Γραµµική Άλγεβρα ΙΙ Σελίδα 1 από 6

Μάθηµα 2ο

ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ

Λυµένες Ασκήσεις

Στις ασκήσεις, όταν δεν αναφέρεται συγκεκριµένο εσωτερικό γινόµενο,

θεωρούµε το Ευκλείδειο εσωτερικό γινόµενο.

Άσκηση 2.1 Για τα διανύσµατα [ ]Τ1 2α αα = , [ ]Τ1 2β ββ = του ,

αποδείξατε ότι ο τύπος

2R

1 1 1 2 2 1 2 2α β 2α β 2α β 5α βα β = − − +

ορίζει ένα εσωτερικό γινόµενο στο χώρο. Ποιο είναι το µήκος του [ ]Τ1 2x = ;

Λύση : Θα δείξουµε ότι ισχύουν οι συνθήκες Ι-ΙV του εσωτερικού γινοµένου

που αναφέρονται στο εδάφιο 5, σελ. 96.

Ι. 1 1 1 2 2 1 2 2α β 2α β 2α β 5α βα β = − − + 1 1 1 2 2 1 2 2β α 2β α 2β α 5β α β α= − − + =

ΙΙ. ( ) 1 1 1 1 1 2 2 2 1 2 2k λ (kα λβ )γ 2(kα λβ )γ 2(kα λβ )γ 5(kα λβ )γ+ = + − + − + + +α β γ 2

2 2

( ) ( )

1 1 1 2 2 1 2 2 1 1 1 2 2 1 2 2k(α γ 2α γ 2α γ 5α β ) λ(β γ 2β γ 2β γ 5β γ )k λ

= − − + + − − +

= +α γ β γ

ΙΙΙ. 2 21 1 2 2 1 2 1 2 2α 2α α 2α α 5α (α 2α ) α 0α α = − − + = − + ≥

ΙV. 2 21 2 2 1 2 20 (α 2α ) α 0 α 2α , α 0α α = ⇔ − + = ⇔ = = ⇔ 0α = .

Θεωρία : “Γραµµική Άλγεβρα” : εδάφιο 5, σελ. 96.

Ασκήσεις : 4, 2, 3, σελ. 99 ; 10, 21, σελ. 109.

Γραµµική Άλγεβρα ΙΙ Σελίδα 2 από 6

Επιπλέον έχουµε

[ ] ( )1/ 2T 2 2|| 1 2 || (1 4) 2 13= − + = ,

ενώ µε το Ευκλείδειο εσωτερικό γινόµενο είναι [ ]T|| 1 2 || 5= .

* * *

Άσκηση 2.2 Να βρείτε τις συνθήκες για τους πραγµατικούς αριθµούς

ώστε η σχέση

, , ,α β γ δ

( ) ( )1 2 1 2 1 1 2 1 1 2 2x , x y , y αx y βx y x y x y= + + γ + δ 2

να ορίζει εσωτερικό γινόµενο στο . 2R

Λύση : Εύκολα διαπιστώνουµε για το οριζόµενο εσωτερικό γινόµενο την

ισότητα :

( ) ( )1 2 1 2x , x y , y = Tx yα β⎡ ⎤⎢ ⎥γ δ⎣ ⎦

,

όπου [ ]Τ1 2x x=x και [ ]Τ1 2y y=y .

Από τις συνθήκες Ι-ΙV που ισχύουν για το εσωτερικό γινόµενο έχουµε :

Ι. ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2 1 2x , x y , y y , y x , x= ⇒ T T α β α β⎡ ⎤ ⎡

=⎤

⎢ ⎥ ⎢γ δ γ δ⎥⎣ ⎦ ⎣x

⎦y y x

TΤ

T T T⎛ ⎞α β α β α γ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎜ ⎟⇒ = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟γ δ γ δ β δ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎝ ⎠

x y x y x y

διότι Τ

Tx yα β⎡ ⎤⎢ ⎥γ δ⎣ ⎦

είναι αριθµός. Συνεπώς, από την ισότητα των πινάκων

, δηλαδή πρέπει ο πίνακας να είναι συµµετρικός. α β α γ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

= ⇒ β⎢ ⎥ ⎢ ⎥γ δ β δ⎣ ⎦ ⎣ ⎦= γ

ΙI. Η επιµεριστική ιδιότητα ισχύει για κάθε και . x 2y∈R

ΙII. 2

T 2 2 2 1 11 1 2 2 2

2 2

x x0 x 2 x x x x 2 0x x

⎛ ⎞α β ⎛ ⎞⎡ ⎤ ⎜ ⎟≥ ⇔ α + β + δ = α + β + δ ≥ ⇔⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎜ ⎟β δ⎣ ⎦ ⎝ ⎠⎝ ⎠x x

, όταν 0α ≥ [ ]T1 0x = και 2 0 0β − αδ < ⇔ α ≥ και . det 0α β⎡ ⎤

≥⎢ ⎥β δ⎣ ⎦

Από τις σχέσεις αυτές είναι φανερό ότι 0δ > .

Γραµµική Άλγεβρα ΙΙ Σελίδα 3 από 6

ΙV. Τέλος,

T 2 21 1 2 2

2 22

1 2 2 1 22

0 x 2 x x x 0

x x x 0 x x 0.

α β⎡ ⎤= ⇔ α + β + δ =⎢ ⎥β δ⎣ ⎦

⎛ ⎞β αδ−β⎛ ⎞⇔ α + + = ⇔ = =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟α α⎝ ⎠⎝ ⎠

x x

* * *

Άσκηση 2.3 Βρείτε τις τιµές του ώστε η σχέση k

( ) ( )1 2 1 2 1 1 1 2 2 1 2 2x , x y , y kx y 2x y 2x y x y= − − +

να είναι εσωτερικό γινόµενο στο και να διαπιστώσετε ότι τα διανύσµατα 2R

[ ]T1 1 0=ε και [ ]T2 0 1=ε δεν είναι κάθετα. Βρείτε επιπλέον ένα µοναδιαίο

διάνυσµα κάθετο στο . 2ε

Λύση : Επειδή ( ) ( )1 2 1 2x , x y , y = T k 22 1

x y−⎡ ⎤

⎢ ⎥−⎣ ⎦, σύµφωνα µε την

προηγούµενη άσκηση, για να ορίζει εσωτερικό γινόµενο η ισότητα θα πρέπει

και k 4 , οι οποίες συναληθεύουν για . k 0> 0− > k 4>

Επειδή

[ ]T1 2 1 2

k 2 k 2 01 0 2 0

2 1 2 1 1− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

= = − ≠⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ε ε =ε ε ,

τα διανύσµατα δεν είναι κάθετα. 1 2,ε ε

Αν θεωρήσουµε το διάνυσµα [ ]Tω = α β , από την ισότητα

βρίσκουµε , και συµπεραίνουµε ότι τα διανύσµατα

T2

k 20

2 1ε ω

−⎡ ⎤=⎢ ⎥−⎣ ⎦

2β− α = 0 [ ]T1 2= αω

είναι κάθετα στο . 2ε

Επειδή , το αντίστοιχο µοναδιαίο διάνυσµα

για είναι

(2 T 2k 2|| || k 4

2 1−⎡ ⎤

= = α⎢ ⎥−⎣ ⎦ω ω ω )−

0α > [ ]T01 1 2

k 4ω =

−.

* * *

Γραµµική Άλγεβρα ΙΙ Σελίδα 4 από 6

Άσκηση 2.4 Να βρείτε τις τιµές του , ώστε τα διανύσµατα και

να σχηµατίζουν γωνία

k (k,1,ku = )

)(1,1,0v =4π .

Λύση : Για τη γωνία των διανυσµάτων έχουµε

2

2

1 π k 1συν k 2 k 0 k 04 || || || ||2 2 k 1 2

u vu v

+= = = ⇒ − = ⇒ =

⋅ + ⋅ ή . k 2=

* * *

Άσκηση 2.5 Αν η γωνία των µοναδιαίων διανυσµάτων είναι ,u v ν∈R3π , να

βρείτε τη γωνία των διανυσµάτων x u v= + , 2y u v= − .

Λύση : Έστω , τότε ( , )x yθ =

( ) ( )1/ 2 1/ 2

( ) ( 2 )|| || || || || || || 2 ||

22 4

31 23 2

32 32 1 5 423 3

x y u v u vx y u v u v

u u u v v v u u u v v v u u u v v v

+ −συνθ = =

⋅ + ⋅ −

− −=

+ + ⋅ − +

π−συν − −

= =π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⋅ ⋅+ συν ⋅ − συν⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

4

= −12

Άρα 23π

θ = , διότι [ ]0,θ∈ π .

* * *

Άσκηση 2.6 Για τα διανύσµατα ,x y ν∈R , αποδείξατε :

Ι. ( ) ( ) || || || ||x y x y x y− ⊥ + ⇔ =

ΙΙ. || || || ||x y x y x y⊥ ⇔ + = −

Γραµµική Άλγεβρα ΙΙ Σελίδα 5 από 6

Λύση : Ι. ( ) ( ) ( ) ( ) 0x y x y x y x y− ⊥ + ⇔ − + = ⇔

0x x y x x y y y x x y y− + − = ⇔ = , διότι || || || || .x y y x x y= ⇔ =

ΙΙ. ( ) ( ) ( ) ( )|| || || ||x y x y x y x y x y x y+ = − ⇔ + + = − − ⇔

. 4 0x x y x x y y y x x y x x y y y x y x y+ + + = − − + ⇔ ⋅ = ⇔ ⊥

* * *

Άσκηση 2.7 Να δείξετε ότι η µικρότερη δυνατή γωνία του διανύσµατος

( )1,3, 1,3= −x µε το επίπεδο ( ) ( ) span 1, 1,1,1 , 5,1, 3,3− − είναι . 45ο

Λύση : Κάθε διάνυσµα y του χώρου ( ) ( ) span 1, 1,1,1 , 5,1, 3,3− − είναι της

µορφής . Αν ( ) (k 1, 1,1,1 5,1, 3,3= − +λ −y ) ( , )x yθ = έχουµε

( )22 2 2 2

20 5 5|| || || || k20 4 k 44 8k 5 k 10 1 1

λ λσυνθ = = = =

⋅ ⋅ + λ + λ ⎛ ⎞⋅ + λ + λ + +⎜ ⎟λ⎝ ⎠

x yx y

0

Συνεπώς, 0 0kmin max 1 kθ = θ ⇔ συνθ = συνθ ⇔ = − ⇔ = −λλ

. Τότε

0 01

42π

συνθ = ⇒ θ =

και . Το διάνυσµα (4,2, 4,2y = λ − ) ( )4,2, 4,2x = − είναι συγγραµµικό µε την

ορθή προβολή του επί του επιπέδου. x

* * *

Άσκηση 2.8 Αν είναι πολυώνυµα του πραγµατικού διανυσµατικού

χώρου δείξατε ότι ο τύπος

p(x), q(x)

Πν

p(x) q(x) p(0) q(0) p(1) q(1) p(ν) q( )= ⋅ + ⋅ + + ⋅ ν

ορίζει ένα εσωτερικό γινόµενο στο χώρο.

Λύση : Εύκολα διαπιστώνουµε ότι ισχύουν οι συνθήκες Ι, ΙΙ και ΙΙΙ, του

εσωτερικού γινοµένου (εδάφιο 5, σελ. 96). Για τη συνθήκη IV έχουµε :

Γραµµική Άλγεβρα ΙΙ Σελίδα 6 από 6

2 2 2p(x) p(x) p(0) p(1) p(ν) 0 p(0) p(1) p(ν) 0= + + + = ⇔ = = = =…

Επειδή το στού βαθµού πολυώνυµο έχει ν− p(x) 1ν + ρίζες, σύµφωνα µε

γνωστό θεώρηµα της Άλγεβρας, είναι εκ ταυτότητας µηδενικό

πολυώνυµο, δηλ. για κάθε .

p(x)

p(x) 0≡ x

* * *

Άσκηση 2.9 Αν για τα διανύσµατα του διανυσµατικού χώρου είναι ,u v E

3u = , 4u v+ = και 6u v− = , ποιο είναι το µήκος του ; v

Λύση : Σε κάθε διανυσµατικό χώρο µε εσωτερικό γινόµενο ισχύει ο νόµος του

παραλληλογράµµου (Πρόταση 4.15, σελ. 98)

( )2 2 22u v u v u v+ + − = + 2

Συνεπώς ( )252 2 9 17v v= + ⇒ = .

* * *