Post on 06-Feb-2018
Wytrzymałość Materiałów
Skręcanie prętów o przekrojach kołowychSiły przekrojowe, deformacja, naprężenia, warunki
bezpieczeństwa i sztywności, sprężyny śrubowe.
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Katedra Wytrzymałości, Zmęczenia Materiałów i Konstrukcji
dr hab. inż. Kinga Nalepka
B2, III p., pok. 312
e-mail: knalepka@agh.edu.pl tel. 12 617 30 98
http://zwmik.imir.agh.edu.pl/dydaktyka/dla_studentow/imir/imir.html
Siły przekrojowe - naprężenia
© K. Nalepka, Wytrzymałość Materiałów: Skręcanie prętów o przekrojach kołowych. Sprężyny śrubowe. 2
�
�
�
�� � ���
� �
��
��
�
CdA
��
�
� � � ����
�� � � ������
� � � �����
�� � � ����
�� � � ��� � ������
- rozciąganie/ściskanie
- ścinanie
- zginanie
- skręcanie
� � ��� � ���
�
� � �� �����
Ścięcie pręta poddanego skręcaniu
� materiał sprężysto plastyczny
� materiał kruchy
����
����
F.P. Beer, Mechanics of Materials
Moment obrotowy – zależności fizyczne
©K. Nalepka, Wytrzymałość Materiałów: Skręcanie prętów o przekrojach kołowych. Sprężyny śrubowe. 3
MO
Praca � wykonana przez moment obrotowy
�� [Nm] na kącie obrotu � [rad]:
� � �� · �
� � ���� � �� ·���� ⇒ � � �� · !� – moc [W=Nm/s]
! – prędkość kątowa [rad/s]⇒ ��� �!
� – moc [kW]" – prędkość obrotowa
[obr/min]
�� � # · 10&'W)
* 2,60rads
⇒ ��� 30 · 10&
,#* N∙ms1s
�� ≅ 9550#* N∙m
Odkształcenie postaciowe
© K. Nalepka, Wytrzymałość Materiałów: Skręcanie prętów o przekrojach kołowych. Sprężyny śrubowe. 4
Prosty pręt pryzmatyczny o kołowym przekroju poprzecznym utwierdzony na jednym końcu (cała ścianka poprzeczna) obciążono na swobodnej ściance parą sił o momencie �9.� Pomijamy siły masowe.� Oś x wzdłuż osi pręta, a y i z stanowią
osie główne centralne przekroju poprzecznego.
R
R
��
��
:;′
;
;
=>=′
>′>′′
�:
��
?Odkształcenie postaciowe (?)Kąt o jaki zmieni się kąt zawartypomiędzy dwoma włóknami materialnymiprzechodzącymi przez wspólny punkt,które przed przyłożeniem obciążenia byływzajemnie prostopadłe.
@ A tan @ � DED′′FED′′
G
DED′′ � H�IFED′′ � ��⟹ ? � G�:��
: – kąt skręcenia
R
Konfiguracja początkowa
Konfiguracja końcowa
��
��HK
�
�
�
�� ��
�
K
�
Kąt skręcenia rośnie liniowo wraz zodległością od utwierdzenia:
Naprężenie styczne
© K. Nalepka, Wytrzymałość Materiałów: Skręcanie prętów o przekrojach kołowych. Sprężyny śrubowe. 5
I � � L · � ⇒ �I�� � L,
�9 � NL� HO�PQ
RS � � HO�PQ
L � �9NRS @ � �9NRS H, T ��9RS H
Zgodnie z prawem Hooke’a, naprężeniestyczne jest proporcjonalne do odkształceniapostaciowego:
T � N · @, G – moduł sprężystości poprzecznej(moduł Kirchhoffa)
�9 � � T · H�PQ
T � N · L · HNaprężenie styczne jest skierowane prostopadle do promienia wodzącego rozważanego punktu i rośnie proporcjonalnie wraz z długością tego promienia
@ � L · H (4.1)
(4.2)
Zgodnie z (4.1) oraz (4.2):
⇒(4.2)
�UV�
(4.3)
�
��
�
?
�P
Warunek bezpieczeństwa
© K. Nalepka, Wytrzymałość Materiałów: Skręcanie prętów o przekrojach kołowych. Sprężyny śrubowe. 6
TWXY � �YRS HWXY
TWXY � �Y�S Z [9, �S �RSHWXY
�Y- moment skręcającyRS - biegunowy moment bezwładności.HWXY– odległość krawędzi zewnętrznej przekroju od jego środka ciężkości.
[9 - dopuszczalne naprężenie przy skręcaniu.�S - wskaźnik wytrzymałości przekroju przy skręcaniu.
R\ � R] � ,K^4 � ,D
^64
RS � R\ � R] � ,D^
32�S � RS
D 2⁄�S � ,D
&16
RS � ,D^
32 �,�^32
RS � ,aD^��^b32
�S � ,aD^��^b16D
Wskaźniki nie są addytywne
przekrój kołowy
przekrój pierścieniowy
�
�
D
D
�
�
�
��
��
�UV�
�UV�
�UV�
�UV�
�
�cd
cO
c&
Warunek sztywności
© K. Nalepka, Wytrzymałość Materiałów: Skręcanie prętów o przekrojach kołowych. Sprężyny śrubowe. 7
gdzie:
:�ef - dopuszczalny kąt skręcenia (rad)
g�ef - dopuszczalny kąt skręcenia na
jednostkę długości (rad/mm, rad/m)
IWXY � I c � �9cNRS
I � � L · �,L � �9NRS ,
IWXY � �9 · cNRS Z Ihij
L � �9NRS Z Lhij
Kąt skręcenia rośnie liniowo wraz zodległością od utwierdzenia:
L- jednostkowy kąt skręcenia
Największy kąt skręcenia:
Warunki sztywności
:UV�
Przykład obliczeń inżynierskich
© K. Nalepka, Wytrzymałość Materiałów: Skręcanie prętów o przekrojach kołowych. Sprężyny śrubowe. 8
Dla pręta stalowego jak na rysunku sporządzić wykresy:� momentu skręcającego (Mx),� maksymalnych naprężeń stycznych (τmax)� kąta skręcenia (ϕ).
Szukane:Wykresy: MS, τmax, ϕ
Dane:D= 100 mm, G=8�104 MPa
cd cO � 0.65m
cd � 0.2mcO � 0.3m
cO c&
�d �O �& �d � 5kNm�O � 15kNm�& � 14kNm
Sprężyny śrubowe o małym skoku – naprężenia, warunek bezpieczeństwa
© T. Machniewicz, Wytrzymałość Materiałów: Skręcanie prętów o przekrojach kołowych. Sprężyny śrubowe. 9
�m � n>��m � �mop
�q � n�
�UV� � �m � �q
�UV� � r · n · >s · �t u � ��> Z vm
dnw
D
h
nw
d
D/2
nw
z
yO
�m
�m
nw
�q�q�UV� � �m � �q�UV� � �m � �q
� r · n · >s · �t� n · > �⁄s · �t ux⁄
op � s · �t
ux� � s · �
�y
� ns · �� y⁄ � y · n
s · ��
� r · n · >s · �t � y · ns · �� �
r · n · >s · �t u � �
�>kS – dopuszczalne naprężenia styczne
Sprężyny śrubowe o małym skoku –ugięcie (λ)
10
Praca wykonana nad sprężyną (L) Energia zmagazynowana w sprężynie (E)
z � u� · n · {| � u� · �m · :
�m � n>�
: � �m · }~ · �� �p � s · �t
t�
} � s · > · "
| � ux · �m� · }
~ · s · �y
| � �m� · }� · ~ · ��
| � y · n� · >� · }
~ · s · �y| � y · n
� · >t · "~ · �y
{ � r · n · >t · "
~ · �y
nw nw
λ
P
λ
L
≡
nw nwu � t "…
D
l – długość drutu sprężyny (po rozwinięciu)
n – liczba zwoi,
MS
} � s>"
MS
…
u� · n · { � z�
© T. Machniewicz, Wytrzymałość Materiałów: Skręcanie prętów o przekrojach kołowych. Sprężyny śrubowe.