第四章 向量空间 §1 向量空间及其基、维数、坐标
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第四章 向量空间 §1 向量空间及其基、维数、坐标
1
2
... i
n
xx
x R
x
定义 1 设 V 为 n 维向量的非空集合,若 V 对向量的加法、数乘两种线性运算封闭(即运算的结果仍为 V 中向量), 则称 V 为向量空间 .
1.n 维实向量全体的集合:例 1. 考察下列向量的集合是否为向量空间 .
是Rn=
第四章 向量空间 §1 向量空间及其基、维数、坐标 ( 续 1)
2
0
... i
n
xx R
x
2
1
... i
n
xx R
x
nS R
3.V2=
例 1. 考察下列向量的集合是否为向量空间 .
4.n 元齐次线性方程 AX=0 解向量全体的集合 S.
2.V1= 是
不是
是
1nV R
第四章 向量空间 §1 向量空间及其基、维数、坐标 ( 续 2)
定义 2 设 V1,V2 是两个向量空间 , 且 V1 V2, 则称 V1 为 V2 子空间 .
例 2 设 L=L(α1, α2,..., αs)= {k1 α1+k2 α2+...+ks αs|ki R, ∈ α i R∈ n}
则 L 为向量空间,且 L Rn
即 L 为向量空间 Rn 的子空间,称其为由向量 α1, α2,..., αs 生成的子空间 .
第四章 向量空间 §1 向量空间及其基、维数、坐标 ( 续3)
定义 3 设向量空间 V 中一组向量 A0: α1, α2,..., αr 满足:
称 k1,k2,...,kr 为向量 α 在 A0 这组基下的坐标
1) α1, α2,..., αr 线性无关;
α =k1α1 +k2α2+...+krαr,
2) V 中任意向量 α 均可由向量 α1, α2,..., αr 线性表示 :
则称 α1, α2,..., αr 为 V 的一组基,称 V 为 r 维向量空间 (V 的维数为 r), 记作 :dimV=r.
第四章 向量空间 §1 向量空间及其基、维数、坐标 ( 续4)
2
0
... i
n
xx R
x
1 2
1 0 00 1 0
, ,...,... ... ...0 0 1
n
1.n 维实向量全体的集合 Rn
2.V1=
dimRn=n
( 任意 n 个线性无关的 n 维实向量均为 Rn 的一组基 )
为 Rn 的一组基
ε2, ε3,…, εn 为 V1 的一组基 . dimV1=n-1
第四章 向量空间 §1 向量空间及其基、维数、坐标 ( 续5)
3.n 元齐次线性方程 AX=0 的解空间 S.
4. L=L(α1, α2,..., αs)= { k1 α1+k2 α2+...+ks αs |ki R, ∈ αi R∈ n}
方程的基础解系为 S 的一组基 . dimS=n-R(A).
α1, α2,..., αs 的最大无关组为 L 的一组基 . dimL=R[α1 α2 ... αs]
第四章 向量空间 §1 向量空间及其基、维数、坐标 ( 续6)
.01
,11
)( 21
II;
10
,01
)( 21
I
例 3. R2 中 , 分别求向量 β =(2,3)T 在下列两组基下的坐标 .
解: β=2ε1+3ε2 ∴ β 在基 (I) 下的坐标为 2,3;
又 β =3α1- α2 ∴ β 在基 (II) 下的坐标为 3,-1.
第四章 向量空间 §2 Rn 中的内积 标准正交基
1 1
2 2,... ...
n n
a ba b
a b
.0),.(4
);,(),(),.(3 kkk
向量空间是几何空间的抽象 . 基是坐标系的抽象 .
性质:
定义: n 维向量
1 1 2 2( , ) ... n na b a b a b
几何空间的直角坐标系、两个向量的夹角、数量积、垂直、向量的长度等概念,均可推广到向量空间中来 .
的内积
TT
);,(),.(1 );,(),(),.(2
(等号当且仅当 α=0 时成立)
第四章 向量空间 §2 Rn 中的内积 标准正交基 ( 续 1)
||||||),(),(|||| 2 kkkkk
2 2 21 2|| || ( , ) ... na a a
1||||||||
1||||||
1||
性质:
定义向量 α 的长度:
|| α||=1 时,称 α 为单位向量 .
||||
10 称 为 β 的单位化向量(标准化向量) .
1
2
...
n
aa
a
第四章 向量空间 §2 Rn 中的内积 标准正交基 ( 续 2)
01 1
|| || || ||k
k
例 1 设 α=k β, 求 α 的单位化向量 α0.
||||
10 称 为 β 的单位化向量(标准化向量) .
解:
01
| | || ||k
k
第四章 向量空间 §2 Rn 中的内积 标准正交基 ( 续 4)
( , ), arccos|| || || ||
(α, β)=0 时,称 α 与 β 正交 .
零向量与任何向量正交 .
当 α , β 均非零向量时,定义 α 与 β 的夹角:
定理 1 .|||||||||),(|
第四章 向量空间 §2 Rn 中的内积 标准正交基 ( 续 5)
定理 2 设 α1 , α2 ,…, αs 为两两正交的非零向量 . 则 α1 , α2 ,…, αs 线性无关
证明:设 k1α1+k2α2+…+ksαs=0.两边与 αi 作内积 , 得: ( , ) 0i i
∴ki=0, i=1,2,...,s.
∴ α1 , α2 ,…, αs 线性无关 .
ki(αi , αi)=0, ∵
第四章 向量空间 §2 Rn 中的内积 标准正交基 ( 续 6)
定义 : 设 α1 , α2 ,…, αs 是向量空间 V的一组基 , 且两两正交 , 则称α1 , α2 ,…, αs 为 V 的一组正交基 .
若又有 ||αi||=1(i=1,2,…,s), 则称α1 , α2 ,…, αs 为 V 的一组标准正交基 .
第四章 向量空间 §2 Rn 中的内积 标准正交基 ( 续 7)
3 1 3 23 3 1 2
1 1 2 2
( , ) ( , )( , ) ( , )
11 111
1222 ),(
),(
Schmidt 正交化方法设向量组 A: α1 , α2 ,…, αr 线性无关 ,求与 A 等价的标准正交向量组 .1. 正交化:
则 β1,β2,…, βr 两两正交 .
...
1 2 11 2 1
1 1 2 2 1 1
( , ) ( , ) ( , )...( , ) ( , ) ( , )
r r r rr r r
r r
取
第四章 向量空间 §2 Rn 中的内积 标准正交基 ( 续 8)
Schmidt 正交化方法设向量组 A: α1 , α2 ,…, αr 线性无关 ,求与 A 等价的标准正交向量组 .
ii
ie ||||1
2. 标准化:(i=1,2,...,r)
e1,e2,…,er 即为所求标准正交向量组 .
令
第四章 向量空间 §2 Rn 中的内积 标准正交基 ( 续 9)
][ 21 n
定义 : 若 n 阶实矩阵 A 满足:ATA=E ,
1 1 1 1 2 1
2 2 1 2 2 21 2
1 2
...
......
... ... ... ... ......
T T T Tn
T T T Tn
n
T T T Tn n n n n
则称 A 为正交矩阵 .
ATA=
正交矩阵
证:设 A=
)(0
1jij
Ti
iTi
(1) |A|2=1 ;(3) A 的行(列)向量组为标准正交向量组 .
所以 A 的列向量两两正交且长度为 1.
=E
性质:设 A 为正交矩阵,则(2)A-1=AT 亦为正交矩阵 ;
反之亦然 .
第四章 向量空间 §2 Rn 中的内积 标准正交基 ( 续 10)
则 ATA=E, ∴ A 为正交矩阵 .
21
2100
002
12
121
21
21
21
21
21
21
21
(A*)TA*=(|A|A-1)T(|A|A-1)=
证: A*=|A|A-1,
例 1 设 A 为正交矩阵,则 A* 亦为正交矩阵 .
=E
如 A=
|A|2AA-1
∴A* 亦为正交矩阵 .
第四章 向量空间 §2 Rn 中的内积 标准正交基 ( 续 11)
22 T T TE k k
( ) ( )T T TE k E k
0
例 2 . 设 α 为 n 维列向量,且 αT α=1, 求实数 k, 使 H=E- kα αT 为正交矩阵 .解 :E=HTH
( )( )T TE k E k
0T ∴-2k+k2=0,k=2 或 k=0.
2( 2 ) TE k k
第四章 向量空间 §3 Rn 上的线性变换
),()()(),( TTTT AAAAAA
则称 T 为 Rn 上的线性变换 . 称 Y 为 X 在 T 下的像 .
例 设 A=[aij]n×n, 对任意 X R∈ n,Y=T(X)=AX, 则 T 为 Rn
上的一个线性变换(从 X 到 Y 的线性变换) .
定义:若对 Rn 中的任意向量X,按照某一确定规则 T , Rn 中总有唯一确定的向量Y与之对应 . 记为 :Y=T(X).且满足:
A 为可逆矩阵时,称 Y=AX 为可逆线性变换;
1 ) T(X1+X2)=T(X1)+T(X2);
A 为正交矩阵 , 称 Y=AX 为正交变换 .设 Y=AX 为正交变换,则对任意 α, β R∈ n,
即正交变换保持内积不变,从而保持长度、夹角不变 .
2 ) T(kX)=kT(X). (k R;∈ X1,X2∈Rn)