И. Н. ДУБИНА

Рекомендовано Учебно-методическим объединением по образованию в области прикладной информатики

в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся

по специальности 080801 «Прикладная информатика в экономике»

и другим экономическим специальностям

ОснОвы теОрии экОнОмических

игр

УДК 330(075.8)ББК 65.5я73 Д79

Рецензенты:О.П.Мамченко, декан экономического факультета Алтайского государственного университета, заведующая кафедрой информационных систем в экономике, д-р экон. наук, проф.,Н.М. Оскорбин, директор ООО «Научно-инновационное объединение «Гради-ент+», д-р техн. наук, проф.

ДубинаИ.Н.Д79 Основы теории экономических игр : учебное пособие / И. Н. Ду-

бина. — М. : КНОРУС, 2010. — 208 с.

ISBN978-5-406-00338-1

В простой и доступной форме изложены основы теории игр и рассмотрены ее многочисленные приложения в экономике, управлении и бизнесе. Подробно представлена логика теоретико-игрового анализа. Рассмотрены такие классы игр, которые имеют отчетливые и понятные практические приложения. Мате-матический и логический аппарат теории игр анализируется преимущественно с экономико-прикладных позиций и широко иллюстрируется модельными и ре-ально возникающими ситуациями и проблемами. Учебное пособие включает в себя более 150 практических примеров, задач и упражнений.

Для студентов экономических специальностей и направлений, а также для всех, кто интересуется методами принятия стратегических решений.

УДК330(075.8)ББК65.5я73

Дубина Игорь Николаевич

ОСНОВЫТЕОРИИЭКОНОМИЧЕСКИХИГР

Санитарно-эпидемиологическое заключение № 77.99.60.953.Д.003365.04.09 от 01.04.2009 г.

Изд. № 2348. Подписано в печать 24.12.2009. Формат 60×90/16. Гарнитура «NewtonC». Печать офсетная.

Усл. печ. л. 13,0. Уч.изд. л. 10,9. Тираж 2000 экз. Заказ № .

ООО «Издательство КноРус».129110, Москва, ул. Большая Переяславская, 46, стр. 7.

Тел.: (495) 6807254, 6800671, 6801278. Email: office@knorus.ru http://www.knorus.ru

Отпечатано в ОАО «Московская типография № 2». 129085, Москва, пр. Мира, 105.

© Дубина И. Н., 2010

ISBN978-5-406-00338-1 © ООО «Издательство КноРус», 2010

Оглавление

Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

Глава1.Базовыепонятиятеорииигривозможностиееприменениядлярешениясоциально-экономическихзадач . . . 13

1.1. Игровые ситуации. Принципы и особенности применения теории игр . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.2. Базовая терминология . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.3. Прототипные игры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281.4. Классификация игр. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361.5. Проблема оптимальности и подходы к нахождению

оптимального решения игры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431.6. Рациональное и квазирациональное поведение в условиях

риска. Функция полезности и ее интегрирование в теоретико-игровые модели . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

Упражнения и вопросы для дискуссии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

Глава2.Антагонистическиеигры. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

2.1. Критерии оптимальности и принципы решения матричных игр в чистых стратегиях . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

2.2. Смешанное расширение матричных игр . . . . . . . . . . . . . . . . 812.3. Графоаналитическое решение игр вида (2×n) и (m×2) . . . . . . . . . 852.4. Сведение матричной игры

к задаче линейного программирования . . . . . . . . . . . . . . . . . 902.5. Итеративный метод приближенного решения матричных игр . . . 982.6. Антагонистические игры с непрерывными стратегиями . . . . . . 103Упражнения и вопросы для дискуссии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

Глава3.Неантагонистическиебескоалиционныеигры . . . . . . . . . . 122

3.1. Подходы к решению биматричных игр и возможности анализа с учетом коммуникации игроков. . . . . . . . . . . . . . . 122

3.2. Статические игры с непрерывными стратегиями и полной информацией. Теоретико-игровые модели конкуренции . . . . . 133

3.3. Динамические игры с полной информацией. Иерархические игры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

3.4. Повторяющиеся и эволюционные игры. . . . . . . . . . . . . . . . 150Упражнения и вопросы для дискуссии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

Глава4.Кооперативныеигрыиихэкономическаяинтерпретация . . . 170

4.1. Основные понятия теории кооперативных игр . . . . . . . . . . . 1724.2. Принципы оптимальности решения кооперативных игр . . . . . 175

4•Оглавление

4.3. С-ядро и n-ядро . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1784.4. Вектор Шепли . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182Упражнения и вопросы для дискуссии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

Приложения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

Предметныйуказатель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

введение

Теория игр представляет собой комплекс математических мо-делей и логико-математический аппарат для анализа и разработки стратегий и принятия оптимальных решений в условиях конфликта интересов и неопределенности поведения. Изучение и использова-ние инструментария теории игр становится неотъемлемой частью современного экономического образования, поскольку теоретико-игровые подходы стали одним из основных инструментов экономи-ческого анализа. Теория игр, с одной стороны, сыграла ключевую роль в становлении современной экономической теории, а с другой предлагает пути и методы решения сложных стратегических задач в самых различных областях.

Логические пути нахождения оптимальных стратегий в матема-тической формулировке предлагались еще в начале XVII в. (Баше де Мезирак). Проблемы производства и ценообразования в условиях олигополии, которые позднее стали хрестоматийными в теории игр, разбирались в XIX в. в работах А. Курно и Ж. Бертрана. Идея соз-дания математической теории игры как конфликта интересов фор-мируется с начала XX в. в трудах Э. Ласкера, Э. Цермело, Э. Бореля. Отдельные разработки в области теории игр начали публиковаться с 1920-х гг., но систематическое изложение основ теории игр было представлено в 1944 г. в монографии Дж. фон Неймана1 и О. Мор-генштерна «Теория игр и экономическое поведение» [16]. Название и содержание этой монографии указывали на то, что теория игр пре-тендовала на революцию в экономических науках благодаря исполь-зованию нового подхода. Год ее первого издания и стал считаться годом рождения теории игр.

1 Джон фон Нейман (John von Neumann) (1903—1957) — венгро-немецко-американский математик, внесший важный вклад в квантовую физику, функциональный анализ, теорию множеств, информатику, экономику и другие отрасли науки. Наиболее изве-стен разработкой современной архитектуры компьютеров (так называемая архитек-тура фон Неймана), применением теории операторов к квантовой механике, а также как участник Манхэттенского проекта и как создатель теории игр и концепции кле-точных автоматов. Получил степень доктора философии по математике (с элементами экспериментальной физики и химии) в университете Будапешта. С 1926 по 1930 г. ра-ботал приват-доцентом в Берлине. В 1930 году фон Нейман был приглашен на работу в престижный Принстонский университет, где до самой смерти занимал профессор-скую должность.

6•Введение

Дальнейшее развитие теория игр получила в трудах американского математика Дж. Нэша1, в которых он разработал принципы «управ-ленческой динамики». Упомянутый труд Неймана и Моргенштерна получил известность благодаря преимущественно исследованию ан-тагонистических игр, в которых победа одной стороны одновремен-но означает поражение другой, хотя в их книге не меньшее внимание уделено анализу игр с непротивоположными интересами. Анализи-руя как различные управленческие стратегии в экономике и бизнесе, так и стратегии поведенческие, Нэш отметил, что в условиях анта-гонизма эти стратегии всегда приводят к тому, что кто-то всегда вы-игрывает, а кто-то другой всегда проигрывает, т.е. всегда есть победи-тели и проигравшие. Дж. Нэш задался вопросом: как найти равнове-сие, в котором нет победителей и побежденных — никто не выиграл, но никто и не проиграл? Такие стратегии сделали бы революцию в переговорах, решении конфликтов и поиске других компромисс-ных решений.

Нэш разработал методы анализа, в которых все участники или вы-игрывают, или терпят поражение. Примером такой игры могут быть переговоры об увеличении заработной платы между профсоюзом и ру-ководством компании. Эта ситуация может завершиться либо дли-тельной забастовкой, в которой пострадают обе стороны, либо дости-жением взаимовыгодного соглашения. Нэш смоделировал ситуацию, впоследствии получившую название «равновесие по Нэшу», или «не-кооперативное равновесие», при которой обе стороны используют оптимальную стратегию, что и приводит к созданию устойчивого рав-

1 Джон Нэш (John Nash) (р. 1928) — американский математик. В 1948 году, после окон-чания Политехнического института Карнеги с двумя дипломами — бакалавра и маги-стра — поступил в Принстонский университет, где посещал лекции Дж. фон Неймана. В 1949 году написал диссертацию по теории игр. Сорок пять лет спустя он получил за эту работу Нобелевскую премию по экономике с формулировкой: «За фундаментальный анализ равновесия в теории некооперативных игр». В 1951 году Джон Нэш стал работать в Массачусетском технологическом институте (MIT) в Кембридже. Благодаря своим ис-следованиям в области теории игр Нэш стал одним из ведущих специалистов в области ведения «холодной войны». В июле 1958 г. журнал Fortune назвал Нэша восходящей звез-дой Америки в «новой математике». Но в 30 лет Нэш из-за болезни должен был оставить работу. Состояние Нэша улучшилось в 1980 г., и он продолжил работать в Принстоне. Людям, даже далеким от математики, Нэш стал известен благодаря фильму Р. Ховарда A Beautiful Mind (в русском прокате — «Игры разума»), снятого в 2001 г. по мотивам кни-ги A Beautiful Mind: The Life of Mathematical Genius and Nobel Laureate John Nash («Пре-восходный ум: жизнь математического гения и нобелевского лауреата Джона Нэша»), написанной в 1998 г. американской журналисткой и профессором экономики Колум-бийского университета С. Назар. Книга стала бестселлером, а фильм получил четыре «Оскара», «Золотой глобус» и был отмечен другими призами.

Введение•7

новесия. Игрокам выгодно сохранять это равновесие, так как любое изменение ухудшит их положение.

Дж. Нэш показал, что классический подход А. Смита к экономи-ческому развитию (двигатель развития — конкуренция, при которой «каждый сам за себя») — неоптимален. Более эффективны стратегии, когда каждый старается сделать лучше для себя, делая лучше для дру-гих. Так фактически произошел переворот всего, на чем строилась экономическая теория на протяжении 150 лет.

Первоначально теория игр представлялась весьма формализован-ной теорией, интересной лишь математикам. Но уже с 1950-х гг. начи-наются попытки применить методы теории игр не только в экономике, но и в биологии, кибернетике, технике, антропологии. А еще во время Второй мировой войны и сразу после нее теорией игр серьезно заинте-ресовались военные, которые увидели в ней мощный аппарат для ис-следования стратегических решений.

Теория игр прошла различные этапы своего развития с разной сте-пенью интереса к ней. В 1950-е годы применение ее методов казалось чрезвычайно перспективным, но в 1960—1970 гг. интерес к теории игр угас, несмотря на значительные математические результаты, получен-ные в ее рамках. С середины 1980-х гг. начинается активное практи-ческое освоение методов теории игр, и сейчас вряд ли можно найти дисциплины, связанные с экономикой и бизнесом (микро- и макро-экономика, финансы, маркетинг, менеджмент и т.д.), в которых основ-ные концепции теории игр не были бы необходимыми для понимания современной литературы по этим дисциплинам [21].

В ходе своего развития теория игр превратилась в общую логико-математическую теорию конфликтов. На основе теории игр можно осуществить анализ конфликтных явлений и процессов, наметить и спрогнозировать сценарии поведения сторон, участвующих в кон-фликте, предложить рекомендации по его разрешению и предотвра-щению опасных последствий.

За последние 20—30 лет значение теории игр и интерес к ней су-щественно возросли во многих областях экономических и социальных наук, а современная экономическая теория без нее просто невозмож-на [21]. Сейчас ведется большая работа, направленная на расширение сферы применения теории игр. В настоящее время эта теория явля-ется, с одной стороны, достаточно абстрактным математическим на-правлением, с другой стороны — довольно эффективным инструмен-том анализа и исследования экономических, политических, правовых, военных, технических и других проблемных ситуаций; известны при-

8•Введение

ложения теории игр в сферах сельского хозяйства, медицины, эколо-гии, спорта, антропологии, психологии, педагогики, социологии и др.

Теория игр в современной экономике и бизнесе имеет самые раз-нообразные практические приложения. Ее аппарат может использо-ваться для анализа ситуаций, связанных с необходимостью принятия стратегических решений, конкуренцией, кооперацией, риском и нео-пределенностью. На макроуровне теория игр применяется, например, при принятии решений о международной торговле, конкуренции, налогообложении, о протекционистских действиях стран или в соз-дании картелей типа ОПЕК и последующей оценке вклада каждого из его участников при соответствующем распределении прибылей. На микроуровне теория игр может помочь, например, в определении оптимальных затрат на рекламу в условиях конкурентного рынка, ор-ганизации производства или при выработке наилучшего поведения во время торгов (аукционов). На основе теории игр можно принимать решения об объединении компаний для осуществления совместных проектов, построения прогнозных сценариев поведения конкурентов, нахождения механизмов межрегиональных взаимодействий и схем распределения доходов. Теоретико-игровые модели используются при планировании и прогнозировании, разработке стратегий разви-тия компаний, определении ценовой политики, ведении перегово-ров, в частности, при согласовании интересов и взаимоотношений компаний-партнеров, собственников активов, работодателей и работ-ников, а также других агентов экономической деятельности. Известны случаи, когда с помощью теории игр анализировалось даже поведение мафиозных группировок и выстраивались стратегии политической борьбы.

Теория игр обеспечивает:— формальный и четкий язык исследования различных экономи-

ческих явлений, процессов и систем;— возможность проверки решений, вырабатываемых интуитивно

или на уровне здравого смысла, на согласованность и применимость к решаемой проблеме;

— принципы, критерии и методы нахождения оптимальных реше-ний.

Одним из хрестоматийных и самых ярких примеров успешного при-менения теории игр является организация и проведение Федеральной комиссией по связи США в 1994 г. аукциона на право использования частот для операторов мобильной связи. От аукциона предполагалось выручить не менее 3,5 млн дол., однако с помощью привлечения спе-

Введение•9

циалистов в области теории игр реальная выручка составила около 8 млрд [28].

К настоящему времени количество работ (статей, монографий, учебных пособий) по вопросам теории игр исчисляется уже десятками тысяч. Но, несмотря на долгую историю теории игр, научное сообще-ство оценило ее сравнительно недавно. Начало исследований буду-щих лауреатов Нобелевской премии Дж. Нэша, Р. Зелтена, Л. Гурвица, Р. Майерсона и др. пришлось на 50-е гг. прошлого века. При этом пер-вая Нобелевская премия за разработки в теории игр была присужде-на только в 1994 г., и это стало первым признаком широкого научного признания значимости теории игр. После этого на протяжении менее чем 15 лет Нобелевская премия по экономике еще четыре раза присуж-далась за работы, связанные с теорией игр1. В частности, Р. Ауманн2 получил Нобелевскую премию по экономике 2005 г. за то, что в тече-ние долгих лет доказывал, что теория игр — это мощный инструмент моделирования экономических процессов в контексте конфликтов и сотрудничества.

Специальные курсы по теории игр читаются в большинстве рос-сийских и зарубежных высших учебных заведений для студентов эко-номических и других специальностей. Отдельные элементы теории игр изучаются студентами экономических специальностей также в рамках таких курсов, как «Исследование операций», «Экономико-математи-ческие методы и модели» и др. Однако выпускники вузов очень часто имеют весьма поверхностное представление о теории игр. В лучшем случае они могут вспомнить название прототипных игр вроде «Дилем-мы узников» или «Семейного спора», а еще реже формулировку этих игровых моделей. Знакомство с теорией игр у студентов-экономистов

1 Лауреаты Нобелевской премии по экономике, присужденной за исследования в об-ласти теории игр: 1994 г. — Джон Нэш, Райнхард Зелтен, Джон Харсаньи: «За фунда-ментальный анализ равновесия в теории некооперативных игр»; 1996 г. — Уильям Ви-кри, Джеймс Миррлис: «За фундаментальный вклад в экономическую теорию стимулов и асимметричной информации»; 2001 г. — Джордж Акерлоф, Майкл Спенс, Джозеф Стиглиц: «За анализ рынков с асимметричной информацией»; 2005 г. — Роберт Ауманн, Томас Шеллинг: «За углубление понимания сути конфликта и сотрудничества путем анализа теории игр»; 2007 г. — Леонид Гурвиц, Эрик Мэскин, Роджер Майерсон: «За соз-дание основ теории оптимальных механизмов» (работы по механизмам принятия реше-ний в условиях неполной (асимметричной) информации).2 Роберт Ауманн (англ. Yisrael Robert John Aumann) (р. 1930) – израильский математик, профессор Еврейского университета в Иерусалиме. Родился в Германии, вырос в Нью-Йорке, окончил Массачусетский технологический институт, где защитил докторскую диссертацию по математике. С 1956 г. живет и работает в Израиле. Специализируется в «повторяющихся играх», анализируя развитие конфликта во времени. Работал совет-ником Агентства США по контролю за вооружениями и разоружению.

10•Введение

многих российских вузов ограничивается, как правило, рассмотрени-ем класса антагонистических игр, причем достаточно формальным и абстрактным.

Среди большого количества учебников и учебных пособий по тео-рии игр, в том числе адресованных студентам-экономистам, наблю-дается явная поляризация. В значительной части учебников довольно глубоко рассматривается исключительно математический аппарат теории игр, ее концепции и модели, при этом материал иллюстри-руется лишь несколькими абстрактными примерами, что создает впечатление невозможности эффективного использования теории игр для экономического анализа реальных проблем. Эти работы от-личаются высокой степенью формальной абстракции и одновремен-ным упрощением реальных ситуаций, что делает рассматриваемые теоретико-игровые модели малопригодными для практического ис-пользования. Отрыв от практики проявляется в упрощении как вво-димых предположений, так и получаемых выводов, которые не всегда сопровождаются содержательными интерпретациями в контексте по-ставленной задачи или не доводятся до конкретных управленческих предложений по выработке поведенческой стратегии в контексте ана-лизируемой ситуации.

Данное положение является одной из причин существующего скептицизма по отношению к теории игр со стороны менеджеров и экономистов-практиков. Еще одна причина подобного скептициз-ма, ограничивающего практическое применение теории игр, заклю-чается в достаточной сложности этой теории. И основная сложность заключается даже не столько в ее математическом аппарате, сколько в логике.

Другая заметная часть учебной литературы сконцентрирована на очерчивании экономических ситуаций, которые могут описываться игровыми моделями, без должного внимания к методам и инструмен-там нахождения решений, что маскирует возможности инструмента-рия теории игр. В результате специалисты-практики, получив пред-ставление о возможности приложения теории игр, часто не понимают, как использовать ее инструментарий. Получается, что практические результаты, приводимые в учебной литературе по теории игр, либо тривиальны, либо очень сложны [21, с. 246].

При подготовке данного учебного пособия автор пытался выдер-жать баланс между этими крайними подходами, чтобы избежать три-виализации как экономических принципов, так и концепций теории игр. Ориентирами служили работы [3; 7; 8; 21; 28; 32]. Первое издание

Введение•11

книги вышло в свет в начале 2009 г. (Издательство Алтайского госу-дарственного университета). В настоящем издании устранены обнару-женные опечатки, уточнены формулировки основных понятий и по-ложений теории игр, унифицированы обозначения, значительно пере-работан §2.5.

Автор этой книги не склонен преувеличивать возможности тео-рии игр, что порой встречается в литературе по этой теме. Теоретико-игровые модели — это инструмент, которым нужно уметь пользоваться и знать, где и когда его можно применять, а где и когда нельзя. Моде-ли теории игр, как и любые модели, всегда обеспечивают лишь более или менее адекватное приближение к реальным ситуациям и событиям. Но это вовсе не означает, что модели не могут быть работоспособными и эффективными при решении практических проблем и задач. Теория игр сама по себе не является универсальным средством представления реальной жизни в математических формах и средством решения любых задач. Успешное практическое применение теории игр требует как зна-ния ее логико-математического аппарата, так и знания предметной об-ласти, в которой этот аппарат предполагается использовать.

Действительно, теория игр и ее положения могут представлять-ся довольно абстрактными и не всегда применимыми на практике, но самое главное практическое применение теории игр — это, на наш взгляд, развитие особого «стратегического видения» ситуации, даже не всегда формализуемого, но помогающего осуществить более каче-ственный, полный и строгий ее анализ.

Структура книги в целом традиционна для учебных изданий по тео-рии игр. В учебном пособии выделены разделы по антагонистическим играм, бескоалиционным неантагонистическим играм и кооператив-ным играм, но в рамках выделенных разделов рассматриваются и дру-гие, более узкие классы игр. При этом рассмотрены в основном такие классы игр, которые выходят в практическую плоскость и имеют от-четливые и понятные студентам практические приложения.

В книге приводится широкий спектр ситуаций из различных обла-стей экономики, чтобы показать возможности теории игр для их ана-лиза и решения. Данная работа посвящена не только теории  игр, но и возможностям ее применения для решения задач, возникающих в управлении, экономике, бизнесе. Математический и логический аппарат теории игр анализируется преимущественно с экономико-прикладных позиций и широко иллюстрируется модельными и ре-ально возникающими ситуациями и проблемами. Несмотря на то, что в учебном пособии предлагаются в основном довольно простые

12•Введение

задачи, они хорошо демонстрируют возможности теоретико-игрового моделирования и позволяют студентам освоить его основные принци-пы и методы.

В отличие от большинства учебной литературы по теории игр в дан-ной книге очень подробно рассмотрена логика теоретико-игрового анализа. Теоретические материалы снабжены множеством примеров, иллюстрирующих основные понятия и концепции. Сравнительный анализ различных теоретико-игровых подходов и моделей, рассмо-тренных в книге, позволяет лучше освоить технику работы с аппара-том теории игр и оценить возможность более широкой содержатель-ной интерпретации, что особенно важно для студентов экономических специальностей.

Предполагается, что студент, работающий с этим учебным пособи-ем, знаком в рамках базовых вузовских курсов с экономической теори-ей (микро- и макроэкономикой), математическим анализом и основа-ми теории оптимизации.

Работа с этой книгой поможет студентам не только познакомить-ся с основными понятиями и концепциями теории игр, но и вырабо-тать практические навыки построения теоретико-игровых моделей для анализа конкретных экономических ситуаций, умение работать с инструментарием теории игр при принятии стратегических решений, а также развить общие навыки строгих математико-экономических и логически точных рассуждений о конфликте интересов и возмож-ностях соглашений. Автор надеется, что данное учебное пособие бу-дет полезно не только студентам, но и аспирантам, преподавателям, а также специалистам-практикам в различных областях экономики и менеджмента.