Глава 10 - actuary-al.ru · На практике, может использоваться...

© IFE, 2006

Глава 10

Резервы неоплаченных убытков

Разделы программы (d)(iv) Опишите базовую методологию резервирования в общем страховании.

0. Введение В любой момент времени страховая компания имеет неоплаченные обязательства по страховым событиям, которые уже произошли, но еще не были полностью урегулированы. Обязательства могут иметь несколько компонент: • заявленные претензии, которые еще не были полностью урегулированы; • страховые события, которые уже произошли, но еще не были заявлены (РПНУ); • претензии, которые компания считает урегулированными, но которые могут

рассматриваться повторно; • издержки на работу с претензиями и их урегулирование. Может также иметь место резерв РПНЗУ (положительная или отрицательная корректировка), отражающий тот факт, что первоначальная оценка резерва заявленных убытков была слишком низка или высока. Кроме того, в любой момент времени, страховщик будет иметь обязательства перед страхователями по претензиям и издержкам, которые возникнут в будущем по неистекшей части действующих в настоящее время полисов. Имеют место два важных элемента процесса резервирования: • технический: использование различных методов оценки суммы, которую страховщик в

конечном итоге должен будет выплатить; • суждение: принятие решения о степени консервативности (осмотрительности), которую

нужно внести в оценки, и принятие решения о том, сколько страховщик должен отложить сейчас (резервы), чтобы сделать эти ожидаемые выплаты.

Суждение является функцией цели резервирования, а также степени неопределенности будущих платежей. Если бы размеры и даты будущих платежей были известны, процесс резервирования стал бы простым механическим упражнением. Однако размеры и даты платежей точно не известны, поэтому требуется суждение.

303-10: Резервы неоплаченных убытков

2

На практике, может использоваться несколько методов резервирования, прежде чем страховщик, после сравнительного анализа их результатов, окончательно определит резервы. В данной главе мы сконцентрируемся на технической стороне, и изучим методы оценки обязательств. Суждение тесно связано с целью расчета резервов; этот вопрос рассматривается в оставшейся части курса. В данной главе мы рассмотрим методы резервирования неоплаченных заявленных убытков. В следующей главе мы рассмотрим методы оценки РПНУ, резервов издержек и резервов неистекшего риска.


3

1. Потребность в данных Потребность в данных для установления резервов неоплаченных убытков зависит от подхода, используемого для вычисления этих резервов. Если резервы неизвестных неоплаченных убытков определяются как сумма индивидуальных оценок, необходимая информация, в основном, относится к последним оценкам размеров претензий и датам выплат. Необходимо также обеспечить, чтобы были учтены все заявленные претензии, которые не считаются окончательно урегулированными. Даты предъявления и события будут, однако, нужны для определения вероятного размера произошедших, но не заявленных убытков. Мы могли бы, и возможно должны, принять точку зрения, что информация, необходимая для оценки размеров претензий, является частью необходимых для резервирования данных. В такой интерпретации, необходима практически любая информация: опытный оценщик может использовать всю доступную информацию о претензии. Если резервы должны оцениваться статистическими методами, а также, если статистическая проверка должна быть проведена для резервов, основанных на индивидуальных оценках, данные должны быть намного более подробными, чтобы их можно было, для прогнозирования, разбить на достаточно однородные группы. Комментарии о том, как это делается, имеются в данной и следующей главах курса. Вероятность того, что лежащие в основе статистических методов предположения будут верны, выше при применении модели к однородным группам претензий. В сущности, для оценки неоплаченных претензий вам нужна информация, достаточная для того, чтобы претензии можно было разбить на любые разумные подгруппы.


4

2. Базис для индивидуального анализа При индивидуальном анализе, файлы всех не урегулированных претензий последовательно инспектируются компьютерной программой или имеющим необходимый опыт оценщиком. Оценщик взвесит все существенные факты и оценит претензию. Затем будет добавлена сумма, достаточная для оплаты прямых издержек по претензии. Наконец, будет учтена будущая инфляция претензий в соответствии с предполагаемой датой оплаты претензии. Многие претензии имеют специфические характеристики, и определение их стоимости является механическим процессом. Это в первую очередь относится к более мелким претензиям. Для работы с такими претензиями часто используются компьютерные программы. Альтернативно, для оценки таких претензий используют таблицы факторов, равных исторической средней стоимости плюс инфляция. Потенциально более крупные претензии, в особенности по ответственности, требуют от оценщиков опыта и мастерства. Очень важно их понимание правовой ситуации и изменения ситуации с претензиями. Однако имеют место недостатки, связанные с качественной природой оценки. Без некоторой статистической проверки практически невозможно определить поддержание стабильности индивидуальных оценок от года к году. Еще одной проблемой индивидуальных оценок является постоянная необходимость обновления по мере поступления новой информации, а также необходимость определения отдельной величины РПНУ и резерва для повторно рассматриваемых претензий. Ясно, что индивидуальное рассмотрение не может дать оценок претензий, которые еще не были предъявлены. Если индивидуальное рассмотрение применяется в качестве основного процесса резервирования, РПНУ должен оцениваться отдельно. Вопрос 10.1 Укажете недостатки метода индивидуального рассмотрения, кроме того, что он не учитывает РПНУ. Каковы достоинства?


5

3. Статистические методы 3.1 Введение При изучении предмета 106, вы уже ознакомились с основной терминологией и методами, упоминаемыми в оставшейся части данной главы. Может быть, имеет смысл повторить эти вопросы, если вы плохо их помните. В предмете 303 предполагается умение проводить вычисления для различных статистических методов. На экзамене по предмету 303 вам могут предложить провести такие вычисления. Однако в предмете 303 ваши знания расширяются за счет анализа лежащие в основе расчетных методов принципов, а также влияние искажений в данных на конкретные методы расчета резервов. Существует множество разных статистических методов, применимых для оценки резервов неоплаченных претензий, которые в большинстве случаев дают разные результаты. Ни один из методов не является правильным или неправильным, поскольку точность зависит от того, насколько необходимые для метода предположения соответствуют конкретной ситуации и необходимому уровню консервативности рассчитываемого резерва. Вопрос 10.2 Что в первую очередь определяет необходимый уровень консервативности резервов? В общем случае, статистические методы предполагают наличие стабильной структуры урегулирования претензий в прошлом, а также сохранение этой стабильности в будущем. Игнорируя специфические методы отдельного вычисления чистого резерва РПНУ, большинство методов можно разделить на следующие базовые группы: • методы цепной лестницы; • методы средней стоимости претензии; • методы коэффициента убытков; • смеси (комбинации методов). Методы цепной лестницы описаны в разделах 4 и 5, методы средней стоимости претензии - в разделе 6, а методы коэффициента убытков - в разделе 7. Примером смеси методов является метод Борнуэттера-Фергюсона. Он описан в разделе 8.


6

Основные вариации связаны с: • корректировкой, применяемой для учета прошлой инфляции; • выбором заявленных или оплаченных претензий; • выбором когорты претензий; • выбором разных коэффициентов развития или разных факторов увеличения; • выбора применяемой подверженности и коэффициента убытков. Когорта претензий – это группа претензий, имеющих общий период зарождения. Этим периодом обычно является один год, но он может быть длиннее или короче. Тремя основными способами объединения полисных данных являются: • по году инцидента: все страховые события, произошедшие в заданный период; • по полисному или андеррайтинговому году: все претензии по полисам, выпущенным в

течение заданного периода времени; • по году заявления: все претензии, предъявленные в течение заданного периода времени. Факторы развития – это отношения претензий в последовательных периодах развития в методе цепной лестницы. Факторы увеличения – это величины, обратные факторам развития. Результаты будут также различаться в зависимости от того, как в данных о претензиях учитываются: • издержки на урегулирование претензий; • ожидаемое возмещение от перестраховщиков и третьих лиц; • выбор предположений о будущей инфляции. 3.2 Моделирование: напоминание Прежде чем заняться методами, будет, вероятно, неплохо вспомнить, что такое статистическое моделирование. Для каждого метода резервирования, мы выберем модель, а затем оценим параметры модели с использованием полученных данных. Модель будет, вероятно, приемлемой, если лежащие в ее основе предположения выглядят правдоподобными. Оценки параметров это именно оценки, и, поэтому, они могут быть неверны; мы будем выбирать их как можно тщательнее, чтобы минимизировать вероятность плохого соответствия имеющимся данным. 3.3 Табулирование данных Нашей целью является оценка неоплаченных претензий для разных классов бизнеса, без индивидуального рассмотрения каждой неоплаченной претензии. Давайте начнем с рассмотрения компании, которая: • имеет многолетний опыт продажи конкретного класса страхования;


7

• имеет хорошие данные по претензиям (дата инцидента, размер выплаты, дата урегулирования).

Если прошлый опыт является надежным гидом в будущее, мы должны суметь использовать эти данные при оценке размера неоплаченных претензий. Вопрос 10.3 Укажите общее предположение, которое обычно лежит в основе статистических методов оценки неоплаченных претензий. Большинство статистических методов использует данные, табулированные в форме треугольника исчерпания или таблицы развития. Конкретное табулирование данных будет зависеть от определения строк и столбцов таблицы. Строки обычно относятся к году зарождения, но точное определение будет зависеть от выбора когорты. Вопрос 10.4 Каковы три основных способа объединения данных о претензиях? Столбцы могут относиться к развитию урегулирования или предъявлению претензий, и могут иметь суммарную или декрементную (не суммарную) форму. В данной главе, мы сконцентрируемся на развитии платежей по претензиям, т.е. претензиям, оплаченным в каждом году развития. Предположим, что размеры платежей по претензиям табулированы в приведенной ниже таблице: задержка урегулирования в годах (год развития) 0 1 2 3 4

1993 с93:0 с93:1 с93:2 с93:3 с93:4

1994 с94:0 с94:1 с94:2 с94:3 с94:4

1995 с95:0 с95:1 с95:2 с95:3 с95:4

Год 1996 с96:0 с96:1 с96:2 с96:3 с96:4

инцидента 1997 с97:0 с97:1 с97:2 с97:3 с97:4

(год 1998 с98:0 с98:1 с98:2 с98:3 с98:4

зарождения) 1999 с99:0 с99:1 с99:2 с99:3 с99:4 ?

2000 с00:0 с00:1 с00:2 с00:3 ? с00:4 ?

2001 с01:0 с01:1 с01:2 ? с01:3 ? с01:4 ?

2002 с02:0 с02:1 ? с02:2 ? с02:3 ? с02:4 ? Для конкретного табулированного здесь класса мы предположили, что все претензии урегулируются не более чем за пять лет со дня инцидента. Если какая либо претензия будет урегулироваться более 5 лет, к таблице будут добавлены необходимые столбцы.

Для каждой не помеченной клетки, выплаченный размер известен. Для каждой клетки с вопросительным знаком, размер выплат неизвестен. Помеченные «?» клетки – это суммы, которые будут уплачены в будущем (в предположении, что таблица создается по состоянию на 31.12.2002). Вопрос 10.5 Объясните, что представляют собой: (a) c95:3 (b) с96:0 + c96:1 + c96:2 + c96:3 + c96:4 (c) с02:0 + c01:1 + c00:2 + c99:3 + c98:4 (d) с02:2 (e) Сумма по всем клеткам, помеченным «?». Отметим, что страховые события, произошедшие, но не заявленные до конца 2002 года (РПНУ), будут включены в одну из помеченных «?» клеток в строке, соответствующей году, в котором имел место инцидент. В приведенной выше таблице, буквой «с» обозначены величины приращений. Когда претензии табулируются в виде суммарных величин, c95:3 будет означать суммарную величину выплат по претензиям, сделанным по 1998 год включительно, для инцидентов 1995 года. Использование параллелограмма или трапеции Одна из связанных с треугольником исчерпания проблем заключается в том, что на хвосте (т.е. в последней колонке) очень мало данных. Например, если в предыдущем примере будет использоваться треугольник исчерпания, то данные о претензиях, возникших в 1993-1997 годах, будут проигнорированы. Для получения оценок с99:4, c00:4, c01:4 и c02:4 будет использоваться только одна величина - с98:4. Использование параллелограмма исчерпания с включением данных о претензиях 1996 и 1997 годов может снизить излишнюю значимость единичных данных. Если используются только полные годы зарождения, то параллелограмм становится трапецией.


8

Если бы мы сделали это, то последний фактор развития r3:4 вычислялся бы как:

3:983:973:96

4:984:974:964:3 CCC

CCCr++++

=


9

Хотя преимущество большей статистической надежности, очевидно, его нужно взвесить в сравнении с потенциальной неуместностью более старых данных.


10

4. Базовый метод цепной лестницы Полное описание этого метода включено в Конспект предмета 106 (ранее предмет С2). Метод цепной лестницы определяется как применение коэффициентов развития, которые взвешиваются с использованием суммарных стоимостей претензий, на которых они основаны. Базовый метод цепной лестницы обычно определяется в применении к нескорректированным оплаченным претензиям с использованием когорты года инцидента, хотя он применяется и к другим данным, таким как понесенные убытки, или когорты, определяемые андеррайтинговым годом или годом заявления. Отметим, что примеры предмета 106 подразумевают, что первый год инцидента полностью исчерпан. Иногда это не так; в этом случае требуется оценка претензий более поздних лет развития – «фактор хвоста». Фактор хвоста аналогичен недостающему фактору развития. Если вы считаете, что самый ранний год зарождения полностью не исчерпан, а известны лишь 80% окончательной суммы претензий, то вы примените фактор хвоста, равный 1.25 (100/80), к полной сумме претензий, полученной по методу БЦЛ. Можно вывести разные, использующие факторы развития методы, поэтому существуют варианты метода цепной лестницы. Экзаменаторов предмета 303 интересуют только базовый и скорректированный с учетом инфляции методы цепной лестницы. Лучше всего базовый метод цепной лестницы (и все прочие, приведенные в данной главе статистические методы) можно понять на численных примерах. Экзаменаторы предмета 303 вряд ли попросят вас выполнить длинные вычисления резервов, но они могут дать вам некоторые промежуточные величины (например, факторы развития) и попросить завершить вычисление резервов. 4.1 Предположения, лежащие в основе метода Ключевое предположение заключается в том, что, для каждого года зарождения, ожидаемый размер претензий, в денежных единицах, оплаченный в каждом году развития, является постоянной долей суммарных претензий, в денежных единицах, для этого года зарождения. Эту стабильность часто называют стабильным развитием претензий или стабильным исчерпанием претензий. Другими словами, как упоминалось в предыдущем примере, предполагается стабильность структуры развития претензий. Это важное предположение. Без него, от метода нельзя ожидать разумных оценок неоплаченных претензий. (Это верно для большинства статистических методов.)


11

Не делается никаких явных предположений относительно инфляции претензий, но метод все же использует неявное предположение о том, что взвешенная средняя инфляция претензий в прошлом будет повторяться в будущем. Такой подход к инфляции хорош когда: • в прошлом инфляция претензий была стабильна; и • тот же уровень инфляции ожидается в будущем. Однако если эти условия не выполняются, то необходим явный учет инфляции. Вопрос 10.6 Вам дали следующие данные о зародившихся в последние годы претензиях, разбитых по году оплаты (в тысячах фунтов). Приведенная ниже таблица показывает суммы, уплаченные в каждом году развития для каждого года инцидента (в тысячах фунтов). задержка урегулирования в годах (год развития) 0 1 2 3 4

1998 125 104 65 32 9 год 1999 120 98 57 27

инцидента 2000 148 124 75 (зарождения) 2001 143 110

2002 138 С использованием базового метода цепной лестницы, оцените сумму неоплаченных убытков, включая заявленные и произошедшие, но не заявленные претензии, по состоянию на 31.12.02.


12

5. Скорректированный с учетом инфляции метод цепной лестницы

Полное описание этого метода включено в Конспект предмета 106 и предмет С2. Разница между данным и базовым методами заключается в том, что к прошлым претензиям применяется некоторый индекс инфляции, чтобы привести их в соответствие с последним годом, и чтобы увеличивать с учетом инфляции прогнозируемые претензии в ожидаемом году платежа. Процесс похож на базовую цепную лестницу за исключением того, что объем вычислений существенно вырос: 1. Исходные данные о претензиях, табулированные в соответствии с годом

зарождения/развития, должны быть преобразованы к единым денежным величинам, вероятно, для последнего года зарождения. Для этого мы должны использовать наши наилучшие оценки инфляции претензий для каждого предшествующего года.

2. После суммирования размеров претензий для каждого года зарождения, метод цепной лестницы применяется к этой модифицированной таблице, чтобы оценить размеры выплат по претензиям для каждой неоплаченной клетки зарождения/развития. Эти суммы будут в единых денежных величинах, как в п.1.

3. Найдите «не суммированные» величины оценок претензий для каждого года. Затем, используйте будущую инфляцию претензий для преобразования величин каждой будущей клетки зарождения/развития в денежные величины года платежа.

5.1 Предположения, лежащие в основе метода Ключевое предположение заключается в том, что, для каждого года зарождения, ожидаемый размер оплаты претензий, в реальных величинах, в каждом году развития является постоянной долей суммы претензий, в реальных величинах, для данного года зарождения. Используются явные предположения относительно прошлой и будущей инфляции претензий. Основное отличие от базовой цепной лестницы заключается в том, что мы работаем с реальными, а не фактическими денежными величинами. Вопрос 10.7 Используйте скорректированную с учетом инфляции цепную лестницу для оценки суммы неоплаченных платежей по претензиям для данных примера 10.6, использовавшихся в вопросе, связанном с базовой цепной лестницей. Предположите, что для каждого из прошлых четырех лет инфляция равнялась 6% в год. Предполагается, что инфляция претензий равна 2% в год для 2002 и 2003 годов, и 4% в дальнейшем.


13

6. Метод средней стоимости претензии (ССП) Этот метод отдельно рассматривает два ключевых элемента суммарных претензий: количество претензий и средний размер претензии. 6.1 Описание метода Полное описание этого метода включено в Конспект предмета 106. Для этого метода нужны таблицы развития, как для суммарных размеров претензий, так и для количества претензий. Затем формируется третья таблица развития для средних размеров претензий, за счет деления чисел в соответствующих клетках первых двух таблиц. Следующей стадией является прогнозирование величин в таблицах средних претензий и количества претензий с использованием факторов увеличения или факторов развития. Наконец, прогноз окончательных убытков может быть получен за счет перемножения, для каждого года инцидента, прогнозов средней величины претензии и количества претензий. Затем может быть вычислен резерв за счет вычитания всех, относящихся к таблице платежей, которые уже были проведены к дате расчета. Метод средней стоимости претензии единственным образом не определен. Он может, поэтому, в равной мере применяться к когорте года инцидента для оплаченных или предъявленных претензий, или к когорте андеррайтингового года. Однако важно обеспечить, чтобы данные по количеству претензий соответствовали данным по суммарным величинам претензий (т.е. оплаченные претензии соответствуют количеству урегулированных претензий, а понесенные убытки соответствуют количеству заявленных претензий). Ситуация осложняется частичными платежами и претензиями, которые были урегулированы без выплат (нулевыми претензиями). Изменения в способе работы с ними могут повлиять на метод средней стоимости претензии. Таблица количества претензий может содержать разную информацию. В данном курсе, чаще используется количество урегулированных претензий, но количество обрабатываемых или заявленных претензий также может использоваться, чтобы обеспечить согласованность с форматом данных о размерах претензий. Не существует единственно правильного определения «обрабатываемых претензий». Могут использоваться следующие определения:


14

1. Количество урегулированных в течение года претензий плюс количество неоплаченных на конец года.

2. Количество заявленных претензий, не оплаченных на начало года, плюс количество претензий, предъявленных в течение года. (Это определение эквивалентно первому в предположении отсутствия двойного счета частичных урегулирований.)

3. Количество полностью или частично урегулированных в течение года претензий (включая нулевые претензии).

4. Количество полностью или частично урегулированных в течение года претензий (исключая нулевые претензии).

Далее, метод не определен единственным образом в отношении использования конкретной формы факторов увеличения или развития. Наконец, описанный выше метод игнорирует корректировку для учета инфляции. Эта корректировка может, однако, быть проведена точно так же, как корректировка базового метода цепной лестницы с образованием скорректированного с учетом инфляции метода цепной лестницы. Это связано с применением некоторого индекса будущей инфляции к не суммированным данным, до умножения на прогнозируемое количество претензий. На практике, обычно будет проводиться корректировка для учета инфляции. 6.2 Пример метода ССП В этом примере используются данные о понесенных убытках (т.е. включая оценки для не еще сделанных платежей по предъявленным претензиям). Для обеспечения соответствия, мы должны определять средние величины с использованием количества предъявленных, а не обрабатываемых претензий. Инфляция игнорируется. Накопленные данные о понесенных убытках, по годам инцидента и развития предъявлений.

Таблица 1 Год развития 0 1 2 3 1999 280 375 431 446

Год 2000 255 343 398 инцидента 2001 248 323

2002 260 Суммарное (накопленное) количество предъявленных претензий по годам инцидента и развития предъявлений.


Год 2000 49 65 77 инцидента 2001 44 61

2002 50


15

Деление каждой клетки таблицы 1 на соответствующую клетку таблицы 2 дает среднюю стоимость претензии по годам инцидента и развития предъявлений.

Таблица 3 Год развития 0 1 2 3 1999 5.000 5.068 4.954 4.901

Год 2000 5.204 5.277 5.169 инцидента 2001 5.636 5.295

2002 5.200 Таблицы 2 и 3 могут быть заполнены с использованием метода цепной лестницы; результаты представлены в таблицах 4 и 5.


Год 2000 49 65 77 80.54 инцидента 2001 44 61 71.97 75.28

2002 50 67.11 79.18 82.83

Таблица 5 Год развития 0 1 2 3 1999 5.000 5.068 4.954 4.901

Год 2000 5.204 5.277 5.169 5.114 инцидента 2001 5.636 5.295 5.181 5.126

2002 5.200 5.134 5.024 4.970 Таким образом, окончательный размер претензий для 1999-2002 лет инцидента равен:

(91х4.901) + (80.5х5.114) + (75.3х5.126) + (82.8х4.970) = 1655. Если выплаченная на дату расчета (для 1999-2002 лет инцидента) сумма равна 1323, то необходимый суммарный размер резерва будет равен 332. Поскольку мы работаем с понесенными убытками, а не с оплаченными претензиями, для расчета резерва необходима дополнительная информация о размере оплаченных на дату расчета претензий.


16

6.3 Лежащие в основе метода предположения В связи с отсутствием единственным образом определенного метода, отсутствует и единый набор предположений. В частности, от используемых данных будут зависеть и предположения относительно инфляции. Общим условием, однако, является предположение, что для каждого года зарождения, как количество, так и в размер претензий, относящихся к каждому году развития, являются фиксированными долями от суммарных для этого года зарождения величин. Предположения, которые должны выполняться, чтобы можно было применить данный метод, обычно должны выполняться и для более простых методов, применяющихся к суммарным, а не средним размерам претензий, таких как метод цепной лестницы. 6.4 Слегка иной метод Выше мы уже упоминали, что метод ССП может применяться для разных когорт претензий, учитывая или игнорируя инфляцию. Существуют также вариации используемого метода. Ниже очерчен один из альтернативных методов. Отметим, что это метод достаточно серьезно отличается от изложенного выше метода Конспекта, поскольку он прогнозирует только треугольник количества претензий, а не таблицу средней стоимости. Вы можете встретиться со многими прочими вариантами, которые являются вариациями этих двух методов. Шаг 1. Начните с обычного треугольника оплаченных претензий по годам зарождения и

развития.

Шаг 2. Как и в случае скорректированной с учетом инфляции цепной лестницы, преобразуйте величины таблицы в единые денежные величины, используя наилучшие оценки инфляции для каждого предшествующего года.

Шаг 3. Соберите данные по количеству обрабатываемых претензий по годам зарождения/развития. Теперь у нас есть два согласованных треугольника: один для размеров в единых денежных величинах и один для количества претензий.

Шаг 4. Поделите размеры претензий на соответствующие количества претензий, чтобы получить третий треугольник, на этот раз средних размеров претензий.

Шаг 5. Работая по столбцам треугольника средних величин, вычислите средний размер для каждого года развития.

Шаг 6. Примените базовый метод цепной лестницы к треугольнику количества претензий, чтобы оценить количество претензий, которое будет обрабатываться в каждом будущем году зарождения/развития.


17

Шаг 7. Используйте средний размер претензии для каждого года развития (из шага 5) и

оцененное количество претензий (из шага 6), чтобы получить оценку размера претензий для каждого будущего года зарождения/развития.

Шаг 8. Используйте оценки будущей инфляции претензий для преобразования вычисленных в шаге 7 величин в ожидаемые денежные платежи.

Пример Мы будем работать с данными, которые в вопросе 10.6 использовались для метода цепной лестницы. Дополнительно, нам также понадобятся данные о количестве обрабатываемых претензий. Мы будем поэтапно следовать указанному выше процессу. Используя прошлую инфляцию претензий в размере 6% в год, преобразуем все размеры претензий к денежным величинам 2002 года:

Задержка урегулирования в годах (год развития) 0 1 2 3 4 1998 158 124 73 34 9

Год 1999 143 110 60 27 инцидента 2000 166 131 75

(зарождения) 2001 152 110 2002 138

Соответствующие количества обрабатываемых претензий:


Год 1999 59 41 18 5 инцидента 2000 62 45 23

(зарождения) 2001 54 40 2002 56

Вычислим средние стоимости на одну обрабатываемую претензию за счет деления одного треугольника на другой, и найдем средние величины для каждого года развития:


18

Задержка урегулирования в годах (год развития) 0 1 2 3 4 1998 2.772 3.024 3.476 5.667 9.000

Год 1999 2.424 2.683 3.333 5.400 инцидента 2000 2.677 2.911 3.261

(зарождения) 2001 2.815 2.750 2002 2.464 Среднее 2.630 2.842 3.357 5.533 9.000

Обычно, что и имеет место в данном случае, средние стоимости, растут с ростом задержки урегулирования. Это связано с тем, что более крупные претензии обычно требуют большего времени на урегулирование, чем более мелкие. Примените базовую цепную лестницу к количеству претензий, чтобы оценить количество претензий в будущих годах зарождения/развития. (Вы должны сделать это самостоятельно, чтобы проверить данный ниже ответ.)

Задержка урегулирования в годах (год развития) 0 1 2 3 4 1998

Год 1999 1.0 инцидента 2000 6.0 1.1

(зарождения) 2001 19.1 5.2 0.9 2002 40.3 19.6 5.4 1.0

Используйте оценки средних величин претензий для каждого года развития для оценки неоплаченных величин (в единицах 2002 года).

Задержка урегулирования в годах (год развития) 0 1 2 3 4 1998

Год 1999 8.86 инцидента 2000 33.39 9.79

(зарождения) 2001 64.14 29.05 8.52 2002 114.57 65.72 29.76 8.73

Вопрос 10.8 Убедитесь, что вы можете получить число 8.86 для неоплаченной величины для четвертого года развития для когорты 1999 года зарождения.

Применяя наши оценки будущей инфляции для оценки выплачиваемых величин:

4.225)86.839.3314.6457.114(02.1:2003 =+++× 9.110)79.905.2972.65(04.102.1:2004 =++××

2.42)52.876.29(04.104.102.1:2005 =+××× 0.1073.804.104.104.102.1:2006 =××××

Общий размер неоплаченный претензий равен 388.5 тысячам фунтов.


19


20

7. Коэффициенты убытков Коэффициент убытков или коэффициент претензий обычно определяется за некоторый определенный период времени, как отношение понесенных убытков к заработанной премии. Коэффициенты убытков обычно основаны на премии. Однако они могут основываться и на других мерах подверженности, таких как оборот или фонд заработной платы. Коэффициенты убытков для каждого года зарождения обычно довольно устойчивы, если не было никаких искажающих воздействий, в особенности существенного изменения ставок премий. Типичным примером искажающего воздействия является катастрофа. Однако будет нетрудно удалить относящиеся к катастрофе претензии из размера убытков, используемого для вычисления коэффициента убытков. Если ставки премий выросли по сравнению с предыдущим годом, и не ожидается соответствующего роста размера или частоты претензий, то коэффициент убытков, вероятно, снизится. Страховой цикл является еще одним хорошим примером фактора, который может исказить коэффициент убытков. Коэффициент убытков будет варьироваться в течение цикла по мере роста ставок или их падения. Поэтому, коэффициент убытков, основанный на трендах прошлых данных, взглядах андеррайтеров или данных рынка, может использоваться в качестве основы для оценки окончательного размера убытков, и, таким образом, неоплаченных претензий. Однако сам по себе он является очень грубой мерой, вследствие флуктуаций, присущих опыту претензий. Если для вычисления коэффициента убытков используется премия, то тип премии будет зависеть от когорты претензий. Заработанная премия приемлема для когорты года инцидента, а подписанная премия – для когорты андеррайтингового года. К когорте года заявления, применить данный метод будет очень трудно. Кроме того, обычно лучше использовать офисную, а не рисковую премию. Офисная премия – это премия, взимаемая со страхователя. Рисковая премия – доля офисной премии, необходимая для покрытия только ожидаемого объема претензий. Рисковая премия была бы идеальной мерой, поскольку она не подвержена искажениям, возникающим от других элементов офисной премии. Однако, на практике, обычно используется офисная премия. Одной из причин использования офисной, а не рисковой премии является то, что вы знаете офисную премию, но, на практике, можете иметь только смутное представление об истинной рисковой премии.


21

7.1 Метод ожидаемого коэффициента убытков Получаемая с использованием данного метода оценка резерва убытков основана на предположении верности коэффициента убытков. Это слишком упрощенный подход, но он все же дает полезные результаты, с которыми можно сравнивать результаты более изощренных методов, таких как метод Борнуэттера-Фергюсона (описан в следующем разделе). Описание метода В своей простейшей форме, данная концепция приводит к следующему подходу к вычислениям. Вычислите коэффициент убытков для данного класса бизнеса. Умножьте заработанную в каждом году инцидента премию на коэффициент убытков, чтобы получить окончательный размер убытков для каждого года инцидента. Вычтите оплаченные претензии, чтобы получить необходимый резерв неоплаченных убытков. Достоинство данного метода заключается в том, что его не искажают аномальные данные, особенно в случае бизнеса с длинными хвостами. Коэффициент убытков будет, вероятно, оцениваться по прошлым данным, но при оценке может использоваться субъективное суждение, например, взгляды андеррайтера. Лежащие в основе данного метода предположения Метод предполагает правильность коэффициента убытков. 7.2 Пример Нам даны следующие данные о заработанной премии и понесенных убытках для 1997-1999 годов, которые полностью исчерпаны. Год 1997 1998 1999 Заработанная премия 2450 2855 2947 Понесенные убытки 1837 2142 2210 Заработанные премии за 2000, 2001 и 2002 годы были равны 3000, 3156 и 3297 соответственно. Вопрос 10.9 (a) Вычислите коэффициент убытков для 1997-1999 годов и определите разумный

коэффициент, который будет применяться к годам 2000-2002. (b) Используйте этот коэффициент для оценки окончательного размера убытков 2000-2002

годов. (c) Если оплаченные на сегодняшний день претензии, относящиеся к заработанной в эти

годы премии, равны 4860, то каков необходимый суммарный резерв?


22

8. Метод Борнуэттера-Фергюсона (Б-Ф) 8.1 Концепция метода Борнуэттера-Фергюсона Полное описание этого метода включено в Конспект предмета 106. Метод не был описан в предмете С2, но не волнуйтесь, если вы не изучали предмет 106, данный раздел содержит адекватное описание метода. Из тех методов, которые описаны в данной главе, метод Борнуэттера-Фергюсона является наиболее сложным для понимания статистическим методом. Чтобы полностью понять этот метод, вам, возможно, придется прочитать его несколько раз. Метод Борнуэттера-Фергюсона комбинирует оценку коэффициента убытков с методом прогнозирования (обычно с базовой цепной лестницей). Таким образом, он лучше грубого использования коэффициента убытков, поскольку учитывает информацию о наиболее недавнем развитии структуры претензий; в то же время, добавление коэффициента убытков к методу прогнозирования придает некоторую устойчивость к искажениям структуры развития. Концепция данного метода заключается в том, что: • как бы ни развивались претензии конкретного года зарождения до настоящего

времени, будущая структура развития будет соответствовать опыту других лет зарождения;

• для заданного года зарождения, прошлое развитие не обязательно является лучшим индикатором будущих претензий, чем общий коэффициент убытков.

Для каждого года зарождения, развитие претензий до настоящего момента времени не влияет на нашу оценку будущих претензий. Она будет зависеть от начальной оценки, сделанной с использованием метода коэффициента убытков, и структуры развития претензий для более ранних лет зарождения. 8.2 Описание метода Начальная оценка Первым шагом является использование метода коэффициента убытков для получения начальной оценки окончательного размера претензий для каждого года зарождения (т.е. всех претензий, которые в конечном итоге будут иметь место для каждого года зарождения). Коэффициент убытков может основываться на исторических данных, или быть обоснованной догадкой андеррайтера.


23

Простейший вариант метода предполагает постоянство коэффициента убытков для всех лет зарождения. Это предположение редко применимо, поэтому метод обычно адаптируется за счет варьирования предположения о коэффициенте убытков от года к году. Начальная оценка должна быть независимой от любых прочих оценок, которые могли быть получены с использованием методов прогнозирования, поскольку метод Борнуэттера-Фергюсона использует данные о прошлых претензиях для улучшения начальной оценки. Метод будет неверен, если развитие претензий уже будет учтено. Пересмотр оценки Следующим шагом является разделение, для каждого года зарождения, начальной оценки претензий на претензии, которые уже должны были развиться, и те, развитие которых предполагается в будущем. Это делается с использованием развития, подразумеваемого треугольником исчерпания для прошлых данных о претензиях. Например, рассмотрим приведенный ниже очень простой треугольник исчерпания, в котором все претензии полностью исчерпываются в течение первых двух лет. Наша начальная независимая (основанная на методе коэффициента убытков) оценка окончательных претензий 2002 года инцидента равна 120. Это независимая, а не полученная из приведенной ниже таблицы, оценка. Год развития 0 1

2001 80 20 Год инцидента 2002 98

Развитие претензий 2001 года предполагает, что 80% претензий разовьются в году 0, а 20% - в году 1. Поэтому, мы будем ожидать, что из нашей начальной оценки 96 (80% от 120) разовьются в году 0, а 24 – в году 1. Сумму, которая должна была развиться в прошлом, можно сравнить с фактической величиной из треугольника исчерпания. Разница может быть использована для пересмотра оценки окончательной величины претензий. В нашем примере, фактическая величина развившихся претензий в году 0 была равна 98, но наша оценка равна 96. Поэтому, мы увеличим нашу оценку окончательного размера претензий на 2 (98-96) и получим 122. Альтернативно, наша новая окончательная оценка претензий равна сумме ожидаемого развития претензий в будущем (из нашей начальной оценки она равна 24) и известной величины развившихся в прошлом претензий (98). Получим тот же ответ: 122. Убедитесь, что вы понимаете, почему оба подхода дают один и тот же ответ. Отметим, что на нашу оценку претензий, которые разовьются в будущем (24), не повлияли данные о развитии претензий в 2002 году.

Чему равен резерв? Мы получили начальную оценку претензий, зародившихся в 2002 году, а затем использовали имевшееся на данное число развитие претензий, чтобы уточнить эту оценку. Если нашей целью является вычисление резерва на 31.12.2002, то мы еще не совсем закончили. Чтобы вычислить резерв, нам нужно вычесть из уточненной оценки величину оплаченных на данную дату претензий, относящихся к 2002 году зарождения. Если претензии каждого года зарождения табулированы в таблице прогнозирования по году платежа (т.е. год развития эквивалентен году платежа), то сумма оплаченных на данную дату претензий равна 98, а резерв равен 24. (Отметим, что эту величину можно было получить напрямую из начальной оценки окончательного размера претензий и структуры развития.) Однако если для табулирования претензий для каждого года зарождения используются понесенные убытки или заявленные претензии, то, прежде чем рассчитать резерв, сумму оплаченных претензий нужно будет получить из другого источника. В своей простейшей форме, концепция ведет к следующему подходу к вычислениям. • Определите начальные оценки суммарных окончательных претензий для каждого

года зарождения с использованием премий и коэффициентов убытков. • Поделите эти оценки на факторы увеличения (f), определенные обычным образом из

таблицы развития претензий, чтобы получить оценки претензий, которые должны были развиться к настоящей дате.

• Вычтите эти величины из соответствующих суммарных окончательных величин претензий, чтобы получить оценку величины претензий, которые еще должны развиться.

Эти три стадии можно скомбинировать и записать, для каждого года зарождения, как:

Будущее развитие претензий = Премия × Оценка коэффициента убытков × (1-1/f) или Начальная независимая оценка × (1-1/f), где f – фактор увеличения (также называемый фактором окончательного развития). Пример, f2:4=r2:3 × r3:4. Это алгебраическая запись метода, который мы только что разобрали.

В нашем примере: ,25.180

1001:01:0 === rf

Поэтому будущее развитие претензий 2002 год равно ,2425.111120 =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −× ответ тот же, что и

раньше.


24


25

8.3 Лежащие в основе метода предположения Предположения те же, что и для базового метода цепной лестницы, вместе с предположением приемлемости оценки коэффициента убытков. 8.4 Теория Метод Борнуэттера-Фергюсона является комбинацией двух методов. Чтобы он работал, должны выполняться предположения независимой оценки и структуры развития. Поскольку конечная оценка окончательных убытков базируется на наблюдаемых данных и на игнорирующей данные начальной оценке, этот метод можно рассматривать как применение Байесовского подхода. Независимая оценка окончательных убытков будет явно или неявно предполагать конкретный коэффициент убытков для резервируемых обязательств. Поэтому, метод можно рассматривать как смесь метода коэффициента убытков и метода цепной лестницы. Здесь полезно остановиться на минутку и подумать о разных ситуациях, в которых более привлекательными будут выглядеть метод коэффициента убытков или методы цепной лестницы. В общем случае, независимая оценка может быть более надежной, когда фактические данные недоступны, ненадежны, или не отражают ожидаемые будущие претензии. Вопрос 10.10 На основании предыдущей фразы, для когорт каких лет вы готовы больше полагаться на независимую оценку, чем на оценку цепной лестницы. Таким образом, разве не было бы хорошо, если бы существовал метод, некоторым образом автоматически отражающий доверие к независимой оценке и оценке цепной лестницы? К счастью он существует - именно это делает метод Борнуэттера-Фергюсона. С использованием метода Борнуэттера-Фергюсона, уточненный окончательный убыток для каждой когорты можно выразить как комбинацию окончательного убытка по методу цепной лестницы (ЦЛ) и независимого окончательного убытка по методу коэффициента убытков (КУ). Используя фактор доверия Д, можно записать: Уточненный окончательный убыток Борнуэттера-Фергюсона = Д × ЦЛ + (1-Д) × КУ. Вопрос 10.11 Определите Д и покажите, что уточненный окончательный убыток можно записать в виде: А+(1-1/f) x KУ.

8.5 Простой пример Предположим, что класс бизнеса полностью исчерпывается на четвертом году развития, и что четыре фактора развития цепной лестницы (основываясь на данных прошлых претензий) равны: r0:1 = 1.764, r1:2 = 1.391, r2:3 = 1.183, r3:4 = 1.054. Предположим также, что: (a) независимая оценка суммарных претензий, которые будут оплачены по инцидентам 2002

года, равна 3.456 миллионам фунтов; (b) фактически выплаченная на конец 2002 года сумма равна 1.472 миллионам. Используя факторы развития цепной лестницы, доля от общей величины выплат по инцидентам 2002 года, которая предположительно должна быть оплачена к концу 2002 года, равна:

%,69.32764.1391.1183.1054.1

11

4:0

=×××

=f

где f0:4 - окончательный фактор развития от нулевого до четвертого года. Таким образом, резерв неоплаченных убытков для когорты 2002 года равен 67.31% от 3.456 миллионов фунтов (независимая оценка), т.е. 2.326 миллионам фунтов. Понимание последнего предложения важно для вашего понимания данного метода. В частности, отметим следующее: • доверие к 67.31% оценке доли неоплаченных претензий; • доверие к независимой оценке, равной 3.456 миллионам; • резерв неоплаченных претензий игнорирует фактически выплаченные к настоящей дате

величины. Используя метод Борнуэттера-Фергюсона, уточненная окончательная оценка равна фактически выплаченной к настоящей дате величине, плюс та часть независимой оценки, которая предположительно будет выплачена в будущем, т.е. 1.472+2.326=3.798. Резерв неоплаченных претензий равен уточненному окончательному убытку за вычетом фактических выплат, т.е. 3.798-1.472=2.326. Если целью является расчет резерва неоплаченных претензий, то последние два шага довольно бессмысленны. Мы включили их, чтобы вам было легче понять приведенный ниже пример.


26

Вопрос 10.12 Предположим на минуту, что теперь вы используете данные о понесенных убытках, а не данные оплаченных претензий. Почему резерв неоплаченных претензий нельзя рассчитать напрямую, как это сделано выше, без предварительного вычисления уточненного окончательного убытка? 8.6 Еще один пример Мы уже приводили пример того, как метод Борнуэттера-Фергюсона можно применить к развитию оплаченных претензий. Его можно также применить к развитию понесенных убытков. У нас есть суммарные данные по понесенным убыткам, по году инцидента и по развитию предъявления.

ГР 0 1 2 3 4 5 Оконч. 1 2866 3334 3503 3624 3719 3717 3717 2 3359 3889 4033 4231 4319

ГИ 3 3848 4503 4779 4946 4 4673 5422 5676 5 5369 6142 6 5818

Первая стадия заключается в вычислении коэффициентов развития (r) и окончательных факторов развития (f). ГР 0 1 2 3 4 5 r 1.158 1.049 1.039 1.023 0.999 1.000 f 1.290 1.114 1.062 1.022 0.999 1.000 т.е. r3:4 = (3719+4319)/(3624+4231)=1.023 1.0620.9991.0231.039rrrf 5:44:33:25:2 =××=××= Предположим, что ожидаемый коэффициент убытков равен 83%. Следующий шаг заключается в применении этого коэффициента убытков к заработанной премии (ЗП), чтобы получить начальную оценку окончательного убытка (ОУ) для каждого года инцидента (ГИ). ГИ 1 2 3 4 5 6 ЗП 4486 5024 5680 6590 7482 8502 ОУ 3723 4170 4714 5470 6210 7057 Имея вычисленные выше факторы развития, мы можем теперь оценить претензии, которые будут иметь место в будущем. Уточненные окончательные обязательства находят за счет прибавления к ним фактически заявленных обязательств, полученных из треугольника исчерпания.


27


28

ГИ 6 5 4 3 2 1 f 1.290 1.114 1.062 1.022 0.999 1.000 1-1/f 0.225 0.102 0.058 0.022 -0.001 0 Начальный ОУ 7057 6210 5470 4714 4170 3723 Оценка будущего 1588 633 317 104 -4 0 Фактические прошлые обязательства 5818 6142 5676 4946 4319 3717 Окончательные обязательства 7406 6775 5993 5050 4315 3717 например, Будущая оценка (ГИ=3) = Начальный ОУ × (1-1/f) = 4,714 × 0.022 = 104. Таким образом, суммарные уточненные окончательные обязательства равны 33256. Если оплаченные к данной дате претензии равны 20334, то необходимый суммарный резерв будет равен 12922.


29

9. Последний численный пример Следующий вопрос для самостоятельного решения позволяет вам проверить ваши знания некоторых методов статистического оценивания, которые мы обсуждали в данной главе. С точки зрения ваших шансов на сдачу предмета 303, важно, чтобы вы понимали и могли применять все описанные в данной главе методы резервирования. Вопрос 10.13 (Длинный, но полезный) Используя приведенные ниже данные, оцените неоплаченные на 31.12.2002 претензии: (a) методом цепной лестницы; (b) методом скорректированной с учетом инфляции цепной лестницы; (c) методом Борнуэттера-Фергюсона. Накопленные оплаченные претензии

Год развития

1 2 3 4 5 Оконч. 98 29,791 52,054 54,890 55,267 55,345 55,345 Год 99 28,620 31,130 48,885 57,141 инцидента 00 27,935 40,060 49,962 01 37,661 47,683 02 19,619 Инфля

ция 98/99 10.0% 99/00 10.0% 00/01 10.0% 01/02 10.0%

Годовая ставка будущей инфляции 10.0% Эталонный год 98 99 00 01 02 Заработанная премия 63,907 74,913 71,715 76,802 54,903 Коэффициент окончательных убытков 90.0% 90.0% 90.0% 90.0% 90.0%


30

10. Идентификация потенциальных проблем с данными и их вероятных причин В следующем разделе мы рассмотрим воздействие ошибок, пропусков и искажений на статистические методы. Прежде чем сделать это, мы рассмотрим исследование данных и идентификацию возможных проблем с данными. Если вас попросят прокомментировать треугольник исчерпания для суммарных (накопленных) данных, часто полезно найти приращения или вычислить факторы развития от года к году, чтобы высветить аномалии в данных. Просматривайте столбцы, строки и диагонали в поисках «странно выглядящих величин», наряду с рассмотрением отдельных клеток. Вопрос 10.14 Вы имеете треугольник оплаченных претензий, разделенный по году инцидента. Предложите возможные причины того, что в них имеются: • строка необычно высоких чисел; • столбец необычно высоких чисел; • диагональ необычно низких чисел.


31

11. Ошибки, пропуски и искажение данных При использовании индивидуальных оценок, ошибка или пропуск в предоставленных оценщику данных, могут напрямую привести к ошибке в оценке. Для всех статистических методов, любые ошибки, пропуски или искажения в прошлых данных о претензиях будут прогнозироваться в будущее. Получаемые в результате резервы будут, поэтому, вычисляться в предположении, что ошибки, пропуски и искажения будут повторяться. Метод Борнуэттера-Фергюсона менее подвержен таким искажениям, поскольку он частично основан на независимой оценке. Например, на этот метод не повлияют проблемы с данными, если они относятся только к самым последним годам. 11.1 Ошибки Неправильная регистрация размеров претензий исказит используемые в прогнозировании факторы развития или факторы увеличения. Эффект будет особенно значим, если некорректные записи велики по сравнению с суммарными величинами для конкретного года развития. 11.2 Пропуски Пропуски информации из данных о претензии исказят прогнозируемые величины так же, как неправильные записи. Пропуски, вероятно, происходят вследствие задержки с обработкой; поэтому они будут наиболее значимы, если резервы были вычислены вскоре после периода существенных претензий. Наиболее общим примером является плохая погода в конце календарного года, который вероятно будет периодом наибольших задержек, вследствие новогодних и рождественских отпусков. 11.3 Искажение Искажения могут возникнуть по множеству причин, например: • внешние воздействия, такие как инфляция, катастрофы или изменение природы

риска; • внутренние воздействия, такие как изменение процедур андеррайтинга,

урегулирования претензий и регистрации, или перестраховочных соглашений; • изменение типа привлекаемого в рамках класса страхования бизнеса; • случайные флуктуации и большие претензии (или даже отсутствие ожидаемых

больших претензий) в малом портфеле. Каждый из этих видов искажения исказить прогнозирование, если только данные не будут от них очищены или скорректированы.


32

11.4 Иллюстративные примеры Давайте сначала сконцентрируемся на потенциальных проблемах базовой цепной лестницы. Если не указано иное, проблемы относятся и к скорректированной с учетом инфляции цепной лестнице. Проблемы других методов (например, средней стоимости претензии) обсуждаются в данном разделе ниже. Критичным для работы базового метода цепной лестницы предположением является то, что структура исчерпания остается стабильной в денежных единицах. Серьезность опыта претензий критичным фактором не является; важен опыт развития претензий во времени. Само по себе изменение общего опыта претензий от года к году не обязательно сделает метод цепной лестницы несостоятельным. В данном разделе мы рассматриваем различные события, которые могут сделать метод цепной лестницы несостоятельным. Чтобы проиллюстрировать некоторые проблемы, мы будем ссылаться на очень упрощенный пример, основанный на оплаченных претензиях. Рассмотрим следующие не суммированные данные о претензиях: Год развития 0 1 2 3

1999 10 6 2 1 2000 10 6 2 2001 10 6

Год

зарождения 2002 10

В данном примере все предположения выполняются полностью, так что объем неоплаченных претензий будет равен 13 млн. фунтов (1 млн. от 2000 года, 3 млн. от 2001 года, 9 млн. от 2002 года). Теперь мы рассмотрим различные ошибки и искажения, чтобы увидеть какое воздействие они окажут на это исчерпание. Там где нужно, мы будем применять цепную лестницу к новым, модифицированным числам, чтобы увидеть возникающие ошибки. Ошибки в данных Ошибки в данных время от времени действительно происходят (например, претензия размером 10 млн. лир может легко быть интерпретирована как 10 млн. фунтов … эффект будет огромным!). Предположим, что по ошибке значение с01,1 было введено как 8 млн. фунтов. Базовая цепная лестница даст результат, равный 14.2 млн. фунтов. Это не очень тонкая «проблема» для базовой цепной лестницы, однако, она заслуживает упоминания! Большие претензии в прошлых данных Это вариант несколько менее ясен. Если мы оплатили необычно большую претензию, и эквивалентной неоплаченной претензии не существует, то цепная лестница будет проецировать эту большую претензию в будущее и завышать объем неоплаченных претензий. (Воздействие будет таким же, как если бы большая претензия была ошибкой.)


33

Вопрос 10.15 Если, в нашем предыдущем примере, к величине с99,3 будет прибавлена необычная претензия размером в 1 млн. фунтов, какова будет измененная оценка неоплаченных претензий? Большие претензии среди неоплаченных претензий Теперь предположим, что эта большая единичная претензия все еще не оплачена. Тогда цепная лестница, работающая исключительно с оплаченными претензиями, ее никак не учтет. Наша оценка неоплаченных претензий будет занижена. Неполное исчерпание В каждом изученном до сих пор примере мы предполагали, что для самого раннего года зарождения имело место полное исчерпание. Иногда это предположение неверно, и возникают дальнейшие претензии. В этих случаях, наши методы исчерпания дадут заниженную оценку неоплаченных претензий. В нашем примере, если все еще имеется 0.5 млн. фунтов произошедших, но не заявленных убытков для 1999 года зарождения, и мы предположим, что структура 1999 года зарождения применима ко всем последующим годам, то наша оценка, равная 13 млн., будет на 2 млн. ниже «правильной» величины (т.е. по 0.5 млн. для каждого из четырех лет). Эта проблема наиболее остро стоит для классов страхования ответственности, где возможны скрытые претензии (которые вполне могут быть большими). Другие искажающие претензии события: катастрофы Катастрофа, вероятно, исказит исчерпание, хотя воздействие не всегда будет очевидным. Воздействие зависит от того, когда в течение года произошла катастрофа, и от исчерпания претензий по этой катастрофе. Для метода средней стоимости претензии, важны также относительный размер катастрофических и не катастрофических претензий. Предположим, что в 2000 году имела место катастрофа, приведшая к множеству претензий. Версия 1 Катастрофа произошла в январе 2000 года, общая сумма претензий равна 4 млн. фунтов. Все претензии были предъявлены и урегулированы в 2000 году, и на 31.12.2002 неоплаченных претензий по катастрофе не было. «Правильная» величина неоплаченных претензий осталась равной 13 млн. фунтов. Однако если мы увеличим с00:0 до 14 млн. и повторим вычисления цепной лестницы, то получим ответ 11.93 млн., т.е. более чем на 1 млн. ниже правильной величины. Версия 2


34

На этот раз, катастрофа произошла 30 декабря 2000 года, и все дополнительные 4 млн. фунтов были выплачены в 2001 году. Вновь, на 31.12.2002 неоплаченных претензий по катастрофе не было, так что правильный ответ все еще 13 млн. фунтов. Однако исчерпание, основанное на выросшей до 10 млн. величине с00:1, дает результат, равный 14.32 млн., т.е. более чем на 1 млн. выше правильной величины. Версия 3 Катастрофа произошла в середине 2000 года; развитие дополнительных претензий по катастрофе было идентично развитию прочих претензий. Катастрофа привела к дополнительным претензиям в размере 3.8 млн. фунтов, из которых 2 млн. были выплачены в 2000 году, 1.2 млн. в 2001, 0.4 млн. в 2002, и предполагалось, что в 2003 году будет выплачено 0.2 млн. Размер неоплаченных претензий на 31.12.2002 был равен 13.2 млн. фунтов (13 млн. плюс дополнительные 0.2 млн. в результате катастрофы), и это в точности тот же результат, который даст метод цепной лестницы при использовании новых чисел. (Проверьте, что вы согласны с этой величиной.) Вывод Единственный вывод, который можно уверенно сделать, заключается в том, что катастрофа может повлиять на вычисления исчерпания. Мы не можем сказать, что наличие катастрофических данных обязательно приведет к завышению неоплаченных претензий. Если развитие претензий по катастрофе идентично развитию прочих претензий, то она не повлияет на вычисления исчерпания. Вопрос 10.16 На первый взгляд, утверждение, что одна большая претензия исказит структуру исчерпания, тогда как для катастрофических претензий воздействие на структуру исчерпания неочевидно, может показаться противоречивым. Поясните, почему это не так. Обработка претензий Любое изменение процедур компании по предъявлению или урегулированию претензий повлияет на развитие претензий и суммарные претензии на сегодняшний день, и, поэтому, повлияет на справедливость методов исчерпания. На исчерпание могут повлиять: • новые менеджеры или сотрудники по работе с претензиями; • новая политика частичного урегулирования; • новые компьютерные процессы/оборудование; • задержка с урегулированием претензий в конце года (например, забастовка на почте,

отказ компьютера). Существенные ошибки могут произойти при применении цепной лестницы без учета фактических процессов урегулирования претензий. В нашем примере, давайте предположим, что общий объем претензий для каждого года зарождения равен 19 млн. (т.е. 10+6+2+1). Теперь давайте предположим, что в начале 2002 года компания приняла новую ускоренную


35

процедуру урегулирования претензий, так что фактические выплаты по претензиям были равны: Год развития 0 1 2 3

1999 10 6 2 1 2000 10 6 3 2001 10 8

Год

зарождения 2002 13

Суммарный размер неоплаченных претензий равен 7 млн. фунтов (1 за 2001 год и 6 за 2002). Однако применение цепной лестницы к приведенным выше данным даст суммарный результат, равный 18.47 млн. – очень неточно. Типы претензий Разные типы претензий имеют разное естественное распределение во времени. Малые претензии обычно урегулируются быстрее больших. Претензии по ущербу имуществу обычно урегулируются быстрее претензий по травмам. Если с течением времени меняется соотношение претензий разных типов, то это, вероятно, повлияет на структуру развития. В результате, прошлая структура может быть не очень полезна для предсказания будущего. Именно поэтому при проведении расчетов по исчерпанию, разные классы бизнеса рассматриваются отдельно. Во многих случаях желательно также провести разбиение в пределах класса, например, разделить автомобильное страхование на полное и неполное покрытия, или на телесные повреждения и ущерб имуществу. На практике, необходимость разбиения зависит от объема имеющихся данных и степени неоднородности претензий. Недостаток данных и случайные ошибки Чем меньше объем данных, тем больше риск случайных ошибок. В частности, большинство методов особенно чувствительны к малым флуктуациям в нижнем левом и верхнем правом углах треугольника, поскольку величины в этих частях треугольника также могут быть малы, и, поэтому, здесь малые ошибки могут быть относительно велики. Другие потенциальные проблемы: • отсутствие структуры прошлых претензий, которую можно было бы использовать для

новых классов страхования; • классы с малым количеством претензий или очень большой нестабильностью размеров

претензий, больше подвержены случайным ошибкам. Вопрос 10.17 Предложите курс действий, который может, на практике, преодолеть проблему недостатка данных и случайных ошибок.


36

12. Наконец … 12.1 Пункты глоссария Изучив эту главу, вы должны теперь прочесть следующие статьи глоссария: • Год инцидента (происшествия) • Индивидуальная оценка • Метод цепной лестницы • Анализ исчерпания претензий • Факторы развития • Факторы увеличения • Коэффициент убытков • Офисная премия • Частичный платеж • Постоянство • Треугольник исчерпания


37

Глава 10. Резюме Нужны резервы для неоплаченных претензий и неистекших рисков. Процесс резервирования можно разделить на техническую часть (оценку будущих размеров платежей) и на суждение (определение уровня консервативности резервов). Оценку резервов неоплаченных претензий можно делать либо на основе индивидуальных оценок, либо с использованием статистических методов. Большинство статистических методов работает с таблицами претензий, которые были недавно урегулированы. Делаются предположения о стабильности развития претензий, а также о том, что прошлая структура будет сохраняться в будущем. Статистические методы могут применяться к разным характеристикам претензий, которые представляются стабильными (и являются измеримыми), например, количествам или объемам. Базовый метод цепной лестницы предполагает, что суммы претензий, выплаченные в каждом году развития, являются фиксированными долями общей суммы выплат для данного года зарождения. Вычисления по базовому методу цепной лестницы заключаются в следующем: • табулируйте претензии на основе накопленных величин в соответствии с годом

развития/годом зарождения; • вычислите коэффициенты развития; • примените эти коэффициенты для заполнения таблицы; • по накопленным величинам, найдите, какие суммы будут, предположительно,

выплачиваться в каждой клетке будущего года развития/года зарождения. Базовый метод цепной лестницы неявно предполагает, что прошлая инфляция будет продолжаться в будущем. Если нужны явные предположения об инфляции, можно использовать скорректированную с учетом инфляции цепную лестницу. Существует несколько статистических методов, основанных на предполагаемой стабильности средней стоимости претензии. Им требуются таблицы развития, как суммарных величин претензий, так и их количества. Метод Борнуэттера-Фергюсона полагается на предполагаемую структуру исчерпания и на оценку окончательных претензий для каждой когорты. Оценка обычно проводится с использованием метод коэффициента убытков. Внешняя оценка делится на прошлое и будущее (на дату расчета резервов).


38

На практике, качество статистических методов оценки неоплаченных претензий может быть ухудшено искажениями, делающими исходные предположения неверными. Проблемы могут возникнуть в результате: • ошибок в данных; • больших претензий; • инфляции; • скрытых претензий; • катастроф; • изменения процедур; • изменения состава бизнеса; • нехватки данных. Эти искажения не означают, что статистические методы не следует использовать. На практике, пользователи, которые знают о проблемах, могут скорректировать данные или методы.


39

Решения Решение 10.1 Недостатки Оценка полагается на опыт и суждение индивидуумов. Различные лица могут получить достаточно разные результаты. Оценщики, по своей природе, могут быть в своих оценках консервативными или оптимистичными. Если оценка используется в переговорах с предъявителем претензии, то будет существовать тенденция к некоторому ее занижению. Индивидуальные оценки чрезвычайно трудно проверять. В некоторых классах могут иметь место тысячи неоплаченных претензий. Для индивидуальной оценки размера каждой претензии может потребоваться много времени. Оценщики могут использовать несогласованные ставки инфляции. Кроме того, будет трудно получить оценки на разных базисах. В некоторых ситуациях, оценку резервов неоплаченных претензий должны делать посторонние люди, не имеющие доступа ко всем данным индивидуальных претензий. В этой ситуации, индивидуальные оценки невозможны. Достоинства Это единственный подход, который может использовать всю известную по неоплаченным претензиям информацию. Существует множество качественных факторов, влияющих на размер претензии. Опытный и умелый оценщик сумеет взвесить все эти факторы при оценке размера претензии. Индивидуальные методы могут быть применимы и в случаях, когда статистические модели ненадежны. Решение 10.2 Цель расчета. Решение 10.3 Существовавшая в прошлом структура развития претензий сохранится и в будущем.

Решение 10.4 Полисный год, год инцидента, год заявления. Решение 10.5 (f) c95:3 размер убытков, оплаченных в 1998 году по инцидентам 1995 года. (g) с96:0 + c96:1 + c96:2 + c96:3 + c96:4 сумма объем претензий 1996 года зарождения. (h) с02:0 + c01:1 + c00:2 + c99:3 + c98:4 сумма платежей по претензиям в 2002 году. (i) с02:2 сумма убытков, которые будут оплачены в 2004 году по инцидентам 2002 года. (j) Сумма по всем клеткам, помеченным «?» - это суммарная величина, которая будет

уплачена в будущем по инцидентам, которые имели место до 31.12.02. Решение 10.6 Шаг 1. Найдите суммарные платежи для каждого года зарождения на конец каждого года

развития:


Год 1999 120 218 275 302 инцидента 2000 148 272 347

(зарождения) 2001 143 253 2002 138

Шаг 2. Определите факторы развития:

8134.1143148120125253272218229

1:0 =++++++

=r

2740.1272218229347275294

2:1 =++++

=r

1037.1275294302326

3:2 =++

=r

0276.1326335

4:3 ==r

Шаг 3. Используйте факторы развития для оценки суммарных неоплаченных платежей по

претензиям для каждого года зарождения: 34.8302302:1999 4:3 =−× r

55.46347347:2000 4:33:2 =−×× rr

57.112253253:2001 4:33:22:1 =−××× rrr

59.223138138:2002 4:33:22:11:0 =−×××× rrrr 303-10: Резервы неоплаченных убытков

40

Шаг 4. Сложите неоплаченные платежи по претензиям для каждого года инцидента, чтобы оценить сумму неоплаченных претензий по состоянию на 31 декабря 2002 года (391.05).

В некоторых ситуациях, вам, возможно, понадобится рассматривать ожидаемые

величины выплат в каждой отдельной клетке «зарождения/развития» (например, если вы хотите увидеть денежные потоки каждого года). В этом случае, шаг 3 нужно будет модифицировать следующим образом:

Шаг 3 (пересмотренный): Используйте факторы развития, для того чтобы найти суммарные

величины для каждого года «зарождения/развития»: 4:34,99 302 rC ×=

3:23,00 347 rC ×=

и т.д. 4:33,004,00 rCC ×= По этим суммарным величинам можно затем найти величины для каждой клетки. Решение 10.7 Вы должны получить ответ, примерно равный 373 тысячам фунтов. Некоторые промежуточные цифры приведены ниже. Они получены с использованием электронных таблиц; вычисления проводились с соответствующей точностью. Если вы округляете промежуточные результаты, то может получить слегка иной ответ. Отметим, что если вы вычисляете ответ с использованием данных о приращениях выплаченных претензий, то получите 369 тысяч. Однако базовый метод цепной лестницы определен для работы суммарными данными. Поэтому, применяя скорректированный с учетом инфляции метод цепной лестницы, вы должны выполнить следующие этапы: i) получить данные о приращениях из суммарных данных (если это необходимо); ii) привести (если это необходимо) данные о приращениях к единым денежным

величинам. В данном примере, получим: 0 1 2 3 4 1998 157.8 123.9 73.0 33.9 9.0 1999 142.9 110.1 60.4 27.0 2000 166.3 131.4 75.0 2001 151.6 110.0 2002 138.0


41


42

iii) рассчитать суммарные величины, т.е. просуммировать данные по строкам 0 1 2 3 4 1998 157.8 281.7 354.7 388.6 397.6 1999 142.9 253.0 313.5 340.5 2000 166.3 297.7 372.7 2001 151.6 261.6 2002 138.0 (Эти величины получены с использованием не округленных данных) iv) вычислить коэффициенты цепной лестницы

0-1 1-2 2-3 3-4 1.7685 1.2504 1.0912 1.0232

v) использовать коэффициенты цепной лестницы для прогнозирования суммарных

данных 0 1 2 3 4 1998 1999 348.3 2000 406.7 416.1 2001 327.1 356.9 365.2 2002 244.1 305.2 333.0 340.7 vi) получить приращения из суммарных данных

0 1 2 3 4 1998 1999 7.9 2000 34.0 9.4 2001 65.5 29.8 8.3 2002 106.1 61.1 27.8 7.7 vii) учесть будущую инфляцию 0 1 2 3 4 1998 1999 8.0 2000 34.7 10.0 2001 66.8 31.6 9.1 2002 108.2 64.8 30.7 8.8 Инфляция равна 2% на первом году, и 4% далее.


43

viii) провести суммирование и получить необходимую оценку.

Получим 373 тысячи фунтов. Решение 10.8 Сначала вычислим «обрабатываемые претензии» для четвертого года развития 1999 года инцидента. Помните, что до прогнозирования нужно вычислить накопленную величину. Получим: 123 х (126/125 - 1). Умножая эту величину на средний размер претензии, обрабатываемой в четвертом году развития, т.е. на 9.0, получим 8.856. Решение 10.9 Год 1997 1998 1999 Коэффициент убытков 74.98 75.03 74.99 75% выглядят приемлемыми. Это означает, что окончательные претензии равны: 2000 3000 × 0.75 = 2250 2001 3156 × 0.75 = 2367 2002 3297 × 0.75 = 2473Итого: 7090 Требуемый в данном случае суммарный резерв будет равен 2230 (=7090-4860). Решение 10.10 Предполагается, что большее доверие независимая оценка будет иметь для когорт последних лет, поскольку о них меньше известно. Если мы будем полностью доверять оценке цепной лестницы, окончательный размер резерва может быть слишком чувствителен к малым случайным отклонениям в левом нижнем углу треугольника исчерпания, особенно для классов с длинными хвостами. Решение 10.11 Метод Борнуэттера-Фергюсона предполагает, что Д = А/ЦЛ, где А – фактическая величина развития претензий к данной дате (т.е. число, стоящее на последней главной диагонали треугольника исчерпания). С использованием ранее введенных терминов, А/ЦЛ – это просто величина, обратная фактору окончательного развития (f) для данной когорты.


44

Подставляя в оригинальную формулу, получим: Уточненный окончательный убыток = А/ЦЛ х ЦЛ + (1-1/f) х КУ или Уточненный окончательный убыток = А + (1-1/f) х КУ Вы должны суметь заметить, что это последнее равенство является более формальной записью формулы из предыдущего простого примера. Решение 10.12 Для данных о понесенных убытках вы не можете использовать изложенный короткий вариант, поскольку вам нужно прибавить фактическую величину понесенных к соответствующей дате убытков, чтобы получить уточненный окончательный убыток, прежде чем вычесть фактически уплаченную к этой дате сумму, чтобы получить резерв неоплаченных претензий. Для данных о выплаченных претензиях, все ваши действия сводятся к тому, что вы прибавите и вычтете одну и ту же величину. Решение 10.13 (a) Базовая цепная лестница

Важные числа: Коэффициенты:

1.3784 1.2474 1.0832 1.0014 11.8651 1.3531 1.0847 1.0014 1

Оценки претензий

Год Окончат. Неоплаченные 98 55345 0 99 57222 81 00 54195 4233 01 64520 16837 02 36591 16972

Резерв неоплаченных претензий 38,123


45

(b) Скорректированная с учетом инфляции цепная лестница Суммарные оплаченные претензии

1 2 3 4 5 Оконч. 98 29791 52054 54890 55267 55345 55345 99 28620 31130 48885 57141 00 27935 40060 49962 01 37661 47683 02 19619 Претензии, оплаченные в конкретные годы

1 2 3 4 5 98 29791 22263 2835 378 78 99 28620 2510 17755 8256 00 27935 12125 9902 01 37661 10022 02 19619 Увеличенные с учетом инфляции годовые величины 43617 29632 3430 416 78 38093 3037 19530 8256 33801 13338 9902 41427 10022 19619 Цепная лестница, примененная к суммарным, увеличенным с учетом инфляции величинам 43617 73249 76679 77095 77173 38093 41130 60661 68917 68987 33801 47139 57041 60642 60704 41427 51449 61917 65827 65903 19619 26623 32040 34063 34098 Коэффициенты 1.3570 1.203 1.0631 1.0010 Прогнозируемые годовые величины (в денежных единицах на 31.12.02) 70 3602 61 10468 3910 67 7004 5417 2023 35 Прогнозируемые годовые величины, основанные на предположении о будущей инфляции


46

Неоплаченные 77 77 3962 74 4036 11515 4730 89 16334 7705 6554 2693 51 17003 Резерв неоплаченных претензий 37450 (с) Метод Борнуэттера-Фергюсона Суммарные оплаченные претензии

1 2 3 4 5 98 29791 52054 54890 55267 55345 99 28620 31130 48885 57141 00 27935 40060 49962 01 37661 47683 02 19619 Коэффициенты 0.7255 0.8017 0.9232 0.9986 Оплаченные претензии 0.5362 0.7391 0.9219 0.9986 Неоплаченные претензии 0.4638 0.2609 0.0781 0.0014 Год 02 01 00 99 Неоплаченные претензии 22913 18034 5041 94

Резерв неоплаченных убытков 46082 Решение 10.14 (a) Имеют место необычно высокие претензии в конкретном году инцидента. Возможными

причинами могут быть жестокие наводнения или необычно холодная зима, приведшие к большому количеству претензий.

(b) Столбец содержит платежи, сделанные через определенное количество лет после года инцидента. Высокие величины могут означать, что мы урегулировали много претензий в более ранние годы (претензии по ущербу имуществу), затем имело место ослабевание платежей, пока не начали оплачиваться претензии по ответственности.

(c) Диагональ низких величин означает низкий уровень выплат страховщика в конкретном календарном году. Это может быть связано с внедрением новой системы, утратой штата или забастовкой почтовых работников.

Решение 10.15 Пересмотренная оценка неоплаченных претензий будет равна 16 млн. Она состоит из 2 млн. для 2000 года зарождения, 4 млн. для 2001 и 10 млн. для 2002. Если вы сравните с прогнозом в отсутствие большого убытка, то увидите, что для каждого года зарождения прогноз вырос на 1 млн., т.е. мы предполагаем, что большая претензия,


47

размером в 1 млн. фунтов, будет иметь место в каждом году инцидента, и всегда будет оплачена в последнем году развития. Решение 10.16 Для катастрофического события, ключевым моментом является структура оплаты претензий. Если она близка к «нормальной» структуре, то вычисления исчерпания не изменятся. В противоположность этому, в случае большого единичного платежа по претензии, выплата имеет место в один конкретный момент времени, поэтому структура всегда меняется. Решение 10.17 • Соберите больше данных! • Используйте публикуемую информацию других компаний для того же класса (но

тщательно проверьте, насколько подходит эта информация вашей компании). • Рассмотрите также похожие классы. • Используйте метод параллелограмма, чтобы придать больший вес более старым годам

развития (правый верхний угол). • Обратите особое внимание на все, что могло повлиять на урегулирование претензий в

последние годы. • Выберите метод, не чувствительный, насколько это возможно, к данному типу ошибок.

Глава 10 - actuary-al.ru · На практике, может использоваться...

Documents

Transcript of Глава 10 - actuary-al.ru · На практике, может использоваться...