决胜 2008 高考

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决胜 2008 高考. ─研究性问题(一). 讲座 临川二中数学组组长 尧林华 制作 帅奇云. 分析:这类题型是前几年高考的热门题型之一,能有效地考查学生相关知识的掌握及能力。 解:命题 P 正确: 命题 Q 正确:. Y. 1. 1. X. O. 2a. 若 P 真 Q 假 则 若 P 假 Q 真 则 故存在实数 a ,使 P 、 Q 中有且只有一个成立。 a 的范围为: 或 。. - PowerPoint PPT Presentation

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讲座 临川二中数学组组长 尧林华

制作 帅奇云

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例 1 :已知命题 P : 函数 在 R 上单调递减 命题 Q : 不等式 的解集为 R ,是否存在实数 a ,使 为假命题,为真命题?若存在,求出的范围,若不存在,说明理由。

xy a2 1x a x

P Q

若 P真 Q假 则

若 P假 Q真 则

故存在实数 a,使 P、 Q中有且只有一个成立。a的范围为: 或 。

0 1

1

2

a

a

10

2a

1 0

1

2

a a

a

或1a

10

2a 1a

分析:这类题型是前几年高考的热门题型之一,能有效地考查学生相关知识的掌握及能力。 解:命题 P 正确: 命题 Q正确:

0 1a 2 1a 1

2a

2 1x a x

X

Y

O

1

1 2a此题考查了学生的数形结合思想和分类讨论思想。

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例 2 :( 2006 年山东省高考题)文史类第 22 题 已知数列 中, ,点 在直线 上,其中 ① 令 ,求证:数列 是等比数列 ② 求数列 的通项 ③ 设 、 分别为 、 的前 n 项和,是否存在实数 ,使得数列 为等差数列?若存在,求出 的范围,若不存在,说明理由。

na 1

1

2a

1( , 2 )n nn a a y x1,2,3n

1 1n n nb a a nb na

nS nT na nb n nS T

n

分析:这道题几乎涵盖了《数列》这一章的所有知识点。通过研究的存在与否,考查了学生的素质与能力,是一道不可多得的好题。( 1)证明: 又

∴ 数列 是以 为首项, 为公比的等比数列

1

1

2a 12 n na a n 2

3

4a

2 1

31

4a a

1 2 1

1

1

1n n n

n n n

b a a

b a a

1

1

1 1 1( 1) 1

2 2 2 21

n n

n n

na n a

a a

1

1

1 1 12 2 2

1

n n

n n

a a

a a

1

2

nb 3

4

1

2

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( 2)解:由( 1)知:

故:

迭加可得:

113 ( )

2n

nb

11

11 1 3 ( )

2n

n n na a b

22 1

11 3 ( )

2a a

33 2

11 3 ( )

2a a

1

11 3 ( )

2n

n na a

1 2 3

1 1 1( 1) 1 3( )

2 2 2n na a n

11 11 ( )

4 21 3

11

2

n

n

5 3

2 2nn

32

2n na n

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1 2n nS a a a

2 3

1 1 13( ) (1 2 3 ) 2

2 2 2nn n

23 33

2 2n

n n

1 2 3n nT b b b b

2 3

3 1 1 1 1( )

2 2 2 2 2n

1

3 3

2 2n

( 3)

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n nS T

n

解法一:假设存在实数实数 ,使得数列 为等差数列

1 1

1 31 32 4

1 1 2 4

S T

2 2

5 95 94 8

2 2 8 16

S T

3 3

21 217 78 16

3 3 8 16

S T

5 9 1 3 7 72( )

8 16 2 4 8 16

2

则:

2 n N n nS T

n

1 12 2

1n n n nS T S T

n n

2 3 1

2 2 2

n n

2 n nS T

n

下面证明当 时,对任意的 ,数列为等差数列

时,数列 为等差数列。

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n nS T

n

1 12 2

1n n n nS T S T

n n

n

解法二:要证 是等差数列,则需证:是与 无关的常数。

1 12 2

1n n n nS T S T

n n

2

1 2

3 ( 1) 3( 1) 3 33 ( )

2 2 2 21

n n

n n

n

2

1

3 3 3 33 ( )

2 2 2 2n n

n n

n

2

3 3( 2)2 2( 2)

1 2

n n

n

1

3 3( 3)2 2( 2)

2

n n

n

2 1

3 3 3 312 2 2 2( 2)

1 2

n n

n n

2 时,数列 n nS T

n

为等差数列。

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解法三:从函数的角度看:数列 n nS T

n

为等差数列的充要条件是

2n nS TAn B

n

( A、 B为常数)

1

3 332 2( 2)

2 2

nn nS T n

n n

2 n nS T

n

1

2

而当 时,数列 是公差为 的等差数列。

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(本期看点)

高中数学的研究性问题,从高考题型看,形式多样,常考常新。但就其思路看,还是有规律可循的。如果我们能对题干进行认真分析,在探究与猜想验证的条件下,通过综合判断与推论运算,那么这一类问题不难得到解决。

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例 1 ( 2005 年辽宁省高考数学题)第 21 题已知椭圆 的左右焦点分别是 , , Q 是椭圆外一动点,满足 ,点 P 是线段 与该椭圆的交点。点 T 在线段 上,并且满足 , .① 设 x 为点 P 的横坐标,证明② 求点 T 的轨迹 C 的方程。③ 试问:在点 T 的轨迹 C 上,是否存在点 M ,使 的面积 若存在,求 的正切值,若不存在,请说明理由。

2 2

2 21( 0)

x ya b

a b 1( ,0)F c

2 ( ,0)F c

1 2FQ a��������������

1FQ

2F Q

2 0PT TF ����������������������������

2 0TF ��������������

1

cF P a x

a

��������������

1 2FMF2S b 1 2FMF

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分析:向量与解析几何组合,是高考的一大热点。证法一:设 ( , )P x y

2 21 ( )FP x c y ��������������

2( )c

a xa

ca xa

c

a xa

X

Y( , )P x y Q

T

O1F 2F

1 1FP r��������������

2 2F P r��������������

1 2 2r r a 2 21 2 4r r cx

1 1FP r��������������

ca xa

证法二:

( , )P x y

1

2

F P c

aax

c

��������������2

1

c aF P x

a c

�������������� ca xa

ca xa

证法三:设点 ,由椭圆的第二定义得

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( , )T x y

0PT ��������������

( ,0)a

T 2QF (2 ,2 )Q x c y

1 2FQ a��������������

2 2 2(2 ) (2 ) 4x y a 2 2 2x y a

( 2)解法一:设当 时,点 在轨迹上

为 的中点,又易知

( , )T x y

0PT ��������������

( ,0)a ( ,0)a

0PT ��������������

1

1

2OT FQ a ����������������������������

2 2 2x y a

解法二: 设当 时,点 与 在轨迹上

时,当

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0 0( , )M x y1 2FMF 2S b

2 2 20 0

20

12

2

x y a

c y b

( 3)解法一:假设存在点 使 的面积

可得

2b

ac

M2S b

2ba

c当 时,存在点 ,使 当 不存在。 ,

0 0( , )M x yY

XOF1 F2

当2b

ac

时,1 0 0( , )MF c x y

��������������2 0 0( , )MF c x y

��������������

2 2 21 2 0 0MF MF x c y

����������������������������2 2a c 2b

1 2tan FMF 2

1 21 2

1 2

tan 21

k kFMF

k k

21 2 cosMF MF b

����������������������������即2

1 2

1sin

2MF MF b ����������������������������又

解法二:

评析:适当利用平面几何知识会简化有关运算,给解题带来方便。

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例 2.( 2006年江西省高考数学题)(理工类) 第 20题

AD BC①求证:B AC D ②求二面角 的大小

A BCD ABD ACD

AD 3AD 1BD CD

ABC

中,侧面 、 是全等的是公共的斜边,且 , ,

是正三角形直角三角形,另一侧面

如图,在三棱锥

AC E

ED BCD 030

E

上是否存在一点 ,与面 成 角?若存在,点 的位置 ,若不存在,

③在线段使

确定说明理由。

A

B

D

C

E

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Z

A

BD

C

Y

H

X

证明:( 1)(补形思想)作 面 BCDAH

于 H,连 BH、 CH 、 DH ,则四边形

BHCD 是正方形,且 AH=1 ,

以 D为原点,建立如图所示坐标系

(1,0,0)B (0,1,0)C (1,1,1)A则 , ,

( 1,1,0)BC ��������������

(1,1,1)DA��������������

0BC DA ����������������������������

BC AD则

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ABC 1 ( , , )n x y z��������������

(2) 解:设平面 的法向量为

1n BC����������������������������

1 0n BC x y ����������������������������则由 知:

1n CA����������������������������

1 0n CA x z ����������������������������

知:

可取 1 (1,1, 1)n ��������������

ACD2 (1,0, 1)n ��������������同理可得平面 的一个法向量

1 21 2

1 2

1 0 1 6cos ,

33 2

n nn n

n n

��������������������������������������������������������

����������������������������

即所求二面角的大小为 6arccos

3

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(2) 设 是线段 AC上一点,则 , ,( , , )E x y z 0x z 1y

BCD (0,0,1)n

( ,1, )DE x x��������������平面 的一个法向量为 , ,

DE��������������

n

要使 ED与面 BCD 成 300 角由图可知 与 的夹角为 600

所以 0

2

1cos , cos60

21 2

DE n xDE n

DE n x

��������������������������������������������������������

����������������������������

22 1 2x x 2

2x

2 1CE x 则

故线段 AC上存在 E点,且 CE=1 时, ED 与面 BCD 成 300 角。 (本期看点)研究性问题既能考查学生的数学素养又

能考查学生的数学能力。这与现行的教育理念非常吻合。随着以培养学生的创新精神和实践能力为重点的新 一轮课改的到来。今后的高考命题将更加关注“研究性问题”。

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