- 5 - Optimisation linéaire et non-linéaire
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Sujets abordés
Introduction à la programmation (optimisation) linéaire
Concept, formulation Illustration à l’aide d’Excel
Introduction à l’optimisation non-linéaire Concept, formulation Illustration à l’aide d’Excel
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Introduction
Qu’est-ce que la programmation linéaire?
« La programmation linéaire est une méthode mathématique qui s'inscrit dans une recherche
d'optimisation »
Il y a une fonction objective et des contraintes Nous tenterons de minimiser ou maximiser la fonction objective tout
en respectant les contraintes
Les équations sont de premier degré Les variables sont élevées à la puissance 1 Il s’agit donc de droites et non de courbe (d’où le terme linéaire)
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Introduction
Pourquoi étudier la programmation linéaire?
Populaire en administration, surtout en gestion des opérations
Optimisation des flux de transport Planification de la production
En finance, la programmation linéaire peut : Optimiser la prise de décisions (où, quand, combien ?)
Décisions d’investissement Décisions d’emprunt Décisions de placement
Optimiser l’encaisse (gestion de la liquidité)
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Introduction*** Il existe de nombreux cours de 45 heures consacrés à ce
sujet (ex : IFT-2106 et MQT-60801)
Ce qui est à l’étude dans le cadre de GSF-2107:
Écriture d’un problème de programmation linéaire Bien définir la fonction objective Bien définir les contraintes
Résoudre un problème simple d’optimisation Méthode du simplexe avec le solveur d’Excel
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Définir les équations Il faut écrire l’objectif et les contraintes sous la forme
d’équations mathématiques1. Définir les variables de décisions (X1, X2, … Xn)
2. Définir la fonction objective à l’aide des variables de décision
3. Définir les contraintes représentant les restrictions
C’est une étape cruciale qui nécessite de bien analyser le problème auquel nous sommes confrontés
Les contraintes sont parfois explicites Nous devons le plus souvent les déduire
Il y a généralement de nombreuses contraintes Des actions peuvent être pris à chaque période et il est
nécessaire de fixer des contraintes pour chaque période
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Définir les équations La forme usuelle des équations est la suivante :
nXXX n2211 c...cc :Max/Min Objectif :
Contraintes :
11n212111 a...aa bXXX n
22n222121 a...aa bXXX n
33n232131 a...aa bXXX n
mn bXXX mn2m21m1 a...aa
0,...,, 21 nXXX
•
•
•
Contraintes p
our chaque période (périod
es 1 à m)
Contrainte de non négativité
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Exemple
Exemple
Le gestionnaire d’une entreprise de fabrication de meubles de mélamine doit planifier la production du prochain mois. Il doit choisir le nombre optimal de bureaux de travail, de tables d’ordinateur et de classeurs à fabriquer.
- Le budget prévu pour la production est 100 000 $
- Les employés peuvent travailler un maximum de 1500 heures
- L’entrepôt peut contenir un maximum de 150 m3
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Définir les équations
Exemple (suite)
321 $350$70000$X4 W:Max XX Objectif :
Contraintes :
$000100$250$005$003 321 XXX
0,, 321 XXX
hrshrsXhrsXhrsX 5001163220 321
Puisqu’il est impossible de fabriquer un nombre négatif de meubles…
33
32
31
3 150233 mXmXmXm
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Méthode du simplexe
Comment résoudre un problème de ce type?
Il est difficile de représenter graphiquement un problème comprenant plus de 2 variables
Intuitivement, plus on ajoute de variables, plus il y aura de « sommets » représentant une solution potentielle
Nous utiliserons la méthode du simplexe pour résoudre ces problèmes
Élaborée en 1947 par G. Dantzing Permet de se déplacer rapidement entre plusieurs points
candidats (optimum locaux) jusqu’à trouver une solution
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Méthode du simplexe
Les étapes du simplexe:
1. Définir les variables
2. Définir la fonction objective
3. Définir les contraintes d’égalités et inégalités
4. Transformer les contraintes d’inégalités en contraintes d’égalités à l’aide de variables molles (slack variables)
5. Construction du tableau du simplexe
6. Itérations:
1. Détermination d’un point pivot sur le tableau
2. Opérations de lignes et de colonnes
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Le solveur d’Excel
L’outil Solveur d’Excel permet de résoudre des problèmes d’optimisation variés
Permet de déterminer si nous voulons maximiser ou minimiser une fonction objective
Permet d’ajouter des contraintes
Procède par itérations pour sélectionner la solution optimale
Un des algorithmes de calcul que l’on peut sélectionner est basé sur des équations linéaires (méthode du Simplexe)
Reprenons l’exemple précédent sur Excel… Une solution X1 = 0 X2 = 37,5 X3 = 18,75
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Le solveur d’Excel
Les dangers :
L’algorithme n’identifie pas les extremum locaux
Nous ne savons pas si la réponse est le point optimal global
Il existe des logiciels plus performants qu’Excel pour faire de l’optimisation
La capacité de calcul d’Excel est rapidement excédée lorsqu’on ajoute quelques variables et contraintes (dimension du problème élevée)
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Programmation non-linéaire
Lorsque la fonction objectif et les contraintes ne dépendent pas linéairement des variables, il n’est pas possible d’utiliser la méthode du simplexe
C’est souvent le cas dans les problèmes en finance de marché Le risque (variance) implique des équations de 2ème degré
Le but de l’optimisation sera de déterminer l’allocation des ressources entre les titres afin de minimiser les risques pour un niveau de rendement donné
Problème : Comment isoler w ?
wwptf '2Matrice de variance - covariance
Vecteur des pondérations
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Optimisation non-linéaire
En présence de contraintes en équation, nous pouvons utiliser le multiplicateur de Lagrange pour résoudre ce problème C’est ce que nous avons vu la semaine dernière Il ne faut pas oublier d’ajouter les contraintes implicites…
Dans le cadre du cours, ne verrons pas de méthodes de résolution de problèmes non-linéaires avec contraintes en inéquation Nous utiliserons le Solveur d’Excel
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1
1
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Programmation non-linéaire
Exemple sur Excel
Optimiser l’allocation des ressources d’un portefeuille de titres boursiers canadiens entre les 10 grands secteurs de l’économie
Objectif : Minimiser le risque pour un rendement
journalier de de 0,02 %
Contraintes : - Interdiction de faire des ventes à découvert
- Limite sectorielle : secteur S&P/TSX + 10 %
Variables : 10 au total représentant la pondération à investir dans chaque secteur économique
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