第 2 章 MATLAB 数据 §2.1 矩阵的创建 §2.2 算术运算 §2.3 关系运算和逻辑运算 §2.4 MATLAB矩阵、数组函数 §2.5 MATLAB矩阵分解 §2.6 矩阵的特殊操作

补充：向量、矩阵、数组的定义： 1 ）把用下标表示次序的标量数的集合称为矩阵或数组，而向量是一类特殊的矩阵； 2 ）矩阵和数组可以互换调用，准确说，矩阵是指以实数或复数为元素的长方形数组。从孤立的数的集合角度看，不管是矩阵还是数组，它们所指的并没有什么不同；但从运算角度看，矩阵运算和数组运算是不同的，在 matlab 中，矩阵运算是从矩阵的整体出发，依照线性运算规则进行，数组运算是从数组的元素出发，针对每个元素进行计算。

2.1 矩阵的创建一、矩阵创建的原则：1 、矩阵的元素必须在“ [ ]” 中；2 、矩阵的同行元素之间用空格或“，”隔开；3 、矩阵的行与行之间用“；”或回车符隔开；4 、矩阵的尺寸不必预先定义；5 、矩阵元素可以是数值、变量、表达式或函数。

例 2.1 创建矩阵

>>x=[1 2 3;4 5 6;7 8 9]>>x=[1 2 3

4 5 6 7 8 9]

>>x=[a b c;e f g;u v w]

>>x=[1 2 3;4 5 6]; y=[2 3 4;5 6 7]>>Q=x*y

>>a=2;b=3>>x=a*b

2.1 矩阵的创建二、变量 与赋值

1 、变量的命名在 MATLAB 中，变量名是以字母开头，后接

字母、数字或下划线的字符序列，最多 63 个字符。在 MATLAB 中，变量名区分字母的大

小写。 MATLAB 提供的标准函数名以及命令名必须用小写字母。

例： myexamp 、 MYexamp 、 MYEXAMP

注意注意

2 、 赋值语句 MATLAB 赋值语句有两种格式：

2.1 矩阵的创建

变量 = 表达式（或数）

表达式

【例 2.2 】 x ＝ [1,2,3;4,5,6;7,8,9]

与 [1,2,3;4,5,6;7,8,9] 。

【例 2.3 】计算 的

值，并将结果赋给变量 x ，后显示出结果。

i27147cos5 0

注意注意 pi 、 i 是 matlab 定义的变量，分别表示圆周率和虚数单位！

2 、预定义变量预定义变量 含义 预定义变量 含义ans 计算结果的缺省 margin 函数输入参数个数eps 机器零阈值 nergout 函数输出参数个数pi 圆周率的近似值 realmax 最大正实数i 、 j 虚数单位 realmin 最小正实数inf 、 Inf 无穷大 lasterr 存放最新错误信息NaN 、 nan 非数 lastwarn 存放最新警告信息

2.1 矩阵的创建

三、矩阵的建立

1、直接输入法

2、通过M文件创建矩阵

3、通过函数创建矩阵

4、通过数据文件创建矩阵

2.1 矩阵的创建

三、矩阵的建立1 、直接输入法 从键盘上直接输入矩阵的元素。只要遵

循矩阵创建原则直接输入即可，如果不希望显示结果，在命令行的最后加分号“；”

适用于所有的操作，包括程序设计

注意注意

三、矩阵的建立 2 、通过 M 文件创建矩阵

对于比较大且复杂的矩阵，有专门的 M文件编辑器

方法方法 ① 直接启动② 在命令窗口输入命令 edit 。

三、矩阵的建立 3 、通过函数创建矩阵

利用 matlab 的内部函数或用户自定义函数创建矩阵

例 2.4 创建 0 到 2pi 间的正弦函数矩阵>>x=0:pi/4:2*pi; % 创建了 0 到 2pi 间隔

为 pi/4 的自变量>>y=sin(x) % 得到正弦函数值输出结果（略）

三、矩阵的建立 4 、通过数据文件创建矩阵

matlab 可以处理的数据包括：文本文件、 .mat 数据文件、 .xls 文件、图像文件、声音文件。

这些文件都是以矩阵的形式存储在工作空间中的

注意注意

§2.2 矩阵和数组的算术运算 一、矩阵和数组的加减运算

二、矩阵的乘法三、数组的乘法四、矩阵除法

五、数组的除法六、点运算七、幂运算八、矩阵的转置

注意注意 这些运算是在矩阵意义下进行的，单个数据的算术运算只是一种特殊！

2.2 矩阵和数组的算术运算 一、矩阵和数组的加减运

A±BA±B

注意注意 A 、 B 的阶数不同，会给出错误信息，提示用户阶数不匹配！

例 2.5 >>a=[1 2 3;4 5 6; 7 8 9];b=[1 1 1];

>>c=a-b

例 2.6 >>c=a+b

2.2 矩阵和数组的算术运算 二、矩阵的乘法

),...,1;,...,1(1

pjmibaC kj

n

kikij

注意注意 A 为 m×n ， B 为 n×p ，则C 为 m×p （必须有相邻的公共阶）

例 2.7 >>A=[1 2 3;4 5 6;7 8 9];B=[1 2;3 0;7 4]; >>C=A*B

例 2.8 a=rand(3)b=rand(3)c=a/bd=b\a

§2.2 矩阵和数组的算术运算 三、数组的乘法

BAC

注意

注意

A 、 B 数组必须有相同的阶数，则A.*B 表示 A 和 B 中对应元素之间相乘★与矩阵的乘法相同？

例 2.9 >>a=[1 2 3];b=[4 5 6];

>>c=a.*b

§2.2 矩阵和数组的算术运算 四、矩阵除法

abD

bainvCbaC

/

*)(\

一般选择右除

例 2.10 >>a=[1 2 3;4 5 6;7 8 9];

>>b=[4 3 2;7 5 1;12 7 92];

>>c1=a\b;c2=b/a;c3=a/b

2.2 矩阵和数组的算术运算 五、数组的除法

C=a.\b 与 C=a./b说明： a 与 b 的阶数必须相同。 a.\b表示 b 中的元素分别除以 a 中相应的元素。

例 2.11 >>a=[1 2 3];b=[4 5 6];

>>c=a.\b

>>d=b.\a

§2.2 矩阵和数组的算术运算 六、点运算

C ＝ A.*B C=A./B

C=A.\B C=A.^B

§2.2 矩阵和数组的算术运算 七、幂运算

C=A^B C=A.^BC=A^B C=A.^B

例 2.12 >>a=[1 2 3];b=[4 5 6]; >>c=a^b

例 2.13 >>a=[1 2 3];b=[4 5 6]; >>c=a.^b

例 2.14 >>a=[1 2 3];b=2; >>c=a^2

例 2.15 >>a=[1 2 3];b=2; >c=a.^2

总结：对矩阵的幂运算， a 、 b 不能同时为矩阵，必须有一个标量；而数组的幂运算是对其元素进行幂运算的。

2.2 矩阵和数组的算术运算 八、矩阵的转置

C=A’ C=A.’C=A’ C=A.’

例 2.16 >>a=[1 2 3

4 5 6

7 8 9]

>>c=a’

例 2.17 ①>>a=[1+2i 3+4i]>>c1=a’ %……

②>>c2=a.’ %…… ③>>c3=conj(a’) ％

§2.3 矩阵和数组的关系运算和逻辑运算

一、运算关系二、逻辑运算三、逻辑函数和关系函数

一、运算关系

运算符 功能 运算符 功能

< 小于 >= 大于等于

<= 小于等于 == 等于

> 大于 ～＝ 不等于

§2.3 矩阵和数组的关系运算和逻辑运算

例 2.18 >>a=[0 -1 2];b=[-3 1 2];

①>>a<b

②>>a<=b

③>>a=2;b=[1 2 3];

>>a~=b

总结：关系运算法则：①当两个比较量是标量时，直接比较两数的大小，若关系成立，关系表达式结果为 1 ，反之为 0 ；

总结：关系运算法则：②当参与比较的量是两个维数相同的矩阵时，比较的元素按标量关系元素规则逐个进行，并给出元素的比较结果。最终关系元素的结果是一个维数与原矩阵相同的矩阵，它的元素由 1 或 0 组成。

总结：关系运算法则：③当参与比较的是一个为标量，另一个为矩阵时，则把标量与矩阵的每一个元素按标量关系元素规则逐个比较，并给出比较的结果。最终的关系运算的结果是一个维数与原矩阵相同的矩阵，由 1 或 0 组成。

二、逻辑运算 逻辑运算符： &( 与 ) 、 |( 或 ) 、 ~( 非 )

§2.3 矩阵和数组的关系运算和逻辑运算

与其他计算机语言基本一致

逻辑运算法则：① 在逻辑运算中，确认非零元素为真，用 1表示；零元素为假，用 0 表示② 设参与逻辑运算的是两个标量 a 、 b ，那么a&b a 、 b全非零时，结果为 1 ，否则为 0 ；a|b a 、 b 中只要有一个非零，结果为 1 ，反之为 0～ a 当 a 为零时，结果为 1 ，反之为 0 。

逻辑运算法则：③若参与逻辑运算的是两个同维矩阵，那么运算运算将对矩阵相同位置上的元素按标量规则逐个进行。最终运算结果是一个与原矩阵同维的矩阵，其元素由 1 或 0 组成。④若参与逻辑运算的一个是标量一个是矩阵，那么运算运算将在标量与矩阵每个元素之间按标量规则逐个进行。最终运算结果是一个与原矩阵同维的矩阵，其元素由 1 或 0 组成。

逻辑运算法则：

⑤逻辑运算服从矩阵运算规则；

⑥在算术、关系、逻辑运算中，算术运算优先级最高，逻辑运算优先级最低。

三、逻辑函数和关系函数

§2.3 矩阵和数组的关系运算和逻辑运算

all(x) find(x)

检查 x 是否全为 1

找出非零元素的位置标识

例 2.20 建立矩阵 A ，然后找出大于 4 的元素位置

（ 1 ）建立 A

>>A=[4 -6 5 -54 0 6

56 0 67 -45 0]

（ 2 ）找出大于 4 的元素位置>>find(A>4)

§2.4 矩阵函数与数组函数一、矩阵函数二、通用函数

一、矩阵函数matlab 提供了大量的矩阵函数，如特征值、奇异值的计算、条件数、范数、矩阵的秩和矩阵的空间运算等inv （逆）、 pinv （伪逆）等

§2.4 矩阵函数与数组函数

参见教材 P36 表 3

参见教材 P36 表 3

例 2.21 矩阵 a 为 ，计算 a 的特

征值、特征矢量。

987

654

321

输入矩阵，计算 [c,d]=eig(a)[c,d]=eig(a)

>>a=[1 2 3;4 5 6;7 8 9];>>[c,d]=eig(a)

例 2.22 矩阵 a 为 ，计算 a 的

逆矩阵、伪逆矩阵。

987

654

321

输入矩阵，计算 c=inv(a);d=pinv(a)c=inv(a);d=pinv(a)

>>a=[1 2 3;4 5 6;7 8 9];>>c=inv(a) % 这是严重的变态矩阵>>d=pinv(a)

二、通用函数§2.4 矩阵函数与数组函数

通用函

数

数学函数： sin 、 cos 、 log等

特殊函数： erf 、 cross 、 cart2sph

教材 P38 表 4 表 5教材 P38 表 4 表 5

§2.5 矩阵分解一、特征值分解

特征值与特征向

量 V=eig(a)

[v,d]=eig(a)

[v,d]=eig(a,nobalance)

[v,d]=eig(a,b)

直接求 a 的全部特征值

特征值 v 和特征向量 d

关闭平衡关闭平衡

广义特征值分解

二、奇异值分解

§2.5 矩阵分解

[u,sv]=svd(a) or [us,v]=svd(a)[u,sv]=svd(a) or [us,v]=svd(a)

例 2.23 对 a=[1 1] 进行奇异值分解>>a=[1 1];>>[u,s,v]=svd(a)

三、 LU 分解

§2.5 矩阵分解

[l,u]=lu(a)

例 2.24 P40 “ 例 2-22”a=[1 2 3;4 5 6;7 8 9];[l,u]=lu(a)

§2.6 矩阵的特殊操作

一、特殊矩阵及其创建二、矩阵的特殊操作三、矩阵的特殊操作

一、特殊矩阵及其创建

§2.6 矩阵的特殊操作

1 、空阵 格式： [ ]① 在 matlab 的工作空间中存在被赋值的空阵；② 空阵不包括任何元素，是 0×0阶矩阵；③可以在 matlab 的运算中传递。

§2.6 矩阵的特殊操作一、特殊矩阵及其创建

2

、全0

矩

阵

zeros(m,n,p,…)

zeros(m,n)

zeros(n,n)

§2.6 矩阵的特殊操作一、特殊矩阵及其创建

3 、单位矩阵

eye(m,n)eye(m,n)

§2.6 矩阵的特殊操作一、特殊矩阵及其创建

4 、全 1 阵

ones(m,n,p…)ones(m,n,p…)

§2.6 矩阵的特殊操作一、特殊矩阵及其创建

5 、随机阵

rand(m,n,p…)rand(m,n,p…)

§2.6 矩阵的特殊操作二、矩阵的特殊操作1 、冒号表达式

① e1:e2:e3 ② linspace(a,b,n)

① e1:e2:e3 ② linspace(a,b,n)

例 2.25 >>t=0:1:5

§2.6 矩阵的特殊操作二、矩阵的特殊操作2 、矩阵元素

A(m,n)=CA(m,n)=C

矩阵矩阵 行 列 数值数值

例 2.26 >>A=[1 2 3 4 5 6];

>>A=(4,5)=100

例 2.27A(3,2)=200

A = 1 2 3 4 5 6

7 200 9

2. 矩阵拆分 (1)利用冒号表达式获得子矩阵 ①A(:,j) 表示取 A 矩阵的第 j 列全部元素； A(i,:) 表

示 A 矩阵第 i 行的全部元素； A(i,j) 表示取 A 矩阵第i 行、第 j 列的元素。

②A(i:i+m,:) 表示取 A 矩阵第 i～ i+m 行的全部元素；A(:,k:k+m) 表示取 A 矩阵第 k～ k+m 列的全部元素，A(i:i+m,k:k+m) 表示取 A 矩阵第 i ～ i+m 行内，并在第 k～ k+m 列中的所有元素。

此外，还可利用一般向量和 end 运算符等来表示矩阵下标，从而获得子矩阵。 end 表示某一维的末尾元素下标。

例 2.28 >>A=[1 2 3 4 5;6 7 8 9 10; 11 12 13 14 15;16 17 18 19 20];

>>A(2:3,4:5)

例 2.29 >>A= =[1 2 3 4 5;6 7 8 9 10; 11 12 13 14 15;16 17 18 19 20];

>>A(end,:); >>A([1,4],3:end)

(2) 利用空矩阵删除矩阵的元素

x=[]x=[]

例 2.30 A=[1 2 3 4 5 67 8 9 10 11 1213 14 15 16 17 18];>>A(:,[2,4])=[]

三、矩阵的特殊操作

§2.6 矩阵的特殊操作

1 、重新排列

c=reshape(a,m,n,p,…)c=reshape(a,m,n,p,…)

§2.6 矩阵的特殊操作三、矩阵的特殊操作

2 、矩阵的翻转与旋转

命令 功能 命令 功能

fliplr 左右翻转 flipdim N维翻转

flipud 上下翻转 rotgo 逆时针旋转90 度