第 5 章 变压器的建模与特性分析

高压变压器 干式变压器

各类变压器的图片

平面式变压器干式变压器

油浸式变压器电源变压器

内容简介双绕组变压器：（ 1）基本运行原理；（ 2）结构；（ 3）电磁关系；（ 4）数学模型（即基本方程式、等效电路和相量图）；（ 5）变压器运行特性的分析与计算 。三相变压器的特殊问题： （ 1）三相变压器的联结组问题； （ 2）三相变压器的电路连接与磁路结构的配合问题。电力拖动系统中的特殊变压器： （ 1）自耦变压器； （ 2）电压与电流互感器。

5.1 变压器的基本工作原理与结构A、变压器的基本工作原理

图 5.1 双绕组变压器的工作原理示意图

若变压器一次侧按照电动机惯例选取正方向、二次侧按照发电机惯例选取正方向（见图 5.1) ，则对于理想变压器，根据电磁感应定律，交变的磁通在原、副方绕组中的感应电势和电压分别为：

dt

dNeu

dt

dNeu

222

111

(5-1)

若主磁通按正弦规律变化，即 ，则根据式（ 5-1 ），各物理量的有效值满足下列关系：

tt m sin)(

2

1

2

1

2

1

N

N

E

E

U

U (5-2)

忽略绕组的电阻和铁心损耗，则原、副方功率守恒，于是有：

2211 IUIU (5-3)

从而有：

2

1

1

2

2

1

N

N

I

I

U

U (5-4)

称 为变压器的匝比或变比， ，称 为视在容量。2

1

N

Nk

1

2

2

1

I

I

U

Uk

2211 IUIUS

由此可见，变压器在实现变压的同时也实现了变流。此外，变压器还可以实现阻抗变换的功能。现说明如下：

图 5.1 中，二次侧的负载阻抗为：

2

2

I

UZ L

如果从一次侧来看 ，则其大小为： LZ

LL ZkI

Uk

I

UZ 2

2

22

1

1 (5-5)

B、变压器的结构

图 5.2 单相变压器的结构1— 铁心柱 2— 铁轭 3— 高压绕组 4— 低压绕组

图 5.3 三相变压器的结构1— 铁心柱 2— 铁轭 3— 低压绕组 4— 高压绕

组图 5.4 三相变压器高压绕组的分接头

图 5.5 油浸式变压器的外形图1- 铭牌 2- 温度计 3- 吸湿器 4- 油位计 5- 储油柜 6- 安全气道 7- 气体继电器 8- 高压油管9- 低压油管 10- 分接开关 11- 油箱铁心 12- 放油阀门 13- 线圈 14- 接地板 15- 小车

5.2 变压器的额定值额定数据： 额定容量或视在容量 ； 额定电压 ； 额定电流 ； 额定频率 ； 额定效率 ；

NS

NU

NI

Nf

N

需指出的是：额定电压和额定电流均指线值（即线电压或线电流）。

额定数据之间存在如下关系： NNN ImUS 11

式中， 表示变压器的相数； 、 分别表示额定电压和额定电流的相值。m NU1 NI1

对于单相变压器： NNNNN IUIUS 2211

对于三相变压器： NNNNN IUIUS 2211 33

5.3 变压器的空载运行分析

A、变压器空载运行时的电磁关系

定义： 变压器的空载是指一次绕组外加交流电压、二次绕组开路即副方开路即电流为零的运行状态。

图 5.6 单相变压器空载运行的示意图

m - 主磁通； - 原方漏磁通。

变压器空载时的电磁过程可用图 5.7 表示之。

图 5.7 单相变压器空载运行时的电磁过程

根据图 5.6 的正方向假定，利用基尔霍夫电压定律 (KVL) 得一次侧和二次侧绕组的电压方程分别为：

220

11011

eu

eeiru （ 5-6 ）

若主磁通按正弦规律变化，即 ，则根据电磁感应定律有：tt m sin)(

dt

tdNe

)(11

dt

tdNe

)(22

利用符号法，写成相量形式为：

mmm fNjNf

jNjE 1111 44.4

2

2

2

mmm fNjNf

jNjE 2222 44.4

2

2

2

（ 5-7 ）

（ 5-8 ）

结论： 绕组内感应电势的大小分别正比于频率、绕组匝数以及磁通的幅值；在相位上，变压器绕组内的感应电势滞后于主磁通 。m 90

当一次绕组施加额定电压 时，规定二次侧绕组的开路电压即为二次侧的额定电压即 。这样，便可获得变压器的变比为：

NUU 11 NUU 220

20

1

2

1

2

1

2

1

U

U

U

U

E

E

N

Nk N

N

N （ 5-9 ）

B、磁路的电参数等效 基本思路： 将变压器内部所涉及的磁路问题转换为电路问题，然后按照统一的电路理论对变压器进行计算。具体过程介绍如下：

a 、对于漏磁通

由于磁力线走的是漏磁路，它是由变压器油或空气组成，磁阻可近似认为是常数，相应的磁路为线性磁路 。根据电磁感应定律，漏磁通所感应的漏电势为：

01011 IjxILjE （ 5-10 ）

其中，一次侧绕组的漏电抗为： ，漏电感为： 111 2 fLLx

1

021

21

21

11

121

1

11 l

SNN

R

N

iN

N

iL

（ 5-11 ）

漏电抗反映了漏磁路的情况。1x

b 、对于主磁通 由于磁力线所走的主磁路是由铁磁材料组成的铁心构成，因而存在饱和现象，其结果铁心中的主磁通与空载电流之间呈非线性关系。当主磁通的波形为正弦时，其空载电流为非正弦，如图 5.8 所示。

图 5.8 变压器空载电流的波形

对非正弦空载电流，为建立变压器的等效电路，工程中通常引入等效正弦波电流的概念，用等效正弦波电流代替非正弦的空载电流。

对理想变压器，空载电流主要是用来产生主磁通 的，因此，可认为空载电流就是激磁电流。 主磁路也可用激磁电抗来描述。但考虑到铁耗，主磁路还需描述铁耗的阻性参数。亦即空载电流必然对应着建立主磁场的无功分量 （又称之为磁化电流）和对应于铁耗的有功分量 两部分，用相量表示为：

m

0i

ai0

am IIII 000 （ 5-12 ）

图 5.9 变压器主磁路的相量图和等效电路

图 5.9给出了对应主磁路的相量图和等效电路。

由图 5.9b 得：mmmmm IzIjxrE )(1 （ 5-13 ）

式中， 为激磁电阻，它反映了铁心内部的损耗即： ； 为激磁电抗，它表征了主磁路铁心的磁化性能，其中，激磁电感 可由下式给出：

mr mmFe rIp 2 mm Lx mL

Fe

Fem

m

mm l

SNN

iL

21

21

（ 5-14 ）

C、变压器的空载电压平衡方程式、相量图及等值电路图 将式（ 5-6 ）中的第 1 式首先转换为相量形式，然后将式（ 5-10 ）代入便可获得电压平衡方程式为：

101101111011 )( EIzEIjxrEEIrU

上式和式（ 5-6 ）中第 2 式的相量形式以及式（ 5-13 ）一同组成了变压器空载运行时的电压平衡方程式为：

mmmmm IzIjxrE

EU

EIzEIjxrU

)(

)(

1

2020

10110111

（ 5-15 ）

由此绘出变压器空载运行时的等值电路和相量图如图 5.10a 、 b 所示。

图 5.10 变压器空载运行时的等值电路与相量图

结论： 变压器空载运行时一次侧的功率因数较低。因此，变压器一般不允许空载或轻载运行。

5.4 变压器的负载运行分析 变压器负载后，二次侧的电流不再为零，从而导致铁心内部的电磁过程发生变化。

A、变压器负载运行时的磁势平衡方程式

图 5.11 变压器的负载运行

忽略漏阻抗压降的变化，则变压器负载前后的主磁通基本保持不变，因此，变压器负载后的激磁磁势与空载时的激磁磁势基本相等。根据图 5.11 所示正方向，于是得变压器的磁势平衡方程式为：

012211 iNiNiN （ 5-17 ）

考虑到负载运行时，一次侧绕组的电势平衡方程式为：

1111 IzEU （ 5-16 ）

式（ 5-17 ）写成相量形式为： 012211 INININ （ 5-18 ）

上式可以理解为：随着负载电流的增加，一次侧必须增加相应的磁势（或电流），以抵消二次侧磁势，才能维持空载时的磁通或磁势不变。于是有：

02211 iNiN

即：0122101 )( iNiNiiN

上式与式（ 5-17 ）比较可得： 101 iii

结论： 变压器负载后，一次侧电流有所增加。二次侧所需的负载（电流）越大，一次侧供给的电流也就越大。 即变压器可以看作为一种供需平衡关系。

B、变压器负载后副边漏磁路的电参数等效

变压器负载后，副方也存在漏磁通。同原方一样，副方漏磁路也可以用副方漏电抗来描述，即： 。其中，副方漏电感为： 222 2 fLLx

2

022

22

2

22

22

222

2

22 l

SNN

R

N

iN

N

iL

（ 5-20 ）

漏电抗 或漏电感 反映了副方漏磁路的情况。2x 2L

C、变压器负载运行时的电磁关系

图 5.12 变压器负载后的电磁过程

根据图 5.11 、图 5.12以及正方向假定，利用基尔霍夫电压定律 (KVL)便可获得原、副方绕组电压平衡方程式的相量形式为：

222222222

11111111 )(

IzEIjxIrEU

IzEIjxrEU

（ 5-21 ）

将式（ 5-9 ）、（ 5-13 ）、（ 5-18 ）和式（ 5-21 ）汇总得变压器负载后的基本方程式为：

kN

N

E

EINININ

IzE

IzEU

IzEU

m

mm

2

1

2

1

12211

1

2222

1111

（ 5-22 ）

5.5 变压器的基本方程式、等值电路与相量图A、变压器的基本方程式

根据式（ 5-22 ）便可获得变压器的等值电路如图 5.13a 所示。

图 5.13 变压器的折算过程 考虑到图 5.13a所示等值电路原、副方在电气上是相互独立的。为了简化计算，通常将副方的绕组匝数由 提升至 ，这样二次侧的各物理量均将发生相应的变化，这一过程又称为折算。

2N 1N

B、变压器的等值电路

折算的原则： 折算前后要保证电磁关系不变，即：（ 1）折算前后的磁势应保持不变；（ 2）折算前后的电功率及损耗应保持不变。

根据上述原则，折算后的等值电路如图 5.13b 所示。

折算后副方各物理量分别按下式计算：

电压：122

2

12 EkEE

N

NE （ 5-23 ）

同理， 22 kEE （ 5-24 ）

22 kUU （ 5-25 ）电流： 根据折算前后的磁势不变，得：

21

222

1IkN

INI

（ 5-26 ）

阻抗： 根据折算前后的有功功率和无功功率不变，得：

22

22

222

2 rkI

Irr

（ 5-27 ）

22

22

222

2 xkI

Ixx

（ 5-28 ）

同理，2

22 zkz （ 5-29 ）

经过折算后，变压器的基本方程式变为：

mm

m

IzEE

III

IzEU

IzEU

21

21

2222

1111

（ 5-30 ）

利用上式，并结合图 5.13b 便可获得变压器的 T型等值电路如图 5.14 所示。

图 5.14 变压器的 T型等值电路

若忽略一次绕组漏阻抗压降的影响， T型等值电路可进一步简化为近似“ Γ”型等效电路，如图 5.15所示。

图 5.15 变压器的“ Γ”型等效电路 若忽略激磁电流 （即把激磁支路断开），近似“ Γ”型等效电路又可进一步进行近似为简化等效电路，如图 5.16 所示。

图 5.16 变压器的简化等效电路在变压器的简化等效电路中，令：

kkk

k

k

jxrz

xxx

rrr

21

21

式中， 、 和 分别称之为变压器的短路电阻、短路电抗和短路阻抗。kr kx kz

根据变压器的基本方程式（ 5-30 ）绘出变压器带感性负载时运行时的相量图如图 5.17 所示。

图 5.17 感性负载时变压器的相量图

结论： 变压器负载后其一次侧的功率因数角减小，功率因数得以提高。

C、变压器的相量图

5.6 变压器的等值电路参数的试验测定变压器等值电路的参数可以通过空载和短路试验测得。

A、空载试验

通过空载试验可以确定变压器的变比 、激磁电阻 和激磁电抗 。空载试验的具体接线如图 5.18a 、 b 所示。

k mr mx

图 5.18 变压器空载试验的接线图

根据外加电压为额定电压时的试验数据，便可分别计算变压器的参数如下：

激磁电阻为：20

0

I

prm （ 5-32 ）

又2

12

110

00 )()( mmm xxrrzz

I

Uz （ 5-33 ）

考虑到 ，故有：1zZm mzz 0 （ 5-34 ）

22mmm rzx （ 5-35 ）

变压器的变比为：

20

1

U

Uk （ 5-36 ）

B、短路试验

通过短路试验可以确定变压器的短路电阻 和短路电抗 。短路试验的试验接线如图5.19a 、 b 所示。

kr kx

图 5.19 变压器短路试验的接线图

根据额定电流时的试验数据，便可分别计算变压器的参数如下：

短路电阻为：2

K

Kk

I

pr （ 5-38 ）

短路阻抗和短路电抗分别为：

k

kk I

Uz （ 5-39 ）

22kkk rzx （ 5-40 ）

对一、二次侧绕组的漏电抗值，可通过下式将漏阻抗近似分开：

221kxxx （ 5-42 ）

考虑到绕组电阻随环境温度的变化，按照技术标准，绕组的电阻值应折合到标准温度 ，而漏阻抗与温度无关。于是有：C75

0

075

75

T

Trr kCk

275

2

75 kCkCk

xrz

（ 5-43 ）

（ 5-44 ）

定义： 阻抗电压或短路电压为 。它有两种表示方法： NCkkN IzU 1750

（ 1）短路电压百分比

%100%1001

175

1

0

N

NCk

N

kNk U

Iz

U

Uu （ 5-45 ）

（ 2）标幺值（ Per Unit Value)

*

1

75

1

175

1

* 00

kN

Ck

N

NCk

N

kNk z

Z

z

U

Iz

U

Uu （ 5-46 ）

其中，阻抗基值为 。N

NN I

UZ

1

11

结论： 为减小二次侧电压随负载的变化，希望越小越好；但从减小短路电流的角度看，希望越大越好。工程中应兼顾这两个因素。

5.7 变压器稳态运行特性的计算

A、变压器的外特性与电压变化率 外特性的定义： 在额定电源电压和一定负载功率因数的条件下，变压器二次侧的端电压与二次侧负载电流之间的关系曲线 。)( 22 IfU

图 5.21给出了各类性质的负载下变压器的典型外特性。

图 5.21 变压器的外特性

电压变化率的定义： 在额定电源电压和一定负载功率因数的条件下，由空载到额定负载时二次侧端电压变化的百分比，即：

%100%100%1001

21

2

22

2

220

N

N

N

N

N U

UU

U

UU

U

UUu （ 5-47 ）

借助于图 5.22a ，便可求出电压变化率为：图 5.22 变压器的简化等效电路及其相量图

%100)sincos(

%100sincos

(

2*

2*

1

2121

kk

N

kNkN

xr

U

xIrIu

（ 5-49 ）

根据简化等效电路（图 5.22a）和 KVL得：)(121 KkN jxrIUU （ 5-48 ）

由此绘出相量图如图 5.22 所示。

其中， 为负载系数。NI

I

1

1

讨论：对于纯阻性负载， ， ，故 较小；对于感性负载， ， ，故 ，即随着负载 电流的增加，二次侧的电压下降较大；对于容性负载， ， ，若 ， 则 ，说明随着负载电流 的增加，二次侧的电压有可 能升高。

1cos 2 0sin 2 u

0cos 2 0sin 2 0u

0cos 2 0sin 2 22 sincos kk xr

0u 2I

上述结论与图 5.21 所示情况完全一致。

B、变压器的效率特性 变压器的效率定义为：

%100)1(%100%10011

1

1

2

P

p

P

pP

P

P （ 5-50 ）

式中，总损耗： ；其中，铁耗 又称为不变损耗，它不随负载的改变而改变。于是有：

CuFe ppp Fep

0ppFe (5-52)

而铜耗 又称为可变损耗，它随负载电流的平方成正比，于是有：Cup

kNCu pp 2 (5-53)

而变压器的输出有功功率 可按下式计算：2P

22222

22222 coscoscos

NNN

NN SImU

I

IImUP

(5-54)

综上各式，可得变压器的效率计算公式为：2

02

2 0

(1 ) 100%cos

kN

N kN

p p

S p p

(5-55)

对上式求导，且令 ，可得：0d

d

kNm pp 20

kNm p

p0或

(5-51)

效率特性定义为： 在额定电压和一定负载功率因数条件下， （或 ) 的关系曲线 .

)( 2If )( f

根据式（ 5-54 ）可绘出效率特性如图 5.23 所示。

图 5.23 变压器的效率曲线