第 2 章 线性控制系统的运动分析 本章是通过求解系统方程的解来研究系统性能的。由于系统的状态方程是矩阵微分方程，而输出方程是矩阵代数方程。因此，只要求出状态方程的解，就很容易得到系统的输出，进而研究系统的性能。

本章内容为

1 线性定常系统齐次状态方程的解

2 状态转移矩阵

3 线性定常系统非齐次状态方程的解

4 线性时变系统的运动分析

5 线性系统的脉冲响应矩阵

8 用 MATLAB 求解系统方程

6 线性连续系统方程的离散化

7 线性离散系统的运动分析

2.1 线性定常系统齐次状态方程的解线性定常系统齐次状态方程为

（ 1 ）

（ 2 ）先考察标量齐次微分方程的幂级数解法

axx

kktbtbtbtbbx 3

32

210

假设其解为一幂级数

（ 3 ）

12321 32 k

ktkbtbtbb将（ 3 ）式代入（ 2 ）式

)( 2210 k

ktbtbtbba

)()( tt Axx

这时系统的输入为零

等式两边 t 的同次幂的系数相等，因此有

0

02

12

01

!

11

!2

1

2

1

bak

abk

b

baabb

abb

kkk

而 )0(0 xb

kkat tak

taat!

1

!2

11e 22因为

则解为 )0(e)0()!

1

!2

11()( 22 xxta

ktaattx atkk （ 4 ）

模仿标量齐次微分方程的解法，假设线性定常系统齐次状态方程（ 1 ）的解为

kktttt bbbbbx 3

32

210 （ 5 ）

将（ 5 ）式代入（ 1 ）式

12321 32 k

ktktt bbbb

)( 2210 k

ktttA bbbb

等式两边 t 同次幂的系数相等，因此有

0

02

12

01

!

11

!2

1

2

1

bAAbb

bAAbb

Abb

kkk kk

而 )0(0 xb

kkt tk

tt AAAA

!

1

!2

11e 22

记作

则线性定常系统齐次状态方程（ 1 ）的解为

)0()!

1

!2

11()( 22 xAAAx kkt

kttt （ 6 ）

则 )0(e)( xx Att （ 7 ）

如果 00 t 则 )(e)( 0)( 0 tt tt xx A （ 8 ）

将（ 8 ）式代入（ 1 ）式验证

)()(e)()( 0)( 0 ttt

dt

dt tt AxxAxx A

)()(e)( 00)( 00

0ttt tt

ttxxx A

和

)( 0e tt A矩阵指数函数 又称为状态转移矩阵，记作

)( 0tt

)(tx

)( 0tx由于系统没有输入向量， 是由初始状态 激励的。因此，这

时的运动称为自由运动。 的形态由 决定，即是由矩阵 A

惟一决定的。

)(tx

)( 0e tt A

2.2 状态转移矩阵线性定常系统齐次状态方程的解为

)(e)( 0)( 0 tt tt xx A 或 )0(e)( )( xx A tt

其几何意义是：系统从初始状态 开始，随着时间的推移，由 转移到 ，再由

转移到 ，…… 。

的形态完全由 决定。

)( 0tx)( 01e tt A )( 1tx )( 12e tt A )( 2tx

)(tx )( 0e tt A

2.2.1 状态转移矩阵的基本性质

1 ） AA AAA ttt eeedt

d 即 AA )()()( ttt

2 ） IA 0e 即 I)0(

3 ）可逆性 tt AA ee

1

即 )()()( 11 ttt

)()()( 020112 tttttt

4 ）传递性 )()()( 020112 eee tttttt AAA

即

5 ）当且仅当 时，有

BAAB ttt )(eee BABA

如果 时，则

ttt )(eee BABA

2.2.2 状态转移矩阵的求法方法 1 根据定义，计算 )(t

kkt tk

ttt AAAIA

!

1

!2

1e)( 22

方法 2 应用拉普拉斯变换法，计算 )(tAxx

对上式求拉普拉斯变换，得)()0()( sss Axxx )0()(][ xxAI ss

][ AI s如果 为非奇异

)0(][)( 1 xAIx ss

（ 9）

)(tx L )}0(]{[ 11 xAIs L )0(][ 11 xAI s

（ 10 ）由微分方程解的唯一性

tt Ae)( L11 ][ AIs

例 2-2 线性定常系统的齐次状态方程为

2

1

2

1

32

10

x

x

x

x

求其状态转移矩阵 tt Ae)(

解

2

2

1

1

2

2

1

22

1

1

1

2

1

1

2

2

13

)2)(1(

1

32

1][

1

1

ssss

ssss

s

s

sss

ss AI

于是 tt Ae)( L

tttt

tttt

s22

2211

e2ee2e2

eeee2][ AI

方法 3 应用凯莱 - 哈密顿定理，计算 )(t凯莱 - 哈密顿定理： 矩阵 A 满足自身的特征方程。nn

0]det[)Δ( 012

21

1 aλaλaλaλλλ n

nn AI

即 012

21

1 aλaλaλaλ nn

n

根据凯莱 - 哈密顿定理0)Δ( 01

22

11 IAAAAA aaaa n

nn

I-AAAA 012

21

1 aaaa nn

n （ 11 ）

例 用凯莱 - 哈密顿定理计算100

62

93

解 0962

93det)Δ( 2

λλλ

λλ

092 AA由凯 - 哈定理：

AA 99100 9AA 92

AAA 223 99 ,,

62

939

62

93 99

100

所以

A2nA1nA（ 11 ）式表明： 是 、 、 、 、 的线性组合

nA IA-AAAAAA 0

21

321

1 aaaa nn

nn （ 1

2 ）将（ 11 ）式代入（ 12 ）式，不断地进行下去，可以看出：

IA2nA1nAnA 、 、 、 都是 、 、 、 、 的线性组合

1nA 2nA

kkt tk

ttt AAAA

!

1

!2

11e)( 22

11

2210 )()()()(

nn tatatata AAAI （ 1

3 ）)(tai其中， ， 为待定系数。 的计算方法为：

)(tai )1(,10 ni ，，

1 ） A 的特征值互异A

iλ应用凯 - 哈定理， 和 都满足 的特征方程。因此， 也可以满足（ 13 ）式。

iλ A

11

2210 )()()()(e

ninii

tλ λtaλtaλtatai （其中， ）ni ,,2,1

写成矩阵形式

)(

)(

)(

1

1

1

e

e

e

1

1

0

12

12

222

11

211

2

1

ta

ta

ta

λλλ

λλλ

λλλ

nnnnn

n

n

tλ

tλ

tλ

n

（ 14 ）

于是

tλ

tλ

tλ

nnnn

n

n

nnλλλ

λλλ

λλλ

ta

ta

ta

e

e

e

1

1

1

)(

)(

)(2

11

12

12

222

11

211

1

1

0

（ 15 ）

例 2-3 线性定常系统的齐次状态方程为

2

1

2

1

32

10

x

x

x

x

用凯 - 哈定理计算其状态转移矩阵 )(t

解 0)2)(1(2)3(det)Δ( λλλλλλ AI

11 λ 22 λ

tt

tt

t

t

t

t

tλ

tλ

λ

λ

ta

ta

2

2

2

2

11

2

1

1

0

e

ee2

e

e

11

12

e

e

21

11

e

e

1

1

)(

)(2

1

e

即 ttta 20 ee2)( ttta 2

1 ee)(

tttt

tttt

tttt

tt

tt

tt

ttttt tatat

22

22

22

2

2

2

2210

e2ee2e2

eeee2

e3e3e2e2

ee0

ee20

0ee2

32

10)e(e

10

01)ee2()()(e)( AIA

2 ） A 的特征值相同，均为 1λ

tλ

tλ

tλ

tλn

tλn

nn

n

n

n

n

n

t

t

tn

tn

λλλλλ

λnn

λλ

λnn

λ

λn

ta

ta

ta

ta

ta

1

1

1

1

1

e

e!1

1

e!2

1

e)!2(

1

e)!1(

1

1!2

)2)(1(3210

!2

)2)(1(3100

1

)1(10

10000

)(

)(

)(

)(

)(

2

2

11

11

21

31

211

21

211

311

1

1

2

3

1

0

（ 16 ）

3 ） A 的特征值有重特征值，也有互异特征值时，待定系数 可以根据（ 16 ）式和（ 15 ）式求得。然后代入（ 13 ）式，求出状态转移矩阵

)(tai

)(t

求系统状态转移矩阵。

例 2-4 线性定常系统齐次状态方程为 xx

452

100

010

---

解 应用凯 - 哈定理计算 )(t

0)2()1(254det)Δ( 223 λλλλλλλ AI

A 的特征值为121 λλ 23 λ

ttt

ttt

tt

t

t

t

t

t

t

tλ

tλ

tλ

t

t

tt

tt

λλ

λλ

λ

ta

ta

ta

2

2

2

2

2

11

233

211

1

2

1

0

eee

e2e2e3

ee2

e

e

e

111

223

102

e

e

e

421

111

210

e

e

e

1

1

210

)(

)(

)(

3

1

1

于是

ttttttttt

ttttttttt

tttttttt

t

ttt

ttt

ttt

tatatat

222

222

222

2210

e4e3ee8e8e3e4e4e2

e2e2ee4e5e3e2e2e2

eeee2e2e3ee2

)()()(e)( AAIA

状态转移矩阵

方法 4 通过线性变换，计算 )(t

因为

nλ

λ

λ

0

0

2

1

1

ΛPAP

PPA Λ1而

tλ

tλ

tλ

t

n

ttI

e0

e

0e

!2

1e

2

1

22

ΛΛΛ

因为对角阵的特殊性质，有：

1 ）矩阵 A 可以经过线性变换成为对角阵，计算 )(t

因此，状态转移矩阵为

PPPIP

PPPPPP

PPPPIPPA

t--

---

--tt

tt

tt

ttt-

Λ

Λ

ΛΛ

ΛΛ

ΛΛ

e!2

1

!2

1!2

1ee)(

1221

22111

22111

例 2-5 线性定常系统的齐次状态方程为

2

1

2

1

32

10

x

x

x

x

用线性变换方法，计算其状态转移矩阵 )(t

解 11 λ 22 λ

11

12

21

111111

21

1

λλQP

21

11Q

（ 17 ）

20

011PAPΛ

tttt

tttt

t

ttt

----

22

22

2

1

e2ee2e2

eeee2

11

12

e0

0e

21

11ee PPA Λ

2 ）矩阵 A 可以经过线性变换成为约当形阵，计算

)(t

1

1

1

1

0

1

01

λ

λ

λ

PAPJ

tλ

n

n

t e

t

tn

t

tn

t

1

10

)!2(

11

)!1(

11

e

2

1

J

状态转移矩阵为PP JA ttt ee)( 1 （ 18 ）

3 ）矩阵 A 可以经过线性变换成为模态形阵，计算 )(t

如果矩阵 A 的特征值为共轭复数

经过线性变换，可转换为模态矩阵 M

ωσλ j2,1

σω

ωσ1PAPMt

-ω

ωt

σ

σt

σ-ω

ωσ

t

0

0

0

0

eeeeM

其中

σt

σttσ

σ

e0

0ee 0

0

ωtωt

ωtωt

ω

ωtt

ω

ωt-ω

ω

cossin

sincos

0

0

!2

1

0

0

10

01e

2

20

0

系统状态转移矩阵为

PP MA ttt ee)( 1 （ 19 ）

2.3 线性定常系统非齐次状态方程的解线性定常系统非齐次状态方程为

)()()( ttt BuAxx （ 20 ）改写为 )()()( ttt BuAxx （ 21 ）

（ 21 ）式两边同乘 得tAe

)(e)()(e ttt tt BuAxx AA

或写成 )(e)(edt

dtt tt Bux AA （ 22 ）

对（ 22 ）式在 0 到 t 时间段上积分，有

ττtt τtt d)(e)(e00

Bux AA （ 23 ）

ττtt τt d)(e)0()(e0

Buxx AA （ 24 ）

（ 24 ）式两边同乘 ，并且移项tAe

ττ

ττt

t τtt

t τtt

d)(e)0(e

d)(ee)0(e)(

0

)(

0

Bux

Buxx

AA

AAA

（ 25 ）

（ 26 ）τττtttt

d)()()0()()(0 Buxx

（ 27 ）

更一般情况，当 00 t

ττttt

t

τttt d)(e)(e)(0

0 )(0

)( Buxx AA

（ 28 ）τττtttttt

td)()()()()(

000 Buxx

由式（ 25 ）或式（ 27 ）可知，系统的运动 包括两个部分。一部分是输入向量为零时，初始状态引起的，即相当于自由运动。

第二部分是初始状态为零时，输入向量引起的，称为强迫运动。正是由于第二部分的存在，为系统提供这样的可能性，即通过选择适当的输入向量 ，使 的形态满足期望的要求。

)(tx

)(tx)(tu

例 2-8 线性定常系统的状态方程为

ux

x

x

x

1

0

32

10

2

1

2

1

0

1)0(x )(1)( ttu

解 在例 2-2 中已经求得

tttt

tttttt

22

22

e2ee2e2

eeee2e)( A

由（ 26 ）式

tt

tt

2

2

ee

e2

1e

2

1)(1

1

0

e2ee2e2

eeee20 )(2)()(2)(

)(2)()(2)(

τt

τtτtτtτt

τtτtτtτt

τττtttt

d)()()0()()(0 Buxx

0

1

e2ee2e2

eeee222

22

tttt

tttt

系统的输出方程为)()()( ttt DuCxy

则 )(d)(e)(e)(0

0 )(0

)( tττttt

t

τttt DuBuCxCy AA

或 )(d)(e)0(e)(0

)( tττtt τtt DuBuCxCy AA

（ 29 ）

可见，系统的输出 由三部分组成。

当系统状态转移矩阵求出后，不同输入状态向量作用下的系统输出即可以求出，进而就可以分析系统的性能了。

)(ty

2.4 线性时变系统的运动分析

（ 30 ）

线性时变系统方程为

)()()()()(

)()()()()(

ttttt

ttttt

uDxCy

uBxAx

2.4.1 齐次状态方程的解)()()( ttt xAx （ 3

1 ）初始状态为 )( 0tx

),( 0tt其中， 是状态转移矩阵，并且满足以下方程 ),()(),(

dt

d00 ttttt A （ 3

3 ）满足初始条件 I),( 00 tt （ 3

4 ）

根据我们对线性定常齐次系统解的知识，可以假设线性时变齐次系统的解应该具有以下形式，然后加以证明

)(),()( 00 tttt xx （ 32 ）

证明 （ 30 ）式两边对 t 求导

)()()(),()(

)(),(dt

d)](),([

dt

d)(

dt

d

00

0000

tttttt

ttttttt

xAxA

xxx

并且 时

0tt

I),( 00 tt

)()(),()( 00000 ttttt xxx

即

2.4.2 状态转移矩阵 的基本性质),( 0tt

I),( 00 tt

1 ） 满足自身的矩阵微分方程及初始条件，即

),( 0tt

),()(),(dt

d00 ttttt A

2 ） 可逆性 ),(),( 001 tttt

3 ） 传递性 ),(),(),( 020112 tttttt

4 ） )(),(),( ττtτtτ

A

2.4.3 状态转移矩阵 的计算),( 0tt

用级数近似法计算

计算系统状态转移矩阵xxAx

tt

0

10)(例 2-9 线性时变系统齐次状态方程为

)0,(t

012210

0110000

ddd)()()(

dd)()(d)(),(

1

0

0

00

0

000

ττττAτAτA

τττAτAττAItt

τ

t

τ

t

t

t

τ

t

t

t

t

t

（ 35 ）

解将 代入（ 35 ）式

t0

10A

其中

200

000 0

2

10

0

0

10)( t

tdτ

τdττ

ttA

8

0

60

)()( 4

3

010 10 0

0

t

t

dτdττττt

AA

82

110

61

80

60

2

10

0

10

01)0,( 4

2

3

4

3

2t

t

tt

t

t

t

tt

2.4.4 线性时变系统非线性齐次状态方程的解

uBxAx )()( tt

)()( 00

tttt

xx

（ 38 ）

（ 39 ）

ττττtttttt

td)()(),()(),()(

000 uBxx 其解为

证明[ 将（ 39 ）式代入状态方程（ 38 ）式，等式成立 ]

（ 40 ）

ττττttttt

t

td)()(),()(),()(

0000 uBxx 或

2.4.5 系统的输出

)()(d)()(),()()(),()()(0

00 ttττττtttttttt

tuDuBCxCy （ 4

1 ）

（ 42 ）

)()(d)()(),()(),()()(0

000 ttττττttttttt

tuDuBxCy

或

2.5 线性系统的脉冲响应矩阵2.5.1 线性时变系统的脉冲响应矩阵假设系统初始条件为零，

输入为单位脉冲函数，即

0)0()( 0 xx t

)()( τtδet i u

其中， τ 为加入单位脉冲的时刻。而

0

0

1

0

0

ie

第 i 个分量

τt 就表示在 时刻，仅在第 i 个输入端施加一个单位脉冲。系统的输出为：

)( τtδei

)()(d)()(),()()(0

τtδetττtδeττttty ii

t

ti DBC

)()()(),()( τtδeteττtt ii DBC ≜ ),( τtih （ 43 ）

为 m维向量，它表示系统输出 对输入 的第 i 个元素在 τ 时刻加入单位脉冲时的响应。)(tih )(ty )(tu

将 ， 按次序排列，则

)(tih ri ,,2,1 ),(),(),(),( 21 τtτtτtτt rhhhH

reττtteττtteττtt )(),()()(),()()(),()( 21 BCBCBC

)()()()( 21 τtδetetet r DDD )()()(),()( τtδτττtt DBC （ 4

4 ）线性时变系统脉冲响应矩阵

),( τtH )()()(),()( τtδτττtt DBC

0

τt ≥

τt （ 45 ）

2.5.2 线性定常系统的脉冲响应矩阵

)( τtH )(e )( τtδτt DBC A

0τt ≥

τt

脉冲响应矩阵为

（ 46 ）

如果单位脉冲出现在 τ= 0 的时刻，则脉冲响应矩阵为

)(e tδt DBC A )(tH

0τt ≥

τt （ 47 ）

2.5.3 传递函数矩阵与脉冲响应矩阵之间的关系对（ 47 ）式求拉普拉斯变换

)(sH L ttδttt sttst de)](e[de)()]([00

DBCHH A

DBC A

tee stt d0

而 teesteetee sttsttstt ddd000

AAA IAA

（ 48 ）

上式可改写成 IAI A

tees stt d][0

（ 49 ）

如果 存在，则

1 AIs 1

0][d

AIA stee stt （ 50 ）将（ 50 ）式代入（ 48 ），得到

)(][)( 1 sss GDBAICH （ 51 ）（ 52 ）

当 D = 0 时 )(][)( 1 sss GBAICH

可见，线性定常系统在初始松弛情况下脉冲响应矩阵的拉普拉斯变换就是系统传递函数矩阵。

2.5.4 利用脉冲响应矩阵计算系统的输出

如果输入向量表示为ττtδτt

t

td)()()(

0

uu （ 53 ）

将（ 53 ）式代入（ 28 ）式

ττtδτττttt

t

t

t

τttt d)()(d)(e)(e)(00

0 )(0

)( uDBuCxCy AA

τττtδt τtt

t

tt d)()](e[)(e )(0

)(

0

0 uDBCxC AA τττtt

t

t

tt d)()()(e0

00

)( uHxC A （ 54 ）

当系统初始状态为零时τττtt

t

td)()()(

0

uHy （ 55 ）

2.6 线性连续系统方程的离散化作以下假定：

1 ）被控对象上有采样开关；

2 ）采样周期为 T ，满足香农采样定理要求，包含连续信号全部信息；

3 ）具有零阶保持器。

2.6.1 线性时变系统

uDxCy

uBxAx

)()(

)()(

tt

tt （ 56 ）

初始状态为 )( 0tx

状态方程的解为ττττttttt

t

td)()(),()(),()(

000 uBxx （ 5

7 ）

Tkt 00 令 ， ，则

Tkt )1(

（ 58 ）

ττττTkTkTkTkTkTk

Tkd)()(],)1[()(],)1[(])1[(

)1(

000

uBxx

（ 59 ）

Tkt 00 再令 ， ，则

kTt

ττττkTtTkkTkTkT

Tkd)()(),()(),()(

000 uBxx

],)1[( kTTk 将（ 59 ）式两边都左乘

ττττTkTkTkTkkTkTTkkT

Tkd)()(],)1[()(],)1[()(],)1[(

000 uBxx

（ 60 ）（ 58 ）减（ 60 ）并且整理后，得到

ττττTkkTkTTkTkTk

kTd)()(],)1[()(],)1[(])1[(

)1(uBxx

令： ],)1[()( kTTkkT G ττττTkkTTk

kTd)()(],)1[()(

)1(uBH

考虑到 ])1(,[)()( TkkTτkTτ uu

于是 )()()()(])1[( kTkTkTkTTk uHxGx

省略 T ，得到 )()()()()1( kkkkk uHxGx （ 61 ）

输出方程离散化，令 ，即可以得到

kTt

)()()()()( kkkkk uDxCy （ 62 ）

2.6.2 线性定常系统

DuCxy

BuAxx（ 63 ）

离散化后得到

)()()(

)()()1(

kkk

kkk

DuCxy

HuGxx （ 64 ）

其中 TAG e BH A

T τ τe0

d CC DD

2.7 线性离散系统的运动分析2.7.1 线性定常离散系统齐次状态方程的解

系统的齐次状态方程为： )()1( kk Gxx

其中， x(k) 为 n维状态向量

采用迭代法可以求出系统齐次状态方程的解)0()1(0 Gxx k

)0()1()2(1 2xGGxx k)0()2()3(2 3xGGxx k

)0()()0()1()(1 xxGGxx kkkkk k

（ 65 ）

其中 kk G)( （ 66 ）

系统的输出为 )0()( xCGy kk （ 67 ）

2.7.2 状态转移矩阵)(kx若系统初始状态为 ，通过 将其转移到状态

，故 称为状态转移矩阵。)0(x

kk G)( )(k

)(k1. 的基本性质

)()1( kk G

1 ）满足自身的矩阵差分方程及初始条件I)0(

)()()( 1122 kkkk 2 ）传递性

)()(1 kk 3 ）可逆性

2. 状态转移矩阵的计算

有 4种状态转移矩阵的计算方法：①按定义计算；②用 z 反变换计算；③应用凯 -哈定理计算；④通过线性变换计算。

在此，我们仅讨论用 z反变换计算。)()1( kk Gxx 离散系统的齐次状态方程为：

对上式进行 z 变换 )()0()( zzzz Gxxx

)0()(][ xxG zzzI )0(][)( 1 xGx zzIz

)(kx )0()0()()0(}]{[ 11 xGxxG kkzzI Z

可见}]{[ 11 zzI GZ kk G)( （ 6

8 ）

例 2-13 离散系统齐次状态方程为 )(3.04.0

10)1( kk xx

求状态转移矩阵

解

5.0

13/5

8.0

13/8

5.0

13/4

8.0

13/45.0

13/10

8.0

13/10

5.0

13/8

8.0

13/5

3.04.0

1][

1

1

zzzz

zzzzz

zz AI

}]{[ 11 zzI GZ kk G)(

kkkk

kkkk

)5.0(13

5)8.0(

13

8)5.0(

13

4)8.0(

13

4

)5.0(13

10)8.0(

13

10)5.0(

13

8)8.0(

13

5

2.7.3 线性定常离散系统方程的解

（ 69 ）

系统方程为 )()()1( kkk HuGxx

)()()( kkk DuCxy 可以用迭代法求系统状态方程的解

)0()0()1( HuGxx 0k)1()0()0()1()1()2( 2 HuGHuxGHuGxx 1k

)2()1()0()0()2()2()3( 23 HuGHuHuGxGHuGxx 2k

)()0()1()1()( 1k1

0

k ikkk ik

i

HuGxGHuGxx

1kk

系统方程的解为)()0()( 1k

1

0

k ik ik

i

HuGxGx

（ 7

0 ）系统的输出为)()()0()( 1k

1

0

k kik ik

i

DuHuGCxCGy

（ 7

1 ）

2.7.3 线性时变离散系统方程的解

系统方程为 )()()()()1( kkkkk uHxGx （ 72 ）)()()()()( kkkkk uDxCy

若系统的解存在且唯一，则解为

)()()1,()(),()(1

00

0

iiikkkkkk

ki

uHxx

（ 73 ）

（用迭代法可以证明）

系统的输出为

)()()()()1,()()(),()()(1

00

0

kkiiikkkkkkkk

ki

uDuHCxCy

（ 74 ）

2.8 用 MATLAB 求解系统方程2.8.1 线性齐次状态方程的解

使用 MATLAB 可以方便地求出状态方程的解。我们通过例子来说明。

例 2-16 已知线性系统齐次状态方程为

xx

32

10 初始条件

0

1)0(x

求系统状态方程的解。 解 用以下 MATLAB 程序计算齐次状态方程的解，其中 collect( )

函数的作用是合并同类项，而 ilaplace( ) 函数的作用是求取拉普拉斯逆变换，函数 det( ) 的作用是求方阵的行列式。

程序执行结果

这表示

tttt

tttt

t22

22

e2ee2e2

eeee2)(

tt

tt

t2

2

e2e2

ee2)(x

2.8.2 线性非齐次状态方程的解通过以下例子说明。

例 2-17 已知系统状态方程为

u

1

0

32

10xx

0

1)0(x )(1)( ttu

解 用以下 MATLAB 程序求系统方程的解。其中，语句 phi=subs(phi0,’t’,(t-tao)) 表示将符号变量 phi0 中的自变量 t 用(t-tao) 代换就构成了符号变量 phi ，而语句 x2=int(F,tao,0,t) 表示符号变量 F 对 tao 在 0 到 t 的积分区间上求积分，运算结果返回到 x2 。

程序执行结果为

tt

tt

t2

2

ee

e5.0e5.0)(x这表示

2.8.3 连续系统状态方程的离散化在 MATLAB 中，函数 c2d （）的功能就是将连续时间的系统模型转换成离散时间的系统模型。其调用格式为： sysd=c2d(sysc,T,method) 。其中，输入参量 sysc 为连续时间的系统模型； T 为采样周期（秒）；method 用来指定离散化采用的方法 。

‘zoh’——采用零阶保持器；‘foh’——采用一阶保持器；‘tustin’——采用双线性逼近方法； ‘prewarm’——采用改进的 tustin 方法；

‘matched’——采用 SISO 系统的零极点匹配方法；当 method 为缺省时（即：调用格式为 sysd=c2d(sysc,T) 时），默认的方法是采用零阶保持器。

例 2-18 某线性连续系统的状态方程为BuAxx DuCxy

其中

6116

100

010

A

20

12

01

B

112

011C

00

00D

采用零阶保持器将其离散化，设采样周期为 0.1秒。求离散化的状态方程模型。解 输入以下语句，其中 D=zeros(2) 表示，将 D赋值为 2×2维的全

零矩阵。

语句执行的结果为

计算结果表示系统离散化后的状态方程为

)(

1936.01164.0

0902.01959.0

0047.01099.0

)(

5112.08366.04429.0

0738.09541.00246.0

0041.00984.09991.0

)1( kkk uxx

)(00

00)(

112

011)( kkk uxy

第 2 章 结束