ЛЕКЦИЯ 2

Проецирование. Вывод классов

симметрии.

Тренируемся - Достройка класса.

Проецирование кристаллов и элементов

симметрии

Для получения полной характеристики огранки кристалла

необходимо не только найти и зафиксировать в пространстве

элементы его симметрии, но и, используя основной закон

постоянства углов между соответствующими гранями,

зафиксировать положения граней относительно элементов

симметрии.

Для этого следует последовательно прибегнуть к трем способам

проецирования кристаллов:

1) Мысленно построить сферическую проекцию (сфера условно

бесконечного радиуса)

2) Построить стереографическую проекцию (плоский образ

сферической проекции) элементов симметрии кристалла

3) Нанести гномостереографические проекции граней.

Проецирование кристаллов и элементов

симметрии

иллюстрация взаимосвязи

положения точек А и D на сфере

проекций и их

стереографических образов a и d

на экваториальной плоскости

модель для изучения

основ стереографического

проецирования

Стереографические проекции элементов симметрии

Датский естествоиспытатель Николай Стенон

(Нильс Стенсен, 1638-1686 гг.), исследуя

кристаллы кварца открыл основной закон

геометрической кристаллографии –

- закон постоянства углов:

Хотя кристаллы одного и того же вещества

(минерала) могут иметь разную форму, углы

между их соответственными гранями

остаются неизменными

Схема, иллюстрирующая

закон постоянства углов

Однако, хотя краткие тезисы

Стенона «О твердом, естественно

содержащемся в твердом»

публиковались при его жизни

трижды, они лежали в архивах

более ста лет, не оказав

практически никакого влияния на

развитие науки.

Закон постоянства углов

подтвердил М. В. Ломоносов

(1711-1765 гг.), который в 1749

г. в своей диссертационной

работе

“О рождении и природе

селитры” объяснил этот закон

плотнейшей укладкой

шарообразных частиц –

корпускул ).

Расположение шарообразных частиц

(корпускул) в кристалле селитры

В 1783 г. Ж. Б. Л. Роме-де-Лиль

(1736-1790 гг.) вновь сформулировал

закон постоянства углов:

“Грани кристалла могут изменяться по

своей форме и относительным

размерам, но их взаимные наклоны

постоянны и неизменны для каждого

рода кристаллов”

Кристаллы кварца, иллюстрирующие закон постоянства углов

Роме-де-Лиль в двух книгах, опубликованных в

1772 и 1783 гг. положил начало химической

кристаллографии как самостоятельной науке

Гномостереографическая проекция граней

L4

вертикальна

Объект Сферическая

проекция

Стереографическая

проекция

Гномостерео-

графическая

проекция

Ось

симметрии

2 точки – места выхода

оси на сфере

2 точки дуга большого круга

Плоскость

симметрии

Окружность по

поверхности сферы

Дуга большого круга Точка – нормаль к

плоскости

Грань

кристалла

Окружность по

поверхности сферы

Дуга большого круга Точка –нормаль к

плоскости

Проецирование кристаллов

Каждая точка на сфере проекций имеет две координаты (как в географии)

– широта (обозначается греческой буквой ρ) и

– долгота (обозначается греческой буквой φ).

В кристаллографии способ отсчета этих координат отличен от географии:

• - координата ρ (широта) отсчитывается по меридиану, проведенному через

исследуемую точку «А» в направлении от северного полюса N к южному полюсу

(S). ρ на северном полюсе =0º, на экваторе ρ = 90º, а на южном полюсе S ρ = 180º

•- координата φ (долгота) отсчитывается от меридиана, совпадающего с

положительным выходом оси y (а не от Гринвича, как в географии). Этот меридиан

выбирается в качестве 0-ого (φ = 0º, он же имеет φ = 360º). Таким образом, каждая

точка на сфере имеет φ от 0 до 360º. .

Сферические координаты

Сетка Вульфа

Север

у

нас

тут!

Еще раз про место

севера

Гномостереографическая проекция граней

Простая форма – это совокупность (семейство) граней, связанных

между собой симметрическими операциями.

Отметим, что грани, принадлежащие одной простой форме, равны

по своим физическим свойствам. Для идеальных кристаллов они

равны также и геометрически - т.е. обладают одинаковой

формой и площадью поверхности.

L4

смотрит

на север

Таутозональные грани - грани,

пересекающимся по параллельным ребрам

Проецирование таутозональных

граней, связанных между собой

осью 6-го порядка (L6) и

расположенных на

горизонтальной (а),

вертикальной (б)

наклонной (в) зонах.

При этом в каждом случае осью

зоны является ось L6

Иллюстрация закона зон (поясов) на кристалле ромбической серы

(а), в котором можно выделить несколько семейств таутозональных

граней (т. е. граней, пересекающихся по параллельным ребрам, а

следовательно, принадлежащих одной зоне): зона I проходит через

грани 3 – 2 – 1 – 1'– 2'' – 3', зона II – содержит грани 3 – 4 – 4' – 3',

зона III – грани 1'' – 4 – 1. На стереограмме кристалла (б) зоны

выделены жирными линиями

Современный вид сферической тригонометрии

придал Эйлер - математик, физик, астроном.

Швейцарец по происхождению он с 1727 г.

работал в России, а с 1741 г. – в Берлине ( а с

1766 г. – опять в России). Автор более 800

работ, оказавших значительное влияние на

развитие науки.

Леонард Эйлер (1707-1783 гг.)

Теорема Эйлера

Взаимодействие двух осей симметрии n-го порядка,

поворотных или инверсионных, приводит к

возникновению проходящей через точку их

пересечения третьей оси симметрии. При этом

результирующая ось окажется поворотной, если

исходными будут две одинаковые оси (обе

поворотные или обе инверсионные), и

инверсионной, если исходные оси будут разного

типа.

Произведение двух поворотов вокруг двух

пересекающихся осей симметрии эквивалентно

повороту вокруг третьей оси, проходящих через

точку пересечения первых двух, т.е. два вращения

порождают третье и эквивалентно им.

Сферическая тригонометрия

Сферическая тригонометрия – раздел сферической геометрии, в котором изучаются

свойства сферических треугольников и методы их решения.

В сферической тригонометрии рассматриваются только такие фигуры, которые

образованы дугами больших кругов, т.е. кругов, образованных пересечением сферы и

плоскостей, проходящих через ее центр

Часть сферы АВС, заключенная между тремя пересекающимися дугами больших

кругов называется сферическим треугольником

Противолежащие вершинам сферического

треугольника дуги называются сторонами

сферического треугольника

Точки пересечения дуг, образующих сферический

треугольник (А, В, С), называются вершинами

сферического треугольника.

Геометрия на плоскости и на поверхности

сферы разительно отличаются друг от друга

Например.

На плоскости сумма внутренних углов

треугольника всегда равна 180 градусам

А на сфере – не совсем…..

Особенность сферических треугольников состоит в

том, что сумма всех углов больше 180о. При этом,

каждый угол сферического треугольника 180, то

сумма всех его углов будет

180о < A+B+C 540o

К взаимосвязи углов

поворота осей и

перемещения точки по

поверхности сферы. А, B

и C – путь, пройденный

точкой в результате

последовательного

поворота вокруг осей L4,

L2 и L2, соответственно.

Сферический треугольник с углами 45˚, 90˚ и

90˚ (сумма внутренних углов 225˚) выделен

штриховкой.

Таким образом:

В сферическом треугольнике углы при

вершинах, образованных выходами

поворотных осей, равны

ПОЛОВИНАМ элементарных углов

поворота осей, осуществляющих

повороты

Для сферических треугольников

Сумма углов (S) не должна превышать

540° и должна быть больше 180°

(180° < S 540°)

+ А так как возможными для кристаллов могут

быть лишь оси симметрии порядков 1, 2, 3, 4, 6

т.е. углы между сторонами сф. треугольника

могут быть равны соответственно половинам

элементарных углов поворотов этих осей:

180°, 90°, 60°, 45° и 30° соответственно.

Допустимые сочетания углов:

Сочетания осей Сумма углов

L2 L2 L2 90° + 90° + 90° = 270°

L2 L2 L1 – нет!! Понятно почему?

Допустимые сочетания углов

Сочетания осей Сумма углов

L2L2L2 90o+90o+90o = 270o

L3L2L2 60o+90o+90o = 240o

L4L2L2 45o+90o+90o = 225o

L6L2L2 30o+90o+90o = 210o

L3L3L2 60o+60o+90o = 210o

L4L3L2 45o+60o+90o = 195o

Учитывая условия существования сферических треугольников

(180° < S 540°) S – сумма углов и ограничения порядков осей (2,3,4,6)

можно составить возможные сочетания кристаллографических осей и

определить соответствующие суммы углов сферических треугольников

L2 L2 L2

для этого треугольника все углы при вершинах

равны 90°. Зафиксировав положения этих осей

на сфере, можно вычертить и

стереографическую проекцию полученного

осевого класса симметрии

3L2, где все оси 2-го порядка будут

неэквивалентны друг другу

Допустимые сочетания углов:

Сочетания осей Сумма углов

L2 L2 L2 90° + 90° + 90° = 270°

L3 L2 L2 60° + 90° + 90° = 240°

L3 L2 L2

две стороны между осями L3 - L2 будут равны

90°, а между осями L2 – L2 = 60°. Нанеся

выходы осей на сферу и построив

стереографическую проекцию, получим (после

размножения элементов симметрии друг

другом) также осевой класс – L33L2, где все три

оси 2-го порядка будут связаны поворотами на

120° вокруг оси L3, а следовательно,

эквивалентны

Допустимые сочетания углов:

Сочетания осей Сумма углов

L2 L2 L2 90° + 90° + 90° = 270°

L3 L2 L2 60° + 90° + 90° = 240°

L4 L2 L2 45° + 90° + 90° = 225°

L4 L2 L2

две стороны между осями L4-L2 = 90°, сторона

L2-L2 = 45°. Вычертив этот сферический

треугольник и построив стереографическую

проекцию, увидим, что получен класс

симметрии с одной осью L4 и четырьмя

побочными осями L2 , разбивающимися на два

неэквивалентных между собой семейства –

класс L42L22L2

Допустимые сочетания углов:

Сочетания осей Сумма углов

L2 L2 L2 90° + 90° + 90° = 270°

L3 L2 L2 60° + 90° + 90° = 240°

L4 L2 L2 45° + 90° + 90° = 225°

L5 L2 L2 36 °+ 90° + 90° = 216° не в кристаллах

L6 L2 L2 30° + 90° + 90° = 210°

L6 L2 L2

две стороны L6 – L2 = 90°, сторона L2 – L2 = 30°.

В итоге вновь получаем осевой класс – L6 6L2 =

также с двумя неэквивалентными семействами

осей 2-го порядка L63L23L2

L3 L3 L2

Для этого треугольника сторона L3L3 70 , а две

стороны L3L2 55

Расположив рассчитанный треугольник на

сфере и размножив данные элементы

симметрии, получим стереографическую

проекцию еще одной осевой группы – 3L24L3

L4 L3 L2

Расположив рассчитанный треугольник на

сфере и размножив данные элементы

симметрии, получим стереографическую

проекцию еще одной осевой группы :

3L44L3 6L2

ИТОГО получили 6 осевых классов симметрии

L2L2L2 , L3L2L2 , L4L2L2, L6L2L2, L3L3L2, L4L3L2

Работая с кристаллами, исследователи обратили

внимание на то, что элементы симметрии

располагаются в них не случайно, а закономерным

образом. Напомним, что полный набор элементов

симметрии, строго определенным образом

располагающихся по отношению друг к другу,

называется классом симметрии.

Число классов симметрии бесконечно (узнаем позже),

но в кристаллах, где могут существовать только оси

определенных целочисленных порядков, число классов

закономерно сокращается до тридцати двух.

Можно убедиться в том, что сочетания симметрических

операций (а, следовательно и элементов симметрии) не

случайны, а образуют группы симметрии с конечным

числом членов.

В 1826 г. немецкий

кристаллограф

М. Л. Франкенгейм(1801-1869 гг.)

вывел 32 класса симметрии .

И. Ф. Х. Гессель (1796-1872 гг.)

в 1830 г. вывел 32 класса

симметрии

Мориц Людвиг Франкенгейм

(1801-1869)

Иоганн Фридрих Христиан Гессель

(1796-1872)

Однако их работы были

недопоняты и забыты.

И лишь в 1867 г. Аксель Вильгельмович

Гадолин дал строгий математический

вывод

32 групп симметрии. (Петербургская АН в

1868 присудила ему за это Ломоносовскую

премию).

Его награды: (Российской империи):

Орден Святого Георгия 4-й степени (1871) Орден Святой Анны 3-й степени (1859)

Орден Святого Владимира 4-й степени (1862) Орден Святой Анны 2-й степени(1864)

Орден Святого Владимира 3-й степени (1868) Орден Святого Станислава (Российская

империя) 1-й степени (1870) Орден Святой Анны 1-й степени (1872)

Орден Святого Владимира 2-й степени (1875) Орден Белого орла (Российская империя)

(1879) Орден Святого Александра Невского (1884)

+

Французский Орден Почетного Легиона командорский крест (1867)

Шведский Орден Меча Большой крест (1885)

(1828-1892 гг.)

русский учёный в области артиллерийского

вооружения, механической обработки металлов,

минералогии и кристаллографии, с 1875 года

действительный член Петербургской АН, с 1873 г.

член-корреспондент, генерал от артиллерии (1890).

Кстати, мы уже вывели несколько

классов симметрии (6 из 32).

Нужно доделать

Вывод групп (классов) симметрии в символике Браве

За основу вывода можно взять все возможные в кристаллах поворотные оси

симметрии. В результате получим 5 исходных классов Ln

L1, L2, L3, L4, L6

ИТОГО - 5

Вывод групп (классов) симметрии в символике Браве

Не нарушая единичности заданного поворотной осью направления,

добавляем вертикальную зеркальную плоскость симметрии, проходящую

вдоль каждой из осей (Рv) → Ln.nP)

L1→P, L2→L22P, L3→L33P, L4→L44P, L6→L66P

ИТОГО - +5 = 10

Вывод групп (классов) симметрии в символике Браве

Добавляем горизонтальную зеркальную плоскость симметрии,

перпендикулярную оси (Рh). Единственное особое направление

сохраняется.

L1→P, L2→L2PC, L3→Ł6, L4→L4PC, L6→L6PC

ИТОГО - +4 = 14

Вывод групп (классов) симметрии в символике Браве

Добавляем горизонтальную ось симметрии 2-го порядка, перпендикулярную

оси (L2 ) → Ln.nL2. Получаем дополнительные особые направления.

L1→L2, L2→3L2, L3→L33L2, L4→L44L2, L6→L66L2

ИТОГО - +4 = 18

Вывод групп (классов) симметрии в символике Браве

5) Добавляем операцию инверсии в точке (i), т.е. центр симметрии

L1→С, L2→L2PC, L3→Ł3, L4→L4PC, L6→L6PC

ИТОГО - +2 = 20

Вывод групп (классов) симметрии в символике Браве

Любую комбинацию перечисленных выше элементов симметрии (не забыв

про существование инверсионных осей 4-ого порядка)

Ł4→ Ł42L22P, L2→3L23PC, L3→L33L24P, L33L23PC,

L4→L44L25PC, L6→L66L27PC

ИТОГО : +7 = 27

Расположение координатных направлений X, Y, Z и четырех осей 3-го порядка в

кубе (а), октаэдре (б), тетраэдре (в) и стереограмма этих направлений (г)

Кубические группы (классы) симметрии

Правильные многоугольники – платоновы

тела:

а – гексаэдр (куб), б – тетраэдр, в – октаэдр,

г – икосаэдр, д – додекаэдр

Допустимые сочетания углов

Сочетания осей Сумма углов

L2L2L2 90o+90o+90o = 270o

L3L2L2 60o+90o+90o = 240o

L4L2L2 45o+90o+90o = 225o

L6L2L2 30o+90o+90o = 210o

L3L3L2 60o+60o+90o = 210o

L4L3L2 45o+60o+90o = 195o

Учитывая условия существования сферических треугольников (180° < S <

540°) S – сумма углов и ограничения порядков осей (2,3,4,6) можно

составить возможные сочетания кристаллографических осей и определить

соответствующие суммы углов сферических треугольников

Три класса с

тетраэдрическим

осевым набором

L3 L3 L2 60° + 60° + 90° = 210°

Кубические группы (классы) симметрии

4L3 3L2

4L3 3L2 3PkC

3Ł44L3 6PdC

Кубические группы (классы) симметрии

Два класса с октаэдрическим осевым набором

L4 L3 L2 45° + 60° + 90° = 195°

3L4 4L3 6L2 3L4 4L3 6L23Pk6PdC

Используя теоремы взаимодействия элементов

симметрии всегда можно получить один из 32

классов симметрии

по заданному набору.

В качестве примера осуществим такую

достройку до полного класса, используя

в качестве генерирующего набора

следующие элементы симметрии – две

горизонтальные оси второго порядка,

пересекающиеся под углом 30˚ и центр

инверсии.

Наносим на чертеж исходные

элементы симметрии – центр, и 2

оси второго порядка. Для

удобства обозначаем их разным

цветом. Одну ось ориентируем

горизонтально (по направлению

оси у), вторую – под углом 30˚ к

ней.

Дано: L2` L2``, C ˅

30o

Осуществим

взаимодействие двух осей

второго порядка.

L2 x L2 = Ln(n = 360/2 ) ˅ Вспоминаем, что если встречаются под углом a две оси второго порядка, то результатом их взаимодействия будет поворотная ось порядка 360/2a. В данном случае возникает вертикальная ось шестого порядка.

Наносим ее на чертеж.

Осуществим вращение

осью шестого порядка

(на 60°) «красной» оси

второго порядка.

Получим еще две

красные оси,

ориентированные по

координатным

направлениям «x» и «u».

Нанесем их на чертеж.

Аналогично получим

еще две «зеленые» оси,

второго порядка,

ориентированные по

диагональным

направлениям. Нанесем

их на чертеж.

Вспомним, про сочетание (L2-

P-C), являющегося частным

случаем взаимодействия

поворотной и инверсионной

осей. При наличии центра и

оси второго порядка возникает

перпендикулярная оси

плоскость. Применим это

правило к «красным» осям и

центру. Получим три

«красных» плоскости.

Наносим их на чертеж.

Применим это правило к

«зеленым» осям второго

порядка и центру.

Получим три «зеленых»

плоскости. Наносим их на

чертеж.

Обратим внимание, что вертикальная

ось шестого порядка является четной

– осуществив тройной поворот вокруг

нее на элементарный угол в 60°,

получим вращение на 180°. Это

означает, что «внутри» оси шестого

порядка (равно как и внутри любой

другой четной оси) заложена ось

второго порядка. Осуществим уже

известное взаимодействие центра и

этой оси второго порядка с

появлением горизонтальной

плоскости. Рисуем эту плоскость. Эта

операция записывается следующим

образом: L2( в L6) × С = Pz.

Если провести анализ чертежа, то

можно убедиться, что любые два

элемента симметрии при

взаимодействии между собой

приведут к появлению уже

присутствующих на чертеже

элементов. Это означает, что класс

симметрии достроен полностью.

Как итог получен класс симметрии

L66L27PC

или более корректно в развернутом

виде:

L6 3L2’ 3L2

’’ 3P’ 3P’’ P’’’ C.

Скачать оригинал этой

таблицы в формате А4

можно по гиперссылке

http://cryst.geol.msu.ru/

appliances/pics/32.jpg.