=== 第 2 章數字系統 ===

第 2 章數字系統2-1 數字系統

2-2 數字系統的互換2-3

二進制有號數系統與補數2-4

文數字碼與同位偵錯碼

=== 第 2 章數字系統 ===

2-1 2-2 2-3 2-4EXIT2-2

2-1 數字系統

二進制八進制十六進制

2-1 數字系統

EXIT2-32-1 2-2 2-3 2-4

2-1 數字系統

EXIT2-42-1 2-2 2-3 2-4

系統標示　　在數字系統中，所謂的十進制就是以 10 為基底（ radix ）的數字系統；而二進制就是以 2

為基底的數字系統。

2-1 數字系統

EXIT2-5

2-2 數字系統的互換

2-1 2-2 2-3 2-4

　　在數字系統中，我們所常用的都是一種位置性數字系統（ positional number system ）。


EXIT2-62-1 2-2 2-3 2-4


EXIT2-72-1 2-2 2-3 2-4

　　在二進位系統中，每一位數稱為一個位元（ bi

t ），每 8 個位元稱為一個位元組（ byte ）。　　最左邊的位元因其權值最高，故稱為最高有效位元（ MSB ）；最右邊的位元則為最低有效位元（ LSB ）。


EXIT2-82-1 2-2 2-3 2-4

試將 1011.101B 轉換成十進制。

1011.101 = 23 + 21 + 20 + 21 + 2 3 = 11.625

1. 試將 010110.0110B 轉換成十進制。010110.0110B = 24 + 22 + 21 + 2−2 + 2−3 = 22.375


EXIT2-92-1 2-2 2-3 2-4

將 435.62(8) 轉換成十進制。八進位系統逢 8 進位，故其每位數的權值都是 8的乘冪。因此其十進制值為：　　 D = 4×82 + 3×81 +5×80 + 6×81 + 2×82

= 4×64 + 3×8 + 5×1+ 6×0.125 + 2×0.015625= 285.78125

2. 試將 127.4(8) 轉成十進制。127.4(8) = 1 × 82 + 2 × 81 + 7 × 80 + 4 × 8−1

= 64 + 16 + 7 + 0.5 = 87.5


EXIT2-102-1 2-2 2-3 2-4

試將 10DEH 及 2BC.1H 分別轉成十進制。10DEH = 1×163 + D×161 + E×160

= 1× (24)3 + 13×16 + 14×1= 1×212 + 13×16 + 14×1= 4096 + 208 + 14 = 4318

2BC.1H = 2×162 + 11×161 + 12×160 + 1×161

= 512 + 176 + 12 + 0.0625 = 700.0625

3. 將 15F.AH 轉成十進制。15F.AH = 1×162 + 5×161 + 15×160 + 10×16−1

= 351.625


EXIT2-112-1 2-2 2-3 2-4

整數部分：　 1. 採連除法　 2. 將餘數由下往上記列。

小數部分：　 1. 採連乘法　 2. 將其整數部分由上往下記列。


EXIT2-122-1 2-2 2-3 2-4

將 43.85 轉換成二進制，取小數點以下 4 位。


EXIT2-132-1 2-2 2-3 2-4

4. 將 38.625 轉成二進制。38 = 25 + 22 + 21 = 100110B

0.625 = 2−1 + 2−3 = 0.101B

故 38.625 = 100110.101B


EXIT2-142-1 2-2 2-3 2-4

將 259.24 轉換成八進制數，取小數點以下 4 位。


EXIT2-152-1 2-2 2-3 2-4

將 1247.74 轉換成十六進制，小數部分只取 3 位。


EXIT2-162-1 2-2 2-3 2-4

5. 將 1630.625 轉成十六進制。

0.625 ×16 = 10.0 整數部分 10 = AH

故 1630.625 = 65E.AH


EXIT2-172-1 2-2 2-3 2-4

　　在位置性數字系統中，可先轉換成十進制，再利用連除法（整數部分）及連乘法（小數部分）將其轉成另一種基底的數字系統。

二進制與八進制的互換


EXIT2-182-1 2-2 2-3 2-4

(1) 試將 1011101.10011B 轉換成八進制。(2) 試將 274.31(8) 轉換成二進制。


EXIT2-192-1 2-2 2-3 2-4

二進制與十六進制的互換

(1) 將 B3F.2AH 轉成二進制。(2) 將 101111101.11001B 轉成十六進制。


EXIT2-202-1 2-2 2-3 2-4

6. 1CD.EH = B ，1011111.101B = H 。

000111001101.11105F.A


EXIT2-21

2-3 二進制有號數系統與補數

2-1 2-2 2-3 2-4


EXIT2-222-1 2-2 2-3 2-4

將 9 與 +17 分別轉換成 8 位元長度的真值表示法。在 8 位元真值表示法中，最左位元為符號位元，其能用以表示數量絕對值大小者，只有 7 個位元。因此可依其絕對值大小，先以 7 個位元的二進制值來表示，最後再將符號位元加入。(1)9 = 0001001B 故 9 = 1 0001001B

(2)17 = 0010001B 故 +17 = 0 0010001B


EXIT2-232-1 2-2 2-3 2-4

　　二進位有號數的基底補數表示法有 1’s 補數和2’s 補數兩種。

　　 +B則與一般二進制相同，只要最高位元是 0 。

1 的補數表示法　　將二進位負數取 1’s 補數時，只要將原數 0 變 1 、 1 變 0 。


EXIT2-242-1 2-2 2-3 2-4

試將下列各數轉成 1 的補數。(1) 0101B 　　 (2) 01011101B

7. 將 011100110011B 轉換成 1’s 補數。011100110011B 取 1’s 補數為 100011001100B


EXIT2-252-1 2-2 2-3 2-4

2 的補數表示法

將下列各數取 2’s 補數。(1) 01010101B


EXIT2-262-1 2-2 2-3 2-4

將下列各數取 2’s 補數。(2) 01110000B


EXIT2-272-1 2-2 2-3 2-4

　　負數取 2’s 補數的直接轉換法如下：


EXIT2-282-1 2-2 2-3 2-4

在 8 位元 2’s 補數系統中， +38 與 38 的二進位數為何？


EXIT2-292-1 2-2 2-3 2-4

8.在 8 位元 2’s 補數系統中， 00101000B 與 11010

111B 之十進制數分別為何？

00101000B = 25 + 23 = 40

11010111B 因最高位元為 1 是負數，故應先取 2’s 補數將其轉為正數，再算其大小。11010111B 取 2’s 補數得 − 00101001B = −41


EXIT2-302-1 2-2 2-3 2-4


EXIT2-312-1 2-2 2-3 2-4

　　在 2’s 補數系統應留意的是：1. 若有最終進位應捨棄。2. 運算結果仍是 2’s 補數形態。3. 結果不可有溢位（ overflow ）情形：

若兩正數相加結果為負數，或兩負數相加結果為正數，我們稱該運算發生溢位。


EXIT2-322-1 2-2 2-3 2-4

在 8 位元 2’s 補數系統中， +38 與 38 的二進位數為何？


EXIT2-332-1 2-2 2-3 2-4

9. 試以 2’s 補數加減法運算求出 90 + 42 的結果。最高位元為 1 ，表負數，可再取一次 2’s 補數還原，以識別其大小。即 11010000B = −00110000B = −48


EXIT2-34

2-4 文數字碼與同位偵錯碼

2-1 2-2 2-3 2-4


EXIT2-352-1 2-2 2-3 2-4

(1) 將 1010011.011110(BCD) 轉換成十進制。以小數點為中心，分別向左、向右將原數分成 4 個位元一組（不足 4 位元補 0 ），再直接轉換成等值的十進位數。

故 1010011.011110(BCD) = 53.78


EXIT2-362-1 2-2 2-3 2-4

(2) 將 3874 轉換成 BCD 碼。將十進制數的每一位數用等值的 4 位元二進制數直接取代。

故 3874 = 0011100001110100(BCD)

10. (1) 1001100000.01(BCD) =

=

　(2) 109.7 = 。

0010 0110 0000 .0100(BCD)

0001 0000 1001 .0111 (BCD)

260.4(BCD)


EXIT2-372-1 2-2 2-3 2-4


EXIT2-382-1 2-2 2-3 2-4

　　葛雷碼（ Gray code ）是一種最小變化碼，其計數值由一數目變化到下一數目時，僅變化一個位元。


EXIT2-392-1 2-2 2-3 2-4

二進位數轉換成葛雷碼　　二進位數換算成葛雷碼：1. 保留左起第一個位元。2. 從左起第二位元依序和前一位元相加，捨棄進

位，以取得每一個葛雷位元。


EXIT2-402-1 2-2 2-3 2-4

葛雷碼轉換成二進碼　　葛雷碼轉換成二進位數：1.保留葛雷碼左起第 1 位元。2.將二進位數的最高位元與葛雷碼左起第 2 位

元相加，結果就是二進位數的次高位元。


EXIT2-412-1 2-2 2-3 2-4

(1) 將二進位數 00001101B 換成葛雷碼。二進位數欲變為葛雷碼時，只需將相鄰二位元相加

故 00001101B = 00001011(Gray)


EXIT2-422-1 2-2 2-3 2-4

(2) 將葛雷碼 01100100 換成二進位數。將葛雷碼變換成二進位數則需作對角位元之加法，即

故 01100100(Gray) = 01000111B

11. (1)101101B = (Gray)

(2)111100(Gray) = B

111011

101000


EXIT2-432-1 2-2 2-3 2-4

（ ASCII ）


EXIT2-442-1 2-2 2-3 2-4


EXIT2-452-1 2-2 2-3 2-4

試查出下列文字的 ASCII 碼： (1) P 、 Y 　 (2) 0 、 7 。(1) P 是第 5 行第 0 列，故 “ P ” = 50H ；

Y 是第 5 行第 9 列，故 “ Y ” = 59H 。另可由 A 來推算，因 “ A” = 41H ，而“ Y”

為第 25 個字母，故　“ Y ” = 41H + 24 = 41H + 18H = 59H 。

(2) 0 是第 3 行第 0 列，故 “ 0 ” = 30H ；7 是第 3 行第 7 列，故 “ 7 ” = 37H 。另可由 0 來推算，因 “ 0” = 30H ，故　“ 7 ” = 30H + 7 = 30H + 7H = 37H 。


EXIT2-462-1 2-2 2-3 2-4

12. 試查出 a 及 m 的 ASCII 碼。A 在第 6 行第 1 列，故　“ a” = 61H 。

m 在第 6 行第 13 列，故　“ m” = 6DH 。


EXIT2-472-1 2-2 2-3 2-4

偶同位　　偶同位是在一組數碼中加入一個同位位元（ parity bit ），使整組數碼具有偶數個 1 。

奇同位　　所謂奇同位就是在加入一只同位位元後，使整組數碼中具有奇數個 1 。


EXIT2-482-1 2-2 2-3 2-4


EXIT2-492-1 2-2 2-3 2-4

將 57 和 36 轉換成 BCD 碼，並在數碼前加入一個同位位元，使其成為奇同位碼。

(1) 57 = 01010111(BCD) ，其中 BCD 碼中計有 5

個 1 ，是奇數，故其奇同位位元須加 “ 0” 。因此， 57 的奇同位 BCD 碼為 001010111 。

(2) 36 = 00110110(BCD) ，其中有偶數個 1 ，故同位位元須加 “ 1” ，使 BCD 碼具有奇數個 1 。因此， 36 的奇同位 BCD 碼為 100110110 。


EXIT2-502-1 2-2 2-3 2-4

13. 試將 01001011 與 11110111 兩組數碼轉成具偶同位的 9 位元碼。01001011 → 001001011

（加入 0 使原數為偶數個 1 ）

11110111 → 111110111

（加入 1 使原數為偶數個 1 ）


=== 第 2 章數字系統 ===

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