Министерство образования и науки Российской Федерации

Южно-Российский государственный технический университет (Новочеркасский политехнический институт)

Волгодонский институт ЮРГТУ

Л.С. Лунин, А.В. Благин, А.А. Баранник

ЛЕКЦИИ ПО ФИЗИКЕ

Часть I

Механика, молекулярная физика и термодинамика

Новочеркасск 2006

2

УДК 530.1 (075.8) ББК 22.3

Л Рецензенты: д-р физ.-мат.наук, проф. В.Н. Лозовский,

к.ф.-м.н., доц. Т.А. Аскарян

Лунин Л.С., Благин А.В., Баранник А.А.

Л Лекции по физике. Ч.1. Механика, молекулярная физика и термоди-намика / Волгодонский институт ЮРГТУ. Новочеркасск: ЮРГТУ, 2006. 184 с.

Физика является теоретической основой всех технических дисциплин

и, наряду с математикой, базой инженерного образования. Лекции состав-лены с учетом требований государственных образовательных стандартов для технических специальностей высших учебных заведений, изучающих общую физику в течение четырех семестров.

Материал рассчитан на студентов, приступающих к изучению курса общей физики (34 часа лекций в семестр).

© Волгодонский институт ЮРГТУ, 2006 © Лунин Л.С., Благин А.В., Баранник А.А., 2006

3

ОГЛАВЛЕНИЕ ПРЕДИСЛОВИЕ………………………………………………………… 4МЕХАНИКА……………………………………………………………… 5Лекция 1. Основы кинематики…………………………………………… 5Лекция 2. Динамика поступательного движения материальной точки.. 13Лекция 3. Работа и механическая энергия……………………………… 21Лекция 4. Динамика вращательного движения………………………… 32Лекция 5. Тяготение. Элементы теории поля…………………………… 49Лекция 6. Основы специальной теории относительности……...……… 63Лекция 7. Элементы общей теории относительности………………….. 78Лекция 8. Элементы механики жидкостей и газов……………………... 90МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА……………. 105Лекция 9. Основы молекулярной физики – I……………………………. 105Лекция 10. Основы молекулярной физики – II…………………………. 115Лекция 11. Основы общей термодинамики – I…………………………. 131Лекция 12. Основы общей термодинамики – II………………………… 140Лекция 13. Реальные газы, жидкости и твердые тела – I………………. 150Лекция 14. Твердые тела – II…………………………………………….. 159Лекция 15. Теплоемкость и фазовые переходы………………………… 170Лекция 16. Растворы……………………………………………………… 176ЗАКЛЮЧЕНИЕ…………………………………………………………. 183РЕКОМЕНДУЕМЫЙ БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК……. 184

4

ПРЕДИСЛОВИЕ Настоящее пособие предназначено, в первую очередь, для студентов

инженерно-технических специальностей; может быть полезным для всех категорий студентов, изучающих в том или ином объеме физику. Оно представляет собой курс лекций в 3 частях, соответствующих трем семест-рам курса физики, предусмотренных унифицированным учебным планом, по которому студенты специальностей "Микроэлектроника и твердотель-ная электроника", "Автоматизация технологических процессов", "Электри-ческие станции", "Информационные системы и технологии", "Оборудова-ние и технология сварочного производства" обучаются с 2002/03 учебного года. Пособие может быть использовано студентами также для самостоя-тельного изучения соответствующего материала, является базой для под-готовки к семестровым экзаменам по физике. Кроме того, книга должна помочь студенту и в тех случаях, когда он что-то не успел записать на лек-ции, какие-то лекции были пропущены, в чем-то трудно разобраться по другим учебникам.

Первая часть содержит изложение основ механики, молекулярной физики и термодинамики и адресована первокурсникам. Набор освещае-мых вопросов хорошо виден из оглавления.

Особое внимание в книге уделено изложению традиционно сложных для усвоения физических понятий, идей и теорий – таких, как механика твердого тела, теория относительности, физика реальных газов, жидкостей и растворов. Впервые в учебной литературе по общей физике в настоящем пособии излагаются основные выводы общей теории относительности. Достаточно подробно освещаются вопросы, помогающие осмысленному выполнению заданий лабораторного практикума по механике и молеку-лярной физике.

Авторы выражают надежду, что данное пособие будет способство-вать более глубокому изучению студентами курса физики и решит про-блему основательного методического обеспечения студентов младших курсов.

5

МЕХАНИКА

ЛЕКЦИЯ 1. ОСНОВЫ КИНЕМАТИКИ 1. Предмет физики и ее связь с другими науками. 2. Система СИ (System International – SI). 3. Физические модели. Система отсчета (СО). Траектория. Длина пути. Вектор перемещения. 4. Скорость. Ускорение, его тангенциальная и нормальная составляющие. Линейные и угловые величины. 1.1. Предмет физики и ее связь с другими науками

Физика – наука, изучающая простейшие и вместе с тем наиболее

общие закономерности явлений природы, свойства и строение материи, за-коны ее движения (физика – наука о наиболее общих формах движения материи).

Под движением понимают всякое изменение, происходящее в материальном мире. Формы движения: механическая, тепловая, оптиче-ская, ядерная, химическая, психическая, социальная. Физика изучает пер-вые 4 формы. Физика относится к числу точных наук, ее понятия и за-коны могут быть количественно охарактеризованы, поэтому, например, эмоции, чувства (психическая форма движения) пока не являются предме-том физики. Физика – естественная наука. Она является основой всего естествознания и тесно связана с другими естественными науками – хими-ей, биологией, астрономией и т.д. Границы между физикой и естествен-ными науками условны. На стыке этих наук рождаются новые отрасли знания – биофизика, геофизика, физическая химия и другие.

В соответствии с многообразием предмета исследования естествен-ными науками в зависимости от критерия классификации подразделяется:

- по объекту: физика элементарных частиц, физика ядра, физика ато-мов и молекул и т.д.

- по процессам и формам движения: механика материальной точки и твёрдого тела, сплошных сред, электродинамика, термодинамика, теория тяготения, физика волновых процессов и т.д.

- по целям исследования: теоретическая, экспериментальная и при-кладная (техническая) физика.

Целью экспериментальной физики является постановка и проведение наблюдений и опытов по обнаружению новых физических явлений и про-верке данных по уже известным явлениям. Целью теоретической физики является установление закономерностей (связей, общего для широкого круга процессов, объектов) известных физических явлений и предсказание существования новых явлений (рекомендации по постановке эксперимен-

6

тов и выбору путей и способов исследования). Следует отметить, что не все процессы, изучаемые современной физикой, наглядны и исследуются прямо (и) экспериментально. Прикладная (техническая) физика занимается разработкой путей использования физических представлений о свойствах и поведении объектов для нужд человека. Таким образом, развитие физи-ки протекает по известной схеме - философской спирали познания.

Физика является теоретической основой всех технических дис-циплин (электро- и радиотехника, сопротивление материалов, электроника и др.) и, наряду с математикой, базой инженерного образования.

1.2. Система СИ (System International – SI)

Так как физика – точная наука, важную роль в ней играют измере-

ния. Измерить величину – значит сравнить ee c однородной величиной, ycлoвнo принятой за единицу. Единицу любой физической величины мoжнo ycтaнoвить пpoизвoльнo, поэтому нa XI Гeнepaльнoй кoнфepeнции пo мepaм и вecaм (oктябpь 1960 г.) было принято peшeниe об ycтaнoвлeнии (вместо гауссовой системы – СГС) для мeждyнapoдныx связей единой пpaктичecкoй cиcтeмы единиц, пoлyчившeй мeждyнapoднoe нaимeнoвaниe SI, в pyccкoй тpaнcкpипции – CИ. Эта cиcтeмa была yтoчнeнa нa пocлeдyющиx XII-XV кoнфepeнцияx пo мepaм и вecaм.

Для пocтpoeния cиcтeмы единиц физичecкиx величин дocтaточнo выбpaть нecкoлькo нeзaвиcимыx дpyг от дpyгa единиц, охватывающих все физические явления. Эти единицы называют основными. Единицы физических величин, кoтopыe определяются по уравнениям c помощью ос-новных единиц, нaзывaют пpoизвoдными. Выбор основных единиц обу-словливает значение коэффициентов пропорциональности в формулах при записи физических законов. Совокупность основных и производных еди-ниц называют системой единиц.

Meждyнapoднaя cиcтeмa единиц СИ cocтoит из ceми ocнoвныx, двyx дoпoлнитeльныx радиан (рад) и стерадиан (ср), а также бoльшoгo чиcлa пpoизвoдныx единиц.

Оcнoвныe единицы СИ (SI): − метр (м) – длина пути, пpoxoдимoгo cвeтом в вaкyyмe зa 1 /299 792

458 c; − килoгpaмм (кг) – eдиницa мaccы – пpeдcтaвлeн мaccoй

мeждyнapoднoгo пpoтотипa килoгpaммa (Международная палата мер и весов, г. Севр, Франция);

− сeкyндa (с) – вpeмя, paвнoe 9 192 631 770 пepиoдaм излyчeния, cooтвeтcтвyющeгo пepexoдy мeждy двумя тонкими ypoвнями ocнoвнoгo cocтoяния aтoмa цeзия-133 (133Cs);

7

− ампep (А) – cилa нeизмeняющeгocя тoкa, кoтopый при пpoxoждeнии пo двyм пapaллeльным пpямoлинeйным пpoвoдникaм бecкoнeчнoй длины и ничтoжнo мaлoй плoщaди пoпepeчнoгo ceчeния, pacпoлoжeнным в вaкyyмe нa paccтoянии 1 м oдин от дpyгoгo, вы-звал бы нa кaждoм yчacткe npoвoдникa длиной 1 м cилy взaимoдeйcтвия, paвнyю 2·10-7 H;

− кельвин (К) – единица тeмпepaтypы, paвнaя 1/273,16 тepмoдинaмичecкoй тeмпepaтypы тpoйнoй тoчки вoды;

− моль (моль) – кoличecтвo вeщecтвa cиcтeмы, coдepжaщeй cтoлькo же cтpyктypныx элeмeнтoв (частиц), сколько coдepжитcя aтoмoв в нуклиде 12С (yглepoдe-12) массой 0,012 кг;

− кaндeлa (кд) – cилa cвeтa в заданном направлении источника, иcпycкaющегo монохроматическое излучение частотой 540·1012 Гц, энергетическая сила света которого в этом направлении 1/683 Вт/ср (cилa cвeтa, иcпycкaeмoгo c пoвepxнocти плoщaдью 1/600000 м2 пoлнoгo излyчaтeля в пepпeндикyляpнoм нaпpaвлeнии при тeмпepaтype излyчaтeля, paвнoй тeмпepaтype зaтвepдeвaния плaтины при дaвлeнии 101 325 Па);

− радиан – угол, опирающийся на дугу, равную радиусу; − стерадиан – телесный угол с вершиной в центре сферы, вырезаю-

щий на поверхности сферы площадь, равную площади квадрата со стороной, равной радиусу сферы. Десятичные кратные и дольные единицы образуются умножением

исходной единицы на один из множителей, приведенных в табл. 1.1. Таблица 1.1

Mнoжитeли и пpиcтaвки для oбpaзoвaния дecятичныx кратных и дoльныx единиц SI

Пpиcтaвкa Пpиcтaвкa Mнoжитeль Наимено-

вание Обозначе-

ние Mнoжитeль Наименова-

ние Обозначе-

ние 1018 экca Э 10-1 дeци д 1015 пeтa П l0-2 caнти c 1012 тepa Т l0-3 милли м l09 гигa Г l0-6 микро мк l06 мeгa М l0-9 нaнo н l03 килo к l0-12 пикo п l02 гeкто г l0-15 фeмто ф l01 дeкa да l0-18 aтто a

8

1.3. Физические модели. Система отсчета (СО). Траектория. Длина пути. Вектор перемещения

В физике используются различные модели: при описании объектов

выделяются их главные качества и отбрасываются второстепенные (материальная точка, абсолютно твердое тело, абсолютно упругий и неуп-ругий удары, идеальный газ, черное тело, линейный осциллятор и т.д.).

Построение физико-математической модели, как правило, вы-полняется методом последовательных приближений. В первом или ну-левом, самом грубом, приближении учитывают только самые необходи-мые аспекты (свойства) процесса (тела), математические уравнения при этом обычно самые простые и легко разрешимы аналитически. Проведя расчет по этим уравнениям, результат сравнивают с данными эксперимен-та. При удовлетворительном согласии данных останавливаются на полу-ченной модели (описании) процесса (тела). При несогласии (второе и т.д. приближение) вносят в рассмотрение новые факторы, усложняются опи-сывающие явление уравнения, они уже могут не решаться в явном виде (аналитически), а только численно, процесс повторяется до получения с требуемой (необходимой) точностью согласия теоретических и достаточно большого числа экспериментальных данных.

Примеры физико-математических моделей: - материальная точка – это тело, размеры которого в данной задаче

несущественны; - абсолютно твердое тело – тело, которое ни при каких условиях не

деформируется, при этом расстояние между любыми двумя точками тела остается неизменным.

Механика изучает механическое движение. Механическое движе-ние – это взаимные изменения положения тел друг относительно друга или взаимного расположения частей тела. Любому описанию механиче-ского движения тела должен предшествовать выбор системы отсчета (СО). Она состоит из какого-либо неподвижного твердого тела (отсчета) и связанной с ним системы координат, в которой указывается начало отсчета времени. В механике чаще всего используется координатная форма описа-ния движения: положение материальной точки задается ее радиус-вектором )(trr rr = . Это уравнение эквивалентно трем скалярным: x=x(t); y=y(t); z=z(t).

9

X

Z

Yr

∆S

A

B

r ∆rO 0

Рис. 1.1

Рассмотрим (рис. 1.1) движение материальной точки вдоль произ-вольной траектории. Отсчет времени начинают с момента, соответствую-щего точке А. Длина участка АB, пройденного телом с начала отсчета вре-мени, называется длиной пути ∆s и является скалярной функцией времени.

Вектор 0rrr rrr −=∆ называется перемещением тела. В случае прямо-

линейного движения sr ∆=∆r . Сказанное справедливо для движения в

одном направлении, а в общем случае sr ∆≤∆r . Траектория – это линия, которую описывает тело при движении в

пространстве. Если траектория лежит в одной плоскости, движение назы-вается плоским или двумерным (движение тела, брошенного под углом к горизонту, движение заряженной частицы в магнитном поле, когда ско-рость перпендикулярна вектору магнитной индукции vr⊥B

v.

1.4. Скорость. Ускорение, его тангенциальная и нормальная

составляющие. Линейные и угловые величины Для характеристики движения тела вводится векторная величина –

скорость vr , которая определяет быстроту движения и его направление в данный момент времени t.

Если тело проходит за время ∆t путь ∆s, модуль которого равен ∆r (при условии

малости промежутка ∆t), скорость определяется как trv∆∆

=r

r - средняя скорость

(м/c);

•→

→→→→

==∆∆

→∆=⟩⟨

→∆= r

dtdr

tr

tv

tv

0lim

0lim – мгновенная скорость (всегда направле-

на по касательной в данной точке траектории).

Тогда •

→

→

==== sdtds

dt

drvv и dtvds ⋅= .

10

Следовательно, tvdtvdttvtsdtt

t

dtt

t constv

∆⋅=== ∫∫++

=→

)()( .

Движение, при котором скорость постоянна, называется равномер-ным. В случае неравномерного движения важно знать, как изменяется скорость с течением времени, по модулю (величине) τv

r∆ и направлению

nvr∆ (последний интеграл будет иметь другой вид). Для этого вводят век-торную величину – ускорение аr .

Среднее ускорение tva∆∆

=r

r (м/c2), а мгновенное

vdtvd

tvaa

tt&r

rrrr ==

∆∆

==→∆→∆ 00

limlim .

Как и скорость, ускорение можно в любой момент времени пред-ставить в виде двух составляющих rar∆ ( rar – тангенциальной) и nar∆ ( nar – нормальной): по теореме Пифагора (ок. 580–500 гг. до н.э.)

22naaa += τ

r, так как ar⊥ nar ,

•

==∆∆

→∆=

∆∆

→∆= v

dtdv

tv

ttv

ta

0lim

0lim τ

τ . (1.1)

∆ν

∆ν

ν

νν ∆ν

O

A B

D

ER R

С

1

n

τ

1

Рис. 1.2

Согласно рис. 1.2 →→→

−=∆ vvv 1 или →→→

∆+∆=∆ nvvv τ , скорость в любой мо-

мент времени →→→

+= nvvv τ . Треугольник AED подобен треугольнику AOB,

11

следовательно, Rv

ABvn 1=

∆ или R

vtv

vn 1=∆⋅

∆ (дуга АВ близка к хорде АВ).

Умножив обе части равенства на ν, получим:

Rv

Rvv

tva

tn

tn

21

00limlim ==

∆∆

=→∆→∆

, (1.2)

где R – радиус кривизны траектории в данной точке.

Если точки A и B бесконечно близки друг к другу, тогда AED→90°, так что nvv rr ⊥ и van

rr ⊥ . В общем случае

∫∆+

⋅=→→ tt

tdtav . (1.3)

В зависимости от значений ra и na , можно выделить следующие

типы движения: 1. ra =0, na =0 – равномерное движение; 2. 0≠= constaτ , 0=na – равнопеременное прямолинейное дви-

жение; при этом tavv ⋅±=→→→

τ0 (1.3), тогда

2)()(

2

0tatv

dtt

tdttvts ⋅

±=+

= ∫ . (1.4)

Следует помнить о различии в общем случае изменения пути и коор-

динат(ы): не всегда 0)()( xtxts −= .

3. ra =0, 02

≠== constRvan – равномерное вращение по окружно-

сти, так как R=const. В общем случае ( )tfar = и ( )tfan = . При описании вращательного движения пользуются осевыми или

аксиальными (axse – лат., axis – англ.) векторами (псевдовектора-

ми). Направление их связано с поступательным движением винта,

закручиваемого слева направо вращением тела по окружности (правого

винта). Эти скользящие вектора не имеют строго определенной

12

точки приложения, в отличие от полярных векторов Fpavrrrr ,,, , и

могут быть отложены из любой точки на оси вращения (рис. 1.3):

ϕrd (характеризующий угол поворота), ωr и εr (угловые скорость и

ускорение).

Можно провести сопоставление угловых (при вращательном - εωϕ ,, ) и линейных (при поступательном движении – avs ,, ) величин.

Так, dtd

tt

ϕϕωrr

r=

∆∆

=→∆ 0

lim (рад/с), а dtdωεr

r= (рад/с2) – при равноуско-

ренном вращении вектора εr сонаправлен с вектором ωr , а при равно-

замедленном – противонаправлен.

С учетом равенства rs ⋅∆=∆ ϕ имеют:

ωϕ⋅=

∆∆

⋅=∆∆

=→∆→∆

rt

rtsv

tt 00limlim или векторно

=

→→→ωrv .

νr

dϕ

ω

Odϕ

dωdt >0

εω1ω2

O ε

ω1ω2

O

dωdt <0

Рис. 1.3 Согласно формулам (1.1) и (1.2), получают:

εωωτ ⋅==== r

dtdr

dtrd

dtdva )(

13

и rrvan ⋅== 2

2

ω .

При вращении тела относительно неподвижного начала (точки, оси) все его точки движутся с равными угловыми скоростями

constrv

rv

===2

2

1

1ω , но с различными линейными.

При равномерном вращении его характеризуют периодом T и час-

тотой n вращения. Период – время поворота на угол 2π: ωπ2

=T , а час-

тота – число полных оборотов в единицу времени: πω2

1==

Tn .

Аналогично (см. формулы (1.3) и (1.4), сопоставляя s-ϕ, ω-v, ε-ar) можно получить для равнопеременного вращения по окружности зависи-

мости 2

,2

00ttt ⋅

±=±=εωϕεωω .

ЛЕКЦИЯ 2. ДИНАМИКА ПОСТУПАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ

1. Законы Ньютона, их физическое содержание и взаимосвязь. Силы в природе. 2. Закон сохранения импульса. 3. Центр масс. 4. Движение тела переменной массы. Уравнения К.Э. Циолковского

и И.В. Мещерского 2.1. Законы Ньютона, их физическое содержание и

взаимосвязь. Силы в природе Динамика является основой механики. Уравнения движения (кине-

матика) и условия равновесия тел (статика) могут быть получены из зако-нов динамики И. Ньютона (1643 – 1727гг.), опубликованных им в 1687г. в труде «Математические начала натуральной философии».

Законы Ньютона – это обобщение большого количества эмпири-ческих (опытных) данных. Они являются базой классической динами-ки и обычно рассматриваются совместно.

Первый закон Ньютона: "Всякое тело продолжает удерживаться в своём состоянии покоя или равномерного и прямолинейного движения, по-ка и поскольку оно не понуждается приложенными силами изменить это состояние".

14

I закон Ньютона: если внешние силы отсутствуют или их действие на материальную точку скомпенсировано, то эта точка сохраняет состоя-ние покоя равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока внешнее воздействие не выведет ее из этого состояния.

Свойство тел сохранять скорость называется инерцией. I закон Ньютона называется законом инерции. Он утверждает, что для поддержа-ния равномерного движения не требуется внешних воздействий.

Механическое движение относительно в том смысле, что харак-теристики движения тела зависят от выбора СО. Системы, в которых выполняется закон инерции, называются инерциальными системами от-счета (ИСО). I закон Ньютона утверждает их существование.

С высокой точностью инерциальной является гелиоцентриче-ская (солнечная) СО. Оси могут быть проведены к удаленным звездам. Очевидно, «земные» задачи механики – такие, как полет мяча, столкнове-ние бильярдных шаров, весьма неудобно решать в гелиоцентрической ИСО. Немногим проще описание в СО, связанной с Землей – геоцентриче-ской. Однако чаще мы вынуждены использовать СО, связанную с поверх-ностью Земли. Систему отсчета, связанную с поверхностью Земли, назы-вают земной или лабораторной. Неинерциальные эффекты, связанные с суточным вращением Земли вокруг своей оси и вокруг Солнца, малы, так что ими обычно пренебрегают.

Из опыта известно, что при одинаковых воздействиях разные тела по-разному изменяют характер своего движения, то есть приобретают раз-личные ускорения. Таким образом, ускорение зависит не только от воздей-ствия, но и от свойств тела (массы).

Масса (m) – одна из основных характеристик материи, характеризу-ет инертные свойства тел (mин – инертная масса) и способность тел участ-вовать в тяготении (mгр – гравитационная масса). Их эквивалентность доказана в общей теории относительности (ОТО) Эйнштейна в четырех-мерном пространстве (пространство-время). Различие появляется при пе-реходе к обычному трехмерному пространству (см. лекция 5, п.3.):

1210~ −−

гр

ингр

mmm

.

Для характеристики взаимодействия тел вводят понятие силы. Сила – это векторная величина, являющаяся мерой механического воздей-ствия на тело со стороны других тел или полей, в результате которого тело либо изменяет свою скорость (динамическое проявление силы), либо де-формируется (статическое проявление силы). Единица измерения силы

[ ]Нсмкг

=

⋅

2 (ньютон).

15

Поле – особая форма материи, связывающая частицы вещества или тела в единые системы и передающая с конечной скоростью воздействие тел друг на друга (так называемая «гипотеза близкодействия»).

Второй закон Ньютона: "Изменение количества движения пропор-ционально приложенной движущей силе и происходит по направлению той прямой, по которой эта сила действует".

II закон Ньютона определяет характер изменения движения тела под

действием внешней силы. Он утверждает, что если ∑ ≠→

iiF 0 , то m

Fa→

→

= ,

где ∑→→

=i

iFF – равнодействующая всех сил.

В системе СИ: amF rr= .

II закон Ньютона – основной закон динамики поступательного дви-

жения. Его можно представить в виде: ( )

dtpd

dtvmd

dtvdmF

rrrr=== , так как

в ньютоновской (классической) механике т<<c (с – скорость света в ва-кууме), т.е. constm = . Величина vmp rr = называется импульсом (количе-ством движения) тела.

Третий закон Ньютона: ”Действию всегда есть равное и противопо-ложное противодействие, иначе взаимодействия двух тел друг на друга ме-жду собой равны и направлены в противоположные стороны” : 2112 FF

rr= .

III закон Ньютона позволяет перейти от динамики одного тела к динамике системы тел. Многообразие взаимодействий в системе можно свести к попарным взаимодействиям.

F =mgтяж

N

Fтяги

a

Fтр

XY

Рис. 2.1

В ряде случаев III закон Ньютона не применим, т.к. предполагает «мгновенность» взаимодействия, т.е. не учитывает конечность скорости распространения воздействия одного тела на другое.

16

В механике рассматривают различные силы – трения, упругости, тяго-тения (тяжести). Силы, о которых идет речь в III законе Ньютона, – это все-гда силы одной природы.

Если на тело действуют несколько сил, то каждая из них сообщает телу ускорение. В этом заключается принцип независимости действия сил, поэтому во многих задачах (рис. 2.1) движение может быть разделено покоординатно (II закон Ньютона записывается в проекциях):

OY: 0=− mgN , где g – ускорение свободного падения (g≈9,81 м/с2);

ОХ: maFF тртяги =− , На практике вводится род особых сил – реакция связи (силы натяже-

ния, реакция опоры (N) и т.д.). В этом заключается принцип освобождае-мости тел. Свободными называются тела, перемещению которых ничего не препятствует. В ряде случаев тело можно «освободить», заменив дейст-вия ограничивающих его движение тел спецсимволами – реакциями связи.

Силы трения – силы, препятствующие движению соприкасающихся тел относительно друг друга, которые могут проявляться как в состоянии покоя (равновесия тела) (Fтр.покоя), так и в состоянии движения (Fтр.скольжения, Fтр. качения, Fтр. верчения). Сила трения изменяется от нуля до не-которого максимального значения, которое обычно считают равным си-ле трения скольжения. В результате действия сил трения механическая энергия преобразуется во внутреннюю энергию (теплоту).

Силы трения обусловлены шероховатостью и деформацией по-верхности и силами межмолекулярного взаимодействия. Сила трения скольжения, согласно закону Кулона–Амонтона, равна:

)( 0SpNFтр += µ , где S – площадь соприкосновения; 70 ~ −rp – дополни-

тельное давление, обусловленное силами межмолекулярного взаимодейст-вия, резко убывает с увеличением расстояния (об этом см. подробнее в разделе «Молекулярная физика и термодинамика»); µ – коэффициент тре-

ния скольжения; N – сила реакции опоры, поэтому NFтр µ≈ . Различают внешнее (сухое) и внутреннее (вязкое) трение. Вязкое

трение делится на гидродинамическое (толстый слой смазки) и гранич-ное (тонкий слой смазки, менее 1 мкм).

Коэффициент трения скольжения αµ tg= (безразмерная вели-чина), где α – угол наклона, при котором одно тело съезжает по другому.

Сила трения качения возникает из-за деформации материала перед катящимся телом и из-за разрыва временно образующихся молекулярных связей в месте контакта. Сила трения качения по закону Кулона:

rNF ктр µ= (µк имеет размерность). µµ <<к , но при больших скоро-

17

стях качения, сравнимых со скоростью распространения деформации в сре-де (скорость звука в веществе), сила трения качения резко возрастает.

2.2. Закон сохранения импульса

Совокупность тел, рассматриваемых как единое целое, называется

механической системой. Силы взаимодействия между телами системы называются внутренними. А силы, действующие на тела системы со стороны внешних тел, называются внешними. Замкнутой называется система тел, на которую не действуют внешние силы.

Пусть равнодействующая внешних сил, действующих на i-е тело,

равна →

iF , а внутренних сил – →

/iF . Тогда для каждого из тел системы может

быть записан II закон Ньютона: →→

→

+= /ii

ii FF

dtvd

m. (2.1)

Просуммировав по всем телам системы, получают: →

→→

== Fdt

pddt

vdm , (где →

p – импульс системы; →

F – совокупная внешняя

сила), так как 0/ =∑→

iiF согласно III закону Ньютона.

Для замкнутой системы constpF =⇒=→

,0 . В этом содержание закона сохранения импульса – фундаментального закона природы. Он является следствием однородности пространства, которое заключается в том, что при параллельном переносе физической системы на любое рас-стояние ее физические свойства и законы движения не меняются.

2.3. Центр масс В классической механике из-за независимости массы от скорости,

импульс системы может быть выражен через скорость ее центра масс (центра инерции).

Центром масс системы называется воображаемая точка С, положе-ние которой характеризует распределение массы в системе. Её радиус-

вектор определяется: ∑∑

→

→

=

ii

iii

C m

rmr , что эквивалентно

∑∑

=

ii

iii

C m

xmX ,

18

∑∑

=

ii

iii

C m

ymY ,

∑∑

=

ii

iii

C m

zmZ (для твердого тела – непрерывное распределение

массы – необходимо брать интеграл по объему m

dmrR V

C

∫→

→

= ).

1

2С

С1

С2

Рис. 2.2

Центр масс сложного тела не обязательно лежит внутри тела (системы тел), но он всегда находится внутри многогранника, полу-чаемого при соединении крайних точек тела (системы).

Если тело состоит, например, из двух частей (рис. 2.2), то центр масс лежит на линии, соединяющей центры масс его частей, т.е. можно найти центр масс 1-й и 2-й частей, а затем определить положение центра масс сис-темы на этой линии как для двух материальных точек, находящихся в точках С1 и С2 и обладающих всей массой этих частей m1 и m2 соответственно.

Пример расчета для системы материальных точек. Пусть даны три материальные точки массы m, жестко скрепленные между собой неве-сомыми стержнями длины d (рис. 2.3). Определить координаты центра (масс) инерции системы.

X

Y

O

m

mm

d d

d/2

30°

d/2

С

Рис. 2.3

19

Расположим оси, как показано на рис. 2.3, тогда

232/0 dm

mdmdmX C =⋅+⋅+⋅

= , dm

mdmmYC 63

330cos00

=⋅+⋅+⋅

=o

.

Если однородное тело обладает центром, осью или плоскостью симметрии, то центр масс находится соответственно в центре симмет-рии, на оси или в плоскости симметрии.

Скорость центра масс равна: mp

mdtdrm

dtrdv

ii

i

ii

CC

→

→

→→

===∑

∑. Тогда, запи-

сывая II закон Ньютона для системы тел аналогично формуле (2.1), полу-

чаем, что изменение импульса системы равно: dtFpd→→

= . Таким образом, центр масс замкнутой системы либо покоится, либо движется прямо-линейно и равномерно. Если центр масс покоится, то система либо пол-ностью покоится, либо участвует во вращательном движении относи-тельно оси, проходящей через ее центр масс.

2.4. Движение тела переменной массы.

Уравнения К.Э. Циолковского и И.В. Мещерского В некоторых случаях движение тел сопровождается изменением их

массы. Рассмотрим движение системы ракеты и газа (рис. 2.4). Если в мо-мент времени t масса ракеты m, а скорость vr , то спустя время dt (m–dm) – масса уменьшается, а скорость увеличивается (vr + vdr ).

u

v

Рис. 2.4

20

Изменение импульса ракеты (пренебрегаем малым vdmd r ):

( ) =++= uvdmpdpd ракетыrrrr

[ ] =−+++−= vmuvdmvdvdmm rrrrr )())(( dtFudmvmdrrr =+= , (2.2)

где →

F – внешняя сила. Тогда окончание уравнения (2.2) можно переписать в виде:

pm FFQuFdtdmuF

dtvdm

rrrrrrr−=−=−= , (2.3)

где Qm– расход топлива,

pFr

– реактивная сила. Уравнение (2.3), полученное в 1897г., называется уравнением

И.В. Мещерского (1859–1935). Если на ракету внешние силы не действуют, то из уравнения (2.3) следует

,max

mdmudv

dtdmu

dtvdm mqx −=⇒= rr

∫ +−=−= constmum

dmuv lnmax .

Константа интегрирования С1 определяется из начальных условий (при t=0 н.у.): 0,0)0()( mmvtv === , следовательно, С1=ulnm0, тогда

топливасгоревшегоmmmu

mmuv

_lnln

0

00max −

== . (2.4)

Релятивистская форма в пределе, переходящая в уравнение (2.4), имеет вид:

uc

mm 2

0

11

−+

=ββ

, (2.5) где β=ν/с, здесь с – скорость света в вакууме.

Уравнения (2.4) и (2.5) называются уравнениями К.Э. Циолков-ского (1857–1935).

Формулы (2.4) и (2.5) получены при условии отсутствия действия на ракету внешних сил (тяготения), но даже при этом условии анализ уравне-ний (2.3) и (2.4) показывает, что для ракет на химическом топливе (при скорости струи газа u~10 км/с) для достижения космических скоростей (см. лекции далее) отношение масс m0/m должно быть очень велико. На-пример, для достижения скорости ν≈0,5с требуется m0>2⋅103332 кг при по-

21

лезной массе m=20 тонн (т). Для сравнения: масса Метагалактики (дос-тупной обнаружению современными методами радиоастрономии части Вселенной) по приблизительным оценкам М≈1053 кг.

ЛЕКЦИЯ 3. РАБОТА И МЕХАНИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ

1. Работа силы, мощность. 2. Механическая (кинетическая и потенциальная) энергия. Закон сохранения механической энергии. Графическое представление энергии. Коэффициент полезного действия (КПД). 3. Теория удара.

3.1. Работа силы, мощность В качестве единой количественной меры различных форм движения

материи и соответствующих им взаимодействий в физике вводится ска-лярная величина – энергия.

В механике рассматривают механическую энергию (энергию ме-ханического движения и механических взаимодействий). Для количе-ственного описания обмена энергии между телами используют понятие работа силы. Элементарной работой δA силы F

rна малом перемещении

rdr точки О приложения силы называется скалярное произведение:

αδ cos(*)

FdsdtvFrdFA ===→→→→

, (3.1)

где r – радиус-вектор точки О; vr – ее скорость; dt – малый промежуток времени, в течение которого сила F

r совер-

шает работу δA; α – угол между направлением действия силы F

rи направлением пе-

ремещения rdr (или vr ). Если угол α–острый, то δA>0 и сила ускоряющая, если угол α–

тупой, то δA<0 и сила тормозящая (трения, например). Переход (*) в уравнение (3.1) справедлив в силу равенства dsrddtt =⇒→=∆ r0 . Из

уравнения (3.1) следует, что сила не совершает работу, если точка при-ложения силы неподвижна ( 0=rdr ) и если сила направлена перпенди-

кулярно (по нормали) к траектории ( vF rr⊥ ).

22

Таким образом, работа силы на участке траекторий от точки 1 до точки 2 равна алгебраической сумме элементарных работ на отдельных, бесконечно малых участках:

∫∫ ==→→ 2

1

2

1cos)( dssFdrFAsF43421α . (3.2)

Геометрически работа – это площадь под кривой (рис. 3.1).

FS

SdS

δA

Рис. 3.1

Если constF =r

, то ∫ ==2

1cosαFsdsFA s . Сила называется по-

тенциальной (консервативной), если ее работа зависит только от на-чального и конечного положений тела и не зависит от формы ее тра-ектории. Для таких сил интеграл по замкнутому контуру L равен

0== ∫→→

LdrFA . Для диссипативных сил работа зависит от формы тра-

ектории при перемещении тела (сила трения). Чтобы охарактеризовать скорость совершения работы, вводят поня-

тие мощности dtdAN = . За время dt сила F

r совершает работу( rdFA rr

=δ ) и

мощность силы в данный момент (мгновенная мощность) равна →→

→→

== vFdt

rdFN . Единицы измерения: [A]=Дж; [N]=Ватт – Вт.

3.2. Механическая (кинетическая и потенциальная) энергия. Закон сохранения механической энергии. Графическое представление энергии. Коэффициент

полезного действия (КПД) Кинетическая энергия (КЭ) системы – это энергия механического

движения этой системы. Сила Fr

, действующая на покоящееся тело и вы-зывающая его движение, совершает работу; энергия движущегося тела возрастает на величину затраченной работы. Таким образом, работа dA си-

23

лы на пути, который тело проходит от нулевой скорости до скорости vr , идет на увеличение КЭ тела Т:

∫ ==⇒==⋅===→→→ v mvmvdvTmvdvdvvmdr

dtvdmrdFdTdA

0

2

2

rrr

. (3.3)

Кинетическая энергия Т является функцией состояния движе-ния тела. Поскольку скорость vr зависит от выбора СО, КЭ тела в раз-личных инерциальных системах отсчета (ИСО) имеет разные значения, определяемые согласно теореме Кёнига: КЭ системы материальных то-чек равна сумме КЭ всей массы системы, мысленно сосредоточенной в ее центре масс и движущейся вместе с ним, и КЭ той же системы в ее относи-тельном движении по отношению к поступательно движущейся системе координат с началом в центре масс.

Потенциальная энергия (ПЭ) – это механическая энергия систе-мы тел, определяемая их взаимным расположением и характером сил взаимодействия между ними.

Телу присуща потенциальная энергия U, если оно находится в поле потенциальных (консервативных) сил. Работа консервативных сил на элементарном перемещении равна приращению энергии U, взятому со знаком «–», так как работа совершается за счет убыли потенциальной энергии (зная U=f(r), можно определить модуль и направление силы F):

rdFdUdA rr=−= , (3.4)

тогда ∫ +−=→→

constrdFU , т.е. энергия U определяется с точностью до не-которой произвольной постоянной, но это не влияет на физические законы, так как в них, обычно, входят или разность энергий, или их про-изводные по координатам. Нулевой уровень ПЭ выбирается произвольно из соображений удобства, поэтому может быть как больше, так и меньше нуля. Согласно уравнению (3.4) для консервативных сил можно записать:

→→→∇−=−=⇒

∂∂

−=∂∂

−=∂∂

−= UgradUFzUF

yUF

xUF zyx ;;; , (3.5)

где →→→→

∂∂

+∂∂

+∂∂

= kzUj

yUi

xUgradU – градиент скаляра U, обозначается

→∇U (набла) и называется оператором Гамильтона или набла-оператором;

kjirrr

,, – единичные векторы координатных осей (орты). Конкретный вид функции U=f(r) зависит от характера силового

поля. Так, тело, находящееся на высоте h<<RЗемли от поверхности земли в поле сил тяготения, обладает потенциальной энергией:

24

, 1)(

1 2

2

mghhR

GMmRRh

GmM

drr

mMFdr

Земли

Земли

ЗемлиЗемлиЗемли

hЗемлиR

ЗемлиR

hЗемлиR

ЗемлиR

Земликонсервтяготен

U

GAU

=≈=

−

+−=

===−=∆ ∫ ∫+ +

(3.6)

где консервтяготА - работа консервативных сил тяготения. Энергия же сил тяготения отрицательна:

constr

MmGrU +−=)( . (3.6')

Подобно выражению (3.6) находится работа переменной силы тяже-сти при удалении ракеты на расстояние h от центра Земли, сравнимое по ве-личине с RЗемли, с учетом того, что сила и перемещение противонаправлены.

Аналогично, при упругих деформациях, деформирующая сила по III закону Ньютона равна по величине упругой силе kx. Элементарная ра-

бота: dA=kxdx, а полная работа ⇒== ∫x kxkxdxA0

2

2 ПЭ упруго–

деформированного тела

2

2kxU = . (3.7)

Потенциальная энергия системы является функцией ее состоя-ния. Она зависит только от взаимного расположения тел (конфигура-ции) системы и от ее положения по отношению к внешним телам.

Полная энергия тела складывается из его кинетической и потенци-альной энергий: E=T+U.

Рассмотрим систему материальных точек массами m1,…,mn, движу-щихся со скоростями nvv rr ,...,1 . Обозначим равнодействующие внутренних

консервативных сил nFFrr

,...,1 , а внешних консервативных сил – →→

//1 ,..., nFF ;

внешние неконсервативные силы обозначим →→

nff ,...,1 . При v<<c массы тел не меняются и уравнения II закона Ньютона

имеют следующий вид:

25

++=

++=

→→→→

→→→→

.

................................

,

/

1/

111

1

nnnn

n fFFdt

dvm

fFFdtdvm

(3.8)

Двигаясь под действием сил, материальные точки за время dt пере-

мещаются на расстояние →→

ndrdr ,...,1 . Умножим уравнения (3.8) на соответ-ствующие перемещения (для i-го случая):

→→→→→→→

=+− iiiiiii

i drfdrFFdrdtdvm )( / . (3.9)

Сложим уравнения (3.9) с учетом →→

= ii vdtdr / и (3.3), (3.4):

∑∑∑→→→→→

→→

=+−i

iii

iiii

iii drfdrFFdvvm )( /

или неконсdAdUdT 12=+ . (3.10)

Переход системы из состояния 1 в состояние 2. (3.10) – закон изме-нения механической энергии.

Если внешние неконсервативные силы отсутствуют, то

E=T+U=const. (3.11)

Формула (3.11) – закон сохранения механической энергии: в системе тел, на которые действуют только консервативные силы, полная меха-ническая энергия сохраняется, то есть не изменяется со временем (нет ее диссипации, т.е. рассеяния).

При этом может возникнуть вопрос: "А как же быть с внешними консервативными силами?" Ответ: "Если внешние консервативные силы нескомпенсированы, то в систему включают тела, воздействующие этими силами, т.е. такие силы можно сделать «внутренними»".

Закон сохранения энергии является следствием фундаментального свойства времени – однородности. Однородность времени заключается в том, что физические законы инвариантны относительно выбора нача-ла отсчета времени.

Во многих случаях потенциальная энергия является функцией толь-ко одной координаты U=U(x). График зависимости U от какого-то одного аргумента называется потенциальной кривой.

26

U

h

E

UT

α

Рис. 3.2

Анализ потенциальных кривых позволяет определить характер

движения тела. Особый случай представляют консервативные и замк-нутые системы, в которых

E=U+T=const. Например, на рис. 3.2 приведено графическое представление

потенциальной энергии тела в поле сил тяготения, с учетом уравнения (3.6) тангенс угла наклона зависит от массы тела: tgα=mg.

Для ПЭ (рис. 3.3) сжатой пружины функция U(x) имеет вид парабо-лы В точках ± xm – ПЭ достигает максимума (КЭ Т=0). Система не может выйти за пределы ± xm; говорят, что она находится в потенциальной яме. В общем случае функция U(x) может иметь сложный график (см., на-пример, рис. 3.4).

-xm xm+

EU

x0

Рис. 3.3

Частица, обладая энергией E, как показано на рисунке, может нахо-диться только в областях II и IV. Перейти из области II в область IV части-ца не может: область III является потенциальным барьером, для преодо-ления которого частице надо сообщить дополнительную энергию (U1-E). В точке минимума производная dU/dx=0, т. е. в этой точке находится по-ложение равновесия.

27

Коэффициентом полезного действия (КПД) называется отношение полезной (для какой-то практической цели) совершенной работы (энер-гии) ко всей работе, совершенной системой (к поступившей в систему энергии):

соверш

полезн

соверш

полезн

ЕЕ

АA

==η . (3.12)

EU1

U

xI IIIII VI

Рис. 3. 4

3.3. Теория удара Удар абсолютно упругих и неупругих тел является ярким приме-

ром выполнения законов сохранения импульса и энергии. Под ударом (столкновением) в физике понимают взаимодействие тел при их сближе-нии, которое длится очень короткое время, и условии, что на достаточно большом расстоянии тела можно рассматривать как свободные.

В механике рассматривают удары, предполагающие контакт между телами (удары бильярдных шаров, метеорита о землю, попадание пули в тележку с песком). Ударные Fудар dp/dt=∆p/∆t (или мгновенные (∆t∼мкс)) силы взаимодействия между соударяющимися телами столь велики, что внешними силами можно пренебречь и считать для таких систем законы сохранения импульса и энергии выполненными. Тела во время удара ис-пытывают деформации (упругие или неупругие). КЭ тел во время удара преобразуется в ПЭ упругого соударения, а затем частично или полностью вновь переходит в КЭ. Плоскость контакта называется плоскостью удара, а прямую, ей перпендикулярную и пересекающую ее в точке соприкосно-вения, называют линией удара. Если линия удара параллельна скоро-стям сталкивающихся тел, удар называется прямым; если эта линия проходит через центры сталкивающихся тел, удар называют централь-ным. Скорость тел не достигает своего прежнего значения после удара.

Отношение нормальных составляющих скорости после и до удара

называют коэффициентом восстановления (скорости): nvnv/=ε . Если ε=0 – абсолютно неупругий удар (АНУ), ε=1 – абсолютно упругий удар

28

(АУУ). Для шаров из слоновой кости коэффициент ε=0,89, из стали – ε=0,56, а для свинцовых – ε=0,01 т.е. для реальных тел 0<ε<1.

Рассмотрим применение законов сохранения для прямого централь-ного удара двух шаров.

ν1

x

ν2

Рис. 3.5

Абсолютно упругий удар (АУУ). Пусть 1vr и 2vr – скорости тел до, а

1'v и 2'v – после удара (рис. 3.5). В случае, если скорость 2vr направлена навстречу 1vr , в формулах ниже учитывают, что проекция скорости 2vr бу-дет равна 2v и все рассуждения остаются верными.

Для АУУ выполняются законы сохранения импульса (так как импульс – векторная величина, то записан в проекции на ось Ох) и энергии:

22112211 vmvmvmvm ′+′=+ . (3.13)

( ) ( )

2'

2'

22

222

211

222

211 vmvmvmvm

+=+ , (3.14)

откуда

( ) ( ) 221122

222

21

211

222111

)'()'(

)()(vvvv

vvmvvm

vvmvvm+′=′+⇒

−=−

−′=′− (3.15)

Выражая одну из скоростей ((3.13), (3.15))

2

121

2

1

2

1122112 m

mvvmm

mvmvmvmv −+=′−+

=′ , 2112 '' vvvv −+= и приравни-

вая их 2

121

2

1211 m

mvvmmvvv −+=−′+ , группируем

−+=

+′ 121

2

112

2

11 m

mvvmmv ,

откуда получаем

29

)(2

1

12

12

21122

2

1

2

112

1 mmmmvvm

mmmmvv

v+

−+=

+

−+

=′ ,

.)(2 21

122112 mm

mmvvmv+

−+=′ (3.16)

При анализе упругих столкновений удобно один из шаров представ-

лять покоящимся (относительно шара m2 скорость →→→

−= 21/1 vvv ).

Рассмотрим частный случай: АУУ – прямой центральный (лобо-

вой) удар при ν2=0. Тогда из формулы (3.16) )(

12

2111 mm

mmvv+−

=′ и

21

112

2mmvmv

+=′ получают:

а) m1=m2, тогда 12,01 vvv =′=′ (как бы «передача скорости»); б) m1>m2, тогда 02,01 >′>′ vv (оба мяча движутся в направлении ско-

рости первого мяча до удара); в) m1<m2, тогда 02,01 >′<′ vv (первый мяч отскочит от второго); г) m1<<m2, тогда 02,11 ≈′≈′ vvv (мячик отскочит от стены, см. рис.

3.6, мячастеныстены ppmvmp 2111 =⇒=− )

ν1

xν1/

Рис. 3.6

Рассмотрим частный случай: АУУ – непрямой нецентральный

удар при ν2=0 и m1<<m2 (мяч ударяется о стенку, см. рис. 3.7). Для опре-деления импульса, переданного стене, воспользуемся результатами пункта г) решения предыдущего примера с учетом проекций импульса на ось Ох. В данном случае:

30

αcos22 11)()( vmрр OxмячаOxстены == . Равенство углов падения и отражения в рассматриваемом случае

следует из закона сохранения механической энергии при АУУ.

ν1

x

ν1/

αα

Рис. 3.7 В случае нецентрального удара частицы разлетаются под углом,

причем угол, на который изменяется направление скорости налетающей частицы, называется углом рассеяния.

При m1=m2 угол рассеяния – прямой, при m1<m2 угол рассеяния лю-бой (даже рассеяние назад), при m1>m2 тяжелая частица не может откло-

ниться на угол, превышающий 1

2arcsinmm

=ϕ .

Рассмотрим частный случай: АУУ – прямой нецентральный удар при ν2=0 и m1=m2=m (шары в бильярде, см. рис. 3.7).

Из формул (3.13) и (3.14) имеем: αβ coscos 211 vvv ′+′= и

( ) ( )22

2

121

′+′= vvv (*), из треугольника скоростей (рис. 3.8) по теореме коси-нусов:

( ) ( ) [ ])(180cos2 21

(*)

2

2

2

121 βα +−′′+′+′= o

44 344 21vvvvv ,

откуда с учетом (*) ⇒ ′′212 vv cos[180°-(α+β)]=0, ⇒ cos[180°-(α+β)]=0 и

α+β=90°, т.е. при прямом нецентральном ударе бильярдные шары разле-тятся под прямым углом.

31

ν1x

ν1/

ν2/

βα

Рис. 3.8 Абсолютно неупругий удар (АНУ). В этом случае тела объединяют-

ся и двигаются как одно целое. Потеря механической энергии при неуп-ругом ударе происходит потому, что в этом случае помимо сил, пропор-циональных деформациям, действуют силы, пропорциональные скорости – подобные силам сопротивления. При АНУ выполняется закон сохране-ния импульса и рассеивается часть КЭ ∆T:

Ummvmvm )( 212211 +=+ ,

TUmmvmvm∆+

+=+

2)(

22

221

222

211 . (3.17)

Тогда 21

211

mmvmvmU

++

= и

221

21

21222

211

221 )(

)(2

)(

222)( vv

mmmmUvmvmUmmT −+

=

+−

+=∆ .

Рассмотрим частный случай АНУ: молот(ок) m1 забивает сваю (гвоздь) m2, т.е. ν2=0, тогда

21

11

mmvmU+

= и 121

221

21

21

)()(2T

mmmv

mmmmT ⋅

+=

+=∆ ,

а для удара

)( 21

2

1 mmm

TT

+=

∆=η .

Чем больше величина m1 по сравнению с m2, тем больше КЭ ∆T и, следовательно, КПД – η.

32

ЛЕКЦИЯ 4. ДИНАМИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ

1. Момент инерции материальной точки и твердого тела (ТТ). Теорема Гюйгенса-Штейнера. 2. Момент силы и момент импульса относительно неподвижного начала. Основной закон динамики вращательного движения. Закон изменения момента импульса. Кинетическая энергия вращения. 3. Гироскоп. 4. Законы сохранения и симметрия пространства-времени.

4.1. Момент инерции материальной точки и твердого тела. Теорема Гюйгенса-Штейнера

Движение твердого тела (ТТ), при котором все точки прямой OO/,

жестко связанной с телом, остаются неподвижными, называется вращени-ем тела вокруг неподвижной оси вращения OO/.

При рассмотрении вращательного движения пользуются понятием момента инерции материальной точки и ТТ, являющимся наряду с массой мерой инертности тела, но при непоступательном (вращательном) движении. С точки зрения инерции важна не только масса, но и расстоя-ние ее от оси вращения.

Моментом инерции материальной точки I относительно заданной оси называется физическая скалярная величина, равная произведению мас-сы m на квадрат ее расстояния 2r до оси:

2mrI = ; (4.1) для системы материальных точек:

∑=i

iirmI 2. (4.2)

Момент инерции тела относительно какой-либо оси можно опреде-лить расчетом или экспериментально. В случае непрерывного распреде-ления вещества (массы) в теле (ТТ) расчет сводится к вычислению инте-грала по всему его объему V (массе) (мысленно разбиваем обычно одно-родное тело на материальные точки dm):

dmrIV∫= 2

. (4.3)

Аналитическое вычисление интегралов возможно лишь в простей-ших случаях – для тел правильной геометрической формы (цилиндр (стер-

33

жень, кольцо, диск), параллелепипед, шар и т.д.), для тел неправильной формы интегралы находятся численно.

Вычисление моментов инерции во многих случаях можно упро-стить, используя соображения подобия и симметрии, а также теорему Гюйгенса-Штейнера (Х.Гюйгенс (1629–1699), Я. Штейнер (1796–1863)) и ряд некоторых соотношений.

rr /

a

dm

O A

Рис. 4.1

Найдем связь между моментами инерции тела относительно двух неподвижных параллельных осей. Пусть оси перпендикулярны плоскости рисунка и проходят соответственно через точки О и А (все точки находятся в плоскости рис. 4.1). Используя теорему косинусов для данного треуголь-ника, получают:

)(2)( 222/→→

−+= raarr , тогда интеграл (4.3) примет вид

−+= ∫∫∫∫

→→dmradmadmrdmr

OIAI

2)( 222/

32143421 .

Последнее слагаемое можно представить в виде CRmdmr→→

=∫ , где

CRr

– составляющая радиуса-вектора центра масс С тела относительно оси О, параллельная плоскости рисунка. Здесь следует вспомнить, что

∑

∑→

→=

ii

iii

C m

rmr для дискретного распределения массы, т.е. в системе матери-

альных точек (см. лекцию 2, п. 2.3), а в случае непрерывного распределе-

ния массы mdmr

RC∫→

→= . Таким образом, )(22

COA RammaII→→

−+= . Ес-

ли же ось О проходит через центр масс тела, то третье слагаемое в правой части равно нулю и получают уравнение, которое выражает теорему Гюйгенса-Штейнера: момент инерции тела относительно какой-либо

34

оси равен моменту инерции его относительно параллельной оси, проходя-щей через его центр масс С, сложенному с величиной ma2, где а – рас-стояние между осями, m – масса тела.:

2maII OA += , (4.4)

Далее вычисляют моменты инерции некоторых тел правильной фор-мы.

1. Тонкий однородный стержень (длина l, масса m, ⇒ линейная плотность τ=m/l=const): а) ось вращения ОО/ проходит перпендикулярно стержню через его центр масс С (рис. 4.2).

Cl/2 l/2

O

O

/

A

A/

dm

Рис. 4.2

В силу симметрии получают:

121222

22/

0

32

2/

0

2 mlldrrdmrIll

=⋅

=⋅⋅== ∫∫ττ ; (4.5)

б) ось вращения АА/ проходит перпендикулярно стержню через его конец. По теореме Гюйгенса-Штейнера (4.4) получают:

3212

222 mllmmlI =

⋅+=

. (4.6)

2. Однородные прямоугольная пластина и параллелепипед (ли-нейные размеры a, b, c, масса m). Согласно теореме Пифагора и формулы (4.1) для точки m (рис. 4.3) имеют:

)( 22 zymxI += , )( 22 zxmyI += , )( 22 yxmzI += ,

тогда их сумма равна:

2222 2)(2 mRzyxmzIyIxI =++=++ .

35

X

Z

Y

RO

m(x,y,z)

Рис. 4.3 Можно увидеть, что если рассматривать любые три взаимно перпенди-

кулярные оси, пересекающиеся в точке О, то моменты инерции Ix, Iy, Iz будут меняться, а их сумма останется постоянной. Обозначив в случае дискретного распределения масс (система материальных точек) ∑=Φ

iii Rm 2 или для не-

прерывного распределения масс (в твердом теле) ∫=Φ dmR2, можно запи-

сать, что

Φ=++ 2zyx III . (4.7) На основании вышеизложенного имеем: а) если дана тонкая прямоугольная пластина, то можно считать, что

вещество распределено тонким слоем по плоскости XOY, т.е. z-координаты всех точек ≈0. Тогда формула (4.7) примет вид

zIyxmzIyIxI 2)(2 22 =+=++ , (4.8)

следовательно

zIyIxI =+ .

b

a

X

Y

C

Рис. 4.4

36

Так как дана тонкая однородная прямоугольная пластина, то пред-ставляют, что все вещество смещено (направление смещения обозначено стрелками на рис. 4.4) параллельно оси ОХ и сконцентрировано на оси ОY. При этом расстояния всех материальных точек до оси ОХ не изменятся. В результате получают тонкий однородный стержень массы m и длины b (случай 1, а), а с учетом формул (4.5) и (4.8):

12

2mbxI = (аналогично 12

2mayI = ) ⇒ )(

1222 bam

zI += . (4.9)

На рис. 4.4 ось OZ проходит через точку С и ⊥ плоскости XOY – плоскости рисунка;

б) формула (4.9) справедлива и для однородного прямоугольного па-раллелепипеда. В этом можно убедиться, если мысленно сжать параллеле-пипед вдоль одной из его геометрических осей в тонкую пластинку. При этом масса его и расстояния всех точек до этой оси не изменятся.

3. Однородное тонкое круглое кольцо (масса m, радиус R,). В силу симметрии очевидно (рис. 4.5), что

2mRzI = , (4.10)

а с учетом формулы (4.8) в силу симметрии

2

2mRyIxI == . (4.11)

Z

YX

C RZ

drh

R

Рис. 4.5 Рис. 4.6

4. Однородный диск или сплошной цилиндр (масса m, радиус R,

объемом V). Начало координат (пересечение) трех взаимно перпендику-лярных осей располагают в центре масс цилиндра (можно аналогично случаю 2, а) сместить все вещество вдоль оси ОZ, т.е. получить тонкий диск малой толщины h/, плотности ρ=m/V′, V′=π⋅R2 h′ – объем после смещения, см. рис. 4.6), для которого

37

22)()2(

222

0

2

0

2 mRRhRrdrhrdmrzIRR

=⋅⋅

=⋅⋅⋅== ∫∫ρππρ . (4.12)

Согласно уравнению (4.8) имеют:

4

2mRyIxI == . (4.13)

C

X

Y

Z

R

Рис. 4.7

5. Полый шар с бесконечно тонкими однородными стенками (сфера массы m, радиуса R). Расположим начало координат (пересече-ние) трех взаимно перпендикулярных осей в центре сферы, в ее центре масс С (рис. 4.7), тогда в силу симметрии и формулы (4.7):

2

32 mRIzIyIxI ==== . (4.14)

6. Сплошной однородный шар (масса m, радиус R, объем V). Рас-положим начало координат (пересечение) трех взаимно перпендикулярных осей в центре шара и рассмотрим шар как совокупность тонких сфер. Мо-мент инерции такого тонкого сферического слоя по формуле (4.14) будет иметь вид:

drRmr

R

drrmrVсфdV

mrсфdmrdI 3

4

3

2222 2

34

432

32

32

=⋅

⋅===

π

π,

тогда момент инерции шара:

∫ ==R

mRdrRmrI

0

23

4

522

. (4.15)

38

В некоторых задачах используется понятие момента инерции отно-сительно точки. Поскольку ориентация различных элементов тела (ТТ) от-носительно его произвольной точки должна задаваться тремя координатами, то его инертность должна характеризоваться набором 9 чисел – тензором инерции (в математике используются скаляры – одно число, векторы – трой-ки чисел и тензоры – запись их представляет собой матрицу III порядка).

4.2. Момент силы и момент импульса относительно неподвижного начала.

Основной закон динамики вращательного движения. Закон изменения момента импульса. Кинетическая энергия

вращения (см. также лекцию 1, п.1)

Вращение является составляющей большинства рассматривае-мых в механике движений. Каждый день мы являемся свидетелями вели-кого космического вращения. Данные последних теоретических исследо-ваний говорят, что всё вокруг и мы сами по свойствам напоминаем вра-щающиеся с большой частотой поля.

Динамические характеристики – момент силы и момент импуль-са, используемые при описании вращательного движения, играют в тео-рии вращательного движения такую же большую роль, какую сила и импульс играют в динамике поступательного движения.

Рис. 4.8

Известно, что передвинуть массивный предмет (например, ящик) вручную тяжело, гораздо легче передвинуть его с помощью длинной пал-ки, трубы (лома), т.е. перекантовать с помощью рычага, причем, чем длин-ней этот рычаг, тем легче это сделать (прикладывается меньшая сила при большей длине рычага (см. рис. 4.8)). Вспомним знаменитое изречение Архимеда (ок. 286–212 гг. до н.э.): «Дайте мне точку опоры (и рычаг) и я переверну Землю».

39

Другой пример – взвешивание предметов на весах (см. рис. 4.9): при равных плечах (силы) весов li перевесит тот груз, масса которого mi боль-ше, а если массы грузов равны, то перевесит груз, для которого плечо силы li больше.

l1

m g1 m g2

l2

Рис. 4.9 Следует различать момент силы и момент импульса относительно

точки и относительно оси, в первом случае – это вектора, а во втором – проекции векторов (скаляры).

Рис. 4.10

Пусть дана точка О (полюс), относительно которой находится мо-мент силы. Моментом силы F

r относительно точки О называется век-

торное произведение (вектор) радиуса-вектора rr , проведенного из точки О в точку А приложения силы на векторF

r:

[ ]FrMrrr

= (4.16) Модуль момента силы:

FlrFM == αsin , (4.17) где l=rsinα – кратчайшее расстояние до линии АВ действия силы (рис.4.10), называемое плечом силы l.

При этом вектор Mrне изменится, если точку приложения силы F

rпе-

ренести в любую другую точку, расположенную на линии действия силы,

40

например в точку А/. При этом параллелограмм ОАВС перейдет в параллело-грамм ОА/В/С. Оба параллелограмма имеют одинаковые основание и высоту, а следовательно, и площадь.

В отличие от полярных векторов Fраrrrr ,,,ν (именно их изучают в

школе), вектора, характеризующие вращательное движение →→→→→LMd ,,,, εωϕ , не имеют конкретной точки приложения (см. также лекция

1, п.1), их называют скользящими. Так, вектор Mrможно откладывать от

любой точки параллельно одному из направлений, полученному в резуль-тате векторного произведения (по свойствам векторного произведения Mrперпендикулярно плоскости, в которой лежат два перемножаемых век-

тора – →→→→

⊥⊥ FMrM , ), направление вектора Mrсовпадает с направлением

поступательного движения правого винта при его вращении от вектора rr к Fr

(в математике термин – «левая тройка»). Главным моментом M

rнескольких внешних сил, действующих на

систему, относительно точки О называется сумма моментов их относи-тельно этой точки (принцип независимости действия сил):

=

==

→→→→→→

∑∑ результирi

ii

i FrFrMM , (4.18)

где силы iFr

считают приложенными к одной точке О, что можно получить путем параллельного переноса векторов iF

r (часто в механике для удобства

при решении задач силы рассматривают как приложенные к центру масс тела, хотя это не для всех сил так, пример – сила трения трF

r приложена к

поверхности тела). При вращении ТТ (системы материальных точек) необходимо

учитывать только внешние силы, так как внутренние силы взаимодей-ствия двух любых элементов ТТ (системы) всегда равны по модулю (вели-чине) и противонаправлены вдоль одной прямой (их векторная (геометри-ческая) сумма равна нулю).

Моментом силы относительно некоторой оси OZ (рис. 4.10) назы-вается скаляр – проекция вектора M

r на эту ось (Mz).

Ось, положение которой в пространстве остается неизменным при вращении вокруг нее тела в отсутствии внешних сил, называется свобод-ной осью тела. Можно показать, что для тела любой формы и с произ-вольным распределением массы существуют три взаимно перпендику-

41

лярные, проходящие через центр инерции (масс) тела, оси, которые мо-гут служить свободными осями – они называются главными осями инерции тела (пример: вращение детского волчка или юлы произвольной формы). Моменты инерции относительно главных осей называются глав-ными моментами инерции.

Аналогично вышесказанному можно определить момент импульса от-носительно точки (вектор L

r) и относительно оси (проекция вектора Lz):

=

=

→→→→→vrmprL , (4.19)

где νrr mp = – импульс (материальной) точки А, рr . Важно отметить, что моментом импульса относительно точки может обладать и тело, движу-щееся поступательно (достаточно наличие импульса и плеча). Тело, обла-дающее импульсом, может не обладать моментом импульса относительно одних точек (в отсутствие плеча) и обладать относительно других.

Единицы измерения [М]=Н⋅м (не путать с [А]=Дж=Н⋅м), а

[ ]смкгL

2⋅= .

В общем случае →→

// vF bb (неколлинеарна) и νrr mp = , т.е. и →→

// LM bb , но если полюс (точка) О неподвижен, то импульс рr точки А сонаправлен с ее скоростью ( )'trrr

=ν , тогда:

=

=

→→→→→

dtdprFrM ,

т.к. dt

dprdtdpr

vvmpv

pdtdrpr

dtd

tpr

tL

→→

→→

→→

→→→→→=+

=→→

=→→

=

=

=

0

//

,

то есть получают основное уравнение динамики вращательного движения: →

→

= MdtdL . (4.20)

Этот закон остается справедливым и для системы материальных то-чек, в этом случае

42

∑→→

=i

iLL и ∑→→

=i

iMM . (4.21)

Особенность вращения ТТ, по сравнению с системой несвязанных друг с другом материальных точек, заключается в том, что при вращении ТТ вокруг неподвижной оси все его элементы движутся по окружностям, причем угловая скорость вращения ωr для них одинакова (а линейная раз-личная). Поэтому естественным будет выразить вектор L

r через скорость ωr .

O

O/

CCr r

r1 i

2

∆m ∆mi

∆m2

Рис. 4.11.

Разобьем ТТ (рис. 4.11), вращающееся относительно оси ОО/, на эле-менты (материальные точки). Момент импульса каждого элемента

∆=∆

→→→

iiii vmrL .

С учетом равенства

=

→→→ωrv (см. лекция 1, п.1)

∆=

∆=∆

→→→→

→→→→

iiiiiii rrmrmrL ωω .

В математике известно, что двойное векторное произведение имеет вид

−

=

→→→→→→→→→

baccabcba ,

т.е. →→→→→→→→→→

=

−

=

→⊥

→=

ωωωω

ω

2

,0

iiiiiii rrrrrrr

ir

43421.

Таким образом,

43

( ) →→→∆=∆=∆ ωω iiii IrmL 2 , (4.22)

где ∆Ii – момент инерции i–го элемента. Суммируя (интегрируя) по всем элементам, получают:

→→⋅= ωIL . (4.23)

С учетом формул (4.20) и (4.23) получаем еще одну форму записи основного уравнения динамики вращательного движения:

εω⋅=⋅==

→→

→

IdtdIM

dtdL (*)

, (4.24)

где ε – угловое ускорение. Переход (*) в формуле (4.24) справедлив, если конфигурация систе-

мы (форма и размеры ТТ, положение оси) остается постоянной, тогда мо-мент инерции I≠ƒ(t)=const.

Пример. Вал массой m и радиусом R вращался с частотой n. К ци-линдрической поверхности вала прижали тормозную колодку с силой F, под действием которой вал остановился, спустя время t. Определить коэф-фициент трения f.

Решение. Вал (сплошной цилиндр, см. рис. 4.12), участвуя во враща-тельном движении, останавливается под действием момента силы трения. Ox: F–N=0 ⇒ N=F, тогда Mтр=FтрR=ƒNR=ƒFR=Iε, согласно формуле (4.24).

Ответ: ( ) ( )FRt

nmRFRt

mRf /20

2/

2

20

2

⋅⋅−⋅=

−⋅=

πωω.

Fтр

NFO

R

x

Рис. 4.12

При вращении ТТ (системы материальных точек) необходимо учитывать только внешние силы, так как внутренние силы взаимодей-

44

ствия двух любых элементов ТТ (системы) всегда равны по модулю (вели-чине) и противонаправлены вдоль одной прямой (их векторная (геометри-ческая) сумма равна нулю). Согласно уравнению (4.21) для замкнутой сис-темы имеем:

0=== ∑→→

→•

iiвнешнM

dtdLL , (4.25)

т.е. constL =→

. Значит, для замкнутых систем выполняется закон сохранения мо-

мента импульса. Пример. В крайнюю от неподвижной оси вращения ОО/ точку А покоящейся

системы жестко соединенных между собой тонких однородных одинаковых стержней, массой М и длиной l каждый (см. рис. 4.13), ударяется летящий со скоростью v мячик массой m и прилипает в точке А. Определить угловую скорость системы в начальный момент после удара. Трением при вращении системы пренебречь. Вектор скорости мя-ча считать направленным по нормали к плоскости конструкции из стержней.

Рис. 4.13 Решение. Так как рассматривается неупругий удар, то ударные или мгновенные

силы в момент столкновения настолько велики, что действием внешних сил можно пренебречь и считать систему замкнутой. В такой системе выполняется закон сохране-ния момента импульса (4.25): 21 LL

rr= . Хотя мяч сначала и движется поступательно, до

прилипания в точке А, он обладает моментом импульса относительно оси ОО/ L1=mνl. После столкновения для системы стержни – мяч:

ωω )( 32121 мячаIIIIILL +++=== .

Ответ: Imvl

=ω , где 22

2

30 mlMlMlI +++= .

Если работа силы идет только на вращение тела, т.е. на увеличение кинетической энергии (КЭ) вращения, то

45

ωωϕωϕεϕϕ dIddtdIdIMdFrdFdsdTdA ======= .

При увеличении скорости вращения от 0 до ω КЭ вращения равна

∫ ===ω ωωω0

2

2IdIATвр . (4.26)

Пример. Сплошной цилиндр массой m и радиусом R скатывается без проскаль-зывания с наклонной плоскости высотой h. Определить скорость цилиндра у основания наклонной плоскости. Трением пренебречь.

Решение. Трением пренебрегают, т.е. в системе не будет неконсервативных сил. Для нее выполняется закон сохранения механической энергии. Так как цилиндр дви-жется без проскальзывания, то угловая скорость его вращения вокруг своей оси сим-метрии и линейная скорость точек на ободе, равная по модулю скорости поступатель-ного движения его центра масс, связаны соотношением ω=ν/R и, следовательно,

2

2

222

43

22

222mvR

vmRmvImvmgh =

⋅

+=+=ω

.

Ответ: 332 gh

v = .

4.3. Гироскоп

Гироскоп (Г) – с греческого языка можно перевести словами: круг, кружусь, вращаюсь и смотрю, наблюдаю. В широком смысле под гироско-пом понимают обладающее большим моментом инерции быстро вращаю-щееся ТТ, ось вращения которого может изменять свое положение в про-странстве. Простейший пример гироскопа – детский волчок или юла, у которых нижний конец оси не закреплен, поэтому она может изменять свое положение в пространстве. Если гироскоп обладает симметрией и ось вращения проходит через центр инерции (масс) С тела, то он называется астатическим (уравновешенным), в противном случае – тяжелым.

В технике, в основном, применяют уравновешенные Г, у которых свободный поворот оси Г обеспечивают, закрепляя его, например, в рам-ках (кольцах) карданова подвеса (рис. 4.14, 4.15), позволяющего оси за-нять любое положение в пространстве.

Гироскоп характеризуется двумя свойствами: 1) ось Г стремится сохранить в пространстве приданное ей направ-

ление;

46

2) если на ось начинает действовать сила (пара сил), то Г будет от-клоняться в направлении, перпендикулярном плоскости действия силы (сил).

Это происходит потому, что момент сил всегда направлен перпенди-кулярно плоскости, в которой лежат сила и ее плечо. В результате Г начи-нает вращаться с постоянной угловой скоростью в направлении действия моментов сил.

Рис. 4.14

Это движение называют прецессией, а проявление второго свой-ства Г в целом – гироскопическим эффектом. На указанных особенно-стях Г основано его применение в технике для навигации, проведения маркшейдерских, топографических, геодезических и др. работ.

При приложении силы Fr

(рис. 4.15), вследствие возникновения ее момента, Г будет поворачиваться относительно оси АА/, а не DD/.

A

A/

F

D/

rl

M= r F [ ]

D α

O

O/

C

Прецессия

Рис. 4.15

47

Так как момент импульса Г будет меняться, то из прямоугольного треугольника (рис.4.16)

( ) ββ LddLtgdL ≈= , LMdt

LdLd

)25.4(==β .

CL

/LdL

dβ

Рис. 4.16

Тогда угловая скорость прецессии LM

dtd

p ==βω или в общем

случае

=

→→→LpM ω , (4.27)

т.е. αω

ωsinIM

p = , где ω – угловая скорость собственного вращения Г,

вокруг оси ОО/.

4.4. Законы сохранения и симметрия пространства-времени

Как уже говорилось при любом (поступательном и/или вращательном) движении ТТ (системы материальных точек) необходимо учитывать только внешние силы, так как внутренние силы взаимодействия двух любых элементов ТТ (системы) всегда равны по модулю (величине) и противонаправлены вдоль одной прямой – их векторная (геометрическая) сумма равна нулю и векторная сумма их моментов также равна нулю по III закону Ньютона. Однако эти выводы можно сделать исходя из II закона Ньютона (основной закон динамики) и свойств симметрии пространства – однородности и изотропности.

Ранее (лекции 2, 3, 4) говорилось о том, что законы сохранения им-пульса (момента импульса) и энергии являются следствием однородности пространства и времени соответственно. Однородность пространства за-ключается в том, что при параллельном переносе физической системы на любое расстояние ее физические свойства и законы движения не

48

меняются, а изотропность пространства в том, что эти свойства и за-коны не меняются при повороте системы как целое на любой угол.

Иначе говоря, физические законы не изменятся, если систему как це-лое без изменения внутреннего строения передвинуть в пространстве пу-тем параллельного переноса на величину rd

r (повернуть как целое на угол

ϕdr

). В частности, при этом должна быть равна нулю работа всех (внут-ренних) сил в системе, тогда получают:

- для поступательного движения (вспомним III закон Ньютона)

∑ ∑∑∑∑ ∑ =≠⇒==

=

→→→→→→

n n knkFтоdrктdr

knkF

ndr

knkF 0 ,0...0A δ ;

- для вращательного движения

0 ,0...0n

A =≠⇒==

= ∑∑∑∑∑ ∑

→→→→→→

n knkMтоdкт

n kdnkM

kdnkM ϕϕϕδ .

Однородность времени заключается в том, что физические законы инвариантны относительно выбора начала отсчета времени, т.е. в одинаковых условиях все процессы в замкнутой системе будут протекать одинаково в разные моменты времени. В частности, при неизменности внутреннего строения потенциальная энергия (ПЭ) U≠ƒ(t), то есть ∂U/dt=0. Тогда при отсутствии в системе непотенциальных сил или отсут-ствии совершения ими работы из уравнения (3.10) лекции 3 в любой мо-мент времени вытекает закон сохранения механической энергии.

Следует заметить, что уравнения классической механики инва-риантны по отношению к направлению хода времени – его возраста-нию или убыванию. Из сохранения вида уравнений механики при замене переменной t на –t следует принципиальная возможность обратимости механических процессов: если механическая система совершает под дей-ствием сил какое-либо движение, то она под действием этих же сил может совершать и прямо противоположное движение, при котором система бу-дет проходить через те же самые состояния в обратном порядке. В общем случае обратимости для процессов иной (немеханической) природы может и не существовать.

49

ЛЕКЦИЯ 5. ТЯГОТЕНИЕ. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ 1. Законы И.Кеплера и закон всемирного тяготения И.Ньютона. Поле тяготения как пример центрального поля, его напряженность и потенциал. 2. Космические скорости (первая – четвертая). 3. Неинерциальные системы отсчета. Силы инерции. Вес тела и невесомость. 5.1. Законы И.Кеплера и закон всемирного тяготения

И.Ньютона. Поле тяготения как пример центрального поля, его напряженность и потенциал

Издревле человек пытался ответить на вопросы: кто он, для чего он, как устроен он и окружающий его мир? Эти вопросы остаются актуаль-ными и по сегодняшний день, хотя человек приобрел довольно много зна-ний об устройстве Вселенной. Процесс познания не всегда протекал спокой-но и эволюционно. Например, смена господствовавшей более 1350 лет гео-центрической или птолемеевой (К. Птолемей (II в. н.э.)) системы мира (Земля – центр Вселенной, всё вращается вокруг нее) на гелиоцентриче-скую (современную: Солнце – одна из звезд, а планеты, в т.ч. и Земля, вра-щаются вокруг него) систему мира Н. Коперника (1473–1543) противоре-чила интересам католической церкви (ее догматам). Н.Коперник под страхом пыток и смертной казни публично отрекся от своей системы. Труд Н.Коперника «Об обращении небесных сфер» был под запретом Папы Рим-ского вплоть до 1835г. Тем не менее истина нашла себе дорогу, и уже к XVII веку гелиоцентрическая система мира была признана большинством ученых.

В начале XVII века И. Кеплер (1571–1630) на основе собственных наблюдений и 35-летних наблюдений Т.Браге (1546–1601) сформулиро-вал три закона движения планет:

I. Современная формулировка: при невозмущенном движении (за-дача двух тел) орбита движущейся материальной точки (небесного тела, в т.ч. и планеты) есть кривая второго порядка, в одном из фокусов которой находится Солнце, т.е. орбита материальной точки при невозмущенном движении – одно из конических сечений (окружность, эллипс (для планет), парабола, гипербола). Формулировка И. Кеплера (1609г., труд «Новая ас-трономия»): каждая планета движется по эллипсу в одном из фокусов ко-торого находится Солнце.

II. Современная формулировка: при невозмущенном движении площадь, описываемая радиусом-вектором движущейся точки, изменяется пропорционально времени (закон площадей). Формулировка И. Кеплера

50

(II и III законы опубликованы в 1619г., труд «Гармония мира»): радиус-вектор планеты за равные промежутки времени описывает равные площади.

III. Современная формулировка: при невозмущенном эллиптиче-ском движении двух материальных точек (планет) вокруг центрального те-ла (Солнца (m0)) произведения квадратов времен обращения на суммы масс центральной и движущейся точек относятся как кубы больших полу-осей их орбит (III закон относится уже не к одной планете, а к Солнеч-ной системе, рис.5.1):

32

31

20

1022

21

aa

mmmm

ТТ

=++

⋅ ,

при m0>>mi:

32

31

22

21

aa

ТТ

= .

Формулировка И. Кеплера: квадраты времен обращения планет относятся как кубы больших полуосей их эллиптических орбит:

32

31

22

21

rr

ТТ

= . (5.1)

F1 F2

r

r b

ba

OA П

Рис. 5.1

Из формулы (5.1) следует, что отношение KconstTr

==2

3

– кон-

станта Кеплера. В первом приближении орбиты планет принимают за круговые с

учетом:

2

2

2

322

2 42r

Krr

Tr

rv

na ππω =⋅

=⋅== ,

тогда сила, действующая на планету, равна:

51

22

24rСолнцаmM

Gr

KmnmaF ===π ⇒ 22

3

4πСолнцаGM

ТrK == . (5.2)

По современным данным G – гравитационная постоянная,

211106745,6

кгмНG ⋅

⋅= − .

Обосновать математически и физически II и III законы Кеплера можно. Если рассматривать материальную точку массы m (рис. 5.2), дви-жущуюся по эллипсу со скоростью vr , то ее радиус-вектор rr за время dt описывает площадь dS (бесконечно малый треугольник FKP), причем

=⋅=⋅=

→→drrdrrKNPFdS

21sin

21

21

1 β

или

dtvrdS

=

→→→

21

.

F1 drr

/rα

β

K

PN=vdt

dS

F

Рис. 5.2

Секториальной скоростью называется величина

mL

vrmL

vrdtdS

tS

221/ →

→→→

→

→→=

→

=

==

. (5.3)

Если сила Fr

, действующая на материальную точку – центральная, т.е. всегда направлена к центру (полюсу) силы (в данном случае – к Солн-цу как к центру тяготения, см. рис. 5.2), то по определению

52

0=

=

→→→FrM ⇒ 0=

→

dtdL и constL =

→. (*)

Так как m=const при нерелятивистском (v<<c, с – скорость света в вакууме) движении, то и секториальная скорость, определяемая по форму-ле (5.3), также является константой. Это доказывает II закон Кеплера. Пе-риод обращения Т=площадь/S'=const, тогда r3/T2=const. Это доказывает III закон Кеплера.

Для описания взаимодействия тел на расстоянии (концепция близ-кодействия: все взаимодействия в природе характеризуются конечной скоростью передачи) пользуются понятием силового поля, т.е. считают, что тело изменяет свойства окружающего его пространства, а другое тело это «чувствует». Полю приписывается роль передатчика взаимодейст-вия, энергии, его считают одной из форм существования материи (по-казанная А.Эйнштейном (1879–1955) в его теории относительности взаи-мосвязь массы и энергии (E=mc2) позволяет это утверждать).

Попытки создать единую теорию поля, объясняющую все извест-ные явления с единой точки зрения, пока не увенчались успехом.

Поле называется силовым, если в каждой точке рассматриваемого пространства определен вектор F

r силы любой природы происхождения.

Силовое поле (СП) называется однородным, если в любой его точке на тело действует одинаковая по модулю и направлению сила (лю-бое поле в малой окрестности тела (точки) можно считать однородным).

Силовое поле называется центральным, если на тело, помещенное в поле, действует сила, всегда направленная вдоль луча, соединяющего те-ло (точку) и центр СП (полюс), а величина силы зависит только от рас-стояния от тела до центра поля. Примером такого поля может служить гра-витационное поле, так как сила тяготения, согласно закону всемирного тяготения (И.Ньютон, 1687г., труд «Математические начала натуральной философии») равна

rr

rmMGF

→→= 2 , (5.4)

где (сравните с выводом формулы (5.2)) r – расстояние между центрами взаимодействующих тел массами m и M.

Сравните формулу (5.4) с выводом формулы (5.2). Данная форма за-писи свидетельствует о том, что взаимодействие происходит мгновенно, это в действительности не так, что отмечалось еще А.Эйнштейном. Со-гласно А.Эйнштейну, даже световой луч (электромагнитная волна (ЭМВ)) имеет массу, т.к. обладает энергией, и, следовательно, должен быть под-вержен тяготению.

53

Силовой характеристикой любого силового поля является на-пряженность. Для гравитационного поля напряженность определяется по формуле

rr

rMG

mFg

→→→

== 2

)4.5(

, 2rMGg = . (5.5)

Зная напряженность поля, мы можем определить силу, действую-щую со стороны поля на любое другое тело: 11 mgF ⋅=

rr. На поверхности

Земли 20 м/с 81,92 ≈=

ЗемлиR

MGg в среднем. Так как планета Земля имеет

форму слегка сплюснутого у полюсов шара, то эта величина изменяется (от 9,78 – на экваторе до 9,832 – на полюсах) в зависимости от места опре-деления на планете (расстояния до центра планеты в этом месте).

Энергетической характеристикой силового поля является ска-лярная величина потенциал – потенциальная энергия, которой в данной точке поля будет обладать тело единичной массы:

mU

=ϕ . (5.6)

С учетом формул (3.4), (3.6/) можно записать constr

mMGU +−= ,

тогда:

1constr

MG +−=ϕ , (5.7)

откуда

→→

−=

∂∂

−= ϕϕ gradgr

g , , (5.8)

где )(adrgr – градиент скаляра ( ), →→→→⋅

∂∂

+⋅∂∂

+⋅∂∂

= kz

jy

ix

grad ) () () () (

обозначается )(∇v

(набла) и называется оператором Гамильтона или набла-оператором;

kjirrr

,, – единичные векторы координатных осей (орты). Градиент всегда направлен в сторону максимального возрастания

функции, в данном случае gr , поэтому вектор напряженности в каждой точке перпендикулярен эквипотенциальным поверхностям (состоя-щим из точек равного потенциала).

Силовое поле называется стационарным, если его характеристики неизменны во времени. Для удобного, наглядного представления силовое поле графически изображают с помощью силовых линий – линий, каса-

54

тельные, в каждой точке которых совпадает по направлению с результирую-щим вектором напряженности. Расстояние между линиями характеризует «мощь» поля: там, где линии гуще – поле сильнее, наоборот – слабее. Удоб-ство этого способа связано с необходимостью рассматривать поля, создавае-мые несколькими источниками (рассматривать несколько полюсов – центров поля, например, планет или звезд). При этом результирующая напряжен-ность в каждой точке находится как векторная сумма напряженностей в этой точке каждого из полей, как если бы других полей не существовало (принцип наложения или суперпозиции полей):

∑→→

=i igg . (5.9)

Аналогично для потенциалов: ∑=

iiϕϕ

. (5.10)

Если находить векторную сумму ∑→→

=i

igg в каждой точке поля, то

бумага будет испещрена векторами, т.е. получаемое изображение не на-глядно, проведя же заранее расчет по формуле (5.9) можно наглядно пред-ставить результирующее поле в виде силовых линий.

O

S

S

mg

mgA B

H

r1 1rr 1r2

r 2

2r

1

2

Рис. 5.3 Гравитационное поле является потенциальным, т.е. его работа на

замкнутом участке пути равна нулю:

0== ∫→→

LdrFA (5.11)

55

Найдем работу силы тяжести при выполнении самолетом замкнутой фигуры пилотажа (рис. 5.3). Будем считать, что высота подъема над по-верхностью Земли мала по сравнению с радиусом Земли, т.е. сила тяже-сти, как центральная сила, в любой точке траектории будет направлена к центру Земли (вниз), постоянна и равна gmr (см. (3.2)).

При движении самолета работа совершается лишь на вертикальных участках траектории (rr ⊥1, rr ⊥2, т.д.), на горизонтальных же участках (rr ⊥1, r

r⊥2, т.д.) перемещение перпендикулярно линии действия силы и сила

тяжести работы не совершает (3.1). Таким образом, работа силы тяжести определяется лишь разностью ∆h высот в точках Н и О.

При подъеме самолета S из нижней точки О в верхнюю точку Н тра-ектории направления действия силы и перемещения противоположны (ра-бота отрицательна: –mg∆h), а при последующем спуске совпадают (работа положительна: +mg∆h), т.е. сумма этих работ дает нуль.

Подобно приведенным выше рассуждениям и рассмотрению форму-лы (3.6) находится работа переменной силы тяжести при удалении ракеты на расстояние h от центра Земли сравнимое с радиусом Земли, с учетом то-го, что сила и перемещение противонаправлены. При этом разбивку траек-тории на точки проводят так, чтобы точки 1 и 2, 2 и 3, т.д. лежали как можно ближе одна к другой, тогда в этих промежутках движения силу тя-готения можно считать постоянной (далее см. определение работы соглас-но формуле (3.6)).

5.2. Космические скорости (первая – четвертая) Полная энергия тела в поле гравитационных сил определяется по

формуле:

rCmv

rGmMmvUТЕ

constC

+=−=+=

=

22

22876

. (5.12)

rϕ

vy

xz

vϕ vrm

Рис. 5.4

56

Перейдем от декартовых (x,y,z) к полярным координатам (r, ϕ) в формуле (5.12) для материальной точки массы m, движущейся со скоро-стью v в гравитационном поле (рис. 5.4).

Так как 22: 2rvvvrvv +=⊥

→→

ϕϕ , то

rCmrrm

rCrmvmv

E ++=++=

••

222

2

2

2222 ϕϕ

. (5.13)

С учетом

=

==

+

=

=

→→→→→→→→→

ϕϕ vrmrvrmvrmvrmL43421o 00sin,0

и (*), получают:

rCmrrmE

constmrLz

22 222

2

++=

==••

•

ϕ

ϕ (5.14)

Уравнение (5.14) содержит первые производные по времени, поэто-му легче разрешимы, чем уравнения, получаемые из II закона Ньютона со вторыми производными. Интегрируя формулу (5.14) можно найти r(t) и ϕ(t), т.е. определить траекторию и характер движения частицы. Решение формул (5.14) громоздко (и выходит за рамки этого курса), поэтому обсу-дим лишь результат решения (рис. 5.5).

F1 F2

E>0E=0

E<0

Рис. 5.5

Траектория частицы представляет собой коническое сечение (эллипс, парабола, гипербола). В случае финитного (в определенной области про-странства) движения тела, траектория движения – эллипс и преобладают силы притяжения (Е<0). В случае удаления тела в бесконечность (инфи-

57

нитное движение) возможные траектории – парабола (Е=0) и гипербола (E>0) – преобладают силы отталкивания.

Принимая в первом приближении орбиту тела за круговую с уче-том формул (5.4), (5.5), получают для тела массы m:

Земли

kn

Земли Rvmma

RmMG

2

2 == ,

ЗмлиЗемлиЗемли

k RgRRGMv 02 == . (5.15)

Для Земли км/с 80 ≈= ЗемлиRgkv – первая космическая ско-

рость – скорость, которую надо сообщить телу, чтобы оно стало искусст-венным спутником Земли.

При параболическом движении (Е=0) из формулы (5.12) имеют для Земли: км/с 2,1102 ≈= ЗемлиRgпv – вторая космическая скорость –

скорость, которую надо сообщить телу, чтобы оно стало искусственным спутником Солнца. При сообщении телу третьей космической скоро-сти νг оно, тело, без действия дополнительных сил преодолеет притяжение Земли и Солнца и покинет пределы Солнечной системы (по гиперболе). Так как скорость Земли на орбите при движении вокруг Солнца ≈29,8 км/с, чтобы тело покинуло Солнечную систему, ему нужна скорость

скмcкмгv /1,42/8,292min ≈⋅≈ , реально же еще большая, т.к. необхо-

димо преодолеть земное притяжение. Причем эта скорость минимальна, если ориентирована по направлению орбитального движения Земли, и максимальна – если противонаправлена. Также необходим учет положения Земли на орбите (дальняя ли точка от Солнца – перигелий (П, см. рис. 5.1), ближайшая ли – афелий (А), положение других планет и звезд): νг≈16,7÷72,7 км/с. Четвертой космической скоростью называется ско-рость, которую необходимо сообщить телу, чтобы оно упало в заданной точке Солнца (ν4≈29,2÷31,8 км/с) или чтобы тело покинуло нашу Галак-тику (Млечный Путь) и ушло во Вселенную (тогда ν4≥285 км/с).

5.3. Неинерциальные системы отсчета. Силы инерции.

Вес тела и невесомость Как известно, в ИСО выполняются законы Ньютона и форма за-

писи II закона – amF rr= . Найдем теперь форму записи для неинерциальной

58

системы отсчёта (неИСО), т.е. СО, движущейся относительно любой ИСО с ускорением. Ограничимся при этом нерелятивистским рассмотрением (m=const при v<<c, с – скорость света в вакууме).

X

Z

Y

r

Or0

r1O

1

m

1

1

1

S1

X

Z

Y

S

Рис. 5.6

Пусть относительно неподвижной СО S с началом отсчета в точке О тело (масса m) движется с ускорением ar , а относительно движущейся по-ступательно с ускорением ar СО S1 с началом отсчета в точке О1 тело по-коится (рис. 5.6). Тогда в любой момент времени получаем выражение

01 rrr rrr+= , дифференцируя которое по времени, получают:

•→

•→

•→

+= 01 rrr ≡ →→→

+= 01 vvv ≡→→→

+= перvотнvабсv ; (5.16) ••→

••→

••→

+= 01 rrr ≡ →→→

+= 01 ааа ≡ →→→

+= пераотнаабса . (5.17)

Величины, характеризующие движение тела относительно непод-вижной СО, называются абсолютными ( аrr,ν ), относительно движущейся СО – относительными ( 11, аrrν ), а характеризующие движение систем друг относительно друга – переносными ( 00 , аrrν ).

Подставляя формулу (5.17) во II закон Ньютона, получаем:

→→→→→

+=−=→

=

иFFаmFаmаm

01 . (5.18)

где Fr

– сила, являющаяся результатом взаимодействия тел. Она зависит только от разностей скоростей и координат, и в нерелятивистской механи-ке ее форма записи не изменяется (инвариантна) при переходе от одной СО к другой (это сила в том смысле, в котором мы к ней привыкли). Слагаемое

0amFurr

−= – называется поступательной силой инерции, она возникает не из-за взаимодействия тел, а из-за ускоренного движения СО (существует

59

также разновидность – центробежная сила (инерции при вращательном движении)). В общем случае для силы инерции, в отличие от F

r по III закону

Ньютона, не существует равной ей по модулю силы противодействия, при-ложенной к другому телу. Она всегда направлена противоположно ускоре-нию и является внешней силой для любой СО. Запись силы инерции не инва-риантна относительно перехода от одной СО к другой.

Многие практические задачи решаются проще при рассмотрении сил инерции, при этом с точки зрения ньютоновской механики эти силы не яв-ляются силами в привычном смысле этого слова, т.е. они фиктивны. С дру-гой стороны, их можно представлять как действие на тела каких-то сило-вых полей и реально использовать это на практике. Часто при рассмотре-нии задач трудно разделить результирующую силу на силу инерции и «ньютоновскую» силу.

Пример. Рассмотрим силу инерции, действующую на тело, покоящееся в дви-жущейся поступательно СО: поезд в метро разгоняется на горизонтальном участке с ускорением а=5 м/с2. Кота, оказавшегося в поезде, согнали с места, и он остался сидеть, прислонившись спиной к стенке, с обиженным выражением глядя по направлению движения (рис.5.7). Какова перегрузка кота, находящегося в поезде?

N F

N1

X

Y

O

Fи

P=mg

a

Рис. 5.7

Решение. Перегрузкой называется отношение силы F, действующей на кота, к силе тяжести Р=mg. Кот в неИСО, связанной с поездом, покоится, а в ИСО относительно земли движется с ускорением аr . Противоположно направлению движения (ускорению) на кота действует сила инерции amFu

rr−= , вжимающая кота в стенку, ее компенсирует сила реак-

ции опоры стенки 01 amN rr= , действующая на кота. Тогда в проекциях II закон Ньютона:

OX: maN =1 , OY: mgN = .

Ответ: Так как 21

2 NNF += , то g

gamgFk

22 +==

то g

gamgFk

22 +== .

Силу инерции, действующую на тело, покоящееся во вращаю-щейся СО (рис. 5.8), называют центробежной (направлена противопо-

60

ложно ускорению). Она направлена противоположно центростреми-тельной силе, создаваемой натяжением шнура.

Fи

mg

X

Y

O

Fц

ααT

an an

Рис. 5.8.

Для шарика II закон Ньютона в проекциях на оси будет иметь вид: ОХ: Fц=Тsinα=man=-Fu,

OY: Tcosα-mg=0 ⇒ g

rgatg n

2ωα == ,

где r – расстояние от оси вращения. Еще одной разновидностью сил инерции является сила Корио-

лиса (1792–1843). Она возникает только тогда, когда СО S1 (рис. 5.6) вра-щается, а тело движется относительно этой СО. Если рассмотреть движе-ние незакрепленного шарика массы m из центра вращающегося с угло- вой скоростью ωr диска, то его траектория – кривая 12 (рис. 5.9).

1 2

ω

Рис. 5.9

Если же дать шарику возможность катиться (трением пренебрегаем) из центра прямолинейно по глубокому желобу, вырезанному вдоль одного из радиусов диска, то шарик, отклоняясь влево от направления движения вдоль желоба, будет давить на его стенку с силой kF

r(рис. 5.10), названной корио-

лисовой (уравновешивается силой реакции опоры стенки желоба Fr

).

61

ωFk

Fv

Рис. 5.10

Эта сила определяется выражением

=

→→→ωотнvmkF 2 . (5.19)

Сила Кориолиса отличается от других сил тем, что зависит от отно-сительной скорости тела во вращающейся СО S1. При обращении в нуль этой скорости, обращается в нуль и сила Кориолиса. То есть, если тело по-коится во вращающейся СО, то на него действует (см. рис. 5.8) центро-бежная сила инерции, а если движется – то еще и кориолисова сила.

Действием силы Кориолиса объясняется подмывание (обрывистость) правых берегов рек, текущих в океан с юга на север в северном полушарии.

Размышления о свойствах движения в ИСО и неИСО привели А.Эйнштейна к мысли о независимости движения тел в поле сил инерции от их массы, что наблюдается и в гравитационном поле, и формулированию од-ного из важнейших принципов физики – принципа эквивалентности: свой-ства движения в неИСО такие же, как и в ИСО при наличии гравитационного поля (т.е. поля сил инерционных и гравитационных эквивалентны – равноус-коренная СО эквивалентна однородному гравитационному полю).

Таким образом, если тело двигается равноускоренно под действием гравитационного поля в ИСО, то, переходя в неИСО, где тело покоится, по-лучаем, что его уравновешивает сила инерции. При данном переходе изме-няется геометрия пространства – времени, что изучается в общей теории от-носительности (ОТО) А.Эйнштейна (подробнее об этом см. лекцию 7).

Весом тела называется приложенная к телу сила Рr

, равная силе, с которой это тело действует на опору или подвес. При этом предпола-гается, что опора или подвес покоятся в системе отсчета, в которой взве-шивают тело. В среднем 0gmP rr

= , в общем случае, вес – есть геометриче-

62

ская сумма силы гравитационного притяжения Земли и центробежной си-лы инерции, вызванной ее вращением.

При ускоренном движении системы могут возникнуть особые со-стояния, называемые перегрузками (см. рис. 5.7 и пример) и невесомостью.

Вспомним известную со школы задачу о лифте (рис.5.11). При сона-правленности ускорения движения лифта аr и ускорения свободного паде-ния gr вес тела P=N=m(g-a), т.е., если лифт движется с ускорением a=g, то

Р=0. Это состояние называют невесомостью. Если же ускорения противо-направлены, то P=N=m(g+a). Увеличение веса приводит к перегрузкам.

mg

N

a a( (

Рис. 5.11

Тяжелые перегрузки и невесомость в повседневной жизни – состоя-

ния редкие (быстрая езда в транспорте, полет на самолете, катание на ка-

челях, подъемы и спуски в лифтах), с ними часто приходится сталкиваться

лишь космонавтам, которых специально тренируют на центрифугах и в бас-

сейнах для привыкания к состояниям деформации внутренних органов и

изменениям внутреннего давления. В космических кораблях невесомость

(движение с ускорением свободного падения) может быть компенсирова-

на путем создания вращения корабля (действием сил инерции), при этом

предметы вновь обретут вес, который будет зависеть от скорости вращения.

63

ЛЕКЦИЯ 6. ОСНОВЫ СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ

1. Принцип относительности в механике (механический принцип

относительности Г. Галилея). Преобразования Г. Галилея. 2. Постулаты специальной теории относительности (СТО). Пре-

образования Х. Лоренца. 3. Следствия из преобразования Лоренца (относительность времени

и его промежутков, линейных размеров вдоль направления движения (длины), релятивистский закон сложения скоростей в СТО, инвари-антность пространственно-временного интервала).

4. Основной закон релятивистской динамики материальной точки. 5. Закон взаимосвязи массы и энергии. Энергия связи. 6. Вывод преобразований Х. Лоренца.

6.1. Принцип относительности в механике (механический принцип относительности Г. Галилея).

Преобразования Г. Галилея Проведя какой-либо эксперимент и повторяя его при тех же услови-

ях, но в другом месте и в другое время, мы получим те же результаты. Этот факт – воспроизведение лабораторных опытов – естественным образом вытекает из независимости физических законов от таких понятий, как вы-бор положения системы координат и начала отсчета времени. Это является следствием однородности и изотропности пространства и однородности времени. Наличие этих свойств ведет к тому, что сохраняется часть физи-ческих величин: рr , E и т.д. Из опыта следует, что кроме такой независи-мости имеет место независимость уравнений физики от состояния движе-ния систем, которое заключается в равноправии всех инерциальных систем отсчета.

xy

r

O

r1

1

m

1

1

S1

xy

z

r0

1

u

O

z S

Рис. 6.1

64

Пусть ИСО S1 движется относительно ИСО S с постоянной скоро-стью ur (рис. 6.1). Найдем связь между координатами, скоростями и уско-рениями точки m в обеих ИСО. Поскольку многие величины изменяются при переходе от одной СО к другой, необходимо всегда указывать, относи-тельно какой СО происходит рассмотрение движения. Именно поэтому го-ворят, что механическое движение относительно.

В любой момент времени для точки m можно записать:

turrrr→→→→→

+=+= 101 , (6.1) что эквивалентно трем скалярным уравнениям:

.

,

,

1

1

1

tzuzz

tyuyy

txuxx

+=

+=

+=

(6.2)

В классической механике предполагается, что ход времени не за-висит от состояния движения ИСО (t=t1 – преобразование Г. Галилея (1564–1642) для времени). Преобразования (6.2) Г. Галилея для коор-динат верны только для u<<c (с – скорость света в вакууме), в общем слу-чае их необходимо заменять на релятивистские.

Дифференцируя уравнение (6.1) по времени, получаем: •→

•→

•→

+= 01 rrr ≡ →→→

+= uvv 1 . (6.3) Выражение (6.3) – это классический закон сложения скоростей

(правило сложения): скорость тела относительно неподвижной СО равна векторной сумме скорости тела относительно движущейся СО и скорости движущейся СО относительно неподвижной.

Можно записать: zuzvzvyuyvyvxuxvxv +=+=+= 1 ;1 ;1 . ••→

••→

••→

+= 01 rrr ≡ →→

= 1аа , т.к constu =→

. (6.4) Тогда в силу выражений (6.4) и m=m1 (для u<<c) получаем

→→→→=== amFamF 11 , (6.5)

т.е. ускорение имеет одно и то же значение в обеих СО, и II закон Ньютона инвариантен (не изменяется его форма записи) относительно перехода от одной ИСО к другой. Можно утверждать, что если в ИСО S тело движется с постоянной скоростью, то и в ИСО S1 характер движения тот же. Если система S ИСО, а S1 движется относительно нее с постоянной скоростью, то система S1 тоже ИСО.

65

Таким образом, равномерное и прямолинейное движение системы как целого не влияет на ход процессов, происходящих внутри системы. В этом заключается содержание механического принципа относительно-сти Г.Галилея: никакими опытами, проведенными внутри ИСО, нельзя установить, движется ли она с постоянной скоростью или покоится (или: законы механики Ньютона инвариантны при переходе от одной ИСО к другой). Например, пассажир, читающий газету в поезде, трогаю-щемся мягко, без толчка и с малым ускорением, будет считать себя непод-вижным.

6.2. Постулаты СТО. Преобразования Х. Лоренца

К концу XIX в. был проведен ряд экспериментов по определению

скорости света в вакууме c. Обсуждался важный вопрос: к какой СО отно-сится эта скорость (значение)? Согласно принципу относительности Г.Галилея, говорить о конкретной скорости без указания СО бессмыслен-но, т.е. скорость света должна быть различна в различных СО, поэтому значение скорости света должно относиться к СО, связанной, например, с источником света. Тогда можно предполагать, что при перемещении ис-точника света относительно неподвижного прибора (наблюдателя), реги-стрирующего скорость света, этот прибор должен показывать значения как большее, так и меньшее скорости света в вакууме c в зависимости от на-правления перемещения источника и приемника света.

Первые эксперименты по определению скорости света в движущейся СО были проведены А. Майкельсоном (1852–1931) в 1881г. Позже по-добные эксперименты ставились не раз, причем точность определения ско-рости света возрастала. Оказалось, что с=c1=c2=c.

Классический закон сложения скоростей был подвергнут сомнению. Пришлось признать, что область его применения ограничена, а так как он есть следствие преобразований Г. Галилея, то они не имеют универсально-го характера. Таким образом, возникла потребность в радикальном пере-смотре существующих представлений о пространстве и времени. Эту зада-чу выполнил в 1905 г. А. Эйнштейн в своей статье «К электродинамике движущихся тел». Он дал основы специальной теории относительности (СТО). Эйнштейн показал, что преобразования Галилея в неявном виде основывались на двух ошибочных предположениях, казавшихся очевид-ными: а) одновременность двух событий – абсолютное понятие (t=t1), вре-мя во всех ИСО протекает одинаково; б) длина тел (линейный размер) не-изменна во всех ИСО.

Специальная теория относительности (СТО) А. Эйнштейна ба-зируется на двух постулатах:

66

1. Принцип относительности – во всех ИСО все физические явле-ния протекают одинаково (обобщения принципа относительности Галилея на все законы природы).

2. Принцип инвариантности скорости света – скорость света в ва-кууме c не зависит от движения источника света или наблюдателя и оди-накова во всех ИСО (утверждается как опытный факт).

В начале XX в. стало ясно, что уравнения физики должны быть пере-смотрены. Стали предприниматься попытки записать уравнения движения и электродинамики так, чтобы они были инвариантны относительно пере-хода от одной СО к другой.

xy

r

O

r1

1

m

1

1

S1

x

y

z

r0

1 u

O

z S

l1x1н x1к

Рис. 6.2 Х. Лоренц (1853–1928) решил (1904г.), что если сделать следующие

преобразования координат и времени, то уравнения (60 гг. XIX в.) Дж. Максвелла (1831–1879) будут инвариантны, т.е. не изменят своей формы (в случае направления скорости ur вдоль параллельных осей Ох и О1х1 (рис. 6.2)):

1SS → SS →1

2

21

1cvutxx

−

−=

, 2

2

11

1cv

utxx

−

+=

, yy =1 , 1yy = , (6.6) zz =1 , 1zz = ,

2

2

2

1

1cv

cuxt

t

−

−=

. 2

2

21

1

1cvcux

tt

−

+=

. Покажем относительный характер одновременности событий. Пусть

система S1 движется со скоростью u относительно системы S, и в началь-ный момент времени t=0 их начала координат совпадают. Пусть в момент

67

времени t=0 в ИСО S источник излучает импульс света в направлении оси Ох. Тогда, дойдя до некоторой точки с абсциссой x, свет пройдет расстоя-ние х=ct, а в системе S1 – x1=сt1; поскольку x1≠х (так как S1 движется отно-сительно S со скоростью ur=const), то и отсчет времени будет иметь отно-сительный характер в силу относительности понятий «подвижная» и «не-подвижная» СО.

В уравнениях (6.6) наблюдается симметрия (уравнения обратимы). Преобразования от S к S1 и обратно отличаются знаком перед u, что оче-видно, поскольку, если S1 движется относительно S со скоростью u, то сис-тема S движется относительно S1 со скоростью (–u).

Это не означает, что описанное ниже замедление времени является кажущимся явлением. Правильнее говорить не об изменении хода времени в разных СО, а о различии протекания локализованного в пространстве временного процесса. Для того чтобы установить, какие часы отстают, не-обходимо «движущиеся» и «неподвижные» часы свести вместе. Но для этого необходимо или вернуть «движущиеся» часы, или ускорить «непод-вижные». Очевидно, что результаты должны зависеть от характера сбли-жения часов, т.к. ускорение абсолютно. Отстанут те часы, которые будут двигаться ускоренно. Именно этим объясняется меньшее старение близне-ца–космонавта, вернувшегося на Землю, по сравнению с другим близне-цом – жителем Земли. Прочитайте последние три абзаца еще раз после изучения всего материала данной лекции

Таким образом, преобразования Х. Лоренца удовлетворяют СТО, т.к. все физические явления описываются законами, не меняющимися при преобразованиях. А. Эйнштейн показал, что преобразования (6.6) имеют универсальный характер.

Преобразования Галилея (6.2) являются предельным случаем (6.6) при u<<c (формально в пределе при c→∞) – в этом заключается суть принципа соответствия (каждая новая теория должна заключать в себе предыдущую в качестве частного случая), впервые введенного в научную методологию великим датским физиком Нильсом Бором (1885–1962).

6.3. Следствия из преобразования Лоренца (относительность времени и его промежутков, линейных размеров (длины),

релятивистский закон сложения скоростей в СТО, инвариантность пространственно-временного интервала)

Относительность времени: а. Если два события ((1) и (2)) происходят одновременно (t1(1)=t1(2)) в

СО S1 и x1(1)=x1(2) (в одной и той же точке), то и в ИСО S t(1)=t(2), x(1)=x(2) (со-гласно формуле (6.6)); если же в СО S1 (t1(1)=t1(2)), но x1(1) ≠ x1(2), то в ИСО S не только x(1)≠x(2), но и t(1)≠t(2). Таким образом, события не только про-

68

странственно разобщены, но и не одновременны. В теории вероятности события, которые могут произойти одновременно, называют совмест-ными. Для совместных событий как первое может предшествовать второ-му, так и второе первому в зависимости от координат и скорости u. Несо-вместными являются события, которые по каким-либо причинам не мо-гут произойти одновременно, например, события, связанные друг с другом причинно-следственной связью, т.е. одно из событий является причиной (основанием) для наступления второго события (следствия), которое ни при каких обстоятельствах не произойдет раньше причины. Совмест-ность/несовместность, причинно-следственные связи учитывают при реля-тивистском рассмотрении вопроса о том, какое из событий наступит рань-ше, а какое – позже.

б. Если длительность события (индексы: (1) – начало, (2) – конец со-

бытия) в ИСО S ∆τ=t(2)-t(1), то в ИСО S1 ( ) ( )( ) ( )

212

112111 β

τ−

−=−=∆

tttt , где

β2=(u/c)2, т.е. в движущейся ИСО S1 для того, чтобы событие завершилось, требуется время ∆τ1>∆τ (время идет медленнее в ИСО, относительно которой точка, где происходит событие, покоится).

Относительность линейных размеров вдоль направления дви-жения (лоренцево сокращение длины). Пусть в движущейся ИСО S1 по-коится стержень (рис. 6.2) длиной l1=x1к-х1н («н» – начало, «к» – конец).

Согласно формуле (6.6) 22 11111 ββ −

=−

−=−=

lнxкxнxкxl , т.е. размеры

стержня, измеренные в ИСО, относительно которой он движется, меньше длины, измеренной в ИСО, относительно которой он покоится: l1>l.

Релятивистский закон сложения скоростей в СТО. Пусть в ИСО S1 тело имеет произвольно направленную скорость νr , а ИСО S1 движется относительно ИСО S со скоростью ur , как показано на рис. 6.2.

С учетом ;1 2

11

β−+

=udtdxdx

2

21

1

1 β−

+= c

udxdtdt и по аналогии получают:

S1→S

221

1

11

21

1

2

211

11

1111

)6.6(

cxuvuxvdt

cudxdt

udtdx

cudxdt

udtdxdtdx

xv+

+÷=

+

+=

+

−⋅

−

+==

β

β,

т.к. y=y1 и z=z1, то dy=dy1 и dz=dz1, то

69

2

2

21

1

2

111

1111)6.6(

cxuv

yvdt

cudxdt

dydtdy

yv+

−÷=

+

−⋅==

ββ,

2

2

21

1

2

111

1111)6.6(

cxuv

zvdt

cudxdt

dzdtdz

zv+

−÷=

+

−⋅==

ββ.

В силу симметрии преобразований и по аналогии: S→S1,

211

cxuvuxv

xv−

−= ,

2

2

1

1

1

cxuv

yv

yv−

−=

β,

2

2

1

11

cxuv

zvzv

−

−=

β. (6.7)

В случае, когда скорость v параллельна скорости u (νy=νz=0),

21

1

1cuvvuvxv

+

+== . (6.8)

Формулы (6.7), (6.8) – релятивистский закон сложения скоростей. Для v<<c формально в пределе при c→∞ получаем классический закон

сложения скоростей (6.3):→→→

+= uvv 1 . Если материальная точка движется со

скоростью с (v1=c), тогда: c

cuuc

ccuucv =

+

+=

+

+=

11 2

. Согласно закону сложения

скоростей, в теории относительности скорость тела не может быть больше скорости света, что согласуется со II постулатом А. Эйнштейна.

Таким образом, координаты (линейные размеры), время, скорость относительны: их значения различны в различных ИСО. Однако для че-тырехмерного пространства А. Эйнштейна (пространство-время: 3 ко-ординаты и время неразрывно связаны между собой) величиной, не зави-сящей от выбора СО (инвариантной к преобразованиям) является ин-тервал между двумя событиями – пространственно-временной интервал (в СО S1):

=−−−−−−−=∆ 2)1(1)2(1

2)1(1)2(1

2)1(1)2(1

2)1(1)2(1

21 )()()()( zzyyxxttcs

2

12

122

12

12

12

12 ltczyxtc −∆=∆−∆−∆−∆= . (6.9)

70

2222 Rzyx =++ – уравнение сферы, если источник света находится в центре сферы, то за некоторое время t (R=ct) свет дойдет от центра до поверхности сферы, т.е. равенство x2+y2+z2–(ct)2=0 должно быть справед-ливым в любой СО, т.е. x1

2+ y12+ z1

2–(ct1)2= x2+y2+z2–(ct)2. Покажем на основании формулы (6.6), что

222221 zyxtcss ∆−∆−∆−∆=∆=∆ ;

а ∆y=∆y1, ∆z=∆z1, 2

2222

22

1 12

1 ββ −∆+∆∆−∆

=

−

∆−∆=∆

tutxuxtuxx ,

2

4

22

22

2

2

221

1

2

1

−

∆+

∆∆−∆

=

−

∆−∆

=∆

cu

cux

cxtut

cxut

tβ

.

Тогда =∆−∆−∆−∆=∆ 2

12

12

12

122

1 zyxtcs

=∆−∆−

−

∆−∆∆+∆−∆

+∆∆−∆= 22

2

2222

2222

1

22zy

cu

tutxuxc

uxxtutcIII

III 876

876876

(I и II - слагаемые для группировки) =∆−∆−

−

−∆−

−∆

= 222

22

222

1

11

zy

cu

cux

cutc

222222 szyxtс ∆=∆−∆−∆−∆= что и требовалось доказать.

Если ∆s2>0, то он действителен и называется временноподобным, если ∆s2<0, то это – мнимая величина и называется пространственнопо-добным.

Итак, существует кинематический инвариант – пространственно-временной интервал. Поэтому, несмотря на относительность длины и промежутков времени, течение событий носит объективный характер и не зависит от выбора СО. Пространство и время связаны между со-бой и образуют единую форму существования материи: пространство-время.

Дальнейшее развитие теории относительности (общая теория отно-сительности) показало, что свойства пространства-времени в данной об-

71

ласти определяются действующими в ней (гравитационными) полями: си-лы (геометрия, а именно, отношение между параллельными прямыми, уг-лы между прямыми, углы в треугольнике и т.п.) изменяются при переходе от одной области к другой, в зависимости от концентраций масс в данных областях и их движения.

6.4. Основной закон релятивистской динамики материальной

точки

В релятивистской динамике масса тел есть функция их скорости:

,1

)(

2

20

cv

mvfm−

== (6.10)

где m0 – масса покоя тела (частицы) в ИСО, относительно которой оно покоится (minimum);

m – масса в ИСО, относительно которой оно движется со скоростью v, т.е. масса различна в разных ИСО и с ростом скорости движения u – увеличивается.

В релятивистской динамике основной закон имеет вид ( рr – реля-

тивистский импульс):

dtpd

dtvdmF

→→→

==

или ( )

−=

→→v

cv

mdtdF

21. (6.11)

Уравнение (6.11) внешне совпадает с уравнением классической ме-ханики, т.е. инвариантно к преобразованиям Лоренца, тем самым удовле-творяя принципу относительности Эйнштейна. Важно отметить, что ни си-ла F

r, ни релятивистский импульс pr не являются инвариантами. В общем

случае вектор силы Fr

не коллинеарен ускорению ar . Уравнение (6.11) справедливо и для проекций F

r на координатные

оси Fx, Fy, Fz с учетом формул (6.7), (6.10) для проекций px, py, pz релятиви-стского импульса pr .

72

В силу однородности и изотропности пространства в релятивистской механике также справедливы законы сохранения релятивистских им-пульса и момента импульса (в замкнутой системе). Разумеется, вблизи крупных гравитирующих (притягивающих) объектов (см. лекция 7) эти свойства и законы могут нарушаться.

6.5. Закон взаимосвязи массы и энергии. Энергия связи Найдем выражение для кинетической энергии (КЭ) Т релятивистской

частицы. Приращение КЭ равно работе силы:

vdvdvv

cvvmdvdtv

cvvm

dtddrFAdT

=→→

=

−=

−===

→→→

→→→

220

220

11 δ

( ) 2/3220

22

222

20

022

11

212

1

cv

vdvmcv

dvc

vcv

vmvdvmcv

−=

−

−⋅

−−⋅−

= . (6.12)

( )=

−⋅

−

−=

−=′= dv

cv

cv

mdvcv

mdvddvvmdm 2

2322

022

0 2

121

1)(

( ) 23222

0

1 cvc

vdvm

−= (6.13)

Сравнивая уравнения (6.12) и (6.13), получают:

dmcdT 2= . (6.14)

Интегрируя выражение, учитывая, что при v=0, m=m0, получают

−

−=−== ∫ 1

11)(

0220

20

22

cvmcmmc

m

mdmcT . (6.15)

73

При v<<c выражение, стоящее в скобках можно разложить в ряд

Тейлора: ...83

211

11

4

4

2

2

22+++=

− cv

cv

cv; пренебрегая членом второго

порядка малости, получают формулу классической механики

21

211

20

2

2

02 vm

cvmcT =

−+= .

Можно показать, что тело обладает не только кинетической, но и энергией покоя.

Полная энергия тела E, согласно А. Эйнштейну, пропорциональ-на массе:

2mcE = . (6.16) В формулу (6.16) не входит потенциальная энергия тела во внешнем

силовом поле. Получим выражение полной энергии как функцию релятивистского

импульса (6.11):

242022

2220

22

22220

22

!

2220

420

!

2220

22

420422

11)(

11

pcmcvcvm

cvvccm

cvcvmcmcvm

cvcmcmE

+=−

+−

−=

=−

−+=

−==

48476876

,

т.е. 2242

0 cpcmE += . (6.17) Формулу (6.15) можно записать в следующем виде:

02

0 EEcmЕТ −=−= . (6.18)

При v=0 и T=0, т.е. тело обладает энергией E=m0c2, называемой энергией покоя.

Для характеристики устойчивости материи (например, устойчи-вости ядра как системы нуклонов), вводят понятие энергии связи. Энер-гия связи равна работе, которую надо совершить, чтобы разделить систему на составные части:

200

220

2

110 mcM

n

iimсcMc

n

i imсвE ∆=

−

==−

== ∑∑ , (6.19)

где m0i – масса покоя свободной частицы; М0 – масса покоя системы, состоящей из n частиц; ∆m – называется дефектом массы (масса составляющих больше мас-

сы целого).

74

Энергию покоя и дефект масс обычно не учитывают при решении задач в механике, но исторически используют при расчете тепловых эф-фектов ядерных реакций. Теплота – одна из форм энергии, и закон взаимо-связи массы и энергии (6.16) был полностью подтвержден в экспериментах по определению теплоты, выделяющейся в ядерных реакциях.

6.6. Вывод преобразований Х. Лоренца

Примем как опытный факт, что скорость света в вакууме c не зависит

от движения источника света или наблюдателя и одинакова во всех ИСО. Дана линейка, на одном конце которой находится источник света,

дающий очень короткие вспышки, а на другом – зеркало. Пусть линейка расположена перпендикулярно оси Ох и движется со скоростью ur вдоль оси Ох относительно неподвижного наблюдателя (т.е. относительно СО S). СО S1 движется вместе с линейкой и другим наблюдателем (линейка и на-блюдатель относительно нее покоится).

C

A

ct∆

O1

A1

ct

∆1

S1

O B x

ct∆

S

u t∆ u t∆

u

Рис. 6.3

Для наблюдателя в СО S1 свет пройдет расстояние 2A1O1=2c∆t1, а для наблюдателя в СО S – 2AO=2c∆t. Так как A1O1=AC<OA, то из условия постоянства скорости света следует, что будет различно время ∆t1 и ∆t. Из ∆OAC по теореме Пифагора:

21

22222222 tctutcACOCOA ∆+∆=∆⇒+= . (6.20)

Тогда 2

1 1

−∆=∆

cutt , (6.21)

(т.е. получили случай 1, б) следствий из преобразований Х.Лоренца): а) если линейка движется, как показано на рис. 6.3 (перпендикулярно

оси Ох), то обозначив его длину в СО S l⊥, получают из уравнения (6.20):

75

222222

1

−

=∆⇒+∆=∆ ⊥⊥

cuc

ltltutc , clt 1

1⊥=∆ .

Тогда с учетом выражения (6.21) получают:

1⊥⊥ = ll . (6.22) б) если же стержень движется вдоль в СО S оси Ох с постоянной

скоростью ur , то для наблюдателя в СО S при движении света в направле-нии оси Ох (рис. 6.4): l||+u∆tI=c∆tI, а при движении света обратно (после

отражения от зеркала): c∆tII=l||–u∆tII, т.к. ∆t=∆tI +∆tII, то 222

ucclt−

=∆ ΙΙ . Для

наблюдателя в СО S1 clt 1

12 ΙΙ=∆ . То есть, с учетом выражения (6.21) полу-

чают: 2

1 1

−= ΙΙΙΙ c

ull (6.23)

(т.е. получили случай 2) следствий из преобразований Х. Лоренца).

O1 A1

S1

O x

Su t∆

,

u t∆

A

u

Рис. 6.4

Рассмотрим для простоты двумерные системы координат (рис. 6.5), оси которых вначале совпадали. Повернем систему Y1OX1 на угол ϕ отно-сительно YOX как показано на рис. 6.5, тогда:

21

21

2221

21

222 yxyxACABACABOA +=+=+=+= , (6.24)

ϕϕϕϕ sincossincos 1111 yxBKOCDCODOCx +=+=+== ϕϕϕϕ cossinsincos11111 yxxyBKOKOBy +−=−=−== ,

что удовлетворяет уравнению (6.24).

76

A

O

Y1 Y

X1X

1

C

BB

K

C1D1ϕ

ϕD

1K

Рис. 6.5

Если обозначить cosϕ=a, sinϕ=b, то x1=ax+by, y1= – bx+ay, причем

a2+b2=1. (6.25)

Если рассматривать сферу радиусом R, то ее уравнение x2+y2+z2=R2. Представим, что в центре сферы расположен источник, а на ее поверхно-сти – наблюдатель, тогда в СО S x2+y2+z2–c2∆t2=0, а в СО S1:

x12+y1

2+z12–c2∆t1

2=0. (6.26)

Если свет распространяется вдоль оси ОХ (параллельной ей оси ОХ1), то с учетом уравнений (6.23) и (6.24) формула имеет вид

y=y1, z=z1. (6.27)

Обобщая двумерный случай (6.24) на четырехмерный случай (6.26) с учетом равенства (6.27):

434213212

12

21

2221

2222

TТ

tсixtсix ∆+=∆+

или 21

21

22 TxTx +=+ , (6.28) где Т и Т1 – четвертая координата в этом случае;

i – мнимая единица ( 1−=i ). Равенство (6.25) справедливо для любой пары координат, поэто-

му, рассматривая его в терминах x, T и x1, T1, можно записать: x1=ax+bT, T1= – bx+aT, причем a2+b2=1. Так как координаты х, х1 – дей-ствительные, то следует положить, что b=id. Тогда, ведя отсчет време-ни с нуля и обозначая ∆t=t, получают равенство

dctaxx −=1 , (6.29)

77

верное для любых произвольных координат х и х1 в любой момент времени t. На основании уравнения (6.29) для любой пары точек с разными коорди-натами х(1) и х(2) в СО S и х1(1) и х1(2) в СО S1 в один и тот же момент време-ни t можно записать:

)( )1()2()1(1)2(1 xxaxx −=− . (6.30)

Так как ΙΙΙΙ =−=− lxxlxx )1()2(1)1(1)2(1 , , то с учетом формулы (6.23) получают

2

1

−=

cua . (6.31)

Из a2+b2=1=a2– d2 следует

−

=2

2

22

1cuc

ud и 2

1

−

+=

cuc

ud , (6.32)

где знак «+» при извлечении квадратного корня выбрали из тех соображе-ний, чтобы при (u/c)→0 (при малых скоростях) совпадало с преобразова-нием координат Г. Галилея. Подставляя формулу (6.32) в выражение (6.29) и далее в (6.28), получают преобразования Лоренца:

S→S1

2

21

1cvutxx

−

−= ,

y1=y, (6.33) z1=z,

2

2

2

1

1cv

cuxt

t−

−= .

78

ЛЕКЦИЯ 7. ЭЛЕМЕНТЫ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ

1. Общая теория относительности (ОТО) – релятивистская теория тяготения. 2. Космология и ОТО. Стационарные и нестационарные модели Вселенной. 3. Некоторые следствия из ОТО. Перед изучением данной лекции следует ознакомиться с лекциями 5 и 6.

7.1. Общая теория относительности – релятивистская теория тяготения

Строение и развитие Метагалактики (наблюдаемой современными

методами радиоастрономии части Вселенной) управляются, в основном, тяготением. ОТО представляет собой теорию тяготения, находящуюся в согласии с требованием о конечности скорости распространения лю-бых «сигналов», в том числе сил тяготения. Согласно ОТО тяготение проявляется в неэвклидовости (см. ниже) пространства и времени.

Ньютоновская теория всемирного тяготения (НТТ), в которой силы действуют на расстоянии без всякого запаздывания, совершенно очевид-ным образом не удовлетворяет требованиям частной, специальной теории относительности (СТО). Успех НТТ связан с достаточной точностью для описания движения планет, звезд и даже целых галактик, когда их относи-тельные скорости много меньше скорости света в вакууме c, а разность гравитационных потенциалов много меньше c2. Часто в небесной механике малы поправки, обусловленные запаздыванием и вообще конечностью скорости света. Такое утверждение ясно из следующего сопоставления: свет от Земли до Солнца идет 8 минут, что в 60 000 раз меньше года – вре-мени обращении Земли вокруг Солнца.

Ясно, что ньютоновская теория гравитации – это гравитостати-ка, аналогом которой является электростатика с ее законом Кулона. Необ-ходимость создания релятивистской теории гравитации (тяготения) была осознана сразу же после возникновения специальной теории относитель-ности (1905г.). Но задача оказалась очень сложной, и построение реляти-вистской теории тяготения – ОТО (1916г.) – заняло у А. Эйнштейна почти 10 лет (многие ученые считают датой рождения ОТО выход в свет статьи А. Эйнштейна «О принципе относительности и его следствиях» – 1907г.). Дело здесь в том, что можно предложить несколько теорий тяготения, удовлетворяющих требованиям СТО. Действительности же отвечает лишь одна. Конечно, как и всегда в естествознании верная теория может быть отобрана из сравнения выводов теорий с опытом и наблюдениями. Но да-

79

же наблюдений (не говоря уже об опытах) тогда еще не было сделано в си-лу несовершенства техники (средств измерений). Некоторые следствия из ОТО невозможно проверить и сейчас – после выхода человека в космос, например, существование «черных дыр».

Размышления о свойствах движения в инерциальных системах от-счета (ИСО) и неИСО привели А. Эйнштейна к мысли о независимости движении тел в поле сил инерции от их массы, что наблюдается и в грави-тационном поле, и формулированию одного из важнейших принципов фи-зики – принципа эквивалентности, лежащего в основе ОТО: свойства движения в неИСО такие же, как и в ИСО при наличии гравитационного поля, (т.е. поля сил инерционных и гравитационных эквивалентны – рав-ноускоренная СО эквивалентна однородному гравитационному полю. Ес-тественно предположить (это и было сделано А. Эйнштейном), что подоб-ная эквивалентность имеет место для всех физических явлений и процес-сов, а не только для механических движений.

Если однородное и постоянное поле тяготения влияет на все физиче-ские процессы совершенно так же, как равномерное ускорение систем от-счета, то и произвольное поле тяготения можно связать с геометрией и ки-нематикой. В пределах достаточно малой области пространства и в тече-ние достаточно небольшого интервала времени любое поле тяготения можно считать однородным и постоянным. Поэтому в любой малой про-странственно-временной области поле тяготения можно «исключить» (т. е. устранить его действие) выбором ускоренной СО – неИСО.

Представив себе как бы «жидкую» СО, ускорение которой в разных точках различно, можно исключить и более сложные поля тяготения. Это не значит, однако, что любое поле тяготения можно «навсегда» ликви-дировать выбором СО. Например, поле тяжести Земли направлено к ее центру и может быть на некоторое время исключено, если выбрать сво-бодно падающую на центр Земли СО. Но совершенно очевидно, что ис-пользование такой свободно падающей СО ограничено во времени. Следо-вательно, речь идет не о том, чтобы полностью «свести» поле тяжести к выбору СО. Можно лишь видеть, что поле тяготения полностью характе-ризуется величинами, определяющими свойства пространства и времени. Та-ких величин 10, и они в совокупности называются метрическим тензором и обозначаются символом gik. Смысл записи gik таков: индексы i и k соответст-вуют координатам x, у и z и времени t, причем обычно устанавливают такое соответствие: t – индекс 0, х – индекс 1, у – индекс 2, z – индекс 3. Величины g10 и g01 и аналогичные равны между собой, и, таким образом, всего из 16 возможных имеется именно 10 независимых величин: g00, g11, g22, g33, g10, g20, g30, g12, g13, g23, которые и можно записать в символической форме gik. При переходе от одной СО пространственных координат и времени к другой из-меняются как сами координаты х, у, z и t, так и величины gik.

80

Существуют, однако, другие величины, которые не зависят от СО или, как говорят, являются инвариантными, например, пространственно-временной интервал. В ОТО (ds)2=∑gikdxidxk при i, k = 0 относится к вре-мени так, что cdt=dx0.

Поясним сказанное выше на примере плоскости (двумерное про-странство), на которой находятся две близкие точки. Расстояние между этими точками ∆r не зависит от выбора системы координат на плоскости. В наиболее привычных нам прямоугольных (декартовых) координатах х и у имеем (∆r)2=(∆x)2+(∆y)2, где ∆x и ∆y – разности координат х и у для рас-сматриваемых точек. В произвольной же системе координат х' и у' на той же плоскости (∆r)2=g11(∆x')2+2g12∆x'⋅∆y'+g22(∆y')2. Для трехмерного про-странства – (координаты х, у, z) – и четырехмерного пространства-времени – координаты х, у, z и t (термин пространство-время ввел нем. физик и ма-тематик Г. Минковский (1864–1909) в статье «Пространство и время» в 1908г.) ситуация аналогична. С помощью величин gik можно выразить все свойства пространства-времени, в частности, определить расстояния (про-странственно-временной интервал) между любыми событиями.

Итак, в ОТО поле тяготения описывается величинами gik, которые в известном смысле приходят на смену одной величине – ньютоновскому потенциалу ϕ (см. лекцию 5, вопрос 1). Поле тяготения называется слабым, если потенциал ϕ мал по сравнению с величиной с2 (или, что одно и то же, скорость тел, движущихся в поле с потенциалом ϕ, мала по сравнению со скоростью света с). Если нет никаких тел (практически на большом рас-стоянии от всех массивных тел), то можно ввести ИСО, в которой g11=g22=g33 =–1, g00=1, а все остальные gik=0. Помещая в эту СО некоторое невращающееся тело (например, звезду), создающее слабое поле тяготе-ния, будем иметь g11=g22=g33=–1, g12=g23=g10=g20=g30=0 и g00=1+2ϕ/c2.

В гравитационных полях отдельных небесных тел, например звезд и планет, обычно можно выбрать систему координат так, чтобы наиболее существенной оказалась величина g00, т. е. коэффициент перед (dt)2:

,21 200

−≈

RcGMg

где М – масса гравитирующего тела;

R – расстояние до его центра. Таким образом, мы фактически возвращаемся к НТТ. Даже на поверх-

ности Солнца 6

20

02 1012,2/ −⋅−=−=cr

Gmсϕ (масса Солнца m0=1,99⋅1030 кг,

радиус Солнца r0=6,96⋅108 м), т.е. величина g00→1 и ньютоновское прибли-жение (НТТ) оказывается хорошим. Но все же отклонения от НТТ можно наблюдать уже в пределах солнечной системы. А. Эйнштейн указал на три

81

таких эффекта ОТО, которые можно наблюдать уже в пределах солнечной системы, и все они действительно были обнаружены. Первый эффект – из-менение частоты света при его распространении в поле тяготения, второй – дополнительный поворот орбит планет и спутников, третий – отклонение световых лучей, проходящих вблизи Солнца вследствие их притяжения. Здесь нет возможности подробно останавливаться на вопросе о проверке ОТО, поэтому ограничимся для примера только эффектом отклонения лу-чей. Он состоит в том, что видимое положение звезд на небе изменяется, если световые лучи проходят вблизи Солнца. Для обнаружения такого из-менения небо фотографируется во время полного солнечного затмения, чтобы можно было зафиксировать звезды, свет от которых проходит близ-ко от яркого солнечного диска. Через некоторое время (скажем, через пол-года) Солнце будет находиться в силу годичного движения Земли уже в другой области звездного неба, и можно получить фотографию тех же звезд, что и в первом случае, но уже в условиях, когда световые лучи прак-тически не отклоняются.

Отклонение луча, даже проходящего совсем близко к солнечному диску, достигает лишь 1,75 угловой секунды (примерно под таким углом человек был бы виден с расстояния в 200 км). Это отклонение впервые удалось измерить в 1919 г. Наблюдения подтверждают выводы ОТО в пре-делах достигнутой точности, составляющей примерно 10%.

В классической теории пространство считалось абсолютным, т. е. одинаковым всегда и везде и никак не зависящим от физических явлений, которые в нем происходят. Точно так же и время считалось абсолютным, т. е. неизменным по скорости протекания и одинаковым для всех точек про-странства вне зависимости от каких-либо физических явлений. ОТО де-монстрирует неотделимость пространства и времени друг от друга и от физических явлений. Теория тяготения А. Эйнштейна устанавливает связь между распределением и движением материи, с одной стороны, и метрикой пространства-времени, с другой.

Тот факт, что световые лучи распространяются вблизи тел не по прямым линиям, отражает, быть может, самое глубокое следствие ОТО. Именно при наличии полей тяготения пространство становится неэвклидо-вым (с «негалилеевым» временем, «протекающим» в разных местах с раз-ной скоростью, т.е. можно говорить о четырехмерном пространстве-времени). Вообще, в неэвклидовом пространстве нет ничего загадочного. Например, на сферической поверхности геометрия не является эвклидовой. Так, сумма углов треугольника не равна 180°, а непересекающихся прямых нет вообще, более того, кратчайшими расстояниями являются дуги окруж-ностей. Конечно, представить себе замкнутое неэвклидово трехмерное пространство довольно трудно, но сравнительно небольшие отклонения от эвклидовой геометрии вполне наглядны.

82

Представление о том, что геометрия реального пространства (Вселенной) является эвклидовой (Евклид (III в. до н.э.) в его знамени-том математическом сочинении «Начала») было обобщением по-вседневного опыта, но при переходе к большим расстояниям или в случае измерений с достаточно высокой точностью вполне может оказаться не-верным. Неэвклидова геометрия уже была создана к моменту появления ОТО (К. Гаусс (1777–1855), Н.И. Лобачевский (1792–1856), Я. Больяйи (1802–1860), Г. Риман (1826–1866)).

По ОТО установлено, что пространство (и пространство-время) и в самом деле не является эвклидовым, а опыт подтвердил это заключение. Геометрия пространства-времени определяется материей, зависит от нее. Можно сказать, что тяготение полностью отражается в отклонении гео-метрии пространства-времени от эвклидовой. Отсюда особенно ясно, что поле тяготения отнюдь не сводится к кинематике, не может быть полно-стью создано или «исключено» выбором СО. В самом деле, как бы мы ни выбирали СО (координаты) в эвклидовом пространстве, от этого простран-ство неэвклидовым не станет. Иначе говоря, неэвклидовость пространства является признаком существования «истинного» поля тяготения.

7.2. Космология и ОТО. Стационарные и нестационарные

модели Вселенной Космология – наука о Вселенной как едином целом, представление о

мироздании, космогония – наука о развитии небесных тел и их систем. Доэйнштейновская космология (стационарная однородная эвклидова

(СОЭ) модель) столкнулась с большими затруднениями. Необходимо было отказаться, по крайней мере, от одного из «трех китов», на которые она опиралась, – от стационарности, однородности или эвклидовости про-странства. Правда, имеется и еще одна возможность – видоизменить НТТ. ОТО обобщила НТТ, устранив противоречие с принципом конечности скорости распространения любых взаимодействий. При этом выяснилось, что геометрия пространства не является, вообще говоря, эвклидовой.

В такой ситуации вполне естественно, что современная космология, базирующаяся на ОТО, начала свое развитие на пути отказа не от стацио-нарности или однородности Вселенной, а от ее эвклидовости. Вселенная Эйнштейна, родившаяся в его работе 1917 г., – это замкнутый на себе, не изменяющийся во времени (его возраст бесконечен) трехмерный сфериче-ский мир конечного объема.

Человечество живёт в мире, где положение любой точки определяет-ся тремя её координатами точки в какой-то СО. Обычные для нас поверх-ности являются двухмерными, а линии – одномерными образованиями. Трехмерная сфера подобна двухмерной – можно сказать, что она является таким же переходом от обычной сферы, каким обычная (двухмерная) сфе-

83

ра является в отношении «одномерной сферы» – окружности. Никаких «краев» у трехмерной сферы, очевидно, нет, но ее объем конечен подобно тому, как конечна поверхность привычной нам двухмерной сферы. Уже на-блюдения с Земли позволяют определить, является ли окружающее про-странство эвклидовым или нет. Отклонение световых лучей вблизи Солнца доказывает, что некоторая «местная неэвклидовость» действительно имеется.

Для нахождения радиуса кривизны (трехмерной сферической) Все-ленной необходимо измерять огромные расстояния порядка нескольких миллиардов световых лет. Неудивительно, что радиус кривизны Вселенной до сих пор не измерен и, более того, не доказано, что ее объем конечен. Тем не менее уже можно утверждать, что если объем все же конечен (это вполне возможно), то радиус мира в нашу эпоху по порядку величины ра-вен 1010 световых лет, т.е. равен 1025 м (отсюда объем V=2π2R2~1079 м3).

А.Эйнштейн попытался с помощью уравнений ОТО связать радиус кривизны Rэ и среднюю плотность вещества в мире ρэ (индекс «э» – мо-дель Эйнштейна). Выяснилось, однако, что уравнения для гравитационно-го поля – метрического тензора gik не имеют соответствующего решения. Казалось бы, что в рамках ОТО стационарная модель противоречива. Од-нако уравнения допускают одно (и только одно) простое обобщение, а именно: к ним можно добавить член вида λgik. Новый член в уравнениях ОТО получил название лямбда-члена (чаще пишут так: Λ - член, используя не строчную, а прописную букву лямбда). Уравнения для поля gik с Λ- чле-ном уже имеют не зависящее от времени (стационарное или статическое)

сферическое решение, причем радиус кривизны пространства Λ

=1

эR , а

средняя плотность материи в мире G

сэ π

ρ4

2Λ= (т.е

ээ G

сRρπ4

= ). Если

Rэ=1025 м, то Λ=10-52 м-2 и ρэ ≈10-26 кг/см3. Для газообразного водорода с та-кой плотностью концентрация атомов равна примерно 0,1 м-3, т. е. один атом приходится на объем в 100 л. При атмосферном давлении и комнат-ной температуре в таком объеме находится около 5⋅1034 атомов водорода. Вся масса вещества в такой модели Мэ=2π2Rэ

3ρэ≈2⋅1053 кг, что в 1023 раз больше массы Солнца, равной 2⋅1030кг. Масса нашей Галактики, принад-лежащей к числу больших спиральных галактик, ≈1011 масс Солнца, т.е. в мире А.Эйнштейна с выбранными выше параметрами могло бы находиться 1012 галактик, подобных нашей. Такого числа галактик в реальной Вселен-ной не увидишь и в лучший существующий сейчас телескоп. Вместе с тем цифра 1012 в самом деле является разумной оценкой для существующего во Вселенной числа галактик.

Это не значит, что модель Эйнштейна подтвердилась. Напротив, бы-ло выяснено, что эта модель не отвечает действительности, т.к. Вселенная

84

нестационарна – она должна расширяться или сжиматься и ее свойства меняются во времени.

Исторически к выводу о расширении Вселенной пришли по двум путям – в результате наблюдений и теоретически (на основе ОТО). Только примерно в 1929 г. оба пути окончательно слились воедино. Теоретически это было показано, исходя из ОТО в 1922 г. российским ученым А.А. Фридманом (1888–1925) почти без всякой связи с наблюдениями (более того – этот вывод не обязательно связан с ОТО, он вполне понятен уже в рамках ННТ (см. объяснение ниже)). Уравнения ОТО имеют решения, от-вечающие однородному пространству, все расстояния в котором (скажем, расстояния между галактиками) изменяются во времени. Средняя плот-ность вещества, заполняющего пространство, при этом соответственно уменьшается.

С точки зрения нестационарной космологии Фридмана, введение Λ- члена не необходимо и связано с внесением в теорию дополнительной не-определенной постоянной, значение которой можно определить только из сопоставления получающихся формул с наблюдениями. Фридман не от-бросил Λ- член (хотя одно из общих правил физиков–теоретиков: если мо-жешь не вводить лишней постоянной, то не вводи ее; это обобщение из-вестного правила-совета У. Оккама (1285–1349) – «бритвы Оккама»: «Не вводи новые сущности без надобности»), но оказалось ясным, что и без этого члена (т.е. при Λ=0) существуют нестационарные решения. Для краткости такие модели без Λ-члена будем называть фридмановскими. Во фридмановских моделях показывается, что при отличной от критической

средней плотности вещества во Вселенной (G

Н⋅π8

3 2

) радиус кривизны про-

странства переменен: при плотности меньше критической, когда расшире-ние продолжается неограниченно, общая кривизна пространства отрица-тельна и его полный объем бесконечен; в то же время при плотности, пре-вышающей критическую, когда расширение сменяется сжатием, общая кривизна положительна и пространство имеет конечный объем. В первом случае говорят об открытом, а во втором – о замкнутом пространстве. Кривизна открытого пространства уменьшается при расширении, а кри-визна замкнутого пространства уменьшается при расширении и увеличи-вается при сжатии. В промежуточном случае, когда плотность равна кри-тической и расширение неограниченно, но скорость его постепенно уменьшается, стремясь к нулю, общая кривизна пространства равна нулю и оно является эвклидовым, так что его объем бесконечен. Эти модели по предположению, которое подтверждается наблюдениями, однородны и изотропны: средняя плотность вещества в них в данный момент времени везде одинакова, а все направления в пространстве – эквивалентны. Ус-

85

реднение при этом проводится по большому объему, включающему много галактик. Только в отношении таких больших масштабов и имеет место расширение или, конкретно, удаление галактик друг от друга. Солнечная система, наша Галактика и даже группы (скопления) близких галактик свя-заны силами тяготения и в общем космологическом расширении не участ-вуют, т.е. не расширяются. Ситуация в этом отношении аналогична рас-ширению газа, состоящего из многоатомных молекул: расстояния между молекулами увеличиваются, но сами молекулы остаются неизменными, ибо атомы в них связаны между собой.

В науке обсуждается вопрос о темпах протекания и пределах про-должительности процессов расширения и сжатия (поднимался также во-прос и о существовании некоей «антигравитируюшей» среды для обосно-вания стационарности Вселенной). Нестационарность моделей Вселенной, в которой действуют лишь силы тяготения, вполне понятна, она обуслов-лена просто тем, что для равновесия (стационарности) нужно иметь силы двух типов – притяжения и отталкивания (например, в случае надутой ре-зиновой камеры – давление воздуха стремится ее расширить, а силы упру-гости в резиновой оболочке – сжать).

Оказалось, что и НТТ не только качественно, но даже количественно описывает ход расширения во фридмановских моделях. Этот результат не случаен. ОТО не «отменила» НТТ, она ее только обобщила и содержит в качестве предельного случая – случая слабых полей тяготения. Количест-венное совпадение между классическим и релятивистским расчетами для фридмановских моделей связано с однородностью и изотропностью про-странства в этих моделях.

Почему же такой простой факт не был так долго замечен? Все дело в бесконечности классических моделей. Говоря о радиусе, считали звездный шар конечным. Фактически в НТТ можно перейти и к бесконечной систе-ме, причем результат не изменяется, но такой переход требует специально-го анализа, предельного перехода от конечной системы к бесконечной. ОТО обогнала в этом отношении НТТ именно потому, что в рамках ОТО бесконечные системы рассматривать легче, а кроме того, имеются и ко-нечные по объему многомерные (сферические неэвклидовы) модели.

В 1929 г. наблюдениями было установлено, что скорость удаления V любых двух точек в любом направлении пропорциональна расстоянию между точками R: V=HR, где H – постоянная Хаббла (американским ас-троном E. Hubble (1889–1953)). Этот вывод был сделан после обнаруже-ния красного смещения (увеличения длины волны света) в спектре реги-стрируемого излучения от звезд дальних галактик (для близких галактик такое смещение часто фиолетовое).

86

7.3. Некоторые следствия из ОТО Гравитационный дефект массы. В классической теории Ньютона

(НТТ) гравитационная масса тела (т.е. масса, определяющая создаваемое им поле тяготения), равная, как уже отмечалось (лекция 6), инертной массе, представляет собой сумму масс покоя составляющих его частиц. В реляти-вистской теории масса тела может быть больше суммарной массы покоя частиц (так как энергия их движения и энергия радиации создают вклад в полную массу) и меньше ее. Например, сравнительно небольшое умень-шение или, как говорят, дефект массы атомных ядер связан с тем, что при объединении нуклонов (протонов и нейтронов) в ядро выделяется энергия их связи. Поскольку в релятивистской теории всякая энергия соответствует определенной массе

2McE = , то при этом уменьшается и масса. Совершенно аналогично при образова-нии массивного тела выделяется гравитационная энергия, что также со-провождается уменьшением массы. Таким образом, существует и гравита-ционный дефект массы, который можно качественно понять, даже остава-ясь в рамках НТТ и учитывая, если он мал, лишь СТО. Но, как показывает ОТО, дефект массы может быть настолько велик, что масса тела окажется равной нулю. В случае же ядерных и других известных сейчас взаи-модействий это невозможно.

Если бы мы могли представить себе замкнутый мир (имеющий ко-нечные размеры), как, например, помещенный в пространство гораздо больших размеров, то мы должны были бы считать, что масса шара равня-ется нулю; его наличие не проявлялось бы никакими внешними действия-ми, из него не выходил бы «наружу» свет и никакие другие сигналы. Про-изведем теперь мысленно некоторое изменение шара: «снимем» с него тонкий наружный сферический слой. Тогда окажется, что масса оставше-гося шара уже не равна нулю, но она будет много меньше суммы масс по-коя его частиц. Мы рассматриваем, конечно, не реальный мир, а просто теоретическую модель, причем считаем, что имеются лишь одни частицы, а радиацией и тепловой энергией можно пренебречь. Чем больше «сни-маемый» слой, тем больше остающаяся масса. Она возрастает почти до по-ловины суммарной массы покоя, а при «снятии» дальнейших слоев начи-нает убывать, так сказать, нормальным образом. Такое причудливое пове-дение шара объясняется тем, что гравитационный дефект массы для всего замкнутого мира полностью компенсирует его массу покоя и массу, свя-занную с энергией расширения, а при «снятии» наружных слоев он уменьшается быстрее, чем суммарная масса покоя, и приближается к ну-лю; тогда становится применимой теория Ньютона. Такая часть замкнуто-го мира была исследована советским физиком Я.Б. Зельдовичем (1914) и названа им «полузамкнутым миром».

87

В.А. Рубан исследовал другой случай, предсказываемый ОТО: рас-ширяющийся или сжимающийся шар, гравитационная масса которого ни-как не связана с суммарной массой покоя. Она вообще не создается части-цами шара, как в НТТ, и представляет собой характеристику гравитацион-ного поля, т.е. искривления пространства-времени. Такую особенность этой «геометрической» массы отмечает, называя ее «массой без массы», Дж. Уилер. Что касается массы покоя частиц и массы, связанной с энерги-ей расширения или сжатия, то они целиком скомпенсированы гравитаци-онным дефектом массы в каждом сферическом слое. Поэтому при «сня-тии» слоев гравитационная масса шара Рубана не изменяется в отличие от «полузамкнутого мира».

В обоих разобранных примерах гравитационного дефекта массы – в теории мира А.А. Фридмана, являющейся продолжением в релятивист-скую область ньютоновой теории гравитирующего шара, и в теории В.А. Рубана, не имеющей никакого классического аналога, замечательно то об-стоятельство, что вся масса системы может быть скомпенсирована. Это значит, что если такие объекты могут образоваться из обычных тел конеч-ной массы, то при их образовании должна выделиться энергия, эквива-лентная всей их массе.

Сфера (1916г.) Шварцшильда (1873–1916). Массивное тело создает гравитационное поле, которое на больших расстояниях мало отличается от классического ньютоновского поля. Различие возрастает по мере роста от-

ношения 22RcGM

, где R – расстояние от центра тела. Величина rRcGM

=22

называется гравитационным радиусом тела. Для массы порядка солнечной Rr≈3⋅103 м, а для земной Rr≈0,01 м. Если тело настолько плотно, что его ра-диус меньше гравитационного, то другое тело может приблизиться к нему на расстояние Rr. При этом скорость падения, вычисляемая по ньютонов-

ской формуле 2/12

=

RGMv , → с, так что теория Ньютона совершенно

неприменима. ОТО приводит в этом случае к целому ряду неожиданных результатов: – тело, падающее извне, будет приближаться к сфере радиуса Rr (ее

называют сферой Шварцшильда) в течение бесконечного времени по уда-ленным часам;

88

– по часам, находящимся на этом падающем теле, оно пересечет сферу Шварцшильда и упадет на центральное тело за конечное время;

– если падающее тело излучает свет, то при его приближении к гра-витационному радиусу красное смещение будет возрастать, а частота све-та, принимаемого удаленным прибором, стремиться к нулю;

– фотоны, испущенные телом, вошедшим внутрь сферы Шварц-шильда, оказываются «захваченными» полем тяготения; они уже не могут выйти наружу, а движутся внутрь сферы Шварцшильда;

– фотон, у которого траектория полета проходит мимо центрального тела на расстоянии, меньшем 2,6Rr, также «захватывается». Предполагают, что в Метагалактике существуют тела, исчерпавшие свои источники энер-гии, испытавшие после этого катастрофическое сжатие (коллапс) и, со-гласно сказанному, застывшие (по нашим часам) на сфере Шварцшильда. Однако надо сказать, что такие объекты, называемые «черными дырами», еще не обнаружены наблюдениями. Можно говорить лишь о косвенном экспериментальном подтверждении этой идеи. Например, фиксируя излу-чение от какой-либо звезды, можно обнаружить его отсутствие в какой-то области пространства – своеобразную прореху в покрывале принимаемого излучения в месте расположения черной дыры.

Гравитационные волны. В ОТО изменения гравитационного поля, вызванные, например, перемещением масс, передаются на расстояние не мгновенно, как было в теории Ньютона. Они распространяются с той же скоростью, что и электромагнитные волны. В частности, при ряде физиче-ских процессов могут возникать изменения метрики, распространяющиеся в пространстве волнообразно. Такие волны называются гравитационными. Источниками гравитационных волн могут быть двойные звезды, пульсары, которые, по-видимому, представляют собой нейтронные звезды, быстро вращающиеся и колеблющиеся, а также активные ядра галактик.

Для справки: пульсары (открыты в 1967г.) – космические источни-ки радио-, оптического, рентгеновского и гамма-излучения, приходящие на Землю в виде периодически повторяющихся всплесков; у радиопульсаров (быстро вращающихся нейтронных звезд – предположительно состоят из нейтронов – масса близка к массе Солнца, но радиус составляет 1/50000 от солнечного (10–20 км)), периоды импульсов 0,03–4 с; у рентге-новских пульсаров (предположительно двойных звезд, где к нейтронной

89

звезде перетекает вещество от второй, обычной звезды) периоды со-ставляют несколько секунд и более.

Генерация и обнаружение гравитационных волн в принципе возмож-ны и в лабораторных установках, например, при помощи быстро вращаю-щихся массивных асимметричных тел (гироскопов).

Наиболее чувствительная установка, предназначенная для обнару-жения гравитационных волн, построена Дж. Вебером. Она состоит из двух связанных друг с другом приборов, находящихся на расстоянии примерно тысячи километров. На установке, тщательно защищенной от случайных воздействий, он обнаружил ряд совпадающих по времени сигналов. Вебер считает, что эти совпадения не могут быть случайными, и полагает, что обнаруженные им сигналы создаются приходящими из мирового про-странства гравитационными волнами. Если так, то в пространстве вокруг нас должно иметься довольно много гравитационных волн.

Гравитационные волны – тот пункт, в котором ОТО соприкасается с другой фундаментальной теорией современной физики – с квантовой тео-рией. Подобно тому, как электромагнитным волнам соответствуют их кванты или частицы, фотоны, гравитационным волнам также должны от-вечать согласно квантовой теории определенные частицы – кванты этих волн, которые были названы гравитонами.

Квантовая теория гравитационных волн впервые разрабатывалась М.П. Бронштейном (1906–1938). Оказалось, что гравитоны, так же как и фотоны, не имеют массы покоя и движутся со скоростью света. Как и дру-гие частицы, гравитоны могут испытывать столкновения, отдавать или по-лучать энергию и импульс. Д.Д. Иваненко (р.1904) и А.А. Соколов показа-ли, что гравитоны могут при подходящих условиях превращаться, напри-мер, в пару электрон–позитрон и, наоборот, электрон и позитрон, сталки-ваясь и аннигилируя, могут превратиться в гравитоны. Это означает, что гравитационные волны, или гравитоны, и вообще гравитационное поле, характеризуя геометрические свойства пространства-времени, вместе с тем представляют собой некоторую особую форму материи.

Нужно, однако, подчеркнуть, что свойства гравитонов, предсказы-ваемые теорией, как и само их существование, до сих пор не получили подтверждения в эксперименте или наблюдении.

90

ЛЕКЦИЯ 8. ЭЛЕМЕНТЫ МЕХАНИКИ ЖИДКОСТЕЙ И ГАЗОВ

1. Общие свойства жидкостей и газов. Гидростатическое давление и сила Архимеда. 2. Уравнение неразрывности, уравнение Д. Бернулли и его следствия. 3. Вязкость (внутреннее трение). Характеристики и критерии определения режимов течения. Ламинарный и турбулентный режимы течения жидкостей. 4. Стационарное течение жидкости в прямой трубе. Формула Ж. Пуазейля. Вискозиметр Оствальда-Пинкевича. Определение коэффициента вязкости методом Стокса. 5. Поверхностное натяжение в жидкостях. Капиллярные явления. 6. Движение тел в жидкостях и газах.

8.1. Общие свойства жидкостей и газов. Гидростатическое давление и сила Архимеда

Раздел механики, изучающий движение жидкой среды и ее взаимо-

действие с твердыми телами, называется гидродинамикой (воздушной – аэродинамикой). Движение среды (жидкости, газа) называют течением, а саму движущуюся среду – потоком. Условия массопереноса при течении среды называются режимом течения. Режим течения, при котором век-тор скорости в каждой точке постоянен по модулю и направлению, назы-вается стационарным или установившимся, иначе – нестационарным. Существуют различные способы классификации течений, например, по специфике поверхностей, ограничивающей область течения: течение жидкости со свободной поверхностью, с поверхностью раздела, вдоль проницаемой границы и т.п., что позволяет кратко описывать свойства этих течений и указывать методы их исследования.

Рис. 8.1

91

Линия тока – мысленно проведенная в потоке линия, касательная, в каждой точке которой совпадает по направлению с вектором скорости жидкости в этой точке. Линии тока, проходящие через замкнутый контур, образуют трубку тока (рис. 8.1). Часть (или весь) потока, ограниченного трубкой тока называется струйкой тока.

Отвлекаясь от строения среды, ее часто представляют сплошной, несжимаемой и без внутреннего (см. ниже) трения (в гидродинамике это – модель идеальной жидкости (плотность жидкости слабо зависит от дав-ления)).

В отличие от твердых тел, жидкости и газы в состоянии равнове-сия обычно не обладают упругостью формы, а лишь упругостью объе-ма. Это значит, что газ и жидкость принимают форму сосуда, в котором находятся, но жидкость имеет определенный объем, а газ занимает весь объем сосуда, в котором находится (плотность газов сильно зависит от давления, а жидкостей – слабо). Исключение составляют жидкие пленки и поверхностные слои жидкости, где большую роль играет поверхност-ное натяжение. Механические свойства газов и жидкостей таковы, что приложение сколь угодно малой касательной силы приводит к значитель-ным смещениям их частиц друг относительно друга – в связи с этим гово-рят о текучести жидкостей и газов.

FSF

Рис. 8.2

Если в покоящуюся жидкость (газ) поместить тело, то независимо от того, как тело ориентировано, части жидкости, находящиеся по раз-ные стороны от него, будут действовать на каждый его элемент с оди-наковыми силами (рис. 8.2).

Эти силы будут направлены по нормали к элементу поверхности, так как наличие касательных сил привело бы частицы жидкости в движе-ние. Отношение нормальной силы, действующей на единицу площади, на-зывается давлением жидкости (газа): p=F/S (единица измерения Паскаль: 1Па=1Н/м2).

92

P=mg

hC

S

S∆p

Рис. 8.3

Рассмотрим, как влияет вес жидкости на распределение давления внутри покоящейся жидкости. При равновесии жидкости давление по го-ризонтали всегда одинаково, иначе равновесие отсутствовало бы. На осно-вании вышесказанного можно сформулировать закон Б. Паскаля (1623–1662): давление в любом месте покоящейся жидкости одинаково по всем направлениям (горизонтальным плоскостям) и одинаково передается по всему объему, занятому покоящейся жидкостью. Поэтому свободная по-верхность покоящейся жидкости всегда горизонтальна вдали от стенок со-суда.

Если жидкость несжимаема, то ее плотность ρ не зависит от давле-ния, тогда при поперечном сечении столба жидкости S и его высоте h (глу-бине погружения):

ghSgShSPppp ρρ ===−=∆ //0 , (8.1)

где P – вес столба; p – давление на нижнее основание мысленно выде-ленного в жидкости цилиндра; p0 – давление на верхнее основание мыс-ленно выделенного в жидкости цилиндра (атмосферное на поверхности, где h=0).

Давление ∆р называется гидростатическим, оно линейно растет с глубиной (рис. 8.3).

Некоторые твердые тела могут находиться в равновесии в жидкости, т.е. существует противоположно направленная весу тела выталкивающая сила, обусловленная гидростатическим давлением жидкости (рис. 8.4).

Эта сила названа архимедовой (Архимед (ок. 286–212 гг. до н.э.)). Согласно закону Архимеда

VgFA ⋅⋅=→

ρ , (8.2)

93

P=mg

C

AQ

FA VA

Q=m gж

Ch M

A1

Рис. 8.4

равна весу вытесненной телом жидкости Qr

и приложена в центре масс А вытесненного объема жидкости, называемого центром плавучести тела (вы-тесняемый объем V=Q/ρg называется водоизмещением судна). Для равнове-сия необходимо, чтобы суммарный вес тела P≤Q, а центр плавучести А ле-жал на одной вертикали с центром масс С тела. Равновесие будет устойчи-вым для полностью погруженного в жидкость тела, если точка С лежит ни-же точки А, а если тело погружено частично (судно), то равновесие будет устойчивым, если точка С лежит выше точки А. При качке точка А будет изменять свое положение на А1 (Q

r будет приложена уже в А1), тогда возни-

кающая пара моментов сил Рr

и Qr

будет возвращать судно в исходное по-ложение, если линия действия силы Q

r пересекает ось симметрии судна в

точке М (метацентр), находящейся выше точки С, и способствовать усиле-нию крена (и перевороту судна), если метацентр М будет ниже точки С.

8.2. Уравнение неразрывности, уравнение Д. Бернулли

и его следствия

Рассмотрим стационарный поток жидкости в трубе. Массы жидко-сти, проходящие через любое из поперечных сечений трубки тока в едини-цу времени, равны (см. рис. 8.5):

ndSnvndmdm ρ=== сек...сек1 . (8.3)

94

dS1

v1v2dS2

v1dtdtv2

h1 h2

dr1= =dr2

p1

p2

Рис. 8.5 Уравнение (8.3) называется уравнением неразрывности. Так как

жидкость плохо сжимаема и ее плотность ρ практически не зависит от давления, то будут равны и секундные объемные расходы:

constndSnvdV == . Найдем закон изменения механической энергии применительно к уста-

новившемуся течению идеальной жидкости. Выделим в трубе произвольной конфигурации струйку тока (рис. 8.5). Рассмотрим изменения, происходящие за время dt. На жидкость действуют только силы давления и тяжести, причем работа сил давления, приложенных к боковой поверхности струйки, равна нулю (направление силы и перемещения перпендикулярны).

По закону изменения механической энергии (3.10):

dTdUA +=δ ,

где dtdSvppdtvdSpdtvdSpA 1121222111 )( −=−=δ

с учетом 2211 dSvdSvdV == , (8.4)

)(2

21

22 vvdmdT −= , )( 12 hhgdmdU −⋅⋅= ,

а dtdSvdVdm 11⋅=⋅= ρρ (8.5)

Проводя преобразования, получают

)()(21)( 12

21

2221 hhgvvdmpp −+−=−

ρ

или 22

22

11

21

22phgvphgv

+⋅⋅+⋅

=+⋅⋅+⋅ ρρρρ

,

т.е.

constBphgv==+⋅⋅+

⋅ ρρ2

2

(8.6)

95

Уравнение (8.6) называется уравнением (1738г.) Д. Бернулли (1700–1782), где слагаемые называют: p – статическое, ρgh – гидроста-

тическое, 2

2v⋅ρ – динамическое давление (скоростной напор). Сумму

pvp +⋅

=2

2

0ρ

называют полным давлением.

Из уравнения (8.3) следует, что на участках горизонтально располо-женной трубки тока (горизонтальной трубы) с меньшей площадью попе-речного сечения скорость потока будет больше, и наоборот, а из уравнения (8.6) с учетом этого следует, что статическое давление больше в широких местах, где скорость меньше, и наоборот.

а)

б) в)

Рис. 8.6 Например, (рис. 8.6,а) жидкость поднимется выше в манометриче-

ском колене (манометре), соединенном с узким местом трубы, по которой идет стационарный поток газа (трубка, содержащая короткий участок меньшего сечения, называется трубкой Вентури); уровень жидкости в ма-нометре (рис. 8.6,б), соединенном с узким местом трубки Вентури, меньше. Из рис. 8.6, а и 8.6,в ясно, что вода может увлекаться потоком газа, а газ – откачиваться из сосуда за счет увлечения потоком воды до p=100 мм.рт.ст. (1 мм.рт.ст.=133,32 Па).

Рассмотрим истечение идеальной несжимаемой жидкости через ма-лое отверстие в стенке или дне широкого сосуда (рис. 8.7). Частицы жид-кости подходят к отверстию, имея скорости в поперечном направлении. Из-за инерции это приводит к сжатию вытекающей струи. Во избежание этого предположим, что истечение происходит через трубку с закруглен-ными краями, благодаря чему линии тока перед истечением меняют на-правление на параллельное оси трубки и сжатия струи практически не воз-никает (остается лишь поверхностное натяжение). В точке А (рис. 8.7) ско-рость пренебрежимо мала (≈0), а в точке В высота ≈0, тогда уравнение (8.6) можно переписать в виде

2

2vphgp ⋅+=⋅⋅+ρρ ,

96

откуда ghv 2= . (8.7)

Формула (8.7) – формула Э. Торричелли (1608–1647).

hhA

B

Рис. 8.7. 8.3. Вязкость (внутреннее трение). Характеристики

и критерии определения режимов течения. Ламинарный и турбулентный режимы течения жидкостей

Возникновение внутреннего трения (вязкости) связано с передачей

друг другу импульса частицами слоев среды, движущимися с различной скоростью и взаимодействием между самими частицами среды. Таким обра-зом, один слой ускоряет второй, а второй, напротив, – тормозит первый с силой, определяемой законом И. Ньютона для внутреннего трения:

SхvF

∆∆

=η

или dndv

SF ητ == , (8.8)

где ∆ν(dν) – разность скоростей соприкасающихся слоев (изменение скорости в направлении внешней нормали nr );

∆ν/∆x(dν/dn) градиент (быстрота изменения) скорости в направле-нии Ох (скорость сдвига), перпендикулярном вектору скорости νr ;

S – площадь соприкосновения (чем больше площадь соприкоснове-ния, тем больше сила);

τ – касательное напряжение (создаваемое касательной силой трения F); η – коэффициент пропорциональности – динамическая вязкость

или просто вязкость [Па⋅с] (ϕ=1/η называется текучестью). Величина ξ=η/ρ называется кинематической вязкостью, где ρ –

плотность жидкости.

97

Единицы измерения динамической вязкости в системе СИ – Па⋅с, кинематической – м2/с. Иногда встречаются значения, указанные в «ста-рой» системе единиц СГС: для динамической вязкости – Пуаз (П, P), для кинематической – Стокс (Ст, St), 1Ст=10-4 м2/с.

Зная картину течения для одной системы тел, можно предсказать те-чение для геометрически подобной системы.

При сравнении двух течений рассматривают следующие параметры: νr , rr , ν0, ρ, l, η, ξ, g, νзв, τ (или F), где νr , r – скорость и радиус-вектор в подобно расположенных точках потоков; ν0 – характерная скорость пото-ка (значение или функция скорости, с помощью которой удобно описы-вать поведение потока, например, натекание из бесконечности); l – харак-терный линейный размер охватывающего пространства (например, d – диаметр трубы); g – ускорение свободного падения; ν0 – скорость звука в текущей среде. Все эти параметры объединяет шесть независимых безраз-мерных комбинаций:

0vv→

, lr→

и ξη

ρ 00Re lvvl=

⋅⋅= – число О. Рейнольдса (1842–1912); (8.9)

glvF

20= – число У. Фруда (1810–1879); (8.10)

звvvM 0= – число Э. Маха (1838–1916); (8.11)

lvSh τ0= – число В. Струхаля (1850–1923). (8.12)

Согласно правилу размерности одна из этих безразмерных величин яв-

ляется функцией остальных: νr /ν0=ƒ( rr /l, Re, F, M, S). Течения называют ме-ханически или гидродинамически подобными, если совпадают 5 из этих 6 комбинаций (6-я совпадет обязательно) – общий закон подобия течений.

Аналогичные (8.9)–(8.12) числа вводятся и для описания процессов тепломассообмена (критерии В. Нуссельта (1882–1957) – Nu, Л. Прандтля (1875–1953) – Pr, др.).

Число Рейнольдса (8.9) есть отношение кинетической энергии жид-кости к потере этой энергии, обусловленной работой сил вязкости на ха-рактерной длине:

98

3202

1~ lvkW ⋅⋅ρ ,

20

0)8.8(

2

lvllS

lvFlA ⋅⋅=⋅

=⋅

⋅== ηη

,

т.е. ξηρ 00Re lvvl

AkW

=⋅⋅

== ,

что определяет относительную роль инерции и вязкости при течении. При больших значениях Re основную роль играет инерция, при малых значени-ях – вязкость.

Аналогичную роль играет число Фруда (8.10): определяет отношение кинетической энергии жидкости к работе силы тяжести на пути, равном характерной длине. Чем оно больше, тем больше роль инерции по сравне-нию с тяжестью, и наоборот.

Течения подобны, если они имеют одинаковые числа Re и F. Прак-тически заключение делают по сравнению величин чисел: что играет ос-новную роль при течении – вязкость или тяжесть. При малых значениях Re основную роль играет вязкость, и наоборот.

а) V =2Vmax ср

б) V =1,23Vmax ср

Рис. 8.8 Ламинарным (слоистым) называют течение, когда частицы жид-

кости движутся вдоль прямолинейных траекторий, параллельных оси тру-бы (параллельные слои не перемешиваются, все характеристики тече-ния практически неизменны). Это течение характеризуется малым числом Re<1000, наблюдается при малых скоростях течения. При 1000≤Re≤2000 наблюдается неустойчивость – переход от ламинарного к турбулентному (вихревому) течению, характеристики которого быстро и нерегулярно изменяются во времени (флуктуируют), параллельные слои перемешива-ются. При дальнейшем росте Re течение турбулентно. При описании тече-

99

ния жидкости в трубе используют приближение пограничного слоя: слой жидкости, примыкающий к стенке трубы, остается неподвижным, скоро-сти последующих слоев возрастают и достигают максимума у оси трубы.

Причина этого – прилипание частиц жидкости за счет вязкости. Толщина пограничного слоя δ не остается постоянной и зависит от свойств жидкости, формы обтекаемого тела, места на этом теле (передняя (лобовая, здесь δ меньше) или задняя часть обтекаемого тела (здесь больше)). На рис. 8.8 изображены профили усредненной скорости слоя при течении жидкости в трубе: а) ламинарном; б) турбулентном.

8.4. Стационарное течение жидкости в прямой трубе.

Формула Ж. Пуазейля. Вискозиметр Оствальда-Пинкевича. Определение коэффициента вязкости методом Стокса Пусть вязкая несжимаемая жидкость течет вдоль прямолинейной ци-

линдрической трубы радиуса R. Линии тока параллельны оси трубы. Из условия несжимаемости следует, что скорость течения v одинакова вдоль всей трубы, но изменяется с расстоянием радиуса r от оси трубы (рис. 8.8), т.е. ν=ƒ(r). Примем ось трубы за ось Ох, направленную в сторону течения.

dx

p(x) p(x+dx)

Рис. 8.9

Рассмотрим малую часть трубы длиной dx (рис. 8.9). На боковую по-верхность выделенного элемента жидкости действует касательная сила

вязкости 48476 Sdxr

drdvdF ⋅⋅⋅= πη 2

)8.8(

, кроме того, на основание цилиндра

действует сила разности давлений

dxdxdprdxxpxprpdF 22 ))()(( ⋅−=+−⋅= ππ .

При стационарном течении сумма этих двух сил равна нулю, т.е.

dxdpr

drdv

=η2 .

100

Тогда из rdrlppdv⋅

−−=

η221 (р1 – давление на входе трубы, р2 – на

выходе, l – длина трубы) следует, что constCr

lppv +⋅

−−= 221

2η.

Константа интегрирования С находится из условия, что при r=R (у стенки трубы) скорость v=0.

Тогда

)(2

2221 rRlppv −⋅

−=

η , (8.13)

Откуда скорость v максимальна у оси трубы (r=0, см. рис. 8.8), а при удалении от оси трубы меняется по параболическому закону.

Масса жидкости, ежесекундно протекающая в трубе через кольце-вую площадку с внутренним радиусом r, а внешним r+dr, равна dQ=2π⋅rdr⋅ρ⋅ν. Заменяя скорость v (8.13) и интегрируя, находят (ежесе-кундный) расход жидкости в трубке:

421

0

2221

4)( R

lpprdrrR

lppQ

R

⋅⋅

−⋅⋅=−

⋅−

⋅⋅= ∫ ηρπ

ηρπ (8.14)

Формула (8.14) – формула (1840г.) Ж. Пуазейля (1799–1869), хотя Ж. Пуазейль ее не выводил, а лишь исследовал течение жидкости в капил-лярах экспериментально. Представляя формулу (8.14) с учетом формулы (8.13) и рис. 8.8 (вводя среднюю скорость потока) в виде Q=π⋅ρ⋅R2⋅νср/2, можно опытным путем определить вязкость жидкости. Формула (8.14) справедлива только для ламинарных течений. Для ньютоновских (струк-турированных) жидкостей (подчиняющихся закону (8.8)) Q∼p (линейная зависимость). Для неньютоновских жидкостей (кровь, лимфа) зависимость Q=ƒ(p) нелинейна, что объясняется непостоянством коэффициента η.

Формулу Пуазейля используют при определении (зависимости) вязкости жидкости (от температуры) путем сравнения с некоторой эталонной (индекс «0»), для которой известны значения вязкости η0(ξ0=η0/ρ) при ряде температур.

12

3

Рис. 8.10

101

Вискозиметр Оствальда-Пинкевича (В.Ф. Оствальд (1853–1932), А.П. Пинкевич (1883–1939)) представляет собой U-образную стеклянную трубку (рис. 8.10) с двумя расширениями 1 и 2 и насосом 3, позволяющим перегнать жидкость из одного расширения в другое. Для двух жидкостей используются два идентичных вискозиметра. Так как путь l, проходимый жидкостями между расширениями одинаков, то, зная время (t и t0) ис-течения одинакового объема (V=Qt=V0=Q0t0) жидкостей, из формулы (8.14) можно определить вязкость исследуемой жидкости:

0

0)14.8(

00 ρη

ηρ⋅=

tQQt

,

откуда

tt⋅⋅

=ρρηη 00

0 (8.15)

или

tt0

0ξξ = , (8.15')

при данной температуре Т. Зависимость ξ=ƒ(T) (η=ƒ(T)) является нелинейной. Если шарик падает в жидкости, простирающейся безгранично по

всем направлениям, не оставляя за собой никаких завихрений, то на него действует сила внутреннего трения, равная по закону (1851г.) Д.Г. Стокса (1819–1903):

rvF πη6= , (8.16) где r – радиус шарика;

ν – его скорость. Если шарик свободно падает в вязкой жидкости, то на него будут

действовать сила тяжести mg=ρШVg и выталкивающая сила (Архимеда)

FA=ρЖVg, равная весу вытесненной жидкости (V – объем шарика, ρШ–

плотность шарика, ρЖ – плотность жидкости). На основании второго зако-

на Ньютона с учетом соотношения (8.16) получают выражение

rvVgVgШtvm Ж πηρρ 6−−=∂∂

. (8.17)

102

Сила сопротивления с увеличением скорости движения шарика воз-

растает, а ускорение уменьшается и, наконец, шарик достигает такой ско-

рости, при которой ускорение становится равным нулю и тогда уравнение

(8.17) принимает вид

06)(43 3 =−− rvgr ЖШ πηρρπ , (8.18)

где вместо объема подставили 3

43 rV π= . В этом случае шарик движется

с постоянной скоростью ν0. Такое движение шарика называется устано-вившимся. Решая уравнение (8.18) относительно коэффициента внутренне-го трения, получают

0

2

9)(2

vgrЖШ ρρη −

= . (8.19)

Скорость шарика ν0 можно определить, зная расстояние l, пройденное

шариком, и время t, за которое шарик проходит это расстояние: ν0=l/t. То-

гда из выражений (8.17) и (8.19) следует, что коэффициент вязкости равен

lgtrЖШ

9)(2 2ρρη −

= . (8.20)

Практически невозможно осуществить падение шарика в безграничной

среде, т.к. всегда жидкость находится в каком-то сосуде, имеющем стенки и

дно. Поэтому в формуле (8.20) вводится поправочный коэффициент

RrK

4,21

1

+= ,

где R – радиус цилиндрического сосуда. Тогда формула (8.20) принимает вид

)4,21(9

)(2 2

Rrl

gtrЖШ

+

−=

ρρη . (8.21)

103

8.5. Поверхностное натяжение в жидкостях. Капиллярные явления

(обзор (осн. понятия), более полно см. раздел физики «Молекулярная физика и термодинамика»)

На частицу (молекулу) жидкости действуют силы притяжения со сто-роны окружающих частиц. Если частица находится внутри жидкости и уда-лена от ее поверхности на расстояние больше радиуса сферы взаимодействия частиц, то эти силы в среднем уравновешиваются. Если же частица нахо-дится в приграничном слое малой, сравнимой с радиусом действия час-тиц, толщины (например, в капле), то появляется результирующая сила, направленная внутрь жидкости. Поэтому для извлечения молекулы из внутренних слоев на поверхность требуется совершить работу. Работа, ко-торую надо затратить, чтобы изотермически и квазистатически увели-чить поверхность жидкости на единицу при сохранении объема неизмен-ным, называется поверхностным натяжением жидкости. По-другому, поверхностное натяжение можно охарактеризовать как свободную поверхно-стную энергию жидкости, приходящуюся на единицу поверхности.

Жидкости характеризуются различными значениями поверхностного натяжения, поэтому в случае раствора, содержащего несколько компонен-тов, состав поверхностного слоя будет отличаться от состава раствора в его «объемной» части.

Любая система в неравновесном состоянии стремится перейти в равновесное состояние, характеризуемое минимумом свободной энергии. Для жидкости, не ограниченной стенками сосуда, формой с наименьшей поверхностью (и, следовательно, энергией) является шар. Получению шаровой (в невесомости) формы капли мешает сила тяжести. Потенциальная энергия в поле сил тяготения пропорциональна объему, а энергия поверхно-стного натяжения – площади поверхности капли. Чем больше объем, тем сильнее влияние силы тяжести, малые же капли практически шарообразны. На поверхности капли, как правило, имеют полусферическую форму, при-чем, чем больше капля растекается по поверхности твердого тела, образуя тонкую пленку, тем о лучшей смачиваемости поверхности данного тела (вещества) этой жидкостью говорят. Смачиваемостью поверхности сосуда жидкостью определяется форма ее поверхности (в случае несмачиваемости можно налить в стакан воду с горкой, не перелив воду через край стакана).

104

Капиллярами называют трубки малого внутреннего диаметра, что обусловливает яркое проявление действия сил поверхностного натяжения, например, в искажении формы поверхности жидкости в капилляре (она будет либо сферически – выпуклой для несмачиваемых поверхностей, ли-бо сферически – вогнутой – для смачиваемых). В состоянии равновесия при искривлении формы поверхности на концах капилляра давления будут разными, т.е. будет появляться дополнительная разность давлений на кон-цах, обусловленная поверхностным натяжением.

8.6. Движение тел в жидкостях и газах

На тело, движущееся в жидкости или газе действует сила R,

являющаяся равнодействующей двух сил (рис. 8.10): ЛСRr

(сила лобо-вого сопротивления, направленная против движения тела в сторону потока) и ПСR

r (подъемная сила, направленная перпендикулярно дви-

жению). При движении в идеальной жидкости Rлс=0.

α

RлсRпс

R

Рис. 8.11

Если тело симметрично, то Rпс=0, а если несимметрично и не имеет обтекаемой формы (плавно утончающейся хвостовой части), то погранич-ный слой вязкой среды «постоянно отрывается» от поверхности тела.

За телом образуется течение, направленное в противоположную на-бегающему потоку сторону (вихри, вращаются в противоположную сторо-ну). Лобовое сопротивление зависит от формы и расположения тела отно-сительно потока:

SvлсCлсR

2

2⋅=

ρ, (8.22)

105

где Слс – экспериментально определяемый безразмерный коэффициент сопротивления;

S – наибольшее поперечное сечение тела. Лобовое сопротивление можно значительно уменьшить подбором

обтекаемой формы, не способствующей завихрению. Подъемная сила определяется аналогичным образом:

SvпсCпсR

2

2⋅=

ρ, (8.23)

где Спс – безразмерный коэффициент подъемной силы. Характеристикой крыла является качество крыла: K=Cпс/Слс. Для

крыла самолета (подводного крыла) требуется большая подъемная сила при малом лобовом сопротивлении, это условие хорошо выполняется при малых углах атаки α (угол к встречному потоку).

МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА

ЛЕКЦИЯ 9. ОСНОВЫ МОЛЕКУЛЯРНОЙ ФИЗИКИ I 1. Основные понятия молекулярно-кинетической теории (МКТ)

и термодинамики. 2. Газовые законы. Уравнение (Менделеева–Клапейрона) со-

стояния идеального газа (ИГ). 3. Основное уравнение МКТ. 4. Распределение Дж.К.Максвелла молекул по скоростям и энергиям. 5. Барометрическая формула (распределение Больцмана).

9.1. Основные понятия молекулярно-кинетической теории (МКТ) и термодинамики

Механика имеет дело с отдельными телами (обычно описывает дви-

жение не более трех тел). Молекулярная физика изучает системы, состоя-щие из огромного числа N∼(NA=6,02⋅1023 моль-1) непрерывно хаотически движущихся частиц.

Исследовать процессы в таких системах с помощью законов механи-ки практически невозможно. Однако молекулярная физика и термодина-мика выработали свои особые методы изучения таких систем. Существует два общих подхода (метода):

106

- статистический – основывается на квантовой теории строения ве-щества и использует новые – статистические – закономерности, прояв-ляющиеся только в коллективном поведении частиц системы; оперирует характеристиками отдельных частиц (скорость, энергия), используя их ус-реднение (наиболее вероятные значения) для описания всей системы;

- термодинамический (ТД) – изучает общие свойства макросистем (не вдаваясь в строение, происходящее внутри), находящихся в состоянии термодинамического равновесия; устанавливает соотношения между мак-ропараметрами: обычно Р (давлением), V (объемом) и T (температурой) системы на основе обобщения большого числа опытных данных. Поэтому термодинамику часто называют феноменологической (от греч. «являю-щееся») теорией.

Оба подхода тесно связаны и хорошо дополняют, а в ряде случаев дублируют друг друга.

Дадим ряд определений. Термодинамической системой (ТДС) называют мысленно выделен-

ную совокупность тел (макросистему), которая рассматривается на основе ТД подхода. Открытая ТДС – ТДС, обменивающаяся с окружающей средой веществом и энергией, закрытая – только энергией. Напротив, изолирован-ная ТДС (или замкнутая ТДС) – ТДС, не способная к обмену веществом и энергией с окружающей средой (идеальный случай, т.к. энергия может излу-чаться и поглощаться без соприкосновения изолированных тел, для замкну-той имеется ввиду неспособность обмениваться энергией через совершение механической работы). Адиабатная ТДС – замкнутая ТДС, не способная к обмену энергией с окружающей средой посредством теплообмена (реальные теплоизолированные системы с малым рассеянием теплоты).

ТД параметры делятся: на интенсивные, не зависящие от количе-ства вещества в ТДС (P, T), и экстенсивные, зависящие и пропорциональ-ные ему (V); на внешние, зависящие от положения и свойств внешних по отношению к ТДС тел (например, стенок сосуда – V), и внутренние, зави-сящие еще и от координат и скоростей частиц самой системы (Р, энергия).

В 1866г. австрийский физик Л.Больцман (1844–1906), будучи сту-дентом, доказал, что величиной, характеризующей состояние ТДС незави-симо от ее микроскопической структуры, может быть средняя кинетиче-ская энергия поступательного движения одной молекулы:

kT23

=ε , (9.1)

где k – постоянная Больцмана, k=1,38⋅10-23 Дж/К; Т – термодинамическая температура (по шкале Кельвина (англ. У. Томсон (1824–1907), за научные заслуги лорд Кельвин)) – мера кинетической энергии (теплового движе-ния) частиц вещества. В настоящее время в международной практике, на-ряду с термодинамической шкалой, принято использовать международную

107

практическую шкалу Цельсия (швед. A. Celsius (1701–1744)) Т=[t(°C)+273,15°]К. Считается, что при T=0 K – «нуль кельвин» – пре-кращается всякое движение. Такая температура не достижима, хотя воз-можно сколь угодно близкое приближение к ней.

ТД равновесием называется состояние системы, характеризующееся при постоянных внешних условиях неизменностью параметров (P,V,T) и отсутствием потоков вещества и энергии в системе.

Равновесное состояние системы характеризуется следующими свойствами:

1) оно не зависит от предыстории системы (от предшествующих со-стояний);

2) переход системы в равновесное состояние необратим; 3) в равновесном состоянии реализуется определенное стационарное

(не зависящее от времени) распределение молекул по скоростям. ТД процессом называется любое изменение состояния системы, связан-

ное с изменением хотя бы одного термодинамического параметра. ТД процесс называется равновесным, если изменение состояния ТДС происходит при t→∞ (время), т.е. каждое предыдущее состояние характеризуется мало отли-чающимися от последующего ТД параметрами (P,V,T). Реальные процессы имеют конечную скорость (время) протекания и не являются равновесными, но могут быть приближенными к ним – квазиравновесными.

Модель идеального газа (ИГ) основывается на трех допущениях: – собственный объем молекул пренебрежимо мал по сравнению с

объемом сосуда; – силы взаимодействия между молекулами отсутствуют; – столкновение молекул друг с другом и со стенками сосуда в про-

цессе хаотического теплового движения носит упругий характер. Модель ИГ с успехом применяется для описания реальных газов при

нормальных условиях (н.у.): P0=101325 Па=760 мм.рт.ст., Т0=273,15 К, а также при высоких температурах и низких давлениях. При иных условиях от уравнения ИГ можно перейти к теории реальных газов, вводя в эти уравнения поправки, учитывающие собственный объем молекул и силы взаимодействия между ними.

9.2. Газовые законы. Уравнение (Менделеева–Клайперона) состояния ИГ

Простейшие примеры ТД процессов – изопроцессы (постоянной оста-

ется масса газа m=const и один из ТД параметров P, V или T). Они описывают-ся экспериментально установленными законами: а) изотермический (m=const, T=const) (рис.9.1, а) закон Бойля–Мариотта (англ. Р. Бойль (1627–1691), фр. Э. Мариотт (1620–1684)):

108

PV=const; (9.2) б) изобарный (m=const, P=const) (рис. 9.1, б) закон Ж.Л. Гей-Люссака (1778–1850):

V=V0(1+α⋅t). (9.3) При н.у. (Р0 и Т0) α=1/273,15 K-1; в) изохорный (m=const, V=const) (рис. 9.1, в) закон Ж.Л. Гей-Люссака (1778–1850):

P=P0(1+α⋅t). (9.4) Выражая время t через температуру T законы Гей-Люссака можно перепи-сать в виде:

2

1

2

1

TT

VV

= и 2

1

2

1

TT

PP= . (9.5)

Рис. 9.1

Закон А. Авогадро (1776–1856): 1 моль любых газов при одинако-вых температуре и давлении занимают одинаковый объем.

При н.у. молярный объем Vm=22,41⋅10-3 м3 (22,41 литра), а число час-тиц в одном моле любого газа NA=6,02⋅1023 моль-1.

Закон Дж. Дальтона (1766–1844): давление смеси газов равно сумме

парциальных давлений газов, входящих в эту смесь: ∑=

=n

iiPP

1.

Парциальное давление – то, которое производил бы газ, входящий в состав смеси, если бы занимал сам весь объем, занимаемый смесью.

Уравнением состояния или термическим уравнением состояния называется функция f(P,V,T)=0, связывающая все макропараметры систе-мы (ИГ). Получают его, следуя Б.П.Э. Клайперону (1799–1864) и Д.И. Менделееву (1834–1907 гг.).

Изменение состояния ИГ в результате двух изопроцессов (сначала изотермического, а затем изохорного), изображено на рис. 9.2.

109

Соответственно получают: P1V1=P'1V2 и 2

1

2

/1

TT

PP

= . Исключая из

уравнений величину P'1, получают уравнение Клапейрона:

constBTVP

TVP

===2

22

1

11. (9.6)

P

V

PP

P

1

1/

2

V1 V2

P1 V1 T1,,P1 V T1,,

PV T,,

/

2

22 2

Рис. 9.2

Так как все состояния ИГ были выбраны произвольно, то уравнение (9.6) выполняется в любом ТД процессе для данной массы m ИГ (значение постоянной В зависит от природы газа).

Менделеев объединил уравнение Клапейрона с законом Авогадро. Так как при данных давлении и температуре газы занимают одинаковый объем, для одного моля газа можно записать:

RTPVm = , (9.7)

где R– универсальная газовая постоянная, не зависящая от природы ИГ R=k⋅NA=8,31 Дж/(моль⋅К).

Чтобы перейти к произвольной массе газа, заметим, что объем, кото-рый занимают v молей газа в v раз больше молярного объема Vm, т.е.

V=νVm (по пропорции VmVM m

(М – масса одного моля (молярная масса)

газа) с учетом ν=m/M получают то же V=νVm). Тогда

vRTvPVm = (9.8) или

RTMmPV = . (9.8')

110

Иногда уравнение (9.8) записывают в виде

nkTV

TkNPm

A == , (9.9)

где n – концентрация частиц вещества (атомов, молекул).

9.3. Основное уравнение МКТ

В рамках модели ИГ получим основное уравнение МКТ, связываю-щее давление газа с механическими характеристиками молекул – скоро-стью и энергией.

v∆t

∆S

Рис. 9.3

Пусть одноатомный ИГ находится в сосуде; выделим малую площадь на стенках сосуда. Импульс, передаваемый площади ∆S одной молекулой при каждом соударении, равен (см. лекция 3, Теория удара): ∆p0=m0v1–(–m0v1)=2m0v1, где v1 – нормальная составляющая скорости молекулы.

За время ∆t с площадкой ∆S столкнутся молекулы, заключенные в объеме ∆V=∆Sν∆t. Далее непрерывное хаотическое движение молекул для упрощения расчетов заменяют на равновероятное движение молекул вдоль трех взаимно перпендикулярных направлений, считая, что вдоль каждого направления движется одна треть всех молекул со скоростью v. За время ∆t из тех молекул, что движутся перпендикулярно площади ∆S (рис. 9.3), столкнутся с ней половина (всего 1/6). Число молекул, которые соударя-ются с ∆S равно

tSvnnVN ∆∆==61

61

.

Суммарный импульс, передаваемый площади ∆S, равен

tSnvmNvmNpp ∆∆=⋅=∆=∆ 2000 3

12 .

Тогда давление газа определяют по формуле 2

031 nvm

Stp

SFP =

∆∆∆

=∆

= . (9.10)

111

С точки зрения МКТ давление газа есть импульс, передаваемый его молекулами единице поверхности сосуда в единицу времени.

Молекулы газа движутся с различными скоростями, поэтому в вы-ражении (9.10) должна стоять средняя скорость Nvv

iiср /∑= , но при

этом к более точному значению приводит квадратичное усреднение

∑=i

ivN

v 21:

2

031

><= квvnmP . (9.11)

Уравнение (9.11) – основное уравнение МКТ. Учитывая, что n=N/V, уравнение (9.11) можно записать в виде:

220 3

131

><=><= квvmквvNmРV или 2

31

><= квvMmРV .

(9.12) С учетом уравнения (9.7) получают

MRT

mkT

ANm

TAkNквv 333

00

==>=< . (9.13)

Для воздуха ( молькгM /1029 3−⋅= ) смквv /500>≈< . Средняя кинетическая энергия поступательного движения одной мо-

лекулы:

kTNEквvm

23

2

20

==><

>=< ε . (9.14)

С учетом уравнения (9.14) основное уравнение МКТ можно записать в следующем виде:

><=><= εnквvnmP32

22

31 2

0 . (9.15)

При Т=0 К поступательное движение молекул прекращается и газ не оказывает давления на сосуд.

9.4. Распределение Дж.К.Максвелла молекул по скоростям и энергиям

Несмотря на то, что скорости всех молекул в процессе хаотического

движения непрерывно меняют значения и направления, средняя скорость квv остается постоянной при данной температуре (одна из статистиче-

112

ских, проявляющихся при наличии большого числа частиц в системе, за-кономерностей). Это объясняется тем, что в состоянии равновесия реали-зуется некоторое стационарное распределение молекул по скоростям, под-чиняющееся определенному статистическому закону. Этот закон был по-лучен Дж.К. Максвеллом (1831–1879) на основе теории вероятности. Функция (распределения Максвелла молекул по скоростям) f(v) определяет относительное число (долю) молекул dN/N, скорости которых находятся в интервале [v,v+dv]:

kTvm

kTmvf ev 2

20

23

24)( 20

−⋅

=

ππ . (9.16)

По сути, функция распределения молекул по скоростям f(v) рав-на вероятности dW встречи в газе молекулы со скоростью, заключен-ной в интервале [v,v+dv]:

dvdW

dvNdNvf =⋅

=)( . (9.17)

Вероятность же встречи молекулы со скоростью из интервала ( )+∞∞− ; – событие достоверное – равна 1, т.е.

∫+∞

∞−

= 1)( dvvf . (9.18)

Уравнение (9.18) – условие нормировки.

v

f(v) T T1 2

в кв

<

<v <<v <vdv0

dS=dN v)(N

Рис. 9.4

Функция распределения всегда однозначна (вероятность не может иметь несколько значений для данного значения какого-то параметра), ко-нечна (вероятность конечное число).

Подробнее о статистических закономерностях и функциях распре-деления см. в разделе «Элементы квантовой физики».

Максимум зависимости (и вероятности) f(v) (рис. 9.4) будет соответ-ствовать наиболее вероятному значению скорости vв. Данное значение можно получить, исследуя уравнение (9.16) на экстремум:

113

02

20

2 =

−

kTvm

evdvd , откуда 02

22 2

20

022

20

=

−+⇒

−−

vekT

mvve kTvm

kTvm

,

что возможно при трех значениях:

0=v , ∞=v (min функции) и 12

20 =kTvm

(max функции – наиболее веро-

ятная скорость), т.е. 0

2mkTvв =

или MRT

вv2

= . (9.19)

Для получения средней скорости используют методику, принятую в

статистической физике: ∫>=<∞

0)()( dxxxfxg . Подставляя x=v, f(x)=f(v) и

dx=dv ( ∫>=<∞

0)( dvvvfv ) и интегрируя с использованием табличного ин-

теграла

2

23

21

0α

α =∞

−∫ dxxex , (9.20)

получают среднюю скорость:

M

RTdvkTvm

kTm evv

8

0

20

24

2

23

03

πππ =

∞ −⋅

⋅>=< ∫ . (9.21)

Из формул (9.13), ((9.19) и (9.21) следует, что ввкв vvvv 13,1 ;22,1 >≈<>≈< (рис. 9.4).

Для получения функции распределения молекул по энергиям (ε) необходимо в равенстве dvvNfvdN ))(())(( εε = (см. 9.20) провести, исходя

из уравнения 2

20vm

=ε , замены ε

εε

00 2 ;2

mddv

mv == .

Тогда

( ) ε

ε

επ

εε

εε

ππε dkTe

kTd

mmkT

m

emkT

mdvvf−

=⋅

⋅−⋅

= 21

23

0

0

0

0

23

0 124

21

222

24)(

и ( ) kTekTNd

dNfε

επε

εε−

−== 2123

)2)(( . (9.25)

114

Находя среднее значение энергии аналогично (9.21), получают (9.1):

kT23

=ε .

9.5. Барометрическая формула (распределение Больцмана) До сих пор считалось распределение молекул в пространстве

равномерным. Однако в действительности это не так, поскольку моле-кулы газа всегда находятся в поле внешних сил, например, в поле тяго-тения. Силы тяготения удерживают атмосферу у поверхности земли, не давая ей рассеяться вследствие теплового движения в окружающем про-странстве. В результате устанавливается некоторое стационарное рас-пределение молекул, при котором давление и концентрация молекул (плотность) убывают с ростом высоты (атмосфера разрежается).

Найдем зависимости P=f(h) и n=f(h) в предположении однородного поля тяготения и постоянства температуры.

Sdh

Рис. 9.5

Из уравнения Менделеева – Клапейрона

MTR

MRT

VmP ⋅⋅

==ρ

, RTPM

=ρ .

Разность давлений на верхнее и нижнее основание мысленно выде-ленного цилиндра (рис. 9.5) равна весу столба воздуха, приходящемуся на единицу S основания, т.е. гидростатическому давлению P столбика dh:

dhgRTPMdhgdP ⋅−=⋅⋅−= ρ .

Знак «–» показывает, что давление убывает с ростом высоты. Разделяя в дан-

ном дифференциальном уравнении переменные RTMgdh

PdP

−= и интегрируя

∫ ∫−=P

P hRT

MgdhP

dP h

0

2

1

, получают RTMgh

PPn −=

0

l

или RThMg

ePP∆

−= 0 (9.23)

115

Уравнение (9.23) – барометрическая формула Л.Больцмана (1844–1906 гг.).

Так как по условию рассмотрения T=const, то из формулы (9.23) с учетом равенства (9.12) получают зависимость n=f(h) для концентрации:

RThMg

PP

nn e

∆−

==00

⇒ RThMg

enn∆

−= 0 . (9.24)

Распределение (9.24) можно переписать в другом виде с учетом ра-венств ANmM 0= и AkNR = :

kTU

kThgm

RThMg

enenenn0

0

0

00

−=

∆−

=

∆−

= , (9.25) где U0 – потенциальная энергия молекулы во внешнем силовом поле (тяго-тения).

ЛЕКЦИЯ 10. ОСНОВЫ МОЛЕКУЛЯРНОЙ ФИЗИКИ II

1. Эффективный диаметр молекулы. Среднее число столкновений и средняя длина свободного пробега.

2. Опыты Р. Броуна, О. Штерна, Элдриджа, Б. Ламмерта, Д. Мил-лера, П. Куша, Цартмана, Ж. Перрена как экспериментальное обоснование молекулярно-кинетической теории (МКТ).

3. Явления переноса (тепломассоперенос) в термодинамически неравновесных системах. Законы Фика, Фурье, Ньютона (внутреннее трение – вязкость – см. также лекция 8, вопрос 3).

4. Методы получения вакуума и свойства разреженных газов. 10.1. Эффективный диаметр молекулы. Среднее число столкновений и средняя длина свободного пробега Конечные размеры молекул и высокая их концентрация приводит к то-

му, что в процессе хаотического теплового движения они непрерывно стал-киваются между собой, а в промежутках между двумя последовательными соударениями движутся равномерно и прямолинейно. Расстояние, которое проходит молекула между двумя соударениями, называется длиной сво-бодного пробега. Эти расстояния могут быть сколь угодно различными, по-этому вводят понятие средней длины свободного пробега, которое является характеристикой всей совокупности молекул при данных P и T.

Получим выражение для средней длины. Для этого введем ряд упрощений. Будем считать молекулы шарика-

ми, диаметра d~10-10 м, зависящего от химической природы вещества. При-близительно оценить диаметр d молекулы при известных условиях (Р,V,T) можно следующим образом:

116

3 43

34 3

0 ρππρ

ANMddANVANMmV⋅

=⇒⋅=== ,

где V0 – объем одной молекулы. Минимальное расстояние d, на которое во время соударения сбли-

жаются центры двух молекул, называется эффективным диаметром мо-лекулы.

dd

<v>

Рис. 10.1

Подсчитаем среднее число столкновений, испытываемых молекулой в единицу времени. «Заморозим» все молекулы, кроме рассматриваемой, тогда с последней столкнутся те молекулы, центры которых отстоят от траектории рассматриваемой молекулы на расстоянии r≤d. Рассматривае-мую молекулу можно считать движущейся внутри ломаного цилиндра ра-диусом r (рис. 10.1). Среднее число столкновений в единицу времени, может быть найдено как число молекул, заключенных внутри, рассматри-ваемого цилиндра:

><⋅⋅⋅=∆

∆><=

∆∆

>=< vdnt

tvnStVnz 2π . (10.1)

Вообще число столкновений должно зависеть от относительной ско-рости vот молекул.

v1 v2α

vот

Рис. 10.2 Пусть скорости молекул до соударения

→

1v и →

2v соответственно. При столкновении угол (рис. 10.2) между данными скоростями может прини-мать любое значение: α >

2π ; α <

2π , т.е. среднее значение функции

<cosα > = 0. Относительная скорость ><≈−+= vvvvvотv 2cos2 21

22

21 α . Поэтому уравнение (10.1) при учете

движения других молекул следует записать в виде

117

><⋅⋅⋅>=< vdnz 22 π , (10.2) что точнее описывает действительность.

Из кинематики следует, что >><>=<< λvz , откуда средняя длина свободного пробега равна

)2/(1/ 2dnvz ⋅⋅>=<>>=<< πλ . (10.3) Хотя реальное строение молекул гораздо сложнее, зависимости

(10.2) и (10.3) дают значение, хорошо согласующееся с опытным. Подход с использованием эффективных диаметра d и сечения молекул оказывается достаточно точным.

10.2. Опыты Р. Броуна, О. Штерна, Элдриджа, Б. Ламмерта, Д. Миллера, П. Куша, Цартмана, Ж. Перрена как эксперимен-

тальное обоснование молекулярно-кинетической теории В 1827г. английский ботаник Р. Броун (1773–1858), наблюдая под

микроскопом взвешенные в воде и газе частицы, обнаружил их непре-кращающееся со временем непрерывное хаотическое (зигзагообраз-ное) движение. Оживленность (интенсивность) названного впоследствии броуновским движения росла с увеличением температуры (т.к. уменьшает-ся вязкость жидкости) и с уменьшением массы (размеров) взвешенных в жидкой или газообразной среде (броуновских) частиц независимо от хи-мической природы их и среды. Французский ученый Ж. Перрен (1870–1942) наблюдал броуновское движение в двумерном случае – в плоскости – на поверхности мыльных пузырей.

Броуновское движение было объяснено на основе МКТ лишь спус-тя почти 80 лет как передача взвешенным в среде частицам импульса от сталкивающихся с ними в результате теплового движения молекул среды. Математическая теория броуновского движения была построена в 1905г. А.Эйнштейном (1879–1955) и в 1906г. М.Смолуховским (1872–1917). Экспериментальная проверка распределения (Дж.Максвелла) молекул по скоростям была проведена впервые (1920г., испарение серебра) немецким физиком О.Штерном (1888–1969) и (1921г., термоэлектронная эмиссия с поверхности разогретого металла в вакуум) американским физиком О.У.Ричардсоном (1879–1959), а затем (1927г., испарение кадмия) Элд-риджом, (1926–1929гг., испарение ртути) Б.Ламмертом (1892–1957), (1955г., испарение калия и таллия) Д.К.Миллером (1866–1941) и П.Кушем (р.1911г.), (испарение висмута) Цартманом.

118

123

s

Рис. 10.3 В ставшем классическим опыте Штерна покрытая серебром плати-

новая проволока (рис.10.3), располагавшаяся вдоль осей цилиндров 2, 3, после откачки из цилиндра 3 воздуха до давления 65 1010~ −− − мм.рт.ст. нагревалась в результате прохождения по ней электрического тока до тем-пературы выше точки плавления ( Сo9,9618,960 − ) серебра (max до 1200°С). Атомы серебра, испаряясь, осаждались на охлаждаемых стенках цилиндра 3. Если цилиндры покоились, то изображение щели получалось четким, а если цилиндр 3 вращался (n~2500–2700мин-1), то размытым. При этом ско-рость τvs = , где Rv ⋅= ω – линейная скорость точек поверхности вра-щающегося цилиндра 3 радиуса R; vl /=τ – время прохождения атома-ми серебра расстояния вдоль пунктирного криволинейного участка дли-ной l. Тогда sRlvvRls // ⋅=⇒⋅= ωω . Опыты Штерна дали значения 560–640 м/c, близкие к значению средней квадратичной скорости (584 м/с согласно МКТ, (см. формулу9.13).

A

S1 S2

D1 D2

P

Рис. 10.4

Элдридж и Ламмерт на базе опытов Штерна и А.И.Л.Физо (1819–

1896) (опыт по измерению скорости света, 1851г., см. раздел «Оптика») разработали селекторы скоростей атомов в пучке (рис. 10.4). Атомы ме-талла, испаряясь в печи А, вылетают наружу и через систему диафрагм (щелей) S1, выделяющих узкий атомный пучок, попадают на прорези зуб-чатого диска D1 и далее на прорези диска D2, смещенные относительно прорезей D1 на малый угол ( o2~α ). Когда диски покоятся, атомы, проходя прорези D1, задерживаются на зубцах D2. Когда же диски вращаются, ато-

119

мы с определенными скоростями будут достигать приемника Р (охлаждае-мой жидким азотом стеклянной пластины, наблюдаемой в микроскоп и/или фотометрически). Максимум прохождения будет наблюдаться тогда, когда за время пролета атомами расстояния между дисками они повернутся на угол α (при угловой скорости вращения дисков ω). Меняя скорость ω, можно изу-чать в пучке распределение атомов по скоростям. Однако максимум про-хождения будет наблюдаться и для атомов с большими скоростями при α+2π, α+4π, т.д. или, другими словами, для кратных угловых скоростей вращения дисков 2ω, 3ω, т.д. Для выделения атомов с одной, характер-ной именно для данной ω скоростью v, Миллер и Куш вместо зубчатых дисков использовали сплошные цилиндры с вырезанными вдоль образующих цилиндра под малым угломα к ним узкими винтовыми канавками. По канав-кам могут пройти атомы, для которых vRtg /⋅= ωα (R – радиус цилинд-ра).

A S C1

2d

Рис. 10.5

В опытах Цартмана (рис. 10.5) атомы, испаряясь из печи А и прохо-дя через систему диафрагм (щелей) S, попадают в неподвижном цилиндре в точку 1, а во вращающемся с угловой скоростью ω – в точку 2. Это про-исходит вследствие затраты атомами, обладающими конечной скоростью v, времени на прохождение расстояния, равного диаметру цилиндра d.

Точка попадания смещается от точки 1 к 2 по поверхности цилиндра

на расстояние vdTdvTl

22

2⋅=

⋅==

ωω. В окрестность точки 1 попадают

атомы с наибольшими скоростями, а в окрестность точки 2 – с наимень-шими. По истечении 10 часов предварительно фотометрированную стек-лянную пластинку 12 вновь фотометрируют. В предположении реализации в печи для атомов в парах металла распределения Максвелла по скоростям можно рассчитать плотность распределения вещества на пластинке 12.

Широкую известность получили также опыты Ж.Перрена (1908–1911гг.) по определению постоянной Авогадро ( RkN A = ) на основе рас-пределения Больцмана (9.24). Из формулы (9.24) следует, что

)(

)(

21

0

nnT

ghжmmk

ln

−= . (10.4)

120

Параметры, входящие в формулу (10.4), определялись следующим образом.

Взвешенные в жидкости частицы вещества совершают броуновское движение. Берется жидкость с плотностью немного меньшей плотности вещества частиц, тогда поле тяжести будет сильно ослаблено архимедовой подъемной силой и возникнет «атмосфера» – распределение частиц, по-добное существующему в атмосфере Земли. Потенциальная энергия час-тицы при этом определяется как потенциальная энергия частицы вещества m0 в однородном поле тяготения за вычетом потенциальной энергии опус-кающегося объема (массы mж) жидкости, которую вытесняет частица при подъеме под действием архимедовой силы. Путем растирки и растворения мастики спиртом и водой и последующего центрифугирования Перрен по-лучил однородную эмульсию с практически одинаковыми размерами и массой взвешенных частиц, легко определяемыми экспериментально с по-мощью микроскопа (визуально). Визуально определялось также и среднее изменение концентрации в различных микрослоях капли эмульсии (по двум направлениям – вдоль и поперек капли).

Результаты вышеописанных опытов полностью подтверждают ос-новные положения молекулярно-кинетической теории (МКТ).

10.3. Явления переноса (тепломассоперенос) в

термодинамически неравновесных системах. Законы Фика, Фурье, Ньютона (внутреннее трение – вязкость – см. также

лекция 8, вопрос 3) Ранее были даны определение и свойства равновесного состояния и

термодинамического (ТД) равновесия и ТД системы (лекция 9, вопрос 1). Равновесные состояния реализуются в ТДС только в отсутствие потоков. Если существуют неоднородности – области, в которых значения характе-ризующих среду величин (концентрация (плотность), скорость частиц, температура среды) отличаются от значений в соседних областях, то воз-никают явления переноса – потоки вещества (диффузия), энергии (тепло-проводность, теплопередача), импульса (внутреннее трение – вязкость, см. лекция 8, вопрос 3). Под потоком обычно понимают передачу количества чего-либо (энергии, массы, импульса) в единицу времени через единичную площадку. Потоки при самопроизвольном (без внешнего воздействия) про-текании процессов всегда направлены в сторону областей с меньшим зна-чением энергии, концентрации (плотности) и импульса и приводят к вы-равниванию значений этих величин, характеризующих состояние среды.

Вследствие подобия условий все явления переноса описываются сходными по форме записи опытными законами. В общем виде можно за-писать:

121

∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇⋅−=⋅−=→→→→→→

kz

Ajy

Aix

AKAKgradAKj nnnnnnnnn , (10.5)

где dtdSdn

nj⊥

= – поток, соответствующей величины n (масса n≡m, энер-

гии n≡Q, импульса n≡v (скорость слоя) – величина, определяемая как ко-личество n, переносимое в единицу времени перпендикулярно единичной площади сечения, через которое происходит перенос;

Кn – соответствующий коэффициент пропорциональности (коэффи-циент диффузии D, теплопроводности λ, вязкости η;

→→→→

=∂

∂+

∂

∂+

∂

∂= gradAk

znA

jynA

ixnA

drndA

– градиент соответствующего па-

раметра, характеризующего среду (трехмерный случай), →→

∂∂

= ix

AgradA n

или dx

dAAgrad n= (здесь и далее для простоты рассмотрим одномерный

случай); →→→

kji ,, – единичные направляющие вектора осей Ox, Оy, Оz соответ-ственно (орты);

знак «–» означает, что поток направлен в сторону, противоположную направлению градиента.

Диффузия описывается законом Фика ( 00nm=ρ ):

dtdSdmmсек⊥

= или dxdn

Dmсекm

mj0

0

−== . (10.6)

Следует различать концентрационную диффузию, вызванную не-равновесным распределением частиц (в общем случае разной химической природы) в рассматриваемом объеме, и самодиффузию – броуновское (те-пловое) движение собственных частиц вещества в заданном объеме этого вещества (даже в равновесных условиях), например, диффузия газа через проницаемую перегородку при условии, что газ по обе стороны перегород-ки уже абсолютно тождественен. При строгом расчете диффузионных по-токов следует также учитывать и термодиффузию (1917г., С.Чепмен (1888–1970), Д.Энског). Например, если концы трубы, заполненной одно-родной смесью двух газов, имеют разные температуры, то вдоль трубы возникают противоположно направленные диффузионные потоки этих га-зов. Причем, молекулы большей массы стремятся перейти в более холод-ные области, а с меньшей – в более нагретые. Если же массы примерно одинаковы, а размеры разные, то в холодную область стремятся перейти

122

более крупные молекулы, а в теплые – менее крупные. Коэффициент диф-фузии в уравнении (10.6) существенно зависит от температуры (D=f(T)).

Направление термодиффузионных потоков сильно зависит от харак-тера взаимодействия между молекулами. Если молекулы считать силовы-ми центрами с радиусом действия ~1/ra (отталкивание), то при переходе через а=5 потоки меняют свои направления на противоположные, а при а=5 термодиффузия исчезает. Строгая теория, описывающая термодиффу-зию, сложна, громоздка и выходит за рамки данного курса.

Теплопроводность – передача тепла от более нагретых областей к менее нагретым вследствие теплового движения молекул – описывается законом (1822 г., «Аналитическая теория тепла») Ж.Б.Ж. Фурье (1768–1830):

dtdSdQ

секq⊥

= или dxdT

Ej ⋅−= λ . (10.7)

Передача импульса – вязкость, определяемая согласно уравнению (8.8), описывается законом И.Ньютона:

dtdSdp

секp⊥

=

или dxdv

pj η−= . (10.8)

Если в газе или жидкости создать упорядоченное движение («ток»), то вследствие теплового движения скорости слоев с течением времени бу-дут выравниваться. Вязкость – взаимопроникновение друг в друга, также обусловлена тепловым движением.

Строгая статистическая теория показывает, что характеристики D,λ,η связаны простой пропорциональной связью, что подчеркивает еди-ный механизм всех явлений переноса: η=ρ⋅ D,

1)/( =⋅ Vcηλ . (10.9)

Таким образом, вышеперечисленные явления переноса неотде-лимы друг от друга, их следует рассматривать во взаимосвязи. Приме-ром может служить (конвективный) теплообмен между потоками жидко-сти и поверхностью твердого тела (радиатора). Как правило, при этом воз-никает конвекция – восходящее движение нагретых слоев жидкости и нис-ходящее – охлаждаемых, т.е. происходит не только перенос тепла, но и массы (жидкости). В связи с этим в литературе часто пользуются понятием тепломассопереноса.

123

10.4. Методы получения вакуума и свойства разреженных газов

Рассмотрим актуальный для многих производств вопрос – получение

вакуума и свойства разреженных газов. Вакуум – разреженный газ, находящийся при давлении ниже атмо-

сферного. Понятие вакуума достаточно условно. Для количественной оценки степени вакуума Комитет стандартов Американского вакуумного общества предложил следующую классификацию вакуума:

Низкий 760…25 мм.рт.ст. ~ 105…3,3 х 103Па Средний 25…10-3 мм.рт.ст. ~ 3,3 103…1,33 х 10-1 Па Высокий 10-3…10-6 мм.рт.ст. ~ 1,33 10-1…1,33 х 10-4 Па Очень высокий 10-6 …10-9 мм.рт.ст. ~ 1,33 10-4…1,33 х 10-7 ПаСверхвысокий ниже ...10-9 мм.рт.ст., ниже 1,33 х 10-7 Па

Термин высокий вакуум в более широком смысле используется для

систем с давлением ниже 10-3 мм.рт.ст. Термин «форвакуум» используется для обозначения предварительного разрежения, достигаемого с помощью механических низковакуумных насосов. Для количественных оценок сте-пени вакуума используются следующие характеристики: давление; кон-центрация молекул (атомов) в единице объема, средняя длина свободного пробега; температура газа; время образование (адсорбции) монослоя газа на поверхности (слоя в одну молекулу).

Молекула при своем движении, в состоянии вакуума чаще сталкива-ется со стенками сосуда (размером l), чем с другими молекулами, сильно увеличивается длина свободного пробега λ (низкий вакуум <λ><<l, сред-ний – <λ>≈l, высокий – <λ>>>l). При этом интенсивность возможных по-токов вещества, энергии, импульса резко уменьшается, соответствующие коэффициенты явлений переноса становятся малыми, поэтому вакуумиза-ция позволяет достичь хорошей тепловой изоляции (термос и сосуд Дьюа-ра с вакуумными колбами).

Если рассматривать ультраразреженный газ, находящийся в двух со-единенных между собой сосудах, то в условиях высокого вакуума вырав-нивания давлений не происходит (эффект М.Х.К.Кнудсена (1871–1949)), давление в сосудах будет определяться из условия равенства встречных потоков между сосудами:

><>=< 2211 vnvn . (10.10) Заменяя концентрации согласно формуле (9.9), а скорости согласно

формуле (9.21), получим равенство, выражающее эффект Кнудсена:

124

2

1

2

1

TT

pp

= . (10.11)

Вакуумные насосы – приборы для получения вакуума – подразделя-ются по принципу действия и по назначению. Исходя из первого признака, существуют механические насосы и физико-химические. Вакуумные насо-сы подразделяют на насосы низкого, среднего, высокого и сверхвысокого вакуума.

К низковакуумным относят механические поршневые и двухсту-пенчатые насосы, ротационные пластинчатые, двухроторные и винтовые насосы, насосы с частичным внутренним сжатием и водокольцевые. Дав-ление, достигаемое в них, составляет P ≈ 0,3...1Па. К средневакуумным относят пластинчато-роторные насосы и насосы с катящимся ротором, сорбционные насосы, давление в которых P≈1...10-1 Па.

Для создания глубокого вакуума используются насосы, эксплуатируе-мые только вместе с форвакуумными, поскольку для их работы необходимо предварительное разряжение. К высоковакуумным насосам относят моле-кулярные и турбомолекулярные, давление в которых P ≈ 10-4...10-6 Па. К сверхвысоковакуумным относят магниторазрядные, геттерно-ионные, кон-денсационные насосы, а также различные их модификации (P≈10-7…10-9 Па).

Основные параметры любого насоса: быстрота действия, предельное давление, наименьшее рабочее давление, наибольшее рабочее давление, наибольшее давление запуска и наибольшее выпускное давление.

Рассмотрим принцип действия насоса среднего вакуума – механи-ческого вакуумного насоса (МВН) 2НВР–5ДМ.

Рис. 10.6

Процесс откачки через клапан 2 в пластинчато-роторных МВН осно-ван на механическом всасывании и выталкивании газа вследствие перио-дического изменения объема рабочей камеры, образуемого цилиндром, крышками и движущимися частями насоса – ротором и пластинами. В цилиндре 3 (рис.10.6) вращается в направлении, указанном стрелкой, экс-центрично установленный ротор 4. В прорези ротора помещены пластины 5,

125

которые пружинами 6 прижимаются к поверхности цилиндра 3. При вра-щении ротора пластины скользят по поверхности цилиндра. Полость, об-разованная цилиндром, ротором и торцовыми крышками, делится пласти-ной на полости А и В. При вращении ротора объем полости А периодиче-ски увеличивается, и в нее поступает газ из откачиваемой системы через клапан 2. Объем полости В периодически уменьшается, в ней происходит сжатие газа, сжатый газ выбрасывается через клапан 1. Уплотнение между полостями всасывания А и сжатия В достигается при помощи масляной пленки. Выхлопные клапаны работают под слоем масла.

МВН с масляным уплотнением используются в качестве насосов предварительного (форвакуумного) разрежения в высоковакуумных агре-гатах и являются неотъемлемой частью любой вакуумной установки.

Высоковакуумные пароструйные (или диффузионные) насосы (ВПСН) являются наиболее простыми и надежными средствами откачки, позволяющими создавать низкие давления от 10-2 до 10-9 Па. Они широко применяются в промышленности. Характерной особенностью ВПСН явля-ется постоянство быстроты действия в широком диапазоне рабочих давле-ний. В качестве рабочей жидкости в высоковакуумных насосах применя-ются ртуть (марка Р–1) и высоковакуумные масла ВМ–1, ВМ–2, ВМ–5 и ВМ–7, сложные эфиры ОФ и ОС, кремнийорганические жидкости ВК Ж–94А и ПФ МС–2.

Высоковакуумные парортутные насосы (ВПРН) до настоящего вре-мени находят широкое применение в промышленности и технике, несмот-ря на известные недостатки ртути: токсичность; высокую упругость пара при комнатной температуре, обусловливающую необходимость примене-ния низкотемпературных ловушек; высокую химическую активность по отношению к металлам, ограничивающую выбор конструкционных мате-риалов насосов. Они используются в основном для откачки ртутных вы-прямителей, газосветных ламп, масс-спектрометров, ускорителей, устано-вок для термоядерных исследований и т. д.

Широкое использование ВПРН обусловлено рядом их важных дос-тоинств. При использовании низкотемпературных ловушек они позволяют получать «чистый» вакуум, не загрязняя откачиваемую систему побочны-ми газообразными продуктами; очень стабильны в работе, так как ртуть не разлагается в кипятильнике ПРН; имеют большой срок службы и мало чувствительны к прорывам атмосферы в насос, если при этом не происхо-дит значительного уноса из него ртути.

Выпускаются высоковакуумные ВПРН с быстротой откачки 10, 15, 500, 1500 и 6000 л/с. ВПСН наиболее широко распространены в промыш-ленности, что обусловлено простотой их устройства и надежностью работы. Используемые в насосах в качестве рабочих жидкостей вакуумные масла совершенно безвредны, не взаимодействуют с конструкционными материа-лами и обладают низкой упругостью пара при комнатной температуре.

126

Рис. 10.7 При помощи ВПСН можно получать остаточные давления ниже 10-4 Па без применения низкотемпературных ловушек. Выпускается значительный ассортимент различных ВПСН как общего, так и специального назначения с быстротой откачки от 5 до 38 000 л/с. Конст-рукция ВПСН представлена на рис.10.7.

Рабочая жидкость нагревается печью 6 в кипятильнике 1 нагре-вателем. Образующийся пар по паропроводу 2 поступает к соплам первой 3, второй 4 и третьей 5 ступеней и вытекает из них со скоростью, превы-шающей скорость звука. Откачиваемый из реципиента газ поступает в на-сос через впускной патрубок 7 и диффундирует в струю рабочего пара.

Действие сорбционных насосов (СН) основано на поглощении от-качиваемого газа поверхностью поглотителя (сорбента). В качестве погло-тителя используются пористые вещества с сильно развитой поверхностью (цеолит, активированный уголь и др.), охлажденные до низкой температу-ры. СН с пористыми сорбентами обычно применяются для создания пред-варительного разряжения, но могут использоваться при соответствующем выборе поглотителя и конструкции СН в качестве высоковакуумных насо-сов. СН представляет собой цилиндрическую капсулу, заполненную сор-бентом (рис. 10.8: 1 – патрубок регенерации сорбента; 2 – корпус; 3 – сосуд Д. Дьюара (1842–1923); 4 – жидкий азот; 5 – сорбент).

127

Рис. 10.8

Охлаждение сорбента в период откачки производится погружением насоса в сосуд Дьюара, заполненный жидким азотом. Насыщенные газами пористые сорбенты после прогрева практически полностью восстанавли-вают свои сорбционные свойства (происходит регенерация сорбента) и поэтому могут использоваться без замены в течение продолжительного времени. Основным конструкционным материалом СН является нержа-веющая сталь. Уплотняемый профиль разъемных вакуумных соединений СН и большинства узлов агрегата − канавочно-клиновой с алюминие-выми, медными уплотнителями.

Отличительной особенностью СН является отсутствие рабочей жид-кости, это позволяет применять их в тех случаях, когда недопустимо про-никновение в откачиваемый объем паров рабочей жидкости или продуктов ее разложения. По той же причине СН могут присоединяться к откачивае-мому объему без промежуточных вентилей и ловушек, благодаря чему эф-фективно используется полная быстрота откачки насоса. СН бесшумны в работе, не требуют непрерывной работы системы предварительной откач-ки и, как правило, имеют малое время запуска и остановки. С другой сто-роны, СН малоэффективны при откачке с большим содержанием органики (резины, масел и т. п.), инертных газов.

В основе действия магниторазрядного насоса (МРН) лежит по-глощение газов титаном, распыляемым при высоковольтном разряде в магнитном поле. Одиночная разрядная ячейка МРН (рис. 10.9) образована двумя титановыми катодными пластинами и анодом из нержавеющей ста-ли. Разрядная ячейка помещена в магнитное поле, перпендикулярное плос-кости катодов. При подаче на электроды разрядной ячейки высокого на-пряжения (положительного на анод по отношению к катодам или отри-цательного на катоды по отношению к аноду в разных насосах) в ней воз-никает газовый разряд в широкой области низких давлений.

128

Рис. 10.9

Образующиеся в разряде положительные ионы (катионы) газа уско-ряются электрическим полем к катодам и внедряются в них, при этом про-исходит распыление материала катода (титана) и осаждение его на стенках анода и других поверхностях МРН. Откачное действие МРН определяется внедрением ионов газа в материал катода (ионной откачкой) и поглощени-ем остаточных газов распыленным титаном (сорбционной откачкой).

В зависимости от производительности МРН содержат десятки и сот-ни разрядных ячеек, которые объединяются в электроразрядные блоки, помещенные в корпус из нержавеющей стали. Магнитное поле напряжен-ностью 55700 А/м создается оксидно-бариевыми магнитами, расположен-ными с внешней стороны корпуса. Насос обезгаживается прогревом при температуре 400–500°С. Благодаря отсутствию в МРН накаленных и дви-жущихся деталей, а также рабочей жидкости, они обладают высокой надеж-ностью, большим сроком службы (десятки тысяч часов), просты в обслужи-вании и не выходят из строя при аварийном попадании атмосферы в вакуум-ную систему. МРН позволяют оценивать давление в системе по разрядному току. Они работают в области высокого и сверхвысокого вакуума и дают возможность получить предельное остаточное давление 1·10-8 Па.

Турбомолекулярные вакуумные насосы (ТВН) предназначены для работы в области высокого и сверхвысокого вакуума. По сравнению с моле-кулярными насосами малых зазоров, допускающими прогрев области впуск-ного патрубка до 150°С, они более надежны в эксплуатации и главное имеют значительно более высокую быстроту откачки. При достижении остаточного

129

давления во впускном патрубке турбомолекулярного насоса не содержится паров масла. В противоположность пароструйным насосам ТВН начинают работать сразу же после пуска и не ухудшают своих характеристик от проры-вов атмосферного воздуха. Большая быстрота безмасляной откачки в широ-ком диапазоне давлений, отсутствие ловушек и затворов – важные преиму-щества турбомолекулярных насосов по сравнению с паромасляными. Схема устройства турбомолекулярного насоса показана на рис. 10.10. В корпусе 1, с закрепленными в нем дисками 2, вращается ротор 3 с дисками. В дисках имеются косые прорези, причем прорези в роторных дисках расположены зеркально по отношению к прорезям в дисках корпуса. При вращении ротора откачка происходит за счет преимущественного отражения молекул от сере-дины ротора к краям. Толщина дисков в описываемом насосе составляет не-сколько миллиметров, расстояние между дисками – 1 мм.

Рис. 10.10

Радиальные зазоры также могут составлять около 1 мм, поскольку обратное протекание газа через такие зазоры при низких давлениях значи-тельно меньше достигаемой быстроты откачки. Диски имеют большое число параллельно работающих прорезей, благодаря чему достигается большая быстрота откачки − 250 л/с.

Конденсационные, или криогенные, насосы (КН) используются в каче-стве последующих ступеней в сверхвысоковакуумных установках и обладают большой скоростью откачки (до 106 л/c) при давлении 1·10-8–1·10-9 Па. Причем криопанели (рис. 10.11) (охлаждаемые поверхности КН) могут быть распо-ложены непосредственно внутри вакуумной камеры. В идеальном случае температура их должна быть достаточно низкой, чтобы вымораживать почти все газы и пары до пренебрежительно низкого равновесного давления.

130

Рис. 10.11

Ко всей поверхности таких панелей должен быть обеспечен свобод-

ный доступ откачиваемого газа, т.е. быстрота откачки должна ограничи-ваться лишь площадью криогенной поверхности и коэффициентом прили-пания падающих на нее молекул. На практике охлаждение поверхностей до низких температур является дорогостоящим, причем стоимость увели-чивается с понижением температуры криопанелей при той же газовой на-грузке. По этой причине криопанели окружаются сложными радиацион-ными экранами, чтобы преграждать путь и предварительно охлаждать большинство молекул газа, диффундирующих в направлении криопанелей, и защитить криопанели от теплового излучения. Очевидно, что криопанели имеют ограниченную емкость, и периодически их нужно отогревать, что-бы освободиться от намерзшего газа. В зависимости от назначения КН, в качестве охлаждающей жидкости используется жидкий кислород, азот, во-дород, гелий.

Приборы для измерения давлений газа ниже атмосферного – вакуумметры, выпускаемые отечественной промышленностью, разделя-ются на следующие группы:

− гидростатические, непосредственно измеряющие давление как разность уровней жидкости в сообщающихся сосудах (к этой группе отно-сятся U-образные с открытой и закрытой трубкой, чашечные, поплавковые и колокольные вакуумметры, микровакуумметры с наклонной трубкой);

− деформационные, в которых в качестве чувствительного элемента используется трубчатая пружина, мембрана или сильфон, деформирую-щиеся под действием разности давлений с противоположных сторон эле-ментов до 1 Па;

131

− компрессионные, действие которых основано на изотермическом сжатии идеального газа (манометры Мак-Леода);

− теплоэлектрические, в которых используется измерение теплопро-водности газов в зависимости от давления. Подразделяются на термопар-ные и вакуумметры сопротивления;

− ионизационные, использующие явление ионизации остаточного га-за потоком электронов, испускаемых накаленным катодом (электронные ионизационные вакуумметры), или альфа-частицами, получаемыми радио-активным препаратом (радиоактивные ионизационные вакуумметры). Ионный ток в этих приборах служит мерой молекулярной концентрации, т. е. давления газа;

− электроразрядные магнитны, в которых мерой давления служит ток разряда, возникающий при низких давлениях под действием электри-ческого и магнитного полей (разновидностью вакуумметров этого класса являются магнетронный и инверсно-магнетронный вакуумметры).

ЛЕКЦИЯ 11. ОСНОВЫ ОБЩЕЙ ТЕРМОДИНАМИКИ 1. Степени свободы. Внутренняя энергия идеального газа (ИГ), работа и теплота. Первое начало термодинамики. Энтальпия. Закон Гесса. 2. Теплоемкость (здесь вводно, см. далее: Классическая теория теплоемкости вещества, границы ее применимости). 3. Применение первого начала термодинамики к изопроцессам ИГ (изохорный, изобарный, изотермический). Адиабатический (уравнение Пуассона) и политропный процессы. 4. Определение показателя Пуассона методом Клемана–Дезорма.

11.1. Степени свободы. Внутренняя энергия идеального газа (ИГ), работа и теплота. Первое начало термодинамики.

Энтальпия. Закон Гесса В общем случае под степенями свободы понимают минимальный набор

параметров, с помощью которого можно полностью описать состояние системы (тела). Это могут быть независимые координаты, полностью описы-вающие положение тела (молекулы) в пространстве. Материальная точка, движущаяся в некоторой плоскости (xOy) имеет две степени (x, y), в простран-стве – три степени свободы (x, y, z). Напомним, что в термодинамике (ТД) мо-лекулы (многоатомные в общем случае) рассматриваются как система мате-риальных точек (шариков, т.к. основная масса заключена в малом ядре), со-единенных между собой жесткими недеформируемыми связями. Абсолютно

132

твердое тело (АТТ) – (любая идеальная n-атомная молекула) – в общем случае имеет шесть степеней свободы: три координаты, описывающие по-ложение центра масс; две координаты, определяющие в пространстве положе-ние оси, проходящей через центр масс и некоторую фиксированную точку, угол поворота тела вокруг названной оси по отношению к некоторому началь-ному положению. Таким образом, АТТ обладает тремя степенями свободы по-ступательного движения и тремя степенями свободы вращательного движе-ния. Если тело не АТТ и его части могут смещаться друг относительно друга, то необходимо рассматривать дополнительные степени свободы для описания колебательного движения.

xy

z

O O yx

z

yx

z

O

а) б) в) Рис. 11.1

В статистической физике показано, что средняя кинетическая энер-

гия поступательного движения одноатомной молекулы ИГ kT23

=ε ((9.1)

из (9.25)). Так как при хаотичном тепловом движении молекулы все три взаимноперпендикулярных направления движения равновероятны, то для одноатомной молекулы (рис. 11.1, а), имеющей три поступательные степе-ни свободы (i=3), средняя кинетическая энергия на одну поступатель-ную степень свободы равна

kTпоступ 21

>=< ε . (11.1)

Формула (11.1) выражает закон статистической физики – закон равномерного распределения энергии по степеням свободы, он спра-ведлив для любой (n-атомной) молекулы.

Кинетической энергией вращения для одноатомной молекулы пре-небрегают, т.к. для материальной точки радиус

022

0222

→==⇒→ωω mrITr вр .

Для двухатомной молекулы (рис. 11.1,б) к трем поступательным сте-пеням свободы добавляются две вращательных, т.е. число степеней свобо-ды i=5, а для многоатомной (три и более атомов, рис. 11.1,в) – три враща-тельных степени свободы (i=6). Нежесткая же двухатомная молекула име-ет еще (плюс) одну колебательную степень свободы, а нежесткая трех-атомная – еще три. Т.к. средняя кинетическая энергия гармонических ко-

133

лебаний примерно равна потенциальной энергии, то на каждую колеба-тельную степень свободы приходится энергия kTkT =⋅

212 .

Таким образом, считая по-прежнему энергию одной степени свободы

2kT , можно записать, что средняя энергия одной молекулы равна

2)2( kTiii колебатвращатпаступ ⋅++>=< ε , (11.2)

Полная энергия термодинамической системы (ТДС) состоит из кине-тической энергии механического движения ТДС как единого целого и ее макрочастей: потенциальной энергии ТДС во внешних полях (гравитаци-онном, электромагнитном) и внутренней энергии ТДС U.

Внутренняя энергия – энергия механического движения и взаимо-действия (микро)частиц, составляющих (макро)ТДС, а также энергия элек-тронных оболочек и взаимодействия нуклонов (протонов и нейтронов) в ядрах атомов. Однако для процессов, не сопровождающихся химическими или ядерными превращениями, можно считать последние составляющие внутренней энергии неизменными и не учитывать их. Поскольку получает-ся, что выбор «точки» отсчета для внутренней энергии произволен, естест-венно, что она определяется с точностью до произвольной постоянной. Значение этой константы в большинстве случаев неважно, т.к. в законы физики, как правило, входит разность U∆ .

Зависимость вида ),( TVfU = называется калориметрическим урав-нением.

Т.к. в ИГ пренебрегают силами взаимодействия между молекулами и считают их связи жесткими (т.е. отсутствуют колебания), то внутренняя энергия ИГ – это кинетическая энергия поступательного и вращательного движения его молекул; с учетом формул (11.1) и (11.2) для произвольного количества вещества получают:

RTiAN

MmkTiU ⋅=⋅= ν

22. (11.3)

Внутренняя энергия является однозначной функцией состояния ТДС, т.е. не зависит от способа (пути) перехода ТДС в это состояние, а лишь от значения параметров, характеризующих данное состояние (обычно P, V, T). Согласно уравнению (11.3) внутренняя энергия ИГ не зависит от его объема – закон Д.П.Джоуля (1818–1889). Передачу энергии между телами (ТДС) и, следовательно, изменение их внутренней энергии можно осуще-ствлять через работу и теплопередачу (теплота – эквивалент энергии). При этом энергия механического движения может превращаться в тепловую и наоборот. В отличие от внутренней энергии понятия работы и теплопере-дачи употребляют всегда в контексте с описанием способа изменения со-стояния ТДС, например, работа адиабатического сжатия ИГ нагрев ИГ (со-общение теплоты) и его изобарное расширение.

134

Первое начало термодинамики является эмпирически (опытно) ус-тановленным законом и, по сути, частным случаем закона сохранения энергии (XIX в.):

AdUQ δδ += . (11.4) Формула (11.4) – вся теплота, сообщенная ТДС, идет на измене-

ние ее внутренней энергии и на работу ТДС против внешних сил (знак «d» – обозначение полного дифференциала, его определение и свойства см. математику). Для ИГ положительной считается работа расширения ИГ, отрицательной – работа сжатия, в общем случае:

PdVPSdrFdrA === δ и ∫=2

1

V

VPdVA . (11.5)

Если постоянен объем, т.е. процесс – изохорный, то из уравнений (11.4) и (11.5) UQ ∆= , если же постоянно давление, т.е. процесс – изобарный, то

∫ ∆==2

1

V

VVPPdVA и VPUQ ∆+∆= .

В ряде случаев удобно пользоваться не понятием теплоты, а поняти-ем тепловой функции, теплосодержания или энтальпии

PVUH += . (11.6) Энтальпия – функция состояния, приращение которой при изобари-

ческом процессе равно теплоте, полученной системой. Таким образом, ве-личина Q имеет различный смысл в зависимости от того, что остается по-стоянным: давление или объем. В первом случае под Q понимают внут-реннюю энергию, а во втором – энтальпию.

В химии тепловым эффектом реакции называют количество тепло-ты, выделяющееся в результате реакции; он называется стандартным, если измерен при t=25°С и Р=760 мм.рт.ст. Реакция называется экзотермиче-ской, если протекает с выделением теплоты (положительный тепловой эффект), эндотермической – с поглощением (отрицательный):

кДжСOOС 394)( 22 +=+ (экзотермическая реакция), (11.7)

кДжСOOСO 283)(21

22 +=+ , (11.8)

кДжСOOС 111)(21

2 +=+ . (11.9)

При постоянном объеме тепловой эффект определяется как разность внутренних энергий системы до и после реакции UQV ∆=∆ , а при постоян-ном давлении – как разность энтальпий HQP ∆=∆ . И внутренняя энергия, и энтальпия – функции состояния, не зависящие от способа (пути) перехода ТДС в это состояние, а лишь от значения параметров, характеризующих

135

данное состояние (обычно P, V, T). Обобщенно это выражается правилом (1840г.), законом русского академика Г.И.Гесса (1802–1850): тепловой эффект реакции зависит лишь от природы и физического состояния (со-став, структура) исходных веществ и конечных продуктов реакции (со-ответственно при V=const или при P=const), но не зависит от промежу-точных стадий реакции.

Если все начальные и конечные продукты реакции находятся в твер-дом или жидком состояниях, то величины PV QQ ∆≈∆ вследствие весьма малого изменения объема и, следовательно, малой работы ТДС против внешних сил. Если же среди начальных и конечных продуктов реакции есть газообразные вещества, то величины VQ∆ и PQ∆ сильно отличаются. Закон Гесса позволяет обращаться с уравнениями реакций, как с обычны-ми алгебраическими, и рассчитывать тепловые эффекты реакций, которые трудно или невозможно осуществить в чистом виде. Например, теплота образования газообразной окиси углерода из твердого углерода и кислоро-да не может быть непосредственно измерена, т.к. углерод никогда не сго-рает целиком в окись углерода, а всегда с образованием некоторого коли-чества двуокиси. Для ее определения измеряют теплоту полного сгорания твердого углерода (11.7), потом измеряют теплоту сгорания окиси углеро-да в двуокись (11.8), а затем, вычитая уравнение (11.8) из уравнения (11.7), получают необходимое уравнение (11.9).

11.2. Теплоемкость

Удельная теплоемкость – теплота, которую надо сообщить 1 кг ве-

щества для повышения его температуры на 1 К:

mdTQс δ

= , (11.10)

где т – масса вещества. Пользуются также понятием молярной теплоемкости (для одного

моля вещества):

dTQcMmC⋅

=⋅=νδ

, (11.11)

где М – молярная масса вещества, v – количество молей вещества. Если известны удельная и молярная теплоемкость вещества, то теп-

лоемкость конкретного тела можно определить как mстелаС ⋅= или

ν⋅= mСтелаC . Различают теплоемкости при постоянном давлении и при постоян-

ном объеме. Для ИГ, рассматривая уравнение (11.4) совместно с уравне-

136

нием (11.3) и (11.5), получают, что при постоянном объеме молярная теп-лоемкость равна

RidT

mdU

dTVQ

VC2

===

δ, (11.12)

а при постоянном давлении -

RiRVСdTmdV

PVCdT

mdVP

dTmdU

dTPQ

PC2

2 +=+=+=+==

δ. (11.13)

Уравнение (11.13) - уравнение Ю.Р.Майера (1814–1878): выводится с учетом уравнения Менделеева–Клапейрона РVm=RT и РdVm+VmdР= РdVm=RdT при постоянном давлении.

При сравнении уравнений (11.12) и (11.13) видно, что молярная теп-лоемкость при постоянном давлении больше, т.к. часть подводимой тепло-ты расходуется еще и на совершение ИГ работы расширения (против внешних сил).

Для нахождения удельной (молярной) теплоемкости смеси газов ис-пользуют уравнение теплового баланса:

смmViсim

VсссТVсmТVсmТVссссмm i∑

=⇒+∆+∆=∆ ...3211 , (11.14)

где тсм – масса смеси; сvcc – удельная теплоемкость вещества; тi – масса. Приведенные выше рассуждения классической (не квантовой)

теории теплоемкости справедливы лишь для ИГ, т.е. в ряде частных случаев, и потому ограниченно применимы. Границы применимости клас-сической теории теплоемкости вещества будут рассмотрены после изуче-ния строения и свойств твердого тела (ТТ) (см. далее «Классическая тео-рия теплоемкости вещества, границы ее применимости»).

11.3. Применение первого начала термодинамики к

изопроцессам ИГ (изохорный, изобарный, изотермический). Адиабатический (уравнение Пуассона) и политропный процессы

Изопроцессом называется процесс, при протекании которого оста-

ются постоянными масса газа m и любой из его параметров состояния (P, V или T). При constVconstm == , процесс называется изохорным. Со-гласно формуле (11.5), работа при изохорном процессе равна

∫ ==1

1

0V

VPdVA . (11.15)

Формула (11.4) с учетом формул (11.3) и (11.15) имеет вид

dTRidTVCdUQ ⋅⋅=⋅⋅== ννδ2

. ( 0=Aδ ) (11.16)

137

При constPconstm == , процесс называется изобарическим. Со-гласно формуле (11.5) работа при изобарном процессе равна

∫ ∆==2

1

V

V

VPPdVA . (11.17)

Формула (11.4) с учетом формул (11.3) и (11.17) имеет вид

dTRidTСPdVdUAdUQ P ⋅⋅+

=⋅⋅=+=+= ννδδ2

2 . (11.18)

При constТconstm == , процесс называется изотермическим (dT=0). Согласно формуле (11.5) работа при изотермическом процессе равна

1

2ln2

1

2

1VV

RTdVVRTPdVA

V

V

V

V

νν=== ∫∫ . (11.19)

Формула (11.4) с учетом формул (11.3) и (11.19) имеет вид AAdUQ δδδ =+= . (11.20)

Следует заметить, что при недостатке подвода теплоты из внешней среды работа расширения ИГ может совершаться и за счет убыли внутрен-ней энергии ИГ, и, следовательно, его температура понизится.

Адиабатным называется процесс, протекающий без теплообмена с окружающей средой ( 0=Qδ ). Адиабатными можно считать процессы, происходящие в камере сгорания тепловых двигателей, распространение звуковых волн в газах и т.д.

Быстрое адиабатное сжатие воздуха в двигателях типа «дизель» при-водит к повышению температуры дизеля до 500–600°С и к самовоспламе-нению при впрыске топлива. Первое начало термодинамики в случае адиа-батного процесса имеет вид: AdU δ−= , которое с учетом формул (11.3) и (11.5) можно записать так:

PdVdTCAdU V −=⋅⋅⇒−= νδ . (11.21) Из уравнения Менделеева–Клапейрона (РVm=RT) следует, что

РdVm+VmdР=RdT. (11.22) Разделив выражения (11.22) на (11.21), получают

VV CVCPC

CR

PdVVdPPdV −

−=−=+ )13.11(

. (11.23)

Если, следуя С.Д.Пуассону (1781–1840), ввести обозначение

VCPC

=γ (показатель адиабаты или показатель Пуассона), то выраже-

ние (11.23) примет вид 11 +−=+ γPdVVdP

, разделяя переменные

138

VdV

PdP γ−= и интегрируя ∫∫ −=

2

1

2

1

V

V

P

P VdV

PdP γ , получают

)ln(lnln constVP +−= γ или

constV =Ρ γ , (11.24) т.е. уравнение Пуассона для адиабатного процесса. С использованием уравнения Менделеева–Клапейрона можно получить связь параметров V и T, Р и T при адиабатном процессе:

1

2

1

1

2

12

21

1

2−

=⇒=

γ

VV

TT

TVTV

PP

или constTV =−1γ , (11.25)

γγγγ

γ

=

−

⇒−

=⇒−

=

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

2

11

111

TT

PP

TT

PP

TT

VV или constPT =−γγ 1 . (11.26)

Так как RiСV 2= и Ri

PC2

2+= , то для одноатомного газа i=3 и по-

казатель адиабаты 67,135≈=γ ; для двухатомного i=5 и показатель Пуас-

сона 4,157==γ ; для трех- и более – i=6 и 33,1

68≈=γ .

Работа при адиабатическом процессе:

)( 21

(*)2

1

TTVCT

TdTVCA −=−= ∫ νν . (11.27)

P

V

Адиабата

ИзотермаАиз

Аад Аад<Аиз

Рис. 11.2 Переход (*) соответствует идеальному случаю, в общем случае теп-

лоемкость равенства )(TfСV = и интегрирование усложняется. Работа при адиабатическом процессе меньше, чем при аналогичном изотермиче-ском (см. площади под кривыми, рис. 11.2).

139

С учетом равенства 1−

=γ

RСV из формулы (11.13) и T

PVR = ν из урав-

нения Менделеева–Клапейрона выражение (11.27) примет вид

−

−=−

−=

1

21121 1

1)(

1

TTVPTTRA

γγν . (11.28)

Рассмотренные выше процессы – изохорный, изобарный, изотерми-ческий, адиабатный – можно записать одним уравнением – уравнением политропного процесса:

constPV n = , (11.29)

где n – показатель политропы (все эти процессы называются политроп-ными), т.е.:

а) V=const, C=CV , n=-∞ constTP= ;

б) P=const, C=CP, n=0 PV0=const;

в) T=const, C= dTQδ

=∞, n=1 PV=const;

г) 0=Qδ ; C=0, n =γ constΡV =γ.

11.4. Определение показателя Пуассона методом Клемана–Дезорма

Ученые Клеман (1779–1842) и Дезорм (1777–1862) в 1819г. осущест-

вили следующий метод измерения показателя адиабаты γ для газов. В гер-метичный баллон, содержащий несколько литров какого-либо газа при давлении, равном внешнему атмосферному, накачивают еще порцию того же газа. Давление газа в баллоне становится больше атмосферного. Вы-держав газ некоторое время до выравнивания температур воздуха вне бал-лона и газа в баллоне, измеряют манометром давление газа P1 в баллоне при данной температуре T0. Затем за короткое время через кран выпускают часть газа из баллона, при этом газ в баллоне адиабатически расширится, его давление сравняется с атмосферным Р0, а температура понизится до температуры Т. После того как кран закрывают, газ начинает медленно на-греваться до температуры Т0 окружающего воздуха и его давление станет равным Р2. Зная все параметры P,V, T, характеризующие каждое из этих трех состояний, можно определить показатель адиабаты для газов γ.

140

Состояние 1: P1,V1, T0 → состояние 2: P0,V2, T→ состояние 3: P2,V2,T0.

Дифференцируя уравнение (11.24), получают 0 =+VdPPdVγ , от-куда для изменения состояния газа (адиабатического процесса) 1→2:

0)()( 1012 =−+− PPVVVPγ . (11.30)

В состояниях 1 и 3 температуры одинаковы, т.е. 0=+⇒= VdPPdVconstPV

и 0)()( 1212 =−+− PPVVVP . (11.31) Разделив по частям уравнение (11.30) на выражение (11.31) получают:

21

01

PPPP

−−

=γ . (11.32)

ЛЕКЦИЯ 12. ОСНОВЫ ОБЩЕЙ ТЕРМОДИНАМИКИ II 1. Обратимые и необратимые процессы. Циклы. Цикл Карно. 2. Энтропия. Второе начало термодинамики и его статистический

смысл. Флуктуации. Броуновское движение. 3. Термодинамические (ТД) функции. Общие критерии термоди-

намической устойчивости. Принцип Ле-Шателье–Брауна.

12.1. Обратимые и необратимые процессы. Циклы. Цикл Карно Термодинамический (ТД) процесс, совершаемый системой, называ-

ется обратимым, если после его завершения можно возвратить систему и все взаимодействующие с ней тела в начальное состояние так, чтобы в других телах (окружающей среде) не возникло каких-либо остаточных из-менений. В противном случае процесс называется необратимым, напри-мер, переход механической энергии в тепловую под действием силы тре-ния. Для осуществления обратного процесса требуется, чтобы остановив-шееся тело вновь пришло в движение за счет энергии, выделившейся при охлаждении его и окружающей среды. Опыты показывают, что хаотичное (тепловое) движение частиц тела не может самопроизвольно привести к возникновению упорядоченного движения всех частиц тела как единого целого. Для этого необходим компенсирующий процесс: отдача системой теплоты другому телу и совершение над ним работы. При этом система возвращается в исходное состояние, но есть остаточные изменения в ок-ружающей среде. Таким образом, все процессы, сопровождаемые трением, являются необратимыми. Вообще реальные процессы можно считать обра-тимыми лишь, если они протекают достаточно медленно.

141

Круговым процессом или циклом называется такая совокупность ТД процессов, в результате которых система возвращается в исходное со-стояние. Циклы изображаются на диаграммах P–V, P–T, T–V замкнутыми кривыми. Тело, совершающее круговой процесс и обменивающееся энер-гией с другими телами, называется рабочим телом (обычно газ).

Цикл называется прямым, если работа, совершаемая газом за цикл

∫ >= 0PdVA (работа – площадь, ограниченная кривыми, см. рис. 12.1,а), и обратным, если ∫ <= 0PdVA (рис. 12.1,б). Положительной считается ра-бота расширения газа, а отрицательной – работа сжатия газа. Прямые цик-лы используются в двигателях внутреннего сгорания (тепловых), обрат-ные – в холодильниках.

В результате кругового цикла система возвращается в исходное со-стояние и 0=∆U , следовательно, AAUQ =+∆= . Тогда суммарная работа газа за цикл: 21 QQA −= , где Q1 – теплота, полученная извне (от нагревате-ля); Q2 – теплота, отданная системой вовне (холодильнику).

По определению коэффициент полезного действия (КПД) равен

1

2

1

21

1

1QQ

QQQ

QА

затрачЕполезнЕ

−=−

===η . (12.1)

Так как в реальных системах всегда существуют потери энергии (те-плопередача вовне сквозь теплоизоляцию, действие диссипативных сил), то КПД всегда меньше 1.

P

V

123

4

А>0 P

V

123

4

А<0

а) б) Рис. 12.1

Цикл вида (рис. 12.1, а) называется циклом Н.Л.С. Карно (1796–1832) (единственная работа «Размышления о движущей силе огня и о ма-шинах, способных развивать эту силу», 1824 г., вопрос о «получении дви-жения из тепла»). Так как линии 12 и 34 – изотермы, а 23 и 41 - адиабаты, то теплота со-общается системе только научастке 12 ( 121 AQ = ), а отдается только на уча-

стке 34 ( 342 AQ = , 0342 <= AQ ).

142

Для цикла Карно справедлива теорема Карно: термический КПД не зависит от физической природы тел, совершающих цикл, а лишь от зна-чения температур нагревателя Т1 и холодильника Т2:

1

2

1

21(*)

1

2

1

21 11TT

TTT

QQ

QQQ

−=−

=−=−

=η . (12.2)

Переход (*) справедлив только для цикла Карно: записав уравнение (11.25) для адиабат 23 и 41 11

3221−=− γγ VTVT и 11

4211−=− γγ VTVT , получают

4

3

1

2

VV

VV

= (–*–); т.к. теплота сообщается только на участках (изотерм) 12 и 34,

то она будет равна работе согласно формуле (11.19). Подставляя затем эти выражения вместо Qi в (12.2) с учетом (–*–) получают переход (*).

Согласно определению КПД и аналогично уравнению (12.2), холо-дильный коэффициент обратного цикла Карно имеет вид

21

2(*)

21

22

TTT

QQQ

AQ

−=

−==ε . (12.3)

12.2. Энтропия. Второе начало термодинамики и его

статистический смысл. Флуктуации Необратимость тепловых явлений (см. в вопросе 1 о необратимо-

сти процессов с трением), на первый взгляд, кажется парадоксальным. Действительно, ведь все тепловые процессы сводятся к механическим (движению и взаимодействию молекул), а механические явления – обра-тимы. В чем причина необратимости тепловых процессов? Ответ на этот вопрос дает статистическая теория, основанная на теории вероятности. Необратимость процессов можно показать на простом примере перемешивания 10 черных и 10 белых шаров. При встряхивании шары переме-шиваются. После встряхивания (рис. 12.2,а) практически никогда не удается получить ис-ходного упорядоченного (рис. 12.2,б) распре-деления шаров.

а)

б)

Рис. 12.2 Каким образом шары «знают», что им необходимо распределяться

в беспорядке? Пусть после встряхивания в верхнем ряду оказалось три бе-лых шара (в нижнем – три черных). Какими способами может быть реали-зовано данное распределение?

Перебором выясняют возможные комбинации расположения белых шаров в верхнем ряду:

143

Белые шары в нижнем ряду,

шт.

Белые шары в верхнем ряду,

шт.

Число комбинаций, с помощью которых

может быть получено данное состояние

10 0 1 8 2 100 5 5 63504 4 6 44100 2 8 100 0 10 1

Максимальное число комбинаций соответствует равномерному, наиболее неупорядоченному распределению шаров (5 – 5) и, следова-тельно, наиболее вероятному. Из примера видно, что причина необратимо-сти кроется в малой вероятности упорядоченных состояний. Термодина-мической вероятностью W данного состояния системы называется число комбинаций – (микро)состояний отдельных элементов системы, реали-зующих данное (макро)состояние системы. Таким образом, ТД вероят-ность служит величиной, характеризующей направленность протекания процессов.

Первоначально считали, что самопроизвольно могут протекать толь-ко процессы с выделением теплоты (например, только экзотермические реакции), однако после открытия самопроизвольно протекающих эндотер-мических реакций оказалось, что это не так: тепловой эффект не может служить достаточным критерием определения направления протекания процесса. Поэтому был проведен поиск достаточного критерия, который однозначно давал бы ответ о направлении протекания процессов.

Сравнивая ТД вероятность различных состояний, установили, что процессы протекают в направлении от менее вероятных состояний к более вероятным. Вычисление ТД вероятностей на практике – очень сложная за-дача, поэтому в середине прошлого века немецкий физик Л.Больцман ввел необходимую физическую величину, которую назвали энтропией.

Энтропия S, как и ТД вероятность W, характеризует направленность процессов и является мерой беспорядка системы: чем больше энтропия, тем ближе система к наиболее вероятному – равновесному состоянию (ему соответствует максимальная неупорядоченность). Больцман показал, что энтропия пропорциональна ТД вероятности:

WkS ln= , (12.4) где k – коэффициент пропорциональности, кгДжk /1038,1 23−⋅= – постоян-ная Больцмана.

Энтропия, как функция, полностью определяется состоянием (пара-метрами) системы, не зависит от способа перехода из состояния в состоя-ние, т.е. является функцией состояния и полным дифференциалом. Она может быть определена как

144

TQdS δ

= (12.5)

или, применяя первое начало термодинамики для идеальных газов,

TPdV

T

dTvC

TPdVdUdS +=

+=

ν (12.6)

или 1

2

1

22

112 lnln

2

1

2

1VVR

TT

VCV

RdVTdT

VCdSSSSV

V

T

T

νννν +=+==−=∆ ∫∫∫ . (12.7)

Наименьшей энтропией обладает идеальный кристалл при 0≈T К, т.к. при этом атомы практически неподвижны в узлах кристаллической решетки. При повышении температуры (при нагревании 00 >∆⇒> SQδ ) атомы в узлах решетки колеблются все интенсивнее, а при плавлении или, тем более, возгонке (испарении из твердого состояния в газообразное), па-рообразовании над расплавом могут занимать различные положения (воз-растание энтропии), при охлаждении же, наоборот, 00 <∆⇒< SQδ . На-пример, при плавлении вещества изменение энтропии определяется как сумма изменений энтропии при нагревании до температуры плавления и при плавлении вещества:

TLm

TTcm

TLm

T

TT

cmdTLmQ

TQ

T

TTQS +=+=

=+=∆ ∫∫∫

1

2ln2

10

2

1

δδ,

где L – удельная теплота плавления вещества. Для адиабатного процесса 0 == TdSQδ , т.е. адиабатный процесс

является изоэнтропийным. В обратимом процессе при переходе из состояния 1 в 2 энтропия не

зависит от способа перехода. Для циклов T1=T2, V1=V2, Р1=Р2, следователь-но, 0=∆S . В статистической физике доказывают, что для любого обрати-мого процесса, происходящего в замкнутой системе 0=∆S , а для необра-тимого – 0>∆S , т.е. в замкнутой системе энтропия не убывает. Обобщен-но это можно записать неравенством Клаузиуса

0≥∆S , (12.8) которое является математической формой записи второго начала тер-модинамики: в любом процессе система стремится к наиболее вероят-ному состоянию. Можно по-иному сформулировать II закон термодинами-ки: невозможен такой круговой процесс, единственным результатом кото-рого были бы:

– превращение теплоты, полученной от нагревателя, в эквивалент-ную ей работу (формулировка (1851г.) У. Томсона (лорда Кельвина));

– передача тепла от менее нагретого тела к более нагретому (форму-лировка (1850г.) Р.Ю.Э. Клаузиуса (1822–1888)).

145

Первое начало термодинамики часто формулируют как невоз-можность существования вечного двигателя I рода, который совершал бы работу, не черпая энергию из какого-либо источника.

Возможность использования энергии теплового движения частиц те-ла (теплового резервуара) для получения механической работы (без изме-нения состояния др. тел) означало бы возможность реализации так назы-ваемого вечного двигателя II рода, работа которого не противоречила бы закону сохранения энергии (т.е. I началу). Так, работа двигателя корабля за счёт охлаждения забортной воды океана – доступного и практически неис-черпаемого резервуара внутренней энергии – не противоречит закону со-хранения энергии, но если, кроме охлаждения воды, нигде других измене-ний нет, то работа такого двигателя противоречит II началу термодинами-ки. В реальном тепловом двигателе процесс превращения теплоты в работу обязательно сопряжён с передачей определённого количества теплоты внешней среде. В результате тепловой резервуар двигателя охлаждается, а более холодная внешняя среда нагревается, что находится в согласии со вторым началом термодинамики, которое можно сформулировать и как невозможность существования вечного двигателя II рода (перпе-туум мобиле II рода).

Второй закон термодинамики применим только к статистиче-ским системам – коллективам, состоящим из большого числа частиц. К системам, состоящим из малого числа частиц, он неприменим. Если вернуться к уже рассмотренному выше примеру с шарами, то с уменьше-нием числа черных и белых шаров в опыте со встряхиванием, например, до 4 каждого цвета, возможны комбинации расположения шаров в рядах:

Белые шары в нижнем/верхнем ряду, шт.

Число комбинаций, с помощью которых может быть получено данное состояние

4/0 1 3/1 16 2/2 36 1/3 16 0/4 1

Равномерное, наиболее неупорядоченное распределение шаров уже не обладает подавляющим максимальным числом комбинаций реализации (и, следовательно, подавляюще большой вероятностью осуществления). Поэтому в таких системах возможны отклонения от равномерного распре-деления чего-либо, например, числа молекул газа в единице объема в двух соединенных трубкой сосудах (если молекул, например, четыре, то комби-нация (2 – 2: два на два) может и не реализоваться). В этом случае гово-рят о флуктуациях величин, характеризующих состояние системы, – т.е.

146

об их отклонении от некоторого среднего значения, соответствующего равномерному, наиболее неупорядоченному состоянию.

12.3. Термодинамические функции. Общие критерии

термодинамической устойчивости. Принцип Ле-Шателье–Брауна Под ТД функциями понимают следующие четыре функции: внут-

реннюю энергию ТД системы (ТДС) U=f(S,V); энтальпию H=f(S,P); сво-бодную энергию Гельмгольца (изохорно-изотермический потенциал) F=f(T,V); свободную энергию Гиббса (изобарно-изотермический или изобарный потенциал, термодинамический потенциал) G=f(T,P) Г.Л.Ф.Гельмгольц (1821–1894), Д.У.Гиббс (1839–1903)), которые рассмат-риваются как функции соответствующих аргументов: энтропии S, давле-ния Р, объема V, температуры Т. Эти соотношения называют канониче-скими уравнениями состояния вещества. Любое из четырех канонических уравнений содержит полную информацию о термических и калорических (калориметрических) свойствах вещества.

Если процесс квазистатический, то TdSQ = δ , а т.к. согласно перво-му началу термодинамики PdVdUQ += δ , то PdVTdSdU −= . (12.9)

Согласно определению энтальпии (11.6) H=U+PV, тогда уравне-ние (12.9) можно переписать, исключая внутреннюю энергию U:

VdPTdSdH += . (12.10) Необходимо помнить, что энтальпия (тепловая функция или теп-

лосодержание) – функция состояния, приращение которой в квазистатиче-ском процессе при постоянном давлении дает количество теплоты, полу-ченное системой.

В термодинамике широко используются также свободная энергия (изохорно-изотермический или изохорный потенциал) Гельмгольца

TSUF −= (12.11) и свободная энергия (изобарно-изотермический или изобарный потен-циал) Гиббса

PVTSUPVFG +−=+= . (12.12) Как дифференциалы, с учетом уравнения (12.9), их записывают в

следующем виде: PdVSdTdF −−= , (12.13) VdPSdTdG +−= . (12.14)

При изотермическом процессе dT=0 и dF=-PdV=-δA⇒A=F1-F2, т.е. свободная энергия Гельмгольца – функция состояния системы, убыль ко-торой в квазистатическом изотермическом процессе дает полную работу, произведенную системой в этом процессе (в случае изохорного процесса работа равна нулю).

147

При изотермическом процессе dT=0 и dG=-VdP – функция состояния системы, убыль которой в квазистатическом изотермическом процессе да-ет разность полной работы, производимой системой в этом процессе, и ра-боты против внешнего давления (т.е. максимальную полезную работу сис-темы, в случае изобарного процесса эта работа равна нулю).

Дифференцируя каждую из функций, получают:

dVSV

UdSVS

UdU

∂∂

+

∂∂

= , dPSP

HdSPS

HdH

∂∂

+

∂∂

= ,

dVTV

FdTVT

FdF

∂∂

+

∂∂

= , dPTP

GdTPT

GdG

∂∂

+

∂∂

= . (12.15)

Сравнение уравнения (12.15) c уравнениями (12.9), (12.10), (12.13) и (12.14) дает:

( )VSUT ∂∂= , ( )SVUP ∂∂= , (12.16) ( )PSHT ∂∂= , ( )SPHV ∂∂= , (12.17) ( )VTFS ∂∂= , ( )TVFP ∂∂−= , (12.18) ( )PTGS ∂∂−= , ( )TPGV ∂∂= . (12.19)

Уравнение (12.11) можно записать и по-другому: TSFU += , (12.20)

где слагаемое TS часто называют связанной энергией, т.к. эту часть внутренней энергии в обратимом изотермическом процессе нельзя пере-дать в виде работы. С увеличением температуры растет и величина связан-ной энергии. При 0→Т различие между полной внутренней и связанной энергиями исчезает. С учетом (12.20) можно переписать

TSGTSPVFPVUH −=−+=+= . (12.21) Уравнения (12.20) и (12.21) называются уравнениями Гиббса–

Гельмгольца. Например, если известна функция U=f(S,V) (12.9), то ее дифференцированием (12.16) по S и V можно найти температуру и давле-ние системы, затем из первого начала термодинамики можно опреде-лить PdVdUQ += δ и соответствующие теплоемкости. Все это можно сде-лать с помощью любого из канонических уравнений. Если число частиц в системе может изменяться, то в канонические уравнения добавляются сла-гаемые, учитывающие их изменение за счет изменения частиц в системе, например, в правую часть уравнения (12.9) следует добавить слагаемое µdN, где µ – химический потенциал. Таким образом, химический потенци-ал может быть определен как приращение внутренней энергии системы при добавлении к ней бесконечно малого количества молей i-го компонен-та, отнесённого к этому количеству вещества, при постоянных объёме V, энтропии S и количествах молей каждого из остальных компонентов.

Итак, все процессы в природе самопроизвольно протекают «в сторону» увеличения энтропии (принцип возрастания энтропии). Од-нако при рассмотрении поведения системы важным является и ответ на

148

вопрос об устойчивости (равновесного) состояния ТДС. Об этом судят по ряду общих критериев ТД устойчивости. Роль потенциальных функций могут выполнять энтропия, свободная энергия Гельмгольца и Гиббса, внутренняя энергия и энтальпия:

1. Например, критерием направленности протекания процессов и ус-тойчивости состояния при адиабатическом процессе служит энтропия: если ТДС адиабатически изолирована и ее энтропия в некотором равновесном состоянии максимальна, то это состояние термодинамически устойчиво. То есть ТДС не может самопроизвольно перейти в другое состояние с меньшей энтропией.

Часто в приложениях термодинамики адиабатическое приближение неудобно или неприменимо.

2. Например, при постоянных температуре Т0 и объеме V0 (ТДС в же-сткой недеформируемой оболочке) работа ТДС равна нулю. В этом случае, согласно второму началу термодинамики (неравенству Клаузиуса),

∫→

≥−=∆21 0

12 Tδ QSSS или

0TQS ≥∆ , т.к. в общем случае QUUA +−= 21 , и, вво-

дя функцию (свободную энергию Гельмгольца (12.11)) STUF 0−= , полу-чают:

21 FFA −≤ или 0≤∆F . (12.22) В формуле (12.22) знак равенства относится к обратимым процессам.

Таким образом, убыль свободной энергии Гельмгольца в изохорно-изотермическом процессе может только не возрастать (уменьшаться или оставаться неизменной), т.е. состояние, в котором свободная энергия Гельмгольца минимальна, является термодинамически устойчивым.

3. Если же ТДС окружена средой с постоянной температурой Т0 и давлением Р0, то никакой работы кроме работы против внешнего давления ТДС совершать не может, т.е. полезная работа ТДС равна нулю. Тогда в таком – изобарно-изотермическом – процессе, согласно приведенным вы-ше рассуждениям, может только не возрастать убыль свободной энергии Гиббса 0≤∆G , неизменной, т.е. состояние, в котором свободная энергия Гиббса минимальна, является термодинамически устойчивым.

4. Если же остаются постоянными энтропия S0 и объем V0 ТДС, то 0 ,0 ===∆ PdVAS δ . Тогда неравенство Клаузиуса (12.8) можно переписать

в виде:

=

+=≥=−=∆ ∫∫∫

→→→ 21212100

0T

dUT

AdUTδ QSSS δ

или 021

≤∫→ T

dU .

Так как Т>0, то 0≤∆U . Таким образом, убыль внутренней энергии в изохорно-изоэнтропийном процессе может только не возрастать, т.е.

149

состояние, в котором внутренняя энергия минимальна, является термо-динамически устойчивым.

5. Если остаются постоянными давление Р0 и энтропия S0 ТДС (изо-барно-изоэнтропийный процесс), то из неравенства Клаузиуса получают:

=

−=≥=−=∆ ∫∫∫

→→→ 2121

)10.12(),9.12(

2100 0

TdH

TVdPdH

Tδ QSSS

или 021

≤∫→ T

dH .

Так как Т>0, то 0≤∆H . Таким образом, убыль энтальпии в избарно-

изоэнтропийном процессе может только не возрастать, т.е. состояние, в котором энтальпия ТДС минимальна, является термодинамически ус-тойчивым.

Одним из фундаментальных принципов термодинамики, наряду с ее началами, является принцип смещения равновесия – принцип Ле-Шателье–Брауна (обобщение известного правила Ленца (1884г.) А.Л.Ле-Шателье (1850–1936), термодинамически обоснован (1887г.) К.Ф.Брауном (1850–1918)): Если ТДС находится в устойчивом равновесии, то любой процесс, вызванный в ней внешним воздействием или другим первичным процессом, всегда стремится уничтожить изменения, произведенные внешним действием или процессом (реакция ТДС направлена в сторону противодействия изменениям, вызванным внешним процессом).

Необходимым условием применимости принципа Ле-Шателье–Брауна является наличие устойчивого термодинамического равнове-сия, критерии же устойчивости были рассмотрены выше. Принцип Ле-Шателье–Брауна неприменим к процессам, переводящим ТДС в состояние устойчивого ТД равновесия, например, к взрывам.

Итак, внешнее воздействие, выводящее ТДС из состояния устойчи-вого термодинамического равновесия, вызывает в ней процессы, стре-мящиеся ослабить эффект воздействия. Так, при нагревании равновесной системы в ней происходят изменения, например, химические реакции, идущие с поглощением теплоты, а при охлаждении – изменения, проте-кающие с выделением теплоты. При увеличении давления смещение рав-новесия связано с уменьшением общего объёма системы, а уменьшению давления сопутствуют физические или химические процессы, приводящие к увеличению объема.

150

ЛЕКЦИЯ 13. РЕАЛЬНЫЕ ГАЗЫ, ЖИДКОСТИ И ТВЕРДЫЕ ТЕЛА I

1. Силы межмолекулярного взаимодействия. Уравнения Ван-дер-

Ваальса, Дитеричи, Бертло, Клаузиуса и Камерлинг-Оннеса (вириаль-ное). Изотермы Ван-дер-Ваальса и реальных газов.

2. Эффект Джоуля–Томсона. Получение низких температур и сжижение газов.

3. Ближний порядок. Структура и свойства реальных жидкостей.

13.1. Силы межмолекулярного взаимодействия. Уравнения Ван-дер-Ваальса, Дитеричи, Бертло, Клаузиуса и

Камерлинг-Оннеса (вириальное). Изотермы Ван-дер-Ваальса и реальных газов

Законы идеальных газов (ИГ) – приближенные законы. При описа-

нии реальных газов, в отличие от ИГ, для получения действительных зна-чений параметров состояния необходимо учитывать собственный объем молекул и межмолекулярное взаимодействие. Особенно заметно различие измеряемых значений параметров реальных газов и получаемых из урав-нения Менделеева–Клапейрона при низких температурах и высоких дав-лениях (высокой концентрации, а следовательно, собственном объеме мо-лекул газа, сравнимом с объемом занимаемого сосуда).

Способность твердых тел (ТТ) сопротивляться растяжению и газов сопротивляться сжатию приводит к выводу о существовании сил взаимно-го притяжения и отталкивания между молекулами вещества, причем на малых расстояниях преобладают силы отталкивания, а с увеличением рас-стояния – силы притяжения. Данные силы являются короткодействующими. Радиус их действия ориентировочно ∼10-9 м, т.к. нельзя говорить о равен-стве сил взаимодействия нулю вне сферы молекулярного действия, а лишь об их сравнительно малом значении (быстро, ∼r -7, убывают с увеличением расстояния, см. рис. 13.1,а). Так как изменение потенциальной энергии

drFAdW резконсn −=−= δ ,

то

)()()(0

rWdrFWrWW nr

резnnn ∫∞=

==∞−=∆876

.

151

F

Fпр

Fот

Fрез

r0 r0

Wп

r0 r0

Wп min

а) б)

Рис. 13.1

Графически зависимость Wn(r) представлена на рис. 13.1, б. При условии

0==dr

dWF nрез (13.1)

осуществляется состояние равновесия, которое характеризуется миниму-мом потенциальной энергии. В общем случае в природе система всегда стремится перейти в состояние, характеризуемое минимальной энергией (см. также лекцию 12, критерии термодинамической устойчивости).

Как известно, на одну степень свободы приходится энергия kT/2. Ве-личина kT служит своеобразным критерием определения агрегатного со-стояния вещества: для газов Wn<<kT (интенсивное тепловое движение мо-лекул), для ТТ Wn>>kT (атомы достаточно жестко фиксированы, лишь ко-леблются в узлах кристаллической решетки), для жидкостей Wn≈kT (моле-кулы колеблются у одного положения равновесия в течение так называе-мого времени оседлой жизни и перескакивают из него в другое, что под-тверждается броуновским движением).

Наиболее известным уравнением состояния реальных газов, учиты-вающим собственный объем молекул газа и их взаимодействие, является уравнение (1873г.) нидерландского физика И.Д. Ван-дер-Ваальса (1837–1923). Рассмотрим коротко вывод этого уравнение.

Конечный объем (размеры) молекул увеличивает давление реального газа по сравнению с ИГ, т.к. передача импульса стенкам через пространст-во сосуда осуществляется быстрее, чем точечными молекулами вследствие прохождения ими между столкновениями меньшего пути. Учитывают только (силы отталкивания) парные столкновения молекул – столкновение двух молекул, когда остальные на них не действуют. Вероятностью и влиянием одновременных тройных, четверных и т.д. столкновений пре-небрегают. При расчете давления можно считать, что одна молекула оста-ется неподвижной, а другая движется с удвоенной кинетической энергией. При столкновении центры молекул могут сблизиться на расстояние, мень-шее d – диаметр молекулы, поэтому можно считать неподвижную молеку-

152

лу окруженной сферой ограждения радиуса d, а движущуюся молекулу точечной. Если применить такое приближение к газу из N молекул, то по-ловина молекул N/2 будет покоится (окружена сферами ограждения), а другая половина может рассматриваться как газ из N1=N/2 с температурой T1=2T. Этому газу был бы доступен объем сосуда V за исключением объе-ма b всех сфер ограждения N/2 покоящихся молекул, т.е. V–b. Тогда со-гласно уравнению (9.12), давление, оказываемое этими молекулами на стенку сосуда, имеет вид

)()(22

11 bVNkT

bVTkNkTnP

−=

−⋅⋅⋅

==

или для одного моля газа RTbVP m =− )( .

Рис. 13.2

Очевидно, что объем b приблизительно равен учетверенному объему всех молекул газа (рис. 13.2). Учтем теперь действие сил притяжения меж-ду молекулами газа. Когда молекула находится внутри вещества (газа), то силы притяжения со стороны остальных молекул со всех сторон примерно скомпенсированы. Если же молекула находится в поверхностном слое, то появляется некомпенсированная сила притяжения F, направленная от по-верхности внутрь газа. Под действием этих сил молекула может вообще не долететь до стенки сосуда, а отразиться от поверхностного слоя вещества. Действие сил притяжения создает добавочное – внутреннее или молеку-лярное давление Pi~Nсл F, где Nсл – число молекул в приповерхностном (пристеночном) слое. Величины Nсл и F прямо пропорциональны плотно-сти и обратно пропорциональны объему газа. Для одного моля газа

Pi=а/Vm2 и реальное давление газа равно RTV

VaP =+ )( 2 , где Р – дав-

ление ИГ. Для неплотных газов поправки на силы отталкивания и притя-жения можно вводить независимо, тогда обобщая, получим

RTbVV

aP mm

=−+ ))(( 2 (13.2)

или для произвольного количества вещества с учетом V=νVm:

153

RTbVV

aP =−+ ))(( 2

2

νν

. (13.3)

Уравнение (13.3) – уравнение Ван-дер-Ваальса, a и b – константы, поправки Ван-дер-Ваальса.

Укажем без анализа некоторые другие уравнения состояния, приме-няемые для описания реальных газов:

−=−

RTVaRTbVP exp)( – первое уравнение Дитеричи;

RTbVV

aP =−− ))(( 3/5 – второе уравнение Дитеричи;

RTbVTV

aP =−− ))(( 2 – уравнение В.П.Э.Ж. Бертло (1827–1907);

RTbVTсV

aP =−+

− ))()(

( 2 – уравнение Р.Ю.Э. Клаузиуса (1822–1888);

+++= ...1 2

32

VA

VARTPV – уравнение Х. Камерлинг-Оннеса

(1853–1926) (вириальное), где ...232

1 +++=Tb

TbbA ii

ii – вириальные ко-

эффициенты. Уравнение (13.2), рассматриваемое как уравнение для определения

объема при данных Т и Р, есть уравнение третьей степени, в преобразован-ном виде оно имеет вид

023 =−+

+−

PabV

PaV

PRTbV . (13.4)

Так как уравнение третьей степени с вещественными коэффициента-ми может иметь либо один вещественный корень и два комплексно сопря-женных, либо три вещественных корня, то на плоскости PV прямая, парал-лельная оси V, может пересекать изотерму либо в трех точках, либо в од-ной. Построение по точкам изотермы Ван-дер-Ваальса приводит к семей-ству кривых, изображенных на рис. 13.3 (теоретически Ван-дер-Ваальс, экспериментально Т. Эндрюс (1813–1885) для СО2).

Левая, круто спадающая ветвь соответствует малому изменению объема при изменении давления, что характерно для жидкого состояния вещества. Правая пологая ветвь соответствует значительному изменению объема при изменении давления, что соответствует газообразному состоя-нию вещества.

154

P

VVK

KP TA

BC D

E

K

P

Жидкость

Пар

(газ

)

VЖ+П

K

П

Г

V0

G

Рис. 13.3

Переход из жидкого в газообразное состояние и обратно происходит не вдоль изотермы Ван-дер-Ваальса, а вдоль изобары АЕ, которая одно-временно является и изотермой реального газа. При этом площади фигур АВС и СDЕ равны (правило Максвелла). Точки изотермы А и Е изобра-жают двухфазные состояния вещества, а между ними существуют одно-временно две фазы. Чем ближе изображающая точка G к А, тем больше в системе жидкости, чем ближе к Е – тем больше пара. Если обозначить мак-симальный объем моля жидкости и минимальный объем пара в системе при температуре Т через V1 и V2 соответственно, а объем двухфазной об-ласти в точке G через V0, то 210 )1( VxxVV −+= , где х – мольная доля жидкости в состоянии G; отсюда, зная объем V0, можно найти и долю x жидкости. Участки АВ и DЕ изотермы Ван-дер-Ваальса изображают мета-стабильные состояния вещества: переохлажденную жидкость и пересы-щенный пар, которые могут существовать при известных условиях (при очень медленном квазиравновесном проведении процесса и тщательной подготовки, например, удалении всех загрязнений из объема нагреваемой жидкости и со стенок сосуда, т.к. процесс кипения начинается легче на по-сторонних частицах – включениях). Участок ВD соответствует абсолютно неустойчивым (рост давления при росте объема) состояниям вещества и ни при каких условиях не реализуется. При достаточно низких температурах участок АВС может опускаться ниже оси OV, что адекватно отрицательно-му давлению, соответствующему состоянию растянутой жидкости (за счет действия сил поверхностного натяжения).

155

С ростом температур область горбов и впадин на изотерме Ван-дер-Ваальса уменьшается и при температуре Тк – критической тем-пературе – превращается в точку перегиба с горизонтальной касательной. Для этой точки уравнение (13.4) имеет три одинаковых корня и принимает вид 0)( 3 =− KVVP . Критические параметры данного газа определяют по формулам

KK P

abV =3

, KK P

aV =23, K

KK P

RTbV +=3

, откуда

RbaTK 27

8=

, 227baPK =

, bVK 3= . (13.5)

Если провести через крайние точки горизонтальных участков семей-ства изотерм реальных газов кривые, то получим диаграмму PV (см. встав-ку на рис.13.3), по которой можно легко наглядно определить, в каком из состояний при данной температуре будет находиться вещество. Следует отметить, что отличие пара от других газообразных состояний заключается в том, что при изотермическом сжатии пар претерпевает процесс сжиже-ния. Газ же, при температуре выше критической, не может быть превращен в жидкость ни при каком давлении.

13.2. Эффект Джоуля–Томсона. Методы получения низких

температур и сжижения газов При адиабатическом расширении ИГ, согласно I началу термодина-

мики Q=0 ⇒ A=-∆U, т.е. ИГ охлаждается. Для реальных газов это не все-гда так. Данное явление – изменения температуры при адиабатическом расширении газа – получило название эффекта Джоуля–Томсона (по фа-милиям первоисследователей Дж.Пр. Джоуля (1818–1889) и У. Томсона (лорда Кельвина) (1824–1907)).

1

P2P1

2

Рис. 13.4

Рассмотрим опыт Джоуля–Томсона. Теплоизолированная трубка со вставленной пористой (проницаемой для газа) перегородкой (дросселем) с концов закрывается двумя поршнями.

156

С помощью поршней давления Р1 и Р2 в частях 1 и 2 поддерживают-ся примерно постоянными. Под действием разности давлений ∆P=P2-P1 газ продавливается через пористую перегородку – дросселируется. При этом работа расширения газа практически полностью расходуется на преодоле-ние трения в перегородке. Так как газ теплоизолирован, то сообщаемая ему теплота равна

трениятрения АQQ == .

Для реального газа внутренняя энергия, кроме кинетической энергии движения молекул, включает в себя еще и потенциальную энергию их взаимодействия:

=+==∆+∆=∆ )( 21 AAAWTCU nVν

)()()( 11220

0

21

1

2

PVVPVPdVPdVPV

V∆−=−−=+= ∫ ∫ ,

тогда

V

n

CPVW

mMT )(∆+∆

−=∆ , (13.6)

где А1 – работа изобарного вытеснения газа объемом V1 поршнем 1 (ра-бота над газом);

А2 – работа изобарного заполнения газом объема V2 (причем, в об-щем случае, V2≠V1).

При ∆T>0 говорят об отрицательном, при ∆T<0 – о положительном, при ∆T=0 – о нулевом эффектах Джоуля–Томсона. Температура, при кото-рой происходит смена знака эффекта Джоуля–Томсона для реального газа, называется температурой инверсии.

Для ИГ ∆Wn=0, тогда VV CTR

CPVT ∆

−=∆

−=∆ν

)(или 0)1( =∆+ T

CR

V

,

откуда ∆T=0, т.е. у ИГ эффект Джоуля–Томсона отсутствует. Положительный эффект Джоуля–Томсона используется для получе-

ния низких температур и сжижения газов, например, сначала в машине (1895г.) типа Хемпсона–Линде (англ. Хемпсон (1840–1900) и нем. К. Лин-де (1842–1934)), далее (1902г.) Клода и т.д.

157

13.3. Ближний порядок. Структура и свойства реальных жидкостей

Из всех известных агрегатных состояний вещества жидкое агрегат-

ное состояние считается самым сложным и неопределенным по своей структуре. Физические свойства жидкости занимают промежуточное место между газами и ТТ. Межмолекулярное расстояние в жидкостях приблизи-тельно такое же, как и в ТТ, поэтому плотность жидкостей всего на 9–10% меньше плотности соответствующих ТТ. Для расплавов металлов – различие уже на 3%; уникальными являются вода и висмут (в жидком состоянии плот-ность их больше, чем в твердом). В жидкостях существует так называемый «ближний» порядок: наблюдается периодичность (повторяемость) структуры в малых объемах, на расстояниях порядка несколько межатомных.

В связи с тем, что до сих пор не поняты механизмы, связывающие молекулы жидкости, физика жидкости остается самой малоизученной обла-стью знаний. До сих пор не создано единой теории жидкости, удовлетво-рительно описывающей все термодинамические и кинетические свойства жидкости. В настоящее время существуют несколько моделей жидкости:

– модель жестких сфер; – дырочная модель строения жидкости; – квазиполикристаллическая модель строения жидкости; – кластерная модель строения жидкости, каждая из которых удовлетворительно объясняет лишь некоторые из

свойств жидкости. При применении этих моделей следует придержи-ваться «золотой середины» – положительный результат достигается чаще всего на стыке этих теорий.

Модель жестких сфер (самая грубая). Жидкость состоит из сфери-ческих недеформируемых структурированных (упорядоченных) объектов, которые могут сближаться лишь на расстояние не меньше эффективного диаметра молекулы (атома). В рамках данной модели можно рассчитать

коэффициент плотности упаковки ячейкиойэлементарнвсей

ячейкеойэлементарнватомов

VV

k

= (V – объем). Для

кубической структуры (см. лекцию 14) k=0,52, для объемноцентрирован-ной (ОЦК) k=0,68, для гранецентрированной (ГЦК – самая плотная упа-ковка) k=0,74.

Дырочная модель строения жидкости. Основывается на представ-лении о том, что из-за хаотического движения частиц в жидкости возни-кают структурные флуктуации. В одних областях пространства возникают плотноупакованные структуры, сходные по строению с кристаллическим состоянием, а в других областях из-за разрыва сплошности структуры жидкости возникают структурные вакансии – микрообъекты, не заполнен-ные структурными частицами – дырки (теория Я.И. Френкеля (1894–

158

1952) «Кинетическая теория жидкостей» / Собр. избран. тр. – М.: Изд-во АН СССР, 1959 (– Л.: Наука, 1975).) Пространства дырки представляют собой локальный вакуум, причем они в одной и той же точке пространства возникают и разрушаются вследствие диффузионных процессов (в общем случае процессов тепломассопереноса), т.е. могут диффундировать в объ-еме жидкости. В разных областях жидкости дырки могут иметь разные размеры, поэтому говорят о среднем радиусе и концентрации дырок в еди-нице объема жидкости.

Диффузия, согласно дырочной модели, возникает за счет перескока диффундирующей частицы из одной дырки в другую вследствие тепловых колебаний. Флуктуации амплитуды этих тепловых колебаний и соударения с соседними частицами и являются причиной таких переходов. Время ко-лебаний частицы внутри дырки между перескоками называется временем оседлой жизни. Энергия, необходимая для перехода частицы между дыр-ками, называется энергией активации.

Рассмотрим еще один взгляд на строение жидкости в рамках дыроч-ной модели.

В 1959г. англ. физик Дж.Д. Бернал (1901–1971) после длительного исследования структуры и свойств воды и других жидкостей (расплавов) высказал предположение, что ближний порядок строений жидкости связан с наличием малых устойчивых упорядоченных образований. Плоская мо-дель этих образований – пятиугольники, образованные молекулами жидко-сти. Плоскость нельзя покрыть сетью правильных пятиугольников без раз-рывов, пространство нельзя заполнить многогранниками, грани которого были бы правильными пятиугольниками. То есть такие многогранники при плотной упаковке не могут образовать кристаллическую решетку. Дж. Бернал назвал эти образования псевдоядрами, плотность которых может превышать плотность ТТ. Между ядрами должны быть полости. По теории Дж. Бернала их наличие должно компенсировать избыточную плотность псевдоядер, но это происходит не всегда. Частицы могут переходить от одного ядра к другому, поэтому жидкость не имеет определенной структу-ры, а представляет собой набор различных структур. Поскольку энтропия системы эквивалентна числу структур, то энтропия кристалла во много раз меньше энтропии расплава. Для того чтобы оторвать частицу от псевдояд-ра, необходимо затратить определенную работу.

Квазиполикристаллическая модель строения жидкости. Основы-вается на том, что жидкость представляет собой совокупность разупорядо-ченных и упорядоченных локальных зон. Упорядоченные зоны имеют структуру, близкую к структуре кристаллов того же вещества. Разупорядо-ченные зоны имеют хаотическое расположение структурных частиц. Оба вида зон хаотически распределены по всему объему жидкости. Долю каж-дого типа зон определяют, как правило, экспериментально (например, рентгенографически). Зависимость некоторых свойств от температуры

159

(например, вязкости у висмута) имеют разрыв, обусловленный полиморф-ными превращениями. В рамках данной модели выделяют так называемую температуру разупорядочения, выше которой все кристаллические образо-вания в расплаве разрушаются, и он представляет собой практически пол-ностью гомогенное (гомо – греч. равный, одинаковый, общий – здесь, од-нородное) образование.

Кластерная модель строения жидкости. Распространяется на кон-груэнтно плавящиеся сложные вещества, то есть вещества, которые при плавлении (фазовом переходе I рода) не меняют своего химического со-става, т.е. являются устойчивыми к температурным воздействиям и не раз-лагаются, не модифицируются. Например, если рассматривать расплав, со-стоящий из нескольких веществ А, В, С, то в нем возможно образование кластеров – образований из соединений веществ расплава, в общем случае АВ, АС, СВ, АА, ВВ, СС, которые могут взаимодействовать и не взаимодей-ствовать друг с другом. Учет кластерообразования необходимо проводить в расплавах, содержащих химически активные вещества, например, в алю-мосодержащих расплавах.

ЛЕКЦИЯ 14. ТВЕРДЫЕ ТЕЛА II

1. Кристаллы (твердые тела) и их строение. Симметрия, дальний порядок и дефекты в кристаллах. Классификация ТТ.

2. Механические свойства ТТ. Коэффициент термического рас-ширения (КТР).

14.1. Кристаллы (твердые тела) и их строение. Дальний порядок и дефекты в кристаллах. Классификация ТТ Как уже отмечалось ранее, вещество в природе встречается в четы-

рех агрегатных состояниях: плазма, газ, жидкость и ТТ. Часто ТТ в силу их свойств определяют как вещества, обладающие жесткостью к сдвигам. Структура таких тел является, как правило, кристаллической, а равнове-сие атомов в кристаллической решетке является динамическим рав-новесием многих сил. При рассмотрении частицы в кристалле часто ис-пользуют приближение самосогласованного поля (1928г., приближение Д.Р. Хартри (1897–1958)–В.А. Фока (1898–1974)), при этом считается, что частица не только взаимодействует с силовым полем, создаваемым множе-ством всех остальных электронов и ядер, но и сама создает это поле, влия-ет на него.

Особенностью строения монокристаллов является наличие так называемого дальнего порядка: на расстояниях гораздо больше межатом-ного всю кристаллическую структуру можно получить путем трансляции (периодического перемещения) одной элементарной ее области – ячейки

160

(параллелепипеда, рис. 14.1), содержащей все элементы симметрии, при-сущие данному кристаллу (веществу).

В отличие от ТТ, жидкости и аморфные ТТ обладают ближним порядком (распространяется на несколько межатомных расстояний). Как уже отмечалось, жидкость характеризуется не одной, а набором структур, при определенных условиях кристаллизации расплава энергетически выгод-ным является кристаллизация с промежуточной структурой между строением жидкости и ТТ – аморфной (стекла, леденцы). В такой структуре с очень ма-лой скоростью продолжаются фазовые превращения, с этим, например, свя-зан тот факт, что стекла со временем мутнеют. Аморфные ТТ являются, по сути, переохлажденными жидкостями, характеризуются приблизительно одинаковыми по всем направлениям свойствами, т.е. они изотропны.

Поликристалл в отличие от монокристалла состоит из множества мелких кристаллов какого-либо вещества, иногда называемых из-за непра-вильной формы кристаллитами или кристаллическими зёрнами (или про-сто зернами). Если в монокристалле свойства зависят от выбранного направления (анизотропия монокристаллов), то в поликристаллах в силу хаотического расположения зерен свойства по всем направления усредняются (достигается изотропность).

Интерес к монокристаллам обусловлен их свойствами: механиче-скими, тепловыми, электромагнитными, оптическими, химическими, т.д. в зависимости от типа кристаллической решетки, ориентации кристалла (см. ниже индексы Миллера), наличия примесей, термической, механической и т.п. предыстории (обработки). Например, зависимость окраски от приме-сей: чистый алмаз прозрачен, а Al2O3 с примесью хрома Cr3+ уже является красным рубином. Другим примером может служить влияние вида и со-держания (количества) примесей (присадок) на механические свойства сталей, причем, прочность (сопротивление деформациям) сталей сущест-венно изменяется иногда даже при незначительном, казалось бы, измене-нии содержания примеси (в доли процентов).

В определении дальнего порядка было использовано два понятия: симметрия и трансляция.

Под симметрией тела понимают его свойство при определенных преобразованиях (преобразованиях симметрии) совмещаться с самим собой.

Трансляция – это такое (периодическое) перемещение части тела (ячейки), при котором эта часть совпадет с идентичной ей другой частью тела. Например, в кристалле трансляцией может служить перемещение на межатомное расстояние.

Как уже говорилось, пространственную структуру монокристалла можно описать с помощью периодически повторяющегося параллелепипе-да, называемого элементарной ячейкой (рис. 14.1). Точки a, b, c, α, β, γ называются параметрами ячейки. Часто все параметры различны, куби-ческой решеткой обладают сравнительно малая часть веществ. Представ-

161

ленная ячейка, не имеющая дополнительных узлов кроме вершин ни внутри, ни на гранях и ребрах, называется примитивной или Р-ячейкой. Как правило, целесообразно в качестве элементарной выбирать не прими-тивную, а сложную ячейку с дополнительными атомами – узлами (распо-ложение атомов в решетке называется узлом): в центре оснований (базоцентрированная) или граней (бокоцентрированная) – С-ячейка; в цен-тре всех 6 граней (гранецентрированная) – F-ячейка; на пересечении внут-ренних диагоналей (объемно-центрированная) – I-ячейка.

C F I

X

Z

Yа

сbαβ

γ

P

Рис. 14.1

Условия выбора ячеек: ячейка должна содержать все элементы сим-метрии, присущие данному веществу; число равных сторон и прямых уг-лов должно быть максимальным; при этом объем ячейки должен быть ми-нимальным.

Оказалось, что все многообразие существующих кристаллических структур может быть описано с помощью 14 типов трансляционных реше-ток (показано математически в 1848г.), называемых решетками О. Бравэ (1811–1863), распределенных по семи кристаллографическим системам или сингониям (табл. 14.1).

162

Таблица 14.1 Ячейки

Сингония

Параметры ячейки

Прими-тивная

(Р-ячейка)

Базоцен-трирован-

ная (С-ячейка)

Объем- ноцен-триро-ванная

(I-ячейка)

Гране-центри-рован-ная (F-

ячейка)

Триклинная a≠b≠c, α≠β≠γ

Моноклинная a≠b≠c,

α=β=90°, γ≠90°

Ромбическая a≠b≠c, α=β=γ=90°

Тригональная (ромбоэдри-ческая)

a=b=c, α=β=γ≠90°

Гексагональ-ная

a=b≠c, α=β=90°, γ=60°

Тетрагональ-ная

a=b≠c, α=β=γ=90°

Кубическая a=b=c, α=β=γ=90°

Следует отметить, что обычно под кристаллической решеткой по-

нимают физическую реальность, а под кристаллической структурой – (математическую) абстракцию. Месторасположение атомов в узлах струк-туры обозначают с помощью целых чисел – кристаллографических индек-сов Миллера (англ. У. Миллер (1801–1880)), например, [[110]] (рис. 14.2).

X

Z

Y0

11

1

Рис. 14.2

163

Эти индексы связаны с длиной отрезков, отсекаемых соответствую-щей плоскостью на трёх осях кристаллографической системы координат. Длины отрезков, отсекаемых любой атомной плоскостью кристалла на осях координат, выраженные в постоянных решётки а, b, с, всегда являют-ся целыми числами S1, S2, S3. Если обратные им величины привести к об-щему знаменателю, а затем отбросить его, то полученные 3 целых числа h=S2S3, k=S1S3, l=S1S2 и есть индексы Миллера. Впрочем, иногда для до-полнительных узлов в сложных ячейках используют обозначения [1/2 1/2 0] и т.д. Обозначения прямых записываются в одинарных скобках [hkl], а плос-костей – в круглых скобках. Например, [110] обозначают прямую, прохо-дящую через начало координат [[000]] и узел [[110]], а (110) обозначают плоскость, перпендикулярную направлению [110]. Отрицательные индек-

сы )011(−−

(минус 1, минус 1, нуль) обозначают плоскость, пересекающую-

ся с отрицательным направлением

−−

011 осей координат. Совокупности

плоскостей, симметрично равных друг другу, записывают в фигурных скобках h k l.

Помимо кристаллографии, индексы Миллера используются также в рентгенографии, электронографии и нейтронографии для обозначения пучков, рассеянных соответствующими атомными плоскостями кристалла.

В реальных кристаллах, в отличие от идеальных, как правило, на-блюдаются дефекты структуры. Под дефектами понимают всякое откло-нение от идеального строения кристалла. Дефекты подразделяются на:

– точечные – протяженность не более межатомного размера в лю-бую сторону: чужеродные атомы в узлах и междоузлиях (примесь), отсут-ствие собственных атомов в узлах решетки (вакансия);

– линейные – протяженность в одном из направлений больше меж-атомного, в двух остальных порядка межатомного: краевые, винтовые и смешанные (нарушение правильного чередования атомных плоскостей), микротрещины;

– двухмерные – границы зерен и двойников, межфазные границы, стенки доменов, поверхность любого кристалла;

– объемные – пустоты, включения иной фазы (в процессе кристал-лизации).

Остановимся подробнее на дислокациях, так как механические свой-ства ТТ во многом определяются наличием и плотностью ND – их числом на единицу площади. В наиболее совершенных монокристаллах ND∼102-103 см-2, в сильно деформированных кристаллах ND∼1011-1012см-2.

Краевой дислокацией (рис. 14.3) называется отсутствие полу-плоскости в кристалле (или лишняя полуплоскость). Линия, отделяю-щая дефектную область кристалла от «нормальной», называется линией

164

дислокации (OO/ на рис.(14.3), стрелкой указано направление сдвиговой деформации).

O

Oτ

Рис. 14.3

Признаком краевой дислокации является условие ОО'⊥τr . Для вин-товой дислокации ОО'||τr (рис. 14.4), для смешанной дислокации в одних точках ОО'⊥τr , а в других ОО'||τr (рис.14.5).

В настоящее время считается, что границы зерен (кристаллитов) представляют собой стенки из дислокаций (рис. 14.6).

O

O

τ

O

Oτ

Рис. 14.4 Рис. 14.5 Рис. 14.6

ТТ можно классифицировать и по ряду различных признаков. Ино-гда основой классификации ТТ является характер межатомных сил. Со-гласно этой классификации все ТТ подразделяют на металлические, кова-лентные, ионные и молекулярные кристаллы. ТТ можно классифицировать и по электропроводности: полупроводники, проводники (металлы) и ди-электрики, а также по типу ячейки Бравэ, по прочности и т.д.

14.2. Механические свойства ТТ. Коэффициент термического

расширения (КТР) Под механическими свойствами ТТ понимают их механическую ре-

акцию (деформация) на внешнее воздействие: растяжение–сжатие, из-гиб, кручение, удар и т.п. В результате внешнего силового воздействия в ТТ появляются напряженные состояния. Обычно оно появляется под действием поверхностных сил, действующих на выделенный элемент

165

площади поверхности со стороны других тел, например, реакция опоры. Объемные силы, например, сила тяжести деформации, обычно деформа-ций и напряженных состояний не вызывают.

Отношение модуля поверхностной силы dF к площади воздействия dS называется напряжением:

dSdF

=σ . (14.1)

Различают истинные и условные напряжения. Для определения ис-тинного напряжения необходимо учитывать изменение площади воздейст-вия и, следовательно, приложенной внешней поверхностной силы. В об-щем случае напряженное состояние ТТ описывают с помощью тензора (матрицы) напряжений σij для учета анизотропности кристаллов (при этом учитываются элементы симметрии и различия механических свойств вдоль разных направлений).

Под действием напряжений ТТ может изменять свою форму, либо объем, но, как правило, и то, и другое меняется одновременно – ТТ дефор-мируется. Основными видами деформации являются растяжение–сжатие и сдвиг, все остальные случаи могут быть получены посредством их комбинаций. Количественной мерой деформации является в простей-

шем случае так называемая относительная деформация ll

l∆

=ε или

относительное поперечное растяжение (сжатие) dd

d∆

=ε , где l – длина

стержня, d – его диаметр, ∆l – абсолютное удлинение (абсолютная де-формация).

Экспериментально установлено, что, как правило, при деформации в одном направлении тело деформируется и в других направлениях (рис. 14.7). Поэтому величины εl и εd взаимосвязаны соотношением

l

dε

εν −= , (14.2)

где ν – коэффициент Пуассона, зависящий от природы (свойств) мате-риала.

166

lF

Fl+

l∆

1

2

σ

ε0

σтσу

σпр

12

3

Рис. 14.7 Рис. 14.8 Общий вид зависимости σ(ε) напряжения от величины деформации

ε представлен на рис. 14.8. В зависимости от природы тел вид участков кривой различается углами наклона и протяженностью. Участок 01 – об-ласть упругой деформации: тело при снятии внешнего воздействия прак-тически полностью восстанавливает свою форму и объем. Наибольшее значение σy, соответствующее этому, называется пределом упругости. При дальнейшем (σ>σy) незначительном росте напряжений вплоть до не-которого значения σт – предела текучести – деформация значительно увеличивается (область пластических деформаций – тело не восстанав-ливает свои размеры и форму). Пластические деформации не приводят к нарушению сплошности тела. Следует отметить интересное явление: если тело подвергнуть пластической деформации, а затем, сняв нагрузку, соз-дать напряжение еще раз, то предел упругости увеличится. Это явление на-зывается деформационным упрочнением. Если участок 12 значителен, то материал называют вязким, если мал – хрупким. Дальнейшее увеличение напряжений при значениях больших предела прочности σпр вызывает необратимое разрушение тела.

В достаточно узкой области, в которой величина деформации про-порциональна приложенному напряжению вплоть до некоторого значения напряжения, называемого пределом пропорциональности, выполняется (1660г.) закон Р. Гука (1635–1703):

- в случае деформации растяжения–сжатия

εεσ ЕС == , (14.3)

где Е – модуль (1807г.) Т. Юнга (1773–1829) – численно равен напряже-нию, требуемому для единичного удлинения стержня из данного материала;

- в случае сдвиговой деформации (рис.14.9)

167

γατ GxhGGtg === , (14.4)

где τ – касательное напряжение; G – модуль вектора сдвига; α – угол сдвига; γ – относительный сдвиг;

τ

αх

h

х

y

Рис. 14.9 - в случае объемной деформации

Ω=∆

= χχVVP , (14.5)

где P – давление, напряжение всестороннего сжатия; Ω – относительная объемная деформация; χ– модуль всестороннего сжатия. Формулы (14.3)–(14.5) называются элементарными формами за-

писи закона Гука для изотропных ТТ. Выделим бесконечно малый объем вещества в виде куба (рис. 14.10).

Если на ТТ действуют силы, то в отличие от жидкости и газа эти силы ориентированы произвольно. Обозначим направление Ох за 1, Оy – за 2, Oz – за 3. Если вещество находится в статическом равновесии, то:

1) силы, действующие на противоположные грани куба, равны по модулю и противоположны по направлению;

2) полный момент всех сил, действующих на куб, равен нулю, т.е. достаточно рассмотреть силы, приложенные к трем граням с одной общей вершиной, например, к граням, обращенным на рис. 14.10 к зрителю.

168

X

Z

YdF21

dF23

dF22

dF11

dF13

dF12

dF31

dF33

dF32

X

Z

Y

τxyσy

τzy

σx

τzx

τyx

τxz

σz

τyz

а) б) Рис. 14.10

На рис. 14.10, а указаны компоненты, действующих сил. Например,

сила →

11dF – это составляющая силы →

1dF , приложенная в направлении 1 (Ох). Относя обозначенные составляющие к площади грани dS и проецируя полученные векторы на оси координат, получаем:

dSdF

dSdF

dSdF

xzxyx312111 ; ; === ττσ ;

dSdF

dSdF

dSdF

yzyyx322212 ; ; === τστ ; (14.6)

dSdF

dSdF

dSdF

zzyzx332313 ; ; === σττ .

Величины, определяемые по формуле (14.6), называются механиче-скими напряжениями (см. (14.3) и (14.4)), они полностью характеризуют силы, приложенные к ТТ и образуют так называемые тензор второго ранга (матрицу) – тензор напряжений, где dFij=dFji (см. условия статического равновесия).

Элементарные законы Гука не учитывают явления (14.2) и (14.6), что учитывается εy=εz-νεx для трех направлений в обобщенном законе Гука:

- для удлинения изотропных ТТ:

( )[ ] ( )[ ]zyxx EEσνσσσνσεε σ +−=+−==

1133221111 ,

169

( )[ ] ( )[ ]zxyy EEσσνσσσνσεε +−=+−==

1133112222 , (14.7)

( )[ ] ( )[ ]yxzyxz EEσσνσσσνσεε +−=+−==

113333 ,

- для сдвигов

Gxy

Gxy

τσεε === 12

12 , Gyz

Gyz

τσεε === 23

23 , Gzx

Gzxτσ

εε === 3131 .

Все константы связаны между собой соотношением

)1(2 ν+=

EG . (14.8)

Закон Гука для анизотропных (практически всех реальных) ТТ имеет вид (14.3), но все входящие в него величины являются тензорами (матрицами).

Атомы в кристалле могут совершать колебания в узлах кристалличе-ской решетки (около) положения равновесия. При сообщении им энергии, например, при разогреве тела, амплитуда колебаний атомов возрастает. В квантовой теории показано, что при температуре выше некоторой критиче-ской колебания атомов в узлах решетки становятся ангармоническими (не-гармоническими – отклонение в одну сторону больше, чем в другую). Ли-нейные размеры тела увеличиваются, в связи с этим говорят о тепловом рас-ширении тел и его характеристике – коэффициенте теплового расширения (КТР). Материалы соприкасающихся деталей, покрытий должны иметь оди-наковые или близкие КТР во избежание разрушения изделий и конструкций.

170

ЛЕКЦИЯ 15. ТЕПЛОЕМКОСТЬ И ФАЗОВЫЕ ПЕРЕХОДЫ 1. Классическая теория теплоемкости вещества, границы ее

применимости. 2. Фаза. Метастабильные состояния. Диаграммы состояния.

Тройные точки. Фазовые переходы (ФП) I и II рода. Явление сверхте-кучести (ФП II рода).

15.1. Классическая теория теплоемкости вещества,

границы ее применимости (перед изучением данного вопроса следует ознакомиться с

лекцией 11, вопросы 1 и 2)

Простейшей моделью кристалла (ТТ) является правильная (без де-фектов) кристаллическая решетка, в узлах которой располагаются атомы – материальные точки, совершающие колебания около положения равнове-сия. Если колебания малы, то их можно считать гармоническими (проис-ходящими по закону синуса или косинуса ( )0sin ϕω += tAx ). Так как средняя кинетическая энергия гармонических колебаний примерно равна потенциальной энергии, то на каждую колебательную степень свободы в

среднем приходится энергия kTkT =⋅212 . Каждый атом обладает тремя

степенями свободы, поэтому его средняя энергия 3kT. Тогда внутренняя энергия 1 моля ТТ будет RTkTNU A 33 =⋅= , откуда молярная теплоем-кость ТТ равна

RdTdUCV 3== . (15.1)

Формула (15.1) выражает эмпирически установленный в 1819г. за-кон Дюлонга–Пти (П.Л.Дюлонг (1785–1838), А.Т.Пти (1791–1820)).

Для применимости теоремы о равномерном распределении энергии по степеням свободы не имеет значения, сколько атомов содержится в мо-лекуле, т.е., если на один атом в среднем приходится энергия 3kT, то на n-атомную молекулу придется в среднем 3nkT=3nRT, откуда молярная теп-лоемкость соединения равна сумме молярных теплоемкостей элементов, из которых оно состоит:

nRСV 3= . (15.2) Формула (15.2) – эмпирически установленное в 1864 г. правило

Джоуля–Коппа, хотя иногда его называют правилом Неймана–Коппа (1844 г. Д.П.Джоуль (1818–1889), 1864г. Г.Ф.М. Копп (1817–1892), Ф.Э. Нейман (1798–1895)). Формулы (15.1) и (15.2) ограниченно справедливы.

171

Во-первых, классическая теория теплоемкости вещества не дает за-висимости теплоемкости от температуры, что наглядно проявляется в опы-тах, особенно при низких температурах (рис. 15.1). Во-вторых, классиче-ская теория теплоемкости принимает атом за материальную точку, обла-дающую тремя степенями свободы, хотя его строго следует рассматривать

СV

T

R~T3

Рис. 15.1

как ТТ, т.е. атом обладает шестью степенями свободы. При этом необхо-димо учитывать, что при разных температурах эффективный вклад всех степеней свободы в теплоемкость будет различным. При понижении температуры некоторые степени свободы дают малый вклад, как бы «за-мораживаются». С учетом этого закон равномерного распределения энер-гии по степеням свободы требует уточнения. Внутренняя энергия молекул может принимать лишь определенные, строго фиксированные – дискрет-ные – значения. Например, атом при низких температурах, сколь угодно близких к нулю Кельвина, обладает, в основном, колебательными степе-нями свободы. Самый низкий из энергетических уровней, соответствую-щих такому состоянию молекул, называют нулевым. Далее с повышением температуры активизируется вращение молекул, и при высоких темпера-турах становится справедлив закон равномерного распределения энергии по степеням свободы.

В металлах концентрация носителей тока – электронов достаточно велика, они слабо связаны с атомами, поэтому часто оперируют понятием «электронного газа» в металлах. Следует отметить, что о ситуации с теп-лоемкостью металлов долгое время говорили, как о «катастрофе с тепло-емкостью». Это связано с тем, что помимо атомов, находящихся в узлах кристаллической решетки, вклад в теплоемкость должны давать и носите-ли тока. Этот вклад также дискретен, становится значительным по сравне-нию с вкладом решетки (ионов в узлах) лишь при низких температурах.

Все вышеперечисленные факторы были учтены в новой – квантовой теории строения вещества. К этому вопросу мы еще вернемся в третьей, последней части курса физики.

172

15.2. Фаза. Метастабильные состояния. Диаграммы состояния. Тройные точки. Фазовые переходы (ФП) I и II

рода. Явление сверхтекучести (ФП II рода) Под фазой в термодинамике понимают равновесное состояние ве-

щества, отличающееся по своим физическим свойствам (строение, тепло-емкость, электропроводность и т.п.) от других равновесных состояний (других фаз) этого же вещества. Переход вещества из одной фазы в дру-гую (фазовый переход) связан с качественным изменением свойств веще-ства, например, кристаллизация расплава (жидкости). При этом, как отме-чалось выше, может образоваться не только монокристалл (фаза), но и по-ликристалл (также является фазой), а также аморфное ТТ (так называемая неустойчивая – метастабильная фаза). Ясно, что вещество, находясь в од-ном и том же агрегатном состоянии (ТТ), может быть представлено сразу в виде нескольких фаз.

Любая химическая система, состоящая из некоторого числа компо-нентов, имеет определенное число степеней свободы. В отличие от степе-ней свободы, в молекулярной физике, химической термодинамике под степенями свободы понимают набор тех физических параметров, изме-нение которых в определенном интервале не приводит к изменению фазо-вого состава системы. Количество степеней свободы, которыми облада-ет многофазная система, определяется согласно следствию из правила фаз Гиббса:

nfkс +−= , (15.3) где с – число степеней свободы; k – число независимых компонентов; f – число фаз в данной системе; n – число физических условий, определяющих состояние системы (обычно n=2 – P и Т).

В точках, где число степеней свободы оказывается отрицательным, система является термодинамически неустойчивой. Переход вещества из одного агрегатного состояния в другое или из одной фазы в другую удобно описывать с помощью графического изображения – фазовой диаграммы, или диаграммы состояния, диаграммы равновесия, дающей соотношение между параметрами состояния физико-химической системы (температурой Т, давлением Р и др.) и её составом Х. В общем случае, когда система состоит из одного компонента, это изображение трехмерное, но поскольку многие процессы часто протекают при постоян-ном значении одного из параметров, то используют сечения трехмерного изображения соответствующей постоянному параметру плоскости. На-пример, при постоянном давлении используют сечение Т–Х – диаграмму Т–Х. Аналогичными соображениями обосновывается применение диа-грамм Р–Х и P–Т.

173

Пример P–Т диаграммы состояния однофазной системы – углекисло-го газа СО2, изучением состояния которого занимался Т.Эндрюс еще в XIX в. (см. лекция 13, вопрос 1), приведен на рис. 15.2, где К – точка без-вариантности (нонвариантности), и, согласно формуле (15.3), с=0, или тройная точка, в которой сосуществуют все три агрегатных состояния – жидкое, твердое и газообразное. Диаграмма имеет простейший вид (рис.15.2), если однокомпонентная сис-тема характеризуется наличием только одной кристаллической (ТТ), жид-кой и газообразной (парообразной) фазы (только в этом случае смысл по-нятия «агрегатное состояние» и понятия «фаза» совпадают).Если же веще-ство в одном из агрегатных состояний, например, кристаллическом, при из-менении условий меняет свое строение (сингонию), другие свойства (харак-теризуется несколькими фазами), то диаграмма состояния (рис.15.2) ус-ложняется, появляется несколько критических точек – точек безвариантно-сти.

Газ ( )gas

(solid)ТТ

(liquid)Жидкость

K

P

TT <0кр=-58,6 С°

P кр=

5349

96 Па

Рис. 15.2

Пример Т–Х диаграммы состояния двухкомпонентной системы с неограниченной взаимной растворимостью приведен на рис. 15.3.

Рис. 15.3

174

Неограниченной растворимостью друг в друге (с образованием полностью гомогенной – однородной среды) обладают обычно вещества со сходными физико-химическими свойствами, например, располагаю-щиеся в одной подгруппе Периодической таблицы Д.И. Менделеева (золото Au и серебро Ag). Следует отметить тот факт, что при кристаллизации системы без особых технических приспособлений (например, организации подпитки по како-му-то из компонентов), в общем случае изменяется ее состав, т.е. следует рассматривать динамическое равновесие в системе.

Ликвидусом (от лат. liquidus – жидкий) системы называется кривая, вдоль которой происходит полное плавление кристаллов данного вещества с ростом температуры или начало их равновесной кристаллизации.

Солидусом (от лат. solidus – плотный, твердый) системы называется кривая, вдоль которой происходит полная кристаллизация сплава (или твердого раствора) или начало их равновесного плавления.

Между солидусом и ликвидусом находятся в равновесии обе фазы (расплав и ТТ).

Если же растворение веществ друг в друге неполное или процесс идет с образованием различных химических соединений и их модифика-ций (по строению и прочим физико-химическим свойствам, но одинаково-го агрегатного состояния – ,...,, γβα ), то диаграмма состояния может зна-чительно усложняться. Естественно, диаграмма состояния усложняется и при увеличении компонентов в системе. В этом случае она будет уже не трехмер-ной, как в случае одного компонента, а n-мерной, где n – число компонентов; при этом рассматриваются вышеназванные сечения по каждому из компонен-тов и зависимости их содержания в жидкой и твердой фазах от концентрации других компонентов. Последние зависимости для многокомпонентных систем получить, как правило, очень трудно из-за совместного многофакторного влияния других компонентов с учетом изменения этого влияния при измене-нии условий проведения технологических процессов.

Переход вещества из одной фазы в другую – фазовый переход – всегда связан с качественными изменениями свойств вещества. При-мерами фазовых переходов могут служить не только плавление, кристал-лизация, испарение, т.е. изменения агрегатного состояния вещества, но и переходы, связанные с изменениями в составе, строении и свойствах веще-ства, например, изменение модификации кристаллического вещества (сме-на сингонии и, следовательно, изменение свойств).

При фазовых переходах I рода скачкообразно изменяются плот-ность, объем, концентрация, энтропия (увеличение беспорядка) и выделя-ется или поглощается теплота – теплота фазового перехода. Например, при плавлении вещества должна быть затрачена энергия на разрыв связей атомов в кристаллической решетке, а при кристаллизации, при образова-нии этих связей излишек энергии выделяется.

175

При медленном нагревании вещества выше температуры плавления и его дальнейшем охлаждении, на графике зависимости изменения темпе-ратуры от времени T=f(t) появляются горизонтальные участки (рис. 15.4), т.е. температура в системе остается в течение некоторого времени посто-янной, хотя извне (нагревательная спираль) теплота системе сообщается.

Зависимость вида, приведённого на рис.15.4, называется темпера-турно-временным режимом (ТВР).

T

t

Tпл

T0

0 Рис. 15.4

Следует отметить, что при увеличении масштаба изображения реаль-ных ТВР их линии будут выглядеть волнообразными, так как при проведении технологического процесса поддержание постоянства температуры всегда проводится с конечной точностью, в пределах которой возможны флуктуа-ции температурного поля, а, следовательно (см. фазовые диаграммы), суще-ственное изменение состава и свойств получаемых материалов. Поэтому при проведении технологических процессов требуется четко выдерживать температуру, скорость (это производная dtdT – угол наклона кривой к оси времени) и время (моменты) ее изменения.

К фазовым переходам I рода относятся изменение агрегатного состояния (плавление и кристаллизация, испарение и конденсация, сублимация и обрат-ный ей переход из газовой фазы в ТТ), переход вещества из одной кристалличе-ской модификации в другую, переход из нормального в сверхпроводящее со-стояние под действием сильного магнитного поля. Выделение теплоты фазо-вого перехода – характерный признак фазового перехода I рода.

При фазовых переходах II рода не происходит поглощения или вы-деления теплоты, плотность изменяется непрерывно, скачкообразно изме-няются теплоемкость, вязкость, электропроводность, коэффициент тепло-вого расширения (КТР). Примерами фазовых переходов II рода могут слу-жить переходы веществ в сверхпроводящее и сверхтекучее состояния при низких температурах, переход вещества из ферромагнитного в парамаг-нитное состояние при нагреве до определенной температуры (температура перехода – температура Кюри). В квантовой теории явления сверхпро-водимости и сверхтекучести объясняются с единой точки зрения, по-казывается их общность.

176

Сверхтекучесть – состояние жидкости, в котором она протекает че-рез узкие щели и капилляры без трения. Единственным представителем семейства сверхтекучих жидкостей долгое время считался жидкий гелий 4Не, становящийся сверхтекучим ниже температуры Т=2,17 К. Сверхтеку-чее состояние гелия назвали Не–II, в отличие от обычного Не–I. Сверхте-кучесть Не–II была открыта П.Л.Капицей (р.1894г.) в 1938г.

При рассмотрении вопроса об ограниченности классической теории теплопроводности говорилось о том, что при температурах сколь угодно близких к нулю Кельвина в веществе продолжается движение – т.н. нуле-вые колебания атомов и молекул (в квантовой теории показывается, что энергия тепловых возбуждений может представляться в виде суммы энер-гий ωh особых квантов – фононов (h – постоянная Планка, ω – циклическая частота колебаний)). Сверхтекучесть Не–II была объяснена Л.Д.Ландау в 1941 г. в его квантовой теории двухжидкостной гидродинамики. Согласно этой тео-рии Не–II можно представить состоящим из двух взаимопроникающих компо-нент: нормальной и сверхтекучей. В нормальной составляющей жидкого гелия возможно возбуждение тепловых колебаний, с наличием которых связано су-ществование внутреннего трения – вязкости. В сверхпроводящей же состав-ляющей до температуры Т=2,17 К эти колебания не возникают, при этом час-тицы Не–II представляют так называемый конденсат – коллектив сильно взаи-модействующих между собой частиц.

ЛЕКЦИЯ 16. РАСТВОРЫ

1. Растворы (общие сведения). 2. Осмос и осмотическое давление. Закон Рауля. 3. Многокомпонентные твердые растворы (МТР). Применение МТР

16.1. Растворы (общие сведения) Растворами называют физически однородные (гомогенные) смеси

двух или нескольких веществ. Физическая однородность достигается рав-номерным перемешиванием молекул, чем раствор отличается от механиче-ских смесей, в которых перемешаны не молекулы, а макроскопические частицы вещества. От химических соединений растворы отличаются тем, что состав раствора может изменяться в широких пределах, а вещества в химические соединения вступают в строго определенных пропорциях. Раствор нельзя считать просто механической смесью молекул, так как при смешивании вещества взаимодействуют между собой с рядом эффек-тов: изменяется суммарный объем (спирт + вода), выделяется или погло-щается теплота, образуются сольваты (непрочные соединения непостоян-ного состава молекул компонентов раствора, если растворитель – вода, то сольваты называют гидратами) и т.д.

177

Раствор состоит из растворителя и растворенных веществ. Раство-рителем считается вещество, которое до растворения находилось в том же агрегатном состоянии, что и после растворения (вода+сахар, растворитель – вода). Если же компоненты раствора до и после растворения находятся в одинаковом агрегатном состоянии (вода+спирт), то растворителем счита-ется компонент, присутствующий в большем количестве.

Растворы называются слабыми или разбавленными, если число молекул растворенных веществ очень мало по сравнению с числом моле-кул растворителя, в противном случае растворы называются крепкими. Очень крепкие растворы называются концентрированными. Раствор, на-ходящийся в динамическом равновесии с растворяющимся веществом, на-зывается насыщенным (растворение – процесс двухстороннего перехода: молекул из растворяемого вещества в раствор и обратно).

Относительное содержание компонентов в растворе характеризуется их концентрациями. Различают массовые (массовая доля), мольные (мольная доля), молярные (молярность), объемные концентрации.

Массовая доля есть отношение массы данного компонента к массе всех компонентов раствора. Сумма всех массовых долей равна единице.

Мольная доля есть отношение количества компонента к сумме коли-честв всех веществ, составляющих раствор.

Молярность есть отношение количества растворенного вещества к массе растворителя.

Объемной концентрацией компонента называется количество его (в граммах или молях) в единице объема раствора.

Раствор называется ненасыщенным, если концентрация растворенно-го вещества в нем меньше, чем в насыщенном растворе. Если же она больше, то раствор называется пересыщенным (и является метастабиль-ным). В присутствии зародышей растворяемого вещества его избыток вы-падает из раствора и раствор становится насыщенным.

Газы также могут растворяться в жидкостях и ТТ. При растворении газа, например, в жидкости молекулы газа переходят из газа, где они слабо взаимодействуют между собой, в раствор, где они подвергаются сильному притяжению со стороны молекул растворителя (возникают связи). С этим связан тот факт, что в подавляющем большинстве случаев тепловой эф-фект при растворении газов положителен (выделяется теплота).

Согласно принципу Ле-Шателье с увеличением температуры раство-римость газов должна убывать, а с увеличением давления газа над раство-ром – возрастать.

Растворы могут быть как жидкими, так и твердыми (см. 3 вопрос). Многие сплавы при переходе из жидкого состояния в твердое сохра-

няют свою однородность, причем соотношения между компонентами в таких фазах могут изменяться без нарушения однородности. Такие сплавы называ-ются твердыми растворами (ТР). ТР представляет собой однофазную сис-

178

тему, состоит из одного вида кристаллитов, т.е. характеризуется единой кри-сталлической решеткой. ТР существует не при строго определенном соотно-шении компонентов, а в определенном интервале концентраций.

16.2. Осмос и осмотическое давление. Закон Рауля

Если два раствора отделены друг от друга пористой перегородкой,

через которую могут проходить молекулы растворителя и растворенного вещества, то начнется процесс перехода молекул из одного раствора в дру-гой до выравнивания концентраций обоих растворов и установления дина-мического равновесия. Подобное равновесие осуществимо в случае про-ницаемой перегородки.

Перегородки (ткани растительного и животного происхождения), проницаемые для молекул растворителя, но непроницаемые для молекул растворенного вещества, называются полупроницаемыми. Если раствор отделен от чистого растворителя полупроницаемой перегородкой, то через нее молекулы чистого растворителя переходят в область, занятую раство-ром. Это явление называется осмосом (осмос происходит и в тех случаях, когда полупроницаемая перегородка разделяет два раствора различной концентрации). В результате осмоса возникает разность давлений между раствором и чистым растворителем. Осмос прекращается при определен-ной разности давлений, которая называется осмотическим давлением. Существование осмотического давления объясняется нескомпенсирован-ными с другой стороны перегородки ударами молекул растворенного ве-щества (удары молекул растворителя будут примерно одинаковыми с обе-их сторон и не будут создавать давления). Его величину для разбавленных растворов можно вычислить, как и для идеальных газов по закону Я.Х.Вант-Гоффа (1852–1911): осмотическое давление в слабых растворах подчиняется тем же законам, что и давление идеальных газов:

VRT

VNkTРосм ν== , (16.1)

где N и v – соответственно число молекул и молей растворенного вещества в объеме раствора V. Осмотическое давление клеток многих растений дос-тигает 5–20 атмосфер.

Осмосом объясняется набухание и разрыв оболочек семян растений, замоченных в воде (проницаемых для воды), оживание и насыщение кра-сок увядших цветов, опущенных в воду, напоенность водой верхушек де-ревьев. Осмос играет важную роль и в жизнедеятельности клеток, так как обмен веществ в живых организмах осуществляется посредством раство-ров – соков и крови, омывающих полупроницаемые перегородки расти-тельных и животных клеток.

179

Механизм осмоса до конца еще не выяснен, но согласно одной из точек зрения он объясняется различной растворимостью в материале пере-городки соприкасающихся с ней веществ. Перегородка растворяет чистый растворитель с одной ее стороны, образуется пересыщенный для другой стороны раствор, тогда перегородка начинает отдавать в жидкий раствор часть растворителя, растворяя при этом его новые порции.

Если в жидкости растворено нелетучее вещество, то свободную по-верхность жидкости можно считать полупроницаемой перегородкой: через нее свободно будут проходить молекулы растворителя, но не смогут прохо-дить молекулы растворенного вещества. В результате давление насыщенно-го пара (пара, находящегося в равновесии с жидкостью) над раствором бу-дет при одной и той же температуре меньше, чем над растворителем. Пусть Р0 – давление насыщенного пара над поверхностью растворителя, а Р – дав-ление над поверхностью раствора в трубке осмометра (рис. 16.1).

Парh

Раствор

Р0

Р

Рис. 16.1 Осмометр в классическом варианте (Пфеффер (1845–1920)) представля-

ет собой глиняный сосуд, в порах которого осаждена механически непрочная пленка железисто-синеродистой меди 62 )(CNFeCu , являющаяся проницае-мой перегородкой для воды, но непроницаемой, например, для сахара.

В горло сосуда вставлена длинная вертикальная трубка. Если сосуд заполнить водным раствором сахара и погрузить в чистую воду, то уровень жидкости в трубке в результате осмоса (воды в сосуд) изменится, достигая высоты h. Тогда осмотическое давление ghP раросм −= ρ .

В состоянии равновесия ghPP параρ=−0 и 00

0

РР

PPP осм

рар

пара ⋅=−

−ρρ

.

Если раствор разбавленный, то различием между плотностью раствора и

растворителя можно пренебречь. Тогда с учетом равенства ляр

пара

рар

пара

nn

−−

=ρρ

(где nпара – число молекул пара, а nр-ля – число молекул растворителя в едини-це объема раствора) и закона Вант-Гоффа (16.1) kTnРосм 1= (n1 – число мо-лекул растворенного вещества в единице объема раствора) можно получить

180

лярлярnn

PPP

−−

==−

νν11

0

0 . (16.2)

Формула (16.2) выражает закон Ф.М. Рауля (1830–1901): относи-тельное понижение давления насыщенного пара растворителя над по-верхностью слабого раствора нелетучего вещества равно отношению числа молей растворенного вещества к числу молей растворителя.

Из закона Рауля также следует, что при одном и том же давлении темпе-ратура кипения раствора выше температуры кипения чистого растворителя.

16.3. Многокомпонентные твердые растворы (МТР)

и их диаграммы состояния. Применение МТР (перед изучением данного вопроса следует ознакомиться с вопросом 2

лекции 15)

Рентгенографические исследования ТР (общее определение ТР дано в вопросе 1) показывают, что существуют три структурных типа ТР: ТР замещения, внедрения и вычитания.

В ТР замещения на основе химического элемента атомы растворен-ного вещества А замещают в кристаллической решетке атомы растворите-ля В, статистически (хаотически) распределяясь среди них (рис. 16.2, а). В ТР замещения между химическими соединениями вида АВ и АС атомы (ионы) компонентов размещаются в соответствии с рис. 16.2, б.

а) б) в)

A B C

Рис. 16.2 Многокомпонентными или сложными ТР (МТР) называются ТР с

числом компонентов 3≥n . Сложные ТР замещения обычно состоят из атомов элементов нескольких групп (подгрупп) Периодической таблицы Д.И.Менделеева. Как известно, в группе находятся элементы, характери-зуемые подобными физико-химическими свойствами. Примером может служить четырехкомпонентный ТР, состоящий из атомов двух групп (А, В) одной группы (и обычно одной и той же подгруппы) Периодической таб-лицы и (С, D) другой группы (и одинаковой подгруппы): AlGaAsSb, где алюминий Al и галлий Ga – элементы III группы, а мышьяк As и сурьма Sb – V группы. Такие ТР представляют собой как бы две кристаллические

181

подрешетки, вставленные друг в друга, где замещение идет, в основном, хаотически по подрешеткам соответствующих групп, например, Al заме-щает Ga и наоборот, а As – Sb. Кристаллическая решетка ТР компонента А в химическом соединении АВ приведена на рис. 16.2, в.

Вероятность обнаружить замещающий атом в узле решетки есть постоянная величина, не зависящая от координат, но зависящая от со-става ТР. Если атомы В замещают атомы А в соединении АС, то структур-ную формулу ТР (МТР) можно записать в виде А1-хВхС, где х – мольная (атомная) доля компонента В, равная вероятности обнаружить соответст-вующий атом в ТР. Таким образом, соединения А1-хВхС (0<x<1) для любых х изоструктурны между собой (т.е. с одинаковой кристаллической решет-кой) и с крайними членами ряда – соединениями АВ и ВС.

В ТР внедрения (например, Ni в NiSb) атомы растворенного элемен-та располагаются в междуатомных промежутках кристаллической решетки – так называемых порах (по виду различают октапоры – октаэдрические поры, тетрапоры – тетраэдрические поры). Растворимость по типу внедре-ния обычно невелика и лишь в редких случаях достигает 10%.

ТР вычитания (вообще-то это растворы с дефектной решеткой) об-разуются лишь на основе химических соединений. В таких ТР избыточные атомы растворенного компонента занимают положение в узлах, а часть по-зиций второго компонента оказываются пустыми. По способу вычитания растворяется тот компонент из химического соединения, атомы (ионы) ко-торого имеют больший эффективный атомный (ионный) радиус.

Часто в МТР ввиду различной растворимости компонентов друг в друге и сложности взаимодействия компонентов наблюдаются отклонения от какого-то одного варианта образования ТР, возможны сразу несколько вариантов вхождения атомов в кристаллическую решетку основы ТР (мат-рицу). ТР вообще привлекают интерес в связи с возможностью не только плавного изменения состава, но и часто плавного изменения свойств вме-сте с составом. Например, изменение многих свойств МТР А1-хВхС прибли-зительно происходит от свойств соединения АВ до свойств соединения АС. Известно, что обычно свойства целого качественно отличны от свойств со-ставляющих частей, поэтому в МТР не исключено и появление качествен-но новых по сравнению с компонентами свойств, проявляющихся при сложном взаимодействии разнородных атомов в образующейся решетке. Например, для полупроводниковых МТР АIIIВV (элементов III и V групп) возрастает число степеней свободы К, позволяющих независимо регулиро-вать все большее число параметров (свойств) многокомпонентной систе-мы. Величина К определяется соотношением K=M+N–2, где M и N число атомов III и V групп Периодической таблицы Д.И.Менделеева. В этом смысле обычное бинарное (двухкомпонентное) соединение А3В5 имеет ну-левую, трехкомпонентное – одну, четырехкомпонентное – две степени свободы. Поэтому в случае четырехкомпонентного ТР можно управлять

182

только двумя параметрами, например, параметром кристаллической ре-шетки и шириной запрещенной зоны. В случае пятикомпонентного ТР имеют место 3 степени свободы, что дает возможность независимо изме-нять дополнительную величину – коэффициент теплового расширения (КТР). Переход к шестикомпонентным ТР добавляет еще одну степень свободы и позволяет управлять также величиной показателя преломления. Однако использование шестикомпонентных систем существенно усложня-ет технологию получения, что связано с расширением области термодина-мической неустойчивости и сужением области существования МТР.

За разработку в области получения и исследования полупроводнико-вых МТР и структур на их основе (гетероструктур – сопряженных на уровне кристаллической решетки «сэндвичей» из различных ТР) наш соотечествен-ник Ж.И. Алферов (р.1930г.) был удостоен Нобелевской премии 2000г.

Принцип вхождения атомов в матрицу тех или иных дозируемых примесей, меняющих ее свойства, является фундаментальным для созда-ния многих материалов в технике, начиная от высокопрочных сплавов и заканчивая кристаллами для квантовой полупроводниковой электроники.

В настоящее время ТР получили широкое практическое применение: – полупроводниковые – в электронной технике (начиная от транзи-

сторов и (свето)диодов и заканчивая СD–ROM’ми, сотовыми телефонами, компьютерами);

– металлические – в качестве конструкционных материалов в маши-ностроении и т.п.

183

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Основной задачей при подготовке инженера в техническом вузе яв-

ляется обучение его умению видеть причинно-следственные связи во всех явлениях независимо от их физической природы и строить корректные фи-зико-математические модели этих явлений. Приступая к обучению во вту-зе и подходя к своей первой или второй сессии, всем студентам следует помнить о том, что данное умение необходимо каждому инженеру незави-симо от его специализации. Оно формируется исходя из общих принципов для всех фундаментальных наук, которые тесно связаны друг с другом. Авторы надеются, что данное пособие позволило студентам сделать еще один шаг навстречу этому.

184

Учебное пособие

Лунин Леонид Сергеевич, Благин Анатолий Вячеславович, Баранник Алексей Анатольевич

Лекции по физике Часть I

Механика, молекулярная физика и термодинамика Редактор А.А. Галикян Подписано в печать 25.05.2006. Формат 60×84 1/16. Бумага офсетная. Печать оперативная. Печ. л. 10,69 Уч.-изд. л. 11. Тираж 100 экз. Заказ 1294. Южно-Российский государственный технический университет Редакционно-издательский отдел ЮРГТУ Типография ЮРГТУ Адрес университета и типографии: 346428, г. Новочеркасск, ул. Просвещения, 132