第五章 机械能守恒定律第 1课时 功 功率

考点自清一、功1. 做功的两个不可缺少的因素 : 力和物体在 上发生的位移 .2. 功的公式 :W= , 其中 F 为恒力 ,α 为 F 的方 向与位移 l 的方向夹角 ; 功的单位 : (J); 功是 ( 矢、标 ) 量 .

力的方向

Flcos α焦耳 标

3. 正功和负功 : 根据 W=Flcos α 可知 :

0≤α<90°

α=90° 90°<α≤180°

功的正负 W>0 W=0 W<0

意义 力 F 对物体做正功

力 F 对物体不做功

力 F 对物体做负功力

F 是动力还是阻力

动力

阻力

名师点拨1. 功的公式可有两种理解 :一是力“ F”乘以物体在力的方向上发生的位移“ lcos α”;二是在位移 l方向上的力“ Fcos α”乘以位移 l.2. 功是标量 ,正功表示对物体做功的为动力 ,负功表示对物体做功的为阻力 ,功的正负不表示功的大小 .

二、功率1. 定义 : 功与完成功所用时间的 .2. 物理意义 : 描述力对物体 .3. 公式 (1) P 为时间 t 内的平均功率 . (2)P=Fvcos α(α 为 F 与 v 的夹角 ) ①v 为平均速度 , 则 P 为 ; ②v 为瞬时速度 , 则 P 为 .4. 额定功率 : 机械 时输出的 功率 .5. 实际功率 : 机械 时输出的功率 . 要求 额定功率 .

比值做功的快慢

,tW

p

平均功率瞬时功率

正常工作实际工作

小于或等于

最大

名师点拨

各类发动机铭牌上的额定功率指的是该发动机正

常工作时的最大输出功率 ,并不是任何时候发动机

的实际输出功率都等于额定功率 .实际输出功率可

在零和额定功率之间取值 ,发动机的功率即是牵引

力的功率 .在功率一定的条件下 ,牵引力跟车辆的

行驶速度成反比 .

热点聚焦热点一 功的理解1. 功的概念是要明确物体在哪个力的作用下发生 的位移 , 哪个力对物体做功 . 而位移可以是物体 在力的方向上对地的位移 , 也可以是力的作用点 对地的位移 .2. 从计算功的公式上看功的概念 W=Flcos α, 若 F 与 cos α 结合则是位移方向上 力乘以位移 ; 将 l 与 cos α 结合则是力乘以力的方 向的位移 . 两种理解均包含了合成与分解中的等 效观点 .

3. 把握各种力做功的特点 , 会使功的计算变得简单 , 在用能量的观点解决问题时列起方程来更加得心 应手 . (1) 重力做功的特点 : 只跟初末位置的高度差有关 , 而跟运动的路径无关 . (2) 弹力做功的特点 : 对接触面间的弹力 , 由于弹力 的方向与运动方向垂直 , 弹力对物体不做功 ; 对弹 簧的弹力做的功 , 高中阶段没有给出相关的公式 , 对它的求解要借助其他途径如动能定理、机械能 守恒、功能关系等 .

(3) 摩擦力做功的特点 : 摩擦力做功跟物体运动的路径有关 , 它可以做负功 , 也可以做正功 . 做正功时起动力作用 , 如用传送带把货物由低处运送到高处 ,摩擦力就充当动力 .摩擦力的大小不变、方向变化 ( 摩擦力的方向始终和速度方向相反 ) 时 , 摩擦力做功可以用摩擦力乘以路程来计算 , 即 W=Ffl.

4. 判断正负功的方法 (1) 根据力和位移的方向的夹角判断 , 此法常用 于恒力做功的判断 . (2) 根据力和瞬时速度方向的夹角判断 . 此法常 用于判断质点做曲线运动时变力的功 , 夹角为锐 角时做正功 , 夹角为钝角时做负功 , 夹角为直角 时不做功 . (3) 根据功能关系或能量转化与守恒定律进行判 断 . 若有能量转化 , 则应有力做功 . 此法常用于判 断两个相联系的物体内力做功的情况 .

作用力和反作用力虽然等大反向 ,但由于其作用在 两个物体上 ,产生的位移效果无必然联系 ,故作用 力和反作用力的功不一定一正一负 ,大小相等 .

特别提示

热点二 功的计算1. 恒力做功 对恒力作用下物体的运动 , 力对物体做的功用 W=Flcos α 求解 . 该公式可写成 W=F·(l·cos α) =(F·cos α)·l. 即功等于力与力方向上位 移的乘积或功等于位移与位移方向上力的乘积 .2. 变力做功 (1) 用动能定理 W=ΔEk 或功能关系 W=ΔE, 即用

能量的增量等效代换变力所做的功 .( 也可计算 恒力做功 ) (2) 当变力的功率 P 一定时 , 可用 W=Pt 求功 , 如机 车恒功率启动时 .

(3) 将变力做功转化为恒力做功 当力的大小不变 , 而方向始终与运动方向相同或 相反时 ,这类力的功等于力和路程 ( 不是位移 ) 的 乘积 . 如滑动摩擦力做功、空气阻力做功等 .3.总功的求法 (1)总功等于合外力的功 先求出物体所受各力的合力 F 合 ,再根据 W 总 =F 合 lcos α 计算总功 ,但应注意 α 应是合力与位移 l 的夹角 . (2)总功等于各力做功的代数和分别求出每一个 力做的功 :W1=F1l1cos α1,W2=F2l2cos α2, W3=F3l3cos α3,……再对各个外力的功求代数 和即 :W 总 =W1+W2+W3+…

热点三 机动车辆启动的两种方式的比较

恒定功率启动 恒定加速度启动

过程分析 阶段一 :v↑F=

阶段二 :F=F 阻 a=0P=F 阻 ·vm

阶段一 :

变 F 不变 v↑P=F·v↑, 直到 P=P 额

=F·vm′阶段二 :vm′↑F=

阶段三 :F=F 阻时 a=0v达最大值 vm=

方式过程

m

FFa

vp 阻

不阻

m

FFa

m

FFa

v

P 阻额

阻

额

F

P

运动规律

加速度逐渐减小的变加速直线运动 ( 对应下图中的OA 段 ) 以 vm匀速直线运动 ( 对应下图中的 AB 段 )

以加速度 a 做匀加速直线运动 ( 对应下图中的OA 段 )匀加速运动能

维持的时间

以 vm匀速直线运动 , 对应下图中的 BC 段

v—t 图象

av

t m0

交流与思考 汽车以恒定的加速度启动时 ,匀加速运动结束时 ,汽车的速度是否达到汽车运动的最大速度 ? 汽车的功率达到额定功率后 ,匀加速运动结束 .由于汽车的牵引力逐渐变小 ,汽车做加速度逐渐减小的变加速运动 ,直到汽车达到匀速为止 ,所以匀加速运动结束时 ,机车的速度并未达到整个过程的最大速度 .

1. 解决机车启动问题 ,首先要弄清是哪种启动方式 ,然后采用分段处理法 .在匀加速阶段 ,常用牛顿第二定律和运动学公式结合分析 ,在非匀加速阶段 ,一般用动能定理求解 .2. 在机车的功率 P=Fv 中 ,F 是指机车的牵引力 ,而不是车所受的合力 .

提示

特别提示

题型探究题型 1 功的判断和计算 质量为 m 的物体静止在倾角为 θ 的斜面上 , 用水平推力 F 使斜面体向左水平匀速移动距离 l, 物体与斜面始终保持相对静止 , 如图 1 所示 . 求 :

(1)m 所受各力对它做的功各是多少 ? (2)斜面对物体做的功又是多少 ?

【例1】

图 1

解析 (1)m 受力方向及位移方向如下图所示 .因物

体匀速移动 ,则支持力 FN=mgcos θ, 静摩擦力 Ff=

mgsin θ, 因 mg 、 FN 、 Ff 均为恒力 ,由 W=Flcos α

可得

重力做的功 WG=0

支持力做的功 WN=mgcos θ ·l·sin θ =mgl·sin θ cos θ静摩擦力做的功 Wf=mgsin θ ·l·cos(180°-θ)=-mgl·sin θ cos θ

(2) 斜面对物体的作用力有两个 ,即支持力 FN 和静

摩擦力 Ff. 斜面对物体做的功应是这两个力的合力

做的功 ,也就等于这两个力做功的代数和 ,故斜面对

物体做的功为 W=WN+Wf=0.

答案 (1)WG=0 WN=mgl·sin θ cos θ

Wf=-mgl·sin θ cos θ (2)0

本题中的物体受的三个力均为恒力 ,故可直接利用 W=Flcos α 求解 ,其中恒力做功只与位移有关 ,与具体的路径无关 .本题中的第 (2) 问也可先

求出 FN 和 Ff 的合力 ,再利用 W=Flcos α 求解 .

方法提炼

变式练习 1 如图 2 所示 , 物体沿弧形轨道滑下后进入足够长的水平传送带 , 传送带以图示方向匀速运转 , 则传送带对物体做功情况可能是 ( )A. 始终不做功B.先做负功后做正功C.先做正功后不做功D.先做负功后不做功

图 2

解析 设传送带速度大小为 v1, 物体刚滑上传送带

时的速度大小为 v2.①当 v1=v2 时 ,物体随传送带一起

匀速运动 ,故传送带与物体之间不存在摩擦力 ,即传送带对物体始终不做功 ,A正确 .②当 v1<v2 时 ,物体相

对传送带向右运动 ,物体受到的滑动摩擦力方向向左 ,则物体先做匀减速运动直到速度减为 v1, 再做匀速运动 ,

故传送带对物体先做负功后不做功 ,D正确 .③当 v1>v2 时 ,

物体相对传送带向左运动 ,物体受到的滑动摩擦力方向向右 , 则物体先做匀加速运动直到速度达到 v1, 再做匀速

运动 ,故传送带对物体先做正功后不做功 ,B错误 ,C 正确 .答案 ACD

拓展探究 若传送带以与图示方向相反的方向匀速转动 , 则传送带对物体做功的情况又如何 ?答案 因传送带足够长 , 物体在传送带上减速至零后 ,又反向运动 , 在这个过程中 , 传送带对物体先做负功 ,再做正功 .

题型 2 功率的计算 某货场两站台 A 、 B之间通过 水平传送装置传送物体 , 两站台与传 送带处于同一水平面上 ,A 、 B之间的 水平距离 x0=4 m( 等于传送带的长度 ), 传送带的运

行速度 v0=5 m/s, 方向如图 3 所示 .现将一质量 m =

10 kg的货物自 A端由静止开始运送到 B端 , 求摩擦 力对货物做功的平均功率 .(已知货物与传送带之间 的动摩擦因数 μ=0.2,取 g=10 m/s2)

【例2】

图 3

思维导图

解析 设运行过程中货物的加速度为 a,根据牛顿第二定律得 μmg=ma设到达 B端时速度为 v,所用时间为 t,则v2=2ax0

解得 v=4 m/s<v0

由 x0= 得 t=2 s

根据功能关系得 :解得 P=40 W答案 40 W

,2tv

tv 2

21mvPt

功率的计算方法 :1. 首先要明确所求功率是平均功率还是瞬时功率 , 对应于某一过程的功率为平均功率 ,对应于某一 时刻的功率为瞬时功率 .2.(1)瞬时功率的计算方法 . P=Fvcos θ,v 是 t时刻的瞬时速度 ,θ为 F与 v的夹角 (2)平均功率的计算方法 . ①利用 ②利用 为平均速度 ,

θ 为 F与 之间的夹角 . 利用②式时 ,F为恒力 .

方法提炼

.tW

P vvFP .cos

v

变式练习 2 一质量为 m 的物体 ,同时受几个力的作用而处于静止状态 .某时刻其中一个力 F突然变为 则经过 t 时刻 , 合力的功率的大小是 ( )

A. B.

C. D.

,3F

mtF

92 2

mtF

94 2

mtF

32 2

mtF

34 2

解析 由于物体 m受几个力的作用而处于静止状态 , 合力为零 ,当某时刻其中一个力 F突然变为

时 ,物体所受合力变为 F 合 = . 物体在这个恒力

作用下做匀变速直线运动 , ,经过时间 t,速

度 合力的功率 P=F 合 v=

B 正确 .答案 B

3F

32F

32F

a

,32mFt

atv ,94

32

32 2

mtF

mFtF

题型 3 关于机车启动问题 汽车发动机的额定功率为 60 kW,汽车的质 量为 5 t,汽车在水平面上行驶时 , 阻力是车重的 0.1倍 ,试求 : (1)汽车保持以额定功率从静止启动后达到的最 大速度是多少 ? (2) 若汽车从静止开始 ,保持以加速度 a=0.5 m/s2

做匀加速直线运动 ,这一过程能持续多长时间 ?

【例3】

解析 (1) 汽车受力如下图所示 .

汽车达到最大速度时 ,a=0,此时 ,

(2) 汽车速度在达到最大值之前已经历了两个过程 :

匀加速→变加速 .匀加速运动的加速度所以 F=m(a+μg)

m

m

f vvFP

mgFF

sm/12sm/101051.0

100.63

4

mgP

mmgF

a

=5×103×(0.5+0.1×10) N=7.5×103 N设汽车匀加速的时间为 t,匀加速能达到的最大速度为 v1,v1=at

汽车速度达到 v1 时 P=Fv1

答案 (1)12 m/s (2)16 s

s16s5.0105.7

100.63

4

FaP

t

变式练习 3 一辆汽车质量为 1×103 kg, 最大功率为 2×104 W, 在水平路面上由静止开始做直线运动 , 最大速度为 v2, 运动中汽车所受阻力恒定 . 发动机的最大牵引力为 3×103 N, 其行驶过程中牵引力 F 与车速的倒数 的关系如图 4 所示 .试求 :

v1

图 4

(1) 根据图线 ABC 判断汽车做什么运动？(2)v2 的大小 .

(3)整个运动中的最大加速度 .(4) 当汽车的速度为 10 m/s 时发动机的功率为多大？解析 (1) 图线 AB 表示牵引力 F不变 ,阻力 Ff 不变 ,

汽车做匀加速直线运动 ,图线 BC 的斜率表示汽车的功率P不变 ,汽车做加速度减小的加速运动 ,直至达到最大速度 v2,此后汽车做匀速直线运动 .

(2) 汽车速度为 v2 时 ,牵引力为 F=1×103 Nsm/20sm/101102

3

4

m2

FP

v

(3) 汽车做匀加速直线运动时的加速度最大

(4) 与 B点对应的速度为当汽车的速度为 10 m/s 时处于图线 BC 段 ,故此时的功率为最大功率 Pm=2×104 W

答案 (1)见解析 (2)20 m/s (3)2 m/s2

(4)2×104 W

22

3

3

fm

4

2

mf

m/s2m/s1010)13(

N0001N20102

mFF

a

vP

F阻力

sm/67.6sm/103102

3

4

m

m1

FP

v

题型 4 机车启动模型问题 在 2008年“ 5·12”四川汶川大地震抢险中 , 解放 军某部队用直升飞机抢救一个峡谷中的伤员 . 直升飞机 在空中悬停 , 其上有一起重机通过悬绳将伤员从距飞机 102 m的谷底由静止开始起吊到机舱里 .已知伤员的质 量为 80 kg, 其伤情允许向上的最大加速度为 2 m/s2,起 重机的最大输出功率为 9.6 kW, 为安全地把伤员尽快吊 起 ,操作人员采取的办法是 :先让起重机以伤员允许向 上的最大加速度工作一段时间 , 接着让起重机以最大功 率工作 ,再在适当高度让起重机对伤员不做功 , 使伤员 到达机舱时速度恰好为零 ,g取 10 m/s2.试求 :

【例4】

(1)吊起过程中伤员的最大速度 .(2)伤员向上做匀加速运动的时间 .(3) 把伤员从谷底吊到机舱所用的时间 .解析 (1)吊起过程中当伤员做匀速运动时速度最大 ,此时悬绳中的拉力 F=mg ①根据 Pm=F·vm ②

解得吊起过程中的最大速度 vm=12 m/s ③

(2) 设伤员向上做匀加速运动时受到的悬绳的拉力为 Fx, 做匀加速运动的最大速度为 vx,根据牛顿第二

定律得 Fx-mg=mam ④

再根据 Pm=Fx·vx

⑤

联立解得 vx=10 m/s ⑥

所以伤员向上做匀加速运动的时间

(3) 减速上升的时间 ⑧

减速阶段上升的距离为 ⑨

设伤员从匀加速运动结束到开始做减速为运动的

时间为 t2, 对起重机以最大功率工作的过程应用动能

定理得 ⑩

解得 t2=6 s

s5m

1 av

t x

s2.1m3

gv

t

m2.721

3m3 tvh

)(21

)( 22

m312m xvvmhhhmgtP

所以把伤员从谷底吊到机舱所用的时间t=t1+t2+t3=12.2 s答案 (1)12 m/s (2)5 s (3)12.2 s 本题共 17分 .其中①②③⑤⑥⑦⑧⑨式各 1分 ,④ 式各 2分 ,⑩式 4分 .

1. 在机车类问题中 ,匀加速启动时 ,匀加速运动刚 结束时有两大特点 : (1) 牵引力仍是匀加速运动时的牵引力 ,即 F-Ff= ma仍满足 . (2)P=P 额 =Fv.2.注意匀加速运动的末速度并不是整个运动过程 的最大速度 .

【评价标准】

【名师导析】

自我批阅

(16分 )某兴趣小组对一辆自制遥控小车的性能进行

研究 , 他们让这辆小车在水平的直轨道上由静止开始

运动 ,并将小车运动的全过程记录下来 ,通过处理转

化为 v—t图象 , 如图 5 所示 (除 2～ 10 s 时间段内的图象

为曲线外 , 其余时间段图象均为直线 ).已知小车运动

的过程中 ,2～ 14 s 时间段内小车的功率保持不变 , 在

14 s 末停止遥控而让小车自由滑行 . 小车的质量为 1 kg,

可认为在整个过程中小车所受到的阻力大小不变 .

求 :

(1) 小车所受到的阻力大小及 0～ 2 s 时间内电动机提供的牵引力大小 .(2) 小车匀速行驶阶段的功率 .(3) 小车在 0～ 10 s 运动过程中位移的大小 .

图 5

解析 (1) 由图象可得 ,在 14 ～ 18 s内

(2 分 )

小车受到阻力大小 :Ff=-ma3=0.75 N (2 分 )

在 0～ 2 s内 : (2 分 )

由 F-Ff=ma1 得 ,电动机提供的牵引力大小

F=ma1+Ff=1.25 N (2 分 )

(2) 在 10～ 14 s内小车做匀速运动 :F=Ff (1 分 )

故小车功率 :P=Fv=0.75×3 W=2.25 W (2 分 )

22

3 m/75.0m/s141830

stv

a

22

1 sm/5.0sm/21

tv

a

(3) 速度图象与时间轴的“面积”的数值等于物体位移的大小 .0～ 2 s内 , (1 分 )

2～ 10 s内 ,根据动能定理有 : (2 分 )

解得 x2=18.7 m (1 分 )

故小车在加速过程中的位移为 :x=x1+x2=19.7 m (1 分 )

答案 (1)1.25 N (2)2.25 W (3)19.7 m

m1m1221

1 x

2

1

2

22f 21

21

mvmvxFPt

素能提升1. 如图 6所示 ,木板可绕固定的水平 轴 O 转动 , 在木板从水平位置 OA 缓慢转到 OB 位置的过程中 ,木板上重为 5 N的物 块始终相对于木板静止 , 物块的重力势能增加了 4 J. 用 FN表示木板对物块的支持力 ,Ff表示木板

对物块的摩擦力 , 则 ( ) A. 物块被抬高了 0.8 m B.FN 对物块做功 4 J,Ff 对物块不做功

C.FN 对物块不做功 ,Ff 对物块做功 4 J

D.FN 和 Ff 对物块所做功的代数和为 0

图 6

解析 物块重力势能的增加量 ΔEp=mgΔh, 所以

Δh=0.8 m,A 正确 ; 因为物块的运动方向始终与 Ff

方向垂直 ,所以 Ff 不做功 ;由功能关系得 FN 对物块

做功为 4 J,B 正确 .答案 AB

2. 解放前后 , 机械化生产水平较低 ,人们经常通过

“驴拉磨”的方式把粮食颗粒加工成粗面来食用 ,

如图 7所示 ,假设驴拉磨的平均用力大小为 500 N,

运动的半径为 1 m, 则驴拉磨转动一周所做的功

为 ( )

A.0 B.500 J C.500π J D.1 000π J

图 7

解析 由于 F的方向保持与作用点的速度方向一致 , 因此 F 做功不为零 ,可否定 A答案 . 由于 F的方向保持与作用点的速度方向一致 , 因此可把圆周划分成很多小段研究 ,如右图所示 ,当各小段的弧长Δli足够小 (Δli→0) 时 ,在这 Δli内 F 的方向几乎与

该小段的位移方向重合 .故 WF=F·Δl1+F·Δl2+F·Δl3+…=F·2πR=1 000π J.( 这等效于把曲线拉直 ) 答案 D

3.竖直上抛一个小球 , 小球又落回原处 ,已知空气 阻力的大小正比于小球的速度 , 则下列说法正确 的是 ( ) A. 上升过程中克服重力做的功大于下降过程中 重力做的功 B. 上升过程中克服重力做的功小于下降过程中 重力做的功 C. 上升过程中克服重力做功的平均功率大于下 降过程中重力做功的平均功率 D. 上升过程中克服重力做功的平均功率小于下 降过程中重力做功的平均功率

解析 小球在上升过程中克服重力做的功和下降过程中重力做的功均为 W=mgh, 而小球克服重力做

功的平均功率或重力做功的平均功率又

由于空气阻力做负功 ,小球落地时的速度小于抛出时的速度 ,即 v 下 <v 上 , 故 P 上 >P 下 .

答案 C

tmgh

tW

P

2vh

t

4. 一列火车在额定功率下由静止从车站出发 ,沿直 线轨道运动 , 行驶 5 min后速度达到最大 30 m/s, 设列车所受阻力恒定 , 则可以判断列车在这段时 间内行驶的距离 ( ) A. 一定大于 4.5 km B. 可能等于 4.5 km C. 一定小于 4.5 km D.条件不足 , 无法确定 解析 若火车在 5 min=300 s内 , 匀加速至 30 m/s, 则行驶的位移 而该题中火车是 以额定功率出发 ,由速度—时间图线得火车的行 驶距离一定大于 4.5 km, 如图中所示 ,阴影部分的 面积一定大于△ OAB 的面积 , 故选 A.

km,5.421 vtx

A

5. 一根质量为 M的直木棒 ,悬挂在 O 点 , 有

一只质量为 m 的猴子抓着木棒 , 如图 8 所

示 .剪断悬挂木棒的细绳 ,木棒开始下落 ,

同时猴子开始沿木棒向上爬 .设在一段时

间内木棒沿竖直方向下落 ,猴子对地的高度保持

不变 ,忽略空气阻力 , 则下列的四个图中能正确

反映在这段时间内猴子做功的功率随时间变化

的关系的是 ( )

图 8

解析 猴子对地的高度不变 ,所以猴子受力平衡 .设猴子的质量为 m,木棒对猴子的摩擦力为 F,则有F=mg. 设木棒重力为 Mg, 则木棒受合外力为 F+Mg=mg+Mg,根据牛顿第二定律 ,Mg+mg=Ma, 可见 a 是恒量 ,t时刻木棒速度 v=at.猴子做功的功率 P=mgv=mgat,P 与 t为正比例关系 ,故 B正确 .答案 B

6. 下表是一辆电动自行车的部分技术指标 , 其中额

定车速是指自行车满载的情况下在平直道路上

以额定功率匀速行驶的速度 ,假设行驶过程中电

能转化为机械能的效率为 100%,请参考表中数据 ,

完成下列问题 :(g取 10 m/s2,sin 5°=0.07)

额定车速 18 km/h 额定功率 P W 百公里耗电 1 度 (3.6×106 J) 整车质量 40 kg 载重 80 kg 爬坡能力 >5° 电池 36 V/12 Ah

(1) 将你计算的“额定功率”和“续行里程”填入上表中 ( 无须写出计算过程 ).(2) 在行驶过程中电动自行车受到的阻力是车重( 包括载重 ) 的 k倍 ,试推算 k的大小 .(3)电动自行车在坡度为 5° 的坡上匀速爬坡时 , 车速约为多少 ?

充电时间 6 ～ 8 h

续行里程 km

解析 (1)已知每行驶 100 km消耗电能 1度 ,即3.6×106 J的电能 ,车的行驶速度为 v=5 m/s,

所以行驶 100 km 所需时间

即电动机功率

电池储存的电能 E=UIt=36×12×3 600 J

所以续行里程

s102s510100 4

3

vx

t

W180W102106.34

6

tW

P

km100106.3 6

Ex

km2.43km100106.3600312366

(2) 由 P=Fv, 得

阻力

所以

(3) 在上坡时 ,车受到的阻力Ff′=k(m+M)g+(m+M)gsin 5°=0.1×1 200 N=

120 N所以

答案 (1)180 43.2 (2)0.03 (3)1.5 m/s

N36f vP

FF

03.0120036

)(f

gMmF

k

m/s5.1f

F

Pv

7. 如图 9 所示 , 质量为 M的汽车通过质量不计的绳索拖 着质量为 m 的车厢 ( 可视为质点 ) 在水平地面上由静 止开始做直线运动 .已知汽车和车厢与水平地面间 的动摩擦因数均为 μ,汽车和车厢之间的绳索与水 平地面间的夹角为 θ,汽车的额定功率为 P, 重力加速 度为 g, 不计空气阻力 . 为使汽车能尽快地加速到最 大速度又能使汽车和车厢始终保持相对静止 , 问 :

图 9

(1)汽车所能达到的最大速度为多少 ?(2)汽车能达到的最大加速度为多少 ?(3)汽车以最大加速度行驶的时间为多少 ?解析 (1) 当汽车达到最大速度时汽车的功率为 P,且牵引力与汽车和车厢所受摩擦力大小相等 ,即 F=Ff 由于在整个运动过程中汽车和车厢保持相对静

止 ,所以汽车和车厢所受的摩擦力为 Ff=μ(m+M)g又 P=Fv由上述三式可知汽车的最大速度为 : gMm

Pv

)(

(2) 要保持汽车和车厢相对静止 ,就应使车厢在整个运动过程中不脱离地面 .考虑临界情况为车厢刚好未脱离地面 ,此时车厢受到的力为车厢重力和绳索对车厢的拉力 FT, 设此时车厢的最大加速度为 a,

则有 :水平方向 FTcos θ=ma竖直方向 FTsin θ=mg由上两式得 :a=gcot θ(3) 因为汽车作匀加速运动 ,所以F-Ff=(M+m)a

Ff=μ(m+M)g( 用隔离法同样可得 )

即 F=(μ+cot θ)(M+m)g

因为汽车达到匀加速最大速度时汽车的功率恰好达到额定功率 ,根据 P=Fva

由题意知 , 汽车一开始就做加速度最大的匀加速运动 ,匀加速的最大速度为 va=at

所以最大加速度匀加速的时间为 :

答案

cot))(cot( 2gMmP

t

cot)2()(

)1(2

gGMm

P

cot))(cot()3(

2gMmP

反思总结】

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