素数は孤独じゃない！ - 第401回科学勉強会

素数は孤独じゃない！日曜数学者　辻順平

@tsujimotterhttp://tsujimotter.info

1

　第401回科学勉強会@札幌(http://tehiro.sakura.ne.jp/nsi/)2015/12/17

3,7,11,19,23,31,43,47,…

5,13,17,29,37,41,53,…

落ちつくんだ…

「素数」を数えて

落ちつくんだ…

「素数」は１と自分の数でしか

割ることのできない孤独な数字……

わたしに勇気を与えてくれる荒木飛呂彦「ジョジョの奇妙な冒険 Part6 ストーンオーシャン」より

2

落ち着いて素数を数えましょう

今日お話ししたいこと

3

それぞれの素数は強い法則によって相互に結びついている

今日お話ししたいこと

決して孤独ではない 4

素数は勝手気ままに現れる？

2 3 5 7 11 13 17 19

5

鍵となるのは時計の世界

6

…,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,…

一直線上に数が並ぶ

一般的な数の世界では・・・

7

0

1

2 3

4

5

6

7 8

9

10

11

12 13

14

15

16

17 18

19

螺旋状に数を巻き付ける

8

0

1

2 3

4

5

6

7 8

9

10

11

12 13

14

15

16

17 18

19

「５時間時計の世界」完成！ 9

0

1

2 3

4

5

6

7 8

9

10

11

12 13

14

15

16

17 18

19

5時間時計では

　1=6=11=16

時計の世界のイコール

10

５時間時計の足し算

0

1

2 3

4

0

1

2 3

4

0

1

2 3

4 ＋＝

3+4＝2

7

11

５時間時計の掛け算

0

1

2 3

4

0

1

2 3

4

0

1

2 3

4 x ＝

3x3＝4

9

12

5時間時計では平方数に 1,4な

る

ならない

2,3

1x1=1

2x2=4

3x3=4

4x4=1

平方数・・・ 0 以外の数の自乗によって得られる数

平方数

13

13時間時計では平方数に 1,3,4,9,10,12な

る

ならない

2,5,6,7,8,11


る

ならない

2,3

11時間時計では平方数に 1,3,4,5,9な

る

ならない

2,6,7,8,10

7時間時計では平方数に 1,2,4な

る

ならない

3,5,6

準備OK!!

14

バニラとチョコレートの法則

15

4 で割って 1 あまる素数　・・・　バニラ素数

4 で割って 3 あまる素数　・・・　チョコレート素数


る

ならない

2,5,6,7,8,11


る

ならない

2,6,7,8,10

16

4 で割って 1 あまる素数　・・・　バニラ素数

4 で割って 3 あまる素数　・・・　チョコレート素数


る

ならない

2,5,6,7,8,11


る

ならない

2,6,7,8,10

17

ヒント


る

ならない

2,5,6,7,8,11


る

ならない

2,3

17時間時計では平方数に 1,2,4,8,9,13,15,16な

る

ならない

3,5,6,7,10,11,12,14

29時間時計では平方数に 1,4,5,6,7,9,13,16,20,22,23,24,25,28

なる

ならない

2,3,8,10,11,12,14,15,17,18,19,21,25,26

18


る

ならない

2,6,7,8,10

7時間時計では平方数に 1,2,4な

る

ならない

3,5,6

23時間時計では平方数に 1,2,3,4,6,8,9,12,13,16,18

なる

ならない

5,7,10,11,14,15,17,19,20,21,22

19時間時計では平方数に 1,4,5,6,7,9,11,16,17

なる

ならない

2,3,8,10,12,13,14,15,18

19

法則

pが　バニラ素数　のとき

p時間時計では (p–1)が平方数である

pが　チョコレート素数　のとき

p時間時計では (p–1)が平方数でない 20

２つの素数の間にある相互法則

21

17時間時計では平方数に 1,2,4,8,9,13,15,16な

る

ならない

3,5,6,7,10,11,12,14

13vs17


る

ならない

2,5,6,7,8,11

17は 13時間時計では 4に等しい

22

13vs5


る

ならない

2,5,6,7,8,11


る

ならない

2,3

13は 5時間時計では 3に等しい 23


る

ならない

2,6,7,8,10

13vs11


る

ならない

2,5,6,7,8,11


24

29時間時計では平方数に 1,4,5,6,7,9,13,16,20,22,23,24,25,28

なる

ならない

2,3,8,10,11,12,14,15,17,18,19,21,25,26

13vs29


る

ならない

2,5,6,7,8,11

29は 13時間時計では 3に等しい 25

どちらか一方が　バニラ素数　の場合

qが p時間時計の平方数になる pが q時間時計の平方数になる

qが p時間時計の平方数にならない pが q時間時計の平方数にならない

法則

26

23時間時計では平方数に 1,2,3,4,6,8,9,12,13,16,18

なる

ならない

5,7,10,11,14,15,17,19,20,21,22

19時間時計では平方数に 1,4,5,6,7,9,11,16,17

なる

ならない

2,3,8,10,12,13,14,15,18

19vs23


27


る

ならない

2,6,7,8,10

19時間時計では平方数に 1,4,5,6,7,9,11,16,17

なる

ならない

2,3,8,10,12,13,14,15,18

11vs19


28

どちらも　チョコレート素数　の場合

qが p時間時計の平方数になる pが q時間時計の平方数にならない

qが p時間時計の平方数にならない pが q時間時計の平方数になる

法則

29

•  バニラ素数　か　チョコレート素数　か（４で割ったあまり）によって素数が２グループに分類できる

•  ２つの素数 p,qの間に関係がある

30

平方剰余の相互法則

31

カール・フリードリヒ・ガウス（1777-1855）

32

この法則超やばい！

これは人生をかけてでも

意味を解明しないと！！

結果、証明を７通りも発見 33

『全く別のことのはずなのに，その２つのことが平方剰余の相互法則によって直結してしまうのです．これは全くふしぎなことで，素数たちが互いに孤立せず強く関係しあっていることを示しています． p太君の心に映る q子さんの姿と，q子さんの心に映る p太郎君の姿が，関係しあっているのです．

・・・（中略）・・・素数たちもお互いを深くわかりあっているのでしょう．』

加藤和也著「数論への招待」より抜粋

それぞれの素数は平方剰余の相互法則によって結びついている

まとめ

決して孤独ではない！ 36

37

8 で割って 1, 7 であまる素数 2 が平方数である

補足：平方剰余の第２補充則

8 で割って 1, 3 であまる素数 (p-2) が平方数である

38

✓q

p

◆= (-1)

p-12 ·q-1

2

✓p

q

◆

✓q

p

◆= 1

✓q

p

◆= -1 （q時間時計でpが平方数でない）

（q時間時計でpが平方数である）

補足：ルジャンドル記号を使った平方剰余の相互法則

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