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第 4 章 生产决策分析
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第 4 章 生产决策分析
•第 1 节 什么是生产函数•第 2 节 单一可变投入要素的最优利用•第 3 节 多种投入要素的最优组合•第 4 节 规模与收益的关系•第 5 节 柯布-道格拉斯生产函数•第 6 节 生产函数和技术进步
1
第 1 节
什么是生产函数
2
生产函数的概念•生产函数反映在生产过程中,各种投入要素组合
所能生产的最大产量。其数学表达式为: 。
•不同的生产函数代表不同的技术水平。•短期生产函数——至少有一种投入要素的投入量
是固定的;长期生产函数——所有投入要素的投入量都是可变的。
1 2( , , )nQ f x x x
3
第 2 节
单一可变投入要素的最优利用
4
总产量、平均产量和边际产量的相互关系
5
表 4—1 印刷车间每天的总产量、边际产量和平均产量 工人人数 总产量 边际产
量 平均产量
0123456789
1011
0 13 30 60104134156168176180180176
13173044302212 8 4 0-4
13152026
26.8262422201816
6
图 4—1
7
•边际产量 = = 总产量曲线上该点切线的斜率
•平均产量 = = 总产量曲线上该点与原点之间连接线的斜率。
•边际产量 > 平均产量,平均产量边际产量 < 平均产量,平均产量边际产量 = 平均产量,平均产量最大
/Q Ld d
/Q L
8
边际收益递减规律•如果技术不变,增加生产要素中某个要素的投入
量,而其他要素的投入量不变,增加的投入量起初会使该要素的边际产量增加,增加到一定点之后,再增加投入量就会使边际产量递减。
9
生产的三个阶段图 4—2
10
•第一个阶段不合理,因为固定要素投入过多,其边际产量为负值。
•第三个阶段不合理,因为可变要素投入过多,其边际产量为负值。
•第二个阶段是合理的,可变要素和固定要素的边际产量均为正值。
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单一可变投入要素最优投入量的确定•边际产量收入
指可变投入要素增加 1 个单位,能使销售收入增加多少。
•单一可变投入要素最优投入量的条件:/ ( / ) ( / )y yMRP TR y TR Q Q y MR MP
y y y yMRP ME MRP P 或
12
. .
[ 例 4—1]
假定某印染厂进行来料加工,其产量随工人人数的变化而变化。两者之间的关系可用下列方程表示: 这里, 为每天的产量; 为每天雇用的工人人数。又假定成品布不论生产多少,都能按每米 20 元的价格出售,工人每天的工资均为 40 元,而且工人是该厂唯一的可变投入要素 ( 其他要素投入量的变化略而不计 ) 。问该厂为谋求利润最大,每天应雇用多少工人 ?
298 3Q L L Q L
13
解:因成品布不论生产多少,都可按每米 20元的价格出售,所以边际收入 (MR) 为 20元。
成品布的边际产量为:
根据式 (4—5),
即该厂为实现利润最大,应雇用工人 16名。
2(98 3 )98 6
20 (98 6 )
40
L
L L
L L
Q L LMP L
L LMRP MR MP L
ME P
d dd d
则
20 (98 6 ) 40L L =16
.
14
[ 例 4—2] 在上面印刷车间的例子中,假定印刷品的价格为每
单位 15 元,工人的日工资率为 120 元。 ( 1 )假定工人是该车间唯一的可变投入要素,该
车间应雇用多少工人 ? ( 2 )假定伴随工人人数的增加,也带来用料 ( 纸张 ) 的增加,假定每单位印刷品的用料支出为 5.0元。该车间应雇用多少工人 ?
解:( 1 )假定工人是唯一的可变投入要素。
15
根据表 4—2 ,当 元时,工人人数为 8 人,所以应雇用 8 人。
( 2 )假定随着工人人数的增加,也会相应增加原材料支出,则有关数据可计算如下:
2.4L L LMRP ME P
表 4—2
16
工人人数( 1 ) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
边际产量 13 17 30 44 30 22 12 8 4 0
边际产量收入 195 255 450 660 450 330 180 120 60 0
边际支出 120 120 120 120 120 120 120 120 120 120
120
根据表 4—3 ,当工人人数为 7 时, =180 。所以,最优工人人数应定为 7 人。
L LMRP ME
表 4—3
17
工人人数( 1 ) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
边际产量 13 17 30 44 30 22 12 8 4 0
边际产量收入 195 255 450 660 450 330 180 120 60 0
边际支出 185 205 270 340 270 230 180 160 140 120
第 3 节
多种投入要素的最优组合
18
等产量曲线的性质和类型•什么是等产量曲线
等产量曲线反映能生产一定产量的各种投入要素组合。
图 4—3
19
•性质:较高位置的等产量曲线总是代表较大的产量。
图 4—4
20
•分类:1. 投入要素之间完全可以替代
图 4—5
21
2. 投入要素之间完全不能替代
图 4—6
22
3. 投入要素之间替代不完全
图 4—7
23
边际技术替代率( MRTS )
•指增投 1 个单位 x ,能替代多少单位 y 。
24
/ ; / /x yMRTS y x y x MP MP 图 4— 8
25
•边际技术替代率等于等量曲线的斜率,它总是随着 x 投入量的增加而递减。
26
等成本曲线•等成本曲线反映总成本不变的各种投入要素组合。•等成本曲线的方程式:
这里, 代表等成本曲线在 轴上的截距,说明越在外面的等成本曲线代表越高的成本; 代表等成本曲线的斜率。
/ ( / )x y y x yE P x P y y E P P P x 或
/ yE P y/x yP P
. .
27
.
图 4—9
28
多种投入要素最优组合的确定•图解法
等产量曲线与等成本曲线的切点代表最优组合。图 4—10
29
•一般原理:多种投入要素最优组合的条件
是:
图 4—12
1 2
21
n
n
x xx
x x x
MP MPMP
P P P
30
[ 例 4—4] 假设等产量曲线的方程为: ,其中 K 为
资本数量, L 为劳动力数量, a 和 b 为常数。又假定 K 的价格为 PK, L 的价格(工资)为 PL 。试求这两种投入要素的最优组合比例。
解:先求这两种投入要素的边际产量。 L 的边际产量为:
K 的边际产量为:
a aQ K L
1( )a ba b
L
K LMP K bL
K
1( )a bb a
K
K LMP L aK
K
31
b
根据最优组合的一般原理,最优组合的条件是:
所以, K 和 L 两种投入要素的最优组合比例为 a PL / b
PK 。
1 1
kL
L
a b b a
L K
L K
L
K
MPMP
P Pk
M bL L aK
P P
bK aL
P P
aPK
L bP
即
或
K
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[ 例 4—5]
某出租汽车公司现有小轿车 100 辆,大轿车 15辆。如再增加一辆小轿车,估计每月可增加营业收入 15 000 元;如再增加一辆大轿车,每月可增加营业收入 40 000 元。假定每增加一辆小轿车每月增加开支 12 500 元(包括利息支出、折旧、维修费、司机费用和燃料费用等),每增加一辆大轿车每月增加开支 25 000 元。该公司这两种车的比例是否最优 ? 如果不是最优,应如何调整 ?
33
34
30 000 2 500
3012( )
2 500
10 000 1 250
108( )
1 250
MP P
MP
P
MP P
MP
P
大 大
大
大
小 小
小
小
解:
000元
000元
40 000
40 000
50 000
50 00012 500
25 000
1.6(元 )
1.2(元 )
25 000
12 500
即大轿车每月增加 1 元开支,可增加营业收入 12元,而小轿车只能增加营业收入 8 元。两者不等,说明两种车的比例不是最优。如想保持总成本不变,但使总营业收入增加,就应增加大轿车,减少小轿车。
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利润最大化的投入要素组合•为谋求利润最大,两种投入要素之间的组合,必须同时满足MRPK=PK 和 MRPL=PL 。这种组合也一定能满足最优组合的条件,即MPK/PK=MPL/PL 。
36
图 4—13
37
价格变动对投入要素最优组合的影响•如果投入要素的价格比
例发生变化,人们就会更多地使用比以前便宜的投入要素,少使用比以前贵的投入要素。
图 4—14
38
生产扩大路线•指随着生产规模的扩大,投入要素最优组合比例发生变化的轨迹。 图 4—15
•长期生产扩大路线•短期生产扩大路线
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第 4 节
规模与收益的关系
40
规模收益的三种类型假定: aL+aK=bQ 1. b>a 规模收益递增 2. b<a 规模收益递减 3. b=a 规模收益不变
41
图 4—16
42
影响规模收益的因素•促使规模收益递增的因素( 1 )工人专业化( 2 )使用专门化的设备和先进的技术( 3 )大设备单位能力的费用低( 4 )生产要素的不可分割性( 5 )其他因素
•促使规模收益不变的因素•促使规模收益递减的因素,主要是管理因素
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规模收益类型的判定
•假如,那么, h<k 规模效益递减 h=k 规模效益不变
h>k 规模效益递增•如果生产函数为齐次生产函数:那么, n=1 规模效益不变( h=k ) n>1 规模效益递增( h > k , 假定 k>1 ) n<1 规模效益递减( h < k , 假定 k>1 )
, ,hQ f kx ky kz
, ,nhQ k f x y z
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柯布 - 道格拉斯生产函数•形式:•优点:
1. 其对数形式为线性函数2. 边际产量的变化,符合边际收益递减规律3. 属于齐次生产函数,便于判断规模收益类型4. 指数 b 、 c ,恰好是 K 、 L 的产量弹性
b cQ aK L
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第 6 节
生产函数和技术进步
46
技术进步导致生产函数的改变•技术进步,指技术知识及其在生产中的应用有了
进展。它应当表现为以更少的投入,得到与以前同样的产出。
故技术进步导致生产 函数的改变,表现为 等产量曲线的位移。图 4—18
47
技术进步的类型1. 劳动节约型2. 资本节约型3. 中立型
48
图 4—19
49
技术进步在产量增长中所作贡献的测定 假定某生产单位的生产函数为:
那么,
假定在这一期间 ,该单位增加的全部产量为 ΔQ 。
式中, 为因增加投入而引起的产量的增加; ΔQ ′ 为由技术进步引起的产量的增加。 两边均除以 Q ,得:
Q aK L
1
K
L
MP a K L
MP K L
K LQ MP K MP L Q
K LMP K MP L
K LMP K MP LQ K L Q
Q Q K Q L Q
50
-1
.. ...
... .
如果 ΔQ/Q 为全部产量增长率,记为 GQ ; ΔK/ K 为资本增长率,记为 GK ; ΔL/ L 为劳动增长率,记为 GL ; ΔQ′/ Q为因技术进步引起的产量增长率,记为 GA ,则式 (4—13) 又可写为:
或: A Q K LG G G G
Q K L AG G G G
1
1
K
L
MP K a K L K
Q aK L
MP L a K L L
Q aK L
Q K L Q
Q K L Q
51
.
.
.
.
[ 例 4—7]
假定某企业期初的生产函数为: 。在这期间,该企业资本投入增加了 10 % ,劳动力投入增加了 15% ,到期末总产量增加了 20% 。( 1 )在此期间该企业因技术进步引起的产量增长率是多少 ? ( 2 )在此期间,技术进步在全部产量增长中做出的贡献是多大 ?
解:( 1 )因技术进步引起的产量增长率为: GA=GQ -αGK - βGL=20 %-0.4×10%-0.6×15% =7% 即在全部产量增长率 20% 中,因技术进步引起的产量增长率为 7% 。 ( 2 )技术进步在全部产量增长中所做的贡献为: GA /GQ× 100%=7% / 20%×100%=35% 即在全部产量增长中,有35% 是由技术进步引起的。
0.4 0.45Q K L
52
0.6