제 5 장 이산확률분포

확률변수

결과에 따라 다수의 상이한 값을 가질 수는 있으나 그 결과가 나오기 전에는 실제 값을 알 수 없는 변수

확률변수 (random variable)

일반적으로 로 표기함X

정량적 변수는 이산확률변수 (discrete random variable) 와 연속확률변수 (continuous random variable) 로 구분할 수 있음

확률분포도 이산확률분포 (discrete probability distribution) 와 연속확률분포 (continuous probability distribution) 로 구분할 수 있음

이산확률분포

이산확률변수 X 가 취할 수 있는 모든 값 와 그 발생확률 을 도수분포표 형식으로 나열한 것

ix iP X x

이산확률분포 (discrete probability distribution)

ix iP X x

이산확률분포의 구분모든 가능성을 모두 나열하여 구할 수 있는 확률분포 (ex) 동전을 3 번 던져 앞 면이 나오는 횟수의 확률분포 주사위 2 개 던져 나오는 눈금의 합의 확률분포

전문가의 경험으로부터 구할 수 있는 확률분포 (ex) K 프로젝트를 마치는데 소요되는 예상기간 내년도 시장수익률

이론적인 확률분포 (ex) 이항분포 포아송분포 초기하분포

동전을 3 번 던져 앞 면이 나오는 횟수의 확률분포

동전을 3 번 던져 앞 면이 나오는 횟수의 확률분포

H = 앞면 , T = 뒷면

(1) H H H(2) H H T(3) H T H(4) T H H(5) H T T(6) T H T(7) T T H(8) T T T

동전을 3 번 던져 앞 면이 나오는 횟수의 확률분포

내년도 시장수익률의 확률분포

투자자 A 씨는 내년의 시장수익률을 분석하려고 한다 . 시장수익률(market return) 은 투자한 자금으로부터 얻은 연간이득 ( 또는 손실 ) 의 백분율을 의미한다 .

A 씨는 내년의 국가경제가 다음과 같은 다섯 가지 시나리오 중 하나가 될 것으로 믿고 있다 . 1) rapid expansion, 2) moderate expansion, 3) no growth, 4) moderate contraction, 5) serious contraction

A 씨는 각 시나리오에서의 시장수익률을 0.23, 0.18, 0.15, 0.09, 0.03으로 추정하였다 .

A 씨는 내년의 국가경제에 대한 시나리오의 발생확률을 각각 0.12, 0.40, 0.25, 0.15, 0.08 으로 평가하였다 .

내년도 시장수익률의 확률분포

ix iP X x

0.120.400.250.150.08

0.230.180.150.090.03

Rapid expansionModerate expansionNo growthModerate contractionSerious contraction

이산확률분포의 특성

0 1iP X x

1

1n

ii

P X x

기대값

기대값 (expected value)

1

n

i ii

E X x P X x

확률변수의 값과 그 발생확률의 곱의 합

확률변수의 값발생확률

분산 / 표준편차

분산 (variance)

2 22

1

n

i ii

Var X x E X P X x E X E X

표준편차 (standard deviation)

2 2

1

n

i ii

E X x P X x

Std X Var X

예제 5.1

K 프로젝트를 마치는 데 소요되는 예상기간과 확률이 다음과 같을 때 프로젝트 소요기간의 기대값 , 분산 및 표준편차를 구하시오 .

이산확률변수 선형함수의 기대값 / 분산 / 표준편차

이산확률변수 X 와 Y 가 다음과 같은 선형관계를 가진다고 하면

Y a bX

E Y a bE X

기대값기대값

분산

2Var Y b Var X

표준편차

Std Y b Std X

예제 5.2

H 사의 영업사원 모집공고에 입사 1 년차 월급은 기본급 500,000 원과 판매수량 당 100,000 원의 실적급이라고 제시되어 있다 . 1 년차 사원들의 월 판매 수량과 확률은 다음과 같다 .

1) 1 년차 영업사원의 월 판매수량의 기대값 , 분산 및 표준편차를 구하시오 .

2) 1 년차 영업사원의 월급의 기대값 , 분산 및 표준편차를 구하시오 .

예제 5.4 항공사 초과예약

K 항공사는 미주노선 이코노미 좌석 180 석에 대하여 20 석을 초과하여 200 석의 예약을 접수하고 있다 . 과거의 자료를 검토한 결과 예약자 중 실제로 탑승하는 사람은 88%, 탑승하지 않는 사람은 12%로 나타났다 . 예약은 완료되고 , 예약자의 탑승여부는 각각 독립적으로 이루어진다고 가정하고 할 경우 다음을 구하시오 .

1) 실제 탑승자 수가 정확하게 180 명 확률 빈좌석 없이 항공기가 이륙할 확률

2) 실제 탑승자 수가 좌석 수를 초과하지 않을 확률 .

3) 실제 탑승자 수가 좌석 수를 초과할 확률 .

베르누이 시행베르누이시행 (Bernoulli trial)

발생가능한 결과 ( 단순사상 ) 가 두 개 뿐인 시행

[ 예 ]“ 성공”과 “실패”“ 양품”과 “불량품”“ 예”와 “아니오”

이항분포를 따르는 확률변수

성공확률이 p 인 베르누이시행을 n 회 독립적으로 시행하였을 때의 성공회수

이항분포를 따르는 확률변수

[ 예 ] P 산업에서 보유하고 있는 5 대의 기계가 하루에 고장이 발생할확률이 각각 0.1 이고 상호독립적일 때 특정일에 고장인 기계대수

1 2 3 n…

p p p p

1 2 3 n…

p p p p

첫번째 기계 5 번째 기계

0.1p

[ 예 ] 6 개중 하나를 택하는 객관식 문제가 20 문항이 있는 시험에서 임의로 답을 적을 경우 정답을 적은 문항의 수

1 2 3 n…

p p p p

첫번째 문항 20 번째 문항

16p

이항분포의 모수

n : 베르누이시행의 수행회수 , n = 1, 2, 3, …p : 베르누이시행의 성공확률 , 0 1p

모수가 n, p 인 이항분포를 따르는 확률변수 X

[ 질문 ] 이항분포를 따르는 확률변수 X 가 취할 수 있는 가장 작은값은 ?

이항분포를 따르는 확률변수 X 가 취할 수 있는 가장 큰값은 ?

이항분포의 확률함수 ,X B n p 일 때 X 의 확률함수는

1n xx

n xf x C p p

여기서 n xC 는 이항계수 (binomial coefficient) 로

!

! !n xn

Cx n x

이면 오른쪽 꼬리 (right skewed) 분포0.5p 이면 왼쪽 꼬리 (left skewed) 분포0.5p 이면 좌우대칭분포0.5p

이항분포의 기대값 / 분산 /표준편차

E X np

Var X npq

Std X npq

이항분포의 확률계산이항분포표

binomdist 함수

이항분포표 1

n xxn xf x C p p

binomdist 함수

P X x P X x

이항분포 Example

K 산업에서는 납품되는 메리리 칩 1,000 개들이 상자에서 20 개를표본 조사하여 3 개 이상의 불량품이 발견되면 그 상자는 반품한다고할 경우

불량품의 비율이 10% 일 때 반품되지 않을 확률은 ?

예제 5.5 A/S 센터E 전자 A/S 센터에 하루 평균 10 건의 A/S 를 요청하는 전화가 접수되고 있으며 접수된 건은 모두 다음 날에 서비스를 제공하는 것을 원칙으로 하고 있다 . A/S 접수 건이 포아송분포를 이룬다고 할 때 다음을 구하시오 .

1) 어느 날에 11 건 이상이 접수될 확률 .

2) A/S 요원 1 명이 하루 5 건을 처리할 수 있다 . 1 개월에 A/S 요원이 3 명 이상이 필요한 날의 수 (1 달 근무일 20 일로 가정 )

포아송분포를 따르는 확률변수

베르누이 시행의 특성을 갖추고 주어진 ( 시간 , 거리 , 공간의 ) 단위구간에서 관심대상이 되는 결과 ( 사상 ) 의 발생확률이 아주 작을 경우 관심대상의 발생횟수

포아송분포의 모수 : 포아송분포의 기대값 , 이 값은 이항분포의 기대값 와 같다 .np

0

…

단위구간

사상이 발생하는 현상을 관찰

…0 1 0 2 1 1 1 1 10 0 0 0 0 0

단위구간에서 발생한 사상의 평균 건수를 계산

[ 예 ] 은행지점 오전에 1 분당 평균 0.5 명의 고객이 도착0.5 ( 명 / 분 )

단위구간에서 발생한 사상의 평균 건수

포아송분포의 확률함수

|!

xeP X x

x

기대값 / 분산 / 표준편차

E X np

Var X np

Std X

[ 질문 ] 포아송분포를 따르는 확률변수 X 가 취할 수 있는 가장 작은값은 ?

포아송분포를 따르는 확률변수 X 가 취할 수 있는 가장 큰값은 ?

포아송분포표

poisson 함수

포아송분포 Example

K 자동차의 보증기간은 3 년 30,000km 이다 . 보증기간 내에 보증수리 요청 회수는 1 대당 평균 3 회로 포아송분포를 이룬다 .

특정 자동차 한 대가 보증기간 내에 보증수리 요청이 없을 확률은 ?

포아송분포 Example

J 기업이 관리하고 있는 어느 초고층 빌딩의 전등은 하루에 평균 200 개 파손되며 포아송분포를 이루고 있다 .

한달에 180 개 이하가 파손되는 날 수는 ? ( 한달 30 일 기준 )

예제 5.6

S 사는 불량률이 20% 인 제품을 생산 후 전수검사로 품질을 검사하여 하자가 없는 제품을 협력업체에 공급하고 있다 . 가끔 품질검사를 하지 못한 제품을 급하게 공급해야 하는 경우에는 불량품 수를 고려하여 구매자가 필요로 하는 수량보다 많은 양을 공급한다 . 어느 날 거래 업체인 K 사가 25 개를 요청하여 창고에 있는 품질검사를 하지 않은 제품 50 개 중 32 개를 공급하였다 . 다음을 구하시오 .

공급한 32 개 중 정품인 수가 K 사가 요청한 수 25 개를 충족할 확률 .

초기하분포초기하분포 (hypergeometric distribution) 를 따르는 확률변수

A 상태인 것이 a 개 , A 상태가 아닌 것이 b 개 들어 있는 전체 N(=a+b) 개 중n 개를 임의로 추출한 표본 중에서 관심의 대상인 A 상태에 있는 것의 수 X

NA

n

a

상태

[ 예 ] 빨간 공 6 개와 하얀 공 4 개가 있는 상자에서 5 개를 무작위로 뽑을 때 하얀 공의 수

100 개 중 10 개가 불량품인 제품에서 10 개를 뽑을 때 불량품의 수

초기하분포의 모수

N : 전체의 개수

n : 표본으로 추출한 것의 개수a : A 상태에 있는 것의 개수

모수가 인 초기하분포를 따르는 확률변수 X, ,n a N

초기하분포의 확률함수

a x N a n x

N n

C Cf x

C