Београд, 21.01.2017.

Писмени испит из Метода коначних елемената

1. За приказани билинеарни коначни елемент (Q8) одредити вектор чворног оптерећења услед задатог линијског оптерећења p. Користити природни координатни систем (ξ,η).

2. На слици је приказан аксијално напрегнут штап, који је оптерећен једнакоподељеним

оптерећењем p= 10 kN/m на делу BC и концентрисаном силом P = 100 kN у чвору B. Део BC је константног попречног пресека (АB = АC = 0,15 m2), док је промена површине попречног пресека на делу AB линеарна (AA = 0,25 m2). Дискретизација дела AB је извршена коначним елементом са два чвора, док је дискрезизација дела BC извршена коначним елементом са три чвора.

а) Одредити матрицу крутости коначног елемента 1, б) Одредити глобалну матрицу крутости система, в) Одредити вектор чворних сила, г) Срачунати непозната померања, д) Срачунати напоне у коначним елементима и нацртати дијаграм напона дуж елемената.

Користити природни координатни систем за приказане коначне елементе. Е = 30 GPa

3. За четвороугаони изопараметарски коначни елемент приказан на слици десно срачунати

извод интерполационе функције 1Nx

∂∂

у тачки ( ), (0.5,0.5)ξ η = .

( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

1 2 2 2

22 2 2

3 2 2 2

1 121

1 12

N

N

N

ξ = ξ ξ −

ξ = −ξ

ξ = ξ ξ +

Београд, 11.02.2017.

Писмени испит из Метода коначних елемената

1. За приказани троугаони LST коначни елемент одредити вектор чворног оптерећења

услед задатог линијског оптерећења p.

2. За четвороугаони изопараметарски коначни елемент приказан на слици десно

срачунати компоненте вектора деформације у тежишту, ако је вектор померања

чворова q = [u1 v1 u2 v2 u3 v3 u4 v4]T = [3 1 3 -1 3 2 3 1]T.

3. На слици је приказан аксијално напрегнут елемент константног попречног пресека,

који је оптерећен линеарно промењивим оптерећењем p= 10 kN/m и концентрисаном

силом P = 10 kN. Применом МКЕ одредити вектор непознатих померања и реакција

ослонаца. Нацртати дијаграме померања u(x) и напона ( x):

а) Штап апроксимирати једним коначним елементом са 3 чвора,

б) Штап апроксимирати са два иста коначна елемента са 2 чвора.

Резултате упоредити са „strong“ формом решења.

Е = 30 GPa

A = 0.04 m2

1 2 2 2

2

2 2 2

3 2 2 2

11

2

1

11

2

N

N

N

Београд, 18.03.2017.

Писмени испит из Метода коначних елемената

1. За приказани правоугаони Q8 коначни елемент одредити компоненте вектора чворног

оптерећења у чворовима 2 и 5 услед запремиског гравитациуоног оптерећења = 25

kN/m3. Дебљина коначног елемента је 0.1m.

2. За правоугаони коначни елемент за савијање плоча заснован на Кирхофовој теорији

такнких плоча дат је вектор померања чворова qT = [2;1;0;0;0;0;1;0;0.5;0;0;0]*10

-3.

Одредити компоненте вектора деформације и напона за дати елемент. Нацртати

дијаграм момената савијања My и торзионих момената Mxy дуж контуре 3-4.

3. На слици је приказан аксијално напрегнут константног попречног пресека, који је

оптерећен параболичним оптерећењем p и концентрисаном силом P = 20 kN. Применом

МКЕ одредити вектор непознатих померања и реакција ослонаца. Нацртати дијаграме

померања u(x) и напона (x):

а) Штап апроксимирати једним коначним елементом са 3 чвора,

б) Штап апроксимирати са два иста коначна елемента са 2 чвора.

Резултате упоредити са „strong“ формом решења.

Е = 30 GPa

A = 0.04 m2

E = 30 GPa

n = 0.2

t = 0.1 m

1 2 2 2

2

2 2 2

3 2 2 2

11

2

1

11

2

N

N

N

Београд, 23.04.2017.

Писмени испит из Метода коначних елемената

1. За приказани Q9 коначни елемент одредити интерполационе функције N3 i N9, као и

компоненте вектора чворног оптерећења у чворовима 3 и 9 услед запремиског

гравитационог оптерећења = 25 kN/m3. Дебљина коначног елемента је 0.1m.

2. За једнодимензионални аксијално напрегнут коначни елемент са три чвора приказан на

слици:

а) Одредити интерполационе функције у природном координатном систему, чији се

координатни почетак налази у чвору 1;

б) Ако је L = 2 m, 1 0.0u m ,

5

2 10u m ,5

3 5 10u m срачунати померање, дилатацију и

напон на растојању 0.35 m од чвора 1.

3. За конструкцију приказану на слици користећи особину симетрије: а) Одредити број непознатих померања и означити их на слици,

б) Формирати матрицу крутости система Кnn ,

в) Формирати вектор чворних сила.

E=30 GPa

= 0.2

Плоча: h = 10 cm

Стубови: EI = 105

I/F = 0

Прости штапови:

I/F =1

p= 20 kN/m

Београд, 21.05.2017.

Писмени испит из Метода коначних елемената

1. За четвороугани коначни елемент приказан на слици лево, померања у чворовима су

дата као 1 1 2 2 3 3 4 4, , , , , , , 0,0,0,0,1,0,0,2u v u v u v u v . Срачунати компоненте померања и

деформације у тачки 1

, ,03

r s

.

2. За систем опруга приказан на слици: а) Формирати глобалну матрицу крутости система,

б) Срачунати непозната померања ако на систем делује задато оптерећење ,

в) Срачунати реакције ослонаца услед померања ослонца 4 за 1 cm.

3. За троугаони коначни елемент приказан на слици срачунати напоне и деформације

услед концентрисане силе P=50 kN.

E=30 GPa

= 0.2

t = 0.1 cm

k1 = 600 kN/m

k2= 750 kN/m

k3=1200 kN/m

Београд, 13.06.2017.

Писмени испит из Метода коначних елемената

1. За троугаони коначни елемент приказан на слици и одговарајући вектор померања чворова

одредити интерполационе функције и векторе напона и деформације. Елемент је изложен

равном стању деформација.

2. За правоугаони коначни елемент за савијање плоча заснован на Кирхофовој теорији

такнких плоча дат је вектор померања чворова qT = [0;0;0;2;1;0;0;0;0;0.5;0;0]. Одредити

елементе вектора деформација за дати елемент.

3. а) За једнодимензионални аксијално напрегнут коначни елемент са 2 чвора приказан на

слици 1, одредити матрицу крутости , б) Срачунати померања и напоне за штап оптерећен као на слици 2, користећи матрицу

крутости елемента са слике 1.

в) Резултате добијене у тачки б) упоредити са резултатима добијеним за систем приказан

на слици 3, где је дискретизација извршена са два коначна елемента константног

попречног пресека. Користити природни координтни систем.

1

1

2 6

2

3

3

1

1

010

0

0

1

u

v

um

v

u

v

q

E=210 GPa

= 0.3

E=210 GPa

А1=0.04 cm2

А2=0.06cm2

[cm]

Београд, 04.07.2017.

Писмени испит из Метода коначних елемената

1. За четвороугани коначни елемент приказан на слици десно, померања у чворовима су дата

као 1 1 2 2 3 3 4 4, , , , , , , 0,0,0,0, 1,2,0,0u v u v u v u v . Срачунати компоненте померања,

деформације и напона у тачки 1

, ,02

. Модуо еластичности износи Е = 31.5 GPa, док

је Поасонов коефицијент = 0.2.

2. а) За једнодимензионални аксијално напрегнут коначни елемент са 3 чвора приказан на

слици 1одредити интерполационе функције Ni(),

б) За аксијално напрегнут штап приказан на слици 3 оптерећен параболичним оптерећењем

p=10 kN/m , стреле од 2 kN/m, срачунати и нацртати дијаграм напона дуж штапа.

Дискретизацију извршити једним коначним елементом са три чвора (слика 1), односно са два

коначна елемента са два чвора (слика 2).

в) Написати и одредити „strong“ форму решења аксијално напрегнутог штапа са слике 3.

Резултате добијене применом МКЕ упоредити са „strong“ формом решења.

Користити природни координатни систем =2x/L.

Матрица крутости коначног елемента са слике 1:

E=210 GPa

А=0.04 cm2

Београд, 26.08.2017.

Писмени испит из Метода коначних елемената

1.

1. За приказани билинеарни коначни елемент (Q4) одредити вектор чворног оптерећења услед

задатог линијског оптерећења p(,) Користити природни координатни систем (,).

2. а) За гредни коначни елемент са 2 чвора приказан на слици 1одредити интерполационе

функције Ni(). Користити природни координатни систем.

б) За греду приказану на слици 2 оптерећену расподељеним оптерећењем p=10 kN/m

срачунати и нацртати дијаграм нормалних напона дуж греде. Дискретизацију извршити једним

коначним елементом (слика 1), односно са два коначна елемента (слика 1).

в) Написати и одредити „strong“ форму решења греде напрегнуте на савијање са слике 2.

Резултате добијене применом МКЕ упоредити са „strong“ формом решења.

Матрица крутости коначног елемента са слике 1:

2

22

3

4

612

264

612612

l

l

lll

ll

l

EIK

E=210 GPa

I=3000 cm4

Београд, 14.09.2017.

Писмени испит из Метода коначних елемената

1. За једнодимензионални коначни елемент приказан на Слици а):

а) извести изразе за интерполационе функције,

б) извести елементе матрице крутости,

в) за носач приказан на слици б) који је оптерећен линијским параболичним

оптерећењем, одредити непозната померања и напоне користећи коначни елемент са

Слике а). Реултате упоредити са „strong“ формом решења.

2. Четвороугаони изопараметарски елемент са праволинијском контуром дебљине t = 1,

приказан је на слици лево.

а) Израчунати Јакобијан матрицу Ј, као и њену детерминанту у тежишту елемента.

б) Израчунати компоненте деформације у тежишту елемента, ако је дат вектор чворних

померања qT = [u1 v1 u2 v2 u3 v3 u4 v4] = [2 1 3 -1 3 2 2 1].

y, v

1(-1,-1)

(1,1)

mapped element

2

34

1(0,0)

x, u2

3

4

(5,4)

(0,2)

physical element

(2,-1)

E=30 GPa

А = 0.02 m2

a)

б)

Београд, 01.10.2017.

Писмени испит из Метода коначних елемената

1. Испитати да ли се приказани коначни елемент на слици лево може користити при анализи напрезања у равни преко изопараметарског коначног елемента, приказаног на слици десно, тј. да ли је могуће извршити пресликавање (мапирање) коначног елемента.

2. На слици је приказан LST коначни елемент са дефинисаним чворовима. У табели су дате геометријске карактеристике као и померање чворова коначног елемента. Потребно је срачунати и нацртати дијаграм деформација у пресеку a-a.

3. За једнодимензионални коначни елемент са четири чвора приказан на слици: а) одредити интерполационе функције; б) одредити трећу врсту (колону) матрице крутости приказаног елемента.

Београд, 18.11.2017.

Писмени испит из Метода коначних елемената

1. За CST коначни елемент приказан на слици одредити вектор чворних сила услед задатог

линијског оптерећења.

2. Четвороугаони изопараметарски елемент са праволинијском контуром при равном стању

деформације, приказан је на слици лево.

а) Израчунати Јакобијан матрицу Ј, као и њену детерминанту у тежишту елемента.

б) Одредити изводе интерполационих функција 1N

x

и 1N

y

.

в) Израчунати компоненте деформације и напона у тежишту елемента, ако је дат вектор

чворних померања qT = [u1 v1 u2 v2 u3 v3 u4 v4] = [0 1 0 -1 3 2 2 1].

Београд, 16.12.2017.

Писмени испит из Метода коначних елемената

1. За LST коначни елемент приказан на слици одредити вектор чворних сила услед задатог линијског оптерећења.

2. За конструкцију приказану на слици користећи особину симетрије: а) Одредити број непознатих померања и означити их на слици, б) Формирати матрицу крутости система Кnn и вектор чворних сила Qn,

E=30 GPa ν= 0.2 h = 10 cm k =5000 kN/m

p=20 kN/m2