Τράπεζα Θεμάτων Γεωμετρία Τ3

74
http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444 Επιμέλεια : xr.tsif Σελίδα 1 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 2014 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 4 ο ΘΕΜΑ

description

Λύσεις Τράπεζας Θεμάτων στη Γεωμετρία Τεύχος 3

Transcript of Τράπεζα Θεμάτων Γεωμετρία Τ3

Page 1: Τράπεζα Θεμάτων Γεωμετρία Τ3

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444

Επιμέλεια : xr.tsif Σελίδα 1

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 2014

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

4ο ΘΕΜΑ

Page 2: Τράπεζα Θεμάτων Γεωμετρία Τ3

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444

Επιμέλεια : xr.tsif Σελίδα 2

Έλυσαν οι

Δημήτρης Ιωάννου, Γιώργος Βισβίκης, Μπάμπης Στεργίου,

Χρήστος Κάναβης, Γιώργης Καλαθάκης, Παναγιώτης

Γκριμπαβιώτης, Περικλής Γιαννουλάτος Κώστας Ζυγούρης,

Χρήστος Ντάβας, Γιώργος Ρίζος Ηλίας Καμπελής, Νίκος

Φραγκάκης,Αντώνης Βρέντζος, Γιώργος Γαβριλόπουλος,

lafkasd, Περικλής Παντούλας, Κώστας Μαλλιάκας, Γιώργος

Λέκκας, Θεοδωρής Καραμεσάλης, Χρήστος Κανάβης

Επιμέλεια : Τσιφάκης Χρήστος

Αφιερωμένο σε όλους τους μαθητές της Α Λυκείου

Τεύχος 3ο

Page 3: Τράπεζα Θεμάτων Γεωμετρία Τ3

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444

Επιμέλεια : xr.tsif Σελίδα 3

ΘΕΜΑ 2802

Δίνεται ευθεία ( ) και δυο σημεία ,εκτός αυτής έτσι ώστε η ευθεία να μην

είναι κάθετη στην ( ) . Φέρουμε , κάθετες στην ( ) και , μέσα των

και αντίστοιχα.

α) Αν τα ,είναι στο ίδιο ημιεπίπεδο σε σχέση με την ( )

i) να εξετάσετε αν το τετράπλευρο είναι, παραλληλόγραμμο, τραπέζιο ή

ορθογώνιο σε καθεμία από τις παρακάτω περιπτώσεις, αιτιολογώντας την

απάντησή σας:

1) . (Μονάδες 4)

2) . (Μονάδες 4)

ii) να εκφράσετε το τμήμα σε σχέση με τα τμήματα , στις δυο

προηγούμενες περιπτώσεις. (Μονάδες 6)

β) Αν η ευθεία ( ) τέμνει το τμήμα στο μέσο του να βρείτε το είδος του

τετραπλεύρου (παραλληλόγραμμο, τραπέζιο, ορθογώνιο) και να δείξετε

ότι τα , ταυτίζονται. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 9+2)

Λύση:

α) i) Στην περίπτωση 1) όπου , έχουμε και / / αφού και

. Όμως οι / / δεν

είναι παράλληλες διότι αν ήταν το

τετράπλευρο θα ήταν

παραλληλόγραμμο άρα .

Άτοπο. Επομένως το

τετράπλευρο θα είναι

τραπέζιο.

Στην περίπτωση 2) είναι

Page 4: Τράπεζα Θεμάτων Γεωμετρία Τ3

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444

Επιμέλεια : xr.tsif Σελίδα 4

και / / , επομένως το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο. Επίσης

είναι 0ˆ 90 συνεπώς το είναι ορθογώνιο.

ii) Στην περίπτωση 1) όπου το είναι τραπέζιο η είναι διάμεσος και

επομένως2

.

Στην περίπτωση 2) όπου το είναι ορθογώνιο θα είναι .

β) Είναι / / . Συγκρίνουμε τα τρίγωνα , .

Είναι

1) 0ˆ ˆ 90

2) αφού μέσο της .

3) 1 2ˆ ˆ ως κατακορυφήν

επομένως σύμφωνα με τα κριτήρια

ισότητας ορθογωνίων τριγώνων τα

τρίγωνα είναι ίσα άρα και .

Συνεπώς το τετράπλευρο

είναι παραλληλόγραμμο. Οπότε οι

διαγώνιοι του , διχοτομούνται και επομένως είναι . Οπότε το μέσο

της είναι το και αφού σύμφωνα με την υπόθεση το είναι το μέσο της ,

συμπερασματικά τα σημεία , ταυτίζονται.

Page 5: Τράπεζα Θεμάτων Γεωμετρία Τ3

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444

Επιμέλεια : xr.tsif Σελίδα 5

ΘΕΜΑ 3695

Έστω ΑΒΓ τρίγωνο και τα ύψη του BE και που αντιστοιχούν στις πλευρές A

και ABαντίστοιχα. Δίνεται η ακόλουθη πρόταση:

Π: Αν το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές μεAB=A , τότε τα ύψη που αντιστοιχούν

στις ίσες πλευρές του είναι ίσα.

α) Να εξετάσετε αν ισχύει η πρόταση Π αιτιολογώντας την απάντησή σας.

(Μονάδες 10)

β) Να διατυπώσετε την αντίστροφη πρόταση της Π και να αποδείξετε ότι ισχύει.

(Μονάδες 10)

γ) Να διατυπώσετε την πρόταση Π και την αντίστροφή της ως ενιαία πρόταση.

(Μονάδες 5)

Λύση:

α) Αρκεί να δείξουμε ότι BE . Γνωρίζουμε

ότι τα τρίγωνα Bκαι EB είναι ορθογώνια

ˆ E 90 o έχουν την πλευρά Bκοινή και τις

γωνίες Bκαι ̂ ίσες (καθώς το AB είναι

ισοσκελές με βάση B), συνεπώς ικανοποιείται

το κριτήριο ισότητας ορθογωνίων τριγώνων

(υποτείνουσα -οξεία γωνία) άρα τα τρίγωνα

είναι ίσα. Θα έχουν λοιπόν όλα τα στοιχεία

τους ίσα, άρα BE .

β) Πρόταση: Έστω ΑΒΓ τρίγωνο με βάση B ,

αν τα ύψη του BE και είναι ίσα μεταξύ τους τότε το τρίγωνο ΑΒΓ είναι

ισοσκελές.

Page 6: Τράπεζα Θεμάτων Γεωμετρία Τ3

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444

Επιμέλεια : xr.tsif Σελίδα 6

Αρκεί να δείξουμε ότι οι γωνίες Bκαι ̂ ίσες. Γνωρίζουμε ότι τα τρίγωνα B και

EB είναι ορθογώνια ˆ E 90 o έχουν την πλευρά Bκοινή και τις πλευρές BE

και ίσες, συνεπώς ικανοποιείται το κριτήριο ισότητας ορθογωνίων τριγώνων

(υποτείνουσα -κάθετη πλευρά) άρα τα τρίγωνα είναι ίσα. Θα έχουν λοιπόν όλα τα

στοιχεία τους ίσα, άρα και τις γωνίες Bκαι ̂ ίσες μεταξύ τους.

γ) Μια διατύπωση: Ένα τρίγωνο είναι ισοσκελές αν και μόνο αν δύο από τα ύψη

του είναι ίσα.

ΘΕΜΑ 3697

α) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο με κορυφές τα μέσα πλευρών ισοσκελούς

τριγώνου είναι ισοσκελές. (Μονάδες 8)

β) Να διατυπώσετε και να αποδείξετε ανάλογη πρόταση για

i. ισόπλευρο τρίγωνο. (Μονάδες 8)

ii. ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο. (Μονάδες 9)

Λύση:

α) Υποθέτουμε ότι , , είναι τα μέσα του

ισοσκελούς τριγώνου ( ) τότε:

E,Z έ A ,B

,Z έ AB,B

ABEZ/ /

2

A

Γ/

Z /2

AB A

EZ Z

. Άρα το είναι ισοσκελές.

Page 7: Τράπεζα Θεμάτων Γεωμετρία Τ3

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444

Επιμέλεια : xr.tsif Σελίδα 7

β) i. Υποθέτουμε ότι τα , , είναι

τα μέσα του ισόπλευρου τριγώνου

, τότε:

ABEZ/ /

2E,Z A ,BA

,Z έ AB,B Z/ /2

,E έ AB,AB

E / /2

έ

AB A B

EZ Z E

. Άρα το

είναι ισόπλευρο.

ii) Υποθέτουμε ότι τα , , είναι τα

μέσα του ορθογωνίου και ισοσκελούς

τριγώνου , A 90 o τότε:

Γνωρίζουμε ότι το σχηματιζόμενο

τρίγωνο είναι ισοσκελές από το

ερώτημα (α), μένει να δείξουμε ότι είναι

ορθογώνιο.

A 90Z AEA ZE# Z 90

ZE A

o

o .

ΘΕΜΑ 3699

Έστω παραλληλόγραμμο AB . Αν τα σημεία E και Z είναι τα μέσα των και

αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι:

α) Το τετράπλευρο EBZ είναι παραλληλόγραμμο. (Μονάδες 8)

β) AE BZ . (Μονάδες 8)

Page 8: Τράπεζα Θεμάτων Γεωμετρία Τ3

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444

Επιμέλεια : xr.tsif Σελίδα 8

γ) Οι E και τριχοτομούν τη διαγώνιο A του παραλληλογράμμου AB .

(Μονάδες 7)

Λύση:

α) AB|| EB|| Z , οπότε το τετράπλευρο EBZ είναι παραλληλόγραμμο.

β) Θα δείξω ότι .

Πράγματι, (ως εντός εναλλάξ

των παραλλήλων ,AB που

τέμνονται από την E ) και

(ως εντός εναλλάξ των

παραλλήλων ,AB που

τέμνονται από

τη .Άρα

, δηλαδή AE BZ .

γ) Έστω , τα σημεία τομής της A με τις ,E ZB αντίστοιχα. Θα δείξω ότι

AM MN N .

Στο τρίγωνο έχουμε: E είναι το μέσο της και / / . Άρα, M είναι το

μέσο της . Οπότε: AM MN

Στο τρίγωνο M έχουμε: Z είναι το μέσο της και ||ZN M . Άρα, N είναι το

μέσο της M . Οπότε: MN M .

Επομένως, AM MN N .

Β τρόπος

Ας πούμε το μήκος της πλευράς AB 2 , 0 a a τότε προφανώς θα είναι :

AE EB Z Z .

Page 9: Τράπεζα Θεμάτων Γεωμετρία Τ3

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444

Επιμέλεια : xr.tsif Σελίδα 9

α) το τετράπλευρο EBZ έχει τις

απέναντι πλευρές του Z,EB παράλληλες γιατί από την υπόθεση το τετράπλευρο

AB είναι παραλληλόγραμμο. Επίσης Z EB . Δηλαδή Z / / EB που μας

εξασφαλίζει ότι και το τετράπλευρο EBZ είναι παραλληλόγραμμο και άρα :

β) E / / ZB , οι δε απέναντι γωνίες του είναι ίσες , συνεπώς ZB EB .

Επειδή τα παραπληρώματα ίσων γωνιών είναι ίσα από: 0 0

1 2 ZB EB 180 ZB 180 EB .

γ) Φέρνουμε από το παράλληλη στην ZBκαι θα κόψει την ευθεία ABστο .

Άμεση συνέπεια: και το τετράπλευρο ZBείναι παραλληλόγραμμο γιατί έχει ανά

δύο τις απέναντι πλευρές του παράλληλες. Θα είναι επομένως ίσες, οπότε:

Z B .

Ας είναι τώρα K, τα σημεία τομής της Aμε τις E,ZB αντίστοιχα.

Οι ευθείες E,ZB, είναι παράλληλες και τα τμήματα AE EB B θα είναι

λοιπόν και AK K . Αφού ως γνωστόν:

Αν τμήματα ευθείας περιεχόμενα μεταξύ παραλλήλων ευθειών είναι ίσα και κάθε

άλλης ευθείας τα τμήματα τα περιεχόμενα μεταξύ των αυτών παραλλήλων ευθειών

είναι ίσα.

Page 10: Τράπεζα Θεμάτων Γεωμετρία Τ3

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444

Επιμέλεια : xr.tsif Σελίδα 10

ΘΕΜΑ 3704

Έστω 1 2,( ) ( ) δυο κάθετες ευθείες που τέμνονται στο Ο και τυχαίο σημείο Μ του

επιπέδου που δεν ανήκει στις ευθείες.

α) Αν 1M είναι το συμμετρικό του Μ ως προς την 1( ) και 2M το συμμετρικό του

1M ως προς την 2( ) , να αποδείξετε ότι:

i. 1OM OM .

ii. Τα σημεία Μ, Ο και 2M είναι συνευθειακά.

iii. Το τρίγωνο 1 2MM M είναι ορθογώνιο.

β) Αν 3M είναι το συμμετρικό σημείο του 2M ως προς την 1( ) , τι είδους

παραλληλόγραμμο είναι το 1 2 3MM M M ; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.

Λύση:

(α) (i) Αφού η 1( ) είναι μεσοκάθετος του

1MM , (λόγω της συμμετρίας) , θα έχουμε

1OM OM .

(ii) Αφού και η 2( ) είναι μεσοκάθετος της

1 2M M άρα και το τρίγωνο 1 2OM M είναι

ισοσκελές. Αφού λοιπόν τα τρίγωνα

1OMM και 1 2OM M είναι ισοσκελή, άρα τα

ύψη τους θα είναι και διχοτόμοι των

γωνιών των κορυφών τους. Άρα 1 2O O

και 3 4O O . Όμως 2 3 2 390 2 2 180 o oO O O O

1 1 2 2180 180 o oMOM M OM MOM .

Page 11: Τράπεζα Θεμάτων Γεωμετρία Τ3

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444

Επιμέλεια : xr.tsif Σελίδα 11

Άρα τα σημεία 2, ,M O M είναι συνευθειακά.

(iii) Επίσης λόγω των ισοσκελών τριγώνων που αναφέραμε πιο πάνω , είναι

2 1 M O OM OM . Άρα στο τρίγωνο 2MOM η διάμεσος 1M O ισούται με το μισό της

αντίστοιχης πλευράς. Άρα το τρίγωνο αυτό είναι ορθογώνιο με 1 2 90 oMM M

(β) Με όμοιο τρόπο όπως και στο (ii) δείχνουμε ότι τα σημεία 3 1, ,M O M είναι

επίσης συνευθειακά και ότι το τρίγωνο 2 3OM M είναι και αυτό ισοσκελές.

Άρα λόγων και των άλλων ισοσκελών τριγώνων που αναφέραμε στα

προηγούμενα, θα έχουμε: 3 2 1 OM OM OM OM . Συνεπώς στο τετράπλευρο

1 2 3MM M M οι διαγώνιοί του διχοτομούνται και είναι ίσες και άρα το τετράπλευρο

είναι ορθογώνιο παραλληλόγραμμο.

ΘΕΜΑ 3705

Δίνεται ορθογώνιο AB και έξω από αυτό, κατασκευάζουμε τα ισόπλευρα

τρίγωνα , , , ABE B Z H A .

α) Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο EZH είναι ρόμβος. (Μονάδες 15)

β) Αν το αρχικό τετράπλευρο AB είναι τετράγωνο, τότε τι είδους

παραλληλόγραμμο είναι το EZH ; Δικαιολογήστε την απάντησή σας.

(Μονάδες 10)

Λύση:

α) 0 0 0 0 0ˆ ˆ ˆ ˆH 360 A A H 360 60 90 60 0ˆH 150 .

Ομοίως αποδεικνύεται ότι: 0ˆAE ZBE Z H 150 .

Έχουμε ακόμα: H AE EB H και A BZ Z .

Page 12: Τράπεζα Θεμάτων Γεωμετρία Τ3

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444

Επιμέλεια : xr.tsif Σελίδα 12

Άρα τα τρίγωνα , , , H A E BZE ZH είναι ίσα (Π-Γ-Π).

Οπότε, EZ ZH H E . Δηλαδή

το τετράπλευρο EZH είναι ρόμβος.

β) Αν το αρχικό τετράπλευρο AB είναι τετράγωνο,

τότε τα ίσα τρίγωνα του προηγούμενου ερωτήματος

θα είναι ισοσκελή, οπότε 0ˆ ˆH A E 15 .

0 0 0 0ˆ ˆ ˆ ˆ ˆH E H A A E 15 60 15 H E 90 .

Άρα το EZH είναι τετράγωνο, αφού είναι ρόμβος

με μία γωνία ορθή.

Page 13: Τράπεζα Θεμάτων Γεωμετρία Τ3

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444

Επιμέλεια : xr.tsif Σελίδα 13

ΘΕΜΑ 3706

Θεωρούμε ευθεία ( ) και δυο σημεία A και B εκτός αυτής, τα οποία βρίσκονται

στο ίδιο ημιεπίπεδο σε σχέση με την ( ) έτσι ώστε, η ευθεία να μην είναι

κάθετη στην ( ) . Έστω ΄ και ΄ τα συμμετρικά σημεία των A και B αντίστοιχα

ως προς την ευθεία ( ) .

α) Αν η μεσοκάθετος του τέμνει την ευθεία ( ) στο σημείο K , να αποδείξετε

ότι το K ανήκει και στη μεσοκάθετο του ΄ ΄ . (Μονάδες 10)

β) Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΄ ΄ είναι τραπέζιο. (Μονάδες 8)

γ) Να βρείτε την σχέση των ευθειών και της ευθείας ( ) ώστε το τετράπλευρο

΄ ΄ να είναι ορθογώνιο. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 7)

Λύση:

α) Τα συμμετρικά των , , ως προς ( ) είναι

τα ,́ ,́ . Άρα , KA KA KB KB AB A B .

Αλλά ( ) μεσοκάθετος του . Άρα KA KB.

Επομένως KA KB . Συνεπώς K ανήκει στη

μεσοκάθετο του ΄ ΄ .

β) Από ορισμό συμμετρίας, έχω ότι AA και

BB . Άρα / / (1) AA BB .

1η περίπτωση:

Αν AB A B τότε εξ ορισμού ΄ ΄ είναι τραπέζιο.

(και μάλιστα ισοσκελές αφού AB AB ).

Page 14: Τράπεζα Θεμάτων Γεωμετρία Τ3

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444

Επιμέλεια : xr.tsif Σελίδα 14

2η περίπτωση:

Αν AB A B τότε εξ ορισμού ΄ ΄ είναι

παραλληλόγραμμο.

Άρα 2 2

AA BBAA BB .Έτσι AM BN . Συνεπώς

ορθογώνιο γιατί έχουμε ακόμη ότι AA .

Τότε, AB AA . Επομένως ΄ ΄ είναι

ορθογώνιο.

γ) Όπως προκύπτει από το β) , πρέπει A / /( ) .

Όπως προκύπτει από την παραπάνω διερεύνηση τα ερωτήματα

β) , γ) δεν είναι σωστά.(ένα τραπέζιο στο β) ερώτημα γίνεται

ορθογώνιο στο γ).

ΘΕΜΑ 3711

Θεωρούμε ορθογώνιο τρίγωνο AB , A 90 και το ύψος του . Έστω και E

τα συμμετρικά σημεία του H ως προς τις ευθείες και Aαντίστοιχα.

α) Να αποδείξετε ό τι:

I. AH A AE (Μονάδες 6)

II. Το τρίγωνο EH είναι ορθογώνιο (Μονάδες 6)

III. Τα σημεία , και είναι συνευθειακά. (Μονάδες 6)

β) Τα τρίγωνα ABκαι EH είναι ίσα; Αν ναι, να το αποδείξετε. Αν όχι, κάτω από

ποιες αρχικές προϋποθέσεις θα μπορούσε να είναι ίσα; Να αιτιολογήσετε την

απάντησή σας. (Μονάδες 7)

ΣΧΟΛΙΟ

Page 15: Τράπεζα Θεμάτων Γεωμετρία Τ3

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444

Επιμέλεια : xr.tsif Σελίδα 15

Ζητείται πρώτα να δειχτεί ότι το τρίγωνο EH είναι ορθογώνιο και κατόπιν (!)

ότι Τα σημεία , και είναι συνευθειακά.

Εδώ, προφανώς είναι λάθος η σειρά των ερωτημάτων.

Αν ένας μαθητής δεν αποδείξει πρώτα το (ΙΙΙ), θα έχει κάνει λάθος, αν θεωρήσει

(αναπόδεικτα) ότι η E

διέρχεται από το A .

Αν ένας μαθητής φέρει

τη E , δίχως να περνά

από το A θα

πελαγώσει...

Δίνω μια λύση,

παρατηρώντας ότι το

ερώτημα (β) θα

μπορούσε να απαντηθεί

ευκολότερα αν

χρησιμοποιούνταν

ομοιότητα τριγώνων ή Μετρικές σχέσεις (ύλη Β΄ Λυκείου).

Αναρωτιέμαι αν υπάρχει λύση δίχως Απαγωγή σε άτοπο.

Λύση:

α) Ι)Λόγω συμμετρίας ως προς άξονα την ευθεία που ορίζουν τα A, B, είναι

A AH . Ομοίως, λόγω συμμετρίας ως προς άξονα την ευθεία που ορίζουν τα

A, , είναι AE AH .

ΙΙΙ) Λόγω συμμετρίας είναι 1 2 3 4A A , A A και αφού 2 3A A 90 , θα είναι

1 2 3 4A A A A 180 , οπότε τα E, A, είναι συνευθειακά.

Page 16: Τράπεζα Θεμάτων Γεωμετρία Τ3

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444

Επιμέλεια : xr.tsif Σελίδα 16

ΙΙ) Αφού στο τρίγωνο EH η διάμεσός του HAείναι το μισό της πλευράς E , θα

είναι H 90 .

β) Για να ήταν με ακρίβεια διατυπωμένη η εκφώνηση, θα έπρεπε να αναφέρεται:

"Τα τρίγωνα ABκαι EH είναι σε κάθε περίπτωση ίσα;"

Είναι ˆ ˆB , E αφού έχουν πλευρές κάθετες. Για να είναι ίσα, αρκεί να έχουν

ίσες υποτείνουσες, δηλαδή αρκεί να είναι B

AH2

.

Αν M μέσο της B , διαφορετικό σημείο από το H , είναι B

AM2

. Επειδή το

είναι ορθογώνιο με υποτείνουσα AM , είναι αδύνατο να είναι AH AM .

Οπότε, τα τρίγωνα ABκαι EH είναι ίσα, μόνο όταν το ABείναι και ισοσκελές.

ΘΕΜΑ 3713

Δίνεται τρίγωνο με 2

και η διχοτόμος της γωνίας

. Από το μέσο

M της A φέρνουμε παράλληλη στη διχοτόμο B που τέμνει την πλευρά B στο

N . Να αποδείξετε ότι:

α) Το τρίγωνο B είναι ισοσκελές. (Μονάδες 5)

β) Το τρίγωνο MN είναι ισοσκελές. (Μονάδες 10)

γ) AN B . (Μονάδες 10)

Λύση:

α) ˆ

ˆ2

B

B , οπότε το τρίγωνο B είναι ισοσκελές με B .

Page 17: Τράπεζα Θεμάτων Γεωμετρία Τ3

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444

Επιμέλεια : xr.tsif Σελίδα 17

β) ˆ MN B , γιατί οι γωνίες , MN B είναι εντός εκτός και επί τα αυτά των

παραλλήλων B , . Άρα το

τρίγωνο MN είναι ισοσκελές

με .

γ) Στο ισοσκελές τρίγωνο

έχουμε 2

AMN M .

Δηλαδή η διάμεσος του

τριγώνου A N ισούται με το

μισό της πλευράς που

αντιστοιχεί. Άρα το τρίγωνο

A N είναι ορθογώνιο με AN N AN B .

ΘΕΜΑ 3714

Σε κύκλο κέντρου θεωρούμε τα ίσα τόξα και , το καθένα ίσο με 120 .

Έστω και τα μέσα των τόξων και αντίστοιχα.

Να αποδείξετε ότι:

α) Το τρίγωνο είναι ισόπλευρο.

β) Τα τρίγωνα και είναι ίσα και να υπολογίσετε τις γωνίες τους.

γ) Η χορδή τριχοτομείται από τις χορδές και .

Λύση:

α) Είναι 60 ως εγγεγραμμένες σε τόξα 120 .

Άρα το τρίγωνο είναι ισόπλευρο αφού δύο γωνίες 60 .

β) Τα τρίγωνα και είναι ίσα από διότι έχουν:

Page 18: Τράπεζα Θεμάτων Γεωμετρία Τ3

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444

Επιμέλεια : xr.tsif Σελίδα 18

ως χορδές με ίσα αντίστοιχα

τόξα 60 ,

30 1 και

30 2 ως εγγεγραμμένες

σε τόξα 60 .

Επειδή τα δύο τρίγωνα έχουν από δύο

γωνίες ίσες με 30 τότε οι τρίτες

γωνίες τους είναι:

180 2 30 120 .

γ) Τα τρίγωνα και είναι

ισοσκελή αφού έχουν από δύο γωνίες

ίσες (β ερώτημα) έτσι είναι:

3 και 4 .

Από την ισότητα των παραπάνω τριγώνων είναι και 4 .

Το τρίγωνο έχει και 60 από το ισόπλευρο τρίγωνο , οπότε

5 .

Έτσι από τις σχέσεις 3 , 4 , 5 δηλαδή η χορδή τριχοτομείται

από τις χορδές και .

ΘΕΜΑ 3715

Δίνονται οι ακόλουθες προτάσεις 1 και 2 :

1 : Αν ένα παραλληλόγραμμο είναι ρόμβος, τότε οι αποστάσεις των απέναντι

πλευρών του είναι ίσες.

2 : Αν οι αποστάσεις των απέναντι πλευρών ενός παραλληλογράμμου είναι ίσες,

τότε το παραλληλόγραμμο είναι ρόμβος.

Page 19: Τράπεζα Θεμάτων Γεωμετρία Τ3

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444

Επιμέλεια : xr.tsif Σελίδα 19

α) Να εξετάσετε αν ισχύουν οι προτάσεις 1 και 2 αιτιολογώντας πλήρως την

απάντησή σας. (Μονάδες 20)

β) Στην περίπτωση που και οι δύο προτάσεις ισχύουν, να τις διατυπώσετε ως μια

ενιαία πρόταση. (Μονάδες 5)

Λύση:

α) Έστω παραλληλόγραμμο AB και , οι αποστάσεις των απέναντι πλευρών

του.

1 : Το παραλληλόγραμμο είναι ρόμβος.

Τα τρίγωνα , ABE B Z είναι ίσα επειδή είναι

ορθογώνια, AB B (διαδοχικές πλευρές ρόμβου) και

ˆA(απέναντι γωνίες παραλληλογράμμου). Άρα

BE BZ , οπότε η πρόταση ισχύει.

2 : Οι αποστάσεις των απέναντι πλευρών του

παραλληλογράμμου είναι ίσες.

Τα τρίγωνα , ABE B Z είναι ίσα επειδή είναι ορθογώνια,

BE BZ (από υπόθεση) και ˆA(απέναντι γωνίες

παραλληλογράμμου). Άρα AB B . Δηλαδή το

παραλληλόγραμμο έχει δύο διαδοχικές πλευρές ίσες, άρα

είναι ρόμβος και η πρόταση ισχύει.

β) Ένα παραλληλόγραμμο είναι ρόμβος αν και μόνο αν οι αποστάσεις των

απέναντι πλευρών του είναι ίσες.

Page 20: Τράπεζα Θεμάτων Γεωμετρία Τ3

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444

Επιμέλεια : xr.tsif Σελίδα 20

ΘΕΜΑ 3717

Δίνεται τρίγωνο και Έστω , τα μέσα των πλευρών του και

αντίστοιχα.

α) Θεωρούμε τυχαίο σημείο στο εσωτερικό του τριγώνου και , τα

συμμετρικά του ως προς και αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι / / .

β) Στην περίπτωση που το σημείο είναι το μέσο της πλευράς , και , τα

συμμετρικά του ως προς και αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι τα σημεία ,

και είναι συνευθειακά.

Λύση:

α) Αφού τα , είναι τα

μέσα των πλευρών και

του τριγώνου θα

ισχύει / / 1 και

22

.

Τα , είναι και τα μέσα

των πλευρών και του

τριγώνου έτσι / / 3 και 42

.

Από 1 , 3 / / .

β) Αν το είναι το μέσο της πλευράς τότε:

Το είναι παραλληλόγραμμο αφού / / / / 52

.

Page 21: Τράπεζα Θεμάτων Γεωμετρία Τ3

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444

Επιμέλεια : xr.tsif Σελίδα 21

Το είναι παραλληλόγραμμο

αφού / / / /2

επειδή το ενώνει τα μέσα δύο

πλευρών του τριγώνου .

Άρα / / 6 .

Από 5 , 6 / / / / .

Ομοίως / / / / .

Άρα τα σημεία , και είναι συνευθειακά αφού από το μόνο μια παράλληλη

διέρχεται προς το .

ΘΕΜΑ 3718

Το τετράπλευρο του παρακάτω σχήματος είναι ρόμβος. Θεωρούμε AZ

και AE B . Να αποδείξετε ότι:

α) Το τρίγωνο είναι ισοσκελές. (Μονάδες 6)

β) Η ευθεία είναι μεσοκάθετος του τμήματος . (Μονάδες 9)

γ) Αν και τα μέσα των πλευρών και αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι το

τετράπλευρο είναι ισοσκελές τραπέζιο. (Μονάδες 10)

Λύση:

α) Θα συγκρίνουμε τα τρίγωνα ZA και AEB:

Είναι ορθογώνια καθώς Z E 90 o έχουν ίσες υποτείνουσες A ,AB (πλευρές

ρόμβου) και έχουν ίσες οξείες γωνίες ˆ ,B (απέναντι παραλληλογράμμου) ,άρα

είναι ίσα συνεπώς όλα τα στοιχεία τους θα είναι ίσα, άρα AZ AE και το τρίγωνο

ZAE είναι ισοσκελές.

β) Θα δείξουμε ότι τα σημεία A, ανήκουν στην μεσοκάθετο ευθεία του τμήματος

ZE .

Page 22: Τράπεζα Θεμάτων Γεωμετρία Τ3

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444

Επιμέλεια : xr.tsif Σελίδα 22

Πράγματι, από το ερώτημα α) προκύπτει Z Z B BE E , άρα το

σημείο ισαπέχει από τα

άκρα του τμήματος ZE .

Ομοίως το σημείο A

ισαπέχει από τα άκρα

του τμήματος ZE , άρα

τα σημεία A, ανήκουν

στην μεσοκάθετο ευθεία

του τμήματος ZE .

γ) Τα σημεία M,N είναι

μέσα υποτεινουσών των

ίσων τριγώνων ZA και AEB, άρα οι διάμεσοι ZM,EN θα είναι ίσες μεταξύ τους.

Μένει να δείξουμε ότι MN/ /ZE .

Στο τρίγωνο AB :

Τα M,N είναι μέσα των πλευρών Aκαι ABαντίστοιχα, συνεπώς: MN/ / B .

Από το ερώτημα β) ZE A

ZE / / BA B

.

Από τις παραπάνω λαμβάνουμε ότι MN/ /ZE .

Τέλος αν επιχειρήσουμε να δείξουμε ότι οι πλευρές ZM,ENδεν είναι παράλληλες

θα συλλάβουμε ότι υπάρχει περίπτωση να είναι παράλληλες , είναι η περίπτωση

που ο ρόμβος έχει μια γωνία εξήντα μοιρών.

Τι κάνουμε τώρα γιατρέ μου;

Page 23: Τράπεζα Θεμάτων Γεωμετρία Τ3

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444

Επιμέλεια : xr.tsif Σελίδα 23

ΘΕΜΑ 3720

Δίνεται ρόμβος AB με 0ˆ 120 . Έστω ότι και είναι οι αποστάσεις του

σημείου A στις πλευρές και B αντίστοιχα.

α) Να αποδείξετε ότι:

i) Τα σημεία E και Z είναι τα μέσα των και B αντίστοιχα. (Μονάδες 8)

ii) A EZ . (Μονάδες 8)

β) Αν M και N τα μέσα των A και αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι το

τετράπλευρο είναι ορθογώνιο παραλληλόγραμμο. (Μονάδες 9)

Λύση:

α) i) Οι διαγώνιοι του ρόμβου διχοτομούν

τις γωνίες του. Άρα 0ˆ ˆA A B 60 .

Τα τρίγωνα λοιπόν , A A B , ως

ισοσκελή με μία γωνία 060 , θα είναι

ισόπλευρα. Άρα τα ύψη ,

θα είναι και διάμεσοι.

Οπότε, τα σημεία E και Z

είναι τα μέσα των και B

αντίστοιχα.

α. ii) ||EZ B (Λόγω του προηγούμενου ερωτήματος).

Επειδή όμως οι διαγώνιοι του ρόμβου είναι κάθετες, θα είναι A EZ .

β) B

MN||2

( M και N τα μέσα των A και αντίστοιχα). Αλλά και

BEZ||

2

.

Οπότε MN|| EZ , δηλαδή το είναι παραλληλόγραμμο και έχει πλευρές

Page 24: Τράπεζα Θεμάτων Γεωμετρία Τ3

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444

Επιμέλεια : xr.tsif Σελίδα 24

παράλληλες με τις διαγώνιες του ρόμβου. Επειδή όμως A B , θα είναι και

EZ EM .

Άρα, το τετράπλευρο είναι ορθογώνιο παραλληλόγραμμο.

ΘΕΜΑ 3721

Στο ισοσκελές τρίγωνο AB ( ) AB A φέρουμε τις διαμέσους B και E . Μία

ευθεία παράλληλη στη βάση B τέμνει τις πλευρές και A στα Z και H

αντίστοιχα και τις διαμέσους B και E στα σημεία και K αντίστοιχα.

Να αποδείξετε ότι:

α) BZ H . (Μονάδες 8)

β) τα τρίγωνα ZB και HK είναι ίσα. (Μονάδες 9)

γ) ZK H . (Μονάδες 8)

Λύση:

α) Αφού B και ,BZ H τέμνονται στο Α,

το τετράπλευρο ZH B είναι τραπέζιο.

Αφού τρίγωνο AB ισοσκελές, τότε ˆ ˆB .

Συνεπώς ZH B είναι ισοσκελές τραπέζιο.

Επομένως (1)BZ H .

β) 1 2

2ˆ ˆ (2)

ˆ ˆ

AE A

A AB AE A B

A A

Page 25: Τράπεζα Θεμάτων Γεωμετρία Τ3

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444

Επιμέλεια : xr.tsif Σελίδα 25

Αφού B και ˆ ˆB τότε 1 2ˆ ˆ (3)Z H (ως παραπληρώματα ίσων γωνιών-εντός

και επί τα αυτά μέρη γωνίες).

Από (1),(2),(3) και το κριτήριο ( ) , τα τρίγωνα ZB και HK είναι ίσα.

γ) Συνεπώς Z KH . Άρα ZK Z K KH K H .

ΘΕΜΑ 3722

Δίνεται κυρτό τετράπλευρο με και . Να αποδείξτε ότι:

α) Το τρίγωνοείναι ισοσκελές.

β) Οι διαγώνιοι του τετραπλεύρου τέμνονται κάθετα.

γ) Το τετράπλευρο που έχει για κορυφές τα μέσα των πλευρών του είναι

ορθογώνιο.

Λύση:

α) Το τρίγωνο είναι ισοσκελές επειδή έτσι 1 .

Page 26: Τράπεζα Θεμάτων Γεωμετρία Τ3

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444

Επιμέλεια : xr.tsif Σελίδα 26

, 1

οπότε το τρίγωνο είναι

ισοσκελές με 2 .

β) Επειδή και τα σημεία , ισαπέχουν από τα άκρα της

οπότε η είναι η μεσοκάθετος της δηλαδή .

γ) Αν , , , τα μέσα των , , , αντίστοιχα το τετράπλευρο είναι

παραλληλόγραμμο (γνωστή εφαρμογή).

Είναι / / και / / αφού τα , ενώνουν τα μέσα δύο πλευρών των

τριγώνων και αντίστοιχα, έτσι 90 ως παράλληλες σε

κάθετες ευθείες. Άρα το είναι ορθογώνιο.

ΘΕΜΑ 3724

Δίνεται κύκλος (O, )R με διάμετρο AB και δυο ευθείες 1 2, εφαπτόμενες του

κύκλου στα άκρα της διαμέτρου AB. Έστω ότι, μια τρίτη ευθεία εφάπτεται του

κύκλου σε ένα σημείο του Eκαι τέμνει τις 1 2, στα , αντίστοιχα.

α) Αν το σημείο Eδεν είναι το μέσο του τόξου AB, να αποδείξετε ότι:

i. Το τετράπλευρο AB είναι τραπέζιο.

ii. A B .

β) Αν το σημείο E βρίσκεται στο μέσον του τόξου AB, να αποδείξετε ότι το

τετράπλευρο A B είναι ορθογώνιο.

Στην περίπτωση αυτή να εκφράσετε την περίμετρο του ορθογωνίου A B ως

συνάρτηση της ακτίνας R του κύκλου.

Page 27: Τράπεζα Θεμάτων Γεωμετρία Τ3

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444

Επιμέλεια : xr.tsif Σελίδα 27

Λύση:

α) i) Είναι A / / B ως κάθετες στην AB. Ακόμα ηδεν είναι παράλληλη στην

AB , διότι σε αντίθετη περίπτωση το AB θα ήταν παραλληλόγραμμο με μία

ορθή , άρα ορθογώνιο .

Τότε η EOως κάθετη στηνθα είναι κάθετη στην AB.

Τότε τα AOE ,BOE είναι τετράγωνα , οπότε το E θα ήταν μέσον της , που

είναι άτοπο .

ii) Αφού τα εφαπτόμενα τμήματα είναι ίσα, έχουμε: A B E E .

β) Απαντήθηκε στο α (ι) ότι είναι ορθογώνιο. Η περίμετρός του είναι 6R .

ΘΕΜΑ 3725

Στο τετράγωνο ονομάζουμε το κέντρο του και θεωρούμε τυχαίο σημείο

του τμήματος . Φέρνουμε την κάθετη από το στην , που τέμνει το

τμήμα στο .

Να αποδείξετε ότι:

α) Οι γωνίες και του παρακάτω σχήματος είναι ίσες.

β) και .

Page 28: Τράπεζα Θεμάτων Γεωμετρία Τ3

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444

Επιμέλεια : xr.tsif Σελίδα 28

γ) Το τμήμα είναι κάθετο στο .

Λύση:

α) Είναι ως οξείες με κάθετες πλευρές ,

β) Τα ορθογώνια τρίγωνα και είναι ίσα αφού έχουν και

ως μισά των ίσων διαγωνίων

, του τετραγώνου.

Έτσι είναι και

Τα και είναι ίσα από

γιατί έχουν :

ως πλευρές του

τετραγώνου

από (α) ερώτημα και

ως αθροίσματα των

ίσων γωνιών και με 45

Οπότε

γ) Στο τρίγωνο τα τμήματα , είναι ύψη του που τέμνονται στο ,

δηλαδή το είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου, άρα και το είναι το τρίτο

ύψος του δηλαδή το είναι κάθετο στο .

ΘΕΜΑ 3726

Θεωρούμε δύο σημεία A και B τα οποία βρίσκονται στο ίδιο μέρος ως προς μια

ευθεία ( ) τέτοια ώστε η ευθεία AB δεν είναι κάθετη στην ( ) . Έστω /A το

συμμετρικό του A ως προς την ευθεία ( ) .

Page 29: Τράπεζα Θεμάτων Γεωμετρία Τ3

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444

Επιμέλεια : xr.tsif Σελίδα 29

(α) Αν η /A B τέμνει την ευθεία ( ) στο σημείο O , να αποδείξετε ότι:

(i) Η ευθεία ( ) διχοτομεί την γωνία /AOA .

(ii) Οι ημιευθείες OA και OB σχηματίζουν ίσες οξείες γωνίες με την ευθεία ( ) .

(β) Αν K είναι ένα άλλο σημείο πάνω στην ευθεία ( ) να αποδείξετε ότι:

(i) KA KA΄ .

(ii) KA KB AO OB .

Λύση:

(α) (i) Αφού το A΄ είναι το

συμμετρικό του A ως προς

την ( ) , η ( ) είναι

μεσοκάθετος του AA΄και

άρα OA OA΄ , οπότε το

τρίγωνο AOA΄ είναι

ισοσκελές . Άρα το ύψος

του OE είναι και διχοτόμος

της γωνίας της κορυφής

του, δηλαδή η ( ) διχοτομεί

την γωνία AOA΄ .

(ii) Έχουμε AOE EOA΄ , όπως δείξαμε στο (i) και BOK EOA΄ , ως κατακορυφήν.

Άρα EOA BOK

(β) (i) Αφού είδαμε ότι η ευθεία ( ) είναι μεσοκάθετος του AA΄ , θα είναι και

KA K ΄ .

(ii) Έχουμε: KA KB KA΄ KB BA΄ λόγω της τριγωνικής ανισότητας στο

τρίγωνο /KBA . Συνεπώς: KA KB BA΄ BO OA΄ BO OA .

Page 30: Τράπεζα Θεμάτων Γεωμετρία Τ3

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444

Επιμέλεια : xr.tsif Σελίδα 30

Β τρόπος

α) i. Επειδή τα και ' είναι συμμετρικά ως προς την η ευθεία είναι

μεσοκάθετος του '

οπότε ' 1 και το

τρίγωνο ' είναι

ισοσκελές.

Έτσι η μεσοκάθετος του

τριγώνου είναι και

διχοτόμος της γωνίας της

κορυφής δηλαδή της ' .

ii. Αν είναι το σημείο τομής του ' με την , η οξεία γωνία που

σχηματίζει η ημιευθεία με την και η οξεία γωνία της με την ,

τότε: ' 2 αφού η μεσοκάθετος του ισοσκελούς τριγώνου

' ' είναι και διχοτόμος.

Όμως 2

' ως κατακορυφήν.

β) i. Αφού το είναι σημείο της μεσοκαθέτου του τμήματος ' θα ισχύει

' 3 .

ii. Από την τριγωνική ανισότητα στο τρίγωνο ' ισχύει:

Page 31: Τράπεζα Θεμάτων Γεωμετρία Τ3

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444

Επιμέλεια : xr.tsif Σελίδα 31

3 1

' ' ' 4 .

Από τριγωνική ανισότητα στο τρίγωνο είναι: 5 .

Από 4 , 5 (μεταβατική ιδιότητα).

ΘΕΜΑ 3727

Στο τετράγωνοπροεκτείνουμε την πλευρά κατά τμήμα και την

πλευρά κατά τμήμα .

α) Να αποδείξετε ότι:

i) .

ii) .

β) Αν το συμμετρικό σημείο του ως προς την ευθεία , να αποδείξετε ότι

το τετράπλευρο είναι τετράγωνο.

Λύση:

α) i. Έστω είναι η πλευρά του τετραγώνου .

Τα ορθογώνια τρίγωνα και είναι ίσα αφού έχουν:

και 2

Άρα και 1 , 2

ii. Είναι 3 ως εντός εναλλάξ των παραλλήλων , που

τέμνονται από τη .

Page 32: Τράπεζα Θεμάτων Γεωμετρία Τ3

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444

Επιμέλεια : xr.tsif Σελίδα 32

90

.

β) Αν είναι το σημείο τομής των διαγωνίων του , τότε το τμήμα

είναι μεσοκάθετος του , αφού το το συμμετρικό σημείο του ως προς

Άρα 3 και 4

1

3 , 4

Οπότε το είναι τετράγωνο αφού έχει όλες τις πλευρές του ίσες, κάθετες

διαγώνιες και μία ορθή γωνία 90 .

Page 33: Τράπεζα Θεμάτων Γεωμετρία Τ3

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444

Επιμέλεια : xr.tsif Σελίδα 33

ΘΕΜΑ 3728

Έστω ότι ο κύκλος ( , )O εφάπτεται των πλευρών του τριγώνου P E στα σημεία

,A και B .

α) Να αποδείξετε ότι:

i. P AP. (Μονάδες 6)

ii. P PE E . (Μονάδες 8)

β) Αν A BE , να αποδείξετε ότι

i. το τρίγωνο P E είναι ισοσκελές. (Μονάδες 6)

ii. Τα σημεία , και είναι συνευθειακά. (Μονάδες 5)

Λύση:

α. i) Επειδή τα εφαπτόμενα τμήματα σε

κύκλο από ένα σημείο εκτός κύκλου είναι ίσα,

θα είναι: , PA PB A και E EB.

Οπότε: P PA A PA .

α. ii) P AP PB PE BE PE E

β. i) A BE

P PA A PB BE P PE

. Άρα το

τρίγωνο P E είναι ισοσκελές.

β. ii) Είναι O E (ακτίνα κάθετη στην

εφαπτομένη στο σημείο επαφής). Επειδή όμως ο

κύκλος ( , )O είναι ο εγγεγραμμένος κύκλος του

τριγώνου P E και το τρίγωνο είναι

ισοσκελές, η διχοτόμος από την κορυφή A

διέρχεται από το σημείο O και είναι και

ύψος. Δηλαδή, PO E .

Από το σημείο όμως, υπάρχει μόνο μία

κάθετη στη E . Άρα, τα σημεία , και είναι συνευθειακά.

ΘΕΜΑ 3729

Θεωρούμε κύκλο κέντρου και εξωτερικό σημείο του . Από το φέρνουμε τα

εφαπτόμενα τμήμα και . Η διακεντρική ευθεία τέμνει τον κύκλο στο

Page 34: Τράπεζα Θεμάτων Γεωμετρία Τ3

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444

Επιμέλεια : xr.tsif Σελίδα 34

σημείο . Η εφαπτόμενη του κύκλου στο τέμνει τα και στα σημεία και

αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι:

α) το τρίγωνο είναι ισοσκελές. (Μονάδες 10)

β) . (Μονάδες 8)

γ) η περίμετρος του τριγώνου είναι ίση με . (Μονάδες 7)

Λύση:

α) Αρκεί να δείξουμε ότι P P .

Γνωρίζουμε ότι η διακεντρική

ευθεία POδιχοτομεί την γωνία APB

που σχηματίστηκε από τα

εφαπτόμενα τμήματα PAκαι PB.

Συνεπώς : APO BPO .

Αν συγκρίνουμε τα τρίγωνα P

και P διαπιστώνουμε ότι είναι

ορθογώνια ˆ 90 o έχουν κοινή

κάθετη πλευρά P και όπως δείξαμε

πριν έχουν δύο οξείες γωνίες ίσες

APO BPO . Συνεπώς είναι ίσα

τρίγωνα , άρα έχουν όλα τα

στοιχεία τους ίσα, θα είναι λοιπόν

P P .

β) Γνωρίζουμε ότι τα εφαπτόμενα

τμήματα που άγονται από σημείο εκτός αυτού είναι ίσα, άρα PA PB συνεπώς

συνδυάζοντας και το συμπέρασμα του προηγούμενου ερωτήματος:

A PA P PB P B .

γ) Τα σημεία , είναι εξωτερικά του κύκλου και τα τμήματα A, και , B

είναι εφαπτόμενα τμήματα που άγονται από αυτά, άρα ίσα μεταξύ τους.

Έχουμε:

A, B

P P P P P A B P PA PB

.

Page 35: Τράπεζα Θεμάτων Γεωμετρία Τ3

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444

Επιμέλεια : xr.tsif Σελίδα 35

ΘΕΜΑ 3732

Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο AB και το ύψος του A . Στο A θεωρούμε σημείο H

τέτοιο ώστε HA HB .Έστω ότι E είναι το σημείο τομής της με την A .

Φέρνουμε την κάθετη στην , η οποία τέμνει την πλευρά B στο .

α) Να αποδείξετε ότι:

i) Τα τρίγωνα H Bκαι είναι ίσα. (Μονάδες 6)

ii) Z . (Μονάδες 6)

iii) Η ευθεία H είναι μεσοκάθετος του τμήματος. (Μονάδες 6)

β)Ποιο από τα σημεία του σχήματος είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου; Να

δικαιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 7)

Λύση:

α) i)Τα τρίγωνα H B και είναι ίσα,

επειδή είναι ορθογώνια και έχουν HB HA

(από υπόθεση) και BH AHZ

(ως κατακορυφήν).

α. ii) Από την ισότητα των τριγώνων του

ερωτήματος (α. i), προκύπτει ότι

H HZ . Άρα η H είναι

διχοτόμος της γωνίας ˆA B ( Το

σημείο H ισαπέχει από τις

πλευρές της). Επομένως τα

ορθογώνια τρίγωνα H και

ZH είναι ίσα (έχουν κοινή υποτείνουσα και ˆ ˆH H Z ). Άρα Z .

Page 36: Τράπεζα Θεμάτων Γεωμετρία Τ3

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444

Επιμέλεια : xr.tsif Σελίδα 36

α. iii) Από την ισότητα των τριγώνων του ερωτήματος (α. i), έχουμε ακόμα

B AZ .

B B AZ Z B A , οπότε το τρίγωνο AB είναι ισοσκελές. Άρα η

H που διχοτομεί τη γωνία ˆA B , θα είναι μεσοκάθετος της .

α) Στο τρίγωνο , τα ύψη , AZ B τέμνονται στο σημείο , που είναι και το

ορθόκεντρο του τριγώνου.

ΘΕΜΑ 3734

Σε ισοσκελές τραπέζιο ( / / ) είναι .

α) Να αποδείξετε ότι η είναι διχοτόμος της γωνίας . (Μονάδες 7)

β) Να προσδιορίσετε τη θέση ενός σημείου , ώστε το τετράπλευρο να

είναι ρόμβος. (Μονάδες 10)

γ) Αν επιπλέον είναι γωνία 120

και οι διαγώνιοι του ρόμβου τέμνονται στο

σημείο , να υπολογίσετε τις γωνίες του τετραπλεύρου . (Μονάδες 8)

Λύση:

α) Γνωρίζουμε ότι AB A

άρα το τρίγωνο AB είναι

ισοσκελές , συνεπώς

A B AB .

Τα ευθύγραμμα τμήματα

AB, είναι παράλληλα και

τέμνονται από την B , άρα

οι γωνίες AB , B είναι

ίσες μεταξύ τους ως εντός

Page 37: Τράπεζα Θεμάτων Γεωμετρία Τ3

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444

Επιμέλεια : xr.tsif Σελίδα 37

εναλλάξ. Από τα προηγούμενα προκύπτει ότι A B B

που οδηγεί στο

συμπέρασμα.

β) Γράφουμε κύκλο με κέντρο το και ακτίνα A , έστω E το σημείο τομής του

με την πλευρά , θα

δείξουμε ότι το

τετράπλευρο ABEείναι

ρόμβος.

Το ευθύγραμμα τμήματα

AB, είναι παράλληλα

(παράλληλες πλευρές

τραπεζίου) , άρα θα είναι

και τα τμήματα AB και

E παράλληλα, επιπλέον

AB A E ,συνεπώς

είναι ίσα , δείξαμε έτσι ότι το τετράπλευρο ABE είναι παραλληλόγραμμο. Οι

απέναντι πλευρές του A ,BE θα είναι ίσες ,άρα ισχύει: AB A E BE και το

τετράπλευρο είναι ρόμβος.

γ) Θα δείξουμε προπαρασκευαστικά ότι το τρίγωνο EB είναι ισόπλευρο.

Πράγματι είναι

ισοσκελές καθώς:

B A BE , οι

γωνίες AB και EB

είναι ίσες ως απέναντι

γωνίες

παραλληλογράμμου

και η BE είναι

παραπληρωματική της

EB , άρα ίση με 60o , συνεπώς το ισοσκελές τρίγωνο με γωνίες βάσεων 60o είναι

ισόπλευρο.

Page 38: Τράπεζα Θεμάτων Γεωμετρία Τ3

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444

Επιμέλεια : xr.tsif Σελίδα 38

Επιπλέον γνωρίζουμε ότι οι διαγώνιοι του ρόμβου τέμνονται κάθετα και

διχοτομούν τις απέναντι γωνίες, όπως και ότι οι διαδοχικές γωνίες ενός

παραλληλογράμμου είναι παραπληρωματικές.

Άρα: O 90 o .

01 1OB ABE EB 60 60 90

2 2 o o ,

B E 60 o ,

1 1

EO EB BE 60 120 1202 2

o o o .

ΘΕΜΑ 3735

Δίνεται τρίγωνο ABΓμε AB<ΑΓ. Έστω Αx η εξωτερική διχοτόμος της γωνίας A.

α) Να αποδείξετε ότι:

i. A

1802 2

, όπου A

και

παριστάνουν τις εξωτερικές γωνίες των ,

A

,

αντίστοιχα. (Μονάδες 10)

ii. Η εξωτερική διχοτόμος της γωνίας A

τέμνει την προέκταση της πλευράς

(προς το μέρος του ) σε σημείο . (Μονάδες 8)

β) Αν το τρίγωνο ABΓ είναι ορθογώνιο στο A

και 15

, να αποδείξετε ότι

BΓ=2ΑΒ. (Μονάδες 7)

Λύση:

α) i) A

180 1802 2 2

.

Page 39: Τράπεζα Θεμάτων Γεωμετρία Τ3

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444

Επιμέλεια : xr.tsif Σελίδα 39

ii) B

xAB B B 180 1802 2

,

γιατί AB<ΑΓ 02

,

οπότε αφού οι εντός και επί τα αυτά μέρη των x και που τέμνονται από την

έχουν άθροισμα μικρότερο των 180 η x και η θα τέμνονται στο

ημιεπίπεδο της που δεν περιέχει το .

β) Είναι90

15 602

, ως εξωτερική γωνία στο τρίγωνο

οπότε 30

και έτσι θα είναι 2

, δηλαδή BΓ=2ΑΒ.

ΘΕΜΑ 3741

Σε παραλληλόγραμμο AB με γωνία A αμβλεία, ισχύει 2 AB A . Τα σημεία E

και Z είναι μέσα των πλευρών του και αντίστοιχα. Από το φέρουμε την

H κάθετη στην προέκταση της .B Να αποδείξετε ότι:

α) Το τετράπλευρο AEZ είναι ρόμβος. (Μονάδες 8)

β) Το τρίγωνο είναι ισοσκελές. (Μονάδες 9)

300

600

450

450

150

x

Z

Α

Β

Γ

Page 40: Τράπεζα Θεμάτων Γεωμετρία Τ3

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444

Επιμέλεια : xr.tsif Σελίδα 40

γ) Το τμήμα είναι διχοτόμος της γωνίας ZH . (Μονάδες 8)

Λύση:

α) AB 2A AE A EZ AZ .

Άρα το τετράπλευρο AEZ είναι

ρόμβος.

β) Στο ορθογώνιο τρίγωνο H η

είναι η διάμεσος που

αντιστοιχεί στην υποτείνουσα,

οπότε ZH ZA ZE . Άρα,

τρίγωνο είναι

ισοσκελές.

γ) Από το ισοσκελές τρίγωνο , έχουμε

HEZ EHZ .

Αλλά, HEZ (ως εντός εναλλάξ των παραλλήλων

, που τέμνονται από την . Άρα , δηλαδή το τμήμα είναι

διχοτόμος της γωνίας ZH .

ΘΕΜΑ 3745

Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο και το ύψος του στην πλευρά .

Στην προέκταση του θεωρούμε τμήμα . Στην προέκταση του

προς το μέρος του θεωρούμε τμήμα .

Να αποδείξετε ότι:

α) Το τετράπλευρο ρόμβος.

β) Το τρίγωνο είναι ισοσκελές.

Page 41: Τράπεζα Θεμάτων Γεωμετρία Τ3

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444

Επιμέλεια : xr.tsif Σελίδα 41

γ) Το σημείο είναι το βαρύκεντρο του τριγώνου .

Λύση:

α) Αφού το είναι ύψος στη βάση του ισοσκελούς τριγώνου θα είναι

και διάμεσος.

Έτσι το είναι ρόμβος

αφού οι διαγώνιοί του

τέμνονται κάθετα,

διχοτομούνται και δύο

διαδοχικές του πλευρές είναι

ίσες

β) Το είναι μεσοκάθετος

του , έτσι οπότε

το τρίγωνο είναι

ισοσκελές.

γ) Στο τρίγωνο το τμήμα είναι διάμεσός του και ισχύει:

2 2

22 2

3 οπότε το είναι το βαρύκεντρο του τριγώνου .

ΘΕΜΑ 3747

Δίνεται τρίγωνο με γωνία ίση με 120 και γωνία είναι ίση με 45 . Στην

προέκταση της προς το , παίρνουμε τμήμα 2 . Από το φέρνουμε

την κάθετη στην που την τέμνει στο σημείο .

Να αποδείξετε ότι:

α) Η γωνία είναι ίση με 30 .

β) Το τρίγωνο είναι ισοσκελές.

Page 42: Τράπεζα Θεμάτων Γεωμετρία Τ3

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444

Επιμέλεια : xr.tsif Σελίδα 42

γ) Αν το μέσο της , τότε 90 .

δ) Το σημείο ανήκει στη μεσοκάθετο του τμήματος .

Λύση:

α) 60 ως

παραπληρωματική της

120 .

Από το ορθογώνιο τρίγωνο

θα είναι 30

β) Αφού στο ο ορθογώνιο

τρίγωνο είναι

30 τότε 2

2

άρα

το τρίγωνο είναι

ισοσκελές.

γ) Είναι 2

και η διάμεσός του είναι

2

άρα

το τρίγωνο είναι ορθογώνιο αφού η διάμεσος του ισούται με το μισό της

αντίστοιχής πλευράς, με υποτείνουσα , οπότε 90 .

δ) Τα ορθογώνια τρίγωνα και είναι ίσα αφού έχουν:

και 2 άρα είναι και δηλαδή το σημείο ανήκει

στη μεσοκάθετο του τμήματος αφού ισαπέχει από τα άκρα του.

Page 43: Τράπεζα Θεμάτων Γεωμετρία Τ3

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444

Επιμέλεια : xr.tsif Σελίδα 43

ΘΕΜΑ 3751

Δίνεται τυχαίο τρίγωνο και η διάμεσός του . Έστω ότι είναι το μέσο

της τέτοιο ώστε 2

και γωνία 120

.

α) Να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου . (Μονάδες 5)

β) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο είναι ορθογώνιο. (Μονάδες 6)

γ) Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα και είναι ίσα. (Μονάδες 6)

δ) Αν το σημείο είναι η προβολή του στην , να αποδείξετε ότι 2 .

(Μονάδες 8)

Λύση:

ΑΡΧΙΚΟ ΣΧΟΛΙΟ:

Η εκφώνηση «τυχαίο τρίγωνο »

είναι εντελώς άστοχη και η λέξη

τυχαίο πρέπει να παραληφθεί αφού

για να ισχύουν όλα τα δεδομένα

πρέπει τελικά να είναι ορθογώνιο

στο !!!

α) 60

ως παραπληρωματική

της 120

.

2

, οπότε το τρίγωνο είναι ισοσκελές με μια γωνία 60 , άρα

ισόπλευρο και όλες του οι γωνίες θα είναι 60 .

Page 44: Τράπεζα Θεμάτων Γεωμετρία Τ3

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444

Επιμέλεια : xr.tsif Σελίδα 44

β) Η είναι διάμεσος του τριγώνου και ισχύει από (α) 2

,

οπότε το τρίγωνο θα είναι ορθογώνιο στο .

γ) Τα τρίγωνα και είναι ίσα γιατί έχουν:

1) , αφού μέσο της .

2) , αφού το τρίγωνο είναι ισόπλευρο

3) 120

, ως παραπληρωματική της 60

(κριτήριο Π-Γ-Π)

δ) Στο ισόπλευρο τρίγωνο είναι ύψος άρα και διχοτόμος και διάμεσος.

Άρα 2 2 2

, οπότε 2 .

Δούρειος ίππος.

Το τρίγωνο AB όχι μόνο δεν είναι τυχαίο αλλά είναι ειδικό ορθογώνιο τρίγωνο , (0B 90 ) αφού οι πλευρές του συνδέονται με τις σχέσεις:

3 7, ,

2 2

.

Το ότι από ψευδές μπορούμε να έχουμε αληθές και το κακέκτυπο

(γιατί άραγε σχεδιασμένο με το χέρι;) σχήμα που δίδεται δεν απαλλάσσει τον

θεματοδότη από τις ευθύνες του .

Αν δεν είναι ανικανότητα τότε είναι «ανεντιμότητα» απέναντι στα παιδιά μας .

ΘΕΜΑ 3754

Δίνεται ορθογώνιο παραλληλόγραμμο . Από την κορυφή φέρουμε

. Έστω , τα μέσα των πλευρών και αντιστοίχως, τότε:

α) Να αποδείξετε ότι:

i. 90 .

Page 45: Τράπεζα Θεμάτων Γεωμετρία Τ3

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444

Επιμέλεια : xr.tsif Σελίδα 45

ii. 2

.

γ) Αν 30 , να αποδείξετε ότι .

Λύση:

α) i. Τα τμήματα , είναι διάμεσοι στις υποτείνουσες των ορθογωνίων

τριγώνων και αντίστοιχα, οπότε:

2

και

2

δηλαδή τα τρίγωνα και είναι

ισοσκελή, οπότε:

1 και

2 .

1 , 2

90 .

ii. Το τμήμα ενώνει τα μέσα δύο πλευρών του τριγώνου, έτσι:

32 2

.

β) Αν 30 τότε στο ορθογώνιο τρίγωνο θα ισχύει: 42

.

Από 3 , 4 .

Page 46: Τράπεζα Θεμάτων Γεωμετρία Τ3

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444

Επιμέλεια : xr.tsif Σελίδα 46

ΘΕΜΑ 3757

Δίνεται ορθογώνιο με κέντρο και , 2 . Στην προέκταση

της πλευράς (προς το ) παίρνουμε σημείο ώστε .

α) Να αποδείξετε ότι:

i. Το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο. (Μονάδες 8)

ii. Το τρίγωνο είναι ισόπλευρο. (Μονάδες 9)

β) Αν η τέμνει την πλευρά στο σημείο , να αποδείξετε ότι .

(Μονάδες 8)

Λύση:

α) i. Αφού EA A B / / A θα είναι και EA / / B συνεπώς το τετράπλευρο

AEB έχει δύο απέναντι πλευρές ίσες και παράλληλες και επομένως είναι

παραλληλόγραμμο. Άμεση συνέπεια: EB / / A (1)

ii. Οι διαγώνιες του ορθογωνίου

είναι ίσες, έτσι αν θέσουμε B

θα είναι:

A B 2 και λόγω της (1)

( προηγούμενο ερώτημα) BE 2 .

Επίσης από την υπόθεση

E 2A E 2B E 2 .

Δηλαδή το τρίγωνο EB έχει και

τις τρεις πλευρές του ίσες άρα είναι

ισόπλευρο και ως γνωστό κάθε

γωνία του είναι από 060 .

β) Στο ισόπλευρο τώρα EB η EO

είναι διάμεσος γιατί οι διαγώνιοι

του ορθογωνίου AB διχοτομούνται . Έτσι όμως το EO είναι και ύψος στο

Page 47: Τράπεζα Θεμάτων Γεωμετρία Τ3

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444

Επιμέλεια : xr.tsif Σελίδα 47

τρίγωνο αυτό και άρα προφανές ότι το Z είναι το ορθόκεντρο του , οπότε

αναγκαστικά η Z ο φορές του τρίτου ύψους του και άρα Z EB .

Παρατηρήσεις:

Η άσκηση λύνεται και με άλλους τρόπους ( π.χ. με υπολογισμό γωνιών κ. λ. π.)

επέλεξα τον πιο πάνω τρόπο για να δοθεί έμφαση αφ ενός ότι ή απάντηση κάθε

ερωτήματος προκύπτει συνήθως από το ή τα προηγούμενα άλλα και αφ ετέρου

στην αξιοποίηση του ορθοκέντρου σε ασκήσεις καθετότητας που συνήθως δεν

περνά από τη σκέψη μεγάλης μερίδας ( και δικαιολογημένα ) μαθητών.

ΘΕΜΑ 3787

Έστω , ,A B συνευθειακά σημεία με 2 AB B . Θεωρούμε το μέσο M της .

Προς το ίδιο ημιεπίπεδο κατασκευάζουμε τα ισόπλευρα τρίγωνα , A B BE . Να

αποδείξετε ότι:

α) Το τετράπλευρο A EBείναι τραπέζιο ( ||A BE ). (Μονάδες 9)

β) Τα τρίγωνα , MB EBείναι ίσα. (Μονάδες 8)

γ) Το τετράπλευρο MBE είναι εγγράψιμο. (Μονάδες 8)

Λύση:

α) 0 0BA EB 60 BE 60 .

Άρα 0A BE 60 κι επειδή είναι εντός εναλλάξ,

τότε ||A BE ( A BE ), οπότε το τετράπλευρο

A EB είναι τραπέζιο.

β) AB 2B MB B EB .

Τα τρίγωνα , MB EB έχουν τη B κοινή,

Page 48: Τράπεζα Θεμάτων Γεωμετρία Τ3

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444

Επιμέλεια : xr.tsif Σελίδα 48

MB BE και 0BM EB 60 . Άρα

είναι ίσα.

γ) Από την ισότητα των τριγώνων προκύπτει ότι 0EB MB 90 (στο ισόπλευρο τρίγωνο κάθε

διάμεσος είναι και ύψος). Το τετράπλευρο

MBE είναι λοιπόν εγγράψιμο, αφού δύο

από τις απέναντι γωνίες του είναι ορθές.

ΘΕΜΑ 3789

Δίνεται παραλληλόγραμμο AB . Θεωρούμε το μέσο M της πλευράς A και E

κάθετος από τη κορυφή στην ευθεία MB E MB . Η παράλληλη από την

κορυφή στην ευθεία MB / /MBx τέμνει τις B και E στα σημεία N,Z

αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι:

α) Το τετράπλευρο MBN είναι παραλληλόγραμμο.

β) Το σημείο Z είναι μέσον του ευθυγράμμου τμήματος E .

γ) E .

Λύση:

α) Είναι MB/ / Z και M / /BZ ,

οπότε το MBN είναι παραλληλόγραμμο.

β) Από το MBN είναι: A BA B

BN M 2 2

δηλαδή το N είναι μέσο του B .

Page 49: Τράπεζα Θεμάτων Γεωμετρία Τ3

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444

Επιμέλεια : xr.tsif Σελίδα 49

Στο τρίγωνο BEτο N είναι μέσο του B και NZ/ /BEάρα το Z είναι μέσον του

ευθυγράμμου τμήματος E .

γ) Είναι Z/ /ME και ME E άρα και Z E .

Στο τρίγωνο E το Z είναι ύψος και διάμεσος οπότε είναι ισοσκελές, δηλαδή

E .

ΘΕΜΑ 3793

Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο AB . Κατασκευάζουμε εξωτερικά του τριγώνου τα

ισόπλευρα τρίγωνα , A . Ονομάζουμε Z το σημείο τομής των ευθυγράμμων

τμημάτων , B E . Να αποδείξετε ότι:

α) Τα τρίγωνα AE και AB είναι ίσα και να γράψετε τα ζεύγη των ίσων γωνιών .

(Μονάδες 10)

β) Τα τετράπλευρα AZ , είναι εγγράψιμα. (Μονάδες 10)

γ) Η γωνία BZ είναι 120o . (Μονάδες 5)

Page 50: Τράπεζα Θεμάτων Γεωμετρία Τ3

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444

Επιμέλεια : xr.tsif Σελίδα 50

Λύση:

α)Αφού τρίγωνα , A ισόπλευρα, έχουν ίσες πλευρές και γωνίες 60o .

Έχω:

ˆ ˆ ˆ60

O

AE AB

A A AE AB

EA A BA

. Άρα 1 2ˆ ˆ και 1 2

ˆ ˆ .

β) Το τετράπλευρο AZ είναι εγγράψιμο αφού

1 2ˆ ˆ (η πλευρά

φαίνεται από τις

απέναντι κορυφές, υπό

ίση γωνία). Όμοια το

τετράπλευρο .

γ) Αφού AZ είναι εγγράψιμο

τότε 2ˆ ˆ 60 oZ (ίση με απέναντι

εσωτερική).

Όμοια, 1ˆ ˆ 60 oZ E . Συνεπώς 1 2

ˆ ˆ ˆ 120 oBZ Z Z .

ΘΕΜΑ 3796

Δίνονται οξυγώνιο τρίγωνο , , AB BE Z τα ύψη από τις κορυφές ,B αντίστοιχα

και H το ορθόκεντρο του τριγώνου. Επίσης δίνονται τα , , ,M N K μέσα των

ευθυγράμμων τμημάτων , , , AB A H BH αντίστοιχα.

α) Να αποδείξετε ότι:

i. MN K . (Μονάδες 6)

Page 51: Τράπεζα Θεμάτων Γεωμετρία Τ3

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444

Επιμέλεια : xr.tsif Σελίδα 51

ii. 2

AH

NK M . (Μονάδες 6)

iii. Το τετράπλευρο MNK είναι ορθογώνιο. (Μονάδες 6)

β) Αν το O είναι το μέσο της B , να αποδείξετε ότι ˆ 90 oMOK . (Μονάδες 7)

Λύση:

α) Στο τρίγωνο , AB AH

M (1)BH 2

M o

o

.

Όμοια στα τρίγωνα , , , AH AB BH BH έχω:

(2)2

AH

KN , (3)2

BMN , (4)

2

BK , (5)

2

BHKO , (6)

2

BOM .

i) Από (3),(4) (7) MN K .

ii) Από (1),(2)2

AH

NK M .

iii) Λόγω της (7) το τετράπλευρο MNK είναι παραλληλόγραμμο.

Page 52: Τράπεζα Θεμάτων Γεωμετρία Τ3

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444

Επιμέλεια : xr.tsif Σελίδα 52

Αφού H ορθόκεντρο, AH B . Όμως K B . Άρα AH K . Είναι AH M ,

συνεπώς M K .

Επομένως το παραλληλόγραμμο MNK έχοντας μια ορθή γωνία, είναι ορθογώνιο.

β) Αφού BH B (H ορθόκεντρο ) και ισχύουν οι (5),(6) έχω MO OK δηλαδή

ˆ 90 oMOK (όπως β. iii) ή γωνίες με πλευρές κάθετες).

ΘΕΜΑ 3798

Δίνεται ορθή γωνία 0ˆ 90xOy και , σημεία των ημιευθειών y,Ox αντίστοιχα,

με OA OB . Η ( ) είναι ευθεία που διέρχεται από την κορυφή O και αφήνει τις

ημιευθείες y,Ox στο ίδιο ημιεπίπεδο. Η κάθετη από το σημείο A στην ( ) την

τέμνει στο και η κάθετη από το σημείο B στην ( ) την τέμνει στο E . Να

αποδείξετε ότι:

α) Τα τρίγωνα OA και είναι ίσα. (Μονάδες 7)

β) A BE E . (Μονάδες 7)

γ) 2

EMN , όπου , είναι το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα των E

και . (Μονάδες 7)

δ) Το τρίγωνο ME είναι ορθογώνιο και ισοσκελές. (Μονάδες 4)

Λύση:

Α) Τα ορθογώνια τρίγωνα OA και

έχουν OA OB και (είναι

οξείες και έχουν τις πλευρές τους

κάθετες). Άρα τα τρίγωνα είναι ίσα.

Page 53: Τράπεζα Θεμάτων Γεωμετρία Τ3

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444

Επιμέλεια : xr.tsif Σελίδα 53

β) Από την ισότητα των τριγώνων προκύπτει

ότι: O BE και OE A .

Με πρόσθεση κατά μέλη έχουμε

A BE E

γ) Από την υπόθεση η είναι διάμεσος του

τραπεζίου A EB , οπότε:

BE

2 2

A EMN .

δ) Το τρίγωνο ME είναι ορθογώνιο επειδή από το

ερώτημα (γ), η διάμεσός του είναι ίση με το μισό της

πλευράς που αντιστοιχεί.

Η είναι όμως μεσοκάθετος του E , οπότε το τρίγωνο είναι και ισοσκελές.

Σε περίπτωση που είναι ||AB E , τότε το A EB

είναι ορθογώνιο, τα σημεία ,

συμπίπτουν και είναι MN A . Τότε όμως το

τετράπλευρο A NM είναι τετράγωνο, οπότε

N NE2

EMN .

Παρατήρηση:

Το A EB δεν είναι απαραίτητα τραπέζιο.

Αν AB , τότε N O και

Page 54: Τράπεζα Θεμάτων Γεωμετρία Τ3

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444

Επιμέλεια : xr.tsif Σελίδα 54

,MA N MNEB τετράγωνα. Οπότε 2

EMN N NE

ΘΕΜΑ 3800

Θεωρούμε ισόπλευρο τρίγωνο AB και τα σημεία και E των πλευρών και

A αντίστοιχα, ώστε να είναι A E. Έστω O το σημείο τομής των και .

α) Να αποδείξετε ότι:

i) ˆ ˆ BE A. (Μονάδες 10)

ii) ˆ 120 oBO . (Μονάδες 10)

β) Να εξετάσετε αν το τετράπλευρο AEO είναι εγγράψιμο. Να αιτιολογήσετε την

απάντησή σας. (Μονάδες 5)

Λύση:

α) Αφού το τρίγωνο AB είναι ισόπλευρο έχει ίσες πλευρές και ίσες γωνίες με 60o .

Τα τρίγωνα BE και A είναι ίσα (κριτήριο ΠΓΠ) γιατί έχουν:

E A (υπόθεση), ˆ ˆ60 oA και B A .

i) Επομένως 1 2ˆ ˆ δηλ. το i. και 1 2

ˆ ˆ (1) o .

ii) Είναι, 2ˆˆ 60 60 (2) o o o .

Στο τρίγωνο BO , (1),(2)

1 1ˆ ˆ ˆ ˆˆ180 180 60 120 o o o oO .

β) Είναι 1 2ˆ ˆ 120 oO O ως κατακορυφήν.

Στο τετράπλευρο AEO έχω

2ˆ ˆ 60 120 180 o o oA O και 2

ˆ ˆ,A O είναι

Page 55: Τράπεζα Θεμάτων Γεωμετρία Τ3

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444

Επιμέλεια : xr.tsif Σελίδα 55

απέναντι γωνίες του, άρα είναι εγγράψιμο.

ΘΕΜΑ 3806

Δίνεται το τετράγωνο AB . Στη διαγώνιο A θεωρούμε σημεία , ,I O H ώστε

AI IO OH H . Αν ,E και Z τα μέσα των πλευρών , AB και B

αντίστοιχα ,να αποδείξετε ότι:

α) Το τετράπλευρο OZ E είναι τετράγωνο.

β) 4

AZH .

γ) Το τετράπλευρο I ZH είναι ορθογώνιο παραλληλόγραμμο, με 2 Z ZH .

Λύση:

(α) Στο τρίγωνο A B η OZ ενώνει τα μέσα δύο πλευρών του. Άρα / /2

AB

OZ .

Επίσης / /2

AB

E (διότι το E είναι μέσον του ). Άρα

/ / OZ E και συνεπώς το τετράπλευρο OZ E

είναι παραλληλόγραμμο. Και αφού η γωνία Z E

είναι ορθή, άρα είναι ορθογώνιο. Επίσης έχουμε:

2 2

B ABZ OZ . Άρα το πιο πάνω

ορθογώνιο, είναι τετράγωνο, αφού έχει δύο

διαδοχικές πλευρές ίσες.

(β) Στο ορθογώνιο τρίγωνο OZ , η ZH είναι

διάμεσος στην υποτείνουσα. Άρα

1 1 1.

2 2 2 ZH O A

4

A.

Page 56: Τράπεζα Θεμάτων Γεωμετρία Τ3

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444

Επιμέλεια : xr.tsif Σελίδα 56

(γ) Στο τρίγωνο BA , η Z ενώνει τα μέσα δύο πλευρών του. Άρα / /2

AZ .

Όμως 2. 2. 2( ) 2.

2 2 2 2 2

A AO O IO OH IO OH IHIH .

Δείξαμε λοιπόν, ότι / / Z IH και άρα το τετράπλευρο I ZH είναι

παραλληλόγραμμο. Φέρνουμε τώρα την διαγώνιο B του δοσμένου τετραγώνου

και αφού το O είναι το μέσον της μιας διαγωνίου του άρα θα είναι το κέντρο του

τετραγώνου και άρα και η άλλη διαγώνιος θα

περάσει από το O . Επίσης είναι γνωστό ότι οι διαγώνιοι του τετραγώνου τέμνονται

καθέτως. Τώρα στο ορθογώνιο τρίγωνο BO η ZH ενώνει τα μέσα δύο πλευρών

του. Άρα / /ZH BO και άρα η ZH είναι κάθετη στην O και άρα το

παραλληλόγραμμο ZHI είναι ορθογώνιο, αφού έχει μια γωνία ορθή. Τέλος,

έχουμε: Z IH (ως απέναντι πλευρές παραλληλογράμμου) : Όμως 2

AIH

2 O ZH (διότι από το (β) ερώτημα είδαμε ότι 2

OZH ). Συμπεραίνουμε

λοιπόν ότι 2 Z ZH .

ΘΕΜΑ 3808

Θεωρούμε ένα ορθογώνιο τρίγωνο AB ( 0A 90 ), τα μέσα , , E Z των πλευρών του

και το ύψος του AK. Έστω το σημείο τομής των AZ και E .

α) Να αποδείξετε ότι:

i) Το τετράπλευρο A ZE είναι ορθογώνιο. (Μονάδες 8)

ii) B

A E4

. (Μονάδες 7)

γ) Αν επιπλέον είναι 0ˆ 30

i) να βρείτε τη γωνία AZB . (Μονάδες 5)

Page 57: Τράπεζα Θεμάτων Γεωμετρία Τ3

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444

Επιμέλεια : xr.tsif Σελίδα 57

ii) να αποδείξετε ότι B

BK4

. (Μονάδες 5)

Λύση:

α) i) Αφού , , E Z είναι τα μέσα των πλευρών , , AB A B αντίστοιχα, του τριγώνου

AB , το τετράπλευρο A ZE είναι παραλληλόγραμμο, κι επειδή έχει μία γωνία

ορθή, θα είναι ορθογώνιο.

α. ii) Είναι από το προηγούμενο ερώτημα AZ E (διαγώνιοι ορθογωνίου). Οπότε:

EA E

2

. Αλλά

B BE A E

2 4

.

β. i) 0A 90

0 0ˆ 30 B 60

AZ ZB (διάμεσος ορθογωνίου

τριγώνου). Άρα: 0ZAB B 60 .

Δηλαδή το τρίγωνο ABZ είναι

ισόπλευρο, οπότε 0AZB 60

β. ii) Το ύψος AKτου

τριγώνου AB είναι

διάμεσος του ισοπλεύρου τριγώνου ABZ. Άρα: BZ B

BK2 4

.

ΘΕΜΑ 3810

Σε τραπέζιο AB (AB/ / ) ισχύει AB A . Αν η διχοτόμος της γωνίας A

τέμνει την Bστο E και την προέκταση της στο Z , να αποδείξετε ότι:

α) Το τρίγωνο AZ είναι ισοσκελές. (Μονάδες 7)

β) Το E είναι το μέσο του B (Μονάδες 10)

Page 58: Τράπεζα Θεμάτων Γεωμετρία Τ3

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444

Επιμέλεια : xr.tsif Σελίδα 58

γ) Η E είναι διχοτόμος της γωνίας του τραπεζίου. (Μονάδες 8)

Λύση:

α) Αφού 1 2A A Z (εντός εναλλάξ) ,έπεται ότι το

τρίγωνο AZ είναι ισοσκελές

β) Είναι : Z Z A AB AB

Επομένως το ABZ είναι παραλληλόγραμμο κι αφού οι

διαγώνιες διχοτομούνται , το E είναι το μέσο του B .

γ) Αφού το τρίγωνο AZ είναι ισοσκελές και η E

είναι διάμεσος , θα είναι και διχοτόμος της γωνίας

του τραπεζίου .

ΘΕΜΑ 3811

Δίνεται τραπέζιο A EB , με / /A BE και O το μέσον της E . Θεωρούμε σημείο Z

στην AB τέτοιο ώστε AZ A και BZ BE .

Αν η γωνία AZ ,

(α) να εκφράσετε την γωνία AZ σε

συνάρτηση με την

(β) Να εκφράσετε την γωνία EZB σε

συνάρτηση με την

(γ) Να αποδείξετε ότι οι OA και OB είναι

μεσοκάθετοι των τμημάτων Z και ZE αντίστοιχα.

Λύση:

(α) Το τρίγωνο A Z είναι ισοσκελές από την υπόθεση και άρα A Z Z A. Από

το τρίγωνο A Z έχουμε:

Page 59: Τράπεζα Θεμάτων Γεωμετρία Τ3

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444

Επιμέλεια : xr.tsif Σελίδα 59

180 2 180 902

o oAZ Z A AZ AZ

(β) Το τρίγωνο EZB είναι και αυτό ισοσκελές από την υπόθεση και άρα

EZB ZEB . Όμως από το τρίγωνο ZEB έχουμε:

ˆ ˆ180 2 180 o oEZB ZEB B EZB B , (ΣΧΕΣΗ 1)

Αλλά ˆ ˆ 180 oA B ( ως εντός και επί τα αυτά μέρη των παραλλήλων A και BE

που τέμνονται από την AB .

Συνεπώς έχουμε: ˆ ˆ180 180 o oB B , (ΣΧΕΣΗ 2)

Από τις σχέσεις 1 και 2 , παίρνουμε 22

EZB EZB

(γ) Προεκτείνουμε την EZ μέχρι να συναντήσει την ευθεία A στο σημείο P .

Τότε έχουμε 1 2Z Z ως

κατακορυφήν . Επίσης 2 2E Z ,

ως παρά την βάση γωνίες του

ισοσκελούς τριγώνου EZB .

Όμως είναι και 2 E P ως εντός

εναλλάξ των παραλλήλων P

και EB που τέμνονται από την

EP . Από τα ανωτέρω

συμπεραίνουμε ότι 1 Z P και

άρα το τρίγωνο AZP είναι

ισοσκελές , δηλαδή

AZ AP και αφού από την

υπόθεση είναι και AZ A άρα

ZA AP A και συνεπώς το τρίγωνο ZP είναι ορθογώνιο με κορυφή της ορθής

γωνίας το Z . Τώρα στο τρίγωνο PE , η AO ενώνει τα μέσα δύο πλευρών του και

άρα θα είναι παράλληλη με την PE .

Page 60: Τράπεζα Θεμάτων Γεωμετρία Τ3

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444

Επιμέλεια : xr.tsif Σελίδα 60

Αφού λοιπόν PE κάθετη στην Z , άρα θα είναι και AO κάθετη στην Z . Επίσης

από το τρίγωνο PZ έχουμε ότι η AO περνάει από το μέσον της πλευράς AP είναι

και παράλληλη με την PZ , άρα θα περνάει και από το μέσον της Z . Δείξαμε

λοιπόν ότι η AO είναι μεσοκάθετος της Z . Όμοια δείχνουμε ότι και η BO είναι

μεσοκάθετος της ZE .

ΘΕΜΑ 3812

Δίνεται παραλληλόγραμμο AB , με AB A . Θεωρούμε σημεία K, των A

και AB αντίστοιχα ώστε AK A . Έστω M το μέσο του K και η προέκταση

του AM (προς το M) τέμνει τη στο σημείο E. Να αποδείξετε ότι:

α) A E .

β) B E AB .

γ) B 2A K

Λύση:

α) Το τρίγωνο A K είναι ισοσκελές αφού AK A οπότε η διάμεσος του AM

είναι και διχοτόμος δηλαδή

KAM MA 1

AE MA 2 ως εντός και εναλλάξ.

1 , 2 KAM AE οπότε το τρίγωνο

A E είναι ισοσκελές με A E 3

β) 3 AB

B E A E AE E B E AB

.

γ) Από το παραλληλόγραμμο AB είναι B 180 A 4 .

Από το ισοσκελές τρίγωνο A K είναι A K AK 5 και

Page 61: Τράπεζα Θεμάτων Γεωμετρία Τ3

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444

Επιμέλεια : xr.tsif Σελίδα 61

4

A 2A K 180 2A K 180 A 2A K B .

ΘΕΜΑ 3815

Δίνεται παραλληλόγραμμο AB με AB 2B , τη γωνία A αμβλεία και M το

μέσο της . Φέρουμε κάθετη στην A στο σημείο A , η οποία τέμνει την B στο

H . Αν η προέκταση της HM τέμνει την προέκταση της A στο E , να αποδείξετε

ότι:

α) Η AM είναι διχοτόμος της γωνίας AB .

β) Τα τμήματα EH, διχοτομούνται.

γ) E MA .

Λύση:

α) Είναι AB

A B2

και AB AB

M M2 2

οπότε είναι A M δηλαδή

το τρίγωνο A M είναι

ισοσκελές οπότε MA AM 1

Όμως MA MAB 2 ως εντός

και εναλλάξ.

1 , 2 MAB AM δηλαδή η

AM είναι διχοτόμος της γωνίας

AB .

β) Τα τρίγωνα ME και M H είναι ίσα από αφού έχουν:

M M επειδή M το μέσο της

ME MH ως κατακορυφήν και

Page 62: Τράπεζα Θεμάτων Γεωμετρία Τ3

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444

Επιμέλεια : xr.tsif Σελίδα 62

E M H M ως εντός και εναλλάξ

Έτσι EM MH οπότε το M είναι και μέσο της EH δηλαδή τα EH,

διχοτομούνται.

γ) Το AM είναι διάμεσος στην υποτείνουσα του ορθογωνίου τριγώνου AEH οπότε:

EHAM EM

2 δηλαδή το τρίγωνο AME είναι ισοσκελές και

1

E AM E MA .

ΘΕΜΑ 3994

Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ABμε AB A και ,E τα μέσα των πλευρών του AB

και Aαντίστοιχα. Στην προέκταση της E (προς το E) θεωρούμε σημείο ώστε

E AE και στην προέκταση της E (προς το ) θεωρούμε σημείο Kτέτοιο ώστε

K A . Να αποδείξετε ότι:

α) K E .

β) Τα τρίγωνα AKBκαι Aείναι ορθογώνια.

γ) Τα τρίγωνα AKBκαι Aείναι ίσα.

Λύση:

α) Είναι AB

K A 12

και A

E AE 22

.

AB A

1 , 2 E K 3

.

β) Στο τρίγωνο Aη E είναι διάμεσος που αντιστοιχεί στην Aκαι είναι

AE

2

, δηλαδή το τρίγωνο είναι ορθογώνιο.

Page 63: Τράπεζα Θεμάτων Γεωμετρία Τ3

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444

Επιμέλεια : xr.tsif Σελίδα 63

Για τον ίδιο λόγο και το

τρίγωνο AKB είναι

ορθογώνιο.

γ) Τα τρίγωνα A και

AEK είναι ίσα από

αφού έχουν:

A AE ως μισά των ίσων

τμημάτων AB,A ,

KE ως αθροίσματα

των ίσων τμημάτων E,K

με το , E

AE A E ως γωνίες στη

βάση του ισοσκελούς

τριγώνου A E .

Άρα και A AK 3 .

Οπότε τα ορθογώνια τρίγωνα AKBκαι Aείναι ίσα αφού έχουν AB A και

A AK .

ΘΕΜΑ 4812

Έστω ισοσκελές τρίγωνο ABΓ με AΒ=ΑΓ. Προεκτείνουμε το BΓ (προς το Γ ) κατά

τμήμα ΓΔ=BΓ. Φέρουμε τις διαμέσους και του τριγώνου ABΓ που

τέμνονται στο . Το προεκτεινόμενο, τέμνει το στο και το στο .

Να αποδείξετε ότι:

α) Το είναι παραλληλόγραμμο. (Μονάδες 9)

β) . (Μονάδες 9)

γ) 2 . (Μονάδες 7)

Page 64: Τράπεζα Θεμάτων Γεωμετρία Τ3

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444

Επιμέλεια : xr.tsif Σελίδα 64

Λύση:

α) Θ κέντρο βάρους του ABΓ, άρα ΒΚ διάμεσος, οπότε Κ μέσον του ΑΓ.

Ζ, Κ μέσα των πλευρών ΑΒ, ΑΓ αντιστοίχως του τριγώνου ΑΒΓ. Επομένως:

/ /2

παραλληλόγραμμο.

β) Ζ,Γ μέσα των πλευρών ΑΒ, ΒΔ αντιστοίχως του τριγώνου ΑΒΔ. Επομένως:

/ / / /2

. Συγκρίνω τα τρίγωνα ΑΚΗ, ΚΘΓ. Έχουν:

1) ΑΚ = ΚΓ (Κ μέσον ΑΓ).

2) 1 1ˆ ˆ (ως εντός

εναλλάξ των

παραλλήλων ΘΓ,

ΑΗ που τέμνονται

από την ΑΓ.

3) 1 2ˆ ˆ (ως

κατακορυφήν).

Επομένως (Γ-Π-Γ)

τα τρίγωνα ΑΚΗ,

ΚΘΓ είναι ίσα .

Οπότε ΘΚ = ΚΗ.

Στο τετράπλευρο

ΑΘΓΗ, οι διαγώνιοί

του διχοτομούνται. Άρα ΑΘΓΗ

παραλληλόγραμμο, οπότε ΑΗ = ΘΓ.

Page 65: Τράπεζα Θεμάτων Γεωμετρία Τ3

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444

Επιμέλεια : xr.tsif Σελίδα 65

γ) ΑΘΓΗ παραλληλόγραμμο, επομένως :

2

31

2ί3

3

Θ

μέσον ΒΗ οπότε ΖΘ//=2

ΑΗ=2ΖΘ. ό.έ.δ.

ΘΕΜΑ 4559

Δίνονται δυο παράλληλες ευθείες και , και μια τρίτη που τις τέμνει στα

σημεία A και B αντίστοιχα. Θεωρούμε τις διχοτόμους των εντός και επί τα αυτά

μέρη γωνιών που σχηματίζονται, οι οποίες τέμνονται σε σημείο . Αν Mείναι το

μέσον του AB, να αποδείξετε ότι:

α) Η γωνία B A είναι ορθή.

β) BM 2M A .

γ) M / / .

Λύση:

α) Είναι

BA AB 180BA AB 90

2 2 2

x y,

αφού οι γωνίες BA ,ABx y είναι

παραπληρωματικές ως εντός και επί

τα αυτά.

Έτσι το τρίγωνο A B είναι

ορθογώνιο αφού έχει τις δύο γωνίες

του συμπληρωματικές, οπότε

B A 90 .

Page 66: Τράπεζα Θεμάτων Γεωμετρία Τ3

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444

Επιμέλεια : xr.tsif Σελίδα 66

Σημείωση

Μπορούμε να επικαλεστούμε ότι το ζητούμενο ισχύει λόγω της εφαρμογής στη

σελ. 79 του σχολικού βιβλίου.

β) Η M είναι διάμεσος στην υποτείνουσα του ορθογωνίου τριγώνου AM

δηλαδή AB

M AM MB2

και το τρίγωνο AM είναι ισοσκελές οπότε

M A MA 1 .

Η BM είναι εξωτερική του τριγώνου AM και είναι:

1

BM M A MA BM 2M A .

γ) Από το ισοσκελές τρίγωνο MB M MB είναι MB M B 2 και

MB B 3 x

Από 2 , 3 MB B 3 x

Άρα M / / γιατί σχηματίζονται εντός εναλλάξ γωνίες ίσες.

ΘΕΜΑ 4588

Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο ABΓκαι στην προέκταση της ΓΒ(προς το B)

θεωρούμε σημείοτέτοιο ώστε ΒΔ=BΓ, ενώ στην προέκταση της BΓ (προς το Γ )

θεωρούμε σημείο τέτοιο ώστε ΓΕ=BΓ . Φέρουμε την κάθετη στην στο σημείο

, η οποία τέμνει την προέκταση της στο .

α) Να υπολογίσετε τις γωνίες των τριγώνων ΓΑΕκαι BΔΑ. (Μονάδες 8)

β) Να αποδείξετε ότι η ΓΖ είναι μεσοκάθετος του AΕ . (Μονάδες 12)

γ) Να αποδείξετε ότι ΑΒ//ΓΖ . (Μονάδες 5)

Page 67: Τράπεζα Θεμάτων Γεωμετρία Τ3

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444

Επιμέλεια : xr.tsif Σελίδα 67

Λύση:

α) Το τρίγωνο ABείναι ισόπλευρο, άρα AB B A (1) και

0ˆAB A B AB 60 (2) . Δίνεται ακόμα ότι B B E (3) . Από (1),(3)

προκύπτει ότι: AB B A B E (4) .

Από την σχέση (4) προκύπτει ότι στο τρίγωνο ABEη Aείναι διάμεσος της BE

και μάλιστα BE

A2

. Συνεπώς το τρίγωνο ABEείναι ορθογώνιο με υποτείνουσα

την BE.

ΕΥΡΕΣΗ ΓΩΝΙΩΝ τριγώνου A E .

Από τα παραπάνω 0 0 0 0 0AE 180 90 AB 90 60 30 .

Επίσης 0 0 0AE BAE BA 90 60 30 (ή λόγω του ισοσκελούς - από (4) - A E : 0AE AE 30 ). Τέλος, 0 0 0 0ˆ ˆA E 180 B A 180 60 120 .

ΕΥΡΕΣΗ ΓΩΝΙΩΝ τριγώνου B A . 0 0 0 0BA 180 AB 180 60 120 , επειδή δε το τρίγωνο ΒΔΑ είναι (από (4) )

Page 68: Τράπεζα Θεμάτων Γεωμετρία Τ3

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444

Επιμέλεια : xr.tsif Σελίδα 68

ισοσκελές, θα είναι και 0 0

0180 120ˆB A AB 302

.

β) Είναι 0 0 0AB BA 30 60 90 , οπότε A ύψος του τριγώνου Z , άρα 0AZ 90 .

Αφού 0AE EA 30 , (από (α)) οι συμπληρωματικές τους

αντιστοίχως θα είναι 60 . Άρα το τρίγωνο ZAE είναι ισόπλευρο.

Επειδή:

A E AE

Z AE ZAZ ZE

o o o oo o o o

μεσοκάθετος του AE .

γ) Είναι AB AE (αφού 0BAE 90 ) (5) και Z μεσοκάθετος του AE (6) .

Από (5),(6) συμπεραίνουμε ότι AB/ / Z . ό.έ.δ.

ΘΕΜΑ 4593

Δίνεται τρίγωνο AB και οι διάμεσοί του ,A BE και Z . Προεκτείνουμε το τμήμα

ZE (προς το E) κατά τμήμα EH ZE . Να αποδείξετε ότι:

α)Τοπ τετράπλευρο EH Bείναι παραλληλόγραμμο. (Μονάδες 8)

β) Η περίμετρος του τριγώνου A H είναι ίση με το άθροισμα των διαμέσων του

τριγώνου AB . (Μονάδες 9)

γ) Οι ευθείες BE και H τριχοτομούν το τμήμα Z . (Μονάδες 8)

Λύση:

α)Αφού , , A BE Z διάμεσοι του τριγώνου AB

τότε , ,E Z μέσα των πλευρών του και G

βαρύκεντρο. Άρα 1·

3 GZ Z και

2· (1)

3 G Z .

Page 69: Τράπεζα Θεμάτων Γεωμετρία Τ3

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444

Επιμέλεια : xr.tsif Σελίδα 69

Αφού Z,Eμέσα , AB A αντίστοιχα, τότε από θεώρημα, 2 2

BZE

. Αλλά από

υπόθεση ZE EH . Έτσι / / (2) EH B και E μέσο (3)ZH .

Από (2) το τετράπλευρο EH Bείναι

παραλληλόγραμμο. Συνεπώς (4) H BE .

β) Λόγω (3) και E μέσο A τα ,A ZH

διχοτομούνται. Άρα AH Z είναι

παραλληλόγραμμο. Επομένως

(5) AH Z .

Από (4),(5) το β) είναι προφανές.

γ)Στο τρίγωνο BG , μέσο B και

BG (λόγω παραλληλογράμμου EH B ).

Άρα μέσο G . Τότε από 1

(1) ·3

GZ G Z .

Άρα, οι ευθείες BE και H τριχοτομούν το τμήμα Z .

ΘΕΜΑ 4753

Δίνεται κύκλος με κέντρο O και ακτίνα . Έστω σημείο A εξωτερικό του κύκλου

και τα εφαπτόμενα τμήματα AB και A ώστε να ισχύει BA 60 . Έστω ότι η

εφαπτόμενη του κύκλου στο τέμνει τις AB και Aστα E και H αντίστοιχα.

Να αποδείξετε ότι:

α) Το τετράπλευρο ABOείναι εγγράψιμο με OA 2OB .

β) Το τρίγωνο AEH είναι ισόπλευρο.

γ) 2ZB AZ .

Page 70: Τράπεζα Θεμάτων Γεωμετρία Τ3

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444

Επιμέλεια : xr.tsif Σελίδα 70

δ) Το τετράπλευρο EHB είναι ισοσκελές τραπέζιο.

Λύση:

α) Είναι ABO A O 90 90 180 οπότε το ABO είναι εγγράψιμο.

Η διακεντρική ευθεία OA είναι και διχοτόμος της BA , οπότε OAB 30 .

Το ορθογώνιο τρίγωνο OAB έχει μια οξεία γωνία 30 οπότε:

OAOB OA 2OB

2 .

β) Είναι AB A ως

εφαπτόμενα τμήματα

και BA 60 .

Άρα το τρίγωνο AEH

είναι ισόπλευρο ως

ισοσκελές με μια

γωνία 60 .

γ) Είναι O Z ως

ακτίνα στο σημείο

επαφής.

ZB Z 1 ως εφαπτόμενα τμήματα.

Το ορθογώνιο τρίγωνο A Z έχει OAB 30 έτσι:

1AZ AZZ ZB 2ZB AZ

2 2 .

δ) Επειδή η OAείναι OA B . Όμως και OA EZ , άρα B 1/ /EZ .

Page 71: Τράπεζα Θεμάτων Γεωμετρία Τ3

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444

Επιμέλεια : xr.tsif Σελίδα 71

Το τρίγωνο AEZ είναι ισοσκελές αφού το τμήμα A είναι διχοτόμος και ύψος,

έτσι: AB A

AE AZ A E AB BZ E BZ 2

.

Από τις σχέσεις 1 , 2 συμπεραίνουμε ότι το EHBείναι ισοσκελές τραπέζιο αφού

τα BZ, E τέμνονται στο A .

ΘΕΜΑ 4765

Σε τρίγωνο ABοι διχοτόμοι των γωνιών ˆB,τέμνονται στο. Η εξωτερική

διχοτόμος της Bτέμνει την προέκταση της στο E. Δίνεται ότι 0ABE 70 2 EB .

α) Να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου AB . (Μονάδες 8)

β) Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο A BE είναι τραπέζιο. (Μονάδες 9)

γ) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο BE είναι ισοσκελές. (Μονάδες 8)

Λύση:

α) Από το τρίγωνο BEH και από τα δεδομένα έχουμε ότι 0 01B 70 ,E 35 , οπότε

01

ˆ 75H .

Επειδή ZB BE (διχοτόμοι εφεξής παραπληρωματικών γωνιών , έχουμε ότι:

0 0 02

ˆ 90 70 20 , B οπότε και 0 03

ˆ 20 B 40 B .

Τώρα από το τρίγωνο EB , έχουμε ότι :

0 0 0 0 02 1

ˆ ˆ180 35 110 35 2 70 .

Τέλος από το AB , έχουμε ότι : 0 0 0 0A 180 70 40 70 .

Page 72: Τράπεζα Θεμάτων Γεωμετρία Τ3

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444

Επιμέλεια : xr.tsif Σελίδα 72

β) Επειδή 0 0 0A B BE 70 110 180 A/ /BE .

Ακόμα : Το B E είναι ισοσκελές , αφού 02

ˆ E 35 , οπότε B BE .

Άρα , αν το τετράπλευρο ήταν παραλληλόγραμμο , θα ήταν τελικά ρόμβος .

Τότε όμως θα είχαμε BA E , άτοπο , αφού 01H 75 .

Άρα το τετράπλευρο έχει ένα μόνο ζεύγος πλευρές παράλληλες και επομένως είναι

τραπέζιο .

γ) Απαντήθηκε στο (β).

ΘΕΜΑ 4804

Έστω κύκλος με κέντρο O και διάμετρο 2K . Έστω A σημείο του κύκλου

ώστε η ακτίνα να είναι κάθετη στην K . Φέρουμε τις χορδές AB A

και έστω , E τα σημεία τομής των προεκτάσεων των , AB A αντίστοιχα με την

ευθεία K . Να αποδείξετε ότι:

α) Η γωνία BA είναι 0120 . (Μονάδες 7)

β) Τα σημεία Bκαι είναι μέσα των A και αντίστοιχα. (Μονάδες 9)

γ) K B . (Μονάδες 9)

Λύση:

α) Τα τρίγωνα και είναι ισόπλευρα, διότι οι πλευρές τους είναι ίσες με

. Επομένως καθεμιά από τις γωνίες , OAB OA είναι ίση με 060 . Άρα η γωνία BA

Page 73: Τράπεζα Θεμάτων Γεωμετρία Τ3

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444

Επιμέλεια : xr.tsif Σελίδα 73

είναι ίση με 120o .

β) Είναι 30

o και 30

oBO . Άρα το τρίγωνο BO είναι ισοσκελές, οπότε

B BO BA . Επομένως , το B είναι μέσο του A .

Όμοια το είναι μέσο του .

γ) Είναι B E . Επιπλέον είναι O OE διότι στο ισοσκελές τρίγωνο A E το

είναι ύψος. Έτσι OK O , οπότε είναι K E . Επομένως

2 EK .

Άρα τα τρίγωνα , B EK είναι ίσα, αφού επιπλέον είναι 30

oE . Άρα B K .

ΘΕΜΑ 6882

Δίνεται τρίγωνο AB με AB A και M μέσο της B . Προεκτείνουμε την

διάμεσο AM κατά τμήμα M MA. Από το A φέρουμε παράλληλη προς τη B η

οποία τέμνει την προέκταση την στο σημείο E . Να αποδείξετε ότι:

α) το τετράπλευρο AB είναι παραλληλόγραμμο.

β) 2

AE

BM .

Λύση:

Page 74: Τράπεζα Θεμάτων Γεωμετρία Τ3

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444

Επιμέλεια : xr.tsif Σελίδα 74

α) είναι M MB αφού M μέσο της B και AM M άρα οι διαγώνιοι του

τετραπλεύρου διχοτομούνται και συνεπώς AB είναι παραλληλόγραμμο.

β) Στο τρίγωνο A E είναι ||M AE

και M μέσο της A άρα μέσο της

E και 2 2

AE AE

M MB .