1  

 Απαντήσεις  διαγωνισμού  Φυσικής  2015  –  Α  Λυκείου  

 Θεωρητικό  Μέρος  

 

Α1.  Σωστή  απάντηση  είναι  η  iv.  

Όταν  η  επιτάχυνση  μεταβάλλεται   !α =  μεταβαλλόμενο,  δεν  γίνεται  το  διάνυσμα  

της  ταχύτητας  να  διατηρείται  σταθερό,  δηλαδή   !υ = σταθ.  

Α2.  Ας  δούμε  λοιπόν  σε  ποια  κίνηση  αντιστοιχούν  οι  άλλοι  συνδυασμοί:  

i.   !υ ↑↑ !a :  ευθύγραμμη  επιταχυνόμενη  

ii.   !υ ↑↓ !a :  ευθύγραμμη  επιβραδυνόμενη  

iii.   !υ ⊥ !a :  ομαλή  κυκλική  κίνηση  (έκτος  ύλης)  

v.   !υ = 0 ,  

!a ≠ 0 :  όταν  το  υλικό  σημείο  είναι  ακίνητο  και  δέχεται  την  επίδραση  δύ-­‐ναμης  (ή  συνισταμένης  δύναμης)  

vi.   !υ =  μεταβαλλόμενο,  

!a = σταθ.:  ευθύγραμμη  ομαλά  μεταβαλλόμενη  κίνηση  

 

Β.   Tο   σωματίδιο   κινείται  με   την   επίδραση   συντη-­‐ρητικής  δύναμης  F,  οπότε  η   μηχανική   ενέργεια   δια-­‐τηρείται   σταθερή,   οπότε  σύμφωνα   με   το   διάγραμ-­‐μα  στη  θέση  xo,  η  δυναμι-­‐κή   ενέργεια   είναι   ίση   με  Uο   =   4   J   ενώ   η   κινητική  ενέργεια  είναι  Κο  =  1  J.  Με   βάση   τα   στοιχεία   αυ-­‐τά,   μπορούμε   να   υπολο-­‐γίσουμε   τη   μηχανική   ε-­‐νέργεια  του  σωματιδίου,  η  οποία  παραμένει  συνεχώς  σταθερή.  

 

 

2  

Eµηχ = Kο +Uο ⇔ Eµηχ = 5 J  

Επομένως,  στη  θέση  x1,  από  το  διάγραμμα  φαίνεται  ότι  η  δυναμική  ενέργεια  του  σωματιδίου   είναι   U1   =   -­‐   2   J   και   εφαρμόζοντας   την   Αρχή   Διατήρησης   της  Μηχανικής  Ενέργειας,  υπολογίζουμε  την  αντίστοιχη  κινητική  ενέργεια:  

Eµηχ = K1 +U1 ⇔ 5= K1 + (−2) ⇔ K1 = 7J  

 

 

A.  Τη  χρονική  στιγμή   t  που  το  υλικό  ση-­‐μείο   που   κινείται   κατά   μήκος   της   ημικυ-­‐κλική  περιφέρειας  βρίσκεται  στη  θέση  Δ,  την  ίδια  στιγμή  η  προβολή  του  σημείου  Δ  πάνω  στη  διάμετρο  ΑΒ  βρίσκεται  στη  θέ-­‐ση  Ζ,   απέχοντας  απόσταση  x  από   το  ση-­‐μείο  Α.  Στο  διπλανό  σχήμα,  σχηματίζονται  ορθογώνια  τρίγωνα  ΑΔΒ,  ΑΖΔ  και  ΔΖΒ.  Τα  δύο  τελευταία  είναι  όμοια  τρίγωνα,  οπότε:  

ΔΖx

= 2r − xΔΖ

⇔ (ΔΖ)2 = x(2r − x)    (1)  

Με  το  Πυθαγόρειο  Θεώρημα:   ΑΔ( )2= x2 + (ΔΖ)2 ⇔ (ΔΖ)2 = ΑΔ( )2

− x2  (2)  

Από  (1),  (2)  καταλήγουμε  στη  σχέση:    

ΑΔ( )2

− x2 = x(2r − x) ⇔ ΑΔ( )2− x2 = 2rx − x2 ⇔ ΑΔ( )2

= 2rx ⇔ x =ΑΔ( )2

2r  (3)  

Α1.  Αν  θέσουμε  στη  σχέση  (3),  όπου   ΑΔ( ) = δ t ,  καταλήγουμε  ότι:  

x =

ΑΔ( )2

2r⇔ x = δ 2

2rt  (4)  

 Από  τη  σχέση  αυτή  φαίνεται  ότι  το  σημείο  Ζ  εκτελεί  ομαλή  ευθύγραμμη  κίνηση  με  ταχύτητα  που  εκφράζεται  από  το  συντελεστή  της  παραπάνω  εξίσωσης,  δη-­‐λαδή:  

υΖ = δ 2

2r  

 

 

3  

Α2.  Αν  θέσουμε  στη  σχέση  (3),  όπου   ΑΔ( ) = δ t ,  καταλήγουμε  ότι:  

x =

ΑΔ( )2

2r⇔ x = δ 2

2rt2  (5)  

Από  τη  σχέση  αυτή  φαίνεται  ότι  το  σημείο  Ζ  εκτελεί  ευθύγραμμη  ομαλά  επιτα-­‐χυνόμενη  κίνηση  με  επιτάχυνση  μέτρου:  

αΖ = δ 2

r  

Β.  Τα  δύο  κινητά  Δ  και  Ε  έχουν  ξεκι-­‐νήσει  από  το  σημείο  Α  και  κινούνται  κατά   μήκος   των   περιφερειών   ακτί-­‐νων  r  και  R  αντίστοιχα  (R>r).    

B1.  Για  να  παραμένουν  τα  σημεία  Α,  Δ  και  Ε  στην   ίδια   ευθεία,  θα  πρέπει  να  κινούνται  έτσι  ώστε  κάθε  στιγμή  να   σχηματίζονται   δύο   όμοια   τρίγω-­‐να  ΑΔΒ  και  ΑΕΓ  ,  οπότε:  

συνϕ = x

AΔ= y

AE  (1)  

Αντικαθιστώντας  στη  σχέση  (1),  όπου   AΔ = δ t ,  οπότε  σύμφωνα  με  αυτά  που  

αποδείξαμε  προηγουμένως  θα  ισχύει   x = δ 2

2rt .  Με  την  ανάλογη  λογική  αν  θέσου-­‐

με  όπου AE = ε t ,  θα  καταλήξουμε  ότι   y = ε 2

2Rt .  Επομένως:  

xAΔ

= yAE

⇔

δ 2t2rδ t

=

ε 2t2Rε t

⇔ δr= ε

R⇔ δ

ε= r

R  

B2.  Για  να  έχουν  τα  σημεία  Δ  και  Ε  κοινή  προβολή  πάνω  στο  ευθύγραμμο  τμήμα  ΑΓ  θα  πρέπει  κάθε  στιγμή  να  ισχύει  x  =  y.  Οπότε:  

x = y ⇔ δ 2t

2r= ε 2t

2R⇔ δ 2

r= ε 2

R⇔ δ

ε= r

R  

B3.  Τα  σημεία  Δ  και  Ε  θα  έχουν  κοινή  προβολή  πάνω  στο  ευθύγραμμο  τμήμα  ΑΓ  μέχρι  το  πολύ  τη  χρονική  στιγμή  που  το  σημείο  Δ  φτάνει  στο  σημείο  Β,  δηλαδή  μέχρι:    

 

 

4  

x = 2r ⇒ δ 2t

2r= 2r ⇔ t = 4r 2

δ 2  

 

 

Από  το  διάγραμμα  του  σχήματος  είναι  εύκολο  να  παρατηρήσουμε  ότι  η  ταχύτη-­‐τα  του  υλικού  σημείου  μειώνεται  όσο  αυξάνεται  η  μετατόπισή  του.  

 

A.   Εφαρμόζοντας   το  Θεώρημα  Μεταβολής   της  Κινητικής  Ενέργειας   (ΘΜΚΕ)  α-­‐νάμεσα  στην  αρχική  θέση  x0  =  0  και  μια  τυχαία  θέση  x  του  σώματος,  το  οποίο  κινείται  με  ταχύτητα  μέτρου  uo  και  u  αντίστοιχα:  

Kτ − K A =WΣF ⇔ 1

2mu2 − 1

2muo

2 = −ΣF ⋅ x ⇔ u2 = uo2 − 2 ⋅ ΣF

mx  

Στην  παραπάνω  εξίσωση,  μπορούμε  να  αντικαταστήσουμε  το  λόγο  ΣF/m  με  την  επιτάχυνση  (επιβράδυνση)  του  υλικού  σημείου:  

u2 = uo

2 − 2α x  (1)  

Με   τη   βοήθεια   της   σχέσης   (1),   αν   θέσουμε   όπου   x   =   0   (αρχική   θέση)  υπολογίζουμε  το  μετρο  της  αρχικής  ταχύτητας  του  υλικού  σημείου:  

u2 = uo

2 − 2α x ⇔ u2 = uo2 ⇔ uo = 10 m / s  

 

 

5  

 Ενώ  στην  ίδια  εξίσωση,  θέτοντας  όπου  x  =  25  m  και  u  =  0,  υπολογίζουμε  το  με-­‐τρο  της  επιβράδυνσης:  

u 2 = uo

2 − 2α x ⇔ 0 = 100− 2α ⋅25⇔ 50α = 100 ⇔ α = 2 m / s2  

B. Yπολογίζουμε  τη  θέση  x1  του  υλικού  σημείου  τη  χρονική  στιγμή  t1  =  9  s:  

x1 = uot1 −

12

at12 ⇔ x1 = 10 ⋅9− 1

22 ⋅81⇔ x1 = 90−81⇔ x1 = 9m  

Γνωρίζοντας  ότι  τη  χρονική  στιγμή  t  =  10  s  το  υλικό  σημείο  βρίσκεται  στη  θέση  x  =  25  m,  το  διάστημα   (ή  μετατόπιση)  στο  τελευταίο  δευτερόλεπτο  της  κίνησης  του  υλικού  σημείου  είναι:  

Δx = x − x1 ⇔Δx = 25− 9 ⇔ Δx = 16m  

 Πειραματικό  Μέρος  Δ1.  Σύμφωνα  με  τα  πειραματικά  δεδομένα  δημιουργούμε  τον  πίνακα  που  ακο-­‐λουθεί,  με  το  μέτρο  της  ταχύτητας  του  αμαξιδίου  σε  συνάρτηση  με  το  χρόνο  και  κατασκευάζουμε  το  διάγραμμα  που  ακολουθεί:  

t  (s)   0   1   2   3   4   5   6   7   8  

u  (m/s   14   14   14   11   8   5   2   2   2  

 

 

 

 

6  

Οι  κινήσεις  του  αμαξιδίου:  

Α→Β :  Παρατηρούμε  ότι  η  ταχύτητα  του  αμαξιδίου  διατηρείται  σταθερή    u  =  14  m/s,  δηλαδή  εκτελεί  ευθύγραμμη  ομαλή  κίνηση,  επομένως  έχει  μηδενική  επι-­‐τάχυνση:  

a1 =

ΔuΔt

⇔ a1 = 0  

Β→ Γ :  Το  μέτρο  της  ταχύτητάς  του  μειώνεται  με  σταθερό  ρυθμό,  εκτελεί  ευθύ-­‐γραμμη  ομαλά  επιβραδυνόμενη  κίνηση.  Η  επιβράδυνση  του  αμαξιδίου  είναι:  

a2 =

ΔuΔt

⇔ a2 =2−146− 2

⇔ a2 = −124⇔ a2 = −3 m / s2  

Γ→ Δ :  Παρατηρούμε  ότι  η  ταχύτητα  του  αμαξιδίου  διατηρείται  σταθερή    u  =  2  m/s,  δηλαδή  εκτελεί  ευθύγραμμη  ομαλή  κίνηση,  επομένως  έχει  μηδενική  επιτά-­‐χυνση:  

a3 =

ΔuΔt

⇔ a3 = 0  

Δ2.  Υπολογίζουμε  τις  αποστάσεις  που  διανύει  το  αμαξίδιο,  αρκεί  να  βρούμε  τα  εμβαδά  που  σχηματίζονται  στο  προηγούμενο  διάγραμμα  ανάμεσα  στο  εκάστοτε  τμήμα  της  γραφικής  παράστασης  και  στον  άξονα  του  χρόνου:  

ΔxAB = Εµβ(ορθογ ) = 2 ⋅14 ⇔ΔxAB = 28m  

ΔxBΓ = Εµβ(τραπεζ ) = 14+ 2

24 ⇔ΔxBΓ = 32m  

ΔxΓΔ = Εµβ(ορθογ ) = 2 ⋅2 ⇔ΔxΓΔ = 4m  

 

Δ3.  Γνωρίζοντας  το  μετρο  της  επιβράδυνσης,  μπορούμε  να  εφαρμόσουμε  το  Θε-­‐μελιώδη  Νόμο  της  Μηχανικής  και  να  βρούμε  το  μετρο  της  δύναμης  της  Τριβής  ολίσθησης  Τ:  

ΣFx = ma2 ⇔ T = ma2 ⇔ T = 9N  

ΣFy = 0 ⇔ N = mg ⇔ N = 30N  

Οπότε    

T = µΝ⇔ µ = T

N⇔ µ = 9

30⇔ µ = 0,3  

Παρατήρηση:  Θα  έπρεπε  να  μη  φέρει  το  αμαξίδιο  τροχούς!