдiть координати вершини D паралелограма ABCD, якщо( )A 3 4; , ( )B −1 2; , ( )C 0 5; .

9. Доведiть, що трикутник ABC — рiвнобедрений, якщо ( )A 0 3; ,( )B 4 0; , ( )C 1 4;− .

10. Визначте за рiвнянням кола координати його центра i радiус:

1) ( ) ( )x y− + − =1 5 162 2

; 2) ( )x y2 21 49+ + = ;

3) ( ) ( )x y+ + − =1 3 12 2

; 4) ( )x y− + =5 42 2 ;

5) ( ) ( )x y+ + + =2 2 32 2

; 6) x y2 2 15+ = .

11. Запишiть рiвняння кола, якщо вiдомi координати його центраi радiус:

1) ( )C 1 4; , R = 5; 2) ( )C −3 0; , R = 31;

3) ( )C 0 0; , R = 2; 4) ( )C 0 7; , R = 7;

5) ( )C − −2 1; , R = 3; 6) ( )C 2 2;− , R = 2.

12. Дано прямi:1) 2 2 0x y− + = ; 2) x− =2 0;3) x y+ + =2 0; 4) y+ =3 0.Яка з цих прямих проходить через точку ( )2 4;− ? Кутовий ко�ефiцiєнт якої прямої дорiвнює (–1)? Яка з цих прямих не має ку�тового коефiцiєнта? Чому? Яка з цих прямих паралельна осi Ox?осi Oy?

Письмовi вправи1. Середини сторiн трикутника знаходяться в точках (1;5), (3;10),

(7;2). Визначте координати вершин цього трикутника.2. Сума абсцис кiнцiв однiєї дiагоналi трапецiї дорiвнює сумi абсцис

кiнцiв другої дiагоналi. Чи правильно, що основи цiєї трапецiї па�ралельнi осi ординат?

3. Усерединi квадрата ABCD знаходиться точка M така, що MA = 7,MB = 13, MC = 17. Знайдiть довжини сторони й дiагоналi квадра�та.

4. Знайдiть геометричне мiсце точок, вiддалених на 2 одиницi вiдкола x y2 2 7+ = .

5. Знайдiть координати центра й радiус кола

x x y y2 212 18 224+ + − = .


6. Запишiть рiвняння кола з центром на бiсектрисi першого коорди�натного кута й радiусом 5, яке проходить через точку (–1;6).

7. Запишiть рiвняння прямих, на яких лежать сторони трикутниказ вершинами ( )A −3 5; , ( )B 1 3;− , ( )C 7 9; .

Урок № 64Геометричнi перетворення

Контрольнi запитання з теорiї1. Дайте означення перемiщення. Назвiть основнi властивостi пере�

мiщення. Який зв’язок має перемiщення з рiвнiстю фiгур?2. Дайте означення симетрiї вiдносно точки, якi фiгури називаються

центрально�симетричними? Наведiть приклади.3. Дайте означення симетрiї вiдносно прямої. Що таке вiсь симетрiї

фiгури? Наведiть приклади фiгур, якi мають вiсь симетрiї.4. Дайте означення повороту.5. Дайте означення паралельного перенесення. Якими формулами

паралельне перенесення задається в прямокутнiй системi коорди�нат?

6. Дайте означення перетворення подiбностi. Назвiть основнi влас�тивостi подiбних фiгур.

7. Опишiть перетворення гомотетiї.8. Якi трикутники називають подiбними?9. Сформулюйте ознаки подiбностi трикутникiв.

Графiчнi вправи1. Накреслiть двi прямi a i b, позначте двi точки A i B так, щоб точка

C була симетричною точцi A вiдносно прямої a i точцi B вiдноснопрямої b.

2. Позначте точку X1 , симетричну точцi A вiдносно точки O (див.

рис.), точку X2 , симетричну точцi X1 вiдносно прямої b, точку X3 ,

симетричну точцi X2 вiдносно точки K i точку X4 , симетричнуточцi X3 вiдносно прямої c.

3. Виконайте паралельне перенесення квадрата ABCD у квадратA B C D1 1 1 так, щоб їх спiльна частина становила чверть квадратаABCD.


OK

Acb

Уснi вправи1. ABCD — паралелограм (рис.). Точка E симетрична точцi C вiдносно

точки D. Доведiть, що точки A i D симетричнi вiдносно точки M.

2. AD CB| | (див. рис.), точки A i B симетричнi вiдносно точки O, CD —

довiльна пряма. Доведiть, що точки C i D симетричнi вiдносно точ�ки O.

3. Чи може точка перетину дiагоналей трапецiї бути її центром си�метрiї? Вiдповiдь обґрунтуйте.

4. Уявiть точку A, що лежить у першiй координатнiй чвертi. ТочкаB симетрична точцi A вiдносно осi Oy. Точка C симетрична точцi Bвiдносно осi абсцис. Точка D симетрична точцi C вiдносно осi орди�нат. Що можна сказати про:1) точки A i D;2) точки A i C;3) фiгуру ABCD?

5. Учень накреслив деяку фiгуру. Потiм позначив точку O. У резуль�татi обидвi фiгури утворили паралелограм. Яку фiгуру накресливучень? Де було позначено точку?

6. Точка A внаслiдок деякого перемiщенняпереходить у точку A1 (див. рис.). Укажiть:

1) центр симетрiї;2) вiсь симетрiї;3) центр i кут повороту.

7. Дано точки A i C. Побудуйте точку B, симетричну точцi A вiдносноC, не проводячи променя AC.

8. Чи iснує чотирикутник, в якому тiльки одна вiсь симетрiї, щопроходить через його вершину?


C

D

E

M

A

B

O

D

C B

A

A

A1

Письмовi вправи1. Запишiть рiвняння кола, яке симетричне колу

( ) ( )x y+ + − =2 7 192 2

вiдносно початку координат.2. Запишiть рiвняння прямої, яка симетрична прямiй 5 4 3 0x y− − =

вiдносно початку координат.3. Побудуйте вiдрiзок iз серединою в заданiй точцi й кiнцями на:

1) двох заданих прямих;2) заданiй прямiй та заданому колi.

4. Побудуйте паралелограм iз центром у заданiй точцi O та вершина�ми на двох заданих прямих i двох заданих колах.

5. Дiагоналi паралелограма лежать на прямих x = 0 i y x= . Серединаоднiєї зi сторiн — точка (3;1). Знайдiть координати вершин пара�лелограма.

6. Осi симетрiї прямокутника прямi x = 4 i y = 3. Одна з його вер�шин — точка ( )A 7 5; . Знайдiть координати iнших вершин прямо�кутника.

7. Дiагоналi прямокутника лежать на прямих y x= 1

2i y x= − +1

28. За�

пишiть рiвняння осей симетрiї цього прямокутника.8. Точки A i B лежать по рiзнi боки вiд прямої l. Знайдiть на нiй точ�

ку M таку, щоб бiсектриса кута AMB лежала на прямiй l.

Урок № 65Вектори на площинi

Контрольнi запитання з теорiї1. Що називають вектором? Як позначають вектор?2. Який вектор називають нуль�вектором?3. Що називають довжиною вектора?4. Що називають напрямом вектора?5. Якi вектори називають спiвнапрямленими; протилежно напрям�

леними; колiнеарними?6. Дайте означення рiвних векторiв.7. Якi вектори називають протилежними?8. Як вiдкласти вектор вiд заданої точки?9. Як визначити координати вектора? Як пов’язанi координати

рiвних векторiв?10. Дайте означення суми двох векторiв.


11. Сформулюйте правило трикутника додавання векторiв. Наведiтьприклад.

12. Сформулюйте правило паралелограма додавання векторiв. На�ведiть приклад.

13. Сформулюйте властивостi додавання векторiв.14. Дайте означення рiзницi двох векторiв. Опишiть способи побудо�

ви вектора�рiзницi.15. Дайте означення добутку вектора на число. Сформулюйте теорему

про довжину й напрям вектора ka�.

16. Дайте означення скалярного добутку векторiв. Як визначаєтьсякут мiж векторами?

17. Сформулюйте теорему про скалярний добуток векторiв. Сформу�люйте властивiсть та ознаку перпендикулярних векторiв.

Графiчнi вправи1. Використавши тiльки косинець, побудуйте два рiвнi вектори.2. Дано паралелограм ABCD. Проведiть два вiдрiзки так, щоб на ри�

сунку утворилось якомога бiльше пар рiвних векторiв.

Ігровий момент

У ч и т е л ь. На аркушi паперу зображено два вектори�a i

�b. По�

ставте лише одне запитання i, вислухавши вiдповiдь, скажiть:1) чи колiнеарнi цi вектори;2) чи рiвнi вони?

Уснi вправи1. Серед наведених п’яти точок ( )A 2 1; , ( )B −2 2; , ( )C 1 3; , ( )D 3 3; ,( )E − −3 1; виберiть чотири такi, щоб вони були початком i кiнцем

двох рiвних векторiв.

2. Пiдберiть цiлi числа a, b, c1 i c2 у рiвностi ( ) ( ) ( )� � �a a b b c c c2 3 1 2; ; ;+ =

такi, щоб виконувалася рiвнiсть | |�c = 13.

3. Дано двi точки ( )A −3 2; i ( )B −2 3; . Знайдiть координати точки C,щоб виконувалася рiвнiсть:

1) AC CB��

= ; 2) AC BC��

= .4. Уявiть координатну площину. На нiй проведено вектор. Початок

вектора лежить на осi абсцис, кiнець — на осi ординат, а модульцього вектора дорiвнює 13. Назвiть координати кiнця i початкуцього вектора. Скiльки розв’язкiв має задача?

5. Доведiть, не користуючись рисунком, що

BC AB AD DC��

+ = + .


6. Знайдiть суму векторiв без рисунка:

1) AB BC CD��

+ + ; 2) MH HP PK KE��

+ + + ;

3) AB BC CA��

+ + ; 4) AB BC DA CD��

+ + + .

7. Що треба поставити замiсть крапок, щоб дiстати правильнурiвнiсть:

1) AB AD��

+ =… ; 2) OB AB��

− =… ?


1. ABCD —квадрат.Чи є нарисункурiвнiвектори;колiнеарнiвектори?

2. ABCD — ромб.Назвiть усi парирiвних векторiв,що зображенiна рисунку

3. Якi коорди�нати маєточка Cна рисунку?

4. СторонаквадратаOABCдорiвнює 6(рис).Якi координати

має вектор AM��

?

5. Дiагоналiромба ABCDдорiвнюють16 i 10.Якi коор�динатимають

вектори AB��

i AD��

?

6. ABCD —паралелограм.Чи правильно,

що CA a b��= +

� �,

DB a b��= −

� �?

7. На рисункуa b⊥ , причому

| |�a = 3, | |�b = 4.

Обчислiть:

| |� �a b+ , | |� �

a b−

8. На рисункуMN — середнялiнiя трикут�ника ABC.Як зв’язатизнакомрiвностiвектори

AB��

і MN��

?


( )A a;0

y ( )B b c; C

xO

Ox

C

ByA

M

CB

A D

A

D

OC

B

C

B

A

D

A

DC

B

�a

AB�b

x

y�a

�b

C

NM

O

Письмовi вправи1. Двi вершини прямокутника ABCD — точки ( )A 1 4; i ( )B 4 4; . Мо�

дуль вектора AC��

дорiвнює 13. Знайдiть координати вершин C i D.2. Кiнцi вектора розмiщенi в точка ( )A 1 4; i ( )B 4 7; . Визначте кути

мiж вектором AB��

i координатними осями.3. Модуль вектора дорiвнює 6. Знаючи, що кут мiж вектором та

вiссю абсцис дорiвнює 30°, обчислiть координати цього вектора.4. M — точка сторони BC трикутника ABC. Чи правильна рiвнiсть

AB AC CM BM��

− = − ?5. За яких умов виконується рiвнiсть:

1) 2 3� � � �a b a b− = − ; 2) 3 5 2

� � � �a b a b+ = + ; 3) 2 5

� �a a= ?

6. Визначте вид трикутника за координатами його вершин:1) ( )A 1510; , ( )B 117; , ( )C 315; ;2) ( )A 41; , ( )B 55; , ( )C 2 7; .

7. На площинi позначено точки A, B, C, D, E i F. Чи правильно, що

AB CD EF AF ED CB��

+ + = + + ?8. Хорди AB i CD кола iз центром O взаємно перпендикулярнi й пере�

тинаються в точцi M. Доведiть, що OA OB OC OD OM��

+ + + = 2 .

9 . Доведiть, що для будь�якої точки T площини й прямокутникаABCD виконується рiвнiсть TA TC TB TD2 2 2 2+ = + .

10 . Доведiть, що сума квадратiв дiагоналей трапецiї дорiвнює сумiквадратiв бiчних сторiн, доданiй iз подвоєним добутком основ.

Урок № 66Початковi вiдомостi зi стереометрiї

Контрольнi запитання з теорiї1. Опишiть взаємне розмiщення в просторi двох прямих; прямої

i площини; двох площин.2. Опишiть призму. Яка призма називається прямою; правильною?3. Опишiть паралелепiпед. Який паралелепiпед називається пря�

мим; прямокутним?4. Запишiть формули площ бiчної та повної поверхонь прямої призми.5. Опишiть пiрамiду. Яка пiрамiда називається правильною?6. Що таке апофема правильної пiрамiди? Запишiть формулу площi

бiчної поверхнi правильної пiрамiди.7. Запишiть формули об’ємiв прямої призми та пiрамiди.8. Опишiть цилiндр та його елементи.


9. Запишiть формули площ бiчної та повної поверхонь цилiндра.10. Опишiть конус та його елементи.11. Запишiть формули площ бiчної та повної поверхонь конуса.12. Опишiть кулю й запишiть формулу площi сфери.13. Запишiть формули об’ємiв цилiндрiв, конуса, кулi.


1. Основа прямої трикутної призми — прямокутний трикутник з ка�тетами 3 см i 4 см. Висота призми 10 см. Знайдiть площу повноїповерхнi призми.А) 126 см2; Б) 120 см2; В) iнша вiдповiдь.

2. Площа поверхнi куба — 150 м2. Знайдiть його об’єм.А) 125 см3; Б) 25 см3; В) iнша вiдповiдь.

3. Об’єм прямої призми, основа якої — правильний трикутник,дорiвнює 18 3 см3, а її висота — 8 см. Знайдiть сторону основипризми.

А)3

2см; Б) 3 см; В) iнша вiдповiдь.

4. Кiмната має розмiри 10 м, 6,5 м, 4 м. Обчислiть площу стiн, якi не�обхiдно побiлити, якщо площа вiкон i дверей становить 0,2 площiстiн.А) 100 м2; Б) 106 м2; В) 112 м2; Г) iнша вiдповiдь.

5. В основi прямої призми лежить рiвнобiчна трапецiя з основами4 см i 10 см i бiчною стороною 5 см. Бiчне ребро призми — 10 см.Обчислiть площу повної поверхні призми.А) 170 см2; Б) 176 см2; В) 186 см2; Г) 190 см2.

6. В основi прямої призми лежить ромб, дiагоналi якого дорiвнюють6 см i 8 см, а бiчне ребро — 20 см. Обчислiть об’єм призми.А) 960 см3; Б) 320 см3; В) 240 см3; Г) 40 см3.

7. Висота правильної трикутної пiрамiди дорiвнює 4 3 см, а висота її

основи — 2 3 см. Обчислiть об’єм пiрамiди.А) 48 см3; Б) 16 см3; В) 24 см3; Г) 18 см3.

8. Апофема правильної трикутної пiрамiди дорiвнює 6 см, а плоский

кут при вершинi 90°. Знайдiть площу бiчної поверхнi пiрамiди.А) 54 см2; Б) 108 см2; В) iнша вiдповiдь.

9. Плоский кут при вершинi правильної трикутної пiрамiди до�

рiвнює 60°, а бiчне ребро — 6 см. Знайдiть площу бiчної поверхнiпiрамiди.А) 27 3 см2; Б) 27 см2; В) iнша вiдповiдь.


10. В основi пiрамiди лежить трикутник зi сторонами 4 см, 5 смi 7 см. Висота пiрамiди дорiвнює 12 см. Обчислiть об’єм пiрамiди.

А) 16 3 см3; Б) 48 3 см3; В) iнша вiдповiдь.

11. Основою пiрамiди є ромб iз гострим кутом 30° i стороною 4 см. Об�числiть об’єм пiрамiди, якщо довжина її висоти дорiвнює 15 см.

А) 40 3 см3; Б) 40 см3; В) iнша вiдповiдь.

12. Висота правильної трикутної пiрамiди дорiвнює 6 3 см. Сторонаоснови пiрамiди — 4 см. Знайдiть об’єм пiрамiди.

А) 24 см3; Б) 72 см3; В) iнша вiдповiдь.

13. Площi основи та бiчної поверхнi правильної чотирикутної пiра�мiди дорiвнюють вiдповiдно 36 см2 та 60 см2. Знайдiть апофемуцiєї пiрамiди.

А) 5 см; Б) 2,5 см; В) iнша вiдповiдь.

14. У правильнiй чотирикутнiй пiрамiдi ребро основи дорiвнює 3 6 см.Об’єм пiрамiди — 54 см3. Знайдiть висоту пiрамiди.

А) 6 см; Б) 3 см; В) iнша вiдповiдь.

15. Площа бiчної поверхнi цилiндра дорiвнює 24π см2, а його об’єм —48π см3. Знайдiть його висоту.

А) 4 см; Б) 3 см; В) iнша вiдповiдь.

16. Площа бiчної поверхнi конуса дорiвнює 260π см2. Твiрна цьогоконуса — 20 см. Обчислiть синус кута мiж твiрною i висотою ко�нуса.

А)5

13; Б)

1

2; В) iнша вiдповiдь.

17. Знайдiть об’єм конуса, висота якого дорiвнює 9 см, а довжинакола основи — 8 π см.

А) 48π см3; Б) 144π см3; В) 72π см3; Г) iнша вiдповiдь.

18. Об’єми двох куль вiдносяться як 27:64. Як вiдносяться площi їхповерхонь?

А) 9:16; Б) 4:5; В) 3:8; Г) iнша вiдповiдь.

19. Знайдiть дiаметр кулi, якщо її об’єм дорiвнює2048

3

πсм3.

А) 8 2 см; Б) 16 2 см; В) 16 см; Г) iнша вiдповiдь.

20. У скiльки разiв збiльшиться об’єм кулi, якщо її радiус збiльшитив 3 рази?

А) У 9 разiв; Б) у 27 разiв; В) у 6 разiв; Г) iнша вiдповiдь.


Варiант 21. Основа прямої трикутної призми — прямокутний трикутник iз

катетом 5 см i гiпотенузою 13 см. Висота призми — 8 см. Знайдiтьплощу повної поверхнi призми.А) 270 см2; Б) 240 см2; В) iнша вiдповiдь.

2. Площа поверхнi куба — 96 см2. Знайдiть ребро куба.А) 16 см; Б) 4 см; В) iнша вiдповiдь.

3. Усi ребра прямої трикутної призми мають довжину 2 3 см.Знайдiть об’єм призми.

А) 18 см3; б) 18 3 см3; В) iнша вiдповiдь.

4. Веранда має розмiри 10 м, 2 м, 4 м. Обчислiть площу заскленоїчастини веранди, якщо вона становить 0,6 площi стiн.А) 57,6 м2; Б) 72 м2; В) iнша вiдповiдь.

5. В основi прямої призми лежить прямокутник зi стороною 6 смi дiагоналлю 10 см. Бiчне ребро призми — 10 см. Обчислiть повнуповерхню призми.А) 140 см2; Б) 146 см2; В) 280 см2; Г) 70 см2.

6. В основi прямої призми лежить прямокутник зi сторонами 8 смi 6 см. Бiчне ребро призми дорiвнює 10 см. Обчислiть об’єм призми.А) 240 см3; Б) 480 см3; В) 960 см3.

7. Основа пiрамiди — прямокутний трикутник iз катетами 6 смi 8 см. Висота пiрамiди дорiвнює 10 см. Обчислiть об’єм пiрамiди.А) 120 см3; Б) 480 см3; В) 80 см3; Г) 240 см3.

8. Сторона основи правильної чотирикутної пiрамiди дорiвнює 4 см,

а плоский кут при вершинi — 60°. Знайдiть площу бiчної по�верхнi пiрамiди.

А) 16 3 см2; Б)16

3см2; В) iнша вiдповiдь.

9. Плоский кут при вершинi правильної чотирикутної пiрамiди до�

рiвнює 45°, а бiчне ребро — 8 см. Знайдiть площу бiчної поверхнiпiрамiди.


10. Основа пiрамiди — прямокутний трикутник iз гiпотенузою 12 см

i гострим кутом 60°. Знайдiть об’єм пiрамiди, якщо висота її до�рiвнює 10 см.


11. Основою пiрамiди є ромб з дiагоналями 6 см i 9 см. Знайдiть об’ємпiрамiди, якщо її висота дорiвнює 11 см.А) 99 см3; Б) 297 см3; В) iнша вiдповiдь.


12. Знаючи, що сторона основи a = 9 см i бiчне ребро b = 6 см, знайдiтьвисоту правильної трикутної пiрамiди.А) 3 см; Б) 63 см; В) iнша вiдповiдь.

13. Об’єм правильної чотирикутної пiрамiди дорiвнює 48 см3, а висо�та — 4 см. Знайдiть сторону основи цiєї пiрамiди.А) 36 см; Б) 6 см; В) iнша вiдповiдь.

14. Знайдiть сторону основи правильної чотирикутної пiрамiди,

якщо її бiчне ребро утворює з площиною основи кут 45°, а площадiагонального перерiзу дорiвнює 36 см2.А) 6 см; Б) 6 см; В) iнша вiдповiдь.

15. Об’єм цилiндра дорiвнює 8 5π см3, а його висота — 2 5 см.Знайдiть дiагональ осьового перерiзу.А) 6 см; Б) 8 см; В) iнша вiдповiдь.

16. Площа бiчної поверхнi конуса — 21π см2, а довжина твiрної —7 см. Знайдiть площу основи конуса.А) 9π см2; Б) 3π см2; В) iнша вiдповiдь.

17. Об’єм конуса дорiвнює 15, π см3, а його висота — 2 см. Знайдiтьтангенс кута мiж висотою i твiрною конуса.

А) 6; Б)1

6; В) iнша вiдповiдь.

18. Площi поверхонь двох куль вiдносяться як 9:16. Як вiдносятьсяоб’єми куль?А) 21:56; Б) 27:64; В) 3:4; Г) iнша вiдповiдь.

19. Площа поверхнi однiєї кулi дорiвнює 393 см3. Знайдiть площу по�верхнi другої кулi, радiус якої у 3 рази менший, нiж заданої.А) 1179 см2; Б) 131 см2; В) 393 см2; Г) iнша вiдповiдь.

20. У скiльки разiв потрiбно збiльшити радiус кулi, щоб її об’ємзбiльшився у 8 разiв?А) У 2 рази; Б) у 4 рази; В) у 8 разiв; Г) iнша вiдповiдь.



1. Користуючись рисунком, знайдiтьпомилки в таблицi:

2. Чи перетинаються прямi: AC1

i BB1 (рис. 1); AD i BM (рис. 2)?

Вiдповiдь обґрунтуйте.

Рис. 1

Рис. 2

3. Яке взаємне розмiщення прямих AD1

i A B1 (рис.)? Вiдповiдь обґрунтуйте.4. У правильнiй чотирикутнiйпризмi B D1 5= см, AB1 4= см(рис.). Чому дорiвнює сторонаоснови призми?

5. У прямокутному паралелепiпедi(рис.) знайдiть B D1 , якщо AA1 5= .

6. У прямому паралелепiпедi(рис.) знайдiть довжину вiдрiзкаBD1.


Пря�мi

AB BB1 A D1 1

KP Перети�наються

Мимо�бiжнi

Перети�наються

C A1 1 Мимо�бiжнi

Ми�мобiжнi


C B1 Перети�наються


Ми�мобiжнi

A1

C1B1

A1

C1B1

B

D1

AC

D

DC

D1

AB

BA

D1

CD

B1

C1

A1

K

P

D

C AM

B

DC

A

D1

B

B1 C1A1

A1

C1B1

B

D1

AC

D60° 60°

DC

A

D1

B

B1

C1

A1

86

6

6

7. У пiрамiдi MABC (на рисунку)MO — висота. Чи можна вважати, щопiрамiда правильна?

8. Чому дорiвнює об’єм пра�вильної призми зображеної нарисунку?

9. Кожне ребро призми (рис.) дорiвнюєa. Чому дорiвнює її об’єм?

10. Якi об’ємиконусiв (рис.)?

11. Обчислiть бiчнуповерхню кожногоз конусiв (рис.)

12. Порiвняйте бiчнi поверхнiтiл (рис.)


O

60°

45Oa

R

ROOA

B

S

O

C

A

M

B

60°

a

90°

90°

60°

a

B

A

O

H

O

45

R

90°

O

1

2

3

6

8

90°

3

1

2

2a

ROR

Письмовi вправи1. Площини α i β перетинаються по прямiй AB, а площини β i γ — по

прямiй BC. Чи лежить точка B на прямiй AC? Зробiть рисунки.2. Дiагоналi трьох граней прямокутного паралелепiпеда дорiвнюють

10 см, 17 см i 3 29 см. Знайдiть площу повної поверхнi паралеле�пiпеда.

3. Доведiть, що всi гранi трикутної пiрамiди PABC рiвнi, якщо:а) PA BC= , PB AC= , PC AB= ;б) ∠ = ∠ABP BPC, ∠ = ∠APB CBP, ∠ = ∠APC BAP.

4. Знайдiть об’єм правильної чотирикутної пiрамiди PABCD з осно�вою ABCD, бiчне ребро якої дорiвнює m, а ∠ =APC 60 .

5. Прямокутник iз площею S обертається навколо сторони. Знайдiтьбiчну поверхню утвореного цилiндра.

6. Знайдiть об’єм цилiндра з площею основи Q i площею бiчної по�верхнi S.

Урок № 67Умова пiдсумкової тематичної контрольної роботи

Варiант 11. У ΔABC AC = 3 2 м, BC = 4м; ∠ =ABC 45 . Знайдiть (обчислiть):

а) сторону AB;б) площу трикутника ABC;в) радiус описаного кола;г) радiус вписаного кола.

2. Площа круга, вписаного у квадрат, дорiвнює 16π см2. Обчислiтьсторону квадрата, радiуси вписаного й описаного кiл.

3. Складiть рiвняння кола, що має центром точку ( )C 5 12;− i прохо�дить через початок координат.

4. Дiагональ i сторона прямокутника дорiвнюють вiдповiдно 25 i 24 см.Знайдiть площу подiбного прямокутника, периметр якого до�рiвнює 124 см.

5. За даними рисунка знайдiть:

а) скалярний добуток векторiв a i b такут мiж ними;

б) суму цих векторiв та її модуль;

в) рiзницю цих векторiв на її модуль;

г) модуль вектора: 2 3a b− .

6. Рiвностороннiй трикутник iз висотою4 3 см обертається навколо однiєї зi


y

0x

1

3

–3

ab

1

своїх медiан. Знайдiть об’єм та площу поверхнi фiгури, що утво�рилася при цьому.Варiант 2

1. У ΔCDF CD = 2 3 см, CF = 3 см, ∠ =DCF 60 . Обчислiть:

а) сторону DF;б) площу трикутника;в) радiус вписаного кола;г) радiус описаного кола.

2. Площа круга, описаного навколо правильного трикутника, до�рiвнює 9π см2. Визначте радiуси вписаного й описаного кiл три�кутника, а також площу трикутника.

3. Складiть рiвняння кола з центром у точцi ( )4 3;− , що проходить че�рез точку ( )11; .

4. Дiагоналi ромба дорiвнюють 6 м i 8 м.Знайдiть площу подiбного йому ромбаз периметром 80 м.

5. За даними рисунка визначте:а) скалярний добуток векторiв c i d ;кут мiж цими векторами;б) суму векторiв c i d та її модуль;в) рiзницю векторiв c i d та її модуль;

г) модуль вектора: − +21

2c d .

6. Квадрат обертається навколо сторони. Знайдiть площу поверхнiта об’єм фiгури, що утворилася, якщо радiус описаного кола на�вколо квадрата дорiвнює 2 м.


y

0x

1

2

–2d

c

1

4

5

Додаток 1

Завдання для усної роботи

Кути

1. Один із кутів, які утворилися при перетині двох прямих, дорів�нює 110°. Знайдіть величини всіх інших кутів.

2. Знайдіть величини суміжних кутів, якщо вони пропорційні чис�лам 5:7.

3. Різниця двох кутів, які утворилися при перетині двох прямих,дорівнює 20°. Знайдіть більший із цих кутів.

4. Сума трьох кутів, які утворилися при перетині двох прямих,дорівнює 265°. Знайдіть менший із цих кутів.

5. Один із внутрішніх односторонніх кутів при паралельних прямихі січній у 17 разів менше від другого. Знайдіть більший із цихкутів.

6. Один із зовнішніх кутів рівнобедреного трикутника дорівнює 40°.Знайдіть внутрішні кути цього трикутника.

7. Одна зі сторін вписаного кута проходить через центр кола, а другадорівнює його радіусу. Знайдіть величину відповідного централь�ного кута.

8. Трикутники ABC і ABD вписані в коло (точки C і D лежать по одинбік від прямої AB). Знайдіть величину ∠ADB, якщо ∠ =CAB 60 ,∠ =CBA 70 .

9. У трикутнику ABC ∠ =A 50 , ∠ =B 60 , ∠ =C 70 . Знайдіть кути,під якими видно сторони Δ ABC із центра кола, описаного навколонього; із центра кола, вписаного в трикутник.

Коло

1. Із точки A до кола проведені дотичні AB і AC. Знайдіть величинукута A, якщо ∠ =ABC 40 .

2. До кола з радіусом 5 см проведено дотичну в точці B. На дотичнійпозначено точку A на відстані 12 см від точки B. Знайдітьвідстань від точки A до центра кола.

3. Обчисліть площу круга, якщо довжина його кола дорівнює 18 π см.4. Визначте довжину кола, якщо площа його круга дорівнює 48 2π см2.5. У скільки разів збільшиться довжина кола, якщо площу його

круга збільшити в 16 разів?6. У крузі, площа якого 6 25, π см2, проведено хорду довжиною 3 см.

Знайдіть відстань від центра круга до хорди.


7. Знайдіть довжину хорди, яку видно із центра одиничного колапід кутом 45°.

8. Знайдіть довжину дуги AB, якщо хорда AB дорівнює радіусукола.

Трикутники

1. Кути трикутника пропорційні числам 3:7:8. Знайдіть величинунайменшого кута.

2. Сторони трикутника дорівнюють 8 м, 8 м і 6 м. Через серединийого бічних сторін проведено відрізок. Укажіть фігури, які утво�рилися, та знайдіть їх периметри.

3. Відрізок CD проходить через середину відрізка AB — точку O.Порівняйте довжини відрізків OD і OC, якщо ∠ = ∠OAD OBC.

4. Чи можна стверджувати, що два прямокутних трикутники рівні,якщо гіпотенуза і катет одного з них дорівнюють відповідно 5 смі 4 см, а другого — відповідно 5 см і 3 см?

5. Відомо, що один трикутник має кути 80° і 70°, а другий — 70° і 30°.Чи подібні ці трикутники?

6. У ΔABC ∠ =A 120 , AB = 3 м, AC = 2 м. Знайдіть площу квадрата,побудованого на стороні BC.

7. Знайдіть довжину кола, описаного навколо трикутника, якщоодна із його сторін дорівнює 2 см, а протилежний кут 45°.

8. Трикутник ABC вписаний у коло з діаметром AB = 1 дм. Знайдітькути ΔABC, якщо BC = 5см.

9. Дві сторони трикутника довжиною 6 см і 8 см утворюють кут 30°.Знайдіть висоту цього трикутника, яка проведена до сторони до�вжиною 8 м.

10. Площа трикутника 8 см. Знайдіть площі фігур, які утворяться,якщо в цьому трикутнику провести середню лінію.

11. Дві сторони трикутника дорівнюють 6 см і 5 см. В якому випадкуплоща цього трикутника може бути 16 см2?

Види трикутників

1. Один із кутів рівнобедреного трикутника дорівнює 92°. Знайдітьвеличини всіх інших кутів.

2. Периметр рівнобедреного трикутника дорівнює 26 м, а його осно�ва — 10 м. Знайдіть бічну сторону трикутника.


3. Знайдіть бічну сторону рівнобедреного трикутника, якщо йогомедіана дорівнює 12 см, а основа — 18 см. Розгляньте усі можливівипадки.

4. Знайдіть довжину бісектриси рівнобедреного трикутника, якщойого основа дорівнює 8 см, а кут при основі — 30°. Розгляньте усіможливі випадки.

5. Знайдіть площу прямокутного трикутника з гіпотенузою 2 6і гострим кутом 60°.

6. Знайдіть площу прямокутного трикутника з гострим кутом 45°,якщо один із катетів дорівнює 3 см.

7. Катети трикутника дорівнюють 9 см і 12 см. Знайдіть проекціюменшого катета на гіпотенузу.

8. Знайдіть площу рівнобедреного трикутника, якщо його бічнасторона дорівнює 5 см, а висота — 4 см. Розгляньте усі можливівипадки.

9. Знайдіть довжину кола, описаного навколо рівностороннього три�кутника зі стороною 12 3 см.

10. Катети прямокутного трикутника дорівнюють 9 см і 12 см. Знай�діть радіуси описаного і вписаного кіл.

11. Основа рівнобедреного трикутника дорівнює 6 см, а висота, прове�дена до основи, — 4 м. Знайдіть радіуси описаного і вписаного кіл.

Чотирикутники

1. Що це за паралелограм, якщо: а) жоден із його кутів не є тупим;б) навколо нього можна описати коло; в) у нього можна вписатиколо?

2. Знайдіть сторону ромба, якщо його діагоналі дорівнюють 8 смі 6 см.

3. Висота ромба ABCD лежить на бісектрисі кута ABD. Визначте кутиромба.

4. Знайдіть сторону квадрата, рівновеликого прямокутнику зі сто�ронами 4 см і 9 см.

5. Сторони паралелограма дорівнюють 9 см і 6 см, а гострий кут —30°. Знайдіть висоту цього паралелограма, яка проведена до сто�рони довжиною 9 см.

6. Знайдіть площу прямокутника, якщо кут між його діагоналями30°, а діаметр описаного кола дорівнює 4 м.

7. Знайдіть площу паралелограма, якщо його сторони дорівнюють 3 смі 2 см, а висоти утворюють кут 60°.


8. AM і BK — бісектриси кутів паралелограма ABCD, AM = 6 см,BK = 8 см. Знайдіть площу чотирикутника ABMK.

9. Із точки перетину діагоналей паралелограма проведено відрізокдовжиною 5 см під кутом 30° до сторони паралелограма. Знайдітьвисоту паралелограма, проведену до цієї ж сторони.

10. Висота паралелограма утворює з його стороною кут 20°. Знайдітькути паралелограма.

11. З однієї вершини паралелограма проведені бісектриса і висота,кут між ними становить 32°. Знайдіть кути паралелограма.

12. Бісектриса тупого кута паралелограма дорівнює 5 см і перетинаєйого сторону під кутом 60°. Знайдіть меншу сторону паралело�грама.

13. Бісектриса кута паралелограма ділить його сторону на відрізки9 см і 6 см. Знайдіть периметр паралелограма.

14. Середня лінія трапеції дорівнює 6 см. Обчисліть периметр цієїтрапеції, якщо відомо, що її можна розрізати на ромб і рівносто�ронній трикутник.

15. У рівнобічній трапеції основи дорівнюють 26 см і 14 см, а бічнасторона — 10 см. Знайдіть висоту цієї трапеції.

16. Кути при основі трапеції дорівнюють 90° і 45°. Одна з основ утричібільша від другої і дорівнює 18 см. Знайдіть меншу бічну сторонутрапеції.

17. Основи рівнобічної трапеції дорівнюють 17 см і 9 см, а кут міжбічною стороною і основою — 45°. Знайдіть площу трапеції.

18. Знайдіть площу рівнобічної трапеції, висота якої дорівнює 7 см,а діагоналі взаємно перпендикулярні.

Многокутники

1. Знайдіть кількість сторін опуклого многокутника, сума вну�трішніх кутів якого дорівнює 180°.

2. Знайдіть довжину кола, вписаного у квадрат зі стороною 6 см.3. Знайдіть відношення довжини кола, вписаного у квадрат, до пе�

риметра цього квадрата.4. Знайдіть площу рівностороннього трикутника, вписаного в коло

радіусом 3 см.5. Знайдіть площу рівностороннього трикутника, описаного навко�

ло кола діаметром 4 см.6. Знайдіть площу круга, вписаного в правильний шестикутник зі

стороною 2 3 см.7. Знайдіть периметр правильного шестикутника, навколо якого

описане коло діаметром 8 см.


Декартові координати і вектори на площині

1. Знайдіть координати середини відрізка OA, де O — початок коор�динат, ( )A −4 6; .

2. Точка ( )C −4 5; — середина відрізка AB. Знайдіть координати точ�ки A, якщо ( )B 3 4;− .

3. Яка довжина відрізка AB, якщо ( )A 2 0; , ( )B 0 3; ?4. Знайдіть площу геометричної фігури, яка обмежена лінією, зада�

ною рівнянням ( ) ( )x y− + + =1 2 362 2

.

5. Відрізок AB — діаметр деякого кола. Яке рівняння цього кола,якщо ( )A 3 4;− , ( )B 1 2;− ?

6. Визначте ординату точки, яка лежить на прямій 3 15x y− = , якщоїї абсциса дорівнює 12.

7. Визначте абсцису точки, яка лежить на прямій 2 7 13x y+ = , якщоїї ордината дорівнює 2.

8. Знайдіть площу трикутника, утвореного осями координат і пря�мою − − + =2 4 0x y .

9. Дано точки ( )B 2 1; i ( )A 1 2; . Чи правильно, що вектор АВ дорівнює

вектору ( )а −1 1; ?10. При яких значеннях х і у, виконується рівність a b c+ + = 0, якщо

( )a 1 3; − ; ( )b −3 1; і ( )с х у; .12. Знайдіть c a b= +2 та його абсолютну величину, якщо ( )a − −3 12; ;( )b 3 4; .

13. Чи перпендикулярні вектори ( )a b; i( )−b a; ?

14. Чи існують такі вектори а і b, що а = 3, b = 5і а b⋅ = 16?

15. Знайдіть кут між векторами ( )a 9 6;− і ( )b 2 3; .

Завдання для письмової роботи № 1

Варіант 1 Варіант 2 Що необхідно знати

1. Довжина коладорівнює 8 3π см.Знайдіть довжину хор�ди, яка стягує дугу120°

1. Знайдіть довжинукола, якщо його хордадовжиною 2 3 см стя�гує дугу 120°

Довжина кола;

градусна міра дугикола;

теорема косинусів (аботеорема синусів і за�лежність між централь�ним кутом і кутом,вписаним у коло)



2. Величина кута привершині рівнобедреноготрикутника 120°, а дов�жина основи дорівнює8 2 см. Знайдіть дов�жину бісектриси, про�веденої до бічної сторо�ни трикутника

2. Величина кута привершині рівнобедреноготрикутника 120°, а дов�жина бісектриси, про�веденої до бічної сторо�ни, дорівнює3 2 см. Знайдіть основуцього трикутника

Сума кутів трикутни�ка;

означення рівнобедре�ного трикутника;

властивість кутів рівно�бедреного трикутника;

означення бісектриситрикутника;

теорема синусів

3. Сторони трикутникадорівнюють 5 см,2 см, 2 см. Знайдітьдовжину медіани, про�веденої до меншої сто�рони

3. Дві сторони трикут�ника дорівнюють 3 смі 5 см. Знайдіть третюсторону трикутника,якщо медіана, яка про�ведена до неї, дорівнює

3 см

Означення медіани три�кутника;

наслідок із теореми ко�синусів

4. Катети прямокутно�го трикутника дорівню�ють 30 см і 40 см.Знайдіть синус, коси�нус і тангенс кута міжмедіаною і висотою,проведеними до гіпоте�нузи

4. Один із катетів пря�мокутного трикутникадорівнює 40 см, а медіа�на, проведена до гіпоте�нузи, — 25 см. Знайдітьсинус, косинус і тангенскута між медіаною і ви�сотою, проведеними догіпотенузи

Означення і властивостімедіани і висоти, прове�дених до гіпотенузи;

теорема Піфагора;

означення синуса, ко�синуса і тангенса кутапрямокутного трикут�ника

5. Із точки A до колаз центром у точці Oпроведені дотичні ABі AC. Знайдіть довжинудуги BC, якщоAC = 3 см,AO = 2 3 см

5. Із точки A до колаз центром у точці Oпроведені дотичні ABі AC. Знайдіть довжинудуги BC, якщоAC = 3 3 см,∠ =ОAC 30

Означення і властивос�ті дотичних до кола;

співвідношення між сто�ронами і кутами прямо�кутного трикутника;

формула для обчислен�ня довжини дуги кола

6. У трапеції ABCDбічні сторони AB і CDпродовжені до перети�ну в точці M. Знайдітьдовжину відрізка MC,якщо AB = 1 м,CD = 3 м, BM = 2 м

6. У трапеції ABCDбічні сторони AB і CDпродовжені до перети�ну в точці M. Знайдітьдовжину відрізка AB,якщо BM = 4 см,MC = 12 см, CD = 6 см

Означення трапеції;

ознаки подібності три�кутників




1. У чотирикутникуABCD, вписаномув коло з центрому точці O, ∠ =C 110 .

Знайдіть величину∠BOD

2. Чотирикутник ABCDвписаний у коло з цен�тром у точці O. Знай�діть ∠BCD, якщо∠ =BOD 160

Властивість кутів чоти�рикутника, вписаногов коло;

залежність між кутом,вписаним у коло івідповідним йому цент�ральним кутом

2. Знайдіть довжинукола, описаного навко�ло прямокутника, пло�ща якого дорівнює36 см2, а кут між діаго�налями — 30°

2. Знайдіть довжинукола, описаного навко�ло прямокутника, пло�ща якого дорівнює16 см2, а кут між діаго�налями — 30°

Формула для обчислен�ня площі прямокутни�ка за діагоналями такутом між ними;

формула для обчислен�ня довжини кола

3. Сторони паралелог�рама дорівнюють 5 смі 10 см, а тупий кут —120°. Знайдіть меншудіагональ паралелогра�ма

3. Сторони паралелог�рама дорівнюють 3 смі 5 см, а гострий кут —60°. Знайдіть більшудіагональ паралелогра�ма

Властивості сторіні кутів паралелограма;

теорема косинусів

4. У паралелограміABCD висота BK.Відомо, що∠ =ABK 30 , AK = 6 см,

KD = 10 см. Знайдітьплощу паралелограма

4. У паралелограміABCD проведено висотуBK. Відомо, що∠ =ABK 30 , AB = 8 см,

KD = 6 см. Знайдітьплощу паралелограма

Розв’язування прямо�кутних трикутників;

формули для обчислен�ня площі паралелогра�ма

5. Кути при основі тра�пеції дорівнюють 30°.Знайдіть площу трапе�ції, якщо її меншаоснова — 4 см, а бічнасторона — 2 3 см

5. Кути при основі тра�пеції дорівнюють 30°.Знайдіть площу трапе�ції, якщо її більшаоснова — 12 см, а бічнасторона — 2 3 см

Означення і власти�вості рівнобічної тра�пеції;

розв’язування прямо�кутних трикутників;

формула для обчислен�ня площі трапеції

6. У рівнобічній тра�пеції бічна сторонаі верхня основа дорів�нюють 4 см, а нижняоснова — 8 см.Знайдіть кути трапеції

6. Основи рівнобічноїтрапеції дорівнюють10 см і 16 см, а бічнасторона — 6 см.Знайдіть кути трапеції

Означення і власти�вості рівнобічної тра�пеції;

означення косинусакута прямокутноготрикутника




1. Знайдіть радіускола, описаного навко�ло трикутника зі сторо�нами 9 см, 8 см і 7 см

1. Знайдіть радіускола, вписаного в три�кутник зі сторонами9 см, 8 см і 7 см

Формула Герона;

формули для радіусівкола вписаного в три�кутник і описаного на�вколо нього

2. Знайдіть кут між ви�сотами паралелограма,якщо його сторонидорівнюють 5 см і 6 см,а площа — 15 2 см2

2. Знайдіть кут між ви�сотами паралелограма,якщо його сторонидорівнюють 4 см і 7 см,а площа — 14 3 см2

Формула для обчислен�ня площі паралелогра�ма;

властивість кута міжвисотами паралелогра�ма

3. Бісектриса гострогокута паралелограмаутворює з його сторо�ною кут 15° і ділитьпротилежну сторону навідрізки 3 см і 5 см.Знайдіть площу пара�лелограма

3. Бісектриса тупогокута паралелограмаутворює з його сторо�ною кут 75° і ділитьпротилежну сторону навідрізки 4 см і 3 см.Знайдіть площу пара�лелограма

Означення бісектрисикута;

властивість бісектрисикута паралелограма;

формула для обчислен�ня площі паралелогра�ма

4. Знайдіть площу три�кутника ABC, якщовідомі координати йоговершин: ( )A −2 3; ,( )B 2 1;− , ( )C − −2 1;

4. Знайдіть площу три�кутника ABC, якщовідомі координати йоговершин: ( )A − −2 1; ,( )B 4 3; , ( )C 4 1;−

Зображення точок накоординатній площині;

формула для обчислен�ня площі трикутника

5. Знайдіть довжинумедіани BM трикутни�ка ABC, якщо ( )A −1 2; ,( )B 4 4; , ( )C 3 2;−

5. Знайдіть довжинумедіани BM трикутни�ка ABC, якщо ( )A 4 0; ,( )B 1 1;− , ( )C 6 4;

Означення медіани три�кутника;

координати серединивідрізка;

відстань між двоматочками

6. Вершини трикутни�ка ABC мають такі ко�ординати: ( )A 2 1; ,( )B 5 4; , ( )C 6 1;− . Знайдіть

косинус кута A

6. Вершини трикутни�ка ABC мають такі ко�ординати: ( )A −2 2; ,( )B 0 2; , ( )C 1 1;− . Знай�

діть косинус кута A

Координати вектора;

абсолютна величинавектора;

скалярний добуток век�торів;

формула для обчислен�ня косинуса кута міжвекторами



Варіант 1 Варіант 2

1. Площа рівностороннього трикут�ника дорівнює 100 3 см2. Знайдітьрадіус вписаного кола у трикутник.

Відповідь. ___

1. Знайдіть радіус кола, вписаногов рівнобедрений трикутник з осно�вою 16 см і периметром 36 см.

Відповідь.___

2. Знайдіть радіус описаного коланавколо прямокутника зі сторонами6 см і 8 см.


2. Знайдіть радіус описаного коланавколо правильного трикутниказ периметром 48 см.


3. Периметр трикутника дорівнює48 см, а площа — 96 см2. Знайдітьрадіус кола, вписаного у трикутник.


3. Знайдіть радіус кола, вписаногоу трикутник зі сторонами 78 см,75 см і 51 см.


4. Сторони трикутника дорівнюють25, 29 і 36 см. Знайдіть радіускола, описаного навколо трикутни�ка.


4. Знайдіть радіус кола, вписаногов прямокутний трикутник з гіпоте�нузою 50 см і катетом і 40 см.


5. Катети прямокутного трикутникадорівнюють 10 см і 24 см. Знайдітьрадіус кола, вписаного у трикут�ник.


5. Знайдіть радіус кола, описаногонавколо трикутника з кутом 135° тастороною протилежною до нього, —12 2.


6. Кут трикутника дорівнює 120°,а протилежна йому сторона — 10.Знайдіть радіус кола, описаного на�вколо трикутника.


6. Знайдіть радіус кола, описаногонавколо квадрата зі стороною 6 см.


7. Знайдіть радіус кола, вписаногоу квадрат, якщо його діагональдорівнює 14 2 см.


7. Знайдіть радіус кола, вписаногоу ромб зі стороною 10 см і гостримкутом 60°.


8. Одна діагональ ромба дорівнює24 см, сторона — 13 см. Знайдітьрадіус кола, вписаного у ромб.


8. Знайдіть радіус кола, описаногонавколо прямокутника з кутом міждіагоналями 60° і меншою стороною6 см.



Додаток 2

Кути

Опорний конспект

Вертикальні ∠AOD і ∠BOC — вертикальні;

∠AOC і ∠BOD — вертикальні.

∠ = ∠AOD COB; ∠ = ∠DOB COA

Суміжні ∠AOC і ∠COB — суміжні.

∠ + ∠ =AOC COB 180

Внутрішніодносторонні

∠ 1 і ∠ 2; ∠3 і ∠4 — внутрішніодносторонні.

Якщо ∠ + ∠ =1 2 180

(∠ + ∠ =3 4 180 ), то a b| |

Внутрішнірізносторонні

∠ 1 і ∠4; ∠2 і ∠3 — внутрішнірізносторонні.

Якщо ∠ = ∠1 4 (∠ = ∠2 3), тоa b| |

Зовнішній куттрикутника

∠BCD — зовнішній кут ΔABCпри вершині C.

∠ = ∠ + ∠BCD A B.

Сума зовнішніх кутівтрикутника, взятих по одномупри кожній вершині, дорівнює360°


A

D

O C

B

B

C

O

a

A

b1

a

c

3

24

2

c

b 3

4

1

B

CA D

Вписані в коло ∠BAC — вписаний у коло;спирається на дугу BC (хордуBC).

Вписані кути, що спираютьсяна одну дугу, рівні.

O — центр кола.

Вписані кути, що спираютьсяна діаметр, прямі.

Центр кола, описаного навколопрямокутного трикутника, —середина гіпотенузи

Якщо в чотирикутнику сумапротилежних кутів дорівнює180°, то його можна вписатив коло

Центральні O — центр кола; ∠AOB —центральний кут відповідаєвписаному куту ∠ACB.

∠ = ∠AOB ACB2


180 −α

α

О

D

C

B

A

О C

B

D

A

A

B

C

2αО

α

Коло


Точка O — центр кола.

OA R= — радіус.

BC d= — діаметр, d R= 2 .

DF — хорда.

Довжина кола C R= 2π .

Площа круга S R= π 2

AB і AC — дотичні до кола

OB AC⊥ , OC AC⊥ ,

AB AC= ,

AE — січна.

Властивість січних і дотичних

АВ AD AE2 = ⋅ .

Властивість хорд

DM ME NM MK⋅ = ⋅

AB — дуга кола.

Довжина дуги lR= π ϕ

180.

Градусна міра дуги — градусна міравідповідного центрального кута


Оd

B

D

A

C

О

A

BϕО

R

A

B

R

F

C

N

D

K

M

Е

Трикутники


∠ + ∠ + ∠ =A B C 180 MK — середня лінія,

MK AC| | , MKAC=2

BM — медіана (M — середина AC)

MD

DB= 1

2.

S SABM MBC= .

Будь�який трикутник трьома медіа�нами ділиться на 8 рівновеликихтрикутників

BN — бісектриса (∠ = ∠ABN CBN)

AB

AN

BC

CN= ,

точка N — рівновіддалена відсторін кута AB і BC

BK — висота трикутника АВС (BK AC⊥ )


B

AC

NCA

B

M

C

A

B

M

CA

B

D

K

A C

B

K A C

B

K

гострий тупий

Ознаки рівності трикутників Ознаки подібності трикутників

Задвомасторо�намиі кутомміжними

a a= 1, b b= 1, α α= 1

a

a

b

b1 1

= , α α= 1

Затрьомасторо�нами

a a= 1, b b= 1, c c= 1a

a

b

b

c

c1 1 1

= =

За сто�роноюі при�лег�лимикутами

a a= 1, α α= 1, β β= 1

Задвомакутами

α α= 1, β β= 1


aα

b b1

α1

a1= ~ a1

α1

b1b

αa

c

b

a a1

b1

c1

=c

b

a

b1

c1a1

βα=

a a1

α1 β1

β1α1

~α β

~

Розв’язування трикутників


Теорема синусів Теорема косинусів

a b c

sin sin sinα β γ= = a b c bc2 2 2 2= + − ⋅cosα

cosα = + −b c a

bc

2 2 2

2

Застосову�ється длязнахо�дження:

невідомих сторін або кутів трикутника

радіуса кола, описаногонавколо трикутника

Ra=

2sinα

діагоналей паралелограма

( )d d a b12

22 2 22+ = +

або медіан трикутника

Центр кола

Описаного навколо трикутника — точка перетину серединнихперпендикулярів до його сторін

Гострокутнийтрикутник

Центр описаного колазнаходитьсявсерединітрикутника.

Прямокутнийтрикутник

Центр описаногокола — середина

гіпотенузи, RAB=2

.

Тупокутнийтрикутник

Центр описаного колазнаходиться зовнітрикутника

Rabc

S=

4, де а, b i c — сторони трикутника, S — його площа


a b

c

αβ

γ

αc

ba

О R

R

О

R

О

С

ВА

Вписаного в трикутник — точка перетину бісектрис його кутів

Центр кола, вписаного у будь�який трикутник, знаходиться всерединітрикутника

rS

a b c=+ +2

. ∠ = °+ ∠АОСАВС

902

Площа трикутника

Sa h= ⋅

2S

ab=2

sinα( )( )( )S p p a p b p c= − − − ,

pa b c= + +

2(формула

Герона)

Sabc

R=

4 ( )S

a b c r=

+ +2


r

a

ha

bα

c

ba

R

b

c

a

b

a

c

r

Оa

b

c

С

А

В

Корисні факти


Вид трикутника Властивості і співвідношення

Рівнобедрений

a b= — бічністорони,c — основа

Кути при основі рівні.

Медіана, бісектриса і висота, прове�дені до основи, співпадають

h hS

aa b= = 2; h a cc = −1

24 2 2 ;

Sc

a c= −4

4 2 2 ; Ra

hc

=2

2;

( )r

c a c

hc

=−2

4

Рівносторонній

Усі сторонирівні

Усі кути рівні і дорівнюють 60

Центри вписаного й описаного кілспівпадають

ha= 3

2; S

a=2 3

4; R

a=3

; ra=

2 3

Прямокутний a b c2 2 2+ = (теорема Піфагора)

α β+ = 90 ,

a c= sinα, b c= cosα, a b= tgα.

Δ Δ ΔADC DBC ABC~ ~ .

a c a21= ⋅ , b c b2

1= ⋅ ,

h a b21 1= ⋅ , а BD1 = , b DA1 = ,

hab

c= , m

c=2

, Sch ab= =2 2

.

Центр описаного кола — серединагіпотенузи

R c= 1

2, r

a b c= + −2

Прямо�кутнийрівнобед�рений

a b=

a bc= =2

,

α β= = 45 ,

hc=2

, Sc a= =

2 2

4 2


hahb

hca

c

b

a

a

ah

m

C

B

A

h

a

b

c

b1

a1β

α

OD

α

βc

b

a

h

A

B

C

Чотирикутники


Вписані

∠ + ∠ =A C

= ∠ + ∠ =B D 180

Описані

AB CD AD BC+ = + ,S p r= ⋅

(p — півпериметр)

Площа

SAC BD= ⋅ ⋅

2sinα

Многокутники


Сума кутів опуклого n �кутника дорівнює ( )180 2n − .

Многокутник правильний, якщо всі сторони рівні, всі кути рівні.

Внутрішній кут правильного многокутника дорівнює( )180 2n

n

−.

Правильний опуклий многокутник є:

вписаним у коло центри кіл співпадають —

описаним навколо кола центр многокутника.

Радіуси описаного (R) і вписаного (r) кола для правильного многокутникаіз стороною a

Кількістьсторін

R r a

n a

n2

180sin

a

n2

180tg

2180

Rn

sin ; 2180

rn

tg

3 a

3

a

2 3R 3; 2 3r

4 a

2

a

2R 2; 2r

6 a a 3

2R;

2

3

r


A rRA

B

C

D

B

C

D

α

BC

AD

Окремі випадки чотирикутників

Вид чотирикутника Властивості і співвідношення

Паралелограм

a c| | , b d| |

a c= ; b d= ; α γ= ; β δ= ;

α β β γ γ δ δ α+ = + = + = + = 180 .

Діагоналі перетинаються і в точціперетину діляться навпіл.Сума квадратів сторін дорівнюєсумі квадратів діагоналей:

( )a b c d a b l f2 2 2 2 2 2 2 22+ + + = + = + ,

S ab a hl f= = ⋅ = ⋅sin sinα ϕ2

Прямокутник a c= , b d= .

Всі кути прямі.

Діагоналі рівні.

S abl= =

2

2sinϕ

Ромб

a c| | , b d| | , a b=

Всі сторони рівні.

Діагоналі взаємно перпендикулярні.

Діагоналі є бісектрисами кутів

S alf= =2

2sinα

Квадрат

a c| | , b d| | ,

α = 90

Всі сторони рівні. Всі кути прямі.

Діагоналі рівні.

l a= 2, S al= =2

2

2

Трапеція Середня лінія m (відрізок, якийз’єднує середини бічних сторін)паралельна основам і дорівнює їхпівсумі:

ma c= +

2.

Sa c

h m h= + ⋅ = ⋅2


c

β γ

d

a

b hϕf

δα l

dα

lϕ b

a

c

a

lα

l ba

m

f

c

a

bhd

Корисні властивості паралелограма

1 Бісектриси сусідніх кутів взаємноперпендикулярні

AM BK⊥

2 Бісектриса кута відтинає напротилежній стороні відрізок, якийдорівнює прилеглій стороні

AB BM=

3 Відрізок, який з’єднує протилежністорони і проходить через точкуперетину діагоналей, ділиться цієюточкою навпіл.

OM OK=

4 Кут між висотами паралелограма,що проведені з тупого кута,дорівнює його гострому куту.

∠ = ∠1 2

Якщо трапеція рівнобічна

AB CD=

Кути при основах рівні: ∠ = ∠A D,∠ = ∠B C

Діагоналі рівні: AC BD=

AK MDAD BC= = −

2

Якщо діагоналі рівнобічної трапеції взаємно перпендикулярні,

то висота BKAD BC= +

2


K

B

A D

M C

CM

DA

B

B

A D

K

C

1

M

M

O

CK

DA

B

2

B

A DK

C

O

M

C

K DA

B

Декартові координати і вектори на площині


( )A x y1 1; , ( )B x y2 2; .Координати середини відрізка AB:

xx x= +1 2

2; y

y y= +1 2

2.

Відстань між точками A і B:

( ) ( )AB x x y y= − + −2 1

2

2 1

2

Рівняння кола:

( ) ( )x a y b R− + − =2 2 2.

Рівняння прямої: ax by c+ + = 0

Вектори на площині

Координати вектора a:

( )a x x y y2 1 2 1− −; .

Абсолютна величина вектора a:

| | ( ) ( )a x x y y= − + −2 1

2

2 1

2

Дії над векторами

Додавання векторів: ( ) ( ) ( )a a a b b b c a b a b1 2 1 2 1 1 2 2; ; ;+ = + + .

Множення вектора на число: ( ) ( )a a a a1 2 1 2; ;⋅ =λ λ λ .

Скалярний добуток векторів: ( ) ( )a a a b b b a b a b1 2 1 2 1 1 2 2; ;⋅ = + або

| | | |a b a b⋅ = ⋅ ⋅cosα (α — кут між векторами)

| | | |cosα = ⋅⋅⇔ ⊥a b

a ba b , якщо a b⋅ = 0 (a ≠ 0, b ≠ 0)


у

y2

x1 x2 х

y1

0

B

A

x x1 2

2

+

y y1 2

2

+

( )A x y1 1;

( )B x y2 2;

0х

a

у

у

b

х0 a

R

Література

1. Єршова А. П., Голобородько В. В., Крижановський О. Ф. Геометрія. 9 клас. —Х.: Ранок, 2009.

2. Нелін Є. П. Геометрія в таблицях: Навчальний посібник для учнів стар�ших класів. — Х.: Світ дитинства, 1997.

3. Бурда М. І. та ін. Збірник завдань для державної підсумкової атестаціїз математики. 11 клас. — Х.: Гімназія, 2008.

4. Литвиненко Г. М., Федченко Л. Я. Збірник завдань для письмового екза�мену з математики за курс 7–9 класів загальноосвітніх шкіл, ліцеїв,гімназій. — Х: ТОВ «ББН», 2000.

5. Єршова А. П., Голобородько В. В., Єршова Г. С. Самостійні та контрольні ро�боти з алгебри і геометрії для 9 класу. — М.–Х.: Ілекса, Гімназія, 2004.

6. Мерзляк А. Г., Полонський В. Б., Рабінович Ю. М., Якір М. С. Збірник задачі завдань для тематичного оцінювання з геометрії для 8 класу. — Х.:Гімназія, 2003.

7. Мерзляк А. Г., Полонський В. Б., Рабінович Ю. М., Якір М. С. Збірник задачі завдань для тематичного оцінювання з геометрії для 9 класу. — Х.:Гімназія, 2003.

8. Раухман А. С., Сень Я. Г. Устные упражнения по геометрии для 7–11 клас�сов. — К.: Радянська школа, 1989.

9. Лоповок Л. М. Сборник задач по геометрии для 6–8 классов. — К.: Ра�дянська школа, 1985.

10. Моргун О. О., Фурман М. С. Геометрія. 8 клас. — Х.: Вид. група «Основа»,2005.

11. Моргун О. О., Фурман М. С., Сильвестрова І. А. Геометрія. 9 клас. — Х.:Вид. група «Основа», 2006.

12. Матюшко І. С. та ін. Завдання з геометрії для 7 класу. — К.: Радянськашкола, 1988.

13. Шуба М. Ю. Занимательные задания в обучении математике. — М.: Про�свещение, 1995.

14. Старова О. О., Маркова І. С. Готуємось до підсумкової атестації, зовнi�шнього незалежного оцінювання: Посібник для вчителя. — Х.: Вид. група«Основа», 2008. — (Серія «Підготовка до ЗНО»).


smirnovanm.ucoz.ruУДК 512 ББК 22.14 Б12 БабенкоС.П....

Documents

Transcript of smirnovanm.ucoz.ruУДК 512 ББК 22.14 Б12 БабенкоС.П....