модуль 1 лекция 7
-
Upload
alexandernagimov -
Category
Documents
-
view
202 -
download
2
Transcript of модуль 1 лекция 7
Тема 3
СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
Лекция 7
Системы случайных величин
При исследовании различных процессов и систем возникают случаи
рассмотрения различной совокупности случайных величин – системы двух,
трех и большего числа случайных величин.
Так, например, цена единицы товара Х и количество товара Y на рынке
представляют собой двумерную случайную величину (Х, Y). Положение
корабля на карте характеризуется системой (Х, Y) двух случайных величин:
коорди-натами широты Х и долготы Y. Количество очков при одновременном
бросании двух игральных костей определяется двумерной случайной
величиной (Х, Y): количеством очков Х одной кости и количеством очков Y
другой. Двумерная случайная величина может рассматриваться как
случайная точка на плоскости (Рис. 3.49).
При исследовании спроса товара на рынке цена единицы товара Х,
количество товара Y и завод изготовитель Z товара представляют собой
трехмерную случайную величину (Х, Y, Z). Положение в пространстве
летательного аппарата определяется, в частности, системой (Х, Y, Z) трех
случайных величин: широтой Х, долготой Y и высотой Z летательного
аппарата. Трехмерная случайная величина может рассматриваться как
случайная точка в трехмерном пространстве Рис. 3.50.
Количество n видов товаров на рынке представляют собой систему n
случайных величин ),,...,...,,( 21 ni XXXX , где iX ),...,1( ni количество
товара i - го вида. Если некоторая система состоит из n элементов, то
моменты времени iX случайных отказов этих элементов образуют
n - мерную систему случайных величин ),,...,...,,( 21 ni XXXX .
Упорядоченный набор ),,...,...,,( 21 ni XXXX случайных величин iX
),...,1( ni называют системой n случайных величин, n - мерной случайной
величиной или случайным вектором.
Одномерные случайные величины ni XXXX ,,...,...,, 21 называются
составляющими или компонентами n - мерной случайной величины
),,...,...,,( 21 ni XXXXX . Каждому элементарному событию n - мерная
случайная величина ставит в соответствие n чисел ),,...,...,,( 21 ni xxxx , которые
в результате опыта приняли случайные величины ni XXXX ,,...,...,, 21 . Вектор
),,...,...,,( 21 ni xxxxx называется реализацией
n - мерной случайной величины. Геометрически значения n - мерной
случайной величины представляются, в частности, точками в n - мерном
пространстве действительных чисел nR .
Ограничимся для простаты и наглядности рассмотрением системы двух
случайных величин, так как основные понятия для двумерных случайных
величин обобщаются на случаи большего числа компонент.
Двумерные случайные величины
Если опыт описывается не одной случайной величиной X , а двумя
случайными величинами X и Y, то упорядоченную пару ( , )X Y называют
двумерной случайной величиной. В зависимости от типа случайных величин,
по характеру реализаций двумерные случайные величины могут быть
дискретными, непрерывными и смешанными. В первом случае компоненты
двумерной случайной величиной величины X и Y дискретны, во втором –
непрерывны, в третьем – разных типов. Рассмотрим дискретные и
непрерывные двумерные случайные величины.
Дискретная двумерная случайная величина может принимать конечное
или счетное множество значений. Под возможными значениями, которые
может принимать дискретная двумерная случайная величина ( , )X Y ,
понимается набор пар действительных чисел ( ji yx , ) ),...,1( mi , ),...,1( nj ,
образующих полную группу несовместных событий. Возможное численное
значение ( ji yx , ), которое может принимать дискретная случайная величина
( , )X Y , определяется вероятностью ijp появления этого числа. Вероятность
того, что дискретная случайная величина примет значение ),( ji yYxX с
вероятностью ijp , определяется математическим выражением:
),( jiij yYxXPp , ),...,1( mi , ),...,1( nj
Так как возможные значения ( ji yx , ) ),...,1( mi , ),...,1( nj реализации
дискретной случайной величины ( , )X Y образуют полную группу
несовместных событий, то сумма вероятностей всех ее возможных значений
равна единице, т.е.
),(11
j
n
ij
i
m
i
yYxXP = 111
n
ij
ij
m
i
p .
Полной вероятностной характеристикой дискретной случайной
величины ( , )X Y , как и в случае одномерной случайной величины, является
закон распределения, устанавливающий связь между возможными
значениями дискретной случайной величины ( ji yx , ) ),...,1( mi , ),...,1( nj и
вероятностями ijp их появления.
Закон распределения дискретной случайной величины ( , )X Y может
быть представлен в виде двумерной матрицы распределения (в табличной
форме)
1y
2y
…
jy
…
ny
n
j
iji pp1
1x 11p 12p … jp1 …
np1 1p
2x 21p 21p … jp2 …
np2 2p
… … … … … … … …
Y
X
ix 1ip 2ip …
ijp … inp
ip
… … … … … … … …
mx 1mp 2mp …
mjp … mnp
mp
m
i
ijj pp1
1p
2p
…
jp
…
np
1
где на пересечении i ой строки для значения компоненты ixX и
j го столбца для значения компоненты jyY указаны вероятности
),( jiij yYxXPp , ),...,1( mi , ),...,1( nj значений ),( ji yYxX
дискретной случайной величины ( , )X Y .
Закон распределения дискретной случайной величины ( , )X Y может
быть представлен также в виде графика распределения Рис 3.51. Если закон
распределения дискретной случайной величины ( , )X Y известен, то можно
найти законы распределения каждой из компонент X и Y (обрат-ное
невозможно). Так как события ),( 1yYxX i , ),( 2yYxX i ,…
…, ),( ni yYxX несовместны и событие )( ixX может появиться только с
одним из несовместных событий )( 1yY , )( 2yY ,… …, )( nyY
образующих полную группу, то вероятность )( ii xXPp события )( ixX ,
по формуле полной вероятности представляется в виде суммы вероятностей
несовместных событий ),( 1yYxX i , ),( 2yYxX i ,… …, ),( ni yYxX :
)( ii xXPp = ),(1
ji
n
j
yYxXP ij
n
j
p1
.
Аналогично определяется вероятность )( jj yYPp события )( jyY
)( jj yYPp = ),(1
ji
m
i
yYxXP ij
m
i
p1
.
Таким образом, суммируя элементы матрицы распределения по столбцам,
получим распределение случайной
величины X , а по строкам –
распре-деление случайной
величины Y . Вероятности
)( ii xXPp записывают-ся в
последний столбец матрицы
распределения, а )( jj yYPp в
последнюю строку.
Пример 3.8. В Урне пять шаров: три красных, один белый и один синий. Из урны
наудачу извлекают два шара. Определить закон распределения для системы из двух шаров
– белого и синего. Найти при этом законы распределения белого шара и синего шара.
Решение. Пусть случайная величина X характеризует отсутствие )0(X или
извлечение )1(X белого шара, а случайная величина Y характеризует отсутствие
)0(Y или извлечение )1(Y синего шара при извлечении наудачу из урны
одновременно двух шаров.
Для вычисления вероятности значений дискретной двумерной случайной величины
( , )X Y определим число n возможных способов извлечения 2 шаров из 5: 102
5Cn .
Вычислим вероятности значений дискретной двумерной случайной величины ( , )X Y :
10
3)0,0(
2
5
2
311
C
CYXPp , где 2
3C − число случаев благоприятствующих
тому, что из урны будут извлечены 2 красных шара;
10
3)1,0(
2
5
1
1
1
312
C
CCYXPp , где 1
1
1
3 CC − число случаев благоприятству-
ющих тому, что из урны будут извлечены 1 из 3 красный шар и 1 синий;
10
3)0,1(
2
5
1
3
1
121
C
CCYXPp , где 1
3
1
1 CC − число случаев благоприятству-
ющих тому, что из урны будут извлечены 1 белый шар и 1 из 3 красный;
10
1)1,1(
2
5
1
1
1
122
C
CCYXPp , где 1
1
1
1 CC − число случаев благоприятству-
ющих тому, что из урны будут извлечены 1 белый и 1 красный шар.
1x 2x 3x x
2y
1y
y
11p
ijp
12p
21p
22p
31p
32p
Рис.3.51
Представим закон распределения дискретной двумерной случайной величины
( , )X Y в табличной форме
1y = 0
2y = 1
n
j
iji pp1
1x = 0 0,3 0,3 0,6
2x = 1 0,3 0,1 0,4
m
i
ijj pp1
0,6
0,4
1
Сложив вероятности по столбцам, получим закон распределения X , а по строкам Y .
Непрерывной двумерной случайной величиной называют систему двух
случайных величин ( , )X Y , составляющие которой X и Y непрерывные
случайные величины.
Универсальной характеристикой пригодной для описания как
дискретных, так и непрерывных двумерных случайных величин, является
функция распределения, называемая также интегральной функцией.
Функция распределения двумерной случайной величин
и ее свойства
Функцией распределения двумерной случайной величины ( , )X Y
называют функцию ),( yxF , которая для каждой пары чисел ),( yx
определяет вероятность того, что случайная величина X примет значение,
меньшее x , при этом Y примет значение, меньшее y :
),(),( yYxXPyxF
Здесь под событием ),( yYxX понимается одновременное
выполнение (произведение) двух событий )( xX и )( yY . Поэтому в
геометрической интерпретации функция
),( yxF представляет собой вероятность
попадания случайной точки ( , )X Y в
бесконечный квадрат Рис. 3.52 с вершиной
Y
X
(X,Y)
(x,y)
x
y
0
Рис.3.52
X
Y
),( yx , расположенный левее и ниже этой вершины.
Функция распределения ),( yxF двумерной дискретной случайной
величины находится суммированием вероятностей ),( jiij yYxXPp ,
),...,1( mi , ),...,1( nj , для которых xxi , yyi :
),(),( yYxXPyxF ),( ji
xx yy
yYxXPi j xx yy
ij
i j
p .
В геометрической интерпретации функция распределения ),( yxF
представляет собой некоторую поверхность; для двумерной дискретной
случайной величины это Рис. 3.53 ступенчатая поверхность.
Функция ),( yxF обладает следующими основными свойствами.
1. ),( yxF − положительная ограниченная функция, значения которой
удовлетворяют неравенству
1),(0 yxF
Это свойство следует непосредственно из определения двумерной
функции распределения ),( yxF , так как ),(),( yYxXPyxF , а
вероятность 1),(0 yYxXP .
2. ),( yxF − неубывающая функция по каждому аргументу при
фиксированном другом аргументе:
),( 2 yxF ),( 1 yxF , если 12 xx ; ),( 2yxF ),( 1yxF , если 12 yy .
Для доказательства этого утверждения по аргументу x представим
событие ),( 2 yYxX суммой двух несовместных событий Рис. 3.54
4,0
2x 1x 3x x
1y
2y
y ),( yxF
1,0 3,0
4,0 7,0
0,1
Рис.3.53
),( 2 yYxX = ),( 1 yYxX + ),( 21 yYxXx . Тогда по теореме
сложения несовместных событий:
),( 2 yYxXP = ),( 1 yYxXP + ),( 21 yYxXxP .
Отсюда, учитывая определение функции ),( yxF , следует
),( 2 yxF ),( 1 yxF + ),( 21 yYxXxP .
Так как вероятность события 0),( 21 yYxXxP , то
),( 2 yxF ),( 1 yxF , если 12 xx .
Аналогично доказывается утверждение, что функция ),( yxF не убывает
по аргументу y .
3. При предельных значениях аргументов функция ),( yxF равна
нулю.
),( yF = ),(xF = ),(F = 0.
Действительно при предельных значениях аргументов функция ),( yxF
определяет вероятность невозможного события :
),( yF = ),( yYXP = Р( ) = 0,
),(xF = ),( YxXP = Р( ) = 0,
),(F = ),( YXP = Р( ) = 0.
4. При предельных значениях одного из аргументов функция
),( yxF определяет одномерную функцию распределения по другому
аргументу:
),( 21 yYxXx
),( 2 yYxX
),( 1 yYxX
2x 1x
y
Y
X
Рис.3.54
),(xF = )(xF − функция распределения случайной величины X .
),( yF = )(yF − функция распределения случайной величины Y .
Покажем справедливость этого утверждения для функции
распределения ),( yxF когда y . По определению двумерной функции
распределения ),(xF = ),( YxXP , где под событием ),( YxX
понимается одновременное выполнение (произведение) двух событий −
события )( xXA и достоверного события )(Y .
Для наглядной иллюстрации произведения событий A и
воспользуемся диаграммой Эйлера-Венна Рис. 3.55, в
которой достоверное событие изображается
прямоугольником; элементарные случайные собы- тия
– точками прямоугольника; случайное событие A –
областью внутри него. Из этой диаграммы видно, что
произведение событий AAA . Таким образом, для двумерной
функции распределения ),(xF выполняются соотношения:
),(xF = ),( YxXP = )()()(),( xFxXPAPAP .
Аналогично показывается справедливость ),( yF = )(yF .
5. При предельных значениях аргументов функция ),( yxF равна
единице
1),(F .
Действительно, при предельных значениях аргументов X и Y
двумерной случайной величины ( X ,Y ) функция ),( yxF есть вероятность
достоверного события , т.е.
),(F = ),( YXP = 1)(P .
Пример 3.9. По таблице распределения системы двух случайных величин (Х,Y)
примера 3.8 найти двумерную функцию распределения ),( yxF .
Решение. По определению,
),(),( yYxXPyxF ),( ji
xx yy
yYxXPi j
, где 2,1i , 2,1j .
А
Рис.3.55
Поэтому при значениях 0x и 0y , значениях 0x и любом значении Y из
области возможных значений, значениях 0y и любом значении Х из области
возможных значений, функция распределения ),(),( yYxXPyxF = 0.
При 10 x и 10 y
3,0)0,0(),( 11 yYxXPyxF ;
При 10 x и y1
)0,0(),( 11 yYxXPyxF + )1,0( 21 yYxXP + 0,3 = 0,6;
При x1 и 10 y
)0,0(),( 11 yYxXPyxF + )0,1( 11 yYxXP =0,3 + 0,3 = 0,6;
При x1 и y1
)0,0(),( 11 yYxXPyxF + )1,0( 21 yYxXP +
+ )0,1( 11 yYxXP + )1,1( 21 yYxXP = 0,3 + 0,3+ 0,3+ 0,1=1
Таким образом, двумерная функция распределения ),( yxF представляется таблицей
),( yxF 0y 10 y y1
0x 0 0 0
10 x 0 0,3 0,6
x1 0 0,6 1
и описывает ступенчатую поверхность Рис.3.56.
Двумерная функция распределения ),( yxF позволяет достаточно
6,0
1 0 x
y ),( yxF
3,0
6,0
1
0,1
Рис.3.56
просто определить вероятность попадания случайной точки ( X ,Y ) в
прямоугольник R со сторонами, параллельными координатным осям.
Для наглядной иллюстрации определения вероятности
),(}),{( 2121 yYyxXxPRYXP
рассмотрим Рис. 3.57,
где ),( 22 yxF обозначает вероятность попадания случайной точки ( , )X Y в
бесконечный квадрат, расположенный левее и ниже вершины ),( 22 yx .
),( 21 yxF обозначает вероятность попадания случайной точки ( , )X Y в
бесконечный квадрат, расположенный левее и ниже вершины ),( 21 yx .
),( 12 yxF обозначает вероятность попадания случайной точки ( , )X Y в
бесконечный квадрат, расположенный левее и ниже вершины ),( 12 yx .
),( 11 yxF обозначает вероятность попадания случайной точки ( , )X Y в
бесконечный квадрат, расположенный левее и ниже вершины ),( 11 yx .
Из Рис. 3.57 видно, что вероятность попадания случайной точки ( X ,Y )
в прямоугольник R определяется по формуле:
),(}),{( 2121 yYyxXxPRYXP
= ( ),( 22 yxF − ),( 21 yxF ) − ( ),( 12 yxF − ),( 11 yxF ) =
= ),( 22 yxF − ),( 21 yxF − ),( 12 yxF + ),( 11 yxF ).
),( 11 yx
),( 22 yxF
),( 22 yx
),( 12 yx
R
),( 12 yxF
),( 21 yxF
),( 11 yxF
1x 2x
1y
2y
Y
X
Рис.3.57
Пример 3.10 [ , стр. 175]. Задана двумерная функция распределения ),( yxF
двумерной случайной величины ( , )X Y
.000
,2/0,2/0),(
yилиxпри
yxприSinySinxyxF
Найти вероятность попадания случайной точки ( , )X Y в прямоугольник Рис.3.58,
ограниченный прямыми 0x , 4/x , 6/y ,
3/y .
Решение. Определим вероятность попадания
случайной точки ( , )X Y в прямоугольник, ограничен-
ный прямыми 01x , 4/2x , 6/1y , 3/2y
по формуле
),( 2121 yYyxXxP
= ( ),( 22 yxF − ),( 21 yxF ) − ( ),( 12 yxF − ),( 11 yxF ) =
= 3
034
SinSinSinSin6
064
SinSinSinSin =
= 2
30
2
3
2
2
2
10
2
1
2
2= 26,0
4
26.
Плотность распределения непрерывной двумерной случайной
величины и ее свойства
Плотность распределения непрерывной двумерной случайной
величины является исчерпывающей характеристикой системы двух
непрерывных случайных величин ( , )X Y .
Рассмотрим непрерывную двумерную случайную величину ( , )X Y с
функцией распределения ),( yxF , которая в силу непрерывности случайных
величин Х и Y предполагается непрерывной и дифференци-руемой по
совокупности переменных x и y. Вычислим вероятность попадания
случайной точки ( , )X Y на элементарный прямоугольник
Рис. 3.59 со сторонами x и y, примыкающий к точке ),( yx .
0
2/
2/ 4/
6/
3/
y
x
Рис.3.58
),( yyYyxxXxP
= ),( yyxxF ),( yyxF ),( yxxF ),( yxF ).
Рассмотрим отношение этой вероятности к площади элементарного
прямоугольника yx . Это отношение характеризует среднюю плотность
вероятности (среднюю плотность
распределения) двумерной случайной
величины ( , )X Y в элемен-тарном
прямоугольнике:
yx
yyYyxxXxP ),(
yx
yxFyxxFyyxFyyxxF ),(),(),(),(.
Отсюда следует, что при переходе к пределу при 0x и 0y мы
получим плотность распределения (плотность вероятности) двумерной
случайной величины ( , )X Y в точке ),( yx , которая обозначается, в
частности, через ),( yxp :
),( yxp =yx
yyYyxxXxP
yx
),(lim
00
yx
yxFyxxFyyxFyyxxF
yx
),(),(),(),(lim
00 yx
yxF ),(2
.
Таким образом, по определению, плотностью распределения двумерной
случайной величины ( , )X Y называется вторая смешанная производная ее
функции распределения.
),( yxpyx
yxF ),(2
= ),( yxFxy .
Плотность распределения ),( yxp двумерной случайной величины
( , )X Y называют также дифференциальной функцией.
Для достаточно малых приращений dx и dy плотность распределения
),( yxp удовлетворяет условию
0 x xx x
yy
y
y
Рис.3.59
),( dyyYydxxXxP dxdyyxp ),( .
Поэтому выражение называют элементом вероятности двумерной
случайной величины ( , )X Y .
Геометрически плотность распределения ),( yxp двумерной случайной
величины ( , )X Y представляет собой поверхность Рис. 3.60, называемую
поверхностью распределения
Элемент вероятности dxdyyxp ),( представляет собой прямоугольную
призму Рис. 3.60 с площадью основания dydx
Плотность распределения ),( yxp обладает следующими свойствами.
1. ),( yxp − неотрицательная функция
0),( yxp .
Это следует из определения ),( yxp , в соответствии с которым для достаточно малых
приращений x и y
),( yxp 0),(
yx
yyYyxxXxP,
поскольку вероятность 0),( yyYyxxXxP .
2. Плотность распределения ),( yxp связана с функцией распределе-ния
),( yxF , интегральным соотношением:
x y
dudvvupyxF ),(),( .
xm
ym
dxdyyxp ),(
),( yxp
y
y
y y
x x
x
x
Рис.3.60
Для доказательства этого утверждения используем определение плотности распределения
),( yxp , в соответствии с которым, если ),( yxF дифференцируема, то
yx
yxF ),(2
= ),( yxp .
Определим вторую смешанную производную от функции распределения, используя
правило дифференцирования под знаком интеграла, когда пределы интеграла зависят от
параметра*
yx
yxF ),(2
= dvduvupyx
xy
),( = duyupx
x
),( = ),( yxp .
3. Частные (маргинальные) плотности распределения )(xp и )(yp
составляющих Х и Y непрерывной двумерной случайной величины ( , )X Y
определяются через двумерную плотность распределения ),( yxp по
формулам:
)(xp = dyyxp ),( , )(yp = dxyxp ),( ,
Покажем справедливость формулы для определения плотности распределения
)(xp . В соответствии с четвертым свойством двумерной функции распределения
),( yxF : ),(xF = )(xF . Тогда по определению одномерной плотности распределения, с
учетом дифференцирования интеграла по параметру верхнего предела, получим.
__________________________________________________________________________
* Дифференцирование под знаком интеграла, когда пределы интеграла зависят от
параметра )(
)(
),(
y
y
dxyxfdy
d)),((
)()),((
)(),()(
)(
yyfy
yyyf
y
ydx
y
yxfy
y
.
)(xp =dx
xdF )(=
x
xF ),(= dudyyup
x
x
),( = dyyxp ),( .
Аналогично
)(yp =dy
ydF )(=
y
yF ),(=
y
dvdxvxpy
),( == dxyxp ),( .
Следует отметить, что определить двумерную плотность
распределения ),( yxp по известным плотностям распределения )(xp и
)(yp составляющих Х и Y непрерывной двумерной случайной величины
( , )X Y в общем случае невозможно.
4. Двумерная плотность распределения ),( yxp удовлетворяет
условию нормировки
1),( dxdyyxp .
Действительно, в соответствии со вторым свойством двумерной плотности
распределения, этот интеграл определяет двумерную функцию распределения при
предельных значениях аргументов X и Y двумерной случайной величины
( X ,Y ). Следовательно, этот интеграл
1),(),( Fdxdyyxp .
В частности, если все возможные значения двумерной случайной
величины ( X ,Y ) принадлежат конечной области значений D , то
D
dxdyyxp 1),( .
5. Вероятность попадания случайной точки ( X ,Y ) в область D
вычисляется через плотность ее распределения по формуле:
( , )P X Y R( )
( , )R
p x y dxdy .
Действительно. Пусть ),(}),{( 2121 yYyxXxPRYXP рис.3.57. Как
показано выше эта вероятность определяется по формуле:
1 2 1 2( , )P x X x y Y y ( ),( 22 yxF − ),( 21 yxF )−( ),( 12 yxF − ),( 11 yxF )
Откуда, принимая во внимание определение двумерной функции распределения, следует
1 2 1 2( , )P x X x y Y y
2 2 1 2
( , ) ( , )
x y x y
p x y dxdy p x y dxdy
2 1 1 1
( , ) ( , )
x y x y
p x y dxdy p x y dxdy
2 2 2 1 2 2
1 1 1 1
( , ) ( , ) ( , )
x y x y x y
x x x y
p x y dxdy p x y dxdy p x y dxdy .
Пример 3.11. Случайная точка ( , )X Y с равномерной постоянной плотностью
распределена внутри квадрата R Рис.3.61. Определить совместную плотность
распределения ),( yxp и одномерные плотности распределения ( )p x и ( )p y .
Решение. Так как все возможные значения двумерной
случайной величины ( X ,Y ) принадлежат конечной
области значений R , то
{( , ) }P X Y R( )
( , ) 1R
p x y dxdy .
Поскольку площадь R равна 2, то равномерная постоянная
двумерная плотность распределения ),( yxp случайной
величины ( , )X Y определяется выражением
1/ 2 ( , )( , )
0 ( , )
при x y Rp x y
при x y R.
Определим плотность распределения ( )p x . При заданном x в интервале 0 1x
плотность ),( yxp отлична от нуля, когда (1 ) 1x y x . В интервале 1 0x
плотность ),( yxp отлична от нуля, когда (1 ) 1x y x . При 1x или 1x
плотность ),( yxp равна нулю, поэтому
112 (1 )
112 (1 )
1 0 1
( ) 1 1 0
0 1 1.
x
x
x
x
dy x при x
p x dy x при x
при x или x
Иначе
1 | | | | 1
( )0 | | 1.
x при xp x
при x
График плотности распределения ( )p x показан на Рис. 3.62. Распределение ( )p x
представляет собой распределение Симпсона. Аналогично определяется распределение
( )p y
1 | | | | 1
( )0 | | 1.
y при yp y
при y
0
R 1
1
-1
-1
y
x
Рис.3.61
0
1
1
-1
( )p x
x
Рис.3.62
Пример 3.12. Случайная точка ( , )X Y с равномерной постоянной плотностью
распределена внутри круга радиуса R Рис.3.63. Определить совместную плотность
распределения ),( yxp и одномерные плотности распределения ( )p x и ( )p y .
Решение. Так как все возможные значения двумерной
случайной величины ( X ,Y ) принадлежат конечной области
круга D, то двумерная плотность распределения ),( yxp
аналогично примеру 3.11 определяется выражением
2 2 2 2
2 2 2
1/( , )
0 .
R при x y Rp x y
при x y R.
Определим плотность распределения ( )p x . При заданном x в интервале R x R
плотность ),( yxp отлична от нуля, когда 2 2 2 2R x y R x , поэтому
2 2
2 2
2 2
2 2
2( )
R x
R x
dyp x R x
R R
При | | ( ) 0.x R p x Аналогично определяется распределение ( )p y .
2 2
2 2
2 2
2 2
2( )
R y
R y
dxp y R y
R R
При | | ( ) 0.y R p y
Закон распределения двумерных случайных величин ( X ,Y )
определяется распределением каждой из величин и зависимостью между
ними. Степень зависимости между величинами X и Y определяется
условным законом распределения.
0
R
y
x
D
Рис.3.63 Рис.3.63