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Capítulo cuatroDescripción de los datos: medidas de dispersión

OBJETIVOSAl terminar este capítulo podrá:

UNOCalcular e interpretar la amplitud de variación, la desviación media, la variancia, y la desviación estándar de los datos originales.

DOS Calcular e interpretar la amplitud de variación, la variancia y la desviación estándar de datos agrupados.

TRESExplicar las características, usos, ventajas y desventajas de cada medida de dispersión.

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Capítulo cuatro continuación

Descripción de datos: medidas de dispersión

OBJETIVOSAl terminar este capítulo podrá:

CUATROEntender el problema de Chebyshev y la regla normal o empírica, y su relación con un conjuto de observaciones.

CINCO Calcular y explicar los cuartiles y la amplitud de variación intercuartílica.

SEIS

Elaborar e interpretar los diagramas de caja.

SIETE

Calcular y entender el coeficiente de variación y el coeficiente de asimetría.

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Desviación media

• Desviación media: media aritmética de los valores absolutos de las desviaciones respecto a la media aritmética.

MDX X

n

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EJEMPLO 1

• Los pesos de una muestra de cajas con libros en una librería son (en lb) 103, 97, 101, 106 y 103.

• X = 510/5 = 102 lb• = 1 + 5 + 1 + 4 + 1 = 12• MD = 12/5 = 2.4• Por lo común los pesos de las cajas

están a 2.4 lb del peso medio de 102 lb.

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Variancia de la población

• La varianza de la población para datos no agrupados es la media aritmética de las desviaciones cuadráticas respecto a la media de la población.

2

2

( )X

N

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EJEMPLO 2

• Las edades de la familia Dunn son 2, 18, 34, y 42 años. ¿Cuál es la variancia de la población?

X N/ /96 4 24

2 2 944 4 236 ( ) / /X N

4-6


Variancia poblacional continuación

• Una fórmula alternativa para la variancia poblacional es:

22

2 X

N

X

N( )

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Desviación estándar poblacional

• La desviación estándar poblacional () es la raíz cuadrada de la variancia de la población.

• Para el EJEMPLO 2, la desviación estándar poblacional es 15.19 (raíz cuadrada de 230.81).

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Variancia muestral

4-9

• La variancia muestral estima la variancia de la población.

1

)Σ(Σ

= = operativa Fórmula

1)(Σ

== conceptual Fórmula

22

2

22

nnX

XS

nXX

S


EJEMPLO 3

• Una muestra de cinco salarios por hora para varios trabajos en el área es: $7, $5, $11, $8, $6. Encuentre la variancia.

• X = 37/5 = 7.40• = 21.2/(5-1) = 5.3s2

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Desviación estándar muestral

• La desviación estándar muestral es la raíz cuadrada de la variancia muestral.

• En el EJEMPLO 3, la desviación estándar de la muestra es = 2.30

4-11


Medidas de dispersión:datos no agrupados

• Para datos no agrupados, la amplitud es la diferencia entre los valores mayor y menor en un conjunto de datos.

• AMPLITUD = valor mayor - valor menor• EJEMPLO 4: una muestra de cinco

graduados de contaduría indicó los siguientes salarios iniciales: $22 000, $28 000, $31 000, $23 000, $24 000. La amplitud es $31 000 - $22 000 = $9 000.

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Variancia muestral para datos agrupados

• La fórmula de la variancia para datos agrupados usada como estimador de la vaiancia poblacional es:

• donde f es la frecuencia de clase y X es el punto medio de la clase.

SfX

fX

nn

2

22

1

( )

4-13


Interpretación y usos de la desviación estándar

• Teorema de Chebyshev: para cualquier conjunto de observaciones, la proporción mínima de valores que está dentro de k desviaciones estándar desde la media es al menos 1 - 1/k , donde k2 es una constante mayor que 1.

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Interpretación y usos de la deviación estándar

• Regla empírica: para una distribución de frecuencias simétrica de campana, cerca de 68% de las observaciones estará dentro de ±1 de la media (); cerca de 95% de las observaciones estará dentro de ±2 de la media (); alrededor de 99.7% estará dentro de ±3 de la media ().

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Curva en forma de campana que muestra la relación entre y


Dispersión relativa

• El coeficiente de variación es la razón de la desviación estándar a la media aritmética, expresada como porcentaje:

CVs

X (100%)

4-17


Asimetría

• Asimetría (sesgo) es la medida de la falta de simetría en una distribución.

• El coeficiente de asimetría se calcula mediante la siguiente fórmula:

3(media - mediana) desviación estándar

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Sk =


Amplitud intercuartílica

• La amplitud intercuartílica es la distancia entre el tercer cuartil Q3 y el primer cuartil Q1.

• Amplitud intercuartílica = tercer cuartil - primer

cuartil= Q3 - Q1

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Primer cuartil

• El primer cuartil es el valor correspondiente al punto debajo del cual se encuentra el 25% de las observaciones en un conjunto ordenado de datos.

• donde L = límite de las clasese que contienen Q1, CF = frecuencia acumulda que precede a la clase que contiene a Q1, f = frecuencia de la clase que contiene Q1, i= tamaño de la clase que contiene Q1.

Q L

nCF

fi1

4

( )

4-20


Tercer cuartil

• El tercer cuartil es el valor correspondiente al punto debajo del cual se encuentra 75% de las observaciones en un conjunto ordenado de datos:

donde L = límite inferior de la clase que contiene a Q3, CF = frecuencia acumulada precedente a la clase que contiene a Q3, f = frequencia de la clase que contiene a Q3, i = tamaño de la clase que contiene a Q3.

)(43

+=3 if

CFn

LQ

4-21


Desviación cuartílica

• La desviación cuartílica es la mitad de la distancia entre el tercer cuartil, Q3, y el primero, Q1.

• QD = [Q3 - Q1]/2

4-22


EJEMPLO 5

• Si el tercer cuartil = 24 y el primer cuartil = 10, ¿cuál es la desviación cuartílica? La amplitud intercuartílica es 24 - 10 = 14; por lo tanto, la desviación cuartílica es 14/2 = 7.

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Amplitud cuartílica

• Cada conjunto de datos tiene 99 porcentiles, que dividen el conjunto en 100 partes iguales.

• La amplitud cuartílica es la distancia entre dos porcentiles establecidos. La amplitud cuartílica 10 a 90 es la distancia entre el 10º y 90º porcentiles.

4-24


Fórmula para porcentiles

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100)1+(=P

nLp


Diagramas de caja

• Un diagrama de caja es una ilustración gráfica, basada en cuartiles, que ayuda a visualizar un conjunto de datos.

• Se requieren cinco tipos de datos para construir un diagrama de caja: el valor mínimo, el primer cuartil, la mediana, el tercer cuartil, y el valor máximo.

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EJEMPLO 6

• Con base en una muestra de 20 entregas, Marco’s Pizza determinó la siguiente información: valor mínimo = 13 minutos, Q1 = 15 minutos, mediana = 18 minutos, Q3 = 22 minutos, valor máximo = 30 minutos. Desarrolle un diagrama de caja para los tiempos de entrega.

4-27


EJEMPLO 6 continuación

mediana

mín Q1 Q3 máx

• 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32

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