Введение в динамическую эпистемическую логику-3

Введение в динамическуюэпистемическую логику-3

НУГ "Формальная философия",проект "Динамический поворот в логической

семантике"(15-05-0005)

Виталий ДолгоруковШкола философии

ПовторениеОсновные понятия доксатической логики

Дополнительные доксатические операторыОбзор инструментов анализа

Основные идеи эпистемической логики

M = (A,W, {∼i}i∈A, V )

A – множество агентовW – множество возможных миров (ситуаций)∼i – отношение на W для агента iV : V arL→ 2W

M, w |= Kiϕ е.т.е. ∀w′(w ∼i w′ →M, w′ |= ϕ)M, w |= K̂iϕ е.т.е. ∃w′(w ∼i w′ ∧M, w′ |= ϕ)

В.В.Долгоруков Введение в динамическую эпистемическую логику




M = (A,W, {∼i}i∈A, V )A – множество агентов

W – множество возможных миров (ситуаций)∼i – отношение на W для агента iV : V arL→ 2W






M = (A,W, {∼i}i∈A, V )A – множество агентовW – множество возможных миров (ситуаций)

∼i – отношение на W для агента iV : V arL→ 2W






M = (A,W, {∼i}i∈A, V )A – множество агентовW – множество возможных миров (ситуаций)∼i – отношение на W для агента i

V : V arL→ 2W






M = (A,W, {∼i}i∈A, V )A – множество агентовW – множество возможных миров (ситуаций)∼i – отношение на W для агента iV : V arL→ 2W







M, w |= Kiϕ е.т.е. ∀w′(w ∼i w′ →M, w′ |= ϕ)

M, w |= K̂iϕ е.т.е. ∃w′(w ∼i w′ ∧M, w′ |= ϕ)




Операторы группового знания

"все знают"EGϕ =

∧i∈G

Kiϕ

"общее знание"

CGϕ�∞∧i=0

EnGϕ = ϕ ∧ EGϕ ∧ E2Gϕ ∧ E3

Gϕ...

"дистрибутивное знание"Kaϕ ∧Kb(ϕ→ ψ)D{a,b}ψ





"все знают"

EGϕ =∧i∈G

Kiϕ


CGϕ�∞∧i=0


Gϕ...







∧i∈G

Kiϕ


CGϕ�∞∧i=0


Gϕ...







∧i∈G

Kiϕ


CGϕ�∞∧i=0


Gϕ...

"дистрибутивное знание"

Kaϕ ∧Kb(ϕ→ ψ)D{a,b}ψ






∧i∈G

Kiϕ


CGϕ�∞∧i=0


Gϕ...

"дистрибутивное знание"Kaϕ ∧Kb(ϕ→ ψ)

D{a,b}ψ






∧i∈G

Kiϕ


CGϕ�∞∧i=0


Gϕ...





Оператор убежденияКонфликт мненийУсловное убеждениеФормулы и модели

Основные понятия доксатической логики

Biϕ – агент i полагает, что ϕ (но он может ошибаться)возможно, что Biϕ ∧ ¬ϕ






Biϕ – агент i полагает, что ϕ (но он может ошибаться)

возможно, что Biϕ ∧ ¬ϕ






Biϕ – агент i полагает, что ϕ (но он может ошибаться)возможно, что Biϕ ∧ ¬ϕ





Некоторые свойства

Kiϕ→ Biϕ

Biϕ→ BiBiϕ

¬Biϕ→ Bi¬Biϕ





Модель доксатической логики

M =< A,W, {∼i}i∈A, {�i}i∈A, V >

∀w′(w′ �i w′)∀w′∀w′′∀w′′′((w′ �i w′′ ∧ w′′ �i w′′′)→ w′ �i w′′′)∀w′∀w′′((w′ �i w′′ ∨ w′′ �i w′)→ w′ ∼i w′′)∀w′∀w′′(w′ ∼i w′′ → (w′ �i w′′ ∨ w′′ �i w′))






M =< A,W, {∼i}i∈A, {�i}i∈A, V >

∀w′(w′ �i w′)

∀w′∀w′′∀w′′′((w′ �i w′′ ∧ w′′ �i w′′′)→ w′ �i w′′′)∀w′∀w′′((w′ �i w′′ ∨ w′′ �i w′)→ w′ ∼i w′′)∀w′∀w′′(w′ ∼i w′′ → (w′ �i w′′ ∨ w′′ �i w′))






M =< A,W, {∼i}i∈A, {�i}i∈A, V >

∀w′(w′ �i w′)∀w′∀w′′∀w′′′((w′ �i w′′ ∧ w′′ �i w′′′)→ w′ �i w′′′)

∀w′∀w′′((w′ �i w′′ ∨ w′′ �i w′)→ w′ ∼i w′′)∀w′∀w′′(w′ ∼i w′′ → (w′ �i w′′ ∨ w′′ �i w′))






M =< A,W, {∼i}i∈A, {�i}i∈A, V >

∀w′(w′ �i w′)∀w′∀w′′∀w′′′((w′ �i w′′ ∧ w′′ �i w′′′)→ w′ �i w′′′)∀w′∀w′′((w′ �i w′′ ∨ w′′ �i w′)→ w′ ∼i w′′)

∀w′∀w′′(w′ ∼i w′′ → (w′ �i w′′ ∨ w′′ �i w′))






M =< A,W, {∼i}i∈A, {�i}i∈A, V >

∀w′(w′ �i w′)∀w′∀w′′∀w′′′((w′ �i w′′ ∧ w′′ �i w′′′)→ w′ �i w′′′)∀w′∀w′′((w′ �i w′′ ∨ w′′ �i w′)→ w′ ∼i w′′)∀w′∀w′′(w′ ∼i w′′ → (w′ �i w′′ ∨ w′′ �i w′))






w1

w2 w3

i i

i

i i

i





Некоторые понятия

[ϕ]M � {w ∈W |M, w |= ϕ}[w]i � {w′ ∈W |w ∼i w′}max�i(X) � {w ∈ X|∀w′ ∈ X : w′ �i w}, где X ⊆W






[ϕ]M � {w ∈W |M, w |= ϕ}

[w]i � {w′ ∈W |w ∼i w′}max�i(X) � {w ∈ X|∀w′ ∈ X : w′ �i w}, где X ⊆W






[ϕ]M � {w ∈W |M, w |= ϕ}[w]i � {w′ ∈W |w ∼i w′}

max�i(X) � {w ∈ X|∀w′ ∈ X : w′ �i w}, где X ⊆W






[ϕ]M � {w ∈W |M, w |= ϕ}[w]i � {w′ ∈W |w ∼i w′}max�i(X) � {w ∈ X|∀w′ ∈ X : w′ �i w}, где X ⊆W





[ϕ]M � {w ∈W |M, w |= ϕ}

w1 : pw2 : p

w3 : p

w4 : p w5 : p

w6 : p

w7 : p

i

i

i

i

i

i

i





[w]i � {w′ ∈W |w ∼i w′}

w1 : pw2 : p

w3 : p

w4 : p w5 : p

w6 : p

w7 : p

i

i

i

i

i

i

i





max�i(X) � {w ∈ X|∀w′ ∈ X : w′ �i w}, где X ⊆W

w1 : pw2 : p

w3 : p

w4 : p w5 : p

w6 : p

w7 : p

i

i

i

i

i

i

i





Определение Bi

M, w |= Biϕ е.т.е. ∀w′ ∈ max�i([w]i) :M, w′ |= ϕ





M, w1 |= BipM, w6 6|= Bip

w1 : pw2 : p

w3 : p

w4 : p w5 : p

w6 : p

w7 : p

i

i

i

i

i

i

i





Пример: конфликт мнений

Борис смотрит программу «Здоровье» и верит, чтонастойка из корня лопуха спасает от алкоголизма, аАндрей не смотрит программу «Здоровье», но любит питьводку, поэтому он не верит, что какая-то настойкаможет помочь





Пример

w1 : p

w2 : pa, b

a

b





Пример

w1 : p w2 : p

a, b

a

b





Пример

w1 : p w2 : pa, b

a

b





w1 : p, q

w2 : p, q

w3 : p, q w4 : p, q

a

b b

a

b b

a

a





w1 : p, q w2 : p, q

w3 : p, q w4 : p, q

a

b b

a

b b

a

a





w1 : p, q w2 : p, q

w3 : p, q

w4 : p, q

a

b b

a

b b

a

a





w1 : p, q w2 : p, q

w3 : p, q w4 : p, q

a

b b

a

b b

a

a





w1 : p, q w2 : p, q

w3 : p, q w4 : p, q

a

b

b

a

b b

a

a





w1 : p, q w2 : p, q

w3 : p, q w4 : p, q

a

b b

a

b b

a

a





w1 : p, q w2 : p, q

w3 : p, q w4 : p, q

a

b b

a

b

b

a

a





w1 : p, q w2 : p, q

w3 : p, q w4 : p, q

a

b b

a

b b

a

a





Условное убеждение

M, w |= Biϕ е.т.е. ∀w′ ∈ max�i([w]i) :M, w′ |= ϕ

M, w |= Bψi ϕ е.т.е. ∀w′ ∈ max�i([w]i ∩ [ψ]M) :M, w′ |= ϕ





Ba¬p ∧Bqap





w1 : p, q

w2 : p, q

w3 : p, q

w4 : p, q

a

a

a

a

a

a

Ba¬p ∧Bqap





Определение операторов знания и мнения черезусловный оператор мнения

Biϕ = BTi ϕ

Kiϕ = Bψi ϕ для любого ψ





Формулы и модели

(1) Baϕ ∧ ¬ϕ

(2) Baϕ ∧ ¬Kaϕ(3) Baϕ ∧ ¬KbBaϕ(4) Baϕ ∧BbBa¬ϕ(5) ¬Bψ

a ϕ ∧Ba(ψ → ϕ)






(1) Baϕ ∧ ¬ϕ(2) Baϕ ∧ ¬Kaϕ

(3) Baϕ ∧ ¬KbBaϕ(4) Baϕ ∧BbBa¬ϕ(5) ¬Bψ







(1) Baϕ ∧ ¬ϕ(2) Baϕ ∧ ¬Kaϕ(3) Baϕ ∧ ¬KbBaϕ

(4) Baϕ ∧BbBa¬ϕ(5) ¬Bψ







(1) Baϕ ∧ ¬ϕ(2) Baϕ ∧ ¬Kaϕ(3) Baϕ ∧ ¬KbBaϕ(4) Baϕ ∧BbBa¬ϕ

(5) ¬Bψa ϕ ∧Ba(ψ → ϕ)






(1) Baϕ ∧ ¬ϕ(2) Baϕ ∧ ¬Kaϕ(3) Baϕ ∧ ¬KbBaϕ(4) Baϕ ∧BbBa¬ϕ(5) ¬Bψ





Новые операторы

"robust knowledge"

M, w |= B+i ϕ е.т.е. ∀w′(w �i w′ →M, w′ |= ϕ)

"strong knowledge"M, w |= Bs

iϕ е.т.е.1) K̂iϕ2)([w]i ∩ [¬ϕ]M) �i ([w]i ∩ [ϕ]M), гдеX �i Y � ∀x ∈ X∀y ∈ Y : x �i y





"robust knowledge"M, w |= B+

i ϕ е.т.е. ∀w′(w �i w′ →M, w′ |= ϕ)








i ϕ е.т.е. ∀w′(w �i w′ →M, w′ |= ϕ)

"strong knowledge"

M, w |= Bsiϕ е.т.е.

1) K̂iϕ2)([w]i ∩ [¬ϕ]M) �i ([w]i ∩ [ϕ]M), гдеX �i Y � ∀x ∈ X∀y ∈ Y : x �i y






i ϕ е.т.е. ∀w′(w �i w′ →M, w′ |= ϕ)


iϕ е.т.е.

1) K̂iϕ2)([w]i ∩ [¬ϕ]M) �i ([w]i ∩ [ϕ]M), гдеX �i Y � ∀x ∈ X∀y ∈ Y : x �i y






i ϕ е.т.е. ∀w′(w �i w′ →M, w′ |= ϕ)


iϕ е.т.е.1) K̂iϕ

2)([w]i ∩ [¬ϕ]M) �i ([w]i ∩ [ϕ]M), гдеX �i Y � ∀x ∈ X∀y ∈ Y : x �i y






i ϕ е.т.е. ∀w′(w �i w′ →M, w′ |= ϕ)


iϕ е.т.е.1) K̂iϕ2)([w]i ∩ [¬ϕ]M) �i ([w]i ∩ [ϕ]M), где

X �i Y � ∀x ∈ X∀y ∈ Y : x �i y






i ϕ е.т.е. ∀w′(w �i w′ →M, w′ |= ϕ)






w1 : p

w2 : p

w3 : p

w4 : p

a

a

a

a

a

a

M, w3 |= B+i p M, w3 6|= Bs

i p




w1 : p

w2 : p

w3 : p

w4 : p

a

a

a

a

a

a

M, w3 |= B+i p

M, w3 6|= Bsi p




w1 : p

w2 : p

w3 : p

w4 : p

a

a

a

a

a

a

M, w3 |= B+i p M, w3 6|= Bs

i p




w1 : p

w2 : p

w3 : p

w4 : p

a

a

a

a

a

a

M, w3 |= Bsi p M, w3 6|= B+

i p




w1 : p

w2 : p

w3 : p

w4 : p

a

a

a

a

a

a

M, w3 |= Bsi p

M, w3 6|= B+i p




w1 : p

w2 : p

w3 : p

w4 : p

a

a

a

a

a

a

M, w3 |= Bsi p M, w3 6|= B+

i p




Обзор эпистемических и доксатических операторов

Kiϕ

K̂iϕ

EGϕ

DGϕ

CGϕ

Biϕ

B+i ϕ

Bsiϕ

Д/з: как они связаны между собой?


Введение в динамическую эпистемическую логику-3

Education

Transcript of Введение в динамическую эпистемическую логику-3