第 4 章 电路的暂态分析
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第 4章 电路的暂态分析 4.1 电压、电流初始值和终止值的计算4.2 一阶电路的零输入响应 4.3 一阶电路的零状态响应 4.4 阶跃函数和阶跃响应4.5 RC 电路对矩形脉冲的响应4.6 一阶电路的全响应4.7 一阶电路的三要素法4.8 二阶电路的零输入响应
这一章主要讨论 RC 、 RL 、 RLC 电路的暂态分析,即一阶电路和二阶电路分析。一阶电路:只含有一个动态元件的线性电路,用一阶线性、 常系数微分方程来描述的电路。二阶电路:用二阶微分方程来描述的电路。 在暂态分析中,要用第一章的内容,即电容电流为有限值时,则电容电压不能突变。电感电压为有限值时,电感电流不能突变。
4.1 电压、电流初始值和终止值的计算 i(0),u(0), du/dt(t=0),di/dt(t=0)
i 和 uR2 跃变的原因是,电阻上的电压和电流之间的关系为线性关系: u=i·R而 C : ; L:
综上所述:在换路的瞬间 ( t = 0), 电容的电压和电感的电流都不能突变应保持原值,称为连续性原理(在 ic 有界,ul 有界时)。在换路时:
dtduci c
c dtdi
Lu LL
例:求开关 K 闭合 1 、电流、电压的初始值及 2 、 t=∞ 的稳态值。 已知: K 闭合前电容、电感均无贮能。
o
co dtdu
dtdi
,3
解:由已知条件可得: uc(0-)=0, i3(0-)=0
例 2 、求 t=0 , t=∞ 时各电压、电流。已知:电路原已稳定 .
解: t=0- 时等效电路
4.2 零输入响应( Zero input response )零输入响应:电路在没有外加输入时的响应,仅由于非零初始状 态所引起的响应。
4.2.1 RC 电路的零输入响应 ( RC—Circuit Zero input response ) 假设电容器 C 在 t=0 时刻已充满电,且 uc ( 0- ) =Uo 。即 t=0时, K1 开, K2 闭。
这是一个带有初始条件的一阶线性齐次常微分方程。 由数学知识可知:该微分方程的解具有下列形式: uc = Aest
S 、 A 为待定常数将上式代入微分方程RCSAest+Aest=0, Aest ( RCS+1 ) =0 ∵Aest≠0 故有
RCS 1
t
RCc Aeu
1
积分常数 A ,由初始条件来确定 uc(0)=Aeo=Uo ∴A=Uo
S 为特征方程根
固有频率
由以上可知: uc 、 uR 、 ic 都是按同样的指数规律变化的, 故在 R>0 时, uc 、 ic 、 uR 均按指数规律不断衰减,最后到 0 。
t 0 τ 2τ 3τ 4τ 5τ………∞uc Uo 0.368Uo 0.135Uo 0.05Uo 0.018Uo 0.007Uo……0RC 电路的零输入响应是电容电压的初始值 U0 和 RC 来确定。
4.2.2 RL 电路的零输入响应 (RL—Circuit Zero—input Response)
0)(0)()(
tAeItAeItit
otLR
o
RL
令 时间常数 ( 单位为 s)
)(veIRRiut
ooR
t≥o;
)(veRIdtdiLu
t
oL
t≥o
零输入响应是由非零初状态产生的,它取决于电路的初始状态和电路的特性。
4.3 零状态响应 ( Zero State Response ) 零状态响应即零初始状态响应,这是在零初始状态下,在初始时刻仅由施加于电路的输入所产生的响应。显然,这一响应只与输入有关。(只讨论直流输入)uc ( 0 ) =0 或 iL ( 0 ) =0 时的响应
4.3.1 RC 电路的零状态响应
解:由 KCL : ic+iR=Is dtdu
Ci cc
Ru
i cR ;
齐次解(通解) + 特解 即: uc ( t ) =uch+ucp
输入为零时的解(齐次解)可设为 : t
ch Aeu
τ=RC
(特解)即: ucp=K 代入微分方程得: K=RIs 这是一种方法方法 2 :求特解可根据 t→∞ 时电路的状态来定 ∵ uc ( t ) =ucp+uch t=∞ 时; uc (∞) =ucp (∞) + 0 =IsR 故微分方程的完全解为: uc=úch+ucp
s
t
c RIAetu )( uc ( o ) =A+RIs=o ∴A=-RIs
由此可知电容电压随时间变化的全貌,它从零值开始按指数规律上升趋向于稳态值 RIs 。
s
t
sc RIeRItu )( ))(1( veRI
t
s
故有:t≥o
)(AeIdtduci RC
t
sc
c
))(1( veRIRiut
sRR
t≥O;
t≥O;
))(1( AeIeIIiIit
s
t
sscsR
t≥O
从分析过程中可以看出,在 K 打开的瞬间,电容器上的电压为 0 ;但电流变化率最大 c
Idtdu sc
在微分方程的完全解中的齐次解又称为固有响应,特解为强制响应。故:电路的完全响应为 == 固有响应分量 +强制响应分量当 R>0 ,输入为常数或为周期函数时: 完全响应 == 暂态响应 + 稳态响应。
4.3.2 RL 电路的零状态响应 (请同学们自己看)
零状态响应小结:1 )
)1)(()( t
eftf
一般形式
2 ) f( t )取决于 uc (∞), iL (∞)和 τ 值3 ) R>0 时,响应,(固有 +强制 = 暂态 + 稳态)4 )输入增大 K倍,响应增大 K倍。
4.4 阶跃函数和阶跃响应 (Step function and step Response)
4.4.1 单位阶跃函数的意义
4.4.2 延时单位阶跃函数
有了阶跃函数的定义,我们可以把具有 t=0 时刻的开关变化电路改画成:
例:
4.4.3 单位阶跃响应 零状态电路对单位阶跃信号的响应称为单位阶跃响应,用 S ( t )表示。
若设 is ( t ) =Is·1 ( t )—表示信号在 t≥O时刻加上。
则: )(1)1()( teRItut
sc
可以写成: uc(t)=Is·S(t)
例题:
已知: p(t)=Is{1(t)-1(t-to)}=p′(t)+p″(t)显见: p′(t)=Is·1(t); p″(t)=-Is·1(t-to)
4.5 RC 电路对矩形脉冲的响应 根据输入矩形波的脉冲宽度 tp 和电路的时间常数τ ,分为 RC 微分电路和积分电路。4.5.1 RC 微分电路: ( C 上无贮能 )
电路结构如图所示,构成微分电路的条件:
由电路可知:dtdu
RCRtitu c )()(2
dtdu
tu c)(2我们需要: u1(t)≈uc(t) u1(t) = uc(t) + uR(t)
则要: uc(t) >> uR(t) 上式即满足
即: 要成立Rtidttict )(.)(1
∫i(t)·dt>>RC·i(t) ∵ τ<<tp , 即 τ很小, RC很小。
故: 满足 . 若 i(t)=Is, 则 Istp>>Is·RC
∴ u1(t)≈uc(t) 即 uc(t)>>uR(t)
则有: 成立 , 一般情况下
tpo tiRCdtt )()(
dttdu
RCtu)(
)( 12 pt)5
1~31(
作用:突出了输入信号变化的部分。
4.5.2 RC 积分电路
在零初始条件下: dtu
RCdt
Ru
cdtti
ctu R
R 11)(1)(2
要使: u2 与 u1成积分关系则有 u1≈uR ,u1(t) = uc(t) + uR
(t)
即: uR(t)>>uc(t) dttic
Rti )(1)(
只要 RC 有足够大上式即可满足。故有 dttu
RCtu )(1)( 12
4.6 一阶电路的全响应4.6.1 完全响应 == 零输入响应 + 零状态响应
此微分方程解为: uc(t)=uch(t)+ucp(t)
代入初始条件: A+IsR=Uo ∴ A=Uo-IsR
故可得: )()()( VRIeRIUtu s
t
soc t≥0
RIAe s
t
当 :Is=0 时 零输入
当 :Uo=0 时 零状态
故上式可写成:
t
oc eUtu
)(
)1()( t
sc eRItu
)1()( t
s
t
oc eRIeUtu
4.6.2 完全响应 == 固有响应 +强制响应 (有条件的相等)
RIeRIUtu s
t
soc )()(
固有(暂态) + 强制(稳态)
全响应 == 零输入 + 零状态
4.7 一阶电路的三要素法指数曲线由三个值所确定:
a. 起点,即参考时间( t=0) 的纵坐标 f(0+)点。b. 终点,即 t=∞ 时指数曲线最终将趋近的值 f(∞)点。c. 由初始点到终点变化的快慢,即时间常数 τ 。
由零输入响应可得通式 : t
eoftf
)()(
由零状态响应可知: )1)(()( t
eftf
由全响应可知(零输入 + 零状态) )1)(()0()( tt
efeftf
整理得: t
effftf
)()0()()(
这就是三要素公式。f=(0+)表示电压、电流的初始值。f(∞)表示电压、电流的稳态值。τ…表示时间常数 =RoC 或
oRL
R0---- 由动态元件看进去的代维南等效电路。
例 1 :已知 uc(0)=0 ,求 t≥0 时的 uc(t)=?
代入三要素公式 t
effftf
)()0()()(
)(1)10(1)( 2 Veetutt
c
t≥0
例 2 、(微分方程、三要素法)
由 KCL (节点 a ) 得: i1=4-iL 代入下式4
141
LiLu dtdi
Lu LL 42
141
LL idtdi得:
471
LL idtdi 01
71
S特征方程: ∴ S=-7
kst
L iAeti )(
(iLp)K 代入微分方程,可知 k=4
∴ i(0)=A+4=0 ∴ A=-4 故: t≥0))(1(444)( 77 Aeeti ttL
是一个零状态响应。 下面用三要素求解: 已知: iL(0)=0 iL(∞)=4A
由三要素公式:
t
L eti
)40(4)( )1(4 t
e
求 τ ,(求 Ro )(外加电压法)
例 3 、已知 us(t)=1(t) , 且 uc(o)=5(v) ,求 uo(t) , t≥0
解:把电路视为二个独立的部分,分别求解: ∵ uo(t)=-0.5×2uc(t) 先求出 uc(t) ,利用三要素法: uc(o)=5(V)
)(522
51)( vuc
tc etu 278.0
525
52)(
)(
523
52 278.0 Ve t t≥0
))(523
52()( 278.0 Vetu t
o
=-(0.4+4.6e-0.278t)(v) t≥0
例 4 、已知 i ( o ) =2A ,求 t>o ,u ( t )解:这是一个零输入响应,把电路结构换一下。
故: iL(t)=2e-2t A t≥0)(168 22 Vee
dtd
dtdi
Lu ttLL
t≥0
例 5 :若 t=0- 时,电路处于稳态,试求 i(t) 及 u(t) 。 t>0
解:利用三要素法,依题意先求出 t=0- 时 uc(t) , iL(t)
求 t=∞ 时值:
开关闭合后,电路变成两个独立的部分, 2 个 τ 。RC : τ1=100k×1μF=10-1s ,RL : )(10
10)51//3(10100 4
3
3
2 SRL
故: uc(t)=45e-10t(v) t≥0 iL(t)=-60+[-15+60]e-10+4t(mA))(4560
410 mAe t t≥0
)(45.0)( 10 mAedtdu
Cti tc
)(45)(410 Ve
dtdiLtu t
t≥0
t≥0
4.8 二阶电路的零输入响应用二阶微分方程来描述的电路称为二阶电路。有三种类型:
看一个 RLC串联电路 (RLC—Srivese Circuit Zero input response)
在电路中以 uc 为求解对象
由数学知识可知:此二阶方程的解由其特征方程根来定故有特征方程为: 012
LCS
LRS
显见这一方程有二个根 S1 、 S2
LCLR
LRS 1)
2(
22
2,1
由于 R 、 L 、 C参数不同, S1 、 S2 可能出现三种不同的情况。
先讨论第一种情况 (过阻尼)1 、过阻尼:
LCLR 1)
2( 2 时; 即:
CLR 42 时
S1.S2 为不相等的负实数微分方程的解答为: tsts
c ekektu 2121)(
其中 K1 、 K2 由初始条件确定解得:
oc VSSSc
oiouSSS
K 212
212
11)()(1
12
11
212
)()(1SSVS
coiouS
SSK O
c
设初始条件 uc(0)=Vo i(0)=0
则有:OVSSS
K 212
11
12
12 SS
SVK o
;
))(()( 21
12
21 AeeSSSSCV
dtducti tstsoc
t≥0
)(2112
21VeSeS
SSV tstso
tsts
c eKeKtu 2121)( t≥0
由: (韦达定理)LCSS 1
21
* tm 的大小决定于电路的参数。在 t=tm 时, → uL=0由 uL 的表达式 :
故有: (t=tm)
,0dtdi
0)( 2121
12
tstso
L eSeSSS
Vu
02121 tsts eSeS
)(
1
2 21 sstmeSS
取对数:
电流的最大值出现在换路的瞬间。整个过程,能量的转换可以用下图表示。
)( 211
2 SStSS
mn 1
2
21
1SS
SSt nm
2.Critically damped 临界阻尼当 S1.S2 为相等的负实数时,当 时固有频率为相等的负实数。微分方程解为:∴ uc(t)=(K1+K2t)est
积分常数由初始条件确定: uc(0)=Vo,i(0)=0 , uc(0)=K1=Vo
LCLR 1)
2( 2
tstsc tekektu 21
21)( LRSSS221
CoiSKSK
dtdu
tc )(0210 故有: K1=Vo , K2=-VoS
)()1()()( VestVestVVtu sto
stooc t≥0
)()1()( VestVdtdiLtu st
oL t≥0
)()( AteLV
dtducti stoc
L
)()( VteVLRRitu st
oR
t≥0;t≥0
由电路各式可以看出,它们均单调衰减而最后趋于 0 ,所以仍属于非振荡类型。但这是一个临界点。(振荡和非振荡)
所以它们的变化曲线类似。3 、欠阻尼 (Under damped )
∴ S1.2=-а±jωd
tstsc ekektu 21
21)(
ttjtjtjtj eekekekek dddd 21)(
2)(
1
uc(t)=e-аt(AConωdt+BSinωdt) 其中: A=K1+K2 B=j(K1-K2)
式中: ; 22 BAK )(1
ABtg
A 、 B 、可由初始条件确定。 uc(0)=Vo i(0)=0uc(0)=A=Vo [uc(t)=e-аt(AConωdt+BSinωdt)]
0)( c
oiBAdtdu
dotc
odVB
1
uc(t) 的曲线如下:
当电路中 R较小时,符合 这一条件时是振荡性的,称为欠阻尼情况。理想情况 R=0 。无损耗的: а=0
这时两个特征方程根是虚数 S1=jωo S2=-jωo
uc(t)=KCon(ωot-φ) 是一个等幅振荡。由贮能元件确定ωo 称电路的谐振角频率。
CLR 2
а为衰减系数。ωd—— 衰减振荡的角频率。
习题课1 、求网络结构 已知:电源作用一阶网络时所到的响应如图所示。
解:( 1 )看波形:由数学上可知: to tdt
满足这种关系的电路是一个纯电容元件
dttic
tu )(1)(
(2) 由波形可知,充放电过程。 设想一种结构
( 3 )从波形上看,输出电压在此 0点↑ 3V。能满足此要求是电感。 ∵ 电感电压可以跃变 . 0≤t≤1 i(t)=1A u(0+)=3(v) 由波形可知∵τ=1s 可取 R=3Ω ; 取 L=3H t>1 时 i(t) =0 电感放电。通过 R 上电流反向。由负方向衰减到 0
∵ 放电时,通过 R 上电流反向(电感放电以电流的形式)
2 、求 t>0 时 uo(t) 的响应,零输入零状态全响应。
解: uo(t)=uc(t) 显见: uo(0-)=uc(0-)=V2
τ=RoC=(1+β)R2·C由三要素法:
t
o eRRV
VVRRV
Vtu
)()()( 2
1
1222
1
12
))(1(21
12 VeR
RV
Vt
t≥0
3 、开关 t=0 时闭合,闭合前电路处于稳态。在 t=100ms 时打开。求 uab(t)
解: t=0- 时,电容稳态开路。)(1503
6300)( vkk
ouc
故 uab(0+)=37.5mA×1k+150=187.5(v)
t=∞ 时:
1)1205.187(120)( t
ab etu
t
e
5.67120
100ms≥t≥0 显见 100ms>>τ1
当 t=100ms 时,由于 100ms>τ1 ,故电路已处于稳态。
由前面可知: uc(0.1)=uc(∞)=60(v)把电路化简:由 ab 端看入代维南等效电路
uab(∞)=uc(∞)=150(v) ; τ2=(1.5+2)103×5×10-6=17.5ms)(1.0
26.38150)(vt
ab etu
t≥100ms
4 、网络 N 是线性和纯电阻的,单位阶跃电压 1 ( t )所于端纽 11′ ,在 22′ 上连接 2F 电容时,输出端的零状态响应为:)(1)
81
21()( 4
1
tetut
o
问若把电容换上一个电感 2H 的电感,零状态响应 uo(t) 应如何。
解:依题意:可把由电容两端看进去的代文宁等效电阻视为 Ro 。则由 τ=4 可知:
224
cRo
)(85)0( vuo ))
21
85(
21)((
t
o etu
在接电容时:)(
85)()0( vuu oo Ro=2Ω 故 1
22
1 RL
s
)(81
85)
85
21(
85)( veetu t
t
o
t≥0
5 、已知: uc ( 0- ) =1 ( v ) iL ( 0- ) =2A 求 t≥0,u(t)
解:分二部计算: RC ; RLRC : uc(0)=1(v) uc(∞)=2(v) τ=RC=0.5×2=1s ∴ uc(t)=2+(1-2)e-t=2-e-t (v) t≥0RL : i(o)=2A i(∞)=1A ∴ iL(t)=1+(2-1)e-2t=1+e-2t t≥0 故: u(t)=uc(t)+uL(t) =(2-e-t-2e-2t)v t≥0
)(2)( 2 vedtdiLtu tL
L
6 、
解:开关 K 闭合后: i(t)=iL(t)+ic(t) 分别求解
)(1)1()( 21
12te
RV
eRV
tit
st
s
欲使 i ( t )一跃到达稳态。则暂态分量为 0 。即 021
12
t
st
s eRV
eRV
21
12
t
st
s eRV
eRV
;
7 、在图中( a )加一电容,使电路成为过阻尼还是欠阻尼 在图中( b )加一受控源( θ<а<1 )结果如何?
解: a) 原电路:
b) 原电路 82426
2 104)102()10102.0()
2(
L
R
862 10
101011
LC 即: 过阻尼LCL
R 1)2
( 2
故 Ro>R 故仍为过阻尼