Линейна алгебра 4. Детерминанти. Свойства и...

Линейна алгебра4. Детерминанти. Свойства и пресмятане

специалности: Математика, Бизнес математика, Приложнаматематика, I курс

лектор: Марта Теофилова

Линейна алгебра4. Детерминанти

Детерминанти – кратка история

Концепцията за детерминанта е формулирана за пръв път отяпонския математик Секи Такаказу (Кова) около 1683 г. катосредство за решаване на системи линейни уравнения. Кова неизползва отделен термин за детерминанта, но дава правила запресмятане на детерминанти от 2-ри до 5-ти ред и идея за детер-минанта от n-ти ред.В периода 1678–1693 немският математик Готфрид Вилхелм Лайб-ниц, независимо от Кова, дефинира детерминанта от 3-ти редотново във връзка с решаването на система линейни уравнения.И двамата математици достигат до формули за решаване на сис-теми линейни уравнения с единствено решение, които днес саизвестни като формули на Крамер (по името на швейцарскияматематик Габриел Крамер, който ги преоткрил около 1750 г.).През 18-ти век детерминантите са били стандартният апарат заизследване и решаване на системи линейни уравнения. По-късноса изместени от матриците (Артър Кейли, Карл Гаус и др.).


Детерминанти – началото

Нека разгледаме системата линейни уравнения∣∣∣∣∣ ax + by = p

cx + dy = q.(1)

Чрез еквивалентни преобразувания от нея получаваме

(ad− bc)x = dp− bq, (ad− bc)y = aq − cp.

От горните формули се вижда, че коефициентът ∆ = ad − bc имасъществено значение за броя на решенията на системата. Систематаима единствено решение

x =dp− bq

ad− bc, y =

aq − cp

ad− bc, (2)

точно когато ∆ 6= 0.Формулите (2) са известни като формули на Крамер (за система от2-ри ред).


Детерминанти от втори ред

Ако формираме квадратната матрица A от втори ред от коефициен-тите пред двете неизвестни в системата (1), т.е. матрицата

A =(

a bc d

),

то числото ∆ = ad − bc се нарича детерминанта от втори ред(детерминанта на квадратната матрица от втори ред A) и се записва

detA =∣∣∣∣ a b

c d

∣∣∣∣ = ad− bc.

Елементите a и d формират главния диагонал на A, а b и c – вториядиагонал на A. Тогава всяка детерминанта от 2-ри ред е равна наразликата от произведенията на елементите по главния и втория сидиагонал.


Детерминанти от трети ред

По аналогичен начин, решавайки система от три линейни уравненияза три неизвестни, както е направил Лайбниц, може да се дефинирадетерминанта от трети ред (и от произволен ред).

Детерминанта от трети ред (т.е. детерминанта на квадратна мат-рица от трети ред A) се нарича числото∣∣∣∣∣∣

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣ = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32

−a13a22a31 − a12a21a33 − a11a23a32.(3)

Известни са две правила за по-лесно пресмятане на детерминанти оттрети ред – правило на Сарус (по името на френския математик ПиерФредерик Сарус) и правило на триъгълниците.


Правило на Сарус за детерминанти от трети ред

След детерминантата се преписват последователно първият и вторияти стълб. Тогава събираемите, които участват със знак плюс в (3), сапроизведенията на елементите от главния диагонал и от двата диаго-нала, успоредни на него. Събираемите, които участват със знак минусв (3), са произведенията на елементите от втория диагонал и от дватадиагонала, успоредни на него.


Правило на триъгълниците за детерминанти от третиред

Съгласно това правило, събираемите, които участват със знак плюсв (3), са произведенията на елементите от главния диагонал и ощедве произведения, които се получават от елементите във върховетена двата равнобедрени триъгълника с основи, успоредни на главниядиагонал. Събираемите, участващи със знак минус в (3), се получаватпо аналогичен начин от втория диагонал.


Детерминанти от трети ред – примери

Пресметнете детерминантата

∆ =

∣∣∣∣∣∣1 −2 12 4 −23 −3 1

∣∣∣∣∣∣ = 1.4.1 + 1.2.(−3) + 3.(−2).(−2)

−1.3.4− 1.(−2).(−3)− 1.(−2).(−2) = −4.


Пермутации

Всяка наредба (i1, i2, ..., in) на числата 1,2,...,n, сред които няма рав-ни, се нарича пермутация на тези числа. Пермутацията (1, 2, ..., n) сенарича нормална.Броят на пермутациите на n елемента е равен на n! = 1.2.3...n.

Числата i и j в дадена пермутация образуват инверсия, ако i > j, ноi стои в пермутацията пред j. Броят на инверсиите в пермутацията(i1, i2, ..., in) означаваме с [i1, i2, ..., in].

Пермутацията се нарича четна, ако елементите и образуват четен бройинверсии, а нечетна – в противен случай.

Броят на четните пермутации на дадени елементи е равен на броя нанечетните пермутации на същите елементи.


Детерминанти от n-ти ред

Нека A е квадратна матрица от n-ти ред, т.е.

A =

a11 a12 ... a1n

a21 a22 ... a2n

... ... ... ...

an1 an2 ... ann

.

Детерминанта от n-ти ред (детерминанта на квадратната матрицаA = (aij) от n-ти ред) се нарича алгебричната сума∑

(j1,j2,...,jn)

(−1)[j1,j2,...,jn]a1j1a2j2 ...anjn , (4)

разпростряна върху всевъзможните пермутации (j1, j2, ..., jn) на чис-лата 1, 2, ..., n.

От горната формула, при n = 2 и n = 3 следват формулите за детер-минанти съответно от 2-ри и 3-ти ред, които разгледахме на предход-ните слайдове.


Детерминанти от n-ти ред

Детерминантата от n-ти ред е алгебрична сума на от n! събираеми.Тази сума се нарича развитие на детерминантата, а събираемите и –членове в развитието.

Формулата (4) е неудобна за пресмятане на детерминанти. Затоваще разгледаме друга, по-удобна формула (известна като формула наЛаплас), която в комбинация с прилагането на свойствата на детер-минантите, дава възможност за по-лесното им пресмятане.


Свойства на детерминантите – транспониране

Транспониране на матрица (детерминанта) се нарича действие, прикоето редовете и стълбовете разменят местата си, запазвайки свояномер. В резултат на транспонирането на матрицата A се получаванова матрица AT , наречена транспонирана матрица на A.

Твърдение

При транспониране детерминантата не променя стойността си, т.е. завсяка квадратна матрица A от n-ти ред е изпълнено detAT = det A.

Следователно редовете и стълбовете на една детерминанта са рав-ноправни. Всяко действие, което е доказано за редовете, е в сила и застълбовете.


Траспониране на детерминанта – пример

Разгледайте матрицата A и нейната транспонирана матрица AT ипроверете, че детерминантите им са равни:

A =

1 −2 12 4 −23 −3 1

, AT =

1 2 3−2 4 −3

1 −2 1

.


Елементарни операции (действия)

По редовете (стълбовете) на една детерминанта могат да бъдат из-вършени следните елементарни действия:

Размяна на местата на два редаУмножаване на всички елементи от даден ред с числоПрибавяне към елементите на даден ред съответните им елементиот друг ред, умножени с число

На следващите няколко слайда ще видим какви са последствията застойността на една детерминанта от извършването на горните дейст-вия.


Свойства на детерминантите – размяна на местата надва реда

Твърдение

Ако в една детерминанта се разменят местата на два реда (стълба),то се получава детерминанта с противоположна стойност.

Следствиe

Детерминанта с два равни реда (стълба) е равна на нула.


Свойства на детерминантите – умножение на ред с число

Твърдение

Ако всички елементи от даден ред (стълб) на една детерминанта сеумножат с някакво число, то цялата детерминанта се умножава с товачисло.

Следствиe

Детерминанта, съдържаща нулев ред или нулев стълб (ред или стълб,чиито елементи са нули), е равна на нула.

Следствиe

Детерминанта с два пропорционални реда (стълба) е равна на нула.


Свойства на детерминантите

Твърдение

Ако всеки елемент в i-тия ред (стълб) на една детерминанта се предс-тавя като сума aij = a′ij +a′′ij за всяко j, то детерминантата е равна насумата от две детерминанти, в които всички редове (стълбове), освенi-тия, са непроменени, а в i-тия ред (стълб) на първата детерминантаса елементите a′ij , а във втората a′′ij .

Следствиe

Стойността на детерминантата не се променя, ако към един ред (стълб)прибавим друг, умножен с произволно число.

Следствиe

Ако редовете (стълбовете) на една детерминанта са линейно зависи-ми, детерминантата е равна на нула.

Чрез понятието ранг на матрица ще докажем и обратното твърдение.Линейна алгебра4. Детерминанти

Адюнгиран минор и адюнгирано количество на елементна матрица (детерминанта)

Адюнгиран минор на елемента aij на детерминантата от n-ти ред

det(aij) =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a11 a12 ... a1j ... a1n

a21 a22 ... a2j ... a2n

... ... ... ... ... ...

ai1 ai2 ... aij ... ain

... ... ... ... ... ...

an1 an2 ... anj ... ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣се нарича детерминантата Mij от (n− 1)-ви ред, получена от det(aij)чрез премахване на i-тия ред и j-тия стълб.

Адюнгирано количество на елемента aij на det(aij) се нарича чис-лото Aij = (−1)i+jMij .


Адюнгирани количества – пример

Нека отново разгледаме детерминантата

∆ =

∣∣∣∣∣∣1 −2 12 4 −23 −3 1

∣∣∣∣∣∣ .

Адюнгираните количества на елементите от първия ред на ∆ са:

A11 = (−1)1+1

∣∣∣∣ 4 −2−3 1

∣∣∣∣ = −2, A12 = (−1)1+2

∣∣∣∣ 2 −23 1

∣∣∣∣ = −8,

A13 = (−1)1+3

∣∣∣∣ 2 43 −3

∣∣∣∣ = −18.


Правило на Лаплас за пресмятане на детерминанти отn-ти ред

Твърдение (Правило на Лаплас)

Всяка детерминанта det(aij) от n-ти ред е равна на сумата от про-изведенията на елементите от произволен неин ред (стълб) със съот-ветните им адюнгирани количества, т.е.

det(aij) =n∑

k=1

aikAik, det(aij) =n∑

k=1

akjAkj .

Пресмятането на детерминанта съгласно правилото на Лаплас се на-рича развиване на детерминанта по даден ред или стълб.


Правило на Лаплас – пример

Използвайки данните за адюнгираните количества на елементите отпървия ред на ∆, можем да пресметнем ∆, като я развием по първияи ред. Съгласно правилото на Лаплас имаме ∆ = a11A11 + a12A12 +a13A13, т.е.

∆ =

∣∣∣∣∣∣1 −2 12 4 −23 −3 1

∣∣∣∣∣∣ = 1.(−2) + (−2)(−8) + 1.(−18) = −4.


Правило на Лаплас за пресмятане на детерминанти отn-ти ред

Както видяхме в примера, чрез прилагане на правилото на Лаплас,пресмятането на детерминанта от 3-ти ред се свежда до пресмятанетона 3 детерминанти от 2-ри ред.

Аналогично важи и за случая на детерминанта от n-ри ред – чрезформулата на Лаплас пресмятането на детерминанта от n-ти ред сесвежда до пресмятането на n детерминанти от (n− 1)-ви ред.

Процесът на пресмятане на детерминанта от произволен ред може ощеда се опрости, ако не се налага пресмятането на адюнгираните коли-чества на част от елементите от реда (стълба), по който я развиваме.Това се случва, когато тези елементи имат стойност нула (в развити-ето на детерминантата тези нулеви елементи умножават съответнитеси адюнгирани количества).


Пресмятане на детерминанти от n-ти ред

И така, идеята за пресмятане на детерминанти от n-ти ред е следната.Първо с помощта на трите елементарни действия да бъдат превърна-ти в нули всички елементи на даден ред (стълб) с изключение на един.След това този ред (стълб) вече е удобен за развиване съгласно пра-вилото на Лаплас – детерминантата ще бъде равна на произведениетона единствения ненулев елемент в реда (стълба) и неговото адюнги-рано количество. Така на всяка стъпка редът на детерминантата сепонижава с единица.Да разгледаме детерминантата от предишния пример

∣∣∣∣∣∣1 −2 12 4 −23 −3 1

∣∣∣∣∣∣←−(−2)

+

←−−−−−−

(−3)

+

=

∣∣∣∣∣∣1 −2 10 8 −40 3 −2

∣∣∣∣∣∣ = 1.(−1)1+1

∣∣∣∣ 8 −43 −2

∣∣∣∣ = −4.


Триъгълни детерминанти

Като непосредствено приложение на правилото на Лаплас получава-ме, че всяка триъгълна детерминанта е равна на произведението наелементите от главния и диагонал, т.е.∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a11 a12 ... a1n

0 a22 ... a2n

... ... ... ...

0 0 ... ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = a11 a22 ... ann.

Свеждането на дадена детерминанта до триъгълна (чрез трите еле-ментарни действия) е още един начин за нейното пресмятане.


Важни приложения на детерминантите

Някои от по-съществените приложения на детерминантите, които щеразгледаме в този курс по линейна алгебра, са:

За установяване дали n вектора на n-мерно векторно пространс-тво образуват негова база – точно когато детерминантата от ко-ординатите им е различна от нула.Формули на Крамер за решаване на системи линейни уравнения,които имат единствено решение.Формула за обратната матрица на дадена неособена квадратнаматрица. Проверка дали дадена квадратна матрица е обратима(неособена).Намиране на характеристичния полином на дадена квадратна мат-рица (линейно преобразувание).Пресмятане на лице на триъгълник (в равнината Oxy) и обем напаралелепипед (и тетраедър) – в курса по аналитична геометрия.


Проверка за база – пример

Тъй като една детерминанта е равна на нула, точно когато система-та от нейните редове (стълбове) е линейно зависима, то можем даизползваме метода на детерминантите, за да установим дали даденасистема от вектори е линейно зависима или независима (разбира се, вслучай, че координатите на векторите формират квадратна матрица).

Нека в R3 дадени векторите v1(1, 2, 3), v2(−1, 4, 3), v3(2, 0, 1). За дапроверим дали тези вектори са линейно независими, съставяме де-терминантата от техните координати, като ги разполагаме по редовеили стълбове. Ако стойността на тази детерминанта е нула, то векто-рите са линейно зависими, а ако е различна от нула, то векторите салинейно независими и тъй като са 3, то ще образуват база на R3.∣∣∣∣∣∣∣

1 2 3−1 4 3

2 0 1

∣∣∣∣∣∣∣ = 4 + 12− 24 + 2 = −6 6= 0.

Следователно {v1, v2, v3} е база на R3.Линейна алгебра4. Детерминанти

Литература

Т. Моллов, Ст. Миховски. Линейна алгебра. Пловдивско универ-ситетско издателство Паисий Хилендарски, Пловдив, 2008.П. Балючев, К. Коликов, А. Стоянова. Ръководство за решаванена задачи по линейна алгебра. Пловдивско университетско изда-телство Паисий Хилендарски, Пловдив, 1996.D. C. Lay, S. R. Lay, Judi J. McDonald. Linear algebra and its applications,5th ed. Pearson, 2016.G. Strang. Linear algebra and its applications, 4th ed. Nelson Engineering,2007.G. Strang, Introduction to linear algebra, 5th ed. Wellesley-CambridgePress, 2016, http://math.mit.edu/∼gs/linearalgebra/.H. Anton, C. Rorres. Elementary linear algebra (applications version),11th ed. Wiley, 2014.P. J. Olver, Ch. Shakiban. Applied linear algebra, 2nd ed. Springer,2018.T. S. Shores. Applied linear algebra and matrix analysis, 2nd ed.Springer, 2018.


http://math.mit.edu/~gs/linearalgebra/

Линейна алгебра 4. Детерминанти. Свойства и...

Documents

Transcript of Линейна алгебра 4. Детерминанти. Свойства и...