第 10 讲开集的可测性

第第 1010 讲开集的可测性讲开集的可测性

目的：熟悉一些常见的可测集，了解 Borel

集类与 Lebesgue 集类的差别。

重点与难点：


基本内容：一． Borel 集

问题 1 ：按 Lebesgue 可测集的定义，我们所

熟悉的哪些集合是可测的？


问题 2 ：由 Lebesgue 测度的性质以及上面所熟悉的可测集，还能构造出哪些可测集？所有这些可测集构成什么样的集类？


（ 1 ）开集与闭集的可测性命题 1 Rn 中任意开长方体都是可测的，且

。证明：我们在前一节已经证明对任意开长

方体 I ，有，所以只需证明 I 是可测的就行了，又由关于可测集定义的讨论，我们只要证明对任意开长方体 J ，有

|| ImI

||* IIm

)(*)(** cIJmIJmJm


注意到仍是个长方体，故不难得知

（这与证明类似）因此

从而 I 可测。证毕。

IJ )( IJJIJ c

|,|)(* IJIJm ||||)(* IJJIJm c ||* IIm

||||||||* IJJIJJJm

)(*)(|* cIJmIJm


定义 1 Rn 中的集合称为左开右闭长方体。与直线上开集的构造有所不同， Rn 中

的开集未必可以表示成互不相交的开长方体的并，但可以表示成互不相交的左开右闭长方体之并，即

},,1 |),{( 1 nidxcRXxG iiinn


引理 1 Rn 中的非空开集 G 都可表示成最多可数个互不相交的左开右闭的长方体之并，即是左开右闭长方体。

证明：对每一正整数 K,Rn 可以分解成可数个形如

mi 是正整数）的互不相交的左开右闭长方体之并。假设 K=1 时上述长方体中完全包含在 G 内的那些为

iii

JJG ,

,2/)(2/|){( 1k

iik

ink kmxmxxB },,1 ni

,2,1)1( iIi


（有限或可数个）。对于 k>1 ，用表示上述那些完全被 G 包含但与任何不相交的长方体。这样就得到可数多个左开右闭的长方体且它们互不相交，并满足。如果，则存在，使注意到故当 k 充分大时，含 x 的形如 Bk 的长方体一定完全包含在中，从而也包含在 G ，所以一定在某个中，即

)( k

iI

)1()( klI k

i

iI k

i1)(

GIu k

iki)(

,G

0 GO ),( 02/1|| knk

B

),( O)( k

iI )(

,

k

ikiI


于是，（ 2 ） Gδ 型集、 Fб 型集、 Borel 集

定理 1 Rn 中的任意开集、闭集、 F 型集、 G 型集均为可测集。证明：由命题 1 知任一左开右闭长方体 J

可测且 mJ=|J| ，从而由引理 1 知任意开集可测，进一步闭集、 F 型集、 G 型集均可测。证毕。

。 ,

)(ki

kiIG

第十讲开集的可测性第十讲开集的可测性

注：从定理 1 可知，可数个 F6 型集或 G8型集的并或交仍是可测的。事实上，由开集经过可数次的交、并、差运算后，所得的集合仍然是可测集。于是，由 Rn 中所有开集经过上述运算而得的域就是一个可测集类。我们将这个集类记作 B （ Rn ）或 B ，称为 Rn 中的 Borel 集类。 B 中元称为 Rn中的 Borel 集。因此我们又可以将刚才的结论叙述为： Rn 中任一 Borel 集合是 Lebesgue可测集。


二． Borel 集类与 Lebesgue 集类的比较

问题 3 ：根据 Lebesgue 外测度及可测集的定义，你认为 Lebesgue 可测集与 Borel 集差别有多大？


问题 4 ：对任意集合 E ，能否找到包含 E的 Borel 集 G ，使得它们有相同的外测度？

问题 5 ：对上述 E ，能否找到包含在 E 中的 Borel 集 F ，使得它们具有相同的外测度？如果 E 是可测集，情形又如何？


Lebesgue 可测集的结构 Borel 集类已包含了我们经常见到的 Rn 中

的大多数集合，然而，的确仍有不少集合不是 Borel 集，如本章第一节中构造的不可测集显然不可能是 Borel 集。那么，是否存在 Lebesgue 可测但却不是 Borel 集的集合呢？有的，而且很多，我们已经看到，如果一个集合的外测度为 0 ，则它一定可测，但是外测度为 0 的集合却未


必是 Borel 集，要证明这件事并不困难，比如，可以证明直线上 Borel 集全体的势为 2c 。事实上， Lebesgue 可测集的全体显然有不大于 2c 的势，只需证明其势不小于 2c 就可以了，我们已经知道 Cantor 集是一个零测集，且有势 c ，因而它的一切子集也是零测集，且其子集全体有势 2c 。由此立知， Lebesgue 可测集全体


远比 Borel 集全体的势力，上面的证明同时告诉我们， Cantor 的一切子集中，确有很多不是 Borel 集，但它们都是 Lebesgue 可测集。

现在我们来看看， Lebesgue 可测集与 Borel 集差别有多少，假设 E 是一个可测集，且不妨设，则对任意，存在可数个开长方体，使

mE),2,1(,)( iI n

i,)(

1EI n

ii


且由此易知

事实上 , 由于故由及

,||1

||1

)(

1

)(

i

n

ii

n

iImE

nI

nEIm n

ii

1)( )(

1

mEImmEIm n

ii

n

ii

)()( )(

1

)(

1

1

)()(

1||)(

i

n

i

n

ii

IIm

nImEIm

i

n

i

n

ii

1||)(

1

)()(

1


易得记则 Gn 是开集，从而是 G 型集，而且，由

立知是 Borel 集与一个 Lebesgue零测集之差。类似的办法可以证明，能找到 Borel 集，使，即 E 也

nEIm m

ii

/1)( )(

1

)(

1

m

ii

nIG

niGG

1

EG

nEGEGmn

/1)()(

)( EGm

EF 0)( FEm


是 Borel 集与一个 Lebesgue 零测集之并。换言之，对任一 Lebesgue 可测集 E ，都可以找到包含于其中的 Borel 集，使它们有相同的测度，也可以找到包含 E的 Borel 集，使它们也有相同的测度。因此， Borel 集与 Lebesgue 可测集的差别在于零测集上。


问题 6 ：问题 4 中能否使 G-E 的外测度为零？为什么？举例说明。


即使不是可测集，我们也可以找到Borel 集，使它们有相同的外测度。这就是下面的

定理 2 设，则存在 Rn 中的 G8 型集 G ，使且。

证明：若，则显然可找到这样的 G ，（比如 Rn 本身就是其中一个）。故不妨设，此时类假刚才的讨论，可

nRE

nRE ,EG EmmG *

Em *

Em *


以找到开集 Gn ，使且

令，令 G 即为所求。证毕。应该指出的是，如果 E 是不可测集，虽然可以找到 Borel 集，使，但的外测度不可能等于 0 ，否则E=G-（ G-E ）将是可测集。

EGn

nEmmGn

/10 *

nnGG

1

EG EmmG *

EG


定理 3 若是可测集，则有 Rn 中的 Borel 集 F ，使且

证明：若 E无界，则可作一列长方体，使且，于是是一列有界可测集列，且，从而

nRE

EF

0)(, FEmmEmF

}{nI

1

nnII EI

nn

1 EIE

nn

1

nnEE

))(()(1

EImEmn

n


若对每一 En ，可找到 Borel 集，使且则令，则，于是

)]([1

EImn

n

)](lim EImnn

nnEF

,nn

mEmF ,0)( nnFEm

nnnnmFmEmE

limlim

nnFF

1 EF

nnnnmFmFmFmE

limlim


进而；另一方面，由于

故。因此，我们只需就 E 是有界可测集情形证明就可以了。若 E 是有界的，则存在长方体，记，则 S也是可测集，且由定理 2 知存在 Borel 集 G ，使，且

mEmF

nn

nnn

FEFE

11)(

110)()(

nnnn

nFEmFEm

EI

EIS ,|| mEImS

SG


，令，则 F 仍是 Borel 集，且，显然注意

故。证毕。

0)(, SGmmSmG IGF c

EF 。mEmF

mSmImGmIGImmF )(

mEmEmImI )(

0)(, FEmmFmE


习题二1 、证明有理数全体是 R1 中可测集，且测度为 0 。2 、证明若 E 是 Rn 中有界集，则3、至少含有一个内点的集合之外测度能否为零？4、在 [a,b]上能否作一个测度为 b－ a 但

又异开 [a,b]的闭集？

。Em *


5、若将§1 定理 6 中条件去掉，等式是否仍成立？6 、设 E1 、 E2 、…是 [0 ， 1]中具有下述性质的可测集列：对任意，从这个序列中可找到这样的集 Ek ，使证明，这些集合之并的测度等于 1。7、证明对任意可测集 A， B ，下式恒成立。

”“

)(0

nknEm

nnnnmEEm

lim)lim(

0。1

kmE


8 、设 A1 、 A2 是 [0 ， 1]中两个可测集且满足，证明：9、设 A1、 A2、 A3 是 [0， 1]中三个可测集且满足 ,证明：

。mBmABAmBAm )()(

121mAmA 。0)(

21AAm

2321 mAmAmA

。0)(321

AAAm


10 、证明存在开集 G ，使11 、设 E 是 R1 中的不可测集， A是 R1 中的零测集，证明：不可测。12 、若 E 是 [0 ， 1]中的零测集，其闭包是否也为零测集？13、证明：若 E是可测集，则对任意存在型集，使

。mGGm

CAE

E

0

G

6,FEG


14、证明：位于 0x轴上的任何集 E （甚至

它在直线上为不可测集）在 0xy 平面上可测且其测度为零。15、证明有界集 E 可测当且仅当对任意，存在开集，闭集，使

。 )(,)( FGmFEm

0

EG EF

。 )( FGm


16 、证明；若是单调递增集列（不一定可测），则17、证明 Rn 中的 Borel 集类 B 有连续势。18 、证明对任意闭集 F ，都可找到完备集，使19、证明只要，就一定可以找到使对任意都有

nmRE

。mmm

mEmEm *

1lim)(*

FF 1

。mFmF 1

0mE ，E

0 。0)),(0( Em


（提示：利于闭集套定理）20 、如果可测，，记

证明也可测，且 21 、设是零测集，证明是零测集。

nRE 0a}),,(|),,{(

11ExxaxaxaE

nn

aE .)( mEaaEm n

12,)( RExxf

}|)({)( ExxfEf


22 、设可测，是含 x0 的任一开区间，若下列极限存在，则称 d是 E 在点 x0 的密度，显然，如果称 x0 是 E 的全密点。（ i ）点 a 是否是的有密度的点？（即 d>0 ）

1RE ),(, baEx

o

)/(),(lim0),(

abEbamdxba

10 d

1d],[ baE


(ii)作一集合 E ，使它在给定点 x0具有密度，且密度等于事先给定值23 、设是可测集，证明也是可测集，且24、设是可测集，是旋转变换：

。)10( CC1RE }|{ ExxE

。mEEm )(2RE ),2,1(

),(),(: yxyxU


证明： UE 也是可测集 , 且25、设是可测集，，如果 E 的可测子集列满足，证明：

sincos

sincos

yxy

yxx

。mEUEm )(nRE mE

1}{kn

E

。0)lim( kkEm


三．复习（ 1 ）可测集的定义（ 2 ）可测集的结构（ 3 ）练习题评讲

作业： P53 11 ， 12 ， 15

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