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TOUT L’UE3 EN FICHES
SalahBelazregProfesseur agrégé et docteur en physique,
il enseigne au lycée Camille Guérin à Poitiers. Il a enseigné la biophysique et les biostatistiques
en classes préparatoires aux concours de Médecine.
Organisation des appareils et des systèmes : bases physiques des méthodes d’exploration
2e édition
PACES
9782100727308-belazreg-lim.indd 1 25/06/15 11:48
© Dunod, 20155 rue Laromiguière, 75005 Paris
www.dunod.com
ISBN 978-2-10-072730-8
© Dunod 2011 pour la 1re édition
9782100727308-belazreg-lim.indd 2 25/06/15 11:48
Table des matières
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Physique
[Mécanique]Fiche cours 1 Cinématique du point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2Fiche cours 2 Dynamique du point matériel . . . . . . . . . . . . . . . . .6Fiche cours 3 Étude énergétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8Fiche cours 4 Chocs entre deux particules . . . . . . . . . . . . . . . . .12Fiche cours 5 Les oscillateurs mécaniques . . . . . . . . . . . . . . . . .15Fiche QCM 6 QCM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .19
[Thermodynamique]Fiche cours 7 Théorie cinétique du gaz parfait . . . . . . . . . . . . . .27Fiche cours 8 Statique des fluides ou hydrostatique . . . . . . . . .32Fiche cours 9 Premier principe de la thermodynamique . . . . . .35Fiche cours 10 Paramètres d’état. Transformations.
Travail échangé au cours d’une transformation réversible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .39
Fiche cours 11 Second principe de la thermodynamique . . . . . . .42Fiche cours 12 Changements de phases d’un corps pur . . . . . . .45Fiche cours 13 Phénomènes de transport . . . . . . . . . . . . . . . . . . .49Fiche cours 14 Thermodynamique chimique . . . . . . . . . . . . . . . .53Fiche QCM 15 QCM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .57
[Mécanique des fluides]Fiche cours 16 Les phénomènes de surface . . . . . . . . . . . . . . . . .63Fiche cours 17 Mécanique des fluides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .67Fiche QCM 18 QCM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .71
[Électricité – Électromagnétisme]Fiche cours 19 Champ et potentiel électrostatiques . . . . . . . . . . .76Fiche cours 20 Le dipôle électrostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .80Fiche cours 21 Flux du vecteur champ électrique.
Théorème de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .83
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[Table des matières]
IV
Fiche cours 22 Condensateurs. Capacité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .86Fiche cours 23 Électrocinétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .91Fiche cours 24 Milieux conducteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .94Fiche cours 25 Champ d’induction magnétique . . . . . . . . . . . . . .98
Fiche cours 26 Action d’un champ magnétique −→B
sur un circuit fermé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .102Fiche cours 27 Mouvement d’une particule chargée
dans un champ uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . .104Fiche QCM 28 QCM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .109
[Ondes]Fiche cours 29 Généralités sur les ondes . . . . . . . . . . . . . . . . . .115Fiche cours 30 Effet Doppler-Fizeau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .118Fiche cours 31 Notions sur les ondes électromagnétiques . . . . .121Fiche cours 32 Interférences. Diffraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . .125Fiche QCM 33 QCM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .130
[Optique géométrie]Fiche cours 34 Fondements de l’optique géométrique . . . . . . . .134Fiche cours 35 Dioptres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .138Fiche cours 36 Les lentilles minces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .142Fiche cours 37 L’œil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .145Fiche cours 38 Les instruments d’optique . . . . . . . . . . . . . . . . . .147Fiche QCM 39 QCM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .152
[Lumière et ondes]Fiche cours 40 Les origines de la physique quantique . . . . . . . .159Fiche cours 41 Niveaux d’énergie dans un atome . . . . . . . . . . .162Fiche cours 42 Le laser – Oscillateur à fréquence optique . . . . .166Fiche cours 43 Mécanique ondulatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .170Fiche QCM 44 QCM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .173
Biophysique
[Biophysique des solutions]Fiche cours 45 Généralités sur les solutions aqueuses . . . . . . . .182Fiche cours 46 Acides et bases en solution aqueuse . . . . . . . . .187Fiche cours 47 pH d’une solution aqueuse . . . . . . . . . . . . . . . . .189Fiche cours 48 Valeur de pH d’une solution aqueuse . . . . . . . . .192
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Fiche cours 49 Réactions acide-base. Courbes de titrage . . . . . .195Fiche cours 50 Diagramme de Davenport et troubles
acido-basiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .199Fiche cours 51 Osmose . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .202Fiche cours 52 Mesure de la pression osmotique . . . . . . . . . . . .204Fiche cours 53 Travail osmotique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .206Fiche cours 54 Phénomènes électriques. Effet Donnan . . . . . . .208Fiche cours 55 Ultrafiltration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .210Fiche QCM 56 QCM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .213
[Les radiations ionisantes]Fiche cours 57 Le noyau atomique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .217Fiche cours 58 Stabilité des noyaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .221Fiche cours 59 La radioactivité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .224Fiche cours 60 Les différentes radioactivités . . . . . . . . . . . . . . . .226Fiche cours 61 Décroissance radioactive . . . . . . . . . . . . . . . . . . .231Fiche cours 62 Une application de la radioactivité. La datation .234Fiche cours 63 Filiations radioactives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .236Fiche cours 64 Les réactions nucléaires provoquées . . . . . . . . .239Fiche cours 65 Interactions des particules chargées
avec la matière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .241Fiche cours 66 Spectre des rayons X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .244Fiche QCM 67 QCM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .247
[Biophysique sensorielle]Fiche cours 68 Les amétropies sphériques . . . . . . . . . . . . . . . . .255Fiche cours 69 L’astigmatisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .259Fiche cours 70 La presbytie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .261Fiche cours 71 Ondes sonores et audition . . . . . . . . . . . . . . . . .264Fiche cours 72 Propagation des sons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .266Fiche cours 73 Sons purs et sons complexes . . . . . . . . . . . . . . .269Fiche cours 74 L’audition subjective . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .272Fiche QCM 75 QCM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .275
[Imagerie médicale]Fiche cours 76 Formation des échos. Impédance acoustique . . .281Fiche cours 77 Atténuation du faisceau ultrasonore . . . . . . . . . .284Fiche cours 78 Imagerie médicale à l’aide des ondes U.S. . . . . .286Fiche cours 79 L’échographie Doppler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .288
[Table des matières]
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Fiche cours 80 Les nombres quantiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . .291Fiche cours 81 Moments magnétiques de particules chargées .294Fiche cours 82 Les bases physiques de la RMN . . . . . . . . . . . . .296Fiche cours 83 Notions d’imagerie RMN . . . . . . . . . . . . . . . . . . .300Fiche QCM 84 QCM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .304
Compléments mathématiques
Fiche méthode 85 Dérivées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .310Fiche méthode 86 Primitives. Intégrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .312Fiche méthode 87 Fonctions logarithme et exponentielle . . . . . . . .315Fiche méthode 88 Fonctions de plusieurs variables indépendantes 318Fiche méthode 89 Développement de fonctions en séries entières .320Fiche méthode 90 Équations différentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . .323Fiche méthode 91 Vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .326Fiche méthode 92 Grandeurs fondamentales associées
à un champ de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . .330
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Repérage d’un point. Le paramètre position
a. En coordonnées cartésiennes
Soit (−→i ,
−→j ,
−→k ) une base orthonormale directe liée au référentiel (R).
Tout point M peut être repéré par ses coordonnées cartésiennes (x, y, z) .Si O est l’origine du repère, le vecteur position s’écrit :
−−→O M = −→r = x
−→i + y
−→j + z
−→k
∣∣∣∣∣∣∣∣
x,y et z en mr = O M =
√x2 + y2 + z2
(−→i ,
−→j ,
−→k ) : base orthonormale
directe liée au référentiel
[Mécanique]
Cinématique du point
O
M
H
ik j
x
y
z
b. En coordonnées polaires (cas d’un mouvement plan)
On définit un axe Ox, axe polaire, et une origine ou pôle O.Un point mobile M peut être repéré par ses coordonnées polaires (r, θ)
où r = O M et θ = (−→Ox,
−−→O M).
Le vecteur position s’écrit donc :
−−→O M = −→r = r−→ur
∣∣∣∣−→r : rayon vecteurθ : angle polaire
[IMPORTANT]O
M
i
j
ur
x
y
r
(−→ur ,−→uθ) est une base locale mobile, orthonormée directe, liée au point M.
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[Cinématique du point]
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c. En coordonnées cylindriques
−−→O M = −→
O H + −−→H M = r−→ur + z−→uz
Avec r = O H et θ = (−→Ox,
−→O H) O
M
H
ur
x
y
z
r
uz
zM
Les grandeurs d’évolution
On définit la vitesse d’un point M dans le repère R par :
−→v =d
−−→O M
dt
R
L’accélération du mobile, à l’instant t , est la dérivée dans (R) du vecteurvitesse par rapport au temps, soit :
−→a =
−→dv
dt
R
=d2−−→O M
dt2
R
Expressions dans différents systèmes
de coordonnées
a. En coordonnées cartésiennes
−→v =d
−−→O M
dt
R
= x−→i + y
−→j + z
−→k ; x = dx
dt,y = dy
dt,z = dz
dt
−→a =
−→dv
dt
R
= x−→i + y
−→j + z
−→k ; x = d2x
dt2,y = d2y
dt2,z = d2z
dt2
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[Cinématique du point]P
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b. En coordonnées cylindriques
−→v =d
−−→O M
dt
R
= r−→ur + r θ−→uθ + z−→uz
−→a =
−→dv
dt
R
= (r − r θ2)−→ur + (r θ + 2r θ )−→uθ + z−→uz
c. Dans le repère de Frenet
On introduit un repère mobile (−→τ , −→n ), lié au mobile M tel que :
: vecteur unitaire porté par la tangente à la courbe et orienté dansle sens du mouvement
: vecteur unitaire orthogonal à −→τ et dirigé vers la concavité dela trajectoire
−→v = v−→τ ; −→a = aτ−→τ + an
−→n avec
aτ = dv
dt
an = v2
R
Étude de quelques mouvements usuels
a. Mouvement rectiligne uniforme
Pour un mouvement rectiligne uniforme −→v = −→cste , par suite :
v = v0 = cste et x = v0t + x0
b. Mouvement rectiligne uniformément varié
Un point mobile M a un mouvement rectiligne uniformément varié si−→a = −→a0 = a0
−→i = −→cste , par suite :
(1) a = a0 = cste
(2) v = a0t + v0
(3) x = 12a0t2 + v0t + x0
, soit v2 − v20 = 2a0(x − x0)
−→τ−→n
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c. Mouvement rectiligne sinusoïdal
Définition
Un mobile est animé d’un mouvement rectiligne sinusoïdal si sa trajec-toire est une droite et sa loi horaire est une fonction sinusoïdale dutemps, soit :
x = xm sin(ωt + φ)
∣∣∣∣∣∣∣∣
xm : amplitude du mouvement
ω : pulsation (en rad · s−1)
φ : phase à l′origine (en rad)
(ωt + φ) : phase à la date t (en rad)
Vitesse et accélération du mobile
v = x = ωxm cos(ωt + φ)
a = x = −ω2 xm sin(ωt + φ)︸ ︷︷ ︸x(t)
= −ω2x, soit x + ω2x = 0
d. Mouvement circulaire uniforme
Définition
Un point mobile M a un mouvement circulaire uniforme lorsqu’il sedéplace sur un cercle fixe, de rayon R, par rapport au repère d’espace
choisi à la vitesse angulaire ω0 = θ = cste.
Vitesse et accélération du mobile
−→v = Rθ−→uθ = Rω−→uθ
−→a = −v2
R−→ur = −Rω2
0−→ur
L’accélération −→a est centripète et le mouvement est périodique de
période T0 = 2πω0
.
[Cinématique du point]©
Dun
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Tou
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Dynamique
du point matériel
Les éléments cinématiques
a. Quantité de mouvement d’un point matériel
Soit un point matériel M, de masse m, se déplaçant à la vitesse −→v dansun repère (R).
Le vecteur quantité de mouvement du point matériel M, noté −→p , dans lerepère (R) s’écrit :
−→p = m−→v
∣∣∣∣∣∣∣
−→p : vecteur quantité de mouvementm : masse du point matériel−→v : vecteur vitesse du point matériel
b. Énergie cinétique
Un point matériel de masse m, se déplaçant à la vitesse v, dans un réfé-rentiel (R), possède une énergie cinétique telle que :
Ec = 1
2m v2
∣∣∣∣∣Ec en Jm en kgv en m · s−1
c. Relation entre énergie cinétique et quantité de mouvement
Comme −→p = m−→v , alors −→p 2 = m2−→v 2et par suite :
Ec = p2
2m; p : module du vecteur quantité de mouvement
Les différentes lois de Newton
a. Principe d’inertie (1re loi de Newton)
Le centre d’inertie d’un solide (pseudo) isolé est tel que :
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• s’il est au repos, il reste au repos ;• s’il est en mouvement, son mouvement est rectiligne uniforme.
∑−→fext = −→
0 �⇒système isolé
oupseudo-isolé
�⇒−→vG = −→cste(−→p = −→cste
)
b. Relation fondamentale de la dynamique (2e loi de Newton)
Pour un point matériel de masse m, de quantité de mouvement −→p , sou-
mis à un ensemble de force ∑−→
fext , on a :
d−→pdt
=∑−→
fext
Pour un point matériel de masse m = cste, on a :
m−→aG =∑−→
fext
∣∣∣∣∣∣∣
m : masse du solide−→aG : vecteur accélération du centre d′inertie∑−→
fext : ensemble des forces s′exerçant sur le solide
c. Principe des actions réciproques (3e loi de Newton)
Si un système (A) exerce sur un système (B) une force −−→FA/B alors (B)
exerce sur (A) une force −−→FB/A telle que :
−−→FA/B = −−−→
FB/A
[ATTENTION]
Quel que soit l'état de mouvement de A par rapport à B, on a toujours
l'égalité vectorielle : −−−→F
A/B = −−−−→F
B/A .
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Étude énergétique
Travail d’une force
a. Cas d’une force −→F constante
Lors d’un déplacement de son centre d’inertie d’un point A à un point B,
le travail d’une force constante −→F agissant sur un solide animé d’un
mouvement rectiligne par rapport à un référentiel (R) est donné par :
W (−→F )A �→B = −→
F · −→ABou
W (−→F )A �→B = F · AB · cos(
−→F,
−→AB)
∣∣∣∣∣F en NAB en mW (
−→F )A �→B en J
b. Cas d’une force variable pour un déplacement quelconque
Lors d’un déplacement élémentaire du point d’application d’une force−→F constante, le travail élémentaire δW vaut :
δW (−→F ) = −→
F · −→δlou
δW (−→F ) = F · δl · cos(
−→F,
−→δl )
∣∣∣∣∣∣F en Nδl en mδW (
−→F ) en J
Le travail total de la force −→F lorsque son point d’application se déplace
de A en B s’écrit :
W (−→F )A �→B =
∑B
AδW (
−→F ) =
∑B
A
−→F · −→δl
ou sous forme intégrale :
W (−→F )A �→B =
∫ B
A
−→F · −→dl avec
−→dl = −−→
M M ′ = −→v dt
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Théorème de l’énergie cinétique
a. Énergie cinétique
Un point matériel de masse m se déplaçant à la vitesse −→v , dans un réfé-rentiel (R), possède une énergie, appelée énergie cinétique, telle que :
Ec = 1
2mv2
∣∣∣∣∣Ec en Jm en kgv en m · s−1
b. Puissance d’une force
Par définition, la puissance est égale au travail fourni par unité de temps,soit :
P = δW
δt
∣∣∣∣∣W en Jt en sP en W
Pendant la durée δt , le point d’application de la force −→F s’est déplacé
de −→δl .
Le travail élémentaire s’écrit donc :
δW = −→F · −→δl = −→
F · −→v dt, où −→v =−→δl
δt
et par suite :
P = −→F · −→v
∣∣∣∣∣F en Nv en m · s−1
P en W
c. Relation entre la puissance et l’énergie cinétique
On a P = −→F · −→v . Comme
−→F = m
d−→vdt
alors P = md−→vdt
· −→v .
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[Étude énergétique]P
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10
La masse m étant constante, on peut donc écrire :
P = d
dt(Ec)
∣∣∣P en WEc en J
d. Théorème de l’énergie cinétique
Pour un point M matériel, de masse m, se déplaçant à la vitesse −→v , dansun référentiel (R) galiléen, soumis à un ensemble de forces dont la résul-
tante est −→F :
dEc = δW (−→F ), soit �Ec = Ec2 − Ec1 =
∫ t2
t1
−→F · d
−→l = W
1−→2(−→F )
Énergie potentielle. Énergie mécanique
a. Force conservative
Une force −→F est dite conservative s’il existe une fonction Ep, dépendant
uniquement des coordonnées de position, telle que :
dEp = −−→F · −→dl
Ep est homogène à une énergie
∣∣∣∣∣∣Ep en JF en Nl en m
Ep est appelée énergie potentielle de la particule M associée à la force−→F .
Dans le cas d’une force −→F = F(x) · −→ux ne dépendant que d’une seule
coordonnée x , on a :
dEp = −F(x) · dx, soit F(x) = −dEp
dx
b. Relation entre travail et énergie potentielle
Le travail élémentaire d’une force −→F est δW = −→
F · −→dl.
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[Étude énergétique]
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sée
est u
n dé
lit.
Si −→F est conservative alors
−→F dérive d’une énergie potentielle Ep telle
que dEp = −−→F · −→dl , soit :
δW = −dEp
Le travail total de la force −→F s’écrit donc :
W (−→F )1�→2 = −
∫ 2
1dEp = − [
Ep]Ep2
Ep1= Ep1 − Ep2
(Le travail de la force−→F est indépendant du chemin suivi)
c. Énergie mécanique d’un corps
Dans le cas d’un référentiel galiléen, on a vu que dEc = δW.
Si la force −→F est conservative, alors il existe une fonction Ep telle que
dW = −dEp.
En combinant les deux dernières relations, on obtient dEc = −dEp, soitd(Ec + Ep) = 0, c’est-à-dire :
Ec + Ep = Em = cste
La somme Em = Ec + Ep, qui se conserve au cours du temps, est appeléeénergie mécanique de la particule M.
9782100727308-belazreg-C03.qxd 11/06/15 9:40 Page 11
Chocs entre
deux particules
Impulsion – Percusssion
Pour une particule de masse m et animée d’une vitesse −→v à l’instant t :
−→I = ∫ t2
t1
−→F dt
∣∣∣∣∣∣
−→F : résultante des forces agissant sur
la particule entre les instants t et t + ∆t−→I : impulsion de la force
−→F
[IMPORTANT]
[Mécanique]P
hysiq
ue
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❸➅➀➈
❼�
12
• Si −→F reste constante dans l’intervalle de temps ∆t = t2 − t1 et si ∆t
est très petit alors −→I est appelé percussion.
• Comme −→F = d−→p
dt, alors :
−→I = ∫ t2
t1d−→p = ∆−→p
L’impulsion reçue par un point matériel est égale à la variation de laquantité de mouvement de ce point matériel.
Chocs entre deux particules
Soient deux particules (1) et (2) de masses m1 et m2.
Si les deux particules viennent à se rencontrer, on dit qu’il y a collisionou choc entre les deux particules.Le système constitué par deux particules qui entrent en collision est unsystème isolé. Au cours d’un choc :
−→dp1
dt+
−→dp2
dt= −→
0
soit−→p1 + −→p2 = −→cste
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
−→p1 = m1−→v1 : vecteur quantité
de mouvement de la particule(1) de masse m1−→p2 = m2
−→v2 : vecteur quantitéde mouvement de la particule(2) de masse m2
Le système constitué par deux particules qui entrent en collision est unsystème isolé.
9782100727308-belazreg-C04.qxd 11/06/15 10:03 Page 12
[Chocs entre deux particules]
Ph
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La conservation de la quantité de mouvement donne :
−→p1 + −→p2︸ ︷︷ ︸(avant le choc)
= −→p′
1 + −→p′
2︸ ︷︷ ︸(après le choc)
Chocs élastiques et chocs inélastiques
Soient deux particules de masse m1 et m2,−→v1 et −→v2 leurs vecteurs vites-
se avant le choc et −→v′
1 et −→v′
2 leurs vecteurs vitesse après le choc.
a. Choc élastique
Au cours d’un choc élastique, outre la conservation de la quantité demouvement, il y a conservation de l’énergie cinétique :
−→p = −→cste et Ec = cste
Ainsi :1
2m1v
21 + 1
2m2v
22︸ ︷︷ ︸
(avant le choc)
= 1
2m1v
′21 + 1
2m2v
′22︸ ︷︷ ︸
(après le choc)
Soit :p2
1
2m1+ p2
2
2m2= p′2
1
2m′1
+ p′22
2m′2
[IMPORTANT]
Au cours d'un choc inélastique, il n'y pas conservation de l'énergiecinétique.
c. Choc central élastique
Un choc entre deux particules est dit central ou « de plein fouet » si lesvecteurs vitesse avant et après le choc sont des vecteurs colinéaires.
• Lorsque les particules après le choc sont identiques aux particulesinitiales, on a un processus de « diffusion » et on parle alors de dif-fusion élastique.
• Dans le cas de particules chargées, il y a conservation de la chargeélectrique.
b. Choc inélastique
Au cours d’un choc inélastique, il y a dissipation de l’énergie.
[ATTENTION]
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[Chocs entre deux particules]P
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14
Pour un choc central élastique, on peut écrire :
v′1x = 2m2v2x + (m1 − m2)v1x
m1 + m2et v′
2x = 2m1v1x − (m1 − m2)v2x
m1 + m2
∣∣∣∣∣∣∣
v1x : vitesse de la particule (1) avant le chocv2x : vitesse de la particule (2) avant le chocv′
1x : vitesse de la particule (1) après le chocv′
2x : vitesse de la particule (2) après le choc
Cas particuliers :
• Si avant le choc, la particule cible est immobile, soit v2x = 0, alors :
v′1x = m1 − m2
m1 + m2v1x ; v′
2x = 2m1
m1 + m2v1x
ϕ = (−→v1 ,−→v2 ) : angle de diffusion
v1
v'1
v'2
Avant le choc après le choc
x' x x' x
particule (2)immobile
• Si les deux particules se heurtent avec des vitesses opposées, soitv1x = −v2x.
Si, de plus, m1 = m2, alors :
v′1x = v2x = −v1x
et
v′2x = v1x
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[Mécanique]
Les oscillateurs
mécaniques
Ph
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Définitions
a. Qu’est-ce qu’un oscillateur ?
On appelle oscillateur tout système qui effectue des mouvements de va-et-vient autour d’une position d’équilibre stable.Si Ep représente l’énergie potentielle du système, son évolution en fonc-tion de la position x peut être donnée par le graphe de la figure ci-dessous :
Un oscillateur est un système écartéde sa position d′équilibre stable.Le système se trouve donc dansune cuvette de potentiel.
[IMPORTANT]
p(x)
0
xx20
m
x0x1
Les oscillations sont libres quand, une fois écarté de sa position d'équilibre, l'oscillateur est abandonné à lui-même.
b. L’oscillateur harmonique
L’oscillateur est dit harmonique si sa cuvette de potentiel est parabo-lique.
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[Les oscillateurs mécaniques]P
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16
La position d’équilibre stable cor-respond à x = x0. Ce mouvement n’a pas de bran-ches infinies, puisque x est limité àl’intervalle [x1,x2].Le mouvement de l’oscillateurdans la cuvette de potentiel estdonc un mouvement lié.
Dans le cas d’un oscillateur mécanique en translation selon un axe x ′Ox,par exemple, l’énergie potentielle s’écrit donc sous la forme :
Ep(x) = Ax2 + E0 avec A = cste > 0
c. Les oscillateurs mécaniques d’usage courant
Le pendule simple
La grandeur physique associée àl’oscillateur est l’angle θ(t) appe-lé élongation angulaire. θ(t) désigne l’écart angulaireentre la position du pendule àl’instant t et celle à l’équilibre. L’élongation θ(t) est une grandeuralgébrique.
xx20
m
x0x1
0
p(x)
O
gl
Verticale du lieu
+
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Le pendule élastiqueLa grandeur physique associée àl’oscillateur est l’élongation x(t).x(t) désigne l’écart entre la posi-tion du pendule à l’instant t etcelle à l’équilibre.L’élongation x(t) est une grandeuralgébrique.
Étude du pendule élastique
a. Étude dynamique
Le système étudié est le solide de masse m et de centre d’inertie G .On écarte le solide de sa position d’équilibre de x = a puis on le lâchesans vitesse initiale.Dans le référentiel terrestre suposé galiléen, le système est soumis à trois
forces : son poids −→P , la réaction normale de l’axe
−→RN et la force de rap-
pel du ressort −→T .
[Les oscillateurs mécaniques]
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x
l0
l
Ox' x
ux
À l’équilibre
En mouvement
x = l - l0
l0
l
x ' 0 x
i
À l’équilibre
En mouvement
RN
P
RN
RNRNT
P
À l’équilibre :−→P + −→
RN = −→0 .
En mouvement :−→P + −→
RN + −→T = m−→a
Après projection sur l’axe x ′Ox, il vient :
−kx = mx, soit x + k
mx = 0
Les solutions sont de la forme : x(t) = A cos(ω0t + ϕ) avec ω0 =√
k
m
9782100727308-belazreg-C05.qxd 11/06/15 15:35 Page 17
• Les oscillations d’un pendule élastique non amorti sont sinusoïdales(on dit aussi harmoniques).
• La période propre des oscillations est T0 = 2π
ω0= 2π
√m
k.
• T0 ne dépend que des paramètres mécaniques de l’oscillateur : soninertie (masse m) et la constante k du ressort.
b. Étude énergétique
L’énergie mécanique du système est égale à la somme de son énergiepotentielle et de son énergie cinétique, soit :
Em = Ep + Ec avec
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
Ep = 1
2kx2
et
Ec = 1
2mv2 = 1
2mx2
Les transformations énergé-tiques Ep � Ec du pendule élas-tique peuvent être suivies sur lesdiagrammes ci-contre.
[Les oscillateurs mécaniques]P
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❼
18
p(x) = k.x2
c
p
c
x0
m
nergieÉ
- xmax xmax
12
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[Mécanique]
QCM
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❼�
19
Énoncés
Un motard se rend d’une ville A à une ville B à la vitesse moyen-
ne v1 = 96 km.h−1
Il revient immédiatement de la ville B à la ville A, en passant par
la même route, à la vitesse moyenne v2 = 66 km.h−1
Calculer sa vitesse moyenne sur l’ensemble du parcours.
❑ a. 25 m.s−1 ❑ b. 76 km.h−1
❑ c. 78 km.h−1 ❑ d. 83 km.h−1
❑ e. 22 m.s−1
Un objet tombe en chute libre sans vitesse initiale d’une hauteurh. Cet objet parcourt 9,5 m lors de la dernière seconde de chute.Donnée :Intensité du champ de pesanteur supposée constante :
g = 9,8 m.s−2.
Sa vitesse lorsqu’il atteint le sol est :
❑ a. 9,8 m.s−1 ❑ b. 14,4 m.s−1
❑ c. 49 km.h−1 ❑ d. 52 km.h−1
❑ e. 54 m.s−1
Un point matériel M effectue un mouvement dans un plan
(O,−→Ox ,
−→Oy) . Les coordonnées x et y du point M varient en fonc-
tion du temps selon :{
(1)x = 0,3 cos (0,5πt + 4,25)
(2)y = 0,3 sin (0,5πt + 4,25)
Toutes les grandeurs sont exprimées dans le système S.I.
❑ a. Le point M effectue un mouvement sinusoïdal rectiligne.❑ b. Le point M effectue un mouvement circulaire uniforme.❑ c. La période du mouvement du point M est T0 = 0,5 s.
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[QCM]P
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20
❑ d. La période du mouvement du point M est T0 = 4 s.❑ e. La fréquence du mouvement du point M est f = 0,5 Hz.
Un bombardier chargé de détruire une cible, une usine pétrochi-mique, vole à l’altitude h = 2,5 km selon un mouvement rectili-gne uniforme à la vitesse v0.En passant à la verticale d’un point H du sol, situé à la distanced = 2,5 km du centre de l’usine, le bombardier largue une bombesans vitesse initiale.
Données :L’édifice de l’usine est un carré de 200 m de côté.Les forces de frottement avec l’air sont négligeables.
Vitesse du bombardier : v0 = 396 km · h−1.
Intensité du champ de pesanteur supposée constante : g = 9,8 m · s−2
❑ a. La cible (centre de l’usine) sera atteinte.❑ b. L’impact se produira à 200 m avant le centre de l’usine.❑ c. L’impact se produira à 2 km après le centre de l’usine.❑ d. L’impact se produira à 15 m avant le centre de l’usine.❑ e. La cible ne sera pas atteinte.
L’énoncé suivant est commun aux questions 5 et 6.
Un sportif de masse m = 75 kg effectue un saut à l’élastique en selançant sans vitesse initiale d’un point A d’un pont situé au dessusd’une vallée (figure ci-après).
pp = 0z = 0
z'
zA
B
C
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L’élastique a une longueur à vide l0 = AB = 23 m et sa masse estnégligeable.On prendra le point A comme origine des altitudes et des énergiespotentielles de pesanteur. On négligera les frottements avec l’air.
Donnée : g = 9,8 m · s−2.
La vitesse du sauteur au point B est :
❑ a. 12,34 m · s−1 ❑ b. 21,23 m · s−1 ❑ c. 29,40 m · s−1
❑ d. 36,05 m · s−1 ❑ e. 4,61 m · s−1
L’énergie mécanique du système {Terre - sauteur - élastique} vaut :
❑ a. −16,9 · 103 J ❑ b. −12,5 · 103 J ❑ c. +16,9 · 103 J
❑ d. 0,0 J ❑ e. +22,6 · 103 J
L’énoncé suivant est commun aux questions 7 et 8.
Un point matériel M de masse m peut se déplacer sur un axe Ox .
En fonction de son abscisse x sur cet axe, l’énergie potentielle deM au voisinage de l’origine est donnée par :
Ep(x) = −V0(1 − 0,2x2)
Quelle est l’expression de la force à laquelle est soumis M au voi-sinage de l’origine ?
❑ a. 0,4V0x ❑ b. −0,4V0x ❑ c. −0,2V0x
❑ d. −V0(1
x− 0,2x) ❑ e. 0,2V0x2
Sous l’effet de cette force, le point M est animé d’un mouvement :
❑ a. Rectiligne uniforme
❑ b. Uniformément accéléré
❑ c. Sinusoïdale de période T0 = 2π√
m
0,4V0
❑ d. Sinusoïdale de période T0 = 2π√
0,4V0
m❑ e. Aucune des propositions précédentes n’est correcte.
[QCM]
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