Міністерство освіти і науки України Чернівецький національний університет

імені Юрія Федьковича

Матеріали студентської наукової конференції

Чернівецького національного університету імені Юрія Федьковича

14-16 травня 2014 року

Математичні науки

Чернівці Чернівецький національний університет

2014

2

Друкується за ухвалою Вченої ради Чернівецького національного університету

імені Юрія Федьковича

Матеріали студентської наукової конференції

Чернівецького національного університету імені Юрія Федьковича (14-16 травня 2014 року). Математичні науки. – Чернівці : Чернівецький нац. ун-т, 2014. – 143 с.

До збірника увійшли статті студентів факультету математики та

інформатики, підготовлені до щорічної студентської наукової конференції університету.

Молоді автори роблять спробу знайти підхід до висвітлення і обґрунтування певних наукових питань, подати своє бачення проблем.

Наукове видання

Матеріали студентської наукової конференції Чернівецького національного університету

імені Юрія Федьковича

(14-16 травня 2014 року)

Математичні науки

Тези доповідей

Відповідальна за випуск Чорна С.Я.

© Чернівецький національний університет, 2014

Тетяна Белей Науковий керівник – проф. Михайлюк В.В.

Про властивість Наміоки многозначних

відображень Многозначне відображення 퐹: 푋 → 푌, яке діє з топологічного

простору 푋 у топологічний простір 푌, називається напівнепе-рервним зверху (знизу) в точці 푥 , якщо для довільної відкритої в 푌 множини 푉 такої, що 퐹(푥 ) ⊆ 푉 (퐹(푥 )⋂푉 ≠ ∅), множина

푥 ∈ 푋 ∶ 퐹(푥) ⊆ 푉 ( 푥 ∈ 푋 ∶ 퐹(푥) ⊆ 푉 ) є околом точки 푥 в просторі 푋. Многозначне відображення 퐹: 푋 → 푌 напівнеперервне зверху (знизу) в кожній точці 푥 ∈ 푋 називається напівнеперервним знизу (зверху). Відображення, напівнеперервне зверху і знизу, називається неперервним.

Як і для однозначних нарізно неперервних відобра-жень, виникають задачі про вивчення сукупних властивостей многозначних відображень двох змінних, які нарізно задо-вольняють умови напівнеперервності. Вивчення цих питань є предметом сучасних наукових досліджень [1, 2]. З результатів, одержаних в [1], випливає наступна теорема.

Теорема 1. Нехай 푋 – берівський простір, 푌 − метризовний компакт, 푍 − метризовний простір, 퐹: 푋 × 푌 → 푍 − компакто-значне відображення напівнеперервне знизу відносно першої змінної і напівнеперервне зверху відносно другої. Тоді існує 퐺 -множина 퐴 щільна в 푋, така, що відображення 퐹 сукупно напівнеперервне зверху в кожній точці множини 퐴 × 푌.

У зв’язку з цим природно виникає таке питання. Питання. Нехай 푋 − берівський простір, 푌 − метризовний

простір, 퐹: 푋 × 푌 → ℝ − компактозначне відображення, напів-неперервне знизу відносно першої змінної і неперервне зверху відносно другої. Чи обов’язково існує щільна в 푋 퐺 -множина 퐴 така, що 퐹 сукупно неперервна в кожній точці множини 퐴 × 푌.

3

Наступна теорема дає негативну відповідь на це питання. Теорема 2. Існує компактозначне відображення

퐹: [0,1] → [0,1] яке напівнеперервне знизу відносно першої змінної, неперервне відносно другої змінної і сукупно розривне в кожній точці множини [0,1] × 0.

Разом з тим, відображення 퐹, які задовольняють умови, сформульовані у питанні мають дещо слабші властивості.

Теорема 3. Нехай 푋 − берівський простір, 푌 − метризовний компакт, 푍 −метризовний простір, 퐹: 푋 × 푌 → 푍 − компакто-значне відображення, напівнеперервне знизу відносно першої змінної і неперервне зверху відносно другої. Тоді існує щільна в 푋 퐺 -множина 퐴 така, що відображення 퐹| × неперервне.

Список літератури:

1. Debs G. Points de continuité d’une fonctions séparément continue // Proc.Amer. Math. Soc. – 1986. – 97, 1. – P.167-176.

2. Maslyuchenko V.K., Mykhaylyuk V.V., Fotiy O.G. The relations between separately and jointly proprieties of multi-valued mappings// Mat. Stud. – 2011. – V.35, 1. – P.106–112.

4

Наталя Бігун Науковий керівник – проф. Чикрій А.О.

Про одну динамічну гру зближення-відхилення при

наявності фазових обмежень Розглядається задача переслідування групою 푘 об’єктів

одного втікача, якщо останній не може покинути межі деякої відкритої випуклої множини. Динаміка взаємодії переслідувачів і втікача має вигляд

푥 = 퐶 (푡)푥 + 푢 , 푥 휖푅 , 푢 휖푈 (푡), 푖 = 1, 푘; 푦 = 퐵(푡)푦 + 푣, 푦휖푅 , 푣휖푉(푡),

푡 ≥ 푡 , (1) де вимірні матричні функції 퐶 (푡) порядку 푟 , а 퐵(푡) – порядку 푠, області керувань 푈 (푡)휖퐾(푅 ), 푉(푡)휖퐾(푅 ) – вимірні багатозначні відображення, причому координати втікача задовольняють обмеження

퐺(푡) = 푦휖푅 : (푝 , 푦) < 푙 (푡), 푝 휖푅 , ‖푝 ‖ = 1, 푖 = 푘 + 1, 휈≠ ∅,

푡 ≥ 푡 , (2)

Тут числові функції 푙 (푡), 푖 = 푘 + 1, 휈, вважаються неперервними, а вектори 푝 – постійними.

Термінальна множина складається з множин 푀∗(푡), 푖휖푁 , які виділені в просторах 푅 = 푅 × 푅 і є циліндричними множинами.

Процес переслідування вважається завершеним у момент 푡, якщо хоча б один із переслідувачів ловить втікача, тобто для деякого 푖휖푁 пара 푥 , 푦휖푀∗(푡), або втікач змушений порушити фазові обмеження, що фіксується співвідношенням (푝 , 푦) = 푙 (푡) для деякого в певний момент часу 푡.

В роботі задача (1),(2) зведена до задачі без фазових обмежень вигляду

푧 = 퐴 (푡)푧 + (푡, 푢 , 푣), 5

푧 (푡 ) = 푧 , 푡 ≥ 푡 ≥ 0, 푧 휖푅, 푢 휖푈 (푡), 푣휖푉(푡), 푖 = 1, 휈,

де 푅 – евклідові простори, 퐴 (푡) – матричні функції порядку 푛, їх елементи – вимірні функції, сумовні на довільному скінченному інтервалі.

Термінальна множина складається із циліндричних множин 푀∗, причому

푀∗(푡) = 푀 + 푀 (푡), 푖 = 1, 휈, де 푀 – лінійні підпростори в 푅 , а 푀 (푡) – вимірні компактно-значні відображення зі значеннями в ортогональних доповненнях 퐿 до 푀 , 푀 (푡)휖퐿 для 푡 ≥ 푡 .

При цьому кожне з фазових обмежень можна ототожнювати зі статистичним гравцем-переслідувачем, який не рухається, але перекриває певні зони фазового простору при маневрах втікача, чим ускладнює його становище. Оскільки множина 퐺(푡), 푡 ≥ 푡 , відкрита, то вихід траєкторії втікача на границю цієї множини означає його програш. Ігрові задачі такого типу називають «іграми з лінією смерті» [1].

У середовищі OpenGL розроблено програму моделювання зближення групи переслідувачів та одного втікача при наявності фазових обмежень.

Список літератури:

1.Чикрий А.А. Конфликтно управляемие процессы. – К.: Наук. думка, 1992. – 384 с.

6

Міхаєла Бойку Науковий керівник – доц. Колісник Р.С.

Використання векторного методу при розв’язуванні олімпіадних задач

Ідея вектора є однією з фундаментальних ідей сучасної математичної науки та її застосувань. На векторній основі нині розвиваються лінійна алгебра, аналітична і диференціальна геометрія, теорія багатовимірних просторів. Вектор як математичне поняття міцно ввійшов і у шкільну математику.

Векторний метод є одним із потужніших методів розв’я-зування геометричних задач, за допомогою якого розв’язуються різноманітні задачі, які не мають іншого способу розв’язання.

Через зменшення кількості годин, запланованих для вивчення математики в школі, чинна програма й автори підручників з геометрії не ставлять за мету систематично використовувати векторний метод під час доведення теорем і розв'язування задач, а передбачають вивчати вектори із загаль-ноосвітньою метою і послуговуватися ними лише для розв'язування найпростіших стандартних задач. Безперечно, в старших класах фізико-математичного профілю, спеціалізо-ваних школах, класах з поглибленим вивченням математики і на факультативах векторний метод має застосовуватися значно ширше. Для прикладу, проілюструємо використання векторного методу при розв’язуванні олімпіадної задачі.

Задача. Довести, що точка Жергона, точка Нагеля та точка перетину антибісектрис колінеарні.

Нехай ABC – довільний невироджений трикутник. Позна-чимо ,АВ c ,ВС a АС b і АС b

, АВ с .

Для доведення колінеарності трьох точок , ,N G K ,

достатньо довести попарну колінеарність векторів ,AN

AG

та AK

, де N – точка Нагеля, G – точка Жергона, K – точка перетину антибісектрис даного трикутника. Для цього розкладемо вектори , ,AN AG AK

за базисом ,b c

. Наведемо фрагмент розв’язання задачі у випадку точки Нагеля.

7

З трикутника ABN маємо, що

AN AB BN

. Врахувавши колінеар-ність векторів AN

і

AAQ

та BN

і BBQ

, де AQ , BQ – точки дотику зовні вписаних кіл у трикутник ABC , отримаємо:

A BAQ c BQ

, , .

Оскільки Ap b p cAQ c b

a a

, B

p cBQ b cb

,

,a bp a

, то p b p cAN c b

p p

, де p – півпери-

метр трикутника ABC . Аналогічно розкладаємо вектори ,AG

та AK

за базисними

векторами ,b c . Розглянувши відношення

ANAG

і ANAK

,

встановлюємо, що ANAG

та ANAK

, тобто вектори

, ,AN AG AK

попарно колінеарні. Що й потрібно було довести.

Список літератури: 1. Лейфура В.М., Мітельман І.М., Радченко В.М., Ясінський В.А.

Математичні олімпіади школярів України: 2001–2006 рр. – Львів: Каменяр, 2008. – 348 с.

2. Ясінський В.А. Олімпіадні задачі з геометрії. – К.: Шкільний світ, 2008. – 128 с.

8

Юрій Бойчук Науковий керівник – доц. Кушнірчук В.Й.

Створення системи онлайн-перевірки задач із

програмування Проблема автоматичної перевірки програмного коду є досить

актуальною на сьогоднішній день [1]. Оскільки інформаційні технології активно використовуються в усіх сферах діяльності людини, впровадження їх у навчальний процес є важливим аспектом розвитку освітньої галузі.

При вступі до вузу на спеціальності, пов’язані з програмуванням, абітурієнтам зручно знати наперед, якого типу завдання вони повинні вміти розв’язувати, отримати кілька тестових завдань і розв’язати їх. Перевірку правильності розв’язку може здійснювати автоматична система. Навіть якщо абітурієнт фізично не знаходиться у тому населеному пункті, де знаходиться вуз, він має змогу надіслати розв’язок свого завдання через інтернет і одразу ж дізнатися результат. При цьому абітурієнт повинен ввести свої контактні дані, а викладачі вузу бачитимуть результати, надіслані різними абітурієнтами, таким чином отримуючи список потенційно хороших студентів.

Для цього було створено онлайн-систему, яка займається перевіркою розв’язків задач із програмування. Викладачі можуть додавати задачі. Вони вказують умову, приклади вхідних та вихідних даних і максимально допустимий час виконання програми, щоб унеможливити програми з не оптимізованим кодом, які виконуються занадто довго, а також максимально допустимий обсяг оперативної пам’яті для виконання програми.

Студенти та абітурієнти можуть зареєструватися у системі, обрати категорію задач, яку бажають, і надіслати код розв’язку через форму на сторінці. При цьому можна обирати ту мову програмування, яка до вподоби, і компілятор якої встановлено на сервері. Наразі підтримуються найпоширеніші мови C++ і Pascal.

Після надсилання розв’язку, сервер запускає компілятор і виконує надіслану програму. Він підставляє по черзі кожні вхідні тестові дані і перевіряє, чи збігаються вони з тестовими вихідними даними, які вказав викладач. Якщо є хоча б одна

9

розбіжність, тоді розв’язок задачі вважається неправильним. Якщо розв’язок вірний, але програма виконується більше вказаного викладачем часу, то розв’язок усе одно не буде зараховано. Крім того, якщо у самому коді допущено помилку, то система повідомить про неї і скаже, в якому рядку вона знаходиться.

Щоб унеможливити використання зловмисних команд, система перед компіляцією програми перевіряє код на наявність небезпечних функцій. До них належать функції для роботи з файлами та підключення до Інтернету.

Студенти можуть надсилати розв’язок до кожної задачі скільки завгодно разів. Таблицю зі списком вдалих та невдалих спроб вони зможуть переглянути на своїй сторінці, а також таблицю зі статистикою спроб усіх студентів можуть бачити викладачі.

Як уже було сказано, система передбачає користувачів двох типів: студенти і викладачі. Викладачі можуть створювати задачі, ділити їх за категоріями, додавати і змінювати тестові вхідні та вихідні дані, переглядати статистику студентів, які здійснювали спроби розв’язати завдання. Студенти можуть лише переглядати задачі й надсилати свої розв’язки до них.

Дана система може бути корисною для об’єктивного оцінювання студентів на екзаменах із предметів, пов’язаних із програмуванням. Крім того, вона пригодиться для підготовки до олімпіади або й під час самого проведення олімпіади, щоб полегшити перевірку завдань для учасників журі.

Хоча електронні системи даного типу вже існують, вони містять або закритий вихідний код, що унеможливлює зміну їхнього інтерфейсу за потребою, або містять недостатній функціонал. Саме це слугувало причиною написання власної системи перевірки коду.

Список літератури: 1. Вікіпедія. – [Електронний ресурс]. – Режим доступу.: http://en. wikipedia.org/wiki/Online_judge.

10

Радміла Бордіян Науковий керівник – проф. Попов М.М.

Ядра ортогонально адитивних операторів

Ортогонально адитивні оператори (ОАО) на векторних ґратках було досліджено у роботах Мазона та Сеґура де Леона [1], [2]. Згодом почали з’являтися роботи, в яких автори узагальнювали відомі результати про лінійні оператори на клас ортогонально адитивних операторів, наприклад, [3, 4]. У цій роботі ми досліджуємо ядра ортогонально адитивних операторів. Точніше, ми наводимо характеризацію підмножин векторної ґратки, які є ядрами ОАО, визначених на даній векторній ґратці. Про загальновідомі поняття, які ми використовуємо в тексті, можна прочитати в [5].

Нагадаємо, що відображення XEТ : з векторної ґратки E у лінійний простір X називається ортогонально адитивним оператором, якщо )()()( yTxTyxT для довільних двох ортогональних елементів Eyx , (елементи yx, називаються

ортогональними, якщо 0 yx , записують yx ). Ядром

ОАО T називається множина 0)(:ker xTExT . Елемент Ex називається фрагментом елемента Ey (записують цей факт так: yx ), якщо )( xyx . Множина всіх фрагментів елемента y позначається через yF . Кажуть, що

сітка )(x в E латерально збіжна до елемента Ex , якщо

)(x порядково збігається до елемента x , причому xx . ОАО, який діє між векторними ґратками, називається латерально неперервним, якщо латерально збіжні сітки він переводить у латерально збіжні сітки. ОАО ,: FEТ де FE, – векторні ґратки, називається додатним, якщо 0)( xT для довільного Ex (а не лише для 0x , як у випадку лінійних операторів).

Для розв’язання поставленої задачі ми уводимо таке поняття.

11

Означення. Підмножину 0E векторної ґратки E назвемо латерально тілесною, якщо 0E містить фрагменти всіх своїх елементів, тобто для довільного 0Ex маємо 0EFx .

Теорема 1. Нехай E – порядково повна векторна ґратка. Для того, щоби підмножина EE 0 була ядром деякого додатного ОАО, визначеного на E , необхідно і достатньо, щоб

0E була латерально тілесною підмножиною. Більше того, для кожної латерально тілесної підмножини EE 0 існує додатний ОАО EEТ : з 0ker ET .

Означення. Підмножину 0E векторної ґратки E назвемо латерально замкненою, якщо 0E містить границі всіх латерально збіжних сіток, елементи яких належать до 0E .

Теорема 2. Нехай E – порядково повна векторна ґратка. Для того, щоби підмножина EE 0 була ядром деякого латерально неперервного додатного ОАО, визначеного на E , необхідно і достатньо, щоб 0E була латерально тілесною та латерально замкненою підмножиною. Більш того, для кожної латерально тілесної латерально замкненої підмножини

EE 0 існує латерально неперервний додатний ОАО EEТ : з 0ker ET .

Список літератури: 1. Mazon J.M., Segura de Leon S. Order bounded ortogonally additive

operators // Rev. Roumane Math. Pures Appl. – 1990. – 35, 4. – P. 329-353.

2. Mazon J.M., Segura de Leon S. Uryson operators // Rev. Roumane Math. Pures Appl. – 1990. – 35, 5. – P. 431-449.

3. Kusraev A.G., Pliev M.A.. Orthogonally additive operators on lattice-normed spaces // Vladikavkaz Math. J. – 1999. – 3. – P. 33-43.

4. Pliev M., Popov M. Narrow orthogonally additive operators // Positivity. – 2014.

5. Aliprantis C.D., Burkinshaw O.. Positive Operators. – Springer –Dordrecht – 2006. – P. 367.

12

Олександр Ватаманюк Науковий керівник – доц. Івасюк Г.П.

Про математичні моделі теорії споживання

Внутрішніми мотивами, що спонукають людей до господар-ської діяльності, виступають потреби, які задовольняються за допомогою різноманітних благ. Прагнення отримати блага є мотиваційним механізмом економічної діяльності, рушійною силою економіки. Економічний аналіз господарської діяльності передбачає побудову кількісних аналітичних моделей різних економіко-фінансових явищ та процесів, що потім вивчаються математичними методами.

Математичні моделі розробляють з метою пояснення та прогнозування відповідних економіко-фінансових явищ – об’єктів спостереження. Моделі теорії споживання дають формальне зображення людських потреб, які відображають різний ступінь їх задоволення. Це дає змогу пояснити вибір, який здійснюють споживачі. Благами, що задовольняють економічні потреби споживача, є товари. Під товаром розуміють споживче благо або послугу, що надійшли у продаж у певний час, у певному місці, а під споживачем – групу індивідуумів, які спільно розподіляють свій доход на закупівлю товарів (не виключається, що ця група може складатися з одного члена). Головною проблемою раціонального ведення господарства споживачем є вирішення питання про те, яку кількість наявних товарів він повинен придбати за певний проміжок часу при заданих цінах і споживчому доході. Математичні моделі подібної поведінки та результати аналізу їх утворюють теорію особистого споживання.

Ринковий попит на товари формується на основі рішень, які приймають окремі особи, що керуються власними потребами і наявними засобами. Для того щоб розподілити

13

свої доходи між різними товарами, треба мати деяку спільну основу для їх зіставлення. У кінці XIX ст. економісти за таку основу прийняли корисність. Вона ґрунтується на гіпотезі про змогу порівнювати корисності різних благ і послуг. Було прийнято, що при заданих цінах споживач намагається так розподілити свій дохід на ку-півлю різних продуктів, щоб максимізувати очікуване задоволення або корисність від їх споживання, керуючись власними смаками та поглядами. Таку задачу теорії споживання називають неокласичною. Дуальною (або двоїстою) задачею до неї є задача мінімізації видатків споживача на придбання товарів із рівнем корисності не меншим від заданого значення [1, 2].

На основі моделі раціональної поведінки споживача, ключовим елементом якої є система переваг, можна отримати функції попиту. Однак сама система переваг не є такою, яку можна спостерігати, щоб мати змогу зробити прогноз майбутнього попиту при зміні цін і доходу, необхідно розв’язати обернену задачу: відновити систему переваг за попитом, що спостерігається [1].

Засобами програмування Microsoft Visual Studio 2012 створено програмний додаток, в якому реалізовано знаходження для прямої та дуальної задач споживання відповідних функцій попиту на товари, для оберненої – непрямої функції корисності для систем функцій попиту. Також реалізовано можливість перегляду графіків цих функції при різних значеннях їх параметрів.

Список літератури: 1. Козицький В.А., Лавренюк С.П., Оліскевич М.О. Основи

математичної економіки. Теорія споживання: Навч. посіб. – Львів: Піраміда, 2004. – 264 с.

2. Пономаренко О.І., Перестюк М.О., Бурим В.М. Сучасний економічний аналіз: У 2 ч. Ч. 1. Мікроекономіка: Навч. посіб. /. – К.: Вища шк., 2004. – 262 с.

14

Надія Гаїнуца Науковий керівник – доц. Готинчан Т.І.

Математичні моделі рекламної кампанії з ефектом

“набридання” реклами

Рекламна кампанія – це комплекс рекламних заходів, роз-роблений відповідно до програми маркетингу і спрямований на споживачів товару, які представляють відповідні сегменти ринку, з метою викликати їх реакцію, що сприяє вирішенню фірмою-виробником своїх стратегічних чи тактичних завдань. Розробка стратегії рекламної кампанії дає можливість фірмі справлятися зі своїми проблемами збуту, конкурувати з іншими фірмами. Але вона залежить від терміну початку рекламної кампанії, кількості коштів, що виділяються на початковому етапі в період “розкрутки” товару. Розглянемо фірму, яка виготовляє деякий однорідний товар. Нехай 푞 – кількість товару, виготовленого за одиницю часу, 푐 – витрати на виготовлення одиниці товару, 푝 – роздрібна ціна продажу одиниці товару, 퐷 – додаткові витрати фірми, тобто витрати на невиробничі потреби. Позначимо ступінь впливу реклами 푅 = 푅(푡), 푡 휖 [0; 푇], 푘(푡) – коефіцієнт, що відображає ефект “набридання” реклами і 푘 = 푘(0). Розглядаються моделі рекламної кампанії [1]:

П( ) = (푝 − 푐)푞 푅(푡) − 훼(푡) − 퐷,( ) + 푘(푡)푅(푡) = 푘 훼(푡),

(1)

і П( ) = ( ( ) )

( )− 훼(푡),

( ) + 푘(푡)푅(푡) = 푘 훼(푡), (2)

де 푘 = 푘(0), П(0) = 0, 훼 – кількість грошей, що виділяються на рекламу за одиницю часу, залежність попит-ціна має вигляд 푝 + 푏푞 = 푎,

15

причому 푎(푅) монотонно зростає із зростанням 푅, але 푎′(푅) монотонно спадає з ростом 푅 та існує скінченна границя limR

푎(푅), а 푏(푅) – неперервно диференційована по 푅.

Нехай рекламний ролик починає прокручуватись у момент часу 푡 = 0. Вплив реклами в цьому випадку починається з того значення, яке залишилось після попереднього ролика, тобто з 푅(0). У першій фазі “життя” цього ролика, яка складає інтервал часу [0, 푇 ], на проведення рекламної кампанії виділяється за одиницю часу максимальна кількість грошей 훼 . Так продовжується до тих пір, поки ми не вийдемо на стаціонарний режим. Стаціонарний режим ведеться на проміжку [푇 , 푇 ], при цьому підтримується рівень впливу реклами 푅 (푡).Через ефект “набридання” рівень впливу реклами поступово знижується, і коли він досягне значення 푅(0), треба запускати новий ролик. Таким чином, новий цикл визначається умовою 푅(푇2) = 푅(0). Тоді для 훼 доцільний вигляд

훼(푡) =훼 , при 0 ≤ 푡 < 푇 ,훼 (푡), при 푇 ≤ 푡 < 푇 − 푇 ,0, при 푇 − 푇 ≤ 푡 < 푇,

(3)

де 훼 (푡) = 푅 (푡) + ( ) 푅 (푡). Побудовані рівняння для знаходження моментів 푇 , 푇 та

формули отримання можливого прибутку. У середовищі Microsoft Visual Studio розроблено програму для дослідження моделей (1) і (2).

Список літератури:

1. Астафьева Е.В., Терпугов А.Ф. Модель рекламной кампании с эффектом “надоедания” рекламы. // Весник Томского государственного университета. Вып. 284– Томск: Изд-во Том. ун-та, 2004. – С. 33–35.

16

Володимир Гладкий Науковий керівник – асист. Перцов А. С.

Автоматизація обліку книг

у малих бібліотеках Часто виникають ситуації, коли великій кількості корис-

тувачів необхідно надати одночасний доступ до деяких даних, можливість їх отримання та редагування. Ці дані є загальними для всіх користувачів і не можуть розташовуватися на кожній клієнтській машині: правка інформації одним користувачем не буде помітна для інших. Для вирішення завдань такого роду застосовуються web-додатки (веб-додатки) – програмні засоби, призначені для автоматизованого виконання дій на web-серверах. При цьому дані зберігаються на сервері, там же при необхідності виконується їх програмна обробка. За запитом необхідна інформація надається клієнту. Для забезпечення діалогу з користувачем в web-додатках використовуються web-браузери. Незалежно від засобу реалізації інтерфейсу користувача, web-додатки є підходящим рішенням для вищезгаданого роду завдань, тому що вони:

забезпечують централізоване зберігання і обробку інформації;

надають доступ до єдиної інформації одночасно великій кількості користувачів;

не залежать від операційної системи, встановленої на комп'ютері користувача.

Завдяки цьому ряду переваг web-додатки набули значного поширення [1].

Структура web-додатка в загальному вигляді та напрямки передачі інформації в ньому наведені на рис. 1.

Рис. 1 Структура web-додатку

17

Для автоматизації малих бібліотек нами вирішено розробити web-додаток, який призначений для виконання наступних дій:

зберігання в базі даних інформації про книги, читачів, історія видачі книги;

надання користувачеві необхідної йому інформації з бази, можливість редагування наданих даних, їх видалення або додавання нових, перевірка на коректність і збереження змін;

повідомлення боржників про їхню заборгованість електронною поштою.

Зберігання інформації здійснюється в базі даних. В якості СУБД використовується PostgreSQL – потужна об'єктно-реляційна система управління базами даних з відкритими вихідними текстами. Структура бази даних наведена на рис. 2.

Рис. 2 Структура бази даних

Для написання серверної частини web-додатка обрана мова програмування Java. Для зв'язку СУБД з логічною частиною програми використовується Hibernate – бібліотека мови програмування Java, призначена для вирішення завдань об'єктно-реляційного відображення (object-relational mapping - ORM). Hibernate забезпечує зв'язок класів Java з таблицями бази даних [2].

Список літератури: 1. Скотт Б., Нейл Т. Проектирование веб-интерфейсов. – СПб.:

Символ-Плюс, 2010. – 352 с. 2. HibernateORM. – [Електронний ресурс]. – Режим досту-пу:

http://www.hibernate.org. 18

Олеся Городецька Науковий керівник – проф. Бігун Я.Й.

Математична модель інфекційного захворювання організму із залежною від часу і стану відповіддю

імунної системи

Пізнання механізму імунної відповіді дає ключ до розуміння процесу захворювання і до методів його ефективного лікування.

Розвиток імунології в даний час відбувається так швидко, що концепції, які складають основу цієї науки, змінюються буквально на наших очах, залучаючи до арсеналу уявлень про імунні процеси все нові факти і гіпотези, що уточнюють або докорінно змінюють окремі елементи теорії.

Однією із важливих задач математичного моделювання імунних процесів є дослідження механізмів порушення імунного захисту і способів їх корекції.

У праці Г.І. Марчука [1, 2] запропонована математична модель для опису й дослідження загальних закономірностей для всіх інфекційних захворювань. Основними факторами є кон-центрація або кількість: 푉(푡) – антигенів, які викликають захво- рювання, 퐹(푡) – антитіл, які нейтралізують антигени, 퐶(푡) – плазматичних клітин, які є носіями або продуцентами антитіл, 푚(푡) – частина ураженої маси органа-мішені, 0 ≤ 푚(푡) ≤ 1.

Математична модель будується на основі співвідношень ба-лансу для кожної зі змінних і набуває вигляду

⎩⎪⎪⎨

⎪⎪⎧ = (훽 − 훾퐹)푉,

= 휉(푚)훼푉(푡 − 휏)퐹(푡 − 휏) − 휇 (퐶 − 퐶∗),

= 휌퐶 − 휇 + 휂훾푉 퐹,

= 휎푉 − 휇 푚,

(1)

де коефіцієнти – невід’ємні числа, 휏 – час, упродовж якого здійснюється формування клону плазматичних клітин. Введення в модель рівняння для відносної характеристики ураження органа-мішені дозволяє пов’язати опис імунної реакції організ-

19

му з власне патологічними процесами і розглядати її як базову модель інфекційного захворювання.

У базовій моделі Г.І. Марчука 휏 = const > 0. У даній роботі розглядається випадок, коли запізнення змінне. Це може бути викликано сезонним впливом на імунну систему, тоді 휏(푡) ≥ 0 – періодична функція. Системи рівнянь із змінним запізненням загального вигляду вивчались в [3]. Крім того, формування каскаду плазматичних клітин може залежати від стану імунної системи, найперше від значення 퐶(푡), тому 휏 = 휏(퐶(푡)) ≥ 0. У загальному випадку 휏 = 휏(푡, 퐶) ≥ 0. З урахуванням фактору запізнення задамо початкові умови для системи рівнянь (1):

푉(푡) = 푉 (푡) ≥ 0, 퐹(푡) = 퐹 (푡) ≥ 0 при t ≤ 0; 퐶(0) = 퐶 ≥ 0, 푚(0) = 푚 , 0 ≤ 푚 ≤ 1. (2)

Розроблено алгоритм числового інтегрування початкової задачі (1), (2) з використанням явної і неявної різницевих схем Адамса другого порядку.

Проведено аналіз динаміки факторів моделі (1) залежно від вибору функції 휏.

У середовищі Microsoft Visual Studio 2012 розроблена програма зі зручним інтерфейсом для користувача та візуалізацією результатів.

Список літератури:

1. Марчук Г.И. Математические модели в иммунологии. Вычисли-тельные методы и эксперименты. – М.: Наука, 1991. – 304с.

2. Романюха А.А. Математические модели в иммунологии и эпи-демиологии инфекционных заболеваний. – М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2012. – 293 с.

3. Солодовов А.В., Солодова Е.А. Системы с переменным запаз-дыванием. – М.: Наука, 1989. – 384 с.

20

Роман Довгань Науковий керівник – асист. Строєв О.М.

Моделювання розповсюдження забруднень у повітрі з використанням Google Maps API

Завдання, що пов'язані з екологією, виходять на перший план у всіх сферах людської діяльності та знаходять особливо широке застосування в народному господарстві у зв'язку з підвищеним в останні роки впливом хімії на промислове виробництво. Зі збільшенням кількості автотранспорту постійно зростає сумарний обсяг викидів в атмосферу, екологічна обстановка в містах погіршується. Відбуваються аварії на хімічній і нафтохімічній промисловості, що супроводжуються викидом і поширенням хмар горючих та токсичних газів. Для вироблення правильних рішень з запобігання або ліквідації надзвичайних ситуацій необхідно вірно представляти динаміку їх розвитку.

Існує декілька розташованих на ділянці земної поверхні площинні та точкові джерела забруднення. Площинне джерело характеризується інтенсивністю емісії 푄 , яка виміряється в г/(м2∙с) і чисельно рівне масі речовини, що викидається з одиниці площі за одиницю часу.

Математичний опис процесів поширення домішок у вітровому полі над місцевістю зі складним рельєфом виконується на основі моделі, що виражає закон збереження речовини. Зміна концентрації речовини за рахунок адвективного і турбулентного переносу та фізико-хімічних процесів в такій моделі описується для тривимірної розрахункової області в [1] як:

휕푐휕푡

+ 푑푖푣 푐푤 − 푑푖푣(퐾 푔푟푎푑 푐) + 푟푐 = 푄, де с – концентрація субстанції, К – матриця деяких когнітивних коефіцієнтів, 푤 – поле швидкостей адвекції, Q – поле емісії, r – сумарний коефіцієнт, що характеризує інтенсивність фізико-хімічних процесів.

При моделюванні тривимірна розрахункова область розбивається на шари. Враховуючи те, що товщина шарів може змінюватися в просторі і в часі, транспортно-дифузійне рівняння набуває вигляду:

21

휕ℎ 푐휕푡

+ 푑푖푣 ℎ 푐 푤 − 푑푖푣(퐾 ℎ 푔푟푎푑 푐 ) − 퐷 + 푟 푐 = ℎ 푄 . Транспортно-дифузійне рівняння розв’язується за допомогою

методу розщеплення на процеси. Кожен процес, враховуючи розбиття області на шари та закон збереження речовини, запишеться в такому вигляді:

- процес адвекції:

ℎ 푐( ) − ℎ 푐( ) = −휕ℎ 푐 푢

휕푥+

휕ℎ 푐 푣휕푦

푑푡Δ

;

- процес горизонтальної турбулентної дифузії:

ℎ 푐( ) − ℎ 푐( ) = (푑푖푣(ℎ 퐾 푔푟푎푑 푐 ) + ℎ 푄 )푑푡Δ

;

- для вертикальної турбулентної дифузії:

푐( ) − 푐( ) =휕휕푧

퐾휕푐휕푧

푑푡Δ

;

- для фізико-хімічних процесів:

ℎ 푐( ) − ℎ 푐( ) = − 푟 ℎ 푐 푑푡Δ

.

Із рівняння, що описує адвекцію, знаходиться значення 푐( ) та підставляється в рівняння наступного процесу і т.д. Остаточне знайдене значення 푐( ) відповідає шуканій концентрації в момент часу 푡 . В результаті дослідження, використовуючи засоби Google Maps API, був розроблений програмний продукт, який за вхідними даними обчислює розповсюдження речовини на момент часу t.

Список літератури: 1. Бызова Н.Л., Гаргер Е.К., Иванов В.Н. Экспериментальные

исследования атмосферной диффузии и расчеты рассеяния примеси. – Ленинград: Гидрометеоиздат, 1991. – 278 с.

2. Самарский А.А., Попов Ю.П. Разностные методы решения задач газовой динамики. – М.: Наука, 1992. – 424 с.

22

Мар’яна Дувіряк Науковий керівник – доц. Лінчук Ю. С.

Про одну модифікацію задачі Рубела на просторі

аналітичних функцій

Нехай G – довільна область комплексної площини і H G – простір усіх аналітичних в області G функцій, що наділений топологією компактної збіжності [1]. В [2] Л.А. Рубел, узагальнюючи формулу для диференціювання добутку двох функцій, поставив і розв'язав задачу, про знаходження всіх пар лінійних неперервних функціоналів L та M на просторі H G , які задовольняють співвідношення

L fg L f M g L g M f

для довільних функцій f та g з простору H G . Зазначимо, що пари функціоналів, які задовольняють дане рівняння Рубел назвав дериваційними. Пізніше в [3] Н.Р. Нандакумар розв'язав задачу Рубела в класі лінійних функціоналів на просторі

H G . Після цього різними математиками були здійснені

дослідження стосовно опису пар лінійних функціоналів на просторі H G , які задовольняють співвідношення, подібні до розглянутого Рубелем.

В [4] Н.Р. Нандакумар та П. Каннаппан розв'язали задачу про опис у класі лінійних функціоналів на просторі H G розв'язків рівняння

.L fg L f L g M f M g Подальші дослідження стосовно опису пар лінійних

функціоналів на просторі H G , які задовольняють подібні співвідношення, та їх узагальнення були розглянуті й систематизовані у монографії П. Каннаппана [5].

23

Природним узагальненням наведених аспектів досліджень дериваційних співвідношень та їх аналогів для функціоналів, що діють у різних просторах аналітичних функцій, є збільшення кількості функціоналів та функцій в рівняннях вказаного типу.

Доповідь присвячена знаходженню всіх лінійних на просторі H G функціоналів L та M, які задовольняють таке співвідношення:

L(fgh) = L(f) M(g) M(h) + L(g) M(f) M(h) + L(h) M(f) M(g) (1)

для довільних функцій f, g, h з простору H G

Теорема. Нехай G – довільна область комплексної площини. Для того, щоб лінійні на просторі H G функціонали L та M задовольняли співвідношення (1), необхідно і достатньо, щоб пара цих функціоналів визначалася однією з таких трьох умов:

1) L=0, M – довільний лінійний функціонал на H G ;

2) 0( ) ( )L f Cf z , 01( ) ( )3

M f f z , де 0 ,z G C ;

3) 0( ) ( )L f Cf z , 0( ) ( )M f f z , де 0 ,z G C .

Список літератури: 1. Kothe G. Dualitat in der Funktionentheorie // J. reine und angew.

Math. – 1953. – 191. – P.30–49. 2. Rubel L. A. Derivation pairs on the holomorphic functions // Funk.

Ekvac. – 1967. – 10. – P. 225–227. 3. Nandakumar N. R. A Note on Derivation Pairs // Proc. Amer.

Math. Soc. – 1969. – 21. – P. 535–539. 4. Kannappan Pl., Nandakumar N. R. On a cosine functional equation

for operators on the algebra of analytic functions in a domain // Aeq. Math. – 2001. – 61.– P. 233–238.

5. Kannappan Pl. Functional Equations and Inequalities Applications. – Springer, New York, 2009. – 810 р.

24

Христина Думитраш Науковий керівник – асист. Конаровський В.В.

Асимптотична поведінка важкої дифузійної частинки в потоці Арратья

У роботі розглядається наступна модель взаємодіючих частинок на прямій. Частинки стартують з цілих точок прямої, рухаються незалежно одна від одної до моменту зустрічі, потім склеюються і рухаються разом. Кожна частинка, яка стартувала не з початку координат, рухається як броунівська (не змінюючи своєї дифузії) до моменту зустрічі з частинкою, що стартувала з нуля. Частинка, яка стартувала з нуля, має масу і ця маса в момент часу t рівна кількості частинок, що приклеїлись до неї до часу t . Крім того, коефіцієнт дифузії цієї частинки обернено пропорційно залежить від маси. Дану модель можна інтерпретувати так: ми поміщаємо в потік Арратья [1] важку частинку, яка при склеюванні з іншими частинками “сповільнює” свій рух (дифузія зменшується).

Побудовано випадковий процес, який описує еволюцію частинки, що стартувала з нуля, і досліджено асимптотичні властивості цього процесу. Має місце наступна теорема.

Теорема 1. Нехай 푤 (푡), 푘 ∈ ℤ\0, 푡 ≥ 0 система випад-кових процесів, яка задовольняє такі властивості:

1) для довільного 푘 ∈ ℤ\0 푤 (푡), 푡 ≥ 0, − вінерів-ський процес, який стартував з 푘 і має дифузію 1;

2) для довільних 푘 < 푙 і 푡 ≥ 0 푤 (푡) ≤ 푤 (푡); 3) для довільних 푘, 푙 ∈ ℤ\0 і 푡 ≥ 0

⟨푤 , 푤 ⟩ ∧ , = 0, де

휏 , = inf푡: 푤 (푡) = 푤 (푡) . Тоді існує випадковий процес 휉(푡), 푡 ≥ 0, такий, що

a) 휉(푡), 푡 ≥ 0, − неперервний квадратично інтегрований мартингал відносно фільтрації

25

ℱ = 휎(휉(푠), 푤 (푠), 푠 ≤ 푡, 푘 ∈ ℤ\0 ); b) 휉(0) = 0; c) для довільного 푡 ≥ 0

⟨휉⟩ = ∫ ( ) ,

де 푚(푠) = 1 + |푘: ∃푠 ≤ 푡 휉(푠) = 푤 (푠)|;

d) для довільних 푘, 푙 ∈ ℤ\0 і 푡 ≥ 0

⟨휉, 푤 ⟩ ∧ = 0,

де 휎 = inf 푡: 휉(푡) = 푤 (푡) .

Крім того, розподіл 휉(푡), 푡 ≥ 0, не залежить від вибору суку-ності процесів 푤 (푡), 푘 ∈ ℤ\0, 푡 ≥ 0.

Слід відмітити, що існування системи процесів, що задоволь-няє умови 1) – 3) теореми, було доведено, наприклад, у [2].

Теорема 2. Випадкові процеси 휉(푡), 푡 ≥ 0, і 푚(푡), 푡 ≥ 0, задо-вольяють таким асимптотичним властивостям:

ℙ lım

→

( )√

≤ 1 = 1,

ℙ lım →

( )√

= 0 = 1.

Список літератури: 1. Arratia R.A. Brownian motition on the line: PhD dissertation. −

Wiskonsin, Madison, 1979. 2. Дороговцев А.А. Мерозначные процессы и стохастические

потоки. – К.: Ин-т математики НАН Украины, 2007. – 289 с.

26

Юлія Зайшлюк Науковий керівник – проф. Пукальський І.Д.

Задача з косою похідною для параболічних рівнянь з

імпульсною дією Нехай 퐷 – обмежена область простору 푅 з межею 휕퐷. В

області DT)[0,Q розглянемо задачу знаходження функції 푢(푡, 푥), яка при 푡 ≠ 푡 , 0 < 푡 < 푇 задовольняє рівняння

),(),(),(),( 01,1,

2 xtfuxtauxtaxtatu n

jixij

n

jixxij iji

,

(1) умови за змінною t

),(),0( xxu (2) ),(),0())(1(),0( 11111 xtxtutdxtu (3)

і крайову умову

)4(,),(]),(),([lim),)((lim1

0

n

i iiDzxDzx

xtguxtbxuxtbxtgBu

де Г = [0, 푇) × 휕퐷.

Щодо задачі (1) – (4) вважаємо виконаними такі умови: а) для довільного вектора ),...,( 1 n виконується

нерівність

,П ),(П 22

1,

21

n

jijiij xta

де П , П – фіксовані додатні сталі,

Q)(Caij , Q)(Cai ,

Q)(0Ca 0inf 00 a

Q, ),1,0( Q),(Cf

);(2 DC

б) вектор ,..., 1 nbbb утворює з напрямком зовнішньої нормалі 푛 до 휕퐷 в точці 푃(푡, 푥) ∈ Г кут, менший за ,

27

),(1 ГCbi 푏 ∈ 퐶 (Г), ,0),0)((lim

xgBu

Dzx

)),(Q( 12

1 ttC )(),0(),0(( 1111 tbxtgxtg D

,),0( 11 DBxtg 푏Г

> 0, 휕퐷 ∈ С .

Позначимо через 푄 = [0, 푡 ) × 퐷, Г = [0, 푡 ) × 휕퐷, 푄 =[푡 , 푇) × 퐷, Г = [푡 , 푇) × 휕퐷, 푄 = 푄 ∪ 푄 , Г = Г ∪ Г .

Правильні наступні теореми. Теорема 1. Нехай 푢(푡, 푥) – класичний розв’язок задачі (1) –

(4) в області 푄 і виконані умови а), б). Тоді для 푢(푡, 푥) правильна оцінка

|푢(푡, 푥)| ≤ (1 + |푑|) max sup|휑| , sup 푓푎 , supГ

푔푏 +

+ sup∩( )

|휑 | , sup 푓푎 , supГ

푔푏 . (5)

Нерівність (5) доводиться за схемою доведення теореми 2.2 із [1, с.24], тобто аналізуються всі можливі значення додатного максимуму і від’ємного мінімуму розв’язку 푢(푡, 푥).

Теорема 2. Нехай для задачі (1) – (4) виконані умови а), б). Тоді існує єдиний розв’язок задачі (1) – (4) із простору С (푄 ) і справджується нерівність

||푢|| ( ) ≤ 퐶 ||휑|| ( ) + ||푓|| ( ) + ||푔|| (Г )

+ ||휑 || ∩( ) .

Теорема 2 доводиться за допомогою методики доведення теореми §9 із [2, с.61].

Список літератури: 1. Ладыженская О. А., Солонников В. А., Уральцева Н. Н. Линей-

ные и квазилинейные уравнения параболического типа. – М.: Наука, 1967. – 736 с.

2. Матійчук М. І., Перун Г. М. Крайові задачі для параболічних і еліптичних рівнянь: навчальний посібник. – Чернівці : Чернівецький національний університет, 2011. – 144 с.

28

Ганна Іваненко Науковий керівник проф.Черевко І.М.

Різницеві схеми для систем диференціальних

рівнянь із запізненням та їх застосування

Розглядається початкова задача ))(...,),(),(,()( 1 ktxtxtxtftx , (1)

],0,[),()( tttx (2) де n...21 .

Для розв’язування початкових задач (1)(2) немає універсальних аналітичних методів [1]. У зв’язку з цим важливою є задача побудови та обґрунтування наближених алгоритмів розв’язування таких задач. У цій роботі здійснено узагальнення явної різницевої системи Ейлера для наближеного розв’язання задачі (1)(2).

Розв’язок (1)(2) шукаємо у вигляді ітераційної схеми:

,...,,1,...,,,0),...,,,,,(

,...,,2,...,,,0)),(,...,)(,,,(,...,,1,...,,0,0)),(...,,)(,,(

,,2,1

12,1

2

1

mjnkitzzzxtf

mjkkitttzxtfmjkitttxtf

hxx

mjiimiiii

jimiiiii

jimiiii

ii

(3)

де .0,,...,2,1,0, hniiht i Величини ,,ijz ,,...,1,0 nj ,,...,1,0 ni обчислюємо за

алгоритмом: 1) знаходимо 1:

jj kjikj tttk ;

2) знаходимо ijz , , використовуючи інтерполяційний многочлен Лагранжа, побудований по точках

),(jj kk xt , ),( 11 jj kk xt :

j

j

j

jk

jikk

kjiij x

h

ttx

h

ttz

11, .

Теорема. Якщо розв’язок початкової задачі (1)(2) – двічі неперервно диференційована функція, то метод Ейлера (3) збіжний при 0h , порядок збіжності 1p .

29

Побудована ітераційна схема застосована для розв’язання початкової задачі для епідеміологічної моделі з двома запізненнями [23]:

.0,0)(,1)0(,5)0(),()()('

),()()()(

),()()()(

231

22'3

2221'2

2221'1

хxyyyxyxyxy

xyxyxyxyxyxyxyxy

Числові експерименти показують, що при фіксованому інкубаційному періоді 12 періодичні спалахи інфекції виникають, якщо час втрати імунітету 7 . В цьому випадку варто проводити вакцинацію населення для того, щоб епідемія припинилась. Якщо ж 6 , то епідемія стабілізується.

Рис. Розв’язок моделі із запізненням при τ=7, 2 =1

Список літератури: 1. Эльсгольц Л.Э., Норкин С.Б. Введение в теорию

дифференци-альных уравнений с отклоняющимся аргументом. – М.: Наука, 1971. – 296 с.

2. Хайрер Э., Нерсетт С., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежесткие задачи. – М.: Мир, 1990. – 512 с.

3. Братусь А., Новожилов А., Платонов А. Динамические системы и модели в биологии.– М.:Физматлит, 2010. – 436 с.

30

Антоніна Ілінюк Науковий керівник – асист. Мельник Г.В.

Розробка зовнішніх компонент для обміну даними (засобами “1С: Підприємство”)

Різноманітні і гнучкі можливості системи “1С:Підприємство” дозволяють використовувати її і як досить простий і наочний інструмент бухгалтера, і як засіб повної автоматизації господарського обліку. Якщо необхідно включити відділеним користувачам доступ до даних конфігурації “1С: Підприємства”, можна використовувати спеціалізовані елементи управління, що надаються Web-розширенням.

Досить часто виникає потреба динамічного обміну повідомленнями в межах середовища “1С: Підприємства”: інформування менеджерів про надходження товарів, зміну ціни, автоматичне списання зарезервованої партії закупівлі, надходження чи вибуття грошових коштів тощо. Реалізація подібних задач може бути покладена на використання протоколів OSCAR чи XMPP. Протокол OSCAR використовує централізована служба миттєвого обміну повідомленнями ICQ. Протокол XMPP заснований на XML, є відкритим, вільним для використання протоколом для вільного обміну даними в режимі, що є близьким до режиму реального часу, раніше відомий як Jabber.

“1С: Підприємство” є розширюваною системою. Для розширення функціональних можливостей системи використовуються зовнішні компоненти (ЗК). З точки зору розробника ЗК є деяким зовнішнім об’єктом, який має властивості та методи а також здатний генерувати події для обробки системою “1С: Підприємство”.

Для реалізації поставленої задачі була розроблена зовнішня компонента, яка забезпечує роботу служб ICQ та Jabber в середовищі довільної конфігурації “1С: Підприємство”. Компонента передбачає методи для забезпечення роботи служби ICQ (Соединиться(…), Отсоединиться(), Отослать-Сообщение(…), ИзменитьСтатус(…) тощо) та служби Jabber (жПолучитьДанныеПользователя(…), жДобавитьПользователя-(…), жУдалитьПользователя(…), жПодтвердитьАвторизацию(…) тощо).

31

Компонента зберігається в підсистемі 1С 8.2 “Сховище зовнішніх компонент”. “Сховище” зберігає зовнішні компоненти і супутні файли інформаційної бази та, у випадку відсутності компоненти на носіях комп’ютера користувача, зберігає потрібні файли та реєструє їх в системі. Для роботи компоненти необхідно встановити Microsoft .Net Framework 2.0 і 3.5.

Для демонстрації роботи компоненти була створена конфігурація, яка може бути об’єднана з довільною конфігурацією системи 1С версії 8.2. У конфігурації передбачені константи, що зберігають налаштування proxy-сервера та обробки, які дозволяють завантажити вікна служб ICQ та Jabber у вікні конфігурації “1С: Підприємство” (рис.1).

У межах поставленого завдання забезпечується: - обмін повідомленнями між користувачами; - надсилання та одержання файлів; - завантаження списку контактів з сервера ICQ та Jabber; - збереження та перегляд історії повідомлень.

Список літератури: 1. Web-розширення. – [Електронний ресурс] – Режим доступу :

http://v8.2c.ru/overview/WEB.htm. 2. С. Мітічкін “Загрузка зовнішніх компонент 1C”. – [Електронний

ресурс] – Режим доступу : http://kb.mista.ru/article.php?id=419.

Панель ICQ Вікно для повідомлень Панель Jabber

Вікно для виведення інформації про адресата

Рис.1. Вікно конфігурації “1С: Підприємство”

32

Христина Ілюк Науковий керівник – проф. Бігун Я.Й.

Математичне моделювання взаємодії ракових

клітин з імунною системою, зараженою ВІЛ-інфекцією Базовою моделлю взаємодії ракових клітин з імунною

системою є

1 1

2 1 1

(t) (t) (t),

(t)(t) 1 (t) (t) (1 ) ( ) ( ),

dT rT ak T EdtdE Er E k T E k T t E tdt m

(1)

де T відображає щільність ракових клітин, а E – щільність здорових імунокомпетентних клітин. Біологічна інтерпретація коефіцієнта a означає, що 1a . Це викликано тим, що потрібно щонайменше однієї NK-клітини для нейтралізації однієї клітини раку. В моделі, де враховується вірус імунодефіциту людини, ситуація складається дещо по-іншому, оскільки деякі з імунокомпетентних клітин стають неактивними внаслідок дії вірусу. Таким чином, така модель описується трьома рівняннями в яких T t позначає щільність клітин раку,

E t – щільність неінфікованих імунокомпетентних клітин та

I t – щільність неактивних імунокомпетентних клітин. Отже, попередня модель з урахуванням ВІЛ-інфекції має

вигляд

1 1

2

1 1 2

2

(t) (t) (t),

(t) (t)(t) 1

(t) (t) (1 ) ( ) ( ) (t) (t),

(t) (t) (t),

dT rT ak T EdtdE E Ir Edt m

k T E k T t E t k E IdI k E I Idt

(2)

де I – імунокомпетентні клітини інфіковані вірусом ВІЛ. Розглянемо положення рівноваги систем (1) та (2). З

першого рівняння обох системи ми маємо або 0T , або 33

1 1/E r ak . Для (1), якщо 0T , то 0E або E m . З

іншого боку, якщо 1 1/E r ak , тоді

22 1 1 1/T r ak m r ak m .

Таким чином, для системи (1) є два положення рівноваги 0, 0A та 0,B m , а за умови 1 1/r a k m

2 1 1 12

1 1

,r ak m r rD

ak m ak

.

З останнього рівняння системи (2) ми отримали 0I або 2/E k . Якщо 0T і 0I , тоді існує два положення

рівноваги: один тривіальний 0, 0,0HA і стан який описує здоровий організм 0, ,0HB m , аналогічно до положень

рівноваги A і B для системи (1). Якщо 0I , отримаємо

2 2

2 2 2 2

0, ,H

r k mC

k k k m r

.

Цей стан існує, якщо 2 2 2max / , /m k r k , або

2 2 2min / , / m k r k . При T 0 отримаємо четверте положення рівноваги

2 1 1 12

1 1

, ,0H

r ak m r rDak m ak

за умови 1 1/r a k m . Розроблено програму аналізу положень рівноваги в моделі (1) і (2), знаходження наближеного розв’язку цих систем та побудови фазового портрету.

Список літератури:

1. Bodnar M., Foryś U., Szymańska Z. Model of AIDS-related tumour with time delay // ICM, University of Warsaw. – 2009. – 36, 3. – P. 263–278.

34

Вадим Кавцинюк Науковий керівник – доц. Мартинюк О.В.

Група, породжена числами Кліффорда, та її властивості

Створення числення, що дозволяє оперувати геометрич-

ними величинами за правилами алгебри, здавна було метою досліджень багатьох математиків. Про це мріяв ще Лейбніц, цього намагався домогтися Карно. Однак перші дійсно важливі систематичні побудови такого роду були зроблені ірландцем Вільямом Гамільтоном (1805-1865), який у пошуках об'єктів, що узагальнювали б комплексні числа, відкрив кватерніони (відмовившись при цьому від властивості комутативності добутку), і німцем Германом Грассманом (1809-1877), який у 1844 ввів поняття зовнішнього, а потім і внутрішнього добутку для мультивекторів. У 1878 році англійцю Вільяму Кліффорду (1845-1879) вдалося об'єднати ці дві різні схеми в рамках єдиної алгебри [1], що охоплює і звичайне векторне числення у триви-мірному просторі, яке розроблене в остаточному вигляді амери-канцем Джозая Гіббсом (1839-1903). Проте лише в 1930 році ви-никла необхідність строгого коректного математичного викладу для цієї алгебри, оскільки її застосування у фізиці [2] набуло важливого значення.

У разі евклідових просторів , 3nE n , а також простору-часу спеціальної теорії відносності, можна визначити добуток двох векторів як добуток двох матриць, зіставлених векторам; при цьому всі аксіоми чисел Кліффорда очевидним чином вико-нуються. У загальному випадку добутки векторів, які є елемен-тами nK , будуть визначені як функції по відношенню до деяко-го базису цього простору. Тим самим вони будуть визначені від-разу у всіх базисах, тому необхідності матричного подання век-торів немає.

Нехай 0 1 , ,..., , ,nM e e e n – деяка скінченна множи-на елементів. Елементи множини M називаються числами Кліффорда, якщо на множені M визначена операція множення, яка задовольняє умови

35

0 0 0 0 0

20

, , 0,0, , 0, 0,

, 1.

i i i

i j j i

i

e e e e e e e e ie e e e i j i j

e e i

Нехай ,A B – деякі підмножини множини 1,2,..., .N n Через ( , ), ,A j j N позначимо кількість елементів ,i A таких що i j . Припустимо, що

( , )( , ) ( , ), ( , ) ( 1) .A B

j BA B A j A B

Позначимо 1 2

... ,mA i i ie e e e якщо 1 2 , ,..., mA i i i – підмно-

жина в N , яка впорядкована за зростанням. Добуток елементів Ae та Be визначимо рівністю

( , ) ,A B Ce e A B e (1) де C A ∆ B – симетрична різниця множин A та B .

Множина | AG e A N , на якій задано операцію мно-ження за правилом (1), утворює групу [3].

Нами досліджено властивості групи G : 1) кількість неізоморфних підгруп групи G дорівнює n ; 2) для довільної власної нетривіальної підгрупи H в G :

( ) ( )GC H Z H , де ( ) | , ;GC H x G xg gx g H 3) комутант групи G лежить в її центрі; 4) група G – 4-періодична; 5) група внутрішніх автоморфізмів G ізоморфна її центру; 6) група G – нільпотентна; 7) ступінь нільпотентності групи G дорівнює 2; 8) кожна фактор-група нільпотентної групи G є нільпотентна.

Список літератури: 1. Clifford W. The Common Sense of the Exact Sciences. MacMiiian. –

1887. – P. 361. 2. Казанова Г. Векторная алгебра. – М.: Мир, 1979. – 120 с. 3. Кавцинюк В. Деякі властивості групи, породженої числами

Кліффорда// Матеріали студ. наук. конф. Чернівецького нац. у-ту, при-свяченої дню науки (17–19 квітня 2013 р.). Фізико-математичні нау- ки. – Чернівці: Чернівецький нац. у-т, 2013. – С. 405–406.

36

Ольга Кваснюк Науковий керівник − проф. Пукальський І.Д.

Перша крайова задача для параболічного рівняння з імпульсною умовою

Нехай 푡 , 푡 , 푇 − довільні фіксовані додатні числа, 푡 < 푡 < 푇, D – обмежена область простору 푅 з межею 휕퐷. В області 푄 = (푡 , 푇) × 퐷 розглядається задача знаходження функції 푢 = (푡, 푥), яка задовольняє рівняння при 푡 ≠ 푡

휕 푢 − 퐴,

(푡, 푥)휕 푢 + 퐴 (푡, 푥)휕 푢 + 퐴 (푡, 푥)푢 =

= 푓(푡, 푥) (1) за умов 푢(푡 + 0, 푥) = 휑(푥), (2)

푢(푡 + 0, 푥) − 푢(푡 − 0, 푥) == 푑(푡 , 푥)푢(푡 − 0, 푥)+ 휑 (푡 , 0), (3)

та крайову умову lim 푢(푡, 푥) − 퓆(푡, 푥)= 0. (4)

Для задачі (1)−(4) вважаємо, що виконуються умови: 푎) рівняння (1) рівномірно параболічне, 퐴 ∈ 퐶 (푄), 퐴 ∈ 퐶 (푄), 퐴 ∈ 퐶 (푄), 퐴 ≥ 휀 > 0,

훼 ∈ (0,1); 푏) функції

푓 ∈ 퐶 (푄), 휑 ∈ 퐶 (퐷), 휑 휖 퐶 푄 ∩ (푡 = 푡 ) , 휑| = 푔| ,

[푔(푡 + 0, 푥) − 푔(푡 − 0, 푥)]| == [푑(푡 , 푥)푔(푡 − 0, 푥) + 휑 (푡 , 푥)]| ,

37

푑(푡 , 푥) ∈ 퐶 푄 ∩ (푡 = 푡 ) , 푔 ∈ 퐶 ([(푡 , 푡 ) ∪ (푡 , 푇)] ∗ 퐷,

휕퐷 ∈ 퐶 . Позначимо 푄 : = [푡 ,푡 ) ∗ 퐷, 푄 : = [푡 , 푇) ∗ 퐷, Γ : = [푡 , 푡 ) ∗ 휕퐷,

Γ : = [푡 , 푇) ∗ 휕퐷, 푄 : = 푄 ∪ 푄 , Γ : = Γ ∪ Γ . Правильні наступні теореми.

Теорема 1. Якщо виконані умови а) і b) та 푢(푡, 푥) – класичний розв’язок задачі (1)−(4) в області Q , то для 푢(푡, 푥) правильна оцінка

|푢(푡, 푥)|

≤ 푚푎푥 1 + sup∩( )

|푑| ×

× 푚푎푥 sup|휑| , sup|푓푎 | , supГ

|푞|

+ sup∩( )

|휑 | , sup|푓푎 | , supГ

|푔| . (5)

Обгрунтування теореми 1 проводиться за допомогою методики доведення теореми 2.1 із [1, с. 22]

Теорема 2. Якщо виконані для задачі (1)−(4) умови 푎) та 푏), то існує єдиний розв’язок задачі (1)−(4) із простору 퐶 (푄 ) і справджується нерівність

‖푢‖ ( )

≤ 퐶 ‖휑‖ ( ) + ‖푓‖ ( ) + ‖푔‖ ( )

+ ‖휑 ‖ ( ∩( )) , (6) де 푔(푡, 푥) – неперервне продовження функції 푔 = (푡, 푥) в області 푄 із збереженням гладкості та норми. Для доведення теореми 2 використано методику обгрунтування теореми 16.2 із [1, с. 469].

Список літератури: 1. О.А. Ладыженская, В.А. Солонников, Н.Н. Уральцева. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа М.: Наука, 1967. 736 с.

38

Марія Кисилиця Науковий керівник – доц. Колісник Р.С.

Особливості розв’язування задач з параметрами в ПМК GRAN

Задачі з параметрами є одними з найважчих задач курсу еле-ментарної математики. Їхнє розв’язання, по суті, це є досліджен-ням функцій, що входять в умову задачі, і подальшим розв’язанням рівнянь або нерівностей з числовими коефіцієнтами. При розв’язуванні рівнянь (нерівностей) з параметрами потрібно з’ясувати, при яких значеннях параметра задане рівняння (нерівність) має розв’язок, і знайти всі ці розв’язки. У тому випадку, коли хоча б одне з допустимих значень параметра не досліджено, задача не вважається повністю розв’язаною.

Протягом тривалого часу задачі з параметрами входять в ек-заменаційні білети з математики для абітурієнтів вищих навчальних закладів, а в останні роки такі задачі пропонуються й при складанні ЗНО. В програмах з математики для неспеціалі-зованих шкіл цим задачам відводиться незначне місце, розглядають вони рідко і на вивчення методів їх розв’язування відводиться дуже мало часу, що приводить до виникнення ряду проблем при розв’язанні таких задач як в учнів, так і в абітурієн-тів.

Розв’язування задач з параметрами сприяє розвитку логічно-го мислення учнів, набуттю вмінь та навичок аналізувати та за-стосовувати отримані знання. Тому від того, наскільки глибоко та якісно учні засвоять дану тему, залежить їхня спроможність використовувати набуті знання, вміння та навички при розв’язу-ванні різних задач такого типу. Для того, щоб покращити рівень засвоєння учнями методів розв’язування задач з параметрами, вчителю варто приділити увагу наочності, відсутність якої зазвичай і викликає труднощі у вивченні даного матеріалу. Не завжди вчитель має змогу підготувати достатню кількість

39

моделей, що наочно ілюструють відповідний теоретичний мате-ріал, а недостатнє використання наочностей впливає на якість його засвоєння учнями.

Одним із шляхів вирішення цієї проблеми є використання вчителем при розв’язуванні задач з параметрами засобів інфор-маційних технологій навчання (ІТН). Розгляду комплексу пи-тань, пов'язаних з використанням сучасних засобів ІТН у на-вчальному процесі, присвячені праці Є. Ф. Вінниченко, О. В. Ві-тюка, Ю. В. Горошка, M. І. Жалдака, С. А. Ракова, Ю. С. Рамсь-кого, О. В. Співаковського та ін. Результати дослідження цих ав-торів свідчать про те, що впровадження ІТН створює передумо-ви поглиблення змісту математичної освіти, розвиває особис-тість, стимулюючи пізнавальну активність школяра, сприяє інтенсифікації процесу навчання. Серед вітчизняних розробок найбільш придатними для підтримки вивчення шкільного курсу математики є програмно методичний комплекс (ПМК) GRAN, який створений авторським колективом під керівництвом академіка АПН України М.І. Жалдака. Саме розгляду питання про використання ПМК GRAN, як засобу візуалізації задачі та її розв'язку, при вивченні методів розв’язування задач з параметрами присвячена дана робота.

Нами розглянуто можливості ППЗ GRAN, що стосуються розв’язування різних типів рівнянь та нерівностей з параметра-ми, наведено приклади розв’язання задач з параметрами різними традиційними методами і за допомогою ПМК GRAN; розробле-но факультативний курс «Задачі з параметрами» для учнів 9 кла-су ЗНЗ, в програму якого включено всі основні типи задач з па-раметрами базової школи, до всіх задач наведені розв’язки.

Список літератури: 1. Жалдак М.И., Горошко Ю.В., Винниченко Е.Ф. Математика с

компьютером: Пособие для учителей. – К.: РУНЦ „ДИНИТ”, 2004. – 251 с.

2. Крамор С.В. Задачі з параметрами і методи їх розв’язання. – Тернопіль: Навчальна книга – Богдан, 2011. − 416 с.

40

Анастасія Кілей Науковий керівник – проф. Черевко І. М.

Розв’язування крайових задач для інтегро-диференціальних рівнянь із запізненням

методом сплайн-апроксимацій Розглядається крайова задача із запізненням 푦 ′′(푥) = 푓 푥, 푦(푥), 푦 푥 − 휏 (푥) , 푦 ′( ), 푦 ′ 푥 − 휏 (푥) + (1)

+ ∫ 푔 푥, 푡, 푦(푡), 푦 푡 − 휏 (푡) , 푦 ′(푡), 푦 ′ 푡 − 휏 (푡) 푑푡 , 푥 휖 [푎, 푏], 푦( )(푥) = 휑( )(푥), 푝 ∈ 0,1, 푥 ∈ [푎∗, 푎], 푦(푏) = 훽, (2) де 푓(푥, 푢, 푢 , 푣, 푣 ) і 푔(푥, 푡, 푢, 푢 , 푣, 푣 ) – неперервні функції,

що задовольняють умову Ліпшицa по 푢, 푢 , 푣, 푣 , запізнення 휏 (푥), 휏 (푥) – неперервні невід’ємні функції, визначені на [푎, 푏], 훽 ∈ ℝ, 휑(푥) ∈ 퐶 [푎∗ , 푎],

푎∗ = 푚푖푛 min [ , ]

푥 − 휏 (푥) , min [ , ]

푥 − 휏 (푥) .

Нехай запізнення 휏 (푡) таке, що множина точок 퐸: 푥 ∈ [푎, 푏]: 푥 − 휏 (푥 ) = 푎, 푖 ∈ 1,2, … , 푙 скінченна. Розв’язком крайової здач (1)-(2) називатимемо функцію 푦(푥),

яка задовольняє крайові умови (2) і рівняння (1) за можливим винятком точок множини 퐸. Існування та єдність розв’язку задачі (1)-(2) досліджено в [1, 2].

Розглянемо схему знаходження наближеного розв’язку крайової задачі (1)-(2) у вигляді послідовності сплайнів. Задамо на [푎 , 푏] сітку ∆ : 푎 = 푥 < 푥 < ⋯ < 푥 = 푏 так, щоб 퐸 ⊂ ∆ .

1) Вибираємо кубічний сплайн 푆(푦( ), 푥) так, щоб задовольнити крайові умови (2).

2) Використовуючи рівняння (1) і 푆(푦( ), 푥), знаходимо (푀 ) = 푓푥 , 푆 푦( ), 푥 + 0 , 푆 푦( ), 푥 + 0 − 휏 푥 ,

푆′ 푦( ), 푥 + 0 , 푆′ 푦( ), 푥 + 0 − 휏 푥 , 푗 ∈ 0, … , 푛 − 1, (4)

(푀 ) = 푓푥 , 푆 푦( ), 푥 − 0 , 푆 푦( ), 푥 − 0 − 휏 푥 ,

푆′ 푦( ), 푥 − 0 , 푆′ 푦( ), 푥 − 0 − 휏 푥 , 푗 ∈ 1, … , 푛. (5) У формулах (4), (5) 푆 푦( ), 푡 = 휑 (푡), 푝 ∈ 0,1, якщо

푡 < 푎. 3) Із системи рівнянь

41

푦( ) − 2푦( ) + 푦( ) =ℎ6

(푀 ( ) + 2푀 ( ) +

+2푀 ( ) + 푀 ( )), 푗 ∈ 1, … , 푛 − 1, 푦 = 휑(푎), 푦 = 훽 (6) знаходимо множину точок 푦( ), 푗 ∈ 0, … , 푛, 푘 ∈ 0,1, …. 4) За множиною 푦( ), 푗 ∈ 0, … , 푛 знаходимо кубічний

сплайн 푆(푦( ), 푥), який виступає як наступне наближення. Якщо послідовність сплайнів 푆(푦( ), 푥), 푘 ∈ 0,1, … ,

збігається до розв’язку задачі (1)-(2), то при достатньо великому m сплайн 푆(푦( ), 푥) буде апроксимацією шуканого розв’язку.

Приклад. Знайти розв’язок крайової задачі 푦 ′′(푡) = 푦 ′(푡 − 1) + 푡 при 푡 ∈ [0,2], 푦(푡) = 푡, 푦 ′(푡) = 1 при 푡 ∈ [−1,0], 푦(2) = 4. У таблиці 1 наведені значення точного розв’язку

푦т, знайденого методом кроків та наближеного розв’язку 푦 , 푦 при ℎ = 0,1 на 3 та 5 ітераціях.

Таблиця 1. 풙풊 풚т 풚ퟑ ∆ퟑ 풚ퟓ ∆ퟓ

0,5

0,308 0,324 0,016 0,321 0,013

1,0

1,137

1,023 0,114 1,037 0,100

1,5

2,260

2,188 0,088 2,203 0,057

2,0

4,000

4,000 0,000 4,000 0,000

Список літератури: 1. Каменський Г. А., Мышкис А. Д. Краевые задачи для нелинейного дифференциального уравнения с отклоняющимся аргументом нейтрального типа // Дифференц. уравнения. – 1972. – T. 8, 12. – C. 2171–2178 2. Nicolova T.S., Bainov D. D. Application of spline-functions for the construction of an approximate solution of boundary value problems for a class of functional-differential equations // Yokohama Math J. – 1981. – V. 29, 1. – P. 108–122. 3. Настасьєва Н. П., Черевко І. М. наближений метод розв’язання кураєвої задачі для інтегро-диференціальних рівнянь нейтрального типу // Мат. Студії. – 1998. – T. 10, 2. – C. 147–152.

42

Христина Козак Науковий керівник – доц. Сікора В.С.

Розробка курсу Поліноміальні матриці та їх застосування

Уперше поняття матриці з’явилося в роботах англійських математиків У. Гамільтона (1821 1865) та А. Келі (1821 1895), а в наш час широко використовується у прикладній математиці і при проведенні досліджень у різних галузях наук, оскільки час-то матриці набагато спрощують розгляд складних рівнянь та їх систем. При цьому такі задачі використовують функції від мат-риць чи матриці, елементами яких є деякі функції (многочлени та неперервні функції від однієї чи декількох змінних тощо). Такі питання вивчаються в алгебрі матриць [1] та суттєво вико-ристовуються при дослідженні нестаціонарних процесів у ліній-них системах автоматичного регулювання та керування [2], у те-орії диференціальних рівнянь при розв’язуванні звичайних рів-нянь та рівнянь частинними похідними [3] тощо.

Незважаючи на багатогранність застосувань теорії матриць, у класичних університетських курсах дуже мало часу присвяче-но їх вивченню. Тому одним з наших основних завдань було ознайомлення з необхідною інформацією, зосередивши при цьо-му основну увагу на поліноміальних матрицях, матричних полі-номах та функціях від матриць з точки зору їх викладання на за-няттях математичного гуртка та в курсі лінійної алгебри для сту-дентів-математиків. Розглянуту теорія оформлено у вигляді конспектів лекційних та практичних занять за даною темою, наведено приклади завдань для самостійної роботи студентів.

Значна увага приділяється використанню характеристичного та мінімального многочленів у згаданих вище застосуваннях те-орії поліноміальних матриць. Розв’язано різноманітні задачі на відшукання таких многочленів для різних матриць та їх подаль-шого використання до деяких цікавих прикладів (знаходження значень тригонометричних та експоненціальних функцій від матриці; знаходження границі, похідної та інтеграла від деяких матричних функцій), описано алгоритми розв’язання окремих

43

типів диференціальних рівнянь за допомогою поліноміальних матриць. При цьому суттєво використовується такі твердження.

Твердженя 1. [1] (Теорема Жордана) Довільна числова матриця з комплексними (дійсними) елементами подібна до дея-кої жорданової матриці.

Твердження 2. [1] Дві числові матриці подібні тоді й тіль-ки тоді, коли їх жорданові форми однакові з точністю до роз-міщення жорданових кліток.

Твердження 3. [2] (Теорема Гамільтона-Келі). Характерис-тичний многочлен ( ) det( )A E числової матриці A є її мінімальним многочленом, тобто ( ) 0A .

Твердження 4. [1] Якщо функція ( )f розкладається у

степеневий ряд 00

( )kk

kf c

, збіжний в крузі 0 R ,

то для будь-якої квадратної матриці A , власні значення якої лежать усередині круга збіжності, справедливий розклад:

00

( )kk

kf A c A E

.

Приклад. Нехай 2 2

2 2

2 5 3 3 2( )

3 7 11 3 9 1A

, 2 12 2

B

.

Тоді 2 4 4 14 93 3 3 1 13 11

A B E

— ділення на

B E зліва; 2 1 3 7 93 5 3 6 13 18

A B E

—

ділення на матрицю B E справа.

Список літератури: 1. Гантхамер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1967. 576 с. 2. Іванов А. О. Теорія автоматичного керування. Дніпропет-

ровськ: Нац. гірничий ун-т. 2003. 250 с. 3. Фридлендер В.Р. Полиномиальные матрицы и системы уравне-

ний с частными производными // Известия ВУЗ. Математика. 1966. 5 (54). – C. 118–123.

44

Юлія Кондрюк Науковий керівник – доц. Філіпчук М.П.

Мінімізація булевих функцій в класі кон’юнктивних нормальних форм

Однією з важливих задач дискретної математики, яка розв’язується при створенні дискретних перетворювачів та електронних схем, є проблема мінімізації булевих функцій [1].

Цифрова техніка базується на елементах і мікросхемах, функціонування яких описується булевими функціями.

Булеву функцію можна задавати за допомогою різних формул. Під мінімізацією розуміють знаходження найпростішої у певному класі формул формули (форми), яка реалізує цю функцію. Попередня мінімізація булевої функції дозволятиме при побудові перетворювача, який реалізує функцію, використати найменшу кількість функціональних елементів, а тому зменшиться об’єм та ціна приладу і зросте надійність його роботи.

Практичне розв’язання задачі мінімізації викликає суттєві труднощі, якщо булева функція залежить від великої кількості змінних. Тому актуальною є розробка програмного забезпечення для мінімізації булевих функцій. Цікавим є також питання, які саме булеві функції є найбільш складними для мінімізації, тобто мають найбільшу кількість тупикових або мінімальних форм.

У даному дослідженні вказані питання вивчаються для випадку мінімізації булевих функцій у класі кон’юнктивних нормальних форм (КНФ) [2-4].

Як правило, проміжним етапом на шляху до отримання мінімальної форми є побудова спеціальної скороченої форми.

Використовуючи можливості середовища візуального програмування Delphi XE2 [5], створено програмний засіб, який для довільної булевої функції дозволяє побудувати:

досконалу КНФ; скорочену КНФ методами Нельсона та Квайна - Мак-

Класки;

45

всеможливі тупикові та мінімальні КНФ методами імплікантних таблиць і невизначених коефіцієнтів.

При цьому запропоновано та реалізовано модифікацію методу невизначених коефіцієнтів, яка, на відміну від відомого класичного варіанту, дозволяє отримати для заданої булевої функції не лише одну з мінімальних КНФ, а всеможливі тупикові та мінімальні КНФ.

Тестування програми показало, що модифікований метод невизначених коефіцієнтів дозволяє значно швидше знаходити всеможливі тупикові та мінімальні КНФ для заданої булевої функції у порівнянні з методом імплікантних таблиць.

Проведено обчислювальний експеримент з метою пошуку серед всеможливих булевих функцій, що залежать від n змінних, функцій із найбільшою кількістю тупикових КНФ та найбільшою кількістю мінімальних КНФ.

Встановлено, що булеві функції з найбільшою кількістю тупикових КНФ можуть не бути одночасно функціями з найбільшою кількістю мінімальних КНФ

Інтерфейс створеної програми робить її використання легким і зручним для користувача. Програма може ефективно використовуватися в навчальному процесі як демонстраційний і контролюючий засіб при викладанні та вивченні курсу "Дискретна математика".

Список літератури:

1. Закревский А.Д., Поттосин Ю.В., Черемисинова Л.Д. Логические основы проектирования дискретных устройств. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007. – 592 с.

2. Бондаренко М.Ф., Білоус Н.В., Руткас А.Г. Комп’ютерна дискретна математика. – Харків: "Компанія СМІТ", 2004. – 480 с.

3. Борисенко О.А. Дискретна математика. – Суми: ВТД «Університетська книга», 2007. – 255 с.

4. Нікольський Ю.В., Пасічник В.В., Щербина Ю.М. Дискретна математика. – К.: Видавнича група BHV, 2007. – 368 с.

5. Осипов Д.Л. Delphi XE2. – СПб.: БХВ-Петербург, 2012. – 912 с.

46

Павло Коропецький Науковий керівник – доц. Малик І.В.

Моделювання умовно-періодичних рухів

КАМ-теорія це теорія збурень умовно-періодичних

рухів гамільтонових і подібних їм систем у цілому для необмежних інтервалів часу. Зокрема, можна зробити фундаментальний висновок про відсутність еволюції в таких системах, який випливає з евристичного принципу усереднення і формальних процедур інтегрування. Сформулюємо твердження з [1].

Теорема. Нехай функція Гамільтона qpH , аналітична в

області : , ImF p G q і має період 2 по nqqq ,...,1 ;

qpHpHqpH ,, 10 , причому в області F

0det 02

ji ppH

.

Тоді для 0x за умови виконання в області F нерівності MH 1 ,

існує константа 0,,, 0 HGxMM , така, що рух, який визначається рівняннями

qHp

, Hqp

, (1)

володіє такими властивостями: 1) існує розклад 21Re FFF , де 1F інваріантна (тобто

разом з точкою p , q містить траєкторію tp , яка проходить через неї, tq задається рівнянням (1)), а 2F мале:

2mesF x mesF ; 2) 1F складається з інваріантних n -вимірних аналітичних

торів I , які задаються параметричними рівняннями

47

Qfpp , QgQq , де f , g аналітичні функції періоду 2 по nQQQ ,...,1 , а параметр, який нумерує тори I ;

3) інваріантні тори I мало відрізняються від торів

pp :

xQf , xQg ;

4) рух (1) на торі I є умовно-періодичним з n частотами

n ,...,1 :

Q ,

де pp

H

0 .

Було змодельовано умовно-періодичні рухи для гамільтоно-

вих та подібних їм систем. Моделювання проводиться автором

як для детермінованих, так і для стохастичних траєкторій.

Дослідження даних систем проводиться з використанням

методів перетину [2].

Список літератури:

1. Мозер Ю. КАМ–теория и проблемы устойчивости. – Ижевск: РХД, 2001. – 463 с.

2. Арнольд В.И., Козлов В.В., Нейштадт А.И. Математические аспекты классической и небесной механики // Динамические системы. М.: ВИНИТИ, 1985. – 303 с.

48

Олеся Крищук Науковий керівник – доц. Антонюк С.В.

Модель Васічека для рівняння тимчасової структури Розглянемо інвестора, який у момент часу t випускає в

продаж облігацію на суму 1V з датою погашення 1T і одночасно купує облігацію на суму 2V з датою погашення 2T . Таким чи-ном, повна вартість сконструйованого портфеля

2 1 1 2 2 1 1, , , ,P P P PdV V t T V t T dt V t T V t T dW . Припустимо тепер, що суми 1V , 2V вибираються відповідно

пропорційними 2( , )P t T і 1( , )P t T . Тоді другий доданок у рів-нянні накопичення зникає і рівняння набуває вигляду

12 1 1 2 1 2, , , , , , .P P P P P PdV V t T t T t T t T t T t T dt

Порівнюючи це з рівнянням накопичення, отримаємо

1 2

1 2

, ,.

, ,P P

P P

t T r t t T r tt T t T

Нехай через ,t r позначимо

, ,

,, ,

P

P

t T r rt r

t T r

, t T . (1)

Використовуємо тепер рівність (1), щоб отримати рівняння для ціни дисконтованої облігації

2

22

1 02r r r

P P P rPt r r

, t T . (2)

Рівняння (2) є рівнянням тимчасової структури. Вважатимемо, що ринкова ціна ризику стала ,t r , а

короткострокова ставка r t описується процесом Орнштейна–Уленбека:

dr r dt dW . (3) Умовне сподівання і дисперсія процесу при фіксованому

поточному значенні r t відповідно дорівнюють

exptE r T r t T t , t T ,

49

2 / 2 1 exp 2tVar r T T t , t T . При таких припущеннях розв’язок рівняння тимчасової

структури (2), що задовольняє граничну умову , , 1,P t T r має вигляд

, ,P t T r

2 2

3

1exp 1 1 ,4

T t T te y r T t y e

де t T і

2

2

1 .2

y

Середнє ,P t T і стандартне відхилення ,P t T миттєвої прибутковості облігації, що погашається до дати ,T

, 1 T tP t T r t e

,

, 1 T tP t T e

, t T .

При T середнє значення і стандартне відхилення прямує до меж

,P Pt r t

,

P

.

Тоді тимчасова структура процентних ставок набуває вигляду

2 2

3

1, 1 1 .4

y t T y r t y e e

(4)

Вираз (4) разом з рівнянням процесу короткострокової ставки (3) повністю характеризує поведінку процентної ставки.

Список літератури: 1. Медведев Г.А. Математические модели финансовых

рисков. – Минск: Электронная книга БГУ, 2003. – 247 с. 2. Bjork T. Arbitrage theory in continuous time. – Stockholm: Stockholm School of Economics, 1995. – 120 p.

50

Наталія Кузь Науковий керівник – доц. Колісник Р.С.

Елементи сферичної тригонометрії в курсі вищої математики

Сферична тригонометрія – розділ сферичної геометрії, головними об'єктами якого є многокутники (особливо трикутники) на сфері та співвідношення між їх сторонами і кутами. Сферична тригонометрія дуже важлива в геодезійних та астрономічних обчисленнях, а також в орбітальній, космічній навігації та навігації на поверхні Землі.

Основи сферичної тригонометрії були закладені грецьким математиком і астрономом Гиппархом в II столітті до н. е. Важливий внесок у її розвиток внесли такі античні вчені, як Менелай Александрійський і Клавдій Птолемей. Сферична тригонометрія древніх греків спиралася на застосування теореми Менелая.

Як самостійна дисципліна сферична тригонометрія сформувалася в роботах середньовічних математиків країн ісламу. Найбільший внесок у її розвиток в цю епоху внесли такі вчені, як Сабіт ібн Корра, Ібн Ірак, Кушьяр ібн Лаббан, ал-Біруні, Джабір ібн Афлах, ал-Джайяні, Насир ад-Дін ат-Тусі. У їхніх роботах були введені основні тригонометричні функції, сформульована і доведена теорема синусів, косинусів і ряд інших теорем, що застосовуються в астрономічних і геодезійних розрахунках, введено поняття полярного трикутника, що дозволило обчислювати сторони сферичного трикутника за трьома його даними кутами.

У сучасному житті знання формул сферичної тригонометрії необхідні при розв’язанні таких завдань, як перетворення координат з однієї системи небесних координат в іншу, розрахунок довготи центрального меридіана планети Сонячної системи, розмітка сонячних годин і точний напрям супутникової антени (тарілки) на потрібний супутник для прийому каналів супутникового телебачення.

У курсі «Вища математика» для напряму підготовки 6.080101 – геодезія, картографія та землеустрій на вивчення

51

теми «Елементи сферичної тригонометрії» виділяється 6 аудиторних годин та 10 годин для самостійної роботи студентів, що, безумовно, дуже мало. Отримані студентами знання з даної теми знайдуть широке застосування при вивченні дисциплін спеціалізації, тому від якісного її засвоєння залежить подальше навчання студентів, а також їх професійна діяльність.

Для більш глибокого вивчення вказаної теми нами запропоновано використання новітніх інформаційних технологій навчання: мультимедійних технологій, педагогічних програмних засобів (ППЗ) Gran 3D та Waypoint. Зокрема, програму Waypoint можна застосовувати при розв'язанні трьох типів задач:

- знаходження найкоротшої відстані на земній кулі між двома точками на ній, по дузі великого кола;

- знаходження найкоротшої відстані на земній кулі між двома точками на ній, шляхом прокладання справжнього курсу, розбиваючи дугу на певну кількість малих ламаних;

- знаходження оптимального шляху, переміщення з однієї точки земної кулі до іншої.

Нами систематизовано та подано теоретичний матеріал, що стосується сферичного трикутника. Розглянуто основні співвідношення у сферичному трикутнику. Наведено першу та другу сферичні теореми косинусів та синусів, основні випадки розв’язання прямокутних та косокутних сферичних трикутників. Подано приклади розв’язання типових задач. Для самостійного опрацювання теми пропонуються контрольні запитання та вправи, а також індивідуальні розрахунково-графічні завдання. Розроблено презентаційний курс «Сферичний трикутник. Його застосування».

Список літератури:

1. Данилевський М. П., Колосов А. І., Якунін А. В. Основи сфе-ричної геометрії та тригонометрії: навч. посібник / Харк. нац. акад. міськ. госп-ва. − Х.: ХНАМГ, 2011. − 92 с.

2. Жалдак М.І. Проблема інформатизації навчального процесу в школі і в вузі // Сучасна інформаційна технологія в навчальному про-цесі: Зб. наук. пр. – К.: КДПІ ім. М.П. Драгоманова, 1991. – С. 3–16.

52

Іванна Майковська Науковий керівник – доц. Готинчан Т.І.

Автоматизація обліку виконаних робіт з доставки

замовлень засобами 1С:Підприємство

1С:Підприємство є універсальною системою автоматизації економічної й організаційної діяльності підприємства. Оскільки така діяльність є достатньо різнобічною, система 1С:Під-приємство може “пристосовуватися” до особливостей конкретної області діяльності, в якій вона застосовується. Для визначення такої здатності використовується термін конфігурованість – можливість налаштування системи на особливості конкретного підприємства і класу розв'язуваних задач. Досягається це завдяки тому, що 1С:Підприємство – не просто програма, яка існує у вигляді набору незмінних файлів, а сукупність різних програмних інструментів, з якими працюють розробники і користувачі. Логічно всю систему можна розділити на дві великі частини, які тісно взаємодіють одна з одною: конфігурацію і платформу, що управляє роботою конфігурації [1].

На сьогоднішній день такий вид діяльності, як вантажні перевезення, є невід'ємною частиною нашої життєдіяльності. Вантажі можна транспортувати в будь-яке місце, незалежно від обсягу і розмірів.

Транспортні послуги пропонують можливість вибору методу вантажоперевезень у залежності від строків доставки та його обсягу. Також відправник і одержувач можуть контролювати переміщення вантажу через диспетчера вантажоперевезень або глобальну мережу Інтернет.

Процес перевезення – сукупність операцій від моменту підготовки вантажу до моменту його одержання, пов'язаних з переміщенням вантажу. Операції, з яких складається процес перевезення, неоднорідні та відрізняються своєю тривалістю. Деякі операції, поєднуючи, створюють визначені етапи цього процесу, кожний з яких виконує свої задачі. Як окремі операції, так і етапи процесу перевезення залежать один від одного [2].

53

Наша фірма займається продажем товарів з доставкою. Зав-дання обліку перевезень реалізовано на платформі 1С:Під-приємство 8.2. У створеній конфігурації передбачено довідники Товари, Контрагенти, Кур’єри, Регіони, Посади та Співробітники, в яких наводяться властивості відповідних об’єктів. Види товарів та Типи цін зазначені як перерахування. Ціни номенклатури на складі встановлюються документом Встановлення цін і фіксуються у періодичному регістрі відомостей Ціни товарів, а залишки й обороти номенклатури – в регістрах накопичення Замовлення, Залишки, Доставка та Доходи. У документах Надходження товару, Замовлення, Зняття замовлення, Шляховий лист та Звіт кур’єра є можливість автоматизовано описувати відповідні події господарської діяльності фірми. У документах є можливість зробити підбір товарів із зазначенням встановлених цін, при цьому перевіряється наявність необхідної кількості товару на складі. Замовлення клієнта оформлюється документом Замовлення. Якщо ж замовник за якихось причин відмовляється від свого замовлення чи його частини, то це замовлення знімається за допомогою документа Зняття замовлення. Коли клієнт зробив замовлення, менеджер зазначає потребу в доставці замовленого товару. Документом Шляховий лист на відповідну дату в певний регіон автоматично формується сукупність замовлень. Після доставки замовлень документом Звіт кур’єра маємо можливість отримати інформацію про доставку товару замовникам. Цим документом також зазначається список товарів, що повернені на склад, та причина. Відповідно до даних документів сформуються звіти Товари на складі, Замовлення.

Список літератури:

1. Радченко М.Г., Хрусталева.С.Ю. 1С:Предприятие 8.2. Практическое пособие разработчика. Примеры и типовые приёмы .– М.: ООО „1С-Паблишнг“ , 2009. – 874 с.

2. Основні принципи технології перевізного процесу. – [Електронний ресурс]. – Режим доступу: http:// www.virtual.ks.ua/essays-term-papers-and-diplomas/399-basic-principles-of-technology-transportation-process.html.

54

Марія Маковійчук Науковий керівник – доц. Сікора В.С.

Про задання груп твірними визначальними співвідношеннями

Один із широко розповсюджених методів задання різному-нітних груп базується на використання їх систем твірних еле-ментів та деяких співвідношень між твірними елементами. Зокрема, довільну скінченну групу можна задати таблицею Келі. Аналогічно можна говорити і про задання нескінченної групи, лише в цьому випадку всі елементи групи та всю її таблицю Келі не можна записати в явному вигляді. Практично всю таблицю Келі не можна виписати і для скінченної групи, якщо її порядок досить великий. У зв'язку з цим, як правило, виникає питання: чи не можна задати групу, вказавши лише деяку (якомога невелику) частину її елементів та деяку систему співвідношень між цими елементами?

Нехай група G породжується системою i i IA a еле-ментів множини G ( I – множина індексів), тобто кожен елемент групи G можна зобразити у вигляді добутку елементів із A та обернених до них. Множину A називають системою твірних (базою) групи G . Систему твірних називають незвідною, якщо з неї не можна вилучити жодного елемента так, щоб отримана множина знову була системою твірних цієї групи. Мінімальною називають таку незвідну систему твірних групи, кількість елементів у якій є найменшою можливою для даної групи [1].

Зокрема, для симетричної та знакозмінної групи підстановок

nS та nA ( 4n – натуральне число) мінімальні системи твірних містять два елементи. При цьому мають місце такі твердження.

Лема 1. [2] Пара підстановок 1,2,...,a n та 1,2,...,c m, де 2 m n , буде базою симетричної групи nS (якщо хоча б

одна з підстановок a чи c є непарною), або знакозмінної групи nA (якщо обидві підстановки a , c є парними).

55

Лема 2. [3, 4]. Для довільного натурального 2n та довільної системи із ( 1)n різних 2-циклів 1 2 1 1, ,..., , ( )n ng g g g g

визначальні співвідношення для симетричної групи nS мають вигляд 2 3

1( )i i ig g g 21( )i i i jg g g g e , де 1 i j n та

1j i , e – тотожна підстановка. Нами доведено такі твердження. Теорема 1. Нехай 2n – натуральне число. Для двох під-

становок g , nh S , які утворюють мінімальну систему твірних симетричної групи nS , визначальні співвідношення мають вигляд

1 2 1 3( ) ( )n ng h g h h g h g e ,

1 2( )k kh g hg h g hg e , 2,3,..., 3k n ,

або

2 1 1 3( ) ( )n ng h g h h g h g e ,

2( )k kh g hg e , при

1 12 22,3,..., ( 1)k n або n .

Теорема 2. Нехай 2n – натуральне число. Для двох під-становок g , nh A , які утворюють мінімальну систему твірних знакозмінної групи nA , визначальні співвідношення мають вигляд

3 1 2 1 2( ) ( )n ng h h g h h g h g e ,

2 2 1 1 3( )k kh g hg h g hg e , 2,3,..., 3k n .

Список літератури: 1. Калужнин Л.А., Сущанский В.И. Преобразования и перестановки. – М.: Наука, 1985. – 112 с. 2. Пикар C. О базисах симметрической группы // Кибернетический сборник. – М.: Мир, 1965. – Вып. 1. – С.7–34.

3. Богопольский О.В. Введение в теорию групп. – Москва–Ижевск: Ин-т компьютерных технологий, 2002. – 148 с.

4. Carmichael R.D. Introduction to the theory of groups of finite order.– New York: Dover Publications, Inc., 1956. – 460 p.

56

Інна Мацейків Науковий керівник – проф. Маслюченко В. К.

Про квазінеперервність функцій, неперервних

відносно змінного репера

Змінним репером в ℝ називають відображення 푒: ℝ → (핊 ) , яке кожній точці 푝 ∈ ℝ ставить у відповідність набір 푒(푝) = (푒 (푝), … , 푒 (푝)) з 푛 лінійно незалежних векторів одиничної евклідової довжини, тобто елементів сфери 핊 = 푥 = (푥 , … , 푥 ) ∈ ℝ : 푥 +. . . +푥 = 1. Ю. Ю. Трохимчук [1] довів, що кожна неперервна функція 푓: ℝ → ℝ, для якої в кожній точці 푝 ∈ ℝ існує репер 푒(푝) = (푒 (푝), … , 푒 (푝)) з лінійно незалежних векторів 푒 (푝) ∈ ℝ , такий, що всі похідні 퐷 ( )푓(푝) у напрямках 푒 (푝) дорівнюють нулю, обов’язково є сталою. Під впливом цієї праці в статті [2] було розпочате вивчення множини 퐷(푓) точок розриву функцій 푓: ℝ → ℝ, нарізно неперервних відносно змінного репера 푒: ℝ → (핊 ) (їх сукупність позначається символом 퐶 ), зокрема, показано, що у кожної такої функції 퐷(푓) є множиною першої категорії. Жодних результатів про множину 퐷(푓) для функцій 푓: ℝ → ℝ, нарізно неперервних відносно змінного репера 푒 при 푛 ≥ 3, не було до цього часу отримано.

При вивченні розривів нарізно неперервних відображень 푓: 푋 × … × 푋 → 푍 важливу роль відіграє поняття квазінеперервності. Справа в тому, що часто нарізно неперервні відображення 푔: 푋 × … × 푋 → 푍 є квазінеперервними і, покладаючи 푋 = 푋 × … × 푋 і 푌 = 푋 , ми можемо нарізно неперервне відображення 푓: 푋 × … × 푋 × 푋 → 푍 мислити як відображення 푓: 푋 × 푌 → 푍, яке виявляється квазінеперервним відносно першої сукупної змінної 푥 = (푥 , … , 푥 ) ∈ 푋 і

57

неперервним відносно другої змінної 푦 = 푥 ∈ 푌, тобто 퐾퐶-відображенням. Для 퐾퐶-відображень отримано багато результатів про їх сукупну неперервність (див. [3] і вказану там літературу), з допомогою яких досліджуються на неперервність і нарізно неперервні відображення від багатьох змінних.

Тому й у випадку змінного репера постає природне питання про квазінеперервність, скажімо, функцій 푓 з 퐶 для 푛 = 2.

Це питання виявилося непростим і воно поки що залишається відкритим. Вдалося встановити слабший результат.

Теорема 1. Нехай 푒 : ℝ → 핊 ∖ (0,1), (0, −1) – довільне відображення, 푒 (푝) = (0,1) для кожного 푝 ∈ ℝ , 푒(푝) = (푒 (푝), 푒 (푝)) на ℝ і 푒 = (푒 , 푒 ). Тоді кожна функція 푓 з множини 퐶 є квазінеперервною.

З цієї теореми можна вивести певний частковий результат про точки розриву функцій 푓: ℝ → ℝ нарізно неперервних відносно змінних реперів 푒: ℝ → (핊 ) спеціального вигляду.

Список літератури:

1. Трохимчук Ю. Ю. О производных по направлению функций многих переменных // Укр. мат. журн. – 1965. – 17, 6. – С. 67–79.

2. Герасимчук В. Г., Маслюченко В. К., Маслюченко О. В. Нарізно неперервні функції відносно змінного репера // Укр. мат. журн. – 2004. – 56, 9. – С. 1281–1286.

3. Маслюченко В. К. Нарізно неперервні відображення і простори Кете: Дис… докт. фіз.-мат. наук: 01.01.01. – Чернівці, 1999. – 345 с.

58

Ольга Машталер Науковий керівник − проф. Матійчук М.І.

Нелокальна багатоточкова крайова задача для систем тепломасопереносу

Розглядаємо нелокальну багатоточкову крайову задачу для рівняння, яке відповідає системі рівнянь тепломасопереносу

휕푢휕푡 = 푎 (푡)퐷 푢 + 푓(푡, 푥), 푡 > 0, (1)

| |

휇푢| − 휇 푢(푡 , 푥) = 휑(푥), (2)

(휇, 휇 , … , 휇 ) – параметри з певними обмеженнями, 휑, 푓 ⊂ 퐿 , 푎 ∈ 퐶(0, П).

Для знаходження розв’язку будемо використовувати інтегральне перетворення Фур’є

푢(푡, 푥) = 퐹 푣(푡, 휎) =1

(2휋) 푒 푣(푡, 휎)푑휎. (3)

Розв’язок шукається у вигляді (3). Задовольнивши рівняння (1), (2), отримаємо в образах Фур’є таку задачу

푣′(푡, 휎) = 푎 (푡)(푖휎) 푣(푡, 휎) + 푓(푡, 휎), | |

(4)

휇푣| − ∑ 휇 푣(푡 , 휎) = 휑(휎). (5) Нормальний розв’язок рівняння (4) має вигляд

푄(푡, 휏, 휎) = 푒∫ ∑ ( )( )| | , 푡 ≥ 휏 > 0, а функція 푣(푡, 휎) визначається формулою

푣(푡, 휎) = 푄(푡, 0, 휎)(휇퐸

− 휇 푄(푡 , 0, 휎)) (휑(휎) −

59

−퐹( 푡 , 휎)) + 퐹(푡, 휎). Підставляючи 푣(푡, 휎) у формулу (3) і використовуючи

теорему про перетворення Фур’є згортки отримаємо

푢(푡, 휏, 푥) = 퐺(푡, 푥 − 휉, 휇)휑(휉)푑휉 +

+ 휇 푑휂 퐺(푡 , 휏, 푥 − 휉, 휇)푓(휂, 휉) 푑휉 +

+휇 ∫ 푑휂 ∫ 퐺(푡, 휏, 푥 − 휉, 휇)푓(휂, 휉)푑휉, (6) де ядро інтегральних операторів має вигляд

퐺(푡, 휏, 푥, 휇) =1

(2휋) 푄( 푡푙, 휎)푒 ×

× ∑ 휇 (∑ 휇 푒∫ ∑ ( )( )| | ) 푑휎. (7) Інтеграл (7) збігається при |휇| > ∑ |휇 |푒 Т

| | . Теорема. Якщо |휇| > ∑ |휇 |푒 Т

| | для будь-яких 푓 ∈ 퐶( )(П) ∩ 퐿 (퐸 ), 휑휖퐶(퐸 ) ∩ 퐿 , то розв’язок задачі (1), (2) визначається формулою (6).

Список літератури:

1. Корбут Л.І., Матійчук М.І. Про зображення розв’язку нелокальної крайової задачі для параболічних рівнянь // Укр. мат. жур. – 1994 – Т.46, 7. – С. 947–952.

2. Матійчук М.І. Параболічні сингулярні крайові задачі. К.: Ін-т математики НАН України, 1999. – 176 с.

3. Машталер О. Нелокальна двоточкова крайова задача для рівняння тепломасопереносу. // Матеріали студ. наук. конф. Чернів. нац. ун-ту ім. Ю. Федьковича, присв. дню науки (17–19 квітня 2013 р.). Фіз.-мат. науки та архіт. Чернівці: Чернівецький нац. ун-т, 2013. – С. 439–440.

60

Василь Мельник Науковий керівник – проф. Маслюченко В.К.

Про відстань до множини квазінеперервних

у точці функцій Відомо [1,2], що рівномірна відстань ( , ( ))d f C

( )inf

g C Xf g

від функції :f X до простору ( )C X всіх

неперервних функцій :g X для нормального простору X

дорівнює 12 f , де sup ( )

x Xh h x

.

В останні роки активізувалося вивчення різних класів функ-цій, близьких до неперервних (квазінеперервні, ледь неперервні функції, тощо). Тому виникло природне бажання знайти рівно-мірну відстань від f до того чи іншого класу функцій, близьких до неперервних. Така робота була розпочата в [3], де були знай-дені відстані 0( , ( ))d f K від деяких конкретних функцій

:f до простору 0 ( )K всіх квазінеперервних у точці 0 функцій :g . Для розглядуваних там функцій f викону-валась рівність ( ) 0D f ( ( )D f – це множина точок розриву функції f ). Тут ми значно розвиваємо цей результат, викорис-тавши поняття граничної множини.

Нехай X і Y – топологічні простори, D X , 0x D , 0xU –

система всіх околів точки 0x в X і :f D Y – відображення.

Перетин 0

0( , ) ( )xU

C f x f U D

U

називається граничною мно-

жиною відображення f у точці 0x . Для відображення :f X Y і точки 0x з X , такої, що

0 0\ x X x , покладемо 0\ X x

f f і 0\ U U x . Ми розгляд-

датимемо граничні множини 0

0( , ) ( )xU

C f x f U

U

.

Нагадаємо, що відображення :f X Y називається квазіне-

61

перервним у точці 0x з ,X якщо для довільних околів U і V точок 0x і 0 0( )y f x у просторах X і Y відповідно існує від-крита непорожня множина G в ,X така, що G U і ( )f G V . Сукупність усіх квазінеперервних у точці 0x дійснозначних функцій :f X ми позначаємо символом

0( )xK X .

Теорема 1. Нехай X – топологічний простір, 0 ,x X 0 x –

замкнена множина в X , 0 0\ x X x , :f X – деяка функ-

ція і 0( , )C f x – гранична множина функції 0\

:X x

f f

0\ X x зі значеннями в розширеній числовій прямій

, . Тоді: а) якщо 0( ) D f x і 0 0( ) ( , )f x C f x , то

0( )xf K X ;

б) якщо 0 0( ) ( , )f x C f x , то 0( )xf K X .

Нехай ( , ) infy E

x E x y

– відстань від точки x до не-

порожньої множини E на числовій прямій . Теорема 2. Нехай X – топологічний простір з першою

аксіомою зліченності, 0x – неізольована точка в X , для якої множина 0 x замкнена і :f X – обмежена функція, яка

розривна тільки в точці 0x , і 0\ X x

f f . Тоді

0 0 0

1( , ( )) ( ( ), ( , ))

2xd f K X f x C f x .

Список літератури: 1. Benyamini Y., Lindenstrauss J. Geometric nonlinear functional analy-

sis. V. 1 – Amer. Math. Soc, 2000. – 488 p. 2. Мельник В. Навколо теореми Гана-Д’єдонне-Тонґа-Катетова //

Матеріали студ. наук. конф. ЧНУ (17–19 квітня 2013). Фіз.-мат. науки. – Чернівці: ЧНУ, 2013. – С. 441–442.

3. Мельник В. Про відстань до множин квазінеперервних або ледь неперервних у нулі функцій // Матеріали студ. наук. конф. ЧНУ (5–6 квітня 2012). Фіз.-мат. науки. – Чернівці: ЧНУ, 2012. – С. 341–342.

62

Дмитро Мельник Науковий керівник – доц. Блажевський С.Г.

Моделювання процесу теплопровідності методом гібридного диференціального оператора

Ейлера–Фур’є Мета роботи розв’язати задачу з моделювання процесу теплопровідності методом гібридного диференціального оператора Ейлера–Фур’є. Актуальність роботи полягає в прикладному застосуванні методу для інженерних розрахунків, чи при теоретичних дослідженнях. Задача про моделювання теплопровідності на обмеженій зліва півосі приводить до побудови обмеженого в області 퐷 = (푡, 푟): 푡 ∈ (0, ∞); 푟 ∈ 퐼 = (푅 , 푅 ) ∪ (푅 , 푅 ) ∪ (푅 , ∞) розв’язку сепаратної системи диференціальних рівнянь:

⎩⎪⎨

⎪⎧ + 훾 푢 (푡, 푟) − 푎 퐵∗ [푢 (푡, 푟)] = 푓 (푡, 푟), 푟 ∈ (푅 , 푅 ),

+ 훾 푢 (푡, 푟) − 푎 퐵∗ [푢 (푡, 푟)] = 푓 (푡, 푟), 푟 ∈ (푅 , 푅 ),

+ 훾 푢 (푡, 푟) − 푎 ( , ) = 푓 (푡, 푟), 푟 ∈ (푅 , ∞),

з початковими умовами 푢 (푡, 푟) = 푔 (푟), 푟 ∈ 퐼 , 푗 ∈ 1,2,3,

крайовими умовами 퐿 [푢 (푡, 푟)] = 휔 (푡), lim

→푟 푢 = 0

та умовами спряження 퐿 [푢 (푡, 푟)] − 퐿 [푢 (푡, 푟)] = 휔 (푡), 푗 ∈ 1,2,

де 퐵∗ = 푟 + (2훼 + 1) + 훼 ,

퐿 = 훼 + +훿휕휕푟

휕휕푟

+ 훽 + 훾휕휕푡

,

푚, 푗 ∈ 1,2, 푘 ∈ 0,1,2,3. Нехай задані та шукані функції є оригіналами за Лапласом стосовно змінної t. В образах перетворення Лапласа розв’язок будемо шукати у вигляді:

63

푢∗ = 푄 (퐴 , 퐵 , 푟) + ∫ 퐸∗(푝, 푟, 휌)퐹∗(푝, 휌)휌 푑휌,

푢∗ = 푄 (퐴 , 퐵 , 푟) + ∫ 퐸∗(푝, 푟, 휌)퐹∗(푝, 휌)휌 푑휌,

푢∗ = 푄 (퐴 , 푟) + ∫ 퐸∗(푝, 푟, 휌)퐹∗(푝, 휌)푑휌,

де 푄 (퐴 , 퐵 , 푟) – розв’язок однорідної задачі, 퐸∗(푝, 푟, 휌) –відповідні функції Коші, 퐹∗(푝, 휌) – неоднорідність системи (푖 = 1,2,3). Даний розв’язок побудований як сума розв’язків однорідної задачі та деякого частинного розв’язку неоднорідної задачі, що знайдений методом функцій Коші. В останній рівності шуканими є константи 퐴 , 퐵 , які знаходимо за допомогою крайових умов та умов спряження. А 퐸∗ – функції Коші, які володіють наступними властивостями:

퐸∗(푝, 푟, 휌)| − 퐸∗(푝, 푟, 휌)| = 0, 푖 ∈ 1,2,3,

푑퐸∗

푑푟(푝, 푟, 휌) − 푑퐸∗

푑푟(푝, 푟, 휌) = −

1휑 (휌)

, 푖 ∈ 1,2,3,

휑 (휌) – відомі функції з умови задачі. Знайшовши всі необхідні для побудови модифікованого розв’язку невідомі, повертаємось до оригіналу і одержуємо єдиний розв’язок початкової задачі.

Список літератури: 1. Крайові задачі для диференціальних рівнянь: // Збірник

наукових праць. – Чернівці : Прут , 2012. – Вип. 21(37). 332 с. 2. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической

физики. – М.: Наука, 1972. – 735с. 3. Ленюк М.П., Мороз В.В. Побудова скiнченного гiбридного

інтегрального перетворення при наявностi спектрального параметру в крайових умовах та умовах спряження: // Науковий вісник Чернівецького університету. Випуск 314-315. Математика. – Чернiвцi: Рута, 2006. – C. 105–113.

64

Ангеліна Мельничук Науковий керівник – доц. Антонюк С.В.

Експоненціальна оцінка ймовірності банкрутства страхової компанії

Нехай за час від 푡 до 푡 + ∆푡 до страхової компанії надійде позов величиною

퐴(푡 + ∆푡) − 퐴(푡) = 푎(푡, 휁 )∆푡, тоді 퐴(푡) = ∫ 푎(푠, 휁 )푑푠, де 푎(푡, 푥) −швидкість надходження засобів. 퐴(푡) − функціонал по траєкторії 휁 , 0 ≤ 푠 ≤ 푡, що означає, що надходження залежать від динаміки процесу накопичення засобів компанією за проміжок часу від 0 до 푡, а не тільки від стану компанії на момент часу푡, 푎(푡, 푥) – невипадкова, така, що 0 ≤ 푎(푡, 푥) ≤ 푎(푡, 푦), якщо 0 < 푥 ≤푦, тобто чим більший поточний капітал компанії, тим більший потік надходжень [1, с.84].

Побудуємо експоненціальну оцінку для ймовірності банкрутства страхової компанії, якщо поточний капітал компанії 휁 є розв’язком такого стохастичного диференціального рівняння

휁 = 푢 + 푎(푠, 휁 )푑푠 − 푓(푠, 휁 , 푢)휈(푑푢, 푑푠),

де 푢 −початковий капітал компанії. Нехай розв’язок цього рівняння існує і єдиний. Банкрутство

може настати, якщо 휁 < 0 при будь-якому 푡 < 0. Тоді

Р휁 < 0 при будь − якому 푡 > 0 = lim→

Р inf∈[ , ]

휁 < 0 =

= lim→

Р sup 휁 > 푢 = lim→

Р sup풕∈[ , ]

푌 > 푒 .

У вищевказаній формулі 휁 має вигляд

휁 = 푓(푠, 휁 , 푦)휈(푑푦, 푑푠) − 푎(푠, 휁 )푑푠, 푌 = 푒푥푝휁 .

Нехай 퐹 − неспадний потік σ-алгебр, породжений на основному ймовірнісному просторі процесом 휁 , 0 ≤ 푠 ≤ 푡.

65

Для того, щоб випадковий процес 푌 був мартингалом, відносно сімейства σ-алгебр 퐹 слід вимагати, щоб з ймовірністю 1 виконувалось

∫ 푒 푎(푠, 휁 )푑푠 = ∫ ∫ 푒 푒 ( , , ) − 1 휋(푑푦, 푑푡). Якщо

푑푌 = 푒 푒 ( , , ) − 1 휇(푑푦, 푑푡),

푌 = 1, a 푌 = 1 + 푒 푒 ( , , ) − 1 휇(푑푦, 푑푡) ,

де 휇(퐴, 푡) = 휈(퐴, 푡) − 휋(퐴, 푡), 휈(퐴, 푡), 휋(퐴, 푡) −невипадкові компенсуючи міри [2, с. 348–350].

Тоді маємо, що Е푌 = 1.

Достатньою умовою того, що процес 푌 , 푡휖[0, 푇] буде мартингалом, є виконання такої рівності

퐴(푡) = 푒 ( , , ) − 1 휋(푑푦, 푑푠),

де 퐴(푡) − процес надходження засобів до компанії, який є неупередженим функціоналом від 휁 , 0 ≤ 푠 ≤ 푡. Очевидно, якщо з ймовірністю 1

퐴(푡) ≥ 푒 ( , , ) − 1 휋(푑푦, 푑푠),

то ймовірність банкрутства компанії не буде перевищувати 푒 . Ми знайшли достатні умови того, щоб процес 푌 був

мартингалом, що дозволило нам оцінити ймовірність банкрутства страхової компанії, коли відомий поточний капітал.

Список літератури: 1. Бондарев Б.В. Математические модели в страховании. – Донецк:

2002. – 116 с. 2. Гихман И.И., Скороход А.В. Стохастические диффере-

нциальные уравнения и их приложения. – К.: Наукова думка, 1982. – 612 с.

66

Микола Мельничук Науковий керівник – асист. Перцов А.С.

Еволюція алгоритмів пошуку шляху Останні декілька десятків років відзначилися

бурхливим розвитком індустрії комп’ютерних ігор. Це вимагало розробки і використання все потужніших і економніших алгоритмів симуляції штучного інтелекту. Зокрема, особливо важливою була розробка алгоритмів для пошуку шляху.

Пошук шляху використовується майже для всіх жанрів ігор. Це й ігри-бродилки, стратегії реального часу, покрокові стратегії, action-шутери, аркади та багато інших. Загальна ідея використання цих алгоритмів полягає в знаходженні оптимального (мінімального) шляху з однієї точки на ігровій карті до іншої, оминаючи перешкоди. Існує досить багато різних алгоритмів, кожен з яких має свої переваги і недоліки. Розглянемо декілька з них:

Алгоритм Дейкстри працює за схемою, схожою на розливання води, якщо лити її вертикально на горизонтальну поверхню. Вода, розтікаючись, обходить перешкоди і, в решті-решт, якщо кінцева точка не заблокована, дійде до неї по найкоротшому шляху. Так і в розглядуваному алгоритмі: починаючи від початкової, переглядаються усі клітинки навколо, причому:

- якщо клітинка переглянута раніше, ігноруємо її, - якщо це перешкода, позначимо її як переглянуту і ту,

через яку неможливо пройти, - якщо клітинка раніше не переглядалася, позначимо її як

переглянуту і запишемо для неї батьківську клітинку. Дійшовши за таким алгоритмом до кінцевої клітинки, зупиняємо алгоритм, а шуканий шлях записуємо, переходячи від кінцевої до початкової клітинки по батьківських клітинках.

Алгоритм А* базується на принципі, що треба переглядати в першу чергу ті клітинки, які є потенційно

67

найближчими до кінцевої (тобто шлях по прямій від них до кінцевої буде найменшим). Тут використовуються два списки: список переглянутих клітинок і список клітинок, які необхідно переглянути. З цього списку вибирається потенційно найоптимальніша клітинка і для неї шукають наступну. Додають їх до списків за тим же принципом, що і в алгоритмі Дейкстри.

Алгоритм Jump Point Search – це вдосконалення алгоритму пошуку A*. Був розроблений в 2011 році. Він дозволяє переглядати не всі точки, які стоять на шляху, а проводити “стрибки” через порожні точки, не переглядаючи їх. Це дозволяє в рази скоротити кількість ітерацій в циклі пошуку.

Для демонстрації та порівняння роботи цих алгоритмів було розроблено ігровий симулятор, а також програму-тестер ефективності алгоритмів пошуку. При однакових умовах вони видали такі результати:

- для алгоритму Дейкстри потрібно 1290 ітерацій, - для алгоритму A* потрібна 441 ітерація, - для алгоритму Jump Point Search потрібна 61 ітерація.

Список літератури 1. Лорьер Ж.-Л. Системы искусственного интеллекта / Пер. с фр.

и ред. В. Л. Стефанюка. — М.: Мир, 1991. — 364 с. 2. Рассел С. Дж., Норвиг, П. Искусственный интеллект:

современный подход = Artificial Intelligence: A Modern Approach / Пер. с англ. и ред. К. А. Птицына. — 2-е изд.. — М.: Вильямс, 2006.— 232 с.

3. Нильсон Н. Искусственный интеллект: методы поиска решений = Problem-solving Methods in Artificial Intelligence / Пер. с англ. В. Л. Стефанюка; под ред. С. В. Фомина. — М.: Мир, 1973. — 256 с.

4. Hart P. E., Nilsson, N. J., Raphael, B. A Formal Basis for the Heuristic Determination of Minimum Cost Paths // IEEE Transactions on Systems Science and Cybernetics SSC4. — 1968. — 2. — 180 с.

5. Алгоритм поиска пути Jump point search [Електронний ресурс]. – Режим доступу : URL : http://habrahabr.ru/post/162915.

68

Галина Музичук Науковий керівник – доц. Перун Г.М.

Задача з імпульсною дією для стохастичного рівняння теплопровідності

Нехай визначено ймовірнісний простір ),,( PF з неспадним потоком алгебр

21,0, ttt FFtF при 21 tt .

Випадкова функ-ція ),,( xtu , яка визначена на RTt ],[ 0 , вимірна і з імо-вірністю 1 є розв’язком задачі

),,(),,()],,([ 2 tdwxtbudtxtuaud xxt (1)

),,( x ,

),,(|),,(0

xxtu tt (2) який при TtNit Ni 10,,,2,1, , задовольняє умову стрибка [1]

),,0(),,0(|),,( xuxuxtu iitt i .),,0( uBxuB iii (3)

Якщо i − точка розриву першого роду, то функція u є неперерв-ною зліва. Покладемо

).,,(lim),,0(),,(0

xtuxuxuitii

Тут ba, – довільні сталі, ),( x обмежена і не залежить від пото-ку ),(;;0 twRBF i – стандартний вінерівський процес.

Розв’язуватимемо задачу (1) (3) методом інтегрального пере-творення Фур’є [3]. У результаті отримаємо задачу для лінійного однорідного стохастичного рівняння [2].

НФР задачі Коші для стохастичного рівняння з імовірністю 1 є функція

,))()(()(21exp),,,( 222

1

wtwbtbatQ

яка допускає оцінку

.,)()()(exp),,,(2

221 constc

twtwtactQ

69

Ненульовий розв’язок задачі з імпульсною дією [1] назвемо матри-цантом, ),,,,( 0 ttV 1),,,( 00 ttV з ймовірністю 1, який має вигляд:

1

1110 ),,,()1)(,,,(),,,(m

jjmjmj ttQBttQttV

),,,,()1( 011 tQB jj (4)

.110 Ttt mjmjj Нехай існує ),,,( xtG функція Гріна, яка є оберненим

пере-творенням Фур’є матрицанта і її похідні допускають оцінку

,),,,(),,,(),,,( 211 dtVetVFxtG xi (5)

),,,,(|),,,( 00 xtGBxttG iitt i

,0 Ttt mjj

.exp)(1),,(2

0

21

txctBcxtGD

m k

mjkkx

За допомогою функції Гріна будується розв'язок задачі (1) (3), виписується оцінка розв'язку задачі у просторі функцій, норма яких містить операцію математичного сподівання.

Список літератури:

1. Самойленко А.М., Перестюк Н.А. Дифференциальное уравнения с импульсным воздействием. К.: Вища школа, 1987. 258 с.

2. Свердан М.Л., Царков Є.Ф., Ясинський В.К. Стохастичні дина-мічні системи з скінченною післядією. Чернівці: Зелена Буковина, 2000. 556 с.

3. Эйдельман С.Д. Параболические системы. М.: Наука, 1964. 444 с.

70

Богдана Нацюк Науковий керівник – доц. Маслюченко О. В.

Продовження функцій першого класу Лебеґа

до лінійно неперервних функцій

Дослідження лінійно неперервних функцій розпочали В. Юнґ і Ґ. Юнґ [3], побудувавши приклад лінійно неперервної функції 푓 ∶ ℝ → ℝ з континуальною множиною точок розриву. В роботі [1] було охарактеризовано множини точок розриву лінійно неперервних функцій 푓 ∶ ℝ → ℝ, які належать до першого класу Лебеґа. Крім того, у 2012 році Т. Банах встановив, що кожна борелівська лінійно неперервна функція, що діє між сепарабельними банаховими простарами належить до першого класу Лебеґа. Тому зі згаданих результатів Т. Банаха та О. Маслюченка випливає характеризація розривів довільних лінійно неперервних функцій 푓 ∶ ℝ →ℝ.

В [2] було анонсовано, що довільна функція : Lg першого класу Лебеґа, яка визначена на деякій строго опуклій кривій 2L , продовжується до лінійно неперервної функції 푓 ∶ ℝ → ℝ. Ми узагальнили цей результат на випадок строго опуклих поверхонь у нормованих просторах.

Нагадаємо деякі означення. Функція 푓 ∶ 푋 → 푌, що визначена на векторному просторі 푋 і набуває значень у топологічному просторі 푌 , називається лінійно непервна, якщо для довільних 푥, 푒 ∈ X відображення 푡 ↦ 푓(푥 + 푒푡) неперервне на ℝ.

Для векторного простору 푋 і точок 푎, 푏 ∈ X позначимо (푎; 푏) = (1 − 휆)푎 + 휆푏 ∶ 0 < 휆 < 1. Підмножина 푈 топологіч-ного векторного простору 푋 називається строго опуклою, якщо 푈 – відкрита і для довільних точок 푎, 푏 ∈ 푈

71

виконується, що (푎; 푏) ⊆ 푈. Непорожню множину 푆 ⊆ 푋 називатимемо строго опуклою поверхнею, якщо існує строго опукла множина 푈 ⊆ 푋 така, що 푆 = 푈 ∖ 푈.

Підмножину 퐴 топологічного простору 푋 називають 퐹 - множиною (휎-компактною множиною), якщо існує послідовність замкнених (компактних) множин 퐹 ⊆ 푋

таких, що 1

nn

A F

. Кажуть, що відображення 푓 ∶ 푋 → 푌

належить до першого класу Лебеґа, якщо для довільної відкритої в 푌 множини 퐺, прообраз 푓 (퐺) є 퐹 - множиною.

Теорема. Нехай 푋 – нормований простір, 푌 – сепарабельний банаховий простір, 푆 – строго опукла поверхня в 푋, 퐹 – замкнена 휎 – компактна підмножина в 푆 і g : 퐹 → 푌 – функція першого класу Лебеґа. Тоді існує лінійно неперервна функція 푓 ∶ 푋 → 푌 така, що 푓| = g .

Наслідок. Нехай 푆 – строго опукла поверхня в ℝ і:g S – функція першого класу Лебеґа. Тоді існує

лінійна неперервна функція 푓 ∶ ℝ → ℝ така, що 푓| = g .

Список літератури: 1. Маслюченко О.В. Множина точок розриву 푙-неперервних

функцій першого класу // Наук. Вісн. Чернівецького ун-ту. Вип. 374. Математика. – Чернівці: Рута, 2008. – С. 96 – 98.

2. Нацюк Б. І. Продовження лінійно неперервних функцій зі строго опуклих кривих на площині // Матеріали студентської наукової конференції Чернівецького національного університету Юрія Федьковича присвячена дню науки (17-19 квітня 2013 року). Фізико-математичні науки та архітектура. – Чернівці: Чернівецький нац. ун-т, 2013. – С. 445 – 446.

3. Young W. H., Young G. G. Discontinuous functions continuous with respect to every straight line // Quart. J. Pure Appl. Math. – 1909. – 41. – P. 87 – 93.

72

Вікторія Непийвода Науковий керівник – доц. Лусте І.П.

Обчислення поліпараметричних невласних інтегралів за власними елементами ГДО Ейлера–

(Конторовича–Лєбєдєва)–Бесселя на полярній осі

На множині ),(),(),0(: 22112 RRRRrrI будуєть-ся розв’язок сепаратної системи диференціальних рівнянь Ейле-ра, Конторовича–Лєбєдєва та Бесселя для модифікованих функцій

,0),,(),()()(

,0),,(),()()(

,0),,0(),()()(

323323,

2212222

111121

*

3

2

1

qRrrgruqB

qRRrrgruqB

qRrrgruqB

(1)

за умовами спряження

jkRr

kkj

kjk

kj

kj

k

rudrdru

drd

)()( 12211 . (2)

Фундаментальна система розв’язків ( 11 qr та 11 qr – для диференціального рівняння Ейлера, )(

22 , rI q та )(22 , rK q –

для диференціального рівняння Конторовича–Лєбєдєва, )( 3, 3

rqI та )( 3, 3rqK – для диференціального рівняння

Бесселя) дозволяє побудувати єдиний розв’язок крайової задачі (1), (2) методом функцій Коші [1, 2, 3]:

1

1

33

0

121

)(1;,

2

1,

),(,, )(),,(),()(

R

jjkki

jjkj dgqrHqrRru

+

2

3

3

2

1

2

3

123

)(3;,

122

)(2;, )(),,()(),,(

Rj

R

Rj dgqrHdgqrH

, (3)

j 1, 2, 3.

73

З іншого боку, розв’язок цієї ж крайової задачі будується методом гібридного інтегрального перетворення, породженого на множині

2I гібридним диференціальним оператором (ГДО)

3213 ,221*

1)(

, )()()()()( BRrBrRRrBrRrM . (4)

Гібридний диференціальний оператор )(, 3

M – самоспряже-

ний і має дві особливі точки r = 0 та r = ∞; його спектр дійсний та неперервний, а спектральна вектор-функція – комплексно-значна.

Математичний апарат для розв’язання задачі (1), (2) складають правила, за якими визначені пряме )(

, 3

H та обернене

)(, 3

H гібридні інтегральні перетворення, породжені на множині 2I гібридним диференціальним оператором )(

, 3

M , та основна

тотожність

][)(~)(~)]]([[ 1),(

2),(

2

1

3

1

22)(,

)(, 22;3,12;3,

33 kk

kk

kk

mmm ZZdgkgrgMH

.

Порівнюючи розв’язки крайової задачі (1), (2), одержані двома методами, у наслідок теореми єдиності, одержуємо формули обчислення невласних інтегралів.

Підсумком досліджень є наступне твердження. Теорема. Якщо вектор-функція g(r) = g1(r); g2(r); g3(r)

задовольняє умови теореми про основну тотожність й виконується умова однозначної розв’язності крайової задачі (1), (2), то справедливі одержані формули обчислення поліпараметричних невласних інтегралів за власними елементами ГДО )(

, 3

M , визначеними рівністю (4).

Список літератури: 1. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. – М.:

Физматгиз, 1959. – 468 с. 2. Шилов Г.Е. Математический анализ. Второй специальный курс.

– М.: Наука, 1965. – 328 с. 3. Ленюк М.П., Міхалевська Г.І. Інтегральні перетворення типу

Конторовича–Лєбєдєва. – Чернівці: Прут, 2002. – 280 с.

74

Тетяна Павлик Науковий керівник – доц. Лінчук С.С.

Про застосовність диференціальних операторів

нескінченного порядку до простору s Через 푠 позначатимемо простір аналітичних функцій

вигляду

푠 = 푓(푧) = 푓 푧 ∶ 푓 ∈ ℂ, ‖푓‖ = |푓 | + |푓 | 푛

< ∞ ∀푘 ∈ ℕ .

Цей простір є ізоморфним до деякого простору послідовностей Λ (훼) [1], [2].

В даному повідомленні вивчаються умови застосовності диференціальних операторів нескінченного порядку зі сталими коефіцієнтами до простору 푠.

Нехай (훼 ) – послідовність відмінних від нуля комплексних чисел. Оператором узагальненого диференціюван-ня 퐷 називається оператор, який на степені 푧 діє за правилом

퐷 (푧 ) =0, 푛 = 0,훼

훼 푧 , 푛 ≥ 1.

Для того, щоб 퐷 лінійно та неперервно діяв у просторі 푠 необхідно і достатньо, щоб послідовність комплексних чисел (훼 ) задовольняла умову

∃푙 ∈ ℕ ∃ 퐶 > 0 ∀ 푛 ∈ 1,2, … : ≤ 퐶푛 . Нехай (с ) – послідовність комплексних чисел.

Диференціальний оператор нескінченного порядку вигляду

푐 퐷 푓(푧) (1)

75

називається застосовним до простору 푠, якщо для довільної функції 푓(푧) ∈ 푠 ряд (1) збігається за топологією простору 푠.

Теорема 1. Для застосовності диференціального оператора нескінченного порядку (1) до простору 푠 необхідно і достатньо, щоб виконувалась умова

∀푝 ∃푚 ∃퐶 > 0 ∀푛 ∈ 0,1, … ∀푘 > 푛:

|푐 |훼

훼 (푘 − 푛) ≤ 퐶푘

і | || |

≤ 퐶푛 . Якщо 훼 = 1, 푛 ∈ 0,1, … , то оператор узагальненого

диференціювання 퐷 збігається з оператором Помм’є Δ. З теореми 1 випливає, що є правильним наступне твердження.

Теорема 2. Для застосовності диференціального оператора нескінченного порядку відносно оператора Помм’є вигляду

푐 Δ 푓(푧)

до простору 푠 необхідно і достатньо, щоб виконувалась умова

∀푝 ∃푚 ∃퐶 > 0 ∀푛 ≥ 1: |푐 | ≤ 퐶푛 . Список літератури:

1. Maldonado M., Prada J., Senosiain M.J., On differential operators of infinite order in sequence spaces, 6th workshop ”Group Analysis of Differential Equations and integrable System”, 2012,142–146.

2. Maldonado M., Prada J. and Senosiain M.J., On differential operators on sequence spaces, J. Nonlinear Math. Phys. 15 (2008), suppl. 3, 345–352.

76

Олена Павлюк Науковий керівник – асист. Лукашів Т.О.

Про один вигляд слабкого інфінітезимального оператора, який грає роль оператора Ляпунова

На ймовірнісному базисі , , , 0 ,t t F PF F F розглянемо стохастичне дифузійне диференціально-різницеве рівняння (СДРР)

dtrtxtxttatdx )(),(),(,)( )()(),(),(, tdwrtxtxttb (1)

із зовнішніми марковськими перемиканнями ))(,),(,()(

kkkktt txttgtxk

,

, NntSt nk , nn

tlim , (2)

і з початковими умовами m

ttrt trttx RDD ],,[)()( 0000

,

00( ) , kt y h Y H . (3) Тут )(t – марковський процес зі значеннями в метричному просторі Y з перехідною ймовірністю ( , , )s y tP [1]; )0,( kk – ланцюг Маркова зі значеннями в метричному просторі H з перехідною ймовірністю на k -му кроці ),( GhkP [1];

0],,[ 00 rtrt ; )(tw – одновимірний стандартний вінерів процес, D – простір Скорохода неперервних справа функцій, які мають лівосторонні границі [2] з нормою

)(sup00

trt

.

Вимірні за сукупністю змінних відображення mmma RRRYR : ; mmmb RRRYR : ;

mmg RRHYR : задовольняють умову Ліпшиця

77

21 2 1 2

21 2 1 2

23 1 3

2 2 21 1 2 2 3 3

( , , , ) ( , , , )

( , , , ) ( , , , )

( , , , ) ( , , , )

,

a t y a t y

b t y b t y

g t y h a t y h

L

D ,,,,,,0 321321 L , при 0,t y h Y, H , й умову

cytgytbyta )0,0,,()0,0,,()0,0,,( .

Дискретний оператор Ляпунова ),,)(( hylvk на послідов-

ності вимірних скалярних функцій 1:),,( RDHY hyvk , 0Nk , для СДРР (1) із зовнішніми марковськими

перемиканнями (2) визначаємо рівністю [3]

)4().,,(

),,())(,,(),,)(( 1

hyv

lzuvdldzduhyhylv

k

kkk

DHY

P

Для розв’язування прикладних задач теорії стійкості необхідно мати явний вигляд оператора Ляпунова, оскільки формула (4) не дає прозорого уявлення про урахування коефіцієнтів стохастичної системи у контексті дії оператора, зокрема для системи (1) – (3).

Обчислено слабкий інфінітезимальний оператор на розв’язках системи (1) – (3), який грає роль оператора Ляпунова [2].

Список літератури:

1. Кац И.Я. Метод функций Ляпунова в задачах устойчивости и стабилизации систем случайной структуры. – Екатеринбург: УГАПС, 1998. – 222 с.

2. Свердан М.Л., Царьков Е.Ф. Устойчивость стохастичиских импульсов систем. – Рига: РТУ, 1994. – 300 с.

3. Ясинський В.К., Лукашів Т.О. Стабілізація стохастичних дифузійних динамічних систем випадкової структури. – Чернівці: ЧНУ, 2013. – 136 с.

78

Наталія Пазюк Науковий керівник – доц. Матвій О.В.

Моделювання процесу розорення

фармацевтичної компанії

У діяльності будь-якої організації одним із найважливіших завдань є прогнозування стабільності у довгостроковій перспективі. Для розуміння майбутнього розвитку компанії слід регулярно здійснювати прогнозуючу оцінку загальної фінансо-вої стійкості підприємства, яка демонструє співвідношення власних і позикових засобів. Природно, що величина власного капіталу має бути вищою, ніж позикові кошти, інакше фінансовій стабільності компанії загрожує ризик банкрутства.

Банкрутство – це незадовільна структура балансу підприємства, неплатоспроможність і нездатність підприємства задовольнити вимоги кредиторів щодо грошових зобов'язань.

Розглянемо фармацевтичну компанію, яка має стартовий капітал, певні страхові премії та страхові внески. Вважаючи відомими інтенсивність потоку клієнтів і потоку страхових випадків, необхідно обчислити ймовірність банкрутства до моменту часу t, як функцію параметрів завдання. Керованими параметрами такої моделі є величина страхової премії, величина страхового відшкодування і початковий капітал 푆 [1].

При моделюванні вважаємо, що всі страхові премії однакові і платяться на початку страхового періоду; усі страхові випадки ідентичні і відповідають однаковій страховій виплаті; фармацевтична компанія банкрутує і припиняє свою діяльність, коли її капітал дорівнює 0; не використовується перестраховка; не розглядається конкуренція компаній.

Нехай компанія в деякий момент часу 푡 має початковий капітал 푆 > 0. Тоді капітал компанії до моменту часу t

푆(푡) = 푆 + 휉푛 (푡) − 휂푛 (푡),

де 푛 (푡) – кількість покупців на (0; 푡); 푛 (푡) – кількість страхових випадків на (0; 푡); ξ – сума покупки; η – страхове відшкодування.

79

Враховуючи обрані пари (푛 , 푛 ), можна записати умовні ймовірності

푃(휉(푡 + Δ푡) = 1|휉(푦) = 0) = 푑푆푓(푆)∞

푃 (1)푃 (0)( , )

.

Тоді щільність ймовірності переходу системи в стан банкрутства дорівнює

휆 =1

Δ푡푑푆 푓(푆)(휇 Δ푡)(1 − 푣 Δ푡) = 휇 푓(푆)푑푆. (1)

Для знаходження щільності ймовірності переходу системи в стані «банкрутства» нам треба визначити щільність ймовірності розподілу капіталу компанії 푓(푆, 푡). Застосовуючи теорему Дуба, можна стверджувати, що 푆 = 푆(휉, 휂, 푡) є марковським процесом [2].

Скориставшись функцією помилок, вираз (1) можна записати у вигляді

휆 =2휇휋

erf −(푆 + 퐴 ∙ 푡)

√2퐵 ∙ 푡+

휂√2퐵 ∙ 푡

− erf −(푆 + 퐴 ∙ 푡)

√2퐵 ∙ 푡,

де µ – це інтенсивність появи страхових випадків; ),( tSA та ),( tSB – перший і другий умовні моменти прямого рівняння

Колмогорова–Фокера–Планка. При цому ймовірність розорення компанії рівна

푃(푡) = 1 − exp − 휆 푡′ 푑푡′ .

В результаті дослідження, використовуючи фреймворк Ruby on Rails та наведений теоретичний матеріал, був розроблений програмний продукт, який за вхідними даними обчислює ймовірність розорення компанії до моменту часу t.

Список літератури: 1. Карташов М.В. Про стійкість майже однорідних за часом

Марковських напівгруп операторів. Теорія ймовірності і математична статистика. – К.: ТВіМС, 2004. – 479 с.

2. Феллер, Введение в теорию вероятностей и ее приложения. – М.: Мир, 1984. – 528 с.

80

Анна-Крістіна Партіка Науковий керівник – доц. Сопронюк Т.М.

Створення модулю Safescan для відслідковування робочого часу працівників в системі Orange HRM 3.1.1

Метою нашої роботи є вдосконалення системи управління персоналом Orange HRM 3.1.1. Для реалізації цього був створений спеціальний модуль з назвою Safescan. Цей модуль певним чином обробляє інформацію з бази даних та дозволяє користувачу отримувати детальну інформацію про перебування працівника на роботі.

Orange HRM є одною з найпопулярніших систем з відкритим

кодом у всьому світі, яка має на меті управління людськими ресурсами. Вона містить у собі набір модулів для управління персональною інформацією (PIM), самообслуговування працівників (ESS), управління годинами роботи та відпустки, управління оцінками роботи та вакансіями.

Для написання модулю використовувались різні технології. Основною з них є популярний PHP-фреймворк Symfony, на основі якого побудована вся система Orange HRM. Для роботи з базою даних використовується об'єктно-реляційний проектор Doctrine ORM. Однією з ключових можливостей Doctrine є запис запитів до бази даних на власному об'єктно-орієнтованому діалекті SQL, званий DQL (Doctrine Query Language). Основною додатково підключеною бібліотекою є PHPExcel, яка дозволяє зручно маніпулювати створенням *.xls файлів у середовищі PHP.

Модуль Safescan надає доступ до детального опису всього часу працівника. Він розмежовує робочі години, обідню перерву та дні відпочинку. Спеціальний пристрій реєструє для кожного працівника час, коли він приходить на роботу, за допомогою його власної електронної картки. Також за допомогою цієї картки, працівник реєструє в системі час початку обідньої перерви, припинення перерви та час закінчення роботи. Вся ця інформація є відносно важливою для роботодавця, оскільки

81

відслідковування кількості відпрацьованих годин визначає зарплату.

За допомогою модуля Safescan роботодавець має змогу отримати спеціальний звіт за вибраний період, що містить щоденний перелік годин прибуття, відбуття працівника, перелік початку та кінця обідньої перерви або повідомлення про відпустку працівника (якщо вона передбачена).

Для коректної роботи модулю були створені спеціальні

таблиці в існуючій базі даних, а також спеціальні класи, які надають доступ до цих записів. За допомогою PHPExcel дані сортуються і записуються у файл rate.xls по сторінках під кожного працівника.

Список літератури: 1. Коггзол Дж. PHP 5. Полное руководство: пер. с англ. – М. :

Издательский дом „Вильямс”, 2006. – 752 с. 2. Гутманс Э., Баккен С., Ретанс Д. PHP 5. Профессиональное

программирование. – Пер. с англ. – СПб: Символ-Плюс, 2006. – 704 с. 3. Orange HRM’s FAQ: [Електрон. ресурс]. – Режим доступу:

http://www.orangehrm.com/frequently-asked-questions.shtml 4. Doctrine ORM’s documentation: [Електрон. ресурс]. – Режим

доступу: http://docs.doctrine-project.org/projects/doctrine-orm/

82

Степан Петей Науковий керівник – проф. Маслюченко В.К.

Про поточкові границі неперервних функцій

обмеженої варіації

У працях [1, 2] французький математик Рене Бер увів класифікацію розривних функцій. Нехай X – це проміжок числової прямої . Кажуть, що функція :f X належить до першого класу Бера (він позначається B1(X)), якщо існує послідовність неперервних функцій :nf X , така, що

( ) ( )nf x f x на X. Наприклад, функції y= sgn x, функція Гевісайда (0; )y , ціла частина y = [x] – це функції з 1B ( ) .

Відома функція Діріхле вже не входить в клас 1B ( ) , бо

вона скрізь розривна, а функції в 1B ( ) обов'язково неперервні в багатьох точках. Вона входить у клас 2B ( ) функцій, які є поточковими границями послідовностей функцій з 1B ( ) .

У теорії функцій часто використовується клас V[a,b] функцій :[ , ]f a b обмеженої варіації [3, с. 86]. Нехай V0[a,b] = V[a,b] ∩ C[a,b], де C[a,b] – простір всіх неперервних функцій :[ , ]f a b , і V1[a,b] – це сукупність функцій

:[ , ]f a b , для яких існує така послідовність функцій :[ , ]nf a b , що ( ) ( )nf x f x на [a,b] і 0V [ , ]nf a b для

кожного n . Зрозуміло, що V1[a,b]B1[a,b]. Виникає природне питання: чи має місце рівність V1[a,b] = B1[a,b]? Далі, відомо, що C[a,b] Ъ V[a,b], наприклад, для функції 0 ( ) sin( / )f x x x ,

0x , i (0) 0f маємо, що 0f ∈ C[0,1]\V[0,1]. Але чи має місце включення C[a,b]V1[a,b] ?

Легко зрозуміти, що 0f ∈V1[0,1], розглянувши функції :[0,1]nf , які задаються правилом: 0( ) ( )nf x f x при

83

1/ 1n x і ( ) 0nf x при 0 1/x n . Виявляється, що відповідь і на інші питання ствердна.

Теорема 1. Кожна неперервна функція :[ , ]f a b є рівномірною границею деякої послідовності функцій з V0[a,b].

Теорема 2. V1[a,b] = B1[a,b]. Функції обмеженої варіації тісно пов'язані з монотонними

функціями. Сукупність усіх монотонних функцій :[ , ]f a b позначимо символом M[a,b]. Відомо [3, с.92], що V[ , ]f a b тоді і тільки тоді, коли існують такі зростаючі функції

, :[ , ]g h a b , що f g h . Розглянемо класи M0[a,b]= M[a,b]∩C[a,b] i M1[a,b], що складається з усіх поточкових границь послідовностей функцій nf з M0[a,b]. Зрозуміло, що M1[a,b]V1[a,b]=B1[a,b]. Виявляється, що тут при a < b має місце строге включення M1[a,b]B1[a,b]. Це випливає з наступного результату.

Теорема 3. Нехай X – невироджений проміжок числової прямої, :nf X монотонні функції при n=1,2,... і

:f X – це поточкова границя послідовності функцій fn. Тоді:

(і) функція f монотонна; (іі) якщо f не стала, то існує такий номер N, що при n≥N

або всі функції fn зростають, або всі вони спадають. Таким чином, M1[a,b]M[a,b] i C[a,b]Ъ M1[a,b] при a < b.

Можливо, M1[a,b] = M[a,b].

Список літератури: 1. Baire R. Sur les fonctions discontinues qui se rattachent aux

fonctions continues // C.R. – 1898. – 126. –P. 1521-1523. 2. Baire R. Sur les fonctions des variables reélles // An. Mat. Pura

Appl., ser. 3. — 1899. — 3. —P.1-123. 3. Маслюченко В.К. Лекції з функціонального аналізу. Ч. 2. —

Чернівці: ЧНУ, 2010. — 192 с.

84

Марина Порушник Науковий керівник – доц. Мартинюк О.В.

Застосування теореми Паскаля Відомий філософ і математик Блез Паскаль (1623 – 1662) у

шістнадцятирічному віці відкрив чудову теорему [1]. Теорема Паскаля. Якщо всі шість вершин шестикутника

лежать на колі і три пари протилежних сторін перетинаються, то ці три точки перетину колінеарні.

Пряма, що містить ці три точки L, M, N, називається прямою Паскаля шестикутника ABCDЕF. Ці ж шість точок визначають шістдесят шестикутників, отже, вони визначають шістдесят прямих Паскаля, які утворюють дуже цікаву конфігурацію: деякі їхні підмножини конкурентні, а деякі підмножини точок їх перетину колінеарні, і т. д.

Ніхто не знає, як Паскаль доводив цю теорему, бо справжній текст доведення був втрачений. Цей факт стимулював відновити втрачене доведення, тобто довести теорему, використовуючи тільки ті знання і методи, що існували в часи Паскаля. Одне таке доведення, що використовує тільки перші три книги Евкліда, було опубліковане Фордероцом, але найімовірніше, що він використовував теорему Менелая.

Зі збереженої короткої роботи Паскаля «Досвід про конічні перерізи» («Essay pour les coniques») випливає, що теорема Паскаля застосовується не тільки до шестикутника, вписаного в коло, але й до шестикутника, вписаного в конічний переріз.

За допомогою теореми Паскаля можна довести багато цікавих тверджень.

Задача. Довести, що якщо вершини A, B, C, D, E шестикутника ABCDEF лежать на колі і три пари протилежних сторін перетинаються у трьох колінеарних точках, то шоста вершина також лежить на колі (рис. 1).

Доведення. Нехай точки A, B, C, D, E – вершини шестикутника ABCDEF, що лежать на колі, а точка F не належить колу. Тоді пряма АF перетинає коло в точці F'. За умовою точки L=ABDE, M=CDFA, N=BCEF – колінеарні.

85

Застосувавши теорему Паскаля до шестикутника ABCDEF', який вписаний у задане коло, одержимо, що точка N’=BCEF’ належить прямій LM, але за умовою точка N=BCEF належить прямій LM. Оскільки пряма ВС не може перетинати пряму LM у двох різних точка N’ та N, то N’=N, а тому і F’=F, тобто F належить колу.

Список літератури: 1. Коксетер Г. С. М., Грейтцер С. Л. Новые встречи с

геометрией. – М.: Наука, 1978. – 224 с.

Рис. 1

86

Марія Продан Науковий керівник – асист. Лукашів Т.О.

Про існування функцій Ляпунова для стохастичної динамічної системи випадкової структури із зовнішніми марковськими перемиканнями

На ймовірнісному базисі ( , , : , 0, )t t F PF F F розглянемо стохастичне диференціальне рівняння, яке називатимемо динамічною системою випадкової структури [1]

)())(),(,())(),(,()( tdwtxttbdttxttatdx , (1) із зовнішніми марковськими перемиканнями

)),(,,,()()()( kkkkkktt txttgtxtxtx

k

nnnk tntSt lim,, N , (2)

і початковими умовами .,)(,)(

0000 HRY hxtxyt km (3)

Тут ( ), 0t t – суто розривний марковський процес зі значеннями в метричному просторі Y з перехідною ймовірністю P(s,y,t); )0,( kk – ланцюг Маркова зі значеннями в метричному просторі H з перехідною ймовірністю на k-му кроці

( , )k h GP ; 1),()( R twtw – одновимірний стандартний вінерів процес.

Вимірні за сукупністю змінних відображення : ,m ma R Y R R : ,m mb R Y R R HYR:g

mm RR задовольняють за останнім аргументом умову Ліпшиця

),,(),,(),,(),,( )2()1()2()1( xytbxytbxytaxyta (1) (2) (1) (2)( , , , ) ( , , , ) , 0,g t y h x g t y h x L x x L

при 0, ,t y h Y H і умову

,)0,,,()0,,()0,,( chytgytbyta HY hyt ,,0 .

87

Систему (1)-(3) назвемо асимптотично стійкою за ймовірністю в цілому, якщо 0,0 21 можна вказати таке

0 , що з нерівності x випливає нерівність

21)(sup0

txtt

P ,

і, крім того, можна вказати таке 01 , що з імовірністю одиниця для реалізацій, які задовольняють нерівність

1)(sup0

txtt

, має місце співвідношення

0)(lim

txt

при всіх початкових даних з області (3). Якщо останнє співвідношення виконується незалежно від

початкових даних (3), то говорять, що система (1)–(3) асимптотично стійка за ймовірністю в цілому рівномірно за

00 tt . У [2] встановлено загальні теореми про стійкість

стохастичних динамічних дифузійних системи (1)–(3) у припущенні, що функції Ляпунова [2] для таких систем існують. Однак, залишається актуальне питання про існування функцій Ляпунова для системи (1)–(3).

Доведено, що якщо тривіальний розв’язок системи (1)–(3) асимптотично стійкий за ймовірністю в цілому рівномірно відносно початкових даних з області (3), то в цій області існує послідовність функцій Ляпунова ( , , ), 0kv y h x k , на яких слабкий інфінітезимальний оператор, обчислений на підставі системи (1)–(3) є від’ємно-визначеною функцією.

Список літератури:

1. Кац И. Я. Метод функций Ляпунова в задачах устойчивости и стабилизации систем случайной структуры. – Екатеринбург: УГАПС, 1998. – 222 с.

2. Ясинський В.К., Лукашів Т.О. Стабілізація стохастичних дифузійних динамічних систем випадкової структури. – Чернівці: ЧНУ, 2013. – 136 с.

88

Надія Ровенко Науковий керівник – проф. Маслюченко В.К.

Декомпозиція неперервності лінійних відображень

Під декомпозицією неперервності розуміють результати, в

яких неперервність відображення виводиться з якихось інших його властивостей. Класичним прикладом є відома теорема Банаха про замкнений графік [1, с.148]: для банахових просторів 푋 і 푌 кожне лінійне відображення із замкненим графіком є неперервним. Неперервність лінійних перехідних відображень була встановлена в праці [2].

Останніми роками активно вивчаються різні ослаблення неперервності (квазінеперервність, ледь неперервність, майже неперервність, тощо (див. огляди [3-5])). Тому природно поставити питання про неперервність лінійних відображень, які є ослаблено неперервними в тому чи іншому сенсі. Крім лінійних, можна розглянути і інші подібні класи відображень (поліноміальні, полілінійні, нарізно поліноміальні тощо ).

Тут ми подаємо перші результати, що були отримані при виконанні цієї програми.

Нагадаємо, що відображення 푓: 푋 → 푌 між топологічними просторами 푋 і 푌 називається ледь неперервним у точці 푥 з 푋, якщо для кожного околу 푉 точки 푓(푥) в 푌 існує така відкрита непорожня множина 퐺 в 푋, що 푓(퐺) ⊆ 푉, і просто ледь неперервним, якщо воно є таким у кожній точці 푥 ∈ 푋.

Теорема 1. Нехай 푋 і 푌 – топологічні векторні простори над полем 핂 дійсних чи комплексних чисел і 푓: 푋 → 푌 – лінійне ледь неперервне відображення. Тоді 푓 неперервне.

Звідси негайно випливає, що і квазінеперервні лінійні відображення в топологічних векторних просторах будуть неперервними.

89

Відображення 푓: 푋 → 푌 називають майже неперервним у точці 푥 з 푋, якщо для кожного околу 푉 точки 푓(푥) в 푌 існує така множина 퐴 в 푋, що 퐴 – це окіл точки 푥 і 푓(퐴) ⊆ 푉, та просто майже неперервним, якщо воно є таким у кожній точці 푥 ∈ 푋.

В. Птак встановив такий результат [6, с.125]. Теорема 2 (В. Птак). Нехай 푋 і 푌 – гаусдорфові локально

опуклі простори, причому простір 푌 суперповний, і 푓: 푋 → 푌 – лінійне майже неперервне відображення, яке має замкнений графік. Тоді 푓 неперервне.

Нам невідомо, чи істотна в цій теоремі властивість замкненості графіка.

Список літератури:

1. Маслюченко В. К. Лекції з функціонального аналізу. Ч 2. Лінійні оператори і функціонали. – Чернівці: Рута, 2010. – 192 с.

2. Маслюченко В. К., Нестеренко В. В. Слабка властивість Дарбу і перехідність лінійних відображень у топологічних векторних просторах // Карп. мат. публ. – 2013. – 5, 1. – С.79–88.

3. Piotrowski Z. A survey of results concerning generalized continuity of topological spaces // Acta Math. Univ. Comen. – 1987-1988. – 52-53. – P. 91-110.

4. Neubrunn T. Quasi-continuity // Real Anal. Exch.. – 1988–1989. – 14, 3. – P. 259–306.

5. Natkaniez T. Almost continuity. – Bydgoszcz: Wyzcza Szkola Pedagogiczna w Bydgozczy, 1992. – 131 p.

6. Маслюченко В. К. Елементи теорії двоїстості. – Чернівці. – Рута. – 2005. – 160 с.

90

Оксана Романець Науковий керівник – проф. Житарюк І.В.

Математична освіта у реальних навчальних закладах Буковини за часів перебування краю у складі Австрії

Реальні школи в системі освіти Австрії та її провінцій займали проміжне місце між народними, початковими школами та вищими технічними навчальними закладами й забезпечували не лише загальнокультурний розвиток населення, а й давали знання, потреба в яких виникала відповідно до розвитку промисловості, техніки, науки.

Чернівецька реальна школа заснована у 1863 році, одним із ініціаторів її відкриття був Євген Гакман, митрополит Буковини. Очолив школу Герман Тауш. Чернівецька школа діяла від-повідно до законів Про початкову освіту Австрії та була підпорядкована Крайовій шкільній раді. У 1870 році реорганізо-вана у семикласну і прирівнювалась до восьмикласних кла-сичних гімназій. До 1918 року підпорядковувалась Міністерству віровизнань та освіти Австро-Угорщини. Після того, як Буко-вина увійшла до складу Румунії (1918), діяла відповідно до закону Про початкову освіту від 29 липня 1919 року і була підпорядкована Державному секретаріату у справах освіти та XIV Окружному інспекторату. У 1924 році школу реорга-нізували у православний реальний ліцей 1, який у 1936 році одержав назву Православний чоловічий ліцей Митрополита Сильвестра . Припинив свою діяльність у 1940 році. У вересні 1942 року відкрився заново й остаточно припинив свою діяльність у 1944 році. Серед учнів та учителів школи багато відомих людей, зокрема, Єротей Пігуляк – політичний діяч, депутат Буковинського сейму (викладач хімії); Юстин Пігуляк – буковинський живописець (викладач креслення та каліграфії); Раймунд Фрідріх Кайндль – видатний історик (директор школи, викладач німецької мови, географії, історії). У школі навчався відомий поет XX століття Пауль Целан. Нині це Чернівецька загальноосвітня школа І-ІІІ ступенів 2 ім. Ю. Федьковича (вул. Головна, буд. 87).

91

До змісту математичних дисциплін у нижчих класах (1-3) було включено матеріал, який містив практичне та комерційне спрямування, зокрема: одиниці ваги, грошей; звичайних і банківських відсотків та їх розрахунку; грошові і вексельні розрахунки; види знижок ціни; страхування, державні папери й акції тощо.

У вищих класах (4-6, 4-8) курс математики розпочинався з вивчення алгебри і геометрії. Водночас поверталися до понять, які вивчалися у молодших класах з елементами ускладнення і збагачення їх новими компонентами.

У четвертому класі вводилося вивчення логарифмів, рівнянь першого і другого ступенів з одним і більше невідомими, уточнювалися геометричні уявлення про пряму, конічний переріз, узагальнювалися знання з планіметрії. У п’ятому класі розглядали рівняння третього і четвертого ступенів, після чого вивчали арифметичну та геометричну прогресії; опановували тригонометрію з елементами аналітичної геометрії на площині; розпочинали вивчати курс зображувальної геометрії.

У шостому та сьомому класах повторювали та узагальнювали весь пройдений матеріал [3].

Аналіз методичної літератури свідчить про значущість вивчення окремих тем геометрії для розвитку просторового і логічного мислення, для загальнокультурного та естетичного виховання учнів, для демонстрації прикладної спрямованості геометрії.

Список літератури: 1. Мочнік Ф. Арифметика для IV класу гімназій. – Львів, 1875. –

75 с. 2. Панішкевич О.І. Розвиток українського шкільництва на

Буковині (XVIII – поч. XX століття). – Чернівці : Рута, 2002. – 520 с. 3. Савицький Е.М. Геометрія для висших кляс гімназияльних.–

Львів : З друкарні Наукового товариства ім. Шевченка, 1908. – 250 с.

92

Тетяна Романюк Науковий керівник – асист. Конаровський В.В.

Про одну систему важких дифузійних частинок

У роботі вивчається система взаємодіючих дифузійних

частинок на дійсній прямій. Частинки стартують із зліченної множини точок, рухаються незалежно до моменту зустрічі, потім склеюються і рухаються разом. Кожна частинка має масу, яка впливає на коефіцієнт дифузії (дифузія частинки є деякою функцією її маси), при цьому маса частинок сумується в момент склеювання.

Систему випадкових процесів, яка описує еволюцію даної моделі, побудовано в два етапи. Спочатку, використовуючи систему незалежних вінерівських процесів, за допомогою склеювання їхніх траєкторій побудовано скінченну систему процесів, а потім за допомогою леми 5 [1] зроблено граничний перехід, коли кількість частинок прямує до нескінченності. Має місце наступна теорема.

Теорема 1. (і) Нехай f – деяка фіксована функція з 1, в

0,1 . Для довільної неспадної послідовності , ,nx n такої, що

1lim ( ) 0,n nn

x x

існує система випадкових процесів , , 0nx t n t , яка задовольняє такі властивості:

1) nx – неперервний квадратично інтегровний мартин-гал відносно фільтрації

, , ;t nx s n s t F

2) 0 , ;n nx x n

3) для довільних цілих l k та довільного 0t ;l kx t x t

93

4) для довільних 0t і n

0

,t

n ntx f m s ds

де : ;n inm t i x t x t

5) для довільних 0,t ,k l

,

, 0,l k t l kx x

де , :inf .l k l kt x t x t

(іі) Умови 1) – 5) однозначно визначають розподіл n nx

у просторі C

.

Зауваження. Сукупність процесів, яка задовольняє умови1) – 5), є математичним описом системи частинок, що вивчається.

Нехай K – множина елементів x , які задовольняють

1 0lim n nn

x x

та 1 .,n nx x n

Зазначимо, що для довільного x K існує система випадкових процесів , , 0kx t k t , яка задовольняє властивості 1) –

5) теореми 1. Позначимо розподіл n nx

у просторі

C

за допомогою x .

Доведено наступну теорему. Теорема 2. Множина розподілів ,

x x K є строго марковською системою.

Список літератури: 1. Konarovskiy V.V. On infinite system of diffusing particles with coa-

lescing// Theory of Probability and its Applications. – 55 (2011). – 1. – Р.134–144 .

94

Микола Сайнюк Науковий керівник – доц. Маценко В.Г.

Порівняльний аналіз алгоритмів відсікання на площині

Задачі відсікання зображення (виділення тієї частини геометричного об’єкта, яка лежить поза областю видимості) деякою іншою областю є головними геометричними задачами при візуалізації сцен у комп’ютерній графіці [1]. Дана робота є результатом поглибленого та детального вивчення більшості відомих на сьогоднішній день алгоритмів відсікання на площині. Ми розглянули алгоритми відсікання, які використовують:

координати кінців відрізка або самого відрізка o Сазерленда–Коена, o FC-алгоритм;

параметричне задання самих відрізків і сторін вікна o Кіріуса–Бека (дві модифікації), o Ейлера–Азертона (дві модифікації)

та деякі інші, не традиційні [2]. Серед них алгоритми Ліанга–Барскі, середньої точки, Сазерленда-Ходжмана, Ніколь–Лі-Ніколь, Мейлота, Скала. Для декотрих з них були реалізовані додаткові модифікації: так, для алгоритму Ліанга–Барскі була реалізована версія з використанням «оптимального дерева» для відсікання полігона та відсікання полігона у випадку опуклого многокутника. Цей набір алгоритмів дозволяє проводити відсікання ліній та будь-яких полігонів, вікном типу прямокутник, опуклий чи неопуклий многокутник. Створений програмний продукт є веб-сторінкою, яку можна переглянути у всіх популярних браузерах останніх версій. Логіка роботи алгоритмів написана мовою JavaScript. Для демонстрації алгоритмів був використаний готовий графічний редактор з MIT ліцензією – SVG-edit версії 2.3. Використовуючи відкритий стандарт скалярної векторної графіки SVG, HTML5,

95

CSS3 та JS бібліотеку jQuery, створена веб-сторінка наступного вигляду (рис.1).

Рис.1. Скріншоти редактора до і після відсікання Нами проведено порівняльний аналіз роботи різних алгоритмів. Всі реалізовані алгоритми були проаналізовані за багатьма параметрами (наприклад, швидкість роботи). Зокрема, в таблиці 1 наведені дані для порівняння алгоритмів відсікання ліній прямокутником.

Вікно CS FC LB CB

10 25.3| 104.6

11.0|55.9 121.6|124.5 393.3|324.3 30 25.4| 98,4 11.0|53.0 122.0|137.7 395.0|367.7 50 25.3|87.2 11.2|46.5 121.5|140.9 394.6|387.1 70 25.4|65.1 11.0|34.4 122.7|135.4 394.7|393.0 90 25.2|39.0 11.0|19.0 124.8|126.8 394.4|395.3 98 25.1|28.0 11.6|12.4 122.7|123.5 393.6|393.4

4 Таб. 1. Результати для різних випадків положення відрізка Список літератури:

1. Маценко В.Г. Комп’ютерна графіка: Навчальний посібник. – Чернівці: Чернівецький національний університет, 2009. – 343 c. 2. Max K. Agoston. Computer Graphics and Computer Modeling. – ACM TOG, 3(1), 1984. – 919 р.

96

Сергій Сівак Науковий керівник – доц. Сопронюк Т.М.

Створення програмного додатку для роботи

із інтерактивними текстами

Метою нашої роботи є створення тестів, відповідати на які можна різними способами. При створенні таких тестів користувач обирає назву, предмет, тип тестів, тип відповідей і т.д.

Назва додатка – “SpeechTests”. Основна частина проекту написана мовою програмування Java [1] з використанням таких фреймворків, як JavaFX, Hibernate ORM. Сховищем даних представлення є MySql база даних, яка містить інформацію про тести, налаштування, питання та відповіді на них. Проект створений у програмному середовищі IntelliJ Idea 13.0. JavaFX використовується для графічного представлення додатку, Hibernate ORM – для зв'язку між об'єктами та реляційними структурами [2]. У проекті використовуються такі зовнішні бібліотеки, як Gson (для роботи з json-файлами), JavaFlacEncoder (для конвертування звукових файлів) та Simmetrics (для порівняння рядків на співпадання із деякою ймовірністю).

Головною відмінністю від інших програм, пов’язаних зі створенням і використанням тестів, є можливість відповіді голосом. Для реалізації такої можливості використовується Google Speech API [3] – веб-сервіс, завдяки якому можна розпізнавати голос, записаний у форматі FLAC тривалістю не більше 15 секунд із частотою 16кГц. Відповідь сервера являє собою JSON-дані із можливими варіантами розпізнаного тексту та ймовірністю, що цей варіант правильний.

На першому етапі розробки було створено консольний додаток, який записував голос користувача у форматі WAVE та програвав записаний звук. Після цього звуковий файл конвертувався у FLAC та відправлявся на сервер. Далі виводилась розпізнана фраза.

97

На другому етапі було створено візуальний додаток із певними шаблонами тестів, що зберігались у форматі JSON. Реалізована можливість відповідати на ці тести голосом або, обираючи певну відповідь, в залежності від налаштувань тесту.

На третьому етапі сховище тестів було перенесено з json даних у MySql-базу даних. Ми підключили Hibernate ORM для простішої і безпечнішої роботи із базою даних.

Список літератури: 1. Эккель Б. Философия Java = Thinking in Java. – 3-е изд. – СПб.:

Питер, 2003. – 976 с. 2. Linwood, Jeff, Minter, Dave. Beginning Hibernate. – 2nd ed. –

Apress, 2010, May 28. – 400 p. 3. Использование Google Speech API для управления компью-

тером. – [Электрон. ресурс]. – Режим доступа: http://habrahabr.ru/ post/144535/

98

Андрій Слободян Наукові керівники – проф. Бігун Я. Й.,

асист., архітектор ПЗ – Ткачик О.М.

Пошук неповних дублікатів текстів

За останні десятиріччя інтернет-технології зазнали широко поширення. Спостерігається значний ріст веб-документів, які займають певне місце на сервері. Тому актуальною задачею є пошук дублікатів інформації. У нашому випадку розглянуто питання пошуку дублікатів вакансій. Як відомо, на даний час є чимало ресурсів для їхнього розміщення. Пошуковим системам при індексації вакансій потрібно перевірити їх на оригінальність, при цьому застосовуються спеціальні алгоритми для знаходження дублікатів.

Для розв’язання цієї проблеми широкою популярністю користуються: алгоритм Шинглів [1], відстань Левенштейна [2], N-грам [3] та інші. Проте, у них є ряд недоліків, а саме: висока складність, нестійкість до великих об’ємів даних, сильна залежність від довжини і будови слова (проблема канонізації тексту), а також відсутність ваги слова.

В роботі створено спеціальний алгоритм для пошуку дублікатів у попередньо заповненій базі даних вакансій. Алгоритм ґрунтується на оберненому індексу слів [4]. На його основі будується словник, в якому кожному слову ставиться у відповідність його початкова форма (завдяки тезаурусу [5]), ідентифікатор вакансій, в яких воно міститься, і вага слова. Під вагою слова будемо розуміти залежність між кількістю всіх вакансій, кількістю вакансій, в яких це слово знайдене і довжиною слова. Після чого, для кожної вибирається топ-N слів, відсортованих за вагою. Завдяки компоненту Microsoft Full-Text Search [6]

99

для двох вакансій знаходиться коефіцієнт їх подібності. Цей коефіцієнт набуває значення від 0 до 1. Дві вакансії вважаються дублікатами, якщо їх коефіцієнт подібності більше деякої костанти P.

На базі створеного алгоритму, використовуючи технології Microsoft .NET Framework та бази даних SQL Server, був розроблений програмний додаток для пошуку дублікатів вакансій і аналізу результатів його роботи. Великим плюсом є те, що його легко пристосувати до пошуку дублікатів будь-якої текстової інформації.

Список літератури:

1. Алгоритм Шинглів. – [Електронний ресурс]. – Режим доступу: http://ru.wikipedia.org/wiki/Алгоритм_шинглов.

2. Відстань Левенштейна. – [Електронний ресурс]. – Режим доступу: http://uk.wikipedia.org/wiki/Відстань_Левенштейна.

3. N-грам. – [Електронний ресурс]. – Режим доступу: http://ru.wikipedia.org/wiki/N-грамм.

4. Обернений індекс. – [Електронний ресурс]. – Режим доступу: http://ru.wikipedia.org/wiki/Инвертированный_индекс.

5. Тезаурус. – [Електронний ресурс]. – Режим доступу: http://technet.microsoft.com/ru-RU/library/ms142491.aspx.

6. Microsoft Full-Text Search. – [Електронний ресурс]. – Режим доступу: http://technet.microsoft.com/ru-ru/library/ms142571.aspx.

7. Troelsen A. – Pro C# 5.0 and the .NET 4.5 Framework (The Expert's Voice in .NET), 2012. – 1534 p.

100

Андрій Слободян Науковий керівник – асист. Лукашів Т.О.

Стабілізація стохастичних систем Іто з марковськими збуреннями та дробово-лінійною

невизначеністю Розглянемо стохастичну динамічну систему Іто з

дробово-лінійною невизначеністю ( ) ( , ( )) ( ) ( ( )) ( ) ( ),dx t A t t x t dt B t x t dw t (1)

0 0(0) , (0) ,x x (2) де ( ), 0t t – марковський процес зі значеннями в скінченному просторі 1,2,..., NN ; ( ) nx t R ; ( )w t R – стандартний вінерів процес, який не залежить від марковського процесу ( ), 0t t . 0

nx R визначає початковий стан системи в момент часу 0t , а 0 N – вихідний стан марковського процесу ( )t в момент 0t .

Матриці ( , ( ))A t t та ( ( ))B t , ( )t i N , мають відповідні зображення:

( , ) ( ) ( ) ( , ) ( )A A AA t i A i M i H t i N i , 1

( , ) ( , ) ( ) ( , )A AA AH t i t i I G i t i

, (3)

де ( )A i , ( )AM i , ( )AN i та ( )AG i – відомі дійсні матриці. Дробово-лінійна невизначеність [1] характеризується ( , )

At i – невідомою матричнозначною функцією,

аргументи якої (елементи матриці) є вимірні за Лебегом, і, крім того, виконується нерівність

( , ) ( , )T

A At i t i I ,

де I – одинична матриця. Еволюція марковського процесу ( ), 0t t задається

таким розподілом ймовірностей:

101

( ),

( ) | ( )1 ( );

ij

ij

h o hP t h j t i

h o h

де 0ij h – швидкість переходу зі стану i у стан j , i j ,

на момент часу t ; 1

( )N

ii ijjj i

o h

; ( )o h – нескінченно мала

при 0h . Означення. Система (1), (2) є стохастично стійкою,

якщо існує додатна стала 0 0( , )L L x така, що при будь-яких початкових даних справедлива нерівність

20 0

0

( ) | ( , )x t dt x L E .

Для системи (1), (2) розглянуто задачу стійкості в розумінні вищенаведеного означення.

Розглянуто задачу стабілізації для стохастичної динамічної системи Іто вигляду

1( ) ( , ( )) ( ) ( , ( )) ( ) ( ( )) ( ) ( )dx t A t t x t A t t u t dt B t x t dw t ,

0(0)x x , 0(0) , де 1A має зміст (3), а ( )u t – функція керування [2].

Розв’язано модельні приклади на застосування розглянутої теорії стабілізації стохастичних динамічних систем Іто з марковськими параметрами, як внутрішніми збуреннями системи, та з дробово-лінійною невизначеністю.

Список літератури:

1. Long F., Huang H., Ding A. Stochastic Stabilization of Ito Stochastic Systems with Markov Jumping and Linear Fractional Uncertainty // Journal of Control Science and Engineering. – Vol. 2013. Article ID 697849. – P. 81-94.

2. Boukas E.K. Stochastic Switching Systems. Analysis and Design. – Boston: Birkhauser, 2005. – 413 p.

102

Юлія Солонар Науковий керівник – доц. Сопронюк Т.М.

Моделювання електричних кіл із перемиканнями за допомогою диференціальних рівнянь з імпульсною дією

Традиційний підхід до аналізу електричних кіл із перемиканнями здійснюється за допомогою побудови моделі, яка описується диференціальними рівняннями з розривною правою частиною. Але для обчислення сили струму i(t) таким способом можна стикнутись із проблемою громіздкості формул для обчислення шуканих значень [1]. Враховуючи це, у роботі розглянуто кращий підхід [2] – з використанням диференціа-льних рівнянь із імпульсною дією. Саме використання імпульсних диференціальних рівнянь дає змогу будувати розв’язки для різної кількості джерел електрорушійної сили і різної кількості перемикань.

Створена програма дозволяє: будувати електричні кола для заданої кількості джерел електрорушійної сили; обчислювати значення сили струму i(t) за допомогою диференціальними рівняннями з розривною правою частиною

푅푖(푡) + 퐿 ( ) = 푒(푡) ,

푒(푡) =

⎩⎨

⎧퐸 sin(푤 푡 + 휑 ) , 휏 < 푡 < 휏 ,

퐸 sin(푤 푡 + 휑 ) , 휏 < 푡 < 휏 ,…

퐸 sin(푤 푡 + 휑 ), 휏 < 푡 < 휏 ,

푘 ∈ 0, 1, … ; обчислювати значення сили струму i(t) за допомогою заміни

푖(푡) = 푥(푡) + 푛(푡), розв’язуючи диференціальні рівнянь з імпульсною дією

푅푥(푡) + 퐿푑푥(푡)

푑푡= 0 , 푡 ≠ 휏 , 푗 ∈ 1, 2, … ;

푥(0) = −푛 (0) ,

103

∆푥| =

⎩⎪⎨

⎪⎧ 푛 휏 − 푛 휏 , 푗 = 푘푚 + 1,

푛 휏 − 푛 휏 , 푗 = 푘푚 + 2,…

푛 휏 − 푛 휏 , 푗 = 푘푚 + 푚,

푘 ∈ 0, 1, … ; виведення графіків коливання сили струму у двох випадках; виведення звіту обчислень у текстовий файл .doc; отримання даних із текстового файлу спеціального формату.

Користувачу дозволяється обрати параметри моделі, зокрема, кількість джерел електрорушійної сили, кількість перемикань тощо.

Список літератури: 1. Шидловська Н.А., Кравченко О.П. Аналіз електричних кіл з

перемиканнями за допомогою теорії диференціальних рівнянь з імпульсною дією. // Пр. Ін-ту електродинаміки НАН України: Зб. наук. пр. – К.: ІЕД НАНУ, 2005. – 2(11) Ч2, 2005.– С.3-6.

2. Сопронюк Т.М. Моделювання електричних кіл з перемиканнями за допомогою диференціальних рівнянь з імпульсною дією // Математика і інформатика – Ужгород: УжНУ, 2011. – Вип. 22, 2. – C. 138–141.

104

Ольга Солтис Науковий керівник – доц. Мартинюк С.В.

Вибрані теми для поглибленого вивчення шкільного курсу геометрії у 7 – 9 класах

Однією із форм роботи із сучасними інформаційними технологіями є використання мультимедійних засобів навчання (мультимедійних презентацій).

Мультимедіа – це представлення об'єктів і процесів не традиційним текстовим описом, а за допомогою фото, відео, графіки, анімації, звуку, тобто у всіх відомих сьогодні формах.

Презентації – важливий і надзвичайно корисний метод навчально-виховної діяльності, оскільки вчитель може не тільки продемонструвати змістовний матеріал, що вивчається в даній темі, а й формувати певну логіку мислення, так як усі презентації будуються за однією і тією ж логічною схемою.

Відомо (дослідження інституту Євролінгвіст, Нідерланди), що більшість людей запам'ятовують 5% почутого і 20% побаченого. Одночасне використання аудіо- і відео- інформації підвищує запам’ятовування до 40-50%.

При застосуванні презентацій Microsoft Power Point на уроці ми маємо дві основні переваги - якісну і кількісну. Якісно нові можливості очевидні, якщо порівняти словесні описи з безпосереднім аудіовізуальним уявленням. Кількісні переваги виражаються в тому, що середовище Microsoft Power Point багато вище по інформаційній щільності. От чому краще «один раз побачити, ніж сто разів почути». Економія часу, необхідного для вивчення конкретного матеріалу, у середньому складає 30%, а набуті знання зберігаються в пам'яті значно довше.

Розробка презентацій до уроку сприяє реалізації таких завдань процесу навчання:

• ефективному управлінню уваги учнів на уроці; • підвищує мотивацію школярів за рахунок збереження

потреби в здобутті нових знань;

105

• дозволяє подолати пасивний спосіб передачі учням готових знань;

• підтримує інтерес учнів до навчання, оволодіння фундаментальними й прикладними знаннями.

Я створила серію презентацій для 7 – 9 класів, які охоплюють наступні теми. Вибранні теми 7-го класу:

1. Паралельні прямі (9 слайдів). 2. Сума кутів трикутника (6 слайдів). 3. Коло. Геометричні побудови (8 слайдів).

Вибранні теми 8-го класу: 1. Теорема Фалеса. Теорема про пропорційні відрізки (5

слайдів). 2. Теорема про медіани трикутника. Теорема про

бісектрису трикутника (6 слайдів). 3. Теорема Менеля. Теорема Чеви (4 слайди). 4. Пряма Ейлера. Коло дев’яти точок (5 слайдів).

Вибранні теми 9-го класу: 1. Теорема Косинусів (4 слайди). 2. Теорема Синусів (4 слайди). 3. Тригонометрична форма теореми Чеви (6 слайдів). 4. Формула Ейлера для знаходження відстані між центрами

вписаного і описаного кіл (2 слайди). Комп'ютерна підтримка уроків у початковій школі дозволяє

вивести сучасний урок на якісно новий рівень, підвищити статус учителя. Якщо ми навчимо дітей не тільки працювати, вчитись, долати труднощі, а й отримувати від цього задоволення – тоді можна сказати, що основну мету, яка ставиться перед учителями, виконано.

Список літератури: 1. Мерзляк А. Г., Полонський В. Б., Якір М. С. Геометрія: підруч.

для 7 кл. загальноосвіт. навч. закл. – Харків: “Гімназія”, 2008. – 198 с. 2. Мерзляк А. Г., Полонський В. Б., Якір М. С. Геометрія: підруч.

для 8 кл. загальноосвіт. навч. закл.: рівень поглиблений – Харків: “Гімназія”, 2006. – 282 с.

106

Оксана Спіжавка Науковий керівник – доц. Пасічник Г.С.

Задача про максимальний потік

Розглядається мережа, яка визначена графом (퐼, 푈) і на

множині дуг якої задані пропускні спроможності 푑 , (푖, 푗) ∈ 푈, має єдине джерело 푠 з інтенсивністю 푏 і єдиний стік 푡. За критерієм існування допустимого потоку [1] стік 푡 повинен мати інтенсивність, що дорівнює – 푏, а сам допустимий потік на такій мережі визначатиметься умовами

⎩⎪⎪⎨

⎪⎪⎧ 푥 = 푏,

:( , )∈

푥 :( , )∈

− 푥 = 0, 푖 ∈ 퐼, 푖 ≠ 푠, 푖 ≠ 푡, (1):( , )∈

− 푥:( , )∈

= −푏,

0 ≤ 푥 ≤ 푑 , (푖, 푗) ∈ 푈. (2) Вважатимемо інтенсивність 푑 джерела 푠 змінною величиною. Задачу про максимальний потік на мережі з єдиним джерелом і єдиним стоком можна сформулювати так: максимізувати 푏, тобто

푏 → 푚푎푥 за виконання умов (1), (2). Змістовно це означає знайти найбільше значення інтенсивності 푏 джерела 푠, при якому мережа допускає потік.

Відомо, що якщо мережа з єдиним джерелом 푠 і єдиним стоком 푡 допускає потік, тоді величина максимального потоку із джерела 푠 у стік 푡 дорівнює пропускній спроможності мінімального розрізу мережі, який відділяє джерело 푠 від стоку 푡.

Розрізом мережі, що відокремлює s від t , називається множина дуг 푈( 퐶) = (푖, 푗 ) ∈ 푈: 푖 ∈ 퐶, 푗 ∉ 퐶, де 퐶 – деяка множина вершин ( 퐶 ⊂ 퐼) мережі, така, що 푠 ∈ 퐶, 푡 ∉ 퐶.

107

Розріз, що має найменшу пропускну спроможність, називається мінімальним. Задача пошуку такого розрізу називається задачею про мінімальний розріз.

Cформульовані задачі є двоїстими i їх розв'язки тісно пов'язані між собою.

Теорема (Форда–Фалкерсона). Величина максимального потоку із s в t дорівнює пропускній спроможності мінімального розрізу, що відокремлює s від t .

Для розв’язування такої задачі ми використовуємо алгоритм Форда–Фалкерсона. Алгоритм Форда–Фалкерсона розпочинає роботу з будь-якого допустимого потоку 푥 (зокрема, нульового) величини 푑 . Згiдно з формулами

푠 ∈ C*, якщо 푖 ∈ C* та 푥∗ < 푑 , то 푗 ∈ C*, якщо 푖 ∈ C* та 푥∗ > 0, то 푖 ∈ C*,

для цього потоку визначається множина 퐶 . Якщо 푡 ∉ 퐶 ., то потік 푥 є максимальним, в протилежному випадку можна знайти 훳 > 0 та новий потік 푥 = 푥 , (푖 , 푗 ) ∈ 푈 величини

푑 = 푑 +훳 . Для нового потоку цей цикл операцій повторюється i т. д.

Зазначимо, що процеси визначення 퐶 та 훳 об'єднуються в один процес “розставлення позначок” вершин. Позначка µ (푖 ) довільної вершини 푖 складається з двох чисел 푁 та . 훳 Ці числа означають, що вздовж деякого ланцюга, останнім ребром якого є (푁 , 푖) , можна додатково доставити 훳 одиниць потоку з вершини 푠 до вершини 푖 .

Програму, яка знаходить максимальний потік методом Форда–Фалкерсона, розроблено у програмному середовищі Delphi, яке дозволяє розробляти програми з графічним інтерфейсом.

Список літератури: 1. Попов Ю.Д., Тюптя В.І., Шевченко В.І. Методи оптимізації.

Навч. ел. посіб. – К.: Електронне видання. Ел. бібл. фак-ту кіб. Київського нац. у-ту ім. Т. Шевченка, 2003. – 215 с.

2. Бейко И.В. и др. Методы и алгоритмы решения задач оптимизации. – К.: Вища шк., 1983. – 512 с.

108

Вячеслав Тарнавський Науковий керівник – асист. Перцов А.С.

Особливості створення та генерації ігрових світів у випадку нескінченного геймплею

Сучасні комп’ютери не лише дозволяють полегшити діяль-ність людини (складні обчислення, візуалізація різної склад-ності, обробки великої кількості інформації а також створені для розваг). Протягом останніх п’яти років спостерігається широкий розвиток комерційної комп’ютерної індустрії. Значну частину на інформаційному ринку комп’ютерів займають відеоігри.

Одним з найпопулярніших типів відеоігор є так звані “Раннери” (від англійської “run” – бігти). Це фактично невеликі за об’ємом додатки, концепція яких полягає в нескінченному геймплеї з досить примітивною задачею набрати якомога більшу кількість “пойнтів” (очок), долаючи шлях. Зрозуміло, що зберігати на комп’ютері весь віртуальний світ, якщо він нескінченний, фізично неможливо. Виходом з такої ситуації є генерація ігрового світу в режимі реального часу, тобто світ автоматично створюється в області видимості гравця і знищується, якщо він поза зоною видимості.

Існує декілька видів такої генерацій: прямолінійна, де світ виглядає як неперервна пряма і постійно створюється новий світ; кільцева, де сам світ вже створений у вигляді кільця і генеруються лише перешкоди.

Для демонстрації одного з варіантів алгоритму генерації ігрового світу продемонструємо проект-гру, створену за допомогою багатоплатформного інструмента для розробки дво-та тривимірних застосунків та ігор, який працює на великій кількості операційних систем, – Unity Engine.

У створеному проекті гравець рухається вперед уздовж платформи з трьома уявними доріжками-рейками, поза якою є ще одна платформа, уже заздалегідь згенерована. Умовно пронумеруємо їх. Під час проходження однією із платформ гравець може змінювати свою позицію на платформі згідно з

109

доріжками, обходячи перешкоди. Візуально границь між платформами не існує і здається, що гравець рухається по суцільній доріжці. При проходженні першої доріжки та вихід її з поля зору вона знищується, створюється нова за межами поля зору, але вже за другою доріжкою, на якій знаходиться гравець. Для уникнення нескінченної гри при переході на кожну наступну доріжку швидкість гравця збільшується, ускладнюючи гру.

Перешкоди генеруються позиційно, відповідно до розбиття платформи на матрицю A(3,n), де n залежить від довжини плат-форми. На кожному із n рядків матриці випадковим способом розставляються нулі та одиниці (одиниць менше трьох) так, що зберігається можливість вертикального проходу матриці по нулях, тобто всі нулі матриці є сумісними.

Наприклад, зображення

1 0 00 1 11 0 1

неможливе (немає обходу по нулях), а зображення

1 0 00 0 10 1 1

правильне (всі нулі є сумісними). На основі створеної матриці на на ігровому полі розставляються відповідні перешкоди.

При зіткненні гравця з перешкодою гра зупиняється і на екран виводиться кількість зароблених очок.

Список літератури:

1. Unity Docunentation. – [Electr. res.]. – Access mode: URL http://docs.unity3d.com/Documentation/ScriptReference/index.html.

110

Павло Тимофійчук Наукові керівники – проф. Бігун Я. Й.,

менеджер компанії SharpMinds – Е. Зуйдендорп

Системи керування документами та

електронний документообіг

Системи керування документами (СКД) [1] – це програмне забезпечення, яке підтримує осіб, групи користувачів і великі підприємства в управлінні знаннями, які містяться в документах локальних і розподілених файлових системах. Завдяки СКД компанії можуть здійснювати строгий контроль за створенням, зберіганням і розповсюдженням документів протягом усього технологічного процесу. Ряд функцій, які виконує СКД, пов’язані з ідентифікацією документів, зберіганням, пошуком і контролем версій, а також управлінням документообігом. Зосередимо увагу на управлінні документообігом.

Багато СКД мають власні вбудовані системи управління робочими потоками (Workflow Management (WFM) Systems [2])). WFM-системи використовуються для управління підготовкою документа в структурованій формі, де певні операції, огляд або підтвердження повинні виконуватися в певному порядку. WFM-системи направляють документи певним людям в правильній послідовності, поки процес не буде закінчений.

Нами було створено WFM-систему для СКД OpenKM [3]. Процес обробки документів відбувається в кілька етапів (рис.1):

1) створення нового процесу, внесення в нього необхідних даних(Етап побудови);

2) запуск процесу, який починається за наявності всіх необхідних даних (процес виконання I);

3) взаємодія з користувачем (групою користувачів) для підтвердження процесу (процес виконання IІ). Цей процес може повторюватись декілька разів.

111

Рис.1. Процес управління робочими потоками

Ця програма полегшує роботу з документацією та зменшує

витрати часу на фінансові операції. Вона легко підлаштовується під конкретну компанію та користувачів, які використовують цю систему.

Список літератури: 1. Система керування документами. – [Електронний ресурс]. –

Режим доступу: http://en.wikipedia.org/wiki/Document_management_sys-tem.

2. Розуміння системи управління документом. – [Електронний ресурс]. –Режим доступу: http://arhiv-statey.pp.ua/index.php?newsid=26894

3. СКД OpenKM. – [Електронний ресурс]. – Режим доступу: http://www.openkm.com/en/

Зміни в процесі

Аналіз бізнес-процесів, моделювання і визначення

інструментів

Визначення процесу

Служба прийняття робочого процесу

Програми та електронні

інструменти

Етап побудови (оформлення процесу)

Процес виконання І (Процес створення екземпляра)

Процес виконання ІІ (взаємодія між користувачем та програмою)

112

Назарій Томащук Науковий керівник – проф. Маслюченко В.К.

Про точки недиференційовності

Добре відомо, що з диференційовності функції :f X ,

заданої на деякому проміжку X числової прямої , випливає її неперервність, але обернене твердження невірне: стандартний приклад – функція y x , яка неперервна, але не диференційовна в точці 0x . Цей приклад легко узагальнити:

функція 1

( )n

kk

f x x a

, де 1,..., na a – різні точки з ,

неперервна і не диференційовна в точках 1,..., na a і тільки в них. В літературі добре відомі [1, с.86] приклади неперервних і ніде не диференційованих функцій :f , наприклад, функція Вейєрштрасса і ван-дер-Вардена. Виникає природне питання: якою може бути множина ( )J f точок недиференційовності неперервної функції :f X , де X – проміжок в ? Воно рівносильно опису множини ( ) \ ( )H f X J f точок диференційовності функції f . Відповідь на нього відома (див. [2, с.153] і [3]).

Теорема 1. Нехай X – скінченний проміжок, – лінійна міра Лебеґа і :f X – неперервна функція. Тоді множина

( )H f подається у вигляді A B , де A – F -множина, B – F -множина, причому ( ) ( )B X . Навпаки, якщо D A B , де A і B – такі, як сказано вище, то існує така неперервна функція :f X , що ( )H f D .

У зв’язку з цим постають природні питання про опис множин ( )H f і ( )J f для деяких класів функцій, які можуть бути і розривними (функції першого класу Бера, квазінеперервні функції), а також для функцій багатьох змінних чи функціоналів на топологічних векторних просторах.

113

Наприклад, якою є множина ( )H f у відомої функції Рімана :f , яка дорівнює нулю в ірраціональних точках, (0) 1f і ( / ) 1/f m n n , якщо ,m n і дріб /m n

нескоротний. Відомо, що функція Рімана розривна в раціональних точках і тільки в них і належить до першого класу Бера. В раціональних точках вона недиференційовна, бо розривна, але і серед ірраціональних точок вона має точки недиференційовності.

Відоме число Ліувілля !

1(1/10 )n

k

не тільки

ірраціональне, а й трансцендентне. Теорема 2. Функція Рімана :f не диференційовна в

точці .

Список літератури: 1. Фихтенгольц Г. М. Основы математического анализа. Т.2. //

Санкт – Петербург – Москва – Краснодар : Лань, 2005. – 464 с. 2. Bruckner A. Differentiation of Real Functions. // Amer. Math. Soc.,

Providens, Rhode Island. USA. – 196 p. 3. Bruckner A. and Leonard I., Derivatives. – Amer. Math. Monthly. –

1966. – 73, Part II . – P. 24-56.

114

Уляна Туранська Науковий керівник – доц. Малик І. В.

Статистичне моделювання розв’язку СЛАР за допомогою напівмарковських процесів

Розглянемо застосування напівмарковських процесів для моделювання розв’язку системи лiнiйних алгебраїчних рiвнянь (СЛАР) Ax b , де A – матриця розмірності d d , db R – вiдомi, dx R – невiдоме. Припустимо, що det( ) 0A . Перетворимо дану СЛАР до вигляду

x x , (1)

де – відома матриця, dR – вiдома, причому матриця є строго напiвстохастичним ядром [1]. Позначимо через * dx R розв’язок СЛАР (1).

Розглянемо дискретний ланцюг маркова (ДЛМ) 1, 0 d

n n R з матрицею переходу за 1 крок € , що задає ймовірності

1 / , , 1,..., ;n i n j ijP i j n

1 1 / , 1,..., ;n n j jP t j n

1 1/ 0, 1,..., ;n j nP j n

та множиною станів 1 2 1: , , ..., , 0d d , де

1

: 1 0, .1,...,d

i ijj

t i d

Побудуємо напівмарковський процес (НМП): величина стрибка ,Г u v вкладеного ланцюга Маркова

, 1n n , задається через матрицю € ; розподiл часу перебування в станi тотожно дорiвнює 1: 1 1.uP (2)

Згiдно з теоремою про слабку збіжність, усi умови якої неважко перевiрити, при будь-якiй невипадковiй початковiй

115

умовi НМП слабко збiгається при 0 до 0 , причому оскільки наявний поглинаючий стан 1 0d , то отримуємо факт наявностi сукупностi точок рiвноваги

0 0 0 01 2: , ,..., , ,x du u u u x Rx для 0 , таких, що

0 0, 1,..., ,xiC u i d

де 1 2 1: ( ), ( ), ..., ( )dC u C u C u C u .

Точний розв’язок *x СЛАР (1), згідно з [1], задається рівністю

* 0 00

0

| , ,ndn

x E x x

(3)

де d – проектор за першими d координатами.

Використо-вуючи наявнiсть точки рiвноваги, отримаємо, 0 0 0 0 0 *

1 2lim , ,..., .dd dtt u u u u x

Згідно з означенням поля швидкостей C u та розв’язку

* * * *1 2, ,..., , ,dx x x x x отримуємо співвідношення *

0dC x ,

тобто * 0lim ,dt

x t

де * * * *

1 2, , ..., , , Rdx x x x x x .

Замiнимо умову (2) умовою 1| 1.i

n j n jP t

В цьому випадку більш “недосяжні” стани проходитимуть швидше.

Отже, нами запропоновано новий метод статистичного моделювання СЛАР, який дозволяє наближено знаходити розв’язок рівняння (1) як розв’язок диференціального рівняння або як розв’язок рівняння (3).

Список літератури: 1. Дынкин Е.Б. Марковские процессы. – М.: Наука, 1963. – 859 с. 2. Королюк В.С., Турбін А.Ф. Полумарковские процессы и их

приложения. – К.: Наукова думка, 1976. – 184 с.

116

Оксана Турянська Науковий керівник – проф. Ясинський В.К.

Асимптотична поведінка у середньому квадратичному розв’язків лінійних дифузійних систем з випадковими

операторами та зовнішніми збуреннями

На ймовірнісному базисі (Ω, ℱ, ℱ , 푡 ≥ 0 ≥ 푡 , ℙ) [1] задано n-вимірний випадковий процес

푥(푡) ≔ 푥(푡, 휔): [푡 , ∞) × Ω → ℝ , який є розв’язком лінійного дифузійного стохастичного диференціального рівняння з випадковими операторами й зовнішніми збуреннями 푑푥(푡) = 푔 ()푎(푥 )푑푡 + 푔 ()푏(퐴(푥 ), 퐵(푥 ))푑푤(푡) (1) 푥 = 휑, 휑휖퐶 ([−휏, 0]), 휏 > 0. (2) Вважатимемо:

1) ≔ (휔): Ω → ℝ − випадкова величина з функцією розподілу:

ℱ(푧) ≔ ℙ < 푧; ; 2) 푔 (∙), 푖 = 1,2 – обмежені одновимірні борелеві функції;

푥 ≔ 푥(푡 + 휃), 휃휖[−휏, 0] ∈ 퐶[−휏, 0], для будь-якого фіксованого 푡 ≥ 푡 .

3) 퐴(∙), 퐵(∙) − оператори вигляду

퐴(푥 ) ≔ 푥(푡 + 휃)푑훽(휃),

퐵(푥 )

≔ 푥(푡 + 휃)푑푤(휃), (3)

де 훽(휃) – функція обмеженої варіації; 4) 푤(푡): [푡 , ∞] × Ω → ℝ − одновимірний вінерівський про-

цес;

117

5) лінійна обмежена функція 푎: 퐶 → ℝ , 푏: ℝ × ℝ → ℝ .

Під сильним розв’язком задачі Коші (1), (2) розуміємо випадковий процес, який задовольняє інтегральне рівняння Ітo [2]

푥(푡) = 푥(푡 ) + 푎(푥 )푔 ()푑푠 +

+ 푏 퐴(푥 ), 퐵(푥 ) 푔 ()푑(휔 ) (4)

Досліджуємо на стійкість тривіальний розв’язок. Теорема. Нехай тривіальний розв’язок диференціального рівняння із зовнішніми збуреннями 푑푥(푡) = 푔 ((푤)) ∙ 푎(푥 ) (5) експоненціально стійкий з ймовірністю одиниця, тоді тривіальний розв’язок системи диференціальних рівнянь (1), (2) асимптотично стійкий в середньому квадратичному.

Список літератури: 1. Ясинський В.К., Ясинський Є.В. Задачі стійкості та

стабілізації динамічних систем зі скінченною післядією. – К.: ТВіНС, 2005 – 580с.

2. Ясинський В.К., Юрченко І.В. Стійкість та оптимальне керу-вання в лінійних стохастичних динамічних системах з випадковими операторами. – Чернівці: Золоті литаври, 2009 – 237 с.

118

Наталія Флорескул Науковий керівник – доц. Малик І.В.

Випадкове блукання у простих цілочислових гратках

У роботі вказана можливість знаходження стаціонарного

розподілу дискретного ланцюга Маркова 휉 , 푚 ≥ 0, за умови, що сильна гіпотеза Гольдбаха виконується чи не виконується для ℝ та за умови, що слабка гіпотеза Гольдбаха виконується для ℝ .

Сильна гіпотеза Гольдбаха. Будь-яке парне число 푁 > 2 можна подати як суму двох простих чисел, тобто 푁 = 푝 + 푝 , де 푝 і 푝 – прості числа.[2]

Слабка гіпотеза Гольдбаха. Довільне непарне число 푁 > 5 можна подати як суму трьох простих чисел, тобто 푁 = 푝 +푝 + 푝 , де 푝 , 푝 , 푝 – прості числа. [2]

Розглянемо випадкове блукання на Δ = 푖, 푗 ∈ 푁 ∶ 푖 + 푗 ≤ 2푛

дискретного ланцюга Маркова 휉 , 푚 ≥ 0, яке задається матрицею перехідних ймовірностей за 1 крок

푝( , ),( , ) =

=

⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨

⎪⎪⎪⎪⎪⎧

푝, 푘 = 푖, 푙 = 푗; 1 − 푝

2, 푖, 푗 − прості, 푖 + 푗 < 2푛, 푘 = 푖 + 2, 푙 = 푗;

1 − 푝2

, 푖, 푗 − прості, 푖 + 푗 < 2푛, 푘 = 푖, 푙 = 푗 + 2;

1 − 푝, 푖, 푗 − прості, 푖 + 푗 = 2푛, 푘 = 푙 = 1; 1 − 푝

2, 푖, 푗 − не прості, min푖, 푗 ≠ 1, 푘 = 푖 − 2, 푙 = 푗 + 2;

1 − 푝2

, 푖, 푗 − не прості, min푖, 푗 ≠ 1, 푘 = 푖 + 2, 푙 = 푗 − 2;

1 − 푝, 푗 − не просте, 푖 = 1, 푖 + 푗 = 2푛, 푘 = 푖 + 2, 푙 = 푗 − 2; 1 − 푝, 푖 − не просте, 푗 = 1, 푖 + 푗 = 2푛, 푘 = 푖 − 2, 푙 = 푗 + 2; 0 у всіх інших випадках

та початковим розподілом 푃휉 = (1,1) = 1. Тоді правильними є наступні твердження.

119

Теорема 1. Нехай сильна гіпотеза Гольдбаха правильна, тоді для довільного 푛 ≥ 1 дискретний ланцюг Маркова 휉 , 푚 ≥ 0,

має стаціонарний розподіл 휋 , 휋 , … , 휋 ( ) причому

휋 > 0, 푗 ∈ 1, … , ( ) . Теорема 2. Нехай сильна гіпотеза Гольдбаха неправильна та

2푁 – перше число, при якому вона не виконується. Тоді для дискретного ланцюга Маркова 휉 , 푚 ≥ 0, існує стаціонарний

розподіл 휋 , 휋 , … , 휋 ( ) причому

휋 = 0, 푗 ∈ 1, … , ( ) . Розглянемо випадкове блукання на

Δ = 푖, 푗, 푘 ∈ 푁 ∶ 푖 + 푗 + 푘 ≤ 2푛 + 1 дискретного ланцюга Маркова 휉 , 푚 ≥ 0 що описує дане блукання, яке задається матрицею перехідних ймовірностей за 1 крок.

Сформулюємо твердження, аналогічне теоремі 1, для слабкої гіпотези Гольдбаха.

Теорема 3. Нехай слабка гіпотеза Гольдбаха правильна, тоді для довільного 푛 ≥ 1 дискретний ланцюг Маркова 휉 , 푚 ≥ 0, має стаціонарний розподіл 휋 , 휋 , … , 휋 ( ) причому

휋 > 0, 푗 ∈ 1, … , 푛(푛 − 1).

Список літератури: 1. Виноградов И.М. Метод тригонометрических сумм в теории

чисел. – М.: Наука, 1947. – 121с. 2. Чудаков Н.Г. О проблеме Гольдбаха. – М.: Наука, 1938. – 356с.

120

Ольга Фодчук Науковий керівник – доц. Карлова О.О.

Побудова відкрито-замкнених множин

на площині Зорґенфрея

Прямою Зорґенфрея S називається множина всіх дійсних чисел, в якій базу околів точки xS утворює система Ux

напіввідкритих проміжків Ux = [ x , x + ) : >0 .

Площиною Зорґенфрея назвемо квадрат прямої Зорґенфрея, тобто, множину S 2 з топологією добутку. Зрозуміло, що в S 2

базу околів точки ( , )p x y утворює система Wp напіввідкритих квадратів

Wp = [ , ) [ , ) : 0x x y y . Добре відомо, що пряма Зорґенфрея S не є зв’язним

простором на відміну від числової прямої . Більше того, пряма Зорґенфрея має базу, що складається з відкрито-замкнених множин. Зауважимо, що виконується наступна необхідна умова на відкрито-замкнену підмножину прямої Зорґенфрея.

Теорема 1. Якщо множина U S відкрито-замкнена, то вона зображається у вигляді

1

[ , )n n nn

U x x

,

де 1( )n nx – послідовність точок з S , а 1( )n n

– послідовність додатних чисел.

Зауважимо, що подібна необхідна умова не має місця для відкрито-замкнених підмножин на S 2, як показує наступний приклад.

Приклад 1. Нехай 2( , ) : .U x y y x Тоді множина U відкрито-замкнена в 2S , але U не зображається у вигляді об’єднання послідовності 1n nU

відкрито-замкнених

квадратів [ , ) [ , )n n n n n n nU x x y y .

121

Наступна теорема дає достатні умови для того, щоб множина була відкрито-замкненою в 2S .

Теорема 2. Нехай 2F , 0 і

( , )

[ , ) [ , )x y F

W x x y y

.

Якщо виконуються умови 1) F – замкнена в 2 , 2) 2intF W ,

то множина W відкрито-замкнена в 2S . Зазначимо, що теорема 2 була доведена в [1] у випадку, коли

множина F компактна. Наприкінці наведемо приклади, які вказують на істотність

умов 1) і 2) в теоремі 2. Приклад 2. Нехай (0,1) 0F – підмножина 2 і 1 .

Тоді множина

( , )

[ , ) [ , ) (0, 2) [0,1)x y F

W x x y y

не є відкрито-замкненою в 2S . Приклад 3. Нехай 2( , ) : , [0,1]F x y y x x і 1 .

Тоді множина

( , )

[ , ) [ , )x y F

W x x y y

не є відкрито-замкненою в 2S .

Список літератури:

1. Bade W. Two properties of the Sorgenfrey plane, Pasif. J. Math.– 1971. – P. 349–354.

2. Энгелькинг Р. Общая топология. – М.: Мир, 1986. – 752 с.

122

Василь Фратовчан Науковий керівник – асист. Перцов А.С.

Застосування алгоритмів

обробки відео- та фотозображень для створення системи відеоспостереження

Комп’ютери дозволяють прискорити виконання багатьох

процесів, зокрема обробку зображень, опрацювання великої кількості інформації.

В буденному житті для захисту території часто необхідні як системи охорони? так і системи відеоспостереження.

Саме тому комп’ютери використовуються і для автоматичного відслідковування руху.

Метою роботи є створення надійного та зручного у використанні програмного засобу для автоматичного розпізнавання руху та програмного засобу обробки зображень.

Новизну роботи зумовлює простота програмного засобу та ефективність алгоритмів аналізу відео- та фотозображень.

Програмний засіб створено за допомогою середовища Delphi і працює з різноманітними пристроями захоплення відеопотоку, легко конфігурується та дозволяє користувачам із базовими навичками роботи на комп’ютері одразу приступати до роботи із програмою, затративши мінімум часу на навчання. Для роботи з різноманітними джерелами відеопотоку використовується бібліотека DSPack, яка надає засоби для захоплення відеопотоку незалежно від типу обладнання.

Розроблений програмний продукт, який дозволяє працювати з декількома відеокамерами. Відеопотік передається з камери у відповідний компонент «VideoWindow» і при виявлені руху ми бачимо реакцію програми зміною кольору відповідного компонента «Shape». При виявлені руху є можливість автоматично зберігати зображення.

Для подальшої обробки зображень розроблено програмний засіб, який дозволяє здійснити такі дії:

робота з геометрією зображення: поворот, відображення;

123

розшарування кольорів: отримання червоного, зеленого та синього зображень, отримання сірого та чорно-білого зображень, інверсія кольорів зображення;

препарування зображення: зміна контрасності, яскравісний зір, пілоподібне контрастування, еквалізація та соляризація;

фільтрація: зашумлення та згладжування; сегментація: виділення контурів фігур;

Перетворення здійснюється за допомогою поелементної обробки кожного пікселя зображення. Також використовується адитивна модель кольору RGB. Адитивна модель кольору зручна для використання, оскільки для отримання потрібного кольору базові кольори в ній додаються (змішуються). Основними кольорами вибрано червоний (Red), зелений (Green) і синій (Blue), тому що сприйняття кольору людиною побудовано саме на цих кольорах. Інші кольори отримуються шляхом змішування певної кількості вказаних основних кольорів, тобто

C = rR + gG + bB, де r, g, b – відповідні кількості основних кольорів. Комп’ютер може точно управляти кількістю світла. Комбінуючи різні значення точок R, G, B, можемо одержати будь-який колір.

Список літератури:

6. Шапиро Л., Стокман Дж. Кмпьютерное зрение. – М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2006. – 752 с.

7. Маценко В.Г. Комп’ютерна графіка. – Чернівці: Чернівецький національний університет, 2009. – 343 с.

124

Ольга Хруставчук Науковий керівник – доц. Ленюк О.М.

Знаходження розв'язку першої крайової задачі для

рівняння коливання методом скінченного перетворення Фур’є

Побудуємо обмежений в області 퐷 = (푡, 푥): 푡 ∈ (0, 푇); 푥 ∈

(0, ℓ) розв’язок рівняння коливання − 푎 = 0 (1)

за початковими умовами 푈(푡, 푥)| = 휑(푥), | = 휓(푥) (2)

та крайовими умовами 푈(푡, 푥)| = 0, 푈(푡, 푥)| ℓ = 0 . (3)

Застосуємо до задачі (1) (3) скінченне синус-перетворення Фур’є [1]:

퐹 [푈(푡, 푥)] = 푈(푡, 푥)푠푖푛훽 푥푑푥 ≡ 푈 (푡), 훽 =휋푛ℓ

.ℓ

Оператор 퐹 задачі (1) (3) ставить у відповідність задачу Коші:

푑 푈푑푡

+ 푎 훽 푈 (푡) = 0, (4)

푈 (푡)| = 휑 , ( ) | = 휓 . (5) Загальний розв’язок рівняння (4) запишемо у вигляді:

푈 (푡) = 퐴푐표푠푎훽 푡 + 퐵푠푖푛푎훽 푡. Підставимо його у початкові умови (5):

푈 (푡)| = 퐴 = 휑 , 푑푈 (푡)

푑푡| = (−퐴푎훽 푠푖푛푎훽 푡 + 퐵푎훽 푐표푠푎훽 푡)| = 퐵푎훽 .

Звідси отримуємо: 퐴 = 휑 , 퐵 = . Таким чином, функція

125

푈 (푡) =푠푖푛푎훽 푡

푎훽휓 + 푐표푠푎훽 푡휑

є єдиним розв’язком задачі Коші (4), (5). Нам зручно записати розв’язок у вигляді:

푈 (푡) = 휓 + 휑 . (6) Для одержання розв’язку задачі (1) − (3) застосуємо до

функції 푈 (푡) обернене синус-перетворення Фур’є [1]:

퐹 푈 (푡) = 푈 (푡)∞

푠푖푛훽 푥‖푠푖푛훽 푥‖ =

2ℓ

푈 (푡)푠푖푛훽 푥∞

.

(7) Підставивши в рівність (7) функцію 푈 (푡), визначену форму-

лою (6), маємо аналітичний вигляд розв’язку задачі (1) − (3):

푈(푡, 푥) =2ℓ

푈 (푡)[∞

푠푖푛푎훽 푡푎훽

휓 + 푐표푠푎훽 푡휑 ]푠푖푛훽 푥 =

= [(2ℓ

휓(휉)퓵∞

푠푖푛훽 휉푑휉)푠푖푛푎훽 푡

푎훽+

+ℓ ∫ 휑(휉)푠푖푛퓵 훽 휉푑휉 푐표푠푎훽 푡]푠푖푛훽 푥.(8)

Підсумком досліджень є твердження. Теорема. Якщо функція 휑(푥) є тричі неперервно дифе-

ренційованою, а функція 휓 (푥) двічі неперервно диферен-ційованою, то функція 푈(푡, 푥), визначена формулою (8), є класич-ним розв’язком задачі (1) − (3).

Список літератури:

1. Ленюк М.П., Ленюк О.М. Рівняння математичної фізики: навчальний посібник. – Чернівці: Прут, 2012. −152 с.

2. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. – М.: Физматгиз, 1959. – 468 с.

126

Ірина Чернецька Науковий керівник – проф. Бігун Я.Й.

Кінкоподібні розв’язки диференціальних рівнянь із запізненням та їх числове моделювання

Диференціальні рівняння із запізненням є тим математичним апаратом, за допомогою якого вдалося описати нові ефекти і явища в багатьох прикладних задачах. У сучасній фізиці, механіці, космічній техніці для визначення сили, що діє на тіло (матеріальну точку), потрібно враховувати не тільки точне розміщення та поведінку його в даний момент часу, але і стан об’єкта в деякі попередні моменти часу. Аналогічні задачі виникають при довгостроковому прогнозуванні в економіці, задачах медицини, екології, імунології, хімії та інших науках.

У роботі на прикладі рівняння 푦( ) + 2푦(푦 − 1) = 0 (1) розглядається числово-аналітичний метод побудови обмежених розв’язків у вигляді швидкозбіжних рядів по гармоніках вигляду 푒푥푝(−푛푥 + 푖푚푥), де 푛 ≥ 0, |푚| ≤ 푛 – цілі числа. Для доведення існування кінців (непарних обмежених розв’язків) досить довести існування розв’язків у(х) рівняння (1) на півосі 푥 ≥ 0 з умовами 푦(0) = 푦 (0) = 푦 (0) = 0 і lim → 푦(푥) = 1. Таким розв’язком можна взяти розв’язок 푦(푥; 푟, 휑), підібравши параметри 푟 і 휑 так, щоб задовольнялися граничні умови при x = 0. Іншими словами, параметри 푟 і 휑 мають бути коренями системи трансцендентних рівнянь y(0; r, φ) = 0, y (0; r, φ) = 0. (2) Враховуючи явний вигляд двопараметричної сім’ї розв’язків 푦(푥; 푟, 휑) рівняння (1), систему (2) можна записати у вигляді:

1 + 2푟푐표푠휑 + 푟 (−0.6 + 0.2푐표푠2휑) + ℎ (푟, 휑) = 0, 푠푖푛휑 + 푟(−0.6 + 0.4푠푖푛2휑) + ℎ (푟, 휑) = 0.

Наявність початкових умов 푦(0) = 0, 푦 (0) = 훼, 푦 (0) = 0, 푦 (0) = −

дає можливість використовувати стандартні числові методи побудови розв’язку задачі Коші. При цьому параметр 훼 підбираємо так, щоб розв’язок 푦(푥) був обмеженим на інтервалі

127

[0, 푙], вважаючи 푦(푙) = 1 і послідовно збільшуючи l. Наприклад, при 훼 = 0.781293 і 훼 = -0.790918785 отримаємо кінкоподібні розв’язки з одним і трьома нулями відповідно.

Засобами середовища Borland C++ Builder 6 реалізована програма, яка для відповідних початкових параметрів виводить графіки кінків рівняння (1) та їх числові значення.

В роботі розглянуто питання побудови кінків для диференціального рівняння зі сталим запізненням

푦( ) + 2푦 (푦 − 1) = 0, де 푦 (푥) = 푦 (푥 − Δ), Δ = const > 0. Для розв’язку рівняння задаються початкові умови 푦(푠) = 푦 (푠) = 푦 (푠) = 0, де 푠 ∈ [−Δ, 0] та гранична умова lim → 푦(푥) = 1. Складена програма знаходження числового розв’язку початкової задачі неявним методом Адамса другого порядку.

Список літератури: 1. Самойленко А. М., Нижник И. Л. Кинкообразные решения

дифференциальных уравнений четвёртого порядка с кубической биустойчивой нелинейностью // Дифференциальные уравнения. – 2012. – Т. 50, 2. – С. 201– 209.

2. Эльсгольц Л.Э., Норкин С.Б. Введение в теорию и приложения дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. – М.: Наука, 1971. – 296 с.

128

Василь Шевага Науковий керівник – доц. Матвій О.В.

Створення адміністративної частини та фонових потоків для веб-додатків засобами Ruby-on-Rails

За останні десятиріччя Інтернет-технології зазнали

глобального поширення. За допомогою Інтернету люди отримали можливість спілкуватись, обмінюватись інформацією, здійснювати рекламу та інше. Для створення веб-додатків існує велика кількість фреймворків. На сьогоднішній час одним із найвідоміших інструментів для побудови сайтів є Ruby-on-Rails (RoR), який базується на використанні шаблона проектування MVC [1].

Оскільки веб-додаток містить різноманітні ресурси, на сьогодні актуальна задача забезпечення можливості гнучкого управління даними.

Бібліотека ActiveAdmin – це фреймворк для створення адміністративної частини, який абстрагує загальні шаблони бізнес-додатків, щоб зробити їх простими для розробників [2]. Однією із задач даної бібліотеки є можливість швидкої реалізації зручного інтерфейсу, включаючи доступ до даних, їх пошук та фільтрацію.

Важливою задачею при розробці веб-додатків є забезпечення підтримки локалізації для кінцевого користувача. Дана властивість – це переклад та адаптація елементів інтерфейсу, допоміжних файлів, документації тощо. Її завданнями, наприклад, є використання національних символів валюти, застосування прийнятих форматів представлення дати та часу, а також правил алфавітного сортування текстів. У Ruby-on-Rails для реалізації даної функції розроблений фреймворк I18n [3].

Часто при розробці складних веб-додатків виникає потреба в запуску деяких процесів у фоновому режимі.

129

Для підтримки такої можливості в Ruby існує багато різноманітних бібліотек, однією із яких є Resque [4].

В нашій роботі для демонстрації вищезгаданих інструментів розроблено веб-додаток, який дозволяє завантажувати та оцінювати фотографії, реалізовано підтримку листування.

Для сайта створено функцію вибору української або англійської локалізації. Виконання трудомістких завдань здійснюється у фоновому режимі.

Розроблено адміністративну частину, в якій передбачено можливості керування користувачами та наявною інформацією.

Створений додаток розміщений у мережі Інтернет за допомогою сервісу Heroku (рис. 1).

Рис. 1

Список літератури:

1. Фернандес О. П. Путь Rails. – М.: Символ, 2009. – 768 с. 2. ActiveAdmin Documentation. – [Електронний ресурс]. – Режим

доcтупу: http://activeadmin.info/doc/. 3. Ediger B. Advanced Rails. – S.: O’Reilly Media, 2008. – 368 с. 4. Bowkett G. Resque. – [Електронний ресурс]. – Режим доступу:

http://railscasts.com/episodes/271-resque

130

Марина Шлюсар Науковий керівник – доц. Боднарук С. Б.

Методичні особливості проведення інтегрованих уроків вчителем математики в школі

Інтегроване навчання є досить актуальним, оскільки з його успішною методичною реалізацією передбачається досягнення мети якісної освіти, тобто освіти спроможної забезпечити кожній людині творчий розвиток в різних соціальних сферах.

Інтегрований урок - це урок, який проводиться з метою розкриття загальних закономірностей, законів, ідей, теорій, відображених у різних науках і відповідних їм навчальних предметах [3]. Такий урок вимагає ретельного планування, оскільки відбувається взаємодія двох навчальних предметів. Його може проводити як один, так і двоє вчителів. Проведення уроку двома вчителями дозволяє урізноманітнити обсяг і культурний рівень індивідуальної роботи учнів. З позиції педагогічних наук інтеграція – це процес зближення і взаємо-проникнення, який повинен вивести учня на розуміння єдиної наукової картини світу. Необхідність інтеграції зумовлена не лише значним зростанням обсягу наукового знання, а й цент-ральним завданням освіти – у всебічному розвитку дитини [1].

Проведення інтегрованого уроку забезпечує формування в учнів цілісної системи уявлень про закони пізнання навко-лишнього світу в їх взаємозв'язку та взаємозумовленості; сприяє поглибленню та розширенню знань учнів, діапазону їх практичного застосування до процесів та явищ оточуючої дійсності. Доцільність інтегрованих уроків зумовлена завданнями інтеграції знань, умінь і навичок учнів з основ наук.

Інтегрований урок проводиться в три етапи. На першому етапі проведення уроку відбувається підготовка: збір інфор-мації, накопичення матеріалу та розподіл ролей. Другий етап складається з організації (мотивація, ознайомлення з темою та метою уроку); актуалізації опорних знань; повторення й аналізу основних фактів, подій, явищ, використання знань і навичок учнів, узагальнення та систематизація навчальних досягнень. На третьому етапі відбувається аналіз виконаних завдань,

131

висловлення власних думок чи міркувань, за допомогою яких було досягнуто результат. Підведення підсумків інтегрованого уроку здійснює учитель-ведучий разом з учнями [2].

В роботі розглянуто загальні методичні зауваження про інтегровані уроки та самостійно розроблено плани конспекти таких уроків. Наведемо приклад уроку з математики та астро-номії: “Що спільного між захо-дом Сонця в місті Чернівці та функцією синус”. За допомогою відривного календаря легко помі-тити момент сходу та заходу Сонця для різних міст України на кожне число кожного місяця. Учні розробили таблицю сходу Сонця на перше число кожного місяця в Києві та Чернівцях і, поєднавши отримані крапки плавною лінією, побували графіки, взявши за вісь абсцис середній час заходу сонця – 18 годину. Побачивши графік, учні згадали аналогічний графік з курсу алгебри 10 класу під час вивчення теми “Графіки тригономет-ричних функцій”, а саме y=sinx. Як висновок, бачимо такі переваги розглянутої моделі:

1) графік отримали за результатами «нематематичної» моделі, пов’язаної з повсякденним життям, шляхом складання таблиці значень часу заходу Сонця;

2) графік будується поступово; 3) у майбутньому модель може бути пов’язана з подальшим

матеріалом з астрономії 11 класу; 4) запропонований метод установлює міжпредметні зв’язки

під час вивчення математики, фізики, астрономії. Список літератури:

1. Іванчук М. Г. Інтегроване навчання: сутність і виховних потенціал. – Чернівці: Рута, 2004. – 359 с.

2. Черненко Н. А. Математика + інтегровані уроки. – К.: Редакції газет природничо-математичного циклу, 2012. – 120 с.

3. Титар О. В, Пінчук Г. Г. Інтеграція навчального процесу як чинник розвитку пізнавальної активності учнів // http://osvita.ua/school/ lessons_summary/proftech/24899

Рис. 1

132

Анастасія Юрійчук Науковий керівник – проф. Бігун Я.Й.

Розв’язування систем рівнянь із прямокутними матрицями

Пошук розв’язку систем лінійних рівнянь є однією з

важливих задач лінійної алгебри, адже багато прикладних задач (зокрема, у фізиці, електротехніці, економіці, хімії, криптографії тощо) зводяться до розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь.

Розглядається система рівнянь yAx , (1)

де A – або вироджена, або прямокутна. У цьому випадку система рівнянь може зовсім не мати розв’язків. У зв’язку з цим виникає проблема знаходження таких наборів 0x , які б були, в певному розумінні, найкращим наближеним розв’язком.

Доведено [1], що система рівнянь (1) завжди має тільки один найкращий наближений розв'язок, який обчислюється за формулою

yAx 0 , (2) де A – псевдообернена матриця до матриці А. Матриця A розмірності mn називається псевдооберненою для ( nm ) – матриці A , якщо виконуються рівності

AAAA ,

AAAA

AAAA *)( , AAAA *)( .

Теорема [3]. Для довільної ( nm ) – матриці A існує, і при-чому єдина, псевдообернена матриця A .

У роботі розглядаються основні методи для знаходження псевдооберненої матриці – метод Гревіля, Келлі-Гамільтона, Бен-Ізраеля та Фадєєва.

Метод Томаса Гревілля достатньо складний у фор-мулюванні й обчислювальному плані через велику кількість матричних операцій. Запропоновану математиком техніку

133

можна назвати ітеративною, але кількість ітерацій заздалегідь відома.

Ітераційний алгоритм методу Келлі–Гамільтона ґрунтується на покроковому обчисленні сліду матриці )/( kAtr kk , де k – номер ітерації, та певних матричних перетвореннях.

Метод Аді Бен–Ізраеля є ітераційним і дозволяє обчислити псевдообернену матрицю до заданої з деякою точністю. Кількість ітерацій, необхідних для отримання результату, заздалегідь невідома і ітераційний процес продовжується до тих пір, поки не виконається критерій зупинки циклу.

Для обчислення псевдооберненої матриці за методом Фадєєва використовується одночасне обчислення коефіцієнтів характеристичного многочлена і приєднаної матриці.

У середовищі візуального програмування Delphi 7 здійснено програмну реалізацію алгоритмів вказаних методів для знаходження псевдооберненої матриці та розв’язування систем рівнянь з прямокутними матрицями.

Апарат псевдообернених матриць застосовано для розв’язу-вання лінійної нетерової крайової задачі

,0 ),()(.

lttfutAdtdu

dlQuPu )()0( ,

де A – квадратна матриця порядку n , P та Q – ( nm ) матриці.

Побудова розв’язку такої задачі зводиться до знаходження початкових умов системи лінійних алгебраїчних рівнянь з прямокутними матрицями.

Список літератури: 1. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1988. – 576 с. 2. Дж. Голуб, Ч. Ван Лоун. Матричные вычисления. – М.: Мир,

1999. – 548 с. Шевцов Г.С. Линейная алгебра. Теория и прикладные ас-пекты: Учебное пособие. – М.: Финансы и статистика, 2003. – 570 с.

134

Марія Ясінська Науковий керівник – доц. Мартинюк С.В.

Презентація у Power Point вибраних тем

для поглибленого вивчення шкільного курсу алгебри у 8-9 класах

,,Від творчого вчителя – до творчого учня” – така цільова

установка науково-методичної роботи сучасної школи. Головною метою поглибленого вивчення курсу алгебри у

загальноосвітній школі є розширення знань, розвиток інтересу учнів до предмета, розвиток їх математичних здібностей, прищеплення школярам інтересу і смаку до самостійних занять математикою, виховання і розвиток їх ініціативи і творчості.

Найпродуктивнішим програмним засобом загального призначення для створення презентацій є Microsoft Power Point, який дозволяє розробити та реалізувати універсальний вид наочності і може бути застосованим на заняттях з алгебри у школі.

Мною розроблено комплекс презентацій ,,Алгебра. Поглиблене вивчення. 8-9 класи”. Він містить 8 предметних блоків. З їх допомогою сприйняття матеріалу учнями буде більш наочним та цікавим, а робота вчителя доповнюватиметься матеріалом, легким для візуального сприйняття.

У даному комплексі презентацій розкрито такі теми: ,,Множина. Елемент множини. Порожня множина”, ,,Підмножини. Переріз, об'єднання і різниця множин”, ,,Дробові вирази. Раціональні вирази. Множина допустимих значень змінних. Тотожність”, ,,Функція , її властивості і графік”, ,,Квадратні рівняння. Неповні квадратні рівняння, їх розв'язування. Формула коренів квадратного рівняння”, ,,Теорема Вієта. Теорема, обернена до теореми Вієта”, ,,Розв'язування квадратних рівнянь з параметрами”, ,,Функції. Властивості функцій: парність і непарність, зростання і спадання, нулі і проміжки знакосталості, найбільше і найменше значення функції”, ,,Перетворення графіків функцій”, ,,Рівняння з двома змінними”, ,,Графік лінійного рівняння з двома

135

невідомими”, ,,Системи лінійних рівнянь з двома невідомими”, ,,Графічний спосіб розв’язування систем лінійних рівнянь”, ,,Математичне моделювання. Відсоткові розрахунки. Формула складних відсотків”, ,,Випадкова подія. Ймовірність випадкової події. Статистичні дані. Способи подання даних. Характеристики варіаційних рядів. Середні величини. Мода, медіана вибірки”, ,,Арифметична і геометрична прогресії та їх властивості”, ,,Формула n-го члена арифметичної прогресії”, ,,Нескінченна геометрична прогресія”.

Система понять у презентаційному комплексі подається на логічній, науковій основі. Таким чином, розроблена презентація дозволяє: підвищити інформативність занять; стимулювати мотивацію навчання; підвищити наочність навчання; здійснити повторення складних моментів; реалізувати доступність і сприйняття інформації за

рахунок паралельного представлення інформації у візуальній і слуховій формах;

здійснити повторення (перегляд, коротке відтворення) матеріалу попереднього заняття.

Отже, в цілому, мультимедійна презентація ,,Алгебра. Поглиблене вивчення. 8-9 класи” є виключно корисною та плідною навчальною технологією. Завдяки цій технології можна перевести процес поглибленого вивчення алгебри у школі на якісно новий рівень.

Створена презентація складається з 96 слайдів і займає 20314КБ.

Список літератури: 1. Математика. 8-9 класи. Програма для класів з поглибленим

вивчення математики // Інформаційний збірник МОН України, 2008. – С. 16–17.

2. Шахіна І.Ю. Креативний підхід у підготовці вчителя сучасної школи // Науковий вісник Чернівецького університету: Збірник наукових праць. Вип. 184: Педагогіка та психологія. – Чернівці: Рута, 2003. – С. 185–190.

136

Богдан Яшан Науковий керівник – проф. Матійчук М.І.

Побудова функції Міттаг–Леффлера за допомогою

методу послідовних наближень Означення. Нехай 휑(푥) є 퐿 (푎, 푏). Тоді інтеграли

(퐼 휑)(푥) = 1

Г(훼)

휑(푡)(푥 − 푡)

푑푡, 푥 > 푎, (1)

(퐼 휑)(푥) = 1

Г(훼)

휑(푡)(푡 − 푥)

푑푡, 푥 < 푏, (2)

де 훼 > 0 називаються інтегралами дробового порядку. Перший називається лівостороннім інтегралом, а другий – правосто-роннім.

Оператори 퐼 , 퐼 називаються операторами дробового інтег-рування [1].

Дробове інтегрування має такі властивості 퐼 퐼 휑 = 퐼 휑; 퐼 퐼 휑 = 퐼 휑, 훼 > 0, 훽 > 0 . (3)

Означення. Для функції 푓(푥) заданої на проміжку (푎, 푏) кожен із виразів

(퐷 푓)(푥) = 1

Г(1 − 훼)푑

푑푥푓(푡)

(푥 − 푡)푑푡, (4)

(퐷 푓)(푥) = −1

Г(1 − 훼)푑

푑푥푓(푡)

(푡 − 푥)푑푡 (5)

називають дробовим диференціюванням порядку 훼, відповідно лівостороннім і правостороннім 0< 훼 < 1 [1]. Розглянемо задачу типу Коші для звичайного диферен-ціального рівняння дробового порядку

퐷 푦 = 푎푦, 푎 є 푅, (6) 푦(0) = 1.

Розв’язок шукатимемо у вигляді 푦 = 퐼 휑 + , тоді рівняння (6) набуде вигляду

137

퐷 퐼 휑 + = 푎 퐼 휑 + . Звідси

휑(푡) = 1 + 푎퐼 휑(푡), 휑(푡) = 1 +

Г( ) ∫ ( )( )

푑휏 . Отримали інтегральне рівняння Вольтера 2-го роду, розв’язок якого шукатимемо за допомогою методу послідовних наближень. Тоді 휑 (푡) = 1 +

Г( )푡 +

Г( )푡 + ⋯ +

Г( )푡 ,

휑(푡) = lim→

휑 (푡) = 푎 푡

Г(푘훼 + 1)= Е (푎푡 ),

де Е – функція Міттаг–Леффлера,

Е (푡) =푡

Г(푘훼 + 1),

푦(푡) = 퐼 휑(푡) + = Г( ) ∫ Е (푎푡 ) ( ) 푑휏 + .

Список літератури: 1. Самко С.Г., Килбас А.А., Маричев О.И. Интегралы и

производные дробного порядка и некоторые их приложения. – Минск: Наука и техника, 1987. – 688 с.

138

ЗМІСТ

Белей Т. Про властивість Наміоки многозначних відображень ............................................................................. 3 Бігун Н. Про одну динамічну гру зближення-відхилення при наявності фазових обмежень .......................................... 5 Бойку М. Використання векторного методу при розв’язуванні олімпіадних задач ................................... 7 Бойчук Ю. Створення системи онлайн-перевірки задач із програмування ..................................................................... 9 Бордіян Р. Ядра ортогонально-адитивних операторів ......11 Ватаманюк О. Про математичні моделі теорії споживання .................................................................13 Гаїнуца Н. Математичні моделі рекламної кампанії з ефектом “набридання” реклами ........................................15 Гладкий В. Автоматизація обліку книг в малих бібліотеках..............................................................17 Городецька О. Математична модель інфекційного захворювання організму із залежною від часу і стану відповіддю імунної системи ................................................19 Довгань Р. Моделювання розповсюдження забруднень в повітрі з використанням Google Maps API ......................21 Дувіряк М. Про одну модифікацію задачі Рубела на просторі аналітичних функцій ........................................23 Думитраш Х. Асимптотична поведінка важкої дифузійної частинки у потоці Арратья ...............................25 Зайшлюк Ю. Задача з косою похідною для параболічних рівнянь з імпульсною дією...................................................27 Іваненко Г. Різницеві схеми для систем диференціальних рівнянь із запізненням та їх застосування ..........................29 Ілінюк А. Розробка зовнішніх компонент для обміну даними (засобами “1С:Підприємство”)...........31 Ілюк Х. Математичне моделювання взаємодії ракових клітин з імунною системою зараженою ВІЛ інфекцією ...33

139

Кавцинюк В. Група, породжена числами Кліффорда, та її властивості .....................................................................35 Кваснюк О. Перша крайова задача для параболічного рівняння з імпульсною умовою...........37 Кисилиця М. Особливості розв’язування задач з параметрами в ПМК GRAN ..............................................39 Кілей А. Розв’язування крайових задач для інтегро-диференціальних рівнянь із запізненням методом сплайн-апроксимацій ............................................41 Козак Х. Розробка курсу “Поліноміальні матриці та їх застосування”................................................................43 Кондрюк Ю. Мінімізація булевих функцій в класі кон’юнктивних нормальних форм ..........................45 Коропецький П. Моделювання умовно-періодичних рухів ...................................................47 Крищук О. Модель Васічека для рівняння тимчасової структури ...........................................................49 Кузь Н. Елементи сферичної тригонометрії у курсі вищої математики ....................................................51 Майковська І. Автоматизація обліку виконаних робіт з доставки замовлень засобами 1С:Підприємство .............53 Маковійчук М. Про задання груп твірними визначальними співвідношеннями......................................55 Мацейків І. Про квазінеперервність функцій, неперервних відносно змінного репера ..............................57 Машталер О. Нелокальна багатоточкова крайова задача для систем тепломасопереносу............................................59 Мельник В. Про відстань до множини квазінеперервних у точці функцій......................................................................61 Мельник Д. Моделювання процесу теплопровідності методом гібридного диференціального оператора Ейлера – Фур’є ...................................................63 Мельничук А. Експоненціальна оцінка ймовірності банкрутства страхової компанії...........................................65

140

Мельничук М. Еволюція алгоритмів пошуку шляху..........67 Музичук Г. Задача з імпульсною дією для стохастичного рівняння теплопровідності ...................................................69 Нацюк Б. Продовження функцій першого класу Лебеґа до лінійно неперервних функцій .........................................71 Непийвода В. Обчислення поліпараметричних невласних інтегралів за власними елементами ГДО Ейлера-(Конторовича-Лєбєдєва)-Бесселя на полярній осі ......................................................................73 Павлик Т. Про застосовність диференціальних операторів нескінченного порядку до простору s.................................75 Павлюк О. Про один вигляд слабкого інфінітезимального оператора, який грає роль оператора Ляпунова ................77 Пазюк Н. Моделювання процесу розорення фармацевтичної компанії .....................................................79 Партіка А.-К. Створення модулю Safescan для відслідковування робочого часу працівників в системі Orange HRM 3.1.1 .................................................81 Петей С. Про поточкові границі неперервних функцій обмеженої варіації................................................................83 Порушник М. Застосування теореми Паскаля ....................85 Продан М. Про існування функцій Ляпунова для стохастичної динамічної системи випадкової структури із зовнішніми марковськими перемиканнями..87 Ровенко Н. Декомпозиція неперервності лінійних відображень ...........................................................89 Романець О. Математична освіта у реальних навчальних закладах Буковини за часів перебування краю у складі Австрії ....................................................................91 Романюк Т. Про одну систему важких дифузійних частинок ............................................................93 Сайнюк М. Порівняльний аналіз алгоритмів відсікання на площині .............................................................................95

141

Сівак С. Створення програмного додатку для роботи із інтерактивними текстами .................................................97 Слободян А. Пошук неповних дублікатів текстів ..............99 Слободян А. Стабілізація стохастичних систем Іто з марковськими збуреннями та дробово-лінійною невизначеністю ...............................101 Солонар Ю. Моделювання електричних кіл із перемиканнями за допомогою диференціальних рівнянь з імпульсною дією.................................................103 Солтис О. Вибрані теми для поглибленого вивчення шкільного курсу геометрії у 7–9 класах ...........................105 Спіжавка О. Задача про максимальний потік .................107 Тарнавський В. Особливості створення та генерації ігрових світів у випадку нескінченного геймплею..........109 Тимофійчук П. Системи керування документами та електронний документообіг ..........................................111 Томащук Н. Про точки недиференційовності ..................113 Туранська У. Статистичне моделювання розв’язку СЛАР за допомогою напівмарковських процесів .......................115 Турянська О. Асимптотична поведінка у середньому квадратичному розв’язку лінійних дифузійних систем з випадковими операторами та зовнішніми збуреннями .................................................117 Флорескул Н. Випадкове блукання у простих цілочислових гратках........................................119 Фодчук О. Побудова відкрито-замкнених множин на площині Зорґенфрея.......................................................121 Фратовчан В. Застосування алгоритмів обробки відео та фото зображень для створення системи відеоспостереження ............................................................123 Хруставчук О. Знаходження розв'язку першої крайової задачі для рівняння коливання методом скінченного перетворення Фур’є ............................................................125

142

Чернецька І. Кінкоподібні розв’язки диференціальних рівнянь із запізненням та їх чисельне моделювання .......127 Шевага В. Створення адміністративної частини та фонових потоків для веб-додатків засобами Ruby-on-Rails .......................................................................129 Шлюсар М. Методичні особливості проведення інтегрованих уроків вчителем математики в школі ........131 Юрійчук А. Розв’язування систем рівнянь з прямокутними матрицями ...............................................133 Ясінська М. Презентація у Power Point вибраних тем для поглибленого вивчення шкільного курсу алгебри у 8–9 класах .........................................................................135 Яшан Б. Побудова функції Міттаг-Леффлера за допомогою методу послідовних наближень ................137

143