第 3 章 误差与实验数据的处理

3.1 误差的基本概念3.2 随机误差的正态分布

3.3 有限数据的统计处理3.4 有效数字及其运算规则

甲、乙两名化验员分别测定某种镍合金中的镍的含量，结果如下：

甲： 71.06,71.36,71.40,71.25,71.31,71.18 （ % ）乙： 71.38, 71.45, 71.48, 71.50, 71.26, 71.32, 71.45, 71.4

2,71.16 （ % ）假定镍合金中镍的实际含量为 71.30% ，则两名化验员的结果谁的更好？

3.1 误差的基本概念1 、准确度和误差：

真值：客观存在，但绝对真值不可测 ;

理论真值 : （（如化合物的理论组成）如化合物的理论组成） ;;

约定真值 : （如国际计量大会确定的长度、质量、物质（如国际计量大会确定的长度、质量、物质的量单位等等）的量单位等等） ;;

相对真值 : （如高一级精度的测量值相对于低一级精度（如高一级精度的测量值相对于低一级精度的测量值）。的测量值）。

准确度 : 测定结果与真值接近的程度，用误差衡量。

误差绝对误差 : 测量值与真值间的差值 , 用 E 表示

E = x - xT

相对误差 : 绝对误差占真值的百分比 , 用 Er 表示Er =E/xT = （ x – xT ） /xT×100 ％

例 某一物体质量称量为 1.6380g, 其真实质量为 1.63

81g ，则 : 绝对误差 = ？

例 某同学用分析天平直接称量两个物体，一为 5.0000g ，一为 0.5000g, 试求两个物体的相对误差。

解：用分析天平称量，两物体称量的绝对误差均为正负 0.0002g, 则两个称量的相对误差分别为：

说明：在实际分析中，真实值难以得到，常以多次说明：在实际分析中，真实值难以得到，常以多次

平行测定结果的算术平均值代替真实值。平行测定结果的算术平均值代替真实值。

讨 论 1 ）绝对误差相等，但相对误差并不一定相等。测定

量大的相对误差小，准确度就高。用相对误差来表示准确度，更为确切。

2 ）误差有正和负，正值表示表示分析结果偏高，负值表示分析结果偏低。

2 、精密度和偏差：

精密度 : 平行测定结果相互靠近的程度，用偏差衡 量。

偏差 : 测量值与平均值的差值，用 d 表示。

∑di = 0

例 测定某试样中铝的百分含量为： 57.64% ， 57.58% ， 57.54 % ， 57.60% ， 57.55(%) ，试计算其绝对偏差和相对偏差。

平均偏差： 各单个偏差绝对值的平均值。

n

xxd

n

ii

1

相对平均偏差：平均偏差与测量平均值的比值。

%100%100% 1

xn

xx

x

d

n

ii

相对平均偏差

例：测定某试样中氯的百分含量，三次分析结果分别为 25.

12 、 25.21 和 25.09 ，计算平均偏差和相对平均偏差。如果真实百分含量为 25.10, 计算绝对误差和相对误差。

解：平均值

平均偏差

相对平均偏差＝ (0.05/25.14)×1000‰=2‰

绝对误差 E=25.14-25.10=+0.04(%)

相对误差＝ (+0.04/25.10)×1000‰=+2‰

X

25 12 25 21 25 09

325 14

. . .. ( %)

d

0 02 0 07 0 05

30 05

. . .. ( %)

第一组： +0.3,-0.2,-0.4,+0.2,+0.1,+0.4, 0.0,-0.3,+0.2,-0.3;第二组： 0.0, +0.1,-0.7,+0.2,-0.1,-0.2,+0.5,-0.2,+0.3,+0.1;

如下二组数据，各次测量的偏差分别为：

哪一组数据的精密度好？

标准偏差：又称均方根偏差标准偏差的计算分两种情况

平均偏差 ： 特点：简单 缺点：大偏差得不到应有反映。

（ 1 ）当测定次数趋于无穷大时（总体） 标准偏差 ：

μ 为无限多次测定的平均值（总体平均值）； 即：

当消除系统误差时， μ 即为真值。

Xnlim

（ 2 ）有限测定次数（样本）

2( )

1

x xs

n

相对标准偏差（变异系数） :

n→∞ 时， → μ ， s→σx

准确度与精密度的关系：

(1) 准确度是测量结果接近真值的程度，精密度表示测量的再现性或重现性；(2) 精密度是保证准确度的先决条件；精密度高不一定准确度高；(3) 两者的差别主要是由于误差类别的存在。

只有准确度及精密度都高－结果可信。

下面论述中正确的是：

A. 精密度高，准确度一定高B. 准确度高，一定要求精密度高C. 精密度高，系统误差一定小D. 分析中，首先要求准确度，其次才是精密度

某人对试样测定五次，求得平均值的偏差 d 分别为 +0.04 ， -0.02 ， +0.01 ， -0.01 ， +0.06 。则此计算结果应是？

A. 正确的 B. 不正确的C. 全部结果是正值 D. 全部结果是负值

3 、系统误差和随机误差：系统误差 : 又称可测误差；

特点：具单向性、重复性、可测性特点；

产生的原因：方法误差 : 溶解损失、终点误差－用其他方法校正； 试剂或仪器误差 : 刻度不准、砝码磨损－校准( 绝对、相对 ) ；所用的试剂不纯等；操作（主观）误差 : 生理上或习惯上主观原因造成的误差。

随机误差 : 又称偶然误差

不可校正，无法避免，服从统计规律

不存在系统误差的情况下，测定次数越多其平均值越接近真值。一般平行测定 4-6次；

过失 :由粗心大意引起，可以避免的。

系统误差的消除 ： 1 采用标准方法或对照试验，找出校正数据，消除方

法误差 ； 2 实验前校正器皿和仪器，消除仪器误差； 3 做空白实验，检验和消除溶剂误差；

误差的减免 ：

减小偶然误差 : 1 大小相近的正误差和负误差出现的机率相等，即

绝对值相近 ( 或相等 ) 而符号相反的误差以同等的机率出现。2 小误差出现的频率高，而大误差出现的频数较低，很大误差出现的机率近于零或极少。即：偶然误差的规律符合正态分布。

在消除系统误差的情况下，增加测定次数，取其平均值，可减少偶然误差。

系统误差与随机误差的比较：

项目 系统误差 随机误差

产生原因 固定因素，有时不存在

不定因素，总是存在

分类 方法误差、仪器与试剂误差、主观误差

环境的变化因素、主观的变化因素等

性质 重现性、单向性（或周期性）、可测性

服从概率统计规律、不可测性

影响 准确度 精密度消除或减小的方法 校正 增加测定的次数

若试样的分析结果精密度很好，但准确度不好，可能原因是：

A 试样不均匀 B 使用试剂含有影响测定的杂质C 有过失操作 D 使用的容量仪器经过了校正

下面有关误差论述中正确的为（ ）。A．精密度好误差一定小 B．随机误差具有方向性 C．准确度可以衡量误差的大小 D．绝对误差就是误差的绝对值

测定中出现下列情况属于偶然误差的是（ ）。A. 试样未经充分混匀 B.滴定时有液滴溅出C. 砝码生锈 D.滴定管最后一位估读不准确

系统误差

a. 加减法 R=mA+nB-pC ER=mEA+nEB-pEC

b. 乘除法 R=mA×nB/pC ER/R=EA/A+EB/B-EC/C

c. 指数运算 R=mAn ER/R=nEA/A

d. 对数运算 R=mlgA ER=0.434mEA/A

4 误差的传递

随机误差

a. 加减法 R=mA+nB-pC sR

2=m2sA2+n2sB

2+p2sC2

b. 乘除法 R=mA×nB/pC sR

2/R2=sA2/A2+sB

2/B2+sC2/C2

c. 指数运算 R=mAn sR/R=nsA/A d. 对数运算 R=mlgA sR=0.434msA/A

极值误差 最大可能误差

R=A+B-C ER=|EA|+|EB|+|EC| R ＝ AB/C ER/R=|EA/A|+|EB/B|+|EC/C|