Post on 24-Jul-2015
Spis tre ci
Spis tre ci
1. Wprowadzenie ....................................................................................1-1
1.1 Istota Fizyki ................................................................................1-1 1.2 Poj!cia podstawowe....................................................................1-2 1.3 Jednostki .....................................................................................1-2 1.4 Matematyka w Fizyce.................................................................1-3 1.4.1 Modele matematyczne w fizyce........................................................... 1-3
1.4.2 Analiza wymiarowa ............................................................................. 1-4
1.4.3 Formalizm matematyczny.................................................................... 1-4
2. Ruch jednowymiarowy ......................................................................2-1
2.1 Pr!dko "......................................................................................2-1 2.1.1 Pr!dko " sta#a ...................................................................................... 2-1
2.1.2 Pr!dko " chwilowa .............................................................................. 2-1
2.1.3 Pr!dko " rednia .................................................................................. 2-2
2.2 Przyspieszenie.............................................................................2-3 2.2.1 Przyspieszenie jednostajne i chwilowe ................................................ 2-3
2.2.2 Ruch jednostajnie zmienny .................................................................. 2-3
3. Ruch na p!aszczy"nie .........................................................................3-1
3.1 Przemieszczenie, pr!dko " i przyspieszenie...............................3-1 3.2 Rzut uko ny ................................................................................3-2 3.3 Ruch jednostajny po okr!gu .......................................................3-4 4. Dynamika punktu materialnego .......................................................4-1
4.1 Wst!p ..........................................................................................4-1 4.2 Definicje......................................................................................4-1 4.2.1 Masa..................................................................................................... 4-1
4.2.2 P!d ....................................................................................................... 4-2
4.2.3 Si#a ....................................................................................................... 4-2
4.3 Zasady dynamiki Newtona .........................................................4-2 4.3.1 Pierwsza zasada dynamiki Newtona .................................................... 4-3
4.3.2 Druga zasada dynamiki Newtona ........................................................ 4-3
4.3.3 Trzecia zasada dynamiki Newtona....................................................... 4-4
5. Dynamika punktu materialnego II ...................................................5-1
5.1 Si#y kontaktowe i tarcie ..............................................................5-1 5.1.1 Si#y kontaktowe ................................................................................... 5-1
5.1.2 Tarcie ................................................................................................... 5-1
5.2 Si#y bezw#adno ci .......................................................................5-2 6. Ci#$enie powszechne (grawitacja) ....................................................6-1
6.1 Prawo powszechnego ci$%enia....................................................6-1 6.2 Do wiadczenie Cavendisha ........................................................6-3 6.2.1 Wa%enie Ziemi..................................................................................... 6-4
6.3 Prawa Keplera ruchu planet ........................................................6-5 6.4 Ci!%ar ..........................................................................................6-6 6.4.1 Ci!%ar pozorny, masa bezw#adna i masa grawitacyjna ........................ 6-6
6.5 Pole grawitacyjne........................................................................6-7 6.5.1 Pole grawitacyjne wewn$trz kuli ......................................................... 6-8
3
Spis tre ci
7. Praca i energia ....................................................................................7-1
7.1 Wst!p ..........................................................................................7-1 7.2 Praca wykonana przez sta#$ si#!..................................................7-1 7.3 Praca wykonana przez si#! zmienn$ ...........................................7-3 7.4 Energia kinetyczna i twierdzenie o pracy i energii.....................7-5 7.5 Moc .............................................................................................7-6 8. Zasada zachowania energii................................................................8-1
8.1 Wst!p ..........................................................................................8-1 8.2 Si#y zachowawcze i niezachowawcze.........................................8-1 8.3 Energia potencjalna.....................................................................8-3 8.3.1 Energia potencjalna i potencja# pola grawitacyjnego........................... 8-5
8.4 Zasada zachowania energii .........................................................8-7 9. Zasada zachowania p%du ...................................................................9-1
9.1 &rodek masy................................................................................9-1 9.2 Ruch rodka masy.......................................................................9-3 9.3 P!d uk#adu punktów materialnych..............................................9-5 9.4 Zasada zachowania p!du ............................................................9-6 10. Zasada zachowania p%du II .............................................................10-1
10.1 Uk#ady o zmiennej masie..........................................................10-1 10.2 Zderzenia ..................................................................................10-2 10.2.1 Wst!p ................................................................................................. 10-2
10.1.2 Zderzenia w przestrzeni jednowymiarowej ....................................... 10-3
11. Elementy szczególnej teorii wzgl%dno ci ........................................11-1
11.1 Wst!p ........................................................................................11-1 11.1.1 Zasada wzgl!dno ci ........................................................................... 11-1
11.1.2 Transformacja Galileusza .................................................................. 11-1
11.1.3 Dylatacja czasu .................................................................................. 11-3
11.2 Transformacja Lorentza............................................................11-5 11.2.1 Jednoczesno " .................................................................................... 11-5
11.2.2 Skrócenie d#ugo ci ............................................................................. 11-6
11.2.3 Sta#o " przedzia#u czasoprzestrzennego ............................................ 11-6
11.2.4 Dodawanie pr!dko ci......................................................................... 11-7
11.2.5 Zale%no " masy od pr!dko ci ............................................................ 11-8
11.2.6 Równowa%no " masy i energii........................................................... 11-9
12. Ruch obrotowy..................................................................................12-1
12.1 Wst!p ........................................................................................12-1 12.2 Kinematyka ruchu obrotowego.................................................12-1 12.3 Dynamika ruchu obrotowego....................................................12-2 12.3.1 Moment si#y ....................................................................................... 12-2
12.3.2 Moment p!du ..................................................................................... 12-2
12.3.3 Zachowanie momentu p!du ............................................................... 12-3
12.4 Cia#a sztywne i moment bezw#adno ci .....................................12-5 12.5 Ruch post!powo-obrotowy cia#a sztywnego ............................12-6 12.6 Ruch precesyjny (b$k) ..............................................................12-8 13. Ruch drgaj#cy...................................................................................13-1
13.1 Si#a harmoniczna.......................................................................13-1
4
Spis tre ci
13.2 Okres drga'...............................................................................13-2 13.3 Wahad#a ....................................................................................13-3 13.3.1 Wahad#o proste ............................................................................................. 13-3
13.3.2 Wahad#o fizyczne.......................................................................................... 13-4
13.4 Energia ruchu harmonicznego prostego....................................13-5 13.5 Oscylator harmoniczny t#umiony..............................................13-7 13.5.1 Straty mocy, wspó#czynnik dobroci................................................... 13-9
13.6 Drgania wymuszone oscylatora harmonicznego ......................13-9 13.6.1 Rezonans.......................................................................................... 13-11
13.6.2 Moc absorbowana ............................................................................ 13-12
14. Statyka i dynamika p!ynów .............................................................14-1
14.1 Ci nienie i g!sto " ....................................................................14-1 14.2 Zmiany ci nienia wewn$trz nieruchomego p#ynu ....................14-2 14.3 Prawo Pascala i prawo Archimedesa ........................................14-3 14.4 Pomiar ci nienia (barometr)......................................................14-4 14.5 Ogólny opis przep#ywu p#ynów................................................14-4 14.6 Równanie Bernoulliego ............................................................14-6 14.6.1 Dynamiczna si#a no na ...................................................................... 14-7
15. Fale w o rodkach spr%$ystych.........................................................15-1
15.1 Fale mechaniczne......................................................................15-1 15.2 Fale rozchodz$ce si! w przestrzeni...........................................15-1 15.3 Rozchodzenie si! fal, pr!dko " fal............................................15-3 15.4 Przenoszenie energii przez fale.................................................15-4 15.5 Interferencja fal.........................................................................15-5 15.6 Fale stoj$ce ...............................................................................15-6 15.6.1 Uk#ady drgaj$ce, przyk#ad ................................................................. 15-6
15.7 Dudnienia - modulacja amplitudy.............................................15-7 15.8 Zjawisko Dopplera....................................................................15-8 16. Kinetyczna teoria gazów i termodynamika I .................................16-1
16.1 Prawo gazów doskona#ych........................................................16-1 16.2 Temperatura ..............................................................................16-2 16.1.1 Termometry ....................................................................................... 16-3
16.3 Ekwipartycja energii .................................................................16-3 16.3.1 Zerowa zasada termodynamiki .......................................................... 16-3
16.3.2 Ekwipartycja energii .......................................................................... 16-3
16.4 Pierwsza zasada termodynamiki ...............................................16-4 16.5 Ciep#o w#a ciwe........................................................................16-5 16.5.1 Ciep#o w#a ciwe przy sta#ej obj!to ci ................................................ 16-5
16.1.2 Ciep#o w#a ciwe przy sta#ym ci nieniu .............................................. 16-6
16.6 Rozpr!%anie izotermiczne.........................................................16-7 16.7 Rozpr!%anie adiabatyczne.........................................................16-7 17. Kinetyczna teoria gazów i termodynamika II ...............................17-1
17.1 &rednia droga swobodna...........................................................17-1 17.2 Rozk#ad pr!dko ci Maxwella....................................................17-2 17.3 Równanie Van der Waalsa........................................................17-3 17.4 Entropia i druga zasada termodynamiki ...................................17-4
5
Spis tre ci
17.4.1 Procesy odwracalne i nieodwracalne ................................................. 17-4
17.4.2 Cykl Carnota ...................................................................................... 17-4
17.4.3 Druga zasada termodynamiki............................................................. 17-5
17.4.4 Termodynamiczna skala temperatur .................................................. 17-6
17.4.5 Entropia.............................................................................................. 17-6
17.5 Stan równowagi, zjawiska transportu .......................................17-9 17.5.1 Stan równowagi ................................................................................. 17-9
17.5.2 Zjawiska transportu.......................................................................... 17-10
18. Si!a elektrostatyczna ........................................................................18-1
18.1 Wst!p ........................................................................................18-1 18.2 (adunek elektryczny.................................................................18-1 18.2.1 Kwantyzacja #adunku......................................................................... 18-1
18.2.2 Zachowanie #adunku .......................................................................... 18-1
18.3 Prawo Coulomba.......................................................................18-1 18.3.1 Zasada superpozycji........................................................................... 18-1
18.4 Pole elektryczne........................................................................18-2 18.4.1 Linie si# .............................................................................................. 18-3
18.5 Prawo Gaussa............................................................................18-4 19. Elektrostatyka I ................................................................................19-1
19.1 Wst!p ........................................................................................19-1 19.2 Kuliste rozk#ady #adunków .......................................................19-1 19.2.1 Jednorodnie na#adowana sfera ........................................................... 19-1
19.2.2 Jednorodnie na#adowana kula ............................................................ 19-2
19.2.3 Liniowe rozk#ady #adunków............................................................... 19-3
19.2.4 P#askie rozk#ady #adunków ................................................................ 19-4
19.2.5 Powierzchnia przewodnika ................................................................ 19-5
19.3 Potencja# elektryczny................................................................19-5 20. Elektrostatyka II ..............................................................................20-1
20.1 Obliczanie potencja#u ...............................................................20-1 20.2 Pojemno " .................................................................................20-2 20.3 Energia pola elektrycznego.......................................................20-2 20.4 Dielektryki ................................................................................20-3 20.4.1 Dielektryki, pogl$d atomistyczny ...................................................... 20-3
20.1.2 Dielektryki - rozwa%ania ilo ciowe.................................................... 20-5
20.5 Trzy wektory elektryczne .........................................................20-6 21. Pr#d elektryczny i pole magnetyczne .............................................21-1
21.1 Pr$d elektryczny .......................................................................21-1 21.2 Prawo Ohma .............................................................................21-2 21.2.1 Wyprowadzenie prawa Ohma............................................................ 21-2
21.3 Straty cieplne ............................................................................21-4 21.3.1 Si#a elektromotoryczna ...................................................................... 21-4
21.4 Obwody pr$du sta#ego ..............................................................21-5 21.4.1 Prawa Kirchoffa ................................................................................. 21-5
21.5 Pole magnetyczne .....................................................................21-6 21.5.1 Si#a magnetyczna ............................................................................... 21-6
21.5.2 Dzia#anie pola magnetycznego na obwód z pr$dem .......................... 21-7
6
Spis tre ci
21.5.3 Efekt Halla ......................................................................................... 21-9
22. Pole magnetyczne, indukcja elektromagnetyczna.........................22-1
22.1 Prawo Ampera ..........................................................................22-1 22.2 Strumie' magnetyczny .............................................................22-2 22.3 Przyk#adowe rozk#ady pr$dów..................................................22-2 22.3.1 Pr!t (przewodnik) .............................................................................. 22-2
22.3.2 Cewka (solenoid) ............................................................................... 22-3
22.3.3 Dwa przewodniki równoleg#e ............................................................ 22-4
22.4 Prawo Biota-Savarta .................................................................22-4 22.5 Indukcja elektromagnetyczna ...................................................22-6 22.5.1 Prawo Faradaya.................................................................................. 22-6
22.5.2 Regu#a Lenza ..................................................................................... 22-6
23. Indukcja elektromagnetyczna, energia pola magnetycznego.......23-1
23.1 Indukcyjno " .............................................................................23-1 23.1.1 Transformator .................................................................................... 23-1
23.1.2 Indukcyjno " w#asna.......................................................................... 23-1
23.1.3 Indukcja wzajemna ............................................................................ 23-2
23.2 Obwody RC i RL, sta#e czasowe ..............................................23-3 23.2.1 Obwód RC.......................................................................................... 23-3
23.2.2 Obwód RL .......................................................................................... 23-4
23.3 Energia a pole magnetyczne .....................................................23-6 23.4 G!sto " energii a pole magnetyczne.........................................23-6 24. Drgania elektromagnetyczne...........................................................24-1
24.1 Wst!p ........................................................................................24-1 24.2 Obwód LC.................................................................................24-1 24.3 Obwód szeregowy RLC............................................................24-2 24.3.1 Rezonans............................................................................................ 24-5
24.4Moc w obwodzie pr$du zmiennego........................................................ 24-6
25. Równania Maxwella.........................................................................25-1
25.1 Podstawowe równania elektromagnetyzmu..............................25-1 25.2 Indukowane pole magnetyczne.................................................25-2 25.3 Pr$d przesuni!cia ......................................................................25-4 25.4 Równania Maxwella .................................................................25-5 26. Fale elektromagnetyczne .................................................................26-1
26.1 Równanie falowe ......................................................................26-1 26.2 Linie transmisyjne.....................................................................26-1 26.2.1 Kabel koncentryczny..................................................................................... 26-2
26.2.2 Pola i pr$dy w kablu koncentrycznym .......................................................... 26-3
26.2.3 Falowód......................................................................................................... 26-4
26.3 Wn!ki rezonansowe..................................................................26-4 26.4 Promieniowanie ........................................................................26-6 26.5 Wektor Poyntinga .....................................................................26-7 27. Optyka geometryczna i falowa........................................................27-1
27.1 Wst!p ........................................................................................27-1 27.1.1 Odbicie i za#amanie............................................................................ 27-1
27.1.2 Zasada Fermata .................................................................................. 27-1
7
Spis tre ci
27.2 Warunki stosowalno ci optyki geometrycznej .........................27-4 27.1.1 Zasada Huyghensa ........................................................................................ 27-5
28. Interferencja .....................................................................................28-1
28.1 Do wiadczenie Younga ............................................................28-1 28.2 Koherencja ................................................................................28-4 28.3 Nat!%enie w do wiadczeniu Younga ........................................28-4 28.4 Interferencja w cienkich b#onkach............................................28-7 29. Dyfrakcja...........................................................................................29-1
29.1 Pojedyncza szczelina ................................................................29-2 29.2 Pojedyncza szczelina, rozwa%ania jako ciowe .........................29-4 29.3 Pojedyncza szczelina, rozwa%ania ilo ciowe............................29-5 29.4 Równoczesna interferencja i dyfrakcja na dwóch szczelinach.29-7 30. Siatki dyfrakcyjne ............................................................................30-1
30.1 Siatki dyfrakcyjne .....................................................................30-1 30.2 Dyfrakcja promieni Roentgena (promieni X) ...........................30-3 30.3 Prawo Bragga............................................................................30-5 31. Polaryzacja........................................................................................31-1
31.1 P#ytki polaryzuj$ce ...................................................................31-2 31.2 Polaryzacja przez odbicie .........................................................31-4 31.3 Za#amanie podwójne.................................................................31-5 32. &wiat!o a fizyka kwantowa ..............................................................32-1
32.1 )ród#a wiat#a ...........................................................................32-1 32.2 Cia#o doskonale czarne .............................................................32-2 32.3 Teoria promieniowania we wn!ce, prawo Plancka...................32-4 32.3.1 Rozwa%ania klasyczne ....................................................................... 32-4
32.3.2 Teoria Plancka promieniowania cia#a doskonale czarnego................ 32-5
32.3.3 Zastosowanie prawa promieniowania w termometrii ........................ 32-6
32.4 Zjawisko fotoelektryczne..........................................................32-7 32.5 Efekt Comptona ......................................................................32-10 33. Model atomu Bohra .........................................................................33-1
33.1 Wst!p ........................................................................................33-1 33.2 Widma atomowe .......................................................................33-2 33.3 Model Bohra atomu wodoru .....................................................33-3 34. Fale i cz#stki......................................................................................34-1
34.1 Fale materii ...............................................................................34-1 34.2 Struktura atomu i fale stoj$ce ...................................................34-3 34.3 Mechanika falowa.....................................................................34-4 34.4 Znaczenie funkcji ..................................................................34-6 34.5 Zasada odpowiednio ci.............................................................34-7 34.6 Zasada nieoznaczono ci............................................................34-8 35. Lasery ................................................................................................35-1
35.1 Emisja spontaniczna .................................................................35-1 35.2 Absorpcja ..................................................................................35-1 35.3 Emisja wymuszona ...................................................................35-1 35.4 Rozk#ad Boltzmana...................................................................35-2 35.5 Laser..........................................................................................35-5
8
Spis tre ci
36. Atomy wieloelektronowe, uk!ad okresowy pierwiastków.............36-1
36.1 Liczby kwantowe......................................................................36-1 36.2 Zasada Pauliego ........................................................................36-2 36.2.1 Spin elektronu .................................................................................... 36-2
36.3 Atomy wieloelektronowe, uk#ad okresowy pierwiastków........36-3 36.4 Promienie X ..............................................................................36-5 37. Materia skondensowana ..................................................................37-1
37.1 Wst!p ........................................................................................37-1 37.2 Rodzaje kryszta#ów (rodzaje wi$za') .......................................37-1 37.2.1 Kryszta#y cz$steczkowe ..................................................................... 37-1
37.2.2 Kryszta#y o wi$zaniach wodorowych ................................................ 37-2
37.2.3 Kryszta#y jonowe ............................................................................... 37-2
37.2.4 Kryszta#y atomowe (kowalentne) ...................................................... 37-2
37.2.5 Cia#a metaliczne................................................................................. 37-2
37.3 Pasma energetyczne..................................................................37-3 37.4 Fizyka pó#przewodników..........................................................37-5 37.4.1 Domieszkowanie pó#przewodników .................................................. 37-5
37.5 Zastosowania pó#przewodników...............................................37-6 37.5.1 Termistor............................................................................................ 37-6
37.5.2 Z#$cze p - n ........................................................................................ 37-6
37.5.3 Baterie s#oneczne ............................................................................... 37-7
37.5.4 Fotodiody........................................................................................... 37-7
37.5.5 Diody wiec$ce .................................................................................. 37-7
37.5.6 Tranzystor .......................................................................................... 37-7
37.5.7 Inne urz$dzenia .................................................................................. 37-8
37.6 W#asno ci magnetyczne cia# sta#ych.........................................37-8 37.6.1 Diamagnetyzm................................................................................... 37-9
37.6.2 Paramagnetyzm.................................................................................. 37-9
37.6.3 Ferromagnetyzm .............................................................................. 37-10
38. Fizyka j#drowa .................................................................................38-1
38.1 Wst!p ........................................................................................38-1 38.2 Rozmiary j$der..........................................................................38-1 38.3 Oddzia#ywanie nukleon-nukleon ..............................................38-2 38.4 Rozpady j$drowe i reakcje j$drowe..........................................38-4 38.4.1 Rozpad alfa ........................................................................................ 38-4
38.1.2 Promieniowanie !............................................................................... 38-6
38.1.3 Rozpad " ............................................................................................ 38-6
38.1.4 Rozszczepienie j$der atomowych ...................................................... 38-7
38.1.5 Reakcja syntezy j$drowej .................................................................. 38-8
38.5 Cykl %ycia s#o'ca ......................................................................38-9 38.5.1 Chmura .............................................................................................. 38-9
38.5.2 Globule .............................................................................................. 38-9
38.5.3 Protogwiazda ................................................................................... 38-10
38.1.4 S#o'ce .............................................................................................. 38-10
38.1.5 Czerwony olbrzym........................................................................... 38-12
38.1.6 Bia#e kar#y........................................................................................ 38-12
9
Spis tre ci
38.1.7 Czarne kar#y..................................................................................... 38-12
38.1.8 Gwiazda neutronowa ....................................................................... 38-13
38.1.9 Czarna dziura ................................................................................... 38-13
10
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
Wyk ad 1
1. Wprowadzenie
1.1 Istota Fizyki
G ówny cel - poszukiwanie i poznawanie podstawowych praw przyrody, od których za-le" wszystkie zjawiska fizyczne. Historia nauki - coraz g!#bsze poziomy pojmowania ale podstawowe prawa oraz teorie na kolejnych poziomach coraz prostsze i coraz ich mniej. Przyk ad 1 jak przebiega! rozwój nauki o elektryczno$ci i magnetyzmie, która ma tak fundamentalne znaczenie dla nas dzisiaj (elektronika, telekomunikacja, energetyka, in-formatyka itd.)? ! Ju" w staro"ytno$ci wiedziano o oddzia!ywaniu cia! naelektryzowanych (potarty bursztyn przyci ga! kawa!ki materii) i namagnesowanych (bry!a magnetytu przyci ga-j ca drobne kawa!ki "elaza). ! Dopiero w XVII wieku pierwsze pomiary ilo$ciowe i pierwsze prawa fizyczne (pra-wo Coulomba). ! XIX wiek - oddzia!ywanie pr du z ig! magnetyczn (Oersted), oddzia!ywanie prze-wodników z pr dem (Ampere), indukcja elektromagnetyczna (Faraday), prawo Ohma i w ko%cu jednolita teoria zjawisk elektromagnetycznych (prawa Maxwella. Prawa Maxwella ("tylko" cztery!!!) s prawami ogólnymi, które zawieraj w sobie jako przypadki szczególne nie tylko wszystkie prawa elektryczno$ci i magnetyzmu, ale tak"e wyja$niaj w!a$ciwo$ci $wiat!a jako fali elektromagnetycznej. Nie ulega w tpliwo$ci, "e zjawiskami przyrody rz dzi stosunkowo niewielka liczba praw ogólnych. Celem fizyki jest w!a$nie poznanie tych praw. Konsekwentnie, prawa fizyki b#d wyprowadzane (gdzie to tylko mo"liwe) z podsta-wowych zasad, tj. b#dzie podkre$lona ró"nica pomi#dzy zasadami podstawowymi a tym co mo"na z nich wyprowadzi&. Badania podstawowe - cz stki elementarne ich w!a$ciwo$ci i oddzia!ywania. Jak dotychczas stwierdzono tylko cztery podstawowe oddzia!ywania, z których wynika-j wszystkie si!y i oddzia!ywania zaobserwowane we Wszech$wiecie. Tab. 1.1 Cztery podstawowe oddzia!ywania.
Typ oddzia!ywa% 'ród!o Wzgl#dne
nat#"enie
Zasi#g
Grawitacyjne
S!abe
Elektromagnetyczne
J drowe
Masa
Wszystkie cz stki elementarne
(adunek elektryczny
Hadrony (protony,neutrony,mezony)
~ 10-38
~ 10-15
~ 10-2
1
D!ugi
Krótki (10-18m)
D!ugi
Krótki (10-15m)
Podstawowy charakter cz stek elementarnych i ich oddzia!ywa% przejawia si# np. w tym, "e obja$niaj one zarówno $wiat ma!ych jak i du"ych wielko$ci (gwiazdy, galaktyki). Wszystkie dzia!y nauk fizycznych i biologicznych maj swe korzenie w fizyce.
1-1
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
1.2 Poj!cia podstawowe
Tak jak w ka"dej dyscyplinie, w fizyce pos!ugujemy si# specyficznymi poj#ciami podstawowymi do opisu wielko$ci fizycznych czy te" w!a$ciwo$ci fizycznych obiek-tów. Poj#cia fizyczne definiujemy stosuj c pewne prawa fizyki. Bez zrozumienia tych poj#& nie jest mo"liwe opisanie zjawisk fizycznych i pos!ugiwanie si# tym opisem (mo-delami).
1.3 Jednostki
Fizyka w znacznej mierze zajmuje si# pomiarami wielko$ci fizycznych, maj cych cechy ilo$ciowe. Dlatego tak istotne jest podanie obok wielko$ci numerycznej (liczby) tak"e jednostki. Dotyczy to równie" rozwi za% zada% z fizyki (uwaga do &wicze%). Nie wolno podawa& odpowiedzi numerycznej nie podaj c jednocze$nie jednostki. Podstawowe jednostki - wiele wielko$ci fizycznych jest wspó!zale"nych. Np. pr#dko$& jest d!ugo$ci podzielon przez czas, g#sto$& mas podzielon przez obj#to$& itd. Wi#kszo$& wielko$ci fizycznych jest zwi zana z d ugo!ci" (l), czasem (t) i mas" (m). Oznacza to, "e te podstawowe wielko$ci wyznaczaj wymiar innych wielko$ci fizycz-nych. Tak wi#c pr#dko$& ma wymiar l/t (lt-1) a g#sto$& m/l3 (ml
-3). Zdecydowanie najpowszechniejszy jest uk!ad metryczny. Bardzo prosta w tym uk!adzie jest konwersja do innych jednostek. Po prostu dodaje si# przedrostek okre$laj cy odpo-wiedni pot#g# dziesi#ciu (patrz Tab 1.2). Tab. 1.2 Przedrostki jednostek metrycznych.
Przedrostek Skrót Pot#ga dziesi#ciu
tetra
giga
mega
kilo
centy
mili
mikro
nano
piko
femto
T
G
M
k
c
m
"
n
p
f
1012
109
106
103
10-2
10-3
10-6
10-9
10-12
10-15
D ugo!#, pole powierzchni, obj#to$& s zdefiniowane w geometrii Euklidesowej. Definicje 1 metra (historycznie): ! cz#$& (1/107) odleg!o$ci od bieguna do równika, ! odleg!o$& mi#dzy rysami na sztabie platynowej (Mi#dzynarodowe Biuro Miar i Wag w Sevres, Francja), ! w oparciu o d!ugo$& fal pewnej linii widmowej kryptonu 86Kr. ! jako droga, któr w pró"ni przebywa $wiat!o w czasie 1/299792458 sekundy. Czas - jest poj#ciem fizycznym, jego definicja jest zwi zana z pewnymi prawami fizyki. Np. prawa fizyki mówi , "e (a) okres obrotu Ziemi musi by& z du" dok!adno$ci sta!y; (b) okres drga% oscylatora krystalicznego (zegarek, zegar komputera) jest sta!y przy sta-
1-2
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
!ych warunkach zewn#trznych takich jak np. temperatura. Obecnie najdok!adniejsze ze-gary zliczaj drgania promieniowania emitowanego przez atomy izotopu cezu 133Cs. Sekund# definiuje si# jako czas trwania 919263177#109 drga% promieniowania emito-wanego przez 133Cs. Masa - równie" poj#cie fizyczne zdefiniowane przez pewne prawa fizyki. Nowoczesna definicja masy (w oparciu o prawo zachowania p#du) b#dzie podana w kolejnych wy-k!adach. Obecnie $wiatowym wzorcem kilograma (kg) jest walec platynowo-irydowy (Mi#dzynarodowe Biuro Miar i Wag w Sevres, Francja),
Kiedy takie poj#cia jak czas czy masa opieramy na prawach fizyki, nie mo"emy by& pewni, "e te prawa s absolutnie poprawne. Teoria fizyczna w ostateczno$ci spoczywa na fundamentach do$wiadczalnych, gdy" fizyka zajmuje si# $wiatem fizycznym. To w!a$nie obserwacje do$wiadczalne stwierdzaj ce pewne prawid!owo$ci (je"eli spe!nio-ne s dane warunki to wynik do$wiadczenia si# powtarza) le" u podstaw formu!owania praw przyrody. Do$wiadczenie weryfikuje wi#c teori# ale tylko w sensie negatywnym tj. mo"e spowodowa& odrzucenie teorii. Nie mo"e potwierdzi& "ca!kowicie" teorii ze wzgl#du na ograniczone mo"liwo$ci pomiarowe. Innymi s!owy nie mo"na wykluczy& sytuacji, "e teoria nie przejdzie kolejnego testu do$wiadczalnego.
Trzeba powiedzie&, "e takich teorii (tzw. wielkich teorii), które przewiduj w szero-kim zakresie i z bardzo du" dok!adno$ci wyniki do$wiadcze% jest niewiele np. me-chanika klasyczna Newtona, teoria wzgl#dno$ci Einsteina. Inne przyk!ady spoza fizyki to geometria Euklidesowa i teoria Darwina. Do takiej teorii pretenduje równie" mecha-nika kwantowa.
1.4 Matematyka w fizyce
1.4.1 Modele matematyczne w fizyce
W fizyce wyniki bada% podaje si# w postaci liczb i praw wyra"onych matematycz-nie. Matematyka jest wi#c j#zykiem fizyki, bez u"ycia matematyki nie mo"na opisa& zjawisk fizycznych ani z teoretycznego ani z do$wiadczalnego punktu widzenia (opis jako$ciowy, opis ilo$ciowy). Matematyka stanowi narz#dzie w pracy badawczej i s!u"y do formu!owania modeli matematycznych.
zagadnienie fizyczne rozwi¹ zanie fizyczne
zagadnienie
matematyczne
rozwi¹ zanie
matematyczne
intuicja
konstrukcja modelu
matematycznego
symulacja
matematyka
interpretacja
rozwi¹ zania
matematycznego
Stykaj c si# z okre$lon sytuacj fizyczn fizyk stara si# dokonywa& jej idealizacji
matematycznej czy, jak mówimy, symulacji, sporz dzaj c wyidealizowany model ma-tematyczny tej sytuacji wed!ug poni"szego schematu
1-3
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
Idealizacja polega na przyj#ciu za!o"e% upraszczaj cych np. dla wahad!a z!o"onego z kulki zawieszonej na nici: ! przyjmujemy, "e wahad!o waha si# w jednej p!aszczy)nie, ! pomijamy opór powietrza, ! zaniedbujemy tarcie w punkcie zawieszenia, ! zaniedbujemy mas# nici, ! zak!adamy, "e ni& jest nierozci gliwa, ! zak!adamy, "e ca!a masa kulki jest skupiona w jednym punkcie w jej $rodku masy.
Rozwa"ania dotycz ce metod bada% fizycznych i modeli zilustrujemy prostym przyk!adem: badanie si!y oporu powietrza Foporu dzia!aj cej na poruszaj cy si# samochód. Najpierw, jak wygl da metoda indukcyjna. Badacz analizuj cy ruch samochodu ustala najpierw wielko$ci fizyczne: pr#dko$& samochodu, g#sto$& powietrza itd. Nast#pnie stawia hipotez#, "e si!a oporu powietrza zale"y od pr#dko$ci v
(porównanie z jazd na rowerze), od g#sto$ci powietrza $ (o$rodka) i od powierzchni pola przekroju S. Do$wiadczalnie sprawdza t# hipotez#. Okazuje si#, "e dla ró"nych v, $, S otrzymuje si# ró"ne warto$ci oporu powietrza. Teraz badacz buduje model matematyczny badanego zjawiska przyjmuj c, "e pomi#dzy badanymi wielko$ciami istnieje zale"no$& funkcyjna: Foporu = f(v, $, A). Celem jest znalezienie (dopasowanie) tej funkcji. Mo"na to zrobi& na wiele sposobów. Poni"ej, omówimy jeden prosty i skuteczny sposób tzw. analiz$ wymiarow".
1.4.2 Analiza wymiarowa
To post#powanie polega, w pierwszym kroku, na sformu!owaniu uogólnionego zwi zku
Foporu ~ Ax $
y v
z
gdzie x, y, z s nieznanymi wyk!adnikami pot#gi. Teraz sprawdzamy wymiar po obu stronach równania. Wyra"amy wymiar przez podstawowe wielko$ci: mas#, d!ugo$& i czas. Otrzymujemy
mlt-2
= (l2)x·(ml
-3)y·(lt
-1)z
Z przyrównania wyk!adników otrzymujemy
y = 1 (przy m) 2x-3y+z = 1 (przy l) -z = -2 (przy t)
Rozwi zaniem s x = 1, y = 1, z = 2. Wstawiaj c to do równania wyj$ciowego otrzymujemy
Foporu ~ A$v2
Okazuje si#, "e to równanie jest poprawne z dok!adno$ci do czynnika 1/2 (sta!a pro-porcjonalno$ci). Sta! t# mo"na wyznaczy& z wyników do$wiadczalnych.
1-4
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
1.4.3 Formalizm matematyczny
Uwa"a si#, "e fizyka pos!uguje si# trudn matematyk wy"sz . Tak nie jest gdy cho-dzi o podstawowe prawa. W wi#kszo$ci b#dziemy u"ywa& prostej algebry, geometrii i troch# trygonometrii. Wprowadzimy elementy rachunku ró"niczkowego i ca!kowego ale w ograniczonym zakresie. Na wst#pie kilka uwag (inne w trakcie wyk!adów).
skalary i wektory
w tek!cie oznaczenia wektorów a i a s" równowa%ne Uwaga: Stosowane
, metoda geometryczna ! Dodawanie wektorów
ie wektorów, metoda analityczna ! rozk!adanie wektorów na sk!adowe i dodawan
y
x
j
i
%
a ay
ax
!adowe: ax = a cos%; ay = a sin%
d!ugo$&:
sk
yx
yx aa jia &'
aaa &'
cc ji &
to w
c = a + b
cx = ax + bx cy = ay + by
! Mno%enie wektorów
wektorów jest skalarem (liczb )
babaab &''# %cosba
dzie % jest k tem pomi#dzy wektorami a, b.
wektor:
22
analogicznie: b ' 'yx bb ji & , c yx
dodawanie wek ró
skalarne: iloczyn dwóch
yyxx
g
1-5
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
wektorowe: bac ('
d!ugo$& wektora c: c = ab sin%
dzie % jest k tem pomi#dzy wektorami a, b
szczyzny utworzonej przez wektory a i b, gKierunek wektora c jest prostopad!y do p!atzn. prostopad!y do tych wektorów. Zwrot wektora c wyznacza regu!a $ruby prawo-skr#tnej (rysunek poni"ej)
kierunek kciuka
kierunek palców
Funkcje i liczby (warto$ci sta!e, zmienne, warto$ci chwilowe) !
!adniczego
prezentacja graficzna (wykresy)
! Zapis formalny ;wielko$ci >> 1 i znacznie << 1 konieczno$& zapisu wyknp. masa elektronu 9.1·10-31 kg. Korzystne jest to, "e przy mno"eniu wyk!adniki dodaje si#. ! Re ! Cyfry znacz ce w obliczeniach Przyk ad 2
pr#dko$ci: mierzymy drog# linijk z dok!adno$ci 1%, oraz czas zegarem z d
v = s/t = 1/3 = 0.3333333 m/s
ytanie: ile cyfr po znaku dziesi#tnym ? uwa"ana za pewn . Poniewa" odleg!o$& zmie-
v = 0.333 ) 0.003 m/s
znacza to, "e warto$& v le"y w przedziale mi#dzy 0.330 a 0.336 m/s. Wida&, "e dwie
odstawowe podr#czniki: izyka, t.I i II, PWN, Warszawa,
ne, Warszawa. Warszawa
Pomiar ok!adno$ci 0.01%. Wyniki pomiarów s = 1 m, t = 3 s, wi#c
PUmowa: przedostatnia podana cyfra jest rzona z dok!adno$ci 1% (pomiar czasu bardziej dok!adny) wi#c wynik powinien by& podany jako
Opierwsze trójki s pewne a trzecia jest nieco niepewna. Nie nale"y podawa& wyniku w postaci v = 0.3 m/s ani v = 0.3333 m/s bo jest to myl ce i niepotrzebne. PD. Halliday, R. Resnick, FJ. Orear, Fizyka, t. I i II, Wydawnictwo Naukowo TechniczCz. Bobrowski, Fizyka – krótki kurs, Wydawnictwo Naukowo Techniczne,
1-6
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
Wyk ad 2
2. Ruch jednowymiarowy
Zajmiemy si" opisem ruchu rozumianym jako zmiany po o!enia jednych cia
wzgl"dem innych, które nazywamy uk adem odniesienia. Zwró# uwag", $e to samo cia!o
mo$e porusza# si" wzgl"dem jednego uk!adu odniesienia a spoczywa# wzgl"dem inne-
go. Oznacza to, $e ruch jest poj"ciem wzgl"dnym.
2.1 Pr dko!"
Pr"dko#$ jest zmian% odleg o#ci w jednostce czasu.
2.1.1 Pr!dko"# sta a
Je$eli cia!o, które w pewnej chwili t0 znajdowa!o si" w po!o$eniu x0, porusza si"
ze sta! pr"dko%ci v to po czasie t znajdzie si" w po!o$eniu x danym zwi zkiem
x-x0 = v(t t0)
czyli
0
0
tt
xx
!v (2.1)
2 4 6 8 1
-2
0
2
4
6
8
0
x
t
Interpretacja graficzna: pr"dko%# to nachylenie prostej x(t) (ró$ne nachylenia wykresów
x(t) odpowiadaj ró$nym pr"dko%ciom).
Wielko%# v (wektor) mo$e by# dodatnia albo ujemna, jej znak wskazuje kierunek ru-
chu !!! Wektor v ujemny to ruch w kierunku malej cych x.
2.1.2 Pr!dko"# chwilowa
Je$eli obiekt przyspiesza lub zwalnia to wskazania szybko%ciomierza nie zgadzaj
si" z wyra$eniem (2.1) chyba, $e we&miemy bardzo ma!e warto%ci x x0 ("x) czyli rów-
nie$ bardzo ma!e t - t0 ("t). St d pr"dko%# chwilowa:
2-1
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
t
x
t "
"!
#" 0limv
Tak definiuje si" pierwsz pochodn , wi"c
td
d x!v (2.2)
Prezentacja graficzna
0 2 4 60
20
40
60
80
Pr"dko%# chwilowa przej%cie od siecznej do stycznej. Nachylenie stycznej to pr"d-
ko%# chwilowa (w chwili t odpowiadaj cej punktowi styczno%ci).
2.1.3 Pr!dko"# "rednia
'rednia matematyczna. Znaczenie %redniej - przyk!ady. Przyk!ady rozk!adów nie-
jednostajnych - czynniki wagowe.
Przyk ad 1
Samochód przeje$d$a odcinek 20 km z pr"dko%ci 40 km/h a potem, przez nast"pne
20 km, jedzie z pr"dko%ci 80 km/h. Oblicz pr"dko%# %redni .
t1 = x1/v1 = 20/40 = 0.5 h
t2 = x2/v2 = 20/80 = 0.25 h
2
21
21
21
1vvv
tt
t
tt
t
$$
$! = 53.33 km/h
a nie 60 km/h; (wagi statystyczne). Poniewa$ viti = xi wi"c
t
xx 0 !v (2.3)
przesuni"cie wypadkowe/czas ca!kowity.
2-2
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
Przyk ad 2
Korzystamy z warto%ci %redniej do obliczenia drogi hamowania samochodu, który
jedzie z pr"dko%ci 25 m/s (90 km/h). Czas hamowania 5 sekund. Pr"dko%# maleje jed-
nostajnie (sta!a si!a hamowania). Pr"dko%# %rednia 12.5 m/s (45 km/h).
Z równania (2.3) x - x0 = 12.5·5 = 62.5 m.
To najkrótsza droga hamowania. Warto%# %rednia daje praktyczne wyniki. Ten przyk!ad
wprowadza nas do omówienia przyspieszenia.
2.2 Przyspieszenie
Przyspieszenie to tempo zmian pr"dko#ci.
2.2.1 Przyspieszenie jednostajne i chwilowe
Pr"dko%# zmienia si" jednostajnie z czasem czyli przyspieszenie
t
0vv !a (2.4)
jest sta e.
Gdy przyspieszenie zmienia si" z czasem musimy wtedy ograniczy# si" do pomiaru
zmian pr"dko%ci "v w bardzo krótkim czasie "t (analogicznie do pr"dko%ci chwilowej).
Odpowiada to pierwszej pochodnej v wzgl"dem t.
td
dv!a (2.5)
2.2.2 Ruch jednostajnie zmienny
Cz"sto chcemy zna# zarówno po!o$enie cia!a jak i jego pr"dko%#. Ze wzoru (2.4)
mamy v = v0 + at. Natomiast do policzenia po!o$enia skorzystamy ze wzoru (2.3).
txx v$! 0
Poniewa$ w ruchu jednostajnie przyspieszonym pr"dko%# ro%nie jednostajnie od v0 do v
wi"c pr"dko%# %rednia wynosi
v = (v0 + v)/2
( cz c otrzymujemy
x = x0 + (1/2) (v0 + v)t
gdzie za v mo$emy podstawi# v0 + at. Wtedy
x = x0 + (1/2) [v0 + (v0 +at)] t
wi"c ostatecznie
2
2
00
attxx $$! v (2.6)
2-3
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
Dyskutuj c ruch po linii prostej mo$emy operowa# liczbami, a nie wektorami bo mamy
do czynienia z wektorami równoleg!ymi. Jednak trzeba sobie przy opisie zjawisk (roz-
wi zywaniu zada)) u%wiadamia#, $e mamy do czynienia z wektorami.
Przyk ad 3
Dwa identyczne cia!a rzucono pionowo do góry z pr"dko%ci pocz tkow v0 w od-
st"pie czasu "t jedno po drugim. na jakiej wysoko%ci spotkaj si" te cia!a?
Dane: v0, "t, g - przyspieszenie ziemskie.
Mo$emy rozwi za# to zadanie obliczaj c odcinki dróg
przebytych przez te cia!a: H
h
v0
1) 2
2
0
ggtH !v , v = v0 - gtg, v = 0
2)2
2
dgthH !
3)2
2
0
gtth !v , tg + td = t + "t
Trzeba teraz rozwi za# uk!ad tych równa).
Mo$na inaczej: h - to po!o$enie czyli wektor (nie odcinek). Podobnie v0t i (1/2)gt2.
W dowolnej chwili h jest sum dwóch pozosta!ych wektorów. Opis wi"c jest ten sam
w czasie ca!ego ruchu (zarówno w gór" jak i w dó!). Sprawd&my np. dla v0 = 50 m/s, g = 10 m/s
2; wi"c równanie ma posta#: h = 50t-5t
2.
Wykonujemy obliczenia przebytej drogi i wysoko%ci w funkcji czasu i zapisujemy w
tabeli poni$ej
czas [s] po!o$enie (wysoko%#) droga [m]
0 0 0
1 45 45
2 80 80
3 105 105
4 120 120
5 125 125
6 1 w dó! 120 130 5 (w dó!) 7 2 105 145 20
8 3 80 170 45
9 4 45 205 80
10 5 0 250 125
Opis matematyczny musi odzwierciedla# sytuacj" fizyczn . Na tej samej wysoko%ci h
cia!o w trakcie ruchu przebywa 2 razy (w dwóch ró$nych chwilach; pierwszy raz przy
wznoszeniu, drugi przy opadaniu). Równanie musi by# wi"c kwadratowe
(2 rozwi zania). Rozwi zaniem równania (1/2)gt2 - v0t + h = 0 s w!a%nie te dwa czasy
t1 i t2.
Z warunku zadania wynika, $e t1 t2 = "t. Rozwi zanie: 8
)(
2
22
0 gt
gh
" !
v
Pami"tanie o tym, $e liczymy na wektorach jest bardzo istotne. Szczególnie to wida#
przy rozpatrywaniu ruchu na p!aszczy&nie.
2-4
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
Wyk ad 3
3. Ruch na p aszczy!nie
Ruch w dwóch wymiarach b"dziemy opisywa# w uk!adzie wspó!rz"dnych x i y.
Np. y - wysoko$#, x - odleg!o$# w kierunku poziomym. Poka%emy, %e taki ruch mo%na
traktowa# jak dwa niezale%ne ruchy jednowymiarowe.
3.1 Przemieszczenie, pr dko!" i przyspieszenie.
Po o!enie punktu w chwili t przedstawia wektor r; pr"dko#$ wektor v; przyspiesze-
nie wektor a. Wektory r, v, a s wzajemnie zale%ne od siebie i dadz si" przedstawi#
(za pomoc wersorów i, j, k czyli wektorów jednostkowych) w postaci
yx
yx
yx
aattt
t
y
t
x
t
yx
jijia
jijir
jir
! !!
! !!
!
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
vv
vv
v
v
Czy trzeba stosowa# rozk!adanie wektorów na sk!adowe?
Przyk ad 1
&aglówka p!yn ca pod wiatr (pod k tem 45" do kierunku wiatru). Si!a, któr wiatr dzia-
!a na %agiel, popycha !ódk" prostopadle do p!aszczyzny %agla. Ze wzgl"du na kil (i ster)
!ód' mo%e porusza# si" wzd!u% osi kila. Sk!adowa si!y w tym kierunku (Fx) ma zwrot
w kierunku ruchu.
o kila
!agiel
Fx
wiatr
Ruch ze sta ym przyspieszeniem oznacza, %e nie zmienia si" kierunek ani warto#$ przy-
spieszenia tzn. nie zmieniaj si" równie% sk!adowe przyspieszenia.
Rozpatrzymy teraz przypadek punkt materialnego poruszaj cego si" wzd!u% krzywej
le% cej na p!aszczy'nie.
Rozpoczniemy od napisania równa( dla ruchu jednostajnie przyspieszonego
3-1
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
a = const
v = v0 + at
r = r0 + v0t + (1/2) at2
Prze$led'my teraz dodawanie wektorów na wykresie. Przyk!adowo punkt porusza si" z
przyspieszeniem a = [2,1], pr"dko$# pocz tkowa v0 = [1,2], a po!o%enie pocz tkowe, r0
= [1,1]. Szukamy po!o%enia cia!a np. po t = 1s i t = 3s dodaj c odpowiednie wektory tak
jak na rysunku obok.
Powy%sze równania wektorowe s równowa%ne równaniom w postaci skalarnej:
Równania opisuj ce ruch wzd!u%
osi x
Równania opisuj ce ruch wzd!u%
osi y
ax = const
vx = vx0t + axt
x = x0 + vx0t + (1/2) axt2
ay = const
vy = vy0t + ayt
y = y0 + vy0t + (1/2) ayt2
Przyk!adem na którym prze$ledzimy ruch krzywoliniowy ze sta!ym przyspieszeniem
jest rzut uko$ny.
3.2 Rzut uko!ny
Rzut uko$ny to ruch ze sta!ym przyspieszeniem g [0, -g] skierowanym w dó!. Jest
opisywany przez równania podane powy%ej w tabeli. Przyjmijmy, %e pocz tek uk!adu
wspó!rz"dnych pokrywa si" z punktem, z którego wylatuje cia!o tzn. r0 = 0.
#
v0
v0cos#
v0sin#
Pr"dko$# w chwili pocz tkowej t = 0 jest równa v0 i tworzy z k t # z dodatnim kierun-
kiem osi x. Zadaniem naszym jest: znale'# pr"dko$# i po!o%enie cia!a w dowolnej chwi-
3-2
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
li, opisa# tor, znale'# zasi"g. Sk!adowe pr"dko#ci pocz%tkowej (zgodnie z rysunkiem)
wynosz odpowiednio
vx0 = v0 cos# i vy0 = v0 sin#
Pr"dko#$ w kierunku x (poziomym)
vx = vx0 + axt
poniewa% ax = 0 wi"c: vx = v0 cos#, czyli w kierunku x ruch jest jednostajny (sk!adowa
x pr"dko$ci jest sta!a)
W kierunku y (pionowym)
vy = vy0 + ayt
poniewa% gy = -g wi"c
vy = v0 sin# – gt
Warto$# wektora wypadkowego pr"dko$ci w dowolnej chwili wynosi
22
yx vvv !
wi"c
22
0
2
0 sin2 tggt $! #vvv (3.1)
Teraz obliczamy po!o%enie cia!a
x = v0xt
czyli
x = v0 cos# t (3.2)
y = v0yt+(1/2)ayt2
czyli
y = v0 sin# t – (1/2)gt2 (3.3)
D!ugo$# wektora po!o%enia r mo%na teraz obliczy# dla dowolnej chwili t z zale%no$ci
22 yxr !
Sprawd'my po jakim torze porusza si" nasz obiekt tzn. znajd'my równanie krzywej
y(x). Mamy równania x(t) i y(t). Równanie y(x) obliczymy eliminuj c t z równa( (3.2) i
(3.3). Z równania (3.2)
t = x/v0 cos#
wi"c równanie (3.3) przyjmuje posta#
3-3
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
2
2
0 )cos(2)(tg x
gxy
##
v$! (3.4)
Otrzymali$my równanie paraboli (ramionami w dó!). Z równania paraboli obliczamy zasi"g Z czyli znajdziemy miejsca zerowe. Do równania
(3.3) wstawiamy x = Z oraz y = 0 i otrzymujemy po przekszta!ceniach dwa miejsca ze-
rowe
Z = 0
oraz
###
2sincossin2 2
0
2
0
ggZ
vv!! (3.5)
Z równania (3.4) wynika, %e zasi"g jest maksymalny gdy # = 45".
Zauwa%my, %e omawiany ruch odbywa si" po linii krzywej.
W poprzednich wyk!adach mówili$my o przyspieszeniu zmieniaj cym warto$# pr"dko-
$ci, a nie jej kierunek (zwrot). Mówili$my o przyspieszeniu stycznym.
Rozpatrzmy teraz sytuacje gdy warto#$ pr"dko$ci si" nie zmienia a zmienia si" kieru-
nek.
3.3 Ruch jednostajny po okr gu
Rozwa%my zamieszczony obok rysunek. Punkt P - po!o%enie punktu materialnego w
chwili t, a P' - po!o%enie w chwili t + %t. Wektory v, v' maj jednakowe d!ugo$ci ale
ró%ni si" kierunkiem; s styczne do toru (krzywej) odpowiednio w punktach P i P'.
#
rO
P
P'
v
v'
v
v'%v
#
Przerysujmy wektory v i v' zaznaczaj c zmian" pr"dko$ci %v. Zauwa%my, %e k t po-
mi"dzy tymi wektorami jest taki sam jak k t na pierwszym rysunku. Zaznaczone trójk -
ty s podobne wi"c :r
l!
%
v
v, gdzie l jest d!ugo$ci !uku (pod warunkiem, %e l jest bar-
dzo ma!e (l&0)). St d
%v = vl/r.
a poniewa%
l = v %t
wi"c
%v = v2 %t/r
Ostatecznie
a = %v/%t
3-4
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
wi"c
r
a2
v! (3.6)
To przyspieszenie nazywamy przyspieszeniem normalnym (w odró%nieniu od styczne-
go) bo jest prostopad!e do toru. W przypadku ruchu po okr"gu kierunek prostopad!y do
toru jest skierowany do $rodka i dlatego takie przyspieszenie nazywamy równie% przy-
spieszeniem do#rodkowym. Przyspieszenie normalne zmienia kierunek pr"dko$ci.
Cz"sto wyra%a si" to przyspieszenie przez okres T. Poniewa%
v = 2'r/T
wi"c
a = 4'2r/T
2
Przyk ad 2
przyspieszenia do$rodkowego, wynikaj cego z obrotu Ziemi, doznaje cia!o
b"d
a = 0.0034 m/s2.
tanowi to 0.35 % przyspieszenia ziemskiego g = 9.81 m/s2.
niejsza (np. !atwiej pobi#
yk!ad, w którym zmienia si" i warto#$ i kierunek pr"dko$ci.
Wr
ieszenia stycznego i normalnego (jako
Jakiego
ce na równiku? RZ = 6370 103 m, T = 8.64 10
4 sec.
S
Przy za!o%eniu, %e Ziemia jest kul waga na równiku jest m
rekord w skoku wzwy%).
Prze$led'my teraz prz
acamy do rzutu uko$nego. Przyspieszenie g (jedyne) jest odpowiedzialne za zmian"
zarówno warto$ci pr"dko$ci jak i jej kierunku.
Prezentacja graficzna z zaznaczeniem przysp
sk!adowych g) jest przedstawiona poni%ej.
g
as
ar
y obie sk!adowe przyspieszenia. Teraz obliczym
a) Przyspieszenie styczne
tas
d!
dv
rzypomnijmy, %e zale%no$# v(t) w rzucie uko$nym jest dana równaniem (3.1)
(
P22
0
2
0 sin2 tggt $! #vvv ).
3-5
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
St d
aS ! gtggt
gt22
0
2
0
0
sin2
sin
$
$
#
#
vv
v
b) Przyspieszenie do$rodkowe
k wynika z rysunku Ja
22
sr aga $!
b lu
ra
2v
! ale trzeba umie# obliczy# %dym punkcie toru. promie( krzywizny w ka
3-6
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
Wyk ad 4
4. Dynamika punktu materialnego
4.1 Wst p
Dotychczas starali"my si# opisywa$ ruch za pomoc wektorów r, v, oraz a. By!y to
rozwa%ania geometryczne. Teraz omówimy przyczyny ruchu, zajmiemy si# dynamik .
Nasze rozwa%ania ograniczymy do przypadku du%ych cia! poruszaj cych si# z ma!ymi
(w porównaniu z pr#dko"ci "wiat!a w pró%ni) pr#dko"ciami tzn. zajmujemy si# mecha-
nik klasyczn .
Podstawowy problem mechaniki klasycznej:
! mamy cia!o (zachowuj ce si# jak punkt materialny) o znanych w!a"ciwo"ciach (ma-
sa, !adunek itd.),
! umieszczamy to cia!o, nadaj c mu pr#dko"$ pocz tkow , w otoczeniu, które znamy,
! pytanie: jaki b#dzie ruch cia!a?
Aby bada$ ruch cia!a wywo!any si! na nie dzia!aj c trzeba wiedzie$ jakiego rodzaju
jest to si!a i sk d si# bierze. Teraz zajmiemy si# ogólnymi skutkami si! a dalej b#dziemy
rozwa%a$ specjalne w!asno"ci si! grawitacyjnych, elektromagnetycznych, s!abych i j -
drowych.
W dzisiejszym rozumieniu mechaniki klasycznej w celu rozwi zania naszego problemu
musimy:
! wprowadzi$ poj#cie si!y F,
! ustali$ sposób przypisania masy m aby opisa$ fakt, %e ró%ne cia!a wykonane z tego
samego materia!u, w tym samym otoczeniu uzyskuj ró%ne przyspieszenia (np. pchamy
z ca! si! dwa ro%ne pojazdy i uzyskuj ró%ne a),
! szukamy sposobu obliczenia si! dzia!aj cych na cia!o na podstawie w!a"ciwo"ci tego
cia!a i otoczenia - szukamy praw rz dz cych oddzia!ywaniami ("teorii").
4.2 Definicje
4.2.1 Masa
Definicja o charakterze operacyjnym (recepta na post#powanie). Nieznan mas# m
porównujemy ze wzorcem masy 1 kg. Umieszczamy pomi#dzy nimi spr#%yn# i zwal-
niamy j . Masy, które pocz tkowo spoczywa!y polec w przeciwnych kierunkach z
pr#dko"ciami v0 i v.
m0 mv0 v
4-1
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
Nieznan mas# m definiujemy jako
v
v00mm " (4.1)
4.2.2 P!d
P#d cia!a definiujemy jako iloczyn jego masy i jego pr#dko"ci wektorowej.
vm#p (4.2)
(Intuicyjnie, ta wielko"$ ma istotne znaczenie np. przy opisie zderze& gdzie liczy si#
zarówno pr#dko"$ jak i masa.)
4.2.3 Si a
Je%eli na cia!o o masie m dzia!a pojedyncza si!a F1, to definiujemy j jako zmian# w
czasie p#du cia!a.
td
d1
pF " (4.3a)
po rozwini#ciu
tm
t
m
t
m
d
d
d
d
d
)d(1
vv
v$#"F
Dla cia!a o sta!ej masie
aF mt
m ##d
d1
v (4.3b)
Przyk!ady uk!adów o sta!ej i zmiennej masie.
4.3 Zasady dynamiki Newtona
Aby przewidzie$ ruch pod wp!ywem si!y musimy mie$ "teori#". Czy teoria jest do-
bra czy nie mo%na stwierdzi$ tylko poprzez do"wiadczenie.
Podstawowa teoria, która pozwala nam przewidywa$ ruch cia!, sk!ada si# z trzech
równa&, które nazywaj si# zasadami dynamiki Newtona.
Najpierw podamy sformu!owanie, a potem dyskusja i rozwini#cie.
Sformu!owanie pierwszej zasady dynamiki Newtona
Cia!o pozostaje w stanie spoczynku lub w stanie sta!ej pr#dko"ci (zerowe przyspie-
szenie) gdy jest pozostawione samo sobie (dzia!aj ca na nie si!a wypadkowa jest równa
zero).
a = 0, gdy Fwypadkowa = 0
gdzie Fwypadkowa jest sum wektorow wszystkich si! dzia!aj cych na cia!o.
Uwaga: a = 0, oznacza, %e nie zmienia si# ani warto"$ ani kierunek tzn. cia!o jest w
spoczynku lub porusza si# ze sta! co do warto"ci pr#dko"ci po linii prostej (sta!y kie-
runek).
4-2
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
Sformu!owanie drugiej zasady dynamiki Newtona
Tempo zmiany p#du cia!a jest równe sile wypadkowej dzia!aj cej na to cia!o.
aFp
F mt
wypwyp ## czyli,d
d (4.4)
Zwró$my uwag#, %e w definicji F mówimy o pojedynczej sile, a tu mamy do czynienia
z si! wypadkow .
Sformu!owanie trzeciej zasady dynamiki Newtona
Gdy dwa cia!a oddzia!uj wzajemnie, to si!a wywierana przez cia!o drugie na cia!o
pierwsze jest równa i przeciwnie skierowana do si!y, jak cia!o pierwsze dzia!a na dru-
gie
FA%B = - FB%A
4.3.1 Pierwsza zasada dynamiki Newtona
Pierwsza zasada wydaje si# by$ szczególnym przypadkiem drugiej. Przypisujemy jej
jednak wielk wag# ze wzgl#dów historycznych (prze!amanie dogmatu Arystotelow-
skiego, %e wszystkie cia!a musz si# zatrzyma$ gdy nie ma si! zewn#trznych) oraz dla-
tego, %e zawiera wa%ne prawid!o fizyczne: istnienie inercjalnego uk!adu odniesienia.
Pierwsza zasada dynamiki stwierdza, %e je%eli na cia!o nie dzia!aj si!y zewn#trzne
i
k!ady iner-
cja
niesienia (obser-
wa
y cia!a-
mi
a zasada dynamiki Newtona
e y obserwator znajduje si# w uk!adzie iner-
cjalnym. Si!a w drugiej zasadzie dynamiki jest si! wypadkow (trzeba bra$ sum# wek-
toro
to stnieje taki uk!ad odniesienia, w którym to cia!o spoczywa lub porusza si" ruchem
jednostajnym prostoliniowym. Taki uk!ad nazywamy uk!adem inercjalnym.
Ka%dy ruch musi by$ opisany wzgl#dem pewnego uk!adu odniesienia. U
lne s tak istotne bo we wszystkich takich uk!adach ruchami cia! rz dz dok!adnie te
sama prawa. Wi#kszo"$ omawianych zagadnie& b#dziemy rozwi zywa$ w!a"nie w in-
ercjalnych uk!adach odniesienia. Zazwyczaj przyjmuje si#, %e s to uk!ady, które spo-
czywaj wzgl#dem gwiazd sta!ych ale uk!ad odniesienia zwi zany z Ziemi w wi#kszo-
"ci zagadnie& jest dobrym przybli%eniem uk!adu inercjalnego.
Poniewa% przyspieszenie cia!a zale%y od przyspieszenia uk!adu od
tora), w którym jest mierzone wi#c druga zasada dynamiki jest s!uszna tylko, gdy
obserwator znajduje si# w uk!adzie inercjalnym. Inaczej mówi c, prawa strona równa-
nia F = ma zmienia!aby si# w zale%no"ci od przyspieszenia obserwatora.
Zauwa%my, %e pierwsza zasada nie wprowadza %adnego rozró%nienia mi#dz
spoczywaj cymi i poruszaj cymi si# ze sta! pr#dko"ci . Ka%dy z tych stanów mo%e
by$ naturalnym stanem cia!a gdy nie ma %adnych si!. Nie ma ró%nicy pomi#dzy sytuacj
gdy nie dzia!a %adna si!a i przypadkiem gdy wypadkowa wszystkich si! jest równa zeru.
4.3.2 Drug
Wi my ju%, %e ta zasada jest s!uszna gd
w wszystkich si!).
Zastanówmy si# jaka jest ró%nica mi#dzy definicj si!y, a drug zasad dynamiki?
4-3
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
Czy F = ma nie powinno by$ prawdziwe z definicji, a nie dlatego, %e jest to podstawo-
(4.3b) i (4.4) polega na tym, %e w tym drugim wyst#puje
4.3.3 Trzecia zasada dynamiki Newtona
Za!ó%my, %e mamy uk!ad, który sk!ada si# z mA i mB. Wtedy jedynymi si!ami b#d
si!y
ania mi#dzy dwoma cia!ami
we prawo przyrody?
Ró%nica pomi#dzy równaniami
si!a wypadkowa. To jest wa%na ró%nica!!! Oznacza to, %e w tym równaniu jest zawarta
dodatkowa informacja (któr trzeba sprawdzi$ do"wiadczalnie), a mianowicie addytyw-
no"$ masy i wektorowe dodawanie si!. Chocia% wydaje si# to banalne, %e po! czenie
mas m1 i m2 daje przedmiot o masie m = m1 + m2 to jak ka%de twierdzenie w przyrodzie
musi by$ sprawdzone do"wiadczalnie. Istniej wielko"ci fizyczne, które nie s addy-
tywne np. k ty (nieprzemienne dodawanie) czy obj#to"ci mieszanin (np. woda i alko-
hol).
oddzia!ywania mi#dzy tymi cia!ami np. grawitacyjne.
Trzecia zasada stwierdza, %e w przypadku si! oddzia!yw
FA = - FB .
Przyk!ad 1
Rozwa%my uk!ad trzech cia! o masach 3m, 2m i m po! czonych nitkami tak jak na
rysunku. Uk!ad jest ci gni#ty zewn#trzn si! F. Szukamy przyspieszenia uk!adu i na-
pr#%e& nici. Si!y przenoszone s przez sznurki (zak!adamy, %e ich masy s zaniedby-
walne).
F
3mg
R1
2mg
R2R3
mg
N1 -N1N2 -N2
y II zasad# dynamiki dla ka%dego cia!a osobno Piszem
F - N1 = 3ma
odaj c stronami otrzymujemy
F = (3m + 2m + m)a
st d
a = F/6m, N1 = F/2, N2 = F/6
dnostki si!y i masy
(N) 1N = 1kg·1m/s2
N1 -N2 = 2ma
N2 = ma
D
Je
W uk!adzie SI: niuton
4-4
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
Wyk ad 5
5. Dynamika punktu materialnego II
5.1 Si y kontaktowe i tarcie
5.1.1 Si y kontaktowe
Gdy dwa cia!a s dociskane do siebie to wyst"puj mi"dzy nimi si y kontaktowe. #ród!em tych si! jest odpychanie pomi"dzy atomami. Przy dostatecznie ma!ej odleg!o$ci wyst"puje przekrywanie chmur elektronowych i ich odpychanie rosn ce wraz z malej -c odleg!o$ci . To jest si!a elektromagnetyczna i mo%e by& bardzo du%a w porównanie z si!ami grawitacyjnymi. Je%eli si!a ci"%ko$ci pcha blok w dó! si! Fg to powstaje druga si!a - si!a kontaktowa F1. Si!a wypadkowa Fwyp = 0. We wszystkich przypadkach stosowania drugiej zasady dynamiki Newtona jest bardzo istotne, %eby obliczy& si ! wypadkow". Przyk ad 1
Rozwa%my dwa klocki m1 i m2 na g!adkiej powierzchni. Do klocka m1 przy!o%o-no si!" F. Czy si!a F jest przenoszona poprzez klocek 1 na klocek 2? Gdyby tak by!o to zgodnie z trzeci zasad dynamiki Newtona klocek 2 dzia!a!by na klocek 1 si! równ i przeciwnie skierowan . Wtedy Fwyp równa!aby si" zero!!!!, czyli, %e nie mo%na by by!o poruszy& cia!a 1 bez wzgl"du na to jak du%a jest si!a F.
F Fk -Fk
m2 m1
Zasada Newtona nie mówi, %e si!a F jest przenoszona przez klocek 1 na klocek 2; po-
winno si! przyj"# si ! kontaktow" Fk o dowolnej warto$ci. Ogólnie: powinno si" stoso-wa& drug zasad" dynamiki oddzielnie do ka%dego cia a. Dla klocka 1 otrzymujemy wtedy F - Fk = m1a Dla klocka 2 Fk = m2a St d przyspieszenie a = F/(m1 + m2) Zauwa%my, %e ten wynik mo%na otrzyma& gdy traktujemy te dwa klocki jak jedn mas" m = m1 + m2.
5.1.2 Tarcie
Si!y kontaktowe, o których mówili$my s normalne (prostopad!e) do powierzchni. Istnieje jednak sk!adowa si!y kontaktowej le% ca w p!aszczy'nie powierzchni. Je%eli cia!o pchniemy wzd!u% sto!u to po pewnym czasie cia!o to zatrzyma si". Z drugiej zasa-dy dynamiki wiemy, %e je%eli cia!o porusza si" z przyspieszeniem to musi dzia!a& si!a. Tak si!" nazywamy si! tarcia.
5-1
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
Rozwa%my np. klocek, do którego przyk!adamy "ma! " si!" F tak, %e klocek nie po-rusza si". Oznacza to, %e sile F przeciwstawia si" si!a tarcia T. Mamy wi"c: T = -F. Zwi"kszamy stopniowo si!" F a% klocek zaczyna si" porusza&. Im g!adsza powierzchnia tym szybciej to nast pi. Oznacza to, %e si!a tarcia zmienia si" od warto$ci zero do pew-nej warto$ci krytycznej w miar" wzrostu si!y F. Oznaczmy t" krytyczn si!" Ts (s-statyczna). To jest maksymalna si a tarcia statycznego. Ts (dla pary powierzchni suchych) spe!nia dwa prawa empiryczne: ! Jest w przybli%eniu niezale%na od powierzchni zetkni!cia (w szerokim zakresie), ! Jest proporcjonalna do si y normalnej (prostopad!ej) z jak" jedna powierzchnia na-
ciska na drug". Stosunek si!y Ts do nacisku FN nazywamy wspó czynnikiem tarcia statycznego "s
N
ss
F
T#" (5.1)
Uwaga: Mówimy tylko o warto$ciach tych si! bo s one do siebie prostopad!e. Je%eli F jest wi"ksze od Ts to klocek poruszy si", ale b"dzie istnia!a si!a tarcia Tk (k - kinetycz-na) przeciwstawiaj ca si" ruchowi. Si!a Tk spe!nia trzy prawa empiryczne: ! Jest w przybli%eniu niezale%na od powierzchni zetkni!cia (w szerokim zakresie), ! Jest proporcjonalna do si y normalnej (prostopad!ej) z jak" jedna powierzchnia na-
ciska na drug", ! Nie zale%y od pr!dko$ci wzgl!dnej poruszania si! powierzchni. Istnieje odpowiedni wspó czynnik tarcia kinetycznego "k
N
kk
F
T#" (5.2)
Dla wi"kszo$ci materia!ów "k jest nieco mniejszy od "s. Np. "k $ 1 dla opon na jezdni betonowej.
Tarcie jest bardzo z!o%onym zjawiskiem i wyja$nienie go wymaga znajomo$ci od-dzia!ywa( atomów na powierzchni. Nie b"dziemy si" tym zajmowa&. Ograniczmy si" do zauwa%enia, %e tarcie odgrywa bardzo istotn rol" w %yciu codziennym. W samo-chodzie np. na pokonanie si!y tarcia zu%ywa si" oko!o 20% mocy silnika. Tarcie powo-duje zu%ywanie poruszaj cych si" cz"$ci maszyn. Staramy si" je zwalcza&. Z drugiej strony bez tarcia nie mogliby$my chodzi&, je'dzi& samochodami, trzyma& o!ówka, kre-dy, czy te% nimi pisa&.
5.2 Si y bezw adno!ci
We wst"pie wyszczególnione zosta!y cztery rodzaje si! wyst"puj cych w przyrodzie. Wszystkie te si!y nazywamy si ami rzeczywistymi, poniewa% mo%emy je zawsze zwi -za& z jakim$ konkretnym cia!em, mo%emy poda& ich pochodzenie. Czy to samo mo%e-my powiedzie& np. o takich si!ach jakich dzia!ania "doznajemy" np. przy przyspiesza-niu, hamowaniu czy zakr"caniu samochodu?
5-2
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
Przyk ad 2 Dwaj obserwatorzy opisuj ruch kulki w sytuacji pokazanej na rysunku poni%ej. Jeden z obserwatorów znajduje si" w wózku a drugi stoi na Ziemi. Wózek pocz tkowo porusza si" ze sta! pr"dko$ci po linii prostej (rys. 1), nast"pnie hamuje ze sta!ym opó'nieniem a (rys. 2). Mi"dzy kulk a wózkiem nie ma tarcia.
v(1) (2)vk=0, F=0
vk=const, F=0vk=const, F=0
- a a
F1=-ma
Gdy wózek jedzie ze sta! pr"dko$ci to obydwaj obserwatorzy stwierdzaj zgodnie na podstawie pierwszej zasady dynamiki, %e na kulk" nie dzia!a %adna si!a. Zwró&my uwa-g", %e obserwatorzy znajduj si" w inercjalnych uk!adach odniesienia. Sytuacja zmienia si" gdy wózek zaczyna hamowa& (rys. 2). Obserwator zwi zany z Ziemi dalej twierdzi, %e kulka porusza si" ze sta! pr"dko$ci , a tylko pod!oga wózka przesuwa si" pod nim. Natomiast obserwator w wózku stwierdza, %e kulka zaczyna si" porusza& si" z przyspie-szeniem –a w stron" przedniej $ciany wózka. Dochodzi do wniosku, %e na kulk" o ma-sie mk zacz"!a dzia!a& si!a
F1 = - mka ale nie mo%e wskaza& %adnego cia!a, b"d cego 'ród!em tej si!y. Mówili$my ju%, %e dru-ga zasada dynamiki jest s!uszna tylko w inercjalnym uk!adzie odniesienia. Zauwa%my, %e obserwator w wózku znajduje si" teraz w uk!adzie nieinercjalnym. Wida&, %e jest w b!"dzie; nie istnieje rzeczywista si!a F1. Jest to tak zwana pozorna si a bezw adno$ci.
Powstaje wi"c pytanie jak post"powa& gdy musimy rozwi za& problem w uk!adzie nieinercjalnym. W tym celu rozpatrzmy dalszy ruch kulki. Gdy dotrze ona do przedniej $cianki to wówczas wed!ug obserwatora na Ziemi (uk!ad inercjalny) b"dzie porusza& si" z przyspieszeniem a (takim jak wózek) bo dzia!a na ni si!a Fs spr"%ysto$ci przedniej $ciany wózka równa
Fs = mka
Natomiast obserwator w wózku stwierdza, %e kulka przesta!a si" porusza&; spoczywa wzgl"dem niego. Jego zdaniem si!a spr"%ysto$ci $ciany Fs równowa%y si!" F1, tak %e si!a wypadkowa jest równa zeru i kulka nie porusza si"
Fs + F1 = 0 co po podstawieniu za F1 = - mka daje
5-3
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
Fs = mka
Okazuje si", %e wynik otrzymany przez obserwatora w uk!adzie nieinercjalnym jest taki sam jak dla obserwatora zwi zanego z Ziemi ale pod warunkiem uwzgl"dnienia si po-
zornych. Si!y te "znikaj " je$li rozpatrujemy ruch z punktu widzenia uk!adu inercjalne-go. Wprowadzenie ich pozwala po prostu na stosowanie mechaniki klasycznej do opisu zdarze( w uk!adach poruszaj cych si" z przyspieszeniem. W takim uk!adzie uwzgl"d-niamy, %e na ka%de cia!o dzia!a si!a wprost proporcjonalna do masy tego cia!a, do przy-spieszenia uk!adu a i jest skierowana przeciwnie do a. Przyk ad 3
Winda porusza si" ruchem jednostajnie zmiennym. Czas spadania cia!a puszczonego swobodnie w tej windzie, na drodze od sufitu do pod!ogi, jest o 25% wi"kszy ni% w windzie stoj cej. Obliczy& przyspieszenie windy. Dane jest przyspieszenie ziemskie g. Rozwi zujemy zadanie w uk!adzie inercjalnym i nieinercjalnym tzn. obserwator w jed-nym przypadku znajduje si" na zewn trz windy, a w drugim jest pasa%erem tej windy.
H
h
W przypadku pierwszym obserwator "widzi" (mierzy), %e cia!o przebywa d!u%sz drog"
gdy winda jest w ruchu. Dla windy stoj cej
2
21gt
H #
Dla windy w ruchu
2
22gt
hH #%
oraz
2
22at
h #
przy czym
12 t45
t #
Rozwi zanie tego uk!adu równa( daje wynik ga25
9#
5-4
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
Drugi obserwator za ka%dym razem widzi, %e cia!o przebywa t" sam drog" H od sufitu do pod!ogi ale w ró%nych czasach. Wniosek: w obu przypadkach jest ró%ne przyspie-szenie. Obserwator wprowadza do oblicze( dodatkow si!" nadaj c przyspieszenie –a. Odpowiednie równania wygl daj teraz: Dla windy stoj cej
2
21gt
H #
Dla windy w ruchu
2
)( 22tag
H&
#
Uwzgl"dniaj c, %e
12 4
5tt #
otrzymujemy ga25
9# .
Tak wi"c uwzgl!dnienie si bezw adno$ci jest konieczne je%eli chcemy stosowa# zasady
dynamiki w uk adach nieinercjalnych. W takim uk!adzie uwzgl"dniamy, %e na ka%de cia!o dzia!a si!a wprost proporcjonalna do masy tego cia!a, do przyspieszenia uk!adu a i jest skierowana przeciwnie do a.
Inny przyk!ad stanowi uk!ady nieinercjalne poruszaj ce si" ruchem obrotowym. Np. obserwator w satelicie kr % cym wokó! Ziemi obserwuj c cia!o spoczywaj ce w tym satelicie stwierdza, %e si!a wypadkowa dzia!aj ca na ten obiekt jest równa zeru. Musi wi"c istnie&, wed!ug niego, si!a która równowa%y si!" grawitacji (do$rodkow ). Si!" t" nazywamy si " od$rodkow" i jest to si a pozorna.
Na zako(czenie rozpatrzmy ruch post"powy cia!a w obracaj cym si" uk!adzie od-niesienia. Przyk!adem mo%e by& cz!owiek poruszaj cy si" po linii prostej (radialnie) od $rodka do brzegu karuzeli obracaj cej si" z pr"dko$ci k tow '. Na rysunku poni%ej pokazana jest zmiana pr"dko$ci cz!owieka.
()!
vr
vr vs
vs
r
r+(r!A
A'
'!
vr
vr
(vr
()
Linia (promie() wzd!u% której porusza si" cz!owiek zmienia swój kierunek (karuzela obraca si") o k t ()!w czasie (t, cz!owiek zmienia swoje po!o%enie z punktu A do A'. Obliczymy teraz zmian" jego pr"dko$ci radialnej vr i stycznej vs. Pr"dko$& radialna zmienia swój kierunek.
5-5
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
Pr"dko$& styczna natomiast zmienia zarówno kierunek (przyspieszenie do$rodkowe) ale równie% warto$& bo cz!owiek oddala si" od $rodka (ro$nie r). Najpierw rozpatrzmy ró%nic" pr"dko$ci vr w punktach A i A' pokazan na powy%szym rysunku po prawej stronie. Dla ma!ego k ta () (tzn. ma!ego (t) mo%emy napisa&
(vr = vr ()!
Je%eli obustronnie podzielimy równanie przez (t to w granicy (t 0 otrzymamy
')
rrr
tta v
dv
v###
d
d
d1 !
Zmienia si" równie% pr"dko$& styczna bo cz!owiek porusza si" wzd!u% promienia. W punkcie A pr"dko$& styczna vs = 'r, a w punkcie A' vs' = '(r+(r). Zmiana pr"dko$ci stycznej wynosi wi"c
(vs = '(r+(r) - 'r = '(r!
!
Je%eli obustronnie podzielimy równanie przez (t to w granicy (t 0 otrzymamy
rs
t
r
ta v
v'' ###
d
d
d
d2
Przyspieszenia a1 i a2 maj ten sam kierunek (równoleg!y do vs) wi"c przyspieszenie ca!kowite wynosi a = a1 + a2 = 2'vr (5.3) Przyspieszenie to jest nazywane przyspieszeniem Coriolisa. Pochodzi ono st d, %e na-wet przy sta!ej pr"dko$ci k towej ' ro$nie pr"dko$& liniowa cz!owieka bo ro$nie r. Gdyby cz!owiek sta! na karuzeli to obserwator stoj"cy na ziemi mierzy!by tylko przy-spieszenie do$rodkowe ('2
r) skierowane do $rodka wzd!u% promienia. Natomiast gdy cz!owiek idzie na zewn trz to obserwator rejestruje tak%e przyspieszenie Coriolisa (o kierunku równoleg!ym do vs). Oczywi$cie musi istnie& si!a dzia!aj ca w tym kierunku. Jest ni w tym przypadku si!a tarcia mi"dzy pod!og i butami id cego cz!owieka. Jednak obserwator zwi zany z karuzel nie widzi ani przyspieszenia do$rodkowego ani
ruszaj ce si" ruchem post"powym z pr"dko$ci v w ob-
Fc = 2mv*'!! (5.4)
przyspieszenia Coriolisa, cz!owiek poruszaj cy si" wzd!u% promienia jest w stanie rów-nowagi w uk!adzie karuzeli. A przecie% istnieje realnie odczuwalna (rzeczywista) si!a tarcia. )eby wyeliminowa& t" rozbie%no$& obserwator stoj cy na karuzeli wprowadza dwie si!y pozorne równowa% ce si!" tarcia. Jedna to si a od$rodkowa, a druga to si a
Coriolisa. Si!a od$rodkowa dzia!a radialnie na zewn trz, a si!a Coriolisa stycznie ale przeciwnie do vs. Ogólnie, na cia!o o masie m poracaj cym si" uk!adzie odniesienia dzia!a si!a bezw!adno$ci zwana si! Coriolisa Fc
5-6
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
Wprowadzenie si! pozornych (nie umiemy pokaza& ich 'ród!a) jest konieczne aby móc
iruje. W wyniku tego ob-rotu
stosowa& mechanik" klasyczn w uk!adach nieinercjalnych. Ziemia nie jest idealnym uk!adem inercjalnym poniewa% w w zjawiskach zachodz cych na Ziemi obserwujemy si!" Coriolisa. Przyk!adowo,
rzeki p!yn ce na pó!kuli pó!nocnej podmywaj silniej prawy brzeg. Równie% cia!a spa-daj ce swobodnie odchylaj si" od pionu pod dzia!aniem tej si!y. W wi"kszo$ci rozpa-trywanych przez nas zjawisk mo%na jednak zaniedba& wp!yw ruchu Ziemi na ich prze-bieg.
5-7
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
Wyk ad 6
6. Ci!"enie powszechne (grawitacja)
6.1 Prawo powszechnego ci !enia
Newton - 1665 spadanie cia!. Skoro istnieje si!a przyci gania pomi"dzy dowolnym
cia!em i Ziemi , to musi istnie# si!a mi"dzy ka$dymi dwoma masami m1 i m2. Skoro si!a
jest proporcjonalna do masy cia!a to musi by# proporcjonalna do ka$dej z mas m1 i m2
oddzielnie czyli:
F m1m2
Newton zastanawia! si" równie$, czy si!a dzia!aj ca na cia!a b"dzie mala!a wraz ze
wzrostem odleg!o%ci. Doszed! do wniosku, $e gdyby cia!o znalaz!o si" w odleg!o%ci ta-
kiej jak Ksi"$yc to b"dzie ono mia!o takie samo przyspieszenie jak Ksi"$yc bowiem
natura si!y grawitacyjnej pomi"dzy Ziemi i Ksi"$ycem jest taka sama jak pomi"dzy
Ziemi i ka$dym cia!em.
Przyk ad 1
Obliczmy jakie jest przyspieszenie Ksi"$yca i jaki jest stosunek przyspieszenia
Ksi"$yca do przyspieszenia grawitacyjnego przy powierzchni Ziemi?
Zastosujemy równanie na przyspieszenie do%rodkowe (wyk!ad 3 - ruch jednostajny po
okr"gu). Wówczas:
2
22
2 4
T
RR
Ra K
K
K
!" ###
v
gdzie RK jest odleg!o%ci od Ziemi do Ksi"$yca. Ta odleg!o%# wynosi 3.86·105 km,
a okres obiegu Ksi"$yca T = 27.3 dnia. Otrzymujemy wi"c
a = 2.73·10-3
m/s2
W pobli$u powierzchni Ziemi przyspieszenie wynosi 9.8 m/s2. St d stosunek przyspie-
sze& wynosi:
a/g = 1/3590 $ (1/60)2
W granicach b!"du a/g = . 22 / KZ RR
Newton wykona! takie obliczenia i wyci gn ! wniosek, $e si!a przyci gania mi"dzy
dwoma masami maleje odwrotnie proporcjonalnie do kwadratu odleg!o%ci mi"dzy nimi
(odleg!o%# mi"dzy %rodkami mas). Sformu!owa! wi"c prawo powszechnego ci $enia
2
21~r
mmF
Sta! proporcjonalno%ci oznacza si" G, wi"c
6-1
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
2
21
r
mmGF # (6.1)
Newton oszacowa! warto%# sta!ej G zak!adaj c %redni g"sto%# Ziemi % = 5·103 kg/m
3
(porówna# to z g"sto%ci pierwiastków z uk!adu okresowego np. %Si = 2.8·103 kg/m
3,
%Fe = 7.9·103 kg/m
3).
Punktem wyj%cia jest równanie:
2
21
r
mmGF #
Je$eli we'miemy r = RZ to otrzymamy:
2
21
ZR
mmGF #
Zgodnie z II zasad Newtona F = ma, gdzie a = g.
St d
mgR
mmG
Z
#2
21
wi"c
Z
Z
M
gRG
2
#
Wiemy, $e MZ = %VZ wi"c
ZZ
Z
R
g
R
gRG
!%!% 4
3
3
4 3
2
##
Uwzgl"dniaj c RZ = 6.37·106 m otrzymamy G = 7.35·10
-11 Nm
2/kg
2 co jest warto%ci
tylko o 10% wi"ksz ni$ ogólnie przyj"ta warto%# 6.67·10-11
Nm2/kg
2.
Porównuj c przyspieszenie grawitacyjne na orbicie Ksi"$yca i na powierzchni Ziemi,
Newton zak!ada!, $e Ziemia zachowuje si" tak jakby jej ca!a masa by!a skupiona w
%rodku. Zgadywa!, $e tak ma by# ale dowód matematyczny przeprowadzi! dopiero 20
lat pó'niej (wtedy te$ sformu!owa! rachunek ca!kowy).
Równanie (6.1) nazywa si! prawem powszechnego ci"#enia, poniewa# dok adnie to sa-
mo prawo stosuje si! do wszystkich si grawitacyjnych. To samo prawo wyja%nia spada-
nie cia! na Ziemi", t!umaczy ruch planet, pozwala obliczy# ich masy i okresy obiegu.
Przyk ad 2
Jaki by! okres obiegu Ksi"$yca przez modu! statku Apollo?
F = ma
6-2
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
2R
mMGF K#
gdzie MK jest mas Ksi"$yca, a R promieniem orbity po jakiej kr $y modu! o masie m.
Poniewa$ przyspieszenie
2
24
T
Ra
!#
wi"c
&&'
())*
+#
2
2
2
4
T
Rm
R
mMG K !
KGM
RT
322 4!#
KGM
RT
3
2!#
Podstawiaj c warto%ci liczbowe: promie& Ksi"$yca R = 1740 km, mas" MK = 7.35·1022
kg i G = 6.67·10-11
Nm2/kg
2, otrzymamy T = 6.5·10
3 s czyli 108 minut.
6.2 Do"wiadczenie Cavendisha
Newton obliczy! warto%# sta!ej G na podstawie przyj"tego za!o$enia o %redniej war-
to%ci g"sto%ci Ziemi. Gdyby Ziemia mia!a tak jak gwiazdy j dro o super wielkiej g"sto-
%ci to wynik uzyskany przez Newtona by!by obarczony du$ym b!"dem. Czy mo$na wy-
znaczy# sta! G w laboratorium niezale$nie od masy Ziemi i tym samym unikn # b!"du
zwi zanego z szacowaniem g"sto%ci Ziemi?
W tym celu trzeba zmierzy# si!" oddzia!ywania dwóch mas m1 i m2 umieszczonych
w odleg!o%ci x (rysunek).
x
m1 m2
F F
Wówczas si!a
F = Gm1m2/x2
czyli
21
2
mm
FxG #
6-3
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
Zauwa$my, $e dla mas ka$da po 1 kg oddalonych od siebie o 10 cm si!a F ma warto%#
F = 6.67·10-9
N tj. 109 razy mniej ni$ ci"$ar 1 kg i jest za ma!a by j wykry# (dok!adnie)
zwyk!ymi metodami.
Problem ten rozwi za! Henry Cavendish w 1797 r. Wykorzysta! on fakt, $e si!a po-
trzebna do skr"cenia d!ugiego, cienkiego w!ókna kwarcowego o kilka stopni jest bardzo
ma!a. Cavendish najpierw wykalibrowa! w!ókna, a nast"pnie zawiesi! na nich pr"t z
dwiema ma!ymi kulkami o!owianymi na ko&cach (rysunek a). Nast"pnie w pobli$u ka$-
dej z kulek umie%ci! wi"ksz kul" o!owian i zmierzy! precyzyjnie k t o jaki obróci! si"
pr"t (rysunek b). Pomiar wykonane metod Cavendisha daj warto%# G = 6.67·10-11
Nm2/kg
2.
m
m
M
M
,
a) b)
6.2.1 Wa"enie Ziemi
Maj c ju$ godn zaufania warto%# G, Cavendish wyznaczy! MZ z równania:
G
gRM Z
Z
2
#
Wynik pomiaru jest równie dok!adny jak wyznaczenia sta!ej G. Cavendish wyznaczy! te$ mas" S!o&ca, Jowisza i innych planet, których satelity zosta!y zaobserwowane. Np.
na rysunku poni$ej niech M b"dzie mas S!o&ca, a m mas planety kr $ cej wokó! S!o&ca np. Ziemi.
6-4
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
R M
m
Wtedy
F = GMm/R2
Poniewa$ przyspieszenie
a = 4!2R/T
to z równania F = ma otrzymujemy
&&'
())*
+#
2
2
2
4
T
Rm
R
MmG
!
czyli
2
324
GT
RM
!#
Je$eli R jest odleg!o%ci Ziemia - S!o&ce, T = 1 rok, to M jest mas S!o&ca. Podobne
obliczenia mo$na przeprowadzi# dla innych planet.
6.3 Prawa Keplera ruchu planet
Zanim Newton zapostulowa! prawo powszechnego ci $enia, Johannes Kepler
stwierdzi!, $e ruch planet stosuje si" do trzech prostych praw. Prawa Keplera wzmocni-
!y hipotez" Kopernika. Praca Keplera (1609 - 1619) by!a wielkim odkryciem i aktem
odwagi zw!aszcza po tym jak w 1600 roku spalono na stosie Giordana Bruno zwolenni-
ka systemu heliocentrycznego. Przypomnijmy, $e nawet Galileusz zosta! zmuszony do
publicznego odwo!ania swoich pogl dów (1633 r) mimo, $e papie$ by! jego przyjacie-
lem.
Dogmatem wtedy by! pogl d, $e planety poruszaj si" wokó! Ziemi po skomplikowa-
nych torach, które s z!o$eniem pewnej liczby okr"gów. Np. do opisania orbity Marsa
trzeba by!o oko!o 12 okr"gów ró$nej wielko%ci.
Kepler poszukiwa! nieskomplikowanej geometrycznie orbity, $eby udowodni# $e Mars
i Ziemia musz obraca# si" wokó! S!o&ca. Po latach pracy odkry! trzy proste prawa,
które zgadza!y si" z wynikami pomiarowymi pozycji planet z bardzo du$ dok!adno-
%ci . Te prawa stosuj si" te$ do satelitów okr $aj cych jak % planet".
6-5
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
-. Pierwsze prawo Keplera
Ka#da planeta kr"#y po orbicie eliptycznej, ze S o$cem w jednym z ognisk tej elipsy.
-. Drugie prawo Keplera (prawo równych pól)
Linia "cz"ca S o$ce i planet! zakre%la równe pola w równych odst!pach czasu.
-. Trzecie prawo Keplera
Sze%ciany pó osi wielkich orbit dowolnych dwóch planet maj" si! do siebie jak kwadra-
ty ich okresów obiegu. (Pó!o% wielka jest po!ow najd!u$szej ci"ciwy elipsy).
Dla orbit ko!owych 2
2
2
1
3
2
3
1
T
T
R
R#
Newton rozwijaj c swoj teori" potrafi! dowie%#, $e tylko wtedy, gdy si!a jest odwrotnie
proporcjonalna do kwadratu odleg!o%ci, orbita dowolnej planety jest elips ze S!o&cem
w jednym z ognisk oraz, $e 2
2
2
1
3
2
3
1
T
T
R
R# . Newton wyprowadzi! prawa Keplera z zasad dy-
namiki. Przyk!adowo wyprowad'my III prawo Keplera dla planet poruszaj cych si" po
orbitach ko!owych.
Korzystaj c z otrzymanego uprzednio wzoru na mas" S!o&ca otrzymamy dla pierwszej
planety:
2
1
3
1
24
GT
RM
!#
a dla drugiej
2
2
3
2
24
GT
RM
!#
Porównuj c otrzymamy
2
2
2
1
3
2
3
1
2
2
3
2
2
1
3
1 czyliT
T
R
R
T
R
T
R##
Drugie prawo Keplera wynika z zasady zachowania p"du (dowód mo$na pomin #).
6.4 Ci#!ar
Ci!#ar zazwyczaj definiujemy jako si ! ci"#enia dzia aj"c" na cia o. W pobli$u po-
wierzchni Ziemi dla cia!a o masie m b"dzie ona równa mg. Na Ksi"$ycu ci"$ar jest
mniejszy w porównaniu z ci"$arem na Ziemi oko!o sze%# razy.
165.02
2
2
2
###KZ
ZK
Z
Z
K
K
Z
K
RM
RM
R
mMG
R
mMG
F
F
Definicja ci"$aru mo$e by# myl ca. Np. astronauta pomimo, $e dzia!a na niego jeszcze
si!a ci $enia uwa$a, $e jest w stanie niewa$ko%ci. Fizjologiczne odczucie ci"$aru czyli
ile si!y trzeba w!o$y# np. do podniesienia r"ki.
6-6
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
6.4.1 Ci#"ar pozorny, masa bezw adna i masa grawitacyjna
Wa$n konsekwencj tego, $e si!a grawitacyjna dzia!aj ca na cia!o jest proporcjo-
nalna do jego masy, jest mo$liwo%# pomiaru masy za pomoc mierzenia si!y grawita-
cyjnej. Mo$na to zrobi# u$ywaj c wagi spr"$ynowej albo porównuj c si!y grawitacyjne
dzia!aj ce na mas" znan (wzorzec) i na mas" nieznan innymi s!owy wa$ c cia!o na
wadze. Powstaje pytanie czy w obu metodach mierzymy t" sam w!a%ciwo%#. Np. gdy
spróbujemy pchn # klocek po idealnie g!adkiej poziomej powierzchni to wymaga to
pewnego wysi!ku, a przecie$ ci $enie nie pojawia si" tu w ogóle. Konieczno%# przy!o-
$enia si!y jest zwi zana z mas . Ta masa wyst"puje we wzorze F = ma. Nazywamy j
mas" bezw adn" m. W innej sytuacji utrzymujemy ten klocek uniesiony w gór" w stanie
spoczynku. Bezw!adno%# nie odgrywa tu $adnej roli bo cia!o nie przyspiesza, jest w
spoczynku. Ale musimy u$ywa# si!y o warto%ci równej przyci ganiu grawitacyjnemu
mi"dzy cia!em i Ziemi , $eby cia!o nie spad!o. Odgrywa tu rol" ta w!a%ciwo%# cia!a,
która powoduje jego przyci ganie przez inne obiekty takie jak Ziemia i si!a jest tu dana
wzorem
2
'
Z
Z
R
MmGF #
gdzie m' jest mas" grawitacyjn". Czy m i m' cia!a s sobie równe?
Masa bezw!adna m spadaj c swobodnie w pobli$u powierzchni Ziemi ma przyspiesze-
nie a1, przy czym 1
2
111
'
Z
Z
R
MmGam #
je$eli inna masa m2 uzyskuje inne przyspieszenie a2 to
2
222
'
Z
Z
R
MmGam #
Dziel c te równania przez siebie otrzymamy
'
'
2
1
22
11
m
m
am
am#
Widzimy, $e je$eli wszystkie cia!a spadaj z tym samym przyspieszeniem a1 = a2 = g to
stosunek mas bezw!adnych jest równy stosunkowi mas grawitacyjnych. Je$eli dla jednej
substancji ustalimy, $e masa bezw!adna jest równa masie grawitacyjnej to prawdziwe to
b"dzie dla wszystkich substancji. Aktualnie jeste%my w stanie stwierdzi#, $e a1 = a2 z
dok!adno%ci 10-10
. Te wyniki sugeruj , $e masa bezw!adna jest równa masie grawita-
cyjnej. To stwierdzenie nazywa si" zasad" równowa#no%ci.
Konsekwencj jest to, $e nie mo$na rozró$ni# mi"dzy przyspieszeniem uk!adu (labora-
torium), a przyspieszeniem grawitacyjnym. Ta zasada jest punktem wyj%cia ogólnej teo-
rii wzgl"dno%ci Einsteina.
6-7
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
6.5 Pole grawitacyjne
Na przyk!adzie si! grawitacyjnych omówimy wa$ne w fizyce poj"cie pola. Nasze
rozwa$ania rozpoczynamy od umieszczenia masy M w pocz tku uk!adu. W punkcie
przestrzeni opisanym wektorem r znajduje si" natomiast masa m. Wektor r opisuje po-
!o$enie masy m wzgl"dem masy M wi"c si!" oddzia!ywania grawitacyjnego mi"dzy ty-
mi masami (równanie 6.1) mo$emy zapisa# w postaci wektorowej
rr
F32 r
MmG
rr
MmG /#/# (6.2)
Zwró#my uwag", $e si!" t" mo$emy potraktowa# jako iloczyn masy m i wektora 0(r)
przy czym
rF
r3
)(r
MG
m/##0 (6.3)
Je$eli w punkcie r umie%ciliby%my inn mas" np. m' to ponownie mogliby%my zapisa#
si!" jako iloczyn masy m' i tego samego wektora 0(r)
)('' r0mF #
Widzimy, $e wektor 0(r) nie zale$y od obiektu na który dzia!a si!a (masy m) ale zale$y
od 'ród!a si!y (masa M) i charakteryzuje przestrze& otaczaj c 'ród!o (wektor r). Ozna-
cza to, $e masa M stwarza w punkcie r takie warunki, $e umieszczona w nim masa m
odczuje dzia!anie si!y. Inaczej mówi c masie M przypisujemy obszar wp ywu (dzia a-
nia), czyli pole.
Zwró#my uwag", $e rozdzielili%my si!" na dwie cz"%ci. Stwierdzamy, $e jedna masa
wytwarza pole, a nast"pnie to pole dzia a na drug" mas!. Taki opis pozwala uniezale$-
ni# si" od obiektu (masy m) wprowadzanego do pola.
Z poj"cia pola korzysta si" nie tylko w zwi zku z grawitacj . Jest ono bardzo u$y-
teczne równie$ przy opisie zjawisk elektrycznych i magnetycznych. (ród!ami i obiek-
tami dzia!ania pola elektrycznego s !adunki w spoczynku, a pola magnetycznego !a-
dunki w ruchu. W!a%ciwo%ci pól wytwarzanych przez !adunki elektryczne omówimy w
dalszych rozdzia!ach.
Chocia$ pole jest poj"ciem abstrakcyjnym jest bardzo u$yteczne i znacznie uprasz-
cza opis wielu zjawisk. Na przyk!ad gdy mamy do czynienia z wieloma masami, mo-
$emy najpierw obliczy# w punkcie r pole pochodz ce od tych mas, a dopiero potem si!"
dzia!aj c na mas" umieszczon w tym punkcie.
Z polem si! wi $e si" nie tylko przestrzenny rozk!ad wektora nat"$enia pola, ale
równie$ przestrzenny rozk!ad energii. W!a%nie zagadnieniom dotycz cym pracy
i energii s po%wiecone nast"pne rozdzia!y.
6.5.1 Pole grawitacyjne wewn!trz kuli
Rozpatrzmy teraz pole czaszy kulistej o masie m i promieniu R. Dla r > R pole jest
równe Gm/r2 tj. tak jakby ca!a masa by!a skupiona w %rodku kuli (przyk!ad z satelit ).
Jakie jest jednak pole wewn trz czaszy?
6-8
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
Rozwa$my przyczynki od dwóch le$ cych naprzeciwko siebie powierzchni A1 i A2
w punkcie P wewn trz czaszy (rysunek poni$ej). Fragment A1 czaszy jest 'ród!em si!y
F1 ~ A1/(r1)2 ci gn cej w lewo. Powierzchnia A2 jest 'ród!em si!y ci gn cej w prawo F2
~ A2/(r2)2 .
A1 A2
Pr1 r2
Mamy wi"c
2
1
2
2
2
1
2
1
r
r
A
A
F
F#
Z rozwa$a& geometrycznych wida#, $e
2
2
2
1
2
1
r
r
A
A#
(pola powierzchni sto$ków ~ do kwadratu wymiarów liniowych)
Po podstawieniu do pierwszego równania otrzymujemy
12
1 #F
F
Tak wi"c wk!ady wnoszone przez A1 i A2 znosz si". Mo$na w ten sposób podzieli# ca!
czasz" i uzyska# si!" wypadkow równ zero. Tak wi"c wewn trz czaszy pole grawita-
cyjne jest równe zeru. Pole wewn trz czaszy maj cej skorup" dowolnej grubo%ci te$ jest
zero bo mo$emy podzieli# t" skorup" na szereg cienkich warstw koncentrycznych.
Na rysunku poni$ej przedstawiono pe!n kul" o promieniu R i masie M.
P
R
r
W punkcie P pole pochodz ce od zewn"trznej warstwy jest zerem. Pole pochodzi wi"c
tylko od kuli o promieniu r czyli
a = Gm/r2 lub a = G%V/r
2
6-9
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
Dla kuli V = 4!r3/3. G"sto%#
3
3
4R
M
!% # wi"c pole w punkcie P wynosi r
R
MGa
3#
Widzimy, $e pole zmienia si" liniowo z r.
a
g
r RZ
~r ~1/r2
6-10
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
Wyk ad 7
7. Praca i energia
7.1 Wst p
Podstawowym zagadnieniem dynamiki jest okre"lenie ruchu punktu, je#eli znana jest si!a dzia!aj ca na ten punkt. W pierwszym kroku wyznaczamy przyspieszenie
a = F/m Gdy m i F sta!e to a te# jest sta!e i wtedy mo#emy prosto obliczy$ pr%dko"$
v = v0 + at
i po!o#enie x = v0t + at
2/2 Zagadnienie jest bardziej z!o#one gdy F nie jest sta!a. Trzeba pos!ugiwa$ si% bardziej skomplikowan matematyk (ca!kowanie). Mamy cz%sto do czynienia z takimi si!ami np. si!a grawitacji mi%dzy dwoma cia!ami zale#y od ich odleg!o"ci, si!a wywierana przez rozci gni%t spr%#yn% zale#y od stopnia rozci gni%cia. Post%powanie pozwalaj ce okre"li$ ruch punktu prowadzi nas do poj%cia pracy, energii i twierdzenia o pracy i energii. Zagadnienia zwi zane z energi s tak istotne (szeroko rozumiana ekonomia, ekologia, zasoby energii itd.), #e ich znajomo"$ jest konieczna dla wszelkich rozwa#a& zarówno ekonomicznych, technologicznych jak i spo!ecznych. Pro-blemy energii (jej ró#ne formy ich konwersja itd.) b%d odt d przewija$ si% stale przez wyk!ady. Z energi zwi zana jest najwa#niejsza chyba zasada ca!ej fizyki - zasada za-
chowania energii. Nak!ada ona sztywne granice na przetwarzanie energii i jej wykorzy-stanie. B%dzie ona centralnym tematem wi%kszo"ci dzia!ów fizyki omawianych na wyk!adach. W mechanice zasada zachowania energii pozwala oblicza$ w bardzo prosty sposób ruch cia! bez konieczno"ci korzystania z zasad dynamiki Newtona.
7.2 Praca wykonana przez sta!" si!
W najprostszym przypadku, si!a F jest sta!a, a punkt porusza si% w kierunku dzia!a-nia si!y. Wtedy W = F·s = Fs cos (7.1) (Iloczyn dwóch wektorów daje liczb%). Zastanówmy si% czy k t mo#e by$ ró#ny od zera? Odpowied' jest twierdz ca, bo sta-!a si!a nie musi mie$ kierunku zgodnego z kierunkiem ruchu punktu materialnego. Oczywi"cie musz dzia!a$ jeszcze inne si!y (np. ci%#ar, tarcie). Gdyby dzia!a!a tylko jedna to i tak cia!o nie musia!oby porusza$ si% w kierunku jej dzia!ania np. rzut uko"ny (tylko grawitacja). Wzór Fs cos okre"la jedynie prac% wykonan przy przemieszczaniu punktu przez jed-n si!%. Prac% wykonan przez inne nale#y obliczy$ oddzielnie i potem je zsumowa$.
7-1
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
Zwró$my uwag%, #e gdy = 0 otrzymujemy pierwszy wzór Fs. Gdy = 90! to z rów-nania wynika, #e W = 0. Przyk ady
(a) i (b) W = 0 bo = 90!, (c) i (d) bo przesuni%cie s = 0. Jednostk pracy jest w uk!adzie SI d!ul (J), 1J = 1N·1m.
Q
R
F
v=const
Q
N
Q
R1 R2
a) b) c) d)
Cz%sto u#ywa si% jednostki elektronowolt 1eV = 1.6·10-19 J. Przyk ad 2
Sanki o masie 5 kg s ci gni%te ze sta " pr#dko$ci" po poziomej powierzchni (rysunek). Jaka praca zostanie wykonana na drodze s = 9 m, je"li wspó!czynnik tarcia kinetyczne-go wynosi 0.2, a sznurek, za który ci gniemy tworzy k t 45! z poziomem?
mg
F
T
R
Prac% obliczamy z zale#no"ci:
W = Fs cos Aby obliczy$ prac% musimy znale'$ F. Z warunku sta!ej pr%dko"ci (w kierunku pozio-mym)
Fcos - T = 0 a dla kierunku pionowego
Fsin +R - mg = 0 Nacisk na pod!o#e (równy reakcji pod!o#a) wynosi mg - Fsin , wi%c si!a tarcia wynosi
7-2
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
T = " (mg - Fsin )
Te równania pozwalaj wyliczy$ F (eliminuj c T).
F = "mg/(cos +"sin ) wi%c praca
W = Fs cos = "mgs cos /(cos +"sin )
7.3 Praca wykonana przez si! zmienn"
Rozwa#my teraz si!% b%d c funkcj po!o#enia F(x), której kierunek jest zgodny z osi x. Szukamy pracy jak wykona ta si!a przy przesuwaniu cia!a od po!o#enia x1 do po!o#enia x2. Jak skorzysta$ ze wzoru W = Fs cos czyli co podstawi$ za F, skoro war-to"$ jej zmienia si% (rysunki poni#ej)?
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18
20
25
30
35
40
45
50
F (
x)
X
Zaczynamy od przybli#enia. Dzielimy ca!kowite przemieszczenie na n jednakowych odcinków #x (rysunek poni#ej). Wewn trz takiego przedzia!u przyjmujemy (to jest to przybli#enie), #e si!a jest sta!a (prawie) i mo#emy teraz policzy$ prac% na tym odcinku #x: #Wi = Fi#x, gdzie Fi jest warto"ci si!y na tym odcinku. Zwró$my uwag%, #e od strony czysto formalnej (geometria) liczenie pracy jest równowa#ne liczeniu sumy po-wierzchni prostok tów o szeroko"ci #x i wysoko"ci Fi. Nast%pnie mo#emy zsumowa$ prace na kolejnych odcinkach (zsumowa$ pola prostok tów) i otrzyma$ prac% ca!kowi-t .
$%
#%n
i
i xFW1
(eby poprawi$ to przybli#enie dzielimy przedzia! (x1, x2) na wi%cej (mniejszych) odcin-ków #x (patrz kolejny rysunek).
7-3
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18
20
30
40
50
F (
x)
X
I teraz znowu powtarzamy procedur% sumowania. Przybli#enie jest lepsze bo si!a ma prawie sta! warto"$ wewn trz "ma!ych" przedzia!ów #x (pola powierzchni prostok -tów bardziej pokrywaj si% z polem pod krzyw ).
Wida$, #e rozwi zaniem problemu jest przej"cie (w granicy) #x & 0.
0 2 4 6 8 10 12 14 16 180
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
F (
x)
X
Stosujemy t% sam procedur% obliczaj c
$ '%#%&#
2
1
2
1
dlim0
x
x
x
xx
xFxFW (7.2)
To jest definicja ca!ki. Liczbowo odpowiada to liczeniu pola powierzchni pod krzyw (w zadanym przedziale - granicach). Odpowiada to te# z definicji liczeniu warto"ci "redniej co zgadza si% z intuicyjnym podej"ciem: W = F$rednia(x2 – x1)
Trzeba wi%c albo umie$ rozwi za$ ca!k% (albo poszuka$ w tablicach) lub umie$ obli-
czy$ pole powierzchni pod krzyw co mo#e by$ czasem !atwe.
Np. rozwa#my spr%#yn% zamocowan jednym ko&cem do "ciany i rozci gan si! F tak,
#e jej koniec przemieszcza si% o x.
7-4
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
F
Si!a wywierana przez spr%#yn% jest si! przywracaj c równowag% i wynosi F = -k x.
Aby rozci gn $ spr%#yn% musimy przy!o#y$ si!% równ co do warto"ci lecz przeciwnie
skierowan . Tak wi%c F = k x.
Teraz obliczmy prac%
' ' %%%%x x x
kxkxxkxxFW
0 0
2
0
2
22d)(d
Mo#emy te# wprost obliczy$ pole pod wykresem F(x). F(x)
x
F=kx
kx
x
Pole powierzchni jest polem trójk ta i wynosi
P = (1/2) x·kx = (1/2) kx2
i zgadza si% z wynikiem uzyskanym z obliczenia ca!ki.
To by! przypadek jednowymiarowy. Przypadek 2 i 3-wymiarowy s w zasadzie swej
rozpatrywane podobnie ale matematycznie trudniejsze.
7.4 Energia kinetyczna i twierdzenie o pracy i energii
W przyk!adzie z sankami mieli"my do czynienia z ruchem bez przyspieszenia.
Oznacza!o to, #e wypadkowa si!a dzia!aj ca na cia!o wynosi zero. Teraz rozwa#my
przypadek gdy cia!o porusza si% pod wp!ywem niezrównowa#onej si!y. Najprostszy
przypadek to sta!a si!a czyli ruch ze sta!ym przyspieszeniem. Jak prac% wykonuje ta
si!a przy przemieszczeniu cia!a na odleg!o"$ x?
Zak!adamy, #e kierunek si!y F i przyspieszenia a pokrywa si% z kierunkiem osi x. Dla
sta!ego przyspieszenia mamy
7-5
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
2
2
0
attx (% v
oraz
taat 0
0
vvvv
)%*(%
co w po! czeniu daje
tx2
0vv (%
Wykonana praca jest równa
222
2
02
00 vvvvvv mmt
tmxmaFxW )%+
,
-./
0 (+,
-./
0 )%%% (7.3)
Po!ow% iloczynu masy cia!a i kwadratu pr%dko"ci nazywamy energi" kinetyczn".
Praca wykonana przez wypadkow" si # F dzia aj"c" na punkt materialny jest równa
zmianie energii kinetycznej tego punktu.
W = Ek – Ek0 (7.4)
To jest twierdzenie o pracy i energii.
Gdy nie ma zmiany warto"ci pr%dko"ci to nie ma zmiany energii kinetycznej tzn. nie
jest wykonywana praca (np. si!a do"rodkowa). Z twierdzenia powy#szego wynika, #e
jednostki pracy i energii s takie same.
7.5 Moc
Rozwa#my czas w jakim wykonywana jest praca. Cz%sto interesuje nas szybko$%
wykonania pracy a nie jej warto"$. To jest w!a"nie moc.
Moc "rednia: P$rednia = W/t
Moc chwilowa: P = dW/dt
Oczywi"cie gdy moc jest sta!a w czasie to P$rednia = P.
Jednostk mocy jest wat. 1W = 1J/1s.
Dla celów praktycznych u#ywa si% kW (kilowatów) lub KM (koni mechanicznych przy
czym 1 KM 1 (3/4) kW.
7-6
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
Wyk ad 8
8. Zasada zachowania energii
8.1 Wst p
Korzystaj c z drugiej zasady dynamiki Newtona pokazali"my, #e
W = Ek
Cz$sto na punkt materialny dzia!a kilka si!, których suma wektorowa jest si! wypad-
kow : F = F1 + F2 + F3 +.......+ Fn. Wtedy praca jest sum algebraiczn prac wykona-
nych przez poszczególne si!y: W = W1 + W2 + W3 +...........+ Wn.
Twierdzenie o pracy i energii ma wtedy posta%
W1 + W2 + W3 +...........+ Wn = Ek
B$dziemy w!a"nie rozpatrywa% uk!ady, w których dzia!aj ró#ne si!y, pozwoli to na de-
finiowanie ró#nych rodzajów energii.
8.2 Si!y zachowawcze i niezachowawcze
Zaczynamy od rozwa#my przyk!adów dwóch rodzajów si!: si zachowawczych i si nie-
zachowawczych.
V
Najpierw rozpatrzmy spr$#yn$ jak w przyk!adzie z poprzedniego wyk!adu.
Przesuwamy cia!o o masie m z pr$dko"ci v w kierunku spr$#yny, tak jak na rysunku.
Za!o#enia:
!" ruch na p!aszczy&nie odbywa si$ bez tarcia,
!" spr$#yna jest idealna tzn. spe!nia ona prawo Hooke'a: F = -kx, gdzie F jest si! wy-
wieran przez spr$#yn$ kiedy jej swobodny koniec jest przemieszczony na odleg!o"% x,
!" masa spr$#yny jest zaniedbywalnie ma!a w porównaniu z mas cia!a, wi$c ca!a ener-
a maleje
a#
gia kinetyczna w uk!adzie spr$#yna + cia!o jest zgromadzona w tym ciele.
Przy "ciskaniu spr$#yny, pr$dko"% cia!a, a wobec tego i energia kinetyczn
do zatrzymania cia!a. Nast$pnie cia!o porusza si$ w przeciwnym kierunku pod
wp!ywem spr$#yny. Pr$dko"% i energia kinetyczna rosn a# do warto"ci jak cia!o mia!o
pocz tkowo. Interpretowali"my energi$ kinetyczn jako zdolno"% cia!a do wykonania
pracy kosztem jego ruchu (kosztem Ek). Po przebyciu zamkni$tej drogi (cyklu) zdolno"%
cia!a do wykonania pracy pozostaje taka sama, jest zachowana. Si!a spr$#ysta wywiera-
na przez idealn spr$#yn$ jest zachowawcza. Inne si!y, dzia!aj tak#e w ten sposób, np.
8-1
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
si!a grawitacji. Cia!o rzucone do góry, przy zaniedbaniu oporu powietrza, wróci z t
sam pr$dko"ci i energi kinetyczn .
Je#eli jednak cia!o, na które dzia!a jedna lub wi$cej si! powraca do po!o#enia pocz tko-
alnie g!adka,
#e
a% zachowawczy charakter si! analizuj c prac$ jak wykonuje
ta s
z tarcia) praca wykonana przez si!$ spr$#yst , gdy
spr
y tarcie). Praca wykonywana przez si!$ tarcia
jest
m mate-
si!ami niezachowawczy-
WAB,1 + WBA,2 = 0
o droga zamkni$ta. Mo#emy to zapisa% inaczej
WAB,1 = - WBA,2
le gdyby odwróci% kierunek ruchu i przej"% z A do B po drugiej drodze to, poniewa#
wego i ma inn energi$ kinetyczn ni# na pocz tku to oznacza, #e po przebyciu drogi
zamkni$tej zdolno"% tego cia!a do wykonania pracy nie zosta!a zachowana. Oznacza to,
#e przynajmniej jedn z dzia!aj cych si! okre"la si$ jako niezachowawcz!.
Aby zilustrowa% ten przypadek, za!ó#my, #e powierzchnia nie jest ide
mamy do czynienia z tarciem. Ta si!a tarcia przeciwstawia si$ ruchowi bez wzgl$du
w którym kierunku porusza si$ cia!o (nie tak jak si!a spr$#ysto"ci czy grawitacji) i cia!o
wraca z mniejsz energi kinetyczn . Mówimy, #e si!a tarcia (i inne dzia!aj ce podob-
nie) s niezachowawcze.
Mo#emy przeanalizow
i!a nad punktem materialnym.
W pierwszym przyk!adzie (be
$#yna ulega "ciskaniu, jest ujemna (si!a jest skierowana przeciwnie do przemiesz-
czenia, cos180# = -1). Gdy spr$#yna rozpr$# si$ praca jest dodatnia (si!a i przemiesz-
czenie jednakowo skierowane). Podczas pe!nego cyklu praca wykonana przez si!$ spr$-
#yst (si!$ wypadkow ) jest równa zero.
W drugim przyk!adzie (uwzgl$dniam
ujemna dla ka#dej cz$"ci cyklu (tarcie zawsze przeciwstawia si$ ruchowi).
Ogólnie: Si a jest zachowawcza, je"eli praca wykonana przez t# si # nad punkte
rialnym, który porusza si# po dowolnej drodze zamkni#tej jest równa zeru. Si a jest nie-
zachowawcza je"eli praca wykonana przez t# si # nad punktem materialnym, który po-
rusza si# po dowolnej drodze zamkni#tej nie jest równa zeru.
Mo#emy jeszcze trzecim sposobem rozwa#y% ró#nic$ mi$dzy
A
B
1
2
A
B
1
2
mi i zachowawczymi. Rozpatrzmy ruch z punktu A do B po jednej drodze (1) a powrót z
B do A po innej (2) (patrz rysunek).
Je#eli si!a jest zachowawcza to
b
A
8-2
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
zmieniamy tylko kierunek to
WAB,2 = -WBA,2
Sk d otrzymujemy
WAB,1 = WAB,2
ida% z tego, #e praca wykonana przez si!$ zachowawcz! przy przemieszczaniu od A
cz! je"eli praca wykonana przez ni! nad punktem mate-
ria
równowa#ne.
8.3 Energia potencjalna
Skupimy si$ teraz na odosobnionym uk!adzie cia!o + spr$#yna. Zamiast mówi% cia!o
si$
kinetyczna maleje a potem ro-
"ni
Ek + Ep = 0
nymi s!owy, ka#da zmiana energii kinetycznej Ek jest równowa#ona przez równ co
Ek + Ep. = const. (8.1)
W
do B jest taka sama dla obu dróg. Drogi 1 i 2 mog mie% dowolny kszta t byleby tylko
! czy!y te same punkt A i B.
Si # nazywamy zachowaw
lnym poruszaj!cym si# mi#dzy dwoma punktami zale"y tylko od tych punktów, a nie
od !cz!cej je drogi. Si # nazywamy niezachowawcz! je"eli praca wykonana przez ni!
nad punktem materialnym poruszaj!cym si# mi#dzy dwoma punktami zale"y od drogi
!cz!cej te punkty.
Przedstawione definicje s
porusza b$dziemy mówi%: stan uk adu si# zmienia.
Widzieli"my, #e gdy nie wyst$puje tarcie to energia
e tak, #e wraca do pocz tkowej warto"ci w cyklu zamkni$tym. W tej sytuacji (gdy
dzia!aj si!y zachowawcze) staje si$ celowe wprowadzenie poj$cia energii stanu lub
energii potencjalnej Ep. Mówimy, #e je#eli energia kinetyczna uk!adu zmieni si$ o war-
to"% Ek to tym samym zmieni! si$ stan uk!adu to energia potencjalna Ep (stanu) tego
uk!adu musi si$ zmieni% o warto"% równ co do warto"ci bezwzgl$dnej, lecz przeciwn
co do znaku, tak #e suma tych zmian jest równa zeru
In
do warto"ci, a przeciwn co do znaku zmian$ energii potencjalnej Ep uk!adu, tak #e ich
suma pozostaje przez ca!y czas sta!a
Energia potencjalna przedstawia form$ nagromadzonej energii, która mo#e by% ca!ko-
rcia) energia kinetyczna cia!a pocz tkowo maleje,
a zl
W = Ek
i$c dla zachowawczej si!y F
W = Ek = - Ep
wicie odzyskana i zamieniona na energi$ kinetyczn . Nie mo#na wi$c wi za% energii
potencjalnej z si! niezachowawcz .
W przyk!adzie ze spr$#yn (bez ta
okalizowana w spr$#ynie energia potencjalna ro"nie. Z twierdzenia o pracy i energii
w
8-3
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
St d
x
$%&%& x
p xxFWE
0
d)( (8.2)
o#emy wi$c zapisa% zale#no"% mi$dzy si! i energi potencjaln
M
xxF
p
d)( %&
xE )(d (8.3)
rzeba zwróci% uwag$, #e naprawd$ potrafimy tylko policzy% Ep a nie Ep sam . Po-
x
unkt A nazywamy punktem odniesienia i zazwyczaj wybieramy go tak (umowa), #eby
T
niewa# Ep = EpB – EpA. 'eby znale&% EpB trzeba nie tylko zna% si!$ ale jeszcze warto"%
EpA
pA
x
pAppB ExxFEEE '%&' & $0
d)(
P
Ep by!o równe zeru w tym punkcie (porównanie z potencja!em elektrycznym).
Przyk ady energii potencjalnej dla jednowymiarowych si zachowawczych
F(y) = -mg
jest sta!a. Przyjmujemy, #e dla y = 0, Ep(0) = 0.
y y
Sprawdzenie
!" grawitacyjna energia potencjalna (w pobli#u powierzchni Ziemi)
Ruch wzd!u# osi y
F
Wtedy
$ $ &%%&'%& pp mgyymgEyyFyE0 0
d)()0(d)()(
mgyy
Fp
%&%&%&dd
mgyyE )(d)(d
" energia potencjalna spr$#yny
F(x) = -kx
rzyjmujemy dla x = 0, Ep(0) = 0.
!Ruch wzd!u# osi x
P
Wtedy
8-4
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
2d)(
2
0
kxxkxE
x
p &%%& $
Sprawdzenie:
kxx
kx
x
xEF
p%&
(()
*++,
-
%&%&d
2d
d
)(d
2
8.3.1 Energia potencjalna i potencja pola grawitacyjnego
W przyk!adzie powy#ej obliczyli"my energi$ potencjaln zwi zan z si! grawita-
cyjn w pobli#u powierzchni Ziemi, gdzie przyjmowali"my, #e si!a grawitacji jest sta!a.
Teraz zajmiemy si$ zagadnieniem bardziej ogólnym i znajdziemy energi$ potencjaln
masy m znajduj cej si$ w dowolnym punkcie nad powierzchni Ziemi odleg!ym o r od
"rodka Ziemi.
Dla si! zachowawczych zmian$ energii potencjalnej cia!a przy przej"ciu ze stanu A
do stanu B mo#emy zapisa% jako
ABpApBp WEEE %&%&
sk d
pBABpB EWE '%&
'eby policzy% energi$ potencjaln w punkcie B musimy zna% energi$ potencjaln w
punkcie odniesienia A i policzy% prac$ WAB.
Dla masy m znajduj cej si$ w pewnym punkcie nad powierzchni Ziemi odleg!ym o
r od "rodka Ziemi stan odniesienia wybiera si$ tak, #e Ziemia i masa m znajduj si$ od
siebie w niesko(czonej odleg!o"ci. Temu po!o#eniu (r .) przypisujemy zerow ener-
gi$ potencjaln , EpA = 0. Zwró%my uwag$, #e stan zerowej energii jest równie# stanem
zerowej si!y. Si!a grawitacji jest si! zachowawcz wi$c dla wybranego punktu odnie-
sienia
0)( '%& .rp WrE
Musimy teraz obliczy% prac$ . Poniewa# znamy si!$ rW.%
2r
mMGF Z%&
to mo#emy obliczy% prac$ i w konsekwencji energi$ potencjaln (znak minus wskazuje
kierunek dzia!ania si!y do "rodka Ziemi; si!a przyci gaj ca)
8-5
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
r
MmG
r
MmG
rr
MmGrFWrE
r
rr
rp
%&%
&()
*+,
-%%&%&%&
.
..
. $$ dd)(2
(8.4)
Energia potencjalna ma warto"% równo zeru w niesko(czono"ci (punkt odniesienia)
i maleje w miar$ zmniejszania si$ r. Oznacza to, #e si!a jest przyci gaj ca. Wzór ten jest
prawdziwy bez wzgl$du na wybór drogi po jakiej punkt porusza si$ z niesko(czono"ci
do r.
Widzimy, #e z polem si y grawitacji wi!"e si# przestrzenny rozk ad energii E(r) da-
ny równaniem (8.4).
Omawiaj c na Wyk!adzie 6 pole grawitacyjne przedstawiali"my si!$ dzia!aj c na
umieszczony w tym polu obiekt jako iloczyn nat#"enia pola i masy tego obiektu.
Stwierdzili"my, #e jedna masa wytwarza pole, a nast$pnie to pole dzia!a na drug mas$.
Inaczej mówi c rozdzielili"my si!$ na dwie cz$"ci i w ten sposób uniezale#nili"my nasz
opis od masy obiektu wprowadzanego do pola.
Podobnie mo#emy post pi% z energi potencjaln . Zauwa#my, #e zgodnie z wyra#e-
niem (8.4) mo#emy j przedstawi% jako iloczyn masy m i pewnej funkcji V(r)
)()( rmVrE p & (8.5)
Funkcj# V(r) nazywamy potencja em pola grawitacyjnego i definiujemy jako stosunek
grawitacyjnej energii potencjalnej masy m do warto$ci tej masy
r
MG
m
rErV
p%&&
)()( (8.6)
Jak ju# wspominali"my z poj$cia pola korzysta si$ nie tylko w zwi zku z grawitacj .
Przy opisie zjawisk elektrycznych równie# b$dziemy si$ pos!ugiwali poj$ciem pola
(elektrycznego), jego nat$#enia i potencja!u.
Przyk ad 1
Skorzystajmy teraz z wyra#enia na grawitacyjn energi$ potencjaln , #eby znale&%
pr$dko"% jak nale#y nada% obiektowi przy powierzchni Ziemi, aby wzniós! si$ on na
wysoko"% h nad powierzchni$ Ziemi Stosuj c zasad$ zachowania energii otrzymujemy
)()( hREREE ZpZpk '&'
czyli
hR
mMG
R
mMG
m
Z
Z
Z
Z
'%&%
2
2v
a po przekszta!ceniach
(()
*++,
-
'%&
hRRGM
ZZ
112v
8-6
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
Je#eli na powierzchni Ziemi dostarczymy cia!u dostatecznie du#ej energii kinetycz-
nej wtedy ucieknie ono z Ziemi i nie powróci. Jego energia kinetyczna b$dzie mala!a w
trakcie oddalania si$, a potencjalna ros!a.
Przyk ad 2
Teraz spróbujemy obliczy% jak pr$dko"% nale#y nada% obiektowi na Ziemi aby
uciek! on z Ziemi na zawsze.
Praca potrzebna na przeniesieni cia!a o masie m z powierzchni Ziemi do niesko(czono-
"ci wynosi
Ep(RZ) = -GMZm/RZ
Je#eli na powierzchni Ziemi dostarczymy cia!u energii kinetycznej wi$kszej wtedy
ucieknie ono z Ziemi i nie powróci. Energia kinetyczna b$dzie mala!a w trakcie oddala-
nia si$ cia!a, a potencjalna ros!a. Krytyczna pr$dko"% pocz tkowa v0 (pr$dko"% uciecz-
ki) dana jest wzorem
skmR
MGczyli
R
mMGm
Z
Z
Z
Z 2.112,2
10
2
0 /&& vv
Oczywi"cie pomin$li"my inne si!y jak si!y grawitacyjne wywierane przez Ksi$#yc czy
S!o(ce itp. Ta pr$dko"% ucieczki nosi nazw$ drugiej pr#dko$ci kosmicznej. Natomiast
pierwsz! pr#dko$ci! kosmiczn! nazywamy najmniejsz! mo#liw pr$dko"% jak musi
mie% punkt materialny swobodnie kr # cy po orbicie wokó! Ziemi.
Na poruszaj cy si$ po orbicie obiekt dzia!aj dwie si!y; si!a grawitacji i si!a od"rodko-
wa. Si!y te maj przeciwne zwroty i dla stabilnej orbity równowa# si$
2r
mMG
r
m Z&2
v
i st d znajdujemy
r
GM Z&v
Pierwszej pr$dko"ci kosmicznej odpowiada orbita o promieniu r równym w przybli#e-
niu promieniowi Ziemi R. Dla r = R otrzymujemy warto"% v = 7.9 km/s.
8.4 Zasada zachowania energii
Gdy dzia!aj si!y zachowawcze to
W = Ek = EkB – EkA
oraz
W = - Ep = - (EpB – EpA)
wi$c
- (EpB – EpA) = EkB – EkA
czyli
EkA + EpA = EkB + EpB (8.7)
8-7
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
Równania (8.1, 8.4) nazywa si$ zasad! zachowania energii mechanicznej.
Mówi ona, #e dla cia a podlegaj!cego dzia aniu si y zachowawczej, którego energia
potencjalna jest równa Ep, suma energii kinetycznej i potencjalnej jest sta a (o ile nie
dzia!aj inne si!y).
Przyk ad 3
Asekuracja wspinacza w górach. Wspinacz dobiera sobie lin$, której wytrzyma!o"% na
zerwanie jest 25 razy wi$ksza ni# jego w!asny ci$#ar (Fliny = 25mg). Lina (nylonowa)
podlega prawu Hooke'a a# do zerwania, które nast$puje gdy lina wyd!u#y si$ o 25%
w stosunku do d!ugo"ci pocz tkowej. Czy wyposa#ony w tak lin$ wspinacz prze#yje
spadek (niezale#nie od wysoko"ci)?
pnkt. ubezpieczenia
ubezpieczaj¹ cy
wspinacz
l
h
W
S
Poniewa#
Fliny = k(0.25l)
wi$c
25mg = k(0.25l)
sk d
k = 25mg/0.25l
czyli
k = 100mg/l
Przed spadkiem (punkt W)
Epw = mg(h + l)
Po spadku (punkt S)
Eps = mg(h - l - y) + ky2/2
8-8
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
Poniewa# w punktach W i S energia kinetyczna wspinacza jest równa zeru, wi$c
Epw = Eps
czyli
mg(h + l) = mg(h - l - y) +ky2/2
Uwzgl$dniaj c k = 100 mg/l otrzymujemy
mgl = -mgl - mgy + (1/2)(100mg/l)y2
co daje
50y2 – ly - 2l
2 = 0
Rozwi zanie fizyczne: y = 0.21l mie"ci si$ w granicy wytrzyma!o"ci 0.25l.
Oszacujmy teraz maksymalne przyspieszenie
Fwyp = ky - mg
wi$c
ma = ky - mg
sk d
a = ky/m - g = 20g
Du#e ale lina musi by% spr$#ysta #eby "z!agodzi%" hamowanie.
A co z zachowaniem energii w przypadku gdy dzia a si a niezachowawcza?
Dla si! zachowawczych
0& Zk WE
lub
0 & ' 0pk EE
Wielko"% po lewej stronie to po prostu zmiana ca!kowitej energii mechanicznej E. Za-
tem równanie to ma posta% E = 0.
Je#eli oprócz kilku si! zachowawczych dzia!a si!a niezachowawcza (np. tarcie) to wtedy
0 &' kZNZ EWW
czyli
0 & ' NZpk WEE
co jest równowa#ne
NZWE &
Wida%, #e si!a tarcia zmienia energi$ mechaniczn uk!adu (zmniejsza j bo tarcie jest
si! rozpraszaj c czyli dysypatywn ).
Co sta o si# ze "stracon!" energi! mechaniczn!?
Zostaje ona przekszta!cona na energi# wewn#trzn! U, która objawia si$ wzrostem tem-
peratury. U jest równa rozproszonej energii mechanicznej. Wi$cej o energii wewn$trz-
nej powiemy w dalszych rozdzia!ach. Uogólnijmy nasz dyskusj$
8-9
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
Fwyp = Fzew + FZ + FNZ
Z twierdzenia o pracy i energii wynika, #e praca wykonana przez si!$ wypadkow jest
równa zmianie energii kinetycznej.
kNZZzew EWWW &''
co jest równowa#ne
Wzew - Ep - U = Ek
czyli
Wzew = Ek + Ep + U (8.8)
Z równania (8.5) wynika, #e ka"da praca wykonana na ciele przez czynnik zewn#trzny
równa si# wzrostowi energii kinetycznej plus wzrost energii potencjalnej plus wzrost
energii wewn#trznej. Ca a energia zosta a zarejestrowana. Mamy obejmuj!ce wszystko
zachowanie energii (ca kowitej).
Wynika z niego, #e energia mo"e by% przekszta cona z jednej formy w inn!, ale nie mo-
"e by% wytwarzana ani niszczona; energia ca!kowita jest wielko"ci sta! .
Przyk ad 4
Energia i biologia.
Przyk!adowo, na wyk!adzie z fizyki osoby "pi ce zu#ywaj energi$ w tempie oko!o
80 J/s, a osoby uwa#aj ce ok. 150W. )agodne %wiczenia 500 W intensywne 1000 W ale
tylko 100 W na zewn trz cia!a jako energia mechaniczna (Cz!owiek mo#e wykonywa%
prac$ mechaniczn tylko z moc 100 W).
Jak d!ugo trzeba %wiczy% (np. gimnastyka !agodna 500W) aby straci% (spali%) 500 g
t!uszczu?
T!uszcz zawiera ok. 40000 J/g. St d 500 g t!uszczu zawiera 2·107 J. Poniewa# P = E/t
wi$c t = E/P = 2·107 J/ 500W = 11 h
Ile kalorii musi zawiera% po#ywienie aby utrzyma% si$ przy #yciu?
Minimalna moc 80 W (sen), 150 W gdy si$ nie "pi, "rednio 110 W.
E = Pt = 110W·24·3600s = 9.5·106 J
Poniewa# 1 kilokaloria = 4180 J wi$c E = 2260 kcal (cz$sto mylona z cal).
Przyk ad 5
Energia i samochód.
Samochód jedzie z pr$dko"ci 100 km/h i zu#ywa 8 litrów benzyny na 100 km. Jaka
moc jest potrzebna do utrzymania tej sta!ej pr$dko"ci?
1 litr benzyny - 3.7·107 J wi$c P = (8·3.7·10
7 J)/(3600s) = 7·10
4 W = 70 kW.
Dla porównania w mieszkaniu zu#ywamy oko!o 1 - 1.5 kW energii elektrycznej.
Samochód zu#ywa kilkadziesi t razy wi$cej.
8-10
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
Wyk ad 9
9. Zasada zachowania p!du
9.1 rodek masy
Dotychczas przedmioty traktowali"my jak punkty materialne, tzn. cz steczki bez-
wymiarowe (obj#to"$ = 0) obdarzone mas co wystarcza!o w przypadku ruchu post#-
powego bo ruch jednego punktu odzwierciedla! ruch ca!ego cia!a.
W ogólnym przypadku ruch uk!adu cz steczek mo%e by$ bardzo skomplikowany np.
! cia!o mo%e wirowa$ lub drga$.
! w trakcie ruchu cz steczki mog zmienia$ swoje wzajemne po!o%enie.
Przyk!ad cia!a wiruj cego jest pokazany na rysunku poni%ej.
Zauwa%my, %e istnieje w tym uk!adzie jeden punkt, który porusza si# po linii prostej
ze sta! pr#dko"ci . &aden inny punkt nie porusza si# w ten sposób. Ten punkt to rodek
masy. Zajmiemy si# ruchem tego punktu.
Zacznijmy od przypomnienia poj#cia redniej wa!onej. W tym celu rozwa%my prosty
uk!ad, w którym mamy do czynienia z dwoma skrzynkami zawieraj cymi np. jab!ka
o ró%nej masie. W jednej mamy n1 jab!ek, ka%de o masie m1, w drugiej n2, ka%de o ma-
sie m2. Spróbujmy policzy$ jaka jest "rednia masa jab!ka.
2
21
21
21
1"red. m
nn
nm
nn
nm
""
"#
czyli
21
2211"red.
nn
mnmnm
"
"#
To jest rednia wa!ona (wagami s u!amki ilo"ci jab!ek w skrzynce). Uwzgl#dniamy
w ten sposób fakt, %e liczby jab!ek nie s równe.
Natomiast rodek masy jest po prostu rednim po"o!eniem przy czym masa jest czyn-
nikiem wa!#cym przy tworzeniu redniej.
Np. dla dwóch ró%nych mas m1 i m2
9-1
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
xœrm
m1 m2
x1
x2 x
y
2
21
21
21
1 xmm
mx
mm
mx rm
""
"#
czyli
21
2211
mm
xmxmx rm
"
"#
Dla n mas le% cych wzd!u% linii prostej otrzymamy
$
$
#
##"""
"""#
n
i
i
n
i
ii
n
nn rm
m
xm
mmm
xmxmxmx
1
1
21
2211
.....
.....
poniewa% suma jest ca!kowit mas uk!adu to mo%emy zapisa$ Mmn
i
i #$#1
$#
#n
i
ii rm xmMx1
Gdyby punkty nie le%a!y na jednej prostej to wówczas "rodek masy znajdziemy post#-
puj c dla ka%dej ze wspó!rz#dnych analogicznie jak powy%ej.
Otrzymamy wi#c
$
$
#
##"""
"""#
n
i
i
n
i
ii
n
nn rm
m
xm
mmm
xmxmxmx
1
1
21
2211
.....
.....
oraz
$
$
#
##"""
"""#
n
i
i
n
i
ii
n
nn rm
m
ym
mmm
ymymymy
1
1
21
2211
.....
.....
9-2
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
Zwró$my uwag#, %e uk!ad dwóch równa' skalarnych mo%na zast pi$ przez jedno zwi#-
z!e równanie wektorowe
M
mn
i
ii
rm
$## 1
r
r (9.1)
Uogólnienie na trzy wymiary jest automatyczne.
Zauwa%my, %e rodek masy uk"adu punktów materialnych zale!y tylko od mas tych
punktów i od wzajemnego ich rozmieszczenia (nie zale%y od wyboru uk!adu odniesie-
nia).
Przyk"ad 1
Znale($ "rodek masy uk!adu trzech cz stek o masach m1 = 1kg, m2 = 2kg i m3 = 3kg,
umieszczonych w rogach równobocznego trójk ta o boku 1m.
Poniewa% wynik nie zale%y od wyboru uk!adu odniesienia to mo%emy przyj $ uk!ad tak
jak na rysunku.
m1 m2 x
m3 3
2
½
x rm = (m1x1 + m2x2 + m3x3)/M = (1kg·0m + 2kg·1m + 3kg·0.5m)/6kg = 7/12m
y rm = (m1y1 + m2y2 + m3y3)/M = (1kg·0m + 2kg·0m+3kg·3
2m)/6kg =
3
4m
Uwaga: po!o%enie "rodka masy nie pokrywa si# z geometrycznym "rodkiem.
Przedyskutujmy teraz fizyczne znaczenie "rodka masy.
9.2 Ruch !rodka masy
Rozwa%my uk!ad punktów materialnych o masach m1, m2, m3 ..., mn i o sta ej ca!-kowitej masie M. Na podstawie równania (9.1) mo%emy napisa$
Mr rm = m1r1 + m2r2 +.......+ mnrn
gdzie r rm jest "rodkiem masy w okre"lonym uk!adzie odniesienia. Ró%niczkuj c (wzgl#-
dem czasu) powy%sze równanie otrzymamy
tm
tm
tm
tM n
n rm
d
d......
d
d
d
d
d
d 22
11
rrrr"""#
9-3
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
lub
Mv rm = m1v1 + m2v2 +.....+ mnvn
Je%eli ponownie zró%niczkujemy otrzymane powy%ej równanie to otrzymamy
tm
tm
tm
tM n
n rm
d
d......
d
d
d
d
d
d 22
11
vvvv"""#
lub
Ma rm = m1a1 + m2a2 + .......+ mnan
czyli
Ma rm = F1 + F2 + ...........+ Fn
Wobec tego mo%emy napisa$
Ma rm = Fzew (9.2)
Z równania (9.2) wynika, %e rodek masy uk"adu punktów materialnych porusza si$ w
taki sposób, jakby ca"a masa uk"adu by"a skupiona w rodku masy i jakby wszystkie si"y
zewn$trzne na% dzia"a"y.
To twierdzenie obowi zuje dla ka%dego uk!adu punktów materialnych.
! Uk!ad mo%e by$ cia!em sztywnym (punkty maj sta!e po!o%enia wzgl#dem siebie).
Wtedy przy obliczeniach "rodka masy sumowanie zast#pujemy ca!kowaniem.
! Uk!ad mo%e by$ zbiorem cz steczek, w którym wyst#puj wszystkie rodzaje ruchu
wewn#trznego.
Uwaga:
Gdy si! zewn#trzn jest si!a ci#%ko"ci to wtedy dzia!a ona na rodek ci$!ko ci. W roz-
wa%anych przypadkach te dwa "rodki si# pokrywaj .
Poj#cie "rodka masy jest bardzo u%yteczne np. do obliczania energii kinetycznej. Ob-
liczmy Ek mierzone w uk!adzie "rodka masy.
2
)()(
2
,,
,
$$ ""##
wzgi rmwzgi rmii
calkowitak
mmE
vvvv2
iv
gdzie vwzgl jest pr#dko"ci mierzon w uk!adzie "rodka masy. Wykonuj c mno%enie
skalarne otrzymamy
$$$
""#22
2
,
,
2
,
wzgii
wzgii rm rm
i
calkowitak
mm
mE
v
vvv
Poniewa% (jak pokazali"my wcze"niej) wyraz drugi równa si# iloczynowi M razy pr#d-
ko"$ "rodka masy (Mv rm = m1v1 + m2v2 +.....+ mnvn). W uk!adzie "rodka masy, w któ-
rym mierzymy, v rm = 0 wi#c drugi wyraz znika.
Zatem
'2
2k
rmkcalkowita E
ME "#
v
9-4
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
gdzie Ek' jest energi kinetyczn mierzon w uk!adzie "rodka masy. Dla cia! sztywnych
to równanie przyjmuje posta$
'2
2rot
rmkcalkowita E
ME "#
v
gdy% w uk!adzie "rodka masy cia!o sztywne mo%e mie$ tylko energi# rotacyjn (obro-
tow ).
Przyk"ad 2
Obr#cz o masie m toczy si# po p!aszczy(nie tak, %e "rodek obr#czy ma pr#dko"$ v.
v
Jaka jest energia kinetyczna obr#czy ?
22
2
,2
wzgrot
kcalkowita
mmE
vv"#
gdzie vrot,wzg to pr#dko"$ obr#czy w uk!adzie "rodka masy. Poniewa% obserwator
w uk!adzie "rodka masy widzi obr#cz obracaj c si# z pr#dko"ci v wi#c vrot,wzg = v.
St d
222
22v
vvm
mmEkcalkowita #"#
Zauwa%my, %e obr#cz ma energi# dwa razy wi#ksz od cia!a o masie m poruszaj cego
si# z t sam pr#dko"ci v (ale nie obracaj cego si#).
9.3 P"d uk#adu punktów materialnych
Zdefiniowali"my ju% p#d punktu materialnego jako iloczyn jego masy m i pr#dko"ci
v. Pokazali"my równie%, %e II zasada dynamiki Newtona ma posta$
td
dpF #
Przypu"$my jednak, %e zamiast pojedynczego punktu mamy do czynienia z uk!adem n
punktów materialnych o masach m1, ......, mn. Zak!adamy, %e masa uk!adu (M) pozostaje
sta!a. Ka%dy punkt b#dzie mia! pewn pr#dko"$ i pewien p#d. Uk!ad jako ca!o"$ b#dzie
mia! ca!kowity p#d P w okre"lonym uk!adzie odniesienia b#d cy sum geometryczn
p#dów poszczególnych punktów w tym uk!adzie odniesienia
9-5
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
P = p1 + p2 + ......... + pn
Je%eli porównamy t# zale%no"$ z równaniem
Mv rm = m1v1 + m2v2 +.....+ mnvn
to otrzymujemy
P = Mv rm
Tre"$ tego równania mo%na wyrazi$ nast#puj co: Ca"kowity p$d uk"adu punktów mate-
rialnych jest równy iloczynowi ca"kowitej masy uk"adu i pr$dko ci jego rodka masy.
Poniewa% Fzew = Ma rm, to II zasada dynamiki Newtona dla uk!adu punktów material-
nych przyjmuje posta$
t
zewd
dPF # (9.3)
bo
srmsrm Mt
Mt
aP
##d
d
d
d v
9.4 Zasada zachowania p"du
Przypu"$my, %e suma si! zewn#trznych dzia!aj cych na uk!ad jest równa zeru. Wtedy na
podstawie równania (9.3)
.constalbo0d
d## P
P
t
Zasada zachowania p#du: Je!eli wypadkowa si" zewn$trznych dzia"aj#cych na uk"ad jest
równa zeru, ca"kowity wektor p$du uk"adu pozostaje sta"y.
Zobaczymy jak ta zasada stosuje si# do ró%nych sytuacji fizycznych. Omówimy teraz
poj#cie si! zewn#trznych dla danego uk!adu - jak wybra$ uk!ad i jak stosowa$ zasad#
zachowania p#du.
Przyk"ad 3
Rozwa%my dwa cia!a o masach mA i mB po! czone niewa%k spr#%yn umieszczone
na doskonale g!adkim stole. Odci gamy od siebie te cia!a na pewn odleg!o"$, a nast#p-
nie puszczamy swobodnie (rysunek).
Spróbujmy opisa$ ruch tych cia!.
Najpierw ustalamy z czego sk!ada si# rozwa%any uk!ad. Przyjmujemy, %e tworz go
obie masy + spr#%yna. Je%eli tak to nie dzia!a %adna si!a zewn#trzna (dzia!aj si!y po-
9-6
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
mi#dzy elementami uk!adu czyli si!y wewn#trzne). Mo%emy teraz zastosowa$ zasad#
zachowania p#du. Przed zwolnieniem cia! p#d uk!adu (w odniesieniu do sto!u) by! rów-
ny zeru. I taki pozostaje po ich zwolnieniu. Chocia% cia!a poruszaj si# ich p#d mo%e
by$ równy zeru, poniewa% p#d b#d cy wielko"ci wektorow jest sum dodatniego p#-
du cia!a A (porusza si# w kierunku +x) i ujemnego p#du cia!a B (porusza si# w kierunku
-x). Z zasady zachowania p#du
p#d pocz tkowy = p#d ko'cowy
0 = mAvA + mBvB
Zatem
mBvB = - mAvA
lub
vA = – mBvB/mA
Np. gdy mA = 2kg i mB = 1kg to vA jest równa po!owie vB i ma zwrot przeciwny.
Przyk"ad 4
Ta sama zasada obowi zuje w fizyce j drowej i atomowej. Jako przyk!ad rozpatrzmy
rozpad promieniotwórczy. Cz stka % (j dro atomu helu) emitowana jest z pr#dko"ci
1.4·107 m/s i z energi kinetyczn 4.1 MeV przez j dro uranu 238, pozostaj ce pocz t-
kowo w spoczynku. Znale($ pr#dko"$ odrzutu powsta!ego j dra toru 234.
Jako uk!ad rozpatrujemy j dro toru 234 + cz stk# % (przed rozpadem po prostu j dro
uranu 238). Ze wzgl#du na nieobecno"$ si! zewn#trznych p#d uk!adu, który przed roz-
padem by! równy zeru po rozpadzie pozostaje niezmieniony.
p#d pocz tkowy = p#d ko'cowy
0 = M%v% + MThvTh
wi#c
vTh = - M%v%/MTh = - 4·1.4·107/234 = -2.4·10
5 m/s
9-7
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
Wyk ad 10
10. Zasada zachowania p!du II
10.1 Uk ady o zmiennej masie
Dotychczas zajmowali"my si# uk!adami o sta!ej masie. Obecnie zajmiemy si# uk!a-
dami, których masa zmienia si# podczas obserwacji.
Przyk!adem niech b#dzie rakieta. Wyrzuca ona ze swej dyszy gor cy gaz z du$
pr#dko"ci , zmniejszaj c w ten sposób swoj mas# i zwi#kszaj c pr#dko"% (rysunek po-
ni$ej).
m
v vs
dms
Spaliny opuszczaj silnik rakiety ze sta! pr#dko"ci vs wzgl#dem Ziemi. Pr#dko"%
chwilowa rakiety wzgl#dem Ziemi jest równa v, zatem pr#dko"% spalin wzgl#dem ra-
kiety vwzg. jest dana zale$no"ci
vwzgl = vs – v (10.1)
Je$eli w pewnym przedziale czasowym dt z rakiety wyrzucona zostaje masa dms z pr#d-
ko"ci v0 to masa rakiety maleje o dm a jej pr#dko"% ro"nie o dv, przy czym
t
m
t
ms
d
d
d
d!" (10.2)
Obliczmy teraz ca!kowit szybko"% zmian p#du P uk!adu
ttt
spalinrakiety
d
d
d
d
d
d ppP#"
t
m
t
m
t
ss
d
d
d
)d(
d
dv
v#"
P
t
m
t
m
tm
t
ss
d
d
d
d
d
d
d
dvv
v##"
P (10.3)
Równanie to uwzgl#dnia fakt, $e w przypadku rakiety zmienia si# zarówno jej masa jak
i pr#dko"% podczas gdy spaliny s wyrzucane ze sta! pr#dko"ci . Zmiana p#du uk!adu
jest zgodnie z II zasad dynamiki Newtona równa sile zewn#trznej dzia!aj cej na uk!ad.
10-1
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
Uwzgl#dniaj c zale$no"ci (10.1) i (10.2) mo$emy przekszta!ci% równanie (10.3) do po-
staci
t
m
tm
t
swzglzew
d
d
d
d
d
dv
v#""
pF (10.4)
Ostatni wyraz w równaniu (10.4) mo$e by% interpretowany jako si!a wywierana na
uk!ad przez substancj# (spaliny), która z niego wylatuje. W przypadku rakiety nosi ona
nazw# si y ci!gu.
Je$eli ruch rakiety odbywa si# w przestrzeni kosmicznej to si!y zewn#trzne Fzew s
do zaniedbania i wtedy zmiana p#du rakiety jest równa sile ci gu. Je$eli jednak ruch
odbywa si# w pobli$u Ziemi (np. tu$ po starcie) to wówczas Fzew reprezentuje ci#$ar
rakiety i si!# oporu atmosfery i trzeba j uwzgl#dni%. Konstruktorzy rakiet staraj si#
uzyska% jak najwi#ksz si!# ci gu aby przezwyci#$y% Fzew. Np. rakieta Saturn 5 o masie
ponad 3 mln kg wytwarza!a przy starcie ci g 40 MN.
Obliczmy si!# ci gu dla rakiety o masie 15000 kg, która po spaleniu paliwa wa$y 5000
kg. Szybko"% spalania paliwa wynosi 150 kg/s, a pr#dko"% wyrzucania gazów wzgl#-
dem rakiety jest równa 1500 m/s.
t
MF wzgl
d
dv"
wi#c
F = 1500 m/s·150 kg/s = 2.25·105 N
Zwró%my uwag#, $e pocz tkowo (rakieta z paliwem) si!a dzia!aj ca na rakiet# skiero-
wana ku górze jest równa sile ci gu 2.25·105 N minus ci#$ar rakiety (1.5·10
5 N). Po zu-
$yciu paliwa wynosi 2.25·105 N - 0.5·10
5 N = 1.75·10
5 N.
10.2 Zderzenia
10.2.1 Wst!p
Co rozumiemy poprzez zderzenie?
Si!y dzia!aj ce przez krótki czas w porównaniu do czasu obserwacji uk!adu nazy-
wamy si ami impulsowymi. Takie si!y dzia!aj w czasie zderze& np. uderzenie pi!ki o
"cian# czy zderzenie kul bilardowych. Cia!a w trakcie zderzenia nie musz si# "doty-
ka%", a i tak mówimy o zderzeniu np. zderzenie cz stki alfa (4He) z j drem jakiego"
pierwiastka (np. Au). Wówczas mamy do czynienia z odpychaniem elektrostatycznym.
Pod zderzenia mo$emy podci gn % równie$ reakcje. Proton w trakcie zderzenia z j -
drem mo$e wnikn % do niego. Wreszcie mo$emy rozszerzy% definicj# zderze& o rozpa-
dy cz stek np. cz stka sigma rozpada si# na pion i neutron: $ = %- + n.
Wszystkie te "zdarzenia" posiadaj cechy charakterystyczne dla zderze&:
o procesach na
& mo$na wyra'nie rozró$ni% czas "przed zderzeniem" i "po zderzeniu"
& prawa zachowania p#du i energii pozwalaj zdoby% wiele informacji
podstawie tego co "przed zderzeniem" i tego co "po zderzeniu" mimo, $e niewiele wie-
my o si!ach "podczas" zderzenia.
10-2
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
10.2.2 Zderzenia w przestrzeni jednowymiarowej
Wprawdzie cz#sto nie znamy si! dzia!aj cych podczas zderzenia ale wiemy, $e musi
by% spe!niona zasada zachowania p#du (si!y zewn. = 0), oraz zasada zachowania energii
ca!kowitej. Wobec tego nawet nie znaj!c szczegó ów oddzia ywania mo"na w wielu
przypadkach stosuj c te zasady przewidzie# wynik zderzenia.
Zderzenia klasyfikujemy zwykle na podstawie tego, czy energia kinetyczna jest zacho-
wana podczas zderzenia czy te$ nie. Je$eli tak to zderzenie nazywamy spr$"ystym, je$e-
li nie to niespr$"ystym.
Jedyne prawdziwe zderzenia spr#$yste (chocia$ nie zawsze) to zderzenia mi#dzy
atomami, j drami i cz steczkami elementarnymi. Zderzenia mi#dzy cia!ami s zawsze
w pewnym stopniu niespr#$yste chocia$ czasami mo$emy je traktowa% w przybli$eniu
jako spr#$yste. Kiedy dwa cia!a po zderzeniu ! cz si# mówimy, $e zderzenie jest ca -
kowicie niespr$"yste. Np. zderzenie mi#dzy pociskiem i drewnianym klockiem gdy po-
cisk wbija si# w klocek.
Rozpatrzmy teraz zderzenie spr#$yste w przestrzeni jednowymiarowej. Wyobra'my
sobie dwie g!adkie nie wiruj ce kule, poruszaj ce si# wzd!u$ linii ! cz cej ich "rodki.
Masy kul m1 i m2, pr#dko"ci przed zderzeniem v1 i v2 a po zderzeniu u1 i u2 tak jak na
rysunku poni$ej.
m1 u1 m1 v1 m2 u2 m2 v2
Z zasady zachowania p#du otrzymujemy
m1v1 + m2v2 = m1u1 + m2u2 (10.5)
Poniewa$ zderzenie jest spr#$yste to energia kinetyczna jest zachowana (zgodnie z de-
finicj ). Otrzymujemy wi#c
2222
2
22
2
11
2
22
2
11 umummm#"#
vv (10.6)
Przepisujemy równanie (10.5) w postaci
m1(v1 - u1) = m2(u2 - v1) (10.7)
a równanie (10.6) w postaci
)()( 2
2
2
22
2
1
2
11 vv !"! umum (10.8)
10-3
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
Dziel c równanie (10.8) przez równanie (10.7) otrzymamy w wyniku (przy za!o$eniu
v1 ' u1 i v2 ' u2)
v1 + u1 = v2 + u2
a po uporz dkowaniu
v1 - v2 = u2 - u1 (10.9)
Równanie to mówi nam, $e w opisanym zderzeniu wzgl#dna pr#dko"% zbli$ania si# cz -
stek przed zderzeniem jest równa wzgl#dnej pr#dko"ci ich oddalania si# po zderzeniu.
Mamy do dyspozycji trzy równania (10.7), (10.8) i (10.9), a chcemy znale'% u1 i u2.
Wystarcz wi#c dowolne dwa. Bior c dwa liniowe równania (10.7) i (10.9) obliczmy
2
21
21
21
211
2vv ((
)
*++,
-
##((
)
*++,
-
#
!"
mm
m
mm
mmu (10.10)
oraz
2
21
121
21
12
2vv ((
)
*++,
-
#
!#((
)
*++,
-
#"
mm
mm
mm
mu (10.11)
Rozpatrzmy kilka interesuj cych przypadków:
& m1 = m2
wtedy u1 = v2 oraz u2 = v1
czyli cz stki wymieni!y si# pr#dko"ciami.
& v2 = 0
wtedy
1
21
211 v((
)
*++,
-
#
!"
mm
mmu oraz 1
21
12
2v((
)
*++,
-
#"
mm
mu
& je$eli jeszcze dodatkowo m1 = m2
wtedy u1 = 0 oraz u2 = v1 (wymiana pr#dko"ci)
& natomiast gdy m2 >> m1 to wtedy:
u1 . – v1 oraz u2 . 0
Taka sytuacja zachodzi np. przy zderzeniu cz stki lekkiej z bardzo ci#$k (spoczywaj -
c ) np. pi!ka uderza o "cian#.
& wreszcie sytuacja odwrotna m2 << m1.
Wtedy u1 . v1 oraz u2 . 2v1.
Pr#dko"% cz stki ci#$kiej (padaj cej) prawie si# nie zmienia.
Np. Neutrony w reaktorze musz by% spowalniane aby podtrzyma% proces rozszczepie-
nia. W tym celu zderzamy je z spr#$y"cie z j drami (spoczywaj cymi) spowalniacza.
Gdyby w spowalniaczu by!y ci#$kie j dra to neutrony zderzaj c si# "odbija!yby" si# nie
10-4
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
trac c nic z pr#dko"ci. Gdyby natomiast spowalniaczem by!y cz stki lekkie np. elektro-
ny to neutrony porusza!yby si# w"ród nich praktycznie bez zmiany pr#dko"ci. Zatem
trzeba wybra% moderator (spowalniacz) o masie j der porównywalnej z mas neutro-
nów.
Przy zderzeniach niespr$"ystych energia kinetyczna nie jest zachowana.
Ró$nica pomi#dzy energi kinetyczn pocz tkow i ko&cow przechodzi np. w ciep!o
lub energi# potencjaln deformacji.
Przyk ad 1
Jak cz#"% swej energii kinetycznej traci neutron (m1) w zderzeniu centralnym z j drem
atomowym (m2) b#d cym w spoczynku?
Pocz tkowa energia kinetyczna: 2
2
111
vmEk "
Ko&cowa energia kinetyczna: 2
2
112
umEk "
Wzgl#dne zmniejszenie energii kinetycznej:
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
1
21 1vv
v uu
E
EE
k
kk !"!
"!
Poniewa$ dla takiego zderzenia:
1
21
211 v((
)
*++,
-
#
!"
mm
mmu
wi#c
2
21
21
2
21
21
1
21
)(
41
mm
mm
mm
mm
E
EE
k
kk
#"((
)
*++,
-
#
!!"
!
& dla o!owiu m2 = 206 m1 wi#c %)2(02.01
21 "!
k
kk
E
EE
& dla w#gla m2 = 12 m1 wi#c %)28(82.01
21 "!
k
kk
E
EE
& dla wodoru m2 = m1 wi#c %)100(11
21 "!
k
kk
E
EE
Wyniki te wyja"niaj dlaczego parafina, która jest bogata w wodór jest dobrym spowal-
niaczem (a nie o!ów).
Przyk ad 2
Wahad!o balistyczne.
S!u$y do pomiaru pr#dko"ci pocisków. Sk!ada si# z bloku drewnianego o masie M, wi-
sz cego na dwóch sznurach (rysunek). Pocisk o masie m, maj cy pr#dko"% poziom v,
wbija si# w drewno i zatrzymuje w nim. Po zderzeniu wahad!o (tzn. blok z tkwi cym w
nim pociskiem) wychyla si# i podnosi na maksymaln wysoko"% h.
10-5
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
m v
M
h
Z zasady zachowania p#du otrzymujemy
mv = (m + M)u
Z zasady zachowania energii (po zderzeniu):
ghMmuMm
)(2
)( 2
#"#
Po rozwi zaniu tych dwóch równa& otrzymujemy:
ghm
Mm2
#"v
Wystarczy wi#c zmierzy% wysoko"% h oraz masy m i M aby móc wyznaczy% pr#dko"%
pocisku v.
Na zako&czenie sprawd'my jaka cz#"% pocz tkowej energii zostaje zachowana w
tym zderzeniu. W tym celu obliczamy stosunek energii kinetycznej uk!adu klocek – po-
cisk, zaraz po zderzeniu, do energii kinetycznej pocisku przed zderzeniem. Otrzymuje-
my
Mm
m
ghm
Mmm
ghMm
m
uMm
#"
()
*+,
- #
#"
#
22
1
)(
2
1
)(2
1
22
2
v
Dla typowej masy pocisku m = 5 g i klocka o masie M = 2 kg otrzymujemy stosunek
m/(m+M) . 0.025. Oznacza to, $e zachowane zostaje tylko 0.25% pocz tkowej energii
kinetycznej, a 99.75% ulega zmianie w inne formy energii.
10-6
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
Wyk ad 11
11. Elementy szczególnej teorii wzgl!dno"ci
11.1 Wst p
Mechanika klasyczna oparta na zasadach dynamiki Newtona poprawnie opisuje zja-
wiska, w których pr"dko#ci cia! s ma!e w porównaniu z pr"dko#ci #wiat!a. Jednak
w zjawiskach atomowych, j drowych i w astrofizyce spotykamy si" z pr"dko#ciami
zbli$onymi do pr"dko#ci #wiat!a i wtedy zamiast mechaniki klasycznej musimy stoso-
wa% mechanik relatywistyczn! opart na szczególnej teorii wzgl dno"ci opracowanej
przez Einsteina. Mechanika klasyczna nie jest sprzeczna z mechanik relatywistyczn ,
a stanowi jej szczególny przypadek (dla ma!ych pr"dko#ci).
11.1.1 Zasada wzgl!dno"ci
Wiemy ju$, $e gdy uk!ad porusza si" ze sta! pr"dko#ci po linii prostej to ka$de do-
#wiadczenie przebiega tak samo jakby#my si" nie poruszali. Jednocze#nie jakakolwiek
zmiana pr"dko#ci natychmiast jest przez nas zauwa$ana.
Narzuca si" wniosek, poparty przez niezliczone obserwacje, $e $adne do#wiadczenie nie
pozwala nam stwierdzi%, $e si" poruszamy (v = const). Inaczej mówi c:
Prawa przyrody (w szczególno"ci fizyki) s! takie same bez wzgl du na to, czy obserwu-
jemy je z uk#adu nie poruszaj!cego si , czy z ruchomego, ale poruszaj!cego si bez
przy"pieszenia (czyli uk#adu inercjalnego)
Ten wniosek, nazywany obecnie zasad! wzgl dno"ci: sformu!owano jeszcze za czasów
Galileusza.
11.1.2 Transformacja Galileusza
Omawiaj c zasady dynamiki Newtona stwierdzili#my, $e prawa przyrody (w szcze-
gólno#ci fizyki) s takie same bez wzgl"du na to, czy obserwujemy je z uk!adu nie po-
ruszaj cego si", czy z ruchomego, ale poruszaj cego si" bez przy#pieszenia (uk!ady in-
ercjalne).
Spróbujemy teraz opisa% zjawiska widziane z dwóch ró$nych inercjalnych uk!adów
odniesienia, poruszaj cych si" wzgl"dem siebie (rysunek). W tym celu wyobra&my so-
bie, obserwatora na ziemi, który rejestruje dwa wybuchy na pewnej, jednakowej wyso-
ko#ci. Odleg!o#% mi"dzy miejscami wybuchów wynosi, (wed!ug ziemskiego obserwato-
ra) x, natomiast czas mi"dzy wybuchami t. Te same dwa zdarzenia obserwowane s
przez pasa$era samolotu lec cego z pr"dko#ci V po linii prostej ! cz cej miejsca wy-
buchów. Wzgl"dem lokalnego uk!adu odniesienia zwi zanego z lec cym samolotem
ró$nica po!o$e' wybuchów wynosi x’, a ró$nica czasu t’. Porównajmy teraz spostrze$enia obserwatorów na ziemi i w samolocie. Zróbmy to
np. z pozycji obserwatora na ziemi, który próbuje opisa% to co widz pasa$erowie sa-molotu.
11-1
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
Je$eli, pierwszy wybuch nast pi! w punkcie x1’ (wzgl"dem samolotu), a drugi po
czasie t, to w tym czasie samolot przelecia! drog" V t (wzgl"dem obserwatora na Ziemi) i drugi wybuch zosta! zaobserwowany w punkcie
Vtxxx ! "# '' 12
czyli Vtxxxx ! #!# ''' 12
Jednocze#nie, poniewa$ samolot leci wzd!u$ linii ! cz cej wybuchy, to y’ = z’ = 0. Oczywistym wydaje si" te$, $e t’ = t. Otrzymali#my wi"c wzory przek#adaj!ce wyniki obserwacji jednego obserwatora na
spostrze$enia drugiego
tt
zz
yy
Vtxx
#
#
#
!#
'
'
'
'
(11.1)
Te równania nosz nazw" transformacji Galileusza Sprawd&my, czy stosuj c powy$sze wzory do opisu do#wiadcze', otrzymamy takie sa-me wyniki, niezale$nie od uk!adu w którym to do#wiadczenie opisujemy. Jako przyk!ad wybierzmy cia!o poruszaj ce wzd!u$ osi x ruchem jednostajnie przyspieszonym z przy-spieszeniem a. W uk!adzie nieruchomym pr"dko#% chwilowa cia!a wynosi
t
xu
#
Jego przyspieszenie jest sta!e i równe a. Natomiast obserwator w poje&dzie poruszaj -cym si" wzd!u$ osi x ze sta! pr"dko#ci V rejestruje, $e w czasie t’ cia!o przebywa odleg!o#% x’. Zatem pr"dko#% chwilowa cia!a zmierzonego przez tego obserwatora wynosi
11-2
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
'
''
t
xu
#
Zgodnie z transformacj Galileusza x' = x ! V t, oraz t' = t, wi"c
Vut
tVx
t
xu !#
!
#
#'
''
Otrzymali#my pr"dko#% wzgl"dn jednego obiektu wzgl"dem drugiego co jest wyni-kiem intuicyjnie oczywistym. Natomiast przy#pieszenie w uk!adzie poruszaj cym si" wynosi
at
u
t
Vu
t
ua #
# !
#
#)(
'
''
Wida%, $e w tym przypadku zastosowanie wzorów transformacji Galileusza daje wynik zgodny z do#wiadczeniem. Jednak nie jest to prawd w ka$dym przypadku. Miedzy in-nymi stwierdzono, $e ta transformacja zastosowana do równa' Maxwella nie daje tych samych wyników dla omawianych uk!adów inercjalnych. W szczególno#ci z praw Maxwella wynika, $e pr dko"% "wiat#a jest podstawow! sta#! przyrody i powinna by%
taka sama w ka$dym uk#adzie odniesienia. Oznacza to na przyk!ad, $e gdy impuls #wiat!a rozchodz cy si" w pró$ni w kierunku x jest obserwowany przez dwóch obserwatorów (patrz na tekst i rysunek powy$ej) to za-równo obserwator nieruchomy jak poruszaj cy si" z pr"dko#ci V (wzgl"dem pierwsze-go) zmierz identyczn pr"dko#% impulsu c = 2.998$108 m/s. Tymczasem zgodnie z transformacj Galileusza i ze zdrowym rozs dkiem powinni#my otrzyma% warto#% c – V. WMaxwella, a w szczególno#ci próbowano pokaza%, $e pr"dko#% #wiat!a, tak jak pr"dko#% d&wi"ku zale$y od uk!adu odniesienia (stosuje si" do transformacji Galileusza). Naj-s!awniejsze z nich, to do#wiadczenie Michelsona-Morleya maj ce na celu wykrycie wp!ywu ruchu orbitalnego Ziemi na pr"dko#% #wiat!a poprzez pomiar pr"dko#ci #wiat!a w kierunku prostopad!ym i równoleg!ym do ruchu Ziemi. Wszystkie te do#wiadczenia da!y wynik negatywny i musimy uzna%, $e pr"dko#% #wiat!a w pró$ni jest jednakowa we wszystkich inercjalnych uk!adach odniesienia. Pr dko"% "wiat#a c = 2.988$108 m/s we wszystkich u
ykonano szereg do#wiadcze', w których próbowano podwa$y% równania
k#adach odniesienia.
!a.
11.1.3 Dylatacja czasu
Za!ó$my, $e w rakiecie znajduje si" przyrz d wysy!aj cy impuls #wiat!a z punktu A, któ
dzy wys!aniem #wiat!a, a jego zarejestrowaniem przez obser-
#wiat!a z punktu A do zwierciad!a i z powrotem do A.
Rozpatrzmy teraz niektóre wnioski wynikaj ce ze sta!o#ci pr"dko#ci #wiat
ry nast"pnie odbity przez lustro Z, odleg!e od A o d powraca do punktu A, gdzie jest rejestrowany (rysunek). Czas t' jaki up!ywa mi"watora b"d cego w rakiecie jest oczywi#cie równy t' = 2d/c (rysunek po lewej stronie). Teraz to samo zjawisko opisujemy z uk!adu nieruchomego, wzgl"dem którego rakieta porusza si" w prawo z pr"dko#ci V. Chcemy, w tym uk!adzie, znale&% czas t przelotu
11-3
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
na rysunku (po prawej stronie) #wiat!o przechodz c od punktu
porusza si" po linii o d!ugo#ci S Jak wida% A do zwier-ciad!a Z
% 22
dt
VS "&'
(
#
Zatem czas potrzebny na przebycie drogi (tj. dwóch odcinków S) wynosi
2 )*
AZA
ct
22
)*#
2d
dV 2"&(
lub po przekszta!ceniu
t2'%
2
2
2
2
11c
V
c
Vt
!
#
!
# (11.2)
Widzimy, $e warunek sta!o# nych uk!adach odniesienia mo$e
y% spe!niony tylko wtedy gdy, czas pomi"dzy dwoma zdarzeniami obserwowanymi
y s w ruchu. Dotyczy to równie$ reakcji chemicznych,
#ci bliskiej pr"dko#ci #wiat!a i mierzono zmian"
ci pr"dko#ci #wiat!a w ró$
'tc
bi mierzonymi z ró$nych uk!adów odniesienia jest ró$ny. W konsekwencji, ka$dy obserwator stwierdzi, $e poruszaj!cy si zegar idzie wolniej ni$
identyczny zegar w spoczynku. To zjawisko dylatacji czasu jest w!asno#ci samego czasu i dlatego spowolnieniu ulega-j wszystkie procesy fizyczne gdwi"c i np. biologicznego starzenia si". Dylatacj" czasu zaobserwowano do#wiadczalnie min. za pomoc nietrwa!ych cz stek. Cz stki takie przyspieszano do pr"dkoich czasu po!owicznego zaniku.
11-4
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
11.2 Transformacja Lorentza
Szukamy ponownie (jak w przypadku transformacji Galileusza) wzorów przek!ada-j cych spostrze$enia jednego obserwatora na obserwacje drugiego. Chcemy znale&% transformacj" wspó!rz"dnych ale tak , w której obiekt poruszaj cy si" z pr"dko#ci równ c w uk!adzie nieruchomym (x, y, z, t), równie$ w uk!adzie (x', y', z', t') poruszaj -cym si" z pr"dko#ci V wzd!u$ osi x b"dzie porusza% si" z pr"dko#ci c.
Transformacja wspó#rz dnych, która uwzgl dnia niezale$no"% pr dko"ci "wiat#a od
uk#adu odniesienia ma posta%
2
2
2
2
2
2
2
2
11
'
'
'
11
'
+
+
!
!#
!
!#
#
#
!
!#
!
!#
xc
Vt
c
V
xc
Vt
t
zz
yy
Vtx
c
V
Vtxx
(11.3)
gdzie + = V/c. Te równania nosz nazw" transformacji Lorentza. Omówimy teraz niektóre wnioski wynikaj ce z transformacji Lorentza.
11.2.1 Jednoczesno"#
Przyjmijmy, $e wed!ug obserwatora w rakiecie poruszaj cej si" wzd!u$ osi x' (czyli tak$e wzd!u$ osi x, bo zak!adamy, $e te osie s równoleg!e) pewne dwa zdarzenia za-chodz równocze#nie t' = t2' - t1' = 0, ale w ro$nych miejscach x2' - x1' = x' , 0. Sprawd&my, czy te same zdarzanie s równie$ jednoczesne dla obserwatora w spoczyn-ku. Z transformacji Lorentza wynika, $e
2
2
1'
+!
! #
xc
Vt
t
tVxx "! # 21' +
( cz c oba powy$sze równania otrzymujemy zwi zek
'1'2
2 xc
Vtt !! # + (11.4)
Je$eli teraz uwzgl"dnimy fakt, $e zdarzenia w uk!adzie zwi zanym z rakiet s jedno-czesne t' = 0 to otrzymamy ostatecznie
11-5
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
'1 2
2
xc
V
t !
# +
(11.5)
Widzimy, $e równoczesno#% zdarze' nie jest bezwzgl"dna, w uk!adzie nieruchomym te dwa zdarzenia nie s jednoczesne.
11.2.2 Skrócenie d ugo"ci
Teraz rozpatrzmy inny przyk!ad. W rakiecie poruszaj cej si" z pr"dko#ci V, wzd!u$ osi x' le$y pr"t o d!ugo#ci L'. Sprawd&my jak d!ugo#% tego pr"ta zaobserwuje obserwa-tor w uk!adzie nieruchomym.
Pomiar d!ugo#ci pr"ta polega na zarejestrowaniu dwóch zjawisk zachodz cych rów-nocze#nie na ko'cach pr"ta (np. zapalenie si" $arówek). Poniewa$ $arówki zapalaj si" na ko'cach pr"ta to x' = L'. Ponadto $arówki zapalaj si" w tym samym czasie (dla ob-serwatora w uk!adzie spoczywaj cym ) to dodatkowo t = 0. Uwzgl"dniaj c te warunki otrzymujemy na podstawie transformacji Lorentza
xL !
#21
1'
+
x jest d!ugo#ci pr"ta L w uk!adzie nieruchomym wi"c
21' +!## LLx (11.6)
Okazuje si", $e pr"t ma mniejsz d!ugo#%, jest krótszy.
11.2.3 Sta o"# przedzia u czasoprzestrzennego
Pomimo, $e powy$szy opis k!óci si" ze zdrowym rozs dkiem i do#wiadczeniem $y-cia codziennego to jednak po bli$szej analizie transformacja Lorentza mo$e ju$ nie wy-dawa% si" a$ tak dziwna. Wyobra&my sobie pr"t o d!. np. .20m. umieszczony w uk!adzie wspó!rz"dnych w taki sposób, $e rzut tego odcinka na o# x wynosi x, a na o# y y.
y' y
x'
x
-
Je#li teraz kto# znajdzie si" w drugim uk!adzie wspó!rz"dnych, obróconym wzgl"dem pierwszego o k t , to spogl daj c na ten odcinek z tego uk!adu mierzy jego wspó!-rz"dne jako x
’ i y’
-. Czy jest to dla nas dziwne? Oczywi#cie nie. Mo$emy tak$e prze-
t!umaczy% opis w jednym uk!adzie na opis w drugim (znale&% transformacj")
11-6
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
x
’ = x cos- + y sin-
y’=- x sin- + y cos-
Poszczególne wyniki obserwacji x i y dla jednego cz!owieka, oraz, odpowiednio, x' i y' dla drugiego s ró$ne, lecz suma ich kwadratów tj. d#ugo"% pr ta jest taka sama. Zwi zek mi"dzy x i y, a x' i y' jest dany przez liniow! kombinacj podobnie jak w transformacji Lorentza. Tylko, $e tutaj wiemy, $e x i y to odleg!o#ci, a tam x i t to wielko#ci innego rodzaju.
Szczególna teoria wzgl"dno#ci dowodzi, $e czas jest "ci"le powi!zany z odleg#o"ci!
i naprawd $yjemy w 4-wymiarowej przestrzeni; czasoprzestrzeni. Co wi"cej, podobna wielko#% jak odleg!o#% w naszym przyk!adzie te$ istnieje: jest ni przedzia# czasoprze-
strzenny ( x)2-(c t)2, który jest niezmiennikiem transformacji Lorenzta, czyli jest taki sam w dwóch uk!adach ( x)2-(c t)2=( x’)2-(c t’)2 (11.7)
11.2.4 Dodawanie pr!dko"ci
Uprzednio rozwa$ali#my obiekt spoczywaj cy w rakiecie. Teraz zajmiemy si" przy-padkiem gdy obiekt ma ju$ pewn pr"dko#% Ux' w ruchomym uk!adzie odniesienia (tj. wzgl"dem rakiety). Sprawdzimy jak pr"dko#% Ux zarejestruje nieruchomy obserwator, w uk!adzie którego rakieta porusza si" z pr"dko#ci V wzd!u$ osi x. Z transformacji Lo-rentza wynika, $e
21'
+!
! #
tVxx
2
2
1'
+!
! #
xc
Vt
t
Dziel c te równania przez siebie otrzymujemy
t
x
c
V
Vt
x
xc
Vt
tVx
t
x
!
!
# !
! #
221'
'
a po podstawieniu
'
''
t
xU x
# i
t
xx
#U
11-7
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
21
'
c
VU
VUU
x
xx
!
!# (11.8a)
Równanie (11.8a) mo$na rozwi za% ze wzgl"du na Ux
2
'1
'
c
VU
VUU
x
xx
"
"# (11.8b)
W ogólno#ci, je#li obiekt przesuwa si" z pr"dko#ci ' , wzgl"dem ob-
serwatora w rakiecie (poruszaj cej si" z pr"dko#ci U wzd!u$ osi x) to pr"dko#% tego przedmiotu zarejestrowana w nieruchomym uk!adzie wyniesie
'' yx VVV ji "#
yx VVV ji "#
2
'1
'
c
UV
VUV
x
xx
"
"# (11.9a)
Vy = Vy' (11.9b) Przyk#ad 1
Dwa nadd&wi"kowe samoloty odrzutowe lec ku sobie na kursie kolizyjnym. Ich pr"dko#ci wzgl"dem Ziemi wynosz odpowiednio: samolot 1 Vx = 1500km/h, samolot 2 U = 3000km/h. Jak warto#% pr"dko#ci pierwszego samolotu zmierzy obserwator w sa-molocie drugim? Samolot 2 jest uk!adem, wzgl"dem którego pr"dko#% obiektu (czyli samolotu 1) chcemy obliczy%, przy znanej pr"dko#ci w uk!adzie zwi zanym z Ziemi . Poniewa$ Vx = 1500 km/h, U = - 3000 km/h (bo przeciwny kierunek). st d na podstawie równania (11.9a) Vx' = 4497.77 km/h.
11.2.5 Zale$no"# masy od pr!dko"ci
Dotychczas zajmowali#my si" kinematyk ruchu cia!a obserwowanego z dwóch uk!adów odniesienia poruszaj cych si" wzgl"dem siebie ze sta! pr"dko#ci . Teraz chcemy odpowiedzie% na pytanie jak mo$na opisa% zachowanie cia!a pod wp!ywem si! w sytuacji, gdy transformacja Lorentza, (a nie Galileusza) jest prawdziwa. Chodzi o to, czy druga zasada dynamiki Newtona F = dp/dt mo$e by% stosowana i czy zasada za-chowania p"du ma tak sam posta% we wszystkich uk!adach inercjalnych.
Okazuje si", $e warunkiem zachowania p"du przy transformacji z jednego uk!adu odniesienia do innego jest uwzgl"dnienie zale$no#% masy cia!a m od jego pr"dko#ci V, danej nast"puj cym wyra$eniem
2
2
0
1
)(
c
V
mVm
!
# (11.10)
11-8
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
w którym m0 oznacza mas spoczynkow!, czyli mas" nieruchomego cia!a. Zauwa$my ponadto, $e masa cz stki ro#nie wraz z pr"dko#ci i zmierza do niesko'czono#ci gdy V c.
Rozpatrzmy teraz ruch cia!a pod wp!ywem sta!ej si!y F dzia!aj cej równolegle do kierunku ruchu. Zale$no#% pr"dko#ci cia!a od czasu obliczamy na podstawie drugiej za-sad dynamiki Newtona. Uwzgl"dniaj c zale$no#% masy od pr"dko#ci (11.10) otrzymu-jemy
2
0
0
1
)(
&)'
(*%"
#
cmFt
mFt
tV
Porównanie zale$no#% pr"dko#ci cia!a od czasu dzia!ania si!y w mechanice klasycznej i relatywistycznej jest pokazane na rysunku poni$ej.
0
1
Pr dko!" relatywistyczna
Pr dko!" klasyczna
Przedzia# mechaniki klasycznej
V/c
t
W przeciwie'stwie do opisu klasycznego, z powy$szej zale$no#ci wynika, $e cz stki nie da si" przyspiesza% w niesko'czono#% dzia!aj c sta! si! . Zmiana masy z pr"dko#ci zosta!a potwierdzona wieloma do#wiadczeniami prze-prowadzonymi dla cz stek elementarnych.
11.2.6 Równowa$no"# masy i energii
Einstein pokaza!, $e zasada zachowania energii jest spe!niona w mechanice relaty-wistycznej pod warunkiem, $e pomi"dzy mas i ca!kowit energi cia!a zachodzi zwi -zek
2mcE # (11.11)
11-9
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
gdzie m zale$y od pr"dko#ci cia!a V zgodnie zrównaniem (11.10). To znane powszech-nie równanie Einsteina opisuje równowa$no#% masy i energii. Wynika z niego, $e cia!o w spoczynku ma zawsze pewn energi" zwi zan z jego masa spoczynkow
200 cmE #
Energi" kinetyczn cia!a poruszaj cego si" z pr"dko#ci V obliczamy odejmuj c od
energii ca!kowitej energi" spoczynkow (nie zwi zan z ruchem)
20
20
20 )( cmmcmmcEEEk !#!#!#
Widzimy, $e mechanika relatywistyczna wi $e energi" kinetyczn z przyrostem masy cia!a. Na zako'czenie zobaczmy jak warto#% przyjmuje energia ca!kowita, je#li pr"d-ko#% V jest ma!a. Dla ma!ego V równanie (11.10) mo$na przybli$y% (rozwijaj c w sze-reg) do postaci
&&)
'((*
%".
!
#2
2
0
2
2
0
21
1
)(c
Vm
c
V
mVm
Podstawiaj c t" warto#% do wyra$enia na energi" ca!kowit otrzymujemy
2)(
202
02 Vm
cmcVmE ".#
Pierwszy wyraz jest energi! zwi!zan! z istnieniem samej masy (energia spoczynkowa) natomiast drugi jest klasyczn! energi! kinetyczn! zwi!zan! z ruchem cia#a. Otrzymali-#my rozwi zanie klasyczne jako graniczny przypadek (dla ma!ych pr"dko#ci) rozwi za-nia relatywistycznego.
St d o krok ju$ by!o do stwierdzenia, $e je$eli masa spoczynkowa cz stki zostanie zmniejszona o m, to nast pi wyzwolenie energii E = mc
2. Te wnioski zosta!y po-twierdzone do#wiadczalnie i omówimy je na dalszych wyk!adach.
11-10
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
Wyk ad 12
12. Ruch obrotowy
12.1 Wst p
Mówi c o "rodku masy wspominali"my o ruchu obrotowym oraz o toczeniu si# cia!.
Du$ym u!atwieniem w analizie uk!adów cz stek jest mo$liwo"% rozpatrywania oddziel-
nego ruchu post#powego i ruchu obrotowego. Aby wprowadzi% to uproszczenie zdefi-
niujemy dwie nowe wielko"ci: moment p du i moment si!y. Zasada zachowania momen-
tu p#du jest równie istotna jak zasada zachowania p#du i zasada zachowania energii.
12.2 Kinematyka ruchu obrotowego
Musi w pierwszym kroku wypracowa% uj#cie matematyczne dla ruchu obrotowego.
Dla ruchu obrotowego wielko"ci analogiczn do przesuni#cia jest przesuni cie k"to-
we . K t okre"la po!o$enie punktu wzgl#dem uk!adu odniesienia. Dla ruchu po okr#-
gu, z definicji miary !ukowej k ta = S/R. (w radianach).
R S
K tow analogi pr#dko"ci v = dx/dt jest pr dko#$ k"towa !.
td
d ! " (12.1)
Dla ruchu po okr#gu v = ! R.
W przypadku ruchu jednostajnego po okr#gu ! jest nazywane cz sto#ci" k"tow" i jest
zwi zana z cz#stotliwo"ci f relacj
! = 2#f
Podobnie jak przyspieszenie liniowe a = dv/dt zosta!o zdefiniowane przyspieszenie k -
towe $.
td
d!$ " (12.2)
12-1
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
Dla ruchu po okr#gu zwi zek pomi#dzy a i $ jest analogiczny do zwi zku pomi#dzy v
i ! tzn. a = $R. Mo$emy teraz np. poda% opis ruchu obrotowego ze sta!ym przyspiesze-
niem $ poprzez analogi# do ruchu post#powego jednostajnie zmiennego.
Ruch post#powy Ruch obrotowy
a = const
v = v0 + at
s = s0 + v0t + (1/2)at2
$ = const
! = !0 + $t
= 0 + !0t + (1/2)$t2
Kierunek i zwrot wektorów pr#dko"ci k towej ! i przyspieszenia k towego $%w ruchu
obrotowym przyspieszonym (1) i opó&nionym (2) s pokazane na rysunku poni$ej.
!%
$%
!%
$%
1) 2)
12.3 Dynamika ruchu obrotowego
12.3.1 Moment si y
W ruchu post#powym si!# wi $emy z liniowym przyspieszeniem cia!a. Jak wiel-
ko"% b#dziemy wi za% z przyspieszeniem k towym?
Nie mo$e by% to tylko si!a bo jak pokazuje do"wiadczenie np. z otwieraniem drzwi
przyspieszenie k towe zale$y od tego gdzie i pod jakim k tem jest przy!o$ona si!a. W
szczególno"ci si!a przy!o$ona w miejscu zawiasów zarówno wzd!u$ jak i prostopadle
do nich nie wytwarza $adnego przyspieszenia. Natomiast si!a przy!o$ona do drzwi na
ich zewn#trznej kraw#dzi i pod k tem prostym nadaje im maksymalne przyspieszenie.
Dla ruchu obrotowego odpowiednikiem si!y w ruchu post#powym jest moment si!y
(tzw. moment obrotowy) &. Je$eli si!a F dzia!a na cz stk# to moment si!y jest definiowany jako
Fr! '" (12.3)
gdzie wektor r reprezentuje po!o$enie cz stki wzgl#dem wybranego inercjalnego uk!a-
du odniesienia. Moment si!y jest wielko"ci wektorow , której warto"% bezwzgl#dna
12-2
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
wynosi: & = rFsin (iloczyn wektorowy). Wielko"% r nazywamy ramieniem si!y (wida%,
$e bierzemy albo r( albo F().
12.3.2 Moment p!du
Zdefiniujmy teraz wielko"%, która w ruchu obrotowym odgrywa rol# analogiczn do
p#du. Wielko"% L b#dziemy nazywa% momentem p du i definiujemy j
prL '" (12.4)
gdzie p jest p#dem cz stki, a r reprezentuje po!o$enie cz stki wzgl#dem wybranego in-
ercjalnego uk!adu odniesienia. Warto"% L wynosi rpsin i analogicznie do momentu si!y
wielko"% rsin nazywamy ramieniem p#du.
Istnieje bezpo"rednia zale$no"% pomi#dzy momentem si!y i momentem p#du. Zacznij-
my od znanej zale$no"ci, $e si!a F = dp/dt (dla pojedynczej cz stki). Mno$ c wektoro-
wo obie strony przez r otrzymujemy
td
d prFr '"'
Fr ' jest momentem si!y & wi#c
td
d pr! '" (12.5)
Teraz przechodzimy do równania na moment p#du L = r'p i ró$niczkujemy je obu-
stronnie wzgl#dem czasu, otrzymuj c
tttt d
d
d
d
d
)d(
d
d prp
rprL')'"
'"
poniewa$ dr/dt = v wi#c
tm
t d
d)(
d
d pr
L')'" vv
Wiemy, $e v = 0 (z definicji iloczynu wektorowego), wi#c vm'
tt d
d
d
d pr
L'" (12.6)
Porównanie równa' (12.5) i (12.6) prowadzi do wniosku, $e
td
d L! " (12.7)
12-3
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
Widzimy, $e wypadkowy moment si!y dzia!aj cy na cz stk# jest równy pr#dko"ci
zmian momentu p#du tej cz stki.
12.3.3 Zachowanie momentu p!du
Dla uk!adu n cz stek mo$emy zsumowa% równanie (12.7) po wszystkich cz stkach
tt
wypadkowy
i i
iid
d
d
d LL! "*+
,-.
/"0 0 (12.8)
Zauwa$my, $e je$eli na uk!ad nie dzia!a zewn#trzny moment si!y (lub suma = 0) to
moment p#du uk!adu pozostaje sta!y.
.const0d
d"1" wypadkowy
wypadkowy
tL
L
Przyk!ad 1
Osoba stoi na stoliku obrotowym i w obu r#kach trzyma hantle, maj c roz!o$one
ramiona. Popychamy j , tak aby obraca!a si# z cz#stotliwo"ci f1 = 0.5 obrotów na se-
kund#. Wtedy osoba zgina ramiona, przyci gaj c hantle do tu!owia. Jaka jest cz#stotli-
wo"% jej obrotów? Za!ó$my, $e hantle pocz tkowo znajduj ce si# 80 cm od osi obrotu,
zostaj "ci gni#te do odleg!o"ci 10 cm od osi. Masa hantli jest taka, $e obracaj ca si#
osoba ma taki sam moment p#du jak hantle w odleg!o"ci 80 cm od osi obrotu.
Pocz tkowo moment p#du hantli wynosi
Lh1 = R1mv1 = R1m(!1R1) = m!1(R1)2
dzie m jest mas pary hantli. Moment p#du uk!adu osoba-hantle wynosi wi#c
L1 = Lo1 + m!1(R1)2
oniewa$ Lo1 = Lh1 wi#c Lo1 = m!1(R1)2.
k!adu wynosi
L2 = Lo2 + m!2(R2)2
tosuj c zasad# zachowania p#du otrzymujemy
L1 = L2
czyli:
Lo1 + m!1(R1)2 = Lo2 + m!2(R2)
2
ami#taj c, $e Lo2 = Lo1!2/!1 poniewa$ L 2 ! rozwi zujemy to równanie wzgl#dem !2
g
P
Dla hantli w odleg!o"ci R2 moment p#du u
S
P
12-4
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
2
2
2
1
2
112
2
RR
R
)"!!
!2 = 1.97 !1
Pr#dko"% obrotów ro"nie dwukrotnie.
Przyk!ad 2
Rower jedzie ze sta! pr#dko"ci gdy si!a dzia!aj ca pomi#dzy nawierzchni i ko!em
F2 = 4 N. Z jak si! F1 !a'cuch musi ci gn % z#batk# je$eli stosunek R2/R1 = 10?
R1
R2
F1
F2
Poniewa$ pr#dko"% k towa jest sta!a wi#c dL/dt = 0 i co za tym idzie
&wypadkowy = (&1 - &2) = 0
czyli
&1 = &2
St d
R1F1 = R2F2
wi#c
F1 = (R2/R1)F2 = 40N
12.4 Cia"a sztywne i moment bezw"adno#ci
Wi#kszo"% mas w przyrodzie to nie cz stki tylko rozci g!e cia!a sta!e, które mog
wykonywa% zarówno ruch post#powy jak i obrotowy. Przez cia!a sta!e, sztywne, rozu-
miemy cia!a, w których odleg!o"% mi#dzy dwoma wybranymi elementami pozostaje sta-
!a.
Przeanalizujmy ruch takiej bry!y obracaj cej si# ze sta! pr#dko"ci k towa ! wokó!
sta!ej osi w uk!adzie "rodka masy (rysunek). Zauwa$my, $e ró$ne cz#"ci cia!a maj ró$-
n pr#dko"% liniow v chocia$ t sam k tow !. Dla potrzeb opisu cia!o mo$emy po-
dzieli% na elementy o masie 3mi odleg!e od osi obrotu o ri. Wtedy pr#dko"% takiego
elementu wynosi vi = ri!.
12-5
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
3mi
ri
vi
!
Warto"% momentu p#du L tego cia!a mo$na obliczy%
!! *+
,-.
/3"3"3" 00 0
i
iii
i i
iiiii mrrmrmrL 2)(v
Wielko"% w nawiasie nazywamy momentem bezw!adno#ci I, który definiujemy jako
0 3"i
mrI ii
2
a dla ci g!ego rozk!adu masy mamy
4" mrI d2 (12.9)
Zwró%my uwag#, $e I zale$y od osi obrotu. Mo$emy teraz zapisa% moment p#du
L = I! (12.10)
a poniewa$ & = dL/dt wi#c
$!
& It
I ""d
d (12.11)
Energia kinetyczna w uk!adzie "rodka masy
2222
2
1)(
2
1
2
1!!0 00 *+
,-.
/3"3"3"
i i
iiii
i
iik rmrmmE v
wi#c
12-6
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
2
2
1!IEk " (12.12)
Zestawmy teraz obliczone wielko"ci z ich odpowiednikami dla ruchu post#powego.
Ruch post#powy Ruch obrotowy
p = mv
F = ma
Ek = (1/2) mv2
L= I!
& = I$
Ek = (1/2)I!2
Teraz widzimy, $e moment bezw!adno"ci I jest analogiczn wielko"ci do masy m w
ruchu post#powym. Chocia$ masa cia!a nie zale$y od jego po!o$enia to moment bez-
w!adno"ci zale$y od osi, wokó! której obraca si# cia!o. Momenty bezw!adno"ci niektó-
rych cia! s podane w tabeli.
Cia!o I
Obr#cz, pier"cie' wzgl#dem osi ( przez "rodek
Kr $ek, walec wzgl#dem osi ( przez "rodek
Pr#t wokó! osi ( przez "rodek
Pr#t wokó! osi ( przez koniec
Pe!na kula wokó! osi przez "rodek
Czasza kulista wokó! osi przez "rodek
mR2
mR2/2
ml2/12
ml2/3
2mR2/5
2mR2/3
Cz#sto do obliczania momentu bezw!adno"ci wygodnie jest pos!u$y% si# twierdze-
niem Steinera. Podaje ono zale$no"% pomi#dzy momentem bezw!adno"ci I cia!a wzgl#-
dem danej osi, a momentem bezw!adno"ci I#r.m. tego cia!a wzgl#dem osi przechodz cej
przez jego "rodek masy i równoleg!ej do danej.
I = I#r.m. + md2 (12.13)
gdzie m jest mas cia!a, a d odleg!o"ci pomi#dzy osiami.
12.5 Ruch post powo-obrotowy cia"a sztywnego
Rozpatrywali"my ruch obrotowy cia!a wzgl#dem osi nieruchomych. Jednak$e gdy
cia!o si# toczy to wykonuje zarówno ruch post#powy, jak i obrotowy. Dlatego te$ to-
czenie mo$emy traktowa% jako z!o$enie ruchu post#powego i obrotowego tak jak poka-
zano to na rysunku poni$ej dla tocz cego si# walca.
W ruchu post#powym, rysunek (a), wszystkie punkty poruszaj si# z takimi samymi
pr#dko"ciami, natomiast w ruchu obrotowym, rysunek (b), przeciwleg!e punkty poru-
szaj si# z przeciwnymi pr#dko"ciami, a "rodek jest nieruchomy. Na rysunku (c) poka-
zano wynik z!o$enia (sumowania) odpowiednich wektorów z rysunków (a) i (b).
12-7
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
Zwró%my uwag#, $e podstawa walca (punkt P styczno"ci z pod!o$em na rysunku poni-
$ej) w ka$dej chwili spoczywa (v = 0). Natomiast pr#dko"% liniowa ka$dego innego
punktu jest w ka$dej chwili prostopad!a do linii ! cz cej ten punkt z podstaw P i pro-
porcjonalna do odleg!o"ci tego punktu od P. Oznacza to, $e walec obraca si wokó!
punktu P. Oznacza to, $e mo$emy toczenie opisywa% równie$ jako "czysty" ruch obro-
towy ale wzgl#dem osi przechodz cej przez punkt P styczno"ci z powierzchni , po któ-
rej toczy si# cia!o.
Przyk!ad 3
Kr $ek i kula o masach m i promieniach R staczaj si# po równi pochy!ej o wysoko"ci h
Obliczy% ich pr#dko"ci u do!u równi.
Z zasady zachowania energii
mgh = (1/2)mv2 + (1/2)I!2
Poniewa$ ! = v/R wi#c
mgh = (1/2)mv2 + (1/2)I(v/R)
2
Przekszta!caj c
12-8
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
2
2 2
R
Im
mgh
)"v
Dla kr $ka I = mR2/2 wi#c
gh3
4"v
podczas gdy dla kuli I = 2mR2/5 wi#c
gh7
10"v
Zauwa$my, $e odpowied& nie zale$y od masy i promienia ale zale%y tylko od kszta!tu.
Gdyby te cia!a zsuwa!y si# (bez tarcia) to gh2"v dla obu bry!.
Ten sam przyk!ad mo$emy rozwi za% traktuj c toczenie wy! cznie jako ruch obrotowy
ale wtedy musimy skorzysta% z twierdzenia Steinera, $eby obliczy% moment bezw!ad-
no"ci wzgl#dem osi przechodz cej przez punkt styczno"ci z powierzchni .
12.6 Ruch precesyjny (b$k)
Inny przyk!adem ruchu obrotowego, w którym o" obrotu nie jest nieruchom w in-
ercjalnym uk!adzie odniesienia jest b k wiruj cy dooko!a pewnej osi symetrii. Punkt
podparcia b ka znajduje si# w pocz tku inercjalnego uk!adu odniesienia. Z do"wiad-
czenia wiemy, $e o" wiruj cego b ka porusza si# dooko!a osi pionowej, zakre"laj c po-
wierzchni# sto$ka. Taki ruch nazywamy precesj .
W sytuacji przedstawionej na rysunku poni ej b!k ma pr"dko#$ k!tow! dooko!a
swej osi. Ma równie moment p"du L wzgl"dem tej osi, która tworzy k!t ! z osi! pio-
now!.
L
mg
r
!!
"
x
y
z
y
z
x"
L+#LL
#L#$
p
!
12-9
Z. K!kol-Notatki do Wyk%adu z Fizyki
Na b!k dzia%aj! dwie si%y: si%a w punkcie podparcia dzia%a w gór" i si%a ci" ko#ci przy-
%o ona do #rodka masy dzia%a w dó%. Si%a reakcji dzia%aj!ca w gór" ma zerowy moment
bo ma zerowe rami" (wzgl"dem punktu podparcia). Ci" ar mg wytwarza jednak mo-
ment si%y wzgl"dem punktu podparcia:
" = r%F = r%mg
gdzie r okre#la po%o enie #rodka masy. Z iloczynu wektorowego wynika, e " jest pro-
stopad%e do r i do mg.
Zauwa my, e ", L i r wiruj! doko%a osi pionowej z cz"sto#ci! precesji p.
Obliczymy teraz k!tow! precesj" p.
tp
#
#&
$
Poniewa #L << L, to mamy
#$ ' #L/Lsin!
Z równania (12.5) wynika, e
#L = "#t
wi"c
#$ ' "#t/Lsin!
Otrzymujemy wi"c
p = #$/#t = "/Lsin! (12.14)
Moment si%y jest równy
" = rmg sin(180°-!) = rmg sin!
wi"c ostatecznie
p = rmg/L (12.15)
Zwró$my uwag", e pr"dko#$ precesji nie zale%y od k ta ! i jest odwrotnie proporcjo-
nalna do warto#ci momentu p"du.
Równanie (12.14) mo na zapisa$ w postaci wektorowej. Najpierw przepisujemy je do
postaci
" = pL sin!
Wida$, e po prawej stronie równania otrzymali#my warto#$ iloczynu wektorowego
p%L. Tak wi"c ostatecznie wyra enie wi! !ce pr"dko#$ k!tow! precesji z momentem
si%y i momentem p"du ma posta$
12-10
Z. K!kol-Notatki do Wyk%adu z Fizyki
L ! %& p (12.16)
Zjawisko precesji momentu magnetycznego (spinu) jest podstaw! ró nych technik do-
#wiadczalnych (NMR, EPR), które znalaz%y szerokie zastosowanie w badaniach, techni-
ce i medycynie.
12-11
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
Wyk ad 13
13. Ruch drgaj!cy
Ruch, który powtarza si" w regularnych odst"pach czasu, nazywamy ruchem okre-
sowym (periodycznym). Przemieszczenie cz stki w ruchu periodycznym mo#na wyrazi$
za pomoc funkcji sinus i cosinus. Ruch sinusoidalny jest powszechn form ruchu ob-
serwowan w #yciu codziennym i dlatego jest wa#nym przedmiotem fizyki.
13.1 Si a harmoniczna
Dzia!aj c na cia!o si!", która jest proporcjonalna do przesuni"cia cia!a od pocz tku
uk!adu i która jest skierowana ku pocz tkowi uk!adu, nazywamy si ! harmoniczn! lub
si ! spr"#ysto$ci. Je#eli obierzemy o% x wzd!u# przesuni"cia, to si!a harmoniczna jest
wyra#ona równaniem
F = – kx (13.1)
gdzie x jest przesuni"ciem od po!o#enia równowagi. To równanie opisuje si!" wywiera-
n przez rozci gni"t spr"#yn" o ile tylko spr"#yna nie zosta!a rozci gni"ta poza granic"
spr"#ysto%ci. To jest prawo Hooke'a.
Je#eli spr"#yna zostanie rozci gni"ta tak aby masa m (zaczepiona do spr"#yny) zna-
laz!a si" w po!o#eniu x = A, a nast"pnie w chwili t = 0 zosta!a zwolniona, to po!o#enie
masy w funkcji czasu b"dzie dane równaniem
x = Acos t
Sprawd&my czy to jest dobry opis ruchu. Dla t = 0, x = A tzn. opis zgadza si" z za!o#e-
niami. Z drugiej zasady dynamiki Newtona wynika, #e
– kx = ma
czyli
– kx = m(dv/dt)
wreszcie
– kx = m(d2x/dt
2) (13.2)
Równanie takie nazywa si" równaniem ró#niczkowym drugiego rz"du. Staramy si"
"odgadn $" rozwi zanie i nast"pnie sprawdzi$ nasze przypuszczenia. Zwró$my uwag",
#e rozwi zaniem jest funkcja x(t), która ma t" w!a%ciwo%$, #e jej druga pochodna jest
równa funkcji ale ze znakiem "–". Zgadujemy, #e mo#e to by$ funkcja x = Acos t
i sprawdzamy
dx/dt = v = – A sin t (13.3)
d2x/dt
2 = a = – A 2
cos t (13.4)
13-1
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
Podstawiamy ten wynik do równania (13.2)
(– kAcos t) = m(– A 2cos t)
i otrzymujemy
2 = k/m (13.5)
Widzimy, #e x = Acos t jest rozwi zaniem równania (13.2) ale tylko gdy mk /! .
Zwró$my uwag", #e funkcja x = Asin t jest równie# rozwi zaniem równania ale nie
spe!nia warunku pocz tkowego bo gdy t = 0 to x = 0 (zamiast x = A).
Najogólniejszym rozwi zaniem jest
x = Asin( t + ") (13.6)
gdzie " jest dowoln sta! fazow . Sta!e A i " s okre%lone przez warunki pocz tkowe.
Warto$ci maksymalne (amplitudy) odpowiednich wielko%ci wynosz :
#$ dla wychylenia A
#$ dla pr"dko%ci A (wyst"puje gdy x = 0)
#$ dla przyspieszenia 2A (wyst"puje gdy x = A)
13.2 Okres drga!
Funkcja cos t lub sin t powtarza si" po czasie T dla którego T = 2%. Ta szczegól-
na warto%$ czasu jest zdefiniowana jako okres T
T = 2%/ (13.7)
Liczba drga' w czasie t jest równa
n = t/T
Gdy podzielimy obie strony przez t, otrzymamy liczb" drga' w jednostce czasu
Tt
n 1!
Lewa strona równania jest z definicji cz"stotliwo%ci drga' f
Tf
1!
Dla ruchu harmonicznego ! k m/ wi"c otrzymujemy
k
mT %2! (13.8)
13-2
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
Jest to okres drga' masy m przyczepionej do ko'ca spr"#yny o sta!ej spr"#ysto%ci k.
Przyk ad 1
Dwie masy, m1 i m2, s przyczepione do przeciwnych ko'ców spr"#yny. Jaki b"dzie
okres drga', gdy rozci gniemy spr"#yn", a nast"pnie zwolnimy obie masy jednocze-
%nie? Sta!a spr"#yny wynosi k.
Niech x1 b"dzie przesuni"ciem masy m1 od po!o#enia równowagi, a x2 odpowiednim
przesuni"ciem masy m2. Zauwa#my, #e %rodek masy musi pozostawa$ nieruchomy.
Zatem
m1x1 = – m2x2, czyli 2
1
21 x
m
mx &!
Zastosujmy teraz do wybranej masy np. m2 równanie Fwypadkowa = ma. Si! wypadkow ,
dzia!aj c na m2 jest si!a F = – k (x2 – x1) gdzie (x2 – x1) jest wypadkowym rozci gni"-
ciem spr"#yny.
2
2
2
212d
d)(
t
xmxxk !&&
Podstawiamy teraz 2
1
21 x
m
mx &! zamiast x1 i otrzymujemy
2
2
2
22
1
22
d
d
t
xmx
m
mxk !'
(
)*+
,--.
/001
2&&&
czyli
2
21
21
2
2
2 )(
d
dx
mm
mmk
t
x 3&!
wi"c
22
2
2
d
dx
k
t
x
4&!
gdzie 4 = m1m2/(m1 + m2) jest z definicji mas! zredukowan!. To jest równanie jakie ju#
rozwi zywali%my, w którym zamiast x jest x2 a zamiast m jest 4.
Tak wi"c 4 /k! czyli
kT
4%2!
Zwró$my uwag", #e okres drga% harmonicznych T jest niezale#ny od amplitudy drga% A
(o ile jest spe!nione prawo Hooke'a). T" w!a%ciwo%$ drga' harmonicznych prostych za-
uwa#y! Galileusz i wykorzysta! j do skonstruowania zegara wahad!owego.
13-3
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
13.3 Wahad a
13.3.1 Wahad o proste
Wahad!o proste jest to wyidealizowane cia!o o masie punktowej, zawieszone na
cienkiej, niewa#kiej, nierozci gliwej nici. Kiedy cia!o wytr cimy z równowagi to za-
czyna si" ono waha$ w p!aszczy&nie poziomej pod wp!ywem si!y ci"#ko%ci. Jest to ruch
okresowy. Znajd&my okres tego ruchu.
5
lN
mg
mgcos5mgsin5
x=l55
m
Rysunek przedstawia wahad!o o d!ugo%ci l i masie m, odchylone o k t 5 od pionu.
Na mas" m dzia!aj : si!a przyci gania grawitacyjnego mg i napr"#enia nici N. Si!" mg
rozk!adamy na sk!adow radialn i styczn . Sk!adowa styczna jest si! przywracaj c
równowag" uk!adu i sprowadza mas" m do po!o#enia równowagi. Si!a ta wynosi
F = mgsin5
Podkre%lmy, #e si!a jest proporcjonalna do sin5, a nie do 5, wi"c nie jest to ruch prosty
harmoniczny. Je#eli jednak k t 5 jest ma!y (mniejszy ni# 106) to sin5 jest bardzo bliski
5 (ró#nica mniejsza ni# 0.5%). Przemieszczenie wzd!u# !uku (z miary !ukowej k ta)
wynosi x = l5. Przyjmuj c zatem, #e sin5 7 5 otrzymujemy
xl
mg
l
xmgmgF &!&!&! 5
F jest wi"c proporcjonalna do przemieszczenia (ze znakiem "–"). Jest to kryterium ru-
chu harmonicznego. Sta!a mg/l okre%la sta! k w równaniu F = – kx. Przy ma!ej ampli-
tudzie okres wahad!a prostego wynosi wi"c
g
l
k
mT %% 22 !! (13.9)
Zauwa#my, #e okres wahad!a nie zale#y od amplitudy i od masy wahad!a.
13-4
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
13.3.2 Wahad o fizyczne
Dowolne cia!o sztywne zawieszone tak, #e mo#e si" waha$ wokó! pewnej osi prze-
chodz cej przez to cia!o nazywamy wahad!em fizycznym.
l
mg
P
S
5
P jest punktem zawieszenia cia!a, a punkt S, znajduj cy si" w odleg!o%ci l od punkt P,
jest %rodkiem masy. Moment si!y 8 dzia!aj cy na cia!o wynosi
8 = – mglsin5
Korzystaj c ze zwi zku
8 = I9 =I(d25 /dt
2)
otrzymujemy
2
2
d
dsin
tImgl
55 !&
Dla ma!ych wychyle', dla których sin5 7 5 dostajemy równanie
55
-.
/01
2&!I
mgl
t 2
2
d
d
To równanie ma t" sam posta$ co równanie dla ruchu harmonicznego wi"c
I
mgl!
lub
mgl
IT %2! (13.10)
Jako przypadek szczególny rozpatrzmy mas" punktow zawieszon na nici o d!ugo%ci l.
Wówczas I = ml2 i otrzymujemy znany wzór dla wahad!a prostego
13-5
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
g
lT %2!
Wahad!o fizyczne stosuje si" do precyzyjnych pomiarów przyspieszenia g.
13.4 Energia ruchu harmonicznego prostego
Energi potencjaln spr"#yny zajmowali%my si" na wyk!adzie 6 przy okazji dyskusji
o pracy wykonywanej przez si!y zmienne. Pokazali%my wtedy, #e energia potencjalna
(nagromadzona) spr"#yny
2
2kxE p ! (13.11)
Je#eli mas" przymocowan do spr"#yny poci gniemy na odleg!o%$ x = A to energia
uk!adu (nagromadzona w uk!adzie) jest równa (1/2)kA2 (Ek = 0). Je#eli teraz zwolnimy
spr"#yn", to przy za!o#eniu, #e nie ma tarcia ani si! oporu, zgodnie z zasad zachowania
energii w dowolnej chwili suma energii kinetycznej i potencjalnej równa si" (1/2)kA2
222
2
1
2
1
2
1kAkxm !3v (13.12)
st d
: ;222 xAm
k&!v
Poniewa# k/m = 2 wi"c
22 xA &! v
Obliczmy teraz warto%ci %rednie czasowe) energii potencjalnej i kinetycznej. (Warto%ci
%rednie oznaczamy kresk umieszczon ponad symbolem.)
2
2
1xkE p !
czyli
tkAE p 22 cos2
1!
Natomiast
2
2
1vmEk !
czyli
tkAtAk
Ek
222
2sin
2
1)sin(
2
1!&-
.
/01
2!
13-6
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
Warto%$ %rednia t 2sin jest taka sama jak t 2cos i wynosi 1/2. Oba wykresy s takie
same (tylko przesuni"te). Poza tym sin2 t + cos
2 t = 1 i %rednia ka#dego sk!adnika jest
taka sama. Wida$, #e
kp EE !
(Wa#ne gdy b"dziemy omawia$ ciep!o w!a%ciwe.)
Przyk ad 2
Obliczmy jak cz"%$ energii ca!kowitej stanowi energia potencjalna, a jak energia ki-
netyczna cia!a, kiedy znajduje si" ono w po!owie drogi mi"dzy po!o#eniem pocz tko-
wym, a po!o#eniem równowagi?
x = A/2
wi"c
Ep = kx2/2 = kA
2/8
Poniewa# energia ca!kowita
E = kA2/2
wi"c
Ep/E = 1/4
Poniewa#
E = Ep + Ek
wi"c
Ek/E = 3/4
13.5 Oscylator harmoniczny t umiony
Dotychczas pomijali%my fakt ewentualnego t!umienia oscylatora tzn. strat energii
uk!adu oscylatora.
W przypadku drga' mechanicznych si! hamuj c (t!umi c ) ruch cz stki jest si!a oporu
Fop o%rodka. Si!a oporu ma zwrot przeciwny do pr"dko%ci i w najprostszej postaci jest
wprost proporcjonalna do pr"dko%ci Fop < v czyli
Fop = = dx/dt (13.13)
Gdy dzia!a tylko si!a t!umienia to
t
x
t
xM
d
d
d
d2
2
=&!
lub
13-7
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
vv
=&!t
Md
d
Je#eli wprowadzimy zmienn (o wymiarze czasu)
8 = M/= to otrzymamy równanie
dv/dt = – (1/8)v
co mo#na przepisa$ w postaci
dv/v = – dt/8
Ca!kujemy to równanie obustronnie
>> &!tv
v
t0
d1d
08v
v
Sk d otrzymujemy
lnv - lnv0 = – (t/8) lub
ln(v/v0) = – (t/8)
a po przekszta!ceniu
(13.14) 8/0)( tet &! vv
Pr"dko%$ maleje wyk!adniczo z czasem czyli pr"dko%$ jest t!umiona ze sta! czasow 8 (rysunek).
v
t
Je#eli w! czymy si!" hamuj c do oscylatora to wówczas równanie ruchu przyjmie po-
sta$
t
xkx
t
xM
d
d
d
d2
2
=&&!
Wprowadzaj c 8 = M/= oraz oznaczaj c cz"sto$& drga% niet umionych 02 = (k/M)
otrzymujemy
13-8
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
0d
d1
d
d 2
02
2
!33 xt
x
t
x
8 (13.15)
Szukamy rozwi zania w postaci drga' okresowo zmiennych t!umionych np.
teAx t ? cos&! (13.16)
Rozwi zanie zawiera czynnik oscylacyjny (cos t) i t!umi cy (exp(-?t)) i jest pokazane
na rysunku poni#ej. Wspó!czynnik ? = 1/28 okre%laj cy wielko%$ t!umienia nazywamy
wspó!czynnikiem t!umienia.
Teraz obliczamy odpowiednie pochodne (13.16) i podstawiamy do równania
(13.15). W wyniku rozwi zania dostajemy warunek na cz"sto%$ drga' t!umionych
22
0 ? &! (13.17)
Opór zmniejsza wi"c (oprócz amplitudy) równie# i cz"sto%$
Funkcja (13.16) jest rozwi zaniem równania opisuj cego ruch harmoniczny t!umio-
ny przy warunku (13.17). Widzimy, #e opór zmniejsza zarówno amplitud" jak i cz"sto%$
drga', czyli powoduje spowolnienie ruchu. Wielko%$ t!umienia okre%la wspó!czynnik
t!umienia ? (lub sta!a czasowa 8). Wykres ruchu harmonicznego t!umionego w zale#no-
%ci od czasu jest pokazany na rysunku
0
-Ae-? t
Ae-? t
Ae-? t
cos t
-A
A
t
x
Powy#sze rozwa#ania dotycz sytuacji "s!abego t!umienia" tj. ? < 0. Gdy t!umienie
wzro%nie powy#ej pewnej krytycznej warto%ci (? = 0) ruch nie jest ruchem drgaj cym
ale obserwujemy, #e cia!o wychylone z po!o#enia równowagi powraca do niego asymp-
totycznie. Takich ruch nazywamy ruchem pe zaj!cym (aperiodycznym). Zale#no%ci wy-
13-9
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
chylenia od czasu dla ruchu t!umionego krytycznie (? = 0) i ruchu pe!zaj cego
(? > 0) s pokazane na wykresie poni#ej.
? = 0
? > 0
t
X
13.5.1 Straty mocy, wspó czynnik dobroci
Wspó!czynnik dobroci Q jest definiowany jako
%%//
221 P
E
vP
E
E
EQ
okresiewstracona
anazmagazynow !!! (13.18)
gdzie P jest %redni strat mocy, a v cz"stotliwo%ci .
Dla przypadku s!abo t!umionego oscylatora harmonicznego (?$<< 0) wspó!czynnik
Q ma w przybli#eniu warto%$ 0/2?.
Kilka typowych warto%ci Q podano w tabeli
Oscylator Q
Ziemia dla fali sejsmicznej
Struna fortepianu lub skrzypiec
Atom wzbudzony
J dro wzbudzone
250-400
1000
107
1012
13.6 Drgania wymuszone oscylatora harmonicznego
Je#eli oprócz tarcia istnieje si!a zewn"trzna F(t) (która ma za zadanie podtrzymywa$
gasn ce drgania) przy!o#ona do oscylatora to równanie ruchu ma posta$
)(d
d
d
d2
2
tFkxt
x
t
xM !33 = (13.19)
albo po podstawieniu
8 = M/= oraz 02 = k/M
13-10
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
otrzymujemy
M
tFx
t
x
t
x )(
d
d1
d
d 2
02
2
!33 8
(2.20)
Ponownie 0 jest cz"sto%ci w!asn uk!adu, to jest cz"sto%ci drga' swobodnych gdy
nie dzia!a si!a zewn"trzna i nie ma tarcia ani innych si! oporu, a 8 sta! czasow zwi za-
n ze wspó!czynnikiem t!umienia ? relacj ? = 1/28. Zauwa#my ponadto, #e uk!ad jest
zasilany z cz"sto%ci ró#n od cz"sto%ci w!asnej 0.
Gdy uk!ad jest zasilany cz"sto$ci! ró#n! od 0 wówczas drgania b"d! odbywa y
si" z cz"sto$ci! si y zewn"trznej a nie z cz"sto$ci! w asn!. Si!" tak nazywamy si ! wy-
muszaj!c!.
Za!ó#my, #e si!a wymuszaj ca ma posta$
tM
tF
M
tF 9
sin
sin)(0
0 !! (13.21)
gdzie 90 = F0/M.
Mamy teraz w równaniu dwie wielko%ci okresowo zmienne po!o#enie x oraz si!"
wymuszaj c F. W najogólniejszym przypadku suma (z!o#enie) dwóch funkcji okreso-
wych daje w wyniku te# funkcj" okresow (rysunek).
A1cos t + A
2sin t
A2sin tA
1cos t
A1cos t + A2sin t = Asin( t + ")
Szukamy wi"c rozwi zania postaci Asin( t + ").
Musimy znale&$ amplitud" A oraz przesuni"cie fazowe ".
Najpierw zdefiniujmy jednak przesuni"cie fazowe ". Zarówno si!a wymuszaj ca jak
i wychylenie zmieniaj si" cyklicznie (harmonicznie) tzn. pe!ny cykl np. od maksimum
do maksimum obejmuje 3606 czyli 2%.
Przesuni"cie fazowe " mówi nam o jaki k!t maksimum przemieszczenia wyprzedza mak-
simum si y (o ile przesuni"te s wykresy x(t) i F(t)).
Np. si!a osi ga swoje maksimum gdy przemieszczenie jest równe zeru (i ro%nie w kie-
runku dodatnim). Oznacza to, #e x opó&nia si" wzgl"dem si!y o %/2.
Poszukiwanie rozwi zania zaczynamy od obliczenia pochodnych
13-11
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
dx/dt= Acos( t + "), oraz d2x/dt
2 = - 2
Asin( t + ")
Równanie ruchu ma teraz posta$
( 02 - 2
) Asin( t + ") + ( /8)Acos( t + ") = 90sin t
Równanie to przekszta!camy korzystaj c ze zwi zków
sin( t + ") = sin t cos" + cos t sin"
cos( t + ") = cos t cos" & sin t sin"
Wtedy otrzymujemy
[( 02 & 2
)cos" & ( /8)sin"] Asin t + [( 02 & 2
)sin" & ( /8)cos"] Acos t = 90sin t
Równanie to mo#e by$ tylko spe!nione gdy czynniki przy sin t b"d sobie równe,
a czynnik przy cos t b"dzie równy zeru. Ten ostatni warunek mo#na zapisa$ jako
22
0
22
0
2/
cos
sin
?
8
"""
&!
&!! tg (13.22)
Z tego warunku znam ju# ". Teraz mo#emy wyznaczy$ amplitud"
2/122222
0
0
2/12222
0
0
]4)[(])/()[( ? 9
8 9
3&!
3&!A (13.23)
gdzie ju# podstawiono za cos" i sin". ( cz c wzory (13.22) i (13.23) otrzymujemy
rozwi zanie
--.
/001
2
&3
3&!
22
0
2/122222
0
0 2sin
]4)[( ?
?
9arctgtx (13.24)
(Wygl da skomplikowanie ale to jest rozwi zanie postaci x = Asin( t + ")).
13.6.1 Rezonans
Zauwa my, e chocia drgania odbywaj! si" z cz"sto#ci! w si$y wymuszaj!cej to
amplituda i faza zale ! od relacji pomi"dzy cz"sto#ci! wymuszaj!c! , a cz"sto#ci!
w$asn! 0. W szczególno#ci gdy cz"sto#% si$y wymuszaj!cej osi!gnie odpowiedni! cz"-
stotliwo#%, to amplituda drga& mo e wzrosn!% gwa$townie nawet przy niewielkiej war-
to#ci si$y wymuszaj!cej. Zjawisko to nazywamy rezonansem.
Wykres przedstawiaj!cy rezonansowy wzrost amplitudy drga& w funkcji cz"sto#ci si$y
wymuszaj!cej pokazany jest na rysunku poni ej dla ró nych warto#ci wspó$czynnika
t$umienia ! (!0<!1<!2<!3<!4).
13-12
Z. K!kol-Notatki do Wyk$adu z Fizyki
"
A
!4
!3
!2
!1
!0 = 0
Cz"sto#% rezonansow! r i amplitud" rezonansow! Ar mo emy obliczy% z warunku na
maksimum amplitudy drga& danej wzorem (13.23). Funkcja A( ) osi!ga maksimum
22
0
0
2 ! !
#
$%A
dla cz"sto#ci rezonansowej
22
0 2! $%r
Wida%, e im mniejsze t$umienie ! (d$u szy czas &) tym wi"ksza amplituda A. Je eli
t$umienie jest s$abe (! << 0) to wówczas maksymalna amplituda odpowiada cz"sto#ci
drga& w$asnych r = 0. Jednocze#nie, ten warunek odpowiada przesuni"ciu fazowemu
' = (/2 pomi"dzy si$! a wychyleniem. Si$a nie jest zgodna w fazie z wychyleniem. Za-
uwa my jednak, e moc poch$aniana przez oscylator zasilany si$! wymuszaj!c! F zale-
y od pr"dko#ci
P = Fv
Trzeba wi"c, eby to pr"dko#% (a nie wychylenie) by$a zgodna w fazie z si$!, a to ozna-
cza, e si$a musi wyprzedza% wychylenie o (/2. Gdy x = 0 to v = vmax i wtedy si$a te
ma by% maksymalna. W punktach zwrotnych, gdzie pr"dko#% zmienia swój kierunek,
si$a te musi zmieni% swój kierunek (si$a dzia$a ca$y czas to nie s! impulsy tak jak np.
przy popychaniu hu#tawki).
Skutki rezonansu mog! by% zarówno pozytywne jak i negatywne. Z jednej strony
staramy si" wyeliminowa% przenoszenie drga& np. z silnika na elementy nadwozia w
samochodzie, a z drugiej strony dzia$anie odbiorników radiowych i telewizyjnych jest
13-13
Z. K!kol-Notatki do Wyk$adu z Fizyki
mo liwe dzi"ki wykorzystaniu rezonansu elektrycznego. Dostrajaj!c odbiornik do cz"-
sto#ci nadajnika spe$niamy w$a#nie warunek rezonansu. Zjawisko rezonansu jest bardzo
rozpowszechnione w przyrodzie.
13.6.2 Moc absorbowana
'rednia moc absorbowana jest dana wyra eniem
t
xFFPd
dv %%
Korzystaj!c ze wzoru (13.21), (13.22) i (13.24) otrzymujemy
2222
0
22
0)2()(
2
2
1
!
! #
)$% MP (13.25)
Zale no#% mocy absorbowanej od cz"sto#ci drga& wymuszaj!cych jest przedstawiona
na rysunku poni ej.
0 1 2 3 4 5 60.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
/ 0
P/P
max
Dla rezonansu P = (1/2) M#02& . Natomiast dobro% Q = 0/2! jest miar! dostrojenia
uk$adu do cz"sto#ci wymuszaj!cej.
13-14
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
Wyk ad 14
14. Statyka i dynamika p ynów
Z makroskopowego punktu widzenia powszechnie przyj"ty jest podzia! materii na
cia!a sta!e i p!yny. Pod poj"ciem substancji, która mo#e p!yn $ rozumiemy ciecze i ga-
zy. Dla cia! sztywnych, maj cych okre%lony rozmiar i kszta!t, sformu!owali%my mecha-
nik" cia! sztywnych. Do rozwi zywania zagadnie& z mechaniki p!ynów musimy wpro-
wadzi$ nowy formalizm poniewa# p!yny !atwo zmieniaj kszta!t, a w przypadku gazów
przyjmuj obj"to%$ równ obj"to%ci naczynia. Wygodnym jest w zwi zku z tym sformu-
!owanie zasad dynamiki Newtona wraz z prawami opisuj cymi si!y w szczególny spo-
sób.
14.1 Ci nienie i g!sto "
Ró#nica w dzia!aniu si!y powierzchniowej na p!yn i na cia!o sta!e polega na tym, #e
dla cieczy si!a powierzchniowa musi by$ zawsze prostopad!a do powierzchni p!ynu
podczas gdy w ciele sta!ym mo#e mie$ dowolny kierunek. Spoczywaj cy p!yn nie mo#e
równowa#y$ si! stycznych (warstwy p!ynu %lizga!yby si" po sobie) i dlatego mo#e
zmienia$ kszta!t i p!yn $. Wygodnie jest wi"c opisywa$ si!" dzia!aj c na p!yn za po-
moc ci nienia p zdefiniowanego jako warto ! si"y prostopad"ej dzia"aj#cej na jednost-
k$ powierzchni. Ci%nienie jest przekazywane na sztywne %cianki naczynia, a tak#e na
dowolne przekroje p!ynów prostopadle do tych %cianek i przekrojów w ka#dym punk-
cie. Ci%nienie jest wielko%ci skalarn .
W uk!adzie SI jednostk jest (pascal), 1 Pa = 1 N/m2. Innymi jednostkami s bar (1 bar
= 105 Pa), atmosfera (1 atm = 101325 Pa), mm Hg (760 mm Hg = 1 atm).
P!yn znajduj cy si" pod ci%nieniem wywiera si!" na ka#d powierzchni" b"d c z
nim w kontakcie. Rozwa#my zamkni"t powierzchni" zawieraj c p!yn (rysunek).
S
S
Dowolny element powierzchni jest reprezentowany przez wektor S (d!ugo%$ równa po-
wierzchni, kierunek prostopad!y, zwrot na zewn trz). Wtedy si!a F wywierana przez
p!yn na ten element powierzchni wynosi
F = pS (14.1a)
Poniewa# F i S maj ten sam kierunek wi"c ci%nienie p mo#na zapisa$
14-1
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
p = F/S (14.1b)
Do opisu p!ynów stosujemy poj"cie g$sto ci :
= m/V (14.2)
G"sto%$ zale#y od wielu czynników takich jak temperatura, ci%nienie. W tabeli przed-
stawiony jest zakres warto%ci g"sto%ci spotykanych w przyrodzie.
Materia! (kg/m3)
przestrze& mi"dzygwiezdna
najlepsza pró#nia laboratoryjna
powietrze (1 atm 0 !C)
powietrze (50 atm 0 !C)
Ziemia: warto%$ %rednia
rdze&
skorupa
Bia!e kar!y
j dro uranu
10-18
- 10-21
10-17
1.3
6.5
5.52·103
9.5·103
2.8·103
108 - 10
15
1017
14.2 Zmiany ci nienia wewn#trz nieruchomego p$ynu
Gdy p!yn znajduje si" w równowadze to jego ka#da cz"%$ jest w równowadze. Roz-
patrzmy element w kszta!cie cienkiego dysku znajduj cego si" w odleg!o%ci y od po-
ziomu odniesienia. Grubo%$ dysku wynosi dy, a powierzchnia ka#dej strony wynosi S.
Masa takiego elementu wynosi Sdy, a jego ci"#ar gSdy. Przypominam, #e si!y dzia!a-
j ce na element s w ka#dym punkcie prostopad!e do powierzchni (rysunek).
(p+dp)S
pS
poziom odniesienia y=0
y
Si!y poziome wywo!ane jedynie przez ci%nienie p!ynu równowa# si". Si!y pionowe s
wywo!ywane nie tylko przez ci%nienie p!ynu ale te# przez jego ci"#ar. Element p!ynu
nie jest przyspieszany wi"c wypadkowa si!a dzia!aj ca na& musi by$ zerem. Dla zacho-
wania równowagi w pionie trzeba wi"c by:
14-2
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
pS = (p+dp)S + gSdy
a st d
gy
p "#
d
d
Równanie to pokazuje, #e ci%nienie zmienia si" ze zmian wysoko%ci ponad pewien po-
ziom odniesienia. Gdy wysoko%$ ro%nie tzn. dy > 0 wtedy dp < 0 tzn. ci%nienie maleje.
Powodem jest ci"#ar warstwy p!ynu le# cej pomi"dzy punktami, dla których mierzymy
ró#nic" ci%nie&. Dla cieczy zazwyczaj jest sta!e (ciecze s praktycznie nie%ci%liwe),
ró#nice w wysoko%ci nie s na tyle du#e #eby uwzgl"dnia$ zmiany g wi"c mo#emy dla
jednorodnej cieczy zapisa$ powy#sze równanie w postaci:
gy
p "#
$$
st d
(p2 " p1) = - g(y2 " y1)
Je#eli powierzchnia cieczy jest swobodna to stanowi naturalny poziom odniesienia. Aby
przenie%$ poziom odniesienia na powierzchni" przyjmujemy y2 równe wzniesieniu tej
powierzchni. Wtedy ci%nienie p2 (na powierzchni) jest równe ci%nieniu atmosferyczne-
mu p0. Teraz y1 opisuje po!o#enie (wysoko%$) pewnego poziomu w cieczy. Ci%nienie na
tym poziomie oznaczmy p. Wtedy
p0 " p = - g(y2 " y1)
Poniewa# y2 - y1 jest g!"boko%ci h poni#ej poziomu cieczy wi"c
p = p0 + gh (14.3)
Zwi zek ten nie tylko pokazuje, #e ci%nienie ro%nie wraz z g!"boko%ci ale te#, #e jest
jednakowe dla punktów o tej samej g!"boko%ci.
Dla gazów jest ma!e i ró#nica ci%nie& w dwóch punktach jest zazwyczaj do pomini"-
cia i dlatego mo#na przyjmowa$, #e ci%nienie gazu w naczyniu jest wsz"dzie jednako-
we. Nie jest to jednak prawdziwe, gdy mamy do czynienia ze znaczn ró#nic wysoko-
%ci (gdy wznosimy si" w atmosferze). Ci%nienie zmienia si" wtedy znacznie, zmienia si"
te# . Np. na wysoko%ci oko!o 6 km ci%nienie wynosi 0.5 atm. Dla porównania 6 km w
g! b morza wynosi 600 atm.
14-3
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
14.3 Prawo Pascala i prawo Archimedesa
Na rysunku widzimy ciecz w naczyniu zamkni"tym t!okiem, na który mo#emy dzia-
!a$ ci%nieniem zewn"trznym p0.
A
h
p0
W ka#dym punkcie A znajduj cym si" na g!"boko%ci h od górnej powierzchni cieczy,
ci%nienie jest dane wyra#eniem
p = p0 + gh
Mo#emy powi"kszy$ ci%nienie zewn"trzne o warto%$ $p0. Po
p = p0 +$p0+ gh
ynik ten zosta! sformu!owany przez Blaise Pascala i nazywa si" prawem Pascala.
o Archimedesa.
niewa# ciecze s nie%ci-
%liwe wi"c g"sto%$ pozostaje praktycznie bez zmian i dlatego ci%nienie teraz wynosi
W
Prawo to formu!uje si" nast"puj co: ci nienie wywierane na zamkni$ty p"yn jest przeka-
zywane niezmienione na ka%d# cz$ ! p"ynu oraz na cianki naczynia.
Prawo to jest konsekwencj praw mechaniki p!ynów podobnie jak praw
Kiedy cia!o jest zanurzone w ca!o%ci lub cz"%ciowo w spoczywaj cym p!ynie (cieczy
lub gazie) to p!yn ten wywiera ci%nienie na ka#d , b"d c z nim w kontakcie, cz"%$ po-
wierzchni cia!a. Wypadkowa si!a jest skierowana ku górze i zwie si" si"# wyporu.
oniewa# ci%nienie wywierane na cia!o nie zale#y od materia!u, z którego zrobiono cia-P
!o wi"c zast pmy w naszym rozumowaniu rozpatrywane cia!o przez ten sam p!yn co
p!yn otoczenia. Na ten p!yn b"dzie dzia!a!o to samo ci%nienie co na cia!o, które zast pi!.
14-4
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
Poza tym p!yn b"dzie nieruchomy. St d dzia!aj ca na& si!a b"dzie równa ci"#arowi p!y-
nu i skierowana ku górze tak, #eby ten ci"#ar zrównowa#y$. Otrzymujemy prawo Ar-
chimedesa: cia"o w ca"o ci lub cz$ ciowo zanurzone w p"ynie jest wypierane ku górze
si"# równ# ci$%arowi wypartego przez to cia"o p"ynu. Tak wi"c
Fwyporu = mwypartego p"ynu g = Vg (14.4)
gdzie jest g"sto%ci p!ynu, a V obj"to%ci cz"%ci zanurzonej cia!a.
14.4 Pomiar ci nienia (barometr)
Evangelista Torricelli wynalaz! w 1643 r barometr rt"ciowy i tym samym poda! spo-
sób pomiaru ci%nienia atmosferycznego. Barometr Torricellego sk!ada si" z rurki wy-
pe!nionej rt"ci ( = 13.6·103 kg/m
3), któr odwracamy nad naczyniem z rt"ci tak jak
na rysunku.
p=0
B A
h
Ci%nienia w punktach A i B musz by$ jednakowe bo punkty te s na jednakowej
wy
pA = gh
podczas gdy
pB = patm
oniewa# pA = pB wi"c
gh = patm
soko%ci. Zgodnie z naszymi uprzednimi rozwa#aniami
P
gh atm
#
p = 0.76 m
ierz c wysoko%$ s!upa rt"ci mierzymy wielko%$ ci%nienia atmosferycznego. M
Przejdziemy teraz do opisu ruchu p!ynu (dynamika p!ynów).
14-5
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
14.5 Ogólny opis przep$ywu p$ynów
Znane s dwa podej%cia do opisu ruchu p!ynu. Pierwsze wymaga "podzielenia" p!y-
nu na niesko&czenie ma!e cz stki (elementy obj"to%ci) i %ledzenie tych elementów.
Oznacza to, #e dla ka#dej cz stki mamy wspó!rz"dne x, y, z i ich zale#no%$ od czasu. W
ten sposób skonstruowa$ mo#na opis ruchu p!ynu (Joseph Louis Lagrange koniec XVIII
w).
Drugie podej%cie zaproponowane przez Leonharda Eulera jest bardziej wygodne.
Zamiast opisywa$ histori" ka#dej z cz stek okre%lamy g"sto%$ p!ynu i jego pr"dko%$
w ka#dym punkcie przestrzeni i w ka#dej chwili czasu. Czyli podajemy (x,y,z,t) oraz
v(x,y,z,t). Oznacza to, #e koncentrujemy si" na wybranym punkcie przestrzeni w pew-
nym czasie.
Na wst"pie rozpatrzmy pewne ogólne w!a%ciwo%ci charakteryzuj ce przep!yw.
%& Przep!yw mo#e by$ ustalony (laminarny) lub nieustalony. Ruch p!ynu jest ustalony,
kiedy pr"dko%$ p!ynu v jest w dowolnie wybranym punkcie sta!a w czasie tzn. ka#da
cz stka przechodz ca przez dany punkt zachowuje si" tak samo. Warunki takie osi ga
si" przy niskich pr"dko%ciach.
%& Przep!yw mo#e by$ wirowy lub bezwirowy. Przep!yw jest bezwirowy, gdy w #adnym
punkcie cz stka nie ma wypadkowej pr"dko%ci k towej wzgl"dem tego punktu. Mo#na
sobie wyobrazi$ ma!e kó!ko z !opatkami zanurzone w przep!ywaj cym p!ynie. Je#eli
kó!ko nie obraca si" to przep!yw jest bezwirowy, w przeciwnym razie ruch jest wirowy.
%& Przep!yw mo#e by$ ci liwy lub nie ci liwy. Zazwyczaj przep!yw cieczy jest nie%ci-
%liwy (sta!a ). Przep!yw gazu te# mo#e by$ nie%ci%liwy tzn. zmiany g"sto%ci s nie-
znaczne. Np. ruch powietrza wzgl"dem skrzyde! samolotu podczas lotu z pr"dko%ci
mniejsz od pr"dko%ci g!osu.
%& Przep!yw mo#e by$ lepki lub nielepki. Lepko%$ w ruchu p!ynów jest odpowiedni-
kiem tarcia w ruchu cia! sta!ych (lepko%$ smarów).
W naszych rozwa#aniach ograniczymy si" do przep!ywów ustalonych, bezwirowych,
nie ci liwych i nielepkich. To znacznie upraszcza matematyk".
Nasze rozwa#ania rozpoczniemy od wprowadzenia poj"cia linii pr#du.
vP
P Q
R
VQ
vR
W przep!ywie ustalonym v jest sta!a w czasie w danym punkcie. Rozwa#my punkt P
wewn trz p!ynu. Ka#da cz stka ma tam tak sam pr"dko%$. To samo dla punktów Q
i R. Je#eli prze%ledzimy tor jednej cz stki to prze%ledzili%my zarazem tor ka#dej cz stki
przechodz cej przez P. Tor tej cz stki nazywamy lini pr du. Linia pr du jest równole-
g!a do pr"dko%ci p!ynu. 'adne linie pr du nie mog si" przecina$ bo istnia!a by niejed-
noznaczno%$ w wyborze drogi przez cz stk" (a przep!yw jest ustalony).
Je#eli wybierzemy pewn sko&czon liczb" linii pr du to tak wi zk" nazywamy strug#
pr#du. Brzegi sk!adaj si" z linii pr du wi"c p"yn nie mo%e przep"ywa! przez brzegi
strugi. P!yn wchodz cy jednym ko&cem strugi musi opu%ci$ j drugim.
14-6
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
A1
P, v1
A2
Q, v2
Na rysunku obok pr"dko%$ cz stek w punkcie P wynosi v1 a pole przekroju strugi A1.
W punkcie Q odpowiednio v2 i A2. W czasie $t element p!ynu prze-bywa odleg!o%$
v$t. Masa p!ynu przechodz cego przez A1 w czasie $t wynosi
$m1 = 1A1v1$t
bo A1v1$t stanowi obj"to%$ elementu p!ynu. Wprowadzamy strumie& masy jako $m/$t.
Wtedy otrzymujemy dla punktów P i Q odpowiednio
$m1/$t = 1A1v1
oraz
$m2/$t = 2A2v2
Poniewa# nie ma po drodze (mi"dzy P i Q) #adnych "(róde!" ani "%cieków" wi"c
strumienie mas musz by$ sobie równe.
1A1v1 = 2A2v2
Je#eli p!yn jest nie%ci%liwy to 1 = 2 i wtedy
A1v1 = A2v2
czyli
Av = const.
Z równania powy#szego wynika, #e pr"dko%$ p!ynu nie%ci%liwego przy ustalonym prze-
p!ywie jest odwrotnie proporcjonalna do pola przekroju. Linie pr du musz si" zag"sz-
cza$ w w"#szej cz"%ci, a rozrzedza$ w szerszej. Tzn. rzadko rozmieszczone linie ozna-
czaj obszary niskiej pr"dko%ci, linie rozmieszczone g"sto obszary wysokiej pr"dko%ci.
Ponadto warto zauwa#y$, #e skoro cz stki zwalniaj przep!ywaj c z P do Q (v1 > v2) to
tam gdzie pr"dko%$ najmniejsza (w przep!ywie ustalonym).
poruszaj si" ruchem jednostajnie opó(nionym. Opó(nienie to mo#e by$ wywo!ane
grawitacj lub ró#nic ci%nie&, ale wystarczy wzi $ jako przyk!ad strug" poziom , w
której grawitacja si" nie zmienia, aby doj%$ do wniosku, #e ci%nienie jest najwi"ksze
14-7
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
14.6 Równanie Bernoulliego
Rozwa#my nielepki, ustalony, nie%ci%liwy przep!yw p!ynu przez rur" (rysunek poni-
ron" praw . W czasie $t powierzchnia S1 przemiesz-
cza si" o odcinek v1$t do po!o#enia S1'. Analogicznie powierzchnia S2 przemieszcza si"
o o
#ej). Ciecz na rysunku p!ynie w st
dcinek v2$t do po!o#enia S2'. Na powierzchni" S1 dzia!a si!a F1 = p1S1 a na po-
wierzchni" S2 si!a F2 = p2S2. Zwró$my uwag", #e efekt sumaryczny przep!ywu p!ynu
przez rurk" polega na przeniesieniu pewnej obj"to%ci V p!ynu ograniczonej powierzch-
niami S1S1' do po!o#enia S2S2'.
Twierdzenie o pracy i energii mówi, #e praca wykonana przez wypadkow ianie energii uk!adu. Si!ami, które wykonuj prac" s F1 i F2. Obliczam
si!" jest
równa zm y wi"c
rac"
ian"
p
VpptSptSptFtFW )( 121112221122 "#$"$#$"$# vvvv
oraz zm energii strugi
''(
)**+
,-"''
(
)**+
,-# 1
2
12
2
2
22mgh
mmgh
m vv
Poniewa#
to przy za!o#eniu nie%ci%liwo%ci p!ynu ( )
$E
W = $E
= const
''(
)**+
,-
(
)
+
,1
2
1
2
"''** -#" 22
2mgh
mm vv
Zwi zek ten mo#
122
)( mghVpp
na przekszta!ci$ do postaci
14-8
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
2
2
2211 ghpghp
--#--
v
czyli
2
1 v22
const.#-- gyp 21v
2 (14.5)
Równanie to nosi nazw" !ywu ustalonego, nielepkiego
nie%ci%liwego. Jest to podstawowe równanie mechaniki p!ynów. Mo#e by$ stosowane
o si!a jaka dzia!a na np. skrzyd!o samolotu, nart" wod-
n , %mig!o helikoptera, i wywo!ana jest ruchem tych cia! w p!ynie w odró#nieniu od sta-
tyc
Analizuj t natar-
. Tak wi"c
równania Bernoulliego dla przep
i
do wyznaczenia pr"dko%ci p!ynu na podstawie pomiarów ci%nienia (rurka Venturiego,
rurka Pitota). Mo#na te# w oparciu o nie wyznaczy$ dynamiczn si!" no%n .
14.6.1 Dynamiczna si a no!na
Dynamiczna si"a no na jest t
znej si"y no nej, która jest si!a wyporu dzia!aj c np. na balon czy statek zgodnie z
prawem Archimedesa. Na rysunku poni#ej pokazane s schematycznie linie pr du wo-
kó! skrzyd!a samolotu.
c te linie pr du zauwa#ymy, #e ze wzgl"du na ustawienie skrzyd!a (k
cia) linie pr du nad skrzyd!em s rozmieszczone g"%ciej ni# pod skrzyd!em
vg ponad skrzyd!em jest wi"ksza ni# pod skrzyd!em vd a to oznacza zgodnie z prawem
Bernoulliego, #e ci%nienie nad skrzyd!em jest mniejsze od ci%nienia pod skrzyd!em i
otrzymujemy wypadkow si!" no%n F skierowan ku górze. Wynika to równie# z trze-
ciej zasady dynamiki Newtona. Pr"dko%$ v0 powietrza zbli#aj cego si" do skrzyd!a jest
pozioma podczas gdy powietrze za skrzyd!em jest skierowane na ukos w dó! (sk!adowa
pionowa). Oznacza to, #e skrzyd!o pchn"!o powietrze w dó! wi"c w reakcji powietrze
pchn"!o skrzyd!o do góry.
14-9
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
Wyk ad 15
15. Fale w o!rodkach spr"#ystych
15.1 Fale mechaniczne
Fale powstaj ce w o"rodkach spr#$ystych (np. fale d%wi#kowe) nazywamy falami
mechanicznymi. Powstaj w wyniku wychylenia jakiego" fragmentu o"rodka z po!o$e-nia równowagi co w nast#pstwie powoduje drgania fragmentu wokó! tego po!o$enia. Drgania te (dzi#ki w!a"ciwo"ciom spr#$ystym o"rodka) s przekazywane na kolejne cz#"ci o"rodka. Sam o"rodek nie przesuwa si#, a jedynie jego elementy wykonuj drga-nia w ograniczonych obszarach przestrzeni. Np. fale na powierzchni wody: przedmioty p!ywaj ce wykonuj ruch drgaj cy natomiast same fale poruszaj si# ruchem jednostaj-nym. Fala dobiegaj ce do danego przedmiotu wprawiaj go w ruch drgaj cy przekazu-j c mu energi#. Mo$na za pomoc fal przekazywa& wi#c energi# na du$e odleg!o"ci. Energia fal to energia kinetyczna i potencjalna cz stek o"rodka. Cech charakterystyczn fal jest to, !e przenosz energi" poprzez materi" dzi"ki prze-
suwaniu si" zaburzenia w materii a nie dzi"ki ruchowi post"powemu samej materii. Do rozchodzenia si# fal mechanicznych potrzebny jest o#rodek. To w!a"ciwo"ci spr#$y-ste o"rodka decyduj o pr#dko"ci rozchodzenia si# fali. Ze wzgl#du na kierunek drga' cz stek wzgl#dem kierunku rozchodzenia si# fali ! fale poprzeczne (np. lina) ! fale pod!u$ne (np. spr#$yna, g!os) Ze wzgl#du na czo!o fali (powierzchnia ! cz ca punkty o jednakowych zaburzeniach w danej chwili) wyró$niamy ! fale p!askie (w jednym kierunku) ! fale kuliste
15.2 Fale rozchodz ce si! w przestrzeni
Rozwa$my d!ugi sznur naci gni#ty w kierunku x, wzd!u$ którego biegnie fala po-przeczna. W dowolnej chwili np. t = 0 kszta!t sznura mo$na opisa& funkcj
y = f(x), t = 0 y – przemieszczenie cz steczek sznura sznura.
W miar# up!ywu czasu fala biegnie wzd!u$ sznura bez zmiany kszta!tu. Po czasie t fala
przesuwa si# o vt w prawo (v - pr#dko"& fali). Zatem po czasie t równanie krzywej ma
posta&
y = f(x " vt), t
Oznacza to, $e w chwili t w punkcie x = vt, kszta!t jest taki sam jak w chwili t = 0
w punkcie x = 0. Mamy wi#c równanie fali tylko trzeba okre"li& funkcj# f.
Je$eli "ledzimy wybran cz#"& fali (czyli okre"lon faz#) to musimy zbada& jak zmienia
si# w czasie okre"lona warto"& y (np. maksimum - amplituda). Chcemy $eby y by!o ca!y
15-1
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
czas takie samo, wi#c argument x "- vt musi by& taki sam, a to oznacza, $e gdy czas ro-
"nie to musi te$ rosn & x (czyli ruch w prawo). Fala w lewo ma wi#c równanie
y = f(x+vt). Podsumowuj c, dla wybranej fazy mamy
x " vt = const.
Ró$niczkuj c wzgl#dem czasu otrzymujemy
0d
d#"v
t
x
czyli
v#t
x
d
d
To jest pr"dko#$ fazowa. Zauwa$my, $e dla danego t mamy równanie f(x), a dla danego
miejsca sznura x mamy równanie f(t).
Rozwa$my teraz fale o szczególnym kszta!cie. Za!ó$my, $e w chwili t = 0 kszta!t sznura
jest opisany funkcj
xAy$%2
sin#
gdzie A jest maksymalnym wychyleniem. Zauwa$my, $e wychylenie jest takie samo
w punktach x, x + $, x + 2$, x + 3$ itd. Wielko"& $ nazywamy d!ugo"ci fali (odleg!o"&
mi#dzy punktami o tej samej fazie). Je$eli fala biegnie w prawo to po czasie t
)(2
sin txAy v"#$%
To jest równanie fali biegn cej.
Okres T jest czasem, w którym fala przebiega odleg!o"& równ $ wi#c:
$ = vT
st d
&'
()*
+ "#T
txAy
$%2sin (15.1)
Wida&, $e w danej chwili taka sama faza jest w punktach x, x + $, x + 2$, x + 3$ itd.,
oraz, $e w danym miejscu faza powtarza si# w chwilach t, t + T, t +2T, itd.
Cz#sto wprowadza si# dwie nowe wielko"ci: liczb# falow k = 2%/$ i cz#sto"& , = 2%/T.
Wówczas y = Asin(kx-,t) lub y = Asin(kx+,t) dla fal biegn cych w prawo i lewo.
Wida&, $e pr#dko"& fazowa fali v jest dana wzorem
v = $/T = ,/k (15.2)
oraz, $e dla danego x otrzymujemy równanie ruchu harmonicznego prostego.
15-2
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
15.3 Rozchodzenie si! fal, pr!dko"# fal
Je$eli chcemy zmierzy& pr#dko"& fali v to "ledzimy jak przemieszcza si# w czasie
wybrana cz"#$ fali czyli okre#lona faza.
Wiemy, $e pr#dko"& fali zale$y od spr#$ysto"ci o"rodka i jego bezw!adno"ci. Spr#-
$ysto"& dla sznura jest okre"lona poprzez napinaj c go si!# F (np. im wi#ksza si!a tym
szybciej wychylone elementy sznura wracaj do po!o$enia równowagi). Natomiast
bezw!adno"& jest zwi zana z mas sznura m oraz jego d!ugo"ci l. Spróbujemy teraz
wyprowadzi& wzór na zale$no"& pr#dko"ci v fali od si!y F i od - = m/l tj. masy przypa-
daj cej na jednostk# d!ugo"ci sznura. W tym celu rozpatrzmy ma!y wycinek sznura
o d!ugo"ci dx pokazany na rysunku.
Ko'ce wycinka sznura tworz z osi x ma!e k ty .1 i .2. Dla ma!ych k tów
. / sin. / dy/dx. Wypadkowa pionowa si!a tj. si!a wychylaj ca sznur w kierunku y wy-
nosi
1212 .... FFFFFwyp "#"# sinsin
Zgodnie z zasad dynamiki si!a wypadkowa jest równa iloczynowi masy wycinka
dm = -0dx i jego przyspieszenia. St d
212 )()(t
ydx
tdxFFF
y
wyp 1
1#
1
1#"#
2
--..v
lub
2
2
t
y
Fx 11-.
#11
(Uwaga: w równaniach piszemy pochodne cz stkowe oznaczane symbolem 1y bo wy-
chylenie y jest funkcj dwóch zmiennych y = f (x,t) i liczymy pochodne zarówno
wzgl#dem zmiennej x jak i zmiennej t). Uwzgl#dniaj , $e . = 1y/1x otrzymujemy
2
2
2
2
t
y
Fx
y
11-
11
# (15.3)
15-3
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
Jest to równanie falowe dla sznura (struny). Podstawmy teraz do tego równania odpo-
wiednie pochodne funkcji )sin(),f( txkAtxy ,"##
)sin( txkAt
y,,
11
""# 2
2
2
oraz
)sin( txkAkx
y,
11
""# 2
2
2
W wyniku podstawienia otrzymujemy
22 ,-F
k #
sk d mo$emy obliczy& pr#dko"& fali
-
, F
k##v (15.4)
Zwró&my uwag#, $e sinusoidalna fala mo$e by& przenoszona wzd!u$ struny z pr#dko-
"ci niezale$n od amplitudy i cz#stotliwo"ci.
Je$eli teraz przepiszemy równanie struny w postaci
2
2
22
2 1
t
y
x
y
11
11
v# (15.5)
to otrzymamy równanie falowe, które stosuje si# do wszystkich rodzajów rozchodz -
cych si# fal, takich jak fale d%wi#kowe czy elektromagnetyczne.
15.4 Przenoszenie energii przez fale
Szybko"& przenoszenia energii wyznaczymy obliczaj c si!# F jaka dzia!a na koniec
struny (porusza strun w gór# i w dó! w kierunku y).
15-4
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
W tym celu pos!u$ymy si# zale$no"ci
P = Fyvy
Jak wida& z rysunku pr#dko"& poprzeczna równa jest vy = 1y/1t, a sk!adowa si!y F w
kierunku y wynosi Fsin. . Podstawiaj c do wzoru na moc otrzymujemy
.11
sint
yFP #
Dla ma!ych k tów . mo$emy przyj & sin. / – 1y/1x (znak minus wynika z ujemnego
nachylenia struny). St d
x
y
t
yFP
11
11
"#
Obliczamy teraz pochodne funkcji )sin(),f( txkAtxy ,"##
)cos( tkxAt
y,,
11
""#
)cos( tkxkAx
y,
11
"#
i podstawiamy do wyra$enia na moc
)(cos txkkFAP ,, "# 22 (15.6)
Zauwa$my, $e moc czyli szybko"& przep!ywu energii oscyluje w czasie. Korzystaj c
z tego, $e k = , /v, , = 2%f oraz, $e -/F#v otrzymujemy
)(cos4 2222 tkxfAP ,-% "# v (15.7)
Widzimy, $e szybko"& przep!ywu energii jest proporcjonalna do kwadratu amplitudy
i kwadratu cz#stotliwo"ci. Ta zale$no"& jest prawdziwa dla wszystkich typów fal.
15.5 Interferencja fal
Rozwa$my dwie fale o równych cz#stotliwo"ciach i amplitudach ale o fazach ró$-
ni cych si# o 2. Równania tych fal s nast#puj ce
y1 = Asin(kx – ,t – 2)
y2 = Asin(kx – ,t)
15-5
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
Znajd%my teraz fal# wypadkow (zasada superpozycji) jako sum# y = y1 + y2.
Korzystaj c ze wzoru na sum# sinusów otrzymujemy
y = 2Acos(2/2)sin(kx – ,t – 2/2) (15.8)
co jest równaniem fali sinusoidalnej o amplitudzie 2Acos(2/2). Dla 2 = 0 fale spotykaj
si# zgodnie w fazie (wzmacniaj ), a dla 2 = 180 wygaszaj .
15.6 Fale stoj ce
Rozwa$my teraz dwa ci gi falowe biegn ce w przeciwnych kierunkach tzn.
y1 = Asin(kx – ,t)
y2 = Asin(kx + ,t)
np. fal# padaj c i odbit .
Fal# wypadkow mo$na zapisa& jako
y = y1 + y2 = 2Asinkxcos,t (15.9)
To jest równanie fali stoj cej. Zauwa$my, $e cz stki drgaj ruchem harmonicznym pro-
stym. Cz stki maj t# sam cz#sto"& ale ró!n amplitud" zale$n od po!o$enia cz stki x.
Punkty kx = %/2, 3%/2, 5%/2, itd. czyli x = $/4, 3$/4, 5$/4 itd. maj ce maksymaln am-
plitud# nazywamy strza%kami a punkty kx = %, 2%, 3% itd. czyli x = $/2, $, 3$/2 itd. ma-
j ce zerow amplitud# nazywamy w"z%ami.
Zwró&my uwag# na jeszcze jedn istotn ró$nic#. Energia nie jest przenoszona wzd!u$
sznura bo nie mo$e ona przep!yn & przez w#z!y, jest na sta!e zmagazynowana w po-
szczególnych elementach sznura.
15.6.1 Uk ady drgaj$ce, przyk ad
Je$eli struna zamocowana na obu ko'cach zostanie najpierw wygi#ta a nast#pnie
puszczona, to wzd!u$ struny rozchodz si# drgania poprzeczne. Zaburzenia te odbijaj
si# od zamocowanych ko'ców i w wyniku interferencji powstaje fala stoj ca. Zwró&my
uwag#, $e drgania struny wytwarzaj w otaczaj cym strun# powietrzu d%wi#kowe fale
pod!u$ne (fale akustyczne). Poniewa$ jedynym warunkiem, jaki musi by& spe!niony,
jest nieruchomo"& obu ko'ców struny, czyli istnienie w#z!ów fali stoj cej na tych ko'-
cach, to mog powsta& w tej strunie fale stoj ce o ró$nej d!ugo"ci. Pierwsze cztery ro-
dzaje drga' jakie powstaj w strunie o d!ugo"ci L zamocowanej na ko'cach s pokazane
na rysunku poni$ej. Takie fale stoj ce nazywamy rezonansami.
Widzimy, $e d!ugo"ci fal spe!niaj zwi zek
n
Ln
2#$ (15.10)
15-6
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
L
$4 = L/2
$3 = 2L/3
$2 = L
$1 = 2L
Korzystaj c z tego, $e pr#dko"& fali vT $$ ##v oraz podstawiaj c wyra$enie (15.4)
mo$emy obliczy& cz#stotliwo"& rezonansów
-F
L
n
L
nf n
22## v (15.11)
Najni$sz cz#sto"& nazywamy cz"sto#ci podstawow a pozosta!e wy!szymi harmonicz-
nymi czyli alikwotami.
Zazwyczaj w drganiach wyst#puj , oprócz drgania podstawowego, równie$ drgania
harmoniczne, a d%wi#ki jakie odbieramy s wynikiem nak!adania si# tych drga'. O ja-
ko"ci instrumentu (jego barwie) decyduje w!a"nie to ile alikwotów jest zawarte w
d%wi#ku i jakie s ich nat#$enia. Przyk!adowo, drganie wypadkowe struny b#d ce z!o-
$eniem tonu podstawowego (n = 1) i wy$szych harmonicznych (n = 3, 5, 7) o ró$nych
amplitudach jest pokazane na rysunku poni$ej.
drganie wypadkowe
n = 7
n = 5n = 3
n = 1
t
Zwró&my uwag#, $e wypadkowe drganie (chocia$ okresowe) nie jest harmoniczne (nie
daje si# opisa& funkcj sinus lub cosinus).
15-7
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
15.7 Dudnienia - modulacja amplitudy
Mówili"my ju$ o superpozycji fal, interferencji w przestrzeni (dodawanie fal o tej
samej cz#sto"ci). Rozpatrzmy teraz przypadek interferencji w czasie. Pojawia si# ona
gdy przez dany punkt w przestrzeni przebiegaj w tym samym kierunku fale o troch#
ró$nych cz#stotliwo"ciach. Wychylenie wywo!ane przez jedn fal# ma posta&
y1 = Acos2%v1t
y2 = Acos2%v2t
wi#c
y = y1 + y2 = A(cos2%v1t + cos2%v2t)
Ze wzoru na sum# cosinusów
tvv
tvv
Ay &'
()*
+ 345
678
9 "#
22cos
22cos2 2121 %% (15.12)
Drgania wypadkowe mo$na wi#c uwa$a& za drgania o cz#sto"ci
vsrednie = (v1 + v2)/2
która jest "redni dwóch fal, i o amplitudzie (wyra$enie w nawiasie kwadratowym)
zmieniaj cej si# w czasie z cz#sto"ci
vamp = (v1 – v2)/2
Je$eli cz#stotliwo"ci v1 i v2 s bliskie siebie to amplituda zmienia si# powoli. Mówimy,
$e mamy do czynienia z modulacj amplitudy AM (stosowana np. w odbiornikach ra-
diowych). Dla fal d%wi#kowych AM przejawia si# jako zmiana g!o"no"ci nazywana
dudnieniami (rysunek).
y
y
t
t
15-8
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
15.8 Zjawisko Dopplera
Austriak, Christian Doppler w pracy z 1842 r zwróci! uwag#, $e barwa "wiec cego
cia!a (cz#stotliwo"&) musi si# zmienia& z powodu ruchu wzgl#dnego obserwatora lub
%ród!a. Zjawisko Dopplera wyst#puje dla wszystkich fal. Obecnie rozwa$ymy je dla fal
d%wi#kowych. Zajmiemy si# przypadkiem ruchu %ród!a i obserwatora wzd!u$ ! cz cej
ich prostej.
(ród!o d%wi#ku spoczywa, a obserwator porusza si# w kierunku %ród!a z pr#dko"ci vo.
Nieruchomy obserwator odbiera! by vt/$ fal w czasie t. Teraz odbiera jeszcze dodatko-
wo vot/$ fal. Cz#sto"& s!yszana przez obserwatora
v
t
tt
v oo
o
v
vvvv
vv
3#
3#
3#
$$$'
Ostatecznie
v
vv ovv3
#'
Studiuj c pozosta!e przypadki otrzymujemy ogóln zale$no"&
&&'
())*
+ :#
z
ovvvv
vv
' (15.12)
gdzie v' - cz#sto"& odbierana przez obserwatora, v - cz#sto"& %ród!a, v - pr#dko"& fali, vo
- pr#dko"& obserwatora, vz - pr#dko"& %ród!a.
Znaki "górne" w liczniku i mianowniku odpowiadaj zbli$aniu si#, a znaki dolne odda-
laniu si# obserwatora i %ród!a.
15-9
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
Wyk ad 16
16. Kinetyczna teoria gazów i termodynamika I
16.1 Prawo gazów doskona ych
Gaz doskona!y:
! obj"to#$ cz steczek gazu jest o wiele mniejsza ni% obj"to#$ zajmowana przez gaz,
! zasi"g si! dzia!aj cych mi"dzy dwoma cz stkami jest o wiele mniejszy ni% #rednia
odleg!o#$ mi"dzycz steczkowa.
W wyprowadzeniu prawa gazów doskona!ych b"dziemy traktowa$ cz steczki gazu jako
N ma!ych, twardych kulek zamkni"tych w pude!ku o obj"to#ci V. Kulki s twarde tzn.
b"d zderza!y si" spr"%y#cie ze #ciankami naczynia. Rozwa%my jedn cz steczk", która
zderza si" z lew #ciank naczynia (rysunek).
x
y
-vx
vx
&rednia si!a jak cz steczka wywiera na #ciank" w czasie "t wynosi
t
pF x
d
d#
Zmiana p"du spowodowana zderzeniem ze #ciank wynosi
"px = mvx - ( - mvx) = 2mvx
Poniewa% czas pomi"dzy kolejnymi zderzeniami z t #ciank wynosi
"t = 2l/vx
gdzie l jest odleg!o#ci mi"dzy #ciankami, to
l
m
l
mF x
x
x
2
2
)2( v
v
v##
jest #redni si! dzia!aj c na #ciank" (na jedn cz stk").
16-1
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
Dla N cz stek ca!kowita si!a wynosi
l
mNF x
2v
#
gdzie 2
xv jest to v u#rednione po wszystkich cz steczkach (#rednia kwadratu). Dziel c
obie strony równania przez pole powierzchni #cianki S otrzymujemy ci#nienie
2
x
V
mN
Sl
mNP xx
22vv
##
czyli
2
xNmpV v# (16.1)
Jak wida$ iloczyn pV jest sta!y tak d!ugo jak d!ugo jest sta!a energia kinetyczna cz stek
(prawo Boyle'a - Mariotta).
Zauwa%my, %e 2222
zyx vvvv $$#
Ponadto, poniewa% cz stki zderzaj si" w taki sam sposób ze wszystkimi sze#cioma
#ciankami naczynia wi"c
222
zyx vvv ##
wi"c
3,3
2222 v
vvv ## xx czyli
Teraz otrzymujemy równanie wyra%one przez v, a nie przez vx
3
2v
NmpV # (16.2)
Poniewa% Nm = M (masa gazu), oraz M/V = % wi"c równanie powy%sze mo%na przepi-
sa$ w postaci
%
%p
p kwsr
3,
3
2
..
2
### vvv
czyli (16.3)
16.2 Temperatura
Zdefiniujmy temperatur" bezwzgl"dn jako wielko#$ wprost proporcjonaln do
#redniej energii kinetycznej cz stek
16-2
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
23
2 2vm
kT &
'
()*
+# (16.4)
gdzie k jest sta! Boltzmana k = 1.38·10-23
J/K.
Eliminuj c 2v z równa' (16.2) i (16.4) otrzymujemy
pV = NkT
lub
pV = nRT (16.5)
gdzie n jest liczb moli (R = kNAV). Przypomnijmy, %e sta!a Avogadra NAv = 6.023·1023
1/mol, okre#la liczb" cz steczek w jednym molu.
Wyra%enie (16.5) przedstawia równanie stanu gazu doskona ego.
Równanie stanu gazu doskona!ego zosta!o sformu!owane w XIX w. przez Clapeyro-
na na podstawie trzech praw empirycznych odkrytych wcze#niej przez innych badaczy:
! Prawo Boyle'a-Mariotte'a stwierdza, %e w sta!ej temperaturze iloczyn ci#nienia i ob-
j"to#ci danej masy gazu jest sta!y pV = const.
! Prawo Charlesa mówi, %e przy sta!ej obj"to#ci gazu stosunek ci#nienia i temperatury
danej masy gazu jest sta!y p/T = const.
! Prawo Gay-Lussaca stwierdza, %e dla sta!ego ci#nienia stosunek obj"to#ci do tempe-
ratury danej masy gazu jest sta!y V/T = const.
16.2.1 Termometry
Aby zmierzy$ temperatur" trzeba wyznaczy$ energi" kinetyczn cz steczek gazu co jest
bardzo trudne. Ale mo%emy si" pos!u%y$ równaniem stanu gazu doskona!ego. (atwo
jest zmierzy$ iloczyn pV np. dla uk!adu o sta!ym ci#nieniu.
16.3 Ekwipartycja energii
16.3.1 Zerowa zasada termodynamiki
Je%eli dwa cia!a o ró%nych temperaturach zetkniemy ze sob (i odizolujemy od in-
nych) to po dostatecznie d!ugim czasie ich temperatury wyrównaj si". Powiemy, %e te
cia!a s w równowadze termicznej ze sob .
Je!eli cia a 1 i 2 s" w równowadze termicznej i cia a 2 i 3 s" w równowadze termicznej
to cia a 1 i 3 s" w tej samej równowadze termicznej.
To jest zerowa zasada termodynamiki. Z zasad dynamiki Newtona mo!na pokaza#, !e
$rednie energie kinetyczne ruchu post%powego (na cz"steczk%) dla dwu kontaktuj"cych
si% gazów s" równe.
16.3.2 Ekwipartycja energii
Wiemy ju%, %e w równowadze termodynamicznej energie kinetyczne ruchu post"-
powego wszystkich cz steczek s równe. Ale co z ruchem obrotowym i drganiami? Czy
cz steczka mo%e gromadzi$ energi" w innej postaci ni% energia ruchu post"powego?
16-3
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
Je%eli tylko cz stka nie ma kszta!tu kuli (1 atomowa) a ma pewn struktur" wewn"trzn
to mo%e wirowa$ i drga$. Np. dwuatomowa w kszta!cie hantli zacznie si" obraca$ po
zderzeniu. Na podstawie mechaniki statystycznej mo%na pokaza$, %e gdy liczba punk-
tów materialnych jest bardzo du!a i obowi"zuje mechanika Newtonowska to dost%pna
energia rozk ada si% w równych porcjach na wszystkie niezale!ne sposoby, w jakie cz"-
steczka mo!e j" absorbowa#. Ka%dy z tych sposobów absorpcji energii nazywa si" stop-
niem swobody i jest równy liczbie niezale%nych wspó!rz"dnych potrzebnych do okre#le-
nie po!o%enia cia!a w przestrzeni.
Innymi s!owy: $rednia energia kinetyczna na ka!dy stopie& swobody jest taka sama dla
wszystkich cz"steczek. Ten wynik nazywamy zasad ekwipartycji energii.
&rednia energia kinetyczna ruchu post"powego (z równania definiuj cego T) wynosi
kTm2
3
2
1 2 #v
Odpowiada to trzem stopniom swobody (wspó!rz"dne x, y, z). St d $rednia energia na
stopie& swobody wynosi (1/2)kT na cz steczk" (zale!y tylko od T).
Dla cz stek obracaj cych si" potrzeba 3 dodatkowych wspó!rz"dnych do opisania ruchu
(obrót wzgl"dem trzech osi) wi"c mamy dodatkowe 3 stopnie swobody.
O ile dla N cz steczek nie obracaj cych si" ca!kowita energia (wewn"trzna) U b"dzie
energi kinetyczn ruchu post"powego U = 3/2(NkT) to dla cz stek, które mog obraca$
si" swobodnie we wszystkich kierunkach (wieloatomowe)
U = (3/2)(NkT) + (3/2)(NkT) = 3NkT
Natomiast dla cz stki dwuatomowej (g!adkiej)
U = 3/2(NkT) + (2/2)(NkT) = (5/2)(NkT)
bo nie ma obrotu wokó! osi hantli.
Zwró$my uwag", %e mówimy tu o energii "ukrytej" (wewn"trznej) cz stek a nie o ener-
gii makroskopowej (zwi zanej z ruchem masy). O tej energii mówili#my przy zasadzie
zachowania energii (energia indywidualnych cz stek nie zawarta w energii kinetycznej
czy potencjalnej cia!a jako ca!o#ci). Energi" wewn"trzn oznacza si" zazwyczaj przez U
i takie oznaczenie b"dziemy dalej stosowa$.
16.4 Pierwsza zasada termodynamiki
To jest po prostu inna wersja zasady zachowania energii, w której mamy rozdzielon
energi" cia!a na cz"#$ makroskopow i mikroskopow . Makroskopowa to energia ruchu
masy (energia mechaniczna). Mikroskopowa to "ukryta" energia cz stek (energia we-
wn"trzna).
Gdy dwa uk!ady (cia!a) o ró%nych temperaturach zetkniemy ze sob to ciep!o "Q
przep!ywa z cia!a cieplejszego do ch!odniejszego. Zgodnie z zasad zachowania energii,
ciep!o pobrane przez uk!ad musi by$ równe wzrostowi energii wewn"trznej uk!adu plus
pracy wykonanej przez uk!ad nad otoczeniem zewn"trznym czyli
16-4
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
"Q = "U + "W (16.6a)
To jest sformu!owanie I zasady termodynamiki.
Zasada ta pracuje "w obie strony" tzn., gdy nad uk!adem zostanie wykonana praca to
uk!ad mo%e oddawa$ ciep!o. To równanie bardzo cz"sto przybiera posta$
dU = dQ – dW (16.6b)
Je%eli rozpatrujemy uk!ad jak na rysunku poni%ej
F
V
dl
S
dW = Fdl = (F/S)(Sdl) = pdV (16.7)
i wtedy
dU = dQ – pdV
16.5 Ciep o w a!ciwe
Ciep o w a$ciwe definiujemy jako dQ/dT na gram lub mol substancji (ciep!o wago-
we lub molowe).
16.5.1 Ciep o w a!ciwe przy sta ej obj"to!ci
Poniewa% dV = 0 wi"c dU = dQ a st d
cv
= dQ/dT = dU/dT
Dla gazu jednoatomowego (dla jednego mola) U = (3/2)NAVkT = (3/2)RT.
Zatem
cv
= (3/2)R
Dla cz steczki dwuatomowej spodziewamy si" wi"c
cv
= (5/2)R
a dla wieloatomowej
cv = 3R
Niedoskona!o#ci modelu opartego na mechanice klasycznej jest to, %e przewiduje cie-
p!o w!a#ciwe niezale%ne od temperatury, a badania pokazuj , %e jest to prawdziwe tylko
dla gazów jednoatomowych. Dla pozosta!ych cv ro#nie z temperatur .
16-5
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
Na rysunku poni%ej przedstawiono cV dla wodoru (H2) w funkcji temperatury (w skali
logarytmicznej).
10 100 1000 10000
2
4
6
8
(3/2) R
(5/2) R
(7/2) R
Cv
ca
l/m
ol K
Temperatra (K)
W temperaturach ni%szych od 100 K, c
v = (3/2)R co wskazuje, %e w tak niskich tempera-
turach nie ma rotacyjnych stopni swobody. Rotacja staje si" mo%liwa dopiero w tempe-
raturach wy%szych (cv = (5/2)R). Ale w temperaturach powy%ej 2000 K, c
v osi ga war-
to#$ (7/2)R.
Wyt!umaczenie tych zjawisk nie jest mo%liwe na gruncie mechaniki klasycznej. Dopie-
ro mechanika kwantowa daje wyja#nienie tych zmian. Gdyby cz stka mia!a moment
p"du to musia! by on by$ równy co najmniej Lmin = h/2, - 10-34
kg m2 s
-1 (analogia do
modelu Bohra atomu wodoru). Energia kinetyczna ruchu obrotowego dana jest wyra%e-
niem
I
LIErot
22
22
##.
Dla cz steczki H2 m=1.67·10-27
kg, a R - 5·10-11
m, wi"c I = 2mR2 - 8.3·10
-48 kg m
2.
Poniewa% na jeden stopie' swobody przypada energia kT/2 wi"c
kT/2 = L2/2I
czyli
T = L2/kI
St d dla Lmin otrzymujemy Tmin - 90 K.
Dla ni%szych temperatur energia jest za ma!a aby wzbudzi$ rotacje co wymaga pewnej
minimalnej energii. Podobnie jest dla ruchu drgaj cego, który tak%e jest skwantowany.
Edrg,min = hv. Dla typowej cz steczkowej cz"stotliwo#ci drga' 1014
Hz (zakres widzial-
ny) otrzymujemy energi" drga' - 6·10-20
J co odpowiada temperaturze oko!o 4000 K.
Tak wi"c z zasady ekwipartycji energii wynika, %e w tak wysokich temperaturach #red-
nia energia drga' Edrg = kT/2. Oprócz energii kinetycznej tego ruchu istnieje jeszcze je-
go energia potencjalna. Zatem #rednia energia wewn"trzna na cz steczk" wynosi
U = E$r,kin,post + E$r,kin,rot + E$r,kin,drg + E$r,pot,drg
U = (3/2)kT + (2/2)kT + (1/2)kT + (1/2)kT = (7/2)kT
16-6
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
la 1 mola
U = (7/2)RT wi"c cv = (7/2)R
16.5.2 Ciep o w a!ciwe przy sta ym ci!nieniu
Z I zasady termodynamiki mamy
dQ = dU + pdV
oniewa% U zale%y tylko od T wi"c mamy dU = cvdT wi"c
dQ = cvdT + pdV
la gazu doskona!ego (1 mola) dV = RdT/p, wi"c
dQ = cvdT + RdT
sk d
dQ/dT = cv + R
Ostatecznie wi"c
cp = cv + R
olowe ciep!a w!a#ciwe ró%nych rodzajów gazów doskona!ych (teoretyczne) s zesta-
Typ gazu cv cp cp/cv
D
P
D
M
wione w tabeli poni%ej.
Jednoatomowy
rotacja
drgania
')
(3/2)R (5/2)R
Dwuatomowy +
Dwuatomowy + rotacja +
Wieloatomowy + rotacja (bez drga
(5/2)R
(7/2)R
(6/2)R
(7/2)R
(9/2)R
(8/2)R
5/3
7/5
9/7
4/3
16.6 Rozpr"#anie izotermiczne
Dzia!anie silnika opiera si" o rozpr"%anie zapalonej mieszanki gazowej.
Zw
ym trzeba utrzymywa$ sta! temperatur" #cian cylindra,
U = 0, a st d dQ = dW
ykle dwa przypadki
! rozpr"%anie izotermiczne
! rozpr"%anie adiabatyczne
Przy rozpr"%aniu izotermiczn
czyli t!ok musi porusza$ si" wolno, %eby gaz móg! pozostawa$ w równowadze termicz-
nej ze #ciankami cylindra.
Poniewa% T = const. wi"c d
&&'
())*
+##&
'
()*
+##"#" ///1
2
1
lnd
dd22
1
2
1V
VNkT
v V
VNkTV
V
NkTVpWQ
VV
V
V
V
(16.8)
16-7
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
16.7 Rozpr
Zwykle w silnikach t!ok porusza si" bardzo szybko wi"c nie ma do#$ czasu na prze-
i cylindra. Wtedy dQ = 0 i otrzymujemy
o%emy to przepisa$ w postaci
cvdT + pdV = 0
Z równania stanu gazu doskona!ego otrzymujemy ró%niczkuj c
pdV + Vdp = RdT
"#anie adiabatyczne
p!yw ciep!a pomi"dzy gazem, a #cianam
dU + pdV = 0
M
na 1 mol.
St d obliczmy dT i wstawiamy do poprzedniego równania
0dd #$&'
()*
+ $p
R
VcVp
R
Rcvv
p i otrzymujemy
0d #$&'
)*
$ VpRR
cv
dd (pVV+ p
Zast"pujemy teraz cv + R = c
0dd
#pV
gdzie 0 = cp/cv.
Ca!kuj c to równanie otrzymamy
$pV
0
.constlnln #$ pV0
kowania.
0dd
#$/ / p
p
V
V
gdzie const. oznacza sta! ca!
Mamy wi"c
ln(pV0) = const.
pV0 = const. (16.9)
0
czyli
%na zapisa$: co mo
p1V10 = p2V2
0
16-8
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
Przyk ad 1
Silnik benzynowy ma stopie' spr"%u peratury
azów wydechowych do temperatury spalania?
la gazu doskona!ego
/
otrzymujemy
T2/T1 = (V1/V2)0-1
owietrze jest g!ównie dwuatomowe wi"c 0 = 1.4. St d otrzymujemy T2/T1 = 0.415
9 tzn. V2/V1 = 9. Jaki jest stosunek tem
g
p1V10 = p2V2
0 wi"c p2/p1 = (V1
0/V2
0)
D
p2/p1 = (V1T2) (V2T1)
Porównuj te równania
P
16-9
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
Wyk ad 17
17. Kinetyczna teoria gazów i termodynamika II
17.1 rednia droga swobodna
rednia droga swobodna to inaczej !rednia odleg"o!# mi$dzy miejscami kolejnych
zderze%. Zale"y od rozmiarów cz steczek i od ich liczby w jednostce obj#to$ci.
Rozpatrujemy cz stk# kulist o $rednicy d. Zderzenie b#dzie mia!o miejsce gdy odle-
g!o$% mi#dzy $rodkami b#dzie mniejsza ni" d. Inaczej mówi c cz steczka jest "tarcz " o
powierzchni
= !d2
Ta powierzchnia nosi nazw# ca"kowitego przekroju czynnego.
W czasie t cz steczka poruszaj ca si# z pr#dko$ci v "przemiata" obj#to$% walca vt .
Je"eli n jest liczb cz steczek w jednostce obj#to$ci to w tym walcu nasza cz stka napo-
tka (zderzy si# z)
nz = vt n
cz stek.
&rednia droga swobodna to $rednia odleg!o$% pomi#dzy punktami kolejnych zderze'.
Jest ona równa ca!kowitej odleg!o$ci przebywanej przez cz stk# podzielonej przez licz-
b# zderze'
ndnnt
t2
11
! " ###
v
v (17.1)
To równanie wyprowadzono w oparciu o za!o"enie, "e cz stka zderza si# z nierucho-
mymi obiektami. W rzeczywisto$ci cz steczki uderzaj w poruszaj cy si# cel. Cz#sto$%
zderze' jest wi#ksza, a $rednia droga swobodna mniejsza
nd 22
1
!" # (17.2)
Zwró%my uwag#, "e wtedy w równaniu (17.1) dwie wyst#puj ce tam pr#dko$ci s ró"-
ne: pr#dko$% w liczniku to pr#dko$% $rednia v cz steczek wzgl#dem naczynia, a pr#d-
ko$% w mianowniku to $rednia pr#dko$% wzgl#dna wzglv w stosunku do innych cz ste-
czek. Mo"na si# przekona% jako$ciowo, "e
wzglv > v
Np. gdy cz stki biegn naprzeciw siebie to wzglv = 2v , gdy pod k tem prostym to
vv 2#wzgl , a gdy w t# sam stron# to wzglv = 0. Uwzgl#dniaj c rzeczywisty rozk!ad
pr#dko$ci otrzymujemy v2#wzglv .
Przyk"ad 1
17-1
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
Cz stki powietrza w temperaturze 273 K i pod ci$nieniem 1 atm.
d = 2·10-8
cm, v = 105 cm/s, n = 3·10
19/cm
3.
Wówczas $rednia droga swobodna jest równa 2·10-5
cm (oko!o 1000d).
Odpowiednia cz#sto$% zderze' wynosi 5·109/s.
17.2 Rozk!ad pr"dko#ci Maxwella
Na poprzednim wyk!adzie omawiali$my pr#dko$% $redni kwadratow cz steczek
gazu. Jednak ka"dy gaz ma charakterystyczny rozk!ad pr#dko$ci, który zale"y od tem-
peratury (cz stki nie mog mie% takich samych pr#dko$ci bo pr#dko$ci zmieniaj si# w
wyniku zderze').
Clerk Maxwell poda! prawo rozk!adu pr#dko$ci cz steczek, które dla gazu zawieraj ce-
go N cz steczek ma posta%
kT
m
ekT
mNN 22
2
3 2
24)(
v
vv
$
%&
'()
*#!
! (17.3)
W równaniu tym N(v)dv jest liczb cz stek o pr#dko$ciach z przedzia!u od v do v +
dv. T - temperatura bezwzgl#dna, k - sta!a Boltzmana, m - masa cz steczki.
Ca!kowit liczb# cz steczek mo"na zatem obliczy% dodaj c (ca!kuj c) liczby dla po-
szczególnych ró"niczkowych przedzia!ów pr#dko$ci
+,
#0
d)( vvNN
Na rysunku przedstawiony jest rozk!ad Maxwella dla dwóch ró"nych temperatur.
0.000 200.000 400.000 600.000 800.000 1000.000
__
_ v
v2
vp
v (m/s)
N(v
)
T=300 K
T=70 K
gdzie -v pr#dko$% $rednia, 2v - pr#dko$% $rednia kwadratowa, vp – pr#dko$% najbar-
dziej prawdopodobna.
17-2
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
Krzywa nie jest symetryczna bo dolny limit równy jest zeru podczas gdy górny nie-
sko'czono$ci. Ze wzrostem temperatury ro$nie pr#dko$% $rednia kwadratowa. Obszar
pr#dko$ci jest teraz wi#kszy. Poniewa" liczba cz stek (pole pod krzyw ) jest sta!a wi#c
rozk!ad si# "rozp!aszcza". Wzrost, wraz z temperatur , liczby cz stek o pr#dko$ciach
wi#kszych od danej t!umaczy wiele zjawisk takich jak np. wzrost szybko$ci reakcji
chemicznych towarzysz cych zwi#kszeniu temperatury. Z równania wida%, "e rozk!ad
pr#dko$ci zale"y od masy cz steczek. Im mniejsza masa tym wi#cej szybkich cz ste-
czek (w danej temperaturze). Dlatego wodór !atwiej ucieka z górnych warstw atmosfery
ni" tlen czy azot.
17.3 Równanie Van der Waalsa
Równanie stanu gazu doskona!ego
pV = nRT
dobrze opisuje gazy rzeczywiste ale przy ma!ych g#sto$ciach. Przy wi#kszych g#sto-
$ciach nie mo"na pomin % faktu, "e cz stki zajmuj cz#$% obj#to$ci dost#pnej dla gazu
oraz "e zasi#g si! mi#dzycz steczkowych mo"e by% wi#kszy ni" odleg!o$ci mi#dzycz -
steczkowe.
J.D. Van der Waals wprowadzi! zmienione równanie stanu gazu, które uwzgl#dnia
te czynniki. Je"eli cz stki posiadaj sko'czon obj#to$% to rzeczywista obj#to$% dost#p-
na dla cz stek jest mniejsza od obj#to$ci naczynia. "Obj#to$% swobodna" jest mniejsza
od obj#to$ci naczynia o "obj#to$% w!asn " cz steczek b. Je"eli oznaczymy przez v obj#-
to$% przypadaj c na jeden mol v = V/n to otrzymamy zmodyfikowane równanie stanu
gazu
p(v – b) = RT
Mo"na równie" prosto uwzgl#dni% efekt si! mi#dzycz steczkowych. Si!y przyci gania
pomi#dzy n cz steczkami (na jednostk# obj#to$ci) "po lewej" z n cz steczkami (na jed-
nostk# obj#to$ci) "po prawej" jest proporcjonalna do n2 czyli proporcjonalna do 1/v
2.
Si!a przyci gaj ca znajduje swoje odzwierciedlenie w dodatkowym ci$nieniu, które zo-
sta!o uwzgl#dnione w równaniu Van der Waalsa
RTba
p #$%&
'()
* - )(2
v
v (17.4)
gdzie sta!e a i b wyznaczamy do$wiadczalnie. (Równanie Van der Waalsa te" bywa za-
wodne ale nie jest znana prosta formu!a, która stosowa!aby si# do ró"nych gazów w
ró"nych warunkach).
Na rysunku poni"ej porównano zachowanie si# gazu doskona!ego (rysunek po lewej)
w sta!ej temperaturze z gazem Van der Waalsa (po prawej).
17-3
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
2 0
300
350
400
17.4 Entropia i druga zasada termodynamiki
17.4.1 Procesy odwracalne i nieodwracalne
Rozpatrzmy dwa przypadki izotermicznego spr#"anie gazu.
1. T!ok przesuwamy bardzo szybko i czekamy a" ustali si# równowaga z otoczeniem.
W czasie takiego procesu ci$nienie i temperatura gazu nie s dobrze okre$lone bo
nie s jednakowe w ca!ej obj#to$ci.
2. T!ok przesuwamy bardzo powoli, tak "e ci$nienie i temperatura gazu s w ka"dej
chwili dobrze okre$lone. Poniewa" zmiana jest niewielka to gaz szybko osi ga no-
wy stan równowagi. Mo"emy z!o"y% ca!y proces z ci gu takich ma!ych przesuni#%
t!oka i wtedy podczas ca!ego procesu gaz jest bardzo blisko równowagi. Je"eli b#-
dziemy zmniejsza% nasze zmiany to w granicy dojdziemy do procesu idealnego, w
którym wszystkie stany po$rednie (pomi#dzy pocz tkowym i ko'cowym) s stana-
mi równowagi.
Proces typu (1) nazywamy procesem nieodwracalnym a proces typu (2) procesem
odwracalnym.
Proces nazywamy odwracalnym gdy za pomoc& bardzo ma"ej (ró'niczkowej) zmiany
otoczenia mo'na wywo"a# proces odwrotny do niego tzn. przebiegaj&cy po tej samej
drodze w przeciwnym kierunku.
17.4.2 Cykl Carnota
Bardzo wa"nym cyklem odwracalnym jest cykl Carnota. Cykl ten wyznacza granic#
naszych mo"liwo$ci zamiany ciep!a na prac#.
1) Gaz znajduje si# w stanie p1, V1, T1 (punkt A). Cylinder stawiamy na zbiorniku ciep!a
i pozwalamy, "eby gaz rozpr#"y! si# izotermicznie do stanu p2, V2, T1 (punkt B). Gaz
pobiera ciep!o Q1.
2) Cylinder stawiamy na izoluj cej podstawce i pozwalamy na dalsze rozpr#"anie adia-
batyczne gazu (np. zmniejszaj c obci "enie t!oka) do stanu p3, V3, T2 (punkt C). Gaz
wykonuje prac# przy podnoszeniu t!oka i jego temperatura spada do T2.
17-4
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
3) Cylinder stawiamy na (zimniejszym) zbiorniku (T2) i spr#"amy gaz izotermicznie do
stanu p4, V4, T2 (punkt D). Z gazu do zbiornika przechodzi ciep!o Q2.
4) Cylinder stawiamy na izoluj cej podstawce i spr#"amy adiabatycznie do stanu p1, V1,
T1 (punkt A). Si!y zewn#trzne wykonuj prac# i temperatura gazu podnosi si# do T1.
A
B
CD
Q1
Q2
WT1
T2
V
p
Wypadkowa praca W wykonana przez uk!ad w czasie pe!nego cyklu jest opisana
przez powierzchni# zawart wewn trz krzywej 1,2,3,4. Wypadkowa ilo$% ciep!a pobra-
na przez uk!ad podczas jednego cyklu wynosi Q1 - Q2. Wypadkowa zmiana energii we-
wn#trznej wynosi zero bo stan ko'cowy pokrywa si# z pocz tkowym. Z pierwszej zasa-
dy termodynamiki mamy wi#c
W = Q1 – Q2
Sprawno$% silnika wynosi
1
21
1
21
1 T
TT
Q
Q
W $#
$##. (17.5)
Cykl Carnota mo"na prowadzi% w kierunku przeciwnym (maszyna ch!odz ca).
17.4.3 Druga zasada termodynamiki
Zwró%my jeszcze raz uwag# na to, "e w trakcie pracy (cyklu) silnika cieplnego
cz#$% pobieranego ciep!a by!a oddawana do zbiornika o ni"szej temperaturze i w konse-
kwencji ta ilo$% ciep!a nie by!a zamieniana na prac#. Powstaje pytanie, czy mo"na
skonstruowa% urz dzenie, które pobiera!oby ciep!o i w ca!o$ci zamienia!oby je na pra-
c#? Mogliby$my wtedy wykorzysta% ogromne (z naszego punktu widzenia niesko'czo-
ne) ilo$ci ciep!a zgromadzone w oceanach, które by!yby stale uzupe!niane poprzez
promieniowanie s!oneczne.
Negatywna, niestety, odpowied( na to pytanie jest zawarta w drugiej zasadzie ter-
modynamiki. Poni"ej podane zosta!y równowa"ne sformu!owania tej zasady
1) Nie mo"na zbudowa% perpetum mobile drugiego rodzaju.
2) Gdy dwa cia!a o ró"nych temperaturach znajd si# w kontakcie termicznym, wów-
czas ciep!o b#dzie przep!ywa!o z cieplejszego do ch!odniejszego.
17-5
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
3) )adna cykliczna maszyna cieplna pracuj ca pomi#dzy temperaturami T1 i T2 nie mo-
"e mie% sprawno$ci wi#kszej ni" (T1 - T2)/T1.
4) W uk!adzie zamkni#tym entropia nie mo"e male%.
Rozpatrzmy nast#puj cy schemat (pokazany na rysunku poni"ej),w którym super
silnik o sprawno$ci wi#kszej od silnika Carnota nap#dza ten silnik. Efektem ko'cowym
jest przeniesienie dwóch jednostek ciep!a z zimniejszego do cieplejszego zbiornika.
T1 (gor¹ cy zbiornik)
Q1=4 Q1'=6
Silnik
Carnota
. =0.5
Super
silnik
.S=0.75
W=3
Q2=1 Q2'=3
T2 (zimny zbiornik)
17.4.4 Termodynamiczna skala temperatur
Pokazali$my wi#c, "e sprawno$% silnika Carnota jest równa
1
21
1
21
1 T
TT
Q
Q
W $#
$##.
Wynika st d, "e
T1/T2 = Q1/Q2
Zatem stosunek temperatur dowolnych zbiorników ciep!a mo"na wyznaczy% mierz c
przenoszenie ciep!a podczas jednego cyklu Carnota. Powy"szy wzór stanowi definicj#
termodynamicznej skali temperatur.
17.4.5 Entropia
/0 Zerowa zasada termodynamiki wi "e si# z poj#ciem temperatury
/0 Pierwsza zasada termodynamiki wi "e si# z poj#ciem energii wewn$trznej
/0 Druga zasada termodynamiki wi "e si# z poj#ciem entropii
17-6
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
Entropia jest miar& nieuporz&dkowania uk!adu cz stek. Im wi#kszy jest stan niepo-
rz dku po!o"e' i pr#dko$ci w uk!adzie tym wi#ksze prawdopodobie'stwo, "e uk!ad b#-
dzie w tym stanie.
Przyk!ady sytuacji gdy nieuporz dkowanie ro$nie bo tracimy cz#$% zdolno$ci do klasy-
fikacji cz stek.
/0 Rozpr#"anie swobodne
/0 Przep!yw ciep!a do wyrównania temperatur
Z definicji entropia S uk!adu jest równa
S = kln1 (17.6)
gdzie k - sta!a Boltzmana, 1 - prawdopodobie'stwo, "e uk!ad jest w danym stanie
(w odniesieniu do wszystkich pozosta!ych stanów).
Zgodnie z definicj prawdopodobie'stwa uk!ad cz#$ciej b#dzie w stanie o wi#kszym
prawdopodobie'stwie ni" w stanie o mniejszym prawdopodobie'stwie. Uk!ad wi#c
"poszukuje" stanów o wi#kszym prawdopodobie'stwie, a w miar# wzrostu 1 ro$nie
równie" S. St d
2S 3 0
To jest czwarte sformu!owanie drugiej zasady termodynamiki. Poka"my, "e pozosta!e
sformu!owania s mu równowa"ne.
2S = S2 $ S1 = kln12 $ kln11
2S = kln(12/11)
Rozpatrzmy teraz swobodne rozpr#"anie gazu od obj#to$ci V1 do obj#to$ci ko'cowej
V2.
Wzgl#dne prawdopodobie'stwo znalezienia jednej cz stki w V1 w porównaniu do V2
jest
2
1
.12
1
V
V
cz
#%%&
'(()
*
11
Dla N cz stek stosunek prawdopodobie'stw
N
NczV
V%%&
'(()
*#%%
&
'(()
*
2
1
.2
1
11
Otrzymujemy wi#c
2S =Nkln(V2/V1)
Podzielmy i pomó"my równanie przez T; otrzymamy wtedy
17-7
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
T
V
VNkT
S 1
2ln
#2
Wyra"enie w liczniku jest równe ilo$ci ciep!a 2Q dostarczonego do uk!adu aby ten
przeszed! do stanu ko'cowego w sposób odwracalny (rozpr#"anie izotermiczne).
T
QS
T
QS
d
ddlub #
2#2 (17.7)
wi#c ostatecznie
+# T
QS
d (17.8)
gdzie dQ jest ciep!em dostarczanym do uk!adu w procesie odwracalnym.
Entropia S jest termodynamiczn& funkcj& zale'n& tylko od pocz&tkowego i ko%cowego
stanu uk"adu, a nie od drogi przej!cia pomi$dzy tymi stanami (termodynamiczna defini-
cja entropii).
Z tego punktu widzenia szczególnie interesuj ce s procesy adiabatyczne nie zwi -
zane z przep!ywem ciep!a pomi#dzy uk!adem i otoczeniem. W procesie adiabatycznym
dQ = 0, wi#c dla procesu odwracalnego dS = 0 na podstawie równania (17.8).
Oznacza to, "e entropia uk"adu izolowanego adiabatycznie, w którym zachodz& pro-
cesy odwracalne, jest sta"a. Jednocze$nie mo"na pokaza%, "e dla procesu adiabatyczne-
go nieodwracalnego, entropia uk"adu ro!nie.
Mo"na uogólni% zasad# wzrostu entropii na uk!ady nieizolowane adiabatycznie tzn.
takie, które wymieniaj ciep!o z otoczeniem. Traktujemy wtedy nasz uk!ad i otoczenie
razem jako jeden "wi#kszy" uk!ad ponownie izolowany adiabatycznie. Wtedy
0dd 3- oSS
gdzie dSo jest zmian entropii otoczenia. Zmienia si# wi#c entropia naszego uk!adu i
otoczenia. Je"eli proces jest odwracalny to podczas przenoszenia ciep!a dQ z otoczenia
do naszego uk!adu entropia otoczenia maleje o dQ/T, a entropia uk!adu ro$nie o t# sam
warto$% dQ/T, wi#c ca!kowita zmiana entropii jest równa zeru.
Zatem pos!uguj c si# entropi (zgodnie z drug zasad termodynamiki) mo"emy
stwierdzi% czy dany proces mo'e zachodzi# w przyrodzie.
Przyk!ad
Stosuj c wzór (17.8) mo"na pokaza%, np. "e ciep!o przep!ywa z cia!a gor cego do zim-
nego, a nie odwrotnie. Dwa identyczne cia!a o T1 i T2 kontaktujemy termicznie. Po
chwili temperatury wynosz odpowiednio T1 - dT1, T2 + dT2 wskutek przep!ywu ciep!a:
dQ1 = -mcdT1 i dQ2 = mcdT2
17-8
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
Poniewa" dQ1 = – dQ2 wi#c dT1 = – dT2 = dT
Zmiana entropii ka"dego z cia! jest równa
dS1 = – mcdT/T1 i dS2 = mcdT/T2
Wypadkowa zmiana entropii wynosi
dS = mcdT(1/T2 – 1/T1)
sk d zmiana temperatury
%%&
'(()
*
$#
21
21 dd
TT
S
mc
TTT
dS jest dodatnia wi#c dT ma taki sam znak jak (T1 – T2). Tak wi#c je"eli T1 > T2 to cie-
p!o przep!ywa z cia!a o T1 do cia!a o T2.
Przypu$%my, "e ten strumie' ciep!a dQ1 zosta! u"yty do nap#dzania silnika Carnota pra-
cuj cego pomi#dzy T1 i T2. Wówczas zgodnie z wyra"eniem na sprawno$%
1
21
1d
d
T
TT
Q
W $#
mo"na uzyska% prac# mechaniczn
STTT
QTW d11
dd 2
12
12 #%%&
'(()
*$#
Mo"na pokaza% ca!kiem ogólnie, "e je"eli w uk"adzie zamkni$tym zawieraj cym cia!a
o ró"nych temperaturach nast#puje wzrost entropii dS to towarzyszy temu strata energii
mechanicznej dW równa iloczynowi dS i temperatury najch!odniejszego cia!a.
Uwaga: mo"liwe jest lokalne zmniejszenie entropii, kiedy jednak bierze si# pod uwag#
wszystkie cz#$ci uk!adu (uk!ad zamkni#ty) to wypadkowa zmiana entropii b#dzie równa
zeru lub b#dzie dodatnia.
17.5 Stan równowagi, zjawiska transportu
17.5.1 Stan równowagi
Stan równowagi uk!adu to taki stan, w którym "aden z parametrów potrzebnych do
makroskopowego opisu uk!adu nie zale"y od czasu. Dla uk!adu jednorodnego (np. ga-
zu) w stanie równowagi wystarcza znajomo$% dwu podstawowych parametrów stanu
np. ci$nienie i obj#to$%.
Opis komplikuje si# gdy mamy uk!ad niejednorodny np. ciecz w równowadze z par .
Dla danej temperatury stan równowagi tego uk!adu jest mo"liwy przy ró"nych obj#to-
$ciach uk!adu (od obj#to$ci zale"y ilo$% fazy ciek!ej i gazowej). Natomiast temperatura i
17-9
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
ci$nienie przestaj by% niezale"ne. W ka"dej temperaturze równowaga jest mo'liwa tyl-
ko przy okre!lonym ci!nieniu (pary nasyconej). Przy wy"szym istnieje tylko ciecz, przy
ni"szym para. Podobnie ciecz i cia!o sta!e mog istnie% w równowadze tylko w tempera-
turze topnienia, która jest funkcj ci$nienia. Wreszcie cia!o sta!e wspó!istnieje w rów-
nowadze z par nasycon , której ci$nienie jest funkcj temperatury. Krzywe równowagi
pokazane na rysunku poni"ej.
Liter a oznaczona jest krzywa równowagi cia!o sta!e - ciecz (zwi zek temperatury top-
nienia z ci$nieniem). Krzywa a' przedstawia t# zale"no$% dla kilku nietypowych sub-
stancji, które przy topnieniu zmniejszaj obj#to$% np. lód.
p
T
aa'
b
b'
K
P
I II III
Krzywa b + b' pokazuje zale"no$% ci$nienia pary nasyconej od temperatury. Punkt P
nazywamy punktem potrójnym. Odcinek b' to krzywa równowagi cia!o sta!e – para, a
odcinek b krzywa równowagi ciecz – para. W punkcie potrójnym mog istnie% wszyst-
kie trzy stany skupienia. Dla wody odpowiada to ci$nieniu p = 4.57 mm Hg, T = 273.16
K (O 4C). Krzywa b ko'czy si# w punkcie krytycznym K powy"ej którego nie istnieje
ró"nica pomi#dzy gazem i ciecz . Dlatego "eby skropli% gaz trzeba obni"y% temperatur#
poni"ej temperatury krytycznej.
17.5.2 Zjawiska transportu
Dotychczas zajmowali$my si# w!a$nie uk!adami w stanie równowagi. Teraz zapo-
znamy si# z bardzo uproszczonym opisem zjawisk, które zachodz gdy uk!ad d "y do
takiego stanu. W zjawiskach tych mamy zawsze do czynienia z przenoszeniem (trans-
portem):
/0 materii
/0 energii
/0 p#du
/0 !adunku elektrycznego
Wszystkie te zjawiska transportu opisujemy w pierwszym przybli"eniu za pomoc rów-
nania ró"niczkowego, które przedstawia propagacj$ pewnej wielko!ci fizycznej 5 maj&-
c& na celu osi&gni$cie równowagi
x
Kj665
$# (17.8)
gdzie j jest g#sto$ci strumienia wielko$ci 5 (g#sto$% pr du), K jest sta! charakteryzu-
j c dan sytuacj# fizyczn . Sta! K wi "emy z w!a$ciwo$ciami mikroskopowymi rozpa-
17-10
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
trywanego uk!adu statystycznego, z tzw. wspó"czynnikami transportu. Wi " si# one
z no$nikami np. cz steczkami gazu, elektronami w metalu.
/0 Dyfuzja w gazie czyli przenoszenie cz stek w kierunku obszarów o mniejszej kon-
centracji n (d&'enie do wyrównania koncentracji). Równanie dyfuzji
gradnDx
nDjD $#$#66
gdzie jD g#sto$% strumienia cz stek, n - koncentracja cz stek. Równanie to znane jest
pod nazw prawa Ficka.
Wspó!czynnik dyfuzji (dla rozrzedzonego gazu)
"v3
1#D
/0 Przewodnictwo cieplne czyli transport energii, wskutek ruchu cz stek w kierunku
obszaru o ni"szej T (d&'enie do wyrównania temperatury).
Równanie (prawo Fouriera) ma posta%
gradTx
TjQ 7
66
7 $#$#
gdzie jQ jest g#sto$ci strumienia ciep!a, 7 jest wspó"czynnikiem przewodnictwa ciepl-
nego. Dla rozrzedzonego gazu
"7 Vcnv3
1#
/0 Lepko!# gazu polegaj ca na przenoszeniu p#du mi#dzy warstwami gazu o ró"nych
pr#dko$ciach (d&'enie do wyrównania pr$dko!ci).
Równanie (prawo Newtona) ma posta%
gradux
uj p .
66
. $#$#
gdzie u jest pr#dko$ci (unoszenia) warstwy. Wspó"czynnik lepko!ci dla rozrzedzonego
gazu wynosi
". mnv3
1#
/0 Przewodnictwo elektryczne czyli przenoszenie !adunku elektrycznego w wyniku ru-
chu elektronów (d&'enie do wyrównania potencja"ów elektrycznych). Równanie (prawo
Ohma) ma posta%
17-11
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
gradV 8
$### EEj1
gdzie przewodno!# elektryczna jest dana wyra"eniem
vm
nq
m
nq "9
22
##
Uwaga: wszystkie wspó!czynniki transportu zale" od temperatury (poprzez pr#dko$%
$redni , $redni drog# swobodn itd.)
17-12
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
Wyk ad 18
18. Si a elektrostatyczna
18.1 Wst p
Oddzia!ywanie elektromagnetyczne - chyba najwa"niejsze w fizyce. Pozwala wyja-#ni$ nie tylko zjawiska elektryczne ale te" si!y zespalaj ce materi% na poziomie ato-mów, cz steczek. Przewodniki i izolatory. Do#wiadczenie z na!adowaniem pr%ta meta-lowego i pr%ta szklanego. Zdolno#$ izolacyjna stopionego kwarcu jest 1025 razy wi%ksza ni" miedzi.
18.2 !adunek elektryczny
Porównajmy si!% grawitacyjn pomi%dzy elektronem i protonem w atomie wodoru F = 3.61·10-47 N z si!a elektryczn pomi%dzy nimi w tym samym atomie F = 2.27·10-8 N. To, "e si!y grawitacyjne dla "du"ych" cia! dominuj wynika st d, "e liczby protonów i
elektronów s równe.
Nie istnieje, "aden zwi zek mi%dzy mas i !adunkiem.
W przeciwie&stwie do masy !adunki "+" lub "-".
18.2.1 Kwantyzacja adunku
'adunek elementarny e = 1.6·10-19
C. Wszystkie adunki s! wielokrotno"ci! e.
18.2.2 Zachowanie adunku
Zasada zachowania !adunku - B. Franklin. Wypadkowy adunek w uk adzie zamkni#-
tym jest sta y.
18.3 Prawo Coulomba
Si!a oddzia!ywania dwóch !adunków q1 i q2
2
21
r
qqkF (18.1)
gdzie sta!a 04
1
!" k . Wspó!czynnik "0 = 8.854·10
-12 C
2/(Nm
2) nosi nazw% przenikalno-
"ci elektrycznej pró$ni. W uk!adzie cgs k = 1.
18.3.1 Zasada superpozycji
Si # wypadkow! (tak jak w grawitacji) obliczamy dodaj!c wektorowo si y dwucia o-
we.
Przyk ad 1
18-1
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
Dipol elektryczny sk!ada si% z dwóch !adunków oddalonych od siebie l. Jaka si!a
jest wywierana na !adunek q umieszczony tak jak na rysunku?
+Q -Q l
q F
F2
F1
r r
Z podobie&stwa trójk tów
r
l
F
F
1
St d
3321r
pqk
r
Qlqk
r
Qqk
r
lF
r
lF #
$
%&'
(
gdzie p = Ql jest momentem dipolowym.
18.4 Pole elektryczne
W wyk!adzie 6 zdefiniowali#my nat%"enie pola grawitacyjnego w dowolnym punk-
cie przestrzeni jako si!% grawitacyjn dzia!aj ca na mas% m umieszczon w tym punkcie
przestrzeni podzielon przez t% mas%.
Analogicznie definiujemy nat#$enie pola elektrycznego jako si # dzia aj!c! na adunek
próbny q (umieszczony w danym punkcie przestrzeni) podzielon! przez ten adunek.
Aby zmierzy$ nat%"enie pola elektrycznego E w dowolnym punkcie P, nale"y w tym
punkcie umie#ci$ !adunek próbny i zmierzy$ wypadkow si!% elektryczn F dzia!aj c
na ten !adunek. Nale"y upewni$ si% czy obecno#$ !adunku q nie zmienia po!o"e& innych
!adunków. Wtedy
q
FE (18.2)
'adunek próbny jest dodatni (umowa). Kierunek E jest taki sam jak F (na !adunek do-
datni).
Przyk ad 2
Ten sam uk!ad co poprzednio tylko w punkcie P nie ma "jakiego#" !adunku tylko
tam umie#cimy !adunek próbny. Korzystaj c z otrzymanej zale"no#ci obliczamy E
3
3
r
pk
q
r
pkq
E #$
%&'
(
18-2
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
Pole E w punkcie P jest skierowane w prawo.
+Q -Q l
F
F2
F1
r r
P
Pole E w odleg!o#ci r od !adunku punktowego Q jest równe
rr
Qkr
r
Qqk
qqˆˆ
1122
#$
%&'
( FE
Pole elektryczne od n !adunków punktowych jest równe sumie wektorowej pól elek-
trycznych
)
n
i
i
i
i rr
Qk
12
ˆE
Przyk ad 3
Ca!kowity !adunek na!adowanego pier#cienia o promieniu R wynosi Q. Jakie jest
pole elektryczne na osi pier#cienia w odleg!o#ci x0 od #rodka?
R
x0
r
P
dE
dEx
*
Pole wytwarzane przez element dl pier#cienia jest równe
dEx = dE(cos*)
cos* = x0/r
Je"eli + = Q/2!R jest liniow g%sto#ci !adunku to
2
dd
r
lkE+
oraz
r
x
r
lkEx
0
2
dd
+
18-3
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
St d
2
3
22
0
0
3
0
3
0
)(
)2(d
Rx
QkxR
r
xkl
r
xkEE x
,
- !++
Zwró$my uwag%, "e w #rodku pier#cienia (x0 = 0) E = 0, a dla x0 >> R pole E . kQ/x02
i jest takie samo jak pole !adunku punktowego w tej odleg!o#ci.
Jedn z zalet pos!ugiwania si% poj%ciem pola elektrycznego jest to, "e nie musimy
zajmowa$ si% szczegó!ami (ród!a pola. Np. pole E = kQ/r2 mo"e pochodzi$ od wielu
(róde!.
18.4.1 Linie si
Kierunek pola E w przestrzeni mo"na przedstawi$ za pomoc tzw. linii si . Linie nie
tylko pokazuj kierunek E ale te" jego warto#$ (liczba linii na jednostk% powierzchni).
Je"eli liczb% linii przechodz cych przez powierzchni% /S oznaczymy /0 to wówczas
/0 = E /S = E/S cos*
gdzie * jest k tem pomi%dzy wektorem powierzchni /S i wektorem E.
W ogólno#ci wi%c
d0 = dE ds (18.3)
i jest to definicja strumienia elektrycznego.
Ca!kowity strumie& przechodz cy przez powierzchni% S mo"na obliczy$ jako sum%
przyczynków od elementów powierzchni
) / iapowierzchn
SE0
Suma ta przedstawia ca!k% powierzchniow
- S
SE d0 (18.4)
Obliczmy teraz strumie& dla !adunku punktowego w odleg!o#ci r od niego.
W tym celu rysujemy kul% o promieniu r wokó! !adunku Q i liczymy strumie& (liczb%
linii przez powierzchni%).
0
2
2
2 4)4()4("
!!!0Q
kQrr
QkrE #
$
%&'
( (18.5)
Otrzymany strumie& nie zale"y od r, a zatem strumie& jest jednakowy dla wszystkich r.
Ca!kowita liczba linii wychodz cych od !adunku jest równa Q/"0 i linie te ci gn si% do
niesko&czono#ci.
18-4
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
Poniewa" pokazali#my, "e strumie& jest taki sam przez ka"d powierzchni% niezale"nie
od r wi%c jest to prawd dla zamkni%tej powierzchni o dowolnym kszta!cie (która ota-
cza !adunek Q).
Taka powierzchnia nazywa si% powierzchni! Gaussa.
18.5 Prawo Gaussa.
Niech zamkni%ta powierzchnia obejmuje dwa !adunki Q1 i Q2. Ca!kowita liczba linii
si! przecinaj ca powierzchni% zamkni%t wokó! !adunków Q1 i Q2 jest równa
-- - - , , SESESEESE ddd)(d 1121µ kca0
gdzie E1 jest wytwarzane przez Q1, a E2 przez Q2. Powo!uj c si% na wcze#niejszy wynik
otrzymujemy
0ca k = (Q1/"0) + (Q2/"0) = (Q1 + Q2)/"0
Ca!kowita liczba linii si! jest równa ca kowitemu adunkowi podzielonemu przez "0. Po-
dobnie mo"na pokaza$ dla dowolnej liczby n !adunków.
Otrzymujemy wi%c prawo Gaussa
0
..4d
"! wewn
wewn
QkQ - SE (18.6)
Strumie& pola wychodz cy z na!adowanego cia!a jest równa wypadkowemu !adunkowi
podzielonemu przez "0. Je"eli Q jest ujemne strumie& wp!ywa do cia!a.
Linie mog zaczyna$ si% i ko&czy$ tylko na !adunkach a wsz%dzie indziej s ci g!e.
A co w sytuacji gdy na zewn trz zamkni%tej powierzchni s !adunki?
Rozwa"my zamkni%t powierzchni% (rysunek) wewn trz której Qwewn. = 0, a linie si!
pochodz od !adunku na zewn trz.
c
b
a
d
18-5
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
Ca!kowity strumie& dzielimy na cz%#ci
0ca k = 0ab + 0bc + 0cd + 0da
Z rysunku wida$, "e 0ab = +2, 0bc = +3, 0cd = -7, 0da = +2. Tak wi%c
0ca k = +2 + 3 - 7 + 2 = 0
Na nast%pnym wyk!adzie zastosujemy prawo Gaussa do obliczania E dla ró"nych na!a-
dowanych cia!.
18-6
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
Wyk ad 19
19. Elektrostatyka I
19.1 Wst p
Wi"kszo#$ cia! sta!ych mo%na podzieli$ na przewodniki i izolatory. W izolatorze nadmiarowy !adunek mo%e by$ rozmieszczony w ca!ej obj"to#ci natomiast w przewod-nikach swobodne elektrony b"d si" zbiera!y na powierzchni dopóty, dopóki nie wy-tworzy si" pole równowa% ce pole zewn"trzne. Rozpatrzmy dowolny w kszta!cie przewodnik. Wybierzmy powierzchni" zamkni"t tu% poni%ej powierzchni przewodnika.
S
Zastosujmy prawo Gaussa do tej powierzchni
0
.d wewnQ
!" SE
Wewn trz przewodnika w dowolnym punkcie powierzchni S pole musi by$ równe zeru, bo inaczej elektrony porusza!yby si" czyli
0d !" SE
Zatem 0 = Qwewn./ 0
St d Qwewn. = 0
Tak wi"c !adunek wewn trz dowolnej zamkni"tej powierzchni (przewodnika) musi by$ równy zeru; ca!y !adunek gromadzi si" na powierzchni.
19-1
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
19.2 Kuliste rozk!ady !adunków
19.2.1 Jednorodnie na adowana sfera
Rozpatrzmy jednorodnie na!adowan powierzchni" kulist .
r
R
+Q
W dowolnym punkcie sfery E ## S (prostopad!e do powierzchni) wi"c
" ! )4(d 2rE $SE
Zgodnie z prawem Gaussa:
E(4$r2) = Q/ 0
czyli
2204
1
r
Qk
r
QE !!
$ (19.1)
dla r > R (tak jakby ca!y !adunek skupiony by! w #rodku sfery). Dla r < R, E = 0.
19.2.2 Jednorodnie na adowana kula
Przewodniki - równowa%ne sferze bo !adunek na powierzchni. Izolator - równowa%ny szeregowi wspó!#rodkowych sfer.
2.
r
QkE wewn!
gdzie Qwewn. = Q(r3/R3) (stosunek obj"to#ci kuli o promieniu r do obj"to#ci kuli o pro-mieniu R, rysunek).
R
r
Q
Qwewn
19-2
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
%%&
'##(
)!
3
32 4)4(
R
rQkrE $$
Czyli
rR
QkE
3! (19.2)
Wykres E w funkcji odleg!o#ci od #rodka jednorodnie na!adowanej kuli jest pokazany poni%ej.
kQ2/R
2
R
E
r
Przyk ad 1
Atom wodoru traktujemy jako sztywn jednorodnie na!adowan kul" o promieniu R = 10-10 m, ca!kowitym !adunku Q = e = -1.6·10-19 C i masie me = 9.1·10-31 kg. Proton znajduj cy si" w #rodku chmury elektronowej (stan podstawowy) zostaje przemiesz-czony o ma! odleg!o#$ x0 i puszczony swobodnie. Jaka b"dzie cz"stotliwo#$ drga& ja-kie elektron i proton b"d wykonywa!y wokó! ich po!o%e& równowagi?
R
x0
chmura
elektronowa
proton
Si!a przywracaj ca proton do po!o%enia równowagi F = eE czyli
xR
ekF
3
2
*!
lub
xR
ek
t
xme 3
2
2
2
d
d*!
19-3
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
Powinni#my si" pos!ugiwa$ raczej mas zredukowan + =Mpme/(MP + me) ale me << Mp wi"c + , me. Zgodnie z równaniem dla ruchu harmonicznego
3
2
Rm
ke
e
!-
$-2
!f = 2.5·1015 Hz
Ta cz"stotliwo#$ jest bliska promieniowaniu wysy!anemu przez atom wodoru w pierw-szym stanie wzbudzonym czyli, %e taki model jest uzasadniony.
19.2.3 Liniowe rozk ady adunków
Liczymy pole E w odleg!o#ci r od jednorodnie na!adowanego pr"ta (drutu) o d!ugo-#ci l >> r.
L
r
+ + +
Wprowadzamy liniow g"sto#$ !adunku . (!adunek na jednostk" d!ugo#ci). Jako powierzchni" Gaussa wybieramy walec (mo%emy wybiera$ dowolnie). Z prawa Gaussa
" !! )(4d0
LkL
.$ .
SE
E jest równoleg!e do wektora S i ma tak sam warto#$ w ka%dym punkcie powierzchni wi"c
2$rLE = 4$kL.
rr
kE
02
2
$ ..
!! (19.3)
Teraz pole wewn trz. Wybieramy powierzchni" Gaussa o promieniu r < R. 'adunek wewn trz powierzchni Gaussa Qwewn. = /$r
2L, gdzie / - g"sto#$ obj"to#ciowa
!adunku. Z prawa Gaussa otrzymujemy
E(2$rL) = 4$k(/$r2L)
19-4
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
E = 2k/$r
poniewa% . = /$R
2 wi"c
rR
rR
kE
20
2 2
2
$ ..
!! (19.4)
19.2.4 P askie rozk ady adunków
Obliczamy pole od niesko&czonej jednorodnie na!adowanej p!aszczyzny.
E E
'adunek otoczony przez powierzchni" Gaussa jest równy Qwewn. = 0S, gdzie 0 jest g"-sto#ci powierzchniow , a S powierzchni podstawy walca. Z prawa Gaussa
2ES = 0S/ 0 gdzie czynnik 2 odpowiada dwóm podstawom walca. Ostatecznie otrzymujemy E = 0/2 0 (19.5) Wiele zastosowa& dotyczy uk!adu dwóch, p!askich równoleg!ych p!yt (kondensator p!a-ski).
Pole wytwarzane przez p!yt" "po lewej stronie" (rysunek poni%ej) jest równe Eminus = 0/2 0 i skierowane ku p!ycie. Pole wytwarzane przez p!yt" po prawej Eplus = 0/ 0 i skierowane jest od p!yty.
19-5
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
+
+
+
+
+
+
+
+
-
-
-
-
-
-
-
-
I II III
Zatem w obszarze I
EI = 0/2 0 + (– 0/2 0) = 0
w obszarze II
EII = –0/2 0 + (– 0/2 0) = –0/ 0
w obszarze III
EIII = (– 0/2 0) + 0/2 0 = 0
19.2.5 Powierzchnia przewodnika
Je%eli przedstawiona na rysunku na!adowana powierzchnia stanowi cz"#$ po-
wierzchni przewodnika to poniewa% ca!y !adunek gromadzi si" na zewn"trznej po-
wierzchni to wewn trz E = 0. Co wi"cej E musi by$ prostopad!e do powierzchni (rów-
noleg!e do S) bo gdyby istnia!a sk!adowa styczna to elektrony porusza!yby si".
Z prawa Gaussa wynika, %e
ES = (0S)/ 0
wi"c
E = 0/ 0 (19.6)
na powierzchni przewodnika.
19.3 Potencja! elektryczny
Zgodnie z naszymi rozwa%aniami ró%nica energii potencjalnych jest dana przez
"*!*B
A
pApB EE rF d
co dla pola elektrycznego daje
"" *!*!*B
A
B
A
pApB qEE rErF dd (19.7)
Podobnie jak dla grawitacyjnej energii potencjalnej mo%emy zdefiniowa$ punkt zerowej
energii potencjalnej dla cia!a znajduj cego si" w niesko&czono#ci. Wtedy
19-6
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
"1
*!r
p qrE rE d)(
Je%eli przenosimy !adunek q z niesko&czono#ci do punktu odleg!ego o r od innego !a-
dunku punktowego Q, to energia potencjalna jest równa pracy wykonanej przeciw sile
elektrycznej, czyli
"1 1
1 23
456
7**!*!!r r
rpr
qQkrr
QkqWrE
1d)(
2
r
qQkrE p !)( (19.8)
jest energi! potencjaln! !adunków q i Q.
Potencja elektryczny jest definiowany jako energia potencjalna na jednostkowy adu-
nek
q
W
q
rErV rp 1!!
)()( (19.9)
Dla !adunku punktowego
r
QkV ! (19.10)
Potencja = praca potrzebna do przeniesienia jednostkowego !adunku z niesko&czono#ci
do r od !adunku punktowego Q.
Ró"nica potencja ów czyli napi#cie U pomi"dzy dwoma punktami = praca na przenie-
sienie !adunku jednostkowego mi"dzy tymi punktami
"*!!!*B
A
ABAB WUVV rE d (19.11)
19-7
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
Wyk ad 20
20. Elektrostatyka II
20.1 Obliczanie potencja u
Rozwa"my np. ró"nic# potencja!ów (napi#cie) pomi#dzy $rodkiem i powierzchni
na!adowanej pow!oki kulistej.
Poniewa" E = 0 (wzd!u" drogi ca!kowania) wi#c tzn. w $rodku
i na powierzchni jest ten sam potencja!.
0d ! ! "B
A
AB VV rE
Z powy"szego wzoru wynika, "e
r
VE
d
d! (20.1)
Przyk ad 1
Obliczy% potencja! V i pole E w odleg!o$ci r od dipola ustawionego wzd!u" osi x.
Moment dipolowy p = qL i dodatkowo r >> L.
L
-q +q
#
r
P y
x
Je"eli r >> L to punkt P jest odleg!y od !adunku +q o:
r – (1/2)Lcos#
oraz od –q o:
r + (1/2)Lcos#
Ca!kowity potencja! jest sum
#
#
## 22
2 cos4
cos
cos2
1
)(
cos2
1 Lr
qLk
Lr
qk
Lr
qkV
!
$
!$
!
20-1
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
Dla r >> L otrzymujemy ostatecznie
32
cos
r
xkp
r
pkV %
#
)1cos3( 2
3! ! #
&&
r
kp
x
VEx
##&&
sincos33r
kp
y
VE y !
Teraz rozpatrzmy pole i ró"nic# potencja!ów dla dwóch przeciwnie na!adowanych p!yt
o polu powierzchni S znajduj cych si# w odleg!o$ci d od siebie. Je"eli !adunki na p!y-
tach wynosz odpowiednio +Q i –Q to g#sto$ci !adunków wynosz Q/S i –Q/S.
'V = – Ed
Zgodnie z naszymi obliczeniami
'V = (d/)0
S
QdV
0) ' (20.2)
Na zako&czenie zaznaczmy, "e powierzchnia ka"dego przewodnika jest powierzchni
sta!ego potencja!u (powierzchni! ekwipotencjaln!).
20.2 Pojemno!"
Kondensator - uk!ad przewodników, który mo"e gromadzi% !adunek elektryczny.
Definicja pojemno"ci
U
Q
V
QC
' (20.3)
Jednostka farad. 1F = 1C/1V.
Powszechnie stosuje si# *F, nF, pF.
Dla kondensatora p!askiego na podstawie (20.3) i (20.2)
d
S
U
QC 0) (20.4)
20-2
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
20.3 Energia pola elektrycznego
Pocz tkowo nie na!adowany kondensator !aduje si# od 0 do napi#cia U. Wtedy !a-
dunek wzrasta od 0 do Q, gdzie Q = CU.
Praca zu"yta na przeniesienie !adunku dq z ok!adki "–" na "+" wynosi
dW = Udq
Ca!kowita praca wynosi wi#c
C
C
qqUW
QQ 2
002
1dd +,
-./
0 "" (20.5)
Dla kondensatora p!askiego
ESQczyliS
QE 0
0
, ))
Podstawiamy to do wzoru na energi# i otrzymujemy
1 2C
ESW
2
2
0)
Podstawiaj c wyra"enie na C dostajemy
SdE
W2
2
0)
Sd - obj#to$% kondensatora, wi#c g#sto"$ energii w = W/Sd
2
02
1Ew ) (20.6)
Je%eli w jakim" punkcie przestrzeni jest pole E to mo%emy uwa%a$, %e jest tam zmagazy-
nowana energia w ilo"ci2
02
1E) na jednostk# obj#to"ci.
20.4 Dielektryki
Rozwa"ali$my pole elektryczne od przewodników w pró"ni.
Stwierdzamy, "e umieszczenie materia!u nieprzewodz!cego (dielektryka) mi#dzy ok!ad-
kami kondensatora powoduje zwi#kszenie pojemno$ci od warto$ci C do warto$ci C'.
C
C ' 3
gdzie 3 jest wzgl#dn! przenikalno"ci! elektryczn! (sta! dielektryczn ).
20-3
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
20.4.1 Dielektryki, pogl!d atomistyczny
Dwie mo"liwo$ci:
45 cz steczki polarne np. H2O maj ce trwa!e momenty dipolowe p
45 cz steczki (atomy) maj indukowany (przez zewn#trzne pole E) moment dipolowy
(przyk!ad z atomem wodoru - Wyk!ad 19).
Przyk ad 2
Atom wodoru umieszczony w zewn#trznym polu E0.
Si!a F = – eE0 przesuwa chmur# elektronow o x0 wzgl#dem rdzenia (protonu). Wów-
czas atom ma moment indukowany p = ex0.
Pole w miejscu protonu
E = E0 + Echmura
030 xR
keEE !
Poniewa" proton (rdze&) w po!o"eniu równowagi wi#c E = 0, sk d dostajemy
0
3
0 Eek
Rx
Indukowany moment dipolowy jest zatem równy
0
3
0 Ek
Rexp
Elektryczne momenty dipolowe p d " do ustawienia zgodnie z kierunkiem pola, a
momenty indukowane s równoleg!e do pola. Materia! w polu E zostaje spolaryzowany
(rysunek).
- + - + - + - +
- + - + - + - +
- + - + - + - +
- + - + - + - +
- + - + - + - +
-
-
-
-
-
-
-
-
-
+
+
+
+
+
+
+
+
+
W rezultacie dodatni !adunek gromadzi si# na jednej, a ujemny na drugiej powierzchni
dielektryka. Wewn trz nie pojawia si# "aden !adunek. Indukowany adunek powierzch-
20-4
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
niowy q' pojawia si# wi#c gdy dielektryk umie$cimy w polu elektrycznym.
Wybieramy powierzchni# Gaussa (linia przerywana).
ES=(q – q')/)0
E = (q – q')/()0S)
Pojemno$% takiego kondensatora
Cqq
q
d
S
q
Ed
q
V
qC
''' 0
!
!
)
Dziel c przez C otrzymamy
'
'
q
C
C
! 3
20.4.2 Dielektryki - rozwa"ania ilo#ciowe.
Je"eli ka"da cz steczka ma $redni moment dipolowy p skierowany zgodnie z po-
lem E i je"eli w dielektryku jest N cz steczek to ca!kowity moment dipolowy pca k =
N p
Z drugiej strony !adunek (indukowany) jest na powierzchni wi#c
pca k = q'd
' cz c te wyra"enia
q'd = N p
q'd = (nSd) p
gdzie n jest ilo$ci cz steczek w jednostce obj#to$ci.
q' = nS p
Podstawiamy to do wzoru na 3
pnSq
q
q
!
!
'3
Obliczyli$my, "e
0
3
0 Ek
Rexp
20-5
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
Podstawiaj c E = (q – q')/()0S)
S
qqR
S
k
Rp
'4
)'( 3
0
3 !
! 6
)
Wstawiaj c to do wyra"enia na 3
3666
31
41
1
'41
1
'4 333 nR
q
qqnRS
S
qqnRq
q
!
!!
!
!
Obliczamy 3
3 = 1 + 46nR3
20.5 Trzy wektory elektryczne
Przypomnijmy, "e: E0 = q/)0S
Pokazali$my, "e wprowadzenie dielektryka zmniejsza pole elektryczne (indukowany
!adunek daje pole przeciwne do E0)
E = (q – q')/()0S) lub E = E0/3 = q/()0S3)
' cz c te równania dostajemy
S
q
S
q
S
q
000
'
))3)!
Mno" c przez )0 i przenosz c wyrazy otrzymujemy
S
q
S
q
S
q '
0
0 $ 3)
)
Przepisujemy to równanie w postaci
D = )0E + P (20.8)
D, E, P s wektorami odpowiednio: indukcji elektrycznej, nat#%enia pola, polaryzacji.
Na rysunku pokazane s odpowiednie wektory.
D - !adunek swobodny
)0E - wszystkie !adunki
P - !adunek polaryzacyjny
20-6
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
+ + + + + + + + + + +
- - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - -
+ + + + + + + + + + +
D )0E P
20-7
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
Wyk ad 21
21. Pr!d elektryczny i pole magnetyczne
21.1 Pr d elektryczny
Nat !enie pr"du elektrycznego
t
QI (21.1)
Jednostka: 1 amper, 1A.
G sto#$ pr"du elektrycznego
S
Ij (21.2)
W nieobecno"ci zewn#trznego pola elektrycznego elektrony poruszaj si# chaotycz-
nie we wszystkich kierunkach. W zewn#trznym polu E uzyskuj wypadkow (sta! z
za!o$enia) pr dko#$ unoszenia vu.
Je$eli n jest koncentracj elektronów to ilo"% !adunku Q jaka przep!ywa przez przewod-
nik o d!ugo"ci l w czasie t = l/vu wynosi
Q = nSle
l
S
Tak wi#c nat#$enie pr du wynosi
u
u
nSel
nSle
t
QI v
v
(21.3)
a g#sto"% pr du
uuneS
Ij vv ! (21.4)
gdzie ! jest g#sto"ci !adunku.
UMOWA: kierunek pr du = kierunek ruchu !adunków dodatnich.
21-1
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
Przyk%ad 1
Pr d o nat#$eniu 1A p!ynie w drucie miedzianym o przekroju 1 mm2. Jaka jest "rednia
pr#dko"% unoszenia elektronów przewodnictwa ? Masa atomowa miedzi " = 63.8
g/mol, a g#sto"% ! = 8.9 g/cm3.
Z równania na nat#$enie pr du otrzymujemy
nSe
Iu v
Zak!adamy, $e na jeden atom przypada 1 elektron przewodnictwa (Cu+1
). Mo$emy wi#c
obliczy% koncentracj# no"ników
"! AvN
n
n = 8.4·1028
atom/m3
Wstawiaj c do równania na pr#dko"% otrzymujemy
vu = 7.4·10-5
m/s = 0.074 mm/s
Pr dy mog te$ p!yn % w gazach i cieczach. Lampy jarzeniowe s przyk!adem wyko-
rzystania przep!ywu pr du w gazach. W gazach pr d jest wynikiem ruchu nie tylko
elektronów ale i jonów dodatnich. Jednak l$ejsze elektrony s znacznie szybsze i ich
wk!ad do pr du jest dominuj cy. W zderzeniu elektronu z jonem lub atomem gazu
energia mo$e zosta% zaabsorbowana przez atom, a nast#pnie wypromieniowana w po-
staci promieniowania elektromagnetycznego w tym równie$ widzialnego.
21.2 Prawo Ohma
Je$eli do przewodnika przy!o$ymy ró$nic# potencja!ów V, to przez przewodnik p!ynie
pr d I. Na pocz tku XIX wieku Ohm zdefiniowa! opór przewodnika jako napi#cie po-
dzielone przez nat#$enie pr du
I
U
I
VR
# (21.5)
Jest to definicja oporu. Ten stosunek jest sta!y pod warunkiem, $e utrzymuje si# sta%"
temperatur .
Jednostk" oporu (SI) jest 1 (Ohm) 1$.
21.2.1 Wyprowadzenie prawa Ohma
Bez pola elektrycznego pr#dko"% ruchu chaotycznego u (nie powoduje przep!ywu
pr du). Pr#dko"% u jest zwi zana ze "redni drog swobodn % i "rednim czasem po-
mi#dzy zderzeniami #t zale$no"ci : u = %/#t.
21-2
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
Je$eli przy!o$ymy napi#cie to na ka$dy elektron b#dzie dzia!a!a si!a F = eE i po czasie
#t ka$dy elektron osi gnie pr#dko"% unoszenia vu = #u dan II zasad Newtona
eEt
um ##
St d
m
teEu u
# # v
Podstawiaj c #t = %/u otrzymujemy
mu
Eeu
% v (21.6)
Pr#dko"% unoszenia ma ten sam kierunek (przeciwny do E) dla wszystkich elektronów.
Przy ka$dym zderzeniu elektron traci pr#dko"% unoszenia.
&rednia droga swobodna % jest tak ma!a, $e vu jest zawsze mniejsza od u.
Obliczamy teraz nat#$enie pr du wstawiaj c wyra$enie na vu do wyra$enia (21.3) na
nat#$enie I.
mu
SEnenSeI u
%2
v
Dla elementu przewodnika o d!ugo"ci l (rysunek) obliczymy opór korzystaj c z faktu,
$e napi#cie U = El.
Z prawa Ohma
Sne
mul
I
El
I
UR
%2 (21.7)
R jest proporcjonalny do d!ugo"ci przewodnika i odwrotnie proporcjonalny do przekro-
ju. Zauwa$my, $e R pozostaje sta!y tak d!ugo jak d!ugo u jest sta!e, a u zale$y tylko od
temperatury (patrz wyk!ad 15).
Równanie (21.7) przepiszmy w postaci
S
lR ! (21.8)
Sta! ! nazywamy oporem w%a#ciwym.
Typowa zale$no"% oporu od temperatury dla przewodników metalicznych jest poka-
zana na rysunku na nast#pnej stronie.
Z dobrym przybli$eniem jest to zale$no"% liniowa ! ~ T za wyj tkiem temperatur bli-
skich zera bezwzgl#dnego. Wtedy zaczyna odgrywa% rol# tzw. opór resztkowy !0 za-
le$ny w du$ym stopniu od czysto"ci metalu. Istniej jednak metale i stopy, dla których
obserwujemy w dostatecznie niskich temperaturach ca!kowity zanik oporu. Zjawisko to
nosi nazw# nadprzewodnictwa.
21-3
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
!0
0T
!
Pr dy wzbudzone w stanie nadprzewodz cym utrzymuj si# w obwodzie bez zasilania
zewn#trznego. Ta mo$liwo"% utrzymania stale p!yn cego pr du rokuje du$e nadzieje na
zastosowania techniczne, które znacznie wzros!y po odkryciu w 1987 r materia!ów
przechodz cych w stan nadprzewodz cy w stosunkowo wysokich temperaturach, oko!o
100 K. Materia!y te nosz nazw# wysokotemperaturowych nadprzewodników a ich od-
krywcy Bednorz i Müller zostali wyró$nieni Nagrod Nobla.
21.3 Straty cieplne
Gdy elektron zderza si# z atomem traci nadwy$k# energii, któr uzyska! w polu
elektrycznym. Poniewa$ energia kinetyczna nie wzrasta, ca!a energia stracona przez
elektrony daje
dEcieplna = Udq
gdzie dq jest !adunkiem przep!ywaj cym(elektronów przewodnictwa).
Dziel c obie strony przez dt otrzymujemy
UIt
qU
t
E aciep d
d
d
d ln
P = UI (21.8)
przedstawia straty mocy elektrycznej.
21.3.1 Si a elektromotoryczna
Aby utrzyma% pr d potrzeba 'ród!a energii elektrycznej. Np. baterie, generatory.
Nazywamy je 'ród!ami si%y elektromotorycznej SEM. W takich 'ród!ach jeden rodzaj
energii jest zamieniany na drugi. SEM oznaczamy & i definiujemy
21-4
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
q
W & (21.9)
gdzie W jest energi elektryczn przekazywan !adunkowi q, gdy przechodzi on przez
'ród!o SEM.
21.4 Obwody pr du sta!ego
( czenie oporów:
'( szeregowe (ten sam pr d przez oporniki) Rz = R1 + R2 + .....
'( równoleg!e (to samo napi#cie na opornikach) 1/Rz = 1/R1 + 1/R2 + .....
21.4.1 Prawa Kirchoffa
'( Twierdzenie o obwodzie zamkni#tym: algebraiczna suma przyrostów napi $ w do-
wolnym obwodzie zamkni tym jest równa zeru. (Spadek napi#cia jest przyrostem
ujemnym napi#cia).
'( Twierdzenie o punkcie rozga!#zienia: algebraiczna suma nat !e& pr"dów przep%y-
waj"cych przez punkt rozga% zienia jest równa zeru.
Twierdzenie o obwodzie zamkni#tym jest wynikiem prawa zachowania energii, a twier-
dzenie o punkcie rozga!#zienia wynika z prawa zachowania !adunku.
Przyk%ad 2
Regulator napi#cia (rysunek).
I2
R2
&2
&1 R1
I1
I3
Opornik R1 ma napi#cie okre"lone przez &1 a pr d pobiera z &2.
W ka$dej ga!#zi obwodu trzeba z osobna przyj % kierunek pr du i jego nat#$enie.
Prawdziwy kierunek rozpoznamy po znaku obliczonego nat#$enia. Spadek napi#cia po-
jawia si# przy przej"ciu przez ka$dy opornik w kierunku zgodnym z pr dem. Przyrost
napi#cia pojawia si# przy przej"ciu przez 'ród!o od ")" do "+".
Zastosowanie I prawa Kirhoffa do "du$ej" p#tli daje
&2 – I2R2 – I3R1 = 0
21-5
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
a dla "ma!ej" p#tli
&1 – I3R1 = 0
Po odj#ciu stronami otrzymamy
&2 – &1 – I2R2 = 0
2
122
RI
&& )
Dla w#z!a
I1 + I2 – I3 = 0
sk d
2
2
21
1
2
12
1
1231
11
RRRRRIII
&&
&&&)**
+
,--.
/0
)) )
Zauwa$my, $e gdy dobra% warunki tak aby
2
2
21
1
11 R
RR
&&
**+
,--.
/0
to I1 = 0 i &1 nie daje $adnego pr du. Taki uk!ad ma wa$ne zastosowanie praktyczne.
Napi#cie 1& mo$e by% niskopr dowym ogniwem wzorcowym, mimo $e R1 mo$e pobie-
ra% du$y pr d (g!ównie z &2).
21.5 Pole magnetyczne
Do"wiadczalnie stwierdzamy, $e wyst#puje oddzia!ywanie:
'( magnesów naturalnych (Fe3O4)
'( oddzia!ywanie przewodników z pr dem na !adunki w ruchu (kineskop)
'( oddzia!ywanie przewodników z pr dem na siebie
'( magnesem jest sama Ziemia. Jej dzia!anie na ig!# kompasu jest znane od Staro$ytno-
"ci.
Te oddzia!ywania opisujemy wprowadzaj c poj#cie pola magnetycznego.
21.5.1 Si a magnetyczna
Pole grawitacyjne (nat#$enie) m
Fg
graw
Pole elektryczne (nat#$enie) q
FE elekt
Pole magnetyczne (indukcja) vq
FB
magn
(Si!a dzia!a na !adunki w ruchu i jest proporcjonalna do qv).
Jednostk B jest tesla; 1T = N/(Am)
21-6
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
Powy$szy wzór jest prawdziwy dla ruchu !adunku prostopadle do B ale si!a Fmagn
(si%a Lorentza) zale$y od kierunku v. Ta zale$no"% od kierunku jest zapisana poprzez
równanie wektorowe
BF 1 vqmagn (21.10)
gdzie kierunek definiuje si# z regu!y "ruby prawoskr#tnej (iloczyn wektorowy).
Zauwa$my, $e Fmagn jest zawsze prostopad%e do v. Zatem, zgodnie z twierdzeniem
o pracy i energii Fmagn nie mo$e zmieni% energii kinetycznej poruszaj cego si# !adunku
i !adunek kr $y po okr#gu. St d
BqR
m vv
2
qB
mR
v
jest promieniem okr#gu.
Si!a dzia!a na !adunki w ruchu wi#c dzia!a na ca!y przewodnik z pr dem.
F = evuB
BnSe
IeF
W przewodniku o d!ugo"ci l znajduje si# nSl elektronów, wi#c ca!kowita si!a
lBIBnS
IlnSF
Równanie w ogólnym przypadku ma posta%
BlF 1 I (21.11)
21.5.2 Dzia anie pola magnetycznego na obwód z pr!dem
Rozwa$ymy teraz dzia!anie pola magnetycznego na zamkni#ty obwód z pr dem.
Prostok tn ramk# o bokach a i b umieszczamy w jednorodnym polu magnetycznym
o indukcji B. Przez ramk# p!ynie pr d o nat#$eniu I, a normalna do p!aszczyzny ramki
tworzy k t 2 z polem B (rysunek).
Rozpatrujemy si!# dzia!aj c na ka$dy z boków. Si!y Fb dzia!aj ce na odcinki b zno-
sz si# wzajemnie. Si!y Fa dzia!aj ce na odcinki a te$ si# znosz ale tworz par# si! da-
j c wypadkowy moment si!y
21-7
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
2223 sinsinsin bFb
Fb
F aaa 0 22
lub wektorowo (na podstawie definicji iloczynu wektorowego)
bFô 1 a
Si!a Fa wynosi
IaBFa
wi#c
223 sinsin ISBIabB (21.12)
gdzie S = ab jest powierzchni ramki. Równanie (21.12) mo$emy zapisa% w postaci
wektorowej
BS" 1 I (21.13)
gdzie S jest wektorem powierzchni.
Wielko"%
Sì I (21.14)
nazywamy magnetycznym momentem dipolowym. Pole magnetyczne dzia!a wi#c na
ramk# z pr dem (dipol magnetyczny) momentem skr#caj cym obracaj"c j". Po!o$enie
równowagi ramki (dipola magnetycznego) wyst#puje dla 2 = 0 tj. gdy ramka jest usta-
wiona prostopadle do pola B. Przyk!adem dipola magnetycznego jest ig!a kompasu, któ-
ra umieszczona w polu magnetycznym obraca si# ustawiaj c zgodnie z polem.
Tak "ko!ow ramk z pr dem" jest równie$ elektron kr $ cy po orbicie w atomie.
Moment dipolowy elektronu kr $ cego po orbicie o promieniu r wynosi
21-8
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
)( 2rIe 4"
Nat#$enie pr du wytwarzanego przez elektron o !adunku e przebiegaj cy orbit# w cza-
sie T (okres obiegu) wynosi
r
e
T
e
t
qI
42v
gdzie v jest pr dko!ci" elektronu. St"d
Lm
erm
m
erer
r
ee
2)(
22)(
2
2 vvv
!!
"
gdzie L = mvr jest momentem p du elektronu. Elektron, kr"#"cy po orbicie jest wi c
elementarnym dipolem magnetycznym. W$asno!ci magnetyczne cia$ s" w$a!nie okre-
!lone przez zachowanie si tych elementarnych dipoli w polu magnetycznym. W$asno-
!ci te omówimy na dalszych wyk$adach.
Z momentem si$y dzia$aj"cym na dipol zwi"zana jest tzw. energia magnetyczna di-
pola Mo#na równie# pokaza%, #e ta energia wyra#a si wzorem
Em = - "B = - "Bcos#$$ (21.15)
$Zauwa#my, #e minimum energii odpowiada ustawieniu dipola w kierunku równoleg$ym
do pola magnetycznego B (# = 0).
21.5.3 Efekt Halla
Je#eli p$ytk metalu (lub pó$przewodnika) umie!cimy w polu magnetycznym, pro-
stopad$ym do kierunku przep$ywu pr"du, to na $adunki b dzie dzia$a$a si$a odchylaj"ca
powoduj"ca zakrzywienie torów $adunków w kierunku jednej ze !cianek bocznych
p$ytki. Niezale#nie czy pr"d jest zwi"zany z ruchem $adunków dodatnich czy ujemnych
mamy do czynienia z odchylaniem $adunków w kierunku jednej kraw dzi.
I y x
B
vu
vu
F
F
d
Przesuni cie $adunków powoduje powstanie poprzecznego pola elektrycznego Halla EH.
To pole przeciwdzia$a dalszemu przesuwaniu $adunków. Pole Halla jest dane wzorem
21-9
Z. K"kol-Notatki do Wyk$adu z Fizyki
d
UE
xy
H
W stanie równowagi odchylaj"ce pole magnetyczne jest równowa#one przez pole elek-
tryczne
qEH + q(vu % B) = 0
St"d
EH = – vu % B
Wynika st"d, #e je#eli zmierzymy EH i B to mo#emy znale&% vu.
Gdy vu i B s" prostopad$e to
EH = vuB
Poniewa#:
vu = j/ne
wi c
EH = (jB)/(ne) lub n = (jB)/(eEH)
Mo#emy wyznaczy% n.
Mo#na te# wykorzysta% ten efekt do pomiaru pola magnetycznego.
21-10
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
Wyk ad 22
22. Pole magnetyczne, indukcja elektromagnetyczna
22.1 Prawo Ampera
Chcemy teraz znale"# pole magnetyczne wytwarzane przez powszechnie wyst$puj -
ce rozk!ady pr dów, takich jak przewodniki prostoliniowe, cewki itd.
Pole magnetyczne prezentujemy graficznie rysuj c tzw. linie pola magnetycznego
czyli linie wektora indukcji magnetycznej. Na rysunku pokazane s linie pola magne-
tycznego wokó! prostoliniowego przewodnika z pr dem. Wektor B jest styczny do tych
linii pola w ka%dym punkcie.
Linie pola B wytwarzanego przez przewodnik s zamkni tymi wspó!&rodkowymi
okr$gami w p!aszczy"nie prostopad!ej do przewodnika. To, !e linie pola B s" zamkni te
stanowi fundamentaln" ró!nic mi dzy polem magnetycznym i elektrycznym, którego
linie zaczynaj" si i ko#cz" na $adunkach.
Zwrot wektora indukcji B wokó! przewodnika wyznaczamy stosuj c nast$puj c za-
sad$: Je%li kciuk prawej r ki wskazuje kierunek pr"du I, to zgi te palce wskazuj" kieru-
nek B (linie pola B kr % wokó! pr du).
'eby obliczy# pole B potrzeba nam "magnetycznego" odpowiednika prawa Gaussa.
Zwi zek mi$dzy pr dem i polem B jest wyra%ony poprzez prawo Ampera.
Zamiast sumowania (ca!ki) E po zamkni$tej powierzchni, w prawie Ampera sumujemy
(ca!kujemy) po zamkni$tym konturze (ca!k$ krzywoliniow ). Taka ca!ka dla pola E
równa!a si$ wypadkowemu !adunkowi wewn trz powierzchni, a w przypadku pola B
jest równa ca!kowitemu pr dowi otoczonemu przez kontur, co zapisujemy
! I0d "lB (22.1)
22-1
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
gdzie "0 = 4#·10-7
Tm/A, jest przenikalno%ci" magnetyczn" pró!ni. Tak jak w przypad-
ku prawa Gaussa wynik by! prawdziwy dla dowolnej powierzchni zamkni$tej tak dla
prawa Ampera wynik nie zale%y od kszta!tu konturu zamkni$tego
Przyk$ad 1
Obliczmy pole wokó! niesko(czenie d!ugiego prostoliniowego przewodnika w odleg!o-
&ci r od niego.
I
r
Z prawa Ampera wynika, %e dla konturu ko!owego
B2#r = "0I
St d
r
IB
#"2
0! (22.2)
22.2 Strumie magnetyczny
Tak jak liczyli&my strumie( dla pola E (liczb$ linii przechodz cych przez po-
wierzchni$ S) tak te% obliczamy strumie( pola B
!S
B sB d$ (22.3)
Poniewa! linie pola B s" zamkni te wi c strumie# przez zamkni t" powierzchni musi
by& równy zeru (tyle samo linii wchodzi co wychodzi).
!S
0d sB
22-2
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
22.3 Przyk!adowe rozk!ady pr"dów
22.3.1 Pr!t (przewodnik)
Na zewn trz pr$ta (r > R) znamy ju% pole B.
I
r
R
r
IB
#"2
0!
Pole to jest takie jakby ca!y pr d p!yn ! przez &rodek pr$ta (analogie do rozk!adu !adun-
ków).
Je%eli chcemy obliczy# pole wewn trz pr$ta to wybieramy kontur ko!owy o r < R.
Wewn trz konturu przep!ywa pr d i b$d cy tylko cz$&ci ca!kowitego pr du I
2
2
R
rIi
##
!
St d
B2#r = "0i
2
2
02R
rIrB
##
"# !
Czyli
2
0
2 R
IrB
#"
!
22.3.2 Cewka (solenoid)
Solenoidem nazywamy cewk$ sk!adaj c si$ z du%ej liczby zwojów. Linie pola ma-
gnetycznego solenoidu s pokazane schematycznie na rysunku poni%ej. Jak wida# pole
wewn trz solenoidu jest jednorodne, a na zewn trz praktycznie równe zeru.
22-3
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
Je%eli zwoje solenoidu stykaj si$ ze sob wówczas mo%emy rozpatrywa# solenoid jako
uk!ad po! czonych szeregowo pr dów ko!owych (rysunek).
Do obliczenia pola wytwarzanego przez solenoid zastosujemy prawo Ampera, dla kon-
turu pokazanego na rysunku poni%ej.
a b
c d
B
Ca!k$ po konturze zamknietym lB d przedstawimy jako sum$ czterech ca!ek
%%%!a
d
d
c
c
b
b
a
lBlBlBlBlB ddddd
Druga i czwarta ca!ka s równe zeru bo B & l. Trzecia ca!ka jest te% równa zero ale to
dlatego, %e B = 0 na zewn trz solenoidu. Tak wi$c niezerowa jest tylko ca!ka pierwsza
i równa
!b
a
hBlB d
gdzie h jest d!ugo&ci odcinka ab.
Teraz obliczmy pr d obejmowany przez kontur.
Je%eli cewka ma n zwojów na jednostk$ d!ugo&ci to wewn trz konturu jest nh zwojów
czyli ca!kowity pr d przez kontur wynosi:
I = I0nh
gdzie I0 jest pr dem przep!ywaj cym przez cewk$ (przez pojedynczy zwój).
22-4
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
Z prawa Ampera otrzymujemy wi$c:
Bh = "0I0nh
czyli
B = "0I0n (22.4)
22.3.3 Dwa przewodniki równoleg e
Dwa przewodniki równoleg!e umieszczone w odleg!o&ci d. P!yn w nich pr dy Ia i Ib
odpowiednio.
d
ia ib
F
Ba
l
a b
Przewodnik a wytwarza w swoim otoczeniu pole
d
IB a
a #"2
0!
W tym polu znajduje si$ przewodnik b, w którym przep!ywa pr d Ib. Na odcinek l tego
przewodnika dzia!a si!a
d
IIllBIF ba
abb #"
2
0!! (22.5)
Zwrot si!y wida# na rysunku.
To rozumowanie mo%na "odwróci#" zaczynaj c od przewodnika b. Wynik jest ten sam.
Fakt oddzia!ywania przewodników równoleg!ych wykorzystano przy definicji am-
pera. Za!ó%my, %e d = 1m oraz, %e Ia = Ib = I. Je%eli dobierzemy tak pr d aby si!a przy-
ci gania przewodników, na 1 m ich d!ugo&ci, wynosi!a 2·10-7
N to mówimy, %e nat$%e-
nie pr du jest równe 1 amperowi.
22-5
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
22.4 Prawo Biota-Savarta
Istnieje inne równanie, zwane prawem Biota-Savarta, które pozwala obliczy# B
z rozk!adu pr du. Oczywi&cie to prawo i prawo Ampera musz by# matematycznie rów-
nowa%ne. Prawo Ampera jest jednak "!atwe" w stosowaniu tylko gdy rozk!ady pr dów
s na tyle symetryczne, %e obliczenie odpowiedniej ca!ki nie jest trudne. Gdy rozk!ad
pr dów jest skomplikowany (nie znamy jego symetrii) to dzielimy pr dy na nie-
sko(czenie ma!e elementy (rysunek) i stosuj c prawo Biota-Savarta obliczamy pole od
takich elementów, a nast$pnie sumujemy je (ca!kujemy) %eby uzyska# wypadkowy
wektor B.
r
dl
I
'
dB
Warto&# liczbowa dB zgodnie z prawem Biota-Savarta wynosi
2
0 sind
4d
r
lIB
'#
"!
a zapisane w postaci wektorowej
3
0 d
4d
r
I rlB
(!
#"
(22.6)
Przyk$ad 2
Obliczmy pole B na osi ko!owego przewodnika z pr dem.
dB&
dBII
d
R x
r
)
I
Z prawa B -S otrzymujemy
2
0 90sind
4d
r
lIB
o
#"
!
oraz
22-6
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
)cosdd BBII !
Z tych równa( otrzymujemy
2
0
4
dcosd
r
lIBII #
)"!
Ponadto 22 xRr %!
oraz
22cos
xR
R
r
R
%!!)
Podstawiaj c otrzymujemy
lxR
IRBII d
)(4d
2322
0
%!
#"
Zauwa%my, %e wielko&ci I, R, x s takie same dla wszystkich elementów pr du.
Ca!kujemy, %eby obliczy# B (wy! czaj c sta!e czynniki przed znak ca!ki)
2322
2
0
2322
0
2322
0
)(2)2(
)(4d
)(4d
xR
IRR
xR
IRl
xR
IRBB II %
!%
!%
!! "
##
"#
"
Dla x >> R dostajemy
3
2
0
2x
IRB
"!
22.5 Indukcja elektromagnetyczna
22.5.1 Prawo Faradaya
Zjawisko indukcji elektromagnetycznej polega na powstawaniu pr dów elektrycz-
nych w zamkni$tym obwodzie podczas przemieszczania si$ wzgl$dem siebie "ród!a po-
la magnetycznego i tego zamkni$tego obwodu. Mówimy, %e w obwodzie jest induko-
wana si$a elektromotoryczna (SEM indukcji), która wywo!uje przep!yw pr"du indukcyj-
nego.
Prawo indukcji Faradaya stosuje si$ do trzech ró%nych sytuacji fizycznych:
*+ Nieruchoma p$tla, wzgl$dem której porusza si$ "ród!o pola magnetycznego (mamy
tzw. elektryczn SEM).
*+ Przewód w kszta!cie p$tli porusza si$ w obszarze pola magnetycznego (magnetycz-
na SEM).
*+ Nieruchoma p$tla i nieruchome "ród!o pola magnetycznego lecz zmienia si$ pr d,
który jest "ród!em pola magnetycznego (tak%e elektryczna SEM).
Na podstawie obserwacji Faraday doszed! do wniosku, %e czynnikiem decyduj cym jest
szybko%& zmian strumienia magnetycznego $B. Ilo&ciowy zwi zek przedstawia prawo
Faradaya
22-7
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
t
B
d
d$, -! (22.7)
Je%eli mamy obwód z!o%ony z N zwojów to
tN B
d
d$, -!
22.5.2 Regu a Lenza
Pr d indukowany ma taki kierunek, %e przeciwstawia si$ zmianie, która go wywo!a-
!a. Kierunek pr du indukowanego w p$tli (rysunek) zale%y od tego czy strumie( ro&nie
czy maleje (zbli%amy czy oddalamy magnes). Ta regu!a dotyczy pr dów indukowanych.
S N
v
I
S N
v
I
22-8
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
Wyk ad 23
23. Indukcja elektromagnetyczna, energia pola magnetycznego
23.1 Indukcyjno !
23.1.1 Transformator
Gdy dwie cewki s nawini"te na tym samym rdzeniu (cz"sto jedna na drugiej) to pr d zmienny w jednej wywo!uje SEM indukcji w drugiej. N1 - liczba zwojów w cewce pierwotnej, N2 - liczba zwojów w cewce wtórnej
tNU B
d
d22
!"
oraz
tNU B
d
d11
!"
Stosunek napi"#
1
2
1
2
N
N
U
U" (23.1)
Wida#, $e reguluj c ilo%# zwojów w cewkach mo$emy zamienia# ma!e napi"cia na du$e i odwrotnie. Przyk ad 1
Obliczmy straty mocy w linii przesy!owej o oporze 10 # przesy!anej z generatora 10 MW gdy napi"cie wynosi 1.5·104 oraz 105 V. P = IU
Pstrat = I2 R = (P/U)
2 R
Pstrat1 = 4.4 MW (44%) Pstrat2 = 0.1 MW (1%)
23.1.2 Indukcyjno!" w asna
Gdy nat"$enie pr du przep!ywaj cego przez cewk" zmienia si" to zmienia si" te$ strumie& przez ka$dy zwój tej cewki wi"c zgodnie z prawem indukcji Faradaya induku-je si" SEM. T" si!" elektromotoryczn nazywamy si ! elektromotoryczn! samoindukcji.
t
Nd
d $ !" (23.2)
Wielko%# N jest ca!kowitym strumieniem zawartym w obwodzie i nosi nazw" strumie-
nia skojarzonego. Strumie& skojarzony jest proporcjonalny do pr du p!yn cego przez cewk". N = LI (23.3)
23-1
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
Sta!a proporcjonalno%ci L = N /I (23.4) nazywana jest indukcyjno"ci!. Zró$niczkowanie(po czasie) równania (23.3) daje
t
IL
tN
d
d
d
d"
St d
t
IL
d
d!"$ (23.5)
Jednostk L jest henr. 1 H = 1 Vs/A Jako przyk!ad obliczmy indukcyjno%# cewki o d!ugo%ci l0 i N zwojach. Strumie& przez ka$dy zwój wynosi
= BS
gdzie B dla cewki wynosi B = %0nI = %0I(N/l0)
Zatem
Il
NS
00% "
Indukcyjno%# L otrzymujemy mno$ c strumie& przez N/I
0
2
0l
SNL %" (23.6)
Zauwa$my, $e L zale$y tylko od geometrii.
23.1.3 Indukcja wzajemna
Omawiaj c transformator pokazywali%my, $e dwie cewki mog oddzia!ywa# na sie-bie. Pr d zmienny w jednej wywo!ywa! SEM w drugiej. Tym razem strumie& przecho-dz cy przez cewk" 2 jest proporcjonalny do pr du p!yn cego przez cewk" 1.
N2 21 = M21I1 Sta! proporcjonalno%ci M21 nazywamy indukcj! wzajemn!. Ró$niczkuj c to równanie otrzymujemy
t
IM
tN
d
d
d
d 121
212 "
St d
23-2
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
t
IM
d
d 1212 !"$
Je$eli zmieniamy pr d I2 to analogicznie
t
IM
d
d 2121 !"$
Mo$na pokaza# (ale w skomplikowany sposób), $e
M12 = M21 = M Podobnie jak L tak samo M zale$y tylko od geometrii uk adu. 23.2 Obwody RC i RL, sta"e czasowe
Zaczniemy teraz zajmowa# si" pr dami zmieniaj cymi si" w czasie.
23.2.1 Obwód RC
Rozpatrzmy jaki pr d pop!ynie w obwodzie po zamkni"ciu wy! cznika do pozy-
cji (a).
$
R
C
a
b
Korzystamy z prawa Kirchoffa.
C
qIR &"$ (23.7)
W równaniu tym s dwie niewiadome I oraz q. Ale mo$emy skorzysta# ze zwi zku I = dq/dt. Otrzymujemy równanie ró$niczkowe
C
qR
t
q&"
d
d$
Szukamy rozwi zania q(t). Ma ono posta#
)1( / RCteCq !!" $ (23.8)
23-3
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
Mo$emy sprawdzi# czy funkcja ta jest rozwi zaniem równania ró$niczkowego poprzez jej podstawienie do tego równania. Pr d obliczamy ró$niczkuj c dq/dt
RCteRt
qI /
d
d !""$
Rysunki przedstawiaj zale$no%# q(t) oraz I(t).
q
t
C$
I
$/R
t
Je$eli teraz prze! czymy wy! cznik do pozycji (b) to b"dziemy roz!adowywa# konden-sator. Teraz w obwodzie nie ma $ i prawo Kirchoffa przyjmuje posta#
0"&C
qIR czyli 0
d
d"&
C
q
t
qR
Rozwi zanie ma posta#
RCteqq /0
!" (23.9)
gdzie q0 jest !adunkiem pocz tkowym na kondensatorze. Nat"$enie pr du przy roz!adowaniu wynosi
RCteRC
q
t
qI /0
d
d !!""
W równaniach opisuj cych !adowanie i roz!adowanie kondensatora wielko%# RC ma wymiar czasu i jest nazywana sta ! czasow! obwodu. Opisuje ona fakt, $e !adunek na kondensatorze nie osi ga od razu warto%ci ko&cowej lecz zbli$a si" do niej wyk!adni-czo. Podobnie przy roz!adowaniu.
23.2.2 Obwód RL
Analogicznie opó'nienie w narastaniu i zanikaniu pr du pojawia si" w obwodzie RL przy w! czaniu lub wy! czaniu 'ród!a SEM.
23-4
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
$
R
L
a
b
Gdyby nie by!o cewki pr d osi gn !by natychmiast warto%# $/R. Dzi"ki cewce w obwo-dzie pojawia si" dodatkowo SEM samoindukcji $L, która zgodnie z regu! Lenza prze-ciwdzia!a wzrostowi pr du (po w! czeniu) co oznacza, $e jej zwrot jest przeciwny do $. Z prawa Kirchoffa otrzymujemy
0d
"!!t
LIR$d I
(23.10)
oszukujemy rozwi zania tego równania ró$niczkowego w postaci I(t). P
Ma ono posta#
)1( / LRteR
I !" !$ (23.11)
prawdzamy poprzez podstawienie do równania. Napi"cie na oporniku i cewce pokaza-S
ne jest na rysunkach poni$ej.
V
t
$
R
V
$
t
L
arastanie pr du w obwodzie jest opisane sta! czasow 'L = L/R. i otrzymamy
NJe$eli prze! cznik ustawimy w pozycji (b) to wy! czmy 'ród!o SEM
0d
"& IRt
Ld I
(23.12)
rozwi zaniem z
LRteR
I /!"$
(23.12)
23-5
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
23.3 Energia, a pole magnetyczne
awa Kirchoffa otrzymali%my Pozosta&my przy obwodzie RL. Z pr
td Mno$ c to równanie przez I dostajem
ILIR
d&"$
y
t
ILIRI
d
d2 &
"puj ca:
( lewa strona równania przedstawia szybko%# (moc = $I tj $dq/dt) z jak 'ród!o prze-
tycznym.
I "$
Interpretacja tego równania z punktu widzenia pracy i energii jest nast)
kazuje do obwodu energi" $q. )( pierwszy wyraz po prawej stronie to szybko%# (moc) wydzielania ciep!a na oporze
R. )( drugi wyraz po prawej stronie to szybko%# z jak energia gromadzi si" w polu ma-
gneTo ostatnie mo$emy zapisa# jako
t
ILI
t
WB
d
d
d
d"
czyli
ILIdWB d"
Po sca!kowaniu otrzymujemy
2
2
1dd LIILIWBB """ ** W (23.13)
ównanie okre%la ca kowit!
rzez, któr p!ynie pr d I.
R w cewce o indukcyjno%ci L energi# magnetyczn! zawart pPorównajmy to z energi na!adowanego kondensatora
C
C 2
qW
21"
(23.14)
3.4 G#sto ! energii a pole magnetyczne
Rozpatrzmy solenoid o d!ugo%ci l i powierzchni przekroju S czyli o obj"to%ci lS.
2
Tak wi"c g"sto%# energii
23-6
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
lS
Ww B
B "
Poniewa$ 21
LIW "2B
wi"c LI
w21
"lS2B
Przypomnijmy, $e
l
SNL
2
0%" oraz l
NIInB 00 %% ""
co w po! czeniu daje wyra$enie
02 %
21 BwB " (23.15)
opisuj ce g#sto"$ energii zawartej w ka punkcie przestrzeni w której jest indukcja agnetyczna B.
$dym
mPrzyk ad 2
D!ugi koncentryczny kabel sk!ada si" z cylindrycznych przewodników o promieniach my energi" zawart w polu magnetycznym kabla na odcinku o d!ugo%ci l0 a i b. Oblicz
oraz jego indukcyjno%#.
-
+
a
b
r
dr
pera dla przestrzeni pomi"dzy cylindrami otrzym Stosuj c prawo Am amy
zyli
IrB 02 %+ "
c
r+2 G"sto%# energii w punktach pomi" i
IB
%0"
dzy przewodam
23-7
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
22
20 I
wB
%",-""
Rozpatrzmy teraz cienk i. Obj"to%# tej warstewki
ynosi:
dla odcinka kabla o d!ugo%ci l0. nergia w tej obj"to%ci wynosi wi"c
2
02 11 IB % ./
00 8222 rr ++%% 01
(dr) warstewk" pomi"dzy cylindramw
dV = 2+rdrl0
E
rr 48+
c) po ca!ej obj"to%ci obliczamy ca!kowit energi"
rlIrlr
IVwW B
dd2dd 0
20
022
20
+%
+%
"""
Sumuj c (ca!kuj W
ara
44 ++
y z zale$no%ci
blIrlIb d 0
200
20 %%
WW lnd ** """
Indukcyjno%# znajdziem
21LIU "
2 czyli
2
2
I
UL "
a
blL ln
200
+%
"
L zale$y tylko od czynników geometrycznych.
23-8
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
Wyk ad 24
24. Drgania elektromagnetyczne
24.1 Wst p
Przypomnienie: masa M na spr"#ynie, bez oporów. Równanie ruchu
kxt
xM !
2
2
d
d
Rozwi zania
x = Acos"t
v = dx/dt = A"sin"t
a = d2
x/dt2 = – A"2
cos"t
przy warunku " = (k/M)1/2
.
24.2 Obwód LC
Rozpatrzmy obwód z!o#ony z szeregowo po! czonych indukcyjno$ci L i pojemno$ci
C. Opór omowy jest równy zeru (R = 0). Za!ó#my, #e w chwili pocz tkowej na
kondensatorze C jest nagromadzony !adunek qm, a pr d przez cewk" jest równy zeru.
Energia zawarta w kondensatorze
WC = qm2/(2C) (24.1)
jest maksymalna, a energia w cewce
WL = LI2/2 (24.2)
jest równa zeru.
Po zamkni"ciu obwodu, kondensator roz!adowuje si" przez cewk". W obwodzie p!ynie
pr d I = dq/dt. W miar" jak maleje !adunek na kondensatorze maleje te# energia zawarta
w polu elektrycznym kondensatora, a ro$nie energia pola magnetycznego, które pojawia
si" w cewce w miar" narastania w niej pr du.
Wreszcie gdy !adunek spadnie do zera ca!a energia jest przekazana do pola
magnetycznego cewki. Pr d w cewce indukcyjnej ma maksymaln warto$%. Ten pr d
!aduje kondensator (przeciwnie) wi"c energia jest ponownie przekazywana do
kondensatora. Stan ko&cowy jest taki jak pocz tkowy tylko kondensator jest
na!adowany odwrotnie. Sytuacja powtarza si". Mamy wi"c do czynienia z oscylacjami
!adunku (pr du).
24-1
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
Opis ilo!ciowy
Z prawa Kirchoffa
UL + UC = 0
0d
d!#
C
q
t
IL (24.3)
Poniewa# I = dq/dt wi"c
C
q
t
qL !
2
2
d
d (24.4)
To jest równanie analogiczne do przypomnianego równania dla spr"#yny, przy czym
nast"puj ce wielko$ci s analogiczne
q $ x, L $ M, 1/C $ k
Tak wi"c mo#emy napisa% rozwi zanie tego równania
q = qmcos"t
I = dq/dt = qm"sin"t = Imsin"t
" = (1/LC)1/2
(24.5)
gdzie Im = qm"
UL = - LdI/dt = – LIm"cos"t
UC = q/c = (qm/C)cos"t
Poniewa#
LIm" = Lqm"2 = Lqm(1/LC) = qm/C
wida%, #e amplitudy napi"% s takie same.
24.3 Obwód szeregowy RLC
Dotychczas rozwa#ali$my obwód zwieraj cy indukcyjno$% L oraz pojemno$% C.
Tymczasem ka#dy obwód ma pewien opór R, przyk!adowo jest to opór drutu z którego
nawini"to cewk". Obecno$% oporu w obwodzie powoduje straty energii w postaci
wydzielaj cego si" ciep!a. Energia zawarta w obwodzie maleje i otrzymujemy drgania
t umione analogiczne do drga& t!umionych spr"#yny opisanych w wyk!adzie 12, przy
czym wspó!czynnik t!umienia 1/2% jest równy R/2L.
Drgania w obwodzie RLC mo#na podtrzyma% je#eli obwód b"dziemy zasila%
napi"ciem sinusoidalnie zmiennym
tUtU "sin)( 0!
24-2
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
Prawo Kirchhoffa dla obwodu zawieraj cego elementy R, L, C oraz 'ród!o SEM ma
posta%
tUC
qRI
t
IL "sin
d
d0!## (24.6)
ró#niczkuj c po dt
tUC
I
t
IR
t
IL "" cos
d
d
d
d02
2
!## (24.7)
albo
tL
U
LC
I
t
I
L
R
t
I"
"cos
d
d
d
d 0
2
2
!## (24.8)
To jest równanie analogiczne do omawianego dla oscylatora wymuszonego przy R/L $
1/%, 1/LC $ "02 oraz "U0/L $ &0.
Rozwi zanie ma wi"c analogiczn posta% . )sin(0 '" ! tII
Amplituda wynosi wi"c
2
2
00
1()
*+,
- #
!
CLR
VI
""
(24.9)
a mi"dzy napi"ciem i nat"#eniem pr du istnieje ró#nica faz, dana równaniem
R
CL
""
'
1
!tg (24.10)
Wyra#enie (24.9) ma posta% prawa Ohma przy czym sta!a proporcjonalno$ci pomi"dzy
U0 i I0
2
2 1()
*+,
- #!C
LRZ"
" (24.11)
pe!ni analogiczn rol" jak opór R w prawie Ohma. Wielko$% Z nazywamy impedancj!
(zawad!) obwodu.
Gdy zmienne sinusoidalne napi"cie przy!o#ymy do kondensatora to C
q!U
St d
C
I
t
U!
d
d
24-3
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
co dla U=U0sin"t daje
C
ItU !"" cos0
St d
)90sin(cos 00
#!! tCUtCUI """"
Wida%, #e pr!d wyprzedza napi"cie na kondensatorze o 90.. Maksymalny pr d I0 = U0/("C) a sta!a proporcjonalno$ci 1/"C pe!ni ca rol"
analogiczn do oporu w obwodzie pr du sta!ego nazywamy reaktancj! pojemno#ciow!.
XC = 1/"C (24.12)
Je#eli generator pr du zmiennego pod! czymy do cewki indukcyjnej to analogicznie
mo#na pokaza%, #e
)90sin(cos 00 ! ! tL
Ut
L
UI "
""
"
Pr d pozostaje za napi"ciem o 90., a reaktancja indukcyjna ma warto$%
XL = "L (24.12)
Zauwa#my, #e w obwodzie RLC, pomimo po! czenia szeregowego oporów omowego,
pojemno$ciowego i indukcyjnego ich opór zast"pczy (zawada) nie jest prost sum tych
oporów. Wynika to w!a$nie z przesuni"$ fazowych.
Trzeba je uwzgl"dni% przy dodawaniu napi"%.
U = UR + UC + UL
czyli
U = I0Rsin"t - XCI0cos"t + XLI0cos"t
(na kondensatorze U pozostaje za I, na cewce U wyprzedza I)
St d
tXXtRI
UCL "" cos)(sin
0
0 #!
Mamy teraz doda% sinus i cosinus graficznie tak jak na rysunku.
Mo#emy przy tym skorzysta% z wyra#enia (24.10) wed!ug, którego tg' = (XL - XC)/R
.Relacja ta jest pokazana na rysunku poni#ej
Zauwa#my, ze przeciwprostok tna trójk ta na rysunku jest równa zawadzie
Z = (R2 + (XL - XC)
2)
1/2.
24-4
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
R
(XL - XC)
Z
'
24.3.1 Rezonans
Drgania !adunku, pr du i napi"cia w obwodzie odbywaj si" z cz"sto$ci zasilania
". Amplituda tych drga& zale#y od " i osi ga maksimum dla pewnej charakterystycznej
warto$ci tej cz"sto$ci. Przypomnijmy, #e zjawisko to nazywamy rezonansem. Dla
ma!ego oporu R czyli dla ma!ego t!umienia warunek rezonansu jest spe!niony gdy
LC
10 !!"" (24.13)
Nat"#enie pr du osi ga wtedy warto$% maksymaln równ
R
UI 0
0 ! (24.14)
Widzimy, #e nat"#enie pr du w obwodzie jest takie, jak gdyby nie by!o w nim ani
pojemno$ci ani indukcyjno$ci, a zawada wynosi!a R.
Przyk ad
Drgania wymuszone w obwodzie mo#na tak#e wywo!a% bez w! czania bezpo$redniego
'ród!a SEM w postaci generatora. Przyk!adem mo#e by% uk!ad RLC w obwodzie
wej$ciowym radioodbiornika (telewizora) pokazany na rysunku poni#ej. Uk!ad ten jest
zasilany sygna!em z anteny.
W uk!adzie dostrojenie do cz"stotliwo$ci danej radiostacji jest osi gane przez dobranie
pojemno$ci. W ten sposób jest spe!niony warunek rezonansu dla tej cz"stotliwo$ci.
24-5
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
Przyjmijmy, #e w pokazanym uk!adzie R = 10 /, a L = 1 0H. Sprawd'my, jaka
powinna by% pojemno$% C aby uzyska% dostrojenie odbiornika (rezonans) do stacji
"Jazz Radio", która w Krakowie nadaje na cz"stotliwo$ci 101 MHz? Korzystaj c z warunku (24.13) otrzymujemy C = 2.48 pF.
W warunkach rezonansu napi"cie na kondensatorze (w obwodzie RLC) jest równe
C
L
R
U
CR
UXIU CrezC
0
0
00,
1!!!
"
Je#eli sygna! wej$ciowy z anteny ma amplitud" 100 0V to napi"cie na kondensatorze przy cz"stotliwo$ci rezonansowej ma warto$% 6.35 mV. Dla porównania napi"cie na kondensatorze przy tych samych ustawieniach R, L, C i sygnale o tej samej amplitudzie ale o cz"stotliwo$ci 96.0 MHz (radio "RMF") wynosi 1 mV.
24.3.2 Moc w obwodzie pr"du zmiennego
W obwodzie pr du przemiennego moc dana analogicznym wyra#eniem jak dla pr du sta!ego )()()( tItUtP ! (24.15)
ale warto$% jej zmienia si" bo zmienne jest napi"cie i nat"#enie pr du. Dlatego te# w przypadku pr du zmiennego pos!ugujemy si" warto#ciami #rednimi. Zgodnie z naszymi obliczeniami moc w obwodzie RLC w dowolnej chwili t wynosi
)sin(sin)()()( 00 '"" !! ttIUtItUtP
Korzystaj c ze wzoru na sinus ró#nicy k tów otrzymujemy
)sin2sin2
1cos(sin)sincoscos(sinsin)( 2
0000 '"'"'"'"" ttIUtttIUtP ! !
gdzie skorzystali$my z relacji 22 ttt """ sincos !sin . Moc $rednia jest wi"c dana
wyra#eniem
)sin2sin2
1cossin( 2
00 '"'" ttIUP !
Poniewa# to 122 !# tt "" cossin 2122 !! tt "" cossin (wykresy sinus i cosinus s
takie same, jedynie przesuni"te o 1/2). Ponadto 0!2 t"sin bo funkcja sinus jest na
przemian dodatnia i ujemna. Uwzgl"dniaj c, ponadto #e U0 = ZI0 oraz, #e (zgodnie z rysunkiem na stronie 24-4) ZR!'cos otrzymujemy wyra#enie na moc $redni
22
)(cos
2
200000 RI
Z
RIZIIUP !!! ' (24.16)
24-6
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
Jak widzimy, $rednia moc zale#y od przesuni"cia faz. Przypomnijmy, #e dla pr du sta!ego P = I
2R. Z porównania tych dwóch wyra#e& dochodzimy do wniosku, #e moc
$rednia wydzielana przy przep!ywie pr du zmiennego o amplitudzie I0 jest taka sama jak pr du sta!ego o nat"#eniu
20I
I sk ! (24.17)
T" wielko$% nazywamy warto#ci! skuteczn! pr!du zmiennego. Analogicznie definiujemy skuteczn! warto#ci! napi"cia pr!du zmiennego
2
20U
U sk ! (24.18)2
Mierniki pr du zmiennego (np. amperomierze i woltomierze) odczytuj w!a$nie warto$ci skuteczne. Warto$% napi"cia 220 V w naszej sieci domowej to warto$% skuteczna. Obliczyli$my moc $redni wydzielan w ca!ym obwodzie. Porównajmy j teraz ze $redni moc tracon na oporze R
2
2022
02 RI
RtIRtIPR !!! "sin)(
Widzimy, #e ca a moc wydziela si" na oporze R, a to oznacza, #e na kondensatorze i
cewce nie ma strat mocy. Zwró%my uwag", #e ten wniosek pozostaje w zgodno$ci z naszymi wcze$niejszymi obliczeniami. Gdy w obwodzie znajduje si" tylko pojemno$% lub indukcyjno$% (nie ma oporu omowego) to przesuniecie fazowe jest równe 1/2, a poniewa# cos(1/2) = 0 to zgodnie z równaniem (24.16) $rednia moc jest równa zeru. Jednocze$nie zauwa#my, #e moc chwilowa zmienia si" z czasem; raz jest dodatnia (energia jest gromadzona w polu elektrycznym kondensatora lub magnetycznym cewki), a raz ujemna (zgromadzona moc jest oddawana do uk!adu).2
Omawiane obwody, w których elementy R, L, C stanowi!y odr"bne cz"$ci nazywamy obwodami o elementach skupionych. W praktyce jednak mamy do czynienia z elementami, które maj z!o#one w!asno$ci. Przyk!adem mo#e tu by% cewka, która oprócz indukcyjno$ci L ma zawsze opór R oraz pojemno$% mi"dzyzwojow C. Mamy wtedy do czynienia z obwodami o elementach roz o%onych.
24-7
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
Wyk ad 25
25. Równania Maxwella
25.1 Podstawowe równania elektromagnetyzmu
Poszukiwali"my zawsze podstawowego (najmniejszego) zestawu równa# pozwala-
j cego na pe!ne opisanie przedmiotu zainteresowa#.
W mechanice - trzy zasady dynamiki
W termodynamice - trzy zasady termodynamiki
Teraz chcemy zrobi$ to samo dla elektromagnetyzmu.
Zacznijmy od poznanych ju% równa#.
Nazwa Równanie
1
2
3
4
prawo Gaussa dla elektryczno"ci
prawo Gaussa dla magnetyzmu
prawo indukcji Faradaya
prawo Ampera
! 0/d "qSE
! 0dSB
#!!t
B
d
dd
$" lE
! I0d %lB
Te równania jak si& oka%e s niekompletne Konieczne jest wprowadzenie jeszcze jed-
nego dodatkowego wyrazu do równania 4.
Pozwala on w szczególno"ci na udowodnienie, %e pr&dko"$ "wiat!a w pró%ni c, jest
zwi zana z czysto elektrycznymi i magnetycznymi wielko"ciami.
Prze"led'my powy%sz tabel& z punktu widzenia symetrii.
Zwró$my uwag&, %e w tych rozwa%aniach sta!e %0 i "0 nie s istotne bo mo%emy wybra$
uk!ad jednostek, w którym b&d te sta!e równe 1. Wtedy zauwa%amy pe!n symetri& le-
wych stron równa#. Prawe strony NIE s symetryczne.
Przyczyn& niesymetrii dla równa# 1 i 2 znamy. Wiemy, %e istniej izolowane centra
!adunku (np. elektron, proton) ale nie istniej izolowane centra magnetyczne (pojedyn-
cze bieguny magnetyczne - monopole). Dlatego w równaniu 1 pojawia si& q, a w 2 zero.
Z tego powodu mamy w równaniu 4 pr d I = dq/dt, a nie mamy pr du monopoli (!adun-
m – d$B/dt w równaniu 3. Sens tego prawa
wrotna:
ków magnetycznych) w równaniu 3.
Drugi rodzaj asymetrii wi %e si& z wyraze
jest nast&puj cy: zmieniaj ce si" pole magnetyczne wytwarza pole elektryczne.
Korzystaj c z zasad symetrii mo%na przypuszcza$, %e obowi zuje zale%no"$ od
zmieniaj c pole elektryczne (d$E/dt) wytwarzamy pole magnetyczne )d( lB .
25.2 Indukowane pole magnetyczne
Oczywi"cie do"wiadczenie daje przyk!ady: w kondensatorze (cylindrycznym) pole
elektryczne wzrasta (kondensator !aduje si&) z pr&dko"ci dE/dt co oznacza, %e do ok!a-
dek dop!ywa !adunek.
25-1
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
Do"wiadczenie pokazuje, %e powstaje tam pole magnetyczne wytworzone przez zmienia-
j ce si" pole elektryczne.
x x x
x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x
i i
E
E
R
r
B
B B
B
Trzeba to uwzgl&dni$ w naszych równaniach. Jeszcze raz rozpatrzmy cylindryczny kon-
densator i obliczmy z prawa Ampera pole magnetyczne w punkcie P (rysunek poni%ej).
S
S'
E
i
i
r
P
Wybieramy kontur obejmuj cy p!ask powierzchni& S, która zawiera pr d I oraz prze-
chodzi przez punkt P (w odleg!o"ci r) ( ). Z prawa Ampera otrzymujemy !S
ISjd
!Skontur
I0d %lB
St d
B2&r=%0I
Czyli
r
IB
&%2
0!
Prawo Ampera obowi zuje dla dowolnego konturu. Wybieramy wi&c kontur ko!owy na
którym rozpi&ta jest zakrzywiona powierzchnia S'. (aden pr d nie przechodzi przez t&
powierzchni& wi&c tym razem kontur nie obejmuje pr du i mamy ! 0dlB co jest
sprzeczne z poprzednim wynikiem. Wynika to z nieci g!o"ci pr du, który nie p!ynie
pomi&dzy ok!adkami kondensatora. (eby usun $ t& niespójno"$ Maxwell zaproponowa!
dodanie nowego cz!onu do prawa Ampera.
Przez analogi& do prawa indukcji Faradaya mo%emy napisa$
25-2
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
!t
E
d
dd 00
$"%lB (25.1)
Tak wi&c prawo Ampera po modyfikacji ma posta$
'! It
E000
d
dd %
$"%lB (25.2)
Tak wi&c pole magnetyczne jest wytwarzane przez przep!yw pr du ale te# przez zmie-
niaj ce si" pole elektryczne.
Sprawd'my czy stosuj c t& modyfikacj& uzyskamy teraz poprawny wynik na pole B w
punkcie P (przyk!ad powy%ej). W cz&"ci powierzchni krzywoliniowej S' pomi&dzy
ok!adkami kondensatora z prawa Gaussa wynika, %e
$E = ESC = q/"0
gdzie SC jest powierzchni ok!adek kondensatora. Ró%niczkuj c po dt mamy
00 d
d1
d
d
""$ I
t
q
t
E !!
Przypomnijmy, %e
! I0d %lB
Podstawiaj c za I otrzymujemy
!t
E
d
dd 00
$"%lB
czyli dodany wyraz do prawa Ampera.
25.3 Pr d przesuni!cia
Z poprzedniego równania wida$, %e wyraz "0d$E/dt ma wymiar pr du. Mimo, %e
nie mamy tu do czynienia z ruchem !adunków, to wyraz ten nazywamy pr dem przesu-
ni"cia. Mówimy, %e pole B mo%e by$ wytworzone przez pr d przewodzenia I lub przez
pr d przesuni&cia IP.
'! )(d 0 II P%lB (25.3)
Koncepcja pr du przesuni&cia pozwala na zachowanie ci g!o$ci pr du w przestrzeni
gdzie nie jest przenoszony !adunek (np. mi&dzy ok!adkami kondensatora).
Przyk!ad 1
Obliczy$ indukowane pole magnetyczne w !adowanym kondensatorze cylindrycznym
w odleg!o"ci r od osi (rysunek na stronie 2).
Z równania
25-3
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
!t
E
d
dd 00
$"%lB
otrzymujemy
t
Er
t
rErB
d
d
d
)(d2 2
00
2
00 &"%&
"%& !!
St d
Rrt
ErB (! dla,
d
d
2
100"%
dla r = R = 5cm oraz dE/dt = 1012
V/ms otrzymujemy B = 0.0028 Gs czyli o dwa rz&dy
mniej ni% pole ziemskie.
Natomiast pr d przesuni&cia
t
ER
tI E
Pd
d
d
d 2
00 &"$
" !!
ma ca!kiem spor warto"$ IP = 70 mA. Powodem, %e B jest tak ma!e jest to, %e ten pr d
(umowny) jest roz!o%ony na bardzo du%ej powierzchni ok!adki kondensatora podczas
gdy pr d przewodzenia jest "skupiony" w przewodniku.
25.4 Równania Maxwella
Prawo Równanie Czego dotyczy Do"wiadczenie
1 Gaussa dla
elektryczno"ci ! 0/d "qSE !adunek i pole
elektryczne
Przyci ganie, odpychanie
!adunków (1/r2).
)adunki gromadz si& na
powierzchni metalu
2 Gaussa dla
magnetyzmu ! 0dSB pole magnetyczne nie stwierdzono istnienia
monopola magnetycznego
3 indukcji Fara-
daya #!t
B
d
dd
$lE
efekt elektryczny
zmieniaj cego si&
pola magnetycz-
nego
indukowanie SEM w obwo-
dzie przez przesuwany ma-
gnes
4 Ampera (roz-
szerzone przez
Maxwella)
!t
E
d
dd 00
$"%lB
I0%'
00
1
%"!c
efekt m
ny zmieniaj ce
si& pola elek-
tryczn
agnetycz-
go
ego
ytwa-
yczne
t!a mo%na wy-
pr d w przewodniku w
rza wokó! pole magnet
pr&dko"$ "wia
liczy$ z pomiarów EM
25-4
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
Wyk ad 26
26. Fale elektromagnetyczne
Maxwell nie tylko wyja"ni! zjawiska elektryczne za pomoc czterech równa#, ale
wyci gn ! z nich wnioski, których nie kojarzono przed nim z elektryczno"ci . W 1864 r
pokaza!, $e przyspieszony !adunek musi promieniowa% pole elektryczne i magnetyczne,
a nast&pnie, $e pola te s do siebie prostopad!e i tworz k t prosty z kierunkiem rozcho-
dzenia si& fali. Pr&dko"% fal elektromagnetycznych w pró$ni
00
1
!"c (26.1)
Znany nam obecnie zakres widma fal elektromagnetycznych przedstawia rysunek poni-
$ej.
10
1 10
2 10
3 10
4 10
5 10
6 10
7 10
8 10
9 10
10
10
11
10
12
10
13
10
14
10
15
10
16
10
17
10
18
10
19
fale d!ugie
pasmo TV
mikrofale
podczerwie#
ultrafiolet
prom. #
fale "rednie
"wiat!o
widzialne
prom. X
(Omówienie 'róde! promieniowania).
26.1 Równanie falowe
Przypominamy równanie falowe dla struny
2
2
22
2 1
t
y
ux
y
$$
$$
"
Przez analogi& równanie falowe dla fali EM (bez wyprowadzenia)
2
2
22
21
t
B
cx
B zz
$
$
$
$" (26.2)
26-1
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
26.2 Linie transmisyjne
Dotyczy problemu przenoszenia fal EM pomi&dzy dwoma punktami.
26.2.1 Kabel koncentryczny
Je$eli prze! cznik S (rysunek poni$ej) jest po! czony z punktem b to przewodni-
ki s na tym samym potencjale.
a b
s
Je$eli prze! czymy go do pozycji a to mi&dzy przewodnikami pojawi si& ró$nica poten-
cja!ów U. Ta ró$nica nie wyst pi w ca!ym kablu ale b&dzie si& przenosi% wzd!u$ kabla
ze sko#czon pr&dko"ci , która dla linii doskonale przewodz cej jest równa pr&dko"ci
"wiat!a c. Na rysunku (a) przedstawiono zale$no"% czasow napi&cia mi&dzy kablami w
punkcie odleg!ym o l od 'ród!a. Impuls w kablu w dowolnej chwili t jest pokazany na
rysunku (b).
a)
U
t
x = l
t = l/c
b)
U
x
x = ct
Na rysunku (c) pokazany jest kszta!t fali otrzymanej przy periodycznym przerzucaniu
prze! cznika mi&dzy punktami a i b, a na rysunku (d) kszta!t fali po zast pieniu prze-
! cznika oscylatorem sinusoidalnym.
c)
U
x
d)
U
t
Oczywi"cie takie zmiany rejestruje si& dopiero dla odpowiednich cz&sto"ci. Dla cz&sto-
"ci np. 50 Hz, % = c/v = 6·106 m = 6000 km oczywi"cie nie wida% w liniach transmisyj-
26-2
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
nych sygna!ów przypominaj cych fale. Ale ju$ dla cz&sto"ci mikrofalowych rz&du 10
GHz % = 3 cm.
26.2.2 Pola i pr!dy w kablu koncentrycznym
Na rysunku ( poni$ej) pokazany jest rozk!ad pola elektrycznego i magnetycznego w ka-
blu koncentrycznym.
c
c
E BE
B
%
pr dprzewodzenia
pr dprzesuni!cia
Pole elektryczne jest radialne, a pole magnetyczne tworzy wspó!osiowe ko!a wokó! wewn&trznego przewodnika.
Linia transmisyjna ma zerowy opór tzn. pole E nie ma sk!adowej stycznej w dowolnym
punkcie powierzchni przewodz cej. To s tzw. warunki brzegowe.
Mamy tu do czynienia z fal bie$ c . Rysunek to tylko jedna z mo$liwych konfiguracji
pól (fali EM) bo & mo$e si& zmienia% w sposób ci g!y. Na rysunku dolnym pokazane s
pr dy (przewodzenia i przesuni&cia). Tworz zamkni&te p&tle - ci g!o"% pr du.
26.2.3 Falowód
Istnieje mo$liwo"% przesy!ania fal EM przez pust rur& metalow (bez przewodnika
wewn&trznego). (ciany tej rury (falowodu) maj oporno"% zerow . Jej przekrój jest pro-
stok tem. Je$eli do ko#ca falowodu przy!o$ymy generator mikrofalowy (klistron) to
przez falowód przechodzi fala o rozk!adzie pól E, B pokazanym na rysunku poni$ej.
Falowód z liniami pola E widzianymi z boku (rys. a), liniami B widzianymi z góry (rys.
b), i liniami E widzianymi z przodu (rys c). Dla polepszenia czytelno"ci na rysunku (a)
pomini&to linie B, a na rysunku (b) linie E.
26-3
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
EVf
Vf
B
E
a)
b)
c)
%
Pole E nie ma sk!adowej stycznej w $adnym punkcie wewn&trznej powierzchni falowo-
du. Typ transmisji czyli rozk!ad pól (typ fali) w falowodzie zale$y od jego rozmiarów.
Ten podstawowy, dla prostok tnego falowodu, rozk!ad pól b&dzie przesy!any pod wa-
runkiem, $e cz&sto"% & b&dzie wi&ksza od tzw. cz&sto"ci odci&cia (granicznej) &0. )eby
wyeliminowa% inne rozk!ady (nak!adanie si& ich) wybieramy & wi&ksze od &0 dla typu
podstawowego, a mniejsze od cz&stotliwo"ci odci&cia dla innych typów. Wtedy pod-
stawowy typ transmisji jest jedynym. Zwró%my uwag&, $e rozk!ad nie musi by% sinuso-
idalnie zmienny.
26.3 Wn ki rezonansowe
Omawiali"my fale EM bie$ ce w liniach transmisyjnych. Mo$liwe jest, podobnie
jak dla fal akustycznych, wytworzenie fal EM stoj cych. Taka fala czyli zespó! doscylu-
j cych pól B i E mo$e powsta% np. w zamkni&tym cylindrze wykonanym z dobrego
przewodnika (rysunek poni$ej). Doprowadzenie fali (z generatora), czyli sprz&$enie z
lini transmisyjn mo$e by% zrealizowane przez ma!y otwór lub anten& (ma!y pr&t). Po-
dobnie jak dla rezonatora akustycznego (piszcza!ka organowa, struna) mo$liwe jest
wiele rodzajów drga# z ró$nymi cz&stotliwo"ciami.
E
B
h
ar
r
Formalne potraktowanie drga# we wn&ce powinno wyj"% od równa# Maxwella i ko#-
czy% na wzorach opisuj cych rozk!ady pól we wn&ce w zale$no"ci od czasu i miejsca
26-4
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
we wn&ce. My ograniczymy si& do drga# podstawowych i poka$emy, $e s one zgodne
z równaniami Maxwella.
Przerywany okr g przedstawia drog& ca!kowania przy obliczaniu pola B z prawa Ampe-
ra, a przerywany prostok t drog& ca!kowania przy wyliczaniu E z prawa Faradaya.
Na rysunku wida% pole E oraz B. W tej sytuacji za!ó$my, $e pole B maleje, a pole E
ro"nie. Zastosujmy, do prostok ta na rysunku, prawo Faradaya.
' ("t
B
d
dd
)lE
E równa si& zeru dla górnej drogi ca!kowania (w "cianie wn&ki) oraz dla dróg bocznych
bo tam E jest prostopad!e do dl. Tak wi&c
' " EhlEd
* cz c równania otrzymujemy:
thE B
d
d1 )("
E jest wi&c maksymalne gdy strumie# magnetyczny zmienia si& najszybciej. W przy-
padku zmian sinusoidalnych odpowiada to przej"ciu przez zero (zmianie znaku) B.
Wi&c E ma warto"% maksymaln gdy B ma warto"% zero w ca!ej wn&ce.
Teraz zastosujemy prawo Ampera dla linii pola B widocznych na przekroju (a) wn&ki
rezonansowej (dla konturu o promieniu r).
' *" It
E000
d
dd !
) !lB
Poniewa$ $aden !adunek nie przep!ywa przez kontur wi&c pr d przewodzenia I = 0. Ca!-ka po lewej stronie równania wynosi B2+r wi&c
trB E
d
d
2
00 )+ !
"
Pole B zale$y od szybko"ci zmian strumienia pola E. Tak jak poprzednio dla sinuso-
idalnych zmian E maksimum B otrzymamy gdy E zmienia znak.
Wida%, $e pola E i B podtrzymuj si& wzajemnie. Raz wzbudzone drgania trwaj przy
nieobecno"ci strat.
26.4 Promieniowanie
Elektromagnetyczna linia transmisyjna mo$e by% zako#czona na ró$ne sposoby np.
wn&k rezonansow . Mo$e te$ by% zako#czona w sposób umo$liwiaj cy wypromienio-
wanie energii elektromagnetycznej do otaczaj cej przestrzeni. Przyk!adem takiego za-
ko#czenia jest elektryczna antena dipolowa pokazana na rysunku poni$ej.
26-5
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
Ró$nica potencja!ów pomi&dzy mi&dzy drutami zmienia si& sinusoidalnie i efekt jest
taki jak w przypadku dipola elektrycznego o momencie dipolowym p zmieniaj cym si&
co do wielko"ci jak i kierunku. Na rysunku poni$ej pokazane jest pole E i B wytwarza-
ne przez taki dipol czyli te$ przez taka anten&. Fale rozchodz si& z pr&dko"ci c (w
pró$ni). Przedstawione s pola w du$ej odleg!o"ci od dipola.
P+
-
Fala elektromagnetyczna emitowana przez drgaj cy dipol elektryczny przechodz c
przez odleg!y punkt P jest fal p!ask . Przypomnijmy, $e pr&dko"% fali jest dana przez
znany wzór c = %v, lub inaczej c = & / k, gdzie & = 2+v oraz k = 2+/%.
26.5 Wektor Poyntinga
Jedn z wa$nych w!a"ciwo"ci fali elektromagnetycznej jest zdolno"% do przenosze-
nia energii od punktu do punktu. Szybko"% przep!ywu energii przez jednostkow po-
wierzchni& p!askiej fali elektromagnetycznej mo$na opisa% wektorem S zwanym wekto-
rem Poyntinga. Wektor S definiujemy za pomoc iloczynu wektorowego
BES ,"0
1
! (26.3)
W uk!adzie SI jest on wyra$ony w W/m2, kierunek S pokazuje kierunek przenoszenia
energii. Wektory E i B s chwilowymi warto"ciami pola elektromagnetycznego w roz-
patrywanym punkcie.
26-6
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
Wyk ad 27
27. Optyka geometryczna i falowa
27.1 Wst p
27.1.1 Odbicie i za amanie
Przypomnienie kilku podstawowych wiadomo"ci:
! wspó!czynnik za!amania; bezwzgl#dny i wzgl#dny
n = c/v, n2,1 = v1/v2 (27.1)
! prawo odbicia i za!amania: promie$ odbity i za!amany le% w jednej p!aszczy&nie
utworzonej przez promie$ padaj cy i prostopad! do powierzchni odbijaj cej w punkcie
padania (normalna padania) tzn. w p!aszczy&nie rysunku poni%ej.
normalna
Promie$ odbity
Promie$ za !amany
Promie$ padaj cy
"
1
"
1
’
"
2
Czo!o fali p!askiej
! dla odbicia "1 = "1’
! dla za!amania 1,2
2
1
sin
sinn#
"
"
Prawa te mo%na wyprowadzi' z równa$ Maxwella, ale jest to matematycznie zbyt trud-
ne. Jednak te prawa optyki mo%na wyprowadzi' w oparciu o prost (ale wa%n ) zasad#
odkryt w 1650 r przez Pierre Fermata.
27.1.2 Zasada Fermata
Zasad# t# formu!ujemy w nast#puj cy sposób:
Promie !wietlny biegn"cy z jednego punktu do drugiego przebywa drog#, na której
przebycie trzeba zu$y% w porównaniu z innymi, s"siednimi drogami, minimum albo
maksimum czasu.
Np. najkrótszy czas mi#dzy dwoma punktami w pró%ni - linia prosta.
27-1
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
Z tej zasady mo%na wyprowadzi' prawa odbicia i za!amania.
Na rysunku s przedstawione dwa punkty A i B oraz ! cz cy je promie$ APB.
A
B
d-x x
P
d
a b "1’
"1’ "1
"1
Ca!kowita d!ugo"' drogi promienia wynosi
2222 )( xdbxal $%%%#
gdzie x jest zmienn zale%n od po!o%enia punktu P (punkt odbicia promienia).
Zgodnie z zasad Fermata punkt P (zmienn x) wybieramy tak, %eby czas przebycia
drogi APB by! minimalny (lub maksymalny, lub niezmieniony). Matematycznie ozna-
cza to warunek
0d
d#
x
l
czyli
0)1)((2])([2
12)(
2
1
d
d 2/1222/122#$$$%%%#
$$ xdxdbxxax
l
lub przekszta!caj c
2222 )( xdb
xd
xa
x
$%
$#
%
Porównuj c z rysunkiem widzimy, %e jest to równowa%ne zapisowi
sin" = sin"’
czyli
" = "’
co jest prawem odbicia.
Podobnie post#pujemy w celu wyprowadzenia prawa za!amania. Rozpatrzmy sytuacj#
przedstawion na rysunku poni%ej.
27-2
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
A
B
P
d
v2
v1
n2
n1 x d-x
l1
l2
"1 "1
"2 "2
a
b
Czas t, przelotu "wiat!a, z A do B dany jest wzorem
2
2
1
1
vv
llt %#
Uwzgl#dniaj c n = c/v mo%emy przepisa' to równanie w postaci
c
l
c
lnlnt #
%#
2211
Wielko"' l = n1l1 + n2l2 nazywamy drog" optyczn" promienia (nie myli' z drog geo-
metryczn równ l1 + l2). Ponownie dobieramy x (punkt P), aby droga l by!a minimalna
czyli, aby dl/dx = 0. Poniewa% droga optyczna wynosi
22
2
22
12211 )( xdbnxanlnlnl $%%%#%#
otrzymujemy
0)1)((2])([2
12)(
2
1
d
d 2/122
2
2/122
1 #$$$%%%#$$ xdxdbnxxan
x
l
lub po przekszta!ceniu
222221
)( xdb
xdn
xa
xn
$%
$#
%
Porównuj c to z rysunkiem otrzymujemy
n1sin"1 = n2sin"2
co jest prawem za!amania.
W omawianych obu przypadkach czas (i droga) by! minimalny.
27-3
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
27.2 Warunki stosowalno!ci optyki geometrycznej
Omawiaj c odbicie i za!amanie fal (p!askich) pos!ugiwali"my si# poj#ciem promie-
nia. Ta wygodna konstrukcja my"lowa przydatna do opisu tych zjawisk nie jest pomoc-
na przy opisie ugi#cia !wiat&a (fal) gdy% niemo%liwe jest wydzielenie pojedynczego
promienia z padaj cej fali p!askiej. (eby to sprawdzi' prze"led&my zachowanie fali p!a-
skiej padaj cej na szczeliny o ró%nej szeroko"ci. To zachowanie jest przedstawione
schematycznie na rysunku poni%ej dla szczelin o szeroko"ci a = 5&, a = 3& oraz a = &.
a=5&
a=3&
a=&
Widzimy, %e ugi#cie staje si# coraz bardziej wyra&ne gdy a/& ' 0.
To ugi#cie jest charakterystyczne dla wszystkich rodzajów fal. Dzi#ki temu mo%emy np.
s!ysze' fale g!osowe znajduj c si# za za!omem muru.
Ugi#cie fal na szczelinie (albo przeszkodzie) wynika z zasady Huyghensa.
27.2.1 Zasada Huyghensa
W tej teorii "wiat!a podanej przez Christiana Huyghensa w 1678 r. zak!ada si#, %e
"wiat!o jest fal ( a nie strumieniem cz stek). Nie wspomina ona o elektromagnetycz-
nym charakterze "wiat!a ani nie wyja"nia, %e "wiat!o jest fal poprzeczn . Teoria Huy-
ghensa oparta jest na konstrukcji geometrycznej (zwanej zasad Huyghensa), która po-
zwala przewidzie' gdzie znajdzie si# czo!o fali w dowolnej chwili w przysz!o"ci, je%eli
znamy jej obecne po!o%enie. Zasada ta g!osi, %e wszystkie punkty czo&a fali mo$na uwa-
27-4
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
$a% za 'ród&a nowych fal kulistych. Po&o$enie czo&a fali po czasie t b#dzie dane przez
powierzchni# styczn" do tych fal kulistych. Poni%ej przedstawiony jest na rysunku ele-
mentarny przyk!ad obrazuj cy, za pomoc elementarnych fal Huyghensa, rozchodzenie
si# fali p!askiej w pró%ni.
ct
czo o fali w chwili t = 0
nowe po o!enie czo a fali
Dane jest czo!o fali p!askiej w pró%ni. Zgodnie z zasad Huyghensa kilka dowolnie wy-
branych punktów na tej powierzchni traktujemy jako &ród!a fal kulistych. Po czasie t
promienie tych kul b#d równe ct, gdzie c jest pr#dko"ci "wiat!a. Powierzchnia styczna
do tych kul po czasie t jest now powierzchni falow . Oczywi"cie powierzchnia falo-
wa fali p!askiej jest p!aszczyzn rozchodz c si# z pr#dko"ci c.
Uwaga: Mo%na by oczekiwa' ( w oparciu o t# zasad#), %e wbrew obserwacji fala Huy-
ghensa mo%e si# rozchodzi' zarówno do ty!u jak i do przodu. T# „trudno"'” w modelu
eliminuje si# poprzez za!o%enie, %e nat#%enie tych fal kulistych (Huyghensa) zmienia si#
w sposób ci g!y od maksimum dla kierunku „w przód” do zera dla kierunku „w ty!”.
Metoda Huyghensa daje si# zastosowa' jako"ciowo do wszelkich zjawisk falowych.
Mo%na przedstawi' za pomoc fal elementarnych Huyghensa zarówno odbicie fal jak
i ich za!amanie.
My zastosujemy je do wyja"nienia ugi#cia fal na szczelinie (przeszkodzie).
Rozpatrzmy czo!o fali dochodz cej do szczeliny. Ka%dy jej punkt mo%emy potraktowa'
jako &ród!o fal kulistych Huyghensa. Jednak przez szczelin# przechodzi tylko cz#"' fal.
Fale le% ce poza brzegami szczeliny zostaj wyeliminowane i z tym jest zwi zane zagi-
nanie wi zki w obszar tzw. cienia geometrycznego. Szczegó!y dotycz ce fal ugi#tych
zostan przedstawione dok!adnie w dalszych wyk!adach. Tutaj zwró'my jedynie uwag#
na to, %e gdy szeroko"' szczeliny staje si# du%a (w stosunku do d!ugo"ci fali) a >> & to
ugi#cie mo%na zaniedba'. Wydaje si#, %e "wiat!o rozchodzi si# po liniach prostych co
27-5
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
mo%na przedstawi' w postaci promieni podlegaj cych prawom odbicia i za!amania.
Mówimy, %e mamy do czynienia z optyk" geometryczn".
Warunkiem stosowalno"ci optyki geometrycznej jest wi#c aby wymiary liniowe
wszystkich obiektów (soczewek, pryzmatów, szczelin itp.) by!y o wiele wi#ksze od d!u-
go"ci fali.
Je%eli tak nie jest to nie mo%emy przy opisie "wiat!a pos!ugiwa' si# promieniami, lecz
trzeba wzi ' pod uwag# falowy charakter !wiat&a. Wida' jak znacz ce jest ugi#cie fali
gdy szczelina ma rozmiar porównywalny z d!ugo"ci fali.
Mamy wtedy do czynienia z optyk" falow".
Optyka geometryczna jest wi#c szczególnym (granicznym) przypadkiem optyki falo-
wej.
Zajmiemy si# teraz w!a"nie optyk falow .
27-6
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
Wyk ad 28
28. Interferencja
28.1 Do wiadczenie Younga
Na wyk!adzie dotycz cym fal w o"rodkach spr#$ystych omawiane by!o nak adanie
si! fal. Wykazanie, przez Thomasa Younga (w 1801 r.) istnienia takiej interferencji dla
"wiat a by o pierwszym eksperymentem wskazuj#cym na falowy charakter "wiat a.
Young o"wietli! "wiat!em s!onecznym ekran, w którym by! zrobiony ma!y otwór S0.
Przechodz ce "wiat!o pada!o nast#pnie na drugi ekran z dwoma otworami S1 i S2 i roz-
chodz si# dalej dwie, nak!adaj ce si# fale kuliste tak jak na rysunku. Warunki stoso-
walno"ci optyki geometrycznej nie s spe!nione i na szczelinach nast#puje ugi#cie fal.
Mamy do czynienia z optyk falow . Je$eli umie"cimy ekran w jakimkolwiek miejscu,
tak aby przecina! on nak!adaj ce si# na siebie fale to mo$emy oczekiwa% pojawienia si#
na nim ciemnych i jasnych plam nast#puj cych po sobie kolejno.
S0 S2
S1
Przeanalizujmy teraz do"wiadczenie Younga ilo"ciowo.
Zak!adamy, e "wiat!o padaj ce zawiera tylko jedn d!ugo"% fali (jest monochroma-
tyczne). Na rysunku poni$ej punkt P jest dowolnym punktem na ekranie, odleg!ym o r1
i r2 od w skich szczelin S1 i S2.
$
Linia S2b zosta!a poprowadzona tak, aby PS2 = Pb. Trzeba zwróci% uwag#, $e stosunek
d/D przedstawiony na rysunku jest dla wi#kszej jasno"ci przesadnie du$y. Naprawd#
d << D i wtedy k t S1S2b jest równy z du$ dok!adno"ci .
28-1
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
S1
S2
d
D
y
P
r1
r2
Ob
Oba promienie wychodz ce ze szczelin S1 i S2 s zgodne w fazie, gdy$ pochodz z tego
samego czo!a fali p!askiej. Jednak drogi, po których docieraj do punktu P s ró$ne
wi#c i ich fazy mog by% ró$ne. Odcinki Pb i PS2 s identyczne (tak to skonstruowali-
"my) wi#c o ró$nicy faz decyduje ró$nica dróg optycznych tj. odcinek S1b. Aby w
punkcie P by!o maksimum to odcinek S1b musi zawiera% ca!kowit liczb# d!ugo"ci fal.
Jest tak dlatego, $e po przebyciu odcinka równego ! faza fali powtarza si# wi#c dla dro-
gi m! fala ma faz# tak jak na pocz tku tej drogi; odcinek S1b nie wp!ywa na ró$nic#
faz a poniewa$ fale by!y zgodne w &ródle (szczeliny S1 i S2) wi#c b#d zgodne w fazie
w punkcie P. Warunek ten mo$emy zapisa% w postaci
S1b = m!, m = 0, 1, 2, ......,
lub
dsin = m!, m = 0, 1, 2, ......, (maksima) (28.1)
Zauwa$my, $e ka$demu maksimum powy$ej punktu O odpowiada po!o$one symetrycz-
nie maksimum poni$ej punktu O. Istnieje te$ centralne maksimum opisywane przez
m = 0.
Dla uzyskania minimum w punkcie P, odcinek S1b musi zawiera% po!ówkow liczb#
d!ugo"ci fal, to jest:
S1b = (m+1/2) !, m = 0,1,2,....,
Lub
dsin = (m+1/2) !, m = 0, 1, 2, ......, (minima)
inaczej
dsin = (2m+1)!/2, m = 0, 1, 2, ......, (minima) (28.2)
Przyk ad 1
28-2
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
Dwie szczeliny odleg!e od siebie o 1 mm o"wietlono "wiat!em zielonym (linia zielona
lampy rt#ciowej) o d!ugo"ci ! = 546 nm. Jaka jest odleg!o"% mi#dzy s siednimi pr $-
kami interferencyjnymi obserwowanymi na ekranie umieszczonym w odleg!o"ci 1 m od
szczelin?
Najpierw sprawd&my po!o$enie k towe np. pierwszego maksimum.
Dla m = 1 otrzymujemy: dsin = !
sk d
sin = !/d = (546·10-9
m)/(10-3
m) = 0.000546
co daje
" 0.03#
Dla tak ma!ych k tów dobrym jest przybli$enie
sin " tg "
Z rysunku wida%, $e tg = y/D. Podstawiaj c to wyra$enie zamiast sin w równaniu na
maksimum interferencyjne otrzymujemy dla m-tego pr $ka
d
Dmym
!$
a dla nast#pnego
d
Dmym
!)1(1 %$%
Odleg!o"% mi#dzy nimi wynosi wi#c
mm546.0m10
)m1()m10546(3
9
1 $&
$$'$('
'
%d
Dyyy mm
!
Uwaga: Je$eli jest ma!e to odleg!o"% mi#dzy pr $kami nie zale$y od m, czyli pr $ki s
rozmieszczone równomiernie. Je$eli mamy wi#cej ni$ jedn ! to powstan oddzielne
uk!ady pr $ków (dla ka$dej z d!ugo"ci fal) o ró$nym odst#pie mi#dzy pr $kami.
Równanie opisuj ce po!o$enie k towe maksimów mo$e pos!u$y% do wyznaczenia d!u-
go"ci fali
m
d !
sin$
Z tej relacji T. Young wyznaczy! d!ugo"ci fal "wiat!a widzialnego.
28-3
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
28.2 Koherencja
Podstawowym warunkiem powstania dobrze okre"lonego obrazu interferencyjnego
jest, aby fale "wietlne które przybywaj z punktów S1 i S2 mia!y dok adnie okre"lon#
ró$nic! faz ) sta # w czasie. (Przypomnienie: faza jako okre"lony stan fali w danym
miejscu i czasie, patrz równanie opisuj ce fal# E = Emsin(kx-*t)). Np. jest miejsce na
ekranie, dla którego ró$nica faz wynosi + co oznacza fizycznie, $e fale docieraj ce tam
wygaszaj si# (przy za!o$eniu tej samej amplitudy); mamy ciemny pr $ek. I tak jest
zawsze o ile ró$nica faz si# nie zmieni. Gdyby taka zmiana nast pi!a to w tym miejscu
nat#$enie "wiat!a nie b#dzie ju$ równe zeru. Warunkiem stabilno"ci obrazu jest wi#c
sta!o"% w czasie ró$nicy faz fal wychodz cych ze &róde! S1 i S2. Mówimy, $e te &ród!a
s koherentne czyli spójne.
Je$eli szczeliny S1 i S2 zast pimy przez dwa niezale$ne &ród!a fal (np. $arówki) to nie
otrzymamy pr $ków interferencyjnych, ekran b#dzie o"wietlony prawie równomiernie.
Interpretujemy to w ten sposób, $e ró$nica faz dla fal pochodz cych z niezale$nych &ró-
de! zmienia si# w czasie w sposób nieuporz dkowany.
W krótkim czasie s spe!nione warunki dla maksimum, a za chwile (b. krótk np. 10-8
s)
dla minimum, a jeszcze za chwil# warunki po"rednie. I tak dla ka$dego punktu na ekra-
nie. Nat#$enie (w danym punkcie) jest wi#c sum nat#$e' od poszczególnych &róde!.
Mówimy, $e te &ród!a s niespójne, niekoherentne.
Podsumujmy wi#c podstawow ró$nic# w opisie, podyktowan# oczywi"cie przez fakty
do"wiadczalne:
,- dla fal spójnych najpierw dodajemy amplitudy (uwzgl#dniaj c sta!a ró$nic# faz),
a potem celem obliczenia nat#$enia podnosimy otrzyman amplitud# wypadkow
do kwadratu (przypomnienie dla ruchu harmonicznego: Energia . A2).
,- dla fal niespójnych najpierw podnosimy do kwadratu amplitudy, $eby otrzyma% na-
t#$enia poszczególnych fal a potem dopiero sumujemy te nat#$enia.
Pozostaje jedynie pytanie jak wytworzy% "wiat!o spójne. Na tym etapie zapami#tajmy
tylko, $e zwyk!e &ród!a "wiat!a takie jak $arówki ($arz ce si# w!ókno) daj "wiat!o nie-
spójne dlatego, $e emituj ce atomy dzia!aj zupe!nie niezale$nie. Natomiast wspó!cze-
"nie szeroko stosowanymi &ród!ami "wiat!a spójnego s lasery.
Szczegó!y dotycz ce emisji "wiat!a przez lasery jak i zasad# dzia!ania lasera poznamy
na dalszych wyk!adach.
28.3 Nat!"enie w do wiadczeniu Younga
Za!ó$my, $e sk!adowe pola elektrycznego obu fal w punkcie P zmieniaj si# nast#puj -
co
E1 = E0 sin*t
E2 = E0 sin(*t+))
gdzie * = 2+v jest cz#sto"ci ko!ow fal, a ) ró$nic faz mi#dzy nimi.
,- ) zale$y od po!o$enia punktu P a tym samym od k ta
,- za!ó$my natomiast, $e E0 nie zale$y od (szczeliny s dostatecznie w skie, tak $e
"wiat!o ugi#te na ka$dej ze szczelin o"wietla "rodkow cz#"% ekranu równomiernie)
28-4
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
Wynika st d, $e wypadkowe pole elektryczne w punkcie P jest równe
E = E1 + E2
Uwaga: Mówimy o polu E, a nie polu B (fali EM) poniewa$ dzia!anie tego drugiego na
detektory "wiat!a (w tym oko ludzkie) jest znikome. Równanie powy$sze powinno by%
wektorowe ale w tych przypadkach wektory E s do siebie równoleg!e wi#c wystarczy
równanie algebraiczne.
Podstawiaj c równania dla obu fal obliczamy pole wypadkowe
E = E0sin(*t+)) + E0 sin*t = 2E0cos()/2) sin(*t+)/2)
Lub
E = E sin(*t+/)
gdzie / = )/2 oraz E = 2E0cos/
Teraz chcemy obliczy% nat#$enie fali wypadkowej
I . E 2
Obliczmy stosunek nat#$e' dwu fal: fali wypadkowej i fali pojedynczej
2
00001
2334
5$
E
E
I
I
czyli
// 22
0 coscos4 mIII $$ (28.3)
Nat#$enie zmienia si# od zera (dla punktów, w których ) = 2/ = +) do maksymalnego
(dla punktów, w których ) = 2/ = 0).
Ró$nica faz wi $e si# z ró$nic dróg S1b poprzez prost relacj#
ró$nica faz/2+ = ró$nica dróg/!-- (28.4)
czyli
!
+) sin
2
d$
St d
)sin(2
!+
) d$
lub
!+
/ sind
$
Poprzez to równanie mamy zale$no"% nat#$enia od k ta .
Narysujmy teraz rozk!ad nat#$e' dla interferencji przy dwóch szczelinach (rysunek po-
ni$ej) porównuj c z wynikiem dla pojedynczego &ród!a jak i dla &róde! niespójnych.
28-5
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
4I0 ród!a
spójne
I0 jedno
ród!o
2I0 ród!a
niespójne
2!/d !/d 2!/d!/d0
sin
na
t"#en
ie
Aby wyliczy% wypadkowe nat#$enie "wiat!a w do"wiadczeniu Younga dodawali"my
dwa zaburzenia falowe postaci E1 = E0sin*t, E2 = E0sin(*t+)), które mia!y t# sam
cz#sto"% i amplitud#, a ró$ni!y si# faz ). Wynik uzyskany zosta! algebraicznie na
podstawie prostych wzorów trygonometrycznych. Jednak metody analityczne staj si#
znacznie trudniejsze gdy dodajemy wi#cej zaburze' falowych (funkcji typu sin, cos)
i dlatego wprowadzimy (g!ównie z my"l o nast#pnych wyk!adach) prost metod# gra-
ficzn .
Sinusoidalne zaburzenie falowe mo$e by% przedstawione graficznie jako obracaj cy si#
wektor, którego d!ugo"% reprezentuje amplitud#. Taki wektor b#dziemy nazywa% strza -
k# fazow# (wskazem). Zmienne zaburzenie falowe E1 w chwili t przedstawione jest
przez rzut tej „strza!ki” na o" pionow (odpowiada to pomno$eniu E0 przez sin*t).
Drugie zaburzenie falowe E2, o tej samej amplitudzie E0, ró$ni si# od E1 faz ). Znajdu-
jemy je podobnie jako rzut „strza!ki” na o" pionow . Teraz wystarczy doda% E1 i E2 $e-
by otrzyma% wypadkowe zaburzenie.
E2
E1 E1
E0
E0 E0
*t *t
)
Wida% to jeszcze lepiej gdy umie"ci si# pocz tek jednej strza!ki na ko'cu poprzedniej
zachowuj c ró$nic# faz (rysunek poni$ej).
28-6
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
E2
E1
E0
E0
*t
) E
Przyk ad 2
Znajd&my wypadkow nast#puj cych zaburze' falowych: E1 = 2sin*t,
E2 = 2sin(*t+30#), E3 = 2sin(*t+60#), E4 = 2sin(*t+90#). Je$eli przyjmiemy np., $e *t = 15# to EM = 6.7, E = 5.8 (rysunek poni$ej).
)
)
)
*t
E
EM
E0
E0
E0
E0
Na kolejnym rysunku pokazane s strza!ki fazowe dla interferencji Younga (w chwili
t = 0).
E0
E0
/
/
)
E
E = 2E0cos/ = EMcos/
Suma k tów w trójk cie wynosi 180# st d wynika, $e: 2/ = ) (taki sam wynik jaki
otrzymali"my algebraicznie).
28-7
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
Maksimum amplitudy otrzymamy jak wida% dla ) = 0 (wektory równoleg!e), a mini-
mum dla ) = + (wektory antyrównoleg!e).
28.4 Interferencja w cienkich b#onkach
Barwy cienkich b!onek, baniek mydlanych, plam np. oleju na wodzie s wynikiem
interferencji. Na rysunku pokazana jest warstwa o grubo"ci d i wspó!czynniku za!ama-
nia n.
oko
d
S
powietrze
powietrze
warstwa na
Warstwa jest o"wietlona przez rozci g!e &ród!o "wiat!a monochromatycznego. W &ródle
istnieje taki punkt S, $e dwa promienie wychodz ce z tego punktu mog dotrze% do oka
po przej"ciu przez punkt a. Promienie te przebiegaj ró$ne drogi gdy$ jeden odbija si#
od górnej, a drugi od dolnej powierzchni b!onki. To czy punkt a b#dzie jasny czy ciem-
ny zale$y od wyniku interferencji fal w punkcie a. Fale te s spójne, bo pochodz z tego
samego punktu &ród!a "wiat!a. Je$eli "wiat!o pada prawie prostopadle to geometryczna
ró$nica dróg pomi#dzy obu promieniami wynosi prawie 2d. Mo$na wi#c oczekiwa%, $e
maksimum interferencyjne (punkt a jasny) wyst pi gdy odleg!o"% 2d b#dzie ca!kowit
wielokrotno"ci d!ugo"ci fali. Okazuje si#, $e tak nie jest z dwu powodów
,- d!ugo"% fali odnosi si# do d!ugo"ci fali w b!once !n a nie do jej d!ugo"ci w powietrzu
k
v = !v
oraz, $e przy przej"ciu do innego o"rodka zmienia si! pr!dko"% i d ugo"% fali, a cz!-
v = c/n
to d!ugo"% fali te$ maleje n razy
!n = !/n
!. Oznacza to, $e musimy rozwa$a% drogi optyczne, a nie geometryczne (patrz wy-
!ad 26 - zasada Fermata). Przypomnijmy, $e pr#dko"% fali jest zwi zana z cz#stotli-
wo"ci (barw ) i d!ugo"ci fali
stotliwo"% pozostaje bez zmiany. Poniewa$ przy przej"ciu z powietrza do materia!u o
wspó!czynniku za!amania n pr#dko"% maleje n razy
28-8
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
,- okazuje si# ponadto, $e fala odbijaj c si# od o"rodka optycznie g#stszego (wi#ksze n)
o$emy teraz uwzgl#dni% oba czynniki tj. ró$nice dróg optycznych oraz zmiany faz
mieni pokazanych na rysunku warunek na maksimum ma posta%
2d = m!n + !n/2, m = 0, 1, 2, ....,
zynnik !n/2 opisuje zmian# fazy przy odbiciu (od górnej powierzchni) bo zmiana fazy
zmienia swoj# faz! o +. Natomiast gdy odbicie zachodzi od powierzchni o"rodka
rzadszego optycznie fala odbija si# bez zmiany fazy. Oznacza to, $e promie' odbity
od górnej powierzchni b!onki zmienia faz#, a promie' odbity od dolnej granicy nie.
M
przy odbiciu.
Dla dwóch pro
C
o 180# (+) jest równowa$na ró$nicy dróg równej po!owie d!ugo"ci fali (ró$nica
faz/2+ = ró$nica dróg/!6. Poniewa$ !n = !/n otrzymujemy wi#c
!02
35 %$
12 mdn , m = 0, 1, 2,..... (maksima)
nalogiczny warune posta%
!mdn $2 , m = 0, 1, 2,....(minimum)
ównania te s s!uszne je !czynnik za!amania b!onki jest wi#kszy lub mniejszy
14 2
k na minimum maA
R $eli wspó
od wspó!czynnika za!amania o"rodków po obu stronach b!onki.
Przyk ad 3
B!onka wodna (np. ba'ka mydlana, n = 1.33) znajduj ca si# w powietrzu ma grubo"%
mum obliczamy !
320 nm. Jaki kolor ma "wiat!o odbite, gdy b!onka jest o"wietlona "wiat!em bia!ym pada-
j cym prostopadle?
Z warunku na maksi
2
2
1
2
1
2
1%%% mmm
m:
nm85033.1nm3202$
&&$$
dn!
bliczamy ! dla kolejnych
sem widzialnym
zielona)
O
m = 0, ! = 1700 nm, poza zakre
m = 1, ! = 567 nm, w zakresie widzialnym ("ó#to
m = 2, ! = 340 nm, poza zakresem widzialnym
m = 3, 4, ...., poza zakresem widzialnym.
28-9
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
Wyk ad 29
29. Dyfrakcja
Zjawisko dyfrakcji (ugi"cia) odkry! Grimaldi (XVII w). Polega ono na uginaniu si"
promieni #wietlnych przechodz cych w pobli$u przeszkody (np. brzeg szczeliny).
Wyja#nienie dyfrakcji w oparciu o zasad" Huyghensa - Fresnel (prze!om XVIII i XIX
w). (W jego czasach wierzono, $e fale #wietlne s falami mechanicznymi w przenikaj -
cym wszech#wiat eterze. Dopiero Maxwell pokaza!, $e fale #wietlne s falami elektro-
magnetycznymi, a Einstein odrzuci! postulat konieczno#ci istnienia eteru).
Rysunek (a) pokazuje ogólnie na czym polega dyfrakcja.
S
B C
P a)
Fala ze %ród!a S pada na szczelin" B i przechodz ce przez otwór pada na ekran C. Nat"-
$enie w punkcie P mo$na obliczy& dodaj c do siebie wszystkie zaburzenia falowe (tj.
wektory E). Te zaburzenia falowe maj ró$ne amplitudy i fazy poniewa$:
! elementarne %ród!a Huyghensa (punkty w szczelinie) s w ró$nych odleg!o#ciach od
punktu P.
! #wiat!o opuszcza te punkty pod ró$nymi k tami.
Taka sytuacja gdy fale opuszczaj ce otwór nie s p!askie (promienie nie s równoleg!e)
pojawia si" gdy %ród!o fal S i ekran (C), na którym powstaje obraz znajduj si" w sko'-
czonej odleg!o#ci od ekranu ze szczelin (B). Taki przypadek nosi nazw" dyfrakcji
Fresnela. Obliczenia nat"$e' #wiat!a s w tej sytuacji trudne.
Ca!o#& upraszcza si", gdy %ród!o S i ekran C odsuniemy na bardzo du$e odleg!o#ci od
otworu uginaj cego. Ten graniczny przypadek nazywamy dyfrakcj Fraunhofera. Czo!a
fal padaj cych jak i ugi"tych s p!aszczyznami (promienie s równoleg!e) tak jak to wi-
da& na rysunku (b).
do bardzo
odleg!ego
ekranu
z bardzo
odleg!"go
%ród!a
b)
"
B
29-1
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
Warunki do wyst pienia dyfrakcji Fraunhofera mo$na zrealizowa& w laboratorium za
pomoc dwu soczewek (rysunek c).
S
ff B
C
P
"
c)
Pierwsza soczewka zmienia fal" rozbie$n w równoleg!a, a druga skupia w punkcie P
fale p!askie opuszczaj ce otwór. Wszystkie promienie o#wietlaj ce punkt P opuszczaj
otwór równolegle do linii przerywanej (przechodz cej przez #rodek soczewki). Warunki
dyfrakcji Fraunhofera by!y z za!o$enia spe!nione w do#wiadczeniu Younga.
W dalszej cz"#ci wyk!adu b"dziemy zajmowa& si" tylko dyfrakcj Fraunhofera.
29.1 Pojedyncza szczelina
Rysunek pokazuje fal" p!ask padaj c prostopadle na szczelin" o szeroko#ci a.
Rozpatrzmy punkt #rodkowy P0 ekranu. Równoleg!e promienie przebywaj do tego
punktu te same drogi optyczne (ró$ne geometryczne) tzn. promienie zawieraj t" sam
ilo#& d!ugo#ci fal (soczewki cienkie). Poniewa$ w szczelinie promienie s zgodne w fa-
zie to po przebyciu takich samych dróg optycznych nadal pozostaj zgodne w fazie.
Dlatego w #rodkowym punkcie P0 b"dzie maksimum.
P0
f
B
a
C
Rozpatrzmy teraz inny punkt P1 na ekranie (rysunek poni$ej). Promienie docieraj ce do
P1 wychodz ze szczeliny pod k tem ". Jeden promie' ma pocz tek u góry szczeliny, a
drugi w jej #rodku. (Promie' xP1 przechodzi przez #rodek soczewki wi"c nie jest odchy-
lany).
29-2
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
a
"
"
b’
b
#/2
x
P1
P0
Je$eli wybierzemy punkt P1 tak, $eby ró$nica dróg bb’ wynosi!a #/2 to promienie zgod-
ne w fazie w szczelinie b"d mia!y w punkcie P1 fazy przeciwne i wygasz si". Podob-
nie ka$dy inny promie' wychodz cy z górnej po!owy szczeliny b"dzie si" wygasza! z
odpowiednim promieniem z dolnej po!ówki le$ cym w odleg!o#ci a/2 poni$ej. Punkt P1
b"dzie mia! nat"$enie zerowe (pierwsze minimum dyfrakcyjne). Warunek opisuj cy to
minimum ma nast"puj c posta&
#"2
1sin
2
1$a
czyli
asin" = #
Uwaga: Gdyby szeroko#& szczeliny by!a równa # wtedy pierwsze minimum pojawi!oby
si" dla " = 90% czyli #rodkowe maksimum wype!ni!oby ca!y ekran. W miar" rozszerza-
nia szczeliny #rodkowe maksimum staje si" w"$sze. (Podobnie by!o dla interferencji
Younga w miar" zmiany odleg!o#ci mi"dzy szczelinami punktowymi). Podobne rozwa-
$ania mo$emy powtórzy& dla wielu punktów szczeliny i otrzymamy ogólne wyra$enie
dla minimów obrazu dyfrakcyjnego w postaci
asin" = m#, m = 1, 2, 3,...... (minimum) (29.1)
Mniej wi"cej w po!owie mi"dzy ka$d para s siednich minimów wyst"puj oczywi#cie
maksima nat"$enia.
29.2 Pojedyncza szczelina, rozwa ania jako!ciowe
Teraz chcemy znale%& wyra$enie na rozk!ad nat"$enia w ca!ym obszarze dyfrakcyj-
nym w funkcji k ta ". Teraz zrobimy to jako#ciowo.
Wyobra%my sobie, $e szczelin" o szeroko#ci a dzielimy na N pasków o ma!ej szeroko-
#ci &x. Ka$dy pasek jest %ród!em fal kulistych Huyghensa, które wytwarzaj na ekranie
okre#lone zaburzenie falowe.
29-3
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
a "
"
&x sin"
B C
P
P0
Ró$nica dróg mi"dzy s siednimi paskami wynosi &xsin" st d ró$nica faz &' pomi"dzy
falami pochodz cymi z s siednich pasków wynosi
#"
(' sin
2
x&$
&
czyli
"#(
' sin2
x&$&
! Zak!adamy, $e paski s tak w skie, $e wszystkie punkty na danym pasku maj t" sa-
m drog" optyczn do punktu P (ca!e #wiat!o ma t" sam faz").
! Dla ma!ych k tów " amplitudy &E0 zaburze' falowych w punkcie P pochodz ce od
ró$nych pasków przyjmujemy za jednakowe.
Zatem w punkcie P dodaje si" N wektorów (pól elektrycznych E) o tej samej amplitu-
dzie &E0, tej samej cz"sto#ci i tej samej ró$nicy faz &' mi"dzy kolejnymi wektorami.
Szukamy zatem zaburzenia wypadkowego dla ró$nych punktów P, tzn. dla ró$nych k -
tów ", tzn. dla ró$nych &'.
Poni$ej na rysunkach przedstawione jest zaburzenie wypadkowe dla kilku ró$nych
miejsc na ekranie.
! Rysunek (a) przedstawia warunki dla maksimum #rodkowego (&'=0%). ! Rysunek (b) przedstawia warunki dla kierunku nieco odmiennego od maksimum
#rodkowego (&'=5%). ! Rysunek (c) przedstawia warunki dla pierwszego minimum (&'=30%). ! Rysunek (d) przedstawia warunki bliskie pierwszemu maksimum (poza #rodkowym)
(&'=42%).
29-4
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
E"!$!EM
E"E"
E"
E"!$!)a)
b)
c)
d)
Zwró&my uwag", $e d!ugo#& !uku jest zawsze równa EM ale amplituda E" jest ró$na.
Wektory na rysunku odpowiadaj amplitudom (a nie nat"$eniom). (eby otrzyma& nat"-
$enia trzeba je podnie#& do kwadratu. W przeciwie'stwie do obrazu interferencyjnego
nat!"enia kolejnych maksimów nie s jednakowe.
29.3 Pojedyncza szczelina, rozwa ania ilo!ciowe
Na rysunku poni$ej jest przedstawiona konstrukcja s!u$ ca do obliczenia nat"$enia
#wiat!a w przypadku dyfrakcji na jednej szczelinie. Sytuacja odpowiada tej pokazanej
na poprzednim rysunku (b).
R
R
Em Em
E"
**'
'
Je$eli szczelin" podzielimy na niesko'czenie wiele ma!ych pasków o szeroko#ci dx to
!uk strza!ek b"dzie !ukiem ko!a o promieniu R. D!ugo#& !uku wynosi Em czyli równa jest
amplitudzie w #rodku obrazu dyfrakcyjnego (linia prosta strza!ek).
K t ' w dolnej cz"#ci rysunku przedstawia ró$nic" fazy mi"dzy skrajnymi wektorami w
!uku tzn. ' jest ró$nic faz pomi"dzy promieniami wychodz cymi z góry i do!u szczeli-
ny.
29-5
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
Jak wida& z rysunku
2sin2 '"
$R
E
czyli
2
sin2'
" RE $ (29.2)
W mierze !ukowej
R
Em$'
St d
'mE
R $
Podstawiaj c do równania (29.2) otrzymamy
2sin
2
''"
mEE $
czyli
**" sinmE
E $ (29.3)
gdzie * = '/2.
Przypomnijmy, $e ' jest ró$nic faz dla promieni wychodz cych z kra'ców szczeliny.
Poniewa$ ró$nica dróg dla tych promieni wynosi asin" (a szeroko#& szczeliny) wi"c
mo$emy pos!u$y& si" znanym zwi zkiem
ró$nica faz/2( = ró$nica dróg/# !otrzymuj c
"#(
' sin2 a
$
lub
"#('
* sin2
a$$ (29.4)
Teraz mo$emy ju$ obliczy& nat"$enie #wiat!a dla dyfrakcji na pojedynczej szczelinie.
Nat"$enie jest proporcjonalne do kwadratu amplitudy. Otrzymujemy wi"c
29-6
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
2sin
+,
-./
0$**
" mII (29.5)
Wyra$enie na nat"$enie przyjmuje warto#& minimaln dla
* = m(, m = 1, 2, 3,....
Podstawiaj c do równania (29.4) otrzymujemy
asin" = m#, m = 1, 2, 3, ..... (minimum)
Jest to wynik zgodny z uzyskanym poprzednio (rozwa$ania jako#ciowe).
Obliczmy teraz wzgl"dne nat"$enia kolejnych maksimów dyfrakcyjnych.
Maksima le$ w #rodku pomi"dzy minimami, a wi"c w punktach, dla których
* = (m+1/2)(, m = 1, 2, 3,.......
Podstawiaj c to do równania (29.5) na nat"$enie otrzymujemy
I"/Im = 0.045, 0.016, 0.008 dla m = 1, 2, 3. Wida&, $e nat!"enia kolejnych maksimów
bardzo szybko malej .
Na rysunku poni$ej przedstawiono krzywe I" dla ró$nych szeroko#ci szczeliny (w sto-
sunku do d!ugo#ci fali #) w funkcji po!o$enia na ekranie (k ta ").
a=10#
a=5#
a=#
10510 5
wzg
l dne n
at !enie
" (deg)
29-7
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
29.4 Równoczesna interferencja i dyfrakcja na dwóch szczelinach
W do#wiadczeniu Younga szczeliny by!y w skie ( a << #) tak, $e ka$da ze szczelin
o#wietla!a równomiernie ekran. Je$eli takie fale (spójne) interferowa!y to otrzymywali-
#my pr "ki o jednakowym nat!"eniu.
Dla realnych szczelin trudno jest zrealizowa& warunek a << #. Oznacza to, $e pojedyn-
cza szczelina b"dzie dawa!a obraz dyfrakcyjny i interferencja fal da teraz obraz, w któ-
rym nat"$enia pr $ków nie b"d sta!e (jak w do#wiadczeniu Younga) ale zale$ne od te-
go obrazu dyfrakcyjnego.
Odej#cie od za!o$enia a << # powoduje g!ównie zmian" nat"$enia pr $ków (ich po!o-
$enia pozostaj prawie nie zmienione).
Przypomnijmy, $e obraz interferencyjny dla dwóch szczelin dany jest równaniem
1"2
int,int, cosmII $
gdzie
"#(
1 sind
$
przy czym d jest odleg!o#ci mi"dzy szczelinami.
Natomiast nat"$enie fali ugi"tej na szczelinie jest dane równaniem
2
,,
sin+,
-./
0$**
" dyfmdyf II
gdzie
"#(
* sina
$
przy czym a jest szeroko#ci szczeliny.
Teraz chcemy otrzyma& ! czny efekt. Dlatego w równaniu dla interferencji sta! ampli-
tud" (dla w skich szczelin) zast"pujemy realnym nat"$eniem dyfrakcyjnym. Otrzymu-
jemy
2
2 sin)(cos +
,
-./
0$**
1" mII (29.6)
Ten wynik opisuje nast"puj ce fakty. W pewnym punkcie ekranu nat"$enie #wiat!a, z
ka$dej szczeliny osobno, jest dane przez obraz dyfrakcyjny tej szczeliny. Obrazy dy-
frakcyjne dwóch szczelin rozpatrywanych oddzielnie nak!adaj si" (fale interferuj ).
Rysunek poni$ej jest wykresem powy$szego równania dla d = 50# i trzech warto#ci sto-
sunku a/#.
29-8
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0 a = #
wzgl
dne n
at !enie
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
a = 5#
wzgl
dne n
at !enie
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
a = 10#
1010 55
wzgl
dne n
at !enie
" (deg)
29-9
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
Obwiednie pr $ków interferencyjnych pokrywaj si" dok!adnie z obrazem dyfrakcyj-
nym. Obraz jest wi"c iloczynem czynnika interferencyjnego i dyfrakcyjnego (rysunek
poni$ej). Czynnik interferencyjny (cos21) jest pokazany na górnym wykresie, czynnik
dyfrakcyjny (sin*/*)2 na #rodkowym, a ich iloczyn na dolnym.
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
wzgl
dne n
at !enie
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0w
zgl
dne n
at !enie
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1010 55 " (deg)
a = 5#
wzgl
dne n
at !enie
29-10
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
Wyk ad 30
30. Siatki dyfrakcyjne
30.1 Siatki dyfrakcyjne
Rozpatrzymy teraz przypadki gdy liczba centrów rozpraszania jest wi"ksza. Tzn. rozpatrzmy naturalne rozszerzenie do#wiadczenia Younga poprzez zwi"kszenie liczby szczelin od dwu do wi"kszej liczby N. Uk!ad zawieraj cy zespó! N równoleg!ych szczelin nazywamy siatk dyfrakcyjn (szczelin mo$e by% b. du$o np. 104/cm). Na rysunku poni$ej pokazany jest rozk!ad nat"$e& dla N = 5 szczelin.
e
d
c
b
a
N = 5
0.2
0.4
0.6
0.8
Dla przypomnienia poni$ej pokazano wynik w do#wiadczeniu Younga.
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Z tych rysunków wida%, $e zwi"kszenie liczby szczelin ! nie zmienia odleg!o#ci pomi"dzy g!ównymi maksimami (przy sta!ych d i ") ! nast pi!o natomiast ich zw"$enie (wyostrzenie) ! pojawi!y si" wtórne maksima pomi"dzy maksimami bocznymi Maksima g!ówne wyst pi gdy spe!niony jest znany warunek
30-1
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
dsin# = m", m = 0, 1, 2, (maksima) (30.1) gdzie m nazywamy rz"dem widma, a d jest odleg!o#ci mi"dzy szczelinami (sta!a siatki dyfrakcyjnej). Uwaga: Po!o$enia maksimów g!ównych nie zale$ od N. Pochodzenia maksimów wtórnych mo$na wyja#ni% za pomoc metody strza!ek fazo-wych (wskazów).
a)
b)
c)
d)
e)
$!%!&
$!%!'()
$!%!**&)
$!%!*++)
$!%!*,&)
E#
E#!%!& E#
E#
E#!%!&
Siatki dyfrakcyjne s cz"sto stosowane do pomiarów d!ugo"ci fali i do bada# struktury i
nat$%enia linii widmowych. ! Poniewa$ sta! siatki dyfrakcyjnej mo$na zmierzy% dok!adnie pod mikroskopem to z
warunku na wyst"powanie g!ównych maksimów mo$emy wyznaczy% ". ! Z tego samego warunku wida%, $e fale o ró$nych " uginaj si" pod ró$nymi k tami
jest wi"c szansa na ich rozseparowanie. Przyk!ad 1
Siatka dyfrakcyjna ma 4000 naci"% na 1 cm. Pada na ni prostopadle #wiat!o $ó!te z lampy sodowej. W #wietle tym wyst"puj dwie fale o d!ugo#ciach 589.00 i 589.59 nm. Pod jakim k tem wyst"puje maksimum dla pierwszego rz"du dla 1 z tych linii? Jaka jest odleg!o#% k towa pomi"dzy maksimami pierwszego rz"du dla tych linii? Maksimum pierwszego rz"du otrzymujemy z warunku
dsin# = m" dla m = 1
sin# = "/d = 0.236
# = 13.6°
30-2
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
Najprostszym sposobem znalezienia odleg!o#ci k towej jest powtórzenie oblicze& dla " = 589.59 i odj"cie obliczonych k tów ale trzeba prowadzi% bardzo precyzyjne obli-czenia tzn. dla wielu liczb znacz cych (nie tak jak powy$ej). Powtarzamy obliczenia
dla " = 589.00 nm # = 13.6270° dla " = 589.59 nm # = 13.6409°
st d -# = 0.0139°
Mo$emy jednak przeprowadzi% bezpo#rednie obliczenia tej ró$nicy. W tym celu zró$niczkujemy nasze równanie
""
"
###
dd
dd
d
)(sind./
012
3
%d
m
Otrzymujemy wtedy
"## dcosd
md %
Poniewa$ d!ugo#ci fal ma!o si" ró$ni wi"c mo$emy zapisa%
"## -%-d
mcos
sk d mamy
#"
#cos
-%-
m
Oczywi#cie otrzymujemy ten sam wynik ale obliczenia wymagaj tylko 2 cyfr znacz -cych zamiast 5 (jak ").
Wielko#% #"
#cosd
d
d
mD %% jest nazywana dyspersj k tow siatki dyfrakcyjnej i in-
formuje o odleg!o#ci k towej (rozdzieleniu) dwóch fal o ma!o ró$ni cych si" d!ugo-#ciach.
30.2 Dyfrakcja promieni Roentgena (promieni X)
Promienie X s falami elektromagnetycznymi o d!ugo#ciach fal rz"du 0.1 nm. (Dla przypomnienia #wiat!o $ó!te z przyk!adu 1 ma d!ugo#% równ 589 nm.) W 1912 r. Max von Laue zauwa$y!, $e cia!a sta!e zawieraj ce regularny uk!ad atomów mog stanowi% naturaln , trójwymiarow „siatk" dyfrakcyjn ” dla promieniowania X.
(Standardowe optyczne siatki dyfrakcyjne s bezu$yteczne bo " << d.).
Rysunek poni$ej pokazuje wi zk" promieni X, o widmie ci g!ym, padaj c na
kryszta!. Wi zki promieni powsta!e w wyniku interferencji fal ugi"tych na atomach pa-
30-3
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
daj na klisz" tworz c na niej charakterystyczny uk!ad punktów zwany obrazem Lau-
ego. Analiza po!o$e& i nat"$e& tych punktów pozwala na okre#lenie struktury kryszta!u.
wi¹ zka prom. X
kryszta³
wi¹ zki
ugiête obraz
Lauego
Na kolejnym rysunku pokazana jest komórka elementarna kryszta!u NaCl.
Ma!e kule przedstawiaj jony sodu, a du$e jony chloru.
Jest to najmniejsza jednostka, z której mo$na zbudowa% kryszta! (cegie!ka) poprzez do-
dawanie jej (powielanie) w trzech prostopad!ych kierunkach.
Ka$da komórka elementarna NaCl zawiera 4 jony sodu i cztery jony chloru czyli cztery
cz steczki NaCl (poza jonem w #rodku, pozosta!e nale$ te$ do komórek s siednich).
Dla NaCl d!ugo#% boku komórki elementarnej wynosi 0.562737 nm (porówna% z d!ugo-
#ci fali promieniowania X).
Nat"$enia linii siatki dyfrakcyjnej zale$ od geometrii pojedynczej szczeliny. W ideal-
nym przypadku zale$ od szeroko#ci szczeliny.
Tak samo nat"$enia wi zek rozproszonych na krysztale zale$ od geometrii pojedynczej
rozpraszaj cej komórki elementarnej.
30-4
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
30.3 Prawo Bragga
Prawo Bragga podaje warunki, w jakich jest mo$liwa dyfrakcja promieni Roentgena
krysztale. Rysunek poni$ej pokazuje ugi"cie wi zki promieni X na zespole równole-
g!ych p!aszczyzn (linie przerywane). Odleg!o#% mi"dzy p!aszczyznami wynosi d.
W krysztale mo$na wybra% wiele ró$nych rodzin p!aszczyzn o ró$nych odleg!o#ciach
mi"dzyp!aszczyznowych.
Rysunek (a) pokazuje fal" oddzia!uj c z rodzin p!aszczyzn, z których jedna jest poka-
zana na rysunku (b).
fala padaj ca fala
padaj ca
fala ugi!ta fala
ugi!ta
a a’
b’
b
4
#
d
a)
b)
Ugi"cie nast"puje na elementarnych centrach rozpraszania (komórki elementarne - od-
powiednik pojedynczej szczeliny).
Promienie ugi"te b"d si" sumowa% gdy ró$nica dróg b"dzie równa ca!kowitej wielo-
krotno#ci d!ugo#ci fali.
ab’ – a’b = ab(cos4 5 cos#) = k", k = 0, 1, 2,
Dla k = 0 otrzymujemy 4 = # tzn. p!aszczyzna wyznaczona przez atomy dzia!a jak
„zwierciad!o” odbijaj ce fal" padaj c (k t padania = k t odbicia) tzn. w tym kierunku
jest wzmocnienie promieniowania ugi"tego.
Je$eli chcemy otrzyma% wzmocnienie promieniowania odbitego od ca!ej rodziny p!asz-
czyzn dla kierunku okre#lonego przez k t # to musz si" wzmacnia% promienie odbite
od poszczególnych p!aszczyzn. Oznacza to, $e ró$nica dróg dla promieni odbitych od
s siednich p!aszczyzn musi by% równa ca!kowitej wielokrotno#ci ", tak wi"c
2dsin# = m", m = 1, 2, 3,....
Zale$no#% ta zosta!a podana przez W. L. Bragga i st d nazwa prawo Bragga.
W równaniu tym d oznacza odleg!o#% mi"dzy s siednimi p!aszczyznami.
St d wida%, $e dyfrakcja promieni X jest metod do#wiadczaln w badaniu rozmiesz-
czenia atomów w kryszta!ach.
Aby otrzyma% wyniki ilo#ciowe trzeba zna% d!ugo#% fali promieniowania X.
30-5
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
Wyk ad 31
31. Polaryzacja
Teoria przewiduje, "e #wiat!o podobnie jak ka"da fala elektromagnetyczna jest fal
poprzeczn . Kierunki drga$ wektorów E i B s prostopad!e do kierunku rozchodzenia
si% fali. Na rysunku poni"ej przedstawione fal% elektromagnetyczn , która ma jeszcze
dodatkowo pewn charakterystyczn w!asno#&:
wektory E s do siebie równoleg e we wszystkich punktach fali. Podobnie wektory B.
Mówimy, "e ta fala jest p asko spolaryzowana (spolaryzowana liniowo).
B
E
Drgaj cy wektor E tworzy z kierunkiem ruchu fali p!aszczyzn% zwan p aszczyzn!
drga".
W fali spolaryzowanej liniowo wszystkie takie p!aszczyzny s równoleg!e.
Z dotychczas opisanych do#wiadcze$ z interferencj i dyfrakcj nie mo"na wydeduko-
wa& poprzecznej natury fal #wietlnych poniewa" fale pod!u"ne te" interferuj i ulegaj
dyfrakcji.
Podstawy do#wiadczalne przynios!o nast%puj ce do#wiadczenie.
! W wyniku o#wietlenia kryszta!u kalcytu (CaCO3) z wi zki padaj cej mo"na uzyska&
dwie oddzielne wi zki (omówione w dalszej cz%#ci wyk!adu).
! Wi zki te chocia" oczywi#cie s spójne nie daj pr "ków interferencyjnych ale
równomierne o#wietlenie ekranu.
Young wywnioskowa! z tego faktu, "e #wiat!o jest fal poprzeczn i "e p!aszczyzny
drga$ w tych falach s prostopad!e wzgl%dem siebie.
Zauwa"my, "e chcemy doda& dwa zaburzenia falowe takie jak w do#wiadczeniu Youn-
ga tj. ale prostopad e do siebie.
E2
E1
31-1
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
Mo"na udowodni&, "e fale #wietlne spolaryzowane liniowo o równych amplitudach i
prostopad!ych kierunkach drga$ nie interferuj ze sob daj c jednakowe (niezale"nie od
ró"nicy faz) nat%"enie #wiat!a na ekranie. Tu tylko zauwa"my, "e te dwie fale nigdy si%
nie wygaszaj .
W fali poprzecznej, spolaryzowanej liniowo, nale"y okre#li& dwa kierunki:
! kierunek drgania (np. wektora E),
! kierunek rozchodzenia si% fali.
(Zauwa"my, "e w fali pod!u"nej te dwa kierunki si% pokrywaj .)
Przyk adem fal spolaryzowanych liniowo s fale elektromagnetyczne radiowe (oraz mi-
krofale) emitowane przez anten% dipolow .
W antenie takiej fale wytwarzane s przez !adunek elektryczny drgaj cy w gór% i w dó! anteny. Taka fala w du"ej odleg!o#ci od dipola, na osi prostopad!ej, ma wektor pola
elektrycznego równoleg!y do osi dipola (anteny) jest wi%c spolaryzowana liniowo. Kie-
dy taka fala pada na drugi dipol wówczas zmienne pole elektryczne (zmienny wektor E
fali) wywo!uje w antenie odbiorczej drgania elektronów do góry i w dó! (pr d zmien-
ny). Je"eli jednak obrócimy anten% o 90° wokó! kierunku padania fali, to wektor E b%-
dzie prostopad!y do anteny i nie wywo!a ruchu elektronów (antena nie odbiera sygna!u).
'ród!a #wiat!a widzialnego ró"ni si% od (róde! fal radiowych i mikrofal min. tym, "e
atomy (cz steczki) emituj ce #wiat!o dzia!aj niezale"nie.
W konsekwencji #wiat!o rozchodz ce si% w danym kierunku sk!ada si% z niezale#nych
ci!gów fal, których p!aszczyzny drga$ zorientowane s przypadkowo wokó! kierunku
ruchu fali (rysunek poni"ej). Takie #wiat!o chocia" jest fal poprzeczn jest niespolary-
zowane.
Rysunek poni"ej pokazuje ró"nic% mi%dzy fal poprzeczn spolaryzowan liniowo (a)
i fal poprzeczn niespolaryzowan (b). Rysunek (c) przedstawia inny równowa"ny
opis niespolaryzowanej fali poprzecznej; tutaj traktujemy j jako z!o"enie dwóch spola-
ryzowanych liniowo fal o przypadkowo zmiennej ró"nicy faz.
c)b)a)
Orientacja kierunków drga$ pól E wzgl%dem kierunku rozchodzenia si% fali jest te"
przypadkowa (ale prostopad!a).
Dla zbadania fal #wietlnych niespolaryzowanych potrzeba znale(& metod%, która po-
zwoli!aby rozdzieli& fale o ró"nych p!aszczyznach drga$.
31.1 P ytki polaryzuj!ce
Na rysunku (poni"ej) #wiat!o niespolaryzowane pada na p!ytk% z materia!u polary-
zuj cego, zwanego polaroidem.
31-2
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
W p!ytce istnieje pewien charakterystyczny kierunek polaryzacji zaznaczony liniami
równoleg!ymi. P!ytka przepuszcza tylko te fale, dla których kierunki drga$ wektora
elektrycznego s równoleg e do kierunku polaryzacji, a poch ania te fale, w których s
one prostopad e.
p ytkapolaryzuj!ca
Kierunek polaryzacji ustala si% w procesie produkcji:
! cz steczki o strukturze !a$cuchowej osadza si% na elastycznej warstwie plastycznej,
! warstw% rozci ga si% co powoduje równoleg!e u!o"enie cz steczek.
)eby zanalizowa& nat%"enie #wiat!a przechodz cego przez polaryzator rozpatrzmy ci g
fal padaj cy na polaroid tak, "e wektor E wyznaczaj cy p!aszczyzn% drga$ tworzy k t "
z kierunkiem polaryzacji p!ytki (rysunek).
Ey E
Ex
"
Ten ci g fal jest równowa"ny ci gom fal o sk!adowych Ex i Ey (sk!adowe wektora E).
Sk!adowa równoleg!a Ey = Ecos" jest przepuszczana podczas gdy sk!adowa prostopad!a
Ex = Esin" jest poch!aniana.
Postawmy teraz na drodze #wiat!a drug! p ytk$ polaryzuj!c! (tak zastosowan p!ytk%
nazywamy analizatorem). Je"eli p!ytk% drug (analizator) b%dziemy obraca& wokó! kie-
runku padania #wiat!a to nat%"enie #wiat!a przechodz cego przez obie p!ytki b%dzie si%
zmienia& osi gaj c minimum dla po!o"e$ ró"ni cych si% o 180° tj. przy prostopad!ych
kierunkach polaryzacji obu p!ytek.
31-3
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
p ytkapolaryzuj!ca
Je"eli amplituda pola elektrycznego fali padaj cej na analizator jest równa Em to ampli-
tuda fali wychodz cej z analizatora wynosi Emcos", gdzie " jest k tem pomi%dzy kie-
runkami polaryzacji obu p!ytek. Poniewa" nat%"enie #wiat!a jest proporcjonalne do
kwadratu amplitudy wi%c otrzymujemy
I = Imcos2" (30.1)
Zauwa"my, "e I ma maksimum dla " = 0° lub " = 180° a minimum dla " = 90° lub
" = 270°. Powy"sze równanie zwane jest prawem Malusa.
Znane s jeszcze inne sposoby otrzymywania #wiat!a spolaryzowanego. Niektóre omó-
wione s poni"ej.
31.2 Polaryzacja przez odbicie
W 1809 r. Malus odkry!, "e #wiat!o mo"e by& cz%#ciowo lub ca!kowicie spolaryzo-
wane przez odbicie. Rysunek przedstawia wi zk% niespolaryzowan padaj c na po-
wierzchni% szk!a.
# #
$
padaj ce !wiat"o niespolaryzowane
fala odbita
fala za"amana
sk"adowa %
sk"adowa &
powietrze
szk"o n = 1.5
Wektor E mo"na roz!o"y& na dwie sk!adowe:
31-4
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
! sk!adow & prostopad! do p!aszczyzny padania (p!aszczyzna rysunku),
! sk!adow % le" c w p!aszczy(nie padania.
Dla #wiat!a ca!kowicie niespolaryzowanego obie sk!adowe maja jednakowe amplitudy.
Stwierdzono do#wiadczalnie, "e dla szk!a (i innych materia!ów dielektrycznych) istnieje
pewien k t padania, nazywany k!tem ca kowitej polaryzacji #p, dla którego wspó!czyn-
nik odbicia sk!adowej % jest równy zero. Wtedy wi zka odbita jest spolaryzowana li-
niowo prostopadle do p!aszczyzny padania. Wi zka przechodz ca jest tylko cz%#ciowo
spolaryzowana (sk!adowa % jest ca!kowicie za!amana, a sk!adowa & tylko cz%#ciowo).
Zwró&my uwag%, "e wi zka za!amana ma wi%ksze nat%"enie od wi zki odbitej.
Do#wiadczalnie stwierdzono, "e gdy k t padania jest równy k towi ca!kowitej polary-
zacji to wówczas wi zka odbita i za!amana tworz k t prosty co oznacza "e
# + $ = 90°
Natomiast z prawa za!amania mamy
$# sinsin 21 nn '
Z obu tych równa$ otrzymujemy
### cos)90sin(sin 221 nnn '('
albo
nn
n''
1
2tg# (30.2)
przy czym promie$ pada z o#rodka 1 i za!amuje si% w o#rodku 2.
To ostatnie równanie jest nazywane prawem Brewstera.
Prawo to zosta!o znalezione do#wiadczalnie ale oczywi#cie mo"na je wyprowadzi& #ci-
#le przy pomocy równa$ Maxwella.
31.3 Za amanie podwójne
Dotychczas milcz co zak!adali#my, "e pr%dko#& #wiat!a, a wi%c i wspó!czynnik za-
!amania, nie zale#! od kierunku rozchodzenia si$ %wiat a w o%rodku ani od jego
polaryzacji. Cia!a spe!niaj ce te warunki nazywamy cia ami optycznie izotropowymi.
Istnieje jednak szereg cia! anizotropowych (nie izotropowych).
Dotyczy to nie tylko w!asno#ci optycznych ale wielu innych. Np. pewne kryszta!y !ami
si% !atwo tylko w jednej p!aszczy(nie, opór elektryczny mierzony w ró"nych kierunkach
jest ró"ny. Kryszta!y !atwiej magnesuje si% w jednym kierunku ni" innych itd.
Uwaga: Cia!a polikrystaliczne (z!o"one z wielu ma!ych kryszta!ków) z powodu przy-
padkowej orientacji kryszta!ków mog wydawa& si% izotropowymi.
Na pocz tku wyk!adu wspomniany zosta! eksperyment z kryszta!em kalcytu.
Na rysunku poni"ej niespolaryzowana wi zka #wiat!a pada na kryszta! kalcytu prosto-
padle do jednej z jego #cian.
31-5
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
wi!zkapadaj!ca
kryszta CaCO3
e
o
Pojedyncza wi zka rozszczepia si% na powierzchni kryszta!u na dwie.
Mamy do czynienia z podwójnym za amaniem.
Mo"emy zanalizowa& obie wychodz ce wi zki za pomoc p!ytki polaryzuj cej.
Okazuje si%, "e obie wi zki s spolaryzowane liniowo, przy czym ich p!aszczyzny
drga$ s wzajemnie prostopad e. Wi zki te s oznaczone przez o i e.
Je"eli zmienimy k t padania to oka"e si%, "e jedna z wi zek tzw. promie" zwyczajny o
spe!nia prawo za!amania (tak jak dla o#rodka izotropowego) a druga wi zka tzw. pro-
mie" nadzwyczajny e nie spe!nia tego prawa.
Na rysunku k t padania jest równy zeru wi%c i k t za!amania te" powinien by& zerowy
i tak jest dla promienia o ale nie dla promienia e.
Ró"nic% t% mo"na wyja#ni& nast%puj co:
! promie$ o przechodzi przez kryszta! z jednakow pr%dko#ci we wszystkich kierun-
kach tzn. ma jeden wspó!czynnik za!amania n0 tak jak izotropowe cia!o sta!e.
! promie$ e ma pr%dko#& w krysztale zale"na od kierunku tzn. pr%dko#& zmienia si%
od v0 do ve a wspó!czynnik za!amania od no do ne. Dla kalcytu ne = 1.658, no =
1.486.
Wielko#ci ne i n0 nazywamy g ównymi wspó czynnikami za amania kryszta u.
Niektóre podwójnie za!amuj ce kryszta!y maj interesuj c w!asno#& nazywan dichro-
izmem, polegaj c na tym, "e jedna ze sk!adowych polaryzacji jest poch!aniana silniej
ni" druga. W!asno#& ta jest pokazana na rysunku na nast%pnej stronie. Na tej zasadzie
opiera si% dzia!anie szeroko stosowanych polaroidów.
Zamiast du"ej p!ytki wyci%tej z kryszta!u mo"na zastosowa& wiele ma!ych kryszta!ów
o osiach optycznych ustawionych równolegle do siebie.
31-6
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
!wiat"o niespolaryzowane
Niektóre przezroczyste cia!a bezpostaciowe jak szk!a czy tworzywa sztuczne optycznie
izotropowe pod wp!ywem przy!o"onych napr%"e$ mechanicznych staj si% optycznie
anizotropowe.
Fakt ten jest szeroko wykorzystywany w technice do badania napr%"e$ w ró"nych kon-
strukcjach i mechanizmach.
Napr%"enia mo"na wyznaczy& ilo#ciowo, buduj c model plastyczny urz dzenia, które
poddaje si% dzia!aniu ró"nych si!. Anizotropi% optyczn , jaka przy tym powstaje w mo-
delu, bada si% przy pomocy polaryzacji.
31-7
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
Wyk ad 32
32. !wiat o a fizyka kwantowa
32.1 ród!a "wiat!a
Najbardziej znanymi "ród!ami #wiat!a s rozgrzane cia!a sta!e i gazy, w których za-chodzi wy!adowanie elektryczne; np. ! wolframowe w!ókna $arówek ! jarzeniówki Promieniowanie wysy!ane przez ogrzane (do pewnej temperatury) cia!a nazywamy pro-mieniowaniem termicznym. Wszystkie cia!a emituj takie promieniowanie do otoczenia, a tak$e z tego otoczenia je absorbuj . Je$eli cia!o ma wy$sz temperatur% od otoczenia to b%dzie si% ozi%bia& poniewa$ szyb-ko#& promieniowania przewy$sza szybko#& absorpcji (ale oba procesy wyst!puj !!). Gdy osi gni%ta zostanie równowaga termodynamiczna wtedy te pr%dko#ci b%d równe. Za pomoc spektrometru mo$emy zanalizowa& #wiat!o emitowane przez te "ród!a tzn. dowiedzie& si% jak silnie i jakie d!ugo#ci fal wypromieniowuje. Dla przyk!adu, na rysunku poni$ej pokazane jest widmo promieniowania dla ta#my wolframowej ogrzanej do T = 2000 K.
0 1 2 3 4 5
zakres
widzialny
wolfram
T = 2000 K
cia o doskonale czarne
T = 2000 K
R"
" (#m)
Zanotujmy, $e: ! Widmo emitowane przez cia!a sta!e ma charakter ci g"y, ! Szczegó!y tego widma s prawie niezale$ne od rodzaju substancji, ! Widmo silnie zale$y od temperatury. Zwró&my uwag%, $e w zwyk!ych temperaturach wi%kszo#& cia! jest dla nas widoczna dlatego, $e odbijaj one (lub rozpraszaj ) #wiat!o, które na nie pada a nie dlatego, $e
32-1
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
cia!a te wysy!aj promieniowanie widzialne (#wiec ). Je$eli nie pada na nie #wiat!o (np. w nocy) to s one niewidoczne. Dopiero gdy cia!a maj wysok temperatur% wtedy #wiec w!asnym #wiat!em. Ale jak wida& z rysunku i tak wi%kszo#& emitowanego promieniowania jest niewidzialna bo przypada na zakres promieniowania cieplnego (podczerwie'). Dlatego cia!a, #wiec ce w!asnym #wiat!em s bardzo gor ce. Je$eli b%dziemy rozgrzewa& kawa!ek metalu to pocz tkowo chocia$ jest on gor cy to z jego wygl du nie mo$na tego stwierdzi& (bo nie #wieci); mo$na to tylko zrobi& doty-kiem. Emituje wi%c promieniowanie podczerwone (ciep!o). Ze wzrostem temperatury kawa!ek metalu staje si% pocz tkowo ciemno-czerwony, nast%pnie jasno-czerwony, a$ wreszcie #wieci #wiat!em niebiesko-bia!ym. Wielko#& R" przedstawiona na wykresie na osi pionowej nazywana jest widmow zdol-
no#ci emisyjn promieniowania i jest tak zdefiniowana, ze wielko#& R"d" oznacza szybko#&, z jak jednostkowy obszar powierzchni wypromieniowuje energi% odpowia-daj c d!ugo#ciom fal zawartym w przedziale ", "+d". Czasami chcemy rozpatrywa& ca!kowit energi% wysy!anego promieniowania w ca!ym zakresie d!ugo#ci fal. Wielko#& ta nazywana jest ca"kowit emisja energetyczna pro-
mieniowania R. Emisj% ca!kowit R mo$emy obliczy& sumuj c emisj% dla wszystkich d!ugo#ci fal tzn. ca!kuj c R" po wszystkich d!ugo#ciach fal.
$%
&0
""dRR
Oznacza to, $e mo$emy interpretowa& emisj% energetyczn promieniowania R jako po-wierzchni% pod wykresem R" od ". Ilo#ciowe interpretacje widm promieniowania przedstawiaj powa$ne trudno#ci. Dlatego pos!ugujemy si% wyidealizowanym obiektem (modelem), ogrzanym cia!em sta-!ym, zwanym cia"em doskonale czarnym. (Takie post%powali#my ju$ w przypadku ga-zów; rozwa$ali#my modelowy obiekt tzw. gaz doskona!y.) Przyk!adem takiego cia!a mo$e by& obiekt pokryty sadz (obiekt nie odbija #wiat!a, je-go powierzchnia absorbuje #wiat!o). My jednak omówimy inny przyk!ad.
32.2 Cia!o doskonale czarne
Rozwa$my trzy bloki metalowe posiadaj ce puste wn%ki wewn trz (takie jak na ry-sunku). W #ciankach tych bloków wywiercono otworki (do tych wn%k).
32-2
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
Promieniowanie pada na otwór z zewn trz i po wielokrotnych odbiciach od wewn%trz-nych #cian zostaje ca!kowicie poch!oni%te. Oczywi#cie #cianki wewn%trzne te$ emituj promieniowanie, które mo$e wyj#& na zewn trz przez otwór (przyk!ad - otwór okienny). Ka$dy z tych bloków (np. wolfram, tantal, molibden) ogrzewamy równomiernie do jed-nakowej temperatury np. 2000 K. Bloki znajduj si% w nieo#wietlonym pomieszczeniu, tak $e obserwujemy tylko #wiat!o wysy!ane przez nie. Pomiary wykonane pokazuj , $e: ! Promieniowanie wychodz ce z wn%trza bloków ma zawsze wi%ksze nat%$enie ni$
promieniowanie ze #cian bocznych (rysunek powy$ej), ! Dla danej temperatury emisja promieniowania wychodz cego z otworów jest iden-
tyczna dla wszystkich $róde" promieniowania, pomimo $e dla zewn%trznych po-wierzchni te warto#ci s ró$ne,
! Emisja energetyczna promieniowania cia!a doskonale czarnego (nie jego po-wierzchni) zmienia si% wraz z temperatur wed!ug prawa Stefana
4TRC '& (32.1)
gdzie ' jest uniwersaln sta! (sta!a Stefana-Boltzmana) równ 5.67·10-8 W/(m2K). Dla zewn%trznych powierzchni to empiryczne prawo ma posta&:
4TeRC '&
gdzie zdolno#& emisyjna e jest wielko#ci zale$n od substancji i, co jeszcze bardziej skomplikowane, od temperatury. R" dla cia!a doskonale czarnego zmienia si% z temperatur tak jak na rysunku poni$ej.
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0
T = 3000 K
T = 4000 K
T = 5000 K
T = 6000 K
obszar widzialnyklasyczna teoria
R"
" (#m)
D!ugo#& fali dla której przypada maksimum emisji jest odwrotnie proporcjonalna do temperatury cia!a.
32-3
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
Uwaga: Krzywe te zale$ tylko od temperatury i s ca!kiem niezale$ne od materia!u oraz kszta!tu i wielko#ci cia!a czarnego. Rozpatrzmy teraz, pokazane na rysunku poni$ej, dwa cia!a doskonale czarne (dwie wn%ki).
RARB
T T
! Kszta!ty wn%k s dowolne, ! Temperatura #cianek obu wn%k jest jednakowa. Promieniowanie oznaczone RA przechodzi z wn%ki A do wn%ki B, a promieniowanie RB w odwrotnym kierunku. Je$eli te szybko#ci nie by!yby równe wówczas jeden z bloków ogrzewa!by si% a drugi styg!. Oznacza!oby to pogwa!cenie drugiej zasady termodyna-miki. Mamy wi%c
RA = RB = RC
gdzie RC opisuje ca!kowite promieniowanie dowolnej wn%ki. Nie tylko energia ca!kowita ale równie$ jej rozk!ad musi by& taki sam dla obu wn%k. Stosuj c to samo rozumowanie co poprzednio mo$na pokaza&, $e
R"A = R"B = R"C
gdzie R"C oznacza widmow zdolno#& emisyjn dowolnej wn%ki.
32.3 Teoria promieniowania we wn#ce, prawo Plancka
32.3.1 Rozwa"ania klasyczne
Na prze!omie ubieg!ego stulecia Rayleigh i Jeans wykonali obliczenia energii pro-mieniowania we wn%ce (czyli promieniowania cia!a doskonale czarnego). Najpierw zastosowali oni klasyczn teori% pola elektromagnetycznego do pokazania, $e promieniowanie wewn trz wn%ki ma charakter fal stoj cych (w%z!y na #ciankach wn%-ki). Zgodnie z fizyk klasyczn , energia ka%dej fali mo%e przyjmowa& dowoln warto#& od
zera do niesko'czono#ci, przy czym energia jest proporcjonalna do kwadratu amplitudy. Nast%pnie Rayleigh i Jeans obliczyli warto#ci #redniej energii w oparciu o znane nam prawo ekwipartycji energii i w oparciu o ni znale"li widmow zdolno#& emisyjn . Uzyskany wynik jest pokazany na wykresie na stronie 3 (teoria klasyczna). Jak wida& rozbie$no#& mi%dzy wynikami do#wiadczalnymi i teori jest du$a. Dla fal d!ugich (ma-
32-4
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
!ych cz%stotliwo#ci) wyniki teoretyczne s bliskie krzywej do#wiadczalnej, ale dla wy$-szych cz%stotliwo#ci wyniki teoretyczne d $ do niesko'czono#ci podczas gdy g%sto#& energii zawsze pozostaje sko'czona. Ten sprzeczny z rzeczywisto#ci wynik rozwa$a' klasycznych nazywany jest „katastrof w nadfiolecie”.
32.3.2 Teoria Plancka promieniowania cia a doskonale czarnego
W 1900 roku Max Planck przedstawi! Berli'skiemu Towarzystwu Fizycznemu em-
piryczny wzór opisuj cy widmow zdolno#& emisyjn daj cy wyniki zgodne z do-
#wiadczeniem.
1
125
1
(&
Tce
cR
"" " (32.2)
Wzór ten stanowi! modyfikacj% znanego ju$ prawa Wiena i chocia$ wa$ny nie stanowi! sam nowej teorii (by! to wzór empiryczny).
Próbuj c znale"& tak teori% Planck za!o$y!, $e atomy #cian zachowuj si% jak oscylato-
ry elektromagnetyczne, które emituj (i absorbuj ) energi% do wn%ki, z których ka$dy
ma charakterystyczn cz%stotliwo#& drga'.
Rozumowanie Plancka doprowadzi!o do przyj%cia dwóch radykalnych za!o$e' dotycz -
cych tych oscylatorów atomowych:
1. Oscylator nie mo$e mie& dowolnej energii, lecz tylko energie dane wzorem
E = nhv (32.3)
gdzie v oznacza cz%sto#& oscylatora, h -sta! (zwan obecnie sta! Plancka),
n - pewn liczb% ca!kowit (zwan obecnie liczb kwantow ).
Z powy$szego wzoru wynika, $e energia jest skwantowana i mo$e przyjmowa& tyl-
ko #ci#le okre#lone warto#ci. Tu jest zasadnicza ró$nica bo teoria klasyczna zak!ada-
!a dowoln warto#& energii od zera do niesko'czono#ci.
2. Oscylatory nie wypromieniowuj energii w sposób ci g!y, lecz porcjami czyli
kwantami. Kwanty s emitowane gdy oscylator przechodzi z jednego stanu o danej
energii do drugiego o innej energii
)E = )nhv = hv
gdy n zmienia si% o jedno#&.
Dopóki oscylator pozostaje w jednym ze swoich stanów kwantowych (stany stacjonar-
ne) dopóty ani nie emituje ani nie absorbuje energii.
Sprawd"my czy ta hipoteza stosuje si% do znanych nam oscylatorów takich jak np. spr%-
$yna o masie m = 1 kg i sta!ej spr%$ysto#ci k = 20 N/m wykonuj ca drgania o amplitu-
dzie 1 cm. Dla takiej spr%$yny cz%stotliwo#& drga' w!asnych wynosi
Hzm
kv 71.0
2
1&&
*
32-5
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
Warto#& energii ca!kowitej (mechanicznej) tej spr%$yny wynosi
JkAE 32 1012
1 (+&&
Je$eli energia jest skwantowana to jej zmiany dokonuj si% skokowo przy czym
)E = hv. Wzgl%dna zmiana energii wynosi wi%c
)E/E = 4.7·10-31
W celu zaobserwowania (zarejestrowania) tych nieci g!ych zmian energii trzeba by
wykona& pomiar energii z dok!adno#ci przewy$szaj c wielokrotnie czu!o#& przyrz -
dów pomiarowych.
Tak wi%c dla „du$ych” oscylatorów natura kwantowa drga' nie jest widoczna podobnie
jak w uk!adach makroskopowych nie widzimy dyskretnej natury materii (cz steczek,
atomów, elektronów itp.).
Wnioskujemy, $e do#wiadczenia ze zwyk!ym wahad!em nie mog rozstrzygn & o s!usz-
no#ci postulatu Plancka.
Zanim przejdziemy do przedstawienia innych do#wiadcze' (zjawisko fotoelektryczne i
efekt Comptona) omówmy zastosowanie prawa promieniowania w termometrii.
32.3.3 Zastosowanie prawa promieniowania w termometrii
Promieniowanie emitowane przez gor ce cia!o mo$na wykorzysta& do wyznaczenia
jego temperatury. Je$eli mierzy si% ca!kowite promieniowanie, to mo$na zastosowa&
prawo Stefana-Boltzmana.
Przyk"ad 1
(rednia ilo#& energii (na jednostk% czasu) promieniowania s!onecznego padaj cego na
jednostk% powierzchni Ziemi wynosi 355 W/m2. Jak temperatur% b%dzie mia!a po-
wierzchnia Ziemi, je$eli przyj &, $e Ziemia jest cia!em doskonale czarnym, wypromie-
niowuj cym w przestrze' w!a#nie tyle energii na jednostk% powierzchni i czasu?
4TRC '&
C8K2814 &&&
'CR
T
(Wynik bardzo dobrze zgodny z do#wiadczeniem.)
Poniewa$ dla wi%kszo#ci "róde! trudno dokona& pomiaru ca!kowitego promieniowania
wi%c mierzy si% ich zdolno#& emisyjn dla wybranego zakresu d!ugo#ci fal. Z prawa
Plancka wynika, $e dla dwu cia! o temperaturach T1 i T2 stosunek nat%$e' promienio-
wania o d!ugo#ci fali " wynosi
1
12
1
2
1
(
(&
kThc
kThc
e
e
I
I"
"
32-6
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
Je$eli T1 przyjmiemy jako standardow temperatur% odniesienia to mo$emy wyznaczy&
T2 wyznaczaj c do#wiadczalnie I1/I2.
Do tego celu pos!ugujemy si% pirometrem (rysunek poni$ej).
A
!ród opromieniowania
w ókno pirometru
mikroskop
Obraz "ród!a (o nieznanej temperaturze) powstaje w miejscu gdzie znajduje si% w!ókno
$arowe pirometru. Dobieramy pr d $arzenia tak aby w!ókno sta!o si% niewidoczne na tle
"ród!a (#wieci tak samo jasno). Poniewa$ urz dzenie jest wyskalowane mo$emy teraz
odczyta& temperatur% "ród!a.
32.4 Zjawisko fotoelektryczne
Na rysunku przedstawiono aparatur% do badania zjawiska fotoelektrycznego. W
szklanej ba'ce, w której panuje wysoka pró$nia, znajduj si% dwie metalowe elektrody
A i B.
A B
GV
"wiat opadaj#ce
prze #cznik
! (wiat!o pada na metalow p!ytk% A i uwalnia z niej elektrony, które nazywamy fo-
toelektronami.
32-7
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
! Fotoelektrony mo$na zarejestrowa& jako pr d elektryczny p!yn cy mi%dzy p!ytk A
oraz elektrod zbieraj c B przy wytworzeniu mi%dzy nimi odpowiedniej ró$nicy
potencja!ów V (tak aby elektrony by!y przyci gane do B). Do pomiaru pr du stosu-
jemy czu!e galwanometry.
Poni$ej pokazana jest zale$no#& pr du fotoelektrycznego od przy!o$onego napi%cia
(ró$nicy potencja!ów V).
Ia
Ib
+ - V0 V
Gdy V jest dostatecznie du$e, wtedy pr d fotoelektryczny osi ga maksymaln warto#&
(pr d nasycenia). Wszystkie elektrony wybijane z p!ytki A docieraj do elektrody B.
Je$eli zmienimy znak napi%cia V, to pr d nie spada do zera natychmiast (przy V = 0
mamy niezerowy pr d).
Oznacza to, %e fotoelektrony emitowane z p"ytki A maj pewn energi! kinetyczn .
Nie wszystkie elektrony maj jednakowo du$a energi% kinetyczn bo tylko cz%#& z nich
dolatuje do elektrody B (pr d mniejszy od maksymalnego). Przy dostatecznie du$ym
napi%ciu (V0) zwanym napi!ciem hamowania pr d zanika. Ró$nica potencja!ów V0 po-
mno$ona przez !adunek elektronu e jest miar energii najszybszych elektronów (przy V0
nawet najszybsze elektrony s zahamowane, nie dochodz do B)
Ekmax = eV0 (32.4)
Krzywe a i b na rysunku ró$ni si% nat%$eniem padaj cego #wiat!a (Ib > Ia). Wida&
wi%c, $e Ekmax nie zale$y od nat%$enia #wiat!a. Zmienia si% tylko pr d nasycenia, a to
oznacza, $e wi zka o #wiat!a wi%kszym nat%$eniu wybija wi%cej elektronów (ale nie
szybszych).
Wynik innego do#wiadczenia pokazuje kolejny rysunek.
32-8
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
12 8 4 0
cz stotliwo ! (10 Hz)
Vh (V)
3
2
1
14
Pokazano tu zale no!" napi#cia hamowania od cz#stotliwo!ci !wiat$a padaj%cego dla sodu. (Millikan, Nobel w 1923). Zauwa my, e istnieje pewna warto!" progowa cz#stotliwo!ci, poni ej której zjawisko fotoelektryczne nie wyst#puje. Opisane zjawisko fotoelektryczne ma trzy cechy, których nie mo na wyja!ni" na grun-cie klasycznej falowej teorii !wiat$a: 1. Z teorii klasycznej wynika, e wi#ksze nat# enia !wiat$a oznacza wi#ksze pole elek-
tryczne E (I ~ E2). Poniewa si$a dzia$aj%ca na elektron wynosi eE wi#c gdy ro!nie
nat# enie !wiat$a to powinna rosn%" ta si$a, a w konsekwencji energia kinetyczna elektronów. Tymczasem stwierdzili!my, e Ekmax nie zale y od nat# enia !wiat$a. Zgodnie 2. z teori% falow% zjawisko fotoelektryczne powinno wyst#powa" dla ka dej
3. ron absorbuje
Ein $o eniu, e
E = hv (32.5)
cz#stotliwo!ci !wiat$a pod warunkiem dostatecznego nat# enia. Jednak dla ka dego materia$u istnieje progowa cz#stotliwo!" v0, poni ej której nie obserwujemy zjawi-ska fotoelektrycznego bez wzgl#du na jak silne jest o!wietlenie. Poniewa energia w fali jest „roz$o ona” w ca$ej przestrzeni to elekt
tylko niewielk% cz#!" energii z wi%zki (bo jest bardzo ma$y). Mo na wi#c spodzie-
wa" si# opó&nienia pomi#dzy pocz%tkiem o!wietlania, a chwil% uwolnienia elektro-
nu (elektron musi mie" czas na zgromadzenie dostatecznej energii). Jednak nigdy
nie stwierdzono adnego mierzalnego opó&nienia czasowego.
steinowi uda$o si# wyja!ni" efekt fotoelektryczny dzi#ki nowemu za
energia wi%zki !wietlnej rozchodzi si# w przestrzeni w postaci sko'czonych porcji
(kwantów) energii zwanych fotonami. Energia pojedynczego fotonu jest dana wzorem
Przypomnijmy sobie, e Planck utrzymywa$, e ród!o emituje "wiat!o w sposób nieci#-
fala ale jak
hv = W + Ekmax (32.6)
g!y ale w przestrzeni rozchodzi si$ ono jako fala elektromagnetyczna.
Hipoteza Einsteina sugeruje, e !wiat$o rozchodzi si# w przestrzeni nie jak
cz%stka. Stosuj%c t# hipotez# do efektu fotoelektrycznego otrzymamy
32-9
Z. K%kol-Notatki do Wyk$adu z Fizyki
gdzie hv oznacza energi# fotonu. Równanie to g$osi, e jeden foton dostarcza energii hv,
która w cz#!ci (W) zostaje zu yta na wyrwanie elektronu z materia$u (jego przej!cie
przez powierzchni#). Ewentualny nadmiar energii (hv – W) elektron otrzymuje w posta-
ci energii kinetycznej, przy czym cz#!" z niej mo e by" stracona w zderzeniach we-
wn#trznych (przed opuszczeniem materia$u).
Rozpatrzmy teraz ponownie (z nowego punktu widzenia) trzy cechy fotoefektu nie da-
j%ce si# wyja!ni" za pomoc% klasycznej teorii falowej.
1. Podwajaj%c nat# enie !wiat$a podwajamy liczb# fotonów a nie zmieniamy ich ener-
gii. Ulega wi#c podwojeniu fotopr%d a nie Ekmax, która nie zale y tym samym od na-
t# enia.
2. Je eli mamy tak% cz#stotliwo!", e hv0 = W to wtedy Ekmax = 0. Nie ma nadmiaru
energii. Wielko!" W nazywamy prac# wyj"cia dla danej substancji. Je eli v < v0 to
fotony niezale nie od ich liczby (nat# enia !wiat$a) nie maj% dosy" energii do wy-
wo$ania fotoemisji.
3. Dostarczana jest energia w postaci skupionej (kwant, porcja) a nie roz$o onej (fala).
Mo emy przepisa" równanie dla fotoefektu w postaci
e
Wv
e
hV !0 (32.7)
Wida", e teoria przewiduje liniow% zale no!" pomi#dzy napi#ciem hamowania, a cz#-
stotliwo!ci%, co jest ca$kowicie zgodne z do!wiadczeniem.
Teoria fotonowa ca$kowicie potwierdza wi#c fakty zwi%zane ze zjawiskiem fotoelek-
trycznym, wydaje si# jednak by" sprzeczna z teori% falow%, która te potwierdzona zo-
sta$a do!wiadczalnie (np. dyfrakcja).
Nasz obecny punkt widzenia na natur# !wiat$a jest taki, e ma ono dwoisty charakter,
tzn. w pewnych warunkach zachowuje si# jak fala, a w innych jak cz%stka, czyli foton.
Ta dwoista natura b#dzie jeszcze omawiana na dalszych wyk$adach.
32.5 Efekt Comptona
Do!wiadczalne potwierdzenie istnienia fotonu jako sko'czonej porcji energii zosta$o
dostarczone prze Comptona w 1923 r (Nobel w 1927).
Wi%zka promieni X o dok$adnie okre!lonej d$ugo!ci fali pada na blok grafitowy (rysu-
nek poni ej).
32-10
Z. K%kol-Notatki do Wyk$adu z Fizyki
"ród#o promieni
grafitowy blok rozpraszaj$cy
szczeliny kolimuj$ce
detektor
kryszta# grafitu
"
Compton mierzy$ nat# enie wi%zki rozproszonej pod ró nymi k%tami jako funkcj# #.
Wyniki pokazane s% na nast#pnej stronie. Wida", e chocia wi%zka padaj%ca na grafit
ma jedn% d$ugo!" fali to rozproszone promienie X maj% maksimum dla dwóch d$ugo!ci
fali. Jedna z nich jest identyczna jak # fali padaj%cej, druga #' jest wi#ksza (d$u sza) o
$#. To tzw. przesuni$cie Comptona zmienia si# z k%tem obserwacji rozproszonego
promieniowania X (czyli #' zmienia si# z k%tem).
Je eli padaj%ce promieniowanie potraktujemy jako fal# to pojawienie si# fali rozproszo-
nej o d$ugo!ci #' nie da si# wyja!ni".
32-11
Z. K%kol-Notatki do Wyk$adu z Fizyki
" = 45°
" = 90°
" = 135°
°A
0.7500.700
" = 0°
# ,
Compton potrafi$ wyja!ni" swoje wyniki przyjmuj%c, e wi%zka promieni X nie jest fa-
l%, a strumieniem fotonów o energii hv. Za$o y$ on, e fotony (jak cz%stki) ulegaj% zde-
rzeniu z elektronami swobodnymi w bloku grafitu. Podobnie jak w typowych zderze-
niach (np. kule bilardowe) zmienia si# kierunek poruszania si# fotonu oraz jego energia
(cz#!" energii przekazana elektronowi). To ostatnie oznacza zmian# cz#stotliwo!ci i
zarazem d$ugo!ci fali. Sytuacja ta jest schematycznie pokazana na rysunku poni ej.
foton
foton #'
#
elektron
elektron
v=0
v
"
%
Stosuj%c zasad# zachowania p#du oraz zasad# zachowania energii (stosujemy wyra enia
relatywistyczne) otrzymamy ostatecznie wynik
32-12
Z. K%kol-Notatki do Wyk$adu z Fizyki
)cos1(0
"### ! &!$cm
h (32.8)
gdzie m0 jest mas% elektronu (spoczynkow%).
Tak wi#c przesuni#cie Comptona zale y tylko od k%ta rozproszenia.
Pozostaje tylko wyja!ni" wyst#powanie maksimum dla nie zmienionej #. Za ten efekt
odpowiedzialne s% zderzenia z elektronami rdzenia jonowego. W zderzeniu odrzutowi
ulega ca$y jon o masie M. Dla w#gla (grafitu) M = 22000 m0 wi#c otrzymujemy niemie-
rzalnie ma$e przesuni#cie Comptona.
32-13
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Komputeryzacji
Wyk ad 33
33. Model atomu Bohra
33.1 Wst p
Do roku 1910 znano wiele wyników eksperymentalnych, które wskazywa!y na to, "e
atomy zawieraj elektrony (np. zjawisko fotoelektryczne).
Poniewa" w normalnych warunkach atomy s elektrycznie oboj#tne, a zatem musz one
mie$ !adunek dodatni równy ujemnemu.
Poniewa" masa elektronów jest bardzo ma!a w porównaniu z mas najl"ejszych nawet
atomów oznacza!o ponadto, "e !adunki dodatnie zwi zane s ze znaczn mas .
Tego typu rozwa"ania prowadzi!y do pytania, jak wygl da rozk!ad !adunków dodatnich
i ujemnych w atomie.
J. J. Thomson zaproponowa! model budowy atomu, zgodnie z którym ujemnie na!ado-
wane elektrony znajduj si# wewn trz pewnego obszaru wype!nionego w sposób ci g!y
!adunkiem dodatnim („ciasto z rodzynkami”).
%adunek dodatni tworzy! kul# o promieniu rz#du 10
-10 m. W tej kuli !adunki ujemne
by!yby roz!o"one równomiernie (w wyniku si! odpychania).
W atomie znajduj cym si# w stanie o najni"szej energii elektrony by!y nieruchome. Na-
tomiast w atomach o wy"szej energii, tzn. w atomach wzbudzonych (np. w wysokiej
temperaturze) elektrony wykonywa!yby drgania wokó! po!o"e& równowagi.
Uwaga: Zgodnie z prawami elektrodynamiki klasycznej ka de na!adowane cia!o poru-
szaj"ce si# ruchem przyspieszonym wysy!a promieniowanie elektromagnetyczne. Do-
wód wykracza poza ramy tego wyk!adu ale przypomnijmy sobie jeszcze raz anten# di-
polow . Zmienne pole elektryczne w antenie wywo!uje drgania !adunku (pr d zmienny)
i antena emituje fal# elektromagnetyczn .
Tak wi#c drgaj cy elektron wysy!a!by promieniowanie i w ten sposób model Thomsona
wyja'nia! zjawisko emisji promieniowania przez wzbudzone atomy.
Jednak zgodno'ci ilo'ciowej z do'wiadczeniem nie uzyskano.
Ostateczny dowód nieadekwatno'ci modelu Thomsona otrzyma! w 1911 r. jego ucze&
E. Rutherford analizuj c wyniki rozpraszania cz stek na atomach.
Z przeprowadzonej przez Rutherforda analizy wynika!o, "e !adunek dodatni nie jest roz-
!o"ony równomiernie wewn trz atomu, ale skupiony w ma!ym obszarze zwanym j"-
drem (o rozmiarze 10-14
m) le" cym w 'rodku atomu.
Model j drowy atomu zaproponowany przez Rutherforda znalaz! potwierdzenie w sze-
regu do'wiadcze&.
Zgodnie z tym modelem:
33-1
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Komputeryzacji
!" W 'rodku atomu znajduje si# j dro o masie w przybli"eniu równej masie ca!ego
atomu,
!" %adunek j dra jest równy iloczynowi liczby atomowej Z i !adunku e,
!" Wokó! j dra znajduje si# Z elektronów, tak "e ca!y atom jest oboj#tny.
Wa"nym problemem pozostaje wyja'nienie zagadnienia stabilno'ci takiego atomu.
Elektrony nie mog by$ nieruchome bo w wyniku przyci gania z dodatnim j drem zo-
sta!yby do niego przyci gni#te i wtedy „wróciliby'my” do modelu Thomsona. Je"eli
dopu'cimy ruch elektronów wokó! j dra (tak jak planety wokó! S!o&ca w uk!adzie s!o-
necznym) to te" natrafiamy na trudno'$ interpretacyjn . Kr " cy elektron doznaje stale
przyspieszenia (do'rodkowego) i zgodnie z elektrodynamik klasyczn wysy!a energi#
kosztem swojej energii mechanicznej. Oznacza!oby to, "e porusza!by si# po spirali osta-
tecznie spadaj c na j dro (model Thomsona).
Problem stabilno'ci atomów doprowadzi! do powstania nowego modelu zaproponowa-
nego przez N. Bohra. Podstawow cech tego modelu by!o to, "e umo"liwia! przewi-
dywanie widm promieniowania wysy!anego przez atomy.
Najpierw omówimy wi#c podstawowe cechy tych widm.
33.2 Widma atomowe
Na rysunku przedstawiony jest typowy uk!ad do pomiaru widm atomowych.
(ród!em promieniowania jest jednoatomowy gaz pobudzony do 'wiecenia metod wy-
!adowania elektrycznego. Promieniowanie przechodzi przez szczelin# kolimuj c , a na-
st#pnie pada na pryzmat (lub siatk# dyfrakcyjn ), który rozk!ada promieniowanie na
sk!adowe o ró"nych d!ugo'ciach fal.
Na kliszy fotograficznej uwidacznia si# cecha szczególna obserwowanych widm.
W przeciwie&stwie do widma ci g!ego emitowanego np. przez powierzchnie cia! ogrza-
nych do wysokich temperatur, promieniowanie wysy!ane przez swobodne atomy zawie-
ra tylko pewn liczb# d!ugo'ci fal. Ka"da z takich sk!adowych d!ugo'ci fal nazywana
jest lini (bo taki jest obraz szczeliny).
Na rysunku na nast#pnej stronie pokazana jest widzialna cz#'$ widma atomu wodoru.
33-2
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Komputeryzacji
360 400 440 480 520 560 600 640 680
# (nm)
To w!a'nie badanie widma wodoru doprowadzi!o Bohra do sformu!owania nowego mo-
delu atomu. Model ten chocia" posiada pewne braki to ilustruje id# kwantowania w spo-
sób prosty matematycznie.
33.3 Model Bohra atomu wodoru
Jak ju" mówili'my fizyka klasyczna przewidywa!a, "e atom kr " cy po orbicie b#-
dzie wypromieniowywa! energi#, tak "e cz#sto'$ elektronu a za tym tak"e cz#sto'$ wy-
sy!anego promieniowania b#dzie si# zmienia$ w sposób ci g!y. Tymczasem obserwu-
jemy bardzo ostre linie widmowe o 'ci'le okre'lonej cz#stotliwo'ci (d!ugo'ci fali).
Bohr unikn ! tej trudno'ci zak!adaj c, "e podobnie jak oscylatory Plancka, tak samo
Ek – Ej = hv (33.1)
atom wodoru mo"e znajdowa$ si# w 'ci'le okre'lonych stanach energetycznych, w któ-
rych nie wypromieniowuje energii. Emisja nast#puje tylko wtedy gdy atom przechodzi
z jednego stanu o energii Ek do stanu o ni"szej energii Ej. Ujmuj c to w postaci równa-
nia
gdzie hv oznacza kwant energii niesionej przez foton, który zostaje w trakcie przej'cia
energii stanów stacjonarnych i wtedy obliczaj c mo"-
porusza si# po orbitach ko!owych o promieniu r ze 'rodkiem w miejscu j -
!" (pojedynczy proton) jest tak ci#"kie, "e 'rodek masy pokrywa si# ze 'rodkiem
orzystaj c z drugiej zasady Newtona i prawa Coulomba otrzymujemy
F = ma
albo
wypromieniowany przez atom.
Teraz konieczna jest znajomo'$liwe ró"nice energii b#dziemy mogli przewidzie$ wygl d widma promieniowania emi-
towanego przez atom.
Za!o"enia:
!" elektron
dra,
j dro
protonu.
K
rm
r
e 2
2
2
04
1 v$
%& (33.2)
33-3
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Komputeryzacji
wzgl#dnili'my tylko przyci gani
ym elektronem zaniedbuj c oddzia !usznie?
U pomi#dzy dodatnim j drem i ujem-e elektrostatyczne
!ywanie grawitacyjne. Czy sn
Przyk!ad 1
Obliczy$ stosunek si! przyci gania grawitacyjnego do elektrostatycznego dla protonu i
atomie wodoru. Masa elektronu me = 9.1·10-31
kg, masa protonu mp = -19 -11
elektronu w-27
1.7·10 kg, !adunek elementarny e = 1.6·10 C sta!a grawitacyjna G = 6.67·10
Nm2/kg
2, a sta!a w prawie Coulomba 1/4%&0 = 8.99·10
9 Nm
2/C
2.
202
2
0
21054
4'($$
mmG
rmGmF epepG %&%& 39)
eerFE
Si!a grawitacyjna jest ca!kowicie do zaniedbania.
Wzór (33.2) pozwala obliczy$ energi# kinetyczn
e
mEk
21$$ v
r0
2
82 %& (33.3)
nergia potencjalna uk!adu elektE równaniem ron - proton jest dana
e
E p )$ r0
2
4%&
C
(33.4)
a!kowita energia uk!adu wynosi
r
eEE pk
0
2
8%&)$*$ E (33.5)
oniewa", promie& orbity mo"y$ dowolna. Ze wzoru (33.3) m dko'$ liniow elektronu
P warto'$ wi#c i energia te" mo"e e przyjmowa$ dowoln
o"emy wyznaczy$ pr#b
e2
$v mr04%&
a nast#pnie cz#stotliwo'$
3
0
3
2
0162 mr
e
rv
&%%$$
v
P#d dany jest równaniem
33-4
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Komputeryzacji
r04%&
memp
2
$$ v
a moment p#du
04%&
2rmeprL $$ (33.6)
ak wi#c, je"eli jest dane r, to znane s
oraz L.
ku z tym wysun ! hipotez#, wed!ug której najprostsz jest kwantyzacja parame-
!owej pod wp!ywem przyci gania ku-
onem i j drem i ruch ten podlega prawom mechaniki
2.
tron mo"e porusza$ si# tylko po takich orbitach, dla których moment
T metry orbitalne: Ek, Ep, E, v, v0, p, równie" para
Je"eli jakakolwiek z tych wielko'ci jest skwantowana, to wszystkie musz by$ skwan-
towane.
Na tym etapie Bohr nie mia! "adnych zasad, którymi móg!by si# pos!u"y$.
W zwi z
trów orbity i zastosowa! j do momentu p#du L.
Postulaty Bohra by!y nast#puj ce:
1. Elektron w atomie porusza si# po orbicie ko
lombowskiego pomi#dzy elektr
klasycznej.
Zamiast niesko&czonej liczby orbit dozwolonych z punktu widzenia mechaniki kla-
sycznej, elek
p#du L jest równy ca!kowitej wielokrotno'ci sta!ej Plancka podzielonej przez 2%.
,.....3,2,1$$ nh
nL (33. 2%
kwantow . (Zwró$my u
7)
gdzie sta!a n oznacza liczb# wag#, "e ponownie tak jak przy
opisie cia!a doskonale czarnego, efektu fotoelektrycznego, efektu Comptona, poja-
3.
uje energii. A zatem jego ca!kowita energia pozostaje sta!a.
s
wia si# sta!a Plancka h.)
Pomimo, "e elektron doznaje przyspieszenia (poruszaj c si# po takiej orbicie), to
jednak nie wypromieniow
4. Promieniowanie elektromagnetyczne zostaje tylko wys!ane gdy elektron poruszaj -
cy si# po orbicie o ca!kowitej energii Ej zmienia swój ruch skokowo, tak "e porusza
i# nast#pnie po orbicie o energii Ek. Cz#stotliwo'$ emitowanego promieniowania
jest równa
h
EEv
kj )$ (33.8)
Uwaga: To jest postulat Einsteina g #stotliwo'$ fotonu promieniowania
lektromagnetycznego jest równa energii fotonu podzielonej przez sta! Plancka.
z by$
skwantowane.
% cz c równanie (33.6) z postulatem Bohra dla L, otrzymujemy
!osz cy, "e cz
e
Drugi postulat opisuje kwantyzacj# momentu p#du L. Ale jak ju" mówili'my je"eli ja-
kakolwiek z wielko'ci: Ek, Ep, E, v, v0, p, i L jest skwantowana, to wszystkie mus
33-5
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Komputeryzacji
20
22 $
h &,.........3,2,112
$$ nrnme
nr%
(33.9)
idzimy jak skwantowane jest "enia na energi#
a!kowit (33.5) daje
W r. Podstawienie tego równanie do wyra
c
.......,3,2,18 2222
$$)$ nnnh
E&
(33.10) 1
0
4 Eme
Z tego równania otrzym .
tan n = + odpowiada stanowi
atom.
a rysunku poni"ej s pokazane wybrane przeskoki mi#dzy ró"nymi stanami stacjonar-
ujemy warto$ci energii dozwolonych stanów stacjonarych
E = 0, w którym elektron jest cS a!kowicie usuni#ty poza
N
nymi.
n
3
2
1seria Lymana
seria Balmera
seria Paschena
gra
nic
a s
eri
i
gra
nic
a s
eri
i
dej ze strza!ek jest równa ró"nicy energii mi#dzy dwom
i czyli równa energii hv wypromieniowanego kwantu. Cz#stotliwo
ieniowania mo"na obliczy$ korzystaj c z postulatu Bohra dotycz
ieniowania emitowanego przez atom oraz ze wzoru na energi
+6
gra
nic
a s
eri
i
45
D!ugo'$ ka" a stanami stacjo-
narnym '$ emitowa-
nego prom cego cz#-
stotliwo'ci prom # (33.7)
,,-
.//0
1)$
2232
0
4 11
8 kjh
mev
& (33.11)
33-6
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Komputeryzacji
gdzie j, k s liczbami kwantowym szy i wy"szy stan stacjonarny.
a gruncie modelu Bohra mo"na
jednoelektronowych. Mo"na równie a absorpcyjne. Poniewa" elektron
usi mie$ w atomie energi# ca!kowit równ jednej z energii dozwolonych (stanu sta-
'lone
i opisuj cymi ni"!atwo zrozumie$ w!a" zrozumie$ widm
N sno'ci widm emisyjnych atomów
m
cjonarnego) wi#c z padaj cego promieniowania mo"e on absorbowa$ tylko okre
porcje (kwanty) energii. Energia absorbowanych kwantów hv musi by$ równa ró"nicy
pomi#dzy energiami dozwolonych stanów tak wi#c linie widma absorpcyjnego maj te
same cz#stotliwo'ci (d!ugo'ci fal) co linie widma emisyjnego.
Na pocz tku atom jest w stanie podstawowym n = 1 wi#c procesy absorpcji odpowiada-
j serii Lymana. W bardzo wysokich temperaturach atomy b#d ju" w stanie n = 2
i mo"emy obserwowa$ linie absorpcyjne serii Balmera (widzialne).
33-7
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
Wyk ad 34
34. Fale i cz!stki
34.1 Fale materii
Omawiane na poprzednich wyk!adach do"wiadczenia by!y interpretowane raz
w oparciu o obraz falowy (np. dyfrakcja) innym razem w oparciu o model cz steczko-
wy (np. efekt Comptona).
Je#eli "wiat!o ma dwoist falowo-cz steczkow natur$, to by% mo#e materia te# ma tak
dwoist natur$. Tak sugesti$ zaprezentowa! w 1924 L. de Broglie min. w oparciu ob-
serwacj$, #e Wszech"wiat sk!ada si$ wy! cznie ze "wiat!a i materii oraz #e pod wieloma
wzgl$dami przyroda jest zadziwiaj co symetryczna. Chocia# materi$ traktowano jako
cz stki de Broglie zasugerowa!, #e nale#y zbada% czy materia nie wykazuje równie#
w!asno"ci falowych.
De Broglie nie tylko zaproponowa! istnienie fal materii ale równie# przewidzia! ich
d!ugo"%. Za!o#y!, #e d!ugo"% przewidywanych fal materii jest okre"lona tym samym
zwi zkiem, który stosuje si$ do "wiat!a.
Analizuj c zderzenie fotonu z elektronem (efekt Comptona) zastosowano do tego
zderzenia zasad$ zachowania p$du. Do tych oblicze& potrzebne by!o wyra#enie na p d
fotonu.
h
c
hc
c
hv
c
Emcp f !!!!! (34.1)
Analogiczne wyra#enie zosta!o zaproponowane przez de Broglia dla fal materii
p
h! (34.2)
Wyra#enie to wi #e teraz p$d cz stki materialnej z d!ugo"ci przewidywanych fal mate-
rii.
Przyk!ad 1
Jak d!ugo"% fali przewiduje równanie (34.2) dla obiektów „masywnych” np. dla pi!ki,
o masie 1 kg, poruszaj cej si$ z pr$dko"ci 10 m/s, a jak dla „lekkich” np. elektronów
przyspieszonych napi$ciem 100 V?
Dla pi!ki p= mv = 1 kg·10 m/s = 10 kg m/s
St d d!ugo"% fali de Broglie’a
m106.6kgm/s10
Js106.6 3534
""
#!#
!!p
h
Ta wielko"% jest praktycznie równa zeru zw!aszcza w porównaniu z rozmiarami obiek-
tu. Do"wiadczenia prowadzone na takim obiekcie nie pozwalaj wi$c na rozstrzygni$cie
czy materia wykazuje w!asno"ci falowe ( zbyt ma!a). Przypomnijmy, #e falowy cha-
34-1
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
rakter "wiat!a przejawia si$ gdy wymiary liniowe obiektów s porównywalne z d!ugo-
"ci fali.
Natomiast elektrony przyspieszone napi$ciem 100 V uzyskuj energi$ kinetyczn
Ek = eU = 100 eV = 1.6·10-17
J
Pr$dko"% jak uzyskuj elektrony wynosi
sm109.5kg101.9
J106.122 6
31
17
#!#
##!!
"
"
m
Ekv
Odpowiednia d!ugo"% fali de Broglie’a wynosi
nm12.0m102.1smkg10*9.5101.9
Js106.6 10
631
34
!#!##
#!!! "
"
"
vm
h
p
h
Jest to wielko"% rz$du odleg!o"ci mi$dzy atomowych w cia!ach sta!ych.
Mo#na wi$c zbada% falow natur$ materii (tak jak promieni Roentgena) skierowuj c
wi zk$ elektronów, o odpowiedniej energii, na kryszta!. Takie do"wiadczenie przepro-
wadzili w 1961 roku Davisson i Germer w USA oraz Thomson w Szkocji. Na rysunku
przedstawiono schemat aparatury pomiarowej.
w ókno
wi!zka padaj!ca
wi!zka odbita kryszta
detektor
$
Elektrony emitowane z ogrzewanego w!ókna przyspieszane s regulowanym napi$ciem.
Wi zka zostaje skierowana na kryszta! niklu a detektor jest ustawiony pod pewnym
szczególnym k tem $. Nat$#enie wi zki ugi$tej na krysztale jest odczytywane przy
ró#nych napi$ciach przyspieszaj cych. Okazuje si$, #e pr d w detektorze ujawnia mak-
simum dyfrakcyjne przy k cie równym 50° dla U = 54 V.
Je#eli skorzystamy z prawa Bragga mo#emy obliczymy warto"% , dla której obserwu-
jemy maksimum w tych warunkach
% sin2d!
34-2
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
Dla niklu d = 0.091 nm. Poniewa# $ = 50° wi$c % = 90° - $/2 = 65° (rysunek).
$
%
d
D!ugo"% fali obliczona w oparciu o te dane wynosi:
= 2·0.091 nm·sin65° = 0.165 nm
Teraz w oparciu o znan energi$ elektronów (54 eV) obliczymy d!ugo"% fali de Bro-
glie’a analogicznie jak w przyk!adzie 1
nm165.0!!p
h
Ta doskona!a zgodno"% stanowi!a argument za tym, #e w pewnych okoliczno"ciach
elektrony wykazuj natur$ falow .
Dzisiaj wiemy, #e inne cz stki, zarówno na!adowane jak i niena!adowane, wykazuj
cechy charakterystyczne dla fal. Dyfrakcja neutronów jest powszechnie stosowan
technik eksperymentaln u#ywan do badania struktury cia! sta!ych.
Tak wi$c, zarówno dla materii, jak i dla "wiat!a, musimy przyj % istnienie dwoistego ich
charakteru.
34.2 Struktura atomu i fale stoj ce
Je#eli na ruch fali nie ma #adnych ogranicze& to fala mo#e mie% dowoln# d!ugo"%.
Inaczej sytuacja przedstawia si$ gdy ruch fal zostanie ograniczony przez na!o#enie
pewnych warunków fizycznych. Np. dla fal w strunie odpowiada to wyodr$bnieniu od-
cinka struny zamocowanego na obu ko&cach (np. struna w skrzypcach).
Wyst$puj wtedy dwie wa#ne ró#nice:
&' ruch jest teraz opisywany przez fal stoj#c# (a nie bie# c ),
&' mog wyst$powa% tylko pewne d!ugo"ci fal tzn. mamy do czynienia z kwantyzacj#
d!ugo"ci fali wynikaj c z ogranicze& na!o#onych na fal$ (rysunek poni#ej).
Na rysunku wida% trzy pierwsze stany kwantowe dla drgaj cej struny.
34-3
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
l0
n = 1
0 l
n = 3
0 l
n = 2
Je#eli wi$c ruch elektronów jest ograniczony w atomach to mo#emy si$ spodziewa%
przez analogi$, #e:
&' ruch elektronów mo#e by% opisany przez stoj#ce fale materii,
&' ruch ten zostaje skwantowany.
Rysunek poni#ej przedstawia stoj c fal$ materii zwi zan z orbit o promieniu r. D!u-
go"% fali de Broglie’a zosta!a dobrana tak, aby orbita o promieniu r zawiera!a ca!kowit
liczb$ n fal materii.
r
Wtedy otrzymujemy
( nr !2
czyli
p
hnr !(2
Prowadzi to natychmiast do
34-4
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
,....3,2,12
!!! nh
nprL(
Warunek kwantyzacji Bohra jest teraz konsekwencj# przyj$cia, #e elektron jest repre-
zentowany przez odpowiedni fal$ materii i zastosowania odpowiednich warunków
brzegowych.
34.3 Mechanika falowa
W 1926 roku E. Schrödinger sformu!owa! mechanik falow# (jedno ze sformu!owa&
fizyki kwantowej) min. w oparciu o za!o#enie, #e stacjonarne stany w atomach odpo-
wiadaj stoj#cym falom materii.
Dla fal w strunie zaburzenie mo#e by% opisane za pomoc poprzecznego wychylenia y,
dla fal elektromagnetycznych poprzez wektor nat$#enia pola elektrycznego E.
Analogiczn miar dla fal materii jest funkcja falowa ).
Teraz spróbujemy znale'% tak funkcj$ dla prostego zagadnienia ruchu cz stki o masie
m pomi$dzy sztywnymi "ciankami odleg!ymi o l.
Funkcj$ falow mo#na otrzyma% przez analogi$ do zagadnienia struny umocowanej na
obu ko&cach. Z warunków brzegowych wynika, #e na obu ko&cach struny musz wy-
st$powa% w$z!y. Oznacza to (przez to # danie) $e d!ugo"% fali jest skwantowana:
...,2,12
lub2
!!! nn
lnl
Zaburzenie falowe dla struny jest opisane przez fal$ stoj c (Wyk!ad 15)
y(x,t) = 2Asinkxcos*t
dla której rozk!ad przestrzenny (amplitudy) jest dany przez
y(x) = Asinkx
gdzie k = 2(/ . Poniewa# jest skwantowane to k te# jest skwantowane.
Prowadzi to do warunku
,......2,1,sin !! nl
xnAy
(
Wykres tej funkcji dla n =1, 2, 3 pokazany jest na stronie 34-4.
Rozwa#my teraz cz stk$ poruszaj c si$ pomi$dzy sztywnymi "ciankami (rysunek na
nast$pnej stronie)
Poniewa# "cianki s sztywne, cz stka nie mo#e przenikn % przez nie, tak wi$c stoj ca
fala materii opisuj ca t$ cz stk$ ma w$z!y na "ciankach. Inaczej mówi c funkcja falowa
) przyjmuje warto"% zero w punktach x = 0 i x = l.
34-5
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
l
m v
W konsekwencji dopuszczalne fale materii musz mie% d!ugo"% fal danych równaniem
...,2,1,2
lub2
!!! nn
lnl
Poniewa# mówimy o fali materii (reprezentuj cej cz stk$) to jest to po prostu fala de
Broglie’a, dla której mo#emy zast pi% przez h/p.
Prowadzi to do zwi zku
l
nhp
2!
Widzimy, #e p d cz#stki uwi zionej pomi dzy "ciankami jest skwantowany.
Dla cz stki p$d p jest zwi zany z energi kinetyczn Ek relacj
m
pmEk
22
22
!!v
Zestawienie tego równania z równaniem na p$d cz stki prowadzi do warunku kwanty-
zacji energii
......,2,1,8 2
22 !! n
ml
hnE
Cz stka nie mo#e mie% dowolnej energii (jak w obrazie klasycznym) ale "ci"le okre"lo-
ne warto"ci dane powy#szym równaniem.
Amplituda fal materii zmienia si$ tak samo jak amplituda dla fali stoj cej w strunie tzn.
jest dana analogicznym równaniem:
,......2,1,sin !! nl
xnA
() (34.3)
34.4 Znaczenie funkcji )
Funkcj$ ) skonstruowali"my przez analogi$ do funkcji opisuj cej amplitud$ fali sto-
j cej w strunie. Ale nie wyja"niony jest jeszcze sposób w jaki ) przedstawia ruch cz#st-
34-6
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
ki. Wiemy ju#, #e d!ugo"% fali materii (de Broglie’a) wi#$e si bezpo"rednio z p dem
cz#stki. Pozostaje wyja"ni% z czym wi #e si$ ).
Jako pierwszy fizyczn interpretacj$ funkcji falowej poda! Max Born. Zasugerowa!, #e
wielko"% )2 w dowolnym punkcie przedstawia miar prawdopodobie&stwa, $e cz#stka
znajdzie si w pobli$u tego punktu tzn. w jakim" obszarze wokó! tego punktu np. w prze-
dziale x, x+dx.
Ta interpretacja funkcji ) daje statystyczny zwi#zek pomi dzy fal# i zwi#zan# z ni#
cz#stk#. Nie mówimy gdzie cz#stka jest ale gdzie prawdopodobnie si znajdzie.
Tak wi$c dla cz stki poruszaj cej si$ pomi$dzy dwoma "ciankami odleg!ymi o l
,......2,1,sin 22 !! nl
xnA
() (34.4)
nie opisuje po!o#enia cz stki ale rozk!ad (g sto"%) prawdopodobie&stwa.
Na rysunku przedstawiona jest zale#no"% )2(x) dla trzech pierwszych stanów ruchu
cz stki.
)2
0 l
n = 2
E2 = 4E
1
X
0 l
n = 3
E3 = 9E
1
l0
n = 1
E1 = h2 / 8m
Zwró%my uwag$, #e przyk!adowo dla n = 1 cz steczka ma wi$ksz tendencj$ (prawdo-
podobie&stwo) do przebywania w "rodku ni# przy "ciankach. Jest to sprzeczne z fizyk
klasyczn , która przewiduje jednakowe prawdopodobie&stwo przebywania cz stki
gdziekolwiek pomi$dzy "ciankami (linie poziome na rysunku). Podobnie jest dla wy#-
szych n. Oczywi"cie ca!kowite prawdopodobie&stwo znalezienia cz stki pomi$dzy
"ciankami jest równe jedno"ci.
34-7
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
Zagadnienie cz stki poruszaj cej si$ pomi$dzy sztywnymi "ciankami ma ma!o realne
zastosowanie w fizyce. Dlatego poni#ej pokazane s wyniki zastosowania mechaniki
falowej do problemu atomu wodoru.
Sam problem jest trudny matematycznie. Dlatego pokazane s tylko wyniki zale#no"ci
)(r) dla n = 1, 2, 3 dla orbitalnej liczby kwantowej l = 0, (rozk!ad sferycznie syme-
tryczny).
n =1
0 5 10 15 20 25
r/rBohra
n = 3
n = 2
)(r
)2
Wida%, #e mamy ponownie do czynienia z rozk!adem prawdopodobie&stwa. Istnieje ob-
szar w którym elektron mo#e przebywa% (z niezerowym prawdopodobie&stwem). Mó-
wimy o orbitalach zamiast o orbitach.
Lini przerywan zaznaczono promienie orbit przewidywane w modelu Bohra.
S , jak wida% orbity dla których ta warto"% odpowiada maksimum prawdopodobie&stwa
znalezienia elektronu.
34.5 Zasada odpowiednio!ci
Chocia# teorie w fizyce maj ograniczenia to zazwyczaj w sposób ci g!y daj wyni-
ki coraz mniej zgodne od do"wiadczenia, tzn. nie „urywaj ” si$ nagle.
Np. mechanika Newtonowska staje si$ coraz mniej dok!adna gdy pr$dko"% zbli#a si$ do
pr$dko"ci "wiat!a.
Dla mechaniki kwantowej te# istnieje taka granica. Fizyka kwantowa przechodzi w fi-
zyk$ klasyczn dla du#ych liczb kwantowych. To twierdzenie nazywamy zasad# odpo-
wiednio"ci.
34-8
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
W przyk!adzie z wyk!adu 31 widzieli"my, #e dla makroskopowego wahad!a nie uwi-
dacznia si$ natura kwantowa podobnie jak w uk!adach makroskopowych nie widzimy
dyskretnej natury materii (cz steczek, atomów, elektronów itp.).
Wyliczona wtedy wzgl$dna zmiana energii wynios!a
+E/E = 4.7·10-31
= hv/nhv
St d otrzymujemy bardzo du# warto"% liczby kwantowej n , 2·1030
; mo#emy stosowa%
mechanik$ klasyczn .
34.6 Zasada nieoznaczono!ci
W poprzednim paragrafie najbardziej szczegó!ow informacj jak uda!o si$ uzy-
ska% o ruchu elektronów by!y krzywe prawdopodobie&stwa. Czy musimy zadowoli% si$
tak informacj czy te# jest mo#liwy pomiar, który da nam odpowied' na temat ewen-
tualnych orbit po których poruszaj si$ elektrony?
Obserwacje przedmiotów opieraj si$ na rejestrowaniu "wiat!a odbitego przez te przed-
mioty. (wiat!o w „zderzeniu” z przedmiotem o du#ej masie praktycznie nie zaburza je-
go ruchu, ale ca!kiem inn sytuacj$ mamy w przypadku elektronów. Tutaj te# spodzie-
wamy si$, #e zobaczymy elektron gdy odbijemy od niego "wiat!o (tak jak widzimy np.
stó! rejestruj c "wiat!o odbite od niego). W tym jednak przypadku elektron w zderzeniu
z fotonem dozna odrzutu, który ca!kowicie zmieni jego ruch (przypomnijmy sobie efekt
Comptona). Zmiany tej nie mo#na unikn % ani dok!adnie oceni%. Gdyby wi$c istnia!y
orbity to by!yby one ca!kowicie niszczone przy próbie pomiarów maj cych potwierdzi%
ich istnienie. Dlatego wolimy mówi% o prawdopodobie&stwie ni# o orbitach.
Aby przetestowa% nasze mo#liwo"ci pomiarowe rozwa#my wi zk$ elektronów pa-
daj cych z pr$dko"ci v0 na szczelin$ o szeroko"ci +y, tak jak na rysunku.
v0
+y
%
a
Je#eli elektron przechodzi przez otwór to znamy jego po!o#enie z dok!adno"ci +x.
Elektrony ulegaj ugi$ciu na szczelinie tak, #e na ekranie obserwujemy obraz dyfrak-
cyjny. Oznacza to, #e elektrony maj teraz oprócz pr$dko"ci poziomej tak#e sk!adow
w kierunku y (s odchylone). Spróbujmy oceni% t$ sk!adow pionow pr$dko"ci. Rozpa-
trzmy np. elektron padaj cy na ekran w miejscu pierwszego minimum dyfrakcyjnego
(punkt a na rysunku poni#ej). Pierwsze minimum jest dane równaniem
34-9
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
+ysin% =
a dla ma!ego k ta
+y % -
Aby elektron dolecia! do punkt a (1-sze minimum) musi mie% pr$dko"% pionow +vy
tak , #e
0
sinv
v y+!-%%
Korzystaj c z obu powy#szych równa& otrzymujemy
y
y
+!
+
0v
v
lub inaczej
+vy+y = v0
D!ugo"% fali wi zki elektronowej jest dana przez h/p czyli h/mv0. Podstawiaj c to do
ostatniego równania otrzymujemy
0
0
v
vv
m
hyy -++
co mo#na zapisa%
+py+y - h
Je#eli chcemy poprawi% pomiar y (zmniejszy% +y) to w wyniku zmniejszenia szeroko"ci
szczeliny otrzymujemy szersze widmo dyfrakcyjne (mocniejsze ugi$cie). Inaczej mó-
wi c zwi$kszone zosta!o +py. Równani to przedstawia ograniczenie na!o#one na do-
k!adno"% pomiarów przez przyrod$ (nie ma nic wspólnego z wadami aparatury pomia-
rowej).
Równanie to jest szczególnym przypadkiem ogólnej zasady podanej przez
W. Heisenberga znanej jako zasada nieoznaczono"ci.
W zastosowaniu do pomiaru p$du i po!o#enia g!osi ona, #e
hzp
hyp
hxp
z
y
x
.++
.++
.++
(34.5)
Tak wi$c #adna sk!adowa ruchu elektronu nie mo#e by% okre"lona z nieograniczon do-
k!adno"ci . Ta sama zasada obowi zuje w odniesieniu do energii i czasu.
34-10
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
Wyk ad 35
35. Lasery
35.1 Emisja spontaniczna
Jeden z postulatów Bohra mówi!, "e promieniowanie elektromagnetyczne zostaje
wys!ane tylko wtedy gdy elektron poruszaj cy si# po orbicie o ca!kowitej energii Ej
zmienia swój ruch skokowo, tak "e porusza si# nast#pnie po orbicie o energii Ek. W j#-
zyku mechaniki kwantowej mówimy, "e cz stka (elektron) przechodzi ze stanu wzbu-
dzonego (o wy"szej energii) do stanu podstawowego emituj c foton. Cz#stotliwo$% emi-
towanego promieniowania jest równa
h
EEv
kj !
Jak ju" widzieli$my &ród!em takiego promieniowania jest na przyk!ad jednoatomowy
gaz pobudzony do $wiecenia metod wy!adowania elektrycznego (widmo liniowe).
Teoria kwantowa przewiduje, "e elektron znajduj cy si# w stanie wzbudzonym samo-
istnie przejdzie do stanu podstawowego emituj c foton. Zjawisko takie jest nazywane
emisj spontaniczn .
Je"eli ró"nica energii wynosi kilka elektronowoltów (jak w atomie wodoru, gdzie
E1 = -13.6 eV) to czas charakterystyczny dla procesu emisji spontanicznej ma warto$%
rz#du 10-8
s.
35.2 Absorpcja
Na gruncie modelu Bohra mo"na !atwo zrozumie% w!asno$ci widm emisyjnych ato-
mów jednoelektronowych. Mo"na równie" zrozumie% widma absorpcyjne.
Poniewa" elektron musi mie% w atomie energi# ca!kowit równ jednej z energii do-
zwolonych (stanu stacjonarnego) wi#c z padaj cego promieniowania mo"e on absorbo-
wa% tylko okre$lone porcje (kwanty) energii. Energia absorbowanych kwantów h" musi
by% równa ró"nicy pomi#dzy energiami dozwolonych stanów tak wi#c linie widma ab-
sorpcyjnego maj te same cz#stotliwo$ci (d!ugo$ci fal) co linie widma emisyjnego.
Do$wiadczenie pokazuje, "e w ch!odnym gazie atomy s w stanie podstawowym n = 1
udzania atomów na wy"sze poziomy energetyczne przez ich o$wietlanie
35.3 Emisja wymuszona
Teoria kwantowa mówi tak"e, "e oprócz emisji spontanicznej oraz procesów ab-
sor
itowa% foton
o energii (Ej - Ek). Je"eli taki atom zostanie o$wietlony promieniowaniem, które zawiera
wi#c procesy absorpcji odpowiadaj serii Lymana. W bardzo wysokich temperaturach
atomy b#d ju" w stanie n = 2 i mo"emy obserwowa% linie absorpcyjne serii Balmera
(widzialne).
Procesy wzb
nosi nazw# pompowania optycznego.
pcji wyst#puje tak"e inny proces, nazywany emisj wymuszon .
Przypu$%my, "e atom znajduje si# w stanie wzbudzonym Ej i mo"e em
35-1
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
fotony o energii w!a$nie równej (Ej - Ek) to prawdopodobie!stwo wypromieniowania
przez atom energii wzro"nie.
Takie zjawisko przyspieszenia wypromieniowania energii przez o$wietlenie atomów
wzbudzonych odpowiednim promieniowaniem nazywane jest emisj wymuszon .
na stwarza szans# uzyskania promieniowania
obsadzaj ró"ne stany energetyczne tzn. ile jest w stanie podstawowym a ile
fizycznego z!o"onego z bardzo du"ej liczby elementów jest
bardzo skomplikowany np. próba opisu ruchu jednej cz stki gazu w uk!adzie zawieraj -
acje szczegó!owe s na ogó! niepotrzebne.
ych
rozk!adem Maxwella pr#dko$ci cz steczek gazu.
my obliczy% takie wielko$ci jak
ze T. By osi gn % ten stan równowagi cz stki musz wymie-
nergii ca!kowitej 3#E pomi#dzy te obiekty. Na ry-
dzy ró"nymi stanami. Przestawienia cz stek w tym samym stanie energetycznym nie
Uwaga: Foton wysy#any w procesie emisji wymuszonej ma tak sam faz$ oraz taki sam
kierunek ruchu jak foton wymuszaj cy.
W emisji spontanicznej mamy do czynienia z fotonami, których fazy i kierunki s roz-
!o"one przypadkowo. Emisja wymuszo
spójnego.
'eby móc przeanalizowa% mo"liwo$% takiej emisji musi wiedzie% jak atomy (cz stecz-
ki) uk!adu
w stanach wzbudzonych.
35.4 Rozk ad Boltzmana
Opis szczegó!owy uk!adu
cym 1023
cz stek (1 mol).
Na szcz#$cie do wyznaczenia podstawowych w!asno$ci uk!adu (wielko$ci mierzalnych)
takich jak temperatura, ci$nienie - inform
Je$li do uk!adu wielu cz stek zastosujemy ogólne zasady mechaniki (takie jak prawa
zachowania) to mo"emy zaniedba% szczegó!y ruchu czy oddzia!ywa( pojedyncz
cz stek i podstawowe w!asno$ci uk!adu wyprowadzi% z samych rozwa"a( statystycz-
nych.
Taki przyk!ad ju" poznali$my. Jest nim zwi zek pomi#dzy w!asno$ciami gazu klasycz-
nego i
Funkcja rozk!adu N(v) daje informacj# o prawdopodobie(stwie, "e cz steczka ma pr#d-
ko$% w przedziale v, v + d v. Znaj c funkcj# N(v) mo"e
$rednia pr#dko$% (p#d niesiony przez cz steczki), $redni kwadrat pr#dko$ci (energia ki-
netyczna) itp. a na ich podstawie obliczy% takie wielko$ci mierzalne jak ci$nienie
(zwi zane z p#dem) czy temperatur# (zwi zan z energi ).
Spróbujemy teraz znale&% rozk!ad prawdopodobie(stwa z jakim cz stki uk!adu zajmuj
ró"ne stany energetyczne.
W tym celu rozpatrzymy uk!ad zawieraj cy du" liczb# cz stek, które znajduj si# w
równowadze w temperatur
nia% energi# ze sob (poprzez zderzenia). Podczas tej wymiany ich energie b#d fluktu-
owa%, przyjmuj c warto$ci raz mniejsze raz wi#ksze od $redniej.
'eby to zilustrowa% rozwa"my uk!ad, w którym cz stki mog przyjmowa% jedn z na-
st#puj cych warto$ci energii E = 0, #E, 2#E, 3#E, 4#E..... .
Celem uproszczenia przyjmijmy, "e uk!ad ma zawiera tylko 4 cz stki oraz, "e energia
ca!kowita uk!adu ma warto$% 3#E.
Poniewa" te cztery cz stki mog wymienia% energi# mi#dzy sob , wi#c realizowany
mo"e by% ka"dy mo"liwy podzia! esunku poni"ej pokazane s wszystkie mo"liwe podzia!y, które numerujemy indeksem i.
Uwaga: Obliczaj c ilo$% sposobów realizacji danego podzia!u traktujemy jako rozró"-
nialny podzia!, który mo"na otrzyma% z danego w drodze przestawiania cz stek pomi#-
35-2
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
prowadz do nowych sposobów realizacji podzia!ów, bo nie mo"na eksperymentalnie
odró"ni% od siebie takich samych cz stek o tej samej energii. Wreszcie ostatnie za!o"e-
nie: wszystkie sposoby podzia!u energii mog wydarzy% si# z tym samym prawdopodo-
bie(stwem.
i E=0 E=#E E=2#E E=3#E E=4#E liczba sposobów Pi
realizacji podzia-
!u
1 1,2,3 4
1 1,2,4 3 4/20 4
2 1,2 3 4
2 1,2 4 3
3 1 2,3,4
3 2 1,3,4 4/ 4 20
(E) 0/2 24/20 /20 2 20
.
1 1,3,4 2
1 2,3,4 1
2 1,3 2 4
2 1,3 4 2
2 1,4 2 3
2 1,4 3 2 12 12/20
2 2,3 1 4
2 2,3 4 1
2 2,4 1 3
2 2,4 3 1
2 3,4 1 2
2 3,4 2 1
3 3 1,2,4
3 4 1,2,3
n 4 0 12 4/ 0 0/
Obliczamy nast#pnie n(E) czyli prawdopodobn ilo$% cz stek w danym stanie energe-
tycznym E
e&my stan E = 0.
.
amy 2 cz stki a prawdopodobie(stwo, "e taki podzia! ma miejsce
odzia!u i = 3 mamy 1 cz stk# a prawdopodobie(stwo, "e taki podzia! ma
odobna ilo$% obiektów w stanie E = 0 wynosi:
W
Dla podzia!u i = 1 mamy 3 cz stki a prawdopodobie(stwo, "e taki podzia! ma miejsce
wynosi 4/20
Dla podzia!u i = 2 m
wynosi 12/20.
Wreszcie dla p
miejsce wynosi 4/20.
Zatem prawdop
35-3
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
n(E) = 3 (4/20) + 2 (12/20) + 1 (4/20) = 40/20 = 2
Analogicznie obliczamy n(E) dla pozosta!ych warto$ci E (patrz ostatni wiersz tabeli).
auwa"my, "e suma tych liczb wynosi cztery, tak "e jest równa ca!kowitej liczbie cz -
stek we wszystkich
ykres zale"no$ci n(E) jest pokazany na rysunku poni"ej.
Z
stanach energetycznych.
W
n(E)
1
0 4#E 3#E 2#E #E
a krzywa na rysunku jest wykresem malej cej wyk!adniczo funkcji Ci g!
0)(E
E
AeEn
!
2
(35.1)
o"emy teraz bra% #E coraz mniejsze (zwi#kszaj c ilo$% dozwolonych stanów) przy tej
samej co poprzednio warto$ci ca! "e b#dziemy dodawa% co-
z wi#cej punktów do naszego wykresu, a
nkcji ci g!ej danej powy"szym równaniem.
M
kowitej energii. Oznacza to,
" w gra ranicy gdy #E $ 0 przejdziemy do
fu
Potrzebujemy jeszcze znale&% E0. Obliczenia te cho% proste wykraczaj poza ramy tego
wyk!adu. Wystarczy wi#c zapami#ta%, "e E0 = kT, tzn. jest równa $redniej energii uk!a-
du cz stek w temperaturze T.
Ostatecznie wi#c
kT
E
AeEn !)( (35.2)
st to rozk#ad Boltzmana, który mówi, "e prawdopodobna ilo$% cz stek uk!adu w rów-
nowadze w temperaturze T, znajduj w stanie o energii E jest proporcjonalna do
Je
cych si#
$ci A zalekT
E
. Sposób wyboru sta!ej proporcjonalno "y od tego jaki uk!ad rozwa"amy. e
Poni"ej pokazana jest zale"no$% n(E) dla trzech ró"nych temperatur i trzech odpowied-
nich warto$ci sta!ej A.
35-4
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
0 1 2 30
1
2
a - T = 1000 K
b - T = 5000 K
c - T = 10000 K
c
b
a
n (
E)
E (eV)
Widzimy, "e stany o ni"szej energii s obsadzane z wi#kszym prawdopodobie(stwem
ni" stany o wy"szym E.
35.5 Laser
Je"eli wi#c uk!ad b#d cy w stanie równowagi o$wietlimy odpowiednim promienio-
waniem to w takim uk!adzie absorpcja b$dzie przewa%a#a nad emisj wymuszon .
'eby przewa"a!a emisja wymuszona, to w wy"szym stanie energetycznym musi si#
znajdowa% wi#cej atomów (cz steczek) ni" w stanie ni"szym. Mówimy, "e rozk!ad musi
by% antyboltzmanowski.
Taki uk!ad mo"na przygotowa% na kilka sposobów min. za pomoc zderze( z innymi
atomami lub za pomoc pompowania optycznego.
Ten pierwszy sposób jest wykorzystywany w laserze helowo-neonowym.
Schemat poziomów energetycznych dla tego lasera jest pokazany na rysunku poni"ej.
10
20
eV
En’
En
h"=1.96 eV
% = 633 nm
E1
35-5
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
W tym laserze atomy neonu s wzbudzane do na poziom En’ w trakcie zderze( ze
wzbudzonymi atomami helu. Przej$cie na poziom En zachodzi wskutek emisji wymu-
szonej. Nast#pnie atomy neonu przechodz szybko do stanu podstawowego oddaj c
energi# w wyniku zderze( ze $ciankami. Emisja wymuszona w laserze przedstawiona
zosta!a na rysunkach poni"ej.
d)
c)
b)
a)
Na rysunku (a) foton zostaje „wprowadzony” do gazu. Foton wymusza emisj# drugiego
fotonu przez wzbudzony atom (b). Przez uk!ad poruszaj si# dwa fotony. Wymuszona
zostaje kolejna emisja i ju" trzy fotony o tej samej fazie poruszaj si# przez uk!ad (c).
Je"eli na ko(cach zbiornika znajduj si# lustra to ten proces b#dzie trwa! a" wszystkie
atomy wypromieniuj nadmiar energii. Je"eli jedno z tych zwierciade! b#dzie cz#$cio-
wo przepuszczaj ce to uk!ad b#dzie opuszcza!a wi zka spójna - wszystkie fotony b#d
mia!y t# sam faz#.
Inny sposób „odwrócenia” rozk!adu boltzmanowskiego jest wykorzystany w laserze
rubinowym. Laser zbudowany na ciele sta!ym sk!ada si# z pr#ta wykonanego z kryszta-
!u Al2O3, w którym jonami czynnymi s jony z grupy ziem rzadkich. Na ko(cach pr#ta
s naniesione zwierciad!a odbijaj ce. Promieniowanie pompuj ce jest wytwarzane
przez lamp# b!yskow umieszczon wokó! kryszta!u tak jak pokazano na rysunku poni-
"ej.
lampab yskowa
wi!zka "wiat alaserowego
kryszta
35-6
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
Od czasu uruchomienia pierwszego lasera tj. od 1960 roku technologia tych urz dze(
bardzo si# rozwin#!a. Obecnie dzia!aj zarówno lasery impulsowe jak i lasery o pracy
ci g!ej. O$rodkami czynnymi w laserach s gazy, cia!a sta!e i ciecze, a zakres d!ugo$ci
fal jest bardzo szeroki; od podczerwieni przez obszar widzialny a" do nadfioletu (ostat-
nio !!!).
Zastosowania laserów s wszechstronne. Przyk!adowo:
&' w odtwarzaczach i nagrywarkach (CD),
&' w dalmierzach, celownikach
&' przy obróbce mechanicznej
&' holografia
35-7
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
Wyk ad 36
36. Atomy wieloelektronowe, uk ad okresowy pierwiastków.
Fizycy badaj cy struktur" atomów wieloelektronowych starali si" odpowiedzie# na
fundamentalne pytanie, dlaczego wszystkie elektrony w atomie znajduj cym si" w sta-
nie podstawowym nie s zwi zane na najbardziej wewn!trznej pow"oce (orbicie).
Fizyka klasyczna nie wyja$nia tego problemu; dopiero mechanika kwantowa przynios!a
podstawy teoretyczne, na gruncie których mo%na przewidzie# w!asno$ci pierwiastków.
36.1 Liczby kwantowe
Na poprzednich wyk!adach przedstawione zosta!o wprowadzenie do $wiata fizyki
kwantowej. Poznali$my mi"dzy innymi jak ograniczenie ruchu cz stki do obszaru za-
wartego pomi"dzy sztywnymi $ciankami wp!ywa na prawdopodobie&stwo jej znalezie-
nia oraz jak wp!ywa na skwantowanie warto$ci energii
......,2,1,8 2
22 n
ml
hnE
Podobnie warto$ci energii elektronu w atomie wodoru zale% tylko od liczby kwanto-
wej n.
Inaczej jednak jest w przypadku odpowiedniej fali (stoj cej) materii. Funkcja falowa
zale%y od trzech liczb kwantowych co wynika z faktu, %e ruch w przestrzeni jest opisany
przez trzy niezale%ne zmienne; na ka%d wspó!rz"dn przestrzenn przypada jedna licz-
ba. Na rysunku obok pokazane s wspó!rz"dne prostok tne (x, y, z) i wspó!rz"dne sfe-
ryczne (r, !, ") punktu P.
x
y
z
x
y
z
P
r
!
"
Stosowanie wspó!rz"dnych sferycznych w zdecydowany sposób u!atwia obliczenia.
Wynika to z faktu, %e energia potencjalna oddzia!ywania elektronu z j drem
r
eU
0
2
4#$% jest funkcj tylko jednej zmiennej we wspó!rz"dnych sferycznych podczas
gdy we wspó!rz"dnych prostok tnych funkcj wszystkich trzech wspó!rz"dnych
222
0
2
4 zyx
eU
&&%
#$
36-1
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
Trzy liczby kwantowe n, l, ml spe!niaj nast"puj ce warunki
lmlllllllm
nlnl
n
ll ''%%%&%&%%
%''%
lub,1,2,.....,2,1,
10lub1,......,2,1,0
.....,3,2,1
(36.1)
Ze wzgl"du na rol" jak odgrywa liczba n w okre$leniu energii ca!kowitej atomu, jest
nazywana g"ówn liczb kwantow . Liczba l nosi nazw" azymutalnej liczby kwantowej,
a liczba ml nazywana jest magnetyczn liczb kwantow . Z warunków (36.1) wida#, $e
dla danej warto%ci n (danej energii) istnieje na ogó" kilka ró$nych mo$liwych warto%ci l,
ml.
36.2 Zasada Pauliego
W 1869 r. Mendelejew jako pierwszy zauwa%y!, %e wi"kszo$# w!asno$ci pierwiast-
ków chemicznych jest okresow funkcj liczby atomowej Z okre$laj cej liczb" elektro-
nów w atomie co najlepiej uwidacznia si" w odpowiednio skonstruowanym uk"adzie
okresowym pierwiastków. W!a$ciwo$ci chemiczne i fizyczne pierwiastków powtarzaj
si" je%eli zebra# je w grupy zawieraj ce 2, 8, 8, 18, 18, 32 elementów.
W 1925 r. Wolfgang Pauli poda! prost zasad", dzi"ki której automatycznie s genero-
wane grupy o liczebno$ci 2, 8,18,32. Pauli zapostulowa", $e na jednej orbicie mog
znajdowa# si! nie wi!cej ni$ dwa elektrony, czyli tylko dwa elektrony mog by# opisane
t sam fal stoj c materii.
Zatem na orbicie n = 1 b"d dwa elektrony bo mamy tylko jedn fal" stoj c , czyli je-
den orbital
(n, l, ml) = (1,0,0)
Dla n = 2 s cztery orbitale
(n, l, ml) = (2,0,0);
(2,1,1), (2,1,0), (2,1,–1)
St d wynika, %e w stanie n = 2 mo%e by# 8 elektronów (dwa na orbital).
Podobnie dla n = 3 mamy 9 orbitali czyli 18 elektronów
(n, l, ml) = (3,0,0);
(3,1,1), (3,1,0), (3,1,–1);
(3,2,2), (3,2,1), (3,2,0), (3,2,–1), (3,2,–2)
Wida#, %e okresy 2, 8, 18 s konsekwencja zasady Pauliego i teorii kwantowej, z której
wynikaj warunki (36.1).
W czasie gdy Pauli poda! swoj zasad" by!a ona zasad ad hoc, nie mo%na by!o jej wy-
prowadzi# w ramach istniej cej teorii. Pozostawa!o wi"c pytanie: dlaczego akurat dwa
elektrony (a nie inna liczba) mog by# opisane t sam fal stoj c ?
36-2
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
36.2.1 Spin elektronu
W roku 1926 odkryto, %e wszystkie elektrony maj wewn"trzny moment p"du
Lwew = (1/2)(h/2#), który zosta! nazwany spinowym momentem p!du.
Elektron zachowuje si" tak, jakby by! kulk wiruj c wokó! pewnej osi obrotu (analo-
gicznie jak Ziemia obiegaj ca S!o&ce i obracaj ca si" wokó! swej osi).
Wewn"trzny moment p"du elektronu nigdy nie zwi"ksza si" ani te% nie maleje.
Okaza!o si" ponadto, %e dla danego stanu orbitalnego s mo%liwe dwa kierunki spinu.
Mamy wi"c inny sposób wyra%enia zasady Pauliego. Oznacza to, %e zasada Pauliego nie
by!a postulatem wprowadzona ad hoc.
Znajomo$# spinu jest niezb"dna do opisu stanu elektronu. Kiedy te stany s okre$lone to
zasada Pauliego, która w pierwotnym brzmieniu stwierdza!a, %e w danym stanie orbital-
nym nie mo%e by# wi"cej elektronów ni% dwa, oznacza teraz, %e w danym stanie
(z uwzgl!dnieniem spinu) mo$e znajdowa# si! tylko jeden elektron.
36.3 Atomy wieloelektronowe, uk ad okresowy pierwiastków
Pos!uguj c si" zasad Pauliego mo%na okre$li# jakie stany w atomie b"d obsadza-
ne.
Rozpatrzmy np. j dro neonu Z = 10. Je%eli w pobli%u j dra umie$cimy jeden elektron to
zajmie on orbital n = 1. Tak samo b"dzie z drugim elektronem (inny kierunek spinu). Te
dwa elektrony zape!ni orbit" n = 1. Pozosta!e 8 elektronów zape!ni orbit" o n = 2, czyli
cztery orbitale (l, ml) = (0,0), (1,1), (1,0), (1,–1). W ten sposób rozpatrzymy przewidy-
wan przez teori" kwantow struktur" niektórych pierwiastków.
Z = 1, Wodór
Jedyny elektron znajduje si" w stanie n = 1, o energii E = – 13.6 eV. Tak wi"c energia
wi zania czyli energia jonizacji atomu wodoru wynosi 13.6 eV. Oznacza to, %e mini-
malne napi"cie potrzebne do zjonizowania atomu wodoru wynosi 13.6 V. To minimalne
napi"cie nazywamy potencja"em jonizacyjnym.
Z = 2, Hel
Zacznijmy od jonu helu, He+, który sk!ada si" z j dra oraz jednego elektronu.
Mamy uk!ad podobny do wodoru tylko inna jest si!a elektrostatyczna dzia!aj ca na elek-
tron (wi"ksza o czynnik Z). Energia jest dana wzorem analogicznym jak w modelu
Bohra
eV6.138 2
2
2
2
1222
0
42
n
Z
n
ZE
nh
meZE % %
$ (36.2)
Ze wzgl"du na czynnik Z2 energia jonizacji He
+ wynosi 4·13.6 eV = 54.4 eV.
Warto$# ta zgadza si" ze zmierzonym potencja!em jonizacji.
Je%eli teraz dodamy drugi elektron na pow!ok" n = 1 to przez po!ow" czasu b"dzie on
bli%ej j dra ni% pierwszy i b"dzie „czu!” !adunek j dra Z, a przez po!ow" czasu b"dzie
dalej wi"c b"dzie „widzia!” j dro o !adunku Z i 1 elektron czyli „obiekt” o !adunku
(Z – 1). Prosta $rednia arytmetyczna tych dwóch warto$ci daje efektywny "adunek
Zef = 1.5e jaki „czuj ” elektrony w atomie helu. Mo%emy teraz uogólni# wzór (36.2) do
postaci
36-3
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
eV6.132
2
n
ZE
ef% (36.3)
Na podstawie tak oszacowanego !adunku efektywnego otrzymujemy potencja! jonizacji
równy oko!o (1.5)2·13.6 V = 30 V.
W rzeczywisto$ci elektrony nie tylko ekranuj !adunek j dra ale te% odpychaj si" na-
wzajem (dodatnia energia potencjalna), wi"c energia wi zania powinna by# mniejsza.
Wyznaczony do$wiadczalnie potencja! jonizacyjny helu wynosi 24.6 V i jest najwi"k-
szy dla wszystkich pierwiastków. 'adna si!a chemiczna nie mo%e dostarczy# takiej
energii, która jest potrzebna do utworzenia He+.
Gdyby$my spróbowali utworzy# ujemny jon He- to dodatkowy elektron obsadzi pow!o-
k" n = 2 o du%o wi"kszym promieniu ni% n = 1, na której s ju% dwa elektrony. (adunek
efektywny widziany przez ten elektron b"dzie wi"c równy zeru, nie dzia!a %adna si!a
mog ca przytrzyma# ten elektron. W rezultacie hel nie tworzy cz steczek z %adnym
pierwiastkiem. Hel i inne atomy o ca"kowicie wype"nionych pow"okach s nazywane
gazami szlachetnymi.
Z = 3, Lit
Dwukrotnie zjonizowany atom litu jest atomem wodoropodobnym przy czym energie
trzeba pomno%y# przez czynnik Z2 = 9.
Jednokrotnie zjonizowany atom litu ma energie podobne do atomu helu ale
Zef ( (3 – 1/2) zamiast (2 – 1/2), jak dla helu.
Trzeci elektron znajduje si" na pow!oce n = 2. Dla niego !adunek efektywny musi by#
w pobli%u (troch" wi"kszy) jedno$ci. Zatem nale%y oczekiwa#, %e potencja! jonizacji
litu b"dzie nieco wi"kszy ni% 13.6/n2 = 13.6/2
2 = 3.4 V. Warto$# zmierzona wynosi 5.4
V co odpowiada Zef = 1.25e.
Oderwanie drugiego elektronu wymaga potencja!u a% 75.6 V. Zatem w zwi zkach che-
micznych lit powinien zawsze wykazywa# warto$ciowo$# +1.
Z = 4, Beryl
Zgodnie z zasad Pauliego w stanie n = 2, l = 0 jest miejsce dla dwóch elektronów. Dla
berylu drugi potencja! jonizacyjny nie jest wi"c du%o wi"kszy od pierwszego i beryl w
zwi zkach chemicznych ma warto$ciowo$# +2.
Wprowad)my teraz do opisu konfiguracji nast"puj c konwencj": numer pow!oki (n)
piszemy cyfr , natomiast podpow!oki: l = 0, 1, 2, 3 4 oznaczmy literami s, p, d, f.
Wska)nik górny przy symbolu podpow!oki okre$la liczb" znajduj cych si" w niej elek-
tronów a wska)nik dolny przy symbolu chemicznym pierwiastka okre$la warto$# Z.
Tak wi"c konfiguracje dotychczas omawianych pierwiastków zapiszemy w postaci
1H : 1s1
2He : 1s2
3Li : 1s22s
1
4Be : 1s22s
2
Od Z = 5 (Boru) do Z = 10 (neonu)
W tych sze$ciu pierwiastkach elektrony zape!niaj podpow!ok" 2p (n = 2, l = 1)
5B : 1s22s
22p
1
36-4
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
10Ne : 1s22s
22p
6
W$ród tych pierwiastków znajduj si" fluor i tlen, którym do zape!nienia orbity p bra-
kuje odpowiednio 1 i 2 elektrony. Pierwiastki te wykazuj siln tendencj" do przy! cze-
nia dodatkowych elektronów tworz c trwa!e jony Fl– i O
– –. To zjawisko jest zwane po-
winowactwem elektronowym.
Kontynuuj c powy%szy schemat mo%na napisa# konfiguracj" elektronow dowolnego
atomu. Okazuje si" jednak, %e w niektórych przypadkach obserwowane konfiguracje nie
pokrywaj si" z obserwowanymi. Wnioskujemy, %e ró%nice energii pomi"dzy niektóry-
mi podpow!okami musz by# tak ma!e, %e w pewnych wypadkach mo%e zosta# odwró-
cona kolejno$# ich zape!niania. Mo%na to zobaczy# na rysunku poni%ej. Krzywe ko&cz
si" na Z = 80 (rt"#). Uwaga: skala energii nie jest liniowa.
0 20 40 60 80
energ
ia
5d4f
6s
5p4d5s
4p3d
4s
3p
3s
2p
2s
1s
Z
Zwró#my te% uwag", %e ka%da podpow!oka p ma wy%sz energi" od poprzedzaj cej j
pow!oki s. Natomiast ró%nice energii pomi"dzy ka%d podpow!ok s i poprzedzaj c j
pow!ok p s szczególnie du%e. W konsekwencji wzbudzenie elektronu w atomach
pierwiastków, w których zako&czy!o si" w!a$nie zape!nianie pow!oki p jest bardzo
trudne (gazy szlachetne).
W ten sposób na gruncie mechaniki kwantowej (z uwzgl"dnieniem spinu elektronu)
mo%na przeanalizowa# w!asno$ci wszystkich pierwiastków.
36.4 Promienie X
Wielokrotnie mówili$my o zastosowaniu promieniowania rentgenowskiego. Teraz
poznamy wi"cej szczegó!ów dotycz cych widma tego promieniowania.
Na rysunku poni%ej pokazana jest lampa rentgenowska.
Elektrony emitowane z katody K s przyspieszane przez napi"cie U rz"du 104 V (przy-
!o%one pomi"dzy katod i anod ) i wreszcie uderzaj w anod" (tarcz"). Elektrony s
hamowane w anodzie, a% do ich ca!kowitego zatrzymania.
36-5
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
K A
U
promieniowanie X
Zgodnie z fizyk klasyczn w wyniku tego hamowania ("adunek doznaj cy przyspiesze-
nia) powinna nast pi# emisja promieniowania elektromagnetycznego o widmie ci g"ym.
Przyk!adowy rozk!ad widmowy rentgenowski otrzymany dla wolframu jest pokazany
na wykresie poni%ej.
0.00 0.05 0.10 0.15
Na
t !e
nie
) (nm)
Najbardziej charakterystycznymi cechami obserwowanych rozk!adów widmowych pro-
mieniowania X s :
*+ charakterystyczne linie widmowe tj. maksima nat"%enia promieniowania wyst"puj -
ce dla $ci$le okre$lonych d!ugo$ci fal. Zaobserwowano, %e widmo liniowe zale%y od
materia!u (pierwiastka) anody.
*+ istnienie dobrze okre$lonej minimalnej d!ugo$ci fali )min widma ci g"ego. Stwier-
dzono, %e warto$# )min zale%y jedynie od napi"cia U i jest taka sama dla wszystkich
materia!ów, z jakich wykonana jest anoda.
Istnienie krótkofalowej granicy widma ci g!ego promieniowania X nie mo%e by# wyja-
$nione przez klasyczn teori" elektromagnetyzmu. W $wietle tej teorii nie istniej %adne
powody, aby z anody nie mog!y by# wys!ane fale o d!ugo$ci mniejszej od jakiej$ warto-
$ci granicznej.
36-6
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
Je%eli jednak potraktujemy promieniowanie rentgenowskie jako strumie& fotonów to
wyja$nienie obserwowanego zjawiska jest proste.
Elektron o pocz tkowej energii kinetycznej Ek (uzyskanej dzi"ki napi"ciu U) w wyniku
oddzia!ywania z ci"%kim j drem atomu tarczy jest hamowany i energia jak traci poja-
wia si" w formie kwantów (rysunek).
Ek
Ek'
j dro
foton
elektron
Energia powstaj cego fotonu jest dana wzorem:
hv = Ek - Ek'
gdzie Ek' jest energi elektronu po zderzeniu. Elektron w trakcie zderzenia przekazuje
j dru pewn energi" jednak ze wzgl"du na to, %e j dra tarczy s bardzo ci"%kie (w po-
równaniu do elektronu) mo%emy j zaniedba#.
D!ugo$# fali fotonu mo%na obliczy# z relacji
'
kk EEc
h % )
W wyniku zderze& elektrony trac ró%ne ilo$ci energii typowo elektron zostaje zatrzy-
many w wyniku wielu zderze& z j drami tarczy - otrzymujemy szereg fotonów o ró%-
nych energiach (ró%nych )). Wobec tego promieniowanie rentgenowskie wytwarzane
przez wiele elektronów b"dzie mia!o widmo ci g"e.
Powstaje wiele fotonów o d!ugo$ciach od )min do ) , -, co odpowiada ró%nym ener-
giom traconym w zderzeniach.
Foton o najmniejszej d!ugo$ci fali )min (maksymalnej energii) b"dzie emitowany wtedy
gdy elektron straci ca! energi" w jednym procesie zderzenia. Oznacza to, %e po tym
zderzeniu Ek' = 0 wi"c
kEc
h min)
(36.4)
Poniewa% energia kinetyczna jest równa eU (elektron przyspieszony napi"ciem U) wi"c
zachodzi relacja
eUc
h min)
czyli
eU
hc min) (36.5)
36-7
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
Tak wi"c minimalna d!ugo$# fali odpowiadaj ca ca!kowitej zamianie energii kinetycz-
nej elektronów na promieniowanie zale%y jedynie od U, a nie zale%y np. od materia!u z
jakiego zrobiono tarcz" (anod").
Podobnie na gruncie fizyki kwantowej mo%na wyja$ni# powstawanie widma liniowego
(charakterystycznego).
Elektron z wi zki padaj cej przelatuj c przez atom anody, niekiedy przechodzi w pobli-
%u elektronu podpow!oki wewn"trznej. W wyniku oddzia!ywania kulombowskiego
mi"dzy tymi elektronami mo%e doj$# do wybicia elektronu z podpow!oki poza atom.
Pozostawia to atom w stanie wysoko wzbudzonym poniewa% uby! elektron o du%ej
energii wi zania. Atom ostatecznie powróci do stanu podstawowego, emituj c seri" fo-
tonów wysokoenergetycznych.
Aby to szczegó!owo prze$ledzi# rozpatrzmy atom anody, z którego podpow!oki 1s zo-
sta! usuni"ty elektron. W pierwszym kroku powrotu atomu do stanu podstawowego
elektron z jednej z podpow!ok o mniej ujemnej (wy%szej) energii np. elektron 2p, prze-
chodzi na wolne miejsce w podpow!oce 1s. Pozostawia to dziur" w podpow!oce 2p.
Towarzyszy temu emisja fotonu o energii równej spadkowi energii wzbudzenia tj. ró%-
nicy energii atomu z brakuj cym elektronem 1s i atomu z brakuj cym elektronem 2p.
Oczywi$cie dziura w podpow!oce 2p mo%e by# zape!niona przez elektron 3d, a powsta!a
dziura w podpow!oce 3d przez elektron 4p itd.
Zazwyczaj proces powrotu atomu do stanu podstawowego sk!ada si" z kilku kroków.
W ka%dym kroku dziura przeskakuje do podpow!oki o mniej ujemnej energii, a% przej-
dzie do najbardziej zewn"trznej podpow!oki gdzie zostanie zaj"ta przez jaki$ elektron
b"d cy w pobli%u. Atom jest znowu w stanie podstawowym i jest oboj"tny elektrycznie.
Ka%demu przej$ciu dziury do stanu o mniej ujemnej energii towarzyszy emisja fotonu o
energii równej spadkowi energii wzbudzenia. W ten sposób powstaje widmo liniowe.
Poniewa% przej$cia odbywaj si" pomi"dzy podpow!okami atomu anody wi"c wysy!ane
promieniowanie X jest charakterystyczne dla atomów konkretnego pierwiastka anody.
Liniowe widma rentgenowskie s interesuj ce praktyczni ze wzgl"du na wiele u%ytecz-
nych zastosowa& w nauce i technice.
36-8
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
Wyk ad 37
37. Materia skondensowana
37.1 Wst p
Kiedy pierwiastek lub zwi zek chemiczny, b"d cy w stanie gazowym lub ciek!ym, zo-stanie dostatecznie och!odzony to kondensuje czyli przechodzi do stanu sta!ego. Wi"kszo#$ zwi zków ma struktur" krystaliczn . Atomy u!o%one s w powtarzaj cy si" regularny wzór zwany sieci krystaliczn . Np. ziarna soli kuchennej tworz sze#ciany oparte na powtarzaj cym si" elementarnym sze#cianie pokazanym na rysunku poni%ej. Pozycje atomów Na i Cl s zaznaczone odpowiednio ma!ymi i du%ymi kulami.
Wiele cia! sta!ych nie przypomina kryszta!ów ale jest zbudowana z bardzo wielu malut-kich kryszta!ków; mówimy, %e maj struktur" polikrystaliczn . Wreszcie w przyrodzie wyst"puj cia!a niekrystaliczne tzn. takie, w których uporz dkowanie atomowe nie roz-ci ga si" na du%e odleg!o#ci. W dalszej cz"#ci wyk!adu zajmiemy si" tylko cia!ami krystalicznymi. Klasyfikacje takich cia! prowadzi si" wed!ug dominuj cego rodzaju wi zania.
37.2 Rodzaje kryszta!ów (rodzaje wi"za#)
Ze wzgl"du na typy wi za& kryszta!y dzielimy na: ! Kryszta!y cz steczkowe (molekularne);
! Kryszta!y o wi zaniach wodorowych;
! Kryszta!y jonowe;
! Kryszta!y atomowe (kowalentne);
! Kryszta!y metaliczne.
37.2.1 Kryszta y cz!steczkowe
Sk!adaj si" ze stabilnych cz steczek, które zachowuj wiele swoich cech indywidu-alnych nawet przy zbli%aniu ich do siebie. ! Si!y wi % ce cz steczki s s!abym przyci ganiem van der Waalsa, takim jakie ist-
nieje pomi"dzy cz steczkami w fazie gazowej. Fizycznym mechanizmem odpowie-
37-1
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
dzialnym za to przyci ganie jest oddzia!ywanie pomi"dzy dipolami elektrycznymi (cz steczki zachowuj si" jak dipole elektryczne).
! Cia!a cz steczkowe tworzy wiele zwi zków organicznych a w stanie sta!ym gazy szlachetne i zwyk!e gazy, takie jak tlen, azot, wodór.
! Energia wi zania jest s!aba - rz"du 10-2 eV tj. 10-21 J. Dla porównania energia termiczna cz steczki (wp!ywaj ca na rozerwanie wi zania)
w temperaturze pokojowej (300 K) wynosi J1062
3 21"#$TkB .
Wida$, %e zestalenie mo%e mie$ miejsce dopiero w niskich i bardzo niskich temperaturach, gdzie efekty rozrywaj ce wi zanie, wynikaj ce z ruchu termicznego, s bardzo ma!e. Np. temperatura topnienia sta!ego wodoru wynosi 14 K (tj. -259 %C).
! Te kryszta!y s podatne na odkszta!cenia (s!abe wi zanie) oraz ze wzgl"du na brak elektronów swobodnych s bardzo z!ymi przewodnikami ciep!a i elektryczno#ci.
37.2.2 Kryszta y o wi!zaniach wodorowych
W pewnych warunkach atomy wodoru mog tworzy$ silne wi zania z atomami pierwiastków elektroujemnych takich jak np. tlen czy azot. Te wi zania zwane wodo-rowymi odgrywaj wa%n rol" min. w kryszta!ach ferroelektrycznych i w cz steczkach kwasu DNA (dezoksyrybonukleinowego).
37.2.3 Kryszta y jonowe
Np. chlorek sodu. Takie kryszta!y sk!adaj si" z trójwymiarowego naprzemiennego u!o%enia dodatnich i ujemnych jonów, o energii ni%szej ni% energia odosobnionego jo-nu. ! Energia wi zania wynika z wypadkowego przyci gania elektrostatycznego. Ta ener-
gia jest wi"ksza od energii zu%ytej na przeniesienie elektronów (utworzenie jonów).
Wi zanie jonowe nie ma wyró%nionego kierunku (sferycznie symetryczne zamkni"te pow!oki). Jony s u!o%one jak g"sto upakowane kulki. ! Nie ma swobodnych elektronów (które mog!yby przenosi$ !adunek lub energi")
wi"c kryszta!y jonowe s z!ymi przewodnikami elektryczno#ci i ciep!a. ! Ze wzgl"du na du%e si!y wi % ce kryszta!y jonowe s zazwyczaj twarde i maj wy-
sok temperatur" topnienia.
37.2.4 Kryszta y atomowe (kowalentne)
Np. German, Krzem. Sk!adaj si" z atomów po! czonych ze sob parami wspólnych elektronów walencyjnych. ! Wi zania maj kierunek i wyznaczaj u!o%enie atomów w strukturze krystalicznej. ! S niepodatne na odkszta!cenia i posiadaj wysok temperatur" topnienia. ! Brak elektronów swobodnych, wi"c cia!a atomowe nie s dobrymi przewodnikami
elektryczno#ci i ciep!a. Czasami jak w przypadku wymienionych Ge oraz Si s one pó!przewodnikami.
37-2
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
37.2.5 Cia a metaliczne
Wi zanie metaliczne mo%na sobie wyobrazi$ jako graniczny przypadek wi zania kowalentnego, w którym elektrony walencyjne s wspólne dla wszystkich jonów w krysztale a nie tylko dla jonów s siednich. ! Gdy w atomach, z których jest zbudowany kryszta!, elektrony na zewn"trznych po-
w!okach s s!abo zwi zane to mog one zosta$ uwolnione z tych atomów kosztem energii wi zania (bardzo ma!ej).
! Elektrony te poruszaj si" w ca!ym krysztale; s wi"c wspólne dla wszystkich jonów. Mówimy, %e te elektrony tworz gaz elektronowy wype!niaj cy przestrze& pomi"dzy dodatnimi jonami. Gaz elektronowy dzia!a na ka%dy jon si! przyci gania wi"ksz od odpychania pozo-sta!ych jonów - st d wi zanie. Wprawdzie w tych atomach na zewn"trznych podpow!okach s wolne miejsca ale jest za ma!o elektronów walencyjnych (na atom) aby utworzy$ wi zanie kowalentne.
! Poniewa% istnieje wiele nie obsadzonych stanów elektronowych (na zewn"trznych podpow!okach s wolne miejsca) to elektrony mog porusza$ si" swobodnie w krysztale od atomu do atomu - s wspólne dla ca!ego kryszta!u.
! Kryszta!y metaliczne s doskona!ymi przewodnikami elektryczno#ci i ciep!a. Wszystkie metale alkaliczne tworz kryszta!y metaliczne. W podsumowaniu nale%y zaznaczy$, %e istniej kryszta!y, w których wi zania musz by$ interpretowane jako mieszanina opisanych powy%ej g!ównych typów wi za&. Typ wi zania w poszczególnych kryszta!ach wyznacza si" do#wiadczalnie przez bada-nie: dyfrakcji promieni X, w!asno#ci dielektrycznych, widm optycznych itp..
37.3 Pasma energetyczne
W odró%nieniu od atomów (i cz steczek) gdzie ruch elektronów jest ograniczony do ma!ego obszaru przestrzeni, w cia!ach sta!ych elektrony walencyjne mog si" porusza$ w ca!ej obj"to#ci cia!a przechodz c od atomu do atomu. Ruch elektronów w kryszta!ach jest wi"c czym# po#rednim pomi"dzy ruchem we-wn trzatomowym a ruchem swobodnych elektronów w pró%ni. ! Energia elektronu w atomie mo%e przyjmowa$ tylko okre#lone warto#ci tworz c
zbiór dyskretnych poziomów energetycznych. ! Elektron swobodny mo%e porusza$ si" z dowoln energi , mamy wi"c do czynienia
z ci g!ym przedzia!em energii od zera do niesko&czono#ci. W kryszta!ach mamy sytuacje po#redni . Gdy du%a liczba atomów jest zbli%ana do sie-bie nast"puje poszerzenie atomowych poziomów energetycznych tworz si" tzw. pasma
energetyczne tak jak pokazano na rysunku na nast"pnej stronie. Silnie zwi zane elektrony wewn"trzne w atomie pozostaj zlokalizowane w atomach. Elektronom tym odpowiadaj najni%sze dyskretne (atomowe) poziomy energii. Energie elektronów walencyjnych uk!adaj si" w przedzia!y - pasma. Pasma s tym szersze im s!absza wi"' elektronów z j drami atomowymi (czyli im bardziej przypomi-naj elektrony swobodne). Pasma energetyczne s oddzielone obszarami wzbronionymi czyli przedzia!ami energii nie dost"pnych dla elektronów.
37-3
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
r
En
erg
ia e
lektr
on
u
r0
r0 - odleg!o#$ mi"dzyatomowa w krysztale. Pasmowa struktura widma energetycznego elektronów pozwoli!a wyja#ni$ wiele pod-stawowych w!a#ciwo#ci cia! sta!ych. Przede wszystkim pozwoli!a wyt!umaczy$ dlaczego, mimo %e odleg!o#ci mi"dzyato-mowe i energie oddzia!ywa& w metalach, pó!przewodnikach i dielektrykach s tego sa-mego rz"du to oporno#$ elektryczna tych substancji ró%ni si" o 25 rz"dów wielko#ci: od oko!o 10-6 w metalach do 1019 &cm w dielektrykach. ! Je%eli pasmo jest puste to nie mo%e wnosi$ wk!adu do przewodnictwa (nie ma elek-
tronów o energiach w takim przedziale). ! Tak%e pasmo ca!kowicie zape!nione nie bierze udzia!u w przewodnictwie. Je%eli
przyk!adamy napi"cie (aby pop!yn ! pr d) to w polu elektrycznym elektrony b"d przyspieszane, a to oznacza wzrost ich energii. Ale ten proces jest niemo%liwy bo nie ma wolnych (nie obsadzonych) energii w pa#mie.
! Takich ruch elektronów jest mo%liwy dopiero w pa#mie cz"#ciowo wype!nionym czyli takim, w którym s nie obsadzone stany energetyczne.
Substancje o cz"#ciowo wype!nionych pasmach s wi"c metalami a substancje, w któ-rych wyst"puj tylko ca!kowicie zape!nione lub puste stany energetyczne s dielektry-kami lub pó!przewodnikami (rysunek).
Ca!kowicie zape!nione pasma w kryszta!ach nazywamy pasmami walencyjnymi, a cz"-#ciowo zape!nione (lub puste) pasmami przewodnictwa.
37-4
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
Je%eli szeroko#$ obszaru oddzielaj cego najwy%sze pasmo walencyjne od pasma prze-wodnictwa (tzw. przerwa energetyczna lub pasmo wzbronione) jest du%a to materia! ten jest dielektrykiem we wszystkich temperaturach (a% do temperatury topnienia). Je%eli jednak przerwa jest dostatecznie w ska to w odpowiedniej temperaturze dzi"ki energii cieplnej cz"#$ elektronów mo%e zosta$ przeniesiona do pustego pasma. Kryszta!, który w T = 0 K by! izolatorem teraz b"dzie przewodzi! a jego przewodno#$ szybko ro-#nie (opór spada) wraz z temperatur . Je%eli przerwa jest mniejsza ni% 1 eV to przewod-nictwo staje si" wyra'ne ju% w temperaturze pokojowej. Substancje z tak przerw nazywamy pó!przewodnikami.
37.4 Fizyka pó!przewodników
W tym punkcie przedstawione zostan podstawowe w!a#ciwo#ci pó!przewodników oraz ich zastosowania. Materia!y te zrewolucjonizowa!y elektronik" i wspó!czesn technologi" dlatego zosta!y wybrane do omówienia. Gdy elektron znajduj cy si" w pa#mie walencyjnym np. Ge zostanie wzbudzony ter-micznie, wówczas powstaje w tym pa#mie miejsce wolne, a zostaje zape!niony stan w pa#mie przewodnictwa. Pusty stan w pa#mie walencyjnym nazywany jest dziur . Na rysunku zaznaczono symbolicznie t" sytuacj".
elektron przewodnictwa
Eprzerwy
Ge Ge
Ge
Ge Ge
elektron przewodnictwa
dziura
wi zanie (elektrony walencyjne)
Ge Ge
dziura
W obecno#ci zewn"trznego pola elektrycznego inny elektron walencyjny, s siaduj cy z dziur mo%e zaj $ jej miejsce, pozostawiaj c po sobie now dziur", która zostanie za-pe!niona przez kolejny elektron itd. Zatem dziura przemieszcza si" w kierunku prze-ciwnym ni% elektron i zachowuje jak no#nik !adunku dodatniego (dodatni elektron). Liczba dziur jest równa liczbie elektronów przewodnictwa. Takie pó!przewodniki na-zywamy samoistnymi.
37.4.1 Domieszkowanie pó przewodników
Je%eli w trakcie wzrostu kryszta!ów do roztopionego germanu dodamy niewielk ilo#$ arsenu (grupa 5 uk!adu okresowego) to arsen wbudowa! si" w struktur" germanu wykorzystuj c cztery spo#ród pi"ciu elektronów walencyjnych. Pozosta!y elektron nie bierze udzia!u w wi zaniu i !atwo staje si" elektronem przewodnictwa. Dzi"ki temu w
37-5
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
pa#mie przewodnictwa jest prawie tyle elektronów ile atomów arsenu (domieszki). Za-zwyczaj liczba ta jest wi"ksza ni% liczba elektronów wzbudzonych termicznie z pasma walencyjnego. Taki pó!przewodnik nazywany jest pó!przewodnikiem typu n (negative). German mo%na te% domieszkowa$ galem (grupa 3 uk!adu okresowego). W takim przy-padku atom galu b"dzie mia! tendencj" do wychwytywania elektronu z s siedniego atomu germanu aby uzupe!ni$ cztery wi zania kowalencyjne. Zatem atom galu wpro-wadza dziur" i mamy pó!przewodnik typu p (positive).
37.5 Zastosowania pó!przewodników
37.5.1 Termistor
W miar" wzrostu temperatury obserwujemy szybki wzrost przewodno#ci (spadek oporu) pó!przewodników. Np. przewodno#$ czystego krzemu zwi"ksza si" a% dwukrot-nie przy wzro#cie temperatury od 0% C do 10% C. Dlatego czysty krzem mo%e by$ sto-sowany w czu!ych miernikach temperatury. Taki przyrz d (wykonany z czystego pó!-przewodnika) jest nazywany termistorem.
37.5.2 Z !cze p - n
Je%eli pó!przewodnik typu n i pó!przewodnik typu p zostan ze sob zetkni"te to cz"#$ elektronów z obszaru typu n b"dzie przep!ywa!a do obszaru typu p, a dziury b"d prze-p!ywa!y z obszaru typu p do obszaru typu n. W wyniku tego obszar p na!aduje si" ujemnie (dodatkowymi elektronami) a obszar typu n dodatnio. Powstaje kontaktowa ró%nica potencja!ów pokazana na rysunku poni%ej.
V0
X
V
Typ p
Typ n
Je%eli do takiego z! cza p - n przy!o%ymy zewn"trzny potencja! to wielko#$ pr du p!y-n cego przez z! cze zale%y od kierunku i warto#ci tego napi"cia tak jak pokazano na wykresie poni%ej. Dla dodatniego napi"cia pr d jest zazwyczaj wielokrotnie wi"kszy od I0 podczas gdy dla ujemnego napi"cia (napi"cie zaporowe) maksymalna warto#$ pr du wynosi I0. To urz dzenie jest nazywane diod p - n. Jednym z jego zastosowa& s detektory radiood-biorników o modulacji amplitudowej.
37-6
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
V
I
I0
37.5.3 Baterie s oneczne
Je%eli o#wietlimy obszar przej#ciowy z! cza p - n to elektrony z pasma walencyjne-go zostan wzbudzone do pasma przewodnictwa (tak samo jak energi ciepln ). Ka%dy poch!oni"ty foton kreuje par" elektron - dziura. Powsta!e dziury s wci gane do obszaru p, a elektrony do obszaru n. Je%eli mamy za-mkni"ty obwód to p!ynie w nim pr d. W ten sposób mo%na zamieni$ #wiat!o bezpo#rednio na energi" elektryczn .
37.5.4 Fotodiody
Gdy do baterii s!onecznej przy!o%ymy napi"cie zaporowe to pr d I0 wzro#nie wielo-krotnie dzi"ki dodatkowym no#nikom wytworzonym przez padaj ce #wiat!o. Fotopr d jest proporcjonalny do szybko#ci padania fotonów. Urz dzenie jest bardzo czu!e i znalaz!o zastosowanie np. jako detektor zmian nat"%enia #wiat!a.
37.5.5 Diody "wiec!ce
Diody #wiec ce s zasilane napi"ciem w kierunku przewodzenia na tyle du%ym, %e przyspieszane elektrony w trakcie zderze& wytwarzaj pary elektron - dziura. Tym pro-cesom tworzenia par elektron - dziura towarzysz procesy odwrotne (tzw. rekombina-cja), w których elektrony mog ponownie obsadzi$ dziur". Ka%demu aktowi rekombi-nacji towarzyszy emisja fotonu o energii hv $ Eprzerw . Tak wi"c cz"stotliwo#$ (barwa) emitowanego #wiat!a zale%y od przerwy energetycznej, która jest charakterystyczna dla danego materia!u pó!przewodnikowego.
37.5.6 Tranzystor
Schemat tranzystora pnp jest pokazany na rysunku na nast"pnej stronie. Mo%na sobie wyobrazi$, %e tranzystor jest diod , do której do! czono dodatkowy obszar p (kolektor).
37-7
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
Vk
Vb
p p n
emiter
kolektor
baza
Ike
Ibe
dioda
V0
Vb
Vk
V
p p n
Do „diody” jest przy!o%one napi"cie w kierunku przewodzenia wi"c p!ynie du%y pr d
(dziurowy) z emitera do bazy. Baza jest na tyle cienka, %e wi"kszo#$ dziur dyfunduje do
kolektora, a tylko niewielka cz"#$ (1%) wyp!ywa z bazy (Ibe).
Pozosta!y pr d (99%) wyp!ywa przez kolektor. Kolektor jest na bardziej ujemnym po-
tencjale ni% baza by dodatnie dziury !atwiej mog!y do niego przechodzi!y. Stosunek pr -
du kolektora do pr du bazy nazywamy wspó!czynnikiem wzmocnienia pr du: be
ke
I
I'( .
Dla typowego tranzystora ( = 100 tzn. s!aby pr d wej#ciowy bazy Ibe mo%e kontrolo-
wa$ 100 razy wi"kszy pr d wyj#ciowy kolektora Ike.
Np. Ibe jest s!abym sygna!em antenowym. Wówczas pr d Ike jest takim samym przebie-
giem ale o warto#ci 100 razy wi"kszej.
Charakterystyki tranzystorów npn s takie same.
37.5.7 Inne urz!dzenia
Istnieje jeszcze wiele innych urz dze& pó!przewodnikowych. Z konieczno#ci ograni-
czymy si" tylko do wymienienia najwa%niejszych: uk!ady scalone du%ej skali integracji;
diody tunelowe; diody Zenera; tyrystory; tranzystory polowe; lasery pó!przewodniko-
we.
37.6 W!asno$ci magnetyczne cia! sta!ych
Ze zjawiskami magnetycznymi spotykamy si" na co dzie&. Najcz"#ciej mamy do
czynienia z magnesami sta!ymi poniewa% s one powszechnie wykorzystywane we
wszelkich urz dzeniach technicznych.
Omówienie w!asno#ci magnetycznych rozpoczniemy od przypomnienia oblicze&,
z Wyk!adu 21. Pokazali#my tam, %e elektron kr % cy w odleg!o#ci r wokó! j dra w
atomie posiada magnetyczny moment dipolowy Le
' zwm2
e) i zany z orbitalnym mo-
mentem p"du L. Podobnie jak z orbitalnym momentem p"du elektronu równie% z jego
spinem zwi zany jest moment magnetyczny tzw. spinowy moment magnetyczny.
W!asno#ci magnetyczne cia! s okre#lone przez zachowanie si" tych elementarnych
momentów (dipoli) magnetycznych w polu magnetycznym.
37-8
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
Przy opisie w!asno#ci magnetycznych cia! pos!ugujemy si" poj"ciem wektora pola-
ryzacji magnetycznej M nazywanej te% namagnesowaniem lub magnetyzacj . Wektor
ten okre#la sum" wszystkich momentów magnetycznych, czyli wypadkowy moment
magnetyczny jednostki obj"to#ci. Je%eli próbk" zawieraj c elementarne dipole magne-
tyczne umie#cimy w jednorodnym polu magnetycznym o indukcji B0 to pole to d %y do
ustawienia dipoli w kierunku pola i w efekcie powstaje w próbce wypadkowe pole o
indukcji
00 BMBB r)'*' (35.1)
Wzgl"dn przenikalno#ci magnetyczn o#rodka )r mo%na na podstawie wzoru (35.1)
zapisa$ jako
+) *'*' 110B
Mr (35.2)
!
gdzie wielko#$ + nazywana jest podatno#ci magnetyczn .
W zale%no#ci od wielko#ci i znaku podatno#ci magnetycznej + , dzielimy cia!a na
nast"puj ce trzy grupy:
! + < 0, cia!a diamagnetyczne;
! + > 0, cia!a paramagnetyczne;
! + >> 0, cia!a ferromagnetyczne.
37.6.1 Diamagnetyzm
Diamagnetyzm jest zwi zany ze zmian orbitalnego momentu p"du elektronów wy-
wo!an zewn"trznym polem magnetycznym. Oznacza to, %e diamagnetyzm wyst"puje w
ka$dym materiale umieszczonym w polu magnetycznym (w ka%dym materiale s elek-
trony). Jednak do#wiadczalnie jest on obserwowany tylko w cia!ach, w których momen-
ty magnetyczne elektronów wchodz cych w sk!ad danego atomu znosz si" wzajemnie
(kompensuj ) tak, %e moment magnetyczny atomu jest równy zeru. W innym przypadku
efekt ten jest maskowany przez wypadkowy moment magnetyczny atomów. Diamagne-
tykami s na przyk!ad te cia!a, których atomy lub jony posiadaj wype!nione pow!oki
elektronowe.
Je%eli atom diamagnetyczny umie#cimy w zewn"trznym polu magnetycznym to na
elektrony dzia!a si!a magnetyczna F = -ev B, która powoduje zmian si!y do"rodkowej dzia!aj#cej na elektron i zmienia pr dko"$ k#tow# elektronów. Zmiana ta zale%y od kie-runku ruchu elektronu wzgl dem pola B i dlatego nie jest jednakowa dla wszystkich elektronów. Oznacza to, %e momenty magnetyczne elektronów przesta!y si kompen-sowa$. W zewn trznym polu magnetycznym B zosta! wyindukowany moment magne-tyczny, o kierunku przeciwnym do B. W efekcie próbka diamagnetyczna jest odpychana od bieguna silnego magnesu, a jej podatno"$ magnetyczna ! jest ujemna.
37-9
Z. K#kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
37.6.2 Paramagnetyzm
Paramagnetykami s# cia!a, których atomy posiadaj# wypadkowy moment magne-tyczny ró%ny od zera. Przyk!adem mog# by$ atomy o nieparzystej liczbie elektronów, w których wypadkowy spin elektronów b dzie zawsze wi kszy od zera. Podatno"$ para-magnetyków ma warto"$ nieznacznie wi ksz# od zera. W zewn trznym polu magne-tycznym atomowe dipole magnetyczne d#%# do ustawienia równoleg!ego do kierunku pola. Jednak ten proces jest silnie zak!ócany przez energi drga& termicznych (energi ciepln#) tak, %e efektywny moment magnetyczny jest du%o mniejszy od maksymalnego, mo%liwego do uzyskania. Te ruchy cieplne s# odpowiedzialne za to, %e po usuni ciu pola magnetycznego znika namagnesowanie i momenty dipolowe paramagnetyka s# ca!kowicie nieuporz#dkowane.
Dla paramagnetyków (nie zawieraj#cych elektronów swobodnych) podatno"$ ma-gnetyczna zale%y od temperatury zgodnie z prawem Curie
T
C"! (35.3)
gdzie C jest sta ! Curie.
37.6.3 Ferromagnetyzm
Istniej# pierwiastki takie jak Fe, Co, Ni oraz wiele ró%nych stopów, w których ob-serwujemy uporz#dkowanie magnetyczne pomimo, przeciwdzia!aj#cych temu, ruchów termicznych atomów. Substancje te zwane ferromagnetykami charakteryzuj# si du%# podatno"ci#, przy czym wielko"$ namagnesowania zale%y zarówno od pola magnesuj#-cego jak i od tego czy by!y one magnesowane wcze"niej. Jest to zwi#zane z silnym od-
dzia ywaniem wymiennym jakie wyst puje pomi dzy spinowymi momentami magne-tycznymi atomów. Ferromagnetyzm jest wi"c w asno#ci! kryszta ów, a nie pojedyn-
czych atomów. Poszczególne atomy (tak jak w paramagnetyku) posiadaj# momenty ma-gnetyczne, które podczas krystalizacji, w wyniku oddzia!ywania wymiennego, ustawia-j# si równolegle do siebie w du%ych obszarach kryszta!u zwanych domenami. Ka%da domena jest wi c ca!kowicie magnetycznie uporz#dkowana. Natomiast kierunki mo-mentów magnetycznych poszczególnych domen s# ró%ne i próbka jako ca!o"$ mo%e nie mie$ wypadkowego namagnesowania. Na rysunku poni%ej po lewej stronie pokazano fragment nienamagnesowanego ferromagnetyka.
37-10
Z. K#kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
Linie pokazuj# granice domen, a strza!ki oznaczaj# kierunek momentu magnetycznego w domenie. Je%eli taki materia! ferromagnetyczny umie"cimy w zewn trznym polu magnetycz-nym zaobserwujemy, %e próbka uzyskuje du%e namagnesowanie w relatywnie niskim polu magnetycznym. Dzieje si tak dlatego, %e momenty magnetyczne atomów we-wn#trz domen d#%# do ustawienia si zgodnie z polem oraz, %e przesuwaj# si "ciany domen: domeny zorientowane zgodnie z polem rosn# kosztem domen o innej orientacji. Ten proces nie jest ca kowicie odwracalny. Po usuni ciu pola granice domen nie wraca-j# do po!o%e& pocz#tkowych i materia! pozostaje namagnesowany trwale. Zjawisko to nazywamy histerez! magnetyczn!. Na rysunku, poni%ej prawej pokazana jest krzywa (ab) namagnesowania ferromagnetyka (pocz#tkowo nienamagnesowanego) i towarzy-sz#ca jej p tla histerezy (bcdeb).
Nienamagnesowany (punkt a) materia! ferromagnetyczny magnesujemy zewn trz-nym polem magnetycznym B0 a% do warto"ci odpowiadaj#cej punktowi b. Nast pnie zmniejszamy pole magnesuj#ce do zera. Namagnesowanie materia!u maleje ale nie zni-ka ca!kowicie (punkt c); materia! zosta! namagnesowany trwale. Namagnesowanie w punkcie c nosi nazw pozosta o#ci magnetycznej. Nast pnie, ponownie zwi kszamy po-le magnesuj#ce ale w kierunku przeciwnym do namagnesowania. Trwa!e namagneso-wanie ferromagnetyka zostaje usuni te dopiero po osi#gni ciu warto"ci pola magne-tycznego nazywanego polem koercji (punkt d). Dalsze zwi kszanie pola magnesuj#cego pozwala ponownie namagnesowa$ materia! ale w nowym kierunku (punkt e). Mo%emy teraz powtórzy$ post powanie opisane powy%ej i w efekcie powróci$ do punktu b. Krzywa (bcdeb) nosi nazw p tli histerezy. Pozosta!o"$ magnetyczna i pole koercji s# parametrami, które decyduj# o przydatno-"ci danego materia!u jako magnesu trwa!ego. Du%a pozosta!o"$ magnetyczna gwarantu-je, %e b dziemy mieli silny magnes, a du%e pole koercji, %e b dzie on trwa!y (nie zosta-nie !atwo rozmagnesowany). Materia!ami, które posiadaj# najlepsze warto"ci tych pa-rametrów s# obecnie SmCo5 i Nd2Fe14B. O przydatno"ci ferromagnetyka jako magnesu trwa!ego decyduje równie% zale%no"$ jego podatno"ci od temperatury bo powy%ej pewnej charakterystycznej temperatury TC ferromagnetyk staje si paramagnetykiem. Temperatur TC nazywamy temperatur! Cu-
rie. Z punktu widzenia zastosowa& istotne jest aby materia! ferromagnetyczny mia! mo%liwie wysok# temperatur przej"cia w stan paramagnetyczny.
37-11
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
Wyk ad 38
38. Fizyka j!drowa
38.1 Wst p
Ka"de j dro atomowe sk!ada si# z protonów i neutronów wi zanych si ami j!dro-
wymi, niezale"nymi od !adunku. Poniewa" neutron i proton maj prawie tak sam mas# i bardzo zbli"one inne w!asno-$ci, wi#c obydwa okre$la si# wspóln nazw nukleon. Nazwa nuklid jest u"ywana zamiennie z terminem j dro. Nuklidy o tej samej liczbie protonów, ró"ni ce si# liczb neutronów nazywamy izoto-
pami. % czn liczb# protonów i neutronów w j drze nazywamy liczb! masow! j dra i ozna-czamy liter A. Liczba neutronów jest dana równaniem A - Z, gdzie Z jest liczb proto-nów zwan liczb! atomow!. Warto$& liczby A dla j dra atomowego jest bardzo bliska masie odpowiadaj cego mu atomu.
38.2 Rozmiary j!der
Wi zka wysokoenergetycznych protonów lub neutronów mo"e zosta& rozproszona wskutek dyfrakcji na j drze o promieniu R. Analizuj c powsta!y obraz dyfrakcyjny (po-!o"enie maksimów) mo"na wyznaczy& ten promie'. Wyniki pomiarów (równie" innymi technikami) pokazuj , "e $redni promie' dla wszystkich j der oprócz najmniejszych jest dany wzorem:
R (1.2·10-15 m) A1/3 W fizyce j drowej i cz stek elementarnych wielko$& 10-15 pojawia si# cz#sto i dlatego wprowadzono dla niej osobn nazw# fermi. 1 fermi = 1 fm = 10-15 m. Przyk ad 1 Jaka jest g#sto$& masy i g#sto$& cz steczek w materii j drowej ? Dla j dra o promieniu R i liczbie masowej A liczba cz stek na jednostk# obj#to$ci wy-nosi
331153 ])102.1[(3
4
3
4Am
A
R
AN
!"##
$$
sk d N = 1.38·1044 nukleonów/m3
G#sto$& masy to iloczyn tej liczby N i masy nukleonu
38-1
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
% = N Mp = (1.38·1044) (1.67·10-27) kg/m3 = 2.3·1017 kg/m3 Odpowiada to masie oko!o 230 milionów ton dla 1 cm3. G#sto$& materii j drowej nie zale"y od rozmiarów j dra, poniewa" jego obj#to$& jest proporcjonalna do liczby masowej A.
38.3 Oddzia"ywanie nukleon-nukleon
Dotychczas poznane oddzia!ywania (grawitacyjne, elektromagnetyczne) nie pozwa-laj na wyja$nienie struktury j dra atomowego. Aby wyja$ni& co tak silnie wi "e nukle-ony w j drach atomowych trzeba wprowadzi& nowe oddzia!ywanie. Ta si!a wi " ca musi by& wi#ksza ni" si!a odpychania elektrostatycznego wyst#puj ca pomi#dzy proto-nami. Okre$lamy j mianem si y j!drowej lub oddzia ywania silnego. Potencja! opisuj cy to oddzia!ywanie jest o rz d wielko$ci wi#kszy ni" energia poten-cjalna elektrostatycznego odpychania proton - proton. Sytuacja ta jest pokazana na ry-sunku poni"ej.
1 2 3
-30
-20
-10
0
10
20
30
ke2/r
przyci ganie
odpychanie
U (
MeV
)
r (fm)
Oddzia!ywanie proton - proton, proton - neutron i neutron - neutron jest identyczne (je-"eli zaniedbamy relatywnie ma!e efekty odpychania elektrostatycznego) i nazywamy go oddzia!ywaniem nukleon - nukleon. Masy atomowe i energie wi za' mo"na wyznaczy& do$wiadczalnie w oparciu o spek-
troskopi" masow! lub bilans energii w reakcjach j!drowych. W tabeli na nast#pnej stronie zestawione s masy atomowe i energie wi za' j der &E dla atomów wybranych pierwiastków. Masa jest podana w jednostkach masy atomowej (u). Za wzorzec przyjmuje si# 1/12 masy atomowej w#gla 12 . 6 C
38-2
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
Z A Masa (u) &E (MeV)
&E/A
01n 0 1 1.0086654 --- ---
11 H 1 1 1.0078252 --- ---
12 H 1 2 2.0141022 2.22 1.11
13 H 1 3 3.0160500 8.47 2.83
23 He 2 3 3.0160299 7.72 2.57
24 He 2 4 4.0026033 28.3 7.07
49 Be 4 9 9.0121858 58.0 6.45
612 C 6 12 12.0000000 92.2 7.68
816 O 8 16 15.994915 127.5 7.97
2963Cu 29 63 62.929594 552 8.50
50120Sn 50 120 119.9021 1020 8.02
74184 W 74 184 183.9510 1476 8.02
92238 U 92 238 238.05076 1803 7.58
W oparciu o dane zestawione w tabeli mo"na uzyska& dalsze informacje o j drach ato-mowych. Dla przyk!adu porównajmy mas# atomu z sum mas jego sk!adników. 2
4 He
M( ) = 4.0026033 u 2
4 He
Ca!kowita masa jego sk!adników równa jest sumie mas dwu atomów 1
1 i dwu neutro-
nów tzn.
H
2M( 1
1 ) + 2M( ) = 2·1.0078252 u + 2·1.0086654 u = 4.0329812 u H 01n
Uwaga: zarówno w sk!ad masy helu jak i dwu mas wodoru wchodz masy dwu elektro-nów. Wynik: masa helu jest mniejsza od masy sk!adników o warto$& 0.0303779 u. Dla ka"dego atomu analogiczny rachunek pokaza!by, "e masa atomu jest mniejsza od masy jego sk!adników o wielko$& &M zwan niedoborem masy. Wynik ten jest $wiadectwem energii wi zania j der jak i równowa"no$ci masy i energii. Je"eli rozwa"ymy dowolny sk!adnik j dra helu to skoro jest on zwi zany z j drem to ma ujemn energi# E < 0 (rysunek na stronie 3). Innymi s!owy, "eby taki nukleon przy-by! z odleg!o$ci r ' (E = 0) i móg! z innym nukleonami utworzy& j dro, jego energia musi ulec zmniejszeniu. To samo dotyczy ka"dego z pozosta!ych nukleonów w j drze. Oznacza to, "e gdy uk!ad oddzielnych swobodnych nukleonów ! czy si# w j dro ener-gia uk!adu musi zmniejszy& o warto$& &E energii wi!zania j!dra.
38-3
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
Zmniejszeniu o &E ca!kowitej energii uk!adu musi towarzyszy&, zgodnie z teori wzgl#dno$ci, zmniejszenie masy uk!adu o &M, gdzie &M c
2 = &E. Dla niedobór masy wynosi &M = 0.0303779 u, wi#c energia wi zania jest równa
&E = &M c
24 He
2 = 28.3 MeV. W ostatniej kolumnie tabeli podana jest wielko$& energii wi zania na nukleon w j drze. Jest to jedna z najwa"niejszych cech charakteryzuj cych j dro. Zauwa"my, "e pocz tkowo &E/A wzrasta ze wzrostem A, ale potem przybiera w przy-bli"eniu sta! warto$& oko!o 8 MeV. Wyniki $redniej energii wi zania na nukleon w funkcji liczby masowej j dra A s pokazane na rysunku poni"ej.
0 50 100 150 200 2500
2
4
6
8
238U
184W
120Sn
63Cu
16O
7Li
12C
9Be
4He
3H
2H
&E
/A
Liczba masowa A
Gdyby ka"dy nukleon w j drze przyci ga! jednakowo ka"dy z pozosta!ych nukleonów to energia wi zania na nukleon by!aby proporcjonalna do A. Fakt, "e &E/A nie jest proporcjonalne do A wynika g!ownie z krótkiego zasi#gu si! j -drowych. Wida&, "e najsilniej s wi zane nukleony w j drach pierwiastków ze $rodko-wej cz#$ci uk!adu okresowego.
38.4 Rozpady j!drowe i reakcje j!drowe
38.4.1 Rozpad alfa
Rozpady j drowe zachodz zawsze (pr#dzej czy pó(niej) je$li j dro o pewnej liczbie nukleonów znajdzie si# w stanie energetycznym, nie b#d cym najni"szym mo"liwym dla uk!adu o tej liczbie nukleonów. Takie nietrwa!e (w stanach niestabilnych) j dra powstaj w wyniku reakcji j drowych. Niektóre reakcje s wynikiem dzia!a' laboratoryjnych, inne dokona!y si# za spraw przyrody podczas powstawania naszej cz#$ci Wszech$wiata. J dra nietrwa!e pochodze-nia naturalnego s nazywane promieniotwórczymi, a ich rozpady nosz nazw# rozpa-
dów promieniotwórczych (promieniotwórczo$ci).
38-4
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
Rozpady promieniotwórcze dostarczaj wielu informacji o samych j drach atomowych (budowie, stanach energetycznych, oddzia!ywaniach) ale równie" wielu zasadniczych informacji o pochodzeniu Wszech$wiata. Szczególnie wa"nym rozpadem promieniotwórczym jest rozpad alfa (() wyst#puj cy zazwyczaj w j drach o Z ) 82. Z przyczyn historycznych j dro 4He jest nazywane cz st-k (. Rozpad ( polega na przemianie niestabilnego j dra w nowe j dro przy emisji j -dra 4He tzn. cz stki (. Proces zachodzi samorzutnie bo jest korzystny energetycznie. Energia wyzwolona w czasie rozpadu (energetyczny równowa"nik niedoboru masy) jest unoszona przez cz stk# ( w postaci energii kinetycznej. Przyk!adowa reakcja dla j dra uranu wygl da nast#puj co
238U 234Th + 4He + 4.2 MeV Rozpatrzmy teraz uk!ad zawieraj cy w chwili pocz tkowej wiele j der tego samego ro-dzaju. J dra te podlegaj rozpadowi ( (równie dobrze rozpadowi *) z cz#sto$ci rozpa-dów +. Chcemy znale(& liczb# j der, która nie uleg!a rozpadowi po czasie t od chwili pocz tkowej. Oznaczamy przez N liczb# j der. Wtedy dN (<0) oznacza liczb# j der, które rozpadaj si# w czasie dt. Spodziewana liczba rozpadów (liczba j der, które si# rozpadn ) w czasie dt tzn. (t, t + dt) jest dana wyra"eniem
dN = – N+dt
gdzie znak minus wskazuje, "e dN jest liczb ujemn czyli, "e N maleje z czasem.
Mo"emy rozdzieli& zmienne i sca!kowa& równanie obustronnie
tN
Nd
d+!#
,, !#ttN
N
tN
N
0
)(
)0(
dd
+
tN
tNNtN +!##!
)0(
)(ln)0(ln)(ln
czyli
teN
tN +!#)0(
)(
sk d
teNtN +!# )0()( (38.1)
N(0) jest liczb j der w chwili t = 0, a N(t) liczb j der po czasie t.
Powy"szy wzór nazywamy wyk adniczym prawem rozpadu.
38-5
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
Cz#sto wyra"a si# N(t) poprzez $redni czas "ycia j der, który z definicji jest równy od-
wrotno$ci cz#sto$ci rozpadów; - = 1/+.
Prawo rozpadu przyjmuje wtedy posta&
N = N0e-t/-
(38.2)
Do scharakteryzowania szybko$ci rozpadu u"ywa si# czasu po owicznego rozpadu (za-
niku) T1/2. Jest to taki czas, po którym liczba j der danego rodzaju maleje do polowy
tzn. N = (1/2) N0. Wstawiaj c to do równania (38.2), otrzymujemy
-21
002
1 TeNN #
czyli -212
Te#
sk d
T1/2 = 0.693 - (38.3)
Przyk!adowo dla 238
U czas po!owicznego zaniku wynosi 4.5·109 lat, a dla
212Po jest rz#-
du 10-6
s.
38.4.2 Promieniowanie .
Je$li j dro jest wzbudzone do wy"szego stanu energetycznego, to mo"e nast pi& sa-
moczynna emisja fotonu i przej$cie do ni"szego stanu energetycznego. Poniewa" odle-
g!o$ci mi#dzy poziomami energetycznymi w j drach s rz#du MeV wi#c fotony emito-
wane przez j dra maj energi# tysi ce razy wi#ksz od energii fotonów wysy!anych
przez atomy. Takie wysokoenergetyczne fotony emitowane przez j dra nazywamy
promieniowaniem .. J dra w stanie wzbudzonym mo"na !atwo otrzyma& u"ywaj c neutronów o ma!ej ener-
gii. Je"eli taki powolny neutron przechodzi np. przez bry!k# uranu 238
U to zawsze gdy
znajdzie si# blisko j dra dzia!a na niego si!a przyci gaj ca wywo!ana przez oddzia!y-
wanie j drowe. Dlatego jest bardzo prawdopodobne, "e taki neutron zostanie wychwy-
cony i powstanie j dro 239
U* w stanie wzbudzonym (oznaczone *). Takie j dro prze-
chodzi do stanu podstawowego emituj c jeden lub kilka kwantów .. Proces ten opisuj
nast#puj ce reakcje j drowe:
n + 238
U 239
U*
239U
*
239U + .
38.4.3 Rozpad beta
Badaj c w!asno$ci promieniotwórczo$ci stwierdzono, "e istniej trzy rodzaje pro-
mieniowania (, *, .. Po dalszych badaniach stwierdzono, "e ( to j dra helu, promienie
. to fotony, a promienie * to elektrony lub pozytony (cz stka elementarna dodatnia o
masie równej masie elektronu).
38-6
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
J dra, których ilo$& protonów Z ró"ni si# od warto$ci odpowiadaj cej stabilnym j drom
o tej samej liczbie masowej A, mog zmienia& Z w kierunku j der stabilnych poprzez
rozpad *. Wspó!czesna teoria rozpadów * zosta!a rozwini#ta przez Fermiego w 1931 r.
Najprostszym przyk!adem rozpadu * jest rozpad swobodnego neutronu zachodz cy z
czasem po!owicznego zaniku 12 minut
vepn //0
Neutron rozpada si# na proton, elektron i antyneutrino (cz stka elementarna o zerowym
!adunku i zerowej masie spoczynkowej).
Inny przyk!ad to omawiany ju" uran 239
U; rozpad zachodzi z czasem po!owicznego za-
niku 24 minuty
veNpU //0239239
Powsta!y izotop te" nie jest trwa!y i podlega rozpadowi *
vePuNp //0239239
z czasem po!owicznego zaniku 2.35 dnia.
W takim procesie liczba Z wzrasta o jeden a liczba A pozostaje bez zmiany.
Innym rozpadem *, jest proces, w którym j dra emituj pozytony, a towarzyszy te-
mu zawsze emisja neutrina. W tym procesie liczba Z maleje o jeden, a liczba A pozosta-
je bez zmiany.
38.4.4 Rozszczepienie j!der atomowych
Jak widzieli$my w punkcie 38.3 energia wi zania na jeden nukleon wzrasta z liczb
masow a" do A 50. Jednak powy"ej tej warto$ci ta energia maleje. Dzieje si# tak dla-
tego, "e si!y j drowe maj krótki zasi#g i dla dwóch protonów oddalonych o wi#cej ni"
2.5·10-15
m ich oddzia!ywanie jest raczej odpychaj ce ni" przyci gaj ce (rysunek na
stronie 38-2).
Konsekwencj tego jest wyst#powanie zjawisk rozszczepienia i syntezy j drowej. Je"eli
ci#"kie j dro rozdzielimy na dwa mniejsze, te dwie cz#$ci mog mie& mas# mniejsz
ni" masa j dra wyj$ciowego nawet o dziesi te cz#$ci procenta. Dlatego ci#"kie j dra
maj tendencj# do rozpadania si# na dwa mniejsze z wydzieleniem energii.
Energia w bombie atomowej i reaktorach j drowych jest wydzielana w procesach roz-
szczepienia j drowego.
Spontaniczne rozszczepienie j dra jest dozwolone przez zasad# zachowania energii.
Jednak w naturalnych j drach prawdopodobie'stwo rozszczepienia j dra jest mniejsze
ni" prawdopodobie'stwo rozpadu (. Prawdopodobie'stwo rozszczepienia mo"na wy-
datnie zwi#kszy& bombarduj c j dra neutronami. Tak dzieje si# np. gdy j dro 235
U lub 239
Pu wychwyci powolny neutron.
Ró"nica pomi#dzy mas j dra uranu a sum mas produktów rozszczepienia jest taka, "e
w przeci#tnej reakcji wydziela si# 200 MeV energii co stanowi równowa"nik 0.1% ma-sy uranu. Oznacza to, "e z 1g uranu otrzymujemy energi# równ : E = 0.001·mc
2 =
38-7
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
9·1010 J. Jest to oko!o 3 miliony razy wi#cej ni" energia wydzielana przy spalaniu 1g w#gla. Z drugiej strony nale"y uwzgl#dni& fakt, "e uran jest du"o dro"szy od w#gla i "e instalacje w elektrownii j drowej s te" du"o dro"sze ni" w konwencjonalnej. Ci gle jednak energia j drowa jest znacznie ta'sza ni" z paliw tradycyjnych. Rozszczepienie j drowe mo"e w reakcji !a'cuchowej sta& si# procesem samopodtrzy-muj cym si#. W ka"dej reakcji rozszczepienia powstaj dwa lub trzy neutrony. Je"eli przynajmniej jeden z nich wywo!a kolejne rozszczepienie to proces b#dzie sam si# pod-trzymywa!. Ilo$& materia!u powy"ej, której jest spe!niony powy"szy warunek nazywa-my mas! krytyczn!. Po raz pierwszy reakcj# rozszczepienia przeprowadzono (Enrico Fermi) na Uniwersytecie Chicago w 1942 r. Masa 235U i 239Pu mo"e by& te" nadkrytyczna. Wtedy neutrony z jednego rozszczepienia wywo!uj wi#cej ni" jedn reakcj# wtórn (reakcja lawinowa). Ca!a masa nadkrytyczna mo"e by& zu"yta (eksplodowa&) w czasie t < 0.001 s ze wzgl#du na du" szybko$& neu-tronów (3·108 cm/s). Tak eksploduje bomba atomowa. Najcz#$ciej kul# o masie nadkry-tycznej ale rozrzedzonej otacza si# klasycznymi !adunkami wybuchowymi. Ich detona-cja wywo!uje wzrost ci$nienia zewn#trznego i gwa!townie zmniejsza obj#to$& kuli. Oczywi$cie w elektrowniach j drowych spalanie paliwa odbywa si# bardzo powoli.
38.4.5 Reakcja syntezy j!drowej
W tabeli na stronie 38-3 widzimy, "e masa dwóch lekkich j der jest wi#ksza ni" ma-sa j
mog si# po! czy& tworz c j dro helu przy czym 0.6% masy zosta-
reakcji syntezy j drowej jest prowadzenie
wania reaktora termoj drowego. Podstawowym pro-
reakcji ter-moj drowej. Eksperci uwa"aj jednak, "e jest to kwestia najbli"szych lat.
Wymaga to spowalniania neutronów i doboru warunków stacjonarnej pracy reaktora.
dra powstaj cego po ich po! czeniu. Je"eli takie j dra zbli"ymy do siebie na dosta-tecznie ma! odleg!o$&, to przy powstawaniu nowego j dra wydzieli si# energia zwi za-na z ró"nic mas. Np. dwa deuteronynie zamienione na energi#. Wida&, "e ta metoda by!aby sze$& razy wydajniejsza od omówionego rozszczepiania j der uranu (0.1%). Poza tym mamy nieograniczone (ród!o deuteru w wodzie mórz i oceanów. Przeszkod w otrzymywaniu energii t metod jest odpychanie kulombowskie, które nie pozwala zbli"y& si# deuteronom na odleg!o$& po-równywaln z zasi#giem przyci gaj cych si! j drowych. Reakcja ta by!aby mo"liwa gdyby deuter móg! by& ogrzany do temperatury oko!o 5·107 K. Reakcje, które wymaga-j takich temperatur nazywamy reakcjami termoj drowymi. Temperatury osi gane pod-czas wybuchu bomby atomowej s wystarczaj ce do zapocz tkowania takiej reakcji. Raz zapocz tkowana reakcja termoj drowa wytwarza dostateczn ilo$& energii do utrzymania wysokiej temperatury dopóki materia! (wi#kszo$&) nie zostanie spalony. Jest to mechanizm dzia!ania bomby wodorowej. Warunkiem uzyskania u"ytecznej energii z reakcji w sposób kontrolowany. Prowadzone s próby skonstruoblemem jest utrzymanie gazu o tak wysokiej temperaturze w ograniczonym obszarze przez dostatecznie d!ugi czas aby wytworzona energia by!a wi#ksza od energii zu"ytej na uruchomienie reaktora. Stwarza to wiele problemów technicznych. Np. trzeba zapo-biec stopieniu $cian pojemnika z gazem (plazm ). U"ywa si# bardzo silnych pól magne-tycznych próbuj c nie dopu$ci& do zetkni#cia gazu (plazmy) ze $ciankami. Jak dot d nie uda!o si# przeprowadzi& zako'czonej sukcesem kontrolowanej
38-8
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
W przyrodzie obserwuje si# ci g!e wytwarzanie energii termoj drowej: procesy termo-j drowe s (ród!em energii gwiazd a wi#c i „naszego” s!o'ca.
38.5 Cykl #ycia s"o$ca
Na rysunku poni"ej s przedstawione podstawowe fazy cyklu "ycia S!o'ca.
chmura
zapadanie zapadanie zapadanie
zapadanie
globula protogwiazda
S o!ce
S o!ce
stabilne ~ 10 bilionów lat
czerwonyolbrzym
bia ykarze
czarny karze
gwiazda neutronowa
czarna dziura ekspansja
Uwaga na rysunku nie jest zachowana skala. Je eli przyj!" #rednic$ „naszego” S%o&ca
za 1 to np. #rednica bia%ego kar%a wynosi ~0.009, a #rednica protogwiazdy jest równa
ura
ii kosmologicznych za przodka gwiazd i planet uwa a gaz, którego
sk%adnikiem by% wodór.
!
ów/cm3 czyli doskona%a pró nia (powietrze w warunkach nor-
! o nietrwa%ej równowagi i najmniejsze zaburzenie
m przyci!gania grawitacyjnego.
mas$ równ! wielokrotno#ci masy S%o&ca;
! dalej s! bardzo rzadkie ze wzgl$du na rozmiar " 100·#rednica uk%adu s%onecznego;
ia).
t
oko%o 106.
38.5.1 Chm
Wi$kszo#" teor
#rednica chmury - kilkadziesi!t lat #wietlnych;
! g$sto#" < 1000 atom
malnych ~ 2.7·1019
atomów/cm3);
! temperatura oko%o -230° C (nie promieniuje).
Chmura znajduje si$ w stanie bardz
powoduje, e zaczyna si$ kurczy" pod wp%ywe
! W miar$ zbli ania si$ atomów wodoru ich energia potencjalna (grawitacyjna) male-
je, a ro#nie energia kinetyczna czyli temperatura gazu.
! Tworz! si$ lokalne zag$szczenia materii zwane globulami.
38.5.2 Globule
! zawieraj! one
! temperatura wy sza " -200° C (dalej brak promieniowan
Dalej trwa zag$szczanie materii pod wp%ywem grawitacji, czemu towarzyszy wzros
temperatury a osi!gni$te zostaje stadium protogwiazdy.
38-9
Z. K!kol-Notatki do Wyk%adu z Fizyki
38.5.3 Protogwiazda
! stabilny rdze&;
dwukrotnie wi$kszy od uk%adu s%onecznego (1 milionowa po-
! C, a powierzchni 1650° C;
grawitacyjne;
d%em tej energii jest
t
Jed
dals rotogwiazdy a do pojawienia si$ nowego 'ród%a energii, które
o!ce
ania o S%o&cu rozpocznijmy od obliczenia promienia S%o&ca w funkcji
Zak
przy powierzchni). Masa S%o&ca MS = 2·10 kg.
drowych wyrówna ci#nie-
dzie g r jest warto#ci! #redni! przyspieszenia równ! g/2; g jest
dobrze wykszta%cony
! pocz!tkowo rozmiar
cz!tkowego rozmiaru chmury);
! w wyniku dalszego zapadania si$ #rednica " #rednicy orbity Marsa;
temperatura wn$trza oko%o 56000°
! nagrzana masa gazu osi!ga ci#nienie, które hamuje dalsze zapadanie
! przy tej temperaturze #wieci (wypromieniowuje energi$); 'ró
zapadanie si$ grawitacyjne a nie reakcja syntezy j!drowej, wi$c to jeszcze nie jes
gwiazda (S%o&ce);
nak gdy energia gazu zmniejszy si$ przez promieniowanie elektromagnetyczne trwa
ze zapadanie si$ p
mo e temu przeciwdzia%a". Tym nowym 'ród%em s! reakcje termoj!drowe - powstaje
S%o&ce.
38.5.4 S
Nasze rozwa
jego masy.
%adamy sta%! g$sto#" wewn!trz S%o&ca (w rzeczywisto#ci rdze& ma wi$ksz! g$sto#"
ni warstwy30
Zapadanie si$ tej masy gazu wodorowego zostanie zatrzymane gdy ci#nienie termiczne
wywo%ane ogrzewaniem gazu przez energi$ z reakcji termoj!
nie grawitacyjne.
Ci#nienie grawitacyjne wewn!trz jednorodnej kuli o promieniu R, mo emy wyznaczy"
z równania: p = #g rh, g
przyspieszeniem na powierzchni kuli (w #rodku przyspieszenie jest równe zeru). St!d
gRPg #1
$ 2
gdzie 2R
GMg S$ . Ostatecznie
R
MGP S
g #2
1$
Ci#nienie term %ego) wynosi iczne gazu (na podstawie równania stanu gazu doskona
pM
gdzie Mp jest mas! protonu (masa cz! asa atomu wodoru).
orównanie tych dwóch ci#nie& daje
t
kTP
#$
steczki gazu = m
P
38-10
Z. K!kol-Notatki do Wyk%adu z Fizyki
RM
S
p 2$
GMkT 1
lub
kTR
pS
2$
MGM
eraz oce&my jaka jest najni sza temperatura potrzebna do zbli enia dwóch protonów
jest równa 3kT. Musi to równowa y" energi$ odpychania elektrostatycznego
T
na odleg%o#" 5·10-15
m. Ka dy proton ma energi$ (3/2)kT, wi$c energia kinetyczna pary
R04%&
e21
9
We wn$trzu g
,
st!d T = 1.1·10 K.
y wystarczy temperatura o jeden lub nawet dwa rz$dy wielko#ci
akcje termoj!drowe jest rz$du
a jest wi$ksza ni 0.08 masy S%o&ca, to osi!-
p + p D + e+ + v
p + D 3He + '
3He +
3He
4He + p + p
en ci!g reakcji termoj!drowych pokazany na rysunku poni ej jest znany jako cykl wo-
wiazd
ni sza, bo zawsze znajdzie si$ wystarczaj!ca ilo#" protonów o pr$dko#ciach wi$kszych
od #redniej (rozk%ad pr$dko#ci) aby podtrzyma" reakcj$.
Tak wi$c temperatura, dla której zaczynaj! zachodzi" re
107 K. Dla tych danych otrzymujemy warto#" promienia S%o&ca R = 7·10
8 m, co jest
warto#ci! dobrze zgodn! z obserwowan!.
Mo na pokaza", e je eli masa pocz!tkow
gni$ta temperatura b$dzie dostatecznie wysoka, aby wywo%a" nast$puj!ce reakcje ter-
moj!drowe
T
dorowy.
wyniku cyklu wodorowego 4 protony s! zu yte do wytworzenia cz!stki (W , 2 pozyto-
nów, 2 neutrin i 2 fotonów '. Masa j!dra helu stanowi 99.3% masy czterech protonów.
Wydziela si$ energia zwi!zana z ró nic! mas.
38-11
Z. K!kol-Notatki do Wyk%adu z Fizyki
Cykl wodorowy jest g%ównym mechanizmem produkcji energii przez S%o&ce i inne
gwiazdy bogate w wodór.
Energia wytwarzana przez S%o&ce jest ogromna. W ci!gu sekundy 592 miliony ton wo-
ocy oko%o 4·1026
W.
doru jest zamieniane na 587.9 milionów ton helu. Ró nica tj. 4.1 miliony ton jest za-
mieniana na energi$ (w ci!gu sekundy). Odpowiada to m
Przyk!ad 1
Obliczmy po jakim czasie wypali%oby si$ S%o&ce tj. gdyby ca%y wodór zamieni% si$ w
hel. Energia wytwarzana w cyklu wodorowym 2·1030
kg otrzymujemy
E = 0.007·Mc2 = 1.3·10
45 J
St!d
t = E/P = (1.3·1045
J) / (4·1026
W) = 1011
lat
oko%o 20 razy wi$cej ni dotychczasowy wiek S%o&ca.
iedy ca%e paliwo wodorowe w rdzeniu wypali si$ to rdze& gwiazdy zacznie zapada"
spalanie wodoru). Jednak
o#" ciep%a wytworzona z energii grawitacyjnej, przewy sza nawet ilo#" energii pocho-
o oko%o 100 mln °K, co umo liwia przemian$ helu w w$giel i tlen. Zapale-
%townie.
Gwiazdy o ma%ych masach nie zapalaj! helu w rdzeniu lecz ewoluuj! w stron$ mg%awic
pla
ko zapada" przechodz!c do fazy bia%ego
ich g$sto#ciach; np. masa 1 cm3 materii tej gwiazdy dochodzi do kilkudziesi$-
3aterii ziemskiej wynosi #rednio kilka g).
Gwiazdy te dalej #wiec! dzi$ki emisji energii grawitacyjnej uwalnianej przy kurczeniu
si$.
#cia w procesie krystalizacji materii bia%ych
dzo niskich temperatur (obiekt nie #wieci).
Jest to
K
si$ pod wp%ywem grawitacji (w zewn$trznej warstwie nadal
il
dz!cej z reakcji termoj!drowej. To ciep%o powoduje, e zewn$trzne warstwy zaczynaj!
si$ rozszerza". Zaczyna si$ ekspansja, S%o&ce staje si$ czerwonym olbrzymem.
38.5.5 Czerwony olbrzym
Gdy masa rdzenia osi!gnie warto#" oko%o 0.5 masy S%o&ca, temperatura we wn$trzu
podnosi si$ d
nie helu przebiega bardzo gwa
netarnych.
Je eli gwiazda wypali hel w rdzeniu to przy braku promieniowania podtrzymuj!cego
warstw$ zewn$trzn! gwiazda zaczyna si$ szyb
kar%a.
38.5.6 Bia e kar y
Bia%e kar%y s! gwiazdami o ma%ych rozmiarach (zbli onych do rozmiarów Ziemi) i
olbrzym
ciu ton (masa 1 cm m
Proces ten mo e by" bardzo d%ugotrwa%y.
Dalsza ewolucja zale y od masy gwiazdy.
Produktem stygni$cia bia%ych kar%ów o ma%ej masie s! czarne kar%y.
38.5.7 Czarne kar y
Czarne kar%y powstaj! w wyniku przej
kar%ów do stanu sta%ego. Towarzyszy temu szybkie ostygni$cie ca%ego obiektu do bar-
38-12
Z. K!kol-Notatki do Wyk%adu z Fizyki
Je eli w wyniku spalania helu masa rdzenia w$glowo-tlenowego wzro#nie powy ej
warto#ci oko%o 1.4 masy S%o&ca to w centrum nast!pi zapalenie w$gla. Proces ten jest
bar
zwanym odwrotnym rozpadem ) protony zaczynaj! przechodzi" w neutrony
wed%ug nast$puj!cej reakcji:
e- + p n + v
uj!, e przy g$sto#ciach 1011
g/cm3 neutrony s! znacznie
czniejsze ni protony. St!d nazwa „gwiazda neutronowa”. Takie g$sto#ci s! osi!gane
gdy gwiazda kurczy si$ do rozmiar km.
wiazda neutronowa mo e wirowa" wykonuj!c dziesi!tki obrotów na sekund$. Np.
&ca to spalanie w$gla prze-
buchu jest prawdopodobnie czarna dziura.
iemo liwia
wysy%anie w przestrze& jakichkolwiek informacji tzn. nie jest mo liwe komunikowanie
rawitacyjne „przytrzymuje” nawet #wiat%o tzn. fotony nie mo-
g! uciec z gwiazdy i zawsze „spadaj!” na jej powierzchni$. Cho" obserwacja czarnych
dzi
dzo gwa%towny i nazywany wybuchem supernowej.
Otoczka gwiazdy rozprasza si$ w przestrzeni, a centrum zapada tworz!c gwiazd$ neu-
tronow!.
38.5.8 Gwiazda neutronowa
W wyniku zapadania si$ centrum gwiazdy energie elektronów staj! si$ tak du e, e
w procesie
Dok%adne procesy przemiany materii zwyk%ej w materi$ bogat! w neutrony s! skompli-
kowane, ale obliczenia pokaz
li
ów rz$du dziesi!tek
G
gwiazda w centrum Mg%awicy Kraba jest tak! gwiazd! wiruj!c! 30 razy na sekund$.
Gwiazdy neutronowe mog! wysy%a" regularne promieniowanie (sygna%y radiowe wyso-
kiej cz$sto#ci). Taka gwiazda nazywa si$ pulsarem. Pierwszy pulsar odkryto w 1967 r.
Je eli gwiazda ma mas$ pocz!tkow! wi$ksz! ni 8 mas S%o
biega w ich centrum spokojnie.
Nast$pne fazy przebiegaj! bardzo szybko. Po wyczerpaniu w$gla zapalaj! si$ kolejno:
tlen, neon, magnez, krzem, nikiel. Ko&cowym produktem jest j!dro elazne, które wo-
bec braku dalszych 'róde% energii gwa%townie zapada si$.
Implozji centrum towarzyszy eksplozja otoczki prowadz!ca do wybuchu bardzo jasnej
supernowej. Pozosta%o#ci! po wy
38.5.9 Czarna dziura
Czarna dziura jest obiektem astronomicznym, który nie mo e by" bezpo#rednio ob-
serwowany, gdy bardzo silne pole grawitacyjne, którego jest 'ród%em, un
si$ z reszt! #wiata. Pole g
ur nie jest mo liwa to mo na obserwowa" procesy zachodz!ce w polu grawitacyj-
nym w otoczeniu czarnej dziury. Wci! jest to kontrowersyjny mechanizm opisuj!cy
„katastrofalne” zapadanie si$ gwiazd. Mo na jednak wyznaczy" warunki na mas$ i
promie&.
Graniczny promie& poni ej, którego nie mo emy ju zobaczy" gwiazdy (tzw. promie&
Schwartzschilda) jest dany wyra eniem
2GM20R $
c
38-13
Z. K!kol-Notatki do Wyk%adu z Fizyki
Dla masy j!dra ( elaznego) równej masie S%o&ca otrzymujemy R0 = 3 km.
38-14
Spis tresci.txte-fizyka – podstawy - Zbigniew KąkolZbiór wykładów w PDF gotowych do wydrukowania.
1. Wprowadzenie2. Ruch jednowymiarowy 3. Ruch na płaszczyźnie4. Dynamika punktu materialnego 5. Dynamika punktu materialnego II6. CiąŜenie powszechne (grawitacja) 7. Praca i energia8. Zasada zachowania energii 9. Zasada zachowania pędu10. Zasada zachowania pędu II 11. Elementy szczególnej teorii względności12. Ruch obrotowy 13. Ruch drgający14. Statyka i dynamika płynów 15. Fale w ośrodkach spręŜystych16. Kinetyczna teoria gazów i termodynamika I 17. Kinetyczna teoria gazów i termodynamika II18. Siła elektrostatyczna 19. Elektrostatyka I20. Elektrostatyka II 21. Prąd elektryczny i pole magnetyczne22. Pole magnetyczne, indukcja elektromagnetyczna 23. Indukcja elektromagnetyczna, energia pola magnetycznego24. Drgania elektromagnetyczne 25. Równania Maxwella26. Fale elektromagnetyczne 27. Optyka geometryczna i falowa28. Interferencja 29. Dyfrakcja30. Siatki dyfrakcyjne 31. Polaryzacja32. Światło a fizyka kwantowa 33. Model atomu Bohra34. Fale i cząstki 35. Lasery36. Atomy wieloelektronowe, układ okresowy pierwiastków 37. Materia skondensowana38. Fizyka jądrowa
Strona 1