ФУНКЦИЯ. ПРЕДЕЛЫ....

Ростовский-на-Дону колледж радиоэлектроники,

информационных и промышленных технологий

Алексеева Е.В.

ФУНКЦИЯ. ПРЕДЕЛЫ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ

Учебно-методическое пособие

по дисциплине «Математика»

для студентов 1 курса всех специальностей

и студентов 2 курса специальностей: 11.02.01 «Радиоаппаратостроение»

11.02.02 «Техническое обслуживание и ремонт

радиоэлектронной техники (автотранспорт)»

15.02.07 «Автоматизация технологических процессов

и производств (по отраслям)»

15.02.08 «Технология машиностроения»

38.02.01 «Экономика и бухгалтерский учет (по отраслям)»

по дисциплине

«Элементы высшей математики»

для студентов 2 курса специальностей: 09.02.01 «Компьютерные системы и комплексы»

09.02.03 «Программирование в компьютерных системах»

ББК 22.11

А-47

Рекомендовано к изданию Методическим советом РКРИПТ

Рецензенты: Гайдай Е.В. – председатель городского методического объединения,

преподаватель математики

Алексеев В.В. – преподаватель математики РКРИПТ

Функция. Пределы. Непрерывность: учебно-методическое пособие по дисциплинам «Математи-

ка» и «Элементы высшей математики» / сост.: Алексеева Е.В. – Ростов-на-Дону: РКРИПТ, 2012. – 40 с.

Учебно-методическое пособие разработано:

- в соответствии с Разъяснениями по реализации федерального государственного образова-

тельного стандарта среднего (полного) общего образования (профильное обучение) в пределах ос-

новных профессиональных образовательных программ начального профессионального или среднего

профессионального образования, формируемых на основе федерального государственного образова-

тельного стандарта начального профессионального и среднего профессионального образования по

дисциплине «Математика» для студентов 1 курса всех специальностей;

- в соответствии с требованиями ФГОС СПО для студентов студентов 2 курса специальностей:

11.02.01 «Радиоаппаратостроение», 11.02.02 «Техническое обслуживание и ремонт радиоэлектрон-

ной техники (автотранспорт)», 15.02.07 «Автоматизация технологических процессов и производств

(по отраслям)», 15.02.08 «Технология машиностроения», 38.02.01 «Экономика и бухгалтерский учет

(по отраслям)» и по дисциплине «Элементы высшей математики» для студентов 2 курса специально-

стей: 09.02.01 «Компьютерные системы и комплексы», 09.02.03 «Программирование в компьютер-

ных системах».

В учебное пособие вошли теоретические сведения из темы «Функция. Пределы. Непрерыв-

ность», приведены основные методы, связанные с вычислением пределов функций различных типов,

исследованием функций на непрерывность, а также включены задания для самостоятельного реше-

ния по теме.

Учебное пособие носит практический характер и может быть использовано как на занятиях, так

и во время внеаудиторной подготовки.

© Ростовский-на-Дону колледж радиоэлектроники, информационных

и промышленных технологий, 2014

ОГЛАВЛЕНИЕ

РАЗДЕЛ 1. ПРЕДЕЛ ЧИСЛОВОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 4

1.1. Определение числовой последовательности 4

1.2. Способы задания числовой последовательности 4

1.3. Графическое изображение последовательности 4

1.4. Арифметические действия над последовательностями 5

1.5. Свойства последовательностей 5

1.5.1. Ограниченные и неограниченные последовательности 5

1.5.2. Монотонные последовательности 6

1.6. Сходящиеся последовательности. Предел последовательности 6

1.7. Необходимое и достаточное условия существования предела

последовательности 8

1.8. Основные теоремы о пределах 9

1.9. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Связь

между бесконечно малыми и бесконечно большими последовательностями 9

РАЗДЕЛ 2. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ 14

2.1. Определение предела функции 14

2.2. Основные теоремы о пределах функции 15

2.3. Вычисление пределов функций 15

2.3.1. Раскрытие неопределенности типа .

16

2.3.2. Раскрытие неопределенности типа .0

0 17

2.3.3. Раскрытие неопределенности типа 23

2.3.4. Раскрытие неопределенности типа 1 25

2.4. Сравнение бесконечно малых величин. Принцип замены эквивалентными

величинами 27

2.5. Непрерывность функции 31

2.5.1. Приращение аргумента и приращение функции 31

2.5.2. Непрерывность и точки разрыва 32

2.5.3. Односторонние пределы 33

2.5.4.Точки разрыва функции, их классификация 35

Приложение 39

4

РАЗДЕЛ 1. ПРЕДЕЛ ЧИСЛОВОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

1.1. Определение числовой последовательности

Определение 1. Если каждому натуральному числу nN поставлено в соответствие

вещественное число nx , то множество вещественных чисел ......,,321 n

xxxx образуют чис-

ловую последовательность.

Определение 2. Числовая последовательность – это функция, заданная на множе-

стве натуральных чисел

nn xfx ,

где nx – обозначение числовой последовательности;

...,...,,, 321 nxxxx – элементы числовой последовательности;

nx – общий (n-й член) последовательности;

n – номер члена последовательности.

1.2. Способы задания числовой последовательности

1. Аналитический.

Последовательность задаётся формулой общего члена. Например,

nxn

1 .

2. Рекуррентный.

В этом случае задаётся способ вычисления последующих членов последовательности

через предыдущие, и задаются несколько первых членов последовательности. Например,

3,2,2 2121 xxxxx nnn .

1.3. Графическое изображение последовательности

1. На числовой прямой.

В этом случае на числовой прямой изображаются точки, координаты которых равны

значениям членов последовательности.

X 0 x3 x4

0,5 1 1,5 2

1x 2x

5

2. На координатной плоскости.

В этом случае члены последовательности изображаются как точки с координатами

nxn; .

1.4. Арифметические действия над последовательностями

1. Произведением последовательности nx на число m называется последовательность

nxm

2. Суммой (разностью) последовательностей nx и ny называется последовательность

nn yx .

3. Произведением последовательностей nx и ny является последовательность nn yx

4. Частным последовательностей nx и ny ( 0ny ) является последовательность

n

n

y

x

1.5. Свойства последовательностей

1.5.1. Ограниченные и неограниченные последовательности

1. Последовательность nx называется ограниченной сверху, если существует число M,

такое, что для любого n выполняется неравенство nx M.

Например, последовательность, заданная формулой общего члена nxn

;1;2;3;4;5... ограничена сверху числом 1M .

2. Последовательность nx называется ограниченной снизу, если существует число m, та-

кое, что для любого m выполняется неравенство nxm .

Например, последовательность, заданная формулой общего члена nxn (1; 2; 3; 4; 5; …)

ограничена снизу числом 1m .

x

y

2

1,5

1

0,5

1 2 3 4

6

3. Последовательность nx называется ограниченной, если она ограничена сверху и снизу.

Например, последовательность

n

1=

...

4

1;

3

1;

2

1;1 является ограниченной, т.к. снизу она

ограничена числом 0m , а сверху числом 1M .

4. Последовательность nx называется неограниченной, если для любого числа A суще-

ствует элемент nx , такой, что выполняется неравенство AAxAxnnn x , .

Например, последовательность n)1( n = ;...5;4;3;2;1 не ограничена.

1.5.2. Монотонные последовательности

1. Последовательность nx называется возрастающей, если каждый последующий её

член больше предыдущего nn xxn 1 . Например,

nxn

2. Последовательность nx называется убывающей, если каждый

последующий её член меньше предыдущего nn xxn 1 . Например,

nxn

1 .

1.6. Сходящиеся последовательности. Предел последовательности

Определение. Окрестностью точки a на числовой прямой называется интервал, со-

держащий эту точку aa ; .

На чертеже изображена – окрестность точки a .

Рассмотрим последовательность n

xn

1 .

Изобразим члены последовательности на числовой прямой:

На чертеже легко увидеть, что с увеличением номера n все точки, обозначающие чле-

ны последовательности, «сгущаются» около точки 0.

X a a+

a

-

7

Определение 1. Точка, в любой окрестности которой содержится бесчисленное мно-

жество членов последовательности, называется точкой сгущения членов последовательно-

сти, или пределом последовательности.

Определение 2. Постоянное число a называют пределом последовательности nx ,

если для любого положительного числа существует число N , зависящее от выбора числа

, такое, что как только номер n членов последовательности nx превосходит число N ,

то все члены последовательности nx попадают в – окрестность точки a .

( N 0 как только Nn , то сразу выполняется неравенство axn ).

Обозначение предела:

axnn

lim

n

n ax .

Пример 1. Доказать, что 3

2

23

12lim

n

n

n.

Решение. Согласно определению предела число 3

2 будет пределом последовательно-

сти

23

12

n

n, если 0 найдётся номер NN , такой, что выполняется условие:

3

2

23

12

n

n, при Nn .

69

7

233

7

3

2

23

12

nnn

n

Решим полученное неравенство относительно n :

769 n

769 n

679

n

9

67n , где

9

67 – целая часть числа

9

67 ,

таким образом

9

67N .

Найдём номер N для 001,0;01,0;1,0 , для этого в выражение

9

67N вместо подставим:

8

1. 1,0 : 79

17

9,0

4,6

9,0

6,07

N , т.е., начиная с 8-го номера, все члены по-

следовательности

23

12

n

n попадают в – окрестность точки

3

2, равную 0,1;

2. 779

177

09,0

94,6

09,0

06,07:01,0

N , т.е., начиная с 77-го номера все чле-

ны последовательности

23

12

n


3

2, равную 0,01;

3. 7739

7773

009,0

994,6

009,0

006,07:001,0

N , т.е., начиная с 773-го номера,

все члены последовательности

23

12

n


3

2, равную 0,001.

Таким образом, на данном примере мы убедились в следующем:

1. если число a есть предел последовательности nx , то в – окрестность точки a –

не попадает только конечное число членов последовательности.

2. количество членов последовательности, не попадающих в – окрестность числа a ,

зависит от выбора самого числа .

Определение. Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся; после-

довательность, не имеющая предела, называется расходящейся.

1.7. Необходимое и достаточное условия существования предела

последовательности

Теорема (необходимое условие существования предела последовательности):

Для того чтобы последовательность имела предел, необходимо, чтобы она была

ограничена.

Данное условие не является достаточным для существования предела последовательно-

сти. Например, последовательность nxn

n 1 ограничена снизу числом 1 , сверху

числом 1, но предела она не имеет, т.к. для членов данной последовательности

...1;1;1;1;1;1 не существует точки сгущения.

Если же условие теоремы не выполняется (последовательность не ограничена), то этого

достаточно, чтобы утверждать, что последовательность расходится.

Теорема Вейерштрасса (достаточное условие существования предела последователь-

ности):

Всякая монотонная ограниченная последовательность имеет предел. Теорема (о единстве предела последовательности):

Сходящаяся последовательность имеет только один предел.

9

1.8. Основные теоремы о пределах

Пусть byax nn

nn

lim,lim .

1. Предел постоянной величины равен этой величине.

CCn

lim .

2. Предел суммы (разности) двух сходящихся последовательностей равен сумме (разно-

сти) пределов каждой из них.

.limlimlim bayxyx nn

nn

nnn

3. Предел произведения двух сходящихся последовательностей равен произведению пре-

делов каждой из них.

.limlimlim bayxyx nn

nn

nnn

4. Предел частного двух сходящихся последовательностей равен частному пределов

каждой из них.

.lim

limlim

b

a

y

x

y

x

nn

nn

n

n

n

5. Постоянный множитель можно выносить за знак предела.

nn

nn

xCCx

limlim .

1.9. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Связь

между бесконечно малыми и бесконечно большими последовательностями

Определение. Последовательность n называется бесконечно малой, если

0lim

nn

.

Определение. Последовательность n называется бесконечно большой, если

.lim

nn

1. Если последовательность n – бесконечно малая, то последовательность

n

n

1

–

бесконечно большая.

2. Если последовательность n – бесконечно большая, то последовательность

n

n

1

–

бесконечно малая.

10

Пример 1. Вычислить .2

1lim

nn

Решение. Подставим в предельное выражение предельное значение переменной n :

.02

1

2

1lim

nn


12lim

nn

Решение.

2022

12

2

12lim

nn.


12lim

2

2

n

nn

n

Решение. В данном примере при n числитель и знаменатель дроби стремятся к

бесконечности, поэтому применить теорему о пределе дроби нельзя. Для вычисления преде-

ла выполним в выражении, стоящем под знаком lim , следующее преобразование: вынесем за

скобки множитель, содержащий старшую степень числителя и старшую степень знаменате-

ля, и сократим дробь:

2

2

2

2

2

2

13

112

lim13

12lim

nn

nnn

n

nn

nn=

2

2

13

112

lim

n

nnn 3

2

13

112

.

Пример 4. Вычислить 12

235lim

2

3

n

nn

n.

Решение. Как в предыдущем примере, при n числитель и знаменатель дроби стре-

мятся к бесконечности, поэтому вынесем за скобки старшую степень числителя и старшую

степень знаменателя:

12

235

12

235

lim1

2

235

lim

2

32

2

2

32

3

n

nnn

nn

nnn

nn.

22

5


23lim

4

2

n

nn

n

Решение.

.02

14

23

14

23

lim1

4

23

lim

4

2

4

4

2

nn

n

nn

nn

nn

11

В примерах 3, 4 и 5 при вычислении пределов в случаях, когда и числитель, и знамена-

тель дроби стремятся к бесконечности, можно заметить следующее:

1. если старшие степени числителя и знаменателя имеют одинаковый порядок, то пре-

дел дроби равен отношению коэффициентов при старших степенях;

2. если степень числителя старше степени знаменателя, то предел дроби равен ∞.

3. если степень знаменателя старше степени числителя, то предел дроби равен 0.

Указанные закономерности позволяют вычислять пределы типа

устно.

Пример 6. Вычислить n

nn

n

22 41lim

.

Решение. При n числитель и знаменатель дроби также стремятся к , поэтому

вынесем за скобки старшую степень числителя:

n

nn

n

22 41lim

=

n

nn

nn

n

14

11

lim2

2

2

2

n

nnn

n

nn

nn

nn

14

11

lim

14

11

lim

2222

21114

11

.

Пример 7. Вычислить 13lim 2

nnnx

.

Решение. В данном случае каждое слагаемое при x также , поэтому приме-

нить теорему о пределе разности нельзя (неопределённость ). Для вычисления преде-

ла умножим и разделим предельное выражение на выражение, сопряжённое с ним:

13

13lim

13

1313lim13lim

2

22

2

222

nnn

nnn

nnn

nnnnnnnnn

xxx

=13

13lim

2

nnn

n

x.

В последнем пределе имеет место неопределённость

, поэтому вынесем за скобки в

числителе и знаменателе дроби старшую степень переменной:

12

.2

3

11

3

1311

13

n

1

n

311n

n

13n

lim

n

1

n

31nn

n

13n

lim

n

1

n

31nn

n

13n

lim1n3nn

1n3lim

2

x

2

x

2

2x2x

Упражнения

Вычислить пределы последовательностей:

1.

n

x

3

1lim Ответ: 0 .

2. n

x2lim

Ответ:

3. 13

12lim

n

n

n Ответ:

3

2.

4. n

n

x

13lim

Ответ: 3

5. 12

1153lim

3

2

nn

nn

x Ответ: 0 .

6. 54

87lim

2

n

n

x Ответ: 0

7. n

n

n 32

35lim

Ответ: 1 .

8. 28

116lim

2

n

n

x Ответ:

9. 191

191lim

22

22

nn

nn

n Ответ: 2

10. 2

2lim

2

x

x

n Ответ: 1

11. 15lim

nnn

Ответ: 0

12. nnnnn

22 3lim Ответ: 2

13

Контрольные вопросы

1. Дайте определение числовой последовательности.

2. Какими способами задаётся числовая последовательность?

3. Как геометрически изобразить числовую последовательность?

4. Какие арифметические действия можно выполнять над последовательностями?

5. Сформулируйте правила выполнения арифметических действий над последователь-

ностями.

6. Какие последовательности называются монотонными?

7. Дайте определение последовательности, ограниченной снизу; сверху; ограниченной;

неограниченной.

8. Сформулируйте определение предела последовательности.

9. Какая последовательность называется сходящейся?

10. Сформулируйте необходимое условие существования предела последовательности.

11. Сформулируйте достаточное условие существования предела последовательности.

12. Сформулируйте основные теоремы о пределах последовательностей.

13. Какие последовательности называются бесконечно малыми; бесконечно большими;

какова связь между ними?

14

РАЗДЕЛ 2. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

2.1. Определение предела функции

Пусть функция xyy определена во всех точках промежутка cb; , за исключени-

ем, быть может, некоторой точки .;cba Составим последовательность значений аргу-

мента функции xyy :

axNnxxx nn ,...,...,, 21 ,

таким образом, чтобы все члены последовательности принадлежали промежутку cb; , и по-

следовательность сходилась к точке a , т.е.

axnn

lim .

Тогда значения функции xyy также образуют числовую последовательность

,......,,, 2211 nn xyyxyyxyy

Определение 1. Число A является пределом функции xyy при x , стремящемся

к a , если для любой последовательности аргументов, сходящейся к числу a , последова-

тельность значений функции сходится к числу A .

Обозначение предела функции при ax :

Axyax

lim .

Это определение предела функции называют определением предела по Гейне.

Определение 2. Число A является пределом функции xyy при x , стремящемся

к a , если для любого положительного числа существует такое положительное число ,

зависящее от , что при всех cbx ; , удовлетворяющих неравенству

ax

выполняется неравенство

Axy .

Это определение предела функции называют определением предела по Коши.

А

А

A

a aa

15

2.2. Основные теоремы о пределах функции

Пусть функции xf и xg имеют пределы при x , стремящемся к a , т.е.

BxgAxfaxax

lim,lim ,

тогда справедливы следующие теоремы:

1. Предел суммы (разности) двух (или более) функций равен сумме (разности) преде-

лов каждой из этих функций.

BAxgxfxgxfaxaxax

limlimlim

2. Предел произведения двух (или более) функций равен произведению пределов каж-

дой из этих функций.

BAxgxfxgxfaxaxax

limlimlim

Следствие.

Постоянный множитель можно выносить за знак предела.

xfCxfCaxax

limlim

3. Предел частного двух функций равен частному пределов каждой из этих функций.

B

A

xg

xf

xg

xf

ax

ax

ax

lim

limlim .

(в этом случае предполагается, что функция 0xg в достаточно малой окрестности точки

a и 0lim

xgax

).

4. Если существует xax

lim и xy – элементарная функция, то

.limlim xyxyaxax

2.3. Вычисление пределов функций

Замечание. Число, к которому в пределе функции стремится переменная x , называется

предельным значением переменной; выражение, стоящее под знаком lim , называется пре-

дельным выражением.

Пример 1. Вычислить 32lim 2

4

xx

x.

Решение. Предельное выражение является многочленом, для вычисления предела вос-

пользуемся соответствующими теоремами:

16

7lim3lim2lim5lim7325lim22

2

2

3

2

23

2 xxxxxxxxxxx

4972322257lim3lim2lim5 23

2

2

2

3

2

xxx

xxx

Таким образом, для вычисления предела многочлена xf при ax достаточно

вместо переменной x подставить значение a , к которому она стремится, и выполнить соот-

ветствующие действия, т.е.

.lim afxfax

Если в результате получится конечное число или бесконечность, предел функции счи-

тается вычисленным.

Пример 2. Вычислить .2lim 3

xx

Решение:

222lim 33xx

.


53lim

1

x

x

x

Решение.

Воспользуемся теоремой о пределе частного:

.4

2

8

214

513

24lim

53lim

24

53lim

1

1

1

x

x

x

x

x

x

x

В большинстве случаев при вычислении пределов функций подстановка предельного

значения переменной в предельное выражение приводит к так называемым неопределённо-

стям, т.е. не даёт в результате конечного числа или . Тогда предел функции вычисляют с

помощью различных специальных приёмов в зависимости от типа неопределённости.

Типы неопределённостей:

0,0,,1,0

0,

2.3.1. Раскрытие неопределенности типа .

В предельном выражении выносят за скобки старшую степень числителя и старшую

степень знаменателя, в результате сокращения дроби на степень переменной неопределён-

ность уходит.

Пример. Вычислить .53

725lim

2

2

xx

xx

x

17

Решение. Вынесем в числителе и знаменателе за скобки старшую степень переменной:

2

2

2

2

2

2

2

2

531

725

lim53

1

725

lim53

725lim

xx

xx

xxx

xxx

xx

xx

xxx

.5001

005

531

725

Вычисление пределов с неопределённостью типа

подробно рассматривалось при

вычислении пределов последовательностей, все сделанные там замечания справедливы и при

вычислении пределов функций с данным типом неопределённости.


Вычислить пределы:

1. 5

34lim

2

x

xx

x Ответ: . 2.

73

52lim

3

2

xx

xx

x Ответ: 0

3. 23

34

2100

12lim

xx

xx

x

Ответ: . 4.

653

172lim

2

2

xx

xx

x Ответ:

3

2

5. xxx

xx

x

23

23

25

843lim Ответ:

5

3 6.

12

24lim

5

35

x

xxx

x Ответ: 2

7. 210

325lim

4

24

xx

xx

x Ответ:

2

1 8.

32

3

24

365lim

xx

xx

x

Ответ: 5

9. 4

24

225

134lim

xx

xx

x

Ответ: 2 10.

253

726lim

23

3

xx

xx

x Ответ: 2

11. 459

352lim

x

x

x Ответ:

9

2 12.

13

13lim

x

x

x Ответ: 1

2.3.2. Раскрытие неопределенности типа .0

0

I В числителе и знаменателе дроби стоят многочлены.

В этом случае числитель и знаменатель дроби раскладывают на множители, в результа-

те сокращения дроби неопределённость уходит.

18


lim2

23

0 xx

xxx

x

Решение. Вынесем за скобки в числителе и в знаменателе дроби общий множитель x :

1

2lim

1

2lim

2lim

2

0

2

02

23

0 x

xx

xx

xxx

xx

xxx

xxx.2

10

200


4lim

2

2

x

x

x

Решение. Разложим числитель дроби на множители по формуле сокращённого умно-

жения разности квадратов:

.4222lim

2

22lim

2

4lim

22

2

2

x

x

xx

x

x

xxx


54lim

2

2

1

xx

xx

x

Решение. Разложим числитель и знаменатель дроби на множители по формуле:

:212 xxxxacbxax

.3132;1554 22 xxxxxxxx

2

11

4

6

31

51

3

5lim

31

15lim

32

54lim

112

2

1

x

x

xx

xx

xx

xx

xxx.

Упражнения.


1. x

xx

x

1

154lim

2

1 Ответ: 3 2.

253

1lim

21

xx

x

x Ответ: 1

3. 654

2lim

22

xx

x

x Ответ:

11

1 4.

4

823lim

2

2

2

x

xx

x Ответ:

2

12

5. 2

2

2 4

672lim

x

xx

x

Ответ:

4

1 6.

2

2

1 1

165lim

x

xx

x

Ответ: 2

7. 3134

9lim

2

2

3

xx

x

x Ответ:

11

6 8.

374

1lim

2

2

1

xx

x

x Ответ: 2

9. 253

2lim

22

xx

x

x Ответ:

7

1 10.

3103

3lim

23

xx

x

x Ответ:

8

1

11. 212

6lim

2

2

3

xx

xx

x Ответ:

13

5 12.

143

23lim

2

2

1

xx

xx

x Ответ:

4

11

19

13. 6

2lim

2

2

2

xx

xx

x Ответ:

5

3 14.

45

12lim

2

2

1

xx

xx

x Ответ: 1

15. 253

86lim

2

2

2

xx

xx

x Ответ:

7

2 16.

56

5143lim

2

2

5

xx

xx

x Ответ: 4

17. 64

16lim

3

2

4

x

x

x Ответ:

6

1 18.

127

123lim

3

2

3

1

x

xx

x

Ответ: 9

4

19. 22

33

limxa

ax

ax

Ответ:

2

a 20.

44

22

limxa

ax

ax

Ответ:

22

1

a

II В числителе или (и) в знаменателе дроби присутствует иррациональность.

В этом случае числитель и знаменатель дроби умножают на выражение, сопряжённое

выражению, содержащему иррациональность.


332lim

3 x

x

x

Решение. Умножим числитель и знаменатель дроби на выражение 332 x , со-

пряжённое числителю:

3323

332332lim

3

332lim

33 xx

xx

x

x

xx

3323

932lim

3323

332lim

3

22

3 xx

x

xx

x

xx

=

3323

32lim

3323

62lim

33 xx

x

xx

x

xx

332

1lim2

3323

3lim2

33 xxx

x

xx

=

.2

1

4

12

3312

12


62lim

2

x

x

x

Решение. В данном случае иррациональность содержится и в числителе и в знаменателе

дроби. Умножим числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряжённое числителю, и

выражение, сопряжённое знаменателю:

20

xxx

xxx

x

x

xx 623737

376262lim

37

62lim

22

xx

xx

xx

xx

xx 6297

3764lim

6237

3762lim

222

22

2

22

33

262

327

62

37lim

622

372lim

22 x

x

xx

xx

xx.

2

11

2

3

4

6



1. 2

11lim

2

x

x

x Ответ:

2

1 2.

x

xx

x

8

8lim

8 Ответ:

2

1

3. 5112

7lim

7

x

x

x Ответ: 5 4.

7

2 3lim

7x

x

x

Ответ:

6

1

5. 0

1 1lim

3x

x x

x

; Ответ:

3

1 6.

xx

x

x

51

2lim

2 Ответ: 3

7. x

x

x

1

32lim

1 Ответ:

32

1 8.

xx

x

x

35

1lim

1 Ответ: 2

9. 2

20

1 1limx

x

x

Ответ:

2

1 10.

20lim

1 3 1x

x

x Ответ:

11. 2

73lim

2

x

xx

x Ответ:

5

5 12.

x

xx

x 4

44lim

0

Ответ:

8

1

13. 21

limx

x x

x x

Ответ:

2

1 14.

21 42

1lim

xx

x

x

Ответ: 4

15. 21

25lim

2

5

x

x

x Ответ: 40 16.

xx

x

x

31

1lim

2

1 Ответ: 28

17. 16

26lim

24

x

xx

x Ответ:

16

2 18.

26 36

39lim

x

xx

x

Ответ:

36

3

19. 312

16lim

2

4

x

x

x Ответ: 24 20.

25

1 3 2 6lim

5x

x x

x x

Ответ:

40

1

21. 20

1 3 1 2limx

x x

x x

Ответ:

2

1 22.

2

2 30

1 3 1limx

x

x x

Ответ:

2

11

23. 734

21lim

3

x

x

x Ответ:

3

11 24.

43

413lim

5

x

x

x Ответ:

4

12

25. 37

62lim

2

x

x

x Ответ:

2

11 26.

22

314lim

2

x

x

x Ответ:

3

22

27. 364 4

8lim

x

x

x

Ответ: 3 28.

1

1lim

3

1

x

x

x Ответ:

3

2

21

III В предельном выражении присутствуют тригонометрические функции.

В этом случае для раскрытия неопределённости 0

0 используется

I специальный (замечательный) предел

.1sin

lim0

x

x

x

Этот предел позволяет заменять функцию синус при достаточно малых значениях ар-

гумента самим аргументом, т.е. xx sin при 0x .

Для более общего случая I специальный (замечательный) предел имеет вид:

0lim,1sin

lim

xuгдеxu

xu

axax

Пример 1. Вычислить .7sin

5sinlim

0 x

x

x

Решение. Т.к. при 0x , аргументы также стремятся к 0, то можно заменить тригоно-

метрические функции, стоящие в предельном выражении, их аргументами:

.7

5

7

5lim

7

5lim

7sin

5sinlim

000

xxx x

x

x

x

Пример 2. Вычислить .8sin

6lim

0 x

xtg

x

Решение. Выполним преобразование предельного выражения:

xx

x

xx

x

x

xtg

xxx 8cos8

6lim

8sin

1

6cos

6sinlim

8sin

6lim

000

.4

31

4

3

0cos

1

4

3

x8cos

1lim

4

3

0x


3cos1lim

20 xtg

x

x

Решение. Выполним в предельном выражении следующие преобразования

,6cos

6sin6,

2

3sin23cos1

2

22

x

xxtg

xx

тогда

2

2

020 6sin

6cos

2

3sin2lim

6

3cos1lim

x

xx

xtg

x

xx

22

=

2

22

02

22

0

6coslim

36

1

4

92

6

6cos

2

3lim2

x

xx

x

xx

xx.

8

11

8

16coslim

8

1 2

0

x

x


5

8lim 22

0

xtg

xctg

x

Решение. Применим в предельном выражении определение тригонометрических функ-

ций тангенс и котангенс, а затем I специальный предел:

4

5cos

8

8cos

4

5

lim

4

5cos

4

5sin

8sin

8cos

lim4

5

8lim

2

2

2

2

02

2

2

2

0

22

0 xx

xx

x

x

x

x

xtg

xctg

xxx

.1001100

4

5cos

8cos

lim6416

252

0

x

x

x

Пример 6. Вычислить .12arcsin

4lim

0 x

x

x

Решение. Сделаем замену ,12arcsin xy тогда yx sin12 , yx sin3

14 .

.3

11

3

1lim

3

1sin

3

1

lim12arcsin

4lim

000

y

y

y

y

x

x

yyx



1. x

x

x 3sin

4sinlim

0 Ответ:

3

4 2.

0

sin3lim

7x

x

tg x Ответ:

7

3

3. tgx

x

x

sinlim

0 Ответ: 1 4.

0

2lim

sin3x

tg x

x Ответ:

3

2

5. 2

0

5sin 3lim

2x

x

x tg x Ответ: 5,22 6.

xctg

xctg

x 4

2lim

0 Ответ: 2

7. 2

2

0

4sin

limx

x

x Ответ:

16

1 8.

xtg

x

x 2

2sin

lim3

2

0 Ответ:

9. 3

3

0 2

3sin

limx

x

x Ответ:

54

1 10.

x

x

x 3cos1lim

2

0 Ответ:

9

2

23

11. 20

cos1lim

x

x

x

Ответ:

2

1 12.

tgxx

x

x

2cos1lim

0 Ответ: 2

13. x

x

x 2cos1

4cos1lim

0

Ответ: 4 14.

xx

x

x sin

cos1lim

0

Ответ:

2

1

15. 2

20

cos coslimx

x x

x

Ответ:

2

1 16.

0

sin 2lim

sin3x

x x

x x

Ответ:

4

1

17. 0

lim 22x

ctg x ctg x

Ответ:

2

1 18. xctgx

x25sinlim

0

Ответ:

2

12

19. 4

5

8lim 22

0

xtg

xctg

x Ответ:100 20.

2

32lim 22

0

xxctgtg

x Ответ:

9

8

21. 0

sin5 sinlim

5x

x x

tg x

Ответ:

5

4 22.

0

sin 6 sin 2lim

5x

x x

x

Ответ:

5

4

23. x

x

x 5sin

cos22lim

20

Ответ:

50

1 24.

20

1 coslimx

x

x

Ответ:

4

1

25.

23

1sinlim

21

xx

x

x Ответ: 1 26.

1

1sinlim

21

x

x

x Ответ:

2

1

27. 20

5cos3coslim

x

xx

x

Ответ: 8 28.

1

1sinlim

1

x

x

x Ответ: -2

2.3.3. Раскрытие неопределенности типа

При раскрытии неопределённости типа применяют различные алгебраические

преобразования предельного выражения, в результате чего получают неопределённости типа

0

0 или

, которые раскрываются описанными выше способами.

Пример 1. .3lim 2

xxx

Решение. Умножим и разделим предельное выражение на 32 xx :

3

33lim3lim

2

222

xx

xxxxxx

xx

3

3lim

3

3lim

3

3lim

22

22

2

222

xxxx

xx

xx

xx

xxx

.03

24


2

1

1lim

21

xxx

Решение. Выполним в предельном выражении вычитание дробей, приведя их для этого

к общему знаменателю:

11

21lim

11

2

1

1lim

1

2

1

1lim

1121 xx

x

xxxxx xxx

.

2

1

11

1

1

1lim

11

1lim

11

xxx

x

xx



1.

1lim

2

3

x

xx

x Ответ: 0

2.

x

x

x

x 3lim

2

Ответ: 3

3.

9

6

3

1lim

23 xxx Ответ:

6

1

4.

1

2

1

1lim

21 xxx Ответ:

2

1

5.

1

1

1

3lim

31 xxx Ответ:

7

4

6.

8

12

2

1lim

32 xxx Ответ:

2

1

7. xxxx

4lim 2

Ответ: 2

8. xxx

5lim Ответ: 0

9. xxxx

2lim 2 Ответ: 1

10. 32lim

xxx

Ответ:

11. 212lim

xxx

Ответ:

12. xxx

14lim Ответ:

13. xxxx

10lim 2 Ответ: 5

14. xxxx

7lim 2

Ответ: 5,3

15. xxxx

234lim 2

Ответ: 4

3

25

2.3.4. Раскрытие неопределенности типа 1

Для раскрытия неопределённости типа 1 применяют

II специальный (замечательный) предел

ex xx

1

01lim

или

ex

x

x

11lim .

Для более общего случая II специальный предел выглядит следующим образом


11lim

x

x x

Решение. Применим II специальный предел:

.1

11lim

1

11lim 11

lim1

11

eeexx

x

xxxx

x

x

x

x


3lim

1

x

x x

x

Решение. Предельное выражение

1

1

3

x

x

x при x представляет собой степень,

основание которой стремится к 1, а показатель к . Преобразуем выражение таким обра-

зом, чтобы применить II замечательный предел, для этого выделим из дроби целую часть:

111

1

41lim

1

41lim

1

3lim

x

x

x

x

x

x xx

x

x

x

.1

1

41lim

4

4141

1lim4

11

4

4

1

eeee

xx

xx

xx

x

x

Пример 3. Вычислить

.61ln

lim0 x

x

x

Решение. Преобразуем предельное выражение

xxx

xx

x6

1

61ln661ln6

16

61ln

26

и применим II специальный предел:

x

xx

xxxx

x

x6

1

06

1

0061limln661lnlim6

61lnlim .616ln6 e



1.

x

x x

21lim Ответ:

2e 2.

x

x x

11lim Ответ:

e

1

3.

x

x x

3

21lim Ответ:

3 2e 4.

x

x x

21

1lim

Ответ:

2e

5.

51

1lim

x

x x Ответ: e 6.

15

3

41lim

x

x x Ответ:

15 4

1

e

7.

2

2

2lim

x

x x

x Ответ:

4

1

e 8.

x

x x

x

2

5lim Ответ:

3

1

e

9.

x

x x

x2

2

5lim

Ответ:

6e 10.

x

x x

x

3lim Ответ:

3

1

e

11.

x

x x

x3

12

12lim

Ответ:

3

1

e 12.

3

23

43lim

x

x x

x

Ответ:

3

1

e

13. x

xx3

051lim

Ответ:

3 2ee 14. x

xx31lim

0

Ответ:

3e

15.

x

x

x

51lnlim

0

Ответ:

5

1

e 16.

20

31lnlim

x

x

x

Ответ:

17.

x

x

x

3ln3lnlim

Ответ:

3

1 18. xxx

xln5lnlim

Ответ: 5

19. xx

x1

0sin1lim

Ответ:

e

1 20. x

xx

1

02sin1lim

Ответ:

2e

27

2.4. Сравнение бесконечно малых величин. Принцип замены

эквивалентными величинами

Величина (функция) x называется бесконечно малой при ax , если

0lim

xax .

Теорема (связь между пределом функции и бесконечно малой).

Если функция xyy при ax имеет пределом число A , то функцию xyy

можно представить в виде суммы числа A и бесконечно малой x при ax , т.е.

xAxyAxyax

lim .

Свойства бесконечно малых функций:

1. Сумма или разность двух бесконечно малых функций есть функция бесконечно малая.

2. Произведение бесконечно малой функции на функцию ограниченную есть бесконечно

малая функция.

Бесконечно малые функции x и x при ax можно сравнить между собой,

вычислив предел их отношения.

1. Если

0lim x

x

ax

, то x есть бесконечно малая более высокого порядка, чем x .

2. Если

x

x

ax

lim , то x есть бесконечно малая низшего порядка, чем .x

3. Если

,0lim

cx

x

ax

то x есть бесконечно малая того же порядка, что и .x

В частности, если

,1lim x

x

ax

то x и x называются эквивалентными бес-

конечно малыми .

Вычисление некоторых пределов заметно упрощается, если пользоваться

принципом замены эквивалентными:

при нахождении предела дроби можно бесконечно малые множители,

стоящие в числителе или в знаменателе, заменять эквивалентными величинами.

Некоторые, наиболее часто применяемые эквивалентности:

xx sin 0x

xx arcsin 0x

xtgx 0x

xarctgx 0x

28

2cos1

2xx 0x

n

xxn 11 0x

axax ln1 0x

xex 1 0x

a

xxa

ln1log 0x

xx 1ln 0x

Пример 1. Вычислить .sin

cos1lim

20 x

x

x

Решение. В предельном выражении стоит отношение двух бесконечно малых функций.

Для вычисления данного предела воспользуемся принципом замены эквивалентными:

2

cos1,sinsin2

222 xxxxx , .

2

1

2

1lim2lim

sin

cos1lim

02

2

020

xxx x

x

x

x

Пример 2. Вычислить

2 3

0

1 sin 2 1 1lim

1 cos2 ln 1 5

arctg x

x

x e

x x

Решение. Применим принцип замены эквивалентными. При 0x

sin ~ ~ arcsin ~ ~x tgx x arctgx x , 2

1 cos ~2

xx , ln 1 ~x x ,

1 ~ lnxa x a , 1 ~xe x , log 1 ~ln

a

xx

a , ln 1 ~x x , 1 1 ~ , 0

px px p .

Для решаемой задачи

1 2 1 1

1 sin 2 1 1 sin 2 1 ~ sin 2 ~ 22 2

x x x x x ,

2 2 23 21 ~ 3 ~ 3 9arctg xe arctg x x x ,

2 21 cos2 2sin ~ 2x x x , ln 1 5 ~ 5x x .

Следовательно,

2 3

0

1 sin 2 1 1lim

1 cos2 ln 1 5

arctg x

x

x e

x x

=

2

20

9 9lim

102 5x

x x

x x

.


№ 1. Сравнить следующие бесконечно малые величины при 0x :

1. xxxx sin,2

2. 22 3,5 xtgxxx

3. xtgxxx 5,25 22

29

4. 2,2 xxxtgx

5. tgxxxx ,sin

6. xxxx 2cos1,2 2

7. xxxx ,cos1

8. xxxxxxx 10016,732 223

№ 2. Вычислить пределы, применяя принцип замены эквивалентными:

1. 3

9lim

2

3

xarctg

x

x Ответ: 6

2. x

x

x 2arcsinlim

0 Ответ:

2

1

3.

1

1sinlim

1

x

x

x Ответ: 1

4. x

x

x 10arcsin

5sinlim

2

0 Ответ: 0

5.

22 4

2lim

x

xarctg

x

Ответ:

4

1

6. 1arcsin

1lim

2

1

x

x

x Ответ: 2

7.

xx

tg

xx

x6sin

4

2sin81ln

lim2

2

0

Ответ:

3

15

8.

x

x

x 6sin

21lnlim

2

2

0

Ответ:

9

1

9. 630 1

arcsinlim

tgxe

x

xx Ответ: 1

10.

1sin

29arcsin

lim

43

22

0 xx

ex

xtgx

Ответ: 18

11.

23

40

1 2 1 ln 1 sin 3lim

1 cos 2 1arctg xx

tg x x

x

Ответ:

2ln

3

12.

2sin 20

1 cos3 1 arc 1lim

1 ln 1 arcsin 3xx

x tg x

e x

Ответ:

8

3

30

13.

2 sin 4

2

0 4

log 1 3 3 1lim

1 arcsin 2 1 1 cos2

x

x

tg x

x x

Ответ:

2ln

3ln36

14.

25

0

1 ln 1 sin 4lim

1 6 1 1 cos4

arctg x

x

e x

tg x x

. Ответ:

6

5

15.

2

3

3

0

log 1 sin 2 1 arcsin3 1lim

4 1 1 cos6tg xx

x x

x

. Ответ:

3ln2ln3

2

16.

230 5

cos 4 1 ln 1 sin 2lim

1 1 2 1xx

x tg x

e arctg x

. Ответ:

3

16

17.

24

40

1arcsin 2 1 ln 1 3lim

1 cos4 5 1xx

x tg x

x

. Ответ:

5ln64

3

18.

0 2 5

1 cos sin 2 ln 1 4lim

1 sin 2 1 6 1x x

x actg x

x

. Ответ:

6ln5

32

19.

2 4 3

0

1 1 2 1lim

1 cos sin 2 ln 1

tg x

x

e tg x

x tg x

. Ответ:

4

20.

26

20

1 sin 2 1 ln 1 arcsin 7

lim1 cos5 2 1arctgxx

tg x x

x

. Ответ:

2ln75

14

Контрольные вопросы

1. Сформулируйте определение предела функции.

2. Сформулируйте основные теоремы о пределах функции.

3. Сформулируйте правило для раскрытия неопределённости типа

.

4. Сформулируйте правила раскрытия неопределённости типа 0

0.

5. Запишите первый специальный (замечательный) предел, для раскрытия неопреде-

лённости какого типа его применяют?

6. Запишите второй специальный (замечательный) предел; для раскрытия какого типа

неопределённости он служит?

7. Как раскрывают неопределённость типа .

8. Какая функция называется бесконечно малой при ax ?

9. Сформулируйте теорему о связи предела функции с бесконечно малой величиной.

10. Как сравнить две бесконечно малые функции?

11. Какие функции называются эквивалентными?

12. Перечислите основные виды эквивалентностей.

13. Сформулируйте принцип замены эквивалентными.

31

2.5. Непрерывность функции

2.5.1. Приращение аргумента и приращение функции

Пусть 1x и 2x – значения аргумента x функции xyy , а 1xy и 2xy – соответ-

ствующие значения функции.

Величина 12 xx называется приращением аргумента на отрезке 21; xx и обознача-

ется .x

Величина 12 xyxy называется приращением функции на этом отрезке и обозна-

чается .y

Пример 1. Дана функция .322 xxy Вычислить приращения аргумента и функ-

ции, соответствующие изменению аргумента от 01 x до 12 x .

Решение:

3121,,101, 21212 yxyxyyxxxx

.130202

Пример 2. Найти приращение функции 23 xxy в точке 2x , если независимая

переменная x получает приращение 3x .

Решение:

,532

,

xx

xyxxyy

,40251555352

yxxy

y = y(x)

Δx x1 x2

Δy

y(x2)

y(x1)

0

32

.301040

,10462232

y

xy

Пример 3. Сторона квадрата равна 2 см. Найти приращение площади квадрата, если его

сторона увеличится на 0,1 см.

Решение: пусть сторона квадрата равна x , тогда площадь квадрата вычислим по фор-

муле

.2xS

41,0441,4,42,41,41,2 22 SxSxxS (см).


1. Дана функция 322 xxy . Вычислить приращения аргумента и функции, соот-

ветствующие изменению аргумента: 1) от 01 x до 12 x ; 2) от 11 x до 32 x .

2. Найти приращение функции3xy , соответствующее приращению аргумента от

11 x до 22 x .

3. Найти приращение функции 122 xxy , соответствующее приращению аргумен-

та: 1) 01 x до 2

12 x ; 2) от 21 x до 52 x .

4. Найти приращение функции xy cos , соответствующее приращению аргумента:

1) от 4

1

x до

32

x ; 2) от

61

x до

62

x .

5. Для функции 29 xy найти y , если 1) 5,0,0 xx ; 2) 2,0,1 xx .

6. Найти приращение функции 33 xxy в точке 2x , если независимая перемен-

ная x получает приращение: 1) 5,0x ; 2) 3x .

7. Как изменится площадь квадрата со стороной 12 см, если сторона увеличится на 0,4 см?

8. Как изменится площадь круга радиусом 10 см, если радиус увеличить на 0,6 см?

9. Найти приращение объёма куба с ребром 4 дм, если ребро увеличили на 2 см.

10. Радиус шара равен 5 см. Найти приращение поверхности и объёма шара, если его ради-

ус получает приращение 0,3 см.

2.5.2. Непрерывность и точки разрыва

Определение 1. Функция xyy называется непрерывной в точке 0xx , если

бесконечно малому приращению аргумента в этой точке соответствует бесконечно малое

приращение функции, т.е.

.0lim0

yx

Определение 2. Функция xyy называется непрерывной в точке 0xx , если

существует предел функции в этой точке, равный значению функции в этой точке, т.е.

00

lim xyxyxx

.

33

Определение. Функция xyy называется непрерывной на промежутке ba; ,

если она определена на этом промежутке и непрерывна в каждой его точке.

Примером непрерывной функции является любая элементарная функция, которая не-

прерывна в каждой точке своей области определения.

График любой непрерывной функции представляет собой сплошную линию.

Пример. Показать, что функция 2xy в любой точке области своего определения.

Решение. Областью определения данной функции является вся числовая прямая. Вос-

пользуемся первым определением непрерывности, т.е. покажем, что 0lim0

yx

.

Пусть 0xx - любая точка числовой прямой, 2

00 xxy - значение функции в этой

точке. Придадим аргументу 0xx произвольное приращение x . В результате функция

получит приращение

.2222

0

2

0

2

0

2

0

2

0 xxxxxxxxxxxy

Тогда .02limlim2

00

xxxy

xx Следовательно, функция

2xy , согласно

первому определению непрерывности, непрерывна в любой точке 0xx из области своего

определения.

Упражнения Пользуясь первым определением непрерывности, доказать, что данные функции непре-

рывны во всей своей области определения:

1. xxy 22 2. 31 xy 3.

1

12

x

y

4. xey 5. xy sin 6. xy 3cos

2.5.3. Односторонние пределы

Определение. Число 1A называется левым пределом функции xyy , если число

1A есть предел функции xyy при x , стремящемся к a так, что x принимает только

значения меньшие a . При этом пишут

10

lim Axyax

.

34

Определение. Число 2A называется правым пределом функции xyy , если число

2A есть предел функции xyy при x , стремящемся к a так, что x принимает только

значения большие a . При этом пишут

20

lim Axyax

.

В случае, если левый и правый пределы существуют и равны, т.е. AAA 21 , то

число A есть предел этой функции.

Пример 1. Вычислить односторонние пределы

.2

4lim

302 xx

Решение. Пусть 02 x , тогда функция 32x есть отрицательная бесконечно

малая, поэтому функция 32

4

x есть отрицательная бесконечно большая, т.е.

302 2

4lim

xx.

Пусть 02 x , тогда функция 32x есть положительная бесконечно малая, по-

этому функция 32

4

x есть положительная бесконечно большая, т.е.

302 2

4lim

xx.

Пример 2. Вычислить односторонние пределы .21

1lim

1/101 xx

Решение. 1. Пусть 1x , тогда при 01x величина 1x есть отрицательная бес-

конечно малая, следовательно, 1

1

x и тогда 02 1

1

x . Таким образом,

1

21

1lim

1

101

xx

.

2. Пусть 1x , тогда при 01x величина 1x есть положительная бесконечно

малая, следовательно, 1

1

x, отсюда

0

21

1lim

1

101

xx

.

35

Упражнения Вычислить односторонние пределы:

1. 1

2lim

01

x

x

x Ответ: и

2. 205 5

3lim

x

x

x Ответ:

3. xtgx

2lim0

4

Ответ: и

4. 3

lim03

xctg

x Ответ: и

5.

56lim

1

0

x

x Ответ: и 5

6.

x

x

x

2

2lglim

02 Ответ:

7. xx

4701

logloglim

Ответ:

8.

x

xxarccos2

log

1lim

30

Ответ:

9. x

arctgx

1lim

0 Ответ:

2

и

2

10. xctgxx

37lim0

Ответ:

2.5.4.Точки разрыва функции, их классификация

Определение. Точка ax называется точкой разрыва функции xyy , если эта

функция определена в некоторой окрестности точки ax , но в самой этой точке не удо-

влетворяет условию непрерывности, т.е.

ayxyax

lim .

Точки разрыва делятся на 2 типа: точки разрыва I рода и точки разрыва II рода.

К точкам разрыва I рода относятся такие точки, в которых существуют конечные од-

носторонние пределы.

Точки разрыва I рода, в свою очередь, делятся на:

1. точки устранимого разрыва, когда ayxyxyaxax

00

limlim .

2. точки скачка функции, когда xyxyaxax 00

limlim

. В этом случае раз-

ность 00 ayay называют скачком функции xy в точке ax .

36

К точкам разрыва II рода относятся точки, в которых хотя бы один из односторон-

них пределов не существует или бесконечен.

Пример 1. Найти точки разрыва функции x

y

2

1 и исследовать их характер.

Решение. Данная функция определена при всех значениях x , кроме 2x . Т.к. данная

функция является элементарной, то она непрерывна в каждой точке области своего опреде-

ления, состоящей из промежутков 2; и ;2 . Следовательно, единственной точкой

разрыва является точка 2x . Для исследования характера разрыва найдём односторонние

пределы данной функции в этой точке.

0

1

022

1

2

1lim

02 xx.

Т.к. один из односторонних пределов функции бесконечен, то 2x – точка разрыва II рода.

Пример 2. Дана функция

x

y1

21

1

. Найти точки разрыва этой функции и исследо-

вать их характер.

Решение. Функция

x

y1

21

1

определена при всех значениях x , кроме 0x .

Найдём односторонние пределы функции в этой точке:

1

2

11

1

21

1

21

1

21

1lim

0

110

xx

.

01

21

1

21

1

21

1lim

0

110

xx

.

Т.к. левый и правый пределы функции в исследуемой точке конечны и не равны между со-

бой, то точка 0x является точкой скачка функции, величина которого равна

11000 yy .

Пример 3. Дана функция

2,0

20,cos

0,2

xпри

xприx

xприx

.

Найти точки разрыва функции и исследовать их характер.

37

Решение. Числовая ось, являющаяся областью определения данной функции, разбита

на три промежутка

;

2,

2;0,0;

, в каждом из которых функция xyy зада-

на элементарными функциями 0,cos,2 321 yxyxy , которые определены и,

следовательно, непрерывны внутри указанных промежутков.

Таким образом, исследовать функцию на непрерывность нужно только на «стыках» об-

ласти определения, т.е. в точках 2

,0

xx .

Найдём односторонние пределы функции в точке 0x :

10coscoslimlim,2022limlim0000

xxyxxyxxxx

.

Т.к. односторонние пределы в точке 0x конечны и различны, то эта точка является точ-

кой скачка функции (разрыв I рода), величина которого равна -1.

Найдём односторонние пределы в точке 2

x :

00limlim,0coslimlim0

20

20

20

2

xxxx

xyxxy .

Получили, что односторонние пределы функции в точке 2

x равны, следовательно,

функция в этой точке непрерывна.

Упражнения Для каждой из заданных функций найти точки разрыва и исследовать их характер, сде-

лать чертёж.

1.

1,1

1,2

xприx

xприxy 2.

0,

1

0,

xприx

xприx

y

0 x

y

xy 2

xy cos2

1

2

0y

38

3.

0,

01,0

1,1

xприx

xпри

xприx

y 4.

2,0

20,sin

0,1

xпри

xприx

xприx

y

5.

2,4

21,2

1,2

2

2

xприx

xприx

xприxx

y 6.

0,lg

01,2

1,3

xприx

xпри

xпри

y

x

Контрольные вопросы 1. Что называется приращением аргумента и приращением функции?

2. Сформулируйте определение непрерывной функции в точке; на отрезке.

3. Какие точки называются точками разрыва функции?

4. Какие точки называются точками разрыва I рода, их классификация.

5. Какие точки называются точками разрыва II рода?

39

Приложение

1. Формулы сокращённого умножения

bababa 22 - разность квадратов

2222 bababa - квадрат разности

2222 bababa - квадрат суммы

2233 babababa - разность кубов

2233 babababa - сумма кубов

3223333 babbaaba - куб суммы

3223333 babbaaba - куб разности

2. Формула разложения квадратного трёхчлена на линейные множители

212 xxxxacbxax ,

где 1x и 2x - корни квадратного уравнения 02 cdxax .

Учебное издание

Составитель:

Алексеева Е.В.

ФУНКЦИЯ. ПРЕДЕЛЫ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ

Учебно-методическое пособие

по дисциплинам «Математика»

и «Элементы высшей математики»

Формат 60х84 1/8. Гарнитура Таймс. Бумага офсетная.

Усл. печ. л. 4,65. Тираж 220 экз.

Ростовский-на-Дону колледж радиоэлектроники,


344011, г. Ростов-на-Дону, ул. Красноармейская, 11

Отпечатано: Ростовский-на-Дону колледж радиоэлектроники,


ФУНКЦИЯ. ПРЕДЕЛЫ....

Documents

Transcript of ФУНКЦИЯ. ПРЕДЕЛЫ....