第 24 章 《圆》单元复习

本章知识结构框图

圆

圆的基本性质

与圆有关的位置关系

正多边形与圆

有关圆的计算

弧、弦、圆心角之间的关系

同弧上的圆周角与圆心角的关系

三角形外接圆

直线与圆的位置关系

圆与圆的位置关系

等分圆周

弧长

圆锥的侧面积和全面积

点与圆的位置关系

圆的切线

垂径定理

扇形的面积

1.如图，已知⊙ O的半径 OA=5cm，弦 AB=8cm，则弦心距 OD = cm.

O

A BD

2.如图， AB是⊙ O的直径， CD=8cm， E为 CD的中点，在过 E的弦中，最短的弦长 = cm，它与 AB 的关系是 .

OB

D

C

A

垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的 两条弧 .垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦， 并且平分弦所对的两条弧 .

知识运用

E

8 互相垂直

3

3、如图，在⊙ O中，弦 EF∥直径 AB，若弧 AE的度数为 50°，则弧 BF的度数为 ，弧 EF 的度数为 ，∠ EOF= ，∠EFO= 。弦 AE与 BF是什么关系？

O

F

A B

E

弧、弦、圆心角关系定理： 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等 .

50° 80° 80°

50°

相等

4 、如图， A 、 B 、 C 是⊙ O 上的三点，∠BAC=30° ，则∠ BOC 的大小是（ ）

圆周角定理 : 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半 .

5 、如图 , 在⊙ O 中，弦 AB 、 CD 相交于点 P ， ∠ A ＝ 40° ， ∠ APD ＝ 75° ，则∠ B ＝（

)

A ． 15° B ． 30° C ． 75° D ． 35°

A ． 60° B ． 45° C ． 30° D ． 15°

C

A

P

O

B

D

A

D

点与圆的位置关系

A

B

C

O 点 A 在圆上 d ＝ r点 B 在圆外 d ＞ r点 C 在圆内 d ＜ r

6、根据点与圆的关系解决下列问题：（ 1）经过一点 A 的圆有（ ）个，经过 A 、 B 两点的圆有（ ）个，若 AB=6 ，则经过 A 、 B 两点的圆的半径 r 的取 值范围是（ ）

（ 2）经过三角形的三个顶点有且只有 个圆，若 AB=3， AC=5， BC=4 ，则三角形的外接圆的圆心在（ ），半径

是（ ）（ 3）作图题 :如何做一个三角形的外接圆

无数无数

R≥3

一AC 的中点

2.5

相交 相切 相离（判断的依据：圆心到直线的距离与半径比较）

7、 Rt△ABC中，∠ C=90°， AC=3cm， BC＝ 4cm下列三个结论：

①以点 C为圆心， 长为半径的圆与直线 AB相离；

②以点 C为圆心， 长为半径的圆与直线 AB相切；

③以点 C为圆心， 长为半径的圆与直线 AB相交．

d ＜ r d ＝ r d ＞ r

直线与圆的

位置关系

小于 2.4cm

等于 2.4cm

大于 2.4cm

切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于

这条半径的直线是圆的切线 .

8、如图，已知直线 AB经过⊙ O上的点 C，并且 OA=OB ， CA=CB.求证：直线 AB是⊙ O的切线．

B

O

CA

切线长定理：

从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角 .

O

P

A

B

若图中 PA 和 PB 是圆 O 的切线 , 指出图中相等关系，角度之间的关系？若∠ APB=50 °, 那么……

PA=PB∠APO= BPO∠∠AOP= BOP∠

为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如下办法 :（如图）将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为 30° 的三角板和一个刻度尺按如图所示的方法得到相关数据 , 进而可求得铁环的半径 . 若测得 PA=5cm, 求铁环的半径 .

P A

Q

O

解决生活中的数学问题

解 : PA∵ 和 QA 是⊙ O 的切线 , ∴PA=QA, PAO= QAO, ∠ ∠ ∠OPA= OQA= ∠ 90° 又∵ ∠ QAB= 60° ∴ ∠QAP= 120° ∴ ∠PAO= QAO= ∠ 60° ∴ ∠POA= 30°,PA= OA OP2= OA2-PA2,PA=5 OP=5 . ∴ ⊙O 半径 5 .

B

2

1

33

知识运用

9、如果点 O是△ ABC的内心，∠ BAC=70°，则∠ BOC= .

O

A

B C

10、作图题 :做一个三角形的内切圆

125°

12、如图，相交两圆的公共弦 AB的长为 16cm，⊙O1的半径为 17cm，⊙ O2

的半径为 10cm，则两圆的圆心距 O1O2= cm

11.（ 1）已知⊙ O1和⊙ O2的半径分别为 3cm和 5cm，两圆的圆心距 是 6cm ，则这两圆的位置关系是 。

（ 2）已知半径分别为 2和 3的两个圆有两个（一个、没有） 交点则圆心距 d的取值范围是 .

B

A

O1 O2

圆与圆的位置关系 相交 相切 （外切、内切） 相离（外离、内含）

R+r>d>R-r R+r=d d =R-r d<R-r d>R+r

相交

1<d<5

21

小结 • 本节课通过复习你有何收获 ?

1 、你熟悉地掌握了哪些与圆有关的概念？与圆有关的定理？与圆有关的位置关系？

2 、通过对圆的学习，你对数形结合的数学思想有新的认识吗？

3 、你会运用所学的知识解决生活中的数学问题了吗？