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7. Vorlesung „Grundlagen der analogen
Schaltungstechnik“:Dynamik – Frequenzgänge KWSR-P/N-Bodediagramm
Re s
Im s
-2 -1 1 2
Re s
-2
-1
1
2
Im s
2 4 6 8 10 12 14
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
26.11.20161
7. Vorlesung: Grundlagen der analogen Schaltungstechnik (GaST oder kurz GST) - KWSR/Bode/Filter
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Ihre Fragen
Wann benutzte ich welche Darstellungsform der
Übertragungsfunktion? / Was sind die Vorteile der Darstellungsweise
mit jw? D? s?
Wozu brauche ich die DGL der Schaltung, wenn ich am Ende doch
nur mit der transformierten Übertagungsfunktion multipliziere und
rücktransformiere?
Welche Bedeutung hat das 's'? Klar ist, dass es aus der
Laplacetransformation stammt, aber warum kann ich es statt D oder
jw verwenden und was ist die Laplaceebene (s)?
Nochmal zum Mitschreiben: Wie ermitteln sich die Pole/Nullstellen
für das P/N-Diagramm? Wozu dient das P/N-Diagramm? Was kann
ich in dem Diagramm ablesen/erkennen?
26.11.20162
7. Vorlesung: Grundlagen der analogen Schaltungstechnik (GaST oder kurz GST) - KWSR/Bode/Filter
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Transformation einer DGL zur Bestimmung der Partikulären
Lösung für cos/sin-Anregungen
1
1 1 0... ( )n n
n nc D c D c D c y t
1
1 1 0( ... ) ( )m m
m ma D a D a D a x t
1
1 1 0
1
1 1 0
...( )( )
( ) ...
m m
m m
n n
n n
a D a D a D ay tH D
x t c D c D c D c
1
1 1 0
1
1 1 0
...( )
...
m m
m m
n n
n n
a j a j a j aYH j
X c j c j c j c
0
0 0 0) ( ) cos( jx V Vt et
0 0( ) co( ) arg[s ])( )( t Hy jVH jt
( ) ( 1)
1 1 0... ' ( )n n
n nc y c y c y c y g t
( ) ( 1)
1 1 0( ) ( ) ( ) ... ( )' ( )m m
m mg t a x t a x t a x t a x t
arg bedeutet Argument, das ist der gesamte Phasenwinkel von H(j)
26.11.20163
7. Vorlesung: Grundlagen der analogen Schaltungstechnik (GaST oder kurz GST) - KWSR/Bode/Filter
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1
1 1 0
1
1 1 0
...( )( )
( ) ...
m m
m m
n n
n n
a D a D a D ay tH D
x t c D c D c D c
System( )x t ( )y t
Der Nenner enthält immer die Differentialgleichung
bzw. ihr charakteristisches Polynom und damit (als
Lösung) die Eigenfrequenzen (Grenz/Eckfrequenzen)
Ob
1
1 1 0
1
1 1 0
...( )
...
m m
m m
n n
n n
j j ja a a aYH
X c c cj j j cjoder
oder
1
1 1 0
1
1 1 0
...{ ( )}( )
{ ( )} ...
m m
m m
n n
n n
a s a s a s aL y tH s
L x t c s c s c s c
Übertragungsfunktionen im Zeit- und Frequenzbereich I & II
partikuläre Lösung
für x(t) = V0cos(t+0)
Bem: H(j) ist
die Fourier-
transformierte
der DGL!
Laplace-
Trafo =
Freq.b. II
0 0( ) co( ) arg[s ])( )( t Hy jVH jt
426.11.2016
7. Vorlesung: Grundlagen der analogen Schaltungstechnik (GaST oder kurz GST) - KWSR/Bode/Filter
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Problemtransformation: Ersatzschaltbilder
D-Operator
KWSR
Laplace
cc c c
duC i CD u i
dt
c c
1u i
CD
uc ic
CC
j jj t j tcc c c c c
IU
C C C C
duC i , Ansatz: u U e e ,i I e e
dt
1j CU I oder U I
j C
cc
C C C C C C
duC i
dt
1 1sCU (s) Cu (0) I (s) oder U (s) I u (0)
sC s
(0) L x sL x x
( ) Re ( ) j tR e
dD
dt
1
DC
( )ci t
( )cu t
1
j CcU
y sC( )cU s
( )cI s (0)Cu
26.11.20165
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Re s
Im s
-2 -1 1 2
Re s
-2
-1
1
2
Im s
H(s) – Pol/Nullstellendiagramm
01 02 0
1 2
( )( )...( )( )
( )( )...( )m
n
s s s s s sH s k
s s s s s sFaktorisierung
von H(s):
s0 seien die Nullstellen H(s) und s die Pole von H(s)
Merke: Der Nenner ist das charakteristische Polynom
P(s) der entsprechenden Differentialgleichung!
86 60 s 18 s2
30 38 s 39 s2 18 s3H(s)=
s5
32 , s
5
32
s3
2, s
1
3, s
1
3
Nullstellen (o):
Pole (x):
Eigenfrequenzen oder Eigenwerte der DGL!
26.11.20166
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3D Interpretation der s-Ebene
-4.00
-3.00
-1.00
0.00-2.00 -1.00 0.00 1.00
0.00
2.00
4.00
6.00
8.00
Im{s}
|H(s)|
-4.00
-2.00
2.00
4.00
-2.00
-1.00
0.00
1.00
2.00
2.00
4.00
6.00
8.00
Re{s}
2
2
9 30 43( )
9 6 10
s sH s
s s
Frequenz-gang
( )H s j
Oberfläche
( )H s
0(1,2)
52
3s j (1,2)
1
3s j
0( ) cos(( ) arg[ ( ))]H j H jt ty V7
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VDD
0
VDD
VSS
inp
VDD VSS
00
0
inp
out
3 4
5
2
1
M1
MODP
W = 100uL = 8u
M5
MODP
L = 8u
W = 100u
M4
MODN
L = 8u
W = 50u
M3
MODN
L = 8u
W = 50u
M8
MODP
L = 8u
W = 100u
CC
5pIBIAS
20u+-
VM
-5V
+
-
VP
5V
+
-
CL 50p
M7
MODP
L = 8uW = 100u
M9MODN
W = 8uL = 10u
M6
MODN
L = 8u
W = 100u
M2
MODP
W = 100u
L = 8u
Vin1
Frequenz
1.0Hz 100KHz 10GHz
V(out)
10mV
1.0V
1.0mV
10V
Zeit
0s 5us 10us 15us 20us 25us 30usV(OUT) V(Vin1:+)
-2.0V
0V
2.0V
Rückgekoppelter Verstärker:
Transientantwort: Ringing
Frequenzgang: Peaking
Ursache: komplexes Polpaar
nahe der imaginären Achse
Differentialgleichungen (lineare mit konst. Koeffz.)
Anwendung: Frequenzkompensation
8
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Woher kommt das Ringing bzw. Peaking?
Regelungstechnik: Phasenverschiebung des Verstärkers HV(s)
Gegenkopplung wird zur Mitkopplung (Stabilitätsreserve sinkt)
Exkurs/Preview Regeltechnik
Rückgekoppelte Strukturen
( )X s ( )Y s+ HV(s)
HR(s)
V
R V
( )( )
1 ( ) ( )
H sH s
H s H s
_
0 1
0 1
26.11.20169
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Re s
Im s
-2 -1 1 2
Re s
-2
-1
1
2
Im s
2 4 6 8 10 12 14
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
1.0E 3 1.0E 2 1.0E 1 1.0E0 1.0E1
30
20
10
0
Frequency
Magnitude
dB
1.0E 3 1.0E 2 1.0E 1 1.0E0 1.0E1
120
100
80
60
40
20
0
Frequency
Phase
deg
86 60 s 18 s2
30 38 s 39 s2 18 s3H(s)=
s5
32 , s
5
32
s3
2, s
1
3, s
1
3
Nullstellen (o):
Pole (x):
Re( ), Im( ), ( ) mit x s y s z H s s j
26.11.201610
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Zusammenhang Frequenzgang - Pole/Nullstellen
26.11.201611
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Link: Java-Applet PZ-Frequenzgang
26.11.201613
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Pole und Nullstellen, Frequenzgang
H(j) & Bodediagramm
26.11.201614
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Re s
Im s
-2 -1 1 2
Re s
-2
-1
1
2
Im s
H(s) – Pol/Nullstellendiagramm
01 02 0
1 2
( )( )...( )( )
( )( )...( )m
n
s s s s s sH s k
s s s s s sFaktorisierung
von H(s):
s0 seien die Nullstellen H(s) und s die Pole von H(s)
Merke: Der Nenner ist das charakteristische Polynom
P(s) der entsprechenden Differentialgleichung!
86 60 s 18 s2
30 38 s 39 s2 18 s3H(s)=
s5
32 , s
5
32
s3
2, s
1
3, s
1
3
Nullstellen (o):
Pole (x):
Eigenfrequenzen oder Eigenwerte der DGL!
26.11.201615
7. Vorlesung: Grundlagen der analogen Schaltungstechnik (GaST oder kurz GST) - KWSR/Bode/Filter
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Frequenzgang H(j) & Bodediagramm
Für eine feste Frequenz f0, d.h. , kann ein Term
als Ortsvektor in der komplexen s-
Ebene interpretiert werden
0s j
0 0 0( ) ( )s s j s
0 0( )j s
01 02 0
1 2
( )( )...( )( )
( )( )...( )m
n
s s s s s sH s
s s s s s s
0s-Ebene
j
0s
Faktorisierung
von H(s):
s0 seien die Nullstellen H(s) und s die Pole von H(s)
Merke: Der Nenner ist das charakteristische Polynom
P(s) der entsprechenden Differentialgleichung!
0j
0s
0 0( )j s
26.11.201616
7. Vorlesung: Grundlagen der analogen Schaltungstechnik (GaST oder kurz GST) - KWSR/Bode/Filter
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Betrag und Phase
graphische Interpretation des Frequenzverhaltens:
0 0arg ( )
0 0 0 0( ) ( )j s
j s j s e
Phasor Betrag Phase
0 0( )j s
0 0Re Ims s
0 0Phase: arg ( ) j s
s-EbeneBetrag
0s
0
jIm( )j s
0s
klein
groß größer
45o
Es gilt:
0j
0s
0 0( )j s
Grenzfrequenz!!
26.11.201617
7. Vorlesung: Grundlagen der analogen Schaltungstechnik (GaST oder kurz GST) - KWSR/Bode/Filter
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Superposition von Ortsvektoren (“Fahrstrahl”, Zeigern)
Umschreiben der faktorisierten H(s) in Polarform:
01 02 0
1 2
...
01 02 0
...
1 2
( ) ( ) ... ( )( )
( ) ( ) ... ( )
m
n
m
n
s s s s s s eH s
s s s s s s e
01 02 0
01 02 0
log( ( ) ( ) ... ( ) )
log( ( ) ) log( ( ) ) ... log( ( ) )
m
m
s s s s s s
s s s s s s
Dasselbe gilt für das Nennerpolynom.
Trick: Überlagerung (Superposition) des Beitrags jedes
Pols bzw. Nullstelle ist möglich, wenn Logarithmus
angewandt wird:
26.11.201618
7. Vorlesung: Grundlagen der analogen Schaltungstechnik (GaST oder kurz GST) - KWSR/Bode/Filter
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Asymptotisches Verhalten (für Nullstelle)
10log ( )
0für ( ) ~H s konst 1für ( ) ~H s
(Exponent von s)* 20dB= Steigung pro Dekade
1020log ( ) inH s dB 1020log ( ) inH s dB
10log a
0,1a10a
20
-20
0( ) k j s 0s
20log dBk
0 k s konst
X 0( ) k j s 0s
~k j
X
log( ( ) )( )
log( )
xH j
H j x
26.11.201619
7. Vorlesung: Grundlagen der analogen Schaltungstechnik (GaST oder kurz GST) - KWSR/Bode/Filter
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Reelle Nullstelle bei s0 – idealisiertes/reales Verhalten
p 2
p 2–
p 4 45°=
p 4– 45– °=
0f s
( )
log
H j
Maßstab
reale Kurve
0
2 3
Anstieg bei
dB
f s
0
0
0
Phasengang: 0..+90
45 Phase bei f s
Phase
bzw. (log )f Maßstab
26.11.201620
0
0
0
log( )
log( ) log( 1)
Offset
j s
s js
7. Vorlesung: Grundlagen der analogen Schaltungstechnik (GaST oder kurz GST) - KWSR/Bode/Filter
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Reeller Pol bei s – idealisiertes/reales Verhalten
p 2
p 2–
p 4 45°=
p 4– 45– °=
f s
( )
log
H j
Maßstab
reale Kurve
0
13
2
Abfall bei
dB
f s
0
0
0
Phasengang: 0.. 90
45 Phase bei
f s
Phase
26.11.201621
1log
log( ) log 1
Offset
j s
s js
7. Vorlesung: Grundlagen der analogen Schaltungstechnik (GaST oder kurz GST) - KWSR/Bode/Filter
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Beispiel: RC Filterschaltung
1( )
1out
in
VH s
V sRC
1 1
2b bf
RC
p
Grenzfrequenz
1 1) ( 0)
2(
2b H j DC aiH j g n arg[ ( )] 45o
bH j
1s
RC
j
Pol!
R
outVinV C
26.11.201622
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