2018-03-30 Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji - Teleinformatyka

1

Wykład 8: Bryła sztywna cz.1

Dr inż. Zbigniew Szklarski

Katedra Elektroniki, paw. C-1, pok.321

szkla@agh.edu.pl

http://layer.uci.agh.edu.pl/Z.Szklarski/

2018-03-30 Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji - Teleinformatyka

2

Środek masy/ środek ciężkości

Jak opisać dowolny ruch ciała?

Którego punktu ciała?

Zawsze można wybrać taki punkt ciała,

który porusza się tak jakby poruszał

się pojedynczy punkt materialny pod działaniem tych

samych sił zewnętrznych – ŚRODEK MASY ciała.

Dla układu punktów materialnych:

m1 m2

x

0 x1 x x2 21

2211

mm

xmxmx

2018-03-30 Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji - Teleinformatyka

3

Dla mas punktowych

i

i

i

ii

m

xm

x

i

i

i

ii

m

ym

y

i

i

i

ii

m

zm

z

Ciągły rozkład mas

xdm

Mdm

xdm

m

xmx

i

ii

mi

1lim

0

ydm

Mdm

ydm

m

ymy

i

ii

mi

1lim

0

zdm

Mdm

zdm

m

zmz

i

ii

mi

1lim

0

wektor położenia środka masy

i

iis rmM

zkyjxir 1ˆˆˆ

M

zdmydmxdmrs

2018-03-30 Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji - Teleinformatyka

4

Przykłady

Cienki, jednorodny słup o masie M i długości L leżący poziomo postawiono pionowo. Obliczyć wykonaną pracę.

Kopiec Piłsudskiego usypany w latach 30-tych ub. wieku

ma kształt stożka o wysokości 35 m i średnicy podstawy

110m. Obliczyć pracę jaka została wykonana podczas

sypania kopca. Przyjąć średnią gęstość 1700 kg/m3.

2018-03-30 Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji - Teleinformatyka

5

Ruch środka masy

i

iinnS amamamaM

...11

dtvmvmvmvM

i

iinnS

...11

dtrmrmrmrM

i

iinnS

...11

i

inS FFFaM

...1

zews FaM

Ruch środka masy odbywa się pod wpływem

wektorowej sumy wszystkich sił działających

na układ - również sił wewnętrznych.

Jednak z III zasady dynamiki

siły wewnętrzne się równoważą

i

iis rmM

r 1

2018-03-30 Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji - Teleinformatyka

6

Środek masy układu porusza się tak, jakby cała masa układu była skupiona w środku masy i jakby wszystkie siły zewnętrzne na nią działały.

Pęd środka masy

zewss F

dt

VdM

dt

pd

ss VMp

00 dt

pdF s

zew

constps

Zasada zachowania pędu

Przykład: Siedzący na dziobie canoe o masie m i długości L wioślarz o masie M wstał i przeszedł z szybkością Vw na jego drugi koniec. Oblicz z jaką szybkością i o ile przesunęło się canoe.

2018-03-30 Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji - Teleinformatyka

7

Podstawowe pojęcia ruchu obrotowego punktu materialnego i bryły sztywnej

Odpowiednikiem pędu w ruchu postępowym jest moment pędu

w ruchu obrotowym

r

V

prL

Skoro pr

to L = r·mV

rV

Skoro r

oraz L

to V = r oraz L = r2m

W ruchu postępowym siłę wiążemy z liniowym przyspieszeniem ciała. Jaką wielkość zwiążemy z przyspieszeniem kątowym w ruchu obrotowym ?

2018-03-30 Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji - Teleinformatyka

8

Powód ruchu obrotowego bryły - moment siły

Jeżeli zmienia się moment pędu układu constprL

to 0dt

Ld

dt

pdrp

dt

rdpr

dt

d

dt

Ld

0

0

Frvmv

Ostatecznie: FrM

Frdt

Ld

Zasada zachowania momentu pędu:

Jeżeli constL

to 0 zewMdt

Ld

M

r

nF

M

F

tF

2018-03-30 Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji - Teleinformatyka

9

FrM

tFr

to M = rFt

ra

oraz r

to M = r2m

IM

0 tnt FrFFrM

Moment siły w tym ruchu nadaje siła styczna.

Jeżeli działa siła styczna Ft

I

Jeżeli działa dowolnie skierowana siła F to

2018-03-30 Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji - Teleinformatyka

10

Moment bezwładności

Energia kinetyczna i-tego punktu materialnego:

222

2

1

2

1 iiiiki rmvmE

m1

r1

m2 r2

m3 r3

222233

222

211

2

1

2

1

I

i

iik rmrmrmrmE

Moment bezwładności zależy od: -wyboru osi obrotu -kształtu ciała -rozmieszczenia masy ciała

222

2

1

2

1

IrmE

i

iik

Dla ciągłego rozkładu mas dmrI 2

Energia układu punktów materialnych

obracających się z taką samą

22 mkgrmI

i

ii

2018-03-30 Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji - Teleinformatyka

11

Przykład

Obliczyć moment bezwładności prostokąta o wymiarach

a x b i gęstości powierzchniowej , względem:

a) podstawy a jako osi,

b) względem osi prostopadłej do boku a, przechodzącej przez środek prostokąta,

c) względem osi prostopadłej do powierzchni prostokąta i przechodzącej przez jeden z jego wierzchołków.

2018-03-30 Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji - Teleinformatyka

12

Tensor momentu bezwładności

i i i

iiiiiii VrmVmrL

ii rV

więc i

iii

i

i rrmLL

z rachunku wektorowego wiadomo:

BACCABCBA

więc

iiiiii rrrrrr

zatem i

iiii rrrmL

2

prL

2018-03-30 Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji - Teleinformatyka

13

ale ziyixii zyxr

Zatem i

ziyixiiii zyxrrmL

2

Składowe wektora :

i i i i

iiziiiyiixiixx zxmyxmxmrmL 22

i i i i

iiziiiyiiixiizz zmyzmxzmrmL 22

i i i i

iiziiyiiixiiyy zymymxymrmL 22

i

iiii rrrmL

2

L

i

iiixx xrmI 22

2018-03-30 Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji - Teleinformatyka

14

Porządkując np. Lx

i

iiizi

iiiyi

iiixx zxmyxmxrmL 22

gdzie:

skoro 2222

iiii zyxr

i

iiixx zymI 22 i

iiixy yxmI i

iiixz zxmI

więc

zxzyxyxxxx IIIL

Można więc zapisać Lx jako:

Dla pozostałych składowych postępujemy analogicznie

xz

I

xx

I

xyI

i i i i

iiziiiyiixiix zxmyxmxmrm 22

2018-03-30 Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji - Teleinformatyka

15

i

iii rrmL

2

zxzyxyxxxx IIIL

zyzyyyxyxy IIIL

Można więc równanie wektorowe

zastąpić przez układ trzech równań:

zzzyzyxzxz IIIL

z

y

x

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

z

y

x

III

III

III

L

L

L

IL~

W ogólnym przypadku wektor L nie ma kierunku prędkości

kątowej , co jest przyczyną skomplikowanego zachowania

się wirującego ciała sztywnego.

2018-03-30 Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji - Teleinformatyka

16

Własności tensora momentu bezwładności

Symetryczny: Ixy = Iyx

Można go zdiagonalizować

do postaci:

Suma jest izotropowa, czyli

względem osi układu:

Gdy ciało ma symetrię

osiową np. względem osi OZ to Ixy = 0

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

III

III

III

I

zz

yy

xx

I

I

I

00

00

00

różne od zera są tylko wartości osi głównej

i

iizzyyxx rmIII 22

jest niezależna od orientacji ciała

V

zzyyxx dVrrdmrIII 22 22

2018-03-30 Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji - Teleinformatyka

17

V

xx dVxrI 22

V

yy dVyrI 22

V

zz dVzrI 22

dla ciągłego rozkładu mas

V

xy dVyxI

V

xz dVzxI

itd..

elementy diagonalne elementy pozadiagonalne

UWAGA!!! Moment bezwładności jest addytywny !!!

2018-03-30 Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji - Teleinformatyka

18

Interpretacja elementów tensora momentu bezwładności

N

n

nz

N

n

nnzz r)y (xI

1

2n

1

22n mm

kwadrat odległości od osi OZ

x

y

z

yn

xn rnz

Elementy diagonalne mają

klasyczną interpretację

N

1nnnnyz zymI

y

z

Iyz=0

Elementy pozadiago-

nalne pojawiają się gdy

pojawia się asymetria

2018-03-30 Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji - Teleinformatyka

19

Twierdzenie Steinera (o osiach równoległych)

Gdy obrót bryły o masie M następuje wokół osi Z przechodzącej przez środek masy to

Jeżeli bryła zacznie się obracać wokół osi Z’, równoległej do Z i oddalonej od niej o odległość a to

20' MaII z

z z’

a

ω

śm 0II z

2018-03-30 Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji - Teleinformatyka

20

Ruch postępowy

(stały kierunek)

Ruch obrotowy

(stała oś obrotu)

położenie x (m) położenie

kątowe (rad)

prędkość liniowa

v (m/s)

prędkość kątowa ω (rad/s)

przyspieszenie liniowe a (m/s2)

przyspieszenie kątowe ε (rad/s2)

masa m (kg) moment bezwładności I (kg·m2)

Porównanie podstawowych wielkości

fizycznych i wzorów

dt

dxv

dt

d

dt

dva

dt

d

2018-03-30 Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji - Teleinformatyka

21

siła

F (N)

moment siły

(N m)

pęd

p (kg m/s)

moment pędu

L (kg m2s)

energia kinetyczna Ek (J)

energia kinetyczna Ek (J)

uogólniona zasada dynamiki

uogólniona

zasada dynamiki dt

dpF

aF

m

IM M

vp

m

IL

dt

dM

L

2k v

2

mE 2

k2

IE

Porównanie podstawowych wielkości

fizycznych i wzorów cd.

2018-03-30 Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji - Teleinformatyka

22

Przykłady obliczeń tensora momentu bezwładności

Dyskretny rozkład masy

2

22

22

1200

062

026

ma

mama

mama

I

Rozważyć układ czterech mas m(a,a), 2m(a,-a), m(-a,-a) oraz 2m(-a,a),

rozmieszczonych w wierzchołkach kwadratu. Wzajemne odległości

między masami nie ulegają zmianie. (a) Znaleźć tensor momentu

bezwładności tego układu mas.

Odp.: a)

..22 i

iiixx xrmI

i

iiixy yxmI i

iiixz zxmI

a

-a

i

iiyy xmI 2 i

iiii

iiizz yxmzrmI 2222 ..

yxI zyyzzx III 0

x

y

? ?

2018-03-30 Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji - Teleinformatyka

23

(b) Znaleźć wektor momentu pędu tego układu mas podczas obrotu z prędkością kątową =i i sprawdzić czy jest on równoległy do wektora prędkości kątowej.

b)

ji ˆ2ˆ6 22 mama

0

0

000

02

3

2

1

02

1

2

3

~ 22

22

mama

mama

IL

2018-03-30 Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji - Teleinformatyka

24

Liniowy rozkład masy

Cienki jednorodny pręt o długości l i gęstości liniowej

obraca się wokół osi OZ

constdy

dm

dmrII zzxx

2oraz

yyI

883

1

3

332

2

2

2

32 ll

l

mydyyI

l

l

l

l

zz

czyli 128

2

3

23 mll

l

mI zz

X

Y

Z

dm

r

0

Jeżeli przesuniemy oś obrotu na koniec pręta, to I’= ?

2018-03-30 Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji - Teleinformatyka

25

R

Cienki jednorodny dysk o promieniu R i gęstości

powierzchniowej

Powierzchniowy rozkład masy

dr

X Y

Z

ds

dm

yyxx II

dmrI zz

2

pozostałe momenty bezwładności obliczymy korzystając z własności ciała o symetrii osiowej - własności tensora momentu bezwładności:

dm= ·ds = · 2 ·r·dr

R

zz

mRR

R

mdrrI

0

24

2

3

2422

więc

2018-03-30 Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji - Teleinformatyka

26

i i i

iiiiiiiiizzyyxx zrmyrmxrmIII 222222

2222

iiii zyrx

Wiadomo, że

i i i

iiiiiiiiizzyyxx zrmyrmzymIII 222222

a więc

VV

zzyyxx dVrdmrIII 22 22

gdzie

i

ii

i

iiiiiii rmzryrzym 2222222 2

iiii zyxr

Dla ciągłego rozkładu masy:

R

2018-03-30 Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji - Teleinformatyka

27

yyxx II

S

zzxx dSrdmrII 22 222

22

22 mR

mRI xx

4

2mRII yyxx

Dla rozważanego dysku

otrzymujemy więc

a więc

stąd

X Y

Z

2

2mRI zz

R

mRR

R

mdrr

0

24

2

3

42222

2018-03-30 Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji - Teleinformatyka

28

Lub obliczając inaczej: dmxrII yyxx22

skoro

a x2+ y2+ z2 =r2 oraz x = y a więc r2= 2x2 x2 = ½ r2

S

yyxx

R

R

mrdr

rdS

rrII

42

22

4

2

222

4

2mRII yyxx

2018-03-30 Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji - Teleinformatyka

29

Powłoka kulista (sfera)

Z

R

Y

X

Gęstość powierzchniowa powłoki o promieniu R

wynosi ds

dm

Skoro jest symetria kulista to:

zzyyxx III dmrI xx223

22

3

2

3

2mRdmrI xx

x2+ y2+ z2 =r2 oraz x = y= z r2= 3x2

3

22 r

x czyli

22

22

3

2

3

2

3mRdmrdm

rrIII zzyyxx

Lub inaczej:

2018-03-30 Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji - Teleinformatyka

30

Objętościowy rozkład masy

• Kula o promieniu R i gęstości objętościowej

r

dm

dr

R

M MRI sfery2

3

2

dmrdI 2

3

2 dII

dVrdmrI 22

3

2

3

2

drrdV 24

25

3

5

0

4

5

2

3

415

8

15

8

3

8MRR

R

MRdrrI

R

2018-03-30 Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji - Teleinformatyka

31

• Symetria cylindryczna

walec o promieniu podstawy R, wysokości H i masie M

2

22

22

2

100

012

1

4

10

0012

1

4

1

MR

MHMR

MHMR

Iw

X

Y

Z

X

Y

Z

000

012

10

0012

1

2

2

ML

ML

I p

cienki pręt o długości L i masie M

Przykład:

Dwie masy punktowe m1 = 200 g i m2 = 300 g są umieszczone na końcach

sztywnego, nieważkiego pręta o długości r = 50 cm. Pręt umieszczony jest

pod kątem =200 względem osi OX, a środek masy tego układu ciał znajduje

się w środku układu współrzędnych XY. Pręt wiruje z częstotliwością f =

2 Hz, a osią obrotu jest oś OY. Obliczyć składowe wektora momentu

pędu oraz podać jego kierunek.

x1 y2

y1 x2

m1

m2

Y

X

Plan:

• środek masy

• składowe tensora

• składowe momentu pędu

• tg

Środek masy:

Składowe tensora:

i

iism rmm

r1

m1

m2

r1

r2

r

mrrr 2,012

mmm

rmr 3,0

5,0

5,03,0

21

21

mrx 28,0cos11

mrx 19,0cos22

mry 1,0sin11

mry 07,0sin22

22

222

21

211 xrmxrmI xx

20036,00012,00024,0036,004,03,0078,009,02,0 mkgI xx

222

222

21

211 0265,00105,0016,0 mkgyrmyrmI yy

0222111 zxmzxmzzI

222111 yxmyxmII yxxy

20096,0004,00056,0 mkg

310

000

05,266,9

06,96,3

I

x1

Składowe momentu pędu:

tg

0,4105,26,4106,910

0

4

0

000

05,266,9

06,96,3333

IL

76,26,9

5,26

yy

xy

x

y

I

I

L

Ltg o08,70

m1

m2

L

2018-03-30 Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji - Teleinformatyka

35

Toczenie bez poślizgu

Toczenie bez poślizgu jest specyficznym rodzajem ruchu

bryły sztywnej, będącym złożeniem ruchu postępowego

środka masy i ruchu obrotowego wokół środka masy.

Przyczyną toczenia jest występowanie tarcia statycznego.

2R

śm

2018-03-30 Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji - Teleinformatyka

36

ωR

ωR

śm

vśm

vśm

vśm

2vśm

v = 0

vśm

ruch obrotowy

wokół osi

przechodzącej

przez środek

masy

ruch postępowy toczenie bez

poślizgu jako

złożenie ruchów Rvśm

Raśm

ωR