هندسة 1ث ع ف 1
description
Transcript of هندسة 1ث ع ف 1
2 ×-1 +1×3
2 +1
2 ×5 +1×-2
2 +1
4 ×-1 - 3×3
4- 3
4 ×5 - 3×-2
4- 3
أ جـ
جـ ب
5
3
5×-3 +3 ×4
5 +3
5×5 +3 ×3
5 +3
أ جـ
جـ ب
5
3 5×-5 - 3 ×3
5- 3
5×2 - 3 ×4
5- 3
3+ س 2+ س 1س
3
3+ ص 2+ ص 1ص
3
-1 -2 +2
3
2-1+3
3
1ص 2+ م 2ص 1م
2+ م 1م
1س 2+ م 2س 1م
2+ م 1م
2+ س 1س
2
2ص+ 1ص
2
1
( 2، ص 2( ، ب = ) س 1، ص 1:ـ إذا كانت أ = ) س تقسيم قطعة مستقيمة
، جـ = ) س ، ص ( فإن 2: م 1، جـ تقسم أ ب بنسبة م
، ص = و هذا إذا كان التقسيم من الداخل س =
( -من الخارج بدل ) + ( في القانون نضع ) أما إذا كان التقسيم
: إذا كانت جـ منتصف أ ب فإن س = ،، ص = مالحظة مهمة جدا
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ( فأوجد إحداثي نقطة جـ التي تقسم أ ب 5، 1-( ، ب = ) 2-، 3: إذا كانت أ = ) 1مثال
(I من الداخل بنسبة )1: 2 (II من الخارج بنسبة )3: 4
1= 2، م 2= 1، م 5= 2، ص 2-= 1، ص 1-= 2، س 3= 1( سI) :ـالحل
نفرض إحداثي جـ ) س ، ص (
= 8/3= ،، ص = 1/3= س (= 8/3، 1/3جـ )
(IIم )3= 2، م 4= 1
= 22= ، ص = 13= س ( = 22، 13جـ ) ــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
؟ أوجد جـ جـ ب 5أ جـ = 3أ ب بحيث ( و كانت جـ 5، 3-( ، ب= ) 3، 4ذا كانت أ = ) إ( 2)
= جـ ب 5أ جـ = ჻ 3،، 5= 2، ص 3= 1، ص 3-= 2، س 4= 1س ჻ :ـالحل
نفرض جـ = ) س ، ص ( 3= 2،، م 5= 1م
= = 11/4= 34/8= ، ص = 3/8-س
( = 11/4، 3/8-جـ ) ــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
أ ب ، جـ أ ب ( فأوجد إحداثيات نقطة جـ إذا كانت جـ 2، 5-( ، ب = ) 4، 3إذا كانت أ = ) ( 3)
ب جـ 5أ جـ = 3،
التقسيم من الخارج أ ب جـ ჻ 2= 2ص ، 4= 1، ص 5-= 2س ، 3= 1:ـ سالحل
= 3= 2، م 5= 1م
= = 1-، ص = = 11-س ( = 1-، 11-جـ ) ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
(4 ) ( = أوجد نقطة تقاطع متوسطاته ؟ 3، 2( ، جـ = ) 1-، 2-( ، ب= ) 2، 1-أ ب جـ فيه أ )
: الحل
أ ب جـ ، مـ = ) س ، ص ( نفرض أن مـ هي نقطة تقاطع متوسطات
) س ، ص (= ، ( ) ، ( =
( = 3/ 4، 3/ 1-مـ )
، ك( ـ أوجد النسبة التي تنقسم بها أ ب 3( ، جـ = )3-، 5( ، ب = ) 3، 1-إذا كانت أ = ) ( 5)
ك ؟ التقسيم ــ ثم أوجد قيمة مبينا نوع بنقطة جـ
عطية ممدوح الصعيدي 0أ
1م
2م
4
2
2×-3 +1×3
2+1
3× 2+ م 1× 1م
2+ م 1م
1م
2م
-3
1
3×-3 - 1 ×2
3- 1
1+9
2
-2 +2
2
+ س15
2
+ ص4
2 + س15
2
+ ص4
2
1س 2+ م 2س 1م
2+ م 1م
1-× 2+ م 5× 1م
2+م 1م
1ص 2+ م 2ص 1م
2+م 1م
1ص 2+ م 2ص 1م
2+ م 1م
1س 2م - 2س 1م
2م - 1م
2+س 1س
2
2+ص 1ص
2
2
2: م 1نفرض أن جـ تقسم أ ب بنسبة م 3-= 2، ص 3= 1، ص 5= 2، س 1-= 1:ـ سالحل
჻ =س 3 = 3 2م - 1م5= 2م3+ 1م
2 2م 4= 1م = =2 /1 ، التقسيم من الداخل჻ 1= 2، م 2= 1م
= = = 1 -ك #
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
( 3، 2( أوجد النسبة التي يقسم بها محور السينات القطعة المستقيمة أ ب حيث أ = ) 2)
( مبينا نوع التقسيم ـ ثم أوجد إحداثي نقطة التقسيم ؟ 1، 3-، ب= )
ص معلومة = صفر ( 0:ـ أي نقطة علي محور السينات تكون ) س ، الحل
،჻ = ص = صفر 1 صفر 2م3+ 1م =
12م 3 -= 1م = 1= 2، م 3= 1التقسيم من الخارج ، م
= 21/4= = س #
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
( ـ 2، 9، جـ = ) ( 4، 15( ، ب = ) 2-، 1أ ب جـ د متوازي أضالع فيه أ = ) ( 1)
00 وجد إحداثي نقطة تقاطع القطرين ثم أوجد نقطة د أـ
:ـ في متوازي األضالع القطران ينصف كال منهما األخر نفرض أن م هي نقطة تقاطع القطرين الحل
مـ منتصف أ جـ ( = ) ، ( = 8،2، ( = ) مـ )
مـ منتصف ب د أيضا ჻نفرض د = ) س ، ص ( ،
(8 ،2 ) ، ( = )
8 = 15 = 12+ س = 1س
،2 = 4 = 4+ ص = 0ص
( = 0، 1إحداثيات نقطة د # )
ـــــــــــــ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
معادلة اخلط املستقيم :ـ
عطية ممدوح الصعيدي 0أ
1ص -ص
1س -س
2 -ص
3 -س
1- 2
-1-3
1
4
5 -ص
0 -س
س
3
ص
4 0 -ص
4 -س
0- 4
3- 0
أ -
ب
1ص -2ص
1س -2س
3
1ص -ص
1س -س
3
1ص -ص 2
1س -س
1ص+
3 -س3
2
الشرط األساسي لمعرفة معادلة الخط المستقيم هو معرفة نقطة عليه . ثم أي شرط أخر معها
= الشرط المعطي . تكون المعادلة علي الصورة ( 1، ص 1ـ بفرض النقطة ) س
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
= وميله ( 1-، 3أوجد معادلة الخط المستقيم المار بالنقطة ) : 1مثال
= = مـ ] الميل[ :ـالحل
2+9-س3= 2ص 2و هي المعادلة المطلوبة ( = صفر 11س+ 3-ص (
ــــــــ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
( 1، 1-( ، ) 2، 3( أوجد معادلة الخط المستقيم المار بالنقطتين ) 2)
:ـالحل
= = =
43 -= س 8 -ص 4 ر ـــــــــ= صف 5 -س -ص
ـــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
وحدات 5و يقطع من محور الصادات جزء طوله 3( أوجد معادلة الخط المستقيم الذي ميله 3)
س + ب حيث مـ الميل ، ب الجزء المقطوع من محور الصادات :ـ المعادلة : ص = مـ الحل
= 00المعادلة المطلوبة 5س + 3ص
أكمل =3 3( ، الميل = 5، 0: نقطة التقاطع مع محور الصادات هي ) حل أخر
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
( و محور الصادات في 0، 3( أوجد معادلة الخط المستقيم الذي يقطع محور السينات في النقطة ) 4)
( 4، 0النقطة )
1= + :ـ المعادلة هي الحل
أكمل المعادلة هي = ( 4، 0( ،، ) 0، 3النقطتين هما ) ჻ حل أخر
ـــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
مهمة جدا مالحظات :
معامل ص[ ÷ معامل س -( الخط المستقيم الذي علي الصورة أ س + ب ص = جـ يكون ميله= ]1)
0، لمعرفة نقطة التقاطع مع ص نضع س= 0و لمعرفة نقطة التقاطع مع محور س نضع ص =
، أ ( 0السينات و ميله = صفر و يمر بالنقطة ) المستقيم الذي معادلته ص = أ يوازي محور( 2)
( 0، ( المستقيم الذي معادلته س= ب يوازي محور الصادات و ميله غير معرف و يمر بالنقطة ) ب3)
2= مـ 1أن يكون مـ 2،، ل 1شرط توازي المستقيمين ل( 4)
1-= 2مـ× 1أن يكون مـ 2، ل 1( شرط تعامد المستقيمين ل5)
ب / جـ -و ميل العمودي عليه = جـ/ ب( إذا كان ميل مستقيم هو ب/ جـ فيكون ميل الموازي له = 2)
00أكمل ما يأتي: 5مثال
000000يكون ميله = 3ص = 2س + 2الخط المستقيم الذي معادلته ( 1)
0000000و ميله = 000000يوازي 3( الخط المستقيم الذي معادلته ص = 2)
عطية ممدوح الصعيدي 0أ
-2
4
-3
2- ك
4
-3
ك
-3
ك
-2
4
2
ك4
5
1
5
1
3
2
3
2
2ص+
1س+
3
2
-2
1
1
2
3-ص
2-س
1
2
2
2 -هـ
2
2 -هـ
4
000000يقطع محور السينات في النقطة 12ص = 3 -س 2( الخط المستقيم الذي معادلته 3)
00000000000 2، ص = 0= 2( المستقيمان س+ 4)
و ميله = صفر ( يوازي محور س 2) 3-= 2/ 2-( 1) :ـ الحل
# 00 ( متعامدان 4( ) 0، 2( ) 3)
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
0س+ ك = 3: 2،، ل 5ص = 4س+ 2: 1( أوجد قيمة ك التي تجعل المستقيمين ل2)
I متوازيان )II متعامدان )
= 2= ،، مـ 1:ـ مـ الحل
(I شرط التوازي الميل = الميل ) = -2= 12 -ك = 2ك
(IIشرط التعامد مـ )1-= 2مـ× 1 = ×-1 =-1 4 =2-ك =2/4-ك
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
هـ ص = صفر متوازيان فأوجد قيمة -س5،، 1( ص = 2 -) هـ -س 2إذا كان المستقيمان (1)
2= مـ 1مـ 2// ل 1ل ჻= ، 2،، مـ = 1:ـ مـالحل
= 5 2= 10 -هـ 5 = 12هـ = 5/ 12هـ #
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
2ص= 2-س3لخط المستقيم ا( و موازيا 2 -، 1 -( أوجد معادلة الخط المستقيم المار بالنقطة ) 8)
زيان ميل المستقيم المطلوب = ألنهما متوا ميل المستقيم المعطي = ჻:ـ الحل
= المعادلة 3 +4ص+ 2= 3س 31ص = 2 -س
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
0س+ ص = 2( و عمودي علي المستقيم 3، 2معادلة الخط المستقيم المار بالنقطة ) ( أوجد 9)
ميل العمودي عليه ) المطلوب ( = ميل المعطي = ჻:ـ الحل
= : المعادلة هي 2 -ص2= 2 -س صفر # 4ص + 2 -س =
ــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
( و يوازيان المحورين 4-، 3( أوجد معادلتي المستقيمين اللذين يمران بالنقطة ) 10)
:ـ الحل
مستقيم الموازي لمحور ص و يمر بالنقطة المعطاة هو ال 3س =
00هو المستقيم الموازي لمحور س و المار بالنقطة المعطاة 4-، ص =
000= صفـــــــــــــر لثاني ـ ميل األول = غير معرف ،، ميل ا
عطية ممدوح الصعيدي 0أ
3- 1
2- 1
3ص+
2 -س
1+2
2-0
3
2
-2
3
3 -ص
0 -س
-2
3
2+4+3
3
5+1+0
3
5 -ص
2 -س
5- 2
2- 3
3
-1
0 +2
2
-2 +4
2
2 -ص
4 -س
2- 1
4- 3
3+س 2+س 1س
3
3+ص 2+ص 1ص
3
5
( و يوازي الخط المستقيم المار بالنقطتين 3-، 2( أوجد معادلة الخط المستقيم المار بالنقطة ) 11)
( فأوجد ك ؟ 3( و إذا مر هذا المستقيم بالنقطة ) ك ، 1، 1( ، ) 3، 2)
2= ( ميله = 1،1( ، ) 3، 2:ـ المستقيم المار بالنقطتين ) الحل
2= ميل المستقيم المطلوب
= : 2معادلته هي 23= ص+ 4 -س [20= 1 -ص -س ]
،჻ ، ( تقع عليه 3النقطة ) ك تحقق معادلته 20= 1 -3 -ك 2=10ك = 5كـ #
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
( و عموديا علي الخط المستقيم المار بالنقطتين 3، 0أوجد معادلة الخط المستقيم المار بالنقطة ) ( 12)
( 2-، 0) ( ، ب1، 2أ )
] ميل المستقيم المطلوب [ ميل العمودي عليه = :ـ ميل أ ب = = الحل
: المعادلة المطلوبة = 3س 2-= 2 -ص 2 +2ص = 3س #
ـــــــــــــــــــ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
(13 ) ( 0، 3( ، جـ ) 1، 4( ، ب ) 5، 2أ ب جـ فيه أ ) مـ هي نقطة تقاطع متوسطاته فأوجد ،
00معادلة الخط المستقيم أ مـ
:ـالحل
჻ ( = 2، 3، ( = ) ، ( = ) مـ )
= = : معادلة المستقيم أ مـ 32ص + -= 2 -س 3+12ص= س
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
(14 ) ( = 4، 2( ، جـ = ) 2-، 0( ، ب = ) 2، 4أ ب جـ فيه أ )
( 3، 5ثم إثبت أنه يمر بالنقطة ) ، د منتصف ب جـ ــ أوجد : إحداثي نقطة د ،، معادلة أ د
:ـ الحل
჻ د منتصف ب جـ = ( 1، 3) ، ( = ) د
( 1، 3( ، د ) 2، 4المستقيم المطلوب يمر بالنقطتين أ )
= = : 1معادلته 4 -= س 2 -ص
صفر 2 -ص -المعادلة هي : س =
( نعوض بها في معادلته 3، 5ة ) ـ إلثبات أن هذا المستقيم يمر النقط
5- 3 - 2 =5 - 5 صفر =჻ النقطة تحقق المعادلة المستقيم يمر بها #
ــــــــــــــــــــــــــ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
عيديعطية ممدوح الص 0أ
3ص+
3-س
2م - 1م
2م 1+ م1
2 +3
1 +2×-3
5
- 5
4 -ص
5س+
2
3 2
3
3
2
2
3 2
3
2مـ -1مـ
2مـ× 1+ مـ1
2 -أ
أ 2+ 1
2
3
2
ـ الزاوية بين مستقيمين:
: مـ = ظا هـ حيث هـ هي الزاوية التي يصنعها المستقيم مع اإلتجاه الموجب لمحور ميل المستقيم
00السينات
ت ( و يصنع مع اإلتجاه الموجب لمحور السينا 3-، 3: أوجد معادلة الخط المستقيم المار بالنقطة ) مثال
45زاوية قياسها
# 0= 2-ص -س 3= ص+ 3 -س 1= 45= ظا هـ = ظا المعادلة هي : :ـ الحل
ـــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
فإن 2ـ، م 1ـمستقيمين ميالهما م 2، ل 1: إذا كان ل تعريف
00ظا هـ = | | حيث هـ هي قياس الزاوية الحادة بينهما
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
0س + ص = 3،، 5ص = -س2قياس الزاوية بين المستقيمين أوجد : 1مثال
3-= 2، مـ 2= 1مـ :ـالحل
45هـ = 1ظا هـ = ჻ 1، ظا هـ = | | = | | =
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
= ،، 3س+ ص = 2أوجد قياس الزاوية بين المستقيمين ( 2)
= 2،، مـ 2 -= 1مـ ჻:ـ الحل
= 8/1 | = | ظا هـ = هـsh tan ( 8/7) =848= 48و / 48
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
= صفر مع محور السينات 4ص + 2 -س3س الزاوية التي يصنعها المستقيم أوجد قيا (3)
= صفر 2، ميل محور السينات مـ = 1ميل المستقيم مـ:ـ الحل
| = 3/2| = ظا هـ = ) ق)> هـsh tan ( 3/2) =318 = 52و/ 52
ـــــــــــ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
فأوجد قيمة أ و ه 3ص = -س2، 5ص = -( إذا كان ظل الزاوية بين المستقيمين أ س 4)
،، ظا هـ = 2 = 2= أ ،، مـ 1مـ :ـ الحل
،჻ ظا هـ = = 3 أ 4+ 2= 2 -أ
4 2 - 2-أ = 3 -أ = 8 -أ #
عطية ممدوح الصعيدي 0أ
1
2
-1
ك 2مـ -1مـ
2مـ× 1+ مـ1
2ك+
1 -ك2
1- 4
5- 3
-3
2
4-2
3+1
1
2
-1
2
3مـ -1مـ
3مـ×1+ مـ1
-4
3
2مـ -1مـ
2مـ×1+ مـ1
4+ 1مـ3
1مـ4 -3
-1
2ص+ 1
2 -س
-1
1
4
5
ك
2
3
4
2مـ -1مـ
2مـ×1+ مـ1
3
4
3
4
2 -ك
+ ك 2
1
أوجد ك 45هي 2، س+ ك ص = 0= 1ص + 2 -تقيمين سس( إذا كانت قياس الزاوية بين الم5)
1= 45= ، ظا هـ = ظا 2= ،، مـ 1:ـ مـالحل
= ظا هـ 1 = 1 = ك 2× بالضرب
1 = 22= ك+ 1 -ك = 3ك #
ـــــــــــ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
( 2، 1-( ، جـ = ) 4، 3( ، ب = ) 1، 5أ ب جـ الذي فيه أ = ) ( أوجد قياسات زوايا 2)
:ـ الحل
[ 3[ ،، ميل أ جـ = ] مـ 2[ ،، ميل ب جـ = = ] مـ1= ]مـ ميل أب =
لحساب ق)> أ ( نحسب الزاوية بين أ ب ، أ جـ
= = = 12/15-|ظا أ | = ) 42و8ق)> أ
، بالمثل نحسب > ب ،، > جـ
ـــــــــــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
0س = 4ص+ 3( و يصنع مع الخط المستقيم 2 -، 2( أوجد معادلة الخط المستقيم المار بالنقطة ) 1)
45زاوية قياسها
1= 45، ظا هـ = ظا 2= مـ ، ميل المستقيم المعطي = 1ميل المستقيم المطلوب مـ :ـالحل
= ظا هـ 1 = 1 =
3 1مـ 4 -3= 4+ 1مـ 1 1-= 1مـ 1مـ =
: معادلة الخط المستقيم هي = + صفر 12ص + 1س =
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
2ص = -س ، 0= 4ص + 2 -ك س إذا كانت هـ هي قياس الزاوية بين المستقيمين (8)
بحيث جتا هـ = فأوجد قيمة كـ
:ـالحل
، ظا هـ = 1= 2= ،، مـ 1مـ
= ظا هـ = =
4 2ك + 3= 8 -ك = 14ك #
عطية ممدوح الصعيدي 0أ
3
4
0 -ص
2س+
3
4
0 -ص
2-س
0 +2
2- 1
2
1
س
2
ص
3
8
: طول العمود المرسوم من نقطة علي خط مستقيم
0( إلي الخط المستقيم أ س + ب ص + جـ = 1، ص 1طول العمود المرسوم من النقطة ) س
00في الصورة العامة البد و أن تكون معادلة الخط المستقيم = ل
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ 0=1-ص4س+3( إلي الخط المستقيم الذي معادلته 5،2طول العمود المرسوم من النقطة )أوجد 1مثال
:ـ الحل
وحدة طول 5و2= 5/ 22ل = =
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ( و ميله 0، 2-إلي المستقيم المار بالنقطة ) ( 1، 2( أوجد طول العمود المرسوم من النقطة ) 2)
:ـ معادلة الخط المستقيم الحل
= صفر 2ص + 4 -س 3ص 4= 2س+ 3= هي
= وحدة طول 5/ 8= طول العمود ل
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
( 2-، 1( ، ب)0، 2( إلي الخط المستقيم أ ب حيث أ)1، 5أوجد طول العمود المرسوم من النقطة )( 3)
:ـ الحل
= صفر 4 -ص -س 2= : = معادلة المستقيم أ ب
= وحدة طـــــــــــــــول # ل = =
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ 1+ = ( أوجد طول العمود المرسوم من نقطة األصل إلي الخط المستقيم الذي معادلته 4)
0= 2 -ص2س+ 3 2ص = 2س+ 3 2× بضرب معادلة الخط المستقيم :ـ الحل
# ( 0،0نقطة األصل): ل = = وحـــــــــــــدة طــــــــــــــــــــول
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
2يساوي 0ص =4( إلي الخط المستقيم ك س + 1، 2( إذا كان طول العمود المرسوم من النقطة ) 5)
فأوجد قيمة كـ ؟ وحدة طول ـ
و التربيع 2÷، بالقسمة 4ك + 2 = ) (2 2= :ـ ل = الحل
ك2(2= ) ك+ 12+
2 ك
2= ك 12+
2 # 3ك = 12ك = 4 4ك + 4+
متوازيان ثم أوجد البعد بينهما ؟ 1ص = 2 -س 4 ، 1ص = -س2 ( إثبت أن المستقيمين 2) عطية ممدوح الصعيدي 0أ
2 -ص
2 -س
2- 3
2- 1
-1
5
1
2
1
2
3ص+
2 -س
9
المستقيمان متوازيان 2= مـ 1مـ ჻ 2= 2/ 4= 2،، مـ 2= 1مـ :ـالحل
: نحسب نقطة علي أي مستقيم منهما ثم نحسب البعد بينها و بين المستقيم األخر إليجاد البعد بينهماـ
1ل ( 1،1النقطة ) 1ص = 1ص = - 2 1من المستقيم األول : نضع س =
0= 1 -ص2 -س4بعد بينها و بين المستقيم الثاني : نحسب ال
= وحدة طول # ل =
ــــــــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
(1 ) ( = أوجد 3، 1( ، جـ = ) 2، 2( ، ب = ) 2، 3أ ب جـ فيه أ )
( معادلة ب جـ 2( طول ب جـ )1)
أ ب جـ ( مـ 4( طول العمود النازل من أ إلي ب جـ )3)
(1 -2( طو ب جـ = ) 1:ـ )لحلا2 ( +2- 3)
2 ] القاعدة [ وحدة طول =
= صفر 12 -ص 5س + = = ( معادلة ب جـ : 2)
وحدة طول ] اإلرتفاع[ = ( طول العمود النازل من أ إلي ب جـ = 3)
وحدة مربعة 8و5× × = ع = ×أ ب جـ = طول القاعدة ( مـ 4)
ـــــــــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
( و الذي يصنع زوايا 3-، 2المار بالنقطة ) ( عن الخط المستقيم 2، 1-أوجد بعد النقطة ) ( 8)
متساوية مع محوري اإلحداثيات ؟
:ـ الحل
჻ = حيث هـ هي قياس 45المستقيم المطلوب يصنع زوايا متساوية مع محوري اإلحداثيات هـ
الزاوية بينه و بين محور السينات
1= 45ميله = ظا هـ = ظا
= : 1معادلته 3= ص + 2 -س صفر 5 -ص -س =
( عنه : ل = 2، 1-بعد النقطة ) =
= وحــــــــــــدة طــــــــــــــــــــــول # @ بعد النقطة
عطية ممدوح الصعيدي 0أ
1 -ص
2 -س
2 -ص
1س+
2-5
-1-3
3
4
3
2
- 2
3
2 -ص
3 -س
-2
3
1+ ص
2 -س
10
ـ المعادلة العامة للخط المستقيم المار بنقطة تقاطع مستقيمين:
نقطة التي يمر بها ة نقطة التقاطع و تكون هي الف* نحل معادلتي المستقيمين المعلومين حل جبري لمعر
المستقيم المطلوب ـ ثمـ نستخدمها مع الشرط األخر المعطي و نعرف معادلة المستقيم المطلوب
ــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
1ص = -، س 5س+ ص = 2: أوجد معادلة الخط المستقيم المار بنقطة تقاطع المستقيمين 1مثال
3و ميله =
[ 1]----- 5س+ ص = 2نحل المعادلتين جبريا :ـالحل
[ بالجمع 2]----- 1ص = -س
3 = 2س = 1، من 2س = 1ص ( 1، 2المستقيم يمر بالنقطة )
= : 3معادلته 31 -= ص 2 -س 3صفر 5 -ص -س =
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
1س+ ص = ، 3ص = 2أوجد معادلة الخط المستقيم المار بنقطة تقاطع المستقيمين س+ (2)
( 5، 3و يمر بالنقطة )
[ 1] ------- 3ص = 2:ـ نحل المعادلتين : س+ الحل
[ بالطرح 2] ------ 1س+ ص =
= 2،، من 2ص = 1-س ( 5، 3( و يمر بـ ) 2، 1-المستقيم يمر بالنقطة )
= = : معادلته 3 +8 -ص4= 3س 30= 11ص+ 4-س
ــــــ ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
3ص = 2-س3، 1ص = 2س+ ( أوجد معادلة الخط المستقيم المار بنقطة تقاطع المستقيمين 3)
و عموديا علي المستقيم الثاني
[ 1] ----- 1ص = 2ـ نحل المعادلتين : س+ :الحل
2، ص= 3س= 12س= 4[ بالجمع 2] ------ 5ص = 2 -س3
( 2، 3المستقيم المطلوب يمر بالنقطة )
،჻ ميل المستقيم الثاني = )ميل العمودي عليه ) ميل المطلوب
: معادلته = 32س + 2-= 2 -ص 2 + صفر 12 -ص 3س =
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
و يوازي 1، س + ص= 2تقاطع المستقيمين س = أوجد معادلة الخط المستقيم المار بنقطة (4)
11ص = -س3الخط المستقيم الذي معادلته
1-ص = بالتعويض عن س 1، س+ ص = 2نحل المعادلتين : س = :ـالحل
( 1-، 2المستقيم المطلوب يمر بالنقطة )
المطلوب [ المستقيم] ميل 3ميل الموازي له = 3هو 11ص = -س3قيم : ميل المست
: 3= معادلته 31= ص+ 2 -س 3صفر # 1 -ص -س =
ـ عامة تماريـــــــن:
عطية ممدوح الصعيدي 0أ
11
( البعد بين نقطتين)
( فأوجد طول أ ب ، ب جـ 2، 5= ) ( ، جـ 1، 1-( ، ب = ) 1، 3( إذا كان أ = ) 1)
( 2، 1-( ، جـ ) 0، 5( ، ب ) 5، 2أ ب جـ الذي فيه أ) أوجد أطوال أضالع ( 2)
( علي إستقامة واحدة 1 -، 8( ، و ) 3، 2-( ، هـ ) 2-، 3إثبت أن النقط د ) ( 3)
( متساوي الساقين 2، 1( ، جـ ) 2، 4-) ( ، ب 2-، 1( إثبت أن المثلث الذي رؤسه أ ) 4)
( 1-، 0( ، د ) 2، 3-( ، جـ ) 5، 0( ، ب ) 2، 3( إثبت أن الشكل الذي رؤسه أ ) 5)
مربع ثم أوجد مساحة سطحه ؟
فأوجد قيمة س ؟ ( يساوي 1، 2( عن النقطة ) 5إذا كان بعد النقطة )س ، ( 2)
( فأوجد ك 3، 3( ، ب ) 2، 4( علي بعديين متساويين من النقطتين أ ) 1( إذا كانت النقطة ) ك ، 1)
( 8، 0( ، د ) 1، 1( ، جـ ) 3-، 5( ، ب ) 4، 2-إثبت أن النقط أ ) ( 8)
هي رؤس متوازي أضالع ؟
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
:ـ التقسيمـ ( فأوجد إحداثي نقطة جـ إذا كانت 5، 2( ، ب = ) 1، 3( إذا كانت أ = ) 1)
(i جـ ) ، جـ ب 3أ جـ = 2أ ب
(ii جـ ) جـ ب 5أ جـ = 2أ ب بحيث
( 4، 2( ، ب = )1-، 1-أوجد إحداثي نقطة جـ التي تقع في ربع المسافة بين أ ، ب إذا كانت أ = )( 2)
( فأوجد إحداثي نقطة جـ التي تقسم أ ب 3، 2-( ، ب = ) 4، 3( إذا كانت أ = ) 3)
1: 3من الخارج بنسبة
( فأوجد النسبة التي تقسم بها نقطة 8، ك( ، جـ = ) 3، 2-( ، ب = ) 2-، 3= ) إذا كانت أ( 4)
جـ القطعة المستقيم أ ب مبينا نوع التقسيم ثم أوجد قيمة كـ
( 2، 5أ ب بحيث أ = ) أوجد النسبة التي يقسم بها محور الصادات القطعة المستقيمة( 5)
بينا نوع التقسيم و أوجد كذلك نقطة التقاطع ( م 2-، 2، ب = )
( أوجد د 4، 2-( ، جـ = ) 2، 5-( ، ب = ) 1-، 3أ ب جـ د متوازي أضالع فيه أ = ) (2)
( من الشكل المرسوم أوجد جـ ، د 1)
إذا كان أ جـ = جـ د = د ب
(8) ( = أوجد إحداثي نقطة 2، 1-( ، جـ = ) 2 -، 1( ، ب = ) 2، 3أ ب جـ فيه أ )
تقاطع متوسطاته ؟
:ـ الخط المستقيم
عطية ممدوح الصعيدي 0أ
1
2
2ص+
1-س
س
2
ص
5
1
3
2
3
12
3( و ميله 5، 2-( أوجد معادلة الخط المستقيم المار بالنقطة ) 1)
( و ميله 3، 0( اوجد معادلة الخط المستقيم المار بالنقطة ) 2)
( 1 -، 2( ، ) 2، 4( أوجد معادلة الخط المستقيم المار بالنقطتين ) 3)
( و موازيا محور السينات 1، 3الخط المستقيم المار بالنقطة ) دلة( أوجد معا4)
ثم أوجد نقط تقاطعه مع محوري األحداثيات 12ص = 2س + 3أوجد ميل الخط المستقيم : ( 5)
( و يقطع محور الصادات في 0، 3لخط المستقيم الي يقطع محور السينات في النقطة ) ( أوجد معادلة ا2)
( 4، 0النقطة )
فأوجد قيمة ك إذا كان 0ص = -س 3: 1، ل 0= 5ص + -( س 1 -ك 2: ) 1إذا كان ل( 1)
(iل )1 2ل (ii ل )2// ل 1
9ص = 3 -س2( و يوازي الخط المستقيم 1، 1-مار بالنقطة ) أوجد معادلة الخط المستقيم ال( 8)
0= 5 -س+ ص 2( و عموديا علي المستقيم 2، 2أوجد معادلة الخط المستقيم المار بالقطة ) ( 9)
( و موازيا الخط المستقيم جـ د بحيث 5، 3أوجد معادلة الخط المستقيم المار بالنقطة ) (10)
( 0، 2( ، د = ) 3، 5جـ = )
، ص ( فأوجد ص 1( ، جـ = ) 1، 5( ، ب = ) 3، 2جـ ب بحيث أ = ) إذا كان أ جـ ( 11)
2: 1( و كانت جـ تقسم أ ب من الداخل بنسبة 2-، 1-( ، ب = ) 4، 4-إذا كانت أ = ) ( 12)
ستقيم جـ د ( فأوجد معادلة الخط الم 3، 2، د = )
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
:ـ الزاوية بين مستقيمين
11، س+ ص = 0 = 5ص + -س3( أوجد قياس الزاوية بين المستقيمين : 1)
2ص = 3 -س 2،، 3( أوجد قياس الزاوية بين المستقيمين = 2)
2ص = 2 -،، س 3( أوجد قياس الزاوية بين المستقيمين + = 3)
أوجد ك 45هي 3ص = 2 -، س 5ص = -( إذا كانت قياس الزاوية بين المستقيمين ك س4)
هي فأوجد ب 1ص = 2، س + 1ب ص = -س2( إذا كان ظل الزاوية بين المستقيمين 5)
1ص = -س2( و يصنع مع المستقيم 3، 1-أوجد معادلة الخط المستقيم المار بالنقطة ) (2)
زاوية ظلها يساوي
(1 ) ( = د منتصف ب جـ 3، 5( ، جـ = ) 13-، 3-( ، ب = ) 2، 3-أ ب جـ فيه أ ، )
أوجد قياس الزاوية بين أ د ، ب جـ
مع الخط المستقيم ل( إذا كان الخط المستقيم ل يصنع زاوية جيب تمامها = 8)/ 0ص = -س3:
( 2-، 1لنقطة ) لة الخط المستقيم ل إذا كان يمر بادميل الخط المستقيم ل ؟ و أوجد معا وفما ه
:ـ البعد بين نقطة و خط مستقيم
-5
12
13
0= 5ص + 3س+ 4( إلي الخط المستقيم 3، 2أوجد طول العمود المرسوم من النقطة ) ( 1)
( إلي الخط المستقيم المار بالنقطتين 2، 1-( أوجد طول العمود المرسوم من النقطة ) 2)
( 4،3( ، ب = )1،2أ = )
(1، 1لدائرة التي مركزها )ل سمما 0= 1ص + 8س+ 2كان الخط المستقيم ل : ( إذا 3)
الدائرة نصف قطر هذه فأوجد طول ـ
( و موازيا الخط 1، 0( إلي المستقيم المار بالنقطة ) 5، 1أوجد طول العمود المرسوم من النقطة ) ( 4)
1ص = -س3المستقيم
1ص = 5س+ 2( و عموديا علي المستقيم 2، 2-لمار بالنقطة ) ( أوجد معادلةالخط المستقيم ا5)
ثم أوجد بعد نقطة األصل عنه
متوازيان ثم أوجد البعد بينهما 5ص = 2س+2،، 0س+ ص = 3: 1إثبت أن المستقيمين ل( 2)
ه من النقطة ( أوجد معادلة الخط المستقيم الذي ميله يساوي و طول العمود الساقط علي1)
وحدة طول 2( يساوي 1-، 2)
(8 ) ( = أوجد 2-، 1( ، جـ = ) 5، 2-( ، ب = ) 2، 3أ ب جـ فيه أ )
(i( طول ب جـ )ii( معادلة ب جـ )iii طول العمود المرسوم من أ إلي ب جـ )
(v مساحة ) أ ب جـ
0س+ ب ص+ جـ =2: 2، معادلة المستقيم ل0= 10-ص4-س3: 1ستقيم ل( إذا كان معادلة الم9)
فأوجد 2ل ( 0، 2-، أ = ) 2// ل 1و كان ل
(i ( قيمتي ب ، جـ )iiالبعد بين ل )2، ل 1 (iii معادلة المستقيم المار بـنقطة أ ) ،1عمودي علي ل
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
:ـ معادلة المستقيم المار بنقطة تقاطع مستقيمين
2و ميله 3ص = -، س 1( أوجد معادلة المستقيم المار بنقطة تقاطع المستقيمين س+ ص = 1)
1س+ ص = 2، 1ص = 2 -أوجد معادلة الخط المستقيم المار بنقطة تقاطع المستقيمين س (2)
( 3، 1 -و يمر بالنقطة )
3، س+ ص = 1ص = 2الخط المستقيم المار بنقطة تقاطع المستقيمين س+ دلةأوجد معا( 3)
و عموديا علي المستقيم الثاني
0= 3، ص+ 4ص = -المستقيم المار بنقطة تقاطع المستقيمين س ( أوجد معادلة الخط4)
00 مع اإلتجاه الموجب لمحور السينات 135و يصنع زاوية قياسها
3ص = 3-س2، 2ص = 3( أوجد معادلة الخط المستقيم المار بنقطة تقاطع المستقيمين س + 5)
15ص = -س2و موازيا الخط المستقيم
و ينصف الزاوية 1، ص = 3( أوجد معادلة الخط المستقيم المار بنقطة تقطع المستقيمين س = 2)
بين المحورين ؟
@ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @
** أرق أمنيات للجميع بالتفوقمع **
* / عطية ممدوح الصعيدي أ