Post on 21-Dec-2015
description
Zasada Metody Elementów Skończonych
Założenia Metody Elementów SkończonychGeometrie dzielimy na elementy skończone połączone w węzłach.Kształt tych elementów jest uzależniony od liczby wymiarów geometrii.
Elementy oddziałują na siebie tylko poprzez węzły. Także siły zewnętrzne działają na konstrukcje poprzez węzły. Siły które występują między węzłami na elemencie muszą być sprowadzone do obciążenia zastępczego w węzłach. Przemieszczenia węzłów są niewiadomymi zadania. Przemieszczenia wewnątrz elementu są wyznaczane z przemieszczeń węzłów poprzez aproksymacje funkcjami zwanymi funkcjami kształtu. Funkcje te są funkcjami jednej, dwóch lub trzech zmiennych w zależności od typu elementu. Siły węzłowe są związanie z przemieszczeniami węzłowymi za pomocą macierzy sztywności.
Funkcje kształtu i opis przemieszczeń w elemencie a) belkowym 1W b) prostokątnym 2W
a) b)
Procedura MES:
1.Dyskretyzacja czyli podział na elementy skończone. W wielu istniejących pakietach obliczeniowych podział ten jest automatyczny. Nie zawsze jednak taki dobór elementów daje dobre rezultaty. Potrzebne doświadczenie użytkownika.2. Obliczenie macierzy sztywności i wektora zastępników węzłowych obciążenia3.Obliczenie macierzy przylegania (Boole’a) i macierzy sztywności dla całej konstrukcji4.Obliczenie globalnego wektora równoważników węzłowych i wektora sił węzłowych dla całej konstrukcji5.Uwzględnienie warunków brzegowych6.Rozwiązanie układu równań i wyznaczenie przemieszczeń węzłów.7. Wyznaczenie z przemieszczeń pozostałych interesujących parametrów jak siły wewnętrzne, naprężenia.
22222121
12121111
2221
1211
2221
1211
BABA
BABA
BB
BB
AA
AA
2212
2111
2221
1211
AA
AA
AA
AAT
2222122121221121
2212121121121111
2221
1211
2221
1211
BABABABA
BABABABA
BB
BB
AA
AA*
Potrzebne będą podstawowe operacje na macierzachDodawanie macierzy – dodajemy odpowiednie elementy
Transpozycja macierzy – zamiana kolumn z wierszami
Wektor po transpozycji z pionowego staje się poziomyMnożenie macierzy – według schematu
Podstawowe równanie metody elementów skończonych polega na przedstawieniu obciążeń w funkcji uogólnionych przemieszczeń.
kqQ
Gdzie:
222111 MTNMTNQ ,,,,, obciążenia na końcu elementu
222111 ,,,,, vuvuq przemieszczenia końców
Macierz k nazywa się macierzą sztywności i wiąże przemieszczenia z siłami zewnętrznymi. W tym wypadku będzie miała wymiar 6x6. Macierz sztywności ma różną postać w zależności od rodzaju elementu (belkowy, płytowy). Jej znalezienie jest niezbędne dla sformułowania i rozwiązania układu równań. Jako wynik otrzymujemy przemieszczenia a następnie można wyznaczyć z nich odkształcenia, naprężenia i siły w przekroju.
Podstawowe równanie
Dla przykładu znajdziemy macierz sztywności dla elementu prętowego obciążonego tylko siłami normalnymi. Wektor obciążeń zawiera tylko te siły.
21 NNQ ,
Natomiast wektor przemieszczeń zawiera tylko przemieszczenia wzdłuż osi x.
21 uuq ,Macierz sztywności będzie miała wymiar 2x2. Wyznaczanie macierzy zaczynamy od napisania równania różniczkowego na pole przemieszczeń, w tym przypadku jednowymiarowe, jest to równanie Lamego w liniowej teorii sprężystości.
0 xpEAu ''
Zakładamy że px=0 (brak obciążenia na długości belki) i mamy równanie w postaci
0''u
Otrzymanie macierzy sztywności
Rozwiązaniem tego równania jest funkcja
xAAu 10
Stałe A0 i A1 wyznaczmy w stanach jednostkowych:
•u1=1, u2=0 czyli u(0)=1, u(l)=0 stąd
lAA
11 10 ,
czyli opis pola ugięcia w tym stanie ma postać:
l
xN 11ˆ
1
•a1=0, u2=1 czyli u(0)=0, u (l)=1 stąd
lAA
10 10 ,
czyli opis pola ugięcia w tym stanie:
l
xN 2ˆ
1
Funkcje N1 i N2 nazywamy funkcjami kształtu. Wynikowy (dla pewnych u1 i u2) opis pola przemieszczeń uwzględniający oba parametry ma postać:
NquNuNu 2211ˆˆ
Gdzie N jest macierzą funkcji kształtu (nie siłą normalną !!)
Mając pole przemieszczeń można znaleźć pole odkształceń
Bqq
dx
dN
dx
Nqd
dx
du
Gdzie B jest pochodną macierzy funkcji kształtu i dla tego przypadku ma postać
lll
x
l
xB
111 ,,
'
Siły podłużne wyrazimy przez odkształcenia korzystając z definicji naprężenia i prawa Hooka
A
N
E
,
δ – naprężenieA – przekrój poprzecznyN – siła normalna
Na podstawie poprzednich wzorów mamy pole sił wewnętrznych:
EABqEAN
Teraz trzeba powiązać siły zewnętrzne z przemieszczeniami, dokonamy tego wykorzystując zasadę prac wirtualnych. Zasada ta mówi że praca sił zewnętrznych równa się pracy sił wewnętrznych
wz LL
Prace sił zewnętrznych wyrazimy jako iloczyn tych sił na końcach i przemieszczeń końców.
QqNuNuL Tz 2211
Prace sił wewnętrznych obliczymy z iloczynu sił wewnętrznych i przemieszczeń wewnętrznych oraz uwzględniając wzory na siłę normalną i odkształcenie.
EABqdxBqEABqqdxBNdxNdudL TTTTTw
Praca na długości całego elementu
l l
TTww EABqdxBqdLL
Wektor q jest stały więc można go wynieść przed całkę
qEABdxBqLl
TTw
Uwzględniając równość prac zewnętrznej i wewnętrznej
qEABdxBqQql
TTT
W różniczkowym fragmencie elementu mamy:
Dzieląc stronami przez δqT
qEABdxBQl
T
Powyższe wyrażenie określa wektor sił Q przez wektor przemieszczeń q czyli fragment w nawiasie jest macierzą sztywności.
dx
ll
llEAdxll
l
lEABdxBEAEABdxBkll l
T
l
T
22
22
11
1111
1
1
Po przecałkowaniu otrzymujemy:
11
11
l
EAk
Mając raz wyprowadzoną postać macierzy sztywności można już obliczyć przemieszczenia w elemencie prętowym mając dane siły zewnętrzne według wzoru (1), rozwiązując układ równań.
2
1
2
1
11
11
u
u
l
EA
N
N
Po obliczeniu macierzy sztywności dla elementów pozostaje złożenie całej konstrukcji. W przypadku kratownic elementem jest pojedynczy pręt kratownicy. Najpierw wszystkie macierze sztywności należy przetransformować z układów lokalnych związanych z każdym prętem do układu globalnego, wspólnego dla całej konstrukcji. Dokonujemy tego mnożąc macierz przez macierz cosinusów kierunkowych.
Transformacja do układu globalnego
Do rozwiązywania zadań praktycznych wygodnie jest zapisać macierz sztywności w postaci:
l
EA
l
EAl
EA
l
EA
Wyrazy macierzy obliczamy dla danych właściwości belki.
I tak dla ramy zależność między układem lokalnym związanym z elementem (x,y) a globalnym (X,Y) określa kąt alfa
Zgodnie z rachunkiem wektorowym transformacja sił z układu globalnego do lokalnego będzie
sincos gg TNN 111
Zabieg ten jest niepotrzebny na przykład w przypadku obliczania pojedynczych prętów ponieważ układ związany z elementami nie różni się od układu globalnego.
Macierzowo dla wszystkich parametrów:
egee
eg
eg
eg
eg
eg
eg
e
e
e
e
e
e
QCQ
M
T
N
M
T
N
M
T
N
M
T
N
2
2
2
1
1
1
2
2
2
1
1
1
100000
0000
0000
000100
0000
0000
cossin
sincos
cossin
sincos
Indeks eg oznacza parametry globalne a e parametry lokalne.Qe – wektor sił węzłowych w układzie elementuQeg – wektor sił węzłowych dla elementu w układzie globalnym
Zauważ że dla ramy płaskiej momenty na oś Z transformują się bezpośrednio bo osie z i Z są równoległe.Podobnie przemieszczenia
egee qCq
My potrzebujemy transformacji odwrotnej
eTeeeeg QCQCQ 1
Ponieważ
qe – wektor przemieszczeń w układzie elementu który można wyznaczyć z podstawowego równania MES.
egeeTeee
Teeg qCkCqkCQ
czyli macierz sztywności elementu w układzie globalnym
eeTeeg CkCk
Tworzenie wektorów zastępników węzłowych obciążenia
Wektory zastępników przenoszą obciążenie na długości elementu do węzłów. W przypadku belek przyjmujemy bez dowodu że są to uogólnione reakcje (siły i momenty) jakie wystąpią przy danym obciążeniu w belce obustronnie utwierdzonej.
Siła skupiona P w środku belki o długości l :
siły momenty
P/2 P/2 Pl/8 - Pl/8
Obciążenie q na całej długości belki:
siły momenty
ql/2 ql/2 ql2/12 - ql2/12
Składanie elementów
Następnie trzeba złożyć wszystkie macierze elementów zamienione na układ globalny w jedną macierz sztywności konstrukcji. Jest to agregacja macierzy sztywności.Oczywiście ta macierz sztywności konstrukcji jest w układzie globalnym, w którym są już zapisane macierze sztywności dla elementów.
Rozpatrzmy ramę z rysunku. Węzły ramy mają numery globalne odnoszące się do całej konstrukcji. Jednocześnie każdy element posiada lokalne numery węzłów, w tym przypadku 1l i 2l. Wyrażając siły lokalne przez siły globalne mamy
221221 glgl TTNN
N1l2 – siła normalna w węźle 1l elementu 2
Ng2 – siła normalna w węźle globalnym 2
Związki wszystkich parametrów dla elementu można zapisać
g
g
g
g
g
g
l
l
l
l
ll
l
M
T
N
M
T
N
M
T
N
M
T
N
3
3
3
2
2
2
22
22
22
21
2
21
100000
010000
001000
000100
000010
000001
Macierz z jedynkami na przekątnej nazywa się macierzą przylegania (lub Boole’a) i oznacza literą a. Określa ona miejsce elementu w konstrukcji.
geg aQQ
Przemieszczenia
geg aqq
Qg – siły w numeracji węzłów konstrukcji i układzie globalnymMy potrzebujemy przekształcenia odwrotnego aby wyrazić siły konstrukcji przez znane już siły elementu
egT
g QaQ
Sumując dla wszystkich elementów(w tym przykładzie 3) mamy całą macierz sił konstrukcji:
3
1eeg
Teg QaQ
Stąd wyprowadzimy wyrażenie na macierz sztywności
3
1
3
1
3
1
3
1 e egeeg
Tegeeg
Teegeg
e
Te
eeg
Teg qakaqakaqkaQaQ
Czyli macierz sztywności dla całej ramy:
3
1eeeg
Teg akaK
Na podporach nie występują przemieszczenia. Trzeba uwzględnić to w równaniu MES. W praktyce oznacza to umieszczenie jedynki na przekątnej macierzy sztywności oraz wyzerowanie wiersza i kolumny w której występuje zerowe przemieszczenie. Zerujemy też odpowiedni element wektora sił Q. Na przykład jeśli dla układu o czterech węzłach przemieszczenie w węźle drugim jest równe zero to mamy.
4
3
2
1
444341
343331
141311
4
3
1
0
0
0010
0
0
q
q
q
q
KKK
KKK
KKK
Q
Q
Q
Po wymnożeniu łatwo się przekonać że taki układ daje tylko jedno równanie w którym występuje przemieszczenie q2
02 q
Co jest zgodne z prawdą.
Obliczyć za pomocą MES przemieszczenie końca pręta obciążonego liniowo siłą normalną.
Długość pręta l=4 m, przekrój prostokątny h=0,1 m, b=0,02 m moduł sprężystości E=200 GPa, obciążenie liniowe q=2000 N/mb.
Macierz sztywności: Wektor zastępników węzłowych obciążenia:
l
EA
l
EAl
EA
l
EA
k
88
88
1010
1010k
2
2ql
ql
Qz
4000
4000zQ
Układ równań:
2
1
88
88
2
1
1010
1010
u
u
Q
Q
Uwzględnienie warunku brzegowego – zerowe przemieszczenie u1 w lewym węźle
2
18100
01
4000
0
u
u
mmmuu 04,010*410
4000104000 5
8228
Wyznaczamy przemieszczenie q2
Wewnątrz elementu przemieszczenia są opisywane przez funkcje kształtu
5521 10*10*41
x
l
xul
xu
l
xu
4*10-5
Pręt z poprzedniego zadania obciążono dodatkowo siłą skupioną w połowie
P=1 kNTym razem dzielimy pręt na dwa elementy:Pierwszy element:Macierz sztywności:
l
EA
l
EAl
EA
l
EA
k
5,05,0
5,05,0
88
88
10*210*2
10*210*2k
Wektor zastępników węzłowych obciążenia:
4
4ql
ql
Qz
2000
2000zQ
Drugi element będzie miał identyczną macierz i wektor.Wyznaczenie macierzy sztywności konstrukcji. Macierze Boole’a (przylegania)
G
G
G
e
e
N
N
N
N
N
3
2
1
12
11
010
001
0
Element 1
G
G
G
e
e
N
N
N
N
N
3
2
1
22
21 100
0100
Element 2
Macierz sztywności konstrukcji
222111 BkBBkBK TT
000
010*210*2
010*210*2
010
001
00
10*210*2
10*210*2
010
001
10*210*2
10*210*2
00
10
01
88
88
88
88
88
88
1K
88
88
88
88
88
88
2
10*210*20
10*210*20
000
100
010
10*210*2
10*210*2
00
100
010
10*210*2
10*210*2
10
01
00
K
Ostatecznie macierz sztywności konstrukcji:
88
888
88
10*210*20
10*210*410*2
010*210*2
K
Agregacja wektorów równoważników węzłowych obciążenia
2211 QBQBP TT
0
2000
2000
2000
2000
00
10
01
1P
2000
2000
0
2000
2000
10
01
00
2P
2000
4000
2000
P
Wektor sił węzłowych:
0
10
03F
2000
4000
0
0
10
0
10*210*20
10*210*40
0013
88
88 PFK
Uwzględnienie warunków brzegowych
Zestawienie układu równań i obliczenie przemieszczeń węzłów
3
2
1
88
88
10*210*20
10*210*40
001
2000
5000
0
u
u
u
mmummuu 045,0035,00,0 321
Macierz sztywności dla belkowego elementu zginanego:
llll
llll
llll
llll
EJ
4626
612612
2646
612612
22
2323
22
2323