Лекція 5 Напружений стан тріщиною · PDF file Лекція 5...

Click here to load reader

  • date post

    24-May-2020
  • Category

    Documents

  • view

    1
  • download

    0

Embed Size (px)

Transcript of Лекція 5 Напружений стан тріщиною · PDF file Лекція 5...

  • Лекція 5 Напружений стан тіла з тріщиною

    5.1 Модель тріщини Як побудувати модель тріщини? Тріщина моделюється фронтом (вісь z) і

    берегами (поверхні у площині xOz) (рис.5.1). У зв’язку з малістю відстані між берегами тріщину можна розглядати як математичний розріз, тобто порожнину нульового об’єму, обмежену двома геометрично співпадаючими поверхнями – берегами розрізу.

    Рис.5.1 Перехід від порожнини до математичного розрізу можна реалізувати

    виконавши граничний перехід від порожнини у формі еліптичного циліндра з твірною, паралельною осі Z (рис. 5.1, 5.2,а). При еліптичний циліндр перетворюється у тунельний розріз на відрізку [-а, а] (рис.5.2,б).

    0→b

    Рис. 4.2

    При цьому верхня половина еліпса 2

    1 ⎟ ⎠ ⎞

    ⎜ ⎝ ⎛−=

    a xby перейде у верхній

    берег розрізу ax ≤ , 0+=y , а нижня 2

    1 ⎟ ⎠ ⎞

    ⎜ ⎝ ⎛−−=

    a xby - у нижній берег розрізу

    ах ≤ , у = - 0.

  • Тунельний розріз у необмеженому тілі, або прямолінійний розріз по товщині тонкої пластинки є основною моделлю реальної тріщини. Таким чином вивчення тріщин можна проводити або при плоскому напруженому стані (тонка пластинка) або при плоскій деформації тунельний розріз у необмеженому об’ємі (у напрямку осі Z).

    5.2 Напруження у вершині тріщини-розрізу. Коефіцієнти

    інтенсивності напружень Розвиток тріщини залежить від виду напруженого стану. При нормальних

    напруженнях виникає тріщина типу "розрив" (рис. 5.3, а). При плоскому зсуві виникає тріщина типу "зсув" (рис. 5.3, б). При зсуві перпендикулярному площині пластини виникає антиплоский зсув (рис. 5.3, в) .

    Рис.5.3

    Розглянемо задачу про розподілення напружень у нескінченній пластині,

    яка розтягується напруженнями σ (Рис.5.4). Напруження σ виникає внаслідок

    дії навантаження прикладеного далеко від тріщини. Пластина має розріз

    довжиною 2 l , який імітує тріщину. Якщо товщина пластини мала у порівнянні

    з довжиною тріщини матимемо плоский напружений стан 0zσ = . При

    збільшенні товщини одержимо задачу про плоску деформацію. У цьому

    випадку виникають напруження ( )z x yσ ν σ σ= + і у точках тіла буде об’ємний напружений стан.

  • Рис. 5.4

    Рівняння рівноваги для плоского напруженого стану –

    0хух X х у

    τσ ∂∂ + + =

    ∂ ∂ 0xy

    y

    Y y τ σ∂ ∂

    + + = ∂ ∂

    . (5.1)

    Рівняння сумісності деформацій –

    ( )2 0x yσ σ∇ + = , (5.2)

    де 2 2

    2 2 2х у

    ∂ ∂ ∇ = +

    ∂ ∂ – гармонічний диференційний оператор.

    Розв’язок плоскої задачі в напруженнях (три невідомі напруження) можна

    одержати введенням так званої функції напружень ( )ух,ϕϕ = , за допомогою якої напруження можна записати у вигляді похідних від цієї функції.

    2

    2х у ϕσ ∂=

    ∂ ,

    2

    2у х ϕσ ∂=

    ∂ ,

    2

    xy X y Y xх у ϕτ ∂= − − ⋅ − ⋅

    ∂ ∂ . (5.3)

    Складові об’ємних сил X i Y вважатимемо константами.

    Можна перевірити, що при підстановці (5.3) у рівняння ( 5.1 ), ці рівняння

    задовольняються тотожно (тобто при довільній функції φ). Таким чином,

    задаючи функцію φ, можна одержувати поля напружень, що задовольняють

  • умовам рівноваги. Ця функція була введена англійським математиком Д. Ейрі у

    1862 р. і називається функцією Ейрі.

    Дійсне поле напружень повинно задовольняти і рівняння сумісності

    деформацій (5.2). Підставляючи напруження (5.3) у рівняння (5.2), одержимо

    ( ) 2 2

    2 2 2 2 0х у у х ϕ ϕσ σ

    ⎛ ⎞∂ ∂ ∇ + = ∇ + =⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

    . (5.4)

    Це рівняння можна записати так: 2 2 0ϕ∇ ∇ = , (5.5)

    або 4 4 4

    4 2 2 22 0х х у у ϕ ϕ∂ ∂ ∂ + +

    ∂ ∂ ∂ ∂ = .

    Рівняння називається бігармонічним рівнянням плоскої задачі (умова

    сумісності деформацій, записана теж за допомогою функції Ейрі).

    Таким чином плоску задачу у напруженнях зведено до одного рівняння

    (5.5) відносно функції φ(х,у).

    Після визначення функції φ напруження обчислюються за формулами

    (5.3). При відсутності об’ємних навантажень формули (5.3) мають вигляд 2

    2х y ϕσ ∂=

    ∂ ,

    2

    2у х ϕσ ∂=

    ∂ ,

    2

    xy х у ϕτ ∂=

    ∂ ∂ . (5.6)

    Найбільші труднощі складає вибір функції напружень, яка б задовольняла

    задані граничні умови. Ці умови необхідно записати також за допомогою

    функції напружень.

    Можна показати, що у довільній точці пластини напруження у двох

    взаємно перпендикулярних напрямках n i s обчислюються за тими ж

    формулами (5.3) 2

    2 ;n s ϕσ ∂=

    2

    2s n ϕσ ∂=

    ∂ ;

    2

    ns s n ϕτ ∂= −

    ∂ ∂ .

    Для точок К контура пластини граничні умови можна записати у вигляді

    (рис.5.5, а)

  • 2

    2 ; k

    n nPs ϕσ ∂= = ∂

    2

    ns s k

    P s n s n ϕ ϕτ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞= − = − =⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

    .

    Рис. 5.5

    Розв’язок окремих задач теорії пружності можна одержати знаходячи

    відповідний вираз для функції φ з довільними сталими, які потім знаходяться з

    умови виконання граничних умов.

    Візьмемо, наприклад, функцію 1 2

    2 21 1 2 2 С

    3 у С ху С хϕ = + + . Їй

    відповідатимуть напруження (застосовуємо формули (4.3) при сталих X і Y)

    12х С

    у ϕσ ∂= =

    ∂ ;

    3

    2

    2у Сх ϕσ ∂= =

    ∂ ;

    2

    3xy Сх у ϕτ ∂= − = −

    ∂ ∂ . (5.7)

    Це є однорідний напружений стан, коли усі компоненти напружень –

    сталі. Вибрана функція відповідає розтягу пластини у двох напрямках і зсуву).

    Рис 5.6

  • Для пластини з тріщиною (рис.5.4) напруження повинні задовольняти

    умови на поверхнях. У даному випадку на нескінченності ( при ∞→∞→ ух , )

    напруження ,у x xy 0σ σ σ τ= = = (пластина великих