最短路プロジェクト

共同研究 中間報告2007 年 10 月

久保　幹雄

プロジェクト概要

高速化＋拡張モデル・ a priori strategy・ robust

optimization

高速化＋拡張モデル・ a priori strategy・ robust

optimization

メモリ階層の考慮メモリ階層の考慮

メモリ階層を考慮した高速化

• 従来の「前処理＋クエリ」アルゴリズム数 GB の主記憶にネットワークデータ＋補助データが保管されていることを仮定

• 実際には．．．レベル１キャッシュ 1 ナノ秒 10 KBレベル 2 キャッシュ 10 ナノ秒 512KB主記憶 100 ナノ秒 MB-GB フラッシュ，ディスク 10 ミリ秒 数 GB

メモリ階層と最短路クエリ

クエリに必要な

補助データ

クエリに必要な

補助データ

２０００万点の

ネットワーク

２０００万点の

ネットワーク

最短路最短路

補助データ補助データフラッシュディスク

主記憶キャッシュ

2 次元ビットベクトル法領域間のネットワーク（数 K ）

Transit Points への最短路木（数十K ）

拡張モデル

従来の最短路モデルをナビ用に拡張する．

• 時刻依存最短路• 高速費用（＋時刻依存）の考慮• 多目的• 渋滞情報と動的確率的最短路

時刻依存の移動時間をもつ最短路

• 時間帯別の平均速度の情報が利用可能• 現在の商用システムでは，現時点における各

道路の移動時間の推定値をもとに，最短路を計算

• 道路だと追い越し不可（ FIFO ）で待ちは許さない（ no-wait ）　⇒ Dijkstra 法の自明な拡張

時刻依存最短路

現在時刻

現在の時速＝４０ｋｍ到着時＝２０ km

現状のナビゲーションでは現在時刻での最短時間パス-> 到着時の時速を予測し，時刻依存の最短時間パス

お客さんこの先はいつ

も８時から９時

は渋滞ですよ

解法のアイディア• 移動時間のかわりに到着時刻関数を使う

-> 通常のダイクストラ法と（ほぼ）同じ計算量の解法

時刻依存の移動費用

• 深夜割引（ 30%）：午前０時～午前４時の間の走行• 早朝・深夜割引（ 50%）：夜間 22 時～翌 6 時まで

の間に 大都市近郊区間を利用し、かつ総利用距離が100km 以内

• 通勤割引（ 50%）：朝夕の通勤時間帯（朝 6 ～ 9 時または夕方 17 時～ 20 時の間）に入口もしくは出口料金所を通過し、かつ総利用距離が 100km 以内（大都市近郊区間は除く）

重複適用不可．他に社会実験と称した特例あり．

通勤割引の例　http://www.go-etc.jp より引用

割引適用回数を状態空間に保管する

土日祝日 20:00-22: ００にＩＣを通過

50% オフ

検索したルートに対して ETC 割引料金を表示した例（ MapFan HP ）

時刻依存の移動費用をもつ最短路

• 移動時間の場合と異なり，待ちを許す．• 発時刻も変数として扱う可能性あり． => NP-hard

• 現在のシステムでは，求めた最短時間路に対して費用を計算するだけ．

• 高速ネットワークのみ時刻依存の移動費用を付加したアルゴリズムの提案

時刻依存の移動費用をもつ最短路アルゴリズム (1)

料金所高速ネットワーク（完全有向グラフ）

発時刻固定

時刻依存の移動費用をもつ最短路アルゴリズム (2)

時間

6:00

移動費用が変化する切れ目の時刻

待ちを表す枝

到着時刻関数より着時刻計算 =>枝の費用が決まる（ e.g., 9:00 前なら通勤 割引が適用される）

発時刻が変数のとき

移動費用が変化する切れ目の時刻

2 次元ビットベクトル法などで求めた経由点（ Transit Nodes)

着時刻を切れ目の時刻とした逆向きの最短路

多目的の最短路問題• 現実では意思決定者は最短時間のパスより，種々

の目的のバランスを要求• 移動時間，費用（高速，ガソリン），距離，移動

時間のばらつき，安全性，運転のしやすさなど，複数の目的を有する最短路問題

• 大規模問題でも大丈夫な近似アルゴリズムの開発　・目的関数のスカラー化による解法　・メタ解法

• 厳密解法（動的計画）• ユーザの指定したターゲット値を用いた解法

（劣勾配法）

スカラー化による非劣解の部分集合の生成

費用

時間

動的計画

• 点上の情報（状態空間）として，（到着時刻，費用，通勤割引適用回数，右折回数，・・・）を保持

• 非劣解を除去しながら探索• 二次元ビットベクトル法によって疎化

されたグラフと共通する点をもつ高速道路グラフ上で探索

劣勾配法

• 各指標のターゲット値（ユーザーが指定）からの逸脱をペナルティとして，目的関数に組み込む

• 二次元ビットベクトル法による疎化グラフ上で探索

• パスが決まれば高速料金が決まるので，メタ解法で探索しながら，料金を評価

確率的最短路渋滞情報の分類

• なぜ渋滞しているのか？– 自然渋滞（毎度，この地点は渋滞する）– 事故渋滞（どの程度の規模の事故か？何分くら

いで復旧するのか？）– 工事渋滞（どの程度の工事規模か？何時から何

時まで行うのか？）– 天候渋滞（豪雨のためのスピード低下）– その他のイベント渋滞

• =>双方向通信により入手可能

分類ごとの情報の違い

• 自然：予測可能だが，ばらつき大．• 事故：事故の事前予測は困難だが，発生した事故の復旧までの時間は，事故の規模と発生地点から予測可能

• 工事：事前に通知されているが，どの程度の渋滞が発生するかは予測する必要がある．

• 天候：天気予報からある程度は分かるが，渋滞に与える影響は予測する必要がある．

対処法

• 動的確率的時刻依存最短路として定式化• 再ルート計算の可否（ルートの先の方なら変更可能だが，目先のルートの頻繁な更新は避ける） => ローリング・ホライズン方式における freezing

• 事故渋滞 => 寿命モデル（発生時から終了時までの時間の予測）

• 他の渋滞 =>外部情報から道路速度の予測の精度の向上

拡張モデルに対する前処理

• 時刻依存：発時刻をサンプリング• 多目的：目的間の重みをスカラー化法

で決定• 確率的：確率分布の推定が困難 &生起可能なシナリオの数が膨大

＝＞ロバスト最適化

ロバスト最短路による前処理 (1)

• G=(V,E), 枝 (i,j) に対して移動時間の幅 [Lij,Uij]

• 実現したシナリオ R に対して移動時間 Tij(R) ∈ [Lij,Uij] が定まる．

• シナリオの数が膨大！ =>現在の最短路 P に対する最も悪いシナリオを順次生成

P に含まれる枝が最大値，その他の枝が最小値P に含まれる枝が最大値，その他の枝が最小値

ロバスト最短路による前処理 (2)

• Bertsimas のロバスト最短路モデル（高々 Γ本の枝の長さが増加する）

• 双対定理を用いて，増加量 Uij-Lij が θ 以上の枝だけ移動時間を Uij として最短路を解く問題に帰着．

• ロバストな a priori network:様々な Γ に対して使われる最短路の和集合 =>様々な θ に対する最短路の和集合

再最適化の利用

• 初期最短路： θ=0 （すべての枝を上限値としたネットワーク上で最短路を解く）

• 次の閾値まで θ を増やす =>幾つかの枝の距離が減少する =>再最適化の手法により計算量削減

再最適化

• １つの点 s に接続する枝の距離が減少：– s に入る枝の最小の被約費用を点のポテン

シャル p(s) とする．– s からでる枝 (s,j) のポテンシャルを p(s)+被約費用 (s,j) とする．

– 他の点のポテンシャルを 0 とする．– 負のポテンシャルの点がなくなるまで，被約費用を枝長とした Dijkstra 法を行う．

ロバスト a priori network の例（最悪シナリオ生成法 1 ）

sstt

[1,5]

[2,3]

[2,4]

[10,16]

[20,23]

[1,4]

[3,3]

[3,5]

[Lij,Uij]

下限値を用いた最短時間路を求める

ロバスト a priori network の例 （最悪シナリオ生成法 2 ）

sstt

5

[2,3]

[2,4]

16

[20,23]

4

[3,3]

[3,5]

最短時間路

最短路上の枝だけを上限値に固定，それ以外を下限値にして最短路を求解

ロバスト a priori network の例 （最悪シナリオ生成法 3 ）

sstt

5

3

4

16

[20,23]

4

[3,3]

[3,5]

最短時間路

最短路上の枝だけを上限値に固定，それ以外を下限値にして最短路を求解

解が変わらないので終了

ロバスト a priori network の例（ Bertsimas モデルによる方法

1 ）

sstt

[1,5]

[2,3]

[2,4]

[10,16]

[20,23]

[1,4]

[3,3]

[3,5]

[Lij,Uij]

下限値を用いた最短時間路を求める．

ロバスト a priori network の例（ Bertsimas モデルによる方法

2 ）

sstt

[1,5]

[2,3]

[2,4]

16

[20,23]

[1,4]

[3,3]

[3,5]

幅の大きいものから上限値に変えて，最短路を求める．（変化なし）

ロバスト a priori network の例（ Bertsimas モデルによる方法

3 ）

sstt

5

[2,3]

[2,4]

16

[20,23]

[1,4]

[3,3]

[3,5]

幅の大きいものから上限値に変えて，最短路を求める．（以下同様；ネットワーク変化なし）